Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων"

Transcript

1 Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές ή αναλογίες. Αυτά τα στατιστικά αφορούν μόνον τα δείγματα από τα οποία προέρχονται τα στατιστικά. Έχει όμως ιδιαίτερη σημασία και αξία το να μπορούμε να βγάζουμε συμπεράσματα για τις παραμέτρους των πληθυσμών από τους οποίους πήραμε τα δείγματα. Για παράδειγμα, αν υπολογίσουμε το μέσο όρο μιας μεταβλητής και αυτός έχει την τιμή 5, είναι εύλογο να αναρωτηθούμε αν είναι 5 ή διαφορετική του 5 η μέση τιμή της μεταβλητής για ολόκληρο τον πληθυσμό. Ή αν σε ένα γκάλοπ βρούμε ότι το κόμμα Α φαίνεται ότι θα το ψήφιζαν το 30% των ερωτώμενων, θα είναι τόσο το ποσοστό και σε ολόκληρο τον πληθυσμό των ψηφοφόρων ή θα διαφέρει; Ή ακόμη αν επιχειρήσουμε να βελτιώσουμε τη διδασκαλία ενός μαθήματος και στις εξετάσεις που ακολουθούν, οι βαθμοί που γράφουν οι φοιτητές σε ένα τυχαίο δείγμα που πήραμε, είναι κατά μέσο όρο μία μονάδα μεγαλύτεροι από παλιότερους βαθμούς, τότε μπορούμε να πούμε ότι γενικότερα βελτιώθηκε η επίδοση των φοιτητών στο μάθημα; Για να απαντήσουμε θα πρέπει να κάνουμε ελέγχους υποθέσεων. Ελέγχους υποθέσεων κάνουμε όταν παίρνουμε στατιστικά από δείγματα και στη συνέχεια βγάζουμε συμπεράσματα για τις αντίστοιχες παραμέτρους των πληθυσμών από τους οποίους Απαγορεύεται η αναδημοσίευση χωρίς την άδεια των εκδ. Κριτική Σελίδα 1

2 προέρχονται αυτά τα δείγματα. Δεν επικεντρωνόμαστε στα στατιστικά των δειγμάτων, αλλά μας ενδιαφέρει να αποφασίζουμε για το γίνεται συνολικά στους πληθυσμούς από τους οποίους προέρχονται τα δείγματα. Έτσι παίρνουμε δείγματα από πληθυσμούς, υπολογίζουμε τα στατιστικά τους που μας ενδιαφέρουν και που εκτιμούν τις αντίστοιχες παραμέτρους των πληθυσμών από τους οποίους προέρχονται τα δείγματα, και τέλος με βάση θεωρητικές ιδιότητες συμπεραίνουμε για το τι συμβαίνει στους πληθυσμούς. Οι έλεγχοι δίνουν συμπεράσματα που αφορούν τον πληθυσμό και αυτά τα συμπεράσματα ισχύουν γενικά αλλά όχι απόλυτα. Το τελευταίο σημαίνει ότι μπορούμε να συμπεραίνουμε ότι κάτι θα ισχύει ή δεν θα ισχύει για τον πληθυσμό, αλλά πάντα θα υπάρχει μια μικρή πιθανότητα να πέφτουμε έξω. Συχνά αυτή προσδιορίζεται στο 5%. Ο τρόπος που εργαζόμαστε είναι να δημιουργούμε δύο μαθηματικές προτάσεις που ονομάζονται στατιστικές υποθέσεις ή απλά υποθέσεις. Είναι πάντα δύο και μέσω μιας διαδικασίας ελέγχου, αποφασίζουμε αν θα απορρίψουμε τη μία ή όχι. Έτσι στους ελέγχους υποθέσεων διατυπώνουμε δύο υποθέσεις, τη μηδενική που συνήθως εκφράζει ισότητα ή ομοιομορφία και την εναλλακτική που είναι μια εναλλακτική πρόταση αλλά όχι κατ ανάγκη η πλήρως συμπληρωματική υπόθεση. Η εναλλακτική υπόθεση μπορεί να εκφράζει την μη ισότητα (τη διαφορά) και τότε έχουμε δίπλευρο έλεγχο. Ή μπορεί να εκφράζει ανισότητα (την περίπτωση του μικρότερου ή του μεγαλύτερου), οπότε έχουμε μονόπλευρο έλεγχο. Σε κάθε περίπτωση πάντα επιλέγουμε μία εναλλακτική υπόθεση, όχι και τις τρεις: διάφορο, μεγαλύτερο ή μικρότερο. Το ποια θα επιλέξουμε έχει να κάνει με τη διατύπωση της άσκησης ή το ζητούμενο της στατιστικής ανάλυσης που επιχειρούμε. Δεν επιλέγουμε να δουλέψουμε με όλες τις εναλλακτικές υποθέσεις. Είναι σημαντικό να έχουμε κατά νου ότι πάντα ο έλεγχος γίνεται ως προς την μηδενική υπόθεση. Δηλαδή πάντα ελέγχουμε αν ισχύει η μηδενική έναντι της εναλλακτικής. Απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση ή δεν την απορρίπτουμε. Αν την απορρίψουμε τότε ισχύει η εναλλακτική. Όλη η κουβέντα γίνεται για τη μηδενική υπόθεση: απορρίπτουμε ή δεν απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση. Βοηθάει να έχουμε επίσης κατά νου ότι για «γραμμικά» στατιστικά όπως μέσους όρους και ποσοστά χρησιμοποιούμε την κανονική κατανομή (για μεγάλα Απαγορεύεται η αναδημοσίευση χωρίς την άδεια των εκδ. Κριτική Σελίδα 2

3 δείγματα n>30) ή την κατανομή t του Student (για μικρά δείγματα). Για τετραγωνικά στατιστικά όπως τις διασπορές χρησιμοποιούμε την X 2 κατανομή και τέλος για τους λόγους διασπορών χρησιμοποιούμε την F κατανομή. Οι έλεγχοι υποθέσεων ονομάζονται και έλεγχοι σημαντικότητας. Οι ερωτήσεις με τις οποίες ασχολούμαστε είναι κατά πόσο, για παράδειγμα, οι μέσες τιμές δύο πληθυσμών είναι ίσες μεταξύ τους ή αν υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά μεταξύ τους. Στατιστικά σημαντική διαφορά είναι η διαφορά που τεκμηριώνεται με τη χρήση ενός στατιστικού (από το αποτέλεσμα ενός τύπου) όταν αυτό συγκρίνεται με μια κρίσιμη τιμή μιας στατιστικής κατανομής η οποία εξαρτάται από μια στάθμη σημαντικότητας α. Το α εκφράζει την πιθανότητα να κάνουμε λάθος αν απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση ενώ δεν έπρεπε. Η στάθμη σημαντικότητας α γράφεται και ως σσ α και οι τιμές της είναι συνήθως 0,05 ή λιγότερο. 9.2 Έλεγχος σημαντικότητας για τη μέση τιμή (μεγάλα δείγματα) Ο πρώτος έλεγχος που θα δούμε είναι και ο ευκολότερος. Παίρνουμε ένα μεγάλο τυχαίο δείγμα (n>30) και η μεταβλητή X που μετράμε ακολουθεί την κανονική κατανομή Ν(μ,σ 2 ). Τις παραμέτρους όμως αυτές μ και σ 2 της κανονικής κατανομής δεν τις γνωρίζουμε. Αυτό που γνωρίζουμε είναι το μέγεθος του δείγματος, τον μέσο όρο των παρατηρήσεων της μεταβλητής στο δείγμα και την δειγματική διασπορά. Βασισμένοι μόνο στα στατιστικά που έχουμε, θέλουμε να ελέγξουμε αν η μέση τιμή του πληθυσμού είναι ίση με μια συγκεκριμένη και δοσμένη τιμή. Συνήθως από παλιές έρευνες γνωρίζουμε πόση ήταν η μέση τιμή και θέλουμε να δούμε αν και σήμερα η μέση τιμή ισούται με αυτή την ποσότητα. Το είναι επίσης γνωστό γιατί μπορεί να αποτελεί μια ιδανική τιμή ή μπορεί να αποτελεί την τιμή ενός άλλου πληθυσμού με τον οποίο θέλουμε να συγκρίνουμε τον δικό μας. Υπολογίζουμε ή μας δίνεται ο μέσος όρος και η τυπική απόκλιση της Χ στο δείγμα, και s αντίστοιχα. Η μηδενική υπόθεση είναι πάντα της ισότητας. Ως εναλλακτική μπορούμε να επιλέξουμε μία (μόνο μία) από τρεις:. Αν επιλέξουμε Απαγορεύεται η αναδημοσίευση χωρίς την άδεια των εκδ. Κριτική Σελίδα 3

4 μία από τις δύο πρώτες κάνουμε μονόπλευρο έλεγχο, αν επιλέξουμε την τελευταία κάνουμε δίπλευρο έλεγχο. Στον έλεγχο υποθέσεων κάνουμε τρία βήματα: 1) Γράφουμε τις υποθέσεις, την μηδενική και την κατάλληλη εναλλακτική. 2) Υπολογίζουμε ένα στατιστικό χρησιμοποιώντας έναν τύπο, βάσει του οποίου θα βγάλουμε συμπεράσματα. 3) Ορίζουμε την απορριπτική περιοχή, δηλαδή συγκρίνουμε το στατιστικό που βρήκαμε στο προηγούμενο βήμα, με μια κρίσιμη τιμή (χρησιμοποιούμε γι αυτόν τον λόγο την κατάλληλη θεωρητική κατανομή), και αν το στατιστικό την υπερβαίνει απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση. Άρα για την περίπτωσή μας: Βήμα 1) Γράφουμε τις κατάλληλες υποθέσεις, την μηδενική και μία από τις τρεις εναλλακτικές Βήμα 2) Υπολογίζουμε το στατιστικό κατανομή το οποίο ακολουθεί την τυπική κανονική Βήμα 3) Επιλέγουμε μια στάθμη σημαντικότητας α (αν δεν μας δίνεται θεωρούμε α=0,05) 1. Αν η εναλλακτική είναι τότε απορρίπτουμε την αν Απαγορεύεται η αναδημοσίευση χωρίς την άδεια των εκδ. Κριτική Σελίδα 4

5 2. Αν η εναλλακτική είναι τότε απορρίπτουμε την αν (δηλαδή στις περιπτώσεις 1 και 2 απορρίπτουμε την αν ) 3. Αν η εναλλακτική είναι απορρίπτουμε την αν Για το τελευταίο διαιρούμε το α στο μισό γιατί έχουμε δίπλευρο έλεγχο. Χωρίζουμε δηλαδή τη στάθμη σημαντικότητας σε δύο μισά. Ας εξηγήσουμε τι ακριβώς σημαίνει η στάθμη σημαντικότητας, το α. Η τιμή του δείχνει αν η μέση τιμή ισούται με ή όχι. Όσο πιο μεγάλο είναι το τόσο πιο σίγουροι είμαστε ότι η μέση τιμή διαφέρει από την ποσότητα με την οποία τη συγκρίνουμε. Αν η διαφορά είναι μεγάλη (μεγάλο ) τότε η μέση τιμή του πληθυσμού διαφέρει από την ποσότητα με την οποία την συγκρίνουμε, και τότε απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση. Πόσο μεγάλη πρέπει όμως να είναι η διαφορά (το ) ώστε να απορρίψουμε την ισότητα; Το είναι μεγάλο (ή μικρό - δηλαδή έχει ακραία τιμή) αν ανήκει στο 5% (ή γενικά στο 100α%) των μεγαλύτερων (ακραίων) τιμών της κατανομής την οποία ακολουθεί. Οπότε εμείς βρίσκουμε ποια είναι η κρίσιμη τιμή που καθορίζει το 5% των παρατηρήσεων της κατανομής των, και αν το συγκεκριμένο είναι μεγαλύτερο από αυτή την κρίσιμη τιμή, τότε είναι μεγάλο και απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση της ισότητας. 9.3 Έλεγχος σημαντικότητας για τη μέση τιμή (μικρά δείγματα) Αν στην προηγούμενη περίπτωση έχουμε μικρό τυχαίο δείγμα (n 30) και η μεταβλητή X που μετράμε ακολουθεί την κανονική κατανομή Ν(μ,σ 2 ), τότε τα βήματα διαμορφώνονται ως εξής: Βήμα 1) εναλλακτικές Γραφούμε τις κατάλληλες υποθέσεις, την μηδενική και μία από τις τρεις Απαγορεύεται η αναδημοσίευση χωρίς την άδεια των εκδ. Κριτική Σελίδα 5

6 Βήμα 2) Υπολογίζουμε το στατιστικό το οποίο ακολουθεί την κατανομή t του Student Βήμα 3) Επιλέγουμε μια στάθμη σημαντικότητας α (αν δεν μας δίνεται θωρούμε α=0,05) 1. Αν τότε απορρίπτουμε την αν 2. Αν τότε απορρίπτουμε την αν (δηλαδή στις περιπτώσεις 1 και 2 απορρίπτουμε την αν ) 4. Αν απορρίπτουμε την αν. Χωρίζουμε δηλαδή τη στάθμη σημαντικότητας σε δύο μισά, στις δύο ουρές της συμμετρικής κατανομής Student. Παράδειγμα 9.1: Ας υποθέσουμε ότι ο μέσος όρος της βαθμολογίας τυχαίου δείγματος 200 φοιτητών στο μάθημα της στατιστικής είναι 7,5 και η τυπική απόκλιση 3. Μέχρι πέρσι η μέση τιμή βαθμολογίας ήταν 8. Μπορούμε να πούμε σε σσ α=2% ότι η μέση τιμή της βαθμολογίας των φοιτητών στο μάθημα της στατιστικής έπεσε; Πώς θα δουλεύαμε αν το δείγμα είχε μέγεθος 20 άτομα; Λύση: Γραφούμε τις υποθέσεις ή Απαγορεύεται η αναδημοσίευση χωρίς την άδεια των εκδ. Κριτική Σελίδα 6

7 Η εναλλακτική δηλώνει ότι ελέγχουμε αν η μέση τιμή έπεσε, σύμφωνα με το ερώτημα της άσκησης. Στο πρώτο ερώτημα της άσκησης έχουμε μεγάλο δείγμα και θα πάρουμε κανονική κατανομή, ενώ στη δεύτερη περίπτωση με τα 20 άτομα θα χρησιμοποιήσουμε την κατανομή Student. Όταν λοιπόν n=200 υπολογίζουμε το στατιστικό το οποίο ακολουθεί την τυπική κανονική κατανομή Επειδή α=0,02 απορρίπτουμε την αν Από το πίνακα της τυπικής κανονικής κατανομή Και επειδή δεν είναι μικρότερο από το δεν μπορούμε να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση. Δηλαδή δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η μέση βαθμολογία έπεσε. Με άλλα λόγια, μπορεί στο δείγμα να συμβαίνει κάτι τέτοιο αλλά αυτό δεν μπορούμε να το γενικεύσουμε για ολόκληρο τον πληθυσμό. Αν τώρα είχαμε n=20 υπολογίζουμε το στατιστικό t το οποίο ακολουθεί την Student κατανομή (για μικρά δείγματα) Απαγορεύεται η αναδημοσίευση χωρίς την άδεια των εκδ. Κριτική Σελίδα 7

8 Επειδή α=0,02 απορρίπτουμε την Το Και επειδή αν δεν είναι μικρότερο από το δεν μπορούμε να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση, δηλαδή δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η μέση βαθμολογία έπεσε. Σημειώστε ότι αν για ένα μεγάλο δείγμα (n=200) δεν απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση τότε μάλλον δεν θα απορρίπτεται και για ένα μικρό δείγμα (n=20) χρησιμοποιώντας τα ίδια στατιστικά. 9.4 Έλεγχος σημαντικότητας για τη διασπορά Παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα με μέγεθος n, στο οποίο η μεταβλητή X που μετράμε ακολουθεί κανονική κατανομή. Υπολογίζουμε τη δειγματική διασπορά. Θέλουμε να ελέγξουμε αν η διασπορά του πληθυσμού ισούται με μια συγκεκριμένη τιμή έστω Βήμα 1) Γραφούμε τις κατάλληλες υποθέσεις, την μηδενική και μία από τις τρεις εναλλακτικές Απαγορεύεται η αναδημοσίευση χωρίς την άδεια των εκδ. Κριτική Σελίδα 8

9 Βήμα 2) Υπολογίζουμε το στατιστικό το οποίο ακολουθεί την κατανομή με n-1 βαθμούς ελευθερίας Βήμα 3) Επιλέγουμε μια στάθμη σημαντικότητας α (αν δεν μας δίνεται θωρούμε α=0,05) 1. Αν η εναλλακτική είναι τότε απορρίπτουμε την αν 2. Αν η εναλλακτική είναι τότε απορρίπτουμε την αν 3. Αν η εναλλακτική είναι τότε απορρίπτουμε την αν ή Το τελευταίο ( ή ) αφορά τις δύο ουρές της κατανομής. Επειδή όπως είπαμε στο Κεφάλαιο 6, η κατανομή δεν είναι συμμετρική, αν χωρίσουμε το α σε δύο μισά οι αντίστοιχες κρίσιμες τιμές για τον δίπλευρο έλεγχο δεν είναι όπως στην τυπική κανονική ή την Student κατανομή, που είναι συμμετρικές. 9.5 Έλεγχος σημαντικότητας για το p της δυωνυμικής κατανομής (μεγάλα δείγματα) Παίρνουμε ένα μεγάλο τυχαίο δείγμα στο οποίο η μεταβλητή X παίρνει την τιμή 0 ή 1 (αποτυχία ή επιτυχία). Υπολογίζουμε το ποσοστό p που επιθυμούμε (των «ευνοϊκών» περιπτώσεων ή επιτυχιών). Θέλουμε να ελέγξουμε αν η αντίστοιχη αναλογία στον πληθυσμό έχει μια συγκεκριμένη τιμή. Συχνά για να υπολογίσουμε το ποσοστό p υπολογίζουμε το, διαιρούμε δηλαδή το πλήθος x των ευνοϊκών περιπτώσεων δια το μέγεθος του δείγματος n. Το δείγμα είναι Απαγορεύεται η αναδημοσίευση χωρίς την άδεια των εκδ. Κριτική Σελίδα 9

10 συνήθως μεγάλο, δεδομένου ότι μιλάμε για ποσοστό και αναλογία. Αυτό σημαίνει ότι θα χρησιμοποιήσουμε την κανονική κατανομή. Βήμα 1) Γράφουμε τις κατάλληλες υποθέσεις, την μηδενική και μία από τις τρεις εναλλακτικές Βήμα 2) Υπολογίζουμε το στατιστικό Βήμα 3) Επιλέγουμε μια στάθμη σημαντικότητας α (αν δεν μας δίνεται θωρούμε α=0,05) 1. Αν η εναλλακτική είναι τότε απορρίπτουμε την αν 2. Αν η εναλλακτική είναι τότε απορρίπτουμε την αν 3. Αν η εναλλακτική είναι τότε απορρίπτουμε την αν Παράδειγμα 9.2: Αν σε τυχαίο δείγμα με n=1000 έχουμε βρει ότι x=300 άτομα έχουν μια συγκεκριμένη άποψη, μπορούμε να πούμε σε στάθμη σημαντικότητας α=5% ότι το αντίστοιχο ποσοστό (αναλογία) του πληθυσμού δεν διαφέρει από το 35%; Λύση: Απαγορεύεται η αναδημοσίευση χωρίς την άδεια των εκδ. Κριτική Σελίδα 10

11 Προσέξτε ότι γράφουμε δεκαδικούς αριθμούς και όχι ποσοστά. Διατυπώνουμε τις υποθέσεις, την μηδενική και την κατάλληλη εναλλακτική Υπολογίζουμε Απορρίπτουμε την αν Βλέπουμε ότι όντως Οπότε απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση. Η αναλογία διαφέρει από την τιμή 0,35=35%. Στις πράξεις καλό είναι να χρησιμοποιούμε ακρίβεια τεσσάρων ή και πέντε δεκαδικών όταν υπολογίζουμε ποσότητες με ποσοστά. 9.6 Σύγκριση των διασπορών δύο πληθυσμών Αυτός ο έλεγχος έχει σημασία γιατί τον κάνουμε ως ενδιάμεσο στάδιο στον έλεγχο ισότητας μέσων τιμών σε μικρά δείγματα, τον οποίο θα δούμε παρακάτω. Παίρνουμε δύο ανεξάρτητα τυχαία δείγματα από πληθυσμούς στους οποίους η μεταβλητή X που μετράμε ακολουθεί κανονικές κατανομές. Απαγορεύεται η αναδημοσίευση χωρίς την άδεια των εκδ. Κριτική Σελίδα 11

12 Υπολογίζουμε τις δειγματικές διασπορές και. Θέλουμε να ελέγξουμε αν οι διασπορές των δύο πληθυσμών είναι ίσες μεταξύ τους. Γενικός κανόνας όταν συγκρίνουμε διασπορές είναι ότι τις διαιρούμε, δεν τις αφαιρούμε. Επίσης βολεύει να υπολογίζουμε το στατιστικό βάζοντας στον αριθμητή τη μεγαλύτερη από τις δύο δειγματικές διασπορές. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι. Η θα μπει στον αριθμητή. Βήμα 1) Γράφουμε τις κατάλληλες υποθέσεις, τη μηδενική και μία από τις τρεις εναλλακτικές (στην πραγματικότητα αν υποθέσουμε ότι βάλαμε οι εναλλακτικές είναι δύο, του διάφορου και του μεγαλύτερου). Ας δούμε πρώτα την εναλλακτική του μεγαλύτερου. Οι υποθέσεις είναι Βήμα 2) Υπολογίζουμε το στατιστικό το οποίο ακολουθεί την F κατανομή με και βαθμούς ελευθερίας Βήμα 3) Επιλέγουμε μια στάθμη σημαντικότητας α (αν δεν μας δίνεται θωρούμε α=0,05). Απορρίπτουμε την όταν Αν είχαμε δίπλευρο έλεγχο, δηλαδή Απαγορεύεται η αναδημοσίευση χωρίς την άδεια των εκδ. Κριτική Σελίδα 12

13 πράγμα που είναι πάρα πολύ συνηθισμένο, τότε απορρίπτουμε την όταν Θυμίζουμε ότι. Θα δούμε μια εφαρμογή των παραπάνω στο Παράδειγμα 9.4, όταν ο έλεγχος ισότητας διασπορών θα συνδυαστεί με τον έλεγχο μέσων τιμών για δύο μικρά δείγματα, γιατί όπως είπαμε, συνήθως των έλεγχο της ισότητας δύο διασπορών τον κάνουμε ως ενδιάμεσο στάδιο στον έλεγχο μέσων τιμών για μικρά δείγματα. 9.7 Έλεγχος σημαντικότητας για τη διαφορά δύο μέσων τιμών (μεγάλα δείγματα) Πολύ συχνά ενδιαφέρει να διαπιστώσουμε αν διαφέρουν οι μέσες τιμές μιας μεταβλητής σε δύο πληθυσμούς. Για παράδειγμα διαφέρει η επίδοση στο μάθημα της στατιστικής ανάμεσα σε δύο Τμήματα του πανεπιστημίου που έχουνε τον ίδιο διδάσκοντα, το ίδιο βιβλίο, και γενικά διδάσκονται κάτω από τις ίδιες συνθήκες; Μπορούμε να δώσουμε μια απάντηση συγκρίνοντας όχι ολόκληρους του πληθυσμούς αλλά δυο δείγματα, το καθένα από κάθε Τμήμα; Παίρνουμε δύο μεγάλα τυχαία και ανεξάρτητα δείγματα (το καθένα με πάνω από 30 παρατηρήσεις και όχι κατανάγκη ισοπληθή), στα οποία η μεταβλητή X που μετράμε ακολουθεί κανονικές κατανομές. Υπολογίζουμε τους μέσους όρους και τις τυπικές αποκλίσεις της Χ στα δύο δείγματα, ή μας δίνονται από την άσκηση. Μέσος όρος 1 ο δείγμα 2 ο δείγμα Μέσος όρος Απαγορεύεται η αναδημοσίευση χωρίς την άδεια των εκδ. Κριτική Σελίδα 13

14 Τυπική απόκλιση Μέγεθος Τυπική απόκλιση Μέγεθος Βήμα 1) Γράφουμε τις κατάλληλες υποθέσεις, τη μηδενική και μία από τις τρεις εναλλακτικές Βήμα 2) Υπολογίζουμε το στατιστικό κατανομή το οποίο ακολουθεί την τυπική κανονική Βήμα 3) Επιλέγουμε μια στάθμη σημαντικότητας α (αν δεν μας δίνεται θωρούμε α=0,05) 1. Αν η εναλλακτική είναι τότε απορρίπτουμε την αν 2. Αν η εναλλακτική είναι τότε απορρίπτουμε την αν 3. Αν η εναλλακτική είναι τότε απορρίπτουμε την αν Παράδειγμα 9.3: Ένας καθηγητής στατιστικής διδάσκει το ίδιο μάθημα υπό τις ίδιες συνθήκες σε δύο Τμήματα του Πανεπιστημίου. Στο τέλος του εξαμήνου παίρνει δύο τυχαία δείγματα, 100 φοιτητές από κάθε Τμήμα, και μελετά τους βαθμούς που έγραψαν Απαγορεύεται η αναδημοσίευση χωρίς την άδεια των εκδ. Κριτική Σελίδα 14

15 οι φοιτητές των δύο Τμημάτων στις εξετάσεις του μαθήματος. Βρίσκει λοιπόν ο καθηγητής ότι το 1 ο Τμήμα έχει μέσο όρο 7 και τυπική απόκλιση 2 και το 2 ο Τμήμα μέσο όρο 8 και τυπική απόκλιση 3. Τι μπορεί να συμπεράνει συγκριτικά για την επίδοση των φοιτητών των δύο Τμημάτων; Λύση: Οι συμβολισμοί που χρησιμοποιούνται είναι 1ο δείγμα 2ο δείγμα Μέγεθος δείγματος =100 =100 Μέσος όρος =7 =8 Τυπική απόκλιση =2 =3 Επειδή έχουμε μεγάλα δείγματα μπορούμε να εργαστούμε όπως περιγράψαμε. Η εναλλακτική υπόθεση είναι της διαφοράς. Επίσης θεωρούμε α=0,05. κατανομή Υπολογίζουμε το στατιστικό το οποίο ακολουθεί την τυπική κανονική Απορρίπτουμε την αν Απαγορεύεται η αναδημοσίευση χωρίς την άδεια των εκδ. Κριτική Σελίδα 15

16 Και πράγματι οπότε απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση της ισότητας. Σε σσ α=5% μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι μέσες τιμές διαφέρουν στατιστικά σημαντικά και το συμπέρασμα αυτό αφορά το σύνολο των φοιτητών των τμημάτων και όχι μόνο τα δείγματα που επιλέχτηκαν. 9.8 Έλεγχος σημαντικότητας για τη διαφορά δύο μέσων τιμών (μικρά δείγματα) Παίρνουμε δύο μικρά τυχαία και ανεξάρτητα δείγματα (το καθένα μέχρι 30 παρατηρήσεις). Στους πληθυσμούς από τους οποίους αυτά επιλέχτηκαν θεωρούμε ότι η μεταβλητή X, που μετράμε, ακολουθεί κανονικές κατανομές. Υπολογίζουμε τους δειγματικούς μέσους όρους και τις δειγματικές διασπορές. Μέσος όρος 1 ο δείγμα 2 ο δείγμα Μέσος όρος Τυπική απόκλιση Μέγεθος Τυπική απόκλιση Μέγεθος Θέλουμε να ελέγξουμε αν οι μέσες τιμές των δύο πληθυσμών είναι ίσες μεταξύ τους. Βήμα 1) Γράφουμε τις κατάλληλες υποθέσεις, τη μηδενική και μία από τις τρεις εναλλακτικές Απαγορεύεται η αναδημοσίευση χωρίς την άδεια των εκδ. Κριτική Σελίδα 16

17 Αν οι διασπορές των δύο πληθυσμών είναι ίσες τότε Βήμα 2) Υπολογίζουμε το στατιστικό το οποίο ακολουθεί την Student κατανομή όπου Βήμα 3) Επιλέγουμε μια στάθμη σημαντικότητας α (αν δεν μας δίνεται θωρούμε α=0,05) 1. Αν η εναλλακτική είναι τότε απορρίπτουμε την αν 2. Αν η εναλλακτική είναι τότε απορρίπτουμε την αν 3. Αν η εναλλακτική είναι τότε απορρίπτουμε την αν Αν οι διασπορές είναι άνισες, τότε Βήμα 2) υπολογίζουμε το στατιστικό το οποίο ακολουθεί την Student κατανομή Απαγορεύεται η αναδημοσίευση χωρίς την άδεια των εκδ. Κριτική Σελίδα 17

18 Βήμα 3) Επιλέγουμε μια στάθμη σημαντικότητας α (αν δεν μας δίνεται θωρούμε α=0,05) Απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση αν όπου είναι η ή ανάλογα αν το τεστ είναι μονόπλευρο ή δίπλευρο αντίστοιχα και είναι η ή ανάλογα αν το τεστ είναι μονόπλευρο ή δίπλευρο αντίστοιχα. Παράδειγμα 9.4: Ας ξαναδούμε το προηγούμενο παράδειγμα του καθηγητή στατιστικής. Ο καθηγητής στατιστικής διδάσκει το ίδιο μάθημα με τον ίδιο τρόπο σε δύο Τμήματα. Στο τέλος του εξαμήνου παίρνει δύο τυχαία δείγματα, 15 φοιτητές από κάθε Τμήμα, και μελετά τους βαθμούς που έγραψαν οι φοιτητές των δύο τμημάτων στις εξετάσεις του μαθήματος. Βρίσκει λοιπόν ο καθηγητής ότι το 1 ο Τμήμα έχει μέσο όρο 7 και τυπική απόκλιση 2 και το 2 ο Τμήμα μέσο όρο 8 και τυπική απόκλιση 3. Υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά της μέσης επίδοσης των δύο Τμημάτων; Λύση: Θεωρούμε ότι τα δύο δείγματα είναι ανεξάρτητα και παρμένα τυχαία από δύο κανονικούς πληθυσμούς. Επειδή έχουμε μικρά δείγματα όπως έχουμε αναφέρει πρέπει πρώτα να γνωρίζουμε αν οι διασπορές των δύο πληθυσμών είναι ίσες Απαγορεύεται η αναδημοσίευση χωρίς την άδεια των εκδ. Κριτική Σελίδα 18

19 μεταξύ τους. Γι αυτό πρώτα κάνουμε έλεγχο ισότητας των διαπορών (βλέπε 9.6 σχετικά). Γραφούμε τις υποθέσεις για τον έλεγχο ισότητας των διασπορών Υπολογίζουμε το στατιστικό θεωρώντας τη μεγαλύτερη από τις δύο διασπορές. το οποίο ακολουθεί την F κατανομή με και βαθμούς ελευθερίας, δηλαδή την F κατανομή με 14 και 14 βαθμούς ελευθερίας αφού. Θεωρούμε α=0,05 και απορρίπτουμε την όταν Έχουμε Επειδή δεν είναι μεγαλύτερο από 2,98 δεν μπορούμε να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση της ισότητας των διασπορών. Θεωρούμε λοιπόν ότι οι διασπορές δεν διαφέρουν. Αφού έχουμε πια αποδεχτεί ότι έχουμε ίσες διασπορές προχωρούμε στον έλεγχο ισότητας των μέσων τιμών Απαγορεύεται η αναδημοσίευση χωρίς την άδεια των εκδ. Κριτική Σελίδα 19

20 όπου είναι οι μέσες τιμές των βαθμολογιών των πληθυσμών των δύο τμημάτων. Υπολογίζουμε το κατανομή Μετά υπολογίζουμε το στατιστικό το οποίο ακολουθεί την Student Απορρίπτουμε την αν Επειδή δεν είναι μεγαλύτερο από το 2,048 δεν απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση, άρα δεν υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά των μέσων τιμών. Τι θα κάναμε αν βρίσκαμε ότι η διασπορές ήταν άνισες; Τότε εργαζόμαστε με τον εξής τρόπο: Γράφουμε τις υποθέσεις Υπολογίζουμε το στατιστικό το οποίο ακολουθεί την Student κατανομή Απαγορεύεται η αναδημοσίευση χωρίς την άδεια των εκδ. Κριτική Σελίδα 20

21 Θεωρούμε α=0,05 και απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση αν όπου και είναι η είναι η άρα υπολογίζουμε Ειδικά στην άσκησή μας το αποτέλεσμα είναι βολικό στο υπολογισμό λόγω απλοποίησης, γιατί τα δύο δείγματα έχουν ίδιο μέγεθος. Επειδή δεν είναι μεγαλύτερο από 2,145 δεν απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση της ισότητας των μέσων τιμών και για την περίπτωση που οι διασπορές θα ήταν άνισες. Σημείωση: Αυτή η δεύτερη εφαρμογή για την περίπτωση των άνισων διασπορών έγινε καταχρηστικά. Ξέρουμε από τον έλεγχο ισότητας των διασπορών ότι οι διασπορές είναι ίσες. Ο μόνος λόγος που δώσαμε και αυτή τη λύση είναι για να δείξουμε πώς θα εργαζόμασταν. Πάντα επιλέγουμε να κάνουμε μόνο με έναν τρόπο τον έλεγχο ισότητας των μέσων τιμών. Αυτόν τον τρόπο μάς τον υποδεικνύει ο έλεγχος ισότητας των διασπορών. Απαγορεύεται η αναδημοσίευση χωρίς την άδεια των εκδ. Κριτική Σελίδα 21

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υπόθεσης: διαδικασία αποδοχής ή απόρριψης της υπόθεσης

Έλεγχος υπόθεσης: διαδικασία αποδοχής ή απόρριψης της υπόθεσης Ν161_(262)_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 06_01_Έλεγχος_Υποθέσεων Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Υπόθεση: "μπορεί ο αριθμητικός μέσος του δείγματος να είναι ίδιος με τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου. One-Sample t-test

Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου. One-Sample t-test 1 Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου One-Sample t-test 2 Μια σύντομη αναδρομή Στα τέλη του 19 ου αιώνα μια μεγάλη αλλαγή για την επιστήμη ζυμώνονταν στην ζυθοποιία Guinness. Ο William Gosset

Διαβάστε περισσότερα

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ενός υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά

Διαβάστε περισσότερα

5. Έλεγχοι Υποθέσεων

5. Έλεγχοι Υποθέσεων 5. Έλεγχοι Υποθέσεων Υποθέσεις Η μηδενική υπόθεση Η (ή ΗΑ) εναλλακτική υπόθεση Δεχόμαστε Η Απορρίπτουμε Η Η σωστή Σωστή απόφαση -α Σφάλμα τύπου Ι α Η λάθος Σφάλμα τύπου ΙΙ β Σωστή απόφαση -β ΒΙΟ39-Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική // (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [] Επιλέξαμε φακελάκια (της μισής ουγκιάς) που περιέχουν σταφίδες από την παραγωγή μιας εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test)

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) .5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) Ο διωνυμικός έλεγχος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο υποθέσεων αναφερομένων στα ποσοστιαία σημεία μίας τυχαίας μεταβλητής. Στην

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 2: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται οι βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός.

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθ η γη

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40] Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΣΙΣΙΚΗ. Ακαδ. Έτος Βασίλης ΚΟΤΣΡΑ. Διδάσκων: Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 407/80.

ΣΑΣΙΣΙΚΗ. Ακαδ. Έτος Βασίλης ΚΟΤΣΡΑ. Διδάσκων: Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 407/80. ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΤ ΧΟΛΗ ΕΠΙΣΗΜΩΝ ΣΗ ΔΙΟΙΚΗΗ ΣΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΗ ΣΑΣΙΣΙΚΗ Ακαδ. Έτος -3 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΤΣΡΑ Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 47/8 v.kouras@fμe.aegea.gr Σηλ: 735457 Διωνυμικό

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Έλεγχοι χ-τετράγωνο

Κεφάλαιο 15 Έλεγχοι χ-τετράγωνο Κεφάλαιο 15 Έλεγχοι χ-τετράγωνο Copyright 2009 Cengage Learning 15.1 Ένα Κοινό Θέμα Τι πρέπει να γίνει; Τύπος Δεδομένων; Πλήθος Κατηγοριών; Στατιστική Μέθοδος; Περιγραφή ενός πληθυσμού Ονομαστικά Δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληπτικές κατανομές

Δειγματοληπτικές κατανομές Δειγματοληπτικές κατανομές Κατανομές που χρησιμοποιούνται για τον έλεγχο υποθέσεων στα δείγματα Κανονική κατανομή (z-κατανομή) t-κατανομή Χ κατανομή F-κατανομή Ζητάμε να προσδιορίσουμε τις παραμέτρους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Ιατρικά Μαθηματικά & Βιοστατιστική

Ιατρικά Μαθηματικά & Βιοστατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ιατρικά Μαθηματικά & Βιοστατιστική Στατιστικοί έλεγχοι για συνεχή και κατηγορικά δεδομένα Διδάσκοντες: Ευάγγελος Ευαγγέλου, Kωνσταντίνος Τσιλίδης, Ιωάννης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής ΣΕΙΡΑ Α Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 013 στη Στατιστική για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ., Γ.Β., Α.Ο.Α. και Ε.Ζ.Π.&Υ. 08/0/013 1. [0] Η ποσότητα, έστω Χ, καλίου που περιέχεται

Διαβάστε περισσότερα

Προσοχή: Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν θα λαµβάνεται υπόψη µία σωστή

Προσοχή: Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν θα λαµβάνεται υπόψη µία σωστή Σειρά Α σ1 Επώνυµο Όνοµα Αρ. Μητρώου Ζήτηµα 1 ο (3 µονάδες) Εξετάσεις Φεβρουαρίου (2011/12) στο Μάθηµα: Στατιστική Θεσσαλονίκη: 03/03/2012 Προσοχή: Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν θα λαµβάνεται υπόψη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4A: Έλεγχοι Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. )

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Πίνακας Περιεχομένων Εργασία η... Θέμα ο :... Θέμα ο :... 4 Θέμα 3 ο :...

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο )

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική (Η

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχοι Υποθέσεων. Χρήση της Στατιστικής. Η λογική του Ελέγχου Υπόθεσης Ο Έλεγχος Υπόθεσης 7-2

Έλεγχοι Υποθέσεων. Χρήση της Στατιστικής. Η λογική του Ελέγχου Υπόθεσης Ο Έλεγχος Υπόθεσης 7-2 Έλεγχοι Υποθέσεων 7-2 7 Έλεγχοι Υποθέσεων Χρήση της Στατιστικής Η λογική του Ελέγχου Υπόθεσης Ο Έλεγχος Υπόθεσης 7-3 7 Μαθησιακοί Στόχοι Όταν θα έχετε ολοκληρώσει την μελέτη του κεφαλαίου θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ο ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV

5.1 Ο ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV 5. Ο ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV Έστω δύο ανεξάρτητα τυχαία δείγματα, 2,..., n και, 2,..., m n και m παρατηρήσεων πάνω στις τυχαίες μεταβλητές και, αντίστοιχα. Έστω, επίσης, ότι F (), (, ) και F (y), y (, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011 Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 5//. [] Η ποσότητα, έστω Χ, ενός συντηρητικού που περιέχεται σε φιάλες αναψυκτικού

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 7 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων Ι z-test & t-test

Έλεγχος υποθέσεων Ι z-test & t-test Έλεγχος υποθέσεων Ι z-test & t-test Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 53Ε Τομέας Επιστήμης & Τεχνολογίας Τροφίμων Έλεγχος υποθέσεων Συνεχή δεδομένα z-test Student s test (t-test) Ανάλυση παραλλακτικότητας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων

Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων Επαγωγική Στατιστική Ο έλεγχος υποθέσεων είναι η δεύτερη μορφή της επαγωγικής στατιστικής. Έχει επίσης μεγαλύτερη δυνατότητα εφαρμογής. Για να κατανοήσουμε την

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

Εξαμηνιαία Εργασία Β. Κανονική Κατανομή - Επαγωγική Στατιστική

Εξαμηνιαία Εργασία Β. Κανονική Κατανομή - Επαγωγική Στατιστική 1 ΕΞΑΜΗΝΙΑΙΑ Β ΤΟ ΦΩΤΟΒΟΛΤΑΙΚΟ ΠΑΡΚΟ ΑΣΠΑΙΤΕ Τμήμα Εκπαιδευτικών Ηλεκτρολογίας Εργαστήριο Συλλογής και Επεξεργασίας Δεδομένων Διδάσκοντες: Σπύρος Αδάμ, Λουκάς Μιχάλης, Παναγιώτης Καράμπελας Εξαμηνιαία

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Το τυπικό σφάλμα του μέσου (standard error of mean) ενός δείγματος

Το τυπικό σφάλμα του μέσου (standard error of mean) ενός δείγματος Το σύμβολο μ απεικονίζει 92.4% το μέσο όρο του πληθυσμού 121 92.4% το μέσο όρο του δείγματος 8 6.1% το μέσο όρο της κατανομής t 0 0% το μέσο όρο της κανονικής κατανομής 2 1.5% Το σύμβολο X απεικονίζει

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Χ 2 test ανεξαρτησίας: σχέση 2 ποιοτικών μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ Α Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mail: dkugiu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://users.auth.gr/~dkugiu/teach/civiltrasport/ide.html Στατιστική: Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 05 Πολλαπλές συγκρίσεις Στην ανάλυση διακύμανσης ελέγχουμε την ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανάλυση Διακύμανσης Η Ανάλυση Διακύμανσης είναι μία τεχνική που

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό;

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό; Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιουνίου 008 στο Μάθημα Στατιστική /07/08. Η πιθανότητα να υπάρχει στο υπέδαφος μιας συγκεκριμένης περιοχής εκμεταλλεύσιμο κοίτασμα πετρελαίου είναι 50%. Μια εταιρεία, που πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή 4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapro-Wlk για την Κανονική Κατανομή Ένας άλλος πολύ γνωστός έλεγχος καλής προσαρμογής για την κανονική κατανομή, ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην θέση του ελέγχου Lllefors, είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα : Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται οι βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ Η/Υ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ Η/Υ Ενότητα 7: Έλεγχοι σημαντικότητας πολλών ανεξάρτητων δειγμάτων Κωνσταντίνος Ζαφειρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 6 η :Έλεγχοι Υποθέσεων V. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 6 η :Έλεγχοι Υποθέσεων V. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 6 η :Έλεγχοι Υποθέσεων V Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Έλεγχος υποθέσεων για τους μέσους εξαρτημένων δειγμάτων Επίδραση παρέμβασης:

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική- Κοινωνικές Στατιστικές. Διάλεξη

Εισαγωγή στη Στατιστική- Κοινωνικές Στατιστικές. Διάλεξη Εισαγωγή στη Στατιστική- Κοινωνικές Στατιστικές Διάλεξη 13-3-2015 Υπολογισμός Σταθμικού Μέσου Αριθμητικού X weighted n 1 n 1 w i w X i i Παράδειγμα Υποψήφιος της Δ' Δέσμης πήρε στις εξετάσεις τους εξής

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 6 Σχέσεις μεταξύ μεταβλητών

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 6 Σχέσεις μεταξύ μεταβλητών (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 6 Σχέσεις μεταξύ μεταβλητών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 7 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 7 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 7 ο, Τμήμα Α Δεδομένα Συχνότητα Μέτρα θέσης Μέτρα διασποράς Στοχαστικά μαθηματικά διαφέρουν από τα κλασσικά μαθηματικά διότι τα φαινόμενα δεν είναι αιτιοκρατικά,

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή: Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ένα άλλο πρόβλημα της Στατιστικής που έχει κυρίως (αλλά όχι μόνο) σχέση με τις παραμέτρους ενός πληθυσμού (τις παραμέτρους της κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 2 ο ) 3/3/2017

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 2 ο ) 3/3/2017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος ο ) 3/3/017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων σε επίπεδο σημαντικότητας α για τη διακύμανση σ ενός κανονικού πληθυσμού με ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους n Η 0 : σ = σ 0 Περιοχή

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 3: Στατιστική Ι (3/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 3: Στατιστική Ι (3/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 3: Στατιστική Ι (3/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 9/10/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Emal: gasl@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasl

Διαβάστε περισσότερα

α) t-test µε ίσες διακυµάνσεις β) ανάλυση διακύµανσης µε έναν παράγοντα Έλεγχος t δύο δειγμάτων με υποτιθέμενες ίσες διακυμάνσεις

α) t-test µε ίσες διακυµάνσεις β) ανάλυση διακύµανσης µε έναν παράγοντα Έλεγχος t δύο δειγμάτων με υποτιθέμενες ίσες διακυμάνσεις ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΙΕΘΝΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ IΙ ΕΙΣΗΓΗΤΡΙΑ: ΣΑΒΒΑΣ ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΛΑΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ********************************************************************

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Δεδομένων

Εισαγωγή στην Ανάλυση Δεδομένων ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΔΙΑΛΕΞΗ 09-10-2015 Εισαγωγή στην Ανάλυση Δεδομένων Βασικές έννοιες Αν. Καθ. Μαρί-Νοέλ Ντυκέν ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΔΙΑΛΕΞΗ 30-10-2015 1. Στατιστικοί παράμετροι - Διάστημα εμπιστοσύνης Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-122) Διάλεξη 1 Εισαγωγή

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-122) Διάλεξη 1 Εισαγωγή (ΨΥΧ-122) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 1 Εισαγωγή ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για την Μέση Τιμή ενός Δείγματος (One Sample t-test) Το κριτήριο One sample t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ ΜΥΛΩΝΑ ΔΙΟΝΥΣΙΑ ΕΠΟΠΤΕΥΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΔΡ. ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΚΑΡΙΩΤΗ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Ενότητα 3 Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Εκτός από τις μέσες τιμές, τυπικές αποκλίσεις κλπ, θέλουμε να βρούμε κατά πόσον αυτές οι παρατηρούμενες τάσεις εξαρτώνται από συγκεκριμένες συνθήκες ή προϋποθέσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί έλεγχοι για διακριτά δεδομένα

Στατιστικοί έλεγχοι για διακριτά δεδομένα Στατιστικοί έλεγχοι για διακριτά δεδομένα Διαστρωμάτωση Mantel-Haenszel test Γεωργία Σαλαντή Λέκτορας επιδημιολογίας Λεπτοσπείρωση Πιο πολλά κρούσματα στις αγροτικές περιοχές; Πόσο επί τις εκατό του πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ.

Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ. Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ. π.χ. Βαθμολογία διαγωνίσματος σε τμήματα: Α : 7, 11,16, 16,,. Β : 11, 13, 16, 16, 17, 17. Παρατήρηση : Για τέτοιους λόγους χρειάζεται και η εξέταση κάποιων μέτρων διασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20, ΜΕΜ64: Εφαρμοσμένη Στατιστική 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=0, X = 7.5, σ = 16, α = 5%. Πως αλλάζει το διάστημα αν

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

7.1.1 Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων

7.1.1 Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων 7.. Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων Όπως ήδη αναφέρθηκε, μία ευρύτατα διαδεδομένη μέθοδος για την εκτίμηση των σταθερών α και β είναι η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. Η μέθοδος αυτή επιλέγει εκτιμήτριες

Διαβάστε περισσότερα

Επαγωγική Στατιστική. Εισαγωγή Βασικές έννοιες

Επαγωγική Στατιστική. Εισαγωγή Βασικές έννοιες Επαγωγική Στατιστική Εισαγωγή Βασικές έννοιες Επαγωγική Στατιστική Πως μπορούμε να συγκρίνουμε μεταβλητές μεταξύ τους? Διαφορά συγκρίνοντας το μέσο μιας μεταβλητής (λόγος ή διάστημα) στις ομάδες πχ. t-test

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Copyright 2009 Cengage Learning 8.1 Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανοτήτων Αντίθετα με τη διακριτή τυχαία μεταβλητή που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο 7, μια συνεχής τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ. Δημήτρης Ιωαννίδης. Τμήμα Οικονομικών Επιστημών.

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ. Δημήτρης Ιωαννίδης. Τμήμα Οικονομικών Επιστημών. Μεθοδολογία Έρευνας: Μάθημα 3 ο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ Δημήτρης Ιωαννίδης Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Email: dimioan@uom.gr Εμπιστευτικό Σελίδα 1 Μάθημα 5 ο Ελέγχοντας την Θεωρία ΙΙ: Στατιστικοί Έλεγχοι για

Διαβάστε περισσότερα

Μονοπαραγοντική Ανάλυση Διακύμανσης Ανεξάρτητων Δειγμάτων

Μονοπαραγοντική Ανάλυση Διακύμανσης Ανεξάρτητων Δειγμάτων Μονοπαραγοντική Ανάλυση Διακύμανσης Ανεξάρτητων Δειγμάτων 1 Μονοπαραγοντική Ανάλυση Διακύμανσης Παραμετρικό στατιστικό κριτήριο για τη μελέτη της επίδρασης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής στην εξαρτημένη Λογική

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ Α εξάμηνο 2010-2011 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ Ποιοτικές και Ποσοτικές μέθοδοι και προσεγγίσεις για την επιστημονική έρευνα users.sch.gr/abouras

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα