Τύχη ή Βεβαιότητα; Η διαλεκτική της θεωρίας του Χάους. Του Τάσου Μπούντη

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τύχη ή Βεβαιότητα; Η διαλεκτική της θεωρίας του Χάους. Του Τάσου Μπούντη"

Transcript

1 Τύχη ή Βεβαιότητα; Η διαλεκτική της θεωρίας του Χάους Του Τάσου Μπούντη 1. Εισαγωγή Από την πρώτη κιόλας εµφάνιση του ανθρώπου στη γη, οι έννοιες της τάξης και του χάους, του προβλέψιµου και του απρόβλεπτου, του καθοριστικού και του τυχαίου έπαιξαν σηµαντικό ρόλο στον τρόπο που ο άνθρωπος αντιλαµβανόταν τη φύση γύρω του. Όλοι σχεδόν οι µέχρι σήµερα γνωστοί πολιτισµοί περιείχαν θεότητες που εκπροσωπούσαν την τάξη ή τη δηµιουργία και το χάος ή την άβυσσο, το άµορφο κενό. Στην Αρχαία Ελλάδα, όπου λατρεύτηκε µε τον δυϊσµό Απόλλωνα- ιονύσου η λογική και το όνειρο, η διαύγεια και η µέθη έζησε και ο Αριστοτέλης ο οποίος επιχείρησε µε το έργο του να δείξει ότι η φύση - έµψυχη ή άψυχη- διέπεται από αιτιοκρατικούς νόµους και λειτουργεί σύµφωνα µε κανόνες που ο άνθρωπος µπορεί να κατανοήσει και ίσως να χρησιµοποιήσει προς όφελός του. Η Αριστοτέλεια λογική επηρέασε την Ευρωπαϊκή διανόηση για πολλούς αιώνες. Μετά µάλιστα από την τόσο επιτυχή περιγραφή της κίνησης των ουρανίων σωµάτων από τους νόµους του Kepler και του Νεύτωνα, και µετά την εντυπωσιακή πρόοδο των επιστηµών τον 17ο αιώνα, ο ντετερµινισµός, ή η αιτιοκρατική ερµηνεία του σύµπαντος, φαινόταν να ορθώνεται σαν ένα ακλόνητο οχυρό. Η κυριαρχία του ανθρώπινου νου πάνω στη φύση εµφανιζόταν αδιαµφισβήτητη. Εκφράστηκε µάλιστα, στα 1814, από τον ίδιο τον Laplace µε τον εξής χαρακτηριστικό τρόπο: «Μια διάνοια που σε µια δεδοµένη στιγµή θα γνώριζε όλες τις δυνάµεις που κινούν τη φύση και την αντίστοιχη κατάσταση των όντων που την αποτελούν, ενώ ταυτόχρονα θα ήταν τόσο ευρεία ώστε να αναλύει όλα τα δεδοµένα, θα είχε την δυνατότητα να συµπεριλάβει σε ένα σχήµα τόσο τις κινήσεις των µεγαλυτέρων σωµάτων του σύµπαντος όσο και εκείνες των ελαχίστων ατόµων. Τίποτε δεν θα ήταν αβέβαιο γι αυτήν, το µέλλον και το παρελθόν θα ήταν πάντα παρόντα στα µάτια της». 1

2 Ο 19ος και ο 20ος αιώνας όµως ήρθαν να αποκαλύψουν ότι η πραγµατικότητα είναι πολύ διαφορετική. Οι αντιφάσεις στις οποίες υπέπεσε ο Boltzmann στη προσπάθειά του να συνδυάσει το Νευτώνειο µοντέλο µε την επιστήµη της Θερµοδυναµικής, η ενδογενής αβεβαιότητα των νόµων της Κβαντοµηχανικής και τέλος τα παράδοξα του Russell και το θεώρηµα του Gödel, ήρθαν να καταφέρουν καίρια πλήγµατα στην απόλυτη κυριαρχία του ντετερµινισµού και να κλονίσουν συθέµελα το αιτιοκρατικό οχυρό του Laplace. Στο άρθρο αυτό θα περιγράψουµε πως, µε την καθιέρωση της νέας επιστήµης της «Μη Γραµµικής υναµικής και του Χάους», ολοκληρώθηκε στα χρόνια µας η κατάρρευση του ντετερµινισµού ακόµα και στα πιο απλά συστήµατα της Κλασσικής Φυσικής. Θα επιχειρήσουµε να δείξουµε πως τα µαθηµατικά αποτελέσµατα των Poincaré (τέλος του 19ου αιώνα), Smale (1967) και Ruelle και Takens (1973) οι αριθµητικοί υπολογισµοί Φυσικών όπως ο Lorenz και ο Feigenbaum αλλά και οι πειραµατικές ανακαλύψεις πολλών άλλων, θεµελίωσαν επιστηµονικά τις βασικές έννοιες της Χαοτικής υναµικής. Θα δούµε πως η θεωρία του Χάους συνδέει διαλεκτικά το προβλέψιµο και το απρόβλεπτο, το κανονικό και το τυχαίο, ανακαλύπτοντας τάξη µέσα στη χαοτική συµπεριφορά συστηµάτων που περιγράφονται από ντετερµινιστικές µη γραµµικές εξισώσεις. Έτσι θα οδηγηθούµε τελικά στο συµπέρασµα ότι και ο απόλυτος ντετερµινισµός αλλά και η απόλυτη τυχαιότητα δεν είναι παρά εξιδανικεύσεις, ακραίες και οριακές καταστάσεις που αποτελούν την εξαίρεση και όχι τον κανόνα. Το παιγνίδι της Φύσης και της Ζωής παίζεται κάπου ανάµεσα στην τύχη και τη βεβαιότητα σαν µία παρτίδα σκάκι: Οι κανόνες είναι γνωστοί και απλοί, οι διαφορετικοί συνδυασµοί όµως που επιτρέπονται είναι τόσο πολλοί, ώστε να προσδίδουν στον κόσµο γύρω µας µια θαυµαστή πολυπλοκότητα κινήσεων και µορφών που ποτέ δεν θα µπορέσουµε να κατανοήσουµε και να ελέγξουµε πλήρως. Ίσως η πιο σηµαντική συµβολή της Θεωρίας του Χάους να είναι η συνειδητοποίηση ότι όσο βαθύτερα κατανοούµε τη Φύση και τη Ζωή, τόσο θα συναντάµε εκπλήξεις και απρόοπτα, µαζί µε νέες προκλήσεις και ερωτήµατα που πρέπει να αντιµετωπίζουµε συνεχώς σε µία συναρπαστική αλληλουχία χωρίς τέλος 2. Τύχη ή Βεβαιότητα ; 2

3 Η πρώτη αναφορά στον όρο «χάος» στην Ελληνική ιστορία γίνεται από τον Ησίοδο, τον 8ο αιώνα π.χ., στο έργο του «Θεογονία», µε την έννοια του «κενού» που υπήρχε στον κόσµο πριν δηµιουργηθεί η Γη. Από το χάος, σύµφωνα µε τον Ησίοδο, προήλθε η Νεφέλη και το Σκότος αλλά και η Ηµέρα και ο Αιθέρας. Έτσι η έννοια του χάους δεν περιορίσθηκε στο κενό και την ανυπαρξία αλλά αποτέλεσε και την κοιτίδα της δηµιουργίας, την γενεσιουργό αιτία για την ύπαρξη και την εξέλιξη του «καινούργιου» και του «ζωντανού». Η διαλεκτική της απουσίας (ως αβεβαιότητα) και της παρουσίας (ως σιγουριά) είχε γεννηθεί! ύσκολα θα βρει κανείς στην ιστορία της ανθρωπότητας πολιτισµό που να µην έχει αναπτύξει, ως µια από τις θεµελιώδεις αρχές του, τον δυϊσµό ανάµεσα στο φως και το σκοτάδι, τη δηµιουργία και την καταστροφή. Αυτό συνήθως γίνεται υπό τη µορφή ενός ζεύγους θεοτήτων: Οι θεοί Nut και Ra συµβόλιζαν αντιστοίχως την άβυσσο και τον ήλιο για τους αρχαίους Αιγυπτίους ενώ το Yin και το Yang αντιπροσώπευαν τον ουρανό (χάος) και την γη (τάξη) για τους Κινέζους. Τέλος ο Βισνού, θεότητα της τάξης, λατρεύεται ακόµα και σήµερα στην Ινδία, σε αντιδιαστολή µε τον Σίβα, θεό της καταστροφής αλλά µε την προϋπόθεση της γέννησης του καινούργιου. Φυσικά δεν χρειάζεται να αναφέρουµε τον Απόλλωνα και τον ιόνυσο στην Αρχαία Ελλάδα που έδωσαν θεϊκή οντότητα στις έννοιες της τάξης-λογικής και της αταξίας-µέθης αντιστοίχως. Με το έργο του Αριστοτέλη όµως, τον 4ο αιώνα π.χ., προβάλλεται και υποστηρίζεται τελικά η άποψη ότι η φύση και η ζωή διέπονται από τάξη και αιτιοκρατικούς κανόνες που ο άνθρωπος έχει υποχρέωση να προσπαθήσει να κατανοήσει. Είναι σηµαντικό να αναφέρουµε ότι το πρωταρχικό ερώτηµα που έκανε τον άνθρωπο, από καταβολής κόσµου, να προβληµατισθεί σχετικά µε τους νόµους και την προβλεψιµότητα της φύσης, ήταν η κίνηση των ουρανίων σωµάτων. Κατ αρχάς η περιοδικότητα της ανατολής και της δύσης, του ήλιου και των τροχιών της σελήνης, αλλά και των αστέρων στον ουρανό, εδραίωσε την πίστη του ανθρώπου στην αιτιοκρατία. Γεγονότα όπως η πρόβλεψη της έκλειψης ηλίου από τον Θαλή τον Μιλήσιο κατά τη διάρκεια µιας µάχης µεταξύ Λυδών και Μήδων το 585 π.χ., δηµιούργησαν 3

4 την πεποίθηση ότι µε µαθηµατικούς υπολογισµούς και επιστηµονικές µετρήσεις, το µέλλον του ανθρώπου στη γη θα µπορούσε να προβλεφθεί µε ακρίβεια. Χρειάστηκε να περάσουν 2000 χρόνια για να φτάσουµε στην εποχή του Κοπέρνικου, ο οποίος, το 1473, βελτίωσε σηµαντικά το µοντέλο του Πτολεµαίου για την αναπαράσταση των τροχιών των πλανητών του ηλιακού συστήµατος. Όµως, η πιο σηµαντική πρόοδος στο θέµα αυτό έγινε το 1596 από τον Kepler, ο οποίος πρότεινε το σχήµα της έλλειψης για τις πλανητικές τροχιές µέσω του οποίου εξηγήθηκαν µε αξιοθαύµαστη ακρίβεια οι αποκλίσεις του µοντέλου του Κοπέρνικου από τις µέχρι τότε γνωστές αστρονοµικές παρατηρήσεις. Τέλος, η ιδιοφυία του µεγάλου Isaac Newton ( ) ήρθε να αποδείξει, στο πρόβληµα της βαρυτικής έλξης, την ύπαρξη φαινοµενικά απλών µαθηµατικών εξισώσεων που περιγράφουν παγκόσµιους νόµους. Οι νόµοι αυτοί διέπουν από την κίνηση ενός µήλου που πέφτει στη γη µέχρι τις τροχιές των πιο αποµακρυσµένων αστέρων του σύµπαντος. Το µήνυµα του Νεύτωνα ήταν ξεκάθαρο: ώστε µου τις σωστές µαθηµατικές εξισώσεις και τις κατάλληλες αρχικές συνθήκες και θα σας περιγράψω µε ακρίβεια τη κίνηση ενός συστήµατος µαζών υπολογίζοντας το µέλλον και το παρελθόν του για όσο µεγάλο χρονικό διάστηµα θέλετε. Και πράγµατι οι επιτυχίες των Μαθηµατικών στην περιγραφή φυσικών φαινοµένων άρχισαν να διαδέχονται η µία την άλλη, µε εντυπωσιακούς ρυθµούς, τον 17ο, 18ο και 19ο αιώνα: Ο L. Euler εφαρµόζει τον Απειροστικό Λογισµό στη Μαθηµατική Φυσική και λύνει ένα µεγάλο αριθµό προβληµάτων της Μηχανικής και της Υδροδυναµικής. Ο D Alembert λύνει το πρόβληµα της παλλόµενης χορδής µέσω Μερικών ιαφορικών Εξισώσεων, ο D. Bernoulli αναλύει την µουσική και τους ήχους ως υπερθέσεις ηµιτονοειδών ταλαντώσεων, ο J. L. Lagrange κάνει µεγάλη πρόοδο στην επιστήµη της Ακουστικής, ενώ ο J. Fourier επιτυγχάνει να περιγράψει σωστά το πρόβληµα της ροής θερµότητας. Ένας µετά τον άλλον, οι κλάδοι της Φυσικής αρχίζουν να υποτάσσονται στον έλεγχο µαθηµατικών µεθόδων. Η ελαστικότητα µελετείται αποτελεσµατικά από τους Laplace και Poisson, η Υδροδυναµική και η Ηλεκτροστατική ενοποιούνται υπό τη µαθηµατική θεωρία Πεδίων υναµικού και ο Ηλεκτροµαγνητισµός παρουσιάζεται µε άψογη κοµψότητα υπό το ενιαίο πλαίσιο των εξισώσεων του Maxwell. 4

5 Μέσα στον ενθουσιασµό και την ευφορία που προκάλεσαν οι εντυπωσιακές αυτές ανακαλύψεις, µια µικρή ανησυχητική «λεπτοµέρεια» φαίνεται ότι πέρασε στο περιθώριο: Οι περισσότερες διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν ρεαλιστικά τα ως άνω φυσικά φαινόµενα είναι µη γραµµικές και εποµένως πολύ δύσκολο έως αδύνατο να επιλυθούν αναλυτικά εκτός από πολύ λίγες περιπτώσεις. Για το λόγο αυτό, οι επιστήµονες αναγκαζόντουσαν να καταφύγουν σε γραµµικοποιήσεις και σηµαντικές απλουστεύσεις των προβληµάτων τους, οι οποίες µπορούσαν να δώσουν ενδιαφέροντα αποτελέσµατα. Η αναγκαιότητα της αντιµετώπισης µη επιλύσιµων εξισώσεων δεν είχε προκύψει ακόµα. Έτσι φτάνουµε στην περίφηµη ρήση του Pierre Simon de Laplace, to 1814, που περιέχεται στο έργο του «Φιλοσοφικά οκίµια επί των Πιθανοτήτων», και την οποία διατυπώσαµε στην Εισαγωγή του παρόντος άρθρου. Η ρήση αυτή αποτελεί την αποθέωση του ντετερµινισµού και σηµατοδοτεί µία από τις σοβαρότερες απόπειρες να αναδειχθεί η αιτιοκρατία σε αποφασιστικό παράγοντα στην προσπάθειά του ανθρώπου να ερµηνεύσει τη φύση και τη ζωή. Αυτή η αναγωγική και µηχανιστική αντίληψη για τη λειτουργία της φύσης κυριάρχησε µέχρι το τέλος του 19ου αιώνα, οπότε εµφανίστηκαν στο προσκήνιο οι θεωρίες του L. Boltzmann για την Θερµοδυναµική θεώρηση της χρονικής εξέλιξης φυσικών συστηµάτων όπως τα αέρια, που αποτελούνται από δισεκατοµµύρια δισεκατοµµυρίων µόρια ή άτοµα. Ο βασικός στόχος του Boltzmann ήταν να εξηγήσει, βάσει των νόµων της Κλασσικής Μηχανικής, πως είναι δυνατόν ένα αέριο να φτάσει σε µία κατάσταση ισορροπίας, όπου τα µόρια θα καταλαµβάνουν οµοιογενώς όλο το διαθέσιµο χώρο, σε µία κατανοµή πλήρους αταξίας και «µοριακού χάους». υστυχώς τα επιχειρήµατα του Boltzmann συνάντησαν σοβαρότερες αντιρρήσεις από πολλούς φυσικούς της εποχής του, οι οποίες συνίσταντο κυρίως στα εξής: Αν η ισορροπία είναι το «µοιραίο» επακόλουθο της δυναµικής του αερίου, τότε, αντέτειναν οι αντίπαλοί του, αν αντιστρέφαµε τις ταχύτητες όλων των µορίων, αυτά θα έπρεπε πάλι να κινηθούν προς την οµοιογενή κατανοµή. Όµως οι εξισώσεις της Κλασσικής Μηχανικής είναι αναλλοίωτες υπό την αντιστροφή του χρόνου και έτσι µία αλλαγή ταχυτήτων σαν αυτή που αναφέραµε θα οδηγούσε τα µόρια πίσω στην αρχική τους κατάσταση, αντί στην ισορροπία. Επί πλέον, αυτή η ιδιότητα της 5

6 αντιστρεψιµότητας δείχνει ότι οι εξισώσεις δεν διακρίνουν µεταξύ της «έµπροσθεν» και «όπισθεν» φοράς του χρόνου, και εποµένως δεν µπορούν να ξεχωρίσουν το µέλλον από το παρελθόν, όπως απαιτούσε η θεώρηση του Boltzmann. Μία άλλη σοβαρή αντίρρηση επίσης βασίστηκε στο γεγονός ότι οι νόµοι της Μηχανικής που χρησιµοποίησε ο Boltzmann, υπονοούν ότι µετά από µεγάλα χρονικά διαστήµατα το αέριο θα επανέρχεται όσο κοντά θέλουµε στην αρχική κατάσταση, πράγµα που αποκλείει την σταθεροποίησή του για πάντα στην οµοιογενή ισορροπία που ήθελε να αποδείξει ο Boltzmann. Έτσι η Επιστήµη της Φυσικής και συγκεκριµένα η Στατιστική Φυσική εισήλθε στον 20ο αιώνα συνοδευόµενη από ένα πολύ σοβαρό παράδοξο: Πως θα ήταν δυνατόν να συµβιβαστούν οι νόµοι της Θερµοδυναµικής (όπως π.χ. ο 2ος νόµος της συνεχώς αυξανόµενης αταξίας ενός κλειστού συστήµατος) µε τους νόµους της Κλασσικής Μηχανικής; Πως µεταβαίνουµε από την αντιστρέψιµη δυναµική των 2-3 σωµάτων στην στατιστική µελέτη των δισεκατοµµυρίων µορίων ενός αερίου; Χωρίς να το ξέρει ούτε ο Boltzmann, που αυτοκτόνησε από κατάθλιψη στα 1906, ούτε πολλοί από τους επικριτές του, η απάντηση στο παραπάνω ερώτηµα είχε ήδη δοθεί λίγο πριν την εκπνοή του 19ου αιώνα από τον µεγάλο Γάλλο Μαθηµατικό Henri Poincarè. Ο Poincaré, προσπαθώντας να λύσει το πρόβληµα 3 σωµάτων, Γη, Ήλιος και Σελήνη, που είχε τεθεί το 1887 µε έπαθλο 2500 κορώνες από τον Βασιλιά Όσκαρ της Σουηδίας, ανακάλυψε κάτι πραγµατικά εντυπωσιακό: ότι δηλαδή, οι εξισώσεις της Κλασσικής Μηχανικής, για το πρόβληµα αυτό, ήταν αδύνατον να λυθούν αναλυτικά µε τις ως τότε γνωστές µαθηµατικές µεθόδους! Ο Poincaré κέρδισε το έπαθλο, αλλά η ανακάλυψη που είχε κάνει ήταν πολύ πιο σηµαντική και θεµελιώδης από την απόδειξη της µη επιλυσιµότητας του προβλήµατος 3 σωµάτων: Ουσιαστικά αυτό που απέδειξε ο Poincarè ήταν ότι ακόµα και στα πιο απλά προβλήµατα της Μηχανικής και της Αστρονοµίας, διαθέτουν στο χώρο φάσεων τους ( * ) περιοχές όπου οι λύσεις (ή τροχιές) εξαρτώνται εξαιρετικά ευαίσθητα από την επιλογή των αρχικών συνθηκών. ( * ) Χώρος φάσεων είναι ο χώρος όλων των δυνατών θέσεων και ταχυτήτων ενός συστήµατος της Κλασσικής Μηχανικής. 6

7 Αυτό σηµαίνει, µε δύο λόγια, ότι ακόµα και τα απλούστερα ντετερµινιστικά συστήµατα της Φυσικής που περιγράφονται από µη γραµµικές εξισώσεις και κινούνται σε ένα χώρο φάσεων 3 τουλάχιστον διαστάσεων, έχουν περιοχές όπου οι τροχιές τους είναι έντονα ασταθείς, ώστε ακόµα και ελάχιστες αλλαγές στην αρχική κατάσταση οδηγούν σε τεράστιες αλλαγές στην εξέλιξη της κίνησης. Οι περιοχές αυτές ονοµάσθηκαν, 70 χρόνια αργότερα, χαοτικές και η έντονη αστάθεια που τις χαρακτηρίζει, χάος. Έτσι, η αβεβαιότητα του προσδιορισµού της δυναµικής έκανε την εµφάνισή της µε φυσιολογικό και συγκεκριµένο τρόπο, σε φυσικά συστήµατα που θα τα χαρακτηρίζαµε απολύτως αιτιοκρατικά. Ο ντετερµινισµός του Laplace, µε την έννοια της δυνατότητας πρόβλεψης της δυναµικής για απεριόριστο χρόνο στο µέλλον (ή το παρελθόν) δέχτηκε ένα καίριο πλήγµα, από το οποίο δεν επρόκειτο να συνέλθει ποτέ. 3. Η Θεωρία του Χάους Έπρεπε βέβαια να περάσουν πολλά χρόνια προτού γίνουν ευρέως κατανοητές οι ανακαλύψεις του Poincare και η σηµασία τους για τη Φυσική και τις άλλες εφαρµοσµένες επιστήµες. Ένας από τους πρώτους που διαισθάνθηκαν την απήχηση των αποτελεσµάτων του Poincare και τα επέκτειναν σε δυναµικά συστήµατα διακριτού χρόνου που περιγράφονται από αλγεβρικές, µη γραµµικές απεικονίσεις, ήταν ο Αµερικανός Μαθηµατικός G. D. Birkhoff. Οι εργασίες του Birkhoff, στη δεκαετία του 1920, έδειξαν περίτρανα ότι οι ανακαλύψεις του Poincare δεν περιοριζόντουσαν µόνο στον κλάδο των διαφορικών εξισώσεων. Ακόµα και απλές εξισώσεις διαφορών (απεικονίσεων) που χρησιµοποιούνται συχνά για τη µοντελοποίηση βιολογικών ή οικονοµικών συστηµάτων µπορούν να εµφανίσουν πλούσια και πολύπλοκη συµπεριφορά που δεν επιδέχεται αναλυτική λύση µέσω γνωστών µεθόδων. Όµως η επόµενη σηµαντική εξέλιξη στην ανάπτυξη της θεωρίας του Χάους επρόκειτο να καθυστερήσει λίγες δεκαετίες. Συγκεκριµένα, χρειάστηκε να εµφανισθεί στο προσκήνιο στα 1960 περίπου ο µεγάλος Αµερικανός τοπολόγος S. Smale για να γίνει κατανοητή σε όλο της το µεγαλείο η θεωρία του Poincarè. Χρησιµοποιώντας απλά γεωµετρικά παραδείγµατα, ο Smale έδειξε ότι ένα µεγάλο πλήθος δι-διάστατων 7

8 αιτιοκρατικών απεικονίσεων εµπεριέχουν λύσεις µε ιδιότητες τόσο τυχαίες, όσο και η ρίψη ενός νοµίσµατος ή το παιγνίδι της ρουλέτας! Τα συµπεράσµατα του Smale γενικεύθηκαν από τους Μαθηµατικούς Φυσικούς D. Ruelle (Γαλλία) και F. Takens (Ολλανδία) το 1973, ενώ η πειραµατική τους επαλήθευση σε εργαστηριακές µελέτες της χαοτικής κίνησης υγρού ανάµεσα σε δύο περιστρεφόµενους κυλίνδρους, δηµοσιοποιήθηκε 2 χρόνια αργότερα από τους Αµερικανούς Φυσικούς J. Gollub και H. Swinney. Εν τω µεταξύ, το 1963, ο Αµερικανός µετεωρολόγος E. Lorenz δηµοσίευσε µία πολύ σηµαντική εργασία στην οποία περιέγραφε την εκπληκτική διαπίστωση ότι οι λύσεις ενός απλού ντετερµινιστικού µοντέλου 3 διαφορικών εξισώσεων, αν και διακρίνονται από τη γνωστή ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες που αναφέραµε πιο πάνω, τελικά συγκεντρώνονται όλες σε ένα πολύπλοκο σύνολο στο χώρο των φάσεων που ονοµάσθηκε παράξενος ή χαοτικός ελκυστής. Ο ελκυστής του Lorenz παρουσιάζει µία τόσο σύνθετη δοµή υπό συνεχείς µεγεθύνσεις, που δίνει την εντύπωση ότι εκτείνεται πέραν των 2 διαστάσεων, χωρίς όµως και να «γεµίζει» ένα τµήµα του 3-διάστατου χώρου. Σήµερα, ξέρουµε ότι το αντικείµενο αυτό έχει διάσταση περίπου 2.1 και ανήκει στην κατηγορία των φράκταλς, αυτών των απείρως πολύπλοκων συνόλων, τα οποία σίγουρα θα γνωρίζει ο αναγνώστης, από τις τόσο όµορφες έγχρωµες εικόνες τους που συναντάµε καθηµερινά στη βιβλιογραφία. Τέλος, σε όλα αυτά, πρέπει να προσθέσουµε και την πολύ σηµαντική ανακάλυψη του Αµερικανού Μαθηµατικού Φυσικού M. Feigenbaum, ο οποίος απέδειξε µε τη βοήθεια απλών µη γραµµικών απεικονίσεων, το 1977, την δυνατότητα µετάβασης στο χάος, µέσω µιας ακολουθίας διακλαδώσεων µε «παγκόσµια» χαρακτηριστικά. Η µεγάλη σηµασία της ανακάλυψης του Feigenbaum αποκαλύφθηκε 2 χρόνια αργότερα στα 1979, όταν οι Γάλλοι Φυσικοί A. Libchaber και M. Maurer, επιβεβαίωσαν πειραµατικά ότι κατά την αυξανόµενη θέρµανση ενός λεπτού στρώµατος υγρού, είναι δυνατόν να παρατηρηθεί µετάβαση στο χάος µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο και τις ίδιες παγκόσµιες σταθερές που προέβλεπε η θεωρία του Feigenbaum. Σήµερα, µετά και τις εντυπωσιακές ανακαλύψεις της γεωµετρίας των φράκταλς, βρισκόµαστε µπροστά στην εδραίωση µιας νέας κατεύθυνσης στον χώρο 8

9 των επιστηµών που λέγεται Επιστήµη της Πολυπλοκότητας. Το ένα της σκέλος αφορά στο «χάος», ως πολύπλοκη και απρόβλεπτη εξέλιξη της δυναµικής µη γραµµικών συστηµάτων στο χρόνο, και το άλλο στα «φράκταλς», ως πολύπλοκες µορφές στο χώρο που εµφανίζουν ιδιότητες αυτο-οµοιότητας υπό αλλαγή κλίµακας, όπως αυτό της φτέρης του Barnsley που δείχνουµε στο κάτωθι σχήµα. Εικόνα 1. Η φτέρη του Barnsley. Προσέξτε την αυτο-οµοιότητα µεταξύ του µεγάλου µίσχου και της αλληλουχίας των µικρότερων που βρίσκονται επάνω του. Γνωρίζουµε επίσης ότι πολλά (τα περισσότερα ίσως) φυσικά, βιολογικά και οικονοµικά συστήµατα που µελετάµε δεν είναι ούτε απολύτως προβλέψιµα, ούτε εντελώς τυχαία. Θα µπορούσαµε µάλιστα να πούµε ότι οι κλιµατικές αλλαγές, η λειτουργία της καρδιάς, οι σεισµοί, οι διακυµάνσεις του χρηµατιστηρίου και τόσα άλλα, είναι χαοτικά φαινόµενα που διέπονται από ένα πολύ µικρότερο αριθµό µεταβλητών (3-5) από ότι ίσως θα φανταζόµαστε. Επιπλέον σήµερα είµαστε σε θέση να προσδιορίσουµε και το ποσοστό του «θορύβου» ή «τυχαιότητας» που υπάρχει στα δεδοµένα ενός συστήµατος σχετικά µε την αντίστοιχη συµβολή της αιτιοκρατικής δυναµικής. Αν το ποσοστό αυτό είναι χαµηλό, τότε µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη µεθοδολογία του χάους για να 9

10 βελτιώσουµε τη δυνατότητα πρόβλεψης και ελέγχου που διαθέτουµε για τα συστήµατα αυτά. Ακόµα όµως και αν υποθέταµε ότι οι εξισώσεις που τα διέπουν είναι απολύτως ντετερµινιστικές, χωρίς ίχνος θορύβου, πάλι θα ήταν αδύνατον να προβλέψουµε την χαοτική τους εξέλιξη για µεγάλα χρονικά διαστήµατα. Στατιστικά, θα γνωρίζαµε που βρίσκονται, αφού µπορούµε να προσδιορίσουµε µε ακρίβεια τη θέση και το µέγεθος των χαοτικών περιοχών στο χώρο των φάσεων. Για κάθε συγκεκριµένη αρχική κατάσταση όµως, η ενδογενής αβεβαιότητα του χάους δεν θα µας επέτρεπε να παρακολουθήσουµε την εξέλιξη της δυναµικής για µεγάλα διαστήµατα στο χρόνο. 4. Συµπεράσµατα Είναι γεγονός ότι ο αιώνας µας σηµαδεύτηκε από µία σειρά συγκλονιστικών επιστηµονικών ανακαλύψεων: Η ντετερµινιστική θεωρία της Γενικής Σχετικότητας του Einstein και οι µετέπειτα εφαρµογές και πειραµατικές της επαληθεύσεις µας αποκάλυψαν πολλά ενδιαφέροντα στοιχεία για την έκταση, την ηλικία και το µέλλον του σύµπαντος. Από την άλλη µεριά, η πιθανοκρατική θεωρία της Κβαντοµηχανικής µε τους νόµους της αβεβαιότητας που την διέπουν µας φανέρωσε τα µυστικά της δοµής της ύλης και των λειτουργιών του µικρόκοσµου των στοιχειωδών σωµατιδίων. Καµία άλλη επιστήµη όµως δεν πραγµατοποίησε τόσο εντυπωσιακά άλµατα όσο η Βιολογία και συγκεκριµένα ο κλάδος της Γενετικής: Αποκαλύπτοντας τη δοµή του DNA και τον ρόλο των γονιδίων στο εσωτερικό του κυττάρου, µας οδήγησε στο συµπέρασµα ότι, παρά την ύπαρξη συγκεκριµένων κανόνων διάταξης των βάσεων στη διπλή έλικα, τελικά η ζωή δοκιµάζει, ως ένα βαθµό τυχαία, διαφορετικούς συνδυασµούς γονιδίων, επιλέγοντας τελικά αυτόν που είναι περισσότερο ανθεκτικός στις περιβαλλοντικές συνθήκες. Όµως, στον αιώνα µας δεν έλειψαν και οι εντυπωσιακές ανακαλύψεις στο χώρο των Μαθηµατικών: Στις αρχές του 1900, ο Αγγλος Μαθηµατικός και Φιλόσοφος Bertrand Russel κλόνισε συθέµελα το οικοδόµηµα της Συνολοθεωρίας, προτείνοντας παραδείγµατα συνόλων για τα οποία ήταν αδύνατο να απαντηθούν βασικά ερωτήµατα, όπως π.χ. το αν ανήκαν ή όχι στον εαυτό τους. 10

11 Το θέµα επίσης της πληρότητας και αυτοσυνέπειας µιας µαθηµατικής θεωρίας έθιξε και ο ιδιοφυής Αυστριακός Μαθηµατικός K. Gödel, µέσω µιας σειράς εκπληκτικών θεωρηµάτων που απέδειξε γύρω στα Το κύριο αποτέλεσµα του Gödel ήταν ότι υπάρχουν µαθηµατικές θεωρίες οι οποίες είναι αδύνατον να είναι πλήρεις και συγχρόνως συνεπείς µε τον εαυτό τους. Ετσι, διατυπώνοντας µια θεωρία υπό τη µορφή αλγόριθµου, ο οποίος σταµατάει ανάλογα µε το αν έχει βρεθεί λύση ή όχι η λύση του προβλήµατος, είναι δυνατόν να µην µπορούµε ποτέ να προβλέψουµε µε απόλυτη σιγουριά αν ο αλγόριθµος τελικά τερµατίζεται ή όχι! Συµπεραίνουµε λοιπόν από τα παραπάνω ότι, σε όλες τις βασικές έννοιες των θετικών επιστηµών, η τύχη και η βεβαιότητα συνυπάρχουν, χωρίς να είναι δυνατόν πάντα να τις διαχωρίσουµε πλήρως. Σε κάθε περίπτωση βέβαια, το πρώτο βήµα του επιστήµονα είναι να προσδιορίσει το ποσοστό της τύχης, σε σχέση µε αυτό της βεβαιότητας, ώστε να αποφανθεί µέχρι ποιο σηµείο θα ήταν δυνατόν να βελτιωθεί η δυνατότητα πρόβλεψης του συγκεκριµένου φαινοµένου. Η διαλεκτική αυτή µεταξύ βεβαιότητας και τύχης γίνεται ολοφάνερη στην Επιστήµη της Πολυπλοκότητας και ειδικότερα στη θεωρία του Χάους: Όπως προσπαθήσαµε να δείξουµε εδώ, η θεωρία αυτή ήρθε να γεφυρώσει το χάσµα ανάµεσα στη Στατιστική και την Κλασσική Μηχανική. Επισηµαίνοντας την ενδογενή αστάθεια που χαρακτηρίζει ευρείες περιοχές στο χώρο των φάσεων, το χάος µας αποκάλυψε την αναγκαιότητα µιας στατιστικής ανάλυσης της δυναµικής στις εν λόγω χαοτικές περιοχές. Έτσι µάθαµε ότι η «αβεβαιότητα» και το «τυχαίο» δεν είναι εξωτερικοί παράγοντες που χρειάζεται να εισαγάγουµε τεχνητά στις εξισώσεις µας, για να µιµηθούµε την τάση προς την ισορροπία που εµφανίζουν τα συστήµατα της Θερµοδυναµικής. Είναι βασικοί συντελεστές που είναι παρόντες µέσα στις χαοτικές περιοχές και το αν τελικά θα επηρεάσουν ή όχι τη δυναµική θα εξαρτηθεί από την επιλογή των αρχικών συνθηκών. Καταλήγοντας λοιπόν, µπορούµε να πούµε ότι, µε το τέλος του 20ου αιώνα φτάσαµε στην απάντηση της διαφοράς ανάµεσα στη Στατιστική και την Κλασσική Μηχανική και την κατανόηση της διάκρισης ανάµεσα στην τυχαιότητα και τον ντετερµινισµό: Φαίνεται ότι ο κόσµος µας είναι κατά κύριο λόγο αιτιοκρατικός και 11

12 περιγράφεται από ντετερµινιστικά συστήµατα εξισώσεων, η οµορφιά του όµως και τα απρόοπτα και γοητευτικά µυστικά του δεν θα λείψουν ποτέ αφού θα είναι πάντοτε κρυµµένα µέσα στις χαοτικές περιοχές της µη γραµµικής µαθηµατικής περιγραφής του. 5. Βιβλιογραφία 1. J. Gleick, «Χάος: Μία Νέα Επιστήµη», Εκδ. Κάτοπτρο, Αθήνα, 1990 (Viking Penguin, New York, 1987). 2. Α. Μπούντης, «υναµικά Συστήµατα και Χάος», Τόµος Α, Εκδ. Γ. Παπασωτηρίου, Αθήνα, Α. Μπούντης, «υναµικά Συστήµατα και Χάος», Τόµος B, Εκδόσεις Πανεπιστηµίου Πατρών, «Τάξη και Χάος», Τόµοι Α, Β, Γ,, Ε και Στ Πρακτικών Ελληνικών Θερινών Σχολείων/Συνεδρίων, επιµ. Α. Μπούντης, Σπ. Πνευµατικός και Στ. Πνευµατικός, εκδ. Γ. Πνευµατικός, Αθήνα, 1988, 1990, 1993, 1998, 1999, και J. S. Nicolis, «Dynamics of Hierarchical Systems: An Evolutionary Approach», Springer Verlag, Berlin, G. Nicolis και I. Prigogine, «Exploring Complexity», W. H. Freeman, New York, G. Nicolis, «Introduction to Nonlinear Science», Cambridge University Press, H. O. Peitgen, H. Jurgens και D. Saupe, «Chaos and Fractals», Springer Verlag, Berlin, M. Barnsley, "Fractals Everywhere", Academic Press, San Diego, M. Schroeder, «Fractals, Chaos and Power Laws», W. H. Freeman, New York, I. Stewart, «Παίζει ο Θεός Ζάρια;», Εκδ. Κωσταράκη, Αθήνα, 1991 (Blackwell, 1989). 12. I. Prigogine και I. Stengers, «Τάξη Μέσα από το Χάος», εκδ. Κέδρος, 1986 (Heinemann, London, 1984). 12

TYXH H BEBAIOTHTA; Η ΙΑΛΕΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΟΥ ΧΑΟΥΣ

TYXH H BEBAIOTHTA; Η ΙΑΛΕΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΟΥ ΧΑΟΥΣ TYXH H BEBAIOTHTA; Η ΙΑΛΕΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΟΥ ΧΑΟΥΣ Τάσος Μπούντης Καθηγητής Τµήµατος Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Πατρών Πάτρα 26500 τηλ./φαξ: 0610-997381 bountis@math.upatras.gr http//:www.math.upatras.gr~crans

Διαβάστε περισσότερα

Πολυπλοκότητα. Και µη γραµµικότητα στη φύση

Πολυπλοκότητα. Και µη γραµµικότητα στη φύση Πολυπλοκότητα Και µη γραµµικότητα στη φύση (και πώς να τις αντιµετωπίσουµε) του Τάσου Μπούντη Ολοι γνωρίζουµε ότι τα πουλιά δεν πετούν προς µία κατεύθυνση, τα αυτοκίνητα και οι άνθρωποι δεν κινούνται σχεδόν

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας»

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Εισαγωγή Επιστημονική μέθοδος Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Διατύπωση αξιωματική της αιτίας μια κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ή αλλιώς η απλούστερη περίπτωση ακολουθίας αριθμών με χαοτική συμπεριφορά.

x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ή αλλιώς η απλούστερη περίπτωση ακολουθίας αριθμών με χαοτική συμπεριφορά. 1 x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ή αλλιώς η απλούστερη περίπτωση ακολουθίας αριθμών με χαοτική συμπεριφορά. Πριν λίγα χρόνια, όταν είχε έρθει στην Ελλάδα ο νομπελίστας χημικός Ilya Prigogine (πέθανε πρόσφατα), είχε

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Σκοπός του κειµένου είναι να υποστηριχθούν οι παρακάτω θέσεις εν έχουν κανένα απολύτως νόηµα φράσεις του τύπου «η φάση της ταλάντωσης είναι» ή «η αρχική φάση της ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

Γουλιέλμος Μαρκόνι (1874-1937) (Ιταλός Φυσικός)

Γουλιέλμος Μαρκόνι (1874-1937) (Ιταλός Φυσικός) Γουλιέλμος Μαρκόνι (1874-1937) (Ιταλός Φυσικός) Υπήρξε εφευρέτης του πρώτου σήματος ασυρμάτου τηλεφώνου και εκμεταλλεύτηκε εμπορικά την εφεύρεση. Ίδρυσε το 1897 την Ανώνυμη Εταιρεία Ασυρμάτου Τηλεγράφου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 3-4 ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3 ΗΜ/ΝΙΑ 1ο-2ο Φυσική Φυσικού

Διαβάστε περισσότερα

Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης

Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης Κ. Ι. Παπαχρήστου Τοµέας Φυσικών Επιστηµών, Σχολή Ναυτικών οκίµων papachristou@snd.edu.gr Θα συζητήσουµε µερικά λεπτά σηµεία που αφορούν το έργο ενός χρονικά µεταβαλλόµενου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2015-16 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 18/9/2014 ΕΙΣΑΓΩΓΗ_ΚΕΦ. 1 1 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Διδάσκων Γεράσιμος Κουρούκλης Καθηγητής (Τμήμα Χημικών Μηχανικών). (gak@auth.gr,

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση Διάλεξη 4η Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Αρµονικός ταλαντωτής, σηµείο ισορροπίας, περιοδική κίνηση, ισόχρονη ταλάντωση. Ο αρµονικός ταλαντωτής είναι από το πλέον σηµαντικά συστήµατα στη Φυσική. Δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2)

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 4/9/2015 ΠΕΜΠΤΗ 3/9/2015 ΤΕΤΑΡΤΗ 2/9/2015 ΤΡΙΤΗ 1/9/2015 ΔΕΥΤΕΡΑ 31/8/2015 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ & ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1 )

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ & ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1 ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 19/6/2015 ΠΕΜΠΤΗ 18/6/2015 ΤΕΤΑΡΤΗ 17/6/2015 ΤΡΙΤΗ 16/6/2015 ΔΕΥΤΕΡΑ 15/6/2015 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Το περιβάλλον ως σύστηµα

Το περιβάλλον ως σύστηµα Το περιβάλλον ως σύστηµα Σύστηµα : ηιδέατουστηθεώρησητουκόσµου Το σύστηµα αποτελεί θεµελιώδη έννοια γύρω από την οποία οργανώνεται ο τρόπος θεώρησης του κόσµου και των φαινοµένων που συντελούνται µέσα

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Άλυτα προβλήματα μαθηματικών 1. Υπόθεση (Εικασία) του Πουανκαρέ

Άλυτα προβλήματα μαθηματικών 1. Υπόθεση (Εικασία) του Πουανκαρέ Άλυτα προβλήματα μαθηματικών 1. Υπόθεση (Εικασία) του Πουανκαρέ Το πρόβλημα που διατύπωσε το 1904 ο Γάλλος επιστήμονας Ανρί Πουανκαρέ αφορά την Τοπολογία, ένα κλάδο των Μαθηματικών που δεν ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

1. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ 1. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Ως γνωστόν, οι χηµικές ενώσεις προκύπτουν από την ένωση δύο ή περισσοτέρων στοιχείων, οπότε και έχουµε σηµαντική µεταβολή του ενεργειακού περιεχοµένου του συστήµατος.

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική µηχανική. Τύχη ή αναγκαιότητα. Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης

Κβαντική µηχανική. Τύχη ή αναγκαιότητα. Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης Κβαντική µηχανική Τύχη ή αναγκαιότητα Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης Ηφυσικήστόγύρισµα του αιώνα «Όλοι οι θεµελιώδεις νόµοι και δεδοµένα της φυσικής επιστήµης έχουν ήδη ανακαλυφθεί και

Διαβάστε περισσότερα

2009: 22892841 ή 22892832, Εmail: stavrost@ucy.ac.cy ή haris@ucy.ac.cy. www.ucy.ac.cy/fmweb/metaptihiaka.htm

2009: 22892841 ή 22892832, Εmail: stavrost@ucy.ac.cy ή haris@ucy.ac.cy. www.ucy.ac.cy/fmweb/metaptihiaka.htm ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ ΘΕΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2009-2010 Το Πανεπιστήµιο Κύπρου ανακοινώνει ότι δέχεται αιτήσεις για περιορισµένο αριθµό θέσεων στο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz 1 Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz Σκοποί της τέταρτης διάλεξης: 25.10.2011 Να κατανοηθούν οι αρχές με τις οποίες ο Albert Einstein θεμελίωσε την ειδική θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Η «ΦΥΣΗ» ΤΟΥ ΚΕΝΟΥ ΚΑΙ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ

Η «ΦΥΣΗ» ΤΟΥ ΚΕΝΟΥ ΚΑΙ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ 1 Η «ΦΥΣΗ» ΤΟΥ ΚΕΝΟΥ ΚΑΙ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Θα αποδεχτούµε ότι το παν αποτελείται από το κενό και τα άτοµα, όπως υποστήριξε ο ηµόκριτος; Αν δεχτούµε σαν αξίωµα αυτή την υπόθεση, τι είναι το κενό και

Διαβάστε περισσότερα

< > Ο ΚΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ, ΤΟΥ ΟΠΟΙΟΥ Η ΕΞΗΓΗΣΗ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΙ ΕΝΑ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΠΝΕΥΜΑ

< > Ο ΚΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ, ΤΟΥ ΟΠΟΙΟΥ Η ΕΞΗΓΗΣΗ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΙ ΕΝΑ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΠΝΕΥΜΑ Κ. Γ. ΝΙΚΟΛΟΥΔΑΚΗΣ 1 < > Ο ΚΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ, ΤΟΥ ΟΠΟΙΟΥ Η ΕΞΗΓΗΣΗ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΙ ΕΝΑ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΠΝΕΥΜΑ Επαναλαμβάνουμε την έκπληξή μας για τα τεράστια συμπλέγματα γαλαξιών, τις πιο μακρινές

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΣΤΗΝ ΕΚΠΟΝΗΣΗ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΜΕΛΕΤΩΝ

Η ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΣΤΗΝ ΕΚΠΟΝΗΣΗ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΜΕΛΕΤΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΕΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ιευθυντής: Κωνσταντίνος Σπυράκος ΣΥΓΧΡΟΝΑ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΗΜΕΡΙ Α 5ης Νοεµβρίου 2009 Απόστολος Κωνσταντινίδης Πολιτικός

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΡΥΤΗΤΑ. Το μέτρο της βαρυτικής αυτής δύναμης είναι: F G όπου M,

ΒΑΡΥΤΗΤΑ. Το μέτρο της βαρυτικής αυτής δύναμης είναι: F G όπου M, ΒΑΡΥΤΗΤΑ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΑΣ ΕΛΞΗΣ Ο Νεύτωνας ανακάλυψε τον νόμο της βαρύτητας μελετώντας τις κινήσεις των πλανητών γύρω από τον Ήλιο και τον δημοσίευσε το 1686. Από την ανάλυση των δεδομένων αυτών ο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Καθηγητής: Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ Η Κλασική Μηχανική σηµματοδοτεί την πρώτη µμεγάλη επανάσταση της ανθρώπινης σκέ- ψης στην πορεία της για την ερµμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Δρ. Τακβόρ Σουκισιάν Κύριος Ερευνητής ΕΛΚΕΘΕ Forecasting is very dangerous, especially about the future --- Samuel Goldwyn 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22. ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α.

2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22. ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. Θέµατα & Ασκήσεις από: www.arnos.gr 2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22 ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σύµφωνα µε τη θεωρία του εµπειρισµού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΙΤΙΟΚΡΑΤΙΚΟ ΧΑΟΣ ΑΝΑΔΥΟΜΕΝΕΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ. Ανεστίδης Ιωάννης Σιωπίδης Ιωάννης

ΑΙΤΙΟΚΡΑΤΙΚΟ ΧΑΟΣ ΑΝΑΔΥΟΜΕΝΕΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ. Ανεστίδης Ιωάννης Σιωπίδης Ιωάννης ΑΙΤΙΟΚΡΑΤΙΚΟ ΧΑΟΣ ΑΝΑΔΥΟΜΕΝΕΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ Ανεστίδης Ιωάννης Σιωπίδης Ιωάννης ΑΙΤΙΟΚΡΑΤΙΚΟ ΧΑΟΣ ΑΝΑΔΥΟΜΕΝΕΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ Ερευνητική Εργασία Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003 Λευκωσία, Κύπρος Τηλ: 22378101- Φαξ:22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Η Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Κατανομές χρόνου αναμονής (... μέχρι να συμβεί ηπρώτη επιτυχία) 3 Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες... 7

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες... 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 Φυσικά µεγέθη... 1 1.2 ιανυσµατική άλγεβρα... 2 1.3 Μετατροπές συντεταγµένων... 6 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ 1.1 ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ 1.1 ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ «Πιστεύω ότι η μελέτη του Σύμπαντος πρέπει να τοποθετηθεί στην πρώτη θέση ανάμεσα σε όλα τα φυσικά φαινόμενα που μπορούν να κατανοηθούν, γιατί έρχεται πριν απ' όλα τ'

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Γνωστική Ψυχολογία. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Εισαγωγή στη Γνωστική Ψυχολογία. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Εισαγωγή στη Γνωστική Ψυχολογία Inside the black box για µια επιστήµη του Νου Επιστροφή στο Νου Γνωστική Ψυχολογία / Γνωσιακή Επιστήµη Inside the black box για µια επιστήµη του Νου Επιστροφή στο Νου Γνωστική

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Ολοήμερο Δημοτικό Σχολείο Πορταριάς «Ν. Τσοποτός» Ανάπτυξη σχεδίου εργασίας στο ολοήμερο δημοτικό σχολείο. Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος

Ολοήμερο Δημοτικό Σχολείο Πορταριάς «Ν. Τσοποτός» Ανάπτυξη σχεδίου εργασίας στο ολοήμερο δημοτικό σχολείο. Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος Ολοήμερο Δημοτικό Σχολείο Πορταριάς «Ν. Τσοποτός» Ανάπτυξη σχεδίου εργασίας στο ολοήμερο δημοτικό σχολείο Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος Γενικός τίτλος «Ένας μαγικός αλλά άγνωστος κόσμος» Ένας μαγικός αλλά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ Ενότητα 2: Επαγωγική-περιγραφική στατιστική, παραµετρικές

Διαβάστε περισσότερα

Fractals: Μια νέα ματιά στον κόσμο μας του Τεύκρου Μιχαηλίδη

Fractals: Μια νέα ματιά στον κόσμο μας του Τεύκρου Μιχαηλίδη Fractals: Μια νέα ματιά στον κόσμο μας του Τεύκρου Μιχαηλίδη Στις 14 Οκτωβρίου 2010 έφυγε από τη ζωή ο Μπενουά Μάντελμπροτ (Benoît Mandelbrot), ο άνθρωπος που έδωσε το όνομά του σ ένα από τα πιο περίπλοκα

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

Αρχικά σπούδασε Ιατρική, όμως ο καθηγητής του Οστίλιο Ρίτσι (μαθηματικός) τον έστρεψε στις Θετικές Επιστήμες.

Αρχικά σπούδασε Ιατρική, όμως ο καθηγητής του Οστίλιο Ρίτσι (μαθηματικός) τον έστρεψε στις Θετικές Επιστήμες. Γαλιλαίος (1581-1643) Γεννήθηκε στην Πίζα το 1581 Αρχικά σπούδασε Ιατρική, όμως ο καθηγητής του Οστίλιο Ρίτσι (μαθηματικός) τον έστρεψε στις Θετικές Επιστήμες. Ως δευτεροετής φοιτητής ανακάλυψε: 1. Τον

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΕΤΙΚΗ ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΗ ΠΟΡΕΙΑ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ

ΓΕΝΕΤΙΚΗ ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΗ ΠΟΡΕΙΑ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΗ ΠΟΡΕΙΑ ΓΕΝΕΤΙΚΗ Ένας επιστημονικός κλάδος που με τα επιτεύγματά του προκάλεσε έντονες συζήσεις στο τέλος του 20 ου αιώνα και αναμένεται να απασχολήσει εξίσου έντονα, αν όχι να μονοπωλήσει το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΜΟΝΑ ΩΝ ECTS ΣΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΜΟΝΑ ΩΝ ECTS ΣΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΜΟΝΑ ΩΝ ΣΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ Στην υπ αριθµ. 361/30-11-2009 Γ.Σ. το Τµήµα Φυσικής του Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων υιοθέτησε, σε εναρµόνιση µε το

Διαβάστε περισσότερα

NEWTON. Kepler. Galileo

NEWTON. Kepler. Galileo Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης Τµήµα Φυσικής ΕΞΕΡΕΥΝΩΝΤΑΣ ΤΟ ΗΛΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΠΟ ΤΟ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΑΣ! Κλεοµένης Τσιγάνης ΚύκλοςενηµερωτικώνδιαλέξεωνγιατουςΦοιτητέςκαιΦοιτήτριεςµετίτλο: «Έρευνα στο Τµήµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων;

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων; ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ Είδαµε ότι η φυσική κίνηση ενός σωµατιδίου σε συντηρητικό πεδίο ικανοποιεί την αρχή ελάχιστης δράσης του Hamilton µε Λαγκρανζιανή, όπου η κινητική ενέργεια του

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Εργαστηριακή Άσκηση 5 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας, g. Πειραματική διάταξη: Χρήση απλού εκκρεμούς.

Διαβάστε περισσότερα

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1 Στη συνέχεια θεωρούµε ένα τυχαίο διάνυσµα Σ 1 γράφεται ως, το οποίο στο σύστηµα Το ίδιο διάνυσµα µπορεί να γραφεί στο Σ 1 ως ένας άλλος συνδυασµός τριών γραµµικώς ανεξαρτήτων διανυσµάτων (τα οποία αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Το Ηµερολόγιο των Μάγιας και τα Χρήµατα από τον ρ. Καρλ Τζοχάν Κάλλεµαν

Το Ηµερολόγιο των Μάγιας και τα Χρήµατα από τον ρ. Καρλ Τζοχάν Κάλλεµαν Το Ηµερολόγιο των Μάγιας και τα Χρήµατα Από τον ρ. Καρλ Τζοχάν Κάλλεµαν Λοιπόν, ήθελα να µιλήσω για δυο πράγµατα που νοµίζω δεν συνδέονται πάντα αλλά, πραγµατικά θα τους άξιζε µια σύνδεση. Το ένα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ 1 ο ΘΕΜΑ (1,5 Μονάδες) Στην παράδοση είχε παρουσιαστεί η αριθµητική επίλυση της εξίσωσης «καθαρής συναγωγής» σε µία διάσταση, η µαθηµατική δοµή της οποίας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΧΑΟΥΣ: ΣΥΝΤΟΜΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ ΚΑΙ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΑ ΔΙΔΑΓΜΑΤΑ

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΧΑΟΥΣ: ΣΥΝΤΟΜΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ ΚΑΙ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΑ ΔΙΔΑΓΜΑΤΑ Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΧΑΟΥΣ: ΣΥΝΤΟΜΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ ΚΑΙ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΑ ΔΙΔΑΓΜΑΤΑ Του Έραστου Φίλου 1 Εισαγωγή Πετάμε με το αεροπλάνο, η πτήση κυλάει ομαλά, οι αεροσυνοδοί σερβίρουν ποτά στους επιβάτες, όταν ξαφνικά το αεροπλάνο

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες 2.2.2 Ιστορική εξέλιξη τον µάνατζµεντ.

2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες 2.2.2 Ιστορική εξέλιξη τον µάνατζµεντ. 2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες Έχει παρατηρηθεί ότι δεν υπάρχει σαφής αντίληψη της σηµασίας του όρου "διοίκηση ή management επιχειρήσεων", ακόµη κι από άτοµα που

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 MACROWEB Προβλήματα Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 Παραδείγματα Προβλημάτων. Πως ορίζεται η έννοια πρόβλημα; Από ποιους παράγοντες εξαρτάται η κατανόηση ενός προβλήματος; Τι εννοούμε λέγοντας χώρο ενός προβλήματος;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής

Διαβάστε περισσότερα

κεφάλαιο Βασικές Έννοιες Επιστήμη των Υπολογιστών

κεφάλαιο Βασικές Έννοιες Επιστήμη των Υπολογιστών κεφάλαιο 1 Βασικές Έννοιες Επιστήμη 9 1Εισαγωγή στις Αρχές της Επιστήμης των Η/Υ Στόχοι Στόχος του κεφαλαίου είναι οι μαθητές: να γνωρίσουν βασικές έννοιες και τομείς της Επιστήμης. Λέξεις κλειδιά Επιστήμη

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2003

Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2003 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Γ ΕΚ ΟΣΗΣ Μετά την τρίτη έκδοση του βιβλίου µου µε τα προβλήµατα Μηχανικής για το µάθηµα Γενική Φυσική Ι, ήταν επόµενο να ακολουθήσει η τρίτη έκδοση και του παρόντος βιβλίου µε προβλήµατα Θερµότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΟΡΙΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ;

ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΟΡΙΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ; ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΟΡΙΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ; 4 Μαρτίου 2015 Αστρονομική Εταιρεία Πάτρας «Ωρίων» Βασίλης Αρμάος - Ανδρέας Παπαλάμπρου Αλματώδης ανάπτυξη επιστήμης και τεχνολογίας Θα φτάσουμε ποτέ στην απάντηση

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Η χρονική εξέλιξη της δοµής του ατόµου.

Η χρονική εξέλιξη της δοµής του ατόµου. Ατοµικά πρότυπα Η χρονική εξέλιξη της δοµής του ατόµου. ατοµική θεωρία ηµόκριτου ατοµική θεωρία Dalton πρότυπο Rutherford πρότυπο Schrodinger ~450 π.χ ~1800 µ.χ 1904 µ.χ 1911 µ.χ 1913 µ.χ 1926 µ.χ Σε διάρκεια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΕΙΣ ΚΙ Ο ΚΟΣΜΟΣ. Λεονάρδος Γκουβέλης. Διημερίδα Αστροφυσικής 4-5 Απριλίου

ΕΜΕΙΣ ΚΙ Ο ΚΟΣΜΟΣ. Λεονάρδος Γκουβέλης. Διημερίδα Αστροφυσικής 4-5 Απριλίου ΕΜΕΙΣ ΚΙ Ο ΚΟΣΜΟΣ Λεονάρδος Γκουβέλης Διημερίδα Αστροφυσικής 4-5 Απριλίου Συνοπτικά: Κοσμολογικές θεωρίες ανά τους αιώνες Σύγχρονη κοσμολογική άποψη Αστρονομικές αποδείξεις της θεωρίας του Big Bang Μεγάλα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Η ασφάλεια στον LHC Ο Μεγάλος Επιταχυντής Συγκρουόµενων εσµών Αδρονίων (Large Hadron Collider, LHC) είναι ικανός να επιτύχει ενέργειες που κανένας άλλος επιταχυντής έως σήµερα δεν έχει προσεγγίσει. Ωστόσο,

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣ 114 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ Φθινόπωρο 2014 Διδάσκων/Υπεύθυνος: Φώτης Πτωχός e-mail: fotis@ucy.ac.cy Τηλ: 22.89.2837 Γραφείο: B235 web-page: http://www2.ucy.ac.cy/~fotis/phy114/phy114.htm ΦΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

Βιοπληροψορική, συσιημική βιολογία και εξατομικευμένη θεραπεία

Βιοπληροψορική, συσιημική βιολογία και εξατομικευμένη θεραπεία Βιοπληροψορική, συσιημική βιολογία και εξατομικευμένη θεραπεία Φραγκίσκος Κολίσης Καθηγητής Βιοτεχνολογίας, Σχολή Χημικών Μηχανικών ΕΜΠ, Διευθυντής Ινστιτούτου Βιολογικών Ερευνών και Βιοτεχνολογίας, EIE

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΘΗΜΑ 1: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

Το ταξίδι στην 11η διάσταση

Το ταξίδι στην 11η διάσταση Το ταξίδι στην 11η διάσταση Το κείμενο αυτό δεν αντιπροσωπεύει το πώς παρουσιάζονται οι 11 διστάσεις βάση της θεωρίας των υπερχορδών! Είναι περισσότερο «τροφή για σκέψη» παρά επιστημονική άποψη. Οι σκέψεις

Διαβάστε περισσότερα

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση:

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση: Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει το ατοµικό πρότυπο του Bohr καθώς και τα µειονεκτήµατά του. Να υπολογίζει την ενέργεια που εκπέµπεται ή απορροφάται

Διαβάστε περισσότερα

Το διαστημόπλοιο. Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Δυναμική σε μία διάσταση - Δυναμική στο επίπεδο) Τάξη: Α Λυκείου

Το διαστημόπλοιο. Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Δυναμική σε μία διάσταση - Δυναμική στο επίπεδο) Τάξη: Α Λυκείου Το διαστημόπλοιο Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Δυναμική σε μία διάσταση - Δυναμική στο επίπεδο) Τάξη: Α Λυκείου Χρονική Διάρκεια Προτεινόμενη χρονική διάρκεια σχεδίου εργασίας: 5 διδακτικές ώρες Διδακτικοί

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ»

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Τμήμα 5 ης -6 ης Δημοτικού Σάββατο, 27 Οκτωβρίου 2012 Θαλής ο Μιλήσιος 630/635 π.χ. 543 π.χ. Ο πρώτος φιλόσοφος! Ο Θαλής ο Μιλήσιος ανήκει στους προσωκρατικούς

Διαβάστε περισσότερα

2 Οκτωβρίου, 2015 2ο Συμπόσιο Επτά Σοφών- Μέγαρο Μουσικής. Σ. Μ. Κριμιζής

2 Οκτωβρίου, 2015 2ο Συμπόσιο Επτά Σοφών- Μέγαρο Μουσικής. Σ. Μ. Κριμιζής Σ. Μ. Κριμιζής To Συµπόσιο των 7 Σοφών της Αρχαιότητας Ø ΠΛΟΥΤΑΡΧΟΣ Ἠθικὰ : Τῶν ἑπτὰ σοφῶν συµπόσιον Ø Βίας ο Πριηνεύς--Θαλής ο Μιλήσιος--Κλεόβουλος ο Λίνδιος--Περίανδρος ο Κορίνθιος--Πιττακός ο Μυτιληναίος--Σόλων

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας 3ο Φυλλάδιο - Ορµή / Κρούση

Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας 3ο Φυλλάδιο - Ορµή / Κρούση Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας - Ορµή / Κρούση Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός http://perifysikhs.wordpress.com 1 Σύστηµα Σωµάτων - Εσωτερικές & Εξωτερικές υνάµεις ύο ή περισσότερα

Διαβάστε περισσότερα

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Δημήτρης Δεληκαράογλου Αναπλ. Καθ., Σχολή Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επισκ.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή: ΑυτοοργΑνωση, AνΑδυση και ΠολυΠλοκοτητΑ κεφάλαιο 1: ΜοριΑκη BιολογιΑ και EΠιστηΜΕσ τησ ΠληροφοριΑσ

Εισαγωγή: ΑυτοοργΑνωση, AνΑδυση και ΠολυΠλοκοτητΑ κεφάλαιο 1: ΜοριΑκη BιολογιΑ και EΠιστηΜΕσ τησ ΠληροφοριΑσ Περιεχόμενα Περιεχόμενα Εισαγωγή: Αυτοοργάνωση, Aνάδυση και Πολυπλοκότητα... 15 Πώς μπορούν τα πράγματα να αυτοοργανώνονται;... 15 Προσπάθεια να δοθεί ένας προκαταρκτικός ορισμός της αυτοοργάνωσης...18

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική Εργασία µε. Ζωγραφική και Μαθηµατικά

Ερευνητική Εργασία µε. Ζωγραφική και Μαθηµατικά Ερευνητική Εργασία - Ζωγραφική και Μαθηµατικά Ηλίας Νίνος Ερευνητική Εργασία µε θέµα: Μαθηµατικά και Τέχνη Υποθέµα: Μαθηµατικά και Ζωγραφική Οµάδα: Μαρία Βαζαίου- Ηρώ Μπρούφα- Μαθηµατικά εννοούµε την επιστήµη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών ΑΔΑ: ΒΙΥΗ469Β7Λ-ΨΞΚ Α.Π : 2223 HMEPOMHNIA : 05.06.2014 Θέμα : Συγκρότηση Ειδικής Επταμελούς Επιτροπής Επιλογής καθηγητή του Τμήματος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ: Μια ενδιαφέρουσα σταδιοδρομία

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ: Μια ενδιαφέρουσα σταδιοδρομία ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ: Μια ενδιαφέρουσα σταδιοδρομία N. Μισυρλής (e-mail: nmis@di.uoa.gr) Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Parallel Scientific Computing Laboratory (PSCL)

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΩΡΙΩΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΤΡΑΣ

ΩΡΙΩΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΤΡΑΣ ΩΡΙΩΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΤΡΑΣ Κ. Ν. Γουργουλιάτος ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ Η ΒΑΣΙΚΗ ΙΔΕΑ Αντικείμενα που εμποδίζουν την διάδοση φωτός από αυτά Πρωτοπροτάθηκε γύρω στα 1783 (John( John Michell) ως αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 23 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΚΕΙΜΕΝΟ O εικοστός αιώνας δικαίως χαρακτηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Οι μεγάλες εξισώσεις....όχι μόνο σωστές αλλά και ωραίες...

Οι μεγάλες εξισώσεις....όχι μόνο σωστές αλλά και ωραίες... Οι μεγάλες εξισώσεις. {...όχι μόνο σωστές αλλά και ωραίες... Ερευνητική εργασία μαθητών της Β λυκείου. E = mc 2 Στοιχεία ταυτότητας: Ε: ενέργεια (joule) m: μάζα (kg) c: ταχύτητα του φωτός στο κενό (m/s)

Διαβάστε περισσότερα