Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Περί της Ταξινόμησης των Ειδών"

Transcript

1 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: , Ιστοσελίδα: Περί της Ταξινόμησης των Ειδών (Αριστοτέλης ο Θεμελιώδης) Ο σχολιασμός που θα κάνω βασίζεται στον Αριστοτέλη. Ο σχολιασμός αυτός ξεκινάει από την αρχαιότητα, αλλά περιλαμβάνει και τους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. Θα μπορούσε να λεχθεί ότι παρουσιάζω την εξέλιξη μερικών ιδεών με το χρόνο. Όπως μας λέει ο Ηράκλειτος «τα πάντα ρει», επομένως ο Αριστοτέλης με τις ιδέες του αντιμετώπισε το πρόβλημα, όμως η κατάσταση δεν μένει η ίδια. Η ανασκόπηση έχει να κάνει με τη Ταξινόμηση των Ειδών, και χρησιμοποιεί κυρίως τη «Μαθηματική Λογική», όμως περιλαμβάνονται και στοιχεία της μαθηματικής θεωρίας των Συνόλων, χωρίς όμως να γίνεται διάκριση με τη θεωρία του Αριστοτέλη. Θέλω δε να τονίσω ότι δεν σχολιάζω φιλοσοφικά θέματα, που δεν είναι της αρμοδιότητας μου. Η άποψη που θα παρουσιαστεί εκφράζει τον γράφοντα. Για να κάνω σύνδεση με προγενέστερα μου άρθρα, αναφέρω ότι ο κλάδος που αφορά τη κοινή Αριθμητική ασχολείται με την αρίθμηση του πλήθους που υπάρχει σε μια μόνο ομάδα. Για να εφαρμόσουμε όμως την αριθμητική αυτή, πρέπει πρώτα να κατατάξουμε τα είδη στις διάφορες ομάδες, να δημιουργηθούν δηλαδή οι ομάδες. Στο θέμα της ταξινόμησης των ειδών υπήρχε εμπειρική γνώση, όμως επιστημονικά το αντιμετώπισε αρχικά ο Αριστοτέλης. Το επιστημονικό έργο της «Ταξινόμησης των Ειδών» του Αριστοτέλη αποτελεί αναμφισβήτητα το σημαντικότερο επιστημονικό έργο που έγινε ποτέ, από το οποίο προέκυψε η Λογική. Δηλαδή, η ταξινόμηση γίνεται με την αριθμητική της Λογικής. Ασχολήθηκε με τη γενική θεωρία της ταξινόμησης, και όχι με μια συγκεκριμένη τεχνική. Για το έργο αυτό, όταν έγινε, δεν υπήρχαν τα κατάλληλα μαθηματικά για να το περιγράψουν. Έτσι ο Αριστοτέλης, με το έργο του, πρόβαλε την αναγκαιότητα των ονομαζόμενων «νέων μαθηματικών», έστω και πολύ νωρίς. Τα μαθηματικά αυτά άρχισαν συστηματικά να αναπτύσσονται μετά από περίπου 2000 χρόνια. Στα σύγχρονα μαθηματικά, την περίπτωση αυτή τη διαπραγματεύεται η Μαθηματική Λογική. Η ορολογία του Αριστοτέλη ήταν «Ταξινόμηση των Ειδών», που αποδίδει και το στόχο. Η περιοχή συνήθως 1

2 ονομάζεται Λογική, όμως η Μαθηματική Λογική αντιπροσωπεύει την ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΗΣ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗΣ, δηλαδή η ταξινόμηση γίνεται με την Αριθμητική της Λογικής. Η θέση αυτή γίνεται φανερή στο άρθρο «Από τη κοινή Αριθμητική, στη Λογική: Αριστοτέλης». Η Λογική, μετά από διάφορες περιπλανήσεις, εντοπίσθηκε στο φυσικό της χώρο, στις Θετικές Επιστήμες, και ονομάζεται Μαθηματική Λογική, έτσι δεν δημιουργούνται ασάφειες. Το τελικό συμπέρασμα είναι: Αριστοτέλης ο Θεμελιώδης Ας δούμε όμως τα πράγματα με την ιστορική τους σειρά. Η κοινή Αριθμητική Από τις καθημερινές ανάγκες του ανθρώπου, προέκυψε η ανάγκη να υπολογίζεται το πλήθος που υπάρχει σε κάθε ομάδα. Δηλαδή, προέκυψε η αναγκαιότητα της αρίθμησης των περιπτώσεων που ανήκουν σε μια μόνο ομάδα. Όταν μελετούμε το πλήθος που υπάρχει σε μια μόνο ομάδα, χρησιμοποιούμε τη κοινή αριθμητική. Η Επιστημονική Μέθοδος Στόχος του ανθρώπου από την αρχαιότητα ήταν να κατανοήσει τη συμπεριφορά της φύσης, έτσι γεννήθηκε η Φιλοσοφία της Φύσης. Θεμελιωτής της φιλοσοφίας αυτής είναι ο Θαλής ο Μιλήσιος, και συνέπεια της προσέγγισης αυτής είναι και οι αποκαλούμενες σήμερα Φυσικές Επιστήμες. Ο στόχος των Επιστημών αυτών είναι στο να εξηγηθεί η συμπεριφορά της φύσης με βάση μερικούς κανόνες, που ονομάζουμε Νόμους. Για να είναι αποτελεσματική η προσπάθεια αυτή, πρέπει να στηρίζεται σε μια ενδελεχή μέθοδο. Τη μέθοδο αυτή την εισήγαγε ο Θαλής, και είναι μια κορυφαία συνεισφορά των αρχαίων Ελλήνων. Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή, το πρώτο που γίνεται είναι να βρίσκεται εμπειρικά η συμπεριφορά της φύσης, και αυτό επιτυγχάνεται με την παρατήρηση της. Το επόμενο βήμα είναι να βρεθούν οι νόμοι που διέπουν τη συμπεριφορά που παρατηρήθηκε. Σε αυτή τη κατεύθυνση είναι προσανατολισμένη και η σημερινή προσπάθεια ερμηνείας των φαινομένων της φύσης. Για να βρεθεί δε η συνολική εικόνα της φύσης, πρέπει να μετρηθεί το πλήθος που υπάρχει σε κάθε ομάδα, όμως αυτό είναι το δεύτερο επίπεδο. Η Ταξινόμηση των Ειδών Το θεμελιώδες επίπεδο είναι η ταξινόμησης των ειδών. Είδαμε παραπάνω ότι το πλήθος σε μια ομάδα μετράτε με τη κοινή αριθμητική. Πρέπει όμως πρώτα να γίνει η ταξινόμηση των ειδών σε ομάδες, που είναι βασικότερη διαδικασία. Το θέμα το 2

3 αντιμετώπισε επιστημονικά ο Αριστοτέλης στο κορυφαίο του έργο της «Ταξινόμησης των Ειδών». Το θέμα αυτό σχολιάστηκε σε προγενέστερο μου άρθρο: «Από τη κοινή Αριθμητική, στη Λογική: Αριστοτέλης». Οι μαθηματικές πράξεις που εισάγονται για τη διαπραγμάτευση της περίπτωσης αυτής, παρουσιάσθηκαν στο προαναφερθέν άρθρο. Οι πράξεις αυτές εισάγονται με πίνακες, που αποτελούν και τo συνηθισμένο τρόπο διαπραγμάτευσης του Προτασιακού Λογισμού. Η ορολογία του Αριστοτέλη ήταν «Ταξινόμηση των Ειδών». Στα σύγχρονα μαθηματικά χρησιμοποιείται ο όρος «Μαθηματική Λογική», προβάλλοντας την αντιμετώπιση της περιοχής με μαθηματικά. Όμως τα μαθηματικά που θα χρησιμοποιηθούν στο παρόν άρθρο είναι απλά. Πρέπει δε να επισημανθεί ότι: Στην Μαθηματική Λογική, το κάθε είδος δεν συνοδεύεται με την πιθανότητα εμφάνισης του. Αυτό γίνεται στη θεωρία της Πληροφορίας, όπου συνδυάζεται το είδος με το πλήθος (πιθανότητα εμφάνισης). Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη, Σε κάθε δυνητικό είδος (πρόταση) Α του συστήματος, υπάρχει και το αντίθετο του, που συμβολίζεται με Α. Αυτή είναι η απλούστερη περίπτωση. Η κατάσταση γίνεται πολυπλοκότερη στη fussy logic, αλλά μένουμε με την κλασική περίπτωση. Το επόμενο βήμα είναι να εισάγουμε πράξεις που να αντιμετωπίζουν την συνύπαρξη διαφορετικών ιδιοτήτων. Το θέμα αυτό σχολιάστηκε στο προγενέστερο μου άρθρο «Από τη κοινή Αριθμητική, στη Λογική: Αριστοτέλης». Στο παρόν άρθρο θα γίνει περαιτέρω σχολιασμός του θέματος. Ο λογισμός της Ταξινόμησης Η ταξινόμηση έχει το δικό της λογισμό (που είναι μεταγενέστερος!). Δηλαδή, για την αντιμετώπιση διαφορετικών ιδιοτήτων, εισάγονται οι πράξεις που τις αποκαλούμε «ένωση» και «τομή», και συμβολίζονται με και αντίστοιχα. Θέλουμε οι πράξεις που εισάγονται μεταξύ των ιδιοτήτων να ικανοποιούν τις σχέσεις: 1. Α Β=Β Α, A B= B A, Αντιμεταθετικές Ιδιότητες, 2. A ( B C) = ( A B) C, A ( B C) = ( A B) C, Προσετεριστικές Ιδιότητες, 3. A ( B C) = ( A B) ( A C), A ( B C) = ( A B) ( A C), Επιμεριστικές ιδιότητες. 3

4 Τα αξιώματα αυτά είναι αντίστοιχα με αυτά της κοινής αριθμητικής. Βασικό επίσης στοιχείο στη Μαθηματική Λογική είναι η έλλειψη πολλαπλότητας. Το δεδομένο αυτό εκφράζεται με την ιδιότητα: 4. A A= A, A A= A, Έλλειψη πολλαπλότητας. Η σχέση αυτή δηλώνει ότι μια πράξη που περιλαμβάνει αφενός ένα υποσύνολο, και αφετέρου τον εαυτόν του, δεν μπορεί να δώσει διαφορετικό υποσύνολο. Ορίζεται επίσης ότι κάθε ιδιότητα ικανοποιεί τη σχέση: 5. ( A) = A, Δηλαδή, η αντίθετη της αντίθετης είναι η ίδια ιδιότητα. Η πράξη αυτή είναι αντίστοιχη της σχέσης για τα σύνολα ( A) συμπληρωματικό του συμπληρωματικού ενός συνόλου είναι το αρχικό. Η πράξη της «τομής» δύο ιδιοτήτων, ικανοποιεί τη σχέση: = A, δηλαδή ότι το 6. ( A B) A, σχέση απορρόφησης. Η πράξη αυτή είναι αντίστοιχη της A B A για τα σύνολα. Η σχέση αυτή είναι η βάση για τον ορισμό της πράξης του συνεπάγεται. Τέλος αναφέρεται ότι, πρέπει να έχουμε ένα κανόνα που να καθορίζει πως να βρίσκεται το αντίθετο της «ένωσης» και της «τομής» δύο ιδιοτήτων. Αυτός ο κανόνας ονομάζεται σχέσεις Morgan, και είναι οι σχέσεις: 7. ( A B) = ( A) ( B), ( A B) = ( A) ( B), Σχέσεις de Morgan. Οι πράξεις αυτές είναι αντίστοιχες των ( A B) = A B και ( ) A B = A B για τα σύνολα. Επισημαίνεται ότι, ξεκινώντας με τις παραπάνω σχέσεις, μπορούμε να βρούμε τις πράξεις μεταξύ σύνθετων ομάδων. Τέλος, είναι το αντικείμενο των Μαθηματικών να αναπτύξουν αξιωματικά το κλάδο. Τα Μαθηματικά Σύνολα Τον 19 ο αιώνα ξεκίνησε η ανάπτυξη των Μαθηματικών για την περιγραφή της Ταξινόμησης στη Φύση, δηλαδή των Μαθηματικών Συνόλων. Η περίπτωση των λίγων ιδιοτήτων αποτελεί μια περίπτωση για να έχουμε λίγες ομάδες. Η περίπτωση αυτή μπορεί να επεξεργαστεί και χωρίς τη χρήση ειδικών μαθηματικών. Όταν όμως υπάρχουν πολλές ιδιότητες, τότε είναι προτιμότερο να επεξεργαστούμε τη περίπτωση με τη χρήση ειδικών μαθηματικών, για να μην υπάρχει σύγχυση. Η σύγχυση προερχόταν από το γεγονός ότι τα μαθηματικά της Λογικής είναι διαφορετικά από 4

5 τα κοινά μαθηματικά, και την εποχή του Αριστοτέλη δεν υπήρχαν τα κατάλληλα μαθηματικά για να περιγράψουν τη κατάσταση. Το θέμα αντιμετωπίστηκε μόνο με φιλοσοφικό τρόπο, έτσι και ο Αριστοτέλης εντάχθηκε αποκλειστικά στους φιλοσόφους. Το συμπέρασμα είναι ότι ο Αριστοτέλης χρησιμοποίησε τα υπάρχοντα τότε μαθηματικά για να αναπτύξει το θέμα, όμως από τον 19 ο αιώνα άρχισαν να αναπτύσσονται τα κατάλληλα μαθηματικά, και έτσι το θέμα επεξεργάζεται πλέον και με τη χρήση των μαθηματικών αυτών. Ο κλάδος ονομάζεται Μαθηματική Λογική, έτσι ξεχωρίζει από τη Φιλοσοφική αντιμετώπιση που ονομάζεται Λογική. Τα μαθηματικά που είχαν αναπτυχθεί στην αρχαιότητα ήταν απόρροια της κοινής αριθμητικής. Όμως τα μαθηματικά που συνεπάγεται η Λογική του Αριστοτέλη είναι διαφορετικά. Η πρώτη συστηματική ανάπτυξη τους έγινε τον 19 ο αιώνα, με τα μαθηματικά Σύνολα. Στη γενική περίπτωση, το σύστημα έχει ένα σύνολο ιδιοτήτων, και η μελέτη αυτή γίνεται με τη χρήση των μαθηματικών Συνόλων, (ομάδα διαφορετικών ιδιοτήτων). Το βασικό σημείο είναι ότι το κάθε στοιχείο του Συνόλου αντιπροσωπεύει και μια διαφορετική ιδιότητα, επομένως η μαθηματική θεωρία των Συνόλων αποτελεί αντιμετώπιση της ταξινόμησης των ειδών. Προφανώς, στην περίπτωση αυτή δεν μπορούν να εφαρμοστούν οι πράξεις της κοινής αριθμητικής. Χρειάζονται άλλες πράξεις. Οι πράξεις αυτές προέρχονται από τη Λογική του Αριστοτέλη. Δηλαδή, η μαθηματική θεωρία των Συνόλων αντιμετωπίζει την συνύπαρξη διαφορετικών ιδιοτήτων. Αντί δηλαδή να έχουμε πολλές φορές την ίδια ιδιότητα, έχουμε πολλές και διαφορετικές ιδιότητες. Έτσι η «Ταξινόμηση των Ειδών» είναι η βάση της θεωρίας των μαθηματικών Συνόλων. Τελικά μπορούμε να πούμε ότι: «Η Λογική του Αριστοτέλη αποτελεί το θεμέλιο λίθο της Επιστημονικής Μεθοδολογίας και των Μαθηματικών Συνόλων». Στα πλαίσια αυτής της μελέτης ορίζεται το σύνολο των δυνητικών ιδιοτήτων του συστήματος. Με το σύνολο των ιδιοτήτων αυτών, (περιλαμβανομένων και των αντιθέτων τους), δημιουργείται ένα γενικό σύνολο, το οποίο συνήθως συμβολίζουμε με Ω. Το σύνολο αυτό είναι συνήθως πεπερασμένο, σε αντίθεση με το σύνολο των αριθμών της κοινής αριθμητικής που είναι άπειρο. Ένα σύνολο ιδιοτήτων του συστήματος, αποτελεί ένα υποσύνολο του Ω. Για να δείξουμε εποπτικά ποιο μέρος του Ω περιλαμβάνεται σε ένα υποσύνολο, το περικλείουμε σε μια κλειστή καμπύλη, και έτσι δημιουργούνται τα διαγράμματα Venn. Η «ένωση» δύο περιοχών Venn δίνει το σύνολο των ιδιοτήτων που υπάρχουν στο σύστημα. Η «τομή» τους δίνει τις κοινές ιδιότητες στις δύο περιπτώσεις. Το μηδέν της κοινής αριθμητικής αντιστοιχεί στο κενό σύνολο. Επίσης, σε κάθε υποσύνολο του Ω, που συμβολίζεται με Σ, μπορούμε να ορίσουμε το υποσύνολο των δυνητικών ιδιοτήτων του συστήματος που δεν περιλαμβάνονται στο υποσύνολο αυτό. Το υποσύνολο αυτό το αποκαλούμε συμπληρωματικό του Σ, και το συμβολίζουμε με Σ. Οι ιδιότητες ενός συστήματος θα μπορούσαν να χωριστούν σε στοιχειώδεις και σύνθετες, έτσι ένα Σύνολο θα μπορούσε να οριστεί ως μια ομάδα στοιχειωδών ιδιοτήτων. Μια όμως θεωρούμενη αυτήν την εποχή στοιχειώδη ιδιότητα, μπορεί στο 5

6 μέλλον να αποδειχτεί σύνθετη, όπως π.χ. έχει συμβεί με τα στοιχειώδη σωμάτια. Αναφέρεται δε ότι στη μαθηματική θεωρία των Συνόλων, οι πράξεις που εισάγονται, και συμβολίζονται με και, ονομάζονται επίσης «ένωση» και «τομή», όπως και στη Μαθηματική Λογική. Βέβαια και Αδύνατα Σύνολα Με βάση τα παραπάνω, παρατηρούμε ότι μερικά σύνολα ικανοποιούνται πάντοτε, για όλες τις δυνητικές ιδιότητες του συστήματος. Τα σύνολα αυτά τα αποκαλούμε Βέβαια. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι το A ( A), για το οποίο έχουμε τον πίνακα: Α A A ( A) Από το αποτέλεσμα αυτό, έχουμε επίσης τον κανόνα: Η ένωση ενός συνόλου με το συμπληρωματικό του, είναι πάντα το γενικό σύνολο. Επίσης παρατηρούμε ότι μερικά σύνολα ουδέποτε ικανοποιούνται. Τα σύνολα αυτά τα αποκαλούμε Αδύνατα. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι το A ( A), για το οποίο έχουμε τον πίνακα: Α A A ( A) Έτσι παίρνουμε το αποτέλεσμα: Η τομή ενός συνόλου με το συμπληρωματικό του, είναι πάντα το κενό. Τέλος υπάρχει και η ενδιάμεση περίπτωση, όπου τα σύνολα ικανοποιούνται για ορισμένες επιλογές των ιδιοτήτων του συστήματος, και όχι για κάθε επιλογή. Υπολογιστές και κοινή Αριθμητική Είναι γνωστή η σύνδεση των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών με τη κοινή Αριθμητική. Σύμφωνα με τη κοινή Αριθμητική: Οι υπολογιστές κάνουν πράξεις. Υπολογιστές και Μαθηματική Λογική Έχει γίνει κοινή συνείδηση ότι οι Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές συνδέονται με την Αριθμητική. Με αυτό το σκεπτικό θα περίμενε κανείς ότι, και η Λογική του Αριστοτέλη θα πρέπει να συνδέεται με τους υπολογιστές, αλλιώς δεν θα ήταν αριθμητική! 6

7 Βρήκαμε τα Βέβαια σύνολα, που σημαίνει ότι τα σύνολα αυτά ικανοποιούνται για όλες τις επιλογές του συστήματος. Η ιδιότητα αυτή είναι όπως και οι σχέσεις μεταξύ ποσοτήτων που πάντα ισχύουν. Επομένως, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον υπολογιστή για να κάνουμε αποδείξεις. Με βάση το σκεπτικό αυτό μπορούμε να πούμε: Σύμφωνα με τη Λογική του Αριστοτέλη: Οι υπολογιστές κάνουν αποδείξεις. Επιμύθιο Ο Αριστοτέλης με την Ταξινόμηση των Ειδών δημιούργησε μια νέα αριθμητική, που την ονομάζουμε Μαθηματική Λογική, χωρίς να υπάρχει πρότερη επιστημονική γνώση σε αυτήν, παρά μόνο εμπειρική. Το έκανε παρατηρώντας τη φύση. Χωρίς τη χρήση των κατάλληλων μαθηματικών, δημιουργείται όμως σύγχυση στην αντιμετώπιση της περιοχής. Συχνά γίνεται συζήτηση για την εισαγωγή των «νέων» μαθηματικών στην εκπαίδευση. Μόνο που οι ρίζες των μαθηματικών αυτών είναι τόσο νέες όσο και ο Αριστοτέλης. Επίσης με τη χρήση των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών μπορούμε να κάνουμε αποδείξεις. Είναι δε αντικείμενο των Μαθηματικών να αναπτύξουν τη περιοχή, (θεωρία αποδείξεων, κ.α.). Όταν δε αναπτυχθούν τα κατάλληλα μαθηματικά, ο Υπολογιστής μπορεί να προγραμματιστεί για να τα διεκπεραιώνει. Τελικά, πρέπει να αναφερθεί ότι το πρώτο πρότυπο για Υπολογιστή, μηχανισμός Αντικυθήρων, τον έφτιαξαν οι Αρχαίοι Έλληνες, πριν από περίπου 2000 χρόνια. Γεώργιος Θεοδώρου 7

Θαλής, Αριστοτέλης, και Γαλιλαίος

Θαλής, Αριστοτέλης, και Γαλιλαίος Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 4 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Τηλ.: +30 310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Θαλής, Αριστοτέλης,

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Επιστημονικής Μεθοδολογίας: Θαλής

Περί της Επιστημονικής Μεθοδολογίας: Θαλής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Τελ. +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Επιστημονικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ τη ΛΟΓΙΚΗ στους ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ

ΑΠΟ τη ΛΟΓΙΚΗ στους ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru ΑΠΟ τη ΛΟΓΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις:

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις: 1 Εισαγωγικά Η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική στα Μαθηματικά, δεν μπορεί δηλ. να οριστεί από άλλες έννοιες. Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων. υτά λέμε ότι περιέχονται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ Tel.: +30 2310998051, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», «

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», « .1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Η έννοια του συνόλου Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Αυτός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Περιεχόμενα 1 Ορισμός της

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a. 1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II

Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΚΡΗΣΗ Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II Ενότητα: Λογική και Θεωρία Συνόλων Διδάσκων: Πηγουνάκης Κωστής ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΧΟΛΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Notes. Notes. Notes. Notes

Notes. Notes. Notes. Notes Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 9 Οκτωβρίου 0 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 / 5 Ανάγκη θεωρίας επιλογής υπό αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ σχολικού συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας drizosdim@yahoo.gr Εισαγωγή Σύντομη ιστορική αναδρομή Το

Διαβάστε περισσότερα

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων . Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Tα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί να θεωρηθεί ότι εντάσσονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: τα προσδιοριστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ. 6ο ΓΕΛ ΛΑΜΙΑΣ ΧΡΙΣΤΟΣ ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ. 6ο ΓΕΛ ΛΑΜΙΑΣ ΧΡΙΣΤΟΣ ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΥΝΟΛ 6ο ΓΕΛ ΛΜΙΣ ΧΡΙΣΤΟΣ ΤΡΙΝΤΦΥΛΛΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚΟΣ ΣΥΝΟΛ Στοιχεία θεωρίας Σύνολο είναι μια συλλογή από αντικείμενα. Το σύνολο όλων των ελληνικών ποδοσφαιρικών ομάδων. Το σύνολο όλων των χωρών της Ευρώπης.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της συνάρτησης είναι θεμελιώδης στο λογισμό και διαπερνά όλους τους μαθηματικούς κλάδους. Για το φοιτητή είναι σημαντικό να κατανοήσει πλήρως αυτή

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων Η έννοια του Πειράµατος Τύχης. 9 3 Το σύνολο των πιθανών εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης καλείται δειγµατοχώρος ήδειγµατικόςχώρος (sample space)καισυµβολίζεταιµεωήµε S.Έναστοιχείοω ή s του δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36

ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 Γνωριµία ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης e-mail: telelis@unipi.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version )

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version ) ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version 24-3-2016) 2001 2001 επαναληπτικές 2002 2002 επαναληπτικές 2003 2003 επαναληπτικές 2006 2006 επαναληπτικές 2005 2005 επαναληπτικές 2006 2006 επαναληπτικές 2007 2007

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................

Διαβάστε περισσότερα

Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά

Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά Εισαγωγή Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά μοντέλα, είτε σε στοχαστικά ή αλλοιώς πιθανοτικά μοντέλα. προσδιοριστικά μοντέλα : επιτρέπουν προσδιορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 2ο μέρος σημειώσεων: Συστήματα Αποδείξεων για τον ΠΛ, Μορφολογική Παραγωγή, Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια

ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια 18 ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια χαρακτηριστικά αποδίδουμε σε ένα πρόσωπο το οποίο λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Έστω αλφάβητο Σ και γλώσσες Α, Β επί του αλφάβητου αυτού. Για κάθε μια από τις πιο κάτω περιπτώσεις να διερευνήσετε κατά πόσο Γ Δ, ή, Δ Γ, ή και τα δύο. Σε περίπτωση, που

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις (Μαθηματική)

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. Ορισμός Συνόλου. Υποσύνολα και Κενό Σύνολο. Στοιχεία ενός συνόλου:

Σύνολα. Ορισμός Συνόλου. Υποσύνολα και Κενό Σύνολο. Στοιχεία ενός συνόλου: Ορισμός Συνόλου Σύνολα Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σύνολο είναι μια συλλογή διακεκριμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΤΟΧΩΡΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΤΟΧΩΡΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΤΟΧΩΡΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΙΤΛΟΣ: «ΕΜΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ» ΜΑΘΗΤΡΙΑ: ΠΡΙΑΜΗ ΒΑΓΙΑ, Β4 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΝΤΑΒΑΡΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2016 17 Περιεχόμενα ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...

Διαβάστε περισσότερα

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σύνολα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ορισμός Συνόλου Σύνολο είναι μια συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική A Ενδιάμεση εξέταση Μάρτιος 2014 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Αβεβαιότητας: Ηράκλειτος

Περί της Αβεβαιότητας: Ηράκλειτος Tel.: +30 2310998051, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Αβεβαιότητας:

Διαβάστε περισσότερα

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 4.1: Πιθανότητα Δεσμευμένη Πιθανότητα- Όρια (Ι). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Συνοπτική Θεωρία Όλες οι αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις από την Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου και προτεινόμενες Διαγωνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Επιστήμης του ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ

Περί της Επιστήμης του ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ Tel.: +30 2310998051, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Επιστήμης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Κύκλος Ζωής Εφαρμογών ΕΝΟΤΗΤΑ 2. Εφαρμογές Πληροφορικής. Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Κύκλος Ζωής Εφαρμογών ΕΝΟΤΗΤΑ 2. Εφαρμογές Πληροφορικής. Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών 44 Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών Διδακτικοί στόχοι Σκοπός του κεφαλαίου είναι οι μαθητές να κατανοήσουν τα βήματα που ακολουθούνται κατά την ανάπτυξη μιας εφαρμογής.

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο ΣΥΝΟΛΑ Τι είναι σύνολο; Ένας ορισμός «Μια συλλογή αντικειμένων διακεκριμένων και πλήρως καθορισμένων που λαμβάνονται από τον κόσμο είτε της εμπειρίας μας είτε της σκέψης μας» (Cantor, 19 ος αιώνας) Ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου.

Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου. Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου. Η προσέγγιση των εννοιών αυτών θα γίνει με τη βοήθεια απλών παραδειγμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

3/10/2016. Στατιστική Ι. 1 η Διάλεξη

3/10/2016. Στατιστική Ι. 1 η Διάλεξη Στατιστική Ι 1 η Διάλεξη 1 2 Φαινόμενα Πειράματα Αιτιοκρατικά Προσδιοριστικά Τυχαία Στοχαστικά Ένα αιτιοκρατικό πείραμα, κάθε φορά που εκτελείται, έχει το ίδιο αποτέλεσμα το οποίο μπορεί να προβλεφθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

Κοινότητα και κοινωνία

Κοινότητα και κοινωνία Επιθεώρηση Κοινωνικών Ερευνών, 53/1984 Κοινότητα και κοινωνία Στάθης Π. Σορώκος* Η διάκριση ανάμεσα στην κοινότητα και την κοινωνία αποτελεί βασικό πρόβλημα, θεωρητικό και πρακτικό, της κοινωνιολογίας.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Έστω μια συνεχής (και σχετικά ομαλή) συνάρτηση f( x ), x [0, L]

Έστω μια συνεχής (και σχετικά ομαλή) συνάρτηση f( x ), x [0, L] c Σειρές Fourier-Μετασχηματισμός Fourier Έστω μια συνεχής (και σχετικά ομαλή) συνάρτηση f( ) [ ] για την οποία ξέρουμε ότι f() = f( ) =. Μια τέτοια συνάρτηση μπορούμε πάντα να τη γράψουμε : π f( ) = A

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 5: Οι διαδοχικές επεκτάσεις της έννοιας του αριθμού: ακέραιος, κλάσμα, ρητός και πραγματικός αριθμός Δημήτρης Χασάπης

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Εισαγωγή

Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Εισαγωγή Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Εισαγωγή Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Εισαγωγή στις έννοιες Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα, Οργάνωση Δεδοµένων και Δοµές Δεδοµένων Χρήσιµοι µαθηµατικοί

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής είναι μια συσκευή, μεγάλη ή μικρή, που επεξεργάζεται δεδομένα και εκτελεί την εργασία του σύμφωνα με τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κεφάλαιο 2 - Ηλεκτρικό Ρεύμα Επιμέλεια: Αγκανάκης Παναγιώτης, Φυσικός https://physicscourses.wordpress.com/ Με ποιες θεμελιώδεις έννοιες συνδέεται το ηλεκτρικό ρεύμα; Το

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 1: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 1: Μαθηματικό Υπόβαθρο ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 1: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά (0.1) Σύνολα (0.2.1, 0.2.2) Συναρτήσεις & Σχέσεις (;;) (0.2.3) 1 Περιοχές που θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτεμβρίου 2016 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Για την περαιτέρω ανάπτυξη τής θεωρίας θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE 2017, Δρ. Ηρακλής Σπηλιώτης Γενικοί ορισμοί Αλγεβρική δομή είναι ένα σύνολο στοιχείων και κάποιες συναρτήσεις με πεδίο ορισμού αυτό το σύνολο. Αυτές οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές της Λογικής στην Πληροφορική

Εφαρμογές της Λογικής στην Πληροφορική Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εφαρμογές της Λογικής στην Πληροφορική Ενότητα 3 Πέτρος Στεφανέας, Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Ας θυμηθούμε από την περασμένη φορά ότι ένα σύνολο M σε έναν μετρικό χώρο (X, d είναι συμπαγές όταν: αν έχουμε οποιαδήποτε ανοικτά σύνολα που καλύπτουν

Διαβάστε περισσότερα