Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Τμήμα Επιστημών της Προσχολικής Αγωγής και του Εκπαιδευτικού Σχεδιασμού

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Επιστημών της Προσχολικής Αγωγής και του Εκπαιδευτικού Σχεδιασμού Π.Μ.Σ: Διδακτική Θετικών Επιστημών και ΤΠΕ στην εκπαίδευση : Διεπιστημονική Προσέγγιση Διπλωματική Εργασία Καλάργυρος Παναγιώτης Α.Μ: «Στάσεις και πεποιθήσεις υποψήφιων δασκάλων για τα Μαθηματικά» Επιβλέπουσα: Καφούση Σόνια, Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Αιγαίου Συμβουλευτική Επιτροπή: Κοντάκος Αναστάσιος, Καθηγητής Πανεπιστημίου Αιγαίου Σταμάτης Παναγιώτης, Επίκουρος Καθηγητής Πανεπιστημίου Αιγαίου Ρόδος, Ιανουάριος 2018

2 Ευχαριστίες Με αφορμή την εκπόνηση της διπλωματικής μου εργασίας θα ήθελα να απευθύνω θερμές ευχαριστίες στην επιβλέπουσα καθηγήτριά μου κα Καφούση Σόνια για την αμέριστη βοήθειά της και τις πολύτιμες συμβουλές της. Επίσης θα ήθελα να ευχαριστήσω τους κ. Κοντάκο Αναστάσιο και κ. Σταμάτη Παναγιώτη που αποτέλεσαν μέλη στην τριμελή επιτροπή. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω τον κ. Αυγερινό Ευγένιο, καθηγητή του Παιδαγωγικού Τμήματος Δημοτικής Εκπαίδευσης Ρόδου, για το χρόνο μου αφιέρωσε ώστε να μοιράσω τα ερωτηματολόγια. Η εργασία είναι αφιερωμένη στην γυναίκα μου και τα τρία παιδιά μας αφού χωρίς τη δική τους υπομονή και συμπαράσταση δε θα ολοκληρωνόταν η προσπάθειά μου. 2

3 Περιεχόμενα ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Η ΦΥΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Περίληψη Εισαγωγή Τα βασικά φιλοσοφικά ρεύματα για τα Μαθηματικά Σύνοψη Συζήτηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΕΠΟΙΘΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ Περίληψη Εισαγωγή Θεωρητικές προσεγγίσεις για τη διαμόρφωση των στάσεων Θεωρητικές προσεγγίσεις για τις επιστημολογικές πεποιθήσεις Έρευνες για τις στάσεις και τις πεποιθήσεις των εκπαιδευτικών Σκοπός της έρευνας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Περίληψη Μέθοδοι μέτρησης Σχεδιασμός της έρευνας Το δείγμα της έρευνας και η συλλογή δεδομένων Τα εργαλεία της έρευνας Η ανάλυση των αποτελεσμάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Περίληψη Αποτελέσματα ως προς τις στάσεις Στάσεις ως προς τη διαδικασία Στάσεις ως προς τη δυσκολία Στάσεις ως προς την απόλαυση Βαθμίδα εκπαίδευσης που δημιουργούνται οι στάσεις Αποτελέσματα ως προς τα αίτια των στάσεων Περιβαλλοντικά αίτια Γνωστικά αίτια Ατομικά αίτια

4 4.4 Αποτελέσματα ως προς τις επιστημολογικές πεποιθήσεις Στατική θεώρηση Δυναμική θεώρηση Εργαλειακή άποψη ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Παράρτημα Ι Παράρτημα ΙΙ Παράρτημα ΙΙΙ

5 Περιεχόμενα πινάκων Πίνακας 4.1: Αποτελέσματα στάσεων ως προς τα μαθηματικά ως διαδικασία Πίνακας 4.2: Στάσεις για τα μαθηματικά ως διαδικασία Πίνακας 4.3: Αποτελέσματα στάσεων ως προς τη δυσκολία των μαθηματικών Πίνακας 4.4: Στάσεις ως προς τη δυσκολία των μαθηματικών Πίνακας 4.5: Αποτελέσματα στάσεων ως προς την απόλαυση από τα μαθηματικά Πίνακας 4.6: Στάσεις ως προς την απόλαυση από τα μαθηματικά Πίνακας 4.7: Περιβαλλοντικά αίτια στάσεων Πίνακας 4.8: Γνωστικά αίτια στάσεων Πίνακας 4.9: Ατομικά αίτια στάσεων Πίνακας 4.10: Στατική θεώρηση Πίνακας 4.11: Δυναμική θεώρηση Πίνακας 4.12: Εργαλειακή άποψη Πίνακας 4.13: Επιστημολογικές πεποιθήσεις

6 Περίληψη Τα μαθηματικά ήταν πάντοτε πεδίο δοκιμής και ελέγχου για τις ψυχολογικές θεωρίες μάθησης, γιατί είναι ένα δομημένο πεδίο γνώσης αλλά είναι και το αντικείμενο στο οποίο αντιμετωπίζουν οι μαθητές τις περισσότερες δυσκολίες. Τα τελευταία 50 χρόνια έχει παρατηρηθεί μια μεταστροφή των ερευνητών από το γνωστικό τομέα στην κατανόηση του συναισθηματικού τομέα στη διαδικασία μάθησης αλλά και πώς επηρεάζονται οι διδακτικές προσεγγίσεις των εκπαιδευτικών. Οι στάσεις και οι επιστημολογικές πεποιθήσεις των εκπαιδευτικών είναι μέρος του συναισθηματικού τομέα που έχει βρεθεί ότι επηρεάζουν άμεσα τη διδασκαλία και τη μάθηση των μαθηματικών. Επηρεάζουν τη γνωστική και συναισθηματική ανάπτυξη των μαθητών. Παράγοντες που επηρεάζουν τη διδακτική πρακτική του εκπαιδευτικού είναι η προγενέστερη προσωπική εμπειρία του εκπαιδευτικού (ως μαθητής και εκπαιδευτικός), οι στάσεις και οι πεποιθήσεις σχετικά με το αντικείμενο και τη διδασκαλία του και το πολιτισμικό περιβάλλον. Έτσι στηρίζεται η διεπιστημονικότητα της εργασίας που συνδέει τις επιστημολογικές πεποιθήσεις με τη διδακτική των Μαθηματικών και συγκεκριμένα ποιο διδακτικό μοντέλο ακολουθούν οι εκπαιδευτικοί ανάλογα με το είδος τα πεποιθήσεών τους. Σκοπός της προτεινόμενης μελέτης είναι η εξέταση των στάσεων των υποψήφιων δασκάλων και ταξινόμησή τους ανάλογα με τη διαδικασία, τη δυσκολία και την απόλαυση από τα μαθηματικά, τα αίτια των αρνητικών στάσεων και χωρισμός ανάλογα με κοινωνικούς, γνωστικούς και ατομικούς παράγοντες, εντοπισμός των επιστημολογικών πεποιθήσεών τους και ταξινόμησή τους ανάλογα με τη δυναμική, στατική ή εργαλειακή άποψη για τα μαθηματικά. Επίσης γίνεται και μια σύγκριση μεταξύ των υποψήφιων δασκάλων παλαιοτέρων ετών που δεν εξετάστηκαν στις πανελλήνιες εξετάσεις στα μαθηματικά σε σχέση με αυτούς που εισήχθηκαν τα δύο τελευταία χρόνια και εξετάστηκαν στα μαθηματικά στις πανελλήνιες εξετάσεις. Από τα αποτελέσματα φαίνεται ότι δεν υπήρξε σημαντική διαφορά ανάμεσα στους φοιτητές/τριες παλαιοτέρων ετών και των δύο τελευταίων ετών ούτε ως προς τις στάσεις ούτε ως προς τις πεποιθήσεις. Επίσης παρατηρούμε ότι οι στάσεις διαμορφώνονται κατά κύριο λόγο στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση και παραμένουν μέχρι και την τριτοβάθμια. Οι 6

7 υποψήφιοι δάσκαλοι επιδεικνύουν μια δυναμική άποψη σε σχέση με τις επιστημολογικές τους πεποιθήσεις παρόλο που κοντά είναι και η εργαλειακή άποψη για τα μαθηματικά. 7

8 Εισαγωγή Τα Μαθηματικά ήταν η πρώτη θεωρητική επιστήμη η οποία αναπτύχθηκε με μια κοινά αποδεκτή αποδεικτική διαδικασία που βασίζεται σε μερικές αρχικές έννοιες και σε ένα σύνολο αξιωμάτων. Παράλληλα, το αντικείμενο των Μαθηματικών είχε εφαρμογές με άμεσο ενδιαφέρον για τον άνθρωπο. Γι αυτό τα Μαθηματικά είναι ένα πολύ σημαντικό αντικείμενο, που όμως φαίνεται να διαχωρίζει τους ανθρώπους σε δύο στρατόπεδα: από τη μια είναι εκείνοι που μπορούν να κάνουν μαθηματικά και από την άλλη εκείνοι που δεν μπορούν ή νομίζουν ότι δεν μπορούν (Σκουμπουρδή, 2005). Όσο περισσότερο άγχος υπάρχει για τα μαθηματικά, τόσο πιο έντονη προσπάθεια γίνεται για τη μάθησή τους, αλλά κάτω από αυτές τις συνθήκες περιορίζεται η κατανόηση και αυξάνεται το άγχος (Skemp, 1987, βλ. Σκουμπουρδή, 2005).Το άτομο καταλήγει να είναι αποκλεισμένο από μια σειρά επιλογών που δε θα απασχολούσε πολύ την κοινωνία αν τα μαθηματικά δεν έπαιζαν σημαντικό ρόλο για δύο κυρίως λόγους: γιατί οι απαιτήσεις της παραγωγής έχουν δημιουργήσει αυξημένες προδιαγραφές για το εκπαιδευτικό σύστημα και γιατί η εκπαίδευση είναι βασική ανάγκη και προαπαιτούμενο για αυτόνομη διαβίωση στη σύγχρονη κοινωνία (Φιλίππου & Χρίστου, 2001). Πολλοί μαθητές που αποτυγχάνουν στην προσπάθεια κατανόησης των μαθηματικών εννοιών και μεθόδων αναπτύσσουν αρνητικές στάσεις και συναισθήματα φοβίας για τα μαθηματικά, πράγμα που εμποδίζει τη μαθηματική τους ανάπτυξη (Φιλίππου & Χρίστου, 2001). Έτσι εμφανίστηκαν ο όροι «αριθμοφοβία» και «μαθηματικοφοβία». Αυτό οδήγησε στο να αναπτυχθεί έντονο ερευνητικό ενδιαφέρον στη συναισθηματική διάσταση της μάθησης των Μαθηματικών. Οι ερευνητές μελετούν συστηματικά, ανάμεσα στα άλλα, τα συναισθήματα των μαθητών και των εκπαιδευτικών, ώστε να κατανοήσουν καλύτερα την προέλευση, τη δομή και τις επιπτώσεις του συναισθηματικού τομέα στη μάθηση των Μαθηματικών (Φιλίππου & Χρίστου, 2001). Η ταξινόμηση του Bloom από τη δεκαετία του 1950 περιελάμβανε και το συναισθηματικό τομέα, μαζί με το γνωστικό και το ψυχοκινητικό, μέσα στους εκπαιδευτικούς στόχους. Στην έκθεση της πρώτης Διεθνούς Έρευνας για την Επίδοση στα Μαθηματικά ο Husen (1967) ανέφερε και τα εξής: «Οι στάσεις των μαθητών προς τα Μαθηματικά είναι σχεδόν το 8

9 ίδιο σημαντικές με τη γνωστική μάθηση στα Μαθηματικά, αφού η διδασκαλία αποσκοπεί στην ανάπτυξη μιας βάσης για περεταίρω μάθηση. Αν μαθαίνοντας μαθηματικά ο μαθητής αποκτά και μια αποστροφή προς το αντικείμενο, η παραπέρα μάθηση καθίσταται απίθανη και μέρος του σκοπού της διδασκαλίας έχει χαθεί» (σελ 73). Η έρευνα μέχρι τώρα έχει περιοριστεί σε ποσοτικές αποτιμήσεις ορισμένων μόνο παραμέτρων ενός πολυδιάστατου φαινομένου και είναι καιρός για μια πληρέστερη και ποιοτική προσέγγισή του (Φιλίππου & Χρίστου, 2001). Επίσης σύμφωνα με την Σκουμπουρδή (2005) η αρνητική στάση για τα μαθηματικά εμφανίζεται κυρίως κατά την ηλικία των 9 έως 11 ετών και αυτή η αρνητική στάση για τα μαθηματικά είναι πολύ δύσκολο να αλλάξει και είναι πιθανό να υπάρχει και μέχρι την ενήλικη ζωή. Άρα σημαντικό ρόλο παίζουν οι στάσεις και οι πεποιθήσεις των υποψήφιων δασκάλων και κατά πόσο μπορούν να αλλάξουν οι αρνητικές στάσεις κατά τη διάρκεια των πανεπιστημιακών ετών. Οι σύγχρονες αντιλήψεις για τη διδασκαλία των μαθηματικών δίνουν ιδιαίτερη σημασία στην ποιοτική και όχι στην ποσοτική διάσταση της μάθησης τονίζοντας ότι σκοπός της διδασκαλίας είναι η ανάπτυξη θετικών στάσεων έναντι των μαθηματικών. Το πόσο καλά, για παράδειγμα, ένας μαθητής θα μάθει τις έννοιες των μαθηματικών αποτελεί πιο σημαντική παράμετρο από την ποσότητα των γνώσεων και δεξιοτήτων που θα αποκτήσει. Η έρευνα έχει δείξει ότι οι θετικές στάσεις αποκτούνται, όταν οι δάσκαλοι χρησιμοποιούν σύγχρονες μεθόδους διδασκαλίας, όπως είναι η ευρετική μέθοδος, η διερευνητική μέθοδος, η συνεργατική μάθηση. Επίσης θετικές στάσεις αναπτύσσονται όταν οι δραστηριότητες με τις οποίες ασχολούνται οι μαθητές προσελκύουν το ενδιαφέρον τους, είναι δημιουργικές και δεν τους κουράζουν με δύσκολες και ανιαρές πράξεις. Η παιγνιώδης εργασία τονώνει το ενδιαφέρον των μαθητών τόσο ώστε να ασχολούνται πιο πολύ με τα μαθηματικά, με αποτέλεσμα πολλές φορές να κάνουν περισσότερη εξάσκηση απ ότι προηγουμένως, αλλά με τρόπο που το επιζητούν οι ίδιοι οι μαθητές (Φιλίππου & Χρίστου, 1995). Οι αντιλήψεις των δασκάλων για τη φύση των μαθηματικών και για τη διδασκαλία και μάθηση των μαθηματικών παίζουν πρωταρχικό ρόλο στις επιλογές δραστηριοτήτων και γενικά στη διδακτική τους συμπεριφορά (Greeno, 1989, βλ. Φιλίππου & Χρίστου, 2001). Οι επιστημολογικές πεποιθήσεις των δασκάλων είναι σημαντικές γιατί αναδεικνύουν το πώς οι δάσκαλοι βλέπουν την γνώση και τη μάθηση και υποδεικνύουν το πώς θα θεσπίσουν μια διδακτική πρακτική στην τάξη (Luft & Roehrig, 2007). Η εκτίμηση που κάνουν οι 9

10 εκπαιδευτικοί για τις δυνατότητές τους να ανταποκριθούν στη διδασκαλία συγκεκριμένων θεμάτων επηρεάζει τη διδασκαλία τους στο συγκεκριμένο αυτό θέμα. Ειδικά για τους μελλοντικούς δασκάλους, η οικοδόμηση πεποιθήσεων επάρκειας ως προς τη διδασκαλία των μαθηματικών έχει ιδιαίτερη σημασία, γιατί πρόκειται για το υπόβαθρο στο οποίο θα βασιστεί όλη τους η σταδιοδρομία, αφού είναι αποδεκτό πως όταν ένα άτομο αναπτύξει συγκεκριμένες πεποιθήσεις διδακτικής επάρκειας, πολύ δύσκολα θα τις αλλάξει (Tschannen Moran et al., 1998). Όπως αναφέρει ο Σκιαδαρέσης (2010) δάσκαλοι με πιο «εκλεπτυσμένες» επιστημολογικές πεποιθήσεις ακολουθούν ένα κονστρουκτιβιστικό μοντέλο μάθησης που έχει κέντρο το μαθητή. Στην παρούσα εργασία θα μελετηθούν ποιοι παράγοντες διαμορφώνουν τις στάσεις και τις πεποιθήσεις των υποψήφιων δασκάλων, σε ποιο στάδιο διαμορφώνονται στη διάρκεια των μαθητικών χρόνων και θα γίνει μια σύγκριση των υποψήφιων δασκάλων που εισήχθησαν με το παλιό και με το νέο σύστημα πανελληνίων εξετάσεων στο οποίο έπρεπε να εξεταστούν στα μαθηματικά. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια αναφορά στη φύση των μαθηματικών και στις διάφορες θεωρίες που αναπτύχθηκαν για να απαντήσουν στο ερώτημα τι είναι μαθηματικά, στο δεύτερο κεφάλαιο έχουμε την ανασκόπηση της βιβλιογραφίας σχετικά με τις έννοιες των στάσεων και των επιστημολογικών πεποιθήσεων, ενώ αναφέρονται και αποτελέσματα άλλων ερευνών σχετικά με τις έννοιες αυτές. Εν συνεχεία, στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται ο σχεδιασμός της έρευνας, ποιο είναι το δείγμα, πως επιλέχθηκαν οι ερωτήσεις για τα ερωτηματολόγια, πως έγινε η επεξεργασία τους και ποια είναι τα ερευνητικά ερωτήματα, στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται η ανάλυση των αποτελεσμάτων της έρευνας και στο πέμπτο κεφάλαιο αναφέρονται τα συμπεράσματα και γίνονται προτάσεις για περεταίρω έρευνα. 10

11 Κεφάλαιο 1: Η φύση των Μαθηματικών 1.1 Περίληψη Τι είναι τα Μαθηματικά; Περιμένουν να τα ανακαλύψουμε ή είναι επινοήσεις του ανθρώπου; Η φύση των Μαθηματικών απασχολεί τους Φιλόσοφους μαθηματικούς από τα αρχαία χρόνια (Πλάτωνας, Αριστοτέλης) μέχρι σήμερα (Lakatos) και αποτελεί πεδίο έντονων αντιπαραθέσεων. Πολλές θεωρίες έχουν αναπτυχθεί ώστε να εξηγήσουν το τι είναι τα Μαθηματικά και πώς μπορούν να θεμελιωθούν σε στέρεες βάσεις που να μην αποδέχονται αμφισβήτηση. 1.2 Εισαγωγή Ο χαρακτηρισμός των Μαθηματικών ως αντικειμενικά, λογικά και ανεξάρτητα της ανθρώπινης παρουσίας και των ανθρώπινων ικανοτήτων έχει αποτελέσει αντικείμενο έντονων αντιπαραθέσεων μεταξύ των ερευνητών. Πίσω από τις αντιπαραθέσεις βρίσκονται σημαντικές διαφορές ως προς τη φύση των Μαθηματικών, ως προς το ερώτημα «τι είναι τα Μαθηματικά;» (Leder & Forgasz, 2006). Η έλλειψη συναίνεσης στον καθορισμό της φύσης των Μαθηματικών προκύπτει από το γεγονός ότι οι άνθρωποι που προσπαθούν να ορίσουν τα Μαθηματικά είναι, συνειδητά ή μη, επηρεασμένοι από το υπόβαθρο, την εμπειρία και τον τομέα ειδίκευσής τους. Παραδείγματος χάριν, ορισμένοι μελετητές ορίζουν τα Μαθηματικά ως μέθοδο που χρησιμοποιείται για την ανακάλυψη κάποιας αλήθειας, ενώ άλλοι τα εκλαμβάνουν ως την ίδια την αλήθεια που ανακαλύπτεται (Κολέζα, 2006). Για κάποιους τα Μαθηματικά είναι ένα σώμα προτάσεων και διαδικασιών που αφορούν ποσότητες, μεγέθη και μορφές, καθώς και τις μεταξύ τους σχέσεις, ενώ άλλοι τα θεωρούν ως την «επιστήμη των προτύπων» (the Science of patterns), που αντανακλά δομές και σχέσεις της φυσικής πραγματικότητας (Schoenfeld, 1992). Υπάρχουν τέλος και εκείνοι που βλέπουν τα Μαθηματικά ως ένα παιχνίδι χωρίς νόημα, που καθοδηγείται από μερικούς κανόνες τους οποίους θέτουν οι ίδιοι οι μαθηματικοί (Κολέζα 11

12 2006). Ένα άλλο θέμα σχετικά με τα Μαθηματικά αφορά τον απόλυτο, αδιαπραγμάτευτο ή σχετικό και διαψεύσιμο χαρακτήρα τους. Αυτή η διαμάχη ανάγεται στην εποχή του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη και συνεχίζεται μέχρι σήμερα. Τα μαθηματικά ταξινομούνται στην κατηγορία της a priori γνώσης, δηλαδή, αποτελούνται από προτάσεις οι οποίες εξάγονται με βάση την παραγωγική λογική διαδικασία (Τουμάσης, 2000). Το κοινό στοιχείο των φιλοσοφικών θεωριών που υποστηρίζουν τον απόλυτο χαρακτήρα των Μαθηματικών είναι η θέση τους για τα Μαθηματικά ως ένα αντικειμενικό, απόλυτο, καλώς ορισμένο και αλάνθαστο σώμα γνώσης, το οποίο στηρίζεται στα σταθερά θεμέλια της παραγωγικής λογικής (Ernest, 1998). Αυτή η άποψη βασίζεται στη φιλοσοφική θεωρία του αντικειμενικού ιδεαλισμού ή μεταφυσικού ρεαλισμού, γνωστή ως «μαθηματικός πλατωνισμός». Ο μαθηματικός πλατωνισμός μπορεί να ορισθεί ως το δόγμα σύμφωνα με το οποίο υπάρχει μια αντικειμενική πραγματικότητα, η οποία είναι ανεξάρτητη από το υποκείμενο που τη γνωρίζει (Κολέζα, 2006). Στο μαθηματικό πλατωνισμό οι μαθηματικές οντότητες αποτελούν το διακεκριμένο μέλος αυτής της αντικειμενικής πραγματικότητας. Σύμφωνα με αυτή τη σχολή σκέψης, τα Μαθηματικά είναι «αφηρημένα», αποτελούνται από αμετάβλητες αλήθειες και αδιαμφισβήτητη βεβαιότητα και ως εκ τούτου είναι ανεξάρτητα από την ανθρώπινη δραστηριότητα και το πλαίσιο της καθημερινής ζωής. Τα φιλοσοφικά ρεύματα που εμπίπτουν σε αυτή την κατηγορία είναι: ο λογικισμός (logicism), ο φορμαλισμός (formalism) και ως ένα ορισμένο βαθμό ο ιντουισιονισμός (intuitionism). Ωστόσο, αυτή η άποψη για τα Μαθηματικά αντιμετώπισε προβλήματα στην αρχή του 20ού αιώνα, όταν ανακαλύφθηκαν διάφορα παράδοξα και αντιφάσεις, γεγονός που κλόνισε τα θεμέλιά τους. Ως συνέπεια, η άποψη για την απόλυτη φύση των Μαθηματικών έγινε αντικείμενο κριτικής και επανεξετάστηκε το θέμα της απολυτότητάς τους με βάση την εργασία του Lakatos (1976 a,b). Ο Lakatos έδειξε ότι το πρόβλημα της βεβαιότητας στα μαθηματικά οδηγεί σε ένα φαύλο κύκλο. Κάθε μαθηματικό σύστημα εξαρτάται από ένα σύνολο υποθέσεων και η προσπάθεια να τις αποδείξουμε οδηγεί σε μια επ άπειρον παλινδρόμηση. Χωρίς απόδειξη οι υποθέσεις παραμένουν επισφαλείς. Υποστήριξε τη διαψευσιμότητα (falsification) των Μαθηματικών. Τα Μαθηματικά θεωρήθηκαν μια ανθρώπινη επινόηση (παρά μια ανακάλυψη) η οποία ενέχει υποκειμενικότητα. Άρα τα Μαθηματικά είναι διαψεύσιμα και ανοικτά σε αναθεωρήσεις και ανασκευές. 12

13 1.3 Τα βασικά φιλοσοφικά ρεύματα για τα Μαθηματικά Υπάρχουν δύο βασικά είδη φιλοσοφικών ερωτημάτων που μπορούν να διατυπωθούν σχετικά με τα Μαθηματικά: ερωτήματα οντολογικά και ερωτήματα επιστημολογικά. Τα οντολογικά ερωτήματα ενδιαφέρονται για το ίδιο το περιεχόμενο των Μαθηματικών. Διερευνούν, π.χ.: Ποιο είναι το περιεχόμενο των Μαθηματικών; Ποια είναι η φύση των μαθηματικών αντικειμένων; Τι είδους αντικείμενα είναι οι αριθμοί, τα σημεία, οι γραμμές και τα σύνολα; Έχουν αντικειμενική ύπαρξη ως μη υλικά, αφηρημένα αντικείμενα ή είναι νοητικές κατασκευές και ιδέες; Μήπως τα Μαθηματικά δεν αφορούν άμεσα κάποια «αντικείμενα», αλλά αναφέρονται σε καθοδικές ιδιότητες ή σχέσεις; Μήπως τα Μαθηματικά δεν έχουν κανένα περιεχόμενο με την έννοια του αντικειμένου; Σύμφωνα με τους φορμαλιστές, τα Μαθηματικά είναι ουσιαστικά χωρίς νόημα, είναι απλά ένα παιχνίδι με σύμβολα, που παίζεται σύμφωνα με σαφώς καθορισμένους, αλλά αυθαίρετους κανόνες, όπως το σκάκι (Κολέζα, 2006). Ως προς τα επιστημολογικά ερωτήματα, τα πιο βασικά από αυτά είναι: Πώς αποκτάται η μαθηματική γνώση; Πώς μπορούμε (αν μπορούμε) να έχουμε γνώση των μαθηματικών αντικειμένων; Σχετικά με αυτά τα οντολογικά και επιστημολογικά ερωτήματα, ο Πλάτωνας δίνει τις ακόλουθες απαντήσεις: τα αφηρημένα μαθηματικά αντικείμενα, όπως τα τρίγωνα και οι σφαίρες, είναι μορφές οι οποίες έχουν ατελείς αντανακλάσεις σε αυτό τον κόσμο. Πριν γεννηθούμε, οι ψυχές μας είχαν άμεσες αλληλεπιδράσεις με αυτές τις μορφές, αλλά με την τραυματική εμπειρία της γέννησής μας, δηλαδή με την ενσωμάτωση της ψυχής μας, επήλθε η λήθη των «γνώσεων» αυτών. Η εκ νέου σύλληψη αυτής της γνώσης καθίσταται σύμφωνα με αυτή τη θεωρία μια διαδικασία ανάμνησης, η οποία είναι δυνατόν να ενισχυθεί μέσα από μια διαλεκτική διαδικασία. Ο Πλάτωνας υποστήριζε, δηλαδή, ότι η μαθηματική γνώση είναι έμφυτη. Στην πραγματικότητα είναι ανάμνηση κάποιων πραγμάτων που ξέραμε ήδη, αλλά έχουμε ξεχάσει. Αργότερα οι πλατωνιστές υποστήριξαν ότι η μαθηματική γνώση αποκτάται μέσω της μαθηματικής διαίσθησης, που μας επιτρέπει την πρόσβαση στην (πλατωνική) 13

14 σφαίρα των αφηρημένων αντικειμένων (Τουμάσης, 2000). Αντίθετα, ο Αριστοτέλης υποστήριζε ότι τα μαθηματικά αντικείμενα, όπως τα τρίγωνα και οι σφαίρες, είναι αφαιρέσεις με βάση την εμπειρία μας. Για παράδειγμα, από τις αλληλεπιδράσεις μας με διάφορα κατά προσέγγιση σφαιρικά αντικείμενα διαμορφώνουμε την έννοια μιας τέλειας σφαίρας, επικεντρωνόμαστε στην ιδιότητα της σφαιρικότητας αγνοώντας σκόπιμα τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα, όπως το μέγεθος, το βάρος και το υλικό. Αυτή η αφαιρετική διαδικασία μάς εξασφαλίζει τη γενικότητα των συμπερασμάτων μας. Έτσι, ακόμα και αν οι σφαίρες που αντιμετωπίζουμε στην εμπειρία μας δεν είναι τέλειες σφαίρες, τα συμπεράσματά μας ισχύουν στο μέτρο που αυτές προσεγγίζουν την έννοια της σφαιρικότητας (Κολέζα, 2006). Η διάσταση των απόψεων μεταξύ του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη είναι ένα πρώτο δείγμα αντιπαράθεσης μεταξύ των φιλοσοφικών θεωριών που δίνουν προτεραιότητα στις αφηρημένες έννοιες και σε εκείνες που δίνουν προτεραιότητα στην εμπειρία. Αυτή η αντιπαράθεση έχει αποτελέσει τη βάση για τη διάκριση μεταξύ ορθολογιστών και εμπειριστών φιλοσόφων της νεότερης εποχής (Κολέζα, 2006). Οι πρώτοι εκλαμβάνουν τα Μαθηματικά και τις έμφυτες ιδέες ως το «παράδειγμα» της γνώσης (the paradigm of knowledge), ενώ οι δεύτεροι θεωρούν βάση της γνώσης την εμπειρία. Σε κάποιες περιπτώσεις, βέβαια, τα σύνορα δεν είναι σαφή. Για παράδειγμα, ο φιλόσοφος John Locke δέχεται ικανότητες όπως τη σύγκριση, τη σύνθεση, την αφαίρεση και τον αναστοχασμό ως εσωτερικές λειτουργίες του νου. Αποδέχεται ότι η μαθηματική γνώση συνίσταται από βέβαιη γνώση ιδεών, αλλά υποστηρίζει ότι αυτές οι ιδέες πρέπει τελικά να αναπηδήσουν μέσα από την εμπειρία (Κολέζα, 2006). Η Επιστημολογία των Μαθηματικών έχει ως στόχο τη δικαιολόγηση των Μαθηματικών, δηλαδή την παροχή τεκμηρίων για να αποδείξει ότι τα Μαθηματικά είναι αληθή. Πράγματι, αποτελεί κοινή πεποίθηση μεταξύ των φιλοσόφων των Μαθηματικών, τουλάχιστον μέχρι τη δεκαετία του '60, ότι το επιστημολογικό πρόβλημα στη Φιλοσοφία των Μαθηματικών συνίσταται στην απόδειξη της θέσης ότι η μαθηματική γνώση είναι δυνατή με την παροχή μιας δικαιολόγησης των μαθηματικών πεποιθήσεών μας (Leder & Forgasz, 2006). Ένα παράδειγμα αυτού του είδους προσέγγισης είναι το είδος της δικαιολόγησης που ονομάζεται θεμελιωτισμός (foundationalism). Η κεντρική ιδέα συνίσταται στη θέση ότι όλες 14

15 οι μαθηματικές πεποιθήσεις μας μπορούν να δικαιολογηθούν από την άποψη ενός συνόλου πρώτων αρχών. Ο στόχος της Επιστημολογίας των Μαθηματικών είναι να διασφαλίσει το κύρος αυτών των πρώτων αρχών (ή θεμελίων) και να δείξει τον τρόπο με τον οποίο θα πραγματοποιηθεί η αναγκαία δικαιολόγησή τους. Αν και ο θεμελιωτισμός δεν αποτελεί πλέον την επικρατούσα αντίληψη στο χώρο της Φιλοσοφίας των Μαθηματικών, ωστόσο το επιστημολογικό πρόβλημα εξακολουθεί να κινεί το ενδιαφέρον: Πώς θεμελιώνονται τα Μαθηματικά ως επιστήμη; Τρία εναλλακτικά σενάρια θεμελίωσης των Μαθηματικών προτάθηκαν στη συνέχεια, ο λογικισμός, ο φορμαλισμός και ο ιντουισιονισμός τα οποία εντάσσονται στο κίνημα του απολυτισμού (απόλυτης άποψης για τη μαθηματική γνώση). Σύμφωνα με τον Ernest (1998) η απόλυτη άποψη για τη μαθηματική γνώση ισχυρίζεται ότι η μαθηματική γνώση αποτελείται από βέβαιες, αμετάβλητες και αιώνιες αλήθειες. Σύμφωνα με τη θεωρία αυτή, η μαθηματική γνώση είναι ένα σύνολο από απόλυτες αλήθειες και αντιπροσωπεύει τη μοναδική πηγή βέβαιης και αντικειμενικής γνώσης. Η επιχειρηματολογία που στηρίζει την άποψη αυτή βασίζεται στα εξής σημεία: αρχικά οι βασικές αρχικές προτάσεις που στηρίζουν τις αποδείξεις θεωρούνται αληθείς. Τα αξιώματα και οι ορισμοί είναι κι αυτοί αληθείς. Κατόπιν, οι λογικοί κανόνες εξαγωγής των συμπερασμάτων είναι αληθείς, αφού δεν επιτρέπουν να εξαχθούν ψευδείς προτάσεις από αληθείς. Με αυτή τη λογική και κάθε πρόταση που βασίζεται σε αληθείς προτάσεις και εξάγεται από σωστούς λογικούς κανόνες, θα είναι κι αυτή αληθής. Άρα η αλήθεια των θεωρημάτων είναι απολύτως βέβαιη (Τουμάσης, 2000). Οι προϋποθέσεις πάνω στις οποίες βασίζεται η άποψη για την απόλυτη μαθηματική γνώση είναι τριών τύπων: α) οι προϋποθέσεις των μαθηματικών που αφορούν τις παραδοχές για τα αξιώματα και τους ορισμούς, β) οι λογικές προϋποθέσεις που αφορούν τους κανόνες εξαγωγής συμπερασμάτων, την τυπική γλώσσα και τα συστατικά της και γ) οι προϋποθέσεις σχετικά με τη λογική παραγωγής των συμπερασμάτων, αν μπορούν δηλαδή να παραχθούν όλες οι αλήθειες από το σύστημα (Ernest, 1998). Η απόλυτη άποψη για τις μαθηματικές αλήθειες στις αρχές του 20 ου αιώνα συνάντησε πολλά προβλήματα σχετικά με τις προϋποθέσεις και τα κριτήρια επιλογής των αξιωμάτων, γιατί εμφανίστηκαν ένα πλήθος από αντιφάσεις και αντινομίες στη μαθηματική γνώση (Wilder, 1965; Kline, 1980, βλ. Τουμάσης, 15

16 2000). Ειδικότερα, σύμφωνα με τον Ernest (1998) ο λογικισμός, υποστήριξε ότι όλες οι μαθηματικές έννοιες είναι δυνατόν να αναχθούν σε αφηρημένες ιδιότητες, που έχουν τη δυνατότητα να παραχθούν μέσω λογικών αρχών. Κύριοι εκφραστές ήταν οι Russell και Whitehead. Ο σκοπός του λογικισμού ήταν να αποδειχθεί ότι τα κλασικά Μαθηματικά είναι μέρος της Λογικής. Η Λογική από απλό εργαλείο των μαθηματικών μετατρέπεται σε πρόγονο των μαθηματικών. Όλες οι μαθηματικές έννοιες έπρεπε να διατυπωθούν με τη βοήθεια λογικών εννοιών και όλα τα θεωρήματα έπρεπε να αναπτυχθούν ως θεωρήματα της λογικής. Το γενικό σχέδιο ήταν να διατυπωθεί ένας ορισμός της έννοιας του αριθμού και έπειτα να χρησιμοποιηθεί αυτό ως βάση για να συναχθούν οι μαθηματικές αλήθειες από τα καθαρώς λογικά αξιώματα (Κολέζα, 2006). Όμως, τα μαθηματικά απαιτούν και μη λογικά αξιώματα, όπως το αξίωμα του απείρου ή το αξίωμα της επιλογής (Τουμάσης, 2000). Έτσι, είναι δυνατόν να διατυπωθεί η άποψη ότι η προσπάθεια των λογικιστών αρχικά απέτυχε γιατί η λογική από μόνη της δεν μπορεί να προσφέρει στέρεα θεμέλια για τη μαθηματική γνώση. Ο φορμαλισμός, ως φιλοσοφικό ρεύμα, εμφανίστηκε περίπου το 1910 από το Γερμανό μαθηματικό David Hilbert. Οι φορμαλιστές συμμερίζονται την άποψη των λογικιστών ότι η Λογική είναι απαραίτητη για τη θεμελίωση των Μαθηματικών, ωστόσο υποστηρίζουν ότι η μαθηματική γνώση αποκτάται μέσω του χειρισμού (με βάση ορισμένους κανόνες και τύπους) των συμβόλων των οποίων η κατανόηση πρέπει να προηγηθεί (Κολέζα, 2006). Τα μαθηματικά θεωρούνται ως μια συλλογή από αφηρημένα συστήματα, στα οποία οι όροι είναι απλά σύμβολα και οι προτάσεις είναι τύποι που περιέχουν τα σύμβολα αυτά. Η θεμελιώδης βάση για τα μαθηματικά βρίσκεται σε μια συλλογή προ-λογικών σημείων ή συμβόλων και σε ένα σύνολο από πράξεις που συνδέουν τα σύμβολα αυτά (Τουμάσης, 2000). Η βασική θέση των φορμαλιστών περιλαμβάνει δύο κύριους ισχυρισμούς: α) τα καθαρά μαθηματικά είναι δυνατό να εκφραστούν ως τυπικά συστήματα χωρίς καμία ερμηνεία στα οποία οι αλήθειες των μαθηματικών αντιπροσωπεύονται από τυπικά θεωρήματα και β) η σιγουριά αυτών των τυπικών συστημάτων είναι δυνατό να καταδειχτεί με βάση την απαλλαγή τους από την ασυνέπεια με τη βοήθεια των μετα-μαθηματικών (Ernest, 1998). Η μέθοδος αυτή της πλήρους τυποποίησης θα κατέληγε σε μια αλυσίδα από σύμβολα άνευ περιεχομένου και ο χειρισμός τους θα ακολουθούσε μόνο τους τυπικούς κανόνες εξαγωγής 16

17 συμπερασμάτων. Η αυστηρή αυτή φορμαλιστική μέθοδος κατέληξε στην ολική αφαίρεση του περιεχομένου των μαθηματικών εννοιών (Τουμάσης, 2000). Επίσης τα θεωρήματα του Kurt Godel περί μη πληρότητας απέδειξαν ότι η τυποποίηση μιας θεωρίας δε διασφαλίζει ούτε την συνέπεια ούτε την πληρότητά της (Nagel & Newman, 1973, βλ. Τουμάσης, 2000). Ο λογικισμός και ο φορμαλισμός προσπάθησαν να εξαγοράσουν τη βεβαιότητα και την αξιοπιστία των Μαθηματικών πληρώνοντας ένα αντίτιμο. Ο λογικισμός προσπάθησε να καταστήσει τα Μαθηματικά ασφαλή μετατρέποντάς τα σε ταυτολογία, ενώ ο φορμαλισμός, επιδιώκοντας το ίδιο αποτέλεσμα, τα μετέτρεψε σε ένα παιχνίδι χωρίς νόημα (Κολέζα, 2006). Ο ιντουισιονισμός (ενορατισμός) με ιδρυτή τον L.E.J. Brouwer, εντάσσεται στις κατασκευαστικές θεωρίες της φιλοσοφίας των Μαθηματικών. Η κατασκευαστική αντίληψη απαιτεί από τα Μαθηματικά κάποια μορφή σαφήνειας σχετικά με τα αντικείμενα που μελετώνται. Πρέπει να αναπαρίστανται σαφώς, να είναι ρητά προσδιορισμένα και επιδεκτικά διερεύνησης ως νοητικές κατασκευές (Κολέζα, 2006). Οι ιντουισιονιστές αντιμετώπισαν τα παράδοξα (με την έννοια των αντιφάσεων) ως σαφείς ενδείξεις ότι τα κλασικά Μαθηματικά είναι κάθε άλλο παρά ιδανικά. Θεώρησαν ότι τα Μαθηματικά έπρεπε να επανοικοδομηθούν ξεκινώντας από τη βάση. Οι ιντουισιονιστές φιλοδοξούσαν να ανακατασκευάσουν τη μαθηματική γνώση, να ανασκευάσουν τη μαθηματική πρακτική για να τη διασώσουν από την έλλειψη περιεχομένου και να την προφυλάξουν από αντιφάσεις. Γι αυτό το λόγο οι ιντουισιονιστές απορρίπτουν τα μη κατασκευαστικά επιχειρήματα και το λογικό νόμο της αποκλίσεως τρίτου. Ισχυρίζονται ότι οι μαθηματικές αλήθειες και η ύπαρξη των μαθηματικών αντικειμένων πρέπει να διατυπωθούν με κατασκευαστικές μεθόδους. Αυτό σημαίνει ότι ορισμένες αποδεικτικές μέθοδοι δε γίνονται αποδεκτές από τους ιντουισιονιστές όπως είναι η απαγωγή σε άτοπο (Ernest, 1998). Πιστεύουν, δηλαδή, ότι τα μαθηματικά και η μαθηματική γλώσσα είναι δύο χωριστές οντότητες, ενώ τα μαθηματικά είναι μια μη γλωσσική δραστηριότητα του νου. Η μόνη κύρια πηγή μαθηματικής γνώσης είναι η διαίσθηση που προηγείται κάθε είδους λογικής και εξαιτίας της αναγνωρίζουμε βασικές έννοιες και προτάσεις ως αυτοπροφανείς (Τουμάσης, 2000). Σύμφωνα με τους Davis & Hersh (1981) η άποψη του Hilbert για τους ιντουισιονιστές είναι ότι προσπαθούν να θεμελιώσουν τα μαθηματικά εγκαταλείποντας όσα από αυτά είναι ενοχλητικά, πετσοκόβοντας και ακρωτηριάζοντάς τα. 17

18 Σε αυτό το πλαίσιο ο Lakatos (1976 a,b) (βλ. Ernest, 1998) ανέπτυξε τον ημιεμπειρικισμό ως φιλοσοφία των μαθηματικών. Θεωρεί δηλαδή ότι τα μαθηματικά είναι ότι κάνουν ή έχουν κάνει οι μαθηματικοί, με όλες τις ατέλειες που υπεισέρχονται σε κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα ή δημιουργία. Ο ημιεμπειρικισμός δίνει προτεραιότητα στη μαθηματική πρακτική (Davis & Hersh, 1981, βλ. Τουμάσης, 2000). Σύμφωνα με τον ημιεμπειρικισμό τα μαθηματικά είναι ένας διάλογος μεταξύ των ανθρώπων που προσπαθούν να λύσουν μαθηματικά προβλήματα. Σύμφωνα με τον Ernest (1998) οι βασικές θέσεις των ημιεμπειρικιστών είναι οι εξής: α) Η μαθηματική γνώση είναι επισφαλής. Δεν υπάρχει μια βάση πάνω στην οποία θα στηριχθεί η απόλυτη βεβαιότητα στα μαθηματικά. β) Τα μαθηματικά είναι ένα υποθετικό παραγωγικό σύστημα. Δίνεται έμφαση στον τρόπο με τον οποίο ανακατασκευάζονται οι αρχικές υποθέσεις και εικασίες του προβλήματος εξαιτίας κάποιων αντιπαραδειγμάτων. Η απόδειξη κατά τον Lakatos σημαίνει εξηγήσεις, αιτιολογήσεις και επεξεργασίες που κάνουν την εικασία πιο πειστική κάτω από την πίεση των αντιπαραδειγμάτων. γ) Η ιστορία έχει κεντρικό ρόλο. Το επιστημολογικό έργο της φιλοσοφίας των μαθηματικών είναι να ερμηνεύσει τη μαθηματική γνώση που υπάρχει. δ) Τα μη τυπικά μαθηματικά έχουν το προβάδισμα. Είναι η πηγή όλων των τυποποιημένων μαθηματικών. ε) Κεντρικό ενδιαφέρον της φιλοσοφίας των μαθηματικών αποτελεί η λογική της μαθηματικής ανακάλυψης η οποία διαμορφώνει το μηχανισμό για τη γέννηση της μαθηματικής γνώσης. Τα στάδια που ακολουθεί ο ημιεμπειρικισμός για την απόδειξη είναι τα εξής (Τουμάσης, 2000): α) έχουμε την αρχική εικασία, β) γίνεται η απόδειξη που έχει ως σκοπό να αναλύσει την εικασία σε υποεικασίες, γ) αναζήτηση και εμφάνιση αντιπαραδειγμάτων στην αρχική εικασία και δ) η απόδειξη επανεξετάζεται. Η προβληματική υποεικασία τοποθετείται ως επιπλέον συνθήκη στην αρχική εικασία και η βελτιωμένη εικασία αντικαθιστά την αρχική. 1.4 Σύνοψη-Συζήτηση Συνοψίζοντας, θα λέγαμε ότι η φύση των Μαθηματικών καλύπτει διάφορες και πολλαπλές παραδοχές γύρω από την οντολογική και επιστημολογική οντότητά τους. Από τον Πλάτωνα 18

19 και τον Αριστοτέλη, μέχρι τις σύγχρονες φιλοσοφικές θεωρίες τα Μαθηματικά διχάζουν τους υποστηριχτές ή μη υποστηριχτές τους. O Lakatos(1976) προσπάθησε να ενοποιήσει τις θεωρίες που αναπτύχθηκαν στις αρχές του 20 ου αιώνα και να καλύψει τα όποια ελαττώματα είχε η κάθε μία. Έτσι σήμερα το επικρατούν ρεύμα είναι ο ημιεμπειρικισμός. Ωστόσο, έμφυτα ή εμπειρικά, διαψεύσιμα ή μη, αντικειμενικά ή υποκειμενικά, κανείς δεν μπορεί να αμφισβητήσει την ομορφιά τους. 19

20 Κεφάλαιο 2: Στάσεις και πεποιθήσεις των εκπαιδευτικών 2.1 Περίληψη Στο κεφάλαιο αυτό θα γίνει μια ανασκόπηση στη βιβλιογραφία σχετικά με τους διάφορους ορισμούς των στάσεων και επιστημολογικών πεποιθήσεων. Επίσης θα δούμε τι έρευνες έχουν πραγματοποιηθεί σε διεθνές επίπεδο και τι αποτελέσματα αναδείχθηκαν σε σχέση με τις στάσεις, τα αίτιά τους και τις πεποιθήσεις των μελλοντικών δασκάλων. Θα εξετάσουμε τα σχέση μεταξύ των επιστημολογικών πεποιθήσεων και της Διδακτικής των Μαθηματικών, μια σχέση που στηρίζει και το διεπιστημονικό χαρακτήρα της εργασίας. Τέλος αναλύονται τα ερευνητικά ερωτήματα και ποιος είναι ο σκοπός της έρευνας και η πρωτοτυπία της. 2.2 Εισαγωγή Κατά τη μάθηση των Μαθηματικών εμπλέκονται γνωσιολογικοί, συναισθηματικοί και κοινωνικο-περιβαλλοντικοί παράγοντες. Η εστίαση μόνο σε ένα από αυτούς τους παράγοντες περιορίζει την πρόσβαση του δασκάλου σε ουσιαστικούς παράγοντες που επηρεάζουν τη μάθηση. Στο συναισθηματικό τομέα εμφανίζονται έννοιες όπως οι στάσεις και οι πεποιθήσεις για τα Μαθηματικά. Ο συναισθηματικός τομέας είναι ένα πολύπλοκο δομικά σύστημα που περιλαμβάνει πολλές διαστάσεις (Goldin, 2003, βλ. Leder & Forgasz, 2006). Ο Goldin (2003) το περιγράφει σαν ένα σύνολο λεπτών λειτουργικών διαφορών: α) συναισθήματα τα οποία είναι ταχύτατα εναλλασσόμενες καταστάσεις αισθημάτων, β) στάσεις που είναι σχετικά σταθερές προδιαθέσεις ως προς τις συναισθηματικές καταστάσεις, γ) πεποιθήσεις που είναι εσωτερικές αναπαραστάσεις σχετικά με το πώς ο κάτοχός τους αποδίδει την αλήθεια, την εγκυρότητα ή την εφαρμοστότητα και είναι συνήθως σταθερές και δ) αξίες και ηθική που είναι βαθύτατες ιδιότητες που χαρακτηρίζουν το άτομο και μπορούν να είναι ιδιαίτερα δομημένες. Οι Petty et al. (2001) όρισαν τον συναισθηματικό τομέα ως εξής, ότι περικλείει ένα μεγάλο μέρος των εμπειριών που αναφέρονται ως συναισθήματα και διαθέσεις, από τα οποία τα συναισθήματα 20

21 λογίζονται ως συγκεκριμένα και μικρής διάρκειας εσωτερική συναισθηματική κατάσταση, ενώ οι διαθέσεις είναι πιο γενικές και διαρκείς συναισθηματικές καταστάσεις. Ο συναισθηματικός τομέας καλύπτει ένα μεγάλο μέρος εννοιών και φαινομένων που περιλαμβάνουν αισθήματα, συναισθήματα, διαθέσεις, κίνητρα και ορισμένα ένστικτα (Corsini, 1984, βλ. Leder & Forgasz, 2006 ). Ο McLeod (1992, 1994) (βλ. Leder & Forgasz, 2006) συγκεντρώνει τα ευρήματά του μέσα από έρευνες 25 ετών και ονομάζει τις παραπάνω διατυπώσεις «στάσεις», «πεποιθήσεις» και «συναισθηματικές αντιδράσεις». Επίσης ορισμοί έχουν δοθεί από πολύ παλιά όπως στάση είναι ο βαθμός του θετικού ή αρνητικού συναισθήματος που έχει σχέση με ένα ψυχολογικό αντικείμενο (Edwards, 1957, βλ. Leder & Forgasz, 2006) και ότι οι στάσεις αφορούν με το τι οι άνθρωποι σκέφτονται αισθάνονται και το πώς αντιδρούν απέναντι σε ένα αντικείμενο (Triantis, 1971, βλ. Leder & Forgasz, 2006). Επίσης ο Forgas (2001) αναφέρει ότι η στάση βασίζεται σε ένα συνδυασμό συναισθήματος, γνώσης και τάσης συμπεριφοράς απέναντι στο εκάστοτε αντικείμενο. Σύμφωνα με τους Φιλίππου & Χρίστου (2001), με τον όρο στάσεις εννοούμε τις τάσεις του υποκειμένου να ανταποκρίνεται με ομοιόμορφο τρόπο σε συγκεκριμένα γεγονότα, άτομα ή μαθήματα. Πρόκειται για μόνιμες τάσεις ή μοτίβα, συναισθηματικά φορτισμένης αντίδρασης του υποκειμένου σε μια κατάσταση που εμπεριέχει γνωστικούς και συναισθηματικούς παράγοντες. Οι στάσεις περιέχουν το στοιχείο υποκειμενικής αντίληψης και αξιολόγησης βασικών παραμέτρων της κατάστασης που εξετάζεται και καθορίζουν τη συμπεριφορά του ατόμου. Βασική προέλευση των στάσεων είναι οι προηγούμενες εμπειρίες, θετικές ή αρνητικές, που διαμορφώνουν τα συναισθήματα του ατόμου. Οι επιστημολογικές πεποιθήσεις ενός ατόμου ορίζονται ως οι πεποιθήσεις που έχουν σχέση με τη φύση της γνώσης και με τη διαδικασία απόκτησης της γνώσης (Hofer & Pintrich, 1997; Rott & Leuders, 2016; Schommer, 1990). Σχετίζονται με το πώς οι άνθρωποι μαθαίνουν και πώς οι ατομικές τους πεποιθήσεις επηρεάζουν τη γνωστική διαδικασία. Άλλοι ερευνητές τις ορίζουν ως τις πεποιθήσεις σχετικά με τη φύση της γνώσης και την απόκτησή της (Chan, & Elliot, 2004). Αναφορές σχετικά με τον ορισμό των επιστημολογικών πεποιθήσεων βρίσκουμε και στη μελέτη των Chan, & Elliot (2004). Ορίζουν τις επιστημολογικές πεποιθήσεις ως ένα συγκεκριμένο τύπο πεποιθήσεων που περιλαμβάνεται στο γενικότερο σύστημα πεποιθήσεων του ατόμου. 21

22 Σύμφωνα με τους Φιλίππου & Χρίστου (2001), οι πεποιθήσεις ενός ατόμου ορίζονται ως οι υποκειμενικές του γνώσεις, θεωρίες και αντιλήψεις. Οι λόγοι που ένα άτομο καταλήγει σε μια πεποίθηση είναι υποκειμενικοί και υποσυνείδητοι και διαμορφώνεται με βάση τις εμπειρίες του, το σύστημα αξιών του και τη φιλοσοφία του. Επειδή βασίζονται σε δεδομένα από τη ζωή του ατόμου, μπορούν να θεωρηθούν ως συμπεράσματα εν μέρει λογικά, αλλά έχουν και συναισθηματική συνιστώσα και δεν επιδέχονται πλήρη αντικειμενική αιτιολόγηση ή απόδειξη. Ο Philipp (2007) τις ορίζει σαν ψυχολογικές κατανοήσεις, εγκαταστάσεις και προτάσεις για τον κόσμο που θεωρεί το άτομο σαν αληθινές. Η σημασιολογική διαφορά ανάμεσα στις πεποιθήσεις και τις γνώσεις είναι ότι οι πεποιθήσεις είναι υποκειμενικές απόψεις οι οποίες είναι αμφισβητήσιμες και διαφοροποιήσιμες, ενώ οι γνώσεις εμπεριέχουν αντικειμενικότητα και υπάρχουν κριτήρια που τις ελέγχουν και τις επαληθεύουν. Το άτομο που διατυπώνει μια πεποίθηση δεν έχει την υποχρέωση να την τεκμηριώσει αλλά αρκείται σε κάποια αόριστη εξήγηση ή αιτιολόγηση (Φιλίππου & Χρίστου, 2001). 2.3 Θεωρητικές προσεγγίσεις για τη διαμόρφωση των στάσεων Όταν ο μαθητής αρχίζει να ασχολείται με την οικοδόμηση των μαθηματικών εννοιών, έχει ήδη διαμορφωμένο ένα σύνολο πεποιθήσεων και στάσεων για το τι είναι και τι σημαίνει να κάνει μαθηματικά, το οποίο διαμορφώνει τις συνθήκες μέσα στις οποίες εργάζεται (Cobb, Yackel &Wood, 1989; Hart & Walker, 1993 βλ. Φιλίππου & Χρίστου, 2001). Το σύνολο αυτό διαμορφώθηκε με την ήδη υπάρχουσα εμπειρία του παιδιού μέσα στο περιβάλλον που ζει. Στη συνέχεια τα συναισθήματα του παιδιού διαμορφώνονται σε αλληλεπίδραση λογικής και γνωσιολογικών παραγόντων. Υπάρχουν τρεις ερμηνευτικές δυνατότητες: α) Αλληλεπίδραση λογικής συναισθημάτων. Στη διάρκεια των μαθηματικών δραστηριοτήτων οι μαθητές χρησιμοποιούν υπάρχοντα γνωστικά σχήματα και τη λογική τους. Αυτό επηρεάζει τα συναισθήματα του μαθητή και η θετική ή αρνητική ανατροφοδότηση δημιουργεί θετικά ή αρνητικά συναισθήματα (Buxton, 1981, βλ. Φιλίππου & Χρίστου, 2001). β) Υφιστάμενες εμπειρίες. Πολλές φορές ο μαθητής δεν αντιμετωπίζει ένα πρόβλημα για πρώτη φορά, αλλά έχει προηγούμενες εμπειρίες και γνώσεις οι οποίες παίζουν καθοριστικό ρόλο αν είναι συναισθηματικά φορτισμένες. Αν υπάρχει αρνητική προδιάθεση, ο μαθητής δεν 22

23 δοκιμάζει τις μαθηματικές δραστηριότητες με αποτέλεσμα να παρεμποδίζεται η λειτουργία της λογικής (Buxton, 1981 βλ. Φιλίππου & Χρίστου, 2001). γ) Η επίδραση του δασκάλου. Το μάθημα ταυτίζεται συχνά με το διδάσκοντα, με αποτέλεσμα ο βαθμός αποδοχής ή απόρριψης της συμπεριφοράς του δασκάλου να διαμορφώνει καθοριστικά τις στάσεις των μαθητών. Ο δάσκαλος με όλη του τη συμπεριφορά και δράση παρεμβαίνει τόσο στα συναισθήματα όσο και στη λογική των μαθητών (Nimier, 1988, βλ. Φιλίππου & Χρίστου, 2001). Αφετηρία για τη δημιουργία συναισθημάτων είναι ο τρόπος αντίληψης και ερμηνείας των καταστάσεων από το άτομο. Δηλαδή αν ένα άτομο αντιλαμβάνεται μια κατάσταση με ένα συγκεκριμένο τρόπο τότε υπάρχουν οι συνθήκες για να αναπτύξει ένα συναίσθημα αντίστοιχης μορφής. Επίσης αναφέρουν ότι μια πλήρης ανάλυση των συναισθημάτων πρέπει να διεισδύει σε θέματα πολύ πέρα από τη διάκριση σε θετικές και αρνητικές στάσεις (Ortony et al., 1988, βλ. Di Martino & Zan, 2001). Ο Madler (1989) υποστηρίζει ότι αρκετοί θεωρητικοί της γνωστικής ψυχολογίας δίνουν την εντύπωση ότι τα ανθρώπινα όντα δεν έχουν συναισθήματα, ότι σκέφτονται και ενεργούν μόνο με την ψυχρή λογική. Αναφέρεται και στις δύο θεωρίες για τα συναισθηματικά φαινόμενα: τη θεωρία των βασικών συναισθημάτων και τη θεωρία του γνωστικού οικοδομισμού. Η πρώτη υποστηρίζει ότι τα συναισθήματα είναι συγκεκριμένα μοτίβα συμπεριφοράς, εμπειρίας και λειτουργίας του νευρικού συστήματος ενώ η δεύτερη θεωρεί ότι τα συναισθήματα είναι αποτέλεσμα της γνωστικής ανάλυσης και φυσιολογικής ανταπόκρισης σε πραγματικές εμπειρίες του υποκειμένου. Η πρόταση του Madler (1984, 1989) στοχεύει στην ερμηνεία της δημιουργίας των συναισθημάτων που αναπτύσσονται κατά τη διδασκαλία μάθηση των μαθηματικών. Σύμφωνα με τη θεωρία αυτοί οι συναισθηματικοί παράγοντες προέρχονται από την ανταπόκριση σε διακοπτόμενα σχέδια ή σχεδιαζόμενες ενέργειες. Οι σχεδιασμοί αυτοί καθορίζονται από τους στόχους τους οποίους το υποκείμενο θέλει να υλοποιήσει. Αν η προβλεπόμενη σειρά ενεργειών δεν συμπληρωθεί για κάποιο λόγο, τότε δημιουργείται μια συναισθηματική ανισορροπία ή φόρτιση που προκαλεί την αντίδραση του υποκειμένου. Η ένταση του συναισθήματος που προκαλείται από τη διακοπή της πορείας σχετίζεται με το βαθμό οργάνωσης της νοητικής δραστηριότητας του ατόμου. Η ανάλυση της νοητικής δραστηριότητας εξαρτάται από τρείς μεταβλητές: α) τις υπάρχουσες γνώσεις και πεποιθήσεις, 23

24 β) το βαθμό έξαψης που εμφανίζεται κατά τη διακοπή και οδηγεί στα συναισθήματα που είναι συνήθως περιορισμένης διάρκειας αλλά ουσιώδους σημασίας και γ) το πλήθος και τη συχνότητα των επεισοδίων που με την πάροδο του χρόνου προκαλούν λιγότερη έξαψη και απογοήτευση με συνέπεια η αντίδραση του ατόμου να είναι αυτόματη και της αποδίδεται ο όρος «στάση». Ειδικότερα ως προς τα Μαθηματικά υπάρχουν πολλές συνιστώσες των στάσεων όπως ως προς τη δυσκολία των Μαθηματικών, ως προς τη σημασία ή χρησιμότητά τους και ως προς την απόλαυση από την ενασχόληση με τα μαθηματικά. Οι στάσεις φαίνεται να διαδραματίζουν σημαντικό ρόλο στην κατανόηση της συμπεριφοράς των μαθητών, αφού οι θετικές στάσεις συνδέονται με υψηλές επιδόσεις στα μαθηματικά (Hart, 1989; Schoenfeld, 1982). Οι στάσεις των μαθητών δε φαίνεται να διατηρούνται στο ίδιο επίπεδο καθώς προχωρούν από το δημοτικό στο γυμνάσιο. Πολλοί λιγότεροι μαθητές στο γυμνάσιο είχαν θετικές στάσεις για τα Μαθηματικά σε σχέση με του δημοτικού και ειδικότερα σε ότι αφορά την απόλαυση από τα Μαθηματικά (Φιλίππου, 1992). Αυτό δεν είναι άσχετο με τη διδασκαλία των μαθηματικών. Οι δάσκαλοι μπορούν να βοηθήσουν τους μαθητές να αποκτήσουν θετικές στάσεις για τα Μαθηματικά, όταν 1) δείχνουν ενθουσιασμό και απολαμβάνουν οι ίδιοι την εργασία στα μαθηματικά, 2) χρησιμοποιούν εποπτικά μέσα και ενεργητικούς τρόπους προσέγγισης των μαθηματικών εννοιών, 3) πείθουν τους μαθητές για τη σημασία των Μαθηματικών, 4) προετοιμάζουν δραστηριότητες στις οποίες οι μαθητές μπορούν να επιτύχουν, 5) αξιολογούν συχνά τις στάσεις των μαθητών και κάνουν βελτιώσεις στη διδασκαλία (Renga & Dalla, 1992). 2.4 Θεωρητικές προσεγγίσεις για τις επιστημολογικές πεποιθήσεις Η σημασία των πεποιθήσεων πηγάζει από το γεγονός ότι επηρεάζουν άμεσα τη συμπεριφορά του ατόμου. Τα άτομα με κριτική διάθεση αξιολογούν τα νέα στοιχεία σε αντιπαραβολή με τις υφιστάμενες γνώσεις και τα ελέγχουν λογικά με ευέλικτο και ανοικτό πνεύμα. Οι επιστημολογικές πεποιθήσεις θεωρούνται ένας σημαντικός εκπαιδευτικός στόχος γιατί έχουν σχέση με το πώς ένα άτομο αξιολογεί τη γνώση σε σχέση με την αξιοπιστία της (Bromme et 24

25 al, 2008). Ο Mandler (1989) αναφέρει ότι οι πεποιθήσεις του ατόμου είναι σχετικά παγιωμένες καταστάσεις. Όπως αναφέρουν οι Buelens et al. (2002) οι επιστημολογικές πεποιθήσεις του δασκάλου επηρεάζουν τις πεποιθήσεις των μαθητών. Επίσης ο Pehkonen (1991) (βλ. Φιλίππου & Χρίστου, 2001) αναφέρει ότι οι πεποιθήσεις των μαθητών αποτελούν σημαντικό παράγοντα για τον τρόπο με τον οποίο οι μαθητές ενεργούν και σκέφτονται στα μαθηματικά. Οι πεποιθήσεις διαδραματίζουν σημαντικό ρόλο στην επίδοση στα μαθηματικά αφού επηρεάζουν τον τρόπο με τον οποίο μαθαίνουμε και χρησιμοποιούμε τα μαθηματικά (Gomez Chacon, 2000). Σύμφωνα με τη Schommer (1990) (βλ. Δημητρουλάκη, 2009) οι επιστημολογικές πεποιθήσεις είναι ένα πολυδιάστατο σύστημα περισσότερο ή λιγότερο εκλεπτυσμένων πεποιθήσεων. Οι διαστάσεις του συστήματος των πεποιθήσεων συνοψίζονται στα εξής: α) Βεβαιότητα της γνώσης, που εκτείνεται από την άποψη ότι η γνώση είναι αμετάβλητη, μέχρι την άποψη ότι η γνώση εξελίσσεται, β) Πηγή της γνώσης, που εκτείνεται από την άποψη ότι η γνώση κατέχεται από τις αυθεντίες μέχρι την άποψη ότι η γνώση αποκτάται μέσω της αιτιολόγησης και της λογικής, γ) Δομή της γνώσης που εκτείνεται από την άποψη πως η γνώση είναι οργανωμένη με τη μορφή απομονωμένων κομματιών, μέχρι την άποψη ότι η γνώση είναι οργανωμένη ως έννοιες με υψηλού επιπέδου διασυνδέσεις, δ) Έλεγχος απόκτησης της γνώσης, που εκτείνεται από την άποψη ότι η ικανότητα μάθησης είναι έμφυτη και αμετάβλητη, μέχρι την άποψη πως η ικανότητα μάθησης μπορεί αν βελτιωθεί με την πάροδο του χρόνου, ε) Ταχύτητα απόκτησης της γνώσης, που εκτείνεται από την άποψη ότι η μάθηση συμβαίνει γρήγορα ή καθόλου, μέχρι την άποψη πως η μάθηση γίνεται σταδιακά. Μια ειδική κατηγορία πεποιθήσεων είναι οι αντιλήψεις οι οποίες περιέχουν σε αυξημένο βαθμό το στοιχείο της υποκειμενικής αξιολόγησης ενός αντικειμένου ή μιας κατάστασης. Σε ότι αφορά τις πεποιθήσεις του δασκάλου, το ενδιαφέρον εστιάζεται στο ρόλο που παίζουν οι αντιλήψεις του για τα μαθηματικά ως γνωστικό αντικείμενο και σχετίζονται με την οντολογική φύση τους, τι είναι και πως αναπτύσσονται και θεωρούνται ότι αποτελούνται από το σύνολο συνειδητών και υποσυνειδήτων εννοιών, κανόνων, αναπαραστάσεων, αλγορίθμων και εμπειριών που έχουν άμεση ή έμμεση σχέση με τα μαθηματικά. Με βάση τη δομή τους μπορούν να ενταχθούν σε τρείς κατηγορίες σύμφωνα με τον Ernest, (1989): 25

26 α) στη Δυναμική θεώρηση, σύμφωνα με την οποία τα μαθηματικά είναι μια διαρκώς αναπτυσσόμενη δημιουργία, διερεύνηση και ανακάλυψη νέας γνώσης, β) στη Στατική θεώρηση, η οποία δέχεται ότι τα μαθηματικά είναι ένα ενιαίο σώμα γνώσεων, γεγονότων και δομών συνδεδεμένων με τους ιστούς της λογικής τα οποία προϋπάρχουν και περιμένουν να τα ανακαλύψουμε και γ) στην Εργαλειακή άποψη, σύμφωνα με την οποία τα μαθηματικά είναι ένα συγκροτημένο σύνολο συσσωρευμένων γεγονότων, κανόνων και δεξιοτήτων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν από τον καταρτισμένο ειδικό για την επίτευξη πρακτικών στόχων. Οι πεποιθήσεις για τη φύση της μαθηματικής γνώσης σύμφωνα με τον Hersh, (1986) (βλ. Φιλίππου & Χρίστου, 2001), συνοψίζονται στα παρακάτω: α) τα μαθηματικά αντικείμενα είναι αποτέλεσμα της ανθρώπινης δραστηριότητας. Εφευρίσκονται ή κατασκευάζονται από τον άνθρωπο και δεν ανακαλύπτονται, β) η κατασκευή των Μαθηματικών προκύπτει από την ενασχόληση με τα ήδη υπάρχοντα μαθηματικά για την εξυπηρέτηση αναγκών και γ) από τη στιγμή της κατασκευής τους τα μαθηματικά αντικείμενα έχουν ιδιότητες καλά προσδιορισμένες οι οποίες υπάρχουν ανεξάρτητα του αν εμείς τις γνωρίζουμε ή όχι. Σύμφωνα με έρευνες οι πεποιθήσεις των μαθητών για τη χρησιμότητα των μαθηματικών μπορούν να επεξηγήσουν κατά μεγάλο μέρος τη διασπορά στην επίδοση στα μαθηματικά και της μαθηματικοφοβίας (Hart & Walker, 1993, βλ. Φιλίππου & Χρίστου, 2001). Η φοβία για τα Μαθηματικά έχει σα βασική αιτία την πεποίθηση των μαθητών ότι δεν μπορούν να βελτιώσουν τα αποτελέσματά τους στα μαθηματικά. Η εντύπωση αυτή επηρεάζει όχι μόνο το γνωστικό τομέα αλλά και το συναισθηματικό, δημιουργώντας μια αντιπάθεια με επακόλουθο την έλλειψη κινήτρων και ενδιαφέροντος. Πέρα όμως από τη θεωρία του Madler (βλ. Φιλίππου & Χρίστου, 2001) που δίνει περισσότερη σημασία στη φύση των μαθηματικών ως παράγοντας δυσκολίας των μαθητών, η Baxton (1981) (βλ. Φιλίππου & Χρίστου, 2001) υποστηρίζει ότι πηγές επηρεασμού των πεποιθήσεων των μαθητών είναι οι επιδράσεις του ίδιου του δασκάλου και η ατμόσφαιρα της τάξης. 2.5 Έρευνες για τις στάσεις και πεποιθήσεις των εκπαιδευτικών Το επίπεδο αυτονομίας και αυτάρκειας του δασκάλου αναλύθηκε από τον Ernest (1989) με 26

27 βάση τα νοητικά σχήματα του δασκάλου και το κοινωνικό περιβάλλον. Τα νοητικά σχήματα αναφέρονται στο σύνολο των γνώσεων και ιδιαίτερα στις πεποιθήσεις του δασκάλου αναφορικά με τα μαθηματικά. Το κοινωνικό περιβάλλον περιλαμβάνει την ευρύτερη κουλτούρα και τις αξίες της κοινωνίας μέσα στην οποία πραγματοποιείται η εκπαιδευτική πράξη και ιδιαίτερα τις προσδοκίες από το εκπαιδευτικό σύστημα, τα μέσα και τις δυνατότητες που προσφέρονται και τους περιορισμούς που επιβάλλονται σε σχέση με το επίπεδο δράσης και αναστοχασμού του δασκάλου. Ο πρώτος παράγοντας έχει άμεση σχέση με το συναισθηματικό τομέα στον οποίο εντάσσονται τα συναισθήματα, οι στάσεις και οι πεποιθήσεις, που διαφέρουν από τον καθαρά γνωσιολογικό τομέα, χωρίς όμως να σημαίνει ότι είναι ανεξάρτητες από το γνωστικό στοιχείο. Οι πεποιθήσεις είναι αποτέλεσμα κυρίως γνώσης και εμπειρίας, οικοδομούνται σταδιακά και έχουν σχετική μονιμότητα, ενώ οι στάσεις είναι αποτέλεσμα γνωστικών και συναισθηματικών παραγόντων και μπορούν να αλλάξουν ευκολότερα (Ernest, 1989). Οι γνωστικοί παράγοντες σε συνδυασμό με τις συγκινησιακές αντιδράσεις επηρεάζουν και τις στάσεις του μαθητή προς τη δυσκολία των μαθηματικών ή την απόλαυση από την ενασχόληση, οι οποίες έστω και δύσκολα μπορούν να μεταβληθούν (Φιλίππου & Χρίστου, 2001). Η αρνητική στάση για τα μαθηματικά, που εμφανίζεται κυρίως στην ηλικία των 9 έως 11 ετών, είναι πολύ δύσκολο να αλλάξει και είναι πιθανό να υπάρχει και μέχρι την ενήλικη ζωή, γιατί από τη στιγμή που εμφανίζεται, κρατάει το μαθητή πολύ πίσω στη γνωστική διαδικασία, αφού εμποδίζει την ανάπτυξη της γνωστικής του ικανότητας (Σκουμπουρδή, 2005). Σχετικά με τις αρνητικές στάσεις σύμφωνα με την Uusimaki & Nason (2004) οι φοιτητές/τριες τις διαμόρφωσαν κατά τη διάρκεια του δημοτικού με το 50% να το αποδίδει στις πρακτικές του δασκάλου. Σε έρευνα του Ζαχάρου (2005) που πραγματοποιήθηκε σε φοιτητές/τριες το 61% θεωρεί ότι τα μαθηματικά δε σχετίζονται με τις καθημερινές πρακτικές, ενώ στην ίδια έρευνα το 69,2% υποστηρίζει ότι η στάση τους απέναντι στα μαθηματικά επηρεάστηκε από τον τρόπο διδασκαλίας των εκπαιδευτικών στη διάρκεια των σχολικών τους χρόνων όπως υποστηρίζουν και οι έρευνες των Patterson 2004, Thompson 1992, ενώ το 28,8% αποδίδει τη στάση του σε μια φυσική κλίση. Επίσης το 59,6% υποστηρίζει ότι τα μαθηματικά είναι ένα σύνολο από τυποποιημένες διαδικασίες που οφείλουμε να οικειοποιηθούμε, γεγονός που οδηγεί σε μια εργαλειακή άποψη για τα μαθηματικά. Επίσης έρευνες των Τσιόκανου & Μαρκόπουλου (2007) και Chapman (2006) έδειξαν ότι οι 27

28 επιστημολογικές πεποιθήσεις επηρεάζουν τις πρακτικές των μελλοντικών αλλά και εν ενεργεία δασκάλων. Δάσκαλοι με περισσότερο «εκλεπτυσμένες» επιστημολογικές πεποιθήσεις δηλαδή έχουν μια δυναμική θεώρηση για τις επιστημολογικές πεποιθήσεις, οδηγούν σε ένα στυλ διδασκαλίας μαθητοκεντρικό κατά 36,6% ενώ το 54,9% ακολουθούν ανάμεικτες προσεγγίσεις (Μονογυιού, 2005). Η έρευνα των Hofer & Pintrich (1997) δείχνει ότι οι εκπαιδευτικοί με πλατωνικές ή φορμαλιστικές πεποιθήσεις επικεντρώνουν τη διδακτική τους προσέγγιση στην παρουσίαση αλγοριθμικών διαδικασιών και στην εξάσκηση σε αυτές, υιοθετούν δηλαδή μια εργαλειακή και στατική θεώρηση. Παράλληλα στην έρευνα της Παναούρα (2014) που διεξήχθη σε φοιτητές/τριες παιδαγωγικών τμημάτων το 78% των φοιτητών/τριών υποστήριξε ότι τα μαθηματικά είναι αλγόριθμοι, το 82% δήλωσαν ότι τα μαθηματικά περιλαμβάνουν ακριβείς ορισμούς, το 76% υποστηρίζει ότι τα μαθηματικά είναι ένα σύστημα αναπαράστασης εννοιών του φυσικού κόσμου και κατέληξε ότι οι φοιτητές/τριες είχαν πιο ισχυρές απόψεις όσο αφορά το φορμαλιστικό χαρακτήρα των μαθηματικών. Σε άλλη έρευνα της Παναούρα (2015) που πραγματοποιήθηκε σε Κύπριους δασκάλους έδειξε ότι υποστηρίζουν τη δυναμική θεώρηση για τη διδασκαλία τους με καλύτερα αποτελέσματα να έχουν οι δάσκαλοι με περισσότερα χρόνια εμπειρίας. Η Thomas et al (2003) έκανε μια έρευνα σε φοιτητές/τριες και τους ζήτησε να ζωγραφίσουν πώς φαντάζονται τους εαυτούς τους μέσα στην τάξη. Το μεγαλύτερο ποσοστό έκανε ένα σκίτσο στο οποίο απεικόνιζαν τον εαυτό τους σαν το κεντρικό πρόσωπο της εικόνας μπροστά από τους μαθητές και τους παρουσίαζαν μια δραστηριότητα ή έδιναν πληροφορίες στους μαθητές τους. Αυτό δείχνει ένα παραδοσιακό τρόπο διδασκαλίας με το δάσκαλο να είναι το κεντρικό πρόσωπο. Οι πεποιθήσεις για τη χρησιμότητα των μαθηματικών σύμφωνα με έρευνα των Hart & Walker (1993) είναι παράγοντας που μπορεί να επεξηγήσει μεγάλο μέρος της διασποράς της επίδοσης στα μαθηματικά. Ο Nimier (1988) (βλ. Φιλίππου & Χρίστου, 2001)) σε έρευνά του κατέληξε ότι η επίδραση των δασκάλων είναι καθοριστική τόσο στην επίδοση των μαθητών στα μαθηματικά όσο και στην ανάπτυξη των στάσεών τους ως προς τα μαθηματικά. Επίσης, οι αρνητικές εμπειρίες των γονιών με τα μαθηματικά μεταβιβάζονται, ασυνείδητα πολλές φορές, στα παιδιά τους. Αντίθετα γονείς με καλές εμπειρίες εμπνέουν θετικές στάσεις στα παιδιά τους. Σύμφωνα με έρευνα των Φιλίππου & Καΐλα (1993) που έγινε σε φοιτητές/τριες στην Ελλάδα και στην Κύπρο, μεγάλο ποσοστό των φοιτητών/τριών δήλωσαν ότι απολαμβάνουν τα 28