ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής."

Transcript

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL Το πακέτο Excel είναι ένα πρόγραμμα φύλλου εργασίας (spreadsheet) με το οποίο μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς και διαγράμματα που είναι χρήσιμοι στα οικονομικά. Στο Excel το φύλλο εργασίας χωρίζεται σε γραμμές και στήλες. Οι στήλες έχουν τα ονόματα A, B, C,..., και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής. Στην συνέχεια μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το εικονίδιο «οδηγός γραφημάτων» για να κατασκευάσουμε ένα διάγραμμα. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να παραστήσουμε τις δυο σειρές στο ίδιο διάγραμμα. Αρχίζουμε μαρκάροντας και τις δυο σειρές με το mouse και από τον οδηγό γραφημάτων εμφανίζονται οι ακόλουθες επιλογές. 1

2 Είναι δυνατόν όπως φαίνεται να έχουμε μια σειρά από διαγράμματα, όπως πχ γραμμές, ράβδοι, διασπορά κλπ. Επιλέγουμε Γραμμές και στην συνέχεια εμφανίζονται οι διαφορετικοί τύποι αυτού του διαγράμματος. Μπορούμε να επιλέξουμε τον τύπο που φαίνεται παραπάνω ώστε να εμφανίζονται οι σειρές και στο κάθε σημείο να υπάρχει ένα τετραγωνάκι. Με την επιλογή Επόμενο φαίνεται μια προεπισκόπηση του διαγράμματος. 2

3 Με τις επιλογές Επόμενο και Τίτλοι μπορούμε να ορίσουμε τα ονόματα που θέλουμε να έχουμε στους άξονες, έναν τίτλο για το διάγραμμα κοκ. Δίνουμε λοιπόν τα ακόλουθα στοιχεία. 3

4 Με την επιλογή Τέλος το διάγραμμα εμφανίζεται στο φύλλο εργασίας μας. 4

5 Τα μαύρα τετραγωνάκια που εμφανίζονται γύρω από το διάγραμμα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αλλάξουμε τις διαστάσεις τους, να το μετακινήσουμε σε οποιοδήποτε σημείο του φύλλου εργασίας κλπ. Με την επιλογή Επεξεργασία και Αντιγραφή μπορούμε να αντιγράψουμε το διάγραμμα, στην συνέχεια να πάμε στο Word και να ενσωματώσουμε το διάγραμμα σε ένα υπάρχον κείμενο ή σε ένα νέο αρχείο. Το ίδιο μπορεί να γίνει και σε οποιοδήποτε άλλο πρόγραμμα των Windows. Ένας άλλος χρήσιμος τύπος διαγράμματος είναι η Διασπορά (ΧΥ) η οποία μας επιτρέπει να παραστήσουμε διαγραμματικά την μια σειρά σε σχέση με την άλλη. Μπορούμε να κάνουμε ένα κλικ στο διάγραμμα που ήδη υπάρχει στο φύλλο εργασίας και να πατήσουμε το πλήκτρο Del(ete) για να διαγραφεί. Στην συνέχεια μαρκάρουμε και πάλι τις σειρές, χρησιμοποιούμε τον «Οδηγό Γραφημάτων» και επιλέγουμε «Διασπορά (ΧΥ)» οπότε εμφανίζεται η ακόλουθη οθόνη επιλογών. Μαρκάρουμε την επιλογή που φαίνεται και πατώντας «Επόμενο» βλέπουμε την ακόλουθη προεπισκόπηση. 5

6 Στην συνέχεια μπορούμε να επιλέξουμε «Τέλος» και να έχουμε την τελική μορφή του διαγράμματος στο φύλλο εργασίας μας. 6

7 Μια άλλη χρήσιμη μορφή διαγράμματος μπορεί να είναι οι πίτες δεδομένων. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να εμφανίζουμε την πρώτη σειρά σε διάγραμμα πίτας. Μαρκάρουμε την σειρά αυτή και από τον «Οδηγό Γραφημάτων» επιλέγουμε «Πίτα» με τον ακόλουθο τύπο διαγράμματος. Στην συνέχεια επιλέγουμε «Επόμενο» δυο φορές, «Ετικέτες δεδομένων» και έχουμε την εξής κατάσταση. Ε 7

8 Με την επιλογή «Τέλος» έχουμε το τελικό διάγραμμα ως εξής. Μπορείτε να εξοικειωθείτε με τους υπόλοιπους τύπους διαγραμμάτων και να επιλέξετε εύκολα εκείνους που θα είναι πιο κατάλληλοι για την εφαρμογή σας. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΜΕΤΡΩΝ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε βασικά στατιστικά μέτρα όπως πχ ο μέσος και η διακύμανση ή τυπική απόκλιση της πρώτης σειράς, ο συντελεστής συσχέτισης των δυο σειρών κλπ. Καταρχήν πρέπει να επιλέξουμε την θέση στην οποία θα εμφανισθεί ο μέσος αριθμητικός όπως φαίνεται πχ στην επόμενη οθόνη. 8

9 Στην συνέχεια μαρκάρουμε την πρώτη σειρά με το mouse και χρησιμοποιούμε το πλήκτρο «fx» ή «Επικόλληση συνάρτησης» από την γραμμή εργαλείων. Πολλές συναρτήσεις είναι διαθέσιμες στο πακέτο, πράγμα που το κάνει πολύ χρήσιμο σε στατιστικές και άλλες αναλύσεις. Μετά την επιλογή έχουμε την ακόλουθη οθόνη. 9

10 αφού επιλέξουμε τις «Στατιστικές» συναρτήσεις και την συνάρτηση «AVERAGE» για την οποία εμφανίζεται και βοήθεια στο κάτω μέρος της οθόνης. Επιλέγοντας ΟΚ έχουμε την επόμενη οθόνη. 10

11 Στην οθόνη αυτή μας ζητείται να προσδιορίσουμε την σειρά για την οποία θέλουμε να υπολογίσουμε τον μέσο. Καταρχήν απομακρύνουμε τον πίνακα από την μέση κάνοντας ένα κλικ στο εσωτερικό του και τραβώντας το mouse προς την θέση στην οποία θέλουμε να μεταφερθεί ο πίνακας. 11

12 Στην συνέχεια μαρκάρουμε την σειρά που θέλουμε και αφήνουμε το mouse όταν έχουμε επιλέξει τα κελιά που μας ενδιαφέρουν οπότε εμφανίζονται στον πίνακα τα κελιά που επιλέξαμε. 12

13 Αυτά είναι τα κελιά Α1 έως Α5 όπως πρέπει. Το αποτέλεσμα είναι 18,6 όπως φαίνεται στην προεπισκόπηση και αν επιλέξουμε ΟΚ θα δούμε ότι μεταφέρεται στην θέση που θέλουμε με αποτέλεσμα να έχουμε την ακόλουθη οθόνη. 13

14 Ας υποθέσουμε ότι ακριβώς από κάτω θέλουμε να εμφανίσουμε την τιμή της τυπικής απόκλισης. Η συνάρτηση που θέλουμε είναι η STDEV (standard deviation) όπως στην παρακάτω οθόνη. 14

15 Αν ακολουθήσουμε την ίδια διαδικασία όπως και στην περίπτωση του μέσου έχουμε το εξής αποτέλεσμα. 15

16 Για να υπολογίσουμε τον συντελεστή συσχέτισης ακριβώς από κάτω πρέπει να χτησιμοποιήσουμε την συνάρτηση CORREL όπως στην επόμενη οθόνη. 16

17 Αν επιλέξουμε ΟΚ εμφανίζεται ένας πίνακας στον οποίο πρέπει να ορίσουμε ποιες δυο σειρές πρέπει να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό. Στην θέση «Array1» μαρκάρουμε την πρώτη σειρά και στην θέση «Array2» μαρκάρουμε την δεύτερη σειρά οπότε έχουμε την εξής κατάσταση. 17

18 Με την επιλογή ΟΚ το αποτέλεσμα είναι όπως φαίνεται παρακάτω. 18

19 ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΤΟΥ ΜΕΣΟΥ Από την στατιστική είναι γνωστό ότι το διάστημα εμπιστοσύνης του μέσου είναι X ± Z1 α / 2 S N όπου X είναι ο μέσος αριθμητικός του δείγματος, S είναι η τυπική απόκλιση, N είναι το μέγεθος του δείγματος και Z 1 α / 2 η κριτική τιμή της τυπικής κανονικής κατανομής σε επίπεδο σημαντικότητας α. Για μικρά δείγματα χρησιμοποιείται η κριτική τιμή της κατανομής Student-t με N 1 βαθμούς ελευθερίας. Το πακέτο S υπολογίζει την τιμή Z1 α / 2 για οποιοδήποτε επίπεδο σημαντικότητας α. Η N συνάρτηση που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε είναι η CONFIDENCE της οποίας ο πίνακας εμφανίζεται στην επόμενη οθόνη. Στην επιλογή Alpha ορίζουμε το επίπεδο σημαντικότητας να είναι 0,07. Στην επιλογή Standard_dev ορίζουμε την τυπική απόκλιση. Αυτό μπορεί να γίνει αν απλά κάνουμε ένα κλικ στο κελί Α8 στο οποίο την έχουμε ήδη υπολογίσει. Στην επιλογή Size ορίζουμε το μέγεθος του δείγματος, δηλαδή 5 και έχουμε τα ακόλουθα. 19

20 Το αποτέλεσμα όπως φαίνεται είναι 7,657 πράγμα που σημαίνει ότι το διάστημα εμπιστοσύνης είναι 18,6 ± 7, 657. ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΟΥ ΜΕΣΟΥ Ο έλεγχος της υπόθεσης ότι ο μέσος του πληθυσμού ισούται με μια ορισμένη τιμή, πχ H : µ 8 μπορεί να γίνει με την συνάρτηση ZTEST όπως στην επόμενη οθόνη. 0 = 20

21 Οι επιλογές για την συνάρτηση αυτή είναι όπως στην επόμενη οθόνη. 21

22 Στην θέση Array έχουμε μαρκάρει τα κελιά που αποτελούν το δείγμα μας. Στην θέση Χ πρέπει να δώσουμε την τιμή που ελέγχουμε (πχ 8). Την επόμενη θέση αφήνουμε κενή για να δηλώσουμε ότι η τυπική απόκλιση σ του πληθυσμού είναι άγνωστη και επομένως πρέπει να εκτιμηθεί με την τυπική απόκλιση του δείγματος S. Το αποτέλεσμα του ελέγχου είναι σε όρους της πιθανότητας ή τιμής p του ελέγχου που είναι p = Η τιμή αυτή είναι το ελάχιστο επίπεδο σημαντικότητας στο οποίο μπορούμε να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση. Επομένως σε α = 0, 05 μπορούμε να απορρίψουμε και να πούμε ότι ο μέσος δεν είναι 8. Αν ελέγχαμε την τιμή µ = 15 θα είχαμε Επομένως μπορούμε να απορρίψουμε την H 0 : µ = 15 μόνο σε επίπεδα σημαντικότητας μεγαλύτερα του 0,197. Πχ σε επίπεδο 0,05 ή 0,10 δεν μπορούμε να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση. ΕΛΕΓΧΟΣ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΔΥΟ ΜΕΣΩΝ Ένας άλλος έλεγχος που μπορεί να μας ενδιαφέρει είναι αν δυο δείγματα προέρχονται από πληθυσμούς με τον ίδιο μέσο. Η μηδενική υπόθεση που θέλουμε να ελέγξουμε είναι H 0 : µ 1 = µ 2 με δικατάληκτη εναλλακτική. Η πιο γενική και ρεαλιστική υπόθεση που μπορούμε να κάνουμε είναι ότι οι διακυμάνσεις των δυο πληθυσμών είναι άγνωστες και δεν είναι υποχρεωτικά ίσες. Η συνάρτηση που θα χρησιμοποιήσουμε λέγεται TTEST και έχει ως εξής. 22

23 Με την επιλογή ΟΚ έχουμε την ακόλουθη οθόνη. 23

24 Στις θέσεις Array1 και Array2 μαρκάρουμε τα δυο δείγματα, στην θέση Tails δίνουμε 2 όταν έχουμε δικατάληκτη εναλλακτική και στην θέση Type δίνουμε 3 για να δηλώσουμε ότι έχουμε πληθυσμούς με πιθανώς άνισες διακυμάνσεις τις οποίες δεν γνωρίζουμε και επομένως θα πρέπει να εκτιμηθούν. Το αποτέλεσμα του ελέγχου είναι σε όρους της τιμής p όπως και στον έλεγχο του μέσου και το αποτέλεσμα είναι 6 9,64E 06 που σημαίνει 9, Κατά συνέπεια πρέπει να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση της ισότητας των δυο μέσων αν έχουμε κάποιο λογικό επίπεδο σημαντικότητας, πχ 0,01 ή 0,05 κλπ. ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΥΟ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΩΝ 2 2 Ο έλεγχος ότι οι διακυμάνσεις δυο πληθυσμών είναι ίδιες, δηλαδή H0 : σ 1 = σ 2 γίνεται με την στατιστική F και η συνάρτηση που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε είναι η FTEST. Στην συνάρτηση αυτή πρέπει να δώσουμε τα δυο δείγματα και τα αποτελέσματά της φαίνονται στον επόμενο πίνακα. Από την τιμή p η οποία είναι 0,8811 είναι σαφές ότι δεν μπορούμε να απορρίψουμε την υπόθεση ισότητας των διακυμάνσεων σε λογικά επίπεδα εμπιστοσύνης, πχ 0,01 ή 0,05 κλπ. ΚΡΙΤΙΚΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Μια χρήσιμη ιδιότητα του πακέτου είναι ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των κριτικών τιμών οποιασδήποτε κατανομής και επομένως με αυτό τον τρόπο δεν είναι ανάγκη να καταφεύγουμε σε πίνακες. 24

25 Ας υποθέσουμε ότι Z έχει την τυπική κανονική κατανομή N (0,1), δηλαδή έχει μέσο µ = 0 και διακύμανση σ 2 = 1 και θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα p ( Z < 1,96). Θα χρησιμοποιήσουμε την συνάρτηση NORMDIST και έχουμε την ακόλουθη οθόνη. Το αποτέλεσμα είναι 0,975. Αυτό είναι λογικό γιατί ξέρουμε ήδη από τον έλεγχο του μέσου ότι η κριτική τιμή είναι 1,96 σε επίπεδο εμπιστοσύνης 0,05. Μοιράζοντας αυτό το 0,05 στις δυο ουρές της κατανομής προκύπτει ότι μέχρι την κριτική τιμή 1,96 πρέπει να υπάρχει μάζα 0,975 ή 97,5%. Ένα άλλο παράδειγμα είναι ο υπολογισμός της πιθανότητας P ( X < 17) όταν η X έχει μια κανονική κατανομή με μέσο µ = 20 και τυπική απόκλιση σ = 4. Το αποτέλεσμα και οι απαιτούμενες εισροές στην συνάρτηση φαίνονται στην επόμενη οθόνη. 25

26 Πρέπει να είναι σαφές ότι η συνάρτηση NORMDIST είναι περισσότερο χρήσιμη από τους πίνακες. Οι πίνακες αναφέρονται σε μια τυπική κανονική κατανομή ενώ η συνάρτηση μπορεί να υπολογίσει πιθανότητες για οποιαδήποτε κανονική κατανομή με αυθαίρετες τιμές των µ και σ. Στην συνέχεια ας υπολογίσουμε ότι θέλουμε την κριτική τιμή της κατανομής Studentt με 4 βαθμούς ελευθερίας. Η συνάρτηση που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε είναι η TDIST και οι εισροές μαζί με το αποτέλεσμα φαίνονται στην επόμενη οθόνη. 26

27 Στην πραγματικότητα η συνάρτηση επιστρέφει την τιμή 1 P ( Tν < t) όπου T ν είναι τυχαία μεταβλητή με την κατανομή Student-t και ν βαθμούς ελευθερίας. Το αποτέλεσμα είναι 0,12155 και επομένως P( T ν < t) = 1 0,12155 = 0, Στην συνέχεια έστω ότι Y ~ χ 2 ( ν ). Η πιθανότητα P ( Y < 10) όταν ν = 7 μπορεί να υπολογισθεί με την συνάρτηση CHIDIST όπως στην ακόλουθη οθόνη. 27

28 Η πιθανότητα που θέλουμε είναι 1-0,18857=0, Παρόμοια μπορούμε να υπολογίσουμε κριτικές τιμές της F κατανομής με την εντολή FDIST. Η κατανομή έχει δυο παραμέτρους βαθμών ελευθερίας, ν 1 και ν 2. Αν οι βαθμοί ελευθερίας είναι 6 και 11 αντίστοιχα, Q έχει την κατανομή F 6, 11 και θέλουμε την πιθανότητα P ( Q < 4) οι εισροές και το αποτέλεσμα της συνάρτησης φαίνονται στην επόμενη οθόνη. 28

29 Η ζητούμενη πιθανότητα είναι 1-0,02265=0,977. Εναλλακτικά, το πακέτο μας δίνει 2 απευθείας την πιθανότητα P ( Q > 4). Αυτό ισχύει για τις κατανομές t, χ και F. Είναι επίσης δυνατόν να χρησιμοποιήσουμε τις αντίστροφες αυτών των συναρτήσεων. Πχ αντί να θέλουμε την πιθανότητα P ( Z < z) μπορεί να θέλουμε να προσδιορίσουμε σε ποια τιμή του z έχουμε P ( Z < z) = p, όπου p είναι μια δοσμένη τιμή. Πχ στον έλεγχο του μέσου μας ενδιέφερε να προσδιορίσουμε σε ποια τιμή z έχουμε P ( Z < z) = 1 α / 2 όπου α ήταν ένα δεδομένο επίπεδο σημαντικότητας. Αν ορίσουμε Φ ( z ) = P( Z < z), δηλαδή την αθροιστική συνάρτηση κατανομής, είναι σαφές ότι η τιμή z για την οποία P ( Z < z) = p, ικανοποιεί = Φ 1 1 z ( π ) όπου Φ είναι η αντίστροφη αθροιστική συνάρτηση κατανομής. Εφόσον Φ( z π dt η αντίστροφη δεν μπορεί να προσδιορισθεί z ) = (2 ) 1/ 2 2 exp( t / 2) αναλυτικά αφού το ολοκλήρωμα δεν είναι γνωστό σε κλειστή μορφή. Για τον λόγο αυτό χρησιμοποιούνται αριθμητικές μέθοδοι για τον υπολογισμοί της συνάρτησης Φ και της αντίστροφής της. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε την τιμή z για την οποία P ( Z < z) = 0, 815. Η συνάρτηση που θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε είναι η NORMINV της οποίας οι εισροές και τα αποτελέσματα φαίνονται στην επόμενη οθόνη. 29

30 Είναι σαφές ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυθαίρετο μέσο και τυπική 2 απόκλιση. Αν πχ έχουμε X ~ N( µ, σ ) με µ = 15 και σ = 5, η τιμή x για την οποία έχουμε P ( X < x) = 0, 76 δίνεται με την ακόλουθη εξειδίκευση. 30

31 Η τιμή αυτή θα είναι z = 18, 53. Παρόμοια μπορούμε να υπολογίσουμε τις αντίστροφες συναρτήσεις κατανομής άλλων κατανομών με τις εντολές TINV, CHIINV και FINV. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΣΕ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ Το μεγάλο πλεονέκτημα των υπολογισμών σε spreadsheets είναι ότι από την στιγμή που ορίσουμε κάποιους υπολογισμούς, αν αλλάξουμε κάποια τιμή τότε ολόκληρο το φύλλο εργασίας τροποποιείται λαμβάνοντας υπόψη αυτή την αλλαγή. Για να ορίσουμε ότι σε ένα κελί θα χρησιμοποιηθούν συναρτήσεις υπολογισμού χρησιμοποιούμε το σύμβολο της ισότητας (=). Σαν παράδειγμα ας αρχίσουμε από τις δυο μεταβλητές που έχουμε και ας υπολογίσουμε μια τρίτη, που θα είναι C = A + B. Πηγαίνουμε στο κελί C 1 και δίνουμε το σύμβολο =. Στην συνέχεια κάνουμε κλικ στο κελί A 1 και βλέπουμε να εμφανίζεται το σύμβολό του. Μετά δίνουμε + και μετά κάνουμε κλικ στο κελί B1 ώστε τελικά να έχουμε την εξής εικόνα. 31

32 Πατώντας enter εμφανίζεται στο κελί το αποτέλεσμα του υπολογισμού που είναι 89. Για να επαναλάβουμε αυτή την διαδικασία και για τα υπόλοιπα κελιά ακολουθούμε την εξής απλή διαδικασία. Στο κελί C 1 επιλέγουμε «Αντιγραφή» από την γραμμή εργαλείων. Μαρκάρουμε τα κελιά C 2 έως C 5 με το mouse. Επιλέγουμε «Επικόλληση» από την γραμμή εργαλείων. Στο τέλος αυτής της διαδικασίας έχουμε την επόμενη οθόνη στην οποία φαίνονται τα αποτελέσματα των υπολογισμών. 32

33 Στην συνέχεια ας δούμε πως μπορούμε να αξιοποιήσουμε τις δυνατότητες του πακέτου για να επιλύσουμε ένα μακροοικονομικό υπόδειγμα που έχει τις ακόλουθες εξισώσεις. Ct = , 25Y t I 2 + 0,2Y 1 0, 85 t = t = 1+ 0,40 t 1 G t Y Y t = Ct + It + Gt για t = 2,3,4,..., 20 με Y 40. R t 1 = Στο υπόδειγμα αυτό C t είναι η κατανάλωση του έτους t, Y t είναι το εισόδημα, Rt είναι το επιτόκιο, G t είναι οι δημόσιες δαπάνες. Θα υποθέσουμε ότι R t = 7. Αν αντικαταστήσουμε στον ορισμό του εισοδήματος όλες τις προηγούμενες εξισώσεις έχουμε Y 17,33 0,8 1 1, 133R t = + Yt t Αρχίζουμε με ένα νέο φύλλο εργασίας του Excel και δίνουμε στην στήλη Α τα στοιχεία για το επιτόκιο, δηλαδή μια σειρά που αποτελείται από τον αριθμό 7 για τα κελιά Α1 έως Α20. Μπορούμε απλά να δώσουμε το 7 στο κελί Α1 και μετά να επιλέξουμε την διαδικασία. 33

34 Δίνουμε enter και εμφανίζεται το αποτέλεσμα 41,399. Για να δημιουργήσουμε το εισόδημα των επόμενων περιόδων κάνουμε «Αντιγραφή» στο κελί Β2, επικόλληση στα επόμενα κελιά και έχουμε τα ακόλουθα αποτελέσματα. 34

35 Αν παραστήσουμε γραφικά την σειρά Y t θα έχουμε τα εξής αποτελέσματα. 35

36 Βλέπουμε πχ ότι αρχίζοντας από την αρχική τιμή 40 το εισόδημα αυξάνει προς την κατάσταση μακροχρόνιας ισορροπίας του. Στην συνέχεια θα κάνουμε μια συγκριτική δυναμική ανάλυση. Το ερώτημα που θα μας απασχολήσει είναι η σύγκριση τριών διαφορετικών πολιτικών επιτοκίου. Πολιτική 1. Το επιτόκιο αυξάνει σε 12% από την περίοδο 11 και μετά, δηλαδή έχουμε μια μόνιμη μεταβολή στα επιτόκια. Πολιτική 2. Το επιτόκιο αυξάνει σε 12% από την περίοδο 11 έως και την περίοδο 15 και μετά μειώνεται σε 10%. Πολιτική 3. Το επιτόκιο αυξάνει σε 12% μόνο για την περίοδο 11 και επανέρχεται στο 7% εφεξής, οπότε έχουμε μια παροδική μεταβολή στα επιτόκια. Για να δούμε τα αποτελέσματα της πολιτικής 1, αλλάζουμε τα επιτόκια στα κελιά Α11 ως Α15 σε 12 και βλέπουμε πως τροποποιείται η δεύτερη στήλη. Η γραφική παράσταση του εισοδήματος έχει ως εξής. 36

37 Βλέπουμε ότι το εισόδημα μειώνεται σαν αποτέλεσμα της αύξησης των επιτοκίων και όταν αυτά αρχίζουν να μειώνονται μετά την περίοδο 16 αρχίζει να αυξάνει και να συγκλίνει πάλι προς το επίπεδο μακροχρόνιας ισορροπίας. Για να δούμε τα αποτελέσματα της πολιτικής 2, αλλάζουμε τα κελιά ώστε να έχουμε την ακόλουθη εικόνα. 37

38 Τα αποτελέσματα φαίνονται στην ακόλουθη οθόνη. 38

39 Στην πρερίπτωση αυτή, το εισόδημα μειώνεται συνεχώς σαν αποτέλεσμα της μόνιμης αύξησης των επιτοκίων. Η πολιτική 3 μπορεί να εξετασθεί αν αλλάξουμε μόνον το κελί Α11 οπότε θα έχουμε τα εξής αποτελέσματα. Η παροδική μεταβολή προκαλεί μια μεγάλη μείωση στο εισόδημα το οποίο από την επόμενη περίοδο αρχίζει να αυξάνει και πάλι και να συγκλίνει στα επίπεδα της μακροχρόνιας ισορροπίας. ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Είναι δυνατόν με την βοήθεια του υπολογιστή να κατασκευάσουμε τυχαίους αριθμούς, δηλαδή τυχαία δείγματα από έναν ορισμένο πληθυσμό. Πχ για να κατασκευάσουμε τυχαία δείγματα από την ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα (0,1) με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας 1, f ( x) = 0, αν x (0,1) διαφορετικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την συνάρτηση RAND (). 39

40 Χρησιμοποιώντας Copy και Paste στα επόμενα 100 κελιά έχουμε: 40

41 Αν κατασκευάσουμε ένα ιστόγραμμα αυτής της σειράς (για να το κάνετε πρέπει να έχετε εγκατεστημένα το εργαλείο «Ανάλυση Δεδομένων» στο μενού «Εργαλεία») θα έχουμε την εξής εικόνα. Για να κατασκευάσουμε μια σειρά τυχαίων αριθμών από την κανονική κατανομή με 2 μέσο µ και διακύμανση σ ο γενικός τύπος είναι x = µ + σφ ( 1 u όπου u έχει την τυπική ομοιόμορφη κατανομή, Φ είναι η αθροιστική συνάρτηση 1 κατανομής της τυπικής κανονικής κατανομής και Φ είναι η αντίστροφη συνάρτηση. Η συνάρτηση αυτή είναι διαθέσιμη στην συνάρτηση NORMINV και έχουμε την ακόλουθη οθόνη. ) 41

42 Το ιστόγραμμα της σειράς φαίνεται στην ακόλουθη οθόνη. 42

43 Αυτό το ιστόγραμμα δεν απέχει πολύ από την κανονική καμπύλη και είναι με αυτήν ακριβώς την έννοια που οι τυχαίοι αριθμοί είναι «τυχαίοι»: Παρότι παράγονται με αιτιοκρατικούς τύπους εντούτοις τα ιστογράμματά τους προσεγγίζουν τις συναρτήσεις πυκνότητας των αντίστοιχων τυχαίων μεταβλητών. Επίσης θα περιμέναμε ο μέσος της σειράς στην στήλη Β να είναι κοντά στο μηδέν και η διακύμανση κοντά στην μονάδα. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Για να κάνουμε γραμμική παλινδρόμηση χρησιμοποιούμε την επιλογή «Ανάλυση Δεδομένων» από το μενού «Εργαλεία». Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τα ακόλουθα στοιχεία. 43

44 Η επιλογή «Ανάλυση Δεδομένων» από το μενού «Εργαλεία» μας δίνει την ακόλουθη οθόνη στην οποία θα πρέπει να ορίσουμε τις μεταβλητές Y και X. Θα υποθέσουμε ότι θέλουμε να κάνουμε την παλινδρόμηση με τις πρώτες 5 παρατηρήσεις. 44

45 Επιλέγουμε επίσης τα αποτελέσματα να πάνε σε ένα νέο βιβλίο εργασίας και δίνοντας ΟΚ έχουμε την ακόλουθη οθόνη την οποία παίρνουμε επιλέγοντας «Μορφή», «Αυτόματη μορφοποίηση» και «Έγχρωμη 2» για να εμφανίζονται καλύτερα τα αποτελέσματα. 45

46 Το πακέτο μας δίνει τις εκτιμήσεις των παραμέτρων, τα τυπικά τους σφάλματα και τις 2 στατιστικές t που χρησιμεύουν στον έλεγχο υποθέσεων, το R κλπ. Αν θέλουμε μπορούμε να αποθηκεύσουμε τα αποτελέσματα αυτά ή να ακυρώσουμε το βιβλίο εργασίας και να εμφανισθεί η ακόλουθη οθόνη στην οποία επιλέγουμε «Όχι». 46

47 ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισμένες εξισώσεις όπως πχ η γραμμική ax + b = 0 ή η τετραγωνική 2 ax + bx + c = 0 επιδέχονται αναλυτική λύση ως προς x. Υπάρχουν ωστόσο αρκετές εξισώσεις που δεν είναι δυνατόν να επιλυθούν αναλυτικά. Ας θεωρήσουμε μια τέτοια εξίσωση στην γενική μορφή f ( x) = * Σκοπός μας είναι να προσδιορίσουμε μια ρίζα x τέτοια ώστε f ( x * ) = 0. Τέτοιες εξισώσεις είναι δυνατόν να λυθούν αριθμητικά με την λεγόμενη επανάληψη Newton. Η διαδικασία αυτή ξεκινά με μια αρχική τιμή x 0 που αποτελεί την εκτίμησή μας για την ρίζα. Η εκτίμηση αυτή αναθεωρείται σε x 1 και αυτή με την σειρά της σε x 2 κλπ σύμφωνα με το σχήμα f ( xi ) xi+ 1 = xi, i = 0,1,2,3,... f ( x ) i Τερματίζουμε αυτή την διαδικασία όταν η μεταβολή xi+ 1 xi είναι μικρή, πχ μικρότερη από 0,0001. Όταν αυτό συμβαίνει είναι σαφές ότι θα έχουμε f ( x i ) 0 και * επομένως x i θα αποτελεί μια καλή αριθμητική εκτίμηση της ρίζας x (με την υπόθεση ότι η πρώτη παράγωγος δεν μηδενίζεται). 0 47

48 Ας θεωρήσουμε σαν εφαρμογή την εξίσωση f ( x) = x exp( x) με παράγωγο f ( x) = 1+ exp( x). Η επανάληψη Newton θα είναι x i+ 1 = x i xi exp( xi ) 1+ exp( x ) i με δεδομένη την τιμή x 0. Αν υπολογίσουμε τις τιμές της συνάρτησης στο διάστημα από 3 ως 3 (με 18 ενδιάμεσες τιμές) και κάνουμε ένα διάγραμμα της συνάρτησης θα έχουμε την εξής εικόνα. Το σημείο στο οποίο φαίνεται να υπάρχει ρίζα είναι στο 0,789 (το σημείο αυτό φαίνεται αν με το mouse στοχεύσουμε εκεί που η συνάρτηση προσεγγιστικά τέμνει τον οριζόντιο άξονα). Αυτή θα μπορούσε να είναι μια αρχική τιμή που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε. Θα χρησιμοποιήσουμε παρόλα αυτά την τιμή x 0 = 4 Αρχίζουμε με ένα νέο φύλλο εργασίας και εισάγουμε την τιμή 4 στην θέση Α1. Στην θέση Α2 πληκτρολογούμε την επανάληψη Newton και έχουμε την εξής εικόνα. 48

49 Πατώντας enter έχουμε την εμφάνιση της τιμής 0, Κάνοντας copy (Αντιγραφή) στην τιμή αυτή, μαρκάροντας τα επόμενα 10 κελιά και χρησιμοποιώντας paste (Επικόλληση) έχουμε 49

50 Είναι φανερό ότι από την επανάληψη 5 και μετά οι τιμές δεν μεταβάλλονται πράγμα που σημαίνει ότι έχουμε βρεί την ρίζα και αυτή είναι x * 0, Για να βεβαιωθούμε ότι έχουμε βρει την ρίζα πρέπει να υπολογίσουμε την f ( x * ) και αυτή να είναι κοντά στο μηδέν, πράγμα που κάνουμε στην επόμενη οθόνη. Το αποτέλεσμα είναι πραγματικά μηδέν: 50

51 Σαν άσκηση μπορείτε να ξεκινήσετε την διαδικασία Newton από μια διαφορετική αρχική τιμή και να δείτε αν συγκλίνει στην ρίζα και πόσο γρήγορα συγκλίνει στην 2 ρίζα. Μια άλλη άσκηση είναι να εξετάσετε την συνάρτηση f ( x) = x 3x + 2 με αρχικές τιμές x 0 = 0 και x 0 = 4. Η διαδικασία Newton θα συγκλίνει την πρώτη φορά στην τιμή 1 και την δεύτερη φορά στην τιμή 2 που αποτελούν τις ρίζες της συνάρτησης. ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Το πρόβλημα max : f ( x) χαρακτηρίζεται από τις αναγκαίες και ικανές συνθήκες f ( x * ) = 0 και f ( x * ) < 0 Η εξίσωση f ( x * ) = 0 είναι δυνατόν να μην λύνεται αναλυτικά οπότε θα πρέπει να καταφύγουμε στην χρήση αριθμητικών μεθόδων. Για να βρούμε αριθμητικά το μέγιστο μπορούμε να εφαρμόσουμε την επανάληψη Newton για την λύση της εξίσωσης f ( x * ) = 0, η οποία θα είναι f ( xi ) xi+ 1 = xi, i = 0,1,2,... με δεδομένο x0 f ( x ) i Σαν παράδειγμα ας θεωρήσουμε την συνάρτηση f ( x) = x exp( x) με παραγώγους f ( x) = 1 exp( x) και f ( x) = exp( x). Η αναλυτική λύση είναι x * = 0. Η επανάληψη Newton στην περίπτωση αυτή θα είναι 51

52 52 ) exp( 1 ) exp( ) exp( 1 ) ( ) ( 1 i i i i i i i i i x x x x x x f x f x x + = = = + Το διάγραμμα της συνάρτησης φαίνεται στην επόμενη οθόνη. Για να προγραμματίσουμε την επανάληψη Newton χρησιμοποιούμε την εντολή

53 Με αντιγραφή και επικόλληση οι επόμενες επαναλήψεις της μεθόδου είναι όπως στην ακόλουθη οθόνη. 53

54 Από την 11 η επανάληψη η διαδικασία συγκλίνει στην τιμή 0 που αποτελεί και την αναλυτική τιμή στην οποία η συνάρτηση μεγιστοποιείται. Σαν άσκηση μπορείτε να επιβεβαιώσετε ότι αν αρχίσετε από την τιμή x 0 = 100 θα χρειασθείτε 106 επαναλήψεις για να συγκλίνετε στην τιμή 0. Μια άλλη ιδιότητα της επανάληψης Newton είναι ότι συγκλίνει σε μια επανάληψη αν η συνάρτηση f (x) είναι τετραγωνική. Αν έχουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης της συνάρτησης f (x) μπορούμε να μεγιστοποιήσουμε την g( x) = f ( x) και να έχουμε την ίδια επανάληψη Newton. Απλώς θα πρέπει να βεβαιωθούμε ότι ισχύουν οι συνθήκες δεύτερης τάξης ή να κάνουμε ένα διάγραμμα της συνάρτησης για να βεβαιωθούμε ότι έχουμε βρει το μοναδικό ελάχιστο ή μέγιστο. ΑΠΛΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Αν και είναι δυνατόν να χρησιμοποιήσουμε το Excel για την διεξαγωγή απλής ή πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης υπάρχουν πιο εξειδικευμένα προγράμματα για τέτοιες εργασίες όπως το SPSS ή το Eviews. Στην συνέχεια θα δούμε πως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε απλές συναρτήσεις του Excel για να εφαρμόσουμε την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων όταν το εργαλείο «Ανάλυση Δεδομένων» δεν είναι εγκατεστημένο. Όπως είναι γνωστό από την στατιστική αν έχουμε το γραμμικό υπόδειγμα Y = α + βx + u, i = 1,.., n i i i οι εκτιμήσεις ελαχίστων τετραγώνων των παραμέτρων δίνονται από τις σχέσεις όπου n xi y ˆβ i i= 1 =, n αˆ = Y βˆ X x x i i= 1 2 i = X X και y = Y Y i Θα εφαρμόσουμε απευθείας αυτούς τους τύπους. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τα στοιχεία στην ακόλουθη οθόνη. i i 54

55 Στην συνέχεια κατασκευάζουμε τους μέσους των μεταβλητών χρησιμοποιώντας Insert, Function, Average. 55

56 Έχουμε επομένως την ακόλουθη οθόνη. 2 Στην συνέχεια κατασκευάζουμε τις μεταβλητές x i και x y i i με την διαδικασία που φαίνεται στις επόμενες οθόνες. Για να κατασκευάσουμε την απόκλιση x i πρέπει να χρησιμοποιήσουμε την εντολή A2 A$ 7. Το σύμβολο $ σημαίνει ότι το κελί που ακολουθεί πρέπει να αφαιρεθεί στην μορφή αυτή και να μην αυξηθεί ο δείκτης όπως συμβαίνει συνήθως με τον συμβολισμό A 2 όταν αυτός επικολλάται σε πεδίο κελιών. Εφαρμόζοντας την διαδικασία Copy, Paste στα επόμενα κελιά και κάνοντας το ίδιο για την μεταβλητή y έχουμε την ακόλουθη οθόνη. 56

57 Έχουμε επίσης υπολογίσει τα αθροίσματα των x και y με την χρήση του πλήκτρου Σ από την Γραμμή Εργαλείων για να βεβαιωθούμε ότι οι αποκλίσεις από τους μέσους είναι μηδέν όπως θα έπρεπε. Στην συνέχεια υπολογίζουμε τις μεταβλητές xx = x * x και xy = x * y στις επόμενες δυο στήλες. 57

58 Έχουμε την ακόλουθη οθόνη για τον υπολογισμό του βˆ Για τον υπολογισμό του αˆ έχουμε την επόμενη οθόνη. 58

59 Το αποτέλεσμα είναι η εκτίμηση 4,1 για την σταθερά και 5,5 για την κλίση. Στην συνέχεια δημιουργούμε τα κατάλοιπα U = Y αˆ βˆ X i, τα τετράγωνά τους UU = U ^2 και το άθροισμα των τετραγώνων. 59

60 60

61 Το άθροισμα τετραγώνων των καταλοίπων είναι 34,7. Το άθροισμα των καταλοίπων 15 είναι 7,1 10, δηλαδή πρακτικά μηδέν όπως ισχύει πάντοτε όταν εφαρμόζουμε την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. Για να εκτιμήσουμε την διακύμανση των καταλοίπων έχουμε την οθόνη μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την συνάρτηση VAR: 61

62 Το αποτέλεσμα είναι 8,675. Για να παραστήσουμε γραφικά τα στοιχεία μαζί με την ευθεία παλινδρόμησης πρέπει πρώτα να κατασκευάσουμε μια σειρά που αποδίδει την ευθεία αυτή σε κάθε παρατήρηση X με την εντολή στην ακόλουθη οθόνη. i 62

63 Για να κατασκευάσουμε το διάγραμμα τώρα χρησιμοποιούμε τον Οδηγό Γραφημάτων ή Chart Wizard και ακολουθούμε τα βήματα στις επόμενες οθόνες. 63

64 Στον επόμενο οδηγό επιλέγουμε «Σειρά» και έχουμε 64

65 Καταργούμε τις επόμενες σειρές και έχουμε το εξής διάγραμμα με την επιλογή «Τέλος» ή Finish. 65

66 Στο διάγραμμα αυτό φαίνονται τα αρχικά στοιχεία μας μαζί με την γραμμή της παλινδρόμησης και είναι εύκολο να δούμε κατά πόσον η προσαρμογή του υποδείγματος στα στοιχεία είναι καλή. Για να δούμε πιο καλά την προσαρμογή μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον συντελεστή συσχέτισης μεταξύ των Y και Yfit το τετράγωνο του οποίου είναι ο συντελεστής προσδιορισμού 2 R. Θα έχουμε r = 0, και r 2 = 0,

67 Αξίζει να σημειώσουμε ότι το φύλλο εργασίας είναι πια διαμορφωμένο όπως θα διαμορφώνατε έναν πίνακα τιμών για να εκτιμήσετε τις παραμέτρους όπως σε μια τυπική άσκηση παλινδρόμησης. 67

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Το πακέτο ΕXCEL: Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Eπιμέλεια των σημειώσεων και διδασκαλία: Ευαγγελία Χαλιώτη* Θέματα ανάλυσης: - Συναρτήσεις / Γραφικές απεικονίσεις - Πράξεις πινάκων - Συστήματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία πολλαπλών φύλλων εργασίας - Γραφημάτων Excel

Επεξεργασία πολλαπλών φύλλων εργασίας - Γραφημάτων Excel Επεξεργασία πολλαπλών φύλλων εργασίας - Γραφημάτων Excel 11.1. Πολλαπλά φύλλα εργασίας Στο προηγούμενο κεφάλαιο δημιουργήσαμε ένα φύλλο εργασίας με τον προϋπολογισμό δαπανών του προσωπικού που θα συμμετάσχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2006-07 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕ ΕXCEL

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕ ΕXCEL ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕ ΕXCEL 1. Εισαγωγή δεδομένων σε φύλλο εργασίας του Microsoft Excel Για να τοποθετήσουμε τις μετρήσεις μας σε ένα φύλλο Excel, κάνουμε κλικ στο κελί στο οποίο θέλουμε να τοποθετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο Τα δεδομένα της στήλης Grade (Αρχείο Excel, Φύλλο Ask1) αναφέρονται στη βαθμολογία 63 φοιτητών που έλαβαν μέρος σε

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα ΜΑΘΗΜΑ ο Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα Ησχέσησ ένα στατικό υπόδειγμα συνολοκλήρωσης και σ ένα υπόδειγμα διόρθωσης λαθών μπορεί να μελετηθεί καλύτερα όταν χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των αυτοπαλίνδρομων

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. OpenOffice 3.x Calc

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. OpenOffice 3.x Calc ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ OpenOffice 3.x Calc Στόχοι: Με τη βοήθεια του οδηγού αυτού ο εκπαιδευόμενος θα μπορεί να: χρησιμοποιεί τα βασικά εργαλεία του Calc κατασκευάζει πίνακες δημιουργεί φόρμουλες υπολογισμού κατασκευάζει

Διαβάστε περισσότερα

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 014 015, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 1 11 014 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 18 11 014 Επιμέλεια απαντήσεων:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Οικονομετρία=Προχωρημένη στατιστική+ Οικονομική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Οικονομετρία=Προχωρημένη στατιστική+ Οικονομική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Οικονομετρία=Προχωρημένη στατιστική+ Οικονομική Η οικονομετρία κάνει ποσοτική ανάλυση και προβλέψεις σε οικονομικά γεγονότα (κυρίως μακροοικονομικά) Δειγματική Μέση τιμή Δειγματική μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές-μαθηματικά

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές-μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-14 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές-μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ο διευθυντής προσωπικού μιας μεγάλης εταιρείας πιστεύει ότι ίσως υφίσταται κάποια σχέση μεταξύ των ημερών απουσίας και της ηλικίας των εργαζομένων. Με βάση την υπόθεση αυτή ενδιαφέρεται να κατασκευάσει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΑΥΤΟΠΑΛΙΝΔΡΟΜΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ AR(p) Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΜΚ 105: Πειραματική και Στατιστική Ανάλυση Δημιουργία Πινάκων και Γραφικών Παραστάσεων στην Excel 18/09/14

ΜΜΚ 105: Πειραματική και Στατιστική Ανάλυση Δημιουργία Πινάκων και Γραφικών Παραστάσεων στην Excel 18/09/14 ΜΜΚ 105: Πειραματική και Στατιστική Ανάλυση Δημιουργία Πινάκων και Γραφικών Παραστάσεων στην Excel 18/09/14 1. Δημιουργία Πίνακα 1.1 Εισαγωγή μετρήσεων και υπολογισμός πράξεων Έστω ότι χρειάζεται να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

Γρήγορη Εκκίνηση. Όταν ξεκινήσετε το GeoGebra, εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο:

Γρήγορη Εκκίνηση. Όταν ξεκινήσετε το GeoGebra, εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο: Τι είναι το GeoGebra; Γρήγορη Εκκίνηση Λογισμικό Δυναμικών Μαθηματικών σε ένα - απλό στη χρήση - πακέτο Για την εκμάθηση και τη διδασκαλία σε όλα τα επίπεδα της εκπαίδευσης Συνδυάζει διαδραστικά γεωμετρία,

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο 8.1 Συντελεστές συσχέτισης: 8.1.1 Συσχέτιση Pearson, και ρ του Spearman 8.1.2 Υπολογισµός του συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή 4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapro-Wlk για την Κανονική Κατανομή Ένας άλλος πολύ γνωστός έλεγχος καλής προσαρμογής για την κανονική κατανομή, ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην θέση του ελέγχου Lllefors, είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ Ένα από τα βασικά προβλήματα που υπάρχουν στην εξειδίκευση ενός υποδείγματος είναι να προσδιοριστεί η κατεύθυνση που μία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Το Maxima είναι ένα πρόγραμμα για την εκτέλεση μαθηματικών υπολογισμών, συμβολικών μαθηματικών χειρισμών, αριθμητικών υπολογισμών και γραφικών παραστάσεων. Το Maxima λειτουργεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΙΜΟΣ ΜΕΙΝΤΑΝΗΣ, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ ΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

Απλή αρμονική ταλάντωση με χρήση Multilog

Απλή αρμονική ταλάντωση με χρήση Multilog 1 Εργαστηριακή Διδασκαλία των Φυσικών εργασιών στα Γενικά Λύκεια Περίοδος 2006 2007 Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Ενδεικτική προσέγγιση της εργαστηριακή δραστηριότητας : Απλή αρμονική ταλάντωση με χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας)

Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Προσοµοίωση (Simulation) και Τυχαίες µεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

1 ης εργασίας ΕΟ13 2013-2014. Υποδειγματική λύση

1 ης εργασίας ΕΟ13 2013-2014. Υποδειγματική λύση ης εργασίας ΕΟ3 03-04 Υποδειγματική λύση (όπως θα παρατηρήσετε η εργασία περιέχει και κάποια επιπλέον σχόλια, για την καλύτερη κατανόηση της μεθοδολογίας, τα οποία φυσικά μπορούν να παραλειφθούν) Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος ΜΑΘΗΜΑ 10 ο Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

POWERPOINT 2003. Είναι το δημοφιλέστερο πρόγραμμα παρουσιάσεων.

POWERPOINT 2003. Είναι το δημοφιλέστερο πρόγραμμα παρουσιάσεων. POWERPOINT 2003 1. Τι είναι το PowerPoint (ppt)? Είναι το δημοφιλέστερο πρόγραμμα παρουσιάσεων. 2. Τι δυνατότητες έχει? Δημιουργία παρουσίασης. Μορφοποίηση παρουσίασης. Δημιουργία γραφικών. Δημιουργία

Διαβάστε περισσότερα

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:........................................... ΤΜΗΜΑ:....... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.... / 0 / 20 ΘΕΜΑ A. Έστω μεταβλητή Χ, με τιμές x, x 2,...., x k, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, με k,

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόγραμμα συγχρηματοδοτείται 75% από το Ευρωπαϊκό κοινωνικό ταμείο και 25% από εθνικούς πόρους.

Το πρόγραμμα συγχρηματοδοτείται 75% από το Ευρωπαϊκό κοινωνικό ταμείο και 25% από εθνικούς πόρους. Το πρόγραμμα συγχρηματοδοτείται 75% από το Ευρωπαϊκό κοινωνικό ταμείο και 25% από εθνικούς πόρους. ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ, ΧΗΜΕΙΑΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ORIGIN ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΧΡΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Άνοιγμα υπάρχοντος βιβλίου εργασίας

4.1 Άνοιγμα υπάρχοντος βιβλίου εργασίας 4.1 Άνοιγμα υπάρχοντος βιβλίου εργασίας 4.1.1 Άνοιγμα υπάρχοντος βιβλίου εργασίας από βάση δεδομένων Όταν εκκινήσουμε τον Discoverer εμφανίζεται στην οθόνη μας το παράθυρο διαλόγου του βοηθητικού προγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη της Πληροφορικής Εργαστήριο. Microsoft Excel Μέρος 2

Εισαγωγή στην Επιστήμη της Πληροφορικής Εργαστήριο. Microsoft Excel Μέρος 2 Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη της Πληροφορικής και Πληροφοριακά Συστήματα Εργαστήριο - ΕΠΛ003 Εισαγωγή στην Επιστήμη της Πληροφορικής Εργαστήριο Microsoft Excel Μέρος 2

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 48 49 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Κάθε συνάρτηση : A B με Α R n και Β R ονομάζεται πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Ι Αν Α R n και Β R n τότε έχουμε διανυσματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

1. Τα τμήματα της επιφάνειας εργασίας των Windows

1. Τα τμήματα της επιφάνειας εργασίας των Windows 1. Τα τμήματα της επιφάνειας εργασίας των Windows Εικονίδια συντομεύσεων (αρχείου-φακέλου) Εικονίδια Ανενεργά Ενεργό Επιφάνεια (αρχείου-φακέλου) παράθυρα παράθυρο εργασίας Γραμμή μενού Γραμμή εργαλείων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πιθανότητες 1.1 Πιθανότητες και Στατιστική... 5 1.2 ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 7 1.3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων... 10 1.4 εσμευμένη πιθανότητα Ολική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ ΑΡΧΕΙΟΥ ΣΕ ΔΙΣΚΕΤΑ ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ ΑΡΧΕΙΟΥ ΑΠΟ ΔΙΣΚΕΤΑ. Από τον κατάλογο που εμφανίζεται επιλέγω: Αποστολή προς Δισκέτα (3,5)

ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ ΑΡΧΕΙΟΥ ΣΕ ΔΙΣΚΕΤΑ ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ ΑΡΧΕΙΟΥ ΑΠΟ ΔΙΣΚΕΤΑ. Από τον κατάλογο που εμφανίζεται επιλέγω: Αποστολή προς Δισκέτα (3,5) ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ ΑΡΧΕΙΟΥ ΣΕ ΔΙΣΚΕΤΑ ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ ΑΡΧΕΙΟΥ ΑΠΟ ΔΙΣΚΕΤΑ Τοποθετώ μια δισκέτα στον οδηγό τη δισκέτας του υπολογιστή. Τοποθετώ τη δισκέτα που έχει το αρχείο μου στον οδηγό τη δισκέτας του υπολογιστή.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 2 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 3 ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 4 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 5 ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Καθηγητής Α.Π.Θ. ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Μαθηματικός ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όταν ενδιαφερόμαστε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η φυσιολογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. ΘΕΜΑ (ΙΟΥΝΙΟΣ 000) ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα σχετική Σχετική Αθροιστική f % f N 0

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Στις προηγούμενες ενότητες ασχοληθήκαμε με μεθόδους που οδηγούν σε εκτιμήτριες των τιμών μιας ή και περισσοτέρων αγνώστων παραμέτρων. Αυτό έγινε με την κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα