Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης"

Transcript

1 Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Σκοπός του κειµένου είναι να υποστηριχθούν οι παρακάτω θέσεις εν έχουν κανένα απολύτως νόηµα φράσεις του τύπου «η φάση της ταλάντωσης είναι» ή «η αρχική φάση της ταλάντωσης είναι», αφού και οι δύο έννοιες που ε- µπλέκονται δεν αφορούν το φαινόµενο αυτό καθ εαυτό, την ταλάντωση δηλαδή, αλλά την εξίσωση κίνησης που επιλέξαµε για να περιγράψουµε την ταλάντωση. Νόηµα έχουν µόνο φράσεις του τύπου «η φάση της αποµάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης τάδε είναι» ή «η αρχική φάση της αποµάκρυνσης στην τάδε εξίσωση κίνησης είναι» Οι ορισµοί των εννοιών «φάση» και «αρχική φάση» πρέπει να αντληθούν από τη διαφορική εξίσωση και τη λύση της (την εξίσωση κίνησης δηλαδή) και όχι να τεθούν αυθαίρετα και εκ των προτέρων. Οποιαδήποτε συνάρτηση και να γράψουµε στη Φυσική, για οποιοδήποτε µέγεθος, επιβάλλεται να δώσουµε και το πεδίο ορισµού της Ενδιάµεσες εµπειρίες κατά τη ροή του κειµένου, υποστηρίζουν τις θέσεις Οι γενικές µορφές των εξισώσεων κίνησης είναι αυτές των µαθηµατικών. Οι ειδικές µορφές τους εξαρτώνται από τις υποθέσεις που θα κάνουµε, τις επιλογές στις οποίες θα καταλήξουµε και τις συνθήκες που δίνονται στο συγκεκριµένο πρόβληµα Η γενική µορφή της εξίσωσης στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση είναι x=c +C µε 0 Τα C και C, γενικά, δεν είναι η αρχική ταχύτητα υ 0 και η αρχική θέση x 0 του υλικού σηµείου, αλλά ούτε και συνδυασµοί τους. Είναι συνδυασµός των δύο συνθηκών που απαιτείται να µας δίνει η άσκηση, αν δε µας δίνει απευθείας την εξίσωση Ο λόγος ύπαρξης, η τοποθεσία άντλησης και η πορεία των ορισµών δεν είναι ίδια και αυτό δε γίνεται να αγνοηθεί ούτε κατά την παρουσίασή τους, ούτε κατά τη χρήση τους Σε µια εξίσωση κίνησης γενικά, ίσως αποδειχτεί πολύ επικίνδυνο να επεµβαίνουµε και να αλλάζουµε τη µεταβλητή από σε - 0. Μπορούµε απλά να βάζουµε το πεδίο ορισµού της

2 Γενικά Συνεχίζοντας, έστω και µε µεγάλη καθυστέρηση, την κουβέντα για τη «φάση» και την «αρχική φάση», θα προσπαθήσω να συνεισφέρω κι εγώ στην αναζήτηση του σωστού ορισµού της αρχικής φάσης που έθεσε ο ιονύσης, πιστεύοντας ότι οι σωστοί ορισµοί είναι, όχι απλά απαίτηση µιας σωστής Φυσικής, αλλά απαραίτητη προϋπόθεση µιας σωστής σκέψης. Στην αναζήτηση αυτή τη συγκεκριµένη, επιβάλλεται να ανατρέξουµε στην ξεχωριστή εκείνη εσωτερική λειτουργία των διαφορικών εξισώσεων, µε την οποία διάφορες ποσότητες (µεγέθη) ορίζονται καθώς αποκαλύπτονται στο φυσικό, αλλά όχι στο µαθηµατικό. Ας αρχίσουµε µε παράδειγµα απλό: Η εξίσωση κίνησης στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση Για κάποιον αδρανειακό παρατηρητή, η συνισταµένη των δυνάµεων που δρουν σε υλικό σηµείο µάζας m είναι µηδέν. Τη χρονική στιγµή 0 αρχίζει να µελετά την κίνηση. Να βρεθεί η γενική µορφή της εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου. Η εξίσωση κίνησης x() ή πιο απλά x, του υλικού σηµείου, προσδιορίζεται από το ο νόµο του Νεύτωνα d x ma = 0 = 0 µε 0 () d Η διαφορική αυτή εξίσωση είναι γραµµική δευτέρου βαθµού και άρα η λύση της θα απαιτήσει δύο προσδιοριστέες για τον φυσικό σταθερές C και C (µη προσδιοριστέες για το µαθηµατικό, µιας και αυτός συνήθως δεν ενδιαφέρεται για τον προσδιορισµό τους, αλλά µόνο για την παρουσία τους στη λύση). Πράγµατι η λύση της διαφορικής εξίσωσης () και συνεπώς η εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου είναι x=c +C µε 0 Εποµένως, Η γενική µορφή της εξίσωσης κίνησης υλικού σηµείου που για 0 R εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση είναι Στην παραπάνω γενική εξίσωση κίνησης x=c +C µε 0 () εν απαιτείται καµιά δικιά µας εκ των υστέρων τροποποίηση στο χρόνο, να γίνει δηλαδή - 0 ή κάτι άλλο, παρά µόνο ο προσδιορισµός των σταθερών C και C συναρτήσει των συνθηκών που θα µας δώσουν

3 Οι σταθερές C και C, γενικά, όχι µόνο δεν είναι η αρχική ταχύτητα υ 0 και η αρχική θέση x 0 του υλικού σηµείου, αλλά ούτε και συνδυασµοί τους. Είναι εκφράσεις, αποκλειστικά των συγκεκριµένων συνθηκών που θα µας δώσουν και επιβάλλεται να µας δώσουν. Οι συνθήκες αυτές δεν είναι κατ ανάγκη οι αρχικές συνθήκες, η αρχική θέση x 0 και η αρχική ταχύτητα υ 0 δηλαδή. Για να γίνει αυτό κατανοητό, ας δούµε κάποια παραδείγµατα: ο παράδειγµα: Για κάποιον αδρανειακό παρατηρητή, η συνισταµένη των δυνάµεων που δρουν σε υλικό ση- µείο µάζας m είναι µηδέν. Τη χρονική στιγµή 0 που αρχίζει να µελετά την κίνηση το υλικό ση- µείο βρίσκεται στη θέση x 0 (αρχική θέση) και έχει ταχύτητα υ 0 (αρχική ταχύτητα). Να βρεθεί η εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου. ( ίνονται δύο συγκεκριµένες συνθήκες. Οι αρχικές) Λύση Το σηµείο για 0 R εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση. Η γενική µορφή της εξίσωσης κίνησής του είναι η σχέση () Εποµένως η εξίσωση της ταχύτητας είναι Για = 0 οι () και (3) γίνονται x=c +C µε 0 () dx υ = = C µε 0 (3) d x 0 = C 0 +C και υ 0 =C από όπου προκύπτει C =υ 0 και = x υ C Συµπέρασµα: Η εξίσωση της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης ενός υλικού σηµείου, που αρχίζουµε να το παρατηρούµε τη χρονική στιγµή 0 R όταν αυτό βρισκόταν στη θέση x 0 R και είχε ταχύτητα υ 0 R, είναι x= υ µε 0 (4) 0+ x0 υ 00 3

4 ο παράδειγµα: Υλικό σηµείο εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση. Τη χρονική στιγµή 0 αρχίζουµε να µελετάµε την κίνησή του. Το υλικό σηµείο τη χρονική στιγµή 0 βρίσκεται στη θέση x, ενώ τη χρονική στιγµή 0 έχει ταχύτητα υ. Να βρεθεί η εξίσωση κίνησής του. ( ίνονται δύο συγκεκριµένες συνθήκες. Οι x και υ ) Λύση Το υλικό σηµείο εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση και εποµένως η γενική µορφή της εξίσωσής του είναι Η εξίσωση της ταχύτητας είναι Βάσει των δεδοµένων οι σχέσεις (5) και (6) δίνουν x=c +C µε 0 (5) dx υ = = C µε 0 (6) d x =C +C από όπου τελικά υ =C C = υ C = x -υ (Εσκεµµένα δεν έγινε αναφορά στο γεγονός ότι η ταχύτητα είναι σταθερή (βλέπε σχέση 6) προκειµένου να δοθεί έµφαση στο τρόπο χειρισµού των «πραγµάτων». Της µεθοδολογίας δηλαδή που θα χρησιµοποιήσουµε σε πιο δύσκολες περιπτώσεις. Σαφώς και αποδεικνύεται ότι στην ευθ. οµαλή κίνηση το C πάντα ισούται µε την σταθερή έτσι κι αλλιώς ταχύτητα του υλικού σηµείου. Το αποφεύγω όµως να το τονίσω, µόνο και µόνο για να κάνω ανάγλυφο τον τρόπο αντιµετώπισης πιο δύσκολων περιπτώσεων ) Συµπέρασµα: Η εξίσωση της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης ενός υλικού σηµείου, που αρχίζουµε να το παρατηρούµε τη χρονική στιγµή 0 R και που τη χρονική στιγµή 0 βρίσκεται στη θέση x, ενώ τη χρονική στιγµή 0 έχει ταχύτητα υ είναι x= υ + x -υ µε 0 (7) 3 ο παράδειγµα: Υλικό σηµείο εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση. Τη χρονική στιγµή 0 αρχίζουµε να µελετάµε την κίνησή του. Το υλικό σηµείο τη χρονική στιγµή 0 βρίσκεται στη θέση x, ενώ τη χρονική στιγµή 0 βρίσκεται στη θέση x. Να βρεθεί η εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου. ( ίνονται δύο συγκεκριµένες συνθήκες. Οι x και x ) 4

5 Λύση Το υλικό σηµείο εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση και συνεπώς η γενική µορφή της εξίσωσής του είναι Βάσει των δεδοµένων η σχέση (8) δίνει x=c +C µε 0 (8) x =C +C από όπου προκύπτει x =C +C C x = και x C = x x Συµπέρασµα: Η εξίσωση της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης ενός υλικού σηµείου, που αρχίζουµε να το παρατηρούµε τη χρονική στιγµή 0 R και που τη χρονική στιγµή 0 βρίσκεται στη θέση x, ενώ τη χρονική στιγµή 0 στη θέση x είναι x x = + (9) x x x (Ας δούµε και µερικά αριθµητικά παραδείγµατα, ξεκινώντας από τη λύση της παρακάτω άσκησης, που δανείστηκα από το ιονύση και την τροποποίησα για τους σκοπούς του κειµένου) 4 ο παράδειγµα: «Αρχίζουµε να παρατηρούµε υλικό σηµείο που τη χρονική στιγµή 0 =3 sec βρίσκεται στη θέση x 0 =40 m και κινείται µε σταθερή ταχύτητα µέτρου υ=4 m/sec. α) Ποια είναι η εξίσωση της κίνησής του β) Ποια είναι η θέση του κινητού τη χρονική στιγµή = sec γ) Ποια είναι τη χρονική στιγµή =4 sec;» Λύση Η εξίσωση της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης είναι Η εξίσωση της ταχύτητάς του είναι x=c +C (SI) µε 3 sec (0) dx υ = = C (SI) µε 3 sec () d Με βάσει τις δεδοµένες συνθήκες για = 0 =3sec οι παραπάνω σχέσεις γίνονται -40=C 3+C (SI) 4=C (SI) 5

6 από όπου C =4 και C =-5 Άρα: α) Η εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου είναι x=45 3 sec (SI) () β) Η χρονική στιγµή = sec δεν ανήκει στο πεδίο ορισµού της εξίσωσης κίνησης () και συνεπώς δεν µπορούµε να πούµε που βρισκόταν το κινητό αυτή τη χρονική στιγµή. γ) Τη χρονική στιγµή =4 sec το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση x =4 45=36m 5 ο παράδειγµα: «Υλικό σηµείο εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση µε εξίσωση κίνησης x=45 3 sec (SI) Να βρεθεί: α) Η αρχική του θέση β) Η θέση του τη χρονική στιγµή = sec γ) Η θέση του τη χρονική στιγµή =4 sec δ) Η ταχύτητά του» Λύση α) Η αρχική θέση του κινητού, είναι η θέση του, όταν αρχίζουµε να παρατηρούµε την κίνησή του. ηλαδή η θέση του τη χρονική στιγµή 0 =3 sec x 0 =4 35=40m β) Η θέση του υλικού σηµείου τη χρονική στιγµή = sec δεν είναι δυνατό να βρεθεί γιατί η τιµή = sec είναι εκτός πεδίου ορισµού. γ) Η θέση του σηµείου τη χρονική στιγµή =4 sec είναι δ) Η ταχύτητά του είναι υ=4m/sec x =4 45=-36m Με όλα τα παραπάνω θέλουµε να τονίσουµε το γεγονός ότι στη µεθοδολογία µε την οποία αντιµετωπίζεται η εξίσωση κίνησης (), γενικά δεν είναι αυτονόητο και δεν πρέπει να είναι αυτονόητο ότι η αρχική ταχύτητα είναι C και ότι η αρχική θέση είναι C. 6

7 Τα C και C δεν είναι τίποτε άλλο παρά πραγµατικοί αριθµοί, που θα προσδιοριστούν από τις δύο συνθήκες που πρέπει απαραίτητα να µας δίνει πρόβληµα και που δεν είναι απαραίτητο να είναι οι αρχικές Παρατηρήσεις: α) Συγκρίνοντας τη σχέση (4) µε τη σχέση () καταλαβαίνουµε, ότι η γραφή ή αλλιώς η x= υ µε 0 0+ x0 υ 00 x =υ + µε 0 0 ( 0 ) x0 είναι ειδική µορφή της εξίσωσης της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης, µιας και το x δίνεται συναρτήσει των αρχικών συνθηκών x 0 και υ 0, δηλαδή συναρτήσει συγκεκριµένων συνθηκών. Προφανώς η εξίσωση κίνησης x =υ + µε 0 sec 0 x 0 είναι ακόµη πιο ειδική µορφή και αναφέρεται όχι µόνο σε τελείως συγκεκριµένες «συνθήκες» (στις αρχικές), αλλά και στο γεγονός ότι η παρατήρησή µας άρχισε τη χρονική στιγµή 0 =0 sec β) Η εξίσωση κίνησης της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης συναρτήσει των αρχικών συνθηκών x 0 και υ 0 είναι η (4), δηλαδή η Η εξίσωση αυτή µπορεί να γραφεί x= υ µε 0 (4) 0+ x0 υ00 x = υ + x µε 0 0 ( 0 ) 0 ή αλλιώς x = υ + µε 0 sec (3) 0 x 0 Η εξίσωση (3) όμως, πρέπει να αποφεύγεται για τους παρακάτω λόγους: Οι εξισώσεις κίνησης αποτελούν λύσεις διαφορικών εξισώσεων, οι οποίες συνηθίζεται να µην περιέχουν χρονικές διαφορές, αλλά αυτή καθ εαυτή τη µεταβλητή και το πεδίο ορισµού της. Ο λόγος είναι προφανής γρήγορα το θα καταλήξει σε d, γεγονός το οποίο θα δηµιουργήσει έντονες παρανοήσεις, µιας και η λύση της διαφορικής εξίσωσης (η ε- ξίσωση κίνησης δηλαδή) θα εµφανίζεται να περιέχει διαφορικά όπως και η διαφορική. Τότε θα χρειαστεί πολύ µεγάλη προσοχή από αυτόν που χειρίζεται τα «πράµατα» και ο οποίος βέβαια είναι απίθανο να είναι µαθητής. 7

8 Η εξίσωση (3) είναι πιο «σκοτεινή» από την (4), αφού µας καθιστά µεν ικανούς να απαντήσουµε στο ερώτηµα «πού βρίσκεται το υλικό σηµείο µετά από χρόνο Δ αφότου αρχίσαµε να µελετάµε την κίνησή του», αλλά µας καθιστά τελείως ανίκανους να απαντήσουµε στο ερώτηµα «πού βρίσκεται το κινητό την τυχαία χρονική στιγµή», µιας και δε ξέρουµε την χρονική στιγµή που αρχίσαµε να µελετάµε την κίνηση. γ) Συμφωνώ απόλυτα με το Διονύση ότι η χρονική στιγµή 0 R, που έχει ληφθεί ως αρχή των χρόνων, έχει αξία στην ψηλάφηση της εξίσωσης της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης τόσο για την εννοιολογική όσο και για τη µαθηµατική ανάδειξη του φαινοµένου. Τι σηµαίνει αυτό;;; Σηµαίνει ότι είναι τελείως ελλιπές το να µας δοθεί µια εξίσωση ευθύγραµµης οµαλής κίνησης χωρίς το πεδίο ορισµού της µεταβλητής. Για παράδειγµα, αν µας δοθεί ως εξίσωση κίνησης «σκέτα» η x=3+4 (SI) (4) δε µπορούµε να ανακαλύψουµε λεπτοµέρειες της κίνησης. Ή για να είµαστε πιο αυστηροί, η γραφή αυτή δε µας λέει απολύτως τίποτε, µιας και είναι αδύνατο να προβλέψουµε είτε πού βρίσκεται το κινητό την τυχαία χρονική στιγµή, είτε πού βρισκόταν όταν αρχίσαµε να το παρατηρούµε. Και τούτο, γιατί δεν ξέρουµε ποιες τιµές του χρόνου είναι δεκτές και ποιες όχι. Από την (6) δηλαδή λείπει το πεδίο ορισµού της. Προφανώς στη σχέση (6) η αρχική θέση δεν είναι η 4m, µιας και κάτι τέτοιο θα υπονοούσε ότι η παρατήρησή µας ξεκίνησε τη χρονική στιγµή 0 =0 sec κάτι το οποίο δε δίνεται. Με λίγα λόγια, στις εξισώσεις κίνησης, όπως και σε κάθε συνάρτηση τόσο της Φυσικής όσο και των Μαθηματικών, πρέπει απαραιτήτως να δοθεί το πεδίο ορισμού. Αλλιώς κινδυνεύουµε να εµπλακούµε στις α-νοησίες του θέµατος που αφορούσε τα κύµατα στις πανελλαδικές εξετάσεις του 009. Εκεί δε ξέραµε ούτε που ξεκινάει, ούτε που καταλήγει το «κύµα», ούτε πότε άρχισε, ούτε., ούτε Όλα τα υπονοούσαµε και τα εννοούσαµε µεταξύ µας σα να µασταν φυλή φυσικών που µιλά δικιά της διάλεκτο. Τελικά συµπεράσµατα ) Η εξίσωση κίνησης της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης είναι x=c +C µε 0 Οι σταθερές C και C, γενικά δεν είναι ούτε η αρχική θέση, ούτε η αρχική ταχύτητα. Οι σταθερές C και C θα προσδιοριστούν από τις δύο οποιεσδήποτε συνθήκες που θα µας δώσουν. Επιβάλλεται να µας τις δώσουν και να είναι δύο. 8

9 ) Αν µας δώσουν την εξίσωση κίνησης µε νούµερα µια αντικατάσταση, εφόσον είναι µέσα στο πεδίο ορισµού της, αρκεί για να µας δώσει ό,τι ζητάµε. 3) Στη γραφή της εξίσωσης κίνησης βάζουµε υποχρεωτικά το πεδίο ορισµού και δε χρειάζεται να επεµβαίνουµε από «µηχανής» και να χαλάµε τη µεταβλητή αντικαθιστώντας την µε άλλες παραστάσεις όπως - 0 κ.λ.π. Αν το κάνουµε θα πρέπει να το συνοδεύσουµε µε κανόνες κάτι που θα δηµιουργήσει φοβίες. Μπορούµε τώρα να κάνουµε µια πρώτη επαφή µε τη διαδροµή ή όχι των ορισµών µέσα από τις διαφορικές εξισώσεις και από τις εξισώσεις κίνησης. Ξέρω ότι είναι κουραστικό που το επαναλαµβάνω, αλλά αξίζει να προσέξουμε τούτο: Στην εξίσωσης κίνησης υλικού σηµείου που για 0 R εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση, δηλαδή στην x=c +C µε 0 τα C και C είναι απαίτηση της διαφορικής εξίσωσης και συνδέονται µε τις δύο «συνθήκες» που πρέπει οπωσδήποτε να µας δώσουν, αλλά δεν είναι γενικά οι δύο αυτές συνθήκες. Οι δύο συνθήκες που συνήθως µας δίνουν είναι οι αρχικές x 0 και υ 0. Αυτό ό- µως όπως είδαµε δεν είναι απαραίτητο. Για να αρχίσει να διαφαίνεται ο βαθύτερος λόγος για τον οποίο γράφτηκαν όλα τα παραπάνω, ας φέρουµε στο προσκήνιο κάποιους ορισµούς και ας δούµε τη σύνδεσή τους ή όχι µε τη διαφορική και την εξίσωση κίνησης. Αρχική θέση: Η θέση του υλικού σηµείου τη χρονική στιγµή 0 που αρχίζουµε την παρατήρηση της κίνησής του. Αρχική ταχύτητα: Η ταχύτητα του υλικού σηµείου τη χρονική στιγµή 0 που αρχίζουµε την παρατήρηση της κίνησής του. Οι ορισµοί των εννοιών «αρχική θέση x 0» και «αρχική ταχύτητα υ 0» µπορεί να είναι εύκολοι έως αυτονόητοι, όµως το σηµαντικότερο είναι ότι, όχι απλά προϋπάρχουν της διαφορικής και της εξίσωσης κίνησης, αλλά ότι µπορούν να καθορίσουν την ειδική µορφή της λύσης της διαφορικής, δηλαδή την ειδική µορφή που θα πάρει η εξίσωση κίνησης. Εκτός των άλλων, µε αυτό θέλω να πω και το εξής: Οι παραπάνω ορισµοί των εννοιών «αρχική θέση» και «αρχική ταχύτητα» προϋπάρχουν των σταθερών C και C που χρειάζεται η λύση της διαφορικής. Εποµένως δεν εξαρτώνται από τη διαφορική και από τη λύση της ή από τη µορφή λύσης που θα επιλέξουµε. 9

10 Το κυριότερο όµως είναι ότι τα x 0 και υ 0 µπορούν να προσδιορίσουν τις C και C αν είναι οι δεδοµένες συνθήκες του προβλήµατος και συνεπώς να προσδιορίσουν την τελική µορφή της εξίσωσης κίνησης. Το αντίθετο ακριβώς, όπως θα δούµε, συµβαίνει µε τη φάση και την αρχική φάση. Οι έννοιες αυτές ορίζονται και άρα υπάρχουν σε απόλυτη εξάρτηση από τη διαφορική και από τη µορφή της συνάρτησης που θα επιλέξουµε ως λύση της διαφορικής, µιας και εξαρτώνται απόλυτα από τις σταθερές C και C που θα χρησιµοποιήσουµε και από τη µορφή της λύσης που θα επιλέξουµε. Με τα παραπάνω θέλω να πω το εξής: Όπως υπάρχουν ορισµοί που προσδιορίζουν τις σταθερές της εξίσωσης κίνησης, υπάρχουν και ορισµοί που προκύπτουν από τη µορφή της εξίσωσης κίνησης που θα επιλέξουµε, γεγονός που καθιστά όχι µόνο την ύπαρξη τους, αλλά και τη συµπεριφορά και τους µαθηµατικούς περιορισµούς τους, απόλυτα συνδεδεµένους µε την εξίσωση που επιλέξαµε και όχι µε το φαινόµενο. Η διαφορετικότητα αυτή των ορισµών πρέπει να αντανακλάται οπωσδήποτε και στην αντι- µετώπιση που θα τύχουν από µας. Εποµένως, ο παραλληλισµός αρχικής θέσης και αρχικής φάσης, καθώς και η αποσύνδεση του ορισµού της φάσης και της αρχικής φάσης από την εξίσωση κίνησης, νοµίζω ότι είναι επισφαλής και γρήγορα, αν δεν υπάρξει η κατάλληλη εµπειρία και η ξεχωριστή ικανότητα, θα οδηγήσει τον φυσικό και όχι µόνο, σε παρανοήσεις τόσο του φαινοµένου, όσο και του εννοιολογικού του εξοπλισµού και της µαθηµατικής του επεξεργασίας. Τα μεγέθη πολλές φορές έχουν, όχι απλά άλλη ποιότητα, αλλά ακολουθούν τελείως διαφορετικές εννοιολογικές και φορμαλιστικές διαδρομές, με αποτέλεσμα οι ορισμοί τους να συνδέονται άμεσα με αυτές τις διαδρομές και ο χειρισμός τους να αντανακλά αυτές τις διαδρομές. Θα δούµε όµως καλύτερα όλα αυτά σε επόµενη ανάρτηση, όπου θα επιχειρήσουµε να εντοπίσουµε τους ορισµούς φάση και αρχική φάση µέσα από τη διαφορετικότητα της ποιότητάς τους και την ξεχωριστή διαδροµή που ακολουθούν. (συνεχίζεται) Τρίτη, 5 Οκτωβρίου 00 Θρασύβουλος Κων. Μαχαίρας Άγιος Βλάσιος Πηλίου 0

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Περί της «Αρχής ανεξαρτησίας των κινήσεων»

Περί της «Αρχής ανεξαρτησίας των κινήσεων» Περί της «Αρχής ανεξαρτησίας των κινήσεων» Παρακολουθώ στο δίκτυο τις τελευταίες µέρες να γίνεται συζήτηση για την «Αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων» ή την «επαλληλία εξισώσεων κίνησης». Προσπαθώ στο µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Οι θέσεις µου... Ένα υλικό σηµείο κάθε φορά βρίσκεται σε ένα µόνο σε ένα σηµείο του χώρου και άρα κάνει µία µόνο κίνηση.

Οι θέσεις µου... Ένα υλικό σηµείο κάθε φορά βρίσκεται σε ένα µόνο σε ένα σηµείο του χώρου και άρα κάνει µία µόνο κίνηση. Οι θέσεις µου... ) Η παράγραφος.7α του σχολικού βιβλίου Κατεύθυνσης Γ Λυκείου είναι λάθος, γιατί σύνθεση απλών αρµονικών ταλαντώσεων ίδιας συχνότητας ίδιας διεύθυνσης ούτε υπάρχει ούτε υποστηρίζεται θεωρητικά.

Διαβάστε περισσότερα

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1 Στη συνέχεια θεωρούµε ένα τυχαίο διάνυσµα Σ 1 γράφεται ως, το οποίο στο σύστηµα Το ίδιο διάνυσµα µπορεί να γραφεί στο Σ 1 ως ένας άλλος συνδυασµός τριών γραµµικώς ανεξαρτήτων διανυσµάτων (τα οποία αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Προβληματισμοί κατά τη διδασκαλία της σύνθεσης κινήσεων

Προβληματισμοί κατά τη διδασκαλία της σύνθεσης κινήσεων Θρασύβουλος Κων. Μαχαίρας Προβληματισμοί κατά τη διδασκαλία της σύνθεσης κινήσεων (α μέρος) 1 Σκοπός αυτής της σειράς διαφανειών είναι να αναδείξει την αξία που έχει η επιλογή της μορφής της εξίσωσης ενός

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Εξίσωση γραμμικού αρμονικού κύματος

Εξίσωση γραμμικού αρμονικού κύματος Εξίσωση γραμμικού αρμονικού κύματος Το γραμμικό αρμονικό κύμα έχει εξ ορισμού τα εξής γνωρίσματα: Κύμα = Διάδοση ενέργειας χωρίς μεταφορά ύλης. Επιτρεπτή η συμμετοχή της ύλης στον κυματικό μηχανισμό. Απαραίτητη

Διαβάστε περισσότερα

Η αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων

Η αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων Η αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων Την διετύπωσε ο Γαλιλαίος εξετάζοντας την περίπτωση της οριζόντιας βολής. «Η µετά χρόνο t θέση ενός κινητού που συµµετέχει σε δύο κινήσεις προσδιορίζονται, εάν φανταστούµε

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η ιδιαιτερότητα της απλής αρµονικής ταλάντωσης

Α. Η ιδιαιτερότητα της απλής αρµονικής ταλάντωσης Η «σύνθεση απλών αρµονικών ταλαντώσεν ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας» είναι µια απλή πρόσθεση αρχικών συνθηκών (δ µέρος) Α. Η ιδιαιτερότητα της απλής αρµονικής ταλάντσης Πρόταση 1: «Η επαλληλία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Η ταχύτητα συνήθως δεν παραµένει σταθερή Ας υποθέσουµε ότι ένα αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραµµο δρόµο µε ταχύτητα k 36. Ο δρόµος είναι ανοιχτός και ο οδηγός αποφασίζει

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια.

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια. Kεφάλαιο 10 Θα δούµε ένα δύο παραδείγµατα να ορίσουµε/ µετρήσουµε τα υποπαίγνια και µετά θα λύσουµε και να βρούµε αυτό που λέγεται τέλεια κατά Nash ισορροπία. Εδώ θα δούµε ένα παίγνιο όπου έχουµε µια επιχείρηση

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Η ανατοµία ενός λανθασµένου ορισµού

Η ανατοµία ενός λανθασµένου ορισµού Η ανατοµία ενός λανθασµένου ορισµού Όταν σε έναν ορισµό της Φυσικής εµπλέκεται ποσοτική σχέση, είναι πολύ πιο δύσκολο να δοθεί αυτός ο ορισµός, από ότι ένας αντίστοιχος ορισµός στα Μαθηµατικά Για πολλούς

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11 Να λυθεί το σύστημα: Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα x+ 3y= 38 3x y = 2 Θα λύσουμε το σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης: x+ 3y= 38 x = 38 3y x = 38 3y x = 38 3y 3x y = 2 338 ( 3y) y= 2 3 38 9y y =

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ Το παιχνίδι θα αποτελείται από δυο παίκτες, οι οποίοι θα βρίσκονται αντικριστά στις άκρες ενός γηπέδου δεξιά και αριστερά, και µια µπάλα.

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε χώρο, όπου συνυπάρχουν ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο ομογενή και χρονοανεξάρτητα

Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε χώρο, όπου συνυπάρχουν ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο ομογενή και χρονοανεξάρτητα Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε χώρο, όπου συνυπάρχουν ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο ομογενή και χρονοανεξάρτητα Μέρος α : Εξισώσεις κίνησης και συμπεράσματα) Α. Τι βλέπει ένας αδρανειακός παρατηρητής

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 3/2001 Μηχανική ΙI Λαγκρανζιανή συνάρτηση Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι ο δυναµικός νόµος του Νεύτωνα είναι ισοδύναµος µε την απαίτηση η δράση ως το ολοκλήρωµα της

Διαβάστε περισσότερα

Α. Σηµεία γενικότερου προβληµατισµού

Α. Σηµεία γενικότερου προβληµατισµού Εξαναγκασµένος αρµονικός ταλαντωτής χωρίς απόσβεση Το καλοκαίρι που πέρασε, η «περιπέτεια» της φθίνουσας κλόνισε την πίστη µου στην αυθεντία των πανεπιστηµιακών µας βιβλίων. Σοκαρίστηκα διαπιστώνοντας

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό πρόβλημα στη συμβολή κυμάτων.

Επαναληπτικό πρόβλημα στη συμβολή κυμάτων. Επαναληπτικό πρόβλημα στη συμβολή κυμάτων. ύο σύγχρονες πηγές Π 1 και Π 2 που απέχουν απόσταση d=8m, παράγουν στην επιφάνεια ενός υγρού αρµονικά κύµατα που έχουν ταχύτητα διάδοσης υ=2m/s. Η εξίσωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Η αξία του πεδίου ορισμού Οι έννοιες «Φάση» και «Αρχική Φάση»

Η αξία του πεδίου ορισμού Οι έννοιες «Φάση» και «Αρχική Φάση» Γενικό Λύκειο Αγριάς Μαγνησίας Η αξία του πεδίου ορισμού Οι έννοιες «Φάση» και «Αρχική Φάση»... ενίοτε επιβάλλεται να ανατρέχουμε στην ξεχωριστή εκείνη εσωτερική λειτουργία των εξισώσεων κίνησης, με την

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης (β µέρος) Εξίσωση κίνησης στην απλή αρµονική ταλάντωση Σε υλικό σηµείο µάζας m που κινείται, δρα αποκλειστικά δύναµη επαναφοράς F= Dx. Την κίνηση του υλικού σηµείου, που ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση

α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση Λύση ΑΣΚΗΣΗ 1 α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση, προκύπτει: και Με αντικατάσταση στη θεµελιώδη εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση;

Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση; Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση; Ξεκινώντας θα ήθελα να θυµίσω κάποια στοιχεία που σχετίζονται µε τον ορισµό της συχνότητας σε ένα περιοδικό φαινόµενο, άρα και στην ΑΑΤ.

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Κινηµατική Οµάδα Γ.

1.1. Κινηµατική Οµάδα Γ. 1.1. Οµάδα Γ. 1.1.21. Πληροφορίες από το διάγραµµα θέσης-χρόνου..ένα σώµα κινείται ευθύγραµµα και στο διάγραµµα βλέπετε τη θέση του σε συνάρτηση µε το χρόνο. i) Βρείτε την κλίση στο διάγραµµα x-t στις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΟΝ ΑΠΛΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΟΝ ΑΠΛΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΟΝ ΑΠΛΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ Μια πρόταση δυναµικής µελέτης Προϋπόθεση ώστε να εκτελεί Ελεύθερη Αρµονική Ταλάντωση χωρίς απόσβεση ή Απλή Αρµονική Ταλάντωση (ΑΑΤ), ένα υλικό σηµείο µάζας

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ Kεφάλαιο 11 Θα επαναλάβουµε αυτά που είχαµε πει την προηγούµενη φορά. Παραστατικά αν έχουµε το εξής παίγνιο όπου οι δύο παίχτες παίρνουν ταυτόχρονα τις αποφάσεις τους αφού αποφασίσει ο Ι, θα δούµε πόσα

Διαβάστε περισσότερα

Ταλαντώσεις σώματος αλλά και συστήματος.

Ταλαντώσεις σώματος αλλά και συστήματος. σώματος αλλά και συστήματος. Μια καλοκαιρινή περιπλάνηση. Τα δυο σώµατα Α και Β µε ίσες µάζες g, ηρεµούν όπως στο σχήµα, ό- που το ελατήριο έχει σταθερά 00Ν/, ενώ το Α βρίσκεται σε ύψος h0,45 από το έδαφος.

Διαβάστε περισσότερα

x = A ηµ(ω t+φ ο ), υ = A ω συν(ω t+φ ο ) και α = A ω² ηµ(ω t+φ ο )

x = A ηµ(ω t+φ ο ), υ = A ω συν(ω t+φ ο ) και α = A ω² ηµ(ω t+φ ο ) Η ΦΑΣΗ και η ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο προηγούµενο σχόλιο υποστήριξα τη θέση ότι, παρόλο που η Γραµµική Αρµονική Ταλάντωση (ΓΑΤ) ενός κινητού µπορεί να περιγραφεί µαθηµατικά µε διάφορες εναλλακτικές

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης.

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις στη δηµιουργία του στάσιµου*

Παρατηρήσεις στη δηµιουργία του στάσιµου* Παρατηρήσεις στη δηµιουργία του στάσιµου* Κατά µήκος γραµµικού ελαστικού µέσου το οποίο ταυτίζεται µε τον άξονα χ χ, διαδίδονται κατά αντίθετη φορά, δύο εγκάρσια αρµονικά κύµατα, ίδιου πλάτους και ίδιας

Διαβάστε περισσότερα

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ποια είναι η χρήση των παραγώγων στην Φυσική και τι ακριβώς είναι; Ένα παράδειγµα θα µας διαφωτίσει. Έστω ότι ένα αυτοκίνητο βρίσκεται την χρονική στιγµή t = 0 s στο σηµείο x = 0 m και κινείται

Διαβάστε περισσότερα

Ζ. Κύκλος αναφοράς και περιστρεφόµενα διανύσµατα

Ζ. Κύκλος αναφοράς και περιστρεφόµενα διανύσµατα Ζ. Κύκλος αναφοράς και περιστρεφόµενα διανύσµατα Δυο βήµατα µέχρι τον κύκλο, τρία µέχρι τα περιστρεφόµενα, ένα ακόµη βήµα ασταθές κι ένας πειρασµός.. Ο πειρασµός Τα παραπάνω βάζουν αρκετούς στον πειρασµό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζονται οι τρεις τρόποι νοηµατοδότησης της ταυτότητας α 3 +β 3 +3αβ(α+β)......

Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζονται οι τρεις τρόποι νοηµατοδότησης της ταυτότητας α 3 +β 3 +3αβ(α+β)...... 4. Βασικά Στοιχεία ιδακτικής της Άλγεβρας µε τη χρήση Ψηφιακών Τεχνολογιών Οι ψηφιακές τεχνολογίες που έχουν µέχρι τώρα αναπτυχθεί για τη διδασκαλία και τη µάθηση εννοιών της Άλγεβρας µπορούν να χωριστούν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ

ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΙΜΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΩΛΗΝΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΗΧΟΥ ΣΤΟΝ ΑΕΡΑ ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια κύμα, οι μετασχηματισμοί Γαλιλαίου και το φαινόμενο Doppler.

Η έννοια κύμα, οι μετασχηματισμοί Γαλιλαίου και το φαινόμενο Doppler. Η έννοια κύμα, οι μετασχηματισμοί Γαλιλαίου και το φαινόμενο Doppler. Ε. Κορφιάτης Με αφορμή την συζήτηση που γίνεται για το θέμα Α4 αποφάσισα να γράψω το κείμενο που ακολουθεί. Σαν φοιτητής η σχέση που

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

mu l mu l Άσκηση Μ3 Μαθηματικό εκκρεμές Ορισμός

mu l mu l Άσκηση Μ3 Μαθηματικό εκκρεμές Ορισμός Άσκηση Μ3 Μαθηματικό εκκρεμές Ορισμός Μαθηματικό εκκρεμές ονομάζεται μια σημειακή μάζα, η οποία είναι αναρτημένη σε νήμα. Το ίδιο το νήμα δεν έχει δική του μάζα και το οποίο εξάλλου δεν μπορεί να επιμηκυνθεί.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 21 Μαίου Γράψτε το ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητάς σας στο πάνω µέρος της αυτής της σελίδας.

ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 21 Μαίου Γράψτε το ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητάς σας στο πάνω µέρος της αυτής της σελίδας. ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική 21 Μαίου 2009 Γράψτε το ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητάς σας στο πάνω µέρος της αυτής της σελίδας. Επίσης γράψετε το password σας. Στο τέλος της εξέτασης θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Αδιαβατικά αναλλοίωτα

Μηχανική ΙI Αδιαβατικά αναλλοίωτα Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 20/5/2000 Μηχανική ΙI Αδιαβατικά αναλλοίωτα Είδαµε ότι όταν η Χαµιλτονιανή συνάρτηση δεν εξαρτάται άµεσα από το χρόνο τότε αυτή διατηρείται κατά την κίνηση και εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας 1ο Φυλλάδιο - Οριζόντια Βολή

Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας 1ο Φυλλάδιο - Οριζόντια Βολή Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας - Οριζόντια Βολή Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, M Sc Φυσικός http://perifysikhs.wordpress.com 1 Εισαγωγικές Εννοιες - Α Λυκείου Στην Φυσική της Α Λυκείου κυριάρχησαν

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος Η έννοια πρόβληµα Ανάλυση προβλήµατος Με τον όρο πρόβληµα εννοούµε µια κατάσταση η οποία χρήζει αντιµετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή ούτε προφανής. Μερικά προβλήµατα είναι τα εξής:

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του

Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του A A N A B P Y T A ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΑ ΑΠΛΑ ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 9 5 0 Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του Περιεχόμενα Εισαγωγή και παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Αρµονική Ταλάντωση και Αρµονική Ταλάντωση

Απλή Αρµονική Ταλάντωση και Αρµονική Ταλάντωση Απλή Αρµονική Ταλάντωση και Αρµονική Ταλάντωση Παρακολουθώντας τη συζήτηση που διεξάγεται όλες αυτές τις ηµέρες νοµίζω ότι φθάσαµε σε κάποια συµπεράσµατα πολύ σηµαντικά και αρκετά πιο πέρα από τις αρχικές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

4ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 21 εκέµβρη ο Κεφάλαιο - Κύµατα. Ενδεικτικές Λύσεις. Θέµα Α

4ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 21 εκέµβρη ο Κεφάλαιο - Κύµατα. Ενδεικτικές Λύσεις. Θέµα Α 4ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 21 εκέµβρη 2014 Α.1. Τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα : 2ο Κεφάλαιο - Κύµατα Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α (ϐ) υπακούουν στην αρχή της επαλληλίας. Α.2. υο σύγχρονες πηγές

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Να διαβάσετε τις σελίδες 98 έως και 103 του σχολικού βιβλίου. Να προσέξετε ιδιαίτερα τα σχήµατα 5.4, 5.5, 5.9 και 5.13. Να γράψετε τις µαθηµατικές σχέσεις που δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o Κεφάλαιο 1o Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων εξετάζει καταστάσεις στις οποίες υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ ενός µικρού αριθµού ατόµων. Άρα σε οποιαδήποτε περίπτωση, αν ο αριθµός των ατόµων που συµµετέχουν

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο Ιδιότητες των ορίων Όριο και διάταξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν f >, τότε f > κοντά στο Αν f

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Χρονικά Ανεξάρτητη Θεωρία Διαταραχών. Τα περισσότερα φυσικά συστήματα που έχομε προσεγγίσει μέχρι τώρα περιγράφονται από μία κύρια Χαμιλτονιανή η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διαλ.33 1 KYMATA

ΦΥΣ Διαλ.33 1 KYMATA ΦΥΣ 131 - Διαλ.33 1 KYMATA q Κύµατα εµφανίζονται σε συστήµατα µε καταστάσεις ισορροπίας. Τα κύµατα είναι διαταραχές από τη θέση ισορροπίας. q Τα κύµατα προκαλούν κίνηση σε πολλά διαφορετικά σηµεία σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική: Ασκήσεις. Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Φυσική: Ασκήσεις. Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 0 Β Γυμνασίου Φυσική: Ασκήσεις Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 0 1 Ασκήσεις στο 1 ο Κεφάλαιο Ασκήσεις με κενά 1. Να συμπληρώσεις τα κενά στις παρακάτω προτάσεις:

Διαβάστε περισσότερα

Φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, που κρατάς στα χέρια σου προέκυψε τελικά μέσα από την εμπειρία και διδακτική διαδικασία πολλών χρόνων στον Εκπαιδευτικό Όμιλο Άλφα. Είναι το αποτέλεσμα συγγραφής πολλών καθηγητών

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.α) ίνεται η συνάρτηση F() f() + g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F () f () + g

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Σύνολο Σελίδων: επτά (7) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Β Εκδοση

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Σύνολο Σελίδων: επτά (7) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Β Εκδοση ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Σύνολο Σελίδων: επτά (7) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Β Εκδοση Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1 Α.4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Σύνολο Σελίδων: έξι (6) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Σύνολο Σελίδων: έξι (6) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κύµατα - Φαινόµενο Doppler Σύνολο Σελίδων: έξι (6) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1 Α.4 να γράψετε στο τετράδιο

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3) Παράδειγµα 1: Έστω ένα σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση () +2 () 29 () +42()=() (1) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. (δηλαδή ()(0) = () (0)=()(0)=0) (2) Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή

Διαβάστε περισσότερα

NTÙÍÉÏÓ ÃÊÏÕÔÓÉÁÓ - ÖÕÓÉÊÏÓ www.geocities.com/gutsi1 -- www.gutsias.gr

NTÙÍÉÏÓ ÃÊÏÕÔÓÉÁÓ - ÖÕÓÉÊÏÓ www.geocities.com/gutsi1 -- www.gutsias.gr Έστω µάζα m. Στη µάζα κάποια στιγµή ασκούνται δυο δυνάµεις. ( Βλ. σχήµα:) Ποιά η διεύθυνση και ποιά η φορά κίνησης της µάζας; F 1 F γ m F 2 ιατυπώστε αρχή επαλληλίας. M την της Ποιό φαινόµενο ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Η Επιτάχυνση. η τα- χύτητά του ( Σχήμα 1 ). Από τον ορισμό της ταχύτητας θα ισχύει (3)

Η Επιτάχυνση. η τα- χύτητά του ( Σχήμα 1 ). Από τον ορισμό της ταχύτητας θα ισχύει (3) Η Επιτάχυνση η τα- Έστω r ( t ) ( t ) i ( t ) j z ( t ) k το διάνυσμα θέσης του κινητού Μ και ( t ) χύτητά του ( Σχήμα 1 ). Από τον ορισμό της ταχύτητας θα ισχύει r ( t ) r ( t ) ή πιο απλά (1) t t Άρα

Διαβάστε περισσότερα

Η ακρίβεια ορίζεται σαν το πηλίκο των ευρεθέντων συναφών εγγράφων προς τα ευρεθέντα έγγραφα. Άρα για τα τρία συστήµατα έχουµε τις εξής τιµές:

Η ακρίβεια ορίζεται σαν το πηλίκο των ευρεθέντων συναφών εγγράφων προς τα ευρεθέντα έγγραφα. Άρα για τα τρία συστήµατα έχουµε τις εξής τιµές: Πανεπιστήµιο Κρήτης, Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY463 - Συστήµατα Ανάκτησης Πληροφοριών 2005-2006 Εαρινό Εξάµηνο 1 η Σειρά Ασκήσεων (Αξιολόγηση Αποτελεσµατικότητας Ανάκτησης) Άσκηση 1 (4 βαθµοί) Θεωρείστε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα

Διαβάστε περισσότερα

Ημερομηνία: Κυριακή 30 Οκτωβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Ημερομηνία: Κυριακή 30 Οκτωβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Κυριακή 30 Οκτωβρίου 016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη Επιλογή και επανάληψη Η ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το κεφάλαιο είναι συναφής µε την ύλη που αναπτύσσεται στο 2 ο κεφάλαιο. Όπου υπάρχουν διαφορές αναφέρονται ρητά. Προσέξτε ιδιαίτερα, πάντως, ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε αρχικά µε ένα µεµονωµένο σύστηµα δύο σωµάτων στα οποία ασκούνται µόνο οι µεταξύ τους κεντρικές δυνάµεις, επιτρέποντας ωστόσο και την

Διαβάστε περισσότερα

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( )

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι β ( f () f () ) + α ηµ d β α = [f () ηµ] - [f () συν] β α. ( ) β) Αν f () = ηµ, να αποδείξετε ότι f () + f ()

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα