8 η Διάλεξη Ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία, φαινόμενα συμβολής, περίθλαση

Transcript

1 11//17 8 η Διάλεξη Ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία, φαινόμενα συμβολής, περίθλαση Φίλιππος Φαρμάκης Επ. Καθηγητής 1 Ηλεκτρομαγνητισμός Πως συνδέονται ο ηλεκτρισμός με τον μαγνητισμό; Πως παράγονται τα κύματα; Τι σχέση έχει το φως με τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα; 1

2 11//17 Οι εξισώσεις του Maxwell Νόμος του Gauss (ηλεκτρισμός) Ολοκληρωτική μορφή! Ε $ dα = Q ε * Διαφορική μορφή $ Ε = ρ ε * E, το ηλεκτρικό πεδίο (διάνυσμα) Α, η επιφάνεια (διάνυσμα) Q, το ηλεκτρικό φορτίο ρ, η πυκνότητα του φορτίου ε0, η διηλεκτρική σταθερά του κενού Η συνολική ηλεκτρική ροή που διέρχεται από οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια εξαρτάται γραμμικά από το συνολικό φορτίο που περικλείει η επιφάνεια Το φορτίο δημιουργεί ηλεκτρικό πεδίο γύρω του 3 Οι εξισώσεις του Maxwell Νόμος του Gauss (μαγνητισμός) Ολοκληρωτική μορφή! Β $ dα = 0 Διαφορική μορφή $ Β = 0 Β, το μαγνητικό πεδίο (διάνυσμα) Α, η επιφάνεια (διάνυσμα) Η συνολική μαγνητική ροή που διέρχεται από οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια είναι μηδενική Δεν υπάρχουν μαγνητικά φορτία (μόνο δίπολα) 4

3 11//17 Οι εξισώσεις του Maxwell Εξίσωση Maxwell Faraday Ολοκληρωτική μορφή Διαφορική μορφή! E $ dl = d dt 3 B $ da = dφ 7 dt Ε = B t Η μεταβολή του μαγνητικού πεδίου (της μαγνητικής ροής) προκαλεί μη-συντηρητικό ηλεκτρικό πεδίο 5 Οι εξισώσεις του Maxwell Εξίσωση Ampère-Maxwell Ολοκληρωτική μορφή Διαφορική μορφή d! B $ dl = μ * 3 J $ da + μ * ε * dt 3 E $ da = μ dφ > *I + μ * ε * dt B = μ * J + ε * E t Το ηλεκτρικό ρεύμα (και το ρεύμα μετατόπισης) δημιουργεί κάθετα στο επίπεδο διάδοσής του μαγνητικού πεδίου 6 3

4 11//17 Εξισώσεις στο κενό Πως παρουσιάζονται οι εξισώσεις στο κενό (χωρίς φορτία, ρεύματα, κλπ )! Ε $ dα = Q ε *! Β $ dα = 0 Στο κενό! Ε $ dα = 0! Β $ dα = 0! E $ dl = dφ 7 dt! B $ dl = μ * I μ * ε * dφ > dt! E $ dl = dφ 7 dt! B $ dl = μ * ε * dφ > dt Λύσεις; 7 Λύσεις των εξισώσεων Οι λύσεις είναι Ø E = E B cos kx ωt j Ø B = B B cos kx ωt z y( x, t) 1 = x v y( x, t) t 8 4

5 11//17 Χαρακτηριστικά κύματος Χαρακτηριστικά συνημιτονοειδούς κύματος Τ περίοδος Ταχύτητα διάδοσης, c E = E B cos kx ωt Σε συγκεκριμένο σημείο του χώρου ω: γωνιακή συχνότητα (χρονικός ρυθμός μεταβολής της φάσης) Τ: περίοδος (χρόνος για την εκτέλεση ενός κύκλου, Τ=π/ω) Σε συγκεκριμένο χρονικό σημείο k: κυματάριθμος (ρυθμός μεταβολής της φάσης με την απόσταση) λ: μήκος κύματος (απόσταση που διανύεται σε ένα πλήρη κύκλο, λ=π/k) 9 Χαρακτηριστικά κύματος Συμβολίζοντας τη φάση ως φ, τότε ισχύει φ = ω(t x c ) τότε k = φ x = ω c Από εκεί προκύπτουν και οι γνωστές σχέσεις ω= QRS T λ= cτ ή ν= V W Όπου ν η συχνότητα 10 5

6 11//17 Χαρακτηριστικά κύματος Για δύο κύματα που έχουν μεταξύ τους διαφορά φάσης Δφ Διαφορά φάσης (μονάδες γωνίας, rads) r -r 1 Διαφορά οπτικού δρόμου (μονάδες μήκους) λ (μονάδες μήκους) π (μονάδες γωνίας) Διαφορά φάσης π = Διαφορά οπτικού δρόμου λ ή Δφ = π λ r Q r^ = k r Q r^ 11 Φάσμα ηλεκτρομαγνητικού κύματος Μήκος κύματος συχνότητα 1 6

7 11//17 Χαρακτηριστικά κύματος Μέτωπο κύματος: Κάθε σημείο του μετώπου κύματος μπορεί να θεωρηθεί ως πηγή μικρών κυματιδίων που μεταδίδονται μπροστά με την ίδια ταχύτητα του κύματος. Το νέο μέτωπο κύματος είναι η περιβάλλουσα (η εφαπτόμενη) όλων των κυματιδίων (Αρχή Huygens) Σύμφωνα κύματα - όταν έχουν την ίδια συχνότητα και σταθερή διαφορά φάσης (χωρική και χρονική συμφωνία) - Π.χ. το φως ενός laser, των αστεριών, κλπ. 13 Πείραμα σχισμής Όσο μικρή η σχισμή (πλησιάζει το μήκος κύματος της ακτινοβολίας), τόσο η ακτίνα θα «ανοίγει» μετά τη σχισμή Μεγάλη σχισμή Μικρή σχισμή E = E * cos (kr ωt) r 14 7

8 11//17 Πείραμα δύο σχισμών Πείραμα δύο σχισμών του Young 15 Πείραμα δύο σχισμών ακόμα και αν ρίχνουμε φωτόνιο-φωτόνιο στο στόχο 16 8

9 11//17 Όταν γνωρίζουμε από ποια σχισμή περνούν τα ηλεκτρόνια (ή φωτόνια) τότε μας δείχνουν σωματιδιακή συμπεριφορά!! Ανιχνευτής Ανιχνευτής 17 Συμβολή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας Υπολογισμός των μέγιστων και ελάχιστων E`,^ = E * cos (kr^ ωt) r^ E`,Q = E * cos (kr r Q ωt) Q E` = E`,^ + E`,Q E * r cos kr^ ωt + cos kr Q ωt Γνωρίζοντας ότι A + B cos A + cos B = cos cos A B Στη θέση P, το νέο κύμα είναι E` = E * r cos k r Q r^ cos kr Q + kr^ ωt Πλάτος που εξαρτάται από τη διαφορά φάσης kr - kr

10 11//17 Συμβολή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας Υπολογισμός των μέγιστων και ελάχιστων Όταν r, r 1 και r >>d Εποικοδομητική συμβολή: Καταστροφική συμβολή: δ = m $ λ δ = (m + 1 ) $ λ m Z Υπολογίστε τις θέσεις του μέγιστου y m 19 Συμβολή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας Ένταση του πεδίου Εξαρτάται από το τετράγωνο του πλάτους του κύματος I E * r Q cos Q k r Q r^ = E * r Q cos Q k dsinθ = E * r Q cos Q πdsinθ λ Σε ποιες γωνίες θα εμφανίζονται τα μέγιστα και τα ελάχιστα της έντασης; 0 10

11 11//17 Συμβολή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας Εναλλακτικός (διανυσματικός) τρόπος υπολογισμού y Το νέο κύμα που θα προκύψει θα έχει μέτρο Ε P Ε P Ε P E B = E`^ Q + E`Q Q + E`^ E`Q cos kr Q kr^ αν Ε`^ = Ε`Q = E * r kr -ωt E P1 kr 1 -ωt x η φάση θα είναι και το πλάτος E B = E * r kr Q kr^ (1 + cos kr Q kr^ ) E B = E * r cos kr Q kr^ 1 Συμβολή πολλών πηγών Ας θεωρήσουμε ότι έχουμε 4 σχισμές E= E1+ E + E3+ E = E 4 1, + E3,4 ~ cos 1 kdsinθ cos kr^,q ωt + cos 1 kdsinθ cos (kr p,q ωt) r 3,4 = 4cos(kr tuv ωt)cos πdsinθ/λ cos (πdsinθ/λ) r 1, I P µ E 11

12 11//17 Για N σχισμές Συμβολή πολλών πηγών N = 8 N = 16 N = 3 Φωτεινή κορυφή κάθε sin θ = mλ m Z d Για N σχισμές φωτεινές θα είναι κάθε N-1 Όταν είναι πολλές οι σχισμές ονομάζεται φράγμα περίθλασης. Ερώτηση: η γωνία στην οποία θα έχει τη μέγιστη ισχύ από τί άλλο εξαρτάται; 3 ml1 sinq1 = d ml sinq = d Συμβολή πολλών πηγών Η γωνία εξαρτάται από το μήκος κύματος Μπορεί να αποδειχθεί ότι το πλάτος των κορυφών είναι περίπου λ λ 1 l D ( sinq ) = dn Ενώ η διαφορά των κορυφών ανάμεσα σε διαφορετικά μήκη κύματος ( Dl ) m D ( sinq ) = d Για να διακρίνουμε τις δύο κορυφές μεταξύ τους (διακριτική ικανότητα) mδλ d > λ dn mn > λ Δλ 4 1

13 11//17 Φράγμα περίθλασης Αξιοποίηση σε φράγματα περίθλασης Φράγμα διέλευσης Φράγμα ανάκλασης 5 Περίθλαση Τι συμβαίνει στην περίπτωση σχισμής μεγαλύτερης από το μήκος κύματος της ακτινοβολίας (αλλά κοντά στην τάξη μεγέθους του); Θεωρείστε πολλές πηγές φωτός που απέχουν μικρές αποστάσεις μεταξύ τους a x r = r tuv + xsinθ E~ cos kr ωt = cos (kr tuv + kxsinθ ωt) r E~ t/q ~ cos kr tuv + kxsinθ ωt dx t/q r ave E~ 1 ksinθ sin kr tuv + 1 kasinθ ωt sin(kr tuv 1 kasinθ ωt) ~ sin 1 kasinθ 1 ksinθ cos kr tuv ωt 6 P 13

14 11//17 Περίθλαση I ésin 1 ( kasinq ) ù = Imax ê 1 ú kasinq ë û I ésin sinq = ml a dark ( pasinq l) ù = Imax ê ú ë pasinq l û m Z Μοιάζει με την εξίσωση των δύο σχισμών με τη διαφορά ότι: - Το d αντικαταστάθηκε με το α - Τα ακέραια πολλαπλάσια είναι σκοτεινά σημεία Υπολογίστε για γωνία θ=0 την ένταση της ακτινοβολίας 7 Συμβολή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας Εναλλακτικός (διανυσματικός) τρόπος υπολογισμού E 8 14

15 11//17 Περίθλαση και συμβολή πολλαπλών σχισμών Συμβολή από πολλαπλές σχισμές Περίθλαση από μία οπή sinq = dark sinq = ml a bright ml d Όταν οι γωνίες είναι μικρές τότε x = tanθ = sinθ L x x bright Ll» m d L x dark Ll» m a 9 Παράδειγμα συμβολής Παράδειγμα μέτρησης πάχους υμενίων Οι δύο ανακλώμενες θα έχουν διαφορά φάσης μεταξύ τους π+l και θα ισχύει l ln = m + 1 λ Ενισχυτική συμβολή ln = mλ Καταστρεπτική συμβολή n είναι ο δείκτης διάθλασης του υλικού 30 15

16 11//17 Περίθλαση ακτίνωνχ Περίθλαση ακτίνων Χ dcosq = ml q q d 31 16