κατά το χειµερινό εξάµηνο του ακαδηµαϊκού έτους ΕΜ-351 του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών της Σχολής Θετικών

Transcript

1 Ύλη που διδάχτηκε κατά το χειµερινό εξάµηνο του ακαδηµαϊκού έτους στα πλαίσια του µαθήµατος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΥΛΙΚΩΝ Ι ΕΜ-351 του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών της Σχολής Θετικών Επιστηµών του Πανεπιστηµίου Κρήτης από τη Ζ.. Σκουλά

2 Εισαγωγή Η έννοια του συνεχούς µέσου Ορισµός ρευστού και διαφορές µεταξύ στερεών και υγρών-αερίων Βασικές ιδιότητες ρευστών ιάκριση πεδίων και φυσικών µεγεθών Οι κυριότερες φυσικές ιδιότητες των ρευστών Θερµοκρασία Πίεση Πυκνότητα Συµπιεστότητα Ιξώδες υνάµεις που ασκούνται στα ρευστά Κατηγορίες δυνάµεων που ασκούνται στα ρευστά υνάµεις επιφάνειας υνάµεις µάζας ή όγκου Οι τάσεις και οι πιέσεις στα ρευστά Ισορροπία δυνάµεων. Εξισώσεις κίνησης Ολοκληρωτική αντιµετώπιση ιαφορική αντιµετώπιση σελίδα 2 από 13

3 Στατική των Ρευστών Εκφράσεις της γενικής εξίσωσης της Στατικής των Ρευστών της γενικής εξίσωσης της Στατικής των Ρευστών Ισοβαρείς επιφάνειες Απόλυτη και σχετική πίεση Υδροστατικό παράδοξο Αρχή του Pascal Πιεζοµετρικό φορτίο Μέτρηση της στατικής πίεσης Περίπτωση ακίνητου ρευστού Περίπτωση κινούµενου ρευστού Το υδραργυρικό µανόµετρο υνάµεις πιέσεων πάνω στις επιφάνειες υνάµεις πιέσεων πάνω σε επίπεδες επιφάνειες υνάµεις πιέσεων πάνω σε καµπύλες επιφάνειες Βυθισµένα και επιπλέοντα σώµατα Η αρχή του Αρχιµήδη Συνθήκη ευστάθειας σελίδα 3 από 13

4 Κινηµατική των Ρευστών Μέθοδος Lagrange Μέθοδος Euler Τροχιές και γραµµές ροής Τροχιές Γραµµές ροής Σύγκριση τροχιών και γραµµών ροής Σωλήνας ροής Κατάταξη των ροών Κατάταξη ως προς το είδος του ρευστού Κατάταξη ως προς το είδος της ροής ιάκριση ως προς το χρόνο ιάκριση ως προς το χώρο (τρισδιάστατες, δισδιάστατες και µονοδιάστατες) Κατάταξη ως προς τη συµπεριφορά Η επιτάχυνση Τοπική και επαγωγική επιτάχυνση Επιτρόχιος και κεντροµόλος επιτάχυνση Ανάλυση της κίνησης των ρευστών. Παραµορφώσεις Ανάλυση της κίνησης Απλή µετατόπιση Παραµόρφωση Περιστροφή Τανυστής παραµορφώσεων, διάνυσµα περιστροφής σελίδα 4 από 13

5 Εξίσωση διατήρησης της µάζας Έκφραση της εξίσωσης συνέχειας ιερεύνηση της εξίσωσης συνέχειας. Ειδικές περιπτώσεις Παροχή µάζας και παροχή όγκου. Μέση ταχύτητα Ολοκληρωτική µορφή της εξίσωσης συνέχειας για µόνιµη ροή Ολοκληρωτική µορφή της εξίσωσης συνέχειας για µη µόνιµη ροή Συνάρτηση γραµµών ροής Ορισµός της συνάρτησης γραµµών ροής Φυσική σηµασία της συνάρτησης γραµµών ροής Σωµατιδιακή παράγωγος σελίδα 5 από 13

6 υναµική των Τελείων Ρευστών Βασικές εξισώσεις των τελείων ρευστών Γενική έκφραση εξισώσεων Αρχικές και οριακές συνθήκες Εξισώσεις Euler σε σύστηµα αξόνων συνδεδεµένων µε την τροχιά Θεώρηµα Bernoulli Βασικές εφαρµογές Bernoulli για µόνιµη ροή ιερεύνηση του θεωρήµατος Bernoulli Γενικεύσεις του θεωρήµατος Bernoulli Περίπτωση ύπαρξης απωλειών φορτίου Θεώρηµα ποσοτήτων κίνησης Βασική έκφραση του θεωρήµατος ποσοτήτων κίνησης για µόνιµη ροή ιερεύνηση του θεωρήµατος ποσοτήτων κίνησης Ειδικές περιπτώσεις του θεωρήµατος ποσοτήτων κίνησης Γενικεύσεις του θεωρήµατος ποσοτήτων κίνησης Βασικές εφαρµογές θεωρηµάτων Bernoulli και ποσοτήτων κίνησης Σωλήνας Pitot Μετρητής Venturi Συγκλίνων αγωγός Υδραυλικό άλµα σελίδα 6 από 13

7 υναµική των Πραγµατικών Ρευστών Η έννοια του ιξώδους Νόµος Newton. Νευτώνεια ρευστά Συντελεστές δυναµικού και κινηµατικού ιξώδους Συντελεστές δυναµικού και κινηµατικού ιξώδους για διάφορα ρευστά Μεταβολές δυναµικού και κινηµατικού ιξώδους ανάλογα µε τη θερµοκρασία και την πίεση Περίπτωση υγρών Περίπτωση αερίων Νόµος τάσεων-παραµορφώσεων Νόµος τάσεων-παραµορφώσεων για ασυµπίεστα ρευστά Νόµος τάσεων-παραµορφώσεων για συµπιεστά ρευστά Εξισώσεις Navier-Stokes Εξισώσεις Navier-Stokes για µη µόνιµη ροή ασυµπίεστου ρευστού ιερεύνηση των εξισώσεων Navier-Stokes Οριακές συνθήκες Ειδικές περιπτώσεις Περίπτωση µηδενικών δυνάµεων τριβής Περίπτωση µικρών ή αµελητέων δυνάµεων τριβής Περίπτωση σηµαντικών δυνάµεων τριβής Εξισώσεις Navier-Stokes για συµπιεστό ρευστό To βασικό πρόβληµα της µηχανικής των ρευστών Περίπτωση ισόθερµων ροών ασυµπίεστου ρευστού Γενική περίπτωση συµπιεστού ρευστού σελίδα 7 από 13

8 Καταστατική εξίσωση Εξίσωση διατήρησης ενέργειας Ροές πραγµατικών ρευστών γύρω από στερεά σώµατα Ροές γύρω από στρογγυλεµένα σώµατα γνωστής γεωµετρίας Ροή γύρω από σφαίρα Ροή γύρω από κύλινδρο απείρου µήκους Ροές γύρω από µη στρογγυλεµένα σώµατα γνωστής γεωµετρίας Ροή γύρω από επίπεδη πλάκα κάθετη στη ροή Ροή γύρω από επίπεδη πλάκα παράλληλη στη ροή Αεροτοµές σελίδα 8 από 13

9 Στρωτή και Τυρβώδης Ροή Το πείραµα του Reynolds O αριθµός Reynolds Κριτήριο για µετάβαση από τη στρωτή στην τυρβώδη ροή Φυσική ερµηνεία του αριθµού Reynolds Στρωτή-Τυρβώδης ροή. ιαφορές µεταξύ τους Μετάβαση από τη στρωτή στην τυρβώδη ροή Η τυρβώδης ροή Ορισµοί Χαρακτηριστικά τυρβώδους ροής Ένταση τυρβώδους Τυρβώδης κινητική ενέργεια Συντελεστής συσχέτισης Κλίµακες τυρβώδους Φάσµα τυρβώδους Περιγραφή και χρονική εξέλιξη του τυρβώδους Τρόποι µελέτης τυρβωδών ροών Αναλυτικοί Αριθµητικοί Πειραµατικοί Γενικές εξισώσεις τυρβωδών ροών Έκφραση των γενικών εξισώσεων των τυρβωδών ροών Εξίσωση συνέχειας για τυρβώδεις ροές σελίδα 9 από 13

10 Εξισώσεις Navier-Stokes για τυρβώδεις ροές ιερεύνηση των εξισώσεων Reynolds. Tυρβώδεις τάσεις Οριακές συνθήκες Μαθηµατικά οµοιώµατα τυρβωδών ροών περί µαθηµατικών οµοιωµάτων Μοντέλα των τάσεων τυρβώδους σε συνάρτηση µε τα µέσα µεγέθη Μοντέλα µε αλγεβρικές εκφράσεις του συντελεστή µt Μοντέλο του µήκους ανάµιξης Prandlt Μοντέλο του von Karman Μοντέλα µε διαφορικές εκφράσεις του συντελεστή µt Μοντέλο τωνprandlt-kolmogorovή µοντέλο µιας εξίσωσης k Μοντέλο τou Chou ή µοντέλο δύο εξισώσεων k-ε Μοντέλα εξισώσεων µεταφοράς των τάσεων τυρβώδους σελίδα 10 από 13

11 Θεωρία της Οριακής Στοιβάδας Χαρακτηριστικά της οριακής στοιβάδας Πάχη της οριακής στοιβάδας Πάχος στοιβάδας Πάχος µετατόπισης Πάχος ποσότητας κίνησης Τριβές και συντελεστές τριβής Τάση τριβής στο τοίχωµα ύναµη τριβής Τοπικός συντελεστής τριβής Ολικός συντελεστής τριβής Εξισώσεις της οριακής στοιβάδας Τοπικές εξισώσεις Μορφή των εξισώσεων ιερεύνηση. Παρατηρήσεις. Σχόλια H πίεση στην οριακή στοιβάδα Η µορφή των εξισώσεων Η εξίσωση της συνάρτησης γραµµών ροής Ολοκληρωτική εξίσωση von Karman Μορφή της ολοκληρωτικής εξίσωσης ιερεύνηση. Παρατηρήσεις. Σχόλια Μελέτη της στρωτής οριακής στοιβάδας Ανάπτυξη της οριακής στοιβάδας Στρωτή οριακή στοιβάδα σε επίπεδη πλάκα σελίδα 11 από 13

12 Ακριβής (αναλυτική) λύση Blasious Θεωρητικός υπολογισµός των χαρακτηριστικών της οριακής στοιβάδας Το πάχος της στοιβάβας Τα πάχη µετατόπισης και ποσότητας κίνησης Η τάση τριβής στο τοίχωµα Η δύναµη τριβής Ο τοπικός συντελεστής τριβής Ο ολικός συντελεστής τριβής Προσεγγιστικές λύσεις Η προσεγγιστική λύση του Pohlausen Περίπτωση επίπεδης πλάκας Άλλες πολυωνυµικές προσεγγίσεις Περίπτωση τυχόντος τυχώµατος Μεταβατική ζώνη Μελέτη της τυρβώδους οριακής στοιβάδας Τυρβώδης οριακή στοιβάδα πάνω σε λείες επιφάνειες µε µηδενική κατά µήκος πτώση πίεσης Περίπτωση επίπεδης πλάκας Υπολογισµός των χαρακτηριστικών της τυρβώδους οριακής στοιβάδας Τυρβώδης οριακή στοιβάδα πάνω σε λείες επιφάνειες µε κατά µήκος πτώση πίεσης Τυρβώδης οριακή στοιβάδα πάνω σε τραχείες επιφάνειες Αποκόλληση της οριακής στοιβάδας Τα αίτια του φαινοµένου της αποκόλλησης Φυσική ερµηνεία του φαινοµένου της αποκόλλησης Μαθηµατική ερµηνεία του φαινοµένου της αποκόλλησης Αποκόλληση στρωτής και τυρβώδους οριακής στοιβάδας Τρόποι µείωσης ή αποφυγής της δράσης της αποκόλλησης σελίδα 12 από 13

13 ράση στη µορφή του σώµατος ράση στην τριβή σελίδα 13 από 13