Ενηµέρωση STRAD. Ιανουάριος M VK Civil Engineering Software Ltd. Mykinon 9 & Kifisias, GR Athens, Greece web page:

Transcript

1 Ενηµέρωση STRAD Ιανουάριος M VK Civil Engineering Software Ltd. Mykinon 9 & Kifisias, GR Athens, Greece web page: Περιγράφονται οι νέες δυνατότητες της έκδοσης Αυτές περιλαµβάνουν νέες δυνατότητες στην δυναµική ανάλυση, προσθήκες στο νέο περιβάλλον εκτυπώσεων BIMReports, δυνατότητα γρήγορης και εποπτικής εξερεύνησης της µελέτης, καθώς και την ανάλυση ευαισθησίας. Παράλληλα παραθέτονται παραδείγµατα ανάλυσης ευαισθησίας, καθώς και η θεωρητική της τεκµηρίωση. 1. Νέες δυνατότητες ανάλυσης 1.1 Τυχηµατική εκκεντρότητα της δυναµικής ανάλυσης (ΕΑΚ2000) Η µέχρι την έκδοση 2008 διαδικασία επίλυσης, όσον αφορά την τυχηµατική εκκεντρότητα, ήταν η ακόλουθη: Σε περίπτωση απλοποιηµένης φασµατικής, από τις συντεταγµένες των υποστυλωµάτων και των ελευθέρων κόµβων προσδιορίζονται τα X max, X min, Y max, Y min και Χ = Χ max -Χ min, Υ = Y max - Y min. Η εκκεντρότητα προσδιορίζεται σύµφωνα µε το άρθρο ΕΑΚ2000, δηλαδή: Εφαρµογή απλοποιηµένης φασµατικής µεθόδου [1] Κατά την εφαρµογή της µεθόδου αυτής, για κάθε κύρια διεύθυνση του κτιρίου και σε κάθε διάφραγµα, οι σεισµικές δυνάµεις Fi εφαρµόζονται εκατέρωθεν του κέντρου µάζας Μi µε τις παρακάτω εκκεντρότητες σχεδιασµού ως προς τον (πραγµατικό ή πλασµατικό) ελαστικό άξονα του κτιρίου (Σχήµα 3.1): max(ei) = efi + eτi (3.1.α) min(ei) = eri eτi (3.1.β), όπου: eτi η τυχηµατική εκκεντρότητα και efi, eri, οι ισοδύναµες στατικές εκκεντρότητες. Σε περίπτωση φασµατικής επίλυσης ακολουθείται το άρθρο EAK2000, δηλαδή: Εφαρµογή δυναµικής φασµατικής µεθόδου

2 [2] Εναλλακτικά, λόγω της εγγενούς αβεβαιότητας της τυχηµατικής εκκεντρότητας, επιτρέπεται η αποτίµηση των αποτελεσµάτων της, χωρίς µετατόπιση των µαζών, µέσω πρόσθετης στατικής φόρτισης από οµόσηµα στρεπτικά ζεύγη ίσα προς ±2 eτi Fi σε κάθε όροφο. Η σεισµική δύναµη Fi του ορόφου, αν δεν υπολογίζεται ακριβέστερα, µπορεί να λαµβάνεται από τη σχέση (3.15) για κάθε διεύθυνση υπολογισµού. Τα προκύπτοντα από τη φόρτιση αυτή αποτελέσµατα αθροίζονται αλγεβρικά µε τα αποτελέσµατα εφαρµογής της δυναµικής φασµατικής µεθόδου κατά την θεωρούµενη διεύθυνση υπολογισµού. Στο πρόγραµµα το eτi είναι τιµή που δίνεται στο αρχείο υλικών (plus αντισεισµικού). Στην έκδοση 2009 στο πεδίο "Τυχηµατική Εκκεντρότητα", του διαλόγου της επίλυσης (στην περίπτωση επίλυσης µε φασµατική ανάλυση), υπάρχει επιπρόσθετη επιλογή " υναµική επίλυση", συµπληρωµατικά ως προς τις προηγούµενες επιλογές "Μονόροφο", "ΝΕΑΚ (Χωρικό)". Επιλέγοντας την " υναµική Ανάλυση", το µητρώο µάζας κόµβου ή µέλους πολλαπλασιάζεται διαδοχικά µε τέσσερα διαφορετικά µητρώα µετασχηµατισµού τα οποία αντιστοιχούν σε µετατοπίσεις + (eτi Ly) κατά Υ, - (eτi Ly) κατά Υ, + (eτi Lx) κατά Χ, - (eτi Lx) κατά Χ. Σε αυτήν την περίπτωση στον εσωτερικό έλεγχο του προγράµµατος (ΤEST επίλυσης) εµφανίζονται αποτελέσµατα από 5 διαφορετικές αναλύσεις: (i) ανάλυση 0 στο κέντρο βάρους, (ii) ανάλυση 1 στο + Υ για σεισµό Χ-Χ της ΠΦ3, (iii) ανάλυση 2 στο Υ για σεισµό Χ-Χ της ΠΦ3, (iv) ανάλυση 3 στο + Χ για σεισµό Υ-Υ της ΠΦ2 και (v) ανάλυση 4 στο Χ για σεισµό Υ-Υ της ΠΦ2. Παρακάτω παραθέτονται τα αποτελέσµατα κτηρίου µε 8 στάθµες και επίλυση για 15 ιδιοµορφές: Έλεγχος αποτελεσµάτων δυναµικης αν. 0 ΙΕΥΘΥΝΣΗ Υ-Υ V0= 2465,05 VH= 0,00 ΘΕΜΕΛΙΩ ΗΣ 1n Ι ΙΟΠΕΡΙΟ ΟΣ ΙΕΥΘΥΝΣΗ X-X V0= 2924,45 VH= 0,00 ΘΕΜΕΛΙΩ ΗΣ 2n Ι ΙΟΠΕΡΙΟ ΟΣ A/A Ι ΙOΠ.(sec) ΑΠΟΚΛΙΣΗ% Rd(T)/Bd(T) Bdx(T) Rdx(T) Bdy(T) Rdy(T) %X %Y 1 0,758 0,2804 0, ,1399 1,656 2,1399 1,656 0,0 85,6 2 0,494 0,0778 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 85,4 0,1 3 0,432 0,1099 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 2,0 4,2 4 0,209 0,0024 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 0,5 0,0 5 0,196 0,0695 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 0,1 7,5 6 0,145 0,0024 0, ,5310 1,959 2,5310 1,959 0,3 0,0 7 0,141 0,0031 0, ,5567 1,979 2,5567 1,979 0,1 0,0 8 0,131 0,0082 0, ,6275 2,034 2,6275 2,034 1,0 0,0 9 0,129 0,0023 0, ,6427 2,046 2,6427 2,046 0,0 0,0 10 0,128 0,0008 0, ,6439 2,046 2,6439 2,046 0,0 0,0 11 0,128 0,0004 0, ,6441 2,047 2,6441 2,047 0,0 0,0 12 0,127 0,0072 0, ,6544 2,055 2,6544 2,055 0,0 0,0 13 0,118 0,0309 0, ,7120 2,099 2,7120 2,099 0,2 0,9 14 0,111 0,0133 0, ,7573 2,134 2,7573 2,134 0,3 0,2 15 0,106 0,1713 0, ,7926 2,161 2,7926 2,161 2,2 0,

3 Έλεγχος αποτελεσµάτων δυναµικης αν. 1 ΙΕΥΘΥΝΣΗ Υ-Υ V0= 2465,05 VH= 0,00 ΘΕΜΕΛΙΩ ΗΣ 1n Ι ΙΟΠΕΡΙΟ ΟΣ ΙΕΥΘΥΝΣΗ X-X V0= 2924,45 VH= 0,00 ΘΕΜΕΛΙΩ ΗΣ 2n Ι ΙΟΠΕΡΙΟ ΟΣ A/A Ι ΙOΠ.(sec) ΑΠΟΚΛΙΣΗ% Rd(T)/Bd(T) Bdx(T) Rdx(T) Bdy(T) Rdy(T) %X %Y 1 0,759 0,2780 0, ,1379 1,655 2,1379 1,655 0,2 85,2 2 0,493 0,0530 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 86,3 0,3 3 0,434 0,1387 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 1,1 4,2 4 0,220 0,0018 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 0,5 0,0 5 0,198 0,0675 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 0,0 7,6 6 0,160 0,0024 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 0,0 0,0 7 0,152 0,0019 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 0,4 0,0 8 0,138 0,0075 0, ,5787 1,996 2,5787 1,996 0,9 0,1 9 0,136 0,0019 0, ,5946 2,008 2,5946 2,008 0,0 0,0 10 0,136 0,0005 0, ,5959 2,009 2,5959 2,009 0,0 0,0 11 0,136 0,0002 0, ,5961 2,009 2,5961 2,009 0,0 0,0 12 0,134 0,0066 0, ,6073 2,018 2,6073 2,018 0,0 0,0 13 0,120 0,0801 0, ,7014 2,091 2,7014 2,091 0,1 0,5 14 0,119 0,4018 0, ,7086 2,096 2,7086 2,096 0,0 0,3 15 0,116 0,5195 0, ,7278 2,111 2,7278 2,111 0,0 0, Έλεγχος αποτελεσµάτων δυναµικης αν. 2 ΙΕΥΘΥΝΣΗ Υ-Υ<NOMOS>(1) V0= 2465,05 VH= 0,00 ΘΕΜΕΛΙΩ ΗΣ 1n Ι ΙΟΠΕΡΙΟ ΟΣ ΙΕΥΘΥΝΣΗ X-X V0= 2924,45 VH= 0,00 ΘΕΜΕΛΙΩ ΗΣ 2n Ι ΙΟΠΕΡΙΟ ΟΣ A/A Ι ΙOΠ.(sec) ΑΠΟΚΛΙΣΗ% Rd(T)/Bd(T) Bdx(T) Rdx(T) Bdy(T) Rdy(T) %X %Y 1 0,758 0,2811 0, ,1392 1,656 2,1392 1,656 0,1 85,3 2 0,503 0,0889 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 77,6 1,0 3 0,424 0,0796 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 9,7 3,5 4 0,220 0,0023 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 0,5 0,0 5 0,198 0,0673 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 0,1 7,5 6 0,157 0,0038 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 0,0 0,0 7 0,152 0,0026 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 0,4 0,0 8 0,137 0,0081 0, ,5837 2,000 2,5837 2,000 0,8 0,0 9 0,136 0,0012 0, ,5950 2,009 2,5950 2,009 0,0 0,0 10 0,136 0,0004 0, ,5959 2,009 2,5959 2,009 0,0 0,0 11 0,136 0,0002 0, ,5962 2,009 2,5962 2,009 0,0 0,0 12 0,134 0,0069 0, ,6069 2,018 2,6069 2,018 0,0 0,0 13 0,123 0,0430 0, ,6831 2,077 2,6831 2,077 0,4 0,4 14 0,117 0,1394 0, ,7192 2,105 2,7192 2,105 0,4 0,6 15 0,115 0,0559 0, ,7303 2,113 2,7303 2,113 0,3 0, Έλεγχος αποτελεσµάτων δυναµικης αν. 3 ΙΕΥΘΥΝΣΗ Υ-Υ<NOMOS>(1) V0= 2465,05 VH= 0,00 ΘΕΜΕΛΙΩ ΗΣ 1n Ι ΙΟΠΕΡΙΟ ΟΣ ΙΕΥΘΥΝΣΗ X-X V0= 2924,45 VH= 0,00 ΘΕΜΕΛΙΩ ΗΣ 2n Ι ΙΟΠΕΡΙΟ ΟΣ A/A Ι ΙOΠ.(sec) ΑΠΟΚΛΙΣΗ% Rd(T)/Bd(T) Bdx(T) Rdx(T) Bdy(T) Rdy(T) %X %Y 1 0,743 0,2432 0, ,1690 1,679 2,1690 1,679 0,0 86,8 2 0,494 0,0814 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 84,7 0,1 3 0,440 0,1189 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 2,8 3,0 4 0,271 0,0033 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 0,1 0,0 5 0,270 0,0031 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 0,1 0,0 6 0,270 0,0032 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 0,1 0,0 7 0,270 0,0013 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 0,0 0,0 8 0,270 0,0018 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 0,0 0,0 9 0,192 0,0623 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 0,0 7,8 10 0,178 0,0020 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 0,3 0,0 11 0,157 0,0116 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 0,0 0,0 12 0,143 0,1906 0, ,5499 1,974 2,5499 1,974 0,1 0,0 13 0,131 0,7691 0, ,6261 2,033 2,6261 2,033 1,1 0,1 14 0,129 0,8414 0, ,6427 2,046 2,6427 2,046 0,0 0,0 15 0,128 0,3400 0, ,6439 2,046 2,6439 2,046 0,0 0,

4 Έλεγχος αποτελεσµάτων δυναµικης αν. 4 ΙΕΥΘΥΝΣΗ Υ-Υ<NOMOS>(1) V0= 2465,05 VH= 0,00 ΘΕΜΕΛΙΩ ΗΣ 1n Ι ΙΟΠΕΡΙΟ ΟΣ ΙΕΥΘΥΝΣΗ X-X V0= 2924,45 VH= 0,00 ΘΕΜΕΛΙΩ ΗΣ 2n Ι ΙΟΠΕΡΙΟ ΟΣ A/A Ι ΙOΠ.(sec) ΑΠΟΚΛΙΣΗ% Rd(T)/Bd(T) Bdx(T) Rdx(T) Bdy(T) Rdy(T) %X %Y 1 0,776 0,2410 0, ,1073 1,631 2,1073 1,631 0,0 84,4 2 0,495 0,0745 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 85,3 0,1 3 0,424 0,0905 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 1,4 5,5 4 0,271 0,0025 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 0,0 0,0 5 0,270 0,0019 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 0,0 0,0 6 0,270 0,0004 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 0,0 0,0 7 0,270 0,0004 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 0,0 0,0 8 0,270 0,0004 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 0,0 0,0 9 0,268 0,0034 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 1,1 0,0 10 0,202 0,0585 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 0,0 7,2 11 0,186 0,0056 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 0,5 0,0 12 0,155 0,0064 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 0,0 0,0 13 0,152 0,0033 0, ,5000 1,935 2,5000 1,935 0,0 0,0 14 0,143 0,0027 0, ,5499 1,974 2,5499 1,974 0,0 0,0 15 0,134 0,4308 0, ,6080 2,019 2,6080 2,019 0,0 0, ΤΕΣΤ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΦΟΡΤΙΣΗΣ 1 Στάθµη ΣFz-Επίλυσης ΣFz-DATAF ΣFy-Επίλυσης ΣFy-DATAF ΣFx-Επίλυσης ΣFx-DATAF , ,2 0,0 0,0 0,0 0, , ,4 0,0 0,0 0,0 0, , ,5 0,0 0,0 0,0 0, , ,2 0,0 0,0 0,0 0, ,2-8558,2 0,0 0,0 0,0 0, ,4-5909,4 0,0 0,0 0,0 0, ,5-3541,5 0,0 0,0 0,0 0, ΤΕΣΤ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΦΟΡΤΙΣΗΣ 2 Στάθµη ΣFz-Επίλυσης ΣFz-DATAF ΣFy-Επίλυσης ΣFy-DATAF ΣFx-Επίλυσης ΣFx-DATAF 2 0,0 0,0-2922,2-2922,2 0,0 0,0 3 0,0 0,0-2922,2-2922,2 0,0 0,0 4 0,0 0,0-2922,2-2922,2 0,0 0,0 5 0,0 0,0-2724,7-2724,7 0,0 0,0 6 0,0 0,0-2351,7-2351,7 0,0 0,0 7 0,0 0,0-1796,6-1796,6 0,0 0,0 8 0,0 0,0-1147,7-1147,7 0,0 0, ΤΕΣΤ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΦΟΡΤΙΣΗΣ 3 Στάθµη ΣFz-Επίλυσης ΣFz-DATAF ΣFy-Επίλυσης ΣFy-DATAF ΣFx-Επίλυσης ΣFx-DATAF 2 0,0 0,0 0,0 0,0-2922,2-2922,2 3 0,0 0,0 0,0 0,0-2922,2-2922,2 4 0,0 0,0 0,0 0,0-2922,2-2922,2 5 0,0 0,0 0,0 0,0-2724,7-2724,7 6 0,0 0,0 0,0 0,0-2351,7-2351,7 7 0,0 0,0 0,0 0,0-1796,6-1796,6 8 0,0 0,0 0,0 0,0-1147,7-1147, ΤΕΣΤ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΦΟΡΤΙΣΗΣ 8 Στάθµη ΣFz- ΣFz-DATAF ΣFy-Επίλυσης ΣFy-DATAF ΣFx-Επίλυσης ΣFx-DATAF Επίλυσης ,4-3339,4 0,0 0,0 0,0 0, ,7-2734,7 0,0 0,0 0,0 0, ,1-2117,1 0,0 0,0 0,0 0, ,8-1952,8 0,0 0,0 0,0 0, ,4-1274,4 0,1 0,0 0,0 0, ,5-694,5 0,1 0,0 0,0 0, ,6-256,6 0,0 0,0 0,0 0,0 Tx Rayleigh= Ty Rayleigh=

5 1.2 Προσήµανση εντατικών µεγεθών φασµατικής ανάλυσης Η προσήµανση των εντατικών µεγεθών, που προέρχονται από φασµατική ανάλυση, είναι πάρα πολύ σηµαντική στην περίπτωση τέµνουσας υποστυλωµάτων µε στραµµένο σύστηµα συντεταγµένων, δηλαδή σε υποστυλώµατα στα οποία η γωνία του τοπικού Υ µε τον απόλυτο Υ είναι διάφορη του 0. Στα υποστυλώµατα αυτά σε πολλές περιπτώσεις απαιτείται η προβολή των εντατικών τους µεγεθών από το τοπικό σύστηµα στο απόλυτο, όπως για παράδειγµα στην περίπτωση ελέγχου επάρκειας τοιχωµάτων ή όπου αλλού ζητείται άθροισµα τεµνουσών σε απόλυτους άξονες. Μέχρι την 2008 έκδοση του προγράµµατος η προσήµανση των εντατικών µεγεθών της φασµατικής ανάλυσης γινόταν από τα πρόσηµα της κύριας ιδιοµορφής, δηλαδή της ιδιοµορφής µε το µεγαλύτερο ποσοστό µεταφερόµενης µάζας ανά κατεύθυνση σεισµού. Από την έκδοση 2009, υπάρχει η επιπρόσθετη δυνατότητα της προσήµανσης µε βάση τα πρόσηµα της ισοδύναµης στατικής ανάλυσης. ηλαδή, στο πεδίο "Παράµετροι υναµικής Ανάλυσης" του διαλόγου της επίλυσης υπάρχει η πρόσθετη δυνατότητα "Πρόσηµα Ιδιοµορφικών µεγεθών από Ισοδύναµη στατική ανάλυση". Με αυτή την επιλογή ( ΕΝ ΣΥΝΙΣΤΑΤΑΙ στην γενική περίπτωση) τα αποτελέσµατα της δυναµικής ανάλυσης προσηµαίνονται σύµφωνα µε τα αποτελέσµατα της ισοδύναµης στατικής ανάλυσης. Η χρήση της συνιστάται µόνο στην περίπτωση που υπάρχουν πολλά σύνθετα τοιχώµατα και στον έλεγχο επάρκειας τοιχωµάτων εµφανίζεται πολύ µικρή ΣVx ή ΣVy. 2. Εκτύπωση επάρκειας στοιχείων (BIMreports) Ως δείκτης ανεπάρκειας ορίζεται ο λόγος: λ = S / Rm όπου: S είναι: (i) η ροπή λόγω των δράσεων του σεισµικού συνδυασµού και (ii) η ικανοτική τέµνουσα που υπολογίζεται µε βάση τις αντοχές των µελών που συµβάλλουν σε έναν κόµβο, ενώ Rm είναι η αντίστοιχη διαθέσιµη αντίσταση του στοιχείου. Οι λόγοι λ υπολογίζονται για κάθε τύπο έντασης (καµπτική, διατµητική) σε κάθε κύριο στοιχείο. Κρίσιµο εντατικό µέγεθος για κάθε στοιχείο είναι εκείνο για το οποίο υπολογίστηκε η µεγαλύτερη τιµή του λόγου λ.

6 Ο δείκτης ανεπάρκειας λορόφου ορίζεται ως: λορόφου=, όπου στη σχέση αυτή λi είναι ο δείκτης ανεπάρκειας για το στοιχείο i του ορόφου, VSi είναι η αντίστοιχη δρώσα τέµνουσα και n ο αριθµός των στοιχείων του ορόφου. Η εκτύπωση αυτή αποτελεί την αριθµητική-ποσοτική έκφραση της ποιοτικής απεικόνισης που ήδη υπήρχε στο πρόγραµµα υπό µορφή γραφικών "Επάρκεια στοιχείων". Τα δεδοµένα που εκτυπώνονται για τα υποστυλώµατα παρουσιάζονται, υπό µορφή παραδείγµατος, στον παρακάτω πίνακα: n 1 n 1 λ V i V Si Si Επάρκεια Στοιχείων Υποστυλώµατα Στάθµης 1 α/α λ µόνιµα λ σεισµ. Αscal/eff Vsd /Vrd2 Vsd /Vrd , όπου "α/α" είναι ο αύξων αριθµός του υποστυλώµατος, "λ µόνιµα" είναι η ανεπάρκεια του υποστυλώµατος σε µόνιµα φορτία, "λ σεισµ." η ανεπάρκεια του υποστυλώµατος σε σεισµικούς συνδυασµούς, "Αscal/eff" ο λόγος του υπολογισθέντος οπλισµού προς τον τιθέµενο, "Vsd /Vrd2" ο λόγος της τέµνουσας σχεδιασµού προς την τέµνουσα αντοχής λοξής θλίψης κορµού και "Vsd /Vrd3" ο λόγος της τέµνουσας σχεδιασµού προς την τέµνουσα λόγω διατµητικού οπλισµού. Τα αντίστοιχα δεδοµένα που εκτυπώνονται για τις δοκούς είναι αυτά του παρακάτω πίνακα: οκοί Στάθµης 1 α/α λ µόνιµα λ σεισµ. Αscal/eff , όπου "α/α" είναι ο αύξων αριθµός της δοκού, "λ µόνιµα" είναι η ανεπάρκεια της δοκού σε µόνιµα φορτία, "λ σεισµ." η ανεπάρκεια της δοκού σε σεισµικούς συνδυασµούς και "Αscal/eff" ο λόγος του υπολογισθέντος οπλισµού προς τον τιθέµενο.

7 3. Εξερεύνηση µελέτης (Project explorer) Για τον γρήγορο και εποπτικό έλεγχο της µελέτης προστέθηκε η δυνατότητα εξερεύνησης της µελέτης. Αυτό γίνεται επιλέγοντας από το µενού Μοντέλο την εντολή "Εξερεύνηση µελέτης ON/OFF". Στον πίνακα µε δενδροειδή διάταξη που εµφανίζεται στην οθόνη απεικονίζονται όλες οι στάθµες της µελέτης και τα µέλη που υπάρχουν σε κάθε στάθµη (υποστυλώµατα, δοκοί, πλάκες κλπ.). Στο πίνακα αυτό µε δεξί κλικ πάνω σε ένα στοιχείο υπάρχει η δυνατότητα εστίασης (zoom) στην θέση που βρίσκεται αυτό στην κάτοψη και η δυνατότητα επεξεργασίας αυτού (edit) ανοίγοντας την καρτέλα αλλαγής του µέλους. Μετά τη φάση της διαστασιολόγησης το εικονίδιο κάθε µέλους χρωµατίζεται ανάλογα µε το αποτέλεσµα της διαστασιολόγησης. Μέλη στα οποία έχει γίνει ο σχεδιασµός και δεν υπήρξε αστοχία εµφανίζονται µε πράσινο χρώµα. Μέλη στα οποία υπήρξε αστοχία εµφανίζονται µε κόκκινο χρώµα, ενώ στα υποστυλώµατα δίνεται και το µήνυµα αστοχίας τους. Τέλος, µέλη τα οποία δεν έχουν διαστασιολογηθεί εµφανίζονται µε µπλε χρώµα. Επισηµαίνεται ότι στην περίπτωση δοκών µε κατάτµηση, που στο σχεδιασµό εµφανίζονται ως ένα ενιαίο µέλος, οι αντίστοιχες δοκοί που η αρίθµησή τους δε παρουσιάσθηκε στη διαστασιολόγηση της συγκεκριµένης συνέχειας τους εµφανίζονται µε µπλε χρώµα. Αν γίνουν αλλαγές στην µελέτη όσο το παράθυρο του project explorer είναι ανοιχτό, ο πίνακας µπορεί να ενηµερωθεί µε δεξί κλικ πάνω στη στάθµη και επιλέγοντας την εντολή "Update".

8 4. Παρουσίαση Ανάλυσης Ευαισθησίας 4.1 Γενικά Σε ποιο ερώτηµα έρχεται να απαντήσει η παραπάνω ανάλυση? Το βασικό ερώτηµα στο οποίο απαντά η ανάλυση αυτή είναι: "Πόσο επιδρά στο φορέα η µεταβολή µιας τιµής παραµέτρου (π.χ. οι διαστάσεις ενός τοιχώµατος ή ενός τοίχου πλήρωσης ή το Κ εδάφους)?". Επιπρόσθετα δίνει απαντήσεις στα εξής ερωτήµατα: "Η επίδραση αυτή που έγκειται? Στις µετατοπίσεις? Στα εντατικά? κλπ.". Είναι φανερό λοιπόν ότι ο συνάδελφος που θα ασχοληθεί µε την ευαισθησία των υφιστάµενων κατασκευών, έχοντας πλέον τη δυνατότητα να δώσει απάντηση στα παραπάνω ερωτήµατα, µπορεί να εκτιµήσει την σηµασία της εφαρµογής ανάλυσης ευαισθησίας. Στη συνέχεια παρουσιάζονται δύο πρόχειρα παραδείγµατα που αναδεικνύουν τη χρησιµότητα του νέου "εργαλείου" ανάλυσης ευαισθησίας. 4.2 Παράδειγµα 1 Εικόνα 1. Άποψη φορέα Εξετάζεται κτίριο το οποίο κατασκευάστηκε σε δύο φάσεις. Η προσθήκη προβλεπόταν στατικά ανεξάρτητη, τελικά όµως έγινε σύνδεση στον όροφο παλιού και νέου κτίσµατος. Στο ισόγειο εµφανίστηκε ρωγµή µεταξύ παλιάς και νέας πλάκας (Εικόνα 1). Για την επισκευή του κτιρίου, η πρώτη σκέψη ήταν να γίνει σύνδεση των δύο πλακών είτε µε "λάµα", είτε µε τµηµατική καθαίρεση και εκ νέου σκυροδέτηση. Χρησιµοποιήθηκε η µέθοδος "Ανάλυσης ευαισθησίας" τόσο για την επιβεβαίωση της βλάβης, όσο και για τον έλεγχο των πιθανών λύσεων.

9 Η πιθανή "λάµα" προσοµοιώθηκε στο πρόγραµµα, µε ειδικούς συνδέσµους που ένωναν παλιά και νέα υποστυλώµατα (Εικόνα 2). Στην συνέχεια ζητήθηκε από το πρόγραµµα η ανάλυση ευαισθησίας ως προς το Εµβαδόν - Μέτρο ελαστικότητας των ειδικών συνδέσµων δηλαδή την ύπαρξη ή όχι "λάµας". Τα αποτελέσµατα ευαισθησίας των µετατοπίσεων παρουσιάζονται στην Εικόνα 3, ενώ οι ανεπάρκειες σταθµών και οι ευαισθησίες τους παρουσιάζονται στον Πίνακα 1. Εικόνα 2. Κάτοψη στην οποία παρουσιάστηκε η ρωγµή Εικόνα 3. Ευαισθησία µετατοπίσεων

10 ΣΤΑΘΜΗ λχ Sensλχ λy Sensλy Πίνακας 1. Ανεπάρκειες σταθµών Από τον πίνακα 1 παρατηρούµε πολύ µικρή βελτίωση επάρκειας σε σεισµό στη διεύθυνση Χ και έντονα δυσµενή αποτελέσµατα σε σεισµό στη διεύθυνση Υ. Το συµπέρασµα που προκύπτει είναι ότι η σύνδεση των πλακών µε "λάµα" µειώνει ουσιαστικά τις αντοχές των σταθµών!!! Παράλληλα προσδιορίσθηκαν από το πρόγραµµα υποστυλωµάτων, τα οποία ενώ επαρκούσαν εµφανίζουν ανεπάρκεια. Τα αποτελέσµατα αυτά επιβεβαιώθηκαν µε πολλαπλές συµβατικές αναλύσεις. A.A λmax / Sens(λ) λ /Sensmax(λ) K / / K 13.5/ / K 20.2/ / Παράδειγµα 2 Πίνακας 2. Κατάσταση µεταβολές υποστυλωµάτων Στο παράδειγµα αυτό γίνεται προσπάθεια βελτίωσης των λόγων nvx, nvy (επάρκεια τοιχείων). Ο φορέας που εξετάζεται είναι ορθογωνικής κάτοψης µε δύο τοιχώµατα στη µία διεύθυνση και πυρήνα στις γωνίες του κτιρίου, όπως φαίνεται στην Εικόνα 4. Ο µελετητής θέτει συγκεκριµένα ερωτήµατα προς την ανάλυση ευαισθησίας, προκειµένου να δει την επίδραση διαφόρων παραµέτρων στους δείκτες επάρκειας. Αναλυτικά τα ερωτήµατα αυτά είναι: Ερ1. Επίδραση του Κ εδάφους στη µεταβολή των λόγων nv? Απάντηση - αποτέλεσµα ανάλυσης ευαισθησίας nvx / Sens(nvx) nvy / Sens(nvy) 0,246 /0, ,722/0,00083 ηλαδή, η επίδραση είναι µικρή.

11 Εικόνα 4. Άποψη φορέα Ερ2. Επίδραση των σκελών του πυρήνα στο λόγο nvx? Απάντηση - αποτέλεσµα ανάλυσης ευαισθησίας 0,246 /0, ,722/0,00001 ηλαδή, η επίδραση είναι σηµαντική, µεγαλύτερη από αυτή του Κ. Ερ3. Επίδραση πλάτης πυρήνα στο λόγο nvy? Απάντηση - αποτέλεσµα ανάλυσης ευαισθησίας 0,246/-0, ,722/0,00159 ηλαδή, η επίδραση είναι µικρή, αλλά µεγαλύτερη από αυτή του Κ. Ερ4. Επίδραση διάστασης τοιχείων στο λόγο nvy? Απάντηση - αποτέλεσµα ανάλυσης ευαισθησίας 0,246/0, ,722 0,00074 ηλαδή, η επίδραση είναι ασήµαντη και µικρότερη από αυτή του Κ.

12 4.4 ιαδικασία ανάλυσης δοµικής ευαισθησίας Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα βήµατα που πρέπει να ακολουθήσει ο µελετητή για την εφαρµογή της αναλύσεως ευαισθησίας. Συνοπτικά, τα βήµατα αυτά είναι τα εξής: (i) Προετοιµασία δεδοµένων, (ii) Εκτέλεση Ανάλυσης, (iii) Απεικόνιση ευαισθησίας Μετατοπίσεων, (iv) Απεικόνιση ευαισθησίας Εντατικών, (v) Αναλυτικά Αποτελέσµατα και (vi) Εκτυπώσεις Προετοιµασία δεδοµένων Πρώτο βήµα είναι η προετοιµασία του αρχείου δοµικής ευαισθησίας. Το πρόγραµµα θα δηµιουργήσει τα απαραίτητα αρχεία για την ανάλυση. Σε αυτή την έκδοση του προγράµµατος προτείνεται οι επιλογές "Χρήση επιφανειακών στοιχείων για τα τοιχεία" και " ιαφραγµατική λειτουργία" να είναι απενεργοποιηµένες. Επίσης να µην εκτελεσθεί η εντολή "Καθορισµός Πασσάλων". Η διαδικασία ολοκληρώνεται µε την εντολή "(Solve Using) FEA" ώστε να δηµιουργηθούν τα απαραίτητα αρχεία Εκτέλεση Ανάλυσης Σε αυτό το βήµα επιλέγονται οι παράµετροι της ανάλυσης και στη συνέχεια εκτελείται η ανάλυση.

13 Αρχικά ο χρήστης επιλέγει οντότητες, δηλαδή τα µέλη του φορέα ως προς τα οποία θα γίνει η ανάλυση ευαισθησίας (π.χ. τοιχώµατα) και στη συνέχεια την ιδιότητα αυτών των µελών η οποία θα µεταβληθεί: Select Sensitivity Parameter: <1> Modulus of Elasticity, <2> Area, <3> Moment of Inertia J, <4> Moment of Inertia Iyy, <5> Moment of Inertia Izz, <6> Foundation Stiffness Kfs, <7> Density: ηλαδή, σε αυτή τη φάση επιλέγεται η παράµετρος ως προς την οποία θα γίνει η ανάλυση ευαισθησίας (π.χ. εµβαδόν τοιχωµάτων) και πληκτρολογείται ο αντίστοιχος αριθµός (π.χ. 2). Μετά την επιλογή της παραµέτρου εκτελείται αυτόµατα η ανάλυση ευαισθησίας. Οι εντολές που ακολουθούν έχουν να κάνουν µε την εµφάνιση των αποτελεσµάτων αυτής Απεικόνιση ευαισθησίας µετατοπίσεων Με αυτή την εντολή απεικονίζονται χρωµατικά οι ευαίσθητες περιοχές της κατασκευής. Οι πληροφορίες που ζητάει το πρόγραµµα είναι οι εξής: Περίπτωση Φόρτισης? : Αριθµός της περίπτωσης φόρτισης για την γραφική απεικόνιση της ευαισθησίας των µετατοπίσεων των κόµβων π.χ. 2 (ΠΦ2: Σεισµός Υ). Συντελεστής Πολ/σµού Μετατοπίσεων < > : Συντελεστής µεγέθυνσης των αποτελεσµάτων των µετατοπίσεων σε περίπτωση που µας ενδιαφέρει να δούµε και τον παραµορφωµένο ως προς την ευαισθησία φορέα (π.χ. 1) Ποσοστό (%) Μεταβολής < > : Ποσοστό µεταβολής της παραµέτρου ευαισθησίας (π.χ. 10%) Σε κάθε κόµβο εµφανίζεται ένας χρωµατικά διαβαθµισµένος κύβος, ανάλογα µε την ευαισθησία του κόµβου. Η κλίµακα χρωµάτων είναι: Μώβ, Μπλέ, Πράσινο, Κίτρινο, Πορτοκαλί, Κόκκινο Απεικόνιση ευαισθησίας εντατικών Με αυτή την εντολή απεικονίζονται χρωµατικά τα ευαίσθητα µέλη της κατασκευής. Οι πληροφορίες που ζητάει το πρόγραµµα είναι οι εξής:

14 Περίπτωση Φόρτισης? : Αριθµός της περίπτωσης φόρτισης για την γραφική απεικόνιση της ευαισθησίας των εντατικών των µελών π.χ. 2 (ΠΦ2: Σεισµός Υ). Ποσοστό (%) Μεταβολής < > : Ποσοστό µεταβολής της παραµέτρου ευαισθησίας (π.χ. 10%) Please Select Internal Force Type: <1> Axial, <2> Shear Fy, <3> Shear Fz, <4> Torsion, <5> Momment My, <6> Momment Mz : Αριθµός του αντίστοιχου εντατικού µεγέθους προς απεικόνιση (π.χ. Τέµνουσα Fy > 2) Please Select: <0> Sensitivity Parameter, <1> Percentage (%) Increase, <2> Value Increase : Αριθµός της παραµέτρου ως προς την οποία θα γίνει η απεικόνιση (π.χ. 0 για την παράµετρο ευαισθησίας) Columns<C>, or All <A> : C για απεικόνιση µόνο των υποστυλωµάτων και A για απεικόνιση όλων των µελών Αναλυτικά αποτελέσµατα Με την εντολή αυτή εµφανίζεται το αναλυτικό αρχείο των αποτελεσµάτων, το οποίο περιλαµβάνει τις εξής πληροφορίες: Γεωµετρία κόµβων Α/Α κόµβου Συντεταγµένες Υ Ζ κόµβου NODE_GEOM 145 (αριθµός κόµβων) e e e Συνδεσµολογία µελών Α/Α µέλους κόµβος αρχής κόµβος τέλους ELEM_GEOM (αριθµός µελών) Για κάθε φόρτιση αποτελέσµατα Μετατοπίσεις κόµβων Α/Α κόµβου Χ Υ Ζ ΘΧ ΘΥ ΘΖ NODE_STAT e e e e e e-017 Εντατικά µελών Α/Α µέλους 6 εντατικά αρχής και 6 τέλους ELEM_STAT 181

15 e e e e e e e e e e e e-003 Ανεπάρκεια σταθµών Α/Α στάθµης ανεπάρκεια Χ, ανεπάρκεια Υ FLCF_STAT e e+000 Ανεπάρκεια υποστυλωµάτων σε απόλυτο σύστηµα αρίθµησης Α/Α υποστυλώµατος Μεγίστη ανεπάρκεια Χ, Υ ELCF_STAT e e-00.. Ευαισθησία µετατοπίσεων κόµβων NODE_SENS e e e e e e-022. Ευαισθησία εντατικών ELEM_SENS e e e e e e e e e e e e-007 Ευαισθησία ανεπαρκειών ορόφων FLCF_SENS e e-004. Ευαισθησία ανεπαρκειών υποστυλωµάτων ELCF_SENS e Εκτυπώσεις Ανάλυσης Ευαισθησίας Με την εντολή αυτή (Υπολογισµοί > BIM Reports > Επάρκειες/Ευαισθησίες > Ανάλυση Ευαισθησίας) εµφανίζονται πινακοποιηµένα τα αποτελέσµατα της ανάλυσης ευαισθησίας. Αναλυτικά, η εκτύπωση έχει ως εξής Αρχικά υπάρχει η περιγραφή επιλεγµένων µελών και παραµέτρου ευαισθησίας Ανάλυση Ευαισθησίας Modifying for members: Κ1-Σ1

16 Sensitivity Parameter: 4 Πίνακας µε στοιχεία ανεπαρκειών και ευαισθησίας κάθε στάθµης Ανεπάρκειες Ορόφων και Ευαισθησίες α/α λx λx' λy λy' Υποστ max(λ) max(λ)' Υποστ λ(max(λ')) max(λ') max(λ) max(λ') , όπου "α/α" ο αύξων αριθµός της στάθµης, λx η ανεπάρκεια της στάθµης κατά Χ, λx' η ευαισθησία της ανεπάρκειας της στάθµης κατά Χ, λy η ανεπάρκεια της στάθµης κατά Υ, λy' η ευαισθησία της ανεπάρκειας της στάθµης κατά Υ, Υποστ max(λ) το υποστύλωµα της στάθµης µε την µέγιστη ανεπάρκεια, max(λ) η µέγιστη ανεπάρκεια, max(λ)' η ευαισθησία του υποστυλώµατος µε την µέγιστη ανεπάρκεια, Υποστ max(λ') το υποστύλωµα της στάθµης µε την µέγιστη ευαισθησία, λ(max(λ')) η ανεπάρκεια του υποστυλώµατος µε την µέγιστη ευαισθησία της προηγούµενης στήλης και max(λ') η µέγιστη ευαισθησία. Για κάθε στάθµη υπάρχει πίνακας µε τις ανεπάρκειες και ευαισθησίας για κάθε υποστύλωµα. Ανεπάρκειες Υποστυλωµάτων και Ευαισθησίες: Στάθµη 1 α/α max(λ) max(λ)' λ(max(λ')) max(λ') e , όπου "α/α" ο αύξων αριθµός του υποστυλώµατος, max(λ) η µεγίστη ανεπάρκεια του υποστυλώµατος, max(λ)' η ευαισθησία της µέγιστης ανεπάρκειας, λ(max(λ')) η ανεπάρκεια στην µέγιστη ευαισθησία και max(λ') η µέγιστη ευαισθησία. Πίνακας µε τις επάρκειες τοιχείων και τις ευαισθησίες κάθε στάθµης Επάρκεια Τοιχείων (nv) και Ευαισθησίες στάθµη nvx (nvx)' nvy (nvy)' , όπου "α/α" ο αύξων αριθµός της στάθµης, nvx το ποσοστό τέµνουσας τοιχωµάτων κατά Χ, (nvx)' η ευαισθησία του ποσοστού τέµνουσας τοιχωµάτων κατά Χ, nvy το ποσοστό τέµνουσας τοιχωµάτων κατά Y και (nvy)' η ευαισθησία του ποσοστού τέµνουσας τοιχωµάτων κατά Y.

17 5. ιάφορες προσθήκες 5.1 Νέο Interface σε περιβάλλον Autocad 2009 Προστέθηκε το interface για Autocad 2009, ενώ παράλληλα καταργήθηκε η επιλογή για AutocadR14 (το οποίο παύει να υποστηρίζεται). 5.2 ιαγράµµατα εντατικών µεγεθών από συνδυασµούς φόρτισης Επιλέγοντας την εντολή "Αλλαγή" σε κάποιο µέλος στην καρτέλα "Εντατικά Μεγέθη" υπάρχει η δυνατότητα εµφάνισης των διαγραµµάτων και για τους συνδυασµούς φόρτισης, και όχι µόνο για τις περιπτώσεις φόρτισης. 5.3 Κατανοµή των φορτίων δοκών από πεπερασµένα Τα φορτία προβόλων από ανάλυση πλακών µε πεπερασµένα στοιχεία λαµβάνονταν πολύ συντηρητικά υπόψιν (υπέρ ασφαλείας). Στην έκδοση 2009 υπολογίζονται µε ακριβέστερο τρόπο. 5.4 Σχέδια StradPLOT Συνδετήρες στα τοιχεία υπογείου αναγράφεται ως τεµάχιο Φ/m 2.

18 Παράρτηµα Π1. Θεωρητική Τεκµηρίωση Ανάλυσης Ευαισθησίας Τα νέα (τροποποιηµένα) γραµµικά στοιχεία δοκού / στύλου / ράβδου και επιφανειακά στοιχεία τοιχείου / πλάκας έχουν δυνατότητες σχηµατισµού παράγωγων µητρώων δυσκαµψίας. Για τη διενέργεια της ανάλυσης ευαισθησίας ως προς κάποιες παραµέτρους γίνεται µία προκαταρκτική στατική επίλυση για δεδοµένες τιµές των παραµέτρων ευαισθησίας, τα αποτελέσµατα της οποίας χρησιµοποιούνται για τον υπολογισµό της κλίσης (παραγώγους) των βασικών µεγεθών (βαθµοί ελευθερίας). Οι αντίστοιχες κλίσεις (παράγωγοι) οποιονδήποτε παραγοµένων µεγεθών (ροπές, ενεργειακές ποσότητες) υπολογίζονται έµµεσα από αυτές των βασικών µεγεθών. Για την βαθµονόµηση των αποτελεσµάτων, τα µεγέθη τα οποία µελετήθηκαν πέρα από τις µετακινήσεις και τα εντατικά µεγέθη των στοιχείων, είναι και οι δείκτες επάρκειας τόσο των επιµέρους κατακόρυφων στοιχείων όσο και ορόφων του δοµικού συστήµατος, όπως αυτοί ορίζονται στον ΚΑΝΕΠΕ. Οι έννοιες της δοµικής ευαισθησίας (structural sensitivity) σε αιτιοκρατικό περιβάλλον (deterministic environment) και της στοχαστικής δοµικής ευαισθησίας (stochastic structural sensitivity) σε πιθανοτικό περιβάλλον (probabilistic environment) αποτελούν συνέχεια της κλασσικής στατικής ανάλυσης των κατασκευών, όπου σε πρώτη φάση προσδιορίζεται η κινηµατική και η εντατική κατάσταση του υπό εξέταση φορέα. Το επόµενο βήµα, όπου υπεισέρχεται η έννοια της δοµικής ευαισθησίας, αφορά στη µεταβολή της κινηµατικής/εντατικής κατάστασης του φορέα ως συνάρτηση αλλαγών που πραγµατοποιούνται στη γεωµετρία και στις µηχανικές του ιδιότητες. Πρακτικά, αυτές οι αλλαγές έχουν να κάνουν µε τα εξής κατασκευαστικά θέµατα: (1) Επισκευές και επεµβάσεις στον αρχικό φορέα µε στόχο την αποκατάσταση της αρχικής του µορφής (αναπαλαίωση). (2) Ενισχύσεις και αποκαταστάσεις σε υπάρχοντα φορέα ώστε να ανταποκρίνεται στις απαιτήσεις των νέων κανονισµών. (3) Οι συνήθεις επισκευές που απαιτούνται κατά τη διάρκεια ζωής µιας συµβατικής κατασκευής.

19 Μία ανάλυση δοµικής ευαισθησίας έχει τη δυνατότητα να προσδιορίσει επακριβώς τις επιπτώσεις της συγκεκριµένης επέµβασης (π.χ., επιλεκτική ενίσχυση των στύλων του ισογείου) στην εντατική και κινηµατική κατάσταση που αναπτύσσεται στο φορέα για τις συνήθεις κατηγορίες φορτίων, δηλαδή µόνιµα, κινητά, σεισµικά, κλπ. Κατ αυτόν τον τρόπο επιτυγχάνεται µια οικονοµική και αποτελεσµατική αξιοποίηση των εργασιών αποκατάστασης και των υλικών που χρησιµοποιούνται γι αυτό το σκοπό. Σηµειώνουµε πως δεν είναι δυνατή η επίτευξη της βέλτιστης λύσης για ένα συγκεκριµένο στόχο, όπως π.χ. η µείωση µιας κρίσιµης µετακίνησης οροφής ή µιας τέµνουσας βάσης µέσα σε κάποιο αποδεκτό όριο για όλους τους πιθανούς συνδυασµούς φόρτισης, επειδή αυτό άπτεται του θέµατος της αντίστροφης ανάλυσης (inverse analysis), που είναι µία διαφορετική κατηγορία επίλυσης προβληµάτων της µηχανικής των κατασκευών. Απλώς, η ανάλυση δοµικής ευαισθησίας δείχνει σε ποιο σηµείο της κατασκευής έχουµε τις µεγαλύτερες διακυµάνσεις της απόκρισης (ελάχιστα/µέγιστα), σε σχέση πάντα µε µία συγκεκριµένη επέµβαση. Ισχυρή διατύπωση του προβλήµατος της γραµµικής ελαστικότητας Το σύνολο των εξισώσεων που περιγράφει το πρόβληµα της γραµµικής ελαστικότητας ενός σώµατος (σχ. 1) που καταλαµβάνει το χωρικό πεδίο Ω και µε σύνορα Γ=Γu Γt είναι το ακόλουθο. Γ u Ω Γ t Σχήµα 1. Ελαστικό σώµα i s + f (x) = 0, x Ω (1) x i

20 i sη= t (x), x Γ (2) i t u(x) = uɶ (x), x Γ (3) u Στις εξισώσεις [1] έως [3] το διάνυσµα x υποδηλώνει τις χωρικές συντεταγµένες, το διάνυσµα u περιγράφει το πεδίο των µετακινήσεων ενώ τα διανύσµατα f και t είναι οι κατανεµηµένες πεδιακές δυνάµεις και οι προκαθορισµένες τάσεις στο σύνορo Γt αντιστοίχως. Με Γu δηλώνεται το µέρος του συνόρου του σώµατος στο οποίο οι µετακινήσεις είναι προκαθορισµένες. Τέλος si είναι το διάνυσµα των τάσεων ενώ ηi οι συνιστώσες του µοναδιαίου διανύσµατος, εξωτερικά κάθετου προς το σύνορο Γ. Το προαναφερόµενο σύνολο εξισώσεων επαυξάνεται µε τις καταστατικές εξισώσεις που συνδέουν τάσεις και παραµορφώσεις καθώς και τις γεωµετρικές συνθήκες οι οποίες συνδέουν τα πεδία των παραµορφώσεων και µετακινήσεων. Π1.2.1 Ασθενής διατύπωση του προβλήµατος της γραµµικής ελαστικότητας Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση [1] µε µια τυχαία συνάρτηση w µε. w V V= { w H 1 ( Ω ) : w= 0στοΓ u} Ολοκληρώνοντας στο πεδίο του σώµατος, εφαρµόζοντας το θεώρηµα Green και λαµβάνοντας υπόψη τις φυσικές συνοριακές συνθήκες εξ. [3] λαµβάνουµε την ακόλουθη έκφραση η οποία αποτελεί την ασθενή διατύπωση του προβλήµατος. i w s dω f w dω t w dω = 0 x Ω Ω Γ t i (4) Στην ανωτέρω ασθενή διατύπωση του προβλήµατος, οι καταστατικές εξισώσεις και οι γεωµετρικές σχέσεις µεταξύ παραµορφώσεων και µετακινήσεων θεωρείται ότι ικανοποιούνται σηµειακά (ισχυρή µορφή). Λαµβάνοντας υπόψη τις εκάστοτε παραδοχές για τις βασικές µεταβλητές του πεδίου καθώς και για τις αντίστοιχες δοκιµαστικές συναρτήσεις (ανάλογα µε τον τύπο του

21 πεπερασµένου στοιχείου) και εκτελώντας τις ολοκληρώσεις καταλήγουµε στην ακόλουθη συνήθη διακριτοποιηµένη αλγεβρική έκφραση του προβλήµατος. T δ w ( K u - f)= 0 u = uɶ σ τ ο Γ (5) Αξίζει να αναφερθεί πως για να καταλήξει κανείς σε συµµετρικά αλγεβρικά συστήµατα θα πρέπει να υιοθετήσει κοινές παραδοχές για τις µεταβλητές του προβλήµατος και τις αντίστοιχες δοκιµαστικές συναρτήσεις. Π1.2.2 Ασθενής διατύπωση προβλήµατος ευαισθησίας Στο παρόν τεύχος περιοριζόµαστε στη παρουσίαση της ευαισθησίας ως προς µια παράµετρο καθώς θεωρούµε πως η επέκταση σε προβλήµατα µε παραπάνω της µιας παραµέτρου είναι άµεση. Έστω παράµετρος h ως προς την οποία θέλουµε να µελετήσουµε την ευαισθησία του προβλήµατος. Παραγωγίζοντας την ασθενή έκφραση του προβλήµατος ως προς την θεωρούµενη παράµετρο h και λαµβάνοντας υπόψη ότι οι δοκιµαστικές συναρτήσεις δεν εξαρτώνται από αυτή εξάγουµε την ασθενή διατύπωση του προβλήµατος ευαισθησίας. w s dω f wdω t w dω= 0 (6) i,h,h,h Ω x Ω Γt i u Εισάγοντας στη σχέση [6] όπως και παραπάνω τις αντίστοιχες παραδοχές για τις βασικές µεταβλητές και τις δοκιµαστικές συναρτήσεις καταλήγουµε στη διακριτοποιηµένη αλγεβρική έκφραση του προβλήµατος ευαισθησίας ως προς τη παράµετρο h. 1 ( + ) = = ( + ) T δw Ku,h K,h u - f,h 0 u,h K K,h u f,h (7) Από την παραπάνω σχέση προσδιορίζονται οι συντελεστές ευαισθησίας u,h του διανύσµατος απόκρισης u. Η συνολική µεταβολή του διανύσµατος απόκρισης u δίνεται από την ακόλουθη σχέση (προσέγγιση πρώτης τάξης). δ u= u,h δh (8) Η αντίστοιχη µεταβολή για τις εσωτερικές δυνάµεις του συστήµατος δίνεται ως:

22 ( ) δ f = K u+ K u δ (9) int,h,h h ιατύπωση του προβλήµατος ευαισθησίας για τη περίπτωση του ιδιοπροβλήµατος Το τυπικό ιδιοπρόβληµα ενός διακριτοποιηµένου συστήµατος,π.χ. µε τη µέθοδο πεπερασµένων στοιχείων, λαµβάνει την ακόλουθη µορφή: Kϕ ω Mϕ = 0 (10) 2 i i i όπου Κ και Μ τα συνήθη συµµετρικά µητρώα δυσκαµψίας και µάζας, ωi η i-ιοστή ιδιοσυχνότητα του συστήµατος και φi το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα. Παραγωγίζοντας την σχέση [10] ως προς µια παράµετρο ευαισθησίας h, πολλαπλασιάζοντας από αριστερά µε το ιδιοδιάνυσµα φi και λαµβάνοντας υπόψη τις σχέση ορθογωνικότητας των ιδιοδιανυσµάτων ως προς τα µητρώα µάζας και δυσκαµψίας αντιστοίχως καταλήγουµε στη σχέση που δίνει την ευαισθησία της i- ιοστης ιδιοσυχνότητας. ϕ K ϕ ωϕ M ϕ ω = i,h T 2 T i,h i i i,h i T 2ωϕ i i Mϕi Η αντίστοιχη µεταβολή στην i-ιοστή ιδιοσυχνότητα του συστήµατος θα δίνεται ως. i i,h (11) dω=ω δh (12) Για τη διενέργεια της ανάλυσης ευαισθησίας ως προς κάποιες παραµέτρους γίνεται µία προκαταρκτική στατική επίλυση για δεδοµένες τιµές των παραµέτρων ευαισθησίας, τα αποτελέσµαµτα της οποίας χρησιµοποιούνται για τον υπολογισµό της κλίσης (παραγώγους) των βασικών µεγεθών (βαθµοί ελευθερίας). Οι αντίστοιχες κλίσεις (παράγωγοι) οποιονδήποτε παραγοµένων µεγεθών (ροπές, ενεργειακές ποσότητες) υπολογίζονται έµµεσα από αυτές των βασικών µεγεθών.