10. Εισαγωγή στις Μεθόδους Πεπερασμένων Στοιχείων (ΜΠΣ)

Transcript

1 10. Εισαγωγή στις Μεθόδους Πεπερασμένων Στοιχείων (ΜΠΣ) Χειμερινό εξάμηνο 2018 Πέτρος Κωμοδρόμος 1

2 Θέματα Εισαγωγή Διατύπωση εξισώσεων ΜΠΣ βάσει μετακινήσεων για στατική ανάλυση Διατύπωση ΜΠΣ για δυναμική ανάλυση Υπολογισμός αγνώστων μεγεθών Τοπικά και απόλυτα συστήματα συντεταγμένων Μητρώα παρεμβολής με γενικευμένες συντεταγμένες Διατύπωση ισοπαραμετρικών ΠΣ Αριθμητική ολοκλήρωση Βασικά είδη ΠΣ Διακριτοποίηση σε ΠΣ ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 2

3 Εισαγωγή Οι Μέθοδοι Πεπερασμένων Στοιχείων (ΜΠΣ) μπορούν να χρησιμοποιηθούν για αριθμητικές επιλύσεις με χρήση Η/Υ, προβλημάτων, από ένα μεγάλο φάσμα εφαρμογών μηχανικής, τα οποία συνήθως δεν έχουν αναλυτικές λύσεις. Κάνοντας συγκεκριμένες παραδοχές και απλοποιήσεις, ένα φυσικό πρόβλημα υπολογιστικής μηχανικής, ή μηχανικό πρόβλημα, μπορεί να προσομοιωθεί με ένα κατάλληλο μαθηματικό, ή υπολογιστικό, μοντέλο, το οποίο μπορεί να επιλυθεί αριθμητικά με τις ΜΠΣ. Τα αποτελέσματα από την ανάλυση με χρήση πεπερασμένων στοιχείων (ΠΣ) πρέπει πάντα να αξιολογούνται και να ερμηνεύονται ώστε να διαπιστώνεται αν παρέχουν ικανοποιητική ακρίβεια για το συγκεκριμένο πρόβλημα. Συχνά, απαιτείται τροποποίηση της επίλυσης με χρήση ΠΣ, μεταβάλλοντας το μαθηματικό μοντέλο ή επαναδιατυπώνοντας το φυσικό πρόβλημα, ώστε να επιτυγχάνεται η απαιτούμενη ακρίβεια των αποτελεσμάτων με τις ελάχιστες δυνατές υπολογιστικές απαιτήσεις και κόστος. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 3

4 Η διαδικασία διατύπωσης των ΜΠΣ βάσει της ΑΔΕ είναι όμοια με τη μέθοδο μετακινήσεων (άμεσης δυσκαμψίας) για κατασκευές από γραμμικά μέλη, όπου έχει περιγραφεί σε προηγούμενα κεφάλαια. Η Μέθοδος Άμεσης Δυσκαμψίας για γραμμικά μέλη, όπως ράβδους και δοκούς, μπορεί ουσιαστικά να θεωρηθεί σαν μια ειδική περίπτωση των ΜΠΣ, όπου είναι γνωστή η ακριβής μορφή παραμόρφωσης του μέλους και μπορεί να σχηματιστεί το ακριβές μητρώο δυσκαμψίας του. Όπως έχουμε δει, μπορούμε να εκφράσουμε επακριβώς τα εντατικά μεγέθη ενός μονοδιάστατου, ραβδωτού στοιχείου συναρτήσει των μετακινήσεων των κόμβων του. Γενικότερα, σε άλλες όμως περιπτώσεις αυτό δεν είναι δυνατόν. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 4

5 Έτσι, θα πρέπει να γίνουν κάποιες παραδοχές για τις μεταβολές των μετακινήσεων μέσα στο κάθε στοιχείο, για να μπορέσει να σχηματιστεί προσεγγιστικά το αντίστοιχο μητρώο δυσκαμψίας του μέλους βάσει των ΜΠΣ. Ο σχηματισμός του ακριβούς μητρώου δυσκαμψίας είναι πρακτικά αδύνατος για επιφανειακά και τρισδιάστατα στοιχεία, αφού δεν υπάρχουν οι σχετικές λύσεις των αντίστοιχων μερικών διαφορικών εξισώσεων (ΜΔΕ). Έτσι, στις περιπτώσεις επιφανειακών και χωρικών στοιχείων μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι ΜΠΣ με τις οποίες ένα συνεχές μέσο διαχωρίζεται σε ΠΣ. Θεωρώντας συγκεκριμένη μεταβολή των μετακινήσεων σε κάθε πεπερασμένο στοιχείο επιτρέπεται η επίλυση του προβλήματος βάσει ενός συστήματος αλγεβρικών εξισώσεων, αντί ΜΔΕ. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 5

6 Διατύπωση ΜΠΣ βάσει μετακινήσεων Η διατύπωση των ΜΠΣ βάσει των μετακινήσεων είναι αντίστοιχη της μεθόδου των μετακινήσεων για γραμμικούς φορείς και τα κύρια βήματα της διαδικασίας, τα οποία είναι κοινά, είναι τα ακόλουθα: Μοντελοποίηση της κατασκευής από αριθμό στοιχείων τα οποία συνδέονται με κοινούς κόμβους, οι οποίοι έχουν συγκεκριμένους βαθμούς ελευθέριας (ΒΕ), ανάλογα με τον τύπο του προβλήματος και το είδος του στοιχείου. Καθορισμός των άγνωστων μετακινήσεων που αντιστοιχούν στους ΒΕ των κόμβων της κατασκευής. Σχηματισμός των μητρώων δυσκαμψίας όλων των μελών, τα οποία συνδέουν τις μετακινήσεις των κόμβων του κάθε μέλους με τα αντίστοιχα εντατικά μεγέθη, στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων του κάθε μέλους. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 6

7 Βάσει των κατάλληλα μετασχηματισμένων (από το τοπικό στο απόλυτο σύστημα συντεταγμένων) μητρώων δυσκαμψίας των μελών, κατάστρωση εξισώσεων ισορροπίας που αντιστοιχούν στους άγνωστους ΒΕ και σχηματισμός του μητρώου δυσκαμψίας της κατασκευής στο απόλυτο σύστημα συντεταγμένων. Επιβολή συνοριακών συνθηκών και διαχωρισμός δεσμευμένων και αδέσμευτων βαθμών ελευθερίας (ΒΕ). Επίλυση των εξισώσεων ισορροπίας και υπολογισμός των αντίστοιχων μετακινήσεων των αδέσμευτων ΒΕ. Υπολογισμός των εσωτερικών εντατικών μεγεθών ή τάσεων στο κάθε μέλος βάσει των γνωστών πλέον μετακινήσεων των κόμβων. Υπολογισμός των αντιδράσεων στους δεσμευμένους ΒΕ. Ερμηνεία των αποτελεσμάτων που έχουν υπολογιστεί. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 7

8 Το συνολικό μητρώο δυσκαμψίας Κ, της κατασκευής σχηματίζεται με τη Μέθοδο Άμεσης Δυσκαμψίας βάσει των κατάλληλα μετασχηματισμένων μητρώων δυσκαμψίας των επιμέρους μελών, Κ m, από το τοπικό στο απόλυτο σύστημα συντεταγμένων. Για την προσομοίωση γραμμικών μελών, δηλαδή ράβδων και δοκών, μπορεί να υπολογιστεί ακριβώς η σχέση εντατικών μεγεθών και μετακινήσεων στα άκρα, βάσει των διαφορικών εξισώσεων του ραβδωτού μέλους. Αντιθέτως, για γενικότερες περιπτώσεις αναλύσεων με ΠΣ, όπως δισδιάστατων και τρισδιάστατων στοιχείων, χρησιμοποιούνται προσεγγιστικές συναρτήσεις για τις μεταβολές των μετακινήσεων εντός των στοιχείων και, έτσι, οι εξισώσεις ισορροπίας δεν ικανοποιούνται γενικά σε οποιοδήποτε σημείο του στοιχείου. Η αδυναμία ευρέσεως ακριβής λύσης οφείλεται στις απαραίτητες παραδοχές που γίνονται για τις μετακινήσεις σημείων στο εσωτερικό των στοιχείων και τη χρήση προσεγγιστικών μητρώων δυσκαμψίας. Το σφάλμα λόγω αυτής της παραδοχής μειώνεται με την πύκνωση της διακριτοποίησης των πεπερασμένων στοιχείων, σε αποδεκτά επίπεδα. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 8

9 Γενική διατύπωση εξισώσεων ΠΣ ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 9

10 10

11 11

12 12

13 13

14 14

15 15

16 16

17 17

18 18

19 19

20 20

21 21

22 22

23 23

24 24

25 25

26 26

27 27

28 28

29 29

30 30

31 31

32 32

33 33

34 34

35 35

36 36

37 37

38 38

39 39

40 40

41 41

42 42

43 43

44 44

45 Διατύπωση ΜΠΣ για δυναμική ανάλυση ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 45

46 46

47 47

48 48

49 49

50 Υπολογισμός αγνώστων μεγεθών ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 50

51 51

52 52

53 53

54 Τοπικά και απόλυτα συστήματα συντεταγμένων ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 54

55 55

56 56

57 57

58 58

59 59

60 60

61 Μητρώα παρεμβολής με γενικευμένες συντεταγμένες ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 61

62 62

63 63

64 64

65 65

66 66

67 Διατύπωση ισοπαραμετρικών ΠΣ Η ισοπαραμετρική διατύπωση των ΠΣ βασίζεται στη χρήση συναρτήσεων παρεμβολής που ορίζονται στο φυσικό σύστημα συντεταγμένων τόσο για τις συντεταγμένες σημείων των στοιχείων όσο και για τις μετακινήσεις τους. Η χρήση των ίδιων μητρώων παρεμβολής τόσο για τις συντεταγμένες όσο και για τις μετακινήσεις διευκολύνει το σχηματισμό των απαραίτητων μητρώων για την ανάλυση με χρήση ΠΣ. Οι φυσικές συντεταγμένες παίρνουν τιμές μεταξύ -1 και +1 στα άκρα του κάθε στοιχείου. ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 67

68 - Διατύπωση ισοπαραμετρικών ΠΣ για γραμμικά μέλη ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 68

69 69

70 70

71 71

72 72

73 - Διατύπωση ισοπαραμετρικών ΠΣ για επιφανειακά και χωρικά στοιχεία ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 73

74 74

75 75

76 76

77 77

78 78

79 79

80 80

81 81

82 82

83 83

84 84

85 85

86 86

87 87

88 88

89 89

90 90

91 91

92 Αριθμητική ολοκλήρωση ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 92

93 93

94 94

95 Βασικά είδη Πεπερασμένων Στοιχείων (ΠΣ) ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 95

96 - ΠΣ επίπεδης παραμόρφωσης και επίπεδης έντασης ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 96

97 97

98 98

99 99

100 100

101 - Πλάκες ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 101

102 102

103 103

104 - Κελύφη ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 104

105 Διακριτοποίηση σε ΠΣ ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 105

106 106

107 107