Digital Signal Octave Codes (0B)
|
|
|
- Χλόη Παπακώστας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Digital Signal Aliasing and Folding Frequencies
2 Copyright (c) Young W. Lim. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License". Please send corrections (or suggestions) to youngwlim@hotmail.com. This document was produced by using OpenOffice and Octave.
3 Based on M.J. Roberts, Fundamentals of Signals and Systems S.K. Mitra, Digital Signal Processing : a computer-based approach 2 nd ed S.D. Stearns, Digital Signal Processing with Examples in MATLAB 3
4 Aliasing Condition Examples clf n = [0:1:10]; t = [0:1000]/100; y1 = 4*cos(2*pi*(1/)*n); y2 = 4*cos(2*pi*(6/)*n); yt1 = 4*cos(2*pi*(1/)*t); yt2 = 4*cos(2*pi*(6/)*t); subplot(3,1,1); stem(n, y1); hold on; plot(t, yt1, 'g'); subplot(3,1,2); stem(n, y2); hold on; plot(t, yt2, 'g'); subplot(3,1,3); plot(t, yt1); hold on; plot(t, yt2); stem(n, y1, 'g'); M.J. Roberts, Fundamentals of Signals and Systems 4
5 Aliasing Condition Examples clf n = [0:0.:10]; t = [0:1000]/100; y1 = 4*cos(2*pi*(1/)*n); y2 = 4*cos(2*pi*(11/)*n); yt1 = 4*cos(2*pi*(1/)*t); yt2 = 4*cos(2*pi*(11/)*t); subplot(3,1,1); stem(n, y1); hold on; plot(t, yt1, 'g'); subplot(3,1,2); stem(n, y2); hold on; plot(t, yt2, 'g'); subplot(3,1,3); plot(t, yt1); hold on; plot(t, yt2); stem(n, y1, 'g'); M.J. Roberts, Fundamentals of Signals and Systems
6 Identical Sine and Cosine Conditions θ 1 θ 2 = θ 1 +2π ω 1 t ω 2 t = 2 π π θ θ +θ θ 4 θ 2 π+θ 3 θ 3 θ 4 ω 1 t + ω 2 t = +π ω 1 t + ω 2 t = 0 ω 1 t + ω 2 t = π ω 1 t + ω 2 t = 0 sin(ω 1 t) = sin (ω 2 t ) sin(ω 1 t ) = sin(ω 2 t) sin(ω 1 t) = sin (ω 2 t ) sin(ω 1 t ) = sin(ω 2 t) cos(ω 1 t ) = cos(ω 2 t) cos(ω 1 t) = cos(ω 2 t ) cos(ω 1 t ) = cos(ω 2 t) cos(ω 1 t) = cos(ω 2 t ) 6
7 cos(2πf 1 t) = cos(2πf 2 t) cos(ω 1 t ) = cos(ω 2 t) ω 1 t ω 2 t = 2 n π ω 1 t + ω 2 t = 2 n π t + 1 t = n t 1 t = n 6 t = n 4 t = n 6, 10 6, 1 6, 4, 10 4, 1 4, 7
8 Aliasing Condition Examples 2 t + 1 t = n 2 t 1 t = n 3 t = n 1 t = n = 3 = 1 3 t + 1 t = n 3 t 1 t = n 4 t = n 2 t = n = 4 = 2 4 t + 1 t = n 4 t 1 t = n t = n 3 t = n = = 3 t + 1 t = n t 1 t = n 6 t = n 4 t = n = 6 = 4 6 t + 1 t = n 6 t 1 t = n 7 t = n t = n = 7 = 7 t + 1 t = n 7 t 1 t = n 8 t = n 6 t = n = 8 = 6 8 t + 1 t = n 8 t 1 t = n 9 t = n 7 t = n = 9 = 7 8
9 Aliasing Condition Examples clf t = [0:00]/100; yt1 = 4*cos(2*pi*(1/)*t); yt2 = 4*cos(2*pi*(2/)*t); yt3 = 4*cos(2*pi*(3/)*t); yt4 = 4*cos(2*pi*(4/)*t); yt = 4*cos(2*pi*(/)*t); yt6 = 4*cos(2*pi*(6/)*t); yt7 = 4*cos(2*pi*(7/)*t); yt8 = 4*cos(2*pi*(8/)*t); n1 = 0: /2 : ; n2 = 0: /3 : ; n3 = 0: /4 : ; n4 = 0: / : ; n = 0: /6 : ; n6 = 0: /7 : ; n7 = 0: /8 : ; n8 = 0: /9 : ; y2 = 4*cos(2*pi*(2/)*n2); y3 = 4*cos(2*pi*(3/)*n3); y4 = 4*cos(2*pi*(4/)*n4); y = 4*cos(2*pi*(/)*n); y6 = 4*cos(2*pi*(6/)*n6); y7 = 4*cos(2*pi*(7/)*n7); y8 = 4*cos(2*pi*(8/)*n8); subplot(4,2,1); subplot(4,2,3); plot(t, yt2, 'b'); grid on stem(n2, y2, 'r'); subplot(4,2,); plot(t, yt3, 'b'); grid on stem(n3, y3, 'r'); subplot(4,2,7); plot(t, yt4, 'b'); grid on stem(n4, y4, 'r'); subplot(4,2,2); plot(t, yt, 'b'); grid on stem(n, y, 'r'); subplot(4,2,4); plot(t, yt6, 'b'); grid on stem(n6, y6, 'r'); subplot(4,2,6); plot(t, yt7, 'b'); grid on stem(n7, y7, 'r'); subplot(4,2,8); plot(t, yt8, 'b'); grid on stem(n8, y8, 'r'); 9
10 Graphs of cos(2π(n/)t) & cos(2π(1/)t) f = 1 f = 2 f = f = 6 clf t = [0:00]/100; yt1 = 4*cos(2*pi*(1/)*t); yt2 = 4*cos(2*pi*(2/)*t); yt3 = 4*cos(2*pi*(3/)*t); yt4 = 4*cos(2*pi*(4/)*t); yt = 4*cos(2*pi*(/)*t); yt6 = 4*cos(2*pi*(6/)*t); yt7 = 4*cos(2*pi*(7/)*t); yt8 = 4*cos(2*pi*(8/)*t); f = 3 f = 7 f = 4 f = 8 10
11 A Set of Roots of cos(2π(n/)t) = cos(2π(1/)t) f = 1 f = 2 f = 3 f = f = 6 f = 7 n2 = 0: /3 : ; n3 = 0: /4 : ; n4 = 0: / : ; n = 0: /6 : ; n6 = 0: /7 : ; n7 = 0: /8 : ; n8 = 0: /9 : ; y2 = 4*cos(2*pi*(2/)*n2); y3 = 4*cos(2*pi*(3/)*n3); y4 = 4*cos(2*pi*(4/)*n4); y = 4*cos(2*pi*(/)*n); y6 = 4*cos(2*pi*(6/)*n6); y7 = 4*cos(2*pi*(7/)*n7); y8 = 4*cos(2*pi*(8/)*n8); f = 4 f = 8 11
12 Another Set of Roots of cos(2π(n/)t) = cos(2π(1/)t) f = 1 f = 2 f = 3 f = f = 6 f = 7 n2 = 0: /1 : ; n3 = 0: /2 : ; n4 = 0: /3 : ; n = 0: /4 : ; n6 = 0: / : ; n7 = 0: /6 : ; n8 = 0: /7 : ; y2 = 4*cos(2*pi*(2/)*n2); y3 = 4*cos(2*pi*(3/)*n3); y4 = 4*cos(2*pi*(4/)*n4); y = 4*cos(2*pi*(/)*n); y6 = 4*cos(2*pi*(6/)*n6); y7 = 4*cos(2*pi*(7/)*n7); y8 = 4*cos(2*pi*(8/)*n8); f = 4 f = 8 12
13 Aliasing and Folding A F = 1 F = 4 F = 6 F = 9 F = 11 F = 14 F = 16 F = 19 13
14 Plotting of Aliasing & Folding Frequencies clf t = [0:00]/100; yt1 = 4*cos(2*pi*(1/)*t); yt2 = 4*cos(2*pi*(6/)*t); yt3 = 4*cos(2*pi*(11/)*t); yt4 = 4*cos(2*pi*(16/)*t); yt = 4*cos(2*pi*(4/)*t); yt6 = 4*cos(2*pi*(9/)*t); yt7 = 4*cos(2*pi*(14/)*t); yt8 = 4*cos(2*pi*(19/)*t); n1 = 0: / : ; n2 = 0: / : ; n3 = 0: / : ; n4 = 0: / : ; n = 0: / : ; n6 = 0: / : ; n7 = 0: / : ; n8 = 0: / : ; y2 = 4*cos(2*pi*(6/)*n2); y3 = 4*cos(2*pi*(11/)*n2); y4 = 4*cos(2*pi*(16/)*n2); y = 4*cos(2*pi*(4/)*n); y6 = 4*cos(2*pi*(9/)*n); y7 = 4*cos(2*pi*(14/)*n); y8 = 4*cos(2*pi*(19/)*n); subplot(4,2,1); subplot(4,2,3); plot(t, yt2, 'b'); grid on stem(n2, y2, 'r'); subplot(4,2,); plot(t, yt3, 'b'); grid on stem(n2, y3, 'r'); subplot(4,2,7); plot(t, yt4, 'b'); grid on stem(n2, y4, 'r'); subplot(4,2,2); plot(t, yt, 'b'); grid on stem(n, y, 'r'); subplot(4,2,4); plot(t, yt6, 'b'); grid on stem(n, y6, 'r'); subplot(4,2,6); plot(t, yt7, 'b'); grid on stem(n, y7, 'r'); subplot(4,2,8); plot(t, yt8, 'b'); grid on stem(n, y8, 'r'); 14
15 Aliasing Frequencies (1) A+B A-B
16 Aliasing Frequencies (2) A+B A-B
17 Aliasing and Folding Frequencies Aliasing frequencies n1 = [1/, 6/, 11/, 16/]; n2 = [4/, 9/, 14/, 19/]; y1 = [1, 1, 1, 1]; y2 = [1, 1, 1, 1]; Aliasing frequencies Folding frequencies subplot(3, 1, 1) stem(n1, y1, 'b'); grid on; axis([0, 4, 0, 2]); subplot(3, 1, 2) stem(n2, y2, 'm'); grid on; axis([0, 4, 0, 2]); subplot(3, 1, 3) stem(n1, y1, 'b'); hold on; stem(n2, y2, 'm'); grid on; axis([0, 4, 0, 2]); J.H. McClellan, et al., Signal Processing First 17
18 Graphs of cos(2π(n/7)t) & cos(2π(1/7)t) A F = 1 7 F = 6 7 F = 8 7 F = 13 7 F = 1 7 F = 13 7 F = 22 7 F =
19 sin(2πf 1 t) = sin(2πf 2 t) sin(ω 1 t ) = sin(ω 2 t) ω 1 t ω 2 t = 2 n π ω 1 t + ω 2 t = n π 6 t + 1 t = n 2 6 t 1 t = n 7 t = n 2 t = n 14, 10 14, 1 14, ±sin (ω 1 t) = sin(ω 2 t) 1, 2, 3, sin(ω 1 t) = sin(ω 2 t) 19
20 sin(2πf 1 t) = ±sin(2πf 2 t) sin(ω 1 t ) = sin(ω 2 t) ω 1 t ω 2 t = 2 n π ω 1 t + ω 2 t = 2 n π sin(ω 1 t ) = sin(ω 2 t) 6 t + 1 t = n 6 t 1 t = n 7 t = n t = n 7, 10 7, 1 7, sin(ω 1 t ) = sin(ω 2 t) 1, 2, 3, sin(ω 1 t) = sin(ω 2 t) 20
21 2πf 1 t + 2πf 2 t = 2nπ, (2n+1)π Conditions ω 1 t + ω 2 t = (2 n+1)π sin(ω 1 t) = sin (ω 2 t ) ω 1 t + ω 2 t = 2 n π sin(ω 1 t ) = sin(ω 2 t) 21
22 Aliasing Condition Examples 2 t + 1 t = n 2 t 1 t = n 3 t = n 1 t = n = 3 = 1 3 t + 1 t = n 3 t 1 t = n 4 t = n 2 t = n = 4 = 2 4 t + 1 t = n 4 t 1 t = n t = n 3 t = n = = 3 t + 1 t = n t 1 t = n 6 t = n 4 t = n = 6 = 4 6 t + 1 t = n 6 t 1 t = n 7 t = n t = n = 7 = 7 t + 1 t = n 7 t 1 t = n 8 t = n 6 t = n = 8 = 6 8 t + 1 t = n 8 t 1 t = n 9 t = n 7 t = n = 9 = 7 22
23 Aliasing Condition Examples clf t = [0:00]/100; yt1 = 4*cos(2*pi*(1/)*t); yt2 = 4*cos(2*pi*(2/)*t); yt3 = 4*cos(2*pi*(3/)*t); yt4 = 4*cos(2*pi*(4/)*t); yt = 4*cos(2*pi*(/)*t); yt6 = 4*cos(2*pi*(6/)*t); yt7 = 4*cos(2*pi*(7/)*t); yt8 = 4*cos(2*pi*(8/)*t); n1 = 0: /2 : ; n2 = 0: /3 : ; n3 = 0: /4 : ; n4 = 0: / : ; n = 0: /6 : ; n6 = 0: /7 : ; n7 = 0: /8 : ; n8 = 0: /9 : ; y2 = 4*cos(2*pi*(2/)*n2); y3 = 4*cos(2*pi*(3/)*n3); y4 = 4*cos(2*pi*(4/)*n4); y = 4*cos(2*pi*(/)*n); y6 = 4*cos(2*pi*(6/)*n6); y7 = 4*cos(2*pi*(7/)*n7); y8 = 4*cos(2*pi*(8/)*n8); subplot(4,2,1); subplot(4,2,3); plot(t, yt2, 'b'); grid on stem(n2, y2, 'r'); subplot(4,2,); plot(t, yt3, 'b'); grid on stem(n3, y3, 'r'); subplot(4,2,7); plot(t, yt4, 'b'); grid on stem(n4, y4, 'r'); subplot(4,2,2); plot(t, yt, 'b'); grid on stem(n, y, 'r'); subplot(4,2,4); plot(t, yt6, 'b'); grid on stem(n6, y6, 'r'); subplot(4,2,6); plot(t, yt7, 'b'); grid on stem(n7, y7, 'r'); subplot(4,2,8); plot(t, yt8, 'b'); grid on stem(n8, y8, 'r'); 23
24 Aliasing Condition Examples 24
25 Aliasing Condition Examples f = 1 f = n2 = 0: (1/2)*/3 : ; n3 = 0: (1/2)*/4 : ; n4 = 0: (1/2)*/ : ; n = 0: (1/2)*/6 : ; n6 = 0: (1/2)*/7 : ; n7 = 0: (1/2)*/8 : ; n8 = 0: (1/2)*/9 : ; f = 2 f = 6 f = 3 f = 7 f = 4 f = 8 2
26 Aliasing Condition Examples f = 1 f = n2 = 0: (1/2)*/3 : ; n3 = 0: (1/2)*/4 : ; n4 = 0: (1/2)*/ : ; n = 0: (1/2)*/6 : ; n6 = 0: (1/2)*/7 : ; n7 = 0: (1/2)*/8 : ; n8 = 0: (1/2)*/9 : ;k f = 2 f = 6 f = 3 f = 7 f = 4 f = 8 26
27 Aliasing Condition Examples f = 1 y2 = 4*cos(2*pi*(2/)*n2); y3 = 4*cos(2*pi*(3/)*n3); y4 = 4*cos(2*pi*(4/)*n4); f = y = 4*cos(2*pi*(/)*n); y6 = 4*cos(2*pi*(6/)*n6); y7 = 4*cos(2*pi*(7/)*n7); y8 = 4*cos(2*pi*(8/)*n8); n2 = 0: /1 : ; n3 = 0: /2 : ; n4 = 0: /3 : ; n = 0: /4 : ; n6 = 0: / : ; n7 = 0: /6 : ; n8 = 0: /7 : ; f = 2 f = 3 f = 4 f = 6 subplot(4,2,1); subplot(4,2,3); f = plot(t, 7 yt1, 'g'); hold on plot(t, yt2, 'b'); grid on stem(n2, y2, 'r'); subplot(4,2,); f = plot(t, 8 yt3, 'b'); grid on stem(n3, y3, 'r'); 27
28 Aliasing Condition Examples f = 1 y2 = 4*cos(2*pi*(2/)*n2); y3 = 4*cos(2*pi*(3/)*n3); y4 = 4*cos(2*pi*(4/)*n4); f = y = 4*cos(2*pi*(/)*n); y6 = 4*cos(2*pi*(6/)*n6); y7 = 4*cos(2*pi*(7/)*n7); y8 = 4*cos(2*pi*(8/)*n8); n2 = 0: /1 : ; n3 = 0: /2 : ; n4 = 0: /3 : ; n = 0: /4 : ; n6 = 0: / : ; n7 = 0: /6 : ; n8 = 0: /7 : ; f = 2 f = 3 f = 4 f = 6 subplot(4,2,1); subplot(4,2,3); f = plot(t, 7 yt1, 'g'); hold on plot(t, yt2, 'b'); grid on stem(n2, y2, 'r'); subplot(4,2,); f = plot(t, 8 yt3, 'b'); grid on stem(n3, y3, 'r'); 28
29 References [1] [2] J.H. McClellan, et al., Signal Processing First, Pearson Prentice Hall, 2003 [3] M.J. Roberts, Fundamentals of Signals and Systems [4] S.J. Orfanidis, Introduction to Signal Processing [] K. Shin, et al., Fundamentals of Signal Processing for Sound and Vibration Engineerings [6] A graphical interpretation of the DFT and FFT, by Steve Mann 29
Spectrum Representation (5A) Young Won Lim 11/3/16
Spectrum (5A) Copyright (c) 2009-2016 Young W. Lim. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later
Sampling Basics (1B) Young Won Lim 9/21/13
Sampling Basics (1B) Copyright (c) 2009-2013 Young W. Lim. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any
Trigonometry (4A) Trigonometric Identities. Young Won Lim 1/2/15
Trigonometry (4 Trigonometric Identities 1//15 Copyright (c 011-014 Young W. Lim. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License,
CORDIC Background (4A)
CORDIC Background (4A Copyright (c 20-202 Young W. Lim. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version.2 or any later
CORDIC Background (2A)
CORDIC Background 2A Copyright c 20-202 Young W. Lim. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version.2 or any later
Trigonometry Functions (5B) Young Won Lim 7/24/14
Trigonometry Functions (5B 7/4/14 Copyright (c 011-014 Young W. Lim. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version
BandPass (4A) Young Won Lim 1/11/14
BandPass (4A) Copyright (c) 22 Young W. Lim. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version.2 or any later version
CT Correlation (2B) Young Won Lim 8/15/14
CT Correlation (2B) 8/5/4 Copyright (c) 2-24 Young W. Lim. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version.2 or any
LTI Systems (1A) Young Won Lim 3/21/15
LTI Systems (1A) Copyright (c) 214 Young W. Lim. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version
Anti-aliasing Prefilter (6B) Young Won Lim 6/8/12
ni-aliasing Prefiler (6B) Copyrigh (c) Young W. Lim. Permission is graned o copy, disribue and/or modify his documen under he erms of he GNU Free Documenaion License, Version. or any laer version published
Εγχειρίδιο Ψαριού i. Εγχειρίδιο Ψαριού
i Ψαριού ii Copyright 2002, 2003 Sun Microsystems Copyright 2000 Telsa Gwynne Σας παρέχεται άδεια να αντιγράψετε, διανείμετε ή/και να τροποποιήσετε το υπάρχον κείμενο υπό τους όρους της άδειας GNU Free
ECE 308 SIGNALS AND SYSTEMS FALL 2017 Answers to selected problems on prior years examinations
ECE 308 SIGNALS AND SYSTEMS FALL 07 Answers to selected problems on prior years examinations Answers to problems on Midterm Examination #, Spring 009. x(t) = r(t + ) r(t ) u(t ) r(t ) + r(t 3) + u(t +
Assignment 1 Solutions Complex Sinusoids
Assignment Solutions Complex Sinusoids ECE 223 Signals and Systems II Version. Spring 26. Eigenfunctions of LTI systems. Which of the following signals are eigenfunctions of LTI systems? a. x[n] =cos(
Επεξερασία εικόνας. Μιχάλης ρακόπουλος. Υπολογιστική Επιστήµη & Τεχνολογία, #09
Επεξερασία εικόνας Μιχάλης ρακόπουλος Υπολογιστική Επιστήµη & Τεχνολογία, #9 Επεξεργασία ήχου Βασικό ανάγνωσµα: Οι ενότητες 3. και 3.2 από το ϐιβλίο των Van Loan και Fan. Επεξεργασία ήχου Μ. ρακόπουλος
CRASH COURSE IN PRECALCULUS
CRASH COURSE IN PRECALCULUS Shiah-Sen Wang The graphs are prepared by Chien-Lun Lai Based on : Precalculus: Mathematics for Calculus by J. Stuwart, L. Redin & S. Watson, 6th edition, 01, Brooks/Cole Chapter
Example Sheet 3 Solutions
Example Sheet 3 Solutions. i Regular Sturm-Liouville. ii Singular Sturm-Liouville mixed boundary conditions. iii Not Sturm-Liouville ODE is not in Sturm-Liouville form. iv Regular Sturm-Liouville note
Section 9.2 Polar Equations and Graphs
180 Section 9. Polar Equations and Graphs In this section, we will be graphing polar equations on a polar grid. In the first few examples, we will write the polar equation in rectangular form to help identify
6.003: Signals and Systems. Modulation
6.003: Signals and Systems Modulation May 6, 200 Communications Systems Signals are not always well matched to the media through which we wish to transmit them. signal audio video internet applications
Fundamentals of Signals, Systems and Filtering
Fundamentals of Signals, Systems and Filtering Brett Ninness c 2000-2005, Brett Ninness, School of Electrical Engineering and Computer Science The University of Newcastle, Australia. 2 c Brett Ninness
MathCity.org Merging man and maths
MathCity.org Merging man and maths Exercise 10. (s) Page Textbook of Algebra and Trigonometry for Class XI Available online @, Version:.0 Question # 1 Find the values of sin, and tan when: 1 π (i) (ii)
HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Σήματα διακριτού χρόνου
HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 1: Εισαγωγή Διάλεξη 1: Εισαγωγή Σήματα διακριτού χρόνου Γενικές πληροφορίες Διδάσκων: Γεώργιος Μήτσης Γραφείο: 41 Πράσινο Άλσος Ώρες γραφείου:
Ψηφιακή ανάπτυξη. Course Unit #1 : Κατανοώντας τις βασικές σύγχρονες ψηφιακές αρχές Thematic Unit #1 : Τεχνολογίες Web και CMS
Ψηφιακή ανάπτυξη Course Unit #1 : Κατανοώντας τις βασικές σύγχρονες ψηφιακές αρχές Thematic Unit #1 : Τεχνολογίες Web και CMS Learning Objective : SEO και Analytics Fabio Calefato Department of Computer
Κάθε γνήσιο αντίγραφο φέρει υπογραφή του συγγραφέα. / Each genuine copy is signed by the author.
Κάθε γνήσιο αντίγραφο φέρει υπογραφή του συγγραφέα. / Each genuine copy is signed by the author. 2012, Γεράσιμος Χρ. Σιάσος / Gerasimos Siasos, All rights reserved. Στοιχεία επικοινωνίας συγγραφέα / Author
Section 8.3 Trigonometric Equations
99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.
Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.
Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action
Σήματα και Συστήματα ΙΙ
Σήματα και Συστήματα ΙΙ Ενότητα 3: Διακριτός και Ταχύς Μετασχηματισμός Fourier (DTF & FFT) Α. Ν. Σκόδρας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής
Παραμύθια τησ Χαλιμϊσ, τομ. A Σελύδα 1
Παραμύθια τησ Χαλιμϊσ, τομ. A Σελύδα 1 Παραμύθια τησ Χαλιμϊσ, τομ. A Σελύδα 2 Dervish Abu Bekr, «Παραμύθια τησ Χαλιμϊσ, τομ. Α» Ιούνιοσ 2013 Φωτo εξωφύλλου: Βαςιλεύα Αςπαςύα Μαςούρα Επιμϋλεια ϋκδοςησ:
ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΠΑΛΛΗΣ SCHOOLTIME E-BOOKS
ΟΜΗΡΟΥ ΙΛΙΑΔΑ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΠΑΛΛΗΣ SCHOOLTIME E-BOOKS www.scooltime.gr [- 2 -] The Project Gutenberg EBook of Iliad, by Homer This ebook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions
Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1
Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 A Brief History of Sampling Research 1915 - Edmund Taylor Whittaker (1873-1956) devised a
Section 8.2 Graphs of Polar Equations
Section 8. Graphs of Polar Equations Graphing Polar Equations The graph of a polar equation r = f(θ), or more generally F(r,θ) = 0, consists of all points P that have at least one polar representation
derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates
derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates swapnizzle 03-03- :5:43 We begin by recognizing the familiar conversion from rectangular to spherical coordinates (note that φ is used
Scrum framework: Ρόλοι
Ψηφιακή ανάπτυξη Course Unit #1 : Κατανοώντας τις βασικές σύγχρονες ψηφιακές αρχές Thematic Unit #2 : Ευέλικτες (Agile) μέθοδοι για την ανάπτυξη λογισμικού Learning Objective : Scrum framework: Ρόλοι Filippo
The Project Gutenberg EBook of Gerodimos Pamphletes, by Argyris Eftaliotis
The Project Gutenberg EBook of Gerodimos Pamphletes, by Argyris Eftaliotis This ebook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away
3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β
3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS Page Theorem cos(αβ cos α cos β -sin α cos(α-β cos α cos β sin α NOTE: cos(αβ cos α cos β cos(α-β cos α -cos β Proof of cos(α-β cos α cos β sin α Let s use a unit circle
Πνεσμαηικά Γικαιώμαηα 2006 Ίδρσμα ECDL (ECDL Foundation - www.ecdl.org)
Έθδνζε 1.5 PEOPLECERT Hellas A.E - Φορέας Πιζηοποίηζης Ανθρώπινοσ Γσναμικού Κνξαή 3, 105 64 Αζήλα, Τει.: 210 372 9100, Fax: 210 372 9101, e-mail: info@peoplecert.org, www.peoplecert.org Πνεσμαηικά Γικαιώμαηα
The Nottingham eprints service makes this work by researchers of the University of Nottingham available open access under the following conditions.
Luevorasirikul, Kanokrat (2007) Body image and weight management: young people, internet advertisements and pharmacists. PhD thesis, University of Nottingham. Access from the University of Nottingham repository:
Practice Exam 2. Conceptual Questions. 1. State a Basic identity and then verify it. (a) Identity: Solution: One identity is csc(θ) = 1
Conceptual Questions. State a Basic identity and then verify it. a) Identity: Solution: One identity is cscθ) = sinθ) Practice Exam b) Verification: Solution: Given the point of intersection x, y) of the
Προσωπική Aνάπτυξη. Ενότητα 4: Συνεργασία. Juan Carlos Martínez Director of Projects Development Department
Προσωπική Aνάπτυξη Ενότητα 4: Συνεργασία Juan Carlos Martínez Director of Projects Development Department Σκοπός 1. Πώς να χτίσετε και να διατηρήσετε μια αποτελεσματική ομάδα Σε αυτό πρόγραμμα, εντός
ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ ΒΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΙΟΜΕΤΡΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ ΒΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΙΟΜΕΤΡΩΝ
Homework 8 Model Solution Section
MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx
Σύντομη Αναφορά σε Βασικές Έννοιες Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων
Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών: «Τεχνολογίες και Συστήματα Ευρυζωνικών Εφαρμογών και Υπηρεσιών» Μάθημα: «Επεξεργασία Ψηφιακού Σήματος και Σχεδιασμός Υλικού» Σύντομη Αναφορά σε Βασικές Έννοιες Ψηφιακής
Ένδειξη Γλώσσας Πληκτρολογίου
i Ένδειξη Γλώσσας ii Copyright 2004 Angela Boyle Copyright 2004 Sergey Udaltsov Σας παρέχεται άδεια να αντιγράψετε, διανείμετε ή/και να τροποποιήσετε το υπάρχον κείμενο υπό τους όρους της άδειας GNU Free
= 0.927rad, t = 1.16ms
P 9. [a] ω = 2πf = 800rad/s, f = ω 2π = 27.32Hz [b] T = /f = 7.85ms [c] I m = 25mA [d] i(0) = 25cos(36.87 ) = 00mA [e] φ = 36.87 ; φ = 36.87 (2π) = 0.6435 rad 360 [f] i = 0 when 800t + 36.87 = 90. Now
Matrices and Determinants
Matrices and Determinants SUBJECTIVE PROBLEMS: Q 1. For what value of k do the following system of equations possess a non-trivial (i.e., not all zero) solution over the set of rationals Q? x + ky + 3z
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB. Κολοβού Αθανασία Ε.Τ.Ε.Π.
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB Κολοβού Αθανασία Ε.Τ.Ε.Π. http://users.uoa.gr/~akolovou/ MATRIX LABORATORY Μαθηματικό λογισμικό πακέτο Everything is a matrix Εύκολο να ορίσουμε τους πίνακες >> A = [6 3; 5 0] A = 6
Scrum framework: Γεγονότα
Ψηφιακή ανάπτυξη Course Unit #1 : Κατανοώντας τις βασικές σύγχρονες ψηφιακές αρχές Thematic Unit #2 : Ευέλικτες (Agile) μέθοδοι για την ανάπτυξη λογισμικού Learning Objective : Scrum framework: Γεγονότα
ΗΜΥ 220: ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ακαδημαϊκό έτος Εαρινό Εξάμηνο Κατ οίκον εργασία αρ. 2
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΗΜΥ 220: ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ακαδημαϊκό έτος 2007-08 -- Εαρινό Εξάμηνο Κατ οίκον εργασία αρ. 2 Ημερομηνία Παραδόσεως: Παρασκευή
. Σήματα και Συστήματα
Σήματα και Συστήματα Βασίλειος Δαλάκας & Παναγιώτης Ριζομυλιώτης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σήματα και Συστήματα 1/14 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 27) Να υπολογιστεί η βασική
Jesse Maassen and Mark Lundstrom Purdue University November 25, 2013
Notes on Average Scattering imes and Hall Factors Jesse Maassen and Mar Lundstrom Purdue University November 5, 13 I. Introduction 1 II. Solution of the BE 1 III. Exercises: Woring out average scattering
Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8 questions or comments to Dan Fetter 1
Eon : Fall 8 Suggested Solutions to Problem Set 8 Email questions or omments to Dan Fetter Problem. Let X be a salar with density f(x, θ) (θx + θ) [ x ] with θ. (a) Find the most powerful level α test
Copyright is owned by the Author of the thesis. Permission is given for a copy to be downloaded by an individual for the purpose of research and
Copyright is owned by the Author of the thesis. Permission is given for a copy to be downloaded by an individual for the purpose of research and private study only. The thesis may not be reproduced elsewhere
encouraged to use the Version of Record that, when published, will replace this version. The most /BCJ BIOCHEMICAL JOURNAL
Biochemical Journal: this is an Accepted Manuscript, not the final Version of Record. You are encouraged to use the Version of Record that, when published, will replace this version. The most up-to-date
Ελεύθερο Λογισμικό / Λογισμικό Ανοικτού Κώδικα
Ελεύθερο Λογισμικό / Λογισμικό Ανοικτού Κώδικα Copyright (C) Konstantinos Togias. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License,
Trigonometric Formula Sheet
Trigonometric Formula Sheet Definition of the Trig Functions Right Triangle Definition Assume that: 0 < θ < or 0 < θ < 90 Unit Circle Definition Assume θ can be any angle. y x, y hypotenuse opposite θ
Μετάδοση Δεδομένων και Δίκτυα Υπολογιστών - Το Ανεπίσημο Βοήθημα. Μανώλης Κιαγιάς, MSc
Μετάδοση Δεδομένων και Δίκτυα Υπολογιστών - Το Ανεπίσημο Βοήθημα Μανώλης Κιαγιάς, MSc ΧΧ/ΧΧ/2009 ii Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα: 1η Έκδοση Χανιά, ΧΧ/ΧΧ/2009 Δοκιμαστική Web Edition
Προσωπική Aνάπτυξη. Ενότητα 2: Διαπραγμάτευση. Juan Carlos Martínez Director of Projects Development Department
Προσωπική Aνάπτυξη Ενότητα 2: Διαπραγμάτευση Juan Carlos Martínez Director of Projects Development Department Unit Scope Σε αυτή την ενότητα θα μελετήσουμε τα βασικά των καταστάσεων διαπραγμάτευσης winwin,
Οδηγός χρήσης του OpenOffice.org
Οδηγός χρήσης του OpenOffice.org Συγγραφή : InterZone (http://www.interzone.gr) Κλεονίκη Καψάλη (kk@interzone.gr) Μιχάλης Καμπριάνης (mk@interzone.gr) Διορθώσεις, προτάσεις, συνεισφορές: Γιάννης Κυριαζής
Non-Indicative Verbs of the LXX, New Testament, Josephus and Philo (in alphabetical order)
Non-Indicative Verbs of the LXX, New Testament, Josephus and Philo (in alphabetical order) v = verb s = subjunctive n = infinitive d = imperative p = present f = future a = aorist x = perfect a = active
Εγχειρίδιο Sticky Notes i. Εγχειρίδιο Sticky Notes
i Εγχειρίδιο Sticky Notes ii Copyright 2005 Davyd Madeley Copyright 2004 Shaun McCance Copyright 2004 Angela Boyle Copyright 2003, 2004 Sun Microsystems Copyright 2003 Loban A Rahman Σας παρέχεται άδεια
Ψηφιακή ανάπτυξη. Course Unit #1 : Κατανοώντας τις βασικές σύγχρονες ψηφιακές αρχές Thematic Unit #1 : Τεχνολογίες Web και CMS
Ψηφιακή ανάπτυξη Course Unit #1 : Κατανοώντας τις βασικές σύγχρονες ψηφιακές αρχές Thematic Unit #1 : Τεχνολογίες Web και CMS Learning Objective : Βασικά συστατικά του Web Fabio Calefato Department of
DiracDelta. Notations. Primary definition. Specific values. General characteristics. Traditional name. Traditional notation
DiracDelta Notations Traditional name Dirac delta function Traditional notation x Mathematica StandardForm notation DiracDeltax Primary definition 4.03.02.000.0 x Π lim ε ; x ε0 x 2 2 ε Specific values
Εγχειρίδιο για το Σκάκι i. Εγχειρίδιο για το Σκάκι
i Εγχειρίδιο για το Σκάκι ii Copyright 2006-2008 Andreas Røsdal Σας παρέχεται άδεια να αντιγράψετε, διανείμετε ή/και να τροποποιήσετε το υπάρχον κείμενο υπό τους όρους της άδειας GNU Free Documentation
Chapter 6 BLM Answers
Chapter 6 BLM Answers BLM 6 Chapter 6 Prerequisite Skills. a) i) II ii) IV iii) III i) 5 ii) 7 iii) 7. a) 0, c) 88.,.6, 59.6 d). a) 5 + 60 n; 7 + n, c). rad + n rad; 7 9,. a) 5 6 c) 69. d) 0.88 5. a) negative
Technical Research Report, Earthquake Research Institute, the University of Tokyo, No. +-, pp. 0 +3,,**1. No ,**1
No. +- 0 +3,**1 Technical Research Report, Earthquake Research Institute, the University of Tokyo, No. +-, pp. 0 +3,,**1. * Construction of the General Observation System for Strong Motion in Earthquake
Advances in Digital Imaging and Computer Vision
Advances in Digital Imaging and Computer Vision Διάλεξη 5 Κώστας Μαριάς kmarias@staff.teicrete.gr 24/4/2017 1 Αναφορές An Introduction to Digital Image Processing with Matlab, Alasdair McAndrew N. Papamarkos,
Probability and Random Processes (Part II)
Probability and Random Processes (Part II) 1. If the variance σ x of d(n) = x(n) x(n 1) is one-tenth the variance σ x of a stationary zero-mean discrete-time signal x(n), then the normalized autocorrelation
Written Examination. Antennas and Propagation (AA ) April 26, 2017.
Written Examination Antennas and Propagation (AA. 6-7) April 6, 7. Problem ( points) Let us consider a wire antenna as in Fig. characterized by a z-oriented linear filamentary current I(z) = I cos(kz)ẑ
Κεφάλαιο 6 Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου και Απόκριση συχνοτήτων
Κεφάλαιο 6 Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου και Απόκριση συχνοτήτων Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνεται ο ορισμός του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου και παρουσιάζονται οι ιδιότητες του μετασχηματισμού
Επίδειξη της αποδοτικότητας των πόρων μέσω καινοτόμων, ολοκληρωμένων συστημάτων ανακύκλωσης απόβλητων για τις απομακρυσμένες περιοχές.
Επίδειξη της αποδοτικότητας των πόρων μέσω καινοτόμων, ολοκληρωμένων συστημάτων ανακύκλωσης απόβλητων για τις απομακρυσμένες περιοχές PAVEtheWAySTE LIFE14 ENV/GR/000722 Παραδοτέο E1.1 Πρακτικά εναρκτήριας
Strain gauge and rosettes
Strain gauge and rosettes Introduction A strain gauge is a device which is used to measure strain (deformation) on an object subjected to forces. Strain can be measured using various types of devices classified
Τεκμηρίωση Προβολέα Εγγράφου Evince
i Τεκμηρίωση Προβολέα ii Copyright 2005 Nickolay V. Shmyrev Copyright 2004 Sun Microsystems Copyright 2005. Στυλιανός Παπαναστασίου (stelios@dcs.gla.ac.uk) Σας παρέχεται άδεια να αντιγράψετε, διανείμετε
Σήματα και Συστήματα ΙΙ
Σήματα και Συστήματα ΙΙ Ενότητα 2: Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου (DTFT) Α. Ν. Σκόδρας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος
If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2
![If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2](/thumbs/53/31933086.jpg "If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2")
Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the
WWW.Greek Trading. Club
Trading Level (TL) Σημαντικές πληροφορίες για το Trading Το Trading εμπεριέχει μεγάλο κίνδυνο και δεν είναι για όλους. Ο συγγραφέας και ο εκδότης δεν αναλαμβάνουν καμία ευθύνη για τις ενέργειες του αναγνώστη.
ΣΧΟΛΗ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών ΤΜΗΜΑ Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΠΟΥΔΩΝ Προπτυχιακό ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ 5
ΣΧΟΛΗ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών ΤΜΗΜΑ Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΠΟΥΔΩΝ Προπτυχιακό ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος ΑΥΤΟΤΕΛΕΙΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ
Second Order Partial Differential Equations
Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y
BRAND MANUAL AND USER GUIDELINES
ΑΠΟΓΡΑΦΗ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ-ΚΑΤΟΙΚΙΩΝ 2021 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ BRAND MANUAL AND USER GUIDELINES BRIEF THE SCOPE Το 2021 θα πραγματοποιηθεί στην Ελλάδα η Γενική Απογραφή Πληθυσμού Κατοικιών που διενεργείται
Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude
Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Jan Behrens 2012-12-31 In this paper we shall provide a method to approximate distances between two points on earth
*2354431106* GREEK 0543/02 Paper 2 Reading and Directed Writing May/June 2009
UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education *2354431106* GREEK 0543/02 Paper 2 Reading and Directed Writing May/June 2009 1 hour 30 minutes
If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2
Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the
Liner Shipping Hub Network Design in a Competitive Environment
Downloaded from orbit.dtu.dk on: Oct 01, 2016 Liner Shipping Hub Network Design in a Competitive Environment Gelareh, Shahin; Nickel, Stefan; Pisinger, David Publication date: 2010 Document Version Publisher's
Εφαρμογές της τεχνολογίας επίγειας σάρωσης Laser στις μεταφορές
Εφαρμογές της τεχνολογίας επίγειας σάρωσης Laser στις μεταφορές Ιουλία Μάρκου 1, Κωνσταντίνος Αντωνίου 12, Μαρία Τσακίρη 13 και Ανδρέας Γεωργόπουλος 14 1 Σχολή Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Εθνικό
Second Order RLC Filters
ECEN 60 Circuits/Electronics Spring 007-0-07 P. Mathys Second Order RLC Filters RLC Lowpass Filter A passive RLC lowpass filter (LPF) circuit is shown in the following schematic. R L C v O (t) Using phasor
Οδηγός του Deskbar Applet i. Οδηγός του Deskbar Applet
i Οδηγός του Deskbar Applet ii Copyright 2007 GNOME Documentation Project Χορηγείται η άδεια για αντιγραφή, διανομή ή/και τροποποίηση αυτού του εγγράφου κάτω από τους όρους του GNU Free Documentation License
Note: Please use the actual date you accessed this material in your citation.
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 6.03/ESD.03J Electromagnetics and Applications, Fall 005 Please use the following citation format: Markus Zahn, 6.03/ESD.03J Electromagnetics and Applications, Fall
Answers to practice exercises
Answers to practice exercises Chapter Exercise (Page 5). 9 kg 2. 479 mm. 66 4. 565 5. 225 6. 26 7. 07,70 8. 4 9. 487 0. 70872. $5, Exercise 2 (Page 6). (a) 468 (b) 868 2. (a) 827 (b) 458. (a) 86 kg (b)
ECE 468: Digital Image Processing. Lecture 8
ECE 468: Digital Image Processing Lecture 8 Prof. Sinisa Todorovic sinisa@eecs.oregonstate.edu 1 Image Reconstruction from Projections X-ray computed tomography: X-raying an object from different directions
6.003: Signals and Systems
6.3: Signals and Sysems Modulaion December 6, 2 Communicaions Sysems Signals are no always well mached o he media hrough which we wish o ransmi hem. signal audio video inerne applicaions elephone, radio,
10/3/ revolution = 360 = 2 π radians = = x. 2π = x = 360 = : Measures of Angles and Rotations
//.: Measures of Angles and Rotations I. Vocabulary A A. Angle the union of two rays with a common endpoint B. BA and BC C. B is the vertex. B C D. You can think of BA as the rotation of (clockwise) with
Lecture 26: Circular domains
Introductory lecture notes on Partial Differential Equations - c Anthony Peirce. Not to be copied, used, or revised without eplicit written permission from the copyright owner. 1 Lecture 6: Circular domains
ΔΗΜΟΤΙΚΕΣ ΕΚΛΟΓΕΣ 18/5/2014 ΑΚΥΡΑ
ΔΗΜΟΤΙΚΕΣ ΕΚΛΟΓΕΣ 18/5/2014 ΑΚΥΡΑ ΑΔΑΜΗΣ Δ.Κ. / Τ.Κ. E.T. ΕΓΓ/ΝΟΙ ΨΗΦΙΣΑΝ ΕΓΚΥΡΑ ΓΙΟΒΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΛΕΥΚΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΜΑΝΤΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΔΑΛΙΑΝΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΑΣΤΡΟΣ 5 2.728 1.860 36 1.825 69 3,8% 152 8,3% 739 40,5%
Lifting Entry (continued)
ifting Entry (continued) Basic planar dynamics of motion, again Yet another equilibrium glide Hypersonic phugoid motion Planar state equations MARYAN 1 01 avid. Akin - All rights reserved http://spacecraft.ssl.umd.edu
Section 7.6 Double and Half Angle Formulas
09 Section 7. Double and Half Angle Fmulas To derive the double-angles fmulas, we will use the sum of two angles fmulas that we developed in the last section. We will let α θ and β θ: cos(θ) cos(θ + θ)
ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ
ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών με Κατανεμημένη Μάζα και Ακαμψία Πτυχιακή Εργασία Φουκάκη Βαρβάρα
Automating Complex Workflows using Processing Modeler
Automating Complex Workflows using Processing Modeler QGIS Tutorials and Tips Author Ujaval Gandhi http://google.com/+ujavalgandhi Translations by Christina Dimitriadou Paliogiannis Konstantinos Tom Karagkounis
11.4 Graphing in Polar Coordinates Polar Symmetries
.4 Graphing in Polar Coordinates Polar Symmetries x axis symmetry y axis symmetry origin symmetry r, θ = r, θ r, θ = r, θ r, θ = r, + θ .4 Graphing in Polar Coordinates Polar Symmetries x axis symmetry
Longitudinal Changes in Component Processes of Working Memory
This Accepted Manuscript has not been copyedited and formatted. The final version may differ from this version. Research Article: New Research Cognition and Behavior Longitudinal Changes in Component Processes
Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Ενότητα 7 : Πρότυπο συμπίεσης JPEG Ιωάννης Έλληνας Τμήμα Η/ΥΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 7-8 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων - Bonus Ασκήσεις Ηµεροµηνία
is like multiplying by the conversion factor of. Dividing by 2π gives you the
Chapter Graphs of Trigonometric Functions Answer Ke. Radian Measure Answers. π. π. π. π. 7π. π 7. 70 8. 9. 0 0. 0. 00. 80. Multipling b π π is like multipling b the conversion factor of. Dividing b 0 gives