ΠΜΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

Transcript

1 ΣΤΗΝ ΠΡΑΞΗ Η ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, C(f), ΤΟΥ ΚΑΝΑ- ΛΙΟΥ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΤΗ ΚΑΙ ΑΚΟΜΗ ΧΕΙΡΟΤΕΡΟ ΣΕ ΜΕΡΙ- ΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕΤΑΒΑΛΛΕΤΑΙ ΓΡΗΓΟΡΑ ΜΕ ΤΟ ΧΡΟΝΟ. Στις περιπτώσεις αυτές χρησιμοποιείται η χρήση τεχνικών εξίσωσης του καναλιού, ή η τεχνική αναζήτησης της ακολουθίας Μέγιστης Πιθανοφάνειας (Ακολουθία ML). Τα φίλτρα εκπομπής επιλέγονται λαμβάνοντας το C(f) =σταθ. Αποτέλεσμα είναι η παραμόρφωση του παλμού λήψης. x rc (t) Αντί της ιδανικής μορφής x rc (t) x (t) λαμβάνεται στην έξοδο του φίλτρου λήψης ο παλμός x (t) 28

2 Οπότε στην έξοδο του φίλτρου λήψης εμφανίζεται και πάλι ISI! Μετά τη δειγματοληψία t m =mt Όπου x q =x(qt) Στην πράξη ισχύει : x n =0 για n<-l 1 και n>l 2 Αν L=L 1 +L 2 L 2 y = xa + v m n m n m n= L 1 Η τελευταία σχέση μας υποδεικνύει ότι η ακολουθία δειγμάτων {y m } που λαμβάνεται στην έξοδο του φίλτρου λήψης μπορεί να θεωρηθεί ως η συνέλιξη της ακολουθίας συμβόλων {α n } και ενός ψηφιακού φίλτρου με συντελεστές {x n }, στην οποία προστίθεται επι πλέον και η τυχαία ακολουθία θορύβου {ν n }. 29

3 ΤΕΧΝΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ ML Ισοδύναμο Φίλτρο Καναλιού Διακριτού Χρόνου {α n } Όπου x -L1, x -L1+1,,x -1, x 0, x L2 = με x(-l 1 T), x(-l 1 T+T), x(-t), x(0),, x(l 2 T), x(t) ο παραμορφωμένος παλμός λήψης. Όταν είναι γνωστοί οι συντελεστές του ισοδύναμου διακριτού φίλτρου του καναλιού, x(n) o βέλτιστος φωρατής της ακολουθίας των διαβιβασθέντων συμβόλων {α n }, είναι η ML ακολουθία. Για Σύστημα Μ συμβόλων με ISI μήκους L απαιτείται trellis με Μ L καταστάσεις. Πρακτικά είναι δυνατόν να εφαρμοστεί για Μ=2 ή 4 και 1<L<6 Για μεγάλες τιμές των Μ και L ο αλγόριθμος είναι δυνατόν να εφαρμοστεί μόνο off line και έχει αξία μόνο θεωρητική, όπως βαθμονόμηση επιδόσεων εξισωτών, κ.λ.π. 30

4 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΑΝΑΛΙΟΥ Γραμμικός Εξισωτής Στο Πεδίο Συχνοτήτων Χ ρήση Φίλτρου με Χαρακτηριστική Αντίστροφη αυτής του Καναλιού (Inverse Chanel Filter) ΕΞΙΣΩΤΗΣ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΟΥ ΣΕ ΜΗΔΕΝΙΣΜΟΥΣ Εξαλείφει την ISI!!! Δυστυχώς!! Ενισχύει τον θόρυβο-αυξάνει την P e! Εν γένει αυξάνεται η διακύμανση του θορύβου στην έξοδο του φίλτρου 31

5 Παράδειγμα G T (f), G R (f) 1/T=4800 bits/sec με W=4800 Ηz N 0 /2=10-15 W/Hz Προσδιορίστε σ ν 2 και P e Λύση και η Πιθανότητα σφάλματος αντί ΜΙΚΡΌΤΕΡΟ Ή 0.54 db υποβάθμιση 6 Ν 0 32

6 Υλοποίηση του Εξισωτή ως Ψηφιακού FIR Φίλτρου. q(t) ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΟΥ FIR ΦΙΛΤΡΟΥ C -N, C -N+1, C 0,,C N ΕΞΙΣΩΜΕΝΟ ΣΗΜΑ ΕΞΟΔΟΥ, q(t), TOY ΕΞΙΣΩΤΗ {q m }={C n }*{x n } Όπου x n =x(nτ), qm= q(mτ) ΟΤΑΝ τ=τ : ΕΞΙΣΩΤΗΣ ΜΕ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΥΜΒΟΛΟΥ (ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΠΑΓΩΓΩΝ) (Symbol Spaced Equalizer) ΟΤΑΝ τ<τ : ΕΞΙΣΩΤΗΣ ΜΕ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΚΛΑΣΜΑ ΣΥΜΒΟ- ΛΟΥ(ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΠΑΓΩΓΩΝ) (Fractionally Spaced Equalizer) Συνήθως τ=τ/2 ΠΡΟΣΟΧΗ!! Και στις δύο περιπτώσεις από την ακολουθία εξόδου του εξισωτή, την {q m }, μας ενδιαφέρουν μόνο οι όροι που αντιστοιχούν σε mτ ακέραιο πολλαπλάσιο του Τ. Ό- ταν δηλαδή τ=τ/2 υπολογίζουμε τους όρους q -2N,, q 0,, q 2N 33

7 ΕΞΙΣΩΤΗΣ ΜΕ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΥΜΒΟΛΟΥ (ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΠΑΓΩΓΩΝ) N ( ) = ( ) = n ( ) q mt q m C x m n n= N ΕΞΙΣΩΤΗΣ ΜΕ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΜΙΣΟ ΣΥΜΒΟΛΟ N T q mt q m q m C x m n 2 n= N ( ) = 2 = ( 2 ) = n ( 2 ) ΣΥΝΘΗΚΗ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΟΥ ΣΕ ΜΗΔΕΝΙΣΜΟΥΣ Zero Forcing Condition ( ) q mt 0 για m= ± 1,..., ± N = 1 για m = 0 x(t) δ(t) g T (t) καναλι g R (t) {x n } q(mt)=0,,0,1,0,,0 Z.F.Equalizer Από τις πιο πάνω συνθήκες προκύπτει γραμμικό σύστημα με 2Ν+1 εξισώσεις και αγνώστους τους 2Ν+1 συντελεστές του Εξισωτή. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ παλμός λήψεως Ζητείται να σχεδιαστεί Εξισωτής Εξαναγκασμού σε Μηδενισμούς με 5 απαγωγές 1. Για τ=τ 2. Για τ=τ/2 34

8 ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΤΗΣ ΜΕ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΥΜΒΟΛΟΥ N ( ) = ( ) = n ( ) q mt q m C x m n Με βάση την αρχή επιβολής μηδενισμών: n= N q(m)=0 για m=-n, -N+1,,-1,1,,N και q(0)=1 Επομένως για Ν=2 ισχύει: 2 ( ) ( ) q m = C x m n, m = 2:1:2 n= 2 n δηλαδή ( 2) ( 1) ( 0) () 1 ( 2) q = C x + C x + C x + C x + C x 4 q = C x + C x + C x + C x + C x q = C x + C x + C x + C x + C x q = C x + C x + C x + C x + C x q = C x + C x + C x + C x + C x και επομένως ( 0) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) () 1 ( 0) ( 1) ( 2) ( 3) ( 2) ( 1) ( 0) ( 1) ( 2) ( 3) ( 2) ( 1) ( 0) ( 1) ( 4) ( 3) ( 2) ( 1) ( 0) 0 x x x x x C 2 0 x x x x x C 1 1= x x x x x C0 0 x x x x x C 1 0 x x x x x C 2 Δειγματοληπτωντας τη δοσμένη συνάρτηση (Θυμηθείτε x(n)=x(nt)) 35

9 και από την επίλυση προκύπτει: 0 1 1/5 1/17 1/37 1/65 C 2 0 1/5 1 1/5 1/17 1/37 C 1 1= 1/17 1/5 1 1/5 1/17 C0 0 1/37 1/17 1/5 1 1/5 C1 0 1/65 1/37 1/17 1/5 1 C C = ΕΞΙΣΩΤΗΣ ΜΕ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΜΙΣΟ ΣΥΜΒΟΛΟ N T q mt q m q m C x m n 2 n= N ( ) = 2 = ( 2 ) = n ( 2 ) Με βάση την αρχή επιβολής μηδενισμών: q(2m)=0, m=-n, -N+1,,-1,1,,N και q(0)=1 Και για Ν=2 ισχύει: 2 ( ) ( ) q 2m = C x 2 m n, m = 2:1:2 n= 2 n ( 4) ( 2) ( 0) ( 2) ( 0) q = C x + C x + C x + C x + C x q = C x + C x + C x + C x + C x q = C x + C x + C x + C x + C x q = C x + C x + C x + C x + C x q = C x + C x + C x + C x + C x και επομένως 36

10 ( 2) ( 3) ( 4) ( 5) ( 6) ( 0) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 2) ( 1) ( 0) ( 1) ( 2) ( 4) ( 3) ( 2) ( 1) ( 0) ( 6) ( 5) ( 4) ( 3) ( 2) 0 x x x x x C 2 0 x x x x x C 1 1 = x x x x x C 0 0 x x x x x C 1 0 x x x x x C 2 Δειγματοληπτωντας τη δοσμένη συνάρτηση (Θυμηθείτε x(n)=x(nt/2)) /10 1/17 1/26 1/ /2 1/5 1/10 1/17 C 1 1 = 1/5 1/2 1 1/2 1/5 C0 0 1/17 1/10 1/5 1/2 1 C1 0 1/37 1/26 1/17 1/10 1/5 C 2 και από την επίλυση προκύπτει: C = C 37

11 ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΟΥ ΕΞΙΣΩΤΗ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΟΥ Δεν αντιμετωπίζει καθόλου το θόρυβο!!! ΘΕΡΑΠΕΙΑ; ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΕΛΑΧΙ- ΣΤΟ ΜΕΣΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ (MINIMUM MEAN SQUARE ERROR),MMSE Δηλαδή οι συντελεστές του φίλτρου επιλέγονται έτσι ώστε τα δείγματα της εξόδου να δημιουργούν ακολουθία z(mt) με ελάχιστη τη μέση τετραγωνική διαφορά από την ακολουθία {α n } που έχει διαβιβαστεί. Με τον τρόπο αυτό οι συντελεστές επιλέγονται με στόχο την ε- λαχιστοποίηση της P e. {a n } Ισοδ. Διακρ. Φίλτρο Καναλιού {x n } {y n } Εξισωτής με 2Ν+1 συντελεστές {c n } {z n } L 2 ( ) = z( m) = c y( m n) y m n= L1 xnam n Στόχος o υπολογισμός των 2Ν+1 συντελεστών του εξισωτή ώστε να ελαχιστοποιηθεί το ε(c)= Ε[(z(m)-a m ) 2 ]. ε ( ) ( ) N n= N N 2 2 c = E ( z m am) = E cny( m n) a m n= N n ε(c)= όπου 38

12 ε(c) ε min c opt Στόχος να προσδιοριστεί το c opt. Για το σκοπό αυτό υπολογίζουμε: N ε = 2 cr n Y ( n k) 2 RAY ( k), k= 0, ± 1,..., ± N c k n= N Θέτοντας όλες τις μερικές παραγώγους =0 προκύπτει το πιο κάτω γραμμικό σύστημα: ( 0) ( 2 ) ( ) Ry Ry N c N RAY N = Ry( 2N) Ry( 0) c N RAY ( N) Βc=d Διάστημα Χρόνου Εκπαίδευσης Εξισωτή ( 0) ( 2 ) ( 2 ) ( 0) ( ) Ry Ry N c N RAY N = R N R c R N ( ) y y N AY Για να λειτουργήσει λοιπόν ο ΜΜSE εξισωτής απαιτείται για ένα αρχικό χρονικό διάστημα να διαβιβαστεί από τον πομπό γνωστή στο δέκτη ακολουθία συμβόλων {α n }. Ο δέκτης χρησιμοποιεί την ακολουθία λήψης {y n } για να υπολογίσει τις ακολουθίες {R y (n)}, n=0,1,,2n και {R AY (n)}, n=-ν,,0,,n και κατασκευάζει τον πίνακα Β και το διάνυσμα d. Επιλύεται το σύστημα και υπολογίζονται οι άριστες τιμές των συντελεστών. Διάστημα Χρόνου Εξίσωσης Σήματος Έχοντας τους άριστους συντελεστές ο εξισωτής λειτουργεί και εξουδετερώνει το μεγαλύτερο μέρος της ISI. = 39

13 ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΙ ΕΞΙΣΩΤΕΣ (ADAPTIVE EQUALIZERS) Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΠΙΟ ΑΠΟΤΟΜΗΣ ΚΑΘΟΔΟΥ (STEEPEST DESCENT ΜΕΘΟΔΟΣ) (Lucky 1965) Αν συμβολίσουμε με όταν έχουμε επιλέξει c=c k συντελεστές. g k =grad(ε(c)) c=c k Η επιλογή c κ+1 =c k - Δg k πλησιάζει περισσότερο προς το c opt, δηλαδή τη λύση του συστήματος. Βc=d Δ: ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ-ΒΑΘΜΙΔΟΣ Για k g k 0 και c k c opt Όμως πόσο είναι το g k? Αν θυμηθούμε: ε N = cr n Y ( n k) RAY ( k), k= 0, ± 1,..., ± N ck n= N g k =grad(ε(c)) c=c k =Βc k -d Επομένως c κ+1 =c k - Δ(Βc k -d) 40

14 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ GRADIENT Ή ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ LMS (Least Mean Square) Όταν η χαρακτηριστική του καναλιού μεταβάλλεται με το χρόνο με αποτέλεσμα να υπάρχει συνεχής μεταβολή στα d και Β, τότε τα R και R ) δεν παραμένουν σταθερά και καταφεύγουμε σε εκτιμήσεις για τα ˆ Y (n) ˆ AY (n g k, ck υπολογίζοντας τα ĝ k, ĉ k. Στην περίπτωση του Mean Square Error (MSE) μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι ι- σχύει η πιο κάτω πρόταση: (Widrow 1966) οπότε Αν συμβολίσουμε το διάνυσμα των συντελεστών στην k επανάληψη με τότε το σφάλμα εκτίμησης της {a n } ( c,, c, + 1,, c,,, c, ) c = k k N k N k n k N ( ) 2 k ( c ) ( ) ε k = E z k a ε c c c c 2 ( ck) = E ( z( k) a ) k = 2E ( z( k) ak) ( z( k) ak) = 2E ( z( k) ak) z( k) kn, kn, kn. kn. Θυμηθείτε ότι z(k)-a k =e k και ότι N z k c y k n z k y k n ( ) = ( ) ( ) = ( ) kn, n= N ckn. T και επομένως kn, και τελικά: ε k = E ey k k n n= N Nek = ak z k c ( c ) 2 ( ),,...,, ( ) 41

15 y( k+ N) ( + N 1) y k g = ε ( ck) = 2Ee k = 2E e y y( k N + 1) y( k N) [ ] k k και επομένως c k+1 =c k +ΔΕ[e k y k ] όπου y k =[y k+n, y k+n-1,, y k-n ] T είναι το διάνυσμα που περιέχεται στον καταχωρητή του φίλτρου του εξισωτή τη στιγμή kτ και e k =α k -z k Αντί του Ε[e k y k ] μπορεί να χρησιμοποιηθεί με επιτυχία το e k y k και τελικά οι συντελεστές του φίλτρου προσδιορίζονται από τον επαναληπτικό τύπο c k+1 =c k +Δ e k y k 42

16 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΞΙΣΩΤΗΣ ΒΑΣΙ- ΣΜΕΝΟΣ ΣΤΟ ΜSΕ (LMS) Ανάγκη Αρχικής Εκπαίδευσης! με γνωστή εκ των προτέρων ψευδοτυχαία ακολουθία πλατών {a n } e k = αˆ k -z k c k+1,n = c k,n +Δe k y k,-n n=-n,-n+1,,0,,n 43

17 ΜΙΑ ΚΑΛΗ ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΟΥ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΗΣ ΒΑΘΜΙΔΑΣ Δ ΕΙΝΑΙ: ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΙ ΕΞΙΣΩΤΕΣ ADAPTIVE EQUAALIZERS 44

18 ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΞΙΣΩΤΗΣ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΟΥ ΣΕ ΜΗΔΕΝΙΣΜΟΥΣ Åßóïäïò y k ÖùñáôÞò ã k îïäïò k T T T T g k,n =E[( αˆ k -y k ) αˆ k N n + ] 45

19 ISI STO ΠΕΔΙΟ ΤΩΝ ΧΡΟΝΩΝ Κανάλι 1 Κανάλι 2 ΠΟΙΟΣ ΤΥΠΟΣ ISI ΕΊΝΑΙ ΠΙΟ ΕΝΤΟΝΟΣ? 46

20 ISI STO ΠΕΔΙΟ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Κανάλι 1 Κανάλι 2 47

21 ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΜΕ MSE ΕΞΙΣΩΤΗ Κανάλι 2 Κανάλι 1 48

22 ΕΞΙΣΩΤΗΣ ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗΣ ΑΠΟΦΑΣΗΣ DECISION-FEEDBACK EQUALIZER (DFE) Οι τιμές των προηγούμενων συμβόλων επιστρέφουν για να διορθώσουν την ISI που αυτά τα ίδια δημιούργησαν! ανατροφοδότηση: ΕΞΙΣΩΤΗΣ ΜΕ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΥΜΒΟΛΟΥ (Symbol Spaced Equalizer) πρόσθια τροφοδότηση: ΕΞΙΣΩΤΗΣ ΜΕ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΚΛΑΣΜΑ ΣΥΜΒΟΛΟΥ ((Fractionally Spaced Equalizer) 49

23 ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥ DFE μετάδοση σφάλματος σύγκριση ML και DFE 50

24 ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΠΟΛΥΠΛΕΞΙΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ORTHOGONAL FREQUENCY DIVISION MULTIPLEXING (OFDM) (ΣΥΝΗΘΗΣ) ΠΟΛΥΠΛΕΞΙΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ 51

25 ΔΙΑΜΟΡΦΩΤΗΣ-ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΤΗΣ QAM ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΑΒΙΒΑ- ΣΗ 2 ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ m 1 (t),m 2 (t) Α 1 g(t) A c cos 2πf c t QAM u(t) i u(t)=a 1 g(t)a C cos(2πf C t)+ A 2 g(t)a C sin(2πf C t) 0<=t<=T όπου Α 1 =-2Μ 1 +1, -2Μ 1 +3,,-1,1,,2Μ 1-3, 2Μ 1-1 Α 2 =-2Μ 2 +1, -2Μ 2 +3,,-1,1,,2Μ 2-3, 2Μ 2-1 ή u(t)=real{x(t)e j2πfct }, x(t)=xa C g(t) όπου Χ=A 1 +ja 2 Α 2 g(t) f c ΔΙΑΜΟΡΦΩΤΗΣ-ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΤΗΣ QAM ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΑΒΙΒΑ- ΣΗ 2 ΚΑΝΑΛΙΩΝ ΜΕ ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ. Χ=A 1 +ja 2 Διαμορφωτής QAM u i (t) f ci 52

26 ΠΟΛΥΠΛΕΞΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ QAM ΜΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΕΣ ΦΕΡΟΥΣΕΣ Επιλέγοντας συχνότητες f Ci =f i =i Δf μπορούμε να λάβουμε g(t)=1 0<=t<=T και να δημιουργήσουμε το πιο κάτω σύστημα: X 1=A1 u 1 (t) ΣΥΣΤΗΜΑ PAM X 1 =A 21 +ja 22 Διαμορφωτής QAM u 2 (t) Σ X ΚΑΝΑΛΙ X 1 =A K1 +ja K2 Διαμορφωτής QAM u K (t) ΦΕΡΟΝ (ΥΨΗΛΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ) f 1 f 2 f K ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Ισχύει: T 1/2 όταν i = j και φi = φ j cos i i j j dt = 0 όταν i j 0 Με βάση την πιο πάνω σχέση τα πολυπλεγμένα συστήματα QAM μπορούν να διαχωριστούν στον δέκτη με ένα σύστημα όπως το ακόλουθο: ( 2πf t + φ ) cos( 2πf t + φ ) 53

27 ΒΕΛΤΙΣΤΟ ΦΙΛΤΡΟ ΛΗΨΗΣ A 1 cos(2πf 2 t) X X ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΔΕΙΓΜΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΔΕΙΓΜΑ A 21 A 22 X sin(2πf 2 t) ΦΕΡΟΝ (ΥΨΗΛΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ) cos(2πf κ t) X X sin(2πf κ t) ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΔΕΙΓΜΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΔΕΙΓΜΑ A κ1 A κ2 54