ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής."

Transcript

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL Το πακέτο Excel είναι ένα πρόγραμμα φύλλου εργασίας (spreadsheet) με το οποίο μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς και διαγράμματα που είναι χρήσιμοι στα οικονομικά. Στο Excel το φύλλο εργασίας χωρίζεται σε γραμμές και στήλες. Οι στήλες έχουν τα ονόματα A, B, C,..., και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής. Στην συνέχεια μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το εικονίδιο «οδηγός γραφημάτων» για να κατασκευάσουμε ένα διάγραμμα. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να παραστήσουμε τις δυο σειρές στο ίδιο διάγραμμα. Αρχίζουμε μαρκάροντας και τις δυο σειρές με το mouse και από τον οδηγό γραφημάτων εμφανίζονται οι ακόλουθες επιλογές. 1

2 Είναι δυνατόν όπως φαίνεται να έχουμε μια σειρά από διαγράμματα, όπως πχ γραμμές, ράβδοι, διασπορά κλπ. Επιλέγουμε Γραμμές και στην συνέχεια εμφανίζονται οι διαφορετικοί τύποι αυτού του διαγράμματος. Μπορούμε να επιλέξουμε τον τύπο που φαίνεται παραπάνω ώστε να εμφανίζονται οι σειρές και στο κάθε σημείο να υπάρχει ένα τετραγωνάκι. Με την επιλογή Επόμενο φαίνεται μια προεπισκόπηση του διαγράμματος. 2

3 Με τις επιλογές Επόμενο και Τίτλοι μπορούμε να ορίσουμε τα ονόματα που θέλουμε να έχουμε στους άξονες, έναν τίτλο για το διάγραμμα κοκ. Δίνουμε λοιπόν τα ακόλουθα στοιχεία. 3

4 Με την επιλογή Τέλος το διάγραμμα εμφανίζεται στο φύλλο εργασίας μας. 4

5 Τα μαύρα τετραγωνάκια που εμφανίζονται γύρω από το διάγραμμα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αλλάξουμε τις διαστάσεις τους, να το μετακινήσουμε σε οποιοδήποτε σημείο του φύλλου εργασίας κλπ. Με την επιλογή Επεξεργασία και Αντιγραφή μπορούμε να αντιγράψουμε το διάγραμμα, στην συνέχεια να πάμε στο Word και να ενσωματώσουμε το διάγραμμα σε ένα υπάρχον κείμενο ή σε ένα νέο αρχείο. Το ίδιο μπορεί να γίνει και σε οποιοδήποτε άλλο πρόγραμμα των Windows. Ένας άλλος χρήσιμος τύπος διαγράμματος είναι η Διασπορά (ΧΥ) η οποία μας επιτρέπει να παραστήσουμε διαγραμματικά την μια σειρά σε σχέση με την άλλη. Μπορούμε να κάνουμε ένα κλικ στο διάγραμμα που ήδη υπάρχει στο φύλλο εργασίας και να πατήσουμε το πλήκτρο Del(ete) για να διαγραφεί. Στην συνέχεια μαρκάρουμε και πάλι τις σειρές, χρησιμοποιούμε τον «Οδηγό Γραφημάτων» και επιλέγουμε «Διασπορά (ΧΥ)» οπότε εμφανίζεται η ακόλουθη οθόνη επιλογών. Μαρκάρουμε την επιλογή που φαίνεται και πατώντας «Επόμενο» βλέπουμε την ακόλουθη προεπισκόπηση. 5

6 Στην συνέχεια μπορούμε να επιλέξουμε «Τέλος» και να έχουμε την τελική μορφή του διαγράμματος στο φύλλο εργασίας μας. 6

7 Μια άλλη χρήσιμη μορφή διαγράμματος μπορεί να είναι οι πίτες δεδομένων. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να εμφανίζουμε την πρώτη σειρά σε διάγραμμα πίτας. Μαρκάρουμε την σειρά αυτή και από τον «Οδηγό Γραφημάτων» επιλέγουμε «Πίτα» με τον ακόλουθο τύπο διαγράμματος. Στην συνέχεια επιλέγουμε «Επόμενο» δυο φορές, «Ετικέτες δεδομένων» και έχουμε την εξής κατάσταση. Ε 7

8 Με την επιλογή «Τέλος» έχουμε το τελικό διάγραμμα ως εξής. Μπορείτε να εξοικειωθείτε με τους υπόλοιπους τύπους διαγραμμάτων και να επιλέξετε εύκολα εκείνους που θα είναι πιο κατάλληλοι για την εφαρμογή σας. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΜΕΤΡΩΝ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε βασικά στατιστικά μέτρα όπως πχ ο μέσος και η διακύμανση ή τυπική απόκλιση της πρώτης σειράς, ο συντελεστής συσχέτισης των δυο σειρών κλπ. Καταρχήν πρέπει να επιλέξουμε την θέση στην οποία θα εμφανισθεί ο μέσος αριθμητικός όπως φαίνεται πχ στην επόμενη οθόνη. 8

9 Στην συνέχεια μαρκάρουμε την πρώτη σειρά με το mouse και χρησιμοποιούμε το πλήκτρο «fx» ή «Επικόλληση συνάρτησης» από την γραμμή εργαλείων. Πολλές συναρτήσεις είναι διαθέσιμες στο πακέτο, πράγμα που το κάνει πολύ χρήσιμο σε στατιστικές και άλλες αναλύσεις. Μετά την επιλογή έχουμε την ακόλουθη οθόνη. 9

10 αφού επιλέξουμε τις «Στατιστικές» συναρτήσεις και την συνάρτηση «AVERAGE» για την οποία εμφανίζεται και βοήθεια στο κάτω μέρος της οθόνης. Επιλέγοντας ΟΚ έχουμε την επόμενη οθόνη. 10

11 Στην οθόνη αυτή μας ζητείται να προσδιορίσουμε την σειρά για την οποία θέλουμε να υπολογίσουμε τον μέσο. Καταρχήν απομακρύνουμε τον πίνακα από την μέση κάνοντας ένα κλικ στο εσωτερικό του και τραβώντας το mouse προς την θέση στην οποία θέλουμε να μεταφερθεί ο πίνακας. 11

12 Στην συνέχεια μαρκάρουμε την σειρά που θέλουμε και αφήνουμε το mouse όταν έχουμε επιλέξει τα κελιά που μας ενδιαφέρουν οπότε εμφανίζονται στον πίνακα τα κελιά που επιλέξαμε. 12

13 Αυτά είναι τα κελιά Α1 έως Α5 όπως πρέπει. Το αποτέλεσμα είναι 18,6 όπως φαίνεται στην προεπισκόπηση και αν επιλέξουμε ΟΚ θα δούμε ότι μεταφέρεται στην θέση που θέλουμε με αποτέλεσμα να έχουμε την ακόλουθη οθόνη. 13

14 Ας υποθέσουμε ότι ακριβώς από κάτω θέλουμε να εμφανίσουμε την τιμή της τυπικής απόκλισης. Η συνάρτηση που θέλουμε είναι η STDEV (standard deviation) όπως στην παρακάτω οθόνη. 14

15 Αν ακολουθήσουμε την ίδια διαδικασία όπως και στην περίπτωση του μέσου έχουμε το εξής αποτέλεσμα. 15

16 Για να υπολογίσουμε τον συντελεστή συσχέτισης ακριβώς από κάτω πρέπει να χτησιμοποιήσουμε την συνάρτηση CORREL όπως στην επόμενη οθόνη. 16

17 Αν επιλέξουμε ΟΚ εμφανίζεται ένας πίνακας στον οποίο πρέπει να ορίσουμε ποιες δυο σειρές πρέπει να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό. Στην θέση «Array1» μαρκάρουμε την πρώτη σειρά και στην θέση «Array2» μαρκάρουμε την δεύτερη σειρά οπότε έχουμε την εξής κατάσταση. 17

18 Με την επιλογή ΟΚ το αποτέλεσμα είναι όπως φαίνεται παρακάτω. 18

19 ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΤΟΥ ΜΕΣΟΥ Από την στατιστική είναι γνωστό ότι το διάστημα εμπιστοσύνης του μέσου είναι X ± Z1 α / 2 S N όπου X είναι ο μέσος αριθμητικός του δείγματος, S είναι η τυπική απόκλιση, N είναι το μέγεθος του δείγματος και Z 1 α / 2 η κριτική τιμή της τυπικής κανονικής κατανομής σε επίπεδο σημαντικότητας α. Για μικρά δείγματα χρησιμοποιείται η κριτική τιμή της κατανομής Student-t με N 1 βαθμούς ελευθερίας. Το πακέτο S υπολογίζει την τιμή Z1 α / 2 για οποιοδήποτε επίπεδο σημαντικότητας α. Η N συνάρτηση που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε είναι η CONFIDENCE της οποίας ο πίνακας εμφανίζεται στην επόμενη οθόνη. Στην επιλογή Alpha ορίζουμε το επίπεδο σημαντικότητας να είναι 0,07. Στην επιλογή Standard_dev ορίζουμε την τυπική απόκλιση. Αυτό μπορεί να γίνει αν απλά κάνουμε ένα κλικ στο κελί Α8 στο οποίο την έχουμε ήδη υπολογίσει. Στην επιλογή Size ορίζουμε το μέγεθος του δείγματος, δηλαδή 5 και έχουμε τα ακόλουθα. 19

20 Το αποτέλεσμα όπως φαίνεται είναι 7,657 πράγμα που σημαίνει ότι το διάστημα εμπιστοσύνης είναι 18,6 ± 7, 657. ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΟΥ ΜΕΣΟΥ Ο έλεγχος της υπόθεσης ότι ο μέσος του πληθυσμού ισούται με μια ορισμένη τιμή, πχ H : µ 8 μπορεί να γίνει με την συνάρτηση ZTEST όπως στην επόμενη οθόνη. 0 = 20

21 Οι επιλογές για την συνάρτηση αυτή είναι όπως στην επόμενη οθόνη. 21

22 Στην θέση Array έχουμε μαρκάρει τα κελιά που αποτελούν το δείγμα μας. Στην θέση Χ πρέπει να δώσουμε την τιμή που ελέγχουμε (πχ 8). Την επόμενη θέση αφήνουμε κενή για να δηλώσουμε ότι η τυπική απόκλιση σ του πληθυσμού είναι άγνωστη και επομένως πρέπει να εκτιμηθεί με την τυπική απόκλιση του δείγματος S. Το αποτέλεσμα του ελέγχου είναι σε όρους της πιθανότητας ή τιμής p του ελέγχου που είναι p = Η τιμή αυτή είναι το ελάχιστο επίπεδο σημαντικότητας στο οποίο μπορούμε να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση. Επομένως σε α = 0, 05 μπορούμε να απορρίψουμε και να πούμε ότι ο μέσος δεν είναι 8. Αν ελέγχαμε την τιμή µ = 15 θα είχαμε Επομένως μπορούμε να απορρίψουμε την H 0 : µ = 15 μόνο σε επίπεδα σημαντικότητας μεγαλύτερα του 0,197. Πχ σε επίπεδο 0,05 ή 0,10 δεν μπορούμε να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση. ΕΛΕΓΧΟΣ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΔΥΟ ΜΕΣΩΝ Ένας άλλος έλεγχος που μπορεί να μας ενδιαφέρει είναι αν δυο δείγματα προέρχονται από πληθυσμούς με τον ίδιο μέσο. Η μηδενική υπόθεση που θέλουμε να ελέγξουμε είναι H 0 : µ 1 = µ 2 με δικατάληκτη εναλλακτική. Η πιο γενική και ρεαλιστική υπόθεση που μπορούμε να κάνουμε είναι ότι οι διακυμάνσεις των δυο πληθυσμών είναι άγνωστες και δεν είναι υποχρεωτικά ίσες. Η συνάρτηση που θα χρησιμοποιήσουμε λέγεται TTEST και έχει ως εξής. 22

23 Με την επιλογή ΟΚ έχουμε την ακόλουθη οθόνη. 23

24 Στις θέσεις Array1 και Array2 μαρκάρουμε τα δυο δείγματα, στην θέση Tails δίνουμε 2 όταν έχουμε δικατάληκτη εναλλακτική και στην θέση Type δίνουμε 3 για να δηλώσουμε ότι έχουμε πληθυσμούς με πιθανώς άνισες διακυμάνσεις τις οποίες δεν γνωρίζουμε και επομένως θα πρέπει να εκτιμηθούν. Το αποτέλεσμα του ελέγχου είναι σε όρους της τιμής p όπως και στον έλεγχο του μέσου και το αποτέλεσμα είναι 6 9,64E 06 που σημαίνει 9, Κατά συνέπεια πρέπει να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση της ισότητας των δυο μέσων αν έχουμε κάποιο λογικό επίπεδο σημαντικότητας, πχ 0,01 ή 0,05 κλπ. ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΥΟ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΩΝ 2 2 Ο έλεγχος ότι οι διακυμάνσεις δυο πληθυσμών είναι ίδιες, δηλαδή H0 : σ 1 = σ 2 γίνεται με την στατιστική F και η συνάρτηση που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε είναι η FTEST. Στην συνάρτηση αυτή πρέπει να δώσουμε τα δυο δείγματα και τα αποτελέσματά της φαίνονται στον επόμενο πίνακα. Από την τιμή p η οποία είναι 0,8811 είναι σαφές ότι δεν μπορούμε να απορρίψουμε την υπόθεση ισότητας των διακυμάνσεων σε λογικά επίπεδα εμπιστοσύνης, πχ 0,01 ή 0,05 κλπ. ΚΡΙΤΙΚΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Μια χρήσιμη ιδιότητα του πακέτου είναι ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των κριτικών τιμών οποιασδήποτε κατανομής και επομένως με αυτό τον τρόπο δεν είναι ανάγκη να καταφεύγουμε σε πίνακες. 24

25 Ας υποθέσουμε ότι Z έχει την τυπική κανονική κατανομή N (0,1), δηλαδή έχει μέσο µ = 0 και διακύμανση σ 2 = 1 και θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα p ( Z < 1,96). Θα χρησιμοποιήσουμε την συνάρτηση NORMDIST και έχουμε την ακόλουθη οθόνη. Το αποτέλεσμα είναι 0,975. Αυτό είναι λογικό γιατί ξέρουμε ήδη από τον έλεγχο του μέσου ότι η κριτική τιμή είναι 1,96 σε επίπεδο εμπιστοσύνης 0,05. Μοιράζοντας αυτό το 0,05 στις δυο ουρές της κατανομής προκύπτει ότι μέχρι την κριτική τιμή 1,96 πρέπει να υπάρχει μάζα 0,975 ή 97,5%. Ένα άλλο παράδειγμα είναι ο υπολογισμός της πιθανότητας P ( X < 17) όταν η X έχει μια κανονική κατανομή με μέσο µ = 20 και τυπική απόκλιση σ = 4. Το αποτέλεσμα και οι απαιτούμενες εισροές στην συνάρτηση φαίνονται στην επόμενη οθόνη. 25

26 Πρέπει να είναι σαφές ότι η συνάρτηση NORMDIST είναι περισσότερο χρήσιμη από τους πίνακες. Οι πίνακες αναφέρονται σε μια τυπική κανονική κατανομή ενώ η συνάρτηση μπορεί να υπολογίσει πιθανότητες για οποιαδήποτε κανονική κατανομή με αυθαίρετες τιμές των µ και σ. Στην συνέχεια ας υπολογίσουμε ότι θέλουμε την κριτική τιμή της κατανομής Studentt με 4 βαθμούς ελευθερίας. Η συνάρτηση που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε είναι η TDIST και οι εισροές μαζί με το αποτέλεσμα φαίνονται στην επόμενη οθόνη. 26

27 Στην πραγματικότητα η συνάρτηση επιστρέφει την τιμή 1 P ( Tν < t) όπου T ν είναι τυχαία μεταβλητή με την κατανομή Student-t και ν βαθμούς ελευθερίας. Το αποτέλεσμα είναι 0,12155 και επομένως P( T ν < t) = 1 0,12155 = 0, Στην συνέχεια έστω ότι Y ~ χ 2 ( ν ). Η πιθανότητα P ( Y < 10) όταν ν = 7 μπορεί να υπολογισθεί με την συνάρτηση CHIDIST όπως στην ακόλουθη οθόνη. 27

28 Η πιθανότητα που θέλουμε είναι 1-0,18857=0, Παρόμοια μπορούμε να υπολογίσουμε κριτικές τιμές της F κατανομής με την εντολή FDIST. Η κατανομή έχει δυο παραμέτρους βαθμών ελευθερίας, ν 1 και ν 2. Αν οι βαθμοί ελευθερίας είναι 6 και 11 αντίστοιχα, Q έχει την κατανομή F 6, 11 και θέλουμε την πιθανότητα P ( Q < 4) οι εισροές και το αποτέλεσμα της συνάρτησης φαίνονται στην επόμενη οθόνη. 28

29 Η ζητούμενη πιθανότητα είναι 1-0,02265=0,977. Εναλλακτικά, το πακέτο μας δίνει 2 απευθείας την πιθανότητα P ( Q > 4). Αυτό ισχύει για τις κατανομές t, χ και F. Είναι επίσης δυνατόν να χρησιμοποιήσουμε τις αντίστροφες αυτών των συναρτήσεων. Πχ αντί να θέλουμε την πιθανότητα P ( Z < z) μπορεί να θέλουμε να προσδιορίσουμε σε ποια τιμή του z έχουμε P ( Z < z) = p, όπου p είναι μια δοσμένη τιμή. Πχ στον έλεγχο του μέσου μας ενδιέφερε να προσδιορίσουμε σε ποια τιμή z έχουμε P ( Z < z) = 1 α / 2 όπου α ήταν ένα δεδομένο επίπεδο σημαντικότητας. Αν ορίσουμε Φ ( z ) = P( Z < z), δηλαδή την αθροιστική συνάρτηση κατανομής, είναι σαφές ότι η τιμή z για την οποία P ( Z < z) = p, ικανοποιεί = Φ 1 1 z ( π ) όπου Φ είναι η αντίστροφη αθροιστική συνάρτηση κατανομής. Εφόσον Φ( z π dt η αντίστροφη δεν μπορεί να προσδιορισθεί z ) = (2 ) 1/ 2 2 exp( t / 2) αναλυτικά αφού το ολοκλήρωμα δεν είναι γνωστό σε κλειστή μορφή. Για τον λόγο αυτό χρησιμοποιούνται αριθμητικές μέθοδοι για τον υπολογισμοί της συνάρτησης Φ και της αντίστροφής της. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε την τιμή z για την οποία P ( Z < z) = 0, 815. Η συνάρτηση που θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε είναι η NORMINV της οποίας οι εισροές και τα αποτελέσματα φαίνονται στην επόμενη οθόνη. 29

30 Είναι σαφές ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυθαίρετο μέσο και τυπική 2 απόκλιση. Αν πχ έχουμε X ~ N( µ, σ ) με µ = 15 και σ = 5, η τιμή x για την οποία έχουμε P ( X < x) = 0, 76 δίνεται με την ακόλουθη εξειδίκευση. 30

31 Η τιμή αυτή θα είναι z = 18, 53. Παρόμοια μπορούμε να υπολογίσουμε τις αντίστροφες συναρτήσεις κατανομής άλλων κατανομών με τις εντολές TINV, CHIINV και FINV. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΣΕ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ Το μεγάλο πλεονέκτημα των υπολογισμών σε spreadsheets είναι ότι από την στιγμή που ορίσουμε κάποιους υπολογισμούς, αν αλλάξουμε κάποια τιμή τότε ολόκληρο το φύλλο εργασίας τροποποιείται λαμβάνοντας υπόψη αυτή την αλλαγή. Για να ορίσουμε ότι σε ένα κελί θα χρησιμοποιηθούν συναρτήσεις υπολογισμού χρησιμοποιούμε το σύμβολο της ισότητας (=). Σαν παράδειγμα ας αρχίσουμε από τις δυο μεταβλητές που έχουμε και ας υπολογίσουμε μια τρίτη, που θα είναι C = A + B. Πηγαίνουμε στο κελί C 1 και δίνουμε το σύμβολο =. Στην συνέχεια κάνουμε κλικ στο κελί A 1 και βλέπουμε να εμφανίζεται το σύμβολό του. Μετά δίνουμε + και μετά κάνουμε κλικ στο κελί B1 ώστε τελικά να έχουμε την εξής εικόνα. 31

32 Πατώντας enter εμφανίζεται στο κελί το αποτέλεσμα του υπολογισμού που είναι 89. Για να επαναλάβουμε αυτή την διαδικασία και για τα υπόλοιπα κελιά ακολουθούμε την εξής απλή διαδικασία. Στο κελί C 1 επιλέγουμε «Αντιγραφή» από την γραμμή εργαλείων. Μαρκάρουμε τα κελιά C 2 έως C 5 με το mouse. Επιλέγουμε «Επικόλληση» από την γραμμή εργαλείων. Στο τέλος αυτής της διαδικασίας έχουμε την επόμενη οθόνη στην οποία φαίνονται τα αποτελέσματα των υπολογισμών. 32

33 Στην συνέχεια ας δούμε πως μπορούμε να αξιοποιήσουμε τις δυνατότητες του πακέτου για να επιλύσουμε ένα μακροοικονομικό υπόδειγμα που έχει τις ακόλουθες εξισώσεις. Ct = , 25Y t I 2 + 0,2Y 1 0, 85 t = t = 1+ 0,40 t 1 G t Y Y t = Ct + It + Gt για t = 2,3,4,..., 20 με Y 40. R t 1 = Στο υπόδειγμα αυτό C t είναι η κατανάλωση του έτους t, Y t είναι το εισόδημα, Rt είναι το επιτόκιο, G t είναι οι δημόσιες δαπάνες. Θα υποθέσουμε ότι R t = 7. Αν αντικαταστήσουμε στον ορισμό του εισοδήματος όλες τις προηγούμενες εξισώσεις έχουμε Y 17,33 0,8 1 1, 133R t = + Yt t Αρχίζουμε με ένα νέο φύλλο εργασίας του Excel και δίνουμε στην στήλη Α τα στοιχεία για το επιτόκιο, δηλαδή μια σειρά που αποτελείται από τον αριθμό 7 για τα κελιά Α1 έως Α20. Μπορούμε απλά να δώσουμε το 7 στο κελί Α1 και μετά να επιλέξουμε την διαδικασία. 33

34 Δίνουμε enter και εμφανίζεται το αποτέλεσμα 41,399. Για να δημιουργήσουμε το εισόδημα των επόμενων περιόδων κάνουμε «Αντιγραφή» στο κελί Β2, επικόλληση στα επόμενα κελιά και έχουμε τα ακόλουθα αποτελέσματα. 34

35 Αν παραστήσουμε γραφικά την σειρά Y t θα έχουμε τα εξής αποτελέσματα. 35

36 Βλέπουμε πχ ότι αρχίζοντας από την αρχική τιμή 40 το εισόδημα αυξάνει προς την κατάσταση μακροχρόνιας ισορροπίας του. Στην συνέχεια θα κάνουμε μια συγκριτική δυναμική ανάλυση. Το ερώτημα που θα μας απασχολήσει είναι η σύγκριση τριών διαφορετικών πολιτικών επιτοκίου. Πολιτική 1. Το επιτόκιο αυξάνει σε 12% από την περίοδο 11 και μετά, δηλαδή έχουμε μια μόνιμη μεταβολή στα επιτόκια. Πολιτική 2. Το επιτόκιο αυξάνει σε 12% από την περίοδο 11 έως και την περίοδο 15 και μετά μειώνεται σε 10%. Πολιτική 3. Το επιτόκιο αυξάνει σε 12% μόνο για την περίοδο 11 και επανέρχεται στο 7% εφεξής, οπότε έχουμε μια παροδική μεταβολή στα επιτόκια. Για να δούμε τα αποτελέσματα της πολιτικής 1, αλλάζουμε τα επιτόκια στα κελιά Α11 ως Α15 σε 12 και βλέπουμε πως τροποποιείται η δεύτερη στήλη. Η γραφική παράσταση του εισοδήματος έχει ως εξής. 36

37 Βλέπουμε ότι το εισόδημα μειώνεται σαν αποτέλεσμα της αύξησης των επιτοκίων και όταν αυτά αρχίζουν να μειώνονται μετά την περίοδο 16 αρχίζει να αυξάνει και να συγκλίνει πάλι προς το επίπεδο μακροχρόνιας ισορροπίας. Για να δούμε τα αποτελέσματα της πολιτικής 2, αλλάζουμε τα κελιά ώστε να έχουμε την ακόλουθη εικόνα. 37

38 Τα αποτελέσματα φαίνονται στην ακόλουθη οθόνη. 38

39 Στην πρερίπτωση αυτή, το εισόδημα μειώνεται συνεχώς σαν αποτέλεσμα της μόνιμης αύξησης των επιτοκίων. Η πολιτική 3 μπορεί να εξετασθεί αν αλλάξουμε μόνον το κελί Α11 οπότε θα έχουμε τα εξής αποτελέσματα. Η παροδική μεταβολή προκαλεί μια μεγάλη μείωση στο εισόδημα το οποίο από την επόμενη περίοδο αρχίζει να αυξάνει και πάλι και να συγκλίνει στα επίπεδα της μακροχρόνιας ισορροπίας. ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Είναι δυνατόν με την βοήθεια του υπολογιστή να κατασκευάσουμε τυχαίους αριθμούς, δηλαδή τυχαία δείγματα από έναν ορισμένο πληθυσμό. Πχ για να κατασκευάσουμε τυχαία δείγματα από την ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα (0,1) με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας 1, f ( x) = 0, αν x (0,1) διαφορετικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την συνάρτηση RAND (). 39

40 Χρησιμοποιώντας Copy και Paste στα επόμενα 100 κελιά έχουμε: 40

41 Αν κατασκευάσουμε ένα ιστόγραμμα αυτής της σειράς (για να το κάνετε πρέπει να έχετε εγκατεστημένα το εργαλείο «Ανάλυση Δεδομένων» στο μενού «Εργαλεία») θα έχουμε την εξής εικόνα. Για να κατασκευάσουμε μια σειρά τυχαίων αριθμών από την κανονική κατανομή με 2 μέσο µ και διακύμανση σ ο γενικός τύπος είναι x = µ + σφ ( 1 u όπου u έχει την τυπική ομοιόμορφη κατανομή, Φ είναι η αθροιστική συνάρτηση 1 κατανομής της τυπικής κανονικής κατανομής και Φ είναι η αντίστροφη συνάρτηση. Η συνάρτηση αυτή είναι διαθέσιμη στην συνάρτηση NORMINV και έχουμε την ακόλουθη οθόνη. ) 41

42 Το ιστόγραμμα της σειράς φαίνεται στην ακόλουθη οθόνη. 42

43 Αυτό το ιστόγραμμα δεν απέχει πολύ από την κανονική καμπύλη και είναι με αυτήν ακριβώς την έννοια που οι τυχαίοι αριθμοί είναι «τυχαίοι»: Παρότι παράγονται με αιτιοκρατικούς τύπους εντούτοις τα ιστογράμματά τους προσεγγίζουν τις συναρτήσεις πυκνότητας των αντίστοιχων τυχαίων μεταβλητών. Επίσης θα περιμέναμε ο μέσος της σειράς στην στήλη Β να είναι κοντά στο μηδέν και η διακύμανση κοντά στην μονάδα. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Για να κάνουμε γραμμική παλινδρόμηση χρησιμοποιούμε την επιλογή «Ανάλυση Δεδομένων» από το μενού «Εργαλεία». Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τα ακόλουθα στοιχεία. 43

44 Η επιλογή «Ανάλυση Δεδομένων» από το μενού «Εργαλεία» μας δίνει την ακόλουθη οθόνη στην οποία θα πρέπει να ορίσουμε τις μεταβλητές Y και X. Θα υποθέσουμε ότι θέλουμε να κάνουμε την παλινδρόμηση με τις πρώτες 5 παρατηρήσεις. 44

45 Επιλέγουμε επίσης τα αποτελέσματα να πάνε σε ένα νέο βιβλίο εργασίας και δίνοντας ΟΚ έχουμε την ακόλουθη οθόνη την οποία παίρνουμε επιλέγοντας «Μορφή», «Αυτόματη μορφοποίηση» και «Έγχρωμη 2» για να εμφανίζονται καλύτερα τα αποτελέσματα. 45

46 Το πακέτο μας δίνει τις εκτιμήσεις των παραμέτρων, τα τυπικά τους σφάλματα και τις 2 στατιστικές t που χρησιμεύουν στον έλεγχο υποθέσεων, το R κλπ. Αν θέλουμε μπορούμε να αποθηκεύσουμε τα αποτελέσματα αυτά ή να ακυρώσουμε το βιβλίο εργασίας και να εμφανισθεί η ακόλουθη οθόνη στην οποία επιλέγουμε «Όχι». 46

47 ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισμένες εξισώσεις όπως πχ η γραμμική ax + b = 0 ή η τετραγωνική 2 ax + bx + c = 0 επιδέχονται αναλυτική λύση ως προς x. Υπάρχουν ωστόσο αρκετές εξισώσεις που δεν είναι δυνατόν να επιλυθούν αναλυτικά. Ας θεωρήσουμε μια τέτοια εξίσωση στην γενική μορφή f ( x) = * Σκοπός μας είναι να προσδιορίσουμε μια ρίζα x τέτοια ώστε f ( x * ) = 0. Τέτοιες εξισώσεις είναι δυνατόν να λυθούν αριθμητικά με την λεγόμενη επανάληψη Newton. Η διαδικασία αυτή ξεκινά με μια αρχική τιμή x 0 που αποτελεί την εκτίμησή μας για την ρίζα. Η εκτίμηση αυτή αναθεωρείται σε x 1 και αυτή με την σειρά της σε x 2 κλπ σύμφωνα με το σχήμα f ( xi ) xi+ 1 = xi, i = 0,1,2,3,... f ( x ) i Τερματίζουμε αυτή την διαδικασία όταν η μεταβολή xi+ 1 xi είναι μικρή, πχ μικρότερη από 0,0001. Όταν αυτό συμβαίνει είναι σαφές ότι θα έχουμε f ( x i ) 0 και * επομένως x i θα αποτελεί μια καλή αριθμητική εκτίμηση της ρίζας x (με την υπόθεση ότι η πρώτη παράγωγος δεν μηδενίζεται). 0 47

48 Ας θεωρήσουμε σαν εφαρμογή την εξίσωση f ( x) = x exp( x) με παράγωγο f ( x) = 1+ exp( x). Η επανάληψη Newton θα είναι x i+ 1 = x i xi exp( xi ) 1+ exp( x ) i με δεδομένη την τιμή x 0. Αν υπολογίσουμε τις τιμές της συνάρτησης στο διάστημα από 3 ως 3 (με 18 ενδιάμεσες τιμές) και κάνουμε ένα διάγραμμα της συνάρτησης θα έχουμε την εξής εικόνα. Το σημείο στο οποίο φαίνεται να υπάρχει ρίζα είναι στο 0,789 (το σημείο αυτό φαίνεται αν με το mouse στοχεύσουμε εκεί που η συνάρτηση προσεγγιστικά τέμνει τον οριζόντιο άξονα). Αυτή θα μπορούσε να είναι μια αρχική τιμή που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε. Θα χρησιμοποιήσουμε παρόλα αυτά την τιμή x 0 = 4 Αρχίζουμε με ένα νέο φύλλο εργασίας και εισάγουμε την τιμή 4 στην θέση Α1. Στην θέση Α2 πληκτρολογούμε την επανάληψη Newton και έχουμε την εξής εικόνα. 48

49 Πατώντας enter έχουμε την εμφάνιση της τιμής 0, Κάνοντας copy (Αντιγραφή) στην τιμή αυτή, μαρκάροντας τα επόμενα 10 κελιά και χρησιμοποιώντας paste (Επικόλληση) έχουμε 49

50 Είναι φανερό ότι από την επανάληψη 5 και μετά οι τιμές δεν μεταβάλλονται πράγμα που σημαίνει ότι έχουμε βρεί την ρίζα και αυτή είναι x * 0, Για να βεβαιωθούμε ότι έχουμε βρει την ρίζα πρέπει να υπολογίσουμε την f ( x * ) και αυτή να είναι κοντά στο μηδέν, πράγμα που κάνουμε στην επόμενη οθόνη. Το αποτέλεσμα είναι πραγματικά μηδέν: 50

51 Σαν άσκηση μπορείτε να ξεκινήσετε την διαδικασία Newton από μια διαφορετική αρχική τιμή και να δείτε αν συγκλίνει στην ρίζα και πόσο γρήγορα συγκλίνει στην 2 ρίζα. Μια άλλη άσκηση είναι να εξετάσετε την συνάρτηση f ( x) = x 3x + 2 με αρχικές τιμές x 0 = 0 και x 0 = 4. Η διαδικασία Newton θα συγκλίνει την πρώτη φορά στην τιμή 1 και την δεύτερη φορά στην τιμή 2 που αποτελούν τις ρίζες της συνάρτησης. ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Το πρόβλημα max : f ( x) χαρακτηρίζεται από τις αναγκαίες και ικανές συνθήκες f ( x * ) = 0 και f ( x * ) < 0 Η εξίσωση f ( x * ) = 0 είναι δυνατόν να μην λύνεται αναλυτικά οπότε θα πρέπει να καταφύγουμε στην χρήση αριθμητικών μεθόδων. Για να βρούμε αριθμητικά το μέγιστο μπορούμε να εφαρμόσουμε την επανάληψη Newton για την λύση της εξίσωσης f ( x * ) = 0, η οποία θα είναι f ( xi ) xi+ 1 = xi, i = 0,1,2,... με δεδομένο x0 f ( x ) i Σαν παράδειγμα ας θεωρήσουμε την συνάρτηση f ( x) = x exp( x) με παραγώγους f ( x) = 1 exp( x) και f ( x) = exp( x). Η αναλυτική λύση είναι x * = 0. Η επανάληψη Newton στην περίπτωση αυτή θα είναι 51

52 52 ) exp( 1 ) exp( ) exp( 1 ) ( ) ( 1 i i i i i i i i i x x x x x x f x f x x + = = = + Το διάγραμμα της συνάρτησης φαίνεται στην επόμενη οθόνη. Για να προγραμματίσουμε την επανάληψη Newton χρησιμοποιούμε την εντολή

53 Με αντιγραφή και επικόλληση οι επόμενες επαναλήψεις της μεθόδου είναι όπως στην ακόλουθη οθόνη. 53

54 Από την 11 η επανάληψη η διαδικασία συγκλίνει στην τιμή 0 που αποτελεί και την αναλυτική τιμή στην οποία η συνάρτηση μεγιστοποιείται. Σαν άσκηση μπορείτε να επιβεβαιώσετε ότι αν αρχίσετε από την τιμή x 0 = 100 θα χρειασθείτε 106 επαναλήψεις για να συγκλίνετε στην τιμή 0. Μια άλλη ιδιότητα της επανάληψης Newton είναι ότι συγκλίνει σε μια επανάληψη αν η συνάρτηση f (x) είναι τετραγωνική. Αν έχουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης της συνάρτησης f (x) μπορούμε να μεγιστοποιήσουμε την g( x) = f ( x) και να έχουμε την ίδια επανάληψη Newton. Απλώς θα πρέπει να βεβαιωθούμε ότι ισχύουν οι συνθήκες δεύτερης τάξης ή να κάνουμε ένα διάγραμμα της συνάρτησης για να βεβαιωθούμε ότι έχουμε βρει το μοναδικό ελάχιστο ή μέγιστο. ΑΠΛΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Αν και είναι δυνατόν να χρησιμοποιήσουμε το Excel για την διεξαγωγή απλής ή πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης υπάρχουν πιο εξειδικευμένα προγράμματα για τέτοιες εργασίες όπως το SPSS ή το Eviews. Στην συνέχεια θα δούμε πως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε απλές συναρτήσεις του Excel για να εφαρμόσουμε την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων όταν το εργαλείο «Ανάλυση Δεδομένων» δεν είναι εγκατεστημένο. Όπως είναι γνωστό από την στατιστική αν έχουμε το γραμμικό υπόδειγμα Y = α + βx + u, i = 1,.., n i i i οι εκτιμήσεις ελαχίστων τετραγώνων των παραμέτρων δίνονται από τις σχέσεις όπου n xi y ˆβ i i= 1 =, n αˆ = Y βˆ X x x i i= 1 2 i = X X και y = Y Y i Θα εφαρμόσουμε απευθείας αυτούς τους τύπους. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τα στοιχεία στην ακόλουθη οθόνη. i i 54

55 Στην συνέχεια κατασκευάζουμε τους μέσους των μεταβλητών χρησιμοποιώντας Insert, Function, Average. 55

56 Έχουμε επομένως την ακόλουθη οθόνη. 2 Στην συνέχεια κατασκευάζουμε τις μεταβλητές x i και x y i i με την διαδικασία που φαίνεται στις επόμενες οθόνες. Για να κατασκευάσουμε την απόκλιση x i πρέπει να χρησιμοποιήσουμε την εντολή A2 A$ 7. Το σύμβολο $ σημαίνει ότι το κελί που ακολουθεί πρέπει να αφαιρεθεί στην μορφή αυτή και να μην αυξηθεί ο δείκτης όπως συμβαίνει συνήθως με τον συμβολισμό A 2 όταν αυτός επικολλάται σε πεδίο κελιών. Εφαρμόζοντας την διαδικασία Copy, Paste στα επόμενα κελιά και κάνοντας το ίδιο για την μεταβλητή y έχουμε την ακόλουθη οθόνη. 56

57 Έχουμε επίσης υπολογίσει τα αθροίσματα των x και y με την χρήση του πλήκτρου Σ από την Γραμμή Εργαλείων για να βεβαιωθούμε ότι οι αποκλίσεις από τους μέσους είναι μηδέν όπως θα έπρεπε. Στην συνέχεια υπολογίζουμε τις μεταβλητές xx = x * x και xy = x * y στις επόμενες δυο στήλες. 57

58 Έχουμε την ακόλουθη οθόνη για τον υπολογισμό του βˆ Για τον υπολογισμό του αˆ έχουμε την επόμενη οθόνη. 58

59 Το αποτέλεσμα είναι η εκτίμηση 4,1 για την σταθερά και 5,5 για την κλίση. Στην συνέχεια δημιουργούμε τα κατάλοιπα U = Y αˆ βˆ X i, τα τετράγωνά τους UU = U ^2 και το άθροισμα των τετραγώνων. 59

60 60

61 Το άθροισμα τετραγώνων των καταλοίπων είναι 34,7. Το άθροισμα των καταλοίπων 15 είναι 7,1 10, δηλαδή πρακτικά μηδέν όπως ισχύει πάντοτε όταν εφαρμόζουμε την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. Για να εκτιμήσουμε την διακύμανση των καταλοίπων έχουμε την οθόνη μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την συνάρτηση VAR: 61

62 Το αποτέλεσμα είναι 8,675. Για να παραστήσουμε γραφικά τα στοιχεία μαζί με την ευθεία παλινδρόμησης πρέπει πρώτα να κατασκευάσουμε μια σειρά που αποδίδει την ευθεία αυτή σε κάθε παρατήρηση X με την εντολή στην ακόλουθη οθόνη. i 62

63 Για να κατασκευάσουμε το διάγραμμα τώρα χρησιμοποιούμε τον Οδηγό Γραφημάτων ή Chart Wizard και ακολουθούμε τα βήματα στις επόμενες οθόνες. 63

64 Στον επόμενο οδηγό επιλέγουμε «Σειρά» και έχουμε 64

65 Καταργούμε τις επόμενες σειρές και έχουμε το εξής διάγραμμα με την επιλογή «Τέλος» ή Finish. 65

66 Στο διάγραμμα αυτό φαίνονται τα αρχικά στοιχεία μας μαζί με την γραμμή της παλινδρόμησης και είναι εύκολο να δούμε κατά πόσον η προσαρμογή του υποδείγματος στα στοιχεία είναι καλή. Για να δούμε πιο καλά την προσαρμογή μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον συντελεστή συσχέτισης μεταξύ των Y και Yfit το τετράγωνο του οποίου είναι ο συντελεστής προσδιορισμού 2 R. Θα έχουμε r = 0, και r 2 = 0,

67 Αξίζει να σημειώσουμε ότι το φύλλο εργασίας είναι πια διαμορφωμένο όπως θα διαμορφώνατε έναν πίνακα τιμών για να εκτιμήσετε τις παραμέτρους όπως σε μια τυπική άσκηση παλινδρόμησης. 67

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Το πακέτο ΕXCEL: Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Eπιμέλεια των σημειώσεων και διδασκαλία: Ευαγγελία Χαλιώτη* Θέματα ανάλυσης: - Συναρτήσεις / Γραφικές απεικονίσεις - Πράξεις πινάκων - Συστήματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2006-07 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο Τα δεδομένα της στήλης Grade (Αρχείο Excel, Φύλλο Ask1) αναφέρονται στη βαθμολογία 63 φοιτητών που έλαβαν μέρος σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ο διευθυντής προσωπικού μιας μεγάλης εταιρείας πιστεύει ότι ίσως υφίσταται κάποια σχέση μεταξύ των ημερών απουσίας και της ηλικίας των εργαζομένων. Με βάση την υπόθεση αυτή ενδιαφέρεται να κατασκευάσει

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. OpenOffice 3.x Calc

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. OpenOffice 3.x Calc ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ OpenOffice 3.x Calc Στόχοι: Με τη βοήθεια του οδηγού αυτού ο εκπαιδευόμενος θα μπορεί να: χρησιμοποιεί τα βασικά εργαλεία του Calc κατασκευάζει πίνακες δημιουργεί φόρμουλες υπολογισμού κατασκευάζει

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΜΚ 105: Πειραματική και Στατιστική Ανάλυση Δημιουργία Πινάκων και Γραφικών Παραστάσεων στην Excel 18/09/14

ΜΜΚ 105: Πειραματική και Στατιστική Ανάλυση Δημιουργία Πινάκων και Γραφικών Παραστάσεων στην Excel 18/09/14 ΜΜΚ 105: Πειραματική και Στατιστική Ανάλυση Δημιουργία Πινάκων και Γραφικών Παραστάσεων στην Excel 18/09/14 1. Δημιουργία Πίνακα 1.1 Εισαγωγή μετρήσεων και υπολογισμός πράξεων Έστω ότι χρειάζεται να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΑΥΤΟΠΑΛΙΝΔΡΟΜΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ AR(p) Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Γρήγορη Εκκίνηση. Όταν ξεκινήσετε το GeoGebra, εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο:

Γρήγορη Εκκίνηση. Όταν ξεκινήσετε το GeoGebra, εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο: Τι είναι το GeoGebra; Γρήγορη Εκκίνηση Λογισμικό Δυναμικών Μαθηματικών σε ένα - απλό στη χρήση - πακέτο Για την εκμάθηση και τη διδασκαλία σε όλα τα επίπεδα της εκπαίδευσης Συνδυάζει διαδραστικά γεωμετρία,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο 8.1 Συντελεστές συσχέτισης: 8.1.1 Συσχέτιση Pearson, και ρ του Spearman 8.1.2 Υπολογισµός του συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

1. Να σχεδιάσετε το κύκλωµα διακοπής ρεύµατος σε πηνίο.

1. Να σχεδιάσετε το κύκλωµα διακοπής ρεύµατος σε πηνίο. ΙΑΚΟΠΗ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΣΕ ΠΗΝΙΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Τάξη και τµήµα: Ηµεροµηνία: Όνοµα µαθητή: 1. Να σχεδιάσετε το κύκλωµα διακοπής ρεύµατος σε πηνίο. 2. Η ένταση του ρεύµατος που µετράει το αµπερόµετρο σε συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

POWERPOINT 2003. Είναι το δημοφιλέστερο πρόγραμμα παρουσιάσεων.

POWERPOINT 2003. Είναι το δημοφιλέστερο πρόγραμμα παρουσιάσεων. POWERPOINT 2003 1. Τι είναι το PowerPoint (ppt)? Είναι το δημοφιλέστερο πρόγραμμα παρουσιάσεων. 2. Τι δυνατότητες έχει? Δημιουργία παρουσίασης. Μορφοποίηση παρουσίασης. Δημιουργία γραφικών. Δημιουργία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όταν ενδιαφερόμαστε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η φυσιολογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS To SPSS θα: - Κάνει πολύπλοκη στατιστική ανάλυση σε δευτερόλεπτα -

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 5 ο : Ο Προσδιορισμός των Τιμών ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Ασκήσεις 1. Οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς ενός αγαθού είναι: =20-2P και S =5+3P αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 201 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010 ΕΠΩΝΥΜΟ:........................ ΟΝΟΜΑ:........................... ΤΜΗΜΑ:........................... ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 919113 949422 www.syghrono.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ EXCEL ΣΤΟ ΣΧΟΛΕΙΟ - ΙΔΕΕΣ, ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, ΤΕΧΝΙΚΕΣ

ΤΟ EXCEL ΣΤΟ ΣΧΟΛΕΙΟ - ΙΔΕΕΣ, ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, ΤΕΧΝΙΚΕΣ 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 295 ΤΟ EXCEL ΣΤΟ ΣΧΟΛΕΙΟ - ΙΔΕΕΣ, ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, ΤΕΧΝΙΚΕΣ Νικόλαος Καμπράνης Μαθηματικός Επιμορφωτής Ενδοσχολικής Επιμόρφωσης Μέλος ομάδας ανάπτυξης Εκπαιδευτικής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ TEXNOΛΟΓΙΚΟ EΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Σημειώσεις Εργαστηρίου για το Δρ. Ευάγγελος Φιλιππίδης ΣΕΡΡΕΣ,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Λίγα λόγια από το συγγραφέα... 7 1 Microsoft Word 2010... 9. 2 ημιουργία νέου εγγράφου... 17. 3 Το σύστημα Βοήθειας του Office...

Περιεχόμενα. Λίγα λόγια από το συγγραφέα... 7 1 Microsoft Word 2010... 9. 2 ημιουργία νέου εγγράφου... 17. 3 Το σύστημα Βοήθειας του Office... Περιεχόμενα Λίγα λόγια από το συγγραφέα... 7 1 Microsoft Word 2010... 9 2 ημιουργία νέου εγγράφου... 17 3 Το σύστημα Βοήθειας του Office... 31 4 Μετακίνηση σε έγγραφο και προβολές εγγράφου... 37 5 Επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ ΑΡΧΕΙΟΥ ΣΕ ΔΙΣΚΕΤΑ ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ ΑΡΧΕΙΟΥ ΑΠΟ ΔΙΣΚΕΤΑ. Από τον κατάλογο που εμφανίζεται επιλέγω: Αποστολή προς Δισκέτα (3,5)

ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ ΑΡΧΕΙΟΥ ΣΕ ΔΙΣΚΕΤΑ ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ ΑΡΧΕΙΟΥ ΑΠΟ ΔΙΣΚΕΤΑ. Από τον κατάλογο που εμφανίζεται επιλέγω: Αποστολή προς Δισκέτα (3,5) ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ ΑΡΧΕΙΟΥ ΣΕ ΔΙΣΚΕΤΑ ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ ΑΡΧΕΙΟΥ ΑΠΟ ΔΙΣΚΕΤΑ Τοποθετώ μια δισκέτα στον οδηγό τη δισκέτας του υπολογιστή. Τοποθετώ τη δισκέτα που έχει το αρχείο μου στον οδηγό τη δισκέτας του υπολογιστή.

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

SPSS Statistical Package for the Social Sciences

SPSS Statistical Package for the Social Sciences SPSS Statistical Package for the Social Sciences Ξεκινώντας την εφαρμογή Εισαγωγή εδομένων Ορισμός Μεταβλητών Εισαγωγή περίπτωσης και μεταβλητής ιαγραφή περιπτώσεων ή και μεταβλητών ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Οικονομικής Επιστήμης. Ευθύμιος Γ. Τσιώνας Επίκουρος καθηγητής. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤO EViews

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Οικονομικής Επιστήμης. Ευθύμιος Γ. Τσιώνας Επίκουρος καθηγητής. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤO EViews ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Οικονομικής Επιστήμης Ευθύμιος Γ. Τσιώνας Επίκουρος καθηγητής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤO EViews ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το πακέτο EViews είναι μια εφαρμογή για περιβάλλον Windows της οποίας σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

1. Τα τμήματα της επιφάνειας εργασίας των Windows

1. Τα τμήματα της επιφάνειας εργασίας των Windows 1. Τα τμήματα της επιφάνειας εργασίας των Windows Εικονίδια συντομεύσεων (αρχείου-φακέλου) Εικονίδια Ανενεργά Ενεργό Επιφάνεια (αρχείου-φακέλου) παράθυρα παράθυρο εργασίας Γραμμή μενού Γραμμή εργαλείων

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ PASW 18 Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 2011 2012 ΕΠΙΧ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ TEXNOΛΟΓΙΚΟ EΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Σημειώσεις Εργαστηρίου για το Δρ. Ευάγγελος Φιλιππίδης ΣΕΡΡΕΣ,

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Ονοματεπώνυμο: Βαθμός:

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Ονοματεπώνυμο: Βαθμός: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Ονοματεπώνυμο: Βαθμός: Θέμα 1ο Α) Απαντήστε στις παρακάτω ερωτήσεις επιλέγοντας Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος). 1) Ο έλεγχος μιας συνθήκης έχει μόνο δυο τιμές,

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Δρ. Τακβόρ Σουκισιάν Κύριος Ερευνητής ΕΛΚΕΘΕ Forecasting is very dangerous, especially about the future --- Samuel Goldwyn 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής

1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής ε ν ό τ η τ α 1 1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής Οι εφαρμογές των μεθόδων της στατιστικής είναι ευρείες. Πριν την αναφορά μας για τη χρησιμότητα της στατιστικής, είναι σκόπιμο να παραθέσουμε τους παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Περιβάλλον ηλεκτρονικού υπολογιστή...9 Επιφάνεια εργασίας...12 Διαχείριση αρχείων...15 Ιοί Η/Υ...21 Διαχείριση εκτυπώσεων...

Περιεχόμενα. Περιβάλλον ηλεκτρονικού υπολογιστή...9 Επιφάνεια εργασίας...12 Διαχείριση αρχείων...15 Ιοί Η/Υ...21 Διαχείριση εκτυπώσεων... Περιεχόμενα Περιβάλλον ηλεκτρονικού υπολογιστή...9 Επιφάνεια εργασίας...12 Διαχείριση αρχείων...15 Ιοί Η/Υ...21 Διαχείριση εκτυπώσεων...22 Περιβάλλον ηλεκτρονικού υπολογιστή...23 Επιφάνεια εργασίας...26

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. OpenOffice 3.x Impress

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. OpenOffice 3.x Impress ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ OpenOffice 3.x Impress Στόχοι: Με τη βοήθεια του οδηγού αυτού ο εκπαιδευόμενος θα μπορεί να: χρησιμοποιεί τα εργαλεία του Impress για δημιουργία παρουσιάσεων εμπλουτίζει τις παρουσιάσεις με

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Κωνσταντίνος Σιασιάκος, Δρ Πληροφορικής. Σταύρος Κωτσάκης, Ταταράκη Αλεξάνδρα

Κωνσταντίνος Σιασιάκος, Δρ Πληροφορικής. Σταύρος Κωτσάκης, Ταταράκη Αλεξάνδρα Επιστημονική Ευθύνη Κωνσταντίνος Σιασιάκος, Δρ Πληροφορικής Συγγραφή Σταύρος Κωτσάκης, Ταταράκη Αλεξάνδρα Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό παράχθηκε στο πλαίσιο του Έργου «Κέντρα Εκπαίδευσης Ενηλίκων ΙΙ», το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Παρακάτω θα βρείτε τις βασικές οδηγίες για την δημιουργία μεγάλων αρχείων τηλεφωνικών καταλόγων στο Bulk sms system:

Παρακάτω θα βρείτε τις βασικές οδηγίες για την δημιουργία μεγάλων αρχείων τηλεφωνικών καταλόγων στο Bulk sms system: Αγαπητέ πελάτη, Παρακάτω θα βρείτε τις βασικές οδηγίες για την δημιουργία μεγάλων αρχείων τηλεφωνικών καταλόγων στο Bulk sms system: Τα αρχεία που υποστηρίζει το σύστημα είναι αρχεία κειμένου (.txt) &

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

To Microsoft Excel XP

To Microsoft Excel XP To Microsoft Excel XP ΚΑΡΤΕΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 Το Microsoft Excel XP είναι ένα πρόγραμμα που μπορεί να σε βοηθήσει να φτιάξεις μεγάλους πίνακες, να κάνεις μαθηματικές πράξεις με αριθμούς, ακόμα και να φτιάξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.)

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση είναι ένας έτοιμος τύπος ο οποίος δέχεται σαν είσοδο τιμές ή συνθήκες και επιστρέφει ένα αποτέλεσμα, το οποίο μπορεί να είναι μια τιμή αριθμητική, αλφαριθμητική, λογική, ημερομηνίας

Διαβάστε περισσότερα

Εξεταστέα Ύλη (Syllabus) Έκδοση 5.0

Εξεταστέα Ύλη (Syllabus) Έκδοση 5.0 Εξεταστέα Ύλη (Syllabus) Έκδοση 5.0 Πνευματικά Δικαιώματα 2007 Ίδρυμα ECDL (ECDL Foundation www.ecdl.org) Όλα τα δικαιώματα είναι κατοχυρωμένα. Κανένα μέρος αυτού του εγγράφου δεν μπορεί να αναπαραχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 Ν. ΠΑΝΤΕΛΗ ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2012 1 ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 ΚΟΣΤΗ Ν.

Διαβάστε περισσότερα

Survey 123 User Manual

Survey 123 User Manual Survey 123 User Manual 1. Γενικά για το πρόγραμμα 2. Έναρξη προγράμματος 3. Ορισμός χρηστών εφαρμογής 4. Επιλογή - Άνοιγμα έρευνας 5. Δημιουργία νέας έρευνας 6. Δημιουργία έρευνας με βάση το ερωτηματολόγιο

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ Άσκηση 1 Οι βαθμοί 5 φοιτητών που πέρασαν το μάθημα της Στατιστικής ήταν: 6 5 7 5 9 5 6 6 8 10 8 5 6 7 5 6 5 7 8 9 5 6 7 5 8 i. Να κάνετε πίνακα κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θέμα: «Γραμμικά μοντέλα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών Θεματική Ενότητα Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος 008-009 ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα) Να απαντηθούν 5

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Όταν η Κ.Π.Δ. είναι γραμμική τότε το κόστος ευκαιρίας είναι πάντοτε σταθερό και ίσο με τη μονάδα.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Όταν η Κ.Π.Δ. είναι γραμμική τότε το κόστος ευκαιρίας είναι πάντοτε σταθερό και ίσο με τη μονάδα. ΟΜΑΔΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Στις παρακάτω προτάσεις, από Α.1 μέχρι και Α.5 να γράψετε τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα του την ένδειξη: Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. Α.1.

Διαβάστε περισσότερα

«Αβάκιο» Οδηγός χρήσης Μικρόκοσμου που αποτελείται από τις ψηφίδες Καμβάς, Χελώνα, Γλώσσα, Μεταβολέας, Χρώματα.

«Αβάκιο» Οδηγός χρήσης Μικρόκοσμου που αποτελείται από τις ψηφίδες Καμβάς, Χελώνα, Γλώσσα, Μεταβολέας, Χρώματα. «Αβάκιο» Οδηγός χρήσης Μικρόκοσμου που αποτελείται από τις ψηφίδες Καμβάς, Χελώνα, Γλώσσα, Μεταβολέας, Χρώματα. Πώς θα δουλέψεις με το Χελωνόκοσμο την πρώτη φορά 1. Θα χρησιμοποιήσεις το αριστερό πλήκτρο

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 4: Υπολογιστικά Φύλλα και Επεξεργασία Δεδομένων. Ομάδα Β: Επεξεργασία πειραματικών δεδομένων

Εργασία 4: Υπολογιστικά Φύλλα και Επεξεργασία Δεδομένων. Ομάδα Β: Επεξεργασία πειραματικών δεδομένων Εργασία 4: Υπολογιστικά Φύλλα και Επεξεργασία Δεδομένων Ομάδα Β: Επεξεργασία πειραματικών δεδομένων Τι είναι τα υπολογιστικά φύλλα Λογιστικό φύλλο (spreadsheet): ο λογιστικός πίνακας, (παλαιότερα «λογιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων

Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ Τμηματικό e-mal : dap_ode@yahoo.gr www.dap-pape.gr

Διαβάστε περισσότερα