Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες"

Transcript

1 Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ:

2 Γραπτή εργασία 1 (Νοέμβριος 2012) Άσκηση 1 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: (A) Λύση (B) Α) Θέλουμε να βρούμε για ποια x μπορεί να οριστεί η συνάρτηση g(x). Θα πρέπει: Επομένως, το πεδίο ορισμού είναι B) Για να ορίζεται η f(x) θα πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα οι εξής 3 περιορισμοί:,, και. Από τον πρώτο περιορισμό έχουμε Από το δεύτερο περιορισμό βρίσκουμε ότι: Ελέγχουμε για ποιες τιμές το γινόμενο αυτών των παραγόντων είναι θετικό με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα (στα σημεία του πίνακα που υπάρχει μαύρη διπλή γραμμή σημαίνει ότι ο όρος μηδενίζεται): Επομένως, x x x x Γινόμενο Από τον τρίτο περιορισμό βρίσκουμε ότι:

3 Ελέγχουμε για ποιες τιμές το γινόμενο αυτών των παραγόντων μηδενίζεται: που είναι αδύνατο Το είναι πολυώνυμο δευτέρου βαθμού, επομένως θα πρέπει να πρώτα υπολογίσουμε τη διακρίνουσα Δ. Επομένως, θα έχουμε δύο διαφορετικές λύσεις, άνισες μεταξύ τους. Αυτές θα είναι: Ελέγχουμε για ποιες τιμές το γινόμενο είναι αρνητικό ή ίσο με μηδέν με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα (στα σημεία του πίνακα που υπάρχει διπλή μαύρη γραμμή σημαίνει ότι ο όρος μηδενίζεται): Επομένως θα είναι x 1 x 2-4x x Γινόμενο Θα πρέπει οι τρεις περιορισμοί να συναληθεύουν. Αυτό συμβαίνει όταν που είναι και το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x).

4 Άσκηση 2 Δίνεται η συνάρτηση Α. Να εξετασθεί για ποιές τιμές της παραμέτρου, η εξίσωση : 1. Έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, 2. Έχει δύο ρίζες ίσες, 3. Δεν έχει ρίζες πραγματικές. Β. Nα γίνει γραφική παράσταση της f (x), για κάθε μια από τις περιπτώσεις λ = 1, λ = 1/ 8, λ = 0, λ=1 Λύση Α) Η εξίσωση f(x) είναι δευτέρου βαθμού, επομένως για την επίλυσή της αρχικά θα υπολογίσουμε τη διακρίνουσα Δ. 1) Γνωρίζουμε ότι η εξίσωση θα έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες αν 2) Η εξίσωση θα έχει δύο ρίζες ίσες αν 3) 2) Η εξίσωση δεν έχει ρίζες πραγματικές αν Β) Θέλουμε να κάνουμε τη γραφική παράσταση της, για διάφορες τιμές του λ. Για λ=-1 η συνάρτηση παίρνει τη μορφή ως εξής: Η συνάρτηση αυτή είναι μία παραβολή που θα έχει τα εξής χαρακτηριστικά: μπορεί να μετασχηματιστεί εφόσον το πρόσημο του είναι αρνητικό, η παραβολή θα «βλέπει» προς τα κάτω, εφόσον Δ=-7<0, η συνάρτηση δε θα έχει πραγματικές ρίζες, δηλαδή δε θα τέμνει σε κανένα σημείο τον χχ,

5 εφόσον έχουμε την ποσότητα, αυτό σημαίνει ότι η γραφική παράσταση θα είναι μετατοπισμένη σε σχέση με τη κατά ½ προς τα αριστερά, θα είναι μετατοπισμένη σε σχέση με τη κατά 7/4 προς τα κάτω, έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία x=-½ έχει κορυφή (μέγιστο) το σημείο Κ ( ), θα είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ( ] και γνησίως φθίνουσα στο. Για λ=-1/8 η συνάρτηση παίρνει τη μορφή μπορεί να μετασχηματιστεί ως εξής: Η συνάρτηση αυτή είναι μία παραβολή που θα έχει τα εξής χαρακτηριστικά: εφόσον το πρόσημο του είναι αρνητικό, η παραβολή θα «βλέπει» προς τα κάτω, εφόσον Δ=0, η συνάρτηση θα έχει μία διπλή ρίζα, δηλαδή θα τέμνει τον άξονα xx σε ένα μόνο σημείο, εφόσον λ =1/8<1, το «άνοιγμα» της παραβολής θα είναι μεγαλύτερο, εφόσον έχουμε την ποσότητα, αυτό σημαίνει ότι η γραφική παράσταση θα είναι μετατοπισμένη σε σχέση με τη κατά 4 προς τα αριστερά, έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία x=-4, έχει κορυφή (μέγιστο) το σημείο Κ ( ), θα είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ( ] και γνησίως φθίνουσα στο. Για λ=0 η συνάρτηση παίρνει τη μορφή δηλαδή παύει να είναι πολυώνυμο δευτέρου βαθμού και γίνεται πολυώνυμο πρώτου βαθμού. Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης δε θα είναι παραβολή, αλλά ευθεία γραμμή που θα έχει τα εξής χαρακτηριστικά: εφόσον το πρόσημο του x είναι αρνητικό, η συνάρτηση θα είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το, θα τέμνει τον άξονα των xx στο σημείο (-2,0) και τον άξονα των yy στο σημείο (0,-2), θα είναι παράλληλη της g(x)=-x, μετατοπισμένη κατά 2 προς τα κάτω. Για λ=1 η συνάρτηση παίρνει τη μορφή εξής: μπορεί να μετασχηματιστεί ως εφόσον το πρόσημο του είναι θετικό, η παραβολή θα «βλέπει» προς τα πάνω, εφόσον Δ=9>0, η συνάρτηση θα έχει δύο πραγματικές ρίζες διαφορετικές μεταξύ τους, δηλαδή θα τέμνει σε δύο σημεία τον xx,

6 εφόσον έχουμε την ποσότητα, αυτό σημαίνει ότι η γραφική παράσταση θα είναι μετατοπισμένη σε σχέση με τη κατά ½ προς τα δεξιά, θα είναι μετατοπισμένη σε σχέση με τη κατά 9/4 προς τα κάτω, έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία x=½ έχει κορυφή (ελάχιστο) το σημείο Κ ( ), θα είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ( ] και γνησίως αύξουσα στο. Οι γραφικές παραστάσεις και των 4 συναρτήσεων φαίνονται στο ακόλουθο διάγραμμα f(x)=λx^2-x-2 λ=-1 λ=-1/8 λ=0 λ=1

7 Άσκηση 3 Α) Να αποδειχθεί ότι για κάθε ισχύει: Β) Να λυθεί στο διάστημα [0,2π] η εξίσωση Λύση Α) Θέλουμε να αποδείξουμε ότι. Έχουμε ότι B) Έχουμε την εξίσωση. Γνωρίζουμε ότι Θέτουμε, οπότε η τελευταία γίνεται. Με τη βοήθεια της σχέσης αυτής η εξίσωση γίνεται: που είναι πολυώνυμο δευτέρου βαθμού, οπότε θα την επιλύσουμε με τη βοήθεια της διακρίνουσας Δ: Για την εξίσωση εργαζόμαστε ως εξής:

8 Επομένως Επειδή το, θα έχουμε: Από τις σχέσεις (1), (2) προκύπτει ότι:

9 Άσκηση 4 Να λύσετε την εξίσωση: Λύση Έχουμε την εξίσωση:

10 Άσκηση 5 Δίνονται οι πίνακες:, A) Να βρεθούν οι πίνακες: AB, BA, AA T, (AB) 1 B) Να εξετασθεί αν ο πίνακας BA έχει αντίστροφο. Λύση Α) Ο πίνακας Α είναι τύπου 2x3, ενώ ο πίνακας Β είναι τύπου 3x2, επομένως το γινόμενό ΑΒ θα δώσει πίνακα τύπου 2x2, ενώ το γινόμενο ΒΑ θα δώσει πίνακα τύπου 3x3. Αν ο, τότε ο ανάστροφός του (Α Τ ) θα είναι, δηλαδή είναι πίνακας τύπου 3x2, επομένως από το γινόμενο ΑΑ Τ θα προκύψει πίνακας τύπου 2x2. Συγκεκριμένα θα είναι: Ο πίνακας ΑΒ είναι ένας τετραγωνικός 2x2 πίνακας, επομένως ο αντίστροφός του (ΑΒ) -1 θα υπάρχει αν η ορίζουσά ΑΒ θα είναι διάφορη του μηδενός: Εφόσον ΑΒ, θα υπάρχει ο αντίστροφος του ΑΒ που θα υπολογίζεται ως εξής

11 Β) Ο πίνακας ΒΑ είναι τετραγωνικός 3x3 πίνακας. Για να έχει αντίστροφο θα πρέπει η ορίζουσα ΒΑ να είναι διάφορη του μηδενός. Έχουμε λοιπόν: Εφόσον η ορίζουσα του πίνακα ΒΑ είναι μηδέν, αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει ο πίνακας (ΒΑ) -1, δηλαδή δεν υπάρχει ο αντίστροφος του ΒΑ.

12 Άσκηση 6 Α) Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των οριζουσών, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί 2 και 3 και 4 είναι οι ρίζες της εξίσωσης. Β) Αν για ένα τετραγωνικό πίνακα Α ισχύει A 2 A I= 0 να αποδειχθεί ότι έχει αντίστροφο και να εκφρασθεί ο A 1 συναρτήσει του Α και του μοναδιαίου Ι. Να εκφρασθεί και ο A 3 συναρτήσει του Α και του μοναδιαίου Ι. Λύση Α) Έχουμε την εξίσωση Β) Έχουμε ότι Εφόσον το γινόμενο Α(Α-Ι) μας δίνει το μοναδιαίο πίνακα, αυτό σημαίνει ότι οι δύο πίνακες είναι αντίστροφοι, δηλαδή: Θέλουμε να υπολογίσουμε τον Α 3

13 Άσκηση 7 Α) Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης 2 ου βαθμού αν είναι γνωστό ότι έχουν άθροισμα 2 και άθροισμα τετραγώνων 10. Β) Να λυθεί η εξίσωση: (κάντε την αντικατάσταση ) Λύση Α) Εφόσον είναι εξίσωση δευτέρου βαθμού, θα έχει δύο ρίζες, τις x και y. Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των δύο ριζών κάνει 2, ενώ το άθροισμα των τετραγώνων τους 10. Επομένως, προκύπτουν οι ακόλουθες δύο εξισώσεις: Στη δεύτερη εξίσωση αντικαθιστώ το y με το 2-x που προκύπτει από την πρώτη εξίσωση: Η τελευταία είναι εξίσωση δευτέρου βαθμού, οπότε για την επίλυσή της θα χρησιμοποιήσουμε την διακρίνουσα Δ: άρα θα έχουμε δύο άνισες πραγματικές ρίζες. Άρα θα έχουμε δύο ζεύγη λύσεων: (x,y) = (3,-1) ή(x,y) = (-1,3)

14 Β) Έχουμε την εξίσωση: Θα πρέπει αρχικά να πάρουμε περιορισμούς. Συγκεκριμένα θα πρέπει το x 0. Έχουμε λοιπόν: Θέτω, επομένως η τελευταία εξίσωση θα γίνει: που είναι εξίσωση δευτέρου βαθμού και για τη λύση της οποίας θα υπολογίσουμε αρχικά τη διακρίνουσα Δ: Αφού Δ>0 θα έχουμε δύο ρίζες άνισες μεταξύ τους. Επομένως θα είναι: Έχουμε όμως ότι, επομένως:

15 Από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ότι. Για τη δέυτερη εξίσωση υπολογίζουμε τη διακρίνουσα Δ: με τη βοήθεια της οποίας υπολογίζουμε τα: Άρα.

16 Άσκηση 8 Με τη μέθοδο απαλοιφής του Gauss να βρείτε, αν υπάρχουν, τις λύσεις των συστημάτων: Α) B) Λύση Θέλουμε να επιλύσουμε το σύστημα με τη μέθοδο απαλοιφής του Gauss. Θα πρέπει και στις 2 περιπτώσεις να δημιουργήσουμε τον επαυξημένο πίνακα, δηλαδή τον πίνακα των συντελεστών στον οποίο έχουμε προσθέσει τον πίνακα στήλη των σταθερών όρων. Α) Πρόκειται για ένα σύστημα 3 εξισώσεων με 3 αγνώστους. Το σύστημα γράφεται στη μορφή ως εξής: Δημιουργούμε τον επαυξημένο πίνακα για το σύστημα αυτό: Από τον τελευταίο πίνακα καταλαβαίνουμε ότι ουσιαστικά έχουμε μία εξίσωση με 3 αγνώστους. Συγκεκριμένα: Από τα παραπάνω προκύπτει ότι θα έχουμε διπαραμετρική απειρία λύσεων:

17 B) Πρόκειται για ένα σύστημα 3 εξισώσεων με 4 αγνώστους. Το σύστημα γράφεται στη μορφή ως εξής: Δημιουργούμε τον επαυξημένο πίνακα για το σύστημα αυτό: Ο τελευταίος πίνακας είναι κλιμακωτός και, επομένως, το τελικό σύστημα που είναι ισοδύναμο του αρχικού, μπορούμε να το λύσουμε εύκολα. Θεωρώντας τη μεταβλητή w ως παράμετρο από την τελευταία εξίσωση προκύπτει ότι: οπότε από τη δεύτερη εξίσωση παίρνουμε: και από την πρώτη εξίσωση παίρνουμε: Άρα το σύστημα έχει μονοπαραμετρική απειρία λύσεων, την:

18 Άσκηση 9 Δίνεται το σύστημα AX = b, όπου παράμετρος. Α) Χρησιμοποιείστε τα μέθοδο Cramer για να προσδιορίσετε τις τιμές του λ για τις οποίες το σύστημα έχει μοναδική λύση, και στη συνέχεια υπολογίστε τη. Β) Να εξεταστεί αν για λ =1 το σύστημα έχει λύση. Λύση Α) Αρχικά πρέπει να υπολογίσουμε την ορίζουσα Δ του πίνακα Α: Για να έχει το σύστημα μοναδική λύση θα πρέπει Δ 0, δηλαδή: Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε τα Δx, Δy και Δz, δηλαδή τις ορίζουσες που προκύπτουν από αντικατάσταση της πρώτης, δεύτερης και τρίτης στήλης αντίστοιχα του Α από τον πίνακα b. Έχουμε λοιπόν:

19 Με τη βοήθεια των παραπάνω και με την προϋπόθεση ότι Δ 0, η μοναδική λύση για το σύστημα θα είναι: Άρα το σύστημα έχει μονοπαραμετρική απειρία λύσεων, την: B) Αν λ=1, τότε οι ορίζουσες θα έχουν τις τιμές: Παρατηρούμε ότι Δ=0, αλλά Δx, Δy, Δz 0. Εφόσον η Δ είναι μηδέν και τουλάχιστον μία από τις ορίζουσες Δx, Δy, Δz είναι διάφορες του μηδενός, αυτό σημαίνει ότι οι εξισώσεις είναι ασυμβίβαστες, δηλαδή το σύστημα είναι αδύνατο και δεν υπάρχει λύση.

20 Άσκηση 10 Δίνονται τα διανύσματα: a = i j+k, b = i k, c = a+b. Α) Να υπολογίσετε τα: a, a b, a c, b (a c), a b b a Β) Να επαληθευθεί για τα παραπάνω διανύσματα η ταυτότητα: a (b c)=(a c)b (a b)c. Λύση Α) Θέλουμε να υπολογίσουμε το μέτρο του διανύσματος : Για να βρούμε το εσωτερικό γινόμενο Για να υπολογίσουμε το εξωτερικό γινόμενο διάνυσμα c: θα εργαστούμε ως εξής: Για να υπολογίσουμε το a b b a θα πρέπει αρχικά να βρούμε το b : Επομένως θα είναι:, θα πρέπει αρχικά να βρούμε το B) Θέλουμε να επαληθεύσουμε την ταυτότητα a (b c)=(a c)b (a b)c. Θα υπολογίσουμε αρχικά το εξωτερικό γινόμενο.

21 Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε το εξωτερικό γινόμενο του a με το ): Για να βρούμε το εσωτερικό γινόμενο Από το ερώτημα (Α) έχουμε βρει ότι Με τη βοήθεια των παραπάνω σχέσεων έχουμε ότι: θα εργαστούμε ως εξής:. Επομένως έχουμε: που ισχύει

22 Γραπτή εργασία 2 (Δεκέμβριος 2012) Άσκηση 1 Δίνεται ο κύκλος. Α) Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου C και να δείξετε ότι το είναι σημείο του κύκλου. Β) Να βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου στο αντιδιαμετρικό σημείο του σημείου. Λύση A) Έχουμε τον κύκλο με εξίσωση. Η εξίσωση αυτή μπορεί να μετασχηματιστεί ως εξής: Από την τελευταία σχέση συμπεραίνουμε ότι πρόκειται για κύκλο με κέντρο ακτίνα. Θέλουμε να δείξουμε ότι το είναι σημείο του κύκλου. Για να ισχύει αυτό θα πρέπει να επαληθεύει την εξίσωση του κύκλου. Βάζουμε λοιπόν όπου και. που ισχύει. Β) Γνωρίζουμε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης που διέρχεται από το σημείο ενός κύκλου με κέντρο και ακτίνα δίνεται από την εξίσωση: Παρατηρούμε ότι τόσο το κέντρο του κύκλου, όσο και το σημείο αυτού βρίσκονται πάνω στην ευθεία. Το αντιδιαμετρικό του, το : 1. θα είναι πάνω στην ίδια ευθεία με τα και, και 2. θα ισαπέχει από το κέντρο όσο και το σημείο, δηλαδή θα είναι. Γνωρίζουμε επίσης ότι ο κύκλος μας έχει ακτίνα. και

23 Άρα η εφαπτομένη στο σημείο Πρόκειται, δηλαδή, για τον άξονα. θα δίνεται από την εξίσωση:

24 Άσκηση 2 Α) Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει εστίες τα σημεία και κορυφές τα σημεία Β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραπάνω έλλειψης που διέρχεται από το σημείο. Λύση Α) Παρατηρούμε ότι τόσο οι εστίες, όσο και οι κορυφές της έλλειψης βρίσκονται πάνω στην ευθεία. Το κέντρο της έλλειψης είναι το σημείο και ο μεγάλος άξονας βρίσκεται πάνω στην ευθεία. Γνωρίζουμε ότι οι εστίες είναι τα σημεία, επομένως: και οι κορυφές τα σημεία Αν θεωρήσουμε νέο σύστημα συντεταγμένων παράλληλο προς το αρχικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο το σημείο του, τότε θα ισχύουν οι σχέσεις και. Στην περίπτωση αυτή η έλλειψή μας θα έχει τη μορφή: Στον ακόλουθο πίνακα φαίνονται οι αντιστοιχίες στα διάφορα στοιχεία του αρχικού συστήματος συντεταγμένων και του νέου συστήματος συντεταγμένων. μεταβλητές σημείο εξίσωση έλλειψης εστία εστία κορυφή κορυφή

25 Β) Θέλουμε να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραπάνω έλλειψης που διέρχεται από το σημείο. Το σημείο αυτό στο σύστημα θα έχει συντεταγμένες Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο της έλλειψης (σύστημα συντεταγμένων ) θα δίνεται από τη σχέση: Από την τελευταία σχέση μπορούμε να υπολογίσουμε την εξίσωση της εφαπτομένης στο σύστημα συντεταγμένων με τη βοήθεια των σχέσεων και. Έχουμε λοιπόν:

26 Άσκηση 3 A) Να βρείτε τις εξισώσεις σε καρτεσιανές συντεταγμένες των παρακάτω καμπύλων με τις παρακάτω παραμετρικές εξισώσεις και να αναγνωρίσετε το είδος της καμπύλης που παριστάνουν: i), ii), iii). Β) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που έχει κέντρο, κορυφές τα σημεία και ασύμπτωτες τις ευθείες. Λύση A) Θέλουμε να βρούμε σε τι είδους καμπύλες αντιστοιχούν οι παρακάτω παραμετρικές εξισώσεις: (i) Έχουμε το σύστημα: τις οποίες αν προσθέσουμε κατά μέλη έχουμε: Πρόκειται δηλαδή για κύκλο με κέντρο και ακτίνα. (ii) Έχουμε το σύστημα:

27 Αν θεωρήσουμε νέο σύστημα συντεταγμένων παράλληλο προς το αρχικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο το σημείο του, τότε θα ισχύουν οι σχέσεις και, οπότε η τελευταία εξίσωση γίνεται: που αποτελεί εξίσωση παραβολής με. Μπορούμε επίσης να υπολογίσουμε την εστία και τη διευθετούσα του νέου συστήματος συντεταγμένων: Στον ακόλουθο πίνακα φαίνονται οι αντιστοιχίες στα διάφορα στοιχεία του αρχικού συστήματος συντεταγμένων και του νέου συστήματος συντεταγμένων. (iii) Έχουμε το σύστημα: Αν θεωρήσουμε νέο σύστημα συντεταγμένων παράλληλο προς το αρχικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο το σημείο του, τότε θα ισχύουν οι σχέσεις και, οπότε η τελευταία εξίσωση γίνεται: που αποτελεί εξίσωση υπερβολής με

28 Οι εστίες και, καθώς και οι κορυφές και της υπερβολής θα βρίσκονται πάνω στον άξονα των και συγκεκριμένα θα είναι: Στον ακόλουθο πίνακα φαίνονται οι αντιστοιχίες στα διάφορα στοιχεία του αρχικού συστήματος συντεταγμένων και του νέου συστήματος συντεταγμένων. μεταβλητές σημείο εξίσωση υπερβολής εστία εστία κορυφή κορυφή Β) Παρατηρούμε ότι το κέντρο της υπερβολής, καθώς και οι κορυφές, βρίσκονται πάνω στην ευθεία, δηλαδή σε ευθεία παράλληλη προς τον. Θεωρούμε νέο σύστημα συντεταγμένων παράλληλο προς το αρχικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο το σημείο του, οπότε θα ισχύουν οι σχέσεις και. Στην περίπτωση αυτή η εξίσωση της υπερβολής είναι: Το μπορούμε να το υπολογίσουμε εύκολα από την απόσταση των δύο κορυφών. Συγκεκριμένα είναι: Θα υπολογίσουμε το μορφή και. Έχουμε λοιπόν: με τη βοήθεια των ασύμπτωτων ευθειών που θα πρέπει να έχουν τη

29 Με τη βοήθεια των παραπάνω η εξίσωση της υπερβολής γίνεται: Στον ακόλουθο πίνακα φαίνονται οι αντιστοιχίες στα διάφορα στοιχεία του αρχικού συστήματος συντεταγμένων και του νέου συστήματος συντεταγμένων. μεταβλητές σημείο εξίσωση υπερβολής κορυφή κορυφή ασύμπτωτη 1 ασύμπτωτη 2

30 Άσκηση 4 Α) Αν για τον μιγαδικό αριθμό ισχύει να δείξετε ότι είναι. B) Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς τέτοιους ώστε. Να δείξετε ότι ο είναι πραγματικός αν και μόνο αν ο είναι φανταστικός αριθμός. Λύση Α) Ο μιγαδικός αριθμός θα είναι της μορφής:, με το να είναι το πραγματικό του μέρος και το φανταστικό. Έχουμε ότι. Η τελευταία σχέση μπορεί να γίνει: Β) Έστω ότι ο είναι πραγματικός, δηλαδή θα είναι της μορφής Έστω μιγαδικός αριθμός της μορφής με. Γνωρίζουμε ότι ισχύει η σχέση: Θα εξετάσουμε την πρώτη εξίσωση που αφορά στο πραγματικό μέρος των αριθμών. Έχουμε, λοιπόν: Αν, τότε ο μιγαδικός θα είναι:

31 δηλαδή, άρα ο είναι φανταστικός αριθμός. Αν, τότε από τη σχέση έχουμε: Από τα παραπάνω προκύπτει ότι αν ο είναι πραγματικός, τότε ο είναι φανταστικός αριθμός και αντιστρόφως.

32 Άσκηση 5 Να λύσετε την εξίσωση. Αν είναι οι ρίζες της εξίσωσης να δείξετε ότι οι εικόνες τους είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου. Λύση Θέτουμε Για Για, έχουμε:, έχουμε:. Έχουμε λοιπόν:

33 Για, έχουμε:

34 Άσκηση 6 Δίνεται η συνάρτηση i. Να δειχθεί ότι είναι «1-1». ii. Να βρεθεί το σύνολο εικόνων (τιμών) της. iii. Να βρείτε τον τύπο της αντίστροφης συνάρτησης. Λύση Έχουμε τη συνάρτηση. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και κατόπιν: και θέλουμε να βρούμε το πεδίο ορισμού της. Θα πρέπει να πάρουμε τον εξής περιορισμό: που ισχύει για κάθε αφού για κάθε. Άρα το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών. (i) Θέλουμε να δείξουμε ότι η συνάρτηση είναι «1-1». Για να ισχύει αυτό θα πρέπει να ισχύει:. Έχουμε λοιπόν: επομένως η συνάρτηση είναι «1-1».

35 (ii) Θέλουμε να βρούμε το σύνολο τιμών της Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών, καθώς ο παρονομαστής δε μηδενίζεται. Θέτουμε και θα λύσουμε ως προς. Έχουμε λοιπόν: Αν, τότε η τελευταία σχέση γίνεται: Αν, τότε η τελευταία σχέση γίνεται: Εφόσον Έχουμε λοιπόν: Θα πρέπει, επίσης,, σημαίνει ότι και Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το διάστημα. (iii) Θέλουμε να βρούμε τον τύπο της αντίστροφης συνάρτησης. Θα εργαστούμε ως εξής:

36 οπότε η αντίστροφη της συνάρτησης θα είναι η

37 Άσκηση 7 Δίνονται οι συναρτήσεις: και. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και ο τύπος των συναρτήσεων και. Λύση Έχουμε τις συναρτήσεις με και με. Θέλουμε να υπολογίσουμε τη συνάρτηση ορίζεται η πρέπει: δηλαδή, Επομένως, ορίζεται η και είναι: και να βρούμε το πεδίο ορισμού της. Για να Θέλουμε να υπολογίσουμε τη συνάρτηση και να βρούμε το πεδίο ορισμού της. Αρχικά θα πρέπει να βρούμε τη. Για να ορίζεται η τελευταία θα πρέπει:

38 δηλαδή,. Επομένως, ορίζεται η και είναι Αφού υπολογίσαμε τη, τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε και τη. Για να ορίζεται η τελευταία θα πρέπει: δηλαδή,. Επομένως, ορίζεται η και είναι

39 Άσκηση 8 A) Να υπολογίσετε το όριο κάθε μιας από τις παρακάτω ακολουθίες: i), ii), iii). Β) Να δείξετε ότι η ακολουθία με είναι: i) Άνω φραγμένη από το 2. ii) Αύξουσα. iii) Λύση Α) Θέλουμε να υπολογίσουμε τα όρια από τις παρακάτω ακολουθίες: (i) Έχουμε την ακολουθία. Γνωρίζουμε ότι ισχύει, επομένως το θα παίρνει πάντα θετικές τιμές με μέγιστη τιμή το 1. Έχουμε λοιπόν: Παρατηρούμε ότι Άρα και για την ακολουθία που παίρνει τιμές ανάμεσα στο 0 και στο θα ισχύει: (ii) Έχουμε την ακολουθία Έχουμε λοιπόν: και θέλουμε να υπολογίσουμε το όριό της.

40 (iii) Θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο της Β) Έχουμε την ακολουθία με.. Έχουμε λοιπόν: (i) Θέλουμε να δείξουμε ότι η ακολουθία είναι άνω φραγμένη από το 2. Έστω. Επειδή το είναι το άνω φράγμα, θα πρέπει και. Εφόσον αρκεί να έχουμε: Θέτουμε λοιπόν και παρατηρούμε ότι. Αν, τότε. Επομένως, για κάθε. (ii) Παρατηρούμε ότι: Έστω ότι ισχύει. Έχουμε λοιπόν: Από την τελευταία ανίσωση συμπεραίνουμε ότι για κάθε, επομένως η ακολουθία είναι αύξουσα. (iii) Θέλουμε να υπολογίσουμε το. Έστω ότι ισχύει:

41 Γνωρίζουμε ότι θα ισχύει επίσης: Η ρίζα απορρίπτεται, καθώς η ακολουθία είναι αύξουσα και έχει πρώτο όρο το. Επομένως ισχύει:

42 Άσκηση 9 Να εξετάσετε ως προς τη σύγκλιση τις παρακάτω σειρές: Λύση Θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη σύγκλιση τις παρακάτω σειρές. (i) Έχουμε τη σειρά. Θα υπολογίσουμε το όριο της ακολουθίας: Παρατηρούμε ότι το όριο της ακολουθίας είναι διαφορετικό του μηδενός. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την τελευταία παρατήρηση ως «αρνητικό κριτήριο σύγκλισης», δηλαδή εφόσον, η σειρά δεν συγκλίνει. (ii) Έχουμε την ακολουθία και θέλουμε να δούμε αν η σειρά. συγκλίνει ή αποκλίνει Θα χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο λόγου (D Alembert). Έχουμε λοιπόν: Θα υπολογίσουμε το όριο Παρατηρούμε ότι το όριο σειρά θα συγκλίνει., επομένως σύμφωνα με το κριτήριο του λόγου η (iii) Έχουμε τη σειρά να δούμε αν η σειρά συγκλίνει ή αποκλίνει. Έχουμε λοιπόν:. Θα χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο της ρίζας (Cauchy) για

43 Θα υπολογίσουμε το όριο Παρατηρούμε ότι το όριο είναι μικρότερο της μονάδας, επομένως η σειρά θα συγκλίνει. (iv) Έχουμε τη σειρά για να δούμε αν συγκλίνει ή αποκλίνει. Έχουμε λοιπόν: Θα υπολογίσουμε το όριο Παρατηρούμε ότι το όριο σειρά θα συγκλίνει.. Θα χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο του λόγου, επομένως σύμφωνα με το κριτήριο του λόγου η

44 Άσκηση 10 Να δείξετε ότι: Λύση (i) Έχουμε ότι: Παρατηρούμε ότι πρόκειται για τηλεσκοπική σειρά, επομένως ισχύει άρα η τελευταία σχέση μας γίνεται: (ii) Έχουμε ότι:

45 Γραπτή εργασία 3 (Φεβρουάριος 2013) Άσκηση 1 Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια συναρτήσεων: Λύση (α) Θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο: Παρατηρούμε ότι το 4 αποτελεί ρίζα τόσο του αριθμητή, όσο και του παρονομαστή, επομένως δεν μπορούμε να υπολογίσουμε άμεσα το όριο γιατί προκύπτει απροσδιοριστία της μορφής. Θα εργαστούμε επομένως ως εξής: (β) Θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο: Παρατηρούμε ότι όταν το μηδενίζονται (απροσδιοριστία της μορφής μετασχηματιστεί ως εξής: τείνει στο μηδέν, τόσο ο αριθμητής, όσο και ο παρονομαστής ). Το παραπάνω όριο θα μπορούσε να

46 (γ) Θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο: Παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή δεν μπορούμε α προσδιορίσουμε άμεσα το όριο γιατί προκύπτει απροσδιοριστία της μορφής. Για να ξεπεράσουμε το πρόβλημα θα εργαστούμε ως εξής:

47 Άσκηση 2 Δίνεται η συνάρτηση όπου. (α) Να προσδιορίσετε τις τιμές των, έτσι ώστε η συνάρτηση να είναι παραγωγίσιμη στο. (β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της. Λύση (α) Έχουμε τη συνάρτηση όπου. στο σημείο Για να είναι η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο θα πρέπει να είναι και συνεχής στο. Για κάθε, η είναι συνεχής αφού Για να είναι συνεχής και στο Έχουμε ότι:, θα πρέπει να ισχύει: Η παράγωγος της θα είναι όπου. Εφόσον η είναι παραγωγίσιμη στο, αυτό σημαίνει ότι θα υπάρχει το όριο για το, δηλαδή: Έχουμε λοιπόν:

48 Από τις σχέσεις και προκύπτει ότι: (β) Θέλουμε να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της σημείο. Γνωρίζουμε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης δίνεται από τον τύπο: Στο σημείο, το, οπότε μπορούμε να υπολογίσουμε εύκολα τις ακόλουθες τιμές: Με τη βοήθεια των τελευταίων, η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο γίνεται: στο

49 Άσκηση 3 (α) Χρησιμοποιείστε το κριτήριο παρεμβολής για να υπολογίσετε το όριο (β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο. Λύση (α) Θέλουμε να υπολογίσουμε το ακόλουθο όριο: Γνωρίζουμε ότι το κυμαίνεται μεταξύ των τιμών και για κάθε, δηλαδή ισχύει: Παρατηρούμε ότι: Επειδή (β) Έχουμε τη συνάρτηση σύμφωνα με το κριτήριο της παρεμβολής θα είναι και. Για να είναι η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο θα πρέπει να είναι και συνεχής στο. Θα πρέπει να ελέγξουμε αν η συνάρτηση είναι συνεχής και για. Για να είναι συνεχής στο σημείο αυτό θα πρέπει:

50 Έχουμε λοιπόν ότι: Εφόσον, η συνάρτηση είναι συνεχής στο, άρα και παραγωγίσιμη στο.

51 Άσκηση 4 Να προσδιορίσετε τα τοπικά και τα ολικά ακρότατα της συνάρτησης Λύση Έχουμε τη συνάρτηση. Για να υπολογίσουμε τα ακρότατά της θα υπολογίσουμε αρχικά την πρώτη παράγωγό της και στη συνέχεια θα υπολογίσουμε τα για τα οποία ισχύει ότι (κρίσιμα σημεία). Η παράγωγος της H Επειδή το είναι: μηδενίζεται στα εξής σημεία:, θα έχουμε:

52 Από τα παραπάνω έχουμε ότι τα κρίσιμα σημεία είναι: Τα κρίσιμα σημεία αποτελούν θέσεις ακρότατων. Για να δούμε αν πρόκειται για μέγιστα ή για ελάχιστα θα υπολογίσουμε τη δεύτερη παράγωγο της. Έχουμε λοιπόν: Θα υπολογίσουμε τι τιμές παίρνει η δεύτερη παράγωγος της στα κρίσιμα σημεία. Αν η θα έχουμε τοπικό μέγιστο (ΤΜ), ενώ αν θα έχουμε τοπικό ελάχιστο (ΤΕ). Θα υπολογίσουμε τις τιμές τις τόσο στα κρίσιμα σημεία, όσο και στα άκρα του διαστήματος. Από τις τιμές αυτές η μεγαλύτερη είναι το ολικό μέγιστο και η μικρότερη το ολικό ελάχιστο. Έχουμε λοιπόν:

53 Άρα ολικό ελάχιστο έχουμε για, ενώ ολικό μέγιστο για ή.

54 Άσκηση 5 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα. Λύση Έχουμε την εξίσωση λύση στο διάστημα.. Θέλουμε να δείξουμε ότι έχει ακριβώς μία Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο και πεδίο ορισμού το διάστημα. Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής για κάθε. Παρατηρούμε ότι: Παραγωγίζοντας την έχουμε: Παρατηρούμε ότι η για κάθε, εφόσον και στο. Επομένως, η είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα. Συμπερασματικά, μπορούμε να πούμε ότι επειδή το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα που περιέχει το, θα υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο ώστε. Επειδή επιπλέον η είναι γνησίως αύξουσα στο η είναι μοναδική ρίζα της στο διάστημα αυτό.

55 Άσκηση 6 Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία, τα τοπικά ακρότατα, την κυρτότητα, τις ασύμπτωτες και να κάνετε την γραφική της παράσταση. Λύση Έχουμε τη συνάρτηση με τύπο Για να ορίζεται η συνάρτηση επομένως έχουμε: Άρα, το πεδίο ορισμού της είναι:. θα πρέπει ο παρονομαστής να είναι διάφορος του μηδενός, Θέλουμε να μελετήσουμε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία της. Θα υπολογίσουμε αρχικά την πρώτη παράγωγό της (σημειώνεται ότι η είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και επομένως παραγωγίζεται): Θα υπολογίσουμε σε ποια σημεία η συνάρτηση πότε αρνητικές τιμές. μηδενίζεται και πότε παίρνει θετικές και Για να δούμε τι πρόσημο παίρνει η, θα εξετάσουμε στην πραγματικότητα μόνο τον αριθμητή, αφού ο παρονομαστής για κάθε. Ελέγχουμε τις τιμές που παίρνει η συνάρτηση με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα (στα σημεία του πίνακα που υπάρχει διπλή μαύρη γραμμή σημαίνει ότι ο όρος μηδενίζεται, ενώ εκεί που υπάρχει διπλή κόκκινη γραμμή σημαίνει ότι η συνάρτηση δεν ορίζεται):

56 Στα σημεία όπου η είναι θετική η συνάρτηση θα είναι γνησίως αύξουσα (βέλος που δείχνει προς τα πάνω), ενώ στα σημεία όπου η είναι αρνητική η συνάρτηση θα είναι γνησίως φθίνουσα (βέλος που δείχνει προς τα κάτω). Στα σημεία που η μηδενίζεται, η συνάρτηση θα παρουσιάζει τοπικά ακρότατα [τοπικά μέγιστα (ΤΜ) ή τοπικά ελάχιστα(τε)] αν το πρόσημο της μεταβάλλεται εκατέρωθεν του. Με βάση τα παραπάνω έχουμε: ΤΜ Από τον παραπάνω πίνακα παρατηρούμε ότι η Τα τοπικά ακρότατα θα είναι: ΤΕ είναι γνησίως αύξουσα για και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα. Θέλουμε να μελετήσουμε τη συνάρτηση ως προς την κυρτότητά της. Θα πρέπει να υπολογίσουμε τη δεύτερη παράγωγο της. Έχουμε λοιπόν:

57 Θα υπολογίσουμε σε ποια σημεία η συνάρτηση πότε αρνητικές τιμές. μηδενίζεται και πότε παίρνει θετικές και Για να δούμε τι πρόσημο παίρνει η, θα εξετάσουμε στην πραγματικότητα μόνο τον αριθμητή, αφού ο παρονομαστής για κάθε. Ελέγχουμε τις τιμές που παίρνει η συνάρτηση με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα (στα σημεία του πίνακα που υπάρχει διπλή μαύρη γραμμή σημαίνει ότι ο όρος μηδενίζεται, ενώ εκεί που υπάρχει διπλή κόκκινη γραμμή σημαίνει ότι η συνάρτηση δεν ορίζεται): Στα σημεία όπου η είναι θετική η συνάρτηση θα είναι κυρτή, ενώ στα σημεία όπου η είναι αρνητική η συνάρτηση θα είναι κοίλη. Στα σημεία που η μηδενίζεται, η συνάρτηση θα παρουσιάζει σημεία καμπής (ΣΚ), αν το πρόσημο της μεταβάλλεται εκατέρωθεν του. Με βάση τα παραπάνω έχουμε: Από τον παραπάνω πίνακα παρατηρούμε ότι η καμπής θα είναι: κοίλη κυρτή κυρτή κοίλη κοίλη κυρτή και κυρτή στο διάστημα ΣΚ ΣΚ ΣΚ είναι κοίλη για. Τα σημεία

58 Θα εξετάσουμε τέλος αν η συνάρτηση έχει ασύμπτωτες. Θα ελέγξουμε αρχικά στα σημεία όπου η είναι ασυνεχής, δηλαδή στα σημεία -2 και 2: το οποίο σημαίνει ότι οι ευθείες και αποτελούν κατακόρυφες ασύμπτωτες της. Θα εξετάσουμε αν υπάρχουν πλάγιες ή οριζόντιες ασύμπτωτες της στο και στο. Οι ασύμπτωτες αυτές θα είναι ευθείες της μορφής, με. Θα υπολογίσουμε τα εξής όρια:

59 Έχουμε λοιπόν: Επομένως, η ευθεία αποτελεί πλάγια ασύμπτωτη της. Με τη βοήθεια όλων των παραπάνω κατασκευάζουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, η οποία φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα.

60 Εικόνα 1: Γραφική παράσταση συνάρτησης f

61 Άσκηση 7 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: Λύση (α) Θέλουμε να υπολογίσουμε τo ολοκλήρωμα: (β) Θέλουμε να υπολογίσουμε τo ολοκλήρωμα: Παρατηρούμε ότι ο αριθμητής είναι πολυώνυμο 2 ου βαθμού, ενώ ο παρονομαστής 3 ου βαθμού, και ότι στον παρονομαστή έχουμε γινόμενο πραγματικών απλών ριζών, οπότε η παράσταση μπορεί να αναλυθεί σε άθροισμα απλών κλασμάτων ως εξής: Θα προσδιορίσουμε αρχικά τους συντελεστές, και Γ για να μπορέσουμε να προσδιορίσουμε στη συνέχεια το ολοκλήρωμα. Έχουμε λοιπόν:

62 Επομένως θα είναι Με τη βοήθεια της τελευταίας σχέσης το αρχικό ολοκλήρωμα μετασχηματίζεται ως εξής: (γ) Θέλουμε να υπολογίσουμε τo ολοκλήρωμα:

63

64 Άσκηση 8 Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: Λύση Παρατηρούμε ότι τα όρια που θέλουμε να υπολογίσουμε είτε άμεσα είτε μέσα από μετασχηματισμούς καταλήγουν σε απροσδιόριστη μορφή. Επομένως, για την επίλυσή τους μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα L Hospital, σύμφωνα με τον οποίο ισχύει: (α) Έχουμε το όριο:

65 (β) Έχουμε το όριο:

66 Άσκηση 9 Δίνεται η συνάρτηση. Να προσεγγίσετε τη συνάρτηση σε μια περιοχή του σημείου με ένα πολυώνυμο Taylor 3 ου βαθμού. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας την προσέγγιση αυτή, να υπολογίσετε την τιμή. Λύση Έχουμε τη συνάρτηση με πεδίο ορισμού το. Θέλουμε να προσεγγίσουμε την συνάρτηση στο σημείο με τη βοήθεια ενός πολυωνύμου Taylor 3 ου βαθμού. Θεωρούμε τις συναρτήσεις και, οπότε η συνάρτηση θα ισούται με Θα υπολογίσουμε το ανάπτυγμα Taylor (κέντρο 0) ξεχωριστά για τον αριθμητή και για τον παρονομαστή. Εφόσον θέλουμε να προσεγγίσουμε τη συνάρτηση με ένα πολυώνυμο τρίτου βαθμού, θα πρέπει να υπολογίσουμε μέχρι και την τρίτη παράγωγο της και της. οπότε έχουμε: Συνάρτηση αριθμητή Συνάρτηση παρονομαστή Επομένως, το ανάπτυγμα Taylor για τον αριθμητή θα είναι:

67 και για τον παρονομαστή: Από τις, και έχουμε ότι η συνάρτηση προσεγγίζετε στην περιοχή με το εξής πολυώνυμο 3 ου βαθμού: Με τη βοήθεια της τελευταίας σχέσης θα υπολογίσουμε την τιμή :

68 Άσκηση 10 Να προσδιορίσετε την ακτίνα και το διάστημα σύγκλισης της δυναμοσειράς Λύση Θέλουμε να υπολογίσουμε την ακτίνα και το διάστημα σύγκλισης της δυναμοσειράς: Θα χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο της ρίζας: Γνωρίζουμε ότι για να συγκλίνει η σειρά θα πρέπει το όριο να είναι μικρότερο της μονάδας, επομένως έχουμε: Με τη βοήθεια των παραπάνω υπολογίζουμε ότι η ακτίνα σύγκλισης της δειναμοσειράς είναι και το διάστημα σύγκλισης, στο οποίο πρέπει να επισυνάψουμε ένα ή κανένα ή και τα δύο άκρα του. Για Για έχουμε: έχουμε: Άρα το διάστημα σύγκλισης είναι.

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ για Γενική Επανάληψη Πολυχρόνη Μωυσιάδη, Καθηγητή ΑΠΘ ΟΜΑΔΑ 1. Συναρτήσεις 1. Δείξτε ότι: και υπολογίστε την τιμή 2. 2. Να υπολογισθούν οι τιμές και 3. Υπολογίστε τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση

2 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση --8 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Άσκηση η Υπολογίστε τα κάτωθι όρια: cos α) β) γ) δ) ε) sin 5 α) Εφαρμόζουμε τον κανόνα L Hospital μια φορά (απροσδιοριστία της μορφής /)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. . Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 19 Μιγαδικός αριθμός λέγεται η έκφραση α + i, με α, ΙR. Φανταστικός αριθμός λέγεται η έκφραση i, με ΙR. Αν z = α + i, α, ΙR, το α λέγεται πραγματικό μέρος του z. Αν z = α + i, α, ΙR, το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλ. 357 22378101 Φαξ: 357 22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2 Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ Η γραφική της παράσταση είναι μια καμπύλη που λέγεται παραβολή. Ανάλογα με το πρόσημο του α έχω και τα αντίστοιχα συμπεράσματα. αν α > 0 1) Η γραφική της παράσταση είναι πάνω

Διαβάστε περισσότερα

2.8. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i)

2.8. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i) 1.8 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 A Οµάδας 1.i) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η συνάρτηση () 5 5 4 + είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σηµεία καµπής της γραφικής της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

και γνησίως αύξουσα στο 0,

και γνησίως αύξουσα στο 0, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ 6 (i) A. Σχολικό βιβλίο σελ 141 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Ισχύει D f επειδή 1 1 1 Για κάθε η f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης 6 Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, ) R τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: t f ( ) dt. f () t te ( ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα 0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος σχολικό έτος 03-04) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί α) (Κατακόρυφη ασύμπτωτη) Αν ένα τουλάχιστον απ' τα όρια f(), o o λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. f() είναι +, ή -, τότε η ευθεία o β) (Οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital:

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital: η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : Ιανουαρίου 7 Άσκηση. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopil: α. β. γ. lim 6 lim lim sin. (Υπόδειξη: χωρίς να την αποδείξετε, χρησιμοποιήστε

Διαβάστε περισσότερα

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων. τέτοια ώστε. lim. και

Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων. τέτοια ώστε. lim. και Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων Άσκηση η Να βρεθούν τα ολικά ακρότατα των συναρτήσεων ) x, 0, ) x x a x x x, x x x x Άσκηση η Αν : a, συνεχής στο, τέτοια ώστε x x και x x Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016 ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

lim f ( x) x + f ( x) x a x a x a 2x 1

lim f ( x) x + f ( x) x a x a x a 2x 1 Ασύµπτωτες γραφικής παραστάσεως συναρτήσεως Ασύµπτωτες της γραφικής παραστάσεως συναρτήσεως y f ( ) ονοµάζονται οι ευθείες που για πολύ µικρές ή µεγάλες τιµές των, y προσεγγίζουν ικανοποιητικά την γραφική

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0)

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0) . Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν γνωρίζουμε το κέντρο του, και την ακτίνα του ρ. Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, τότε έχει εξίσωση της μορφής : και αντίστροφα. Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 )

( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 0 Θέμα Δίδονται οι πίνακες K= 5 4, L=, M=. 9 7 A) (8 μονάδες) Για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ] ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4)

ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4) Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 3 Α. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο ο ; Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το θεώρηµα Rolle ; Γ. Να αποδείξετε ότι ( ) a = a ln a (Μονάδες 5) (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= ημ x, x (0,π). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος 3 σχολικό έτος 4-5) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Λιτζερίνος Χρήστος Μπούζας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) Δίνεται η εξίσωση z-=z-3i,zc α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία ε: -3y+4= β) Να βρείτε την εικόνα του μιγαδικού z, για τον οποίο το

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης σε όλο το εύρος της διδακτέας ύλης Κων/νος Παπασταματίου Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4 3 598 Περιεχόμενα Συνδυαστικά Θέματα... Προβλήματα... 6 Επιμέλεια

Διαβάστε περισσότερα

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 6 Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Μια συνάρτηση f λέγεται: α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν για οποιαδήποτε χ,χ Δ με χ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα