ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. α. p 1=p 2 β. p 1>p 2 γ. p 1<p 2. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΡΕΥΣΤΑ ΣΕ ΚΙΝΗΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Ερώτηση. Τα δύο δοχεία Α και Β του σχήματος περιέχουν το ίδιο υγρό και στο δοχείο B επιπλέει ένα σώμα βάρους w. Η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού βρίσκεται στο ίδιο ύψος h και στα δύο δοχεία. Για τις ολικές πιέσεις στα σημεία και των πυθμένων των δύο δοχείων έχουμε α. p =p β. p >p γ. p <p. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (a) Η πίεση στον πυθμένα ενός δοχείου που περιέχει υγρό, βρίσκεται στο πεδίο βαρύτητας και είναι ανοικτό στο πάνω μέρος του, ισούται με το άθροισμα της υδροστατικής και της ατμοσφαιρικής πίεσης. p p gh Επειδή η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού βρίσκεται στο ίδιο ύψος και στα δύο δοχεία, οι υδροστατικές πιέσεις είναι ίσες, άρα και οι ολικές πιέσεις p, p στους πυθμένες τους είναι ίσες.

2 Ερώτηση. Στον υδραυλικό ανυψωτήρα του σχήματος τα αβαρή έμβολα E, E έχουν εμβαδά διατομών Α, Α αντίστοιχα. Αρχικά τα δύο έμβολα βρίσκονται στο ίδιο ύψος. Ασκούμε κατακόρυφη δύναμη στο έμβολο Ε προς τα κάτω και το μετακινούμε κατά y =5c. Παρατηρούμε ότι το έμβολο Ε ανεβαίνει κατά y =c. O λόγος των επιφανειών των διατομών των δύο εμβόλων είναι α. β. γ. A A A A 5 A A 5 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β) Επειδή το υγρό θεωρείται ασυμπίεστο, ο όγκος του υγρού που εκδιώχθηκε από το έμβολο Ε, ΔV, είναι ίσος με τον όγκο του υγρού, ΔV, που ανυψώθηκε μαζί με το έμβολο E. A y A y 5 V V A y A y

3 Ερώτηση. Στον υδραυλικό ανυψωτήρα του σχήματος τα αβαρή έμβολα E, E βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο σε ισορροπία και μπορούν να μετακινούνται στους κατακόρυφους σωλήνες χωρίς τριβές. Τοποθετούμε ταυτόχρονα πάνω στα έμβολα δύο σώματα ίδιου βάρους. α. Τα έμβολα δεν θα κινηθούν. β. Το έμβολο E θα κινηθεί προς τα κάτω και το E προς τα πάνω. γ. Το έμβολο E θα κινηθεί προς τα πάνω και το E προς τα κάτω. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β) Αρχικά στο έμβολο Ε ασκούνται οι δυνάμεις: - F α, από την ατμόσφαιρα, F α=p ατμα - F β, από το υγρό, F β=p υγρ Α Επειδή το έμβολο ισορροπεί οι δύο δυνάμεις έχουν ίδια μέτρα. Μετά την τοποθέτηση των βαρών στο δυνάμεις: έμβολο Ε ασκούνται επιπρόσθετα οι εξής -Το βάρος w -η δύναμη F από το υγρό μέτρου F = Δp A, όπου Δp είναι η μεταβολή της πίεσης που δημιουργήθηκε στο υγρό λόγω του βάρους w που τοποθετήσαμε στο Ε. p w A Παίρνοντας θετικά προς τα κάτω, για το έμβολο Ε έχουμε F w F w p A w F w A A F w A A Επειδή A F 0 A Ε ανέρχεται.. Άρα, το Ε κατέρχεται και επειδή τα υγρά είναι ασυμπίεστα το

4 Ερώτηση 4. Το κλειστό δοχείο του σχήματος περιέχει υγρό πυκνότητας ρ και πάνω από την ελεύθερη επιφάνειά του υπάρχει αέρας. Η στάθμη του υγρού στο κλειστό δοχείο βρίσκεται σε ύψος h από τον πυθμένα του. Ο πυθμένας του δοχείου συγκοινωνεί με πλάγιο σωλήνα ανοικτό στην ατμόσφαιρα. Η στάθμη του νερού στον πλάγιο σωλήνα βρίσκεται σε ύψος h πάνω από τον πυθμένα του δοχείου. Η πίεση p αερ που επικρατεί στον αέρα του δοχείου είναι α. p αερ =ρgh β. p αερ = p ατμ +ρgh γ. p αερ= p ατμ +ρg(h - h ) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ) Η πίεση στον πυθμένα του δοχείου (σημείο ) ισούται με: p p gh () Η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού μέσω του σωλήνα έρχεται σε επαφή με την ατμόσφαιρα, επομένως η πίεση στον πυθμένα του δοχείου (σημείο ) ισούται με p p gh Από τις σχέσεις () και () προκύπτει: p gh p gh p p g h h 4

5 Ερώτηση 5. Το κλειστό δοχείο του σχήματος ύψους h περιέχει υγρό πυκνότητας ρ και στο αβαρές έμβολο εμβαδού Α εφαρμόζεται εξωτερική δύναμη μέτρου F. Το δοχείο βρίσκεται σε συνθήκες κενού. Το μανόμετρο M είναι προσαρμοσμένο σε σημείο του πλευρικού τοιχώματος που απέχει h από τον πυθμένα και το μανόμετρο Μ είναι προσαρμοσμένο στον πυθμένα του δοχείου. Για τις ενδείξεις p, p των δύο μανομέτρων ισχύει α. p p p β. F F p γ. p p A A Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ) Η ένδειξη στο μανόμετρο είναι F p gh A, () Η ένδειξη στο μανόμετρο είναι F p gh A, () Λύνοντας την σχέση () ως προς ρgh και αντικαθιστώντας στην () παίρνουμε p (p F F F ) p p A A A 5

6 Ερώτηση 6. Στον υδραυλικό ανυψωτήρα του σχήματος τα έμβολα E, E έχουν λόγο εμβαδών A A 0 και μπορούν να μετακινούνται στους κατακόρυφους σωλήνες χωρίς τριβές. Ασκούμε στο έμβολο Ε κατακόρυφη δύναμη μέτρου F μετατοπίζοντας το σημείο εφαρμογής της κατά y οπότε το έμβολο Ε ασκείται από το υγρό δύναμη μέτρου F που μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της κατά y. To έργο W της δύναμης F και το έργο W της δύναμης F συνδέονται με τη σχέση W W α. W 0W β. W W. 0 γ. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (α) Το έργο της δύναμης F είναι ίσο με W F y () Το έργο της δύναμης F είναι ίσο με W F y () F H δύναμη F προκαλεί στο υγρό πρόσθετη πίεση p p, () A η οποία σύμφωνα με την αρχή του Pacal μεταφέρεται αναλλοίωτη και στο μεγάλο έμβολο Ε, οπότε ασκείται σε αυτό πρόσθετη δύναμη με φορά προς τα πάνω μέτρου F F για την οποία ισχύει p p, (4) A 6

7 Ο συνδυασμός των () και (4) δίνει F F A F F A A A Επειδή το υγρό θεωρείται ασυμπίεστο, ο όγκος του υγρού που εκδιώχθηκε από το έμβολο Ε, ΔV, είναι ίσος με τον όγκο του υγρού, ΔV, που ανυψώθηκε μαζί με το έμβολο E. A V V A y A y y y A Με αντικατάσταση των F, y στη σχέση () παίρνουμε: A A W F y F y W F y W A A 7

8 Ερώτηση 7. Σε σωλήνα σχήματος U ισορροπούν δύο διαφορετικά υγρά και που δεν αναμιγνύονται, με πυκνότητες ρ και ρ που ικανοποιούν τη σχέση ρ =ρ. Το σχήμα που δείχνει τη σωστή διάταξη των υγρών στο σωλήνα είναι το α. (i) β. (ii) γ. (iii). Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β) Σύμφωνα με την αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων, δύο σημεία ενός υγρού σε ισορροπία που βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο έχουν την ίδια ολική πίεση. Φέρνουμε μια οριζόντια γραμμή που να περνά από τις διαχωριστικές επιφάνειες των δύο υγρών. Σωστή διάταξη θα είναι εκείνη που δίνει για τις πιέσεις των σημείων Α, Β, p A= p B. Διάταξη (I) pa p gh pb p gh Επειδή ρ >ρ και h>h προκύπτει p A>P B. 8

9 Διάταξη (II) pa p gh pb p gh Επειδή ρ =ρ προκύπτει p A=p B. Διάταξη (III) p p gh pb p gh A Επειδή ρ =ρ, προκύπτει p A>p B. Άρα, σωστή διάταξη μπορεί να είναι μόνο η (ΙΙ) 9

10 Ερώτηση 8. Το κλειστό κυλινδρικό δοχείο του σχήματος περιέχει δύο υγρά που δεν αναμιγνύονται. Το νερό που έχει πυκνότητα ρ και τo λάδι που επιπλέει έχει πυκνότητα ρ =0,8 ρ. Στο πάνω μέρος του δοχείου δεν υπάρχει παγιδευμένος αέρας. Tα ύψη των υγρών στο δοχείο για το λάδι και το νερό είναι d και d αντίστοιχα. Το σημείο αντιστοιχεί σε σημείο της διαχωριστικής επιφάνειας μεταξύ των υγρών και το σημείο είναι σημείο του πυθμένα του δοχείου. Αν p, p είναι οι πιέσεις στα σημεία, αντίστοιχα, ισχύει α. p p β. p p γ. p p,5 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ) Η πίεση p στη διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ των δύο υγρών (σημείο ) είναι p gd, () Η πίεση p στoν πυθμένα είναι p p gd, () Διαιρώντας κατά μέλη έχουμε p g d g d p 0,8 7 p,5 p g d p 0,8 p 0

11 Ερώτηση 9. Ο οριζόντιος σωλήνας του διπλανού σχήματος εμβαδού διατομής Α διακλαδίζεται σε δύο οριζόντιους σωλήνες με ίσα εμβαδά διατομής Α =Α =Α /4. Οι δύο σωλήνες μικρής διατομής έχουν την ίδια παροχή. Το ιδανικό ρευστό ρέει στην περιοχή του σωλήνα μεγάλης διατομής με ταχύτητα μέτρου υ =5/. Στην περιοχή των σωλήνων μικρής διατομής το μέτρο της ταχύτητας του ρευστού είναι α. υ = υ =,5 /. β. υ = υ = 5 /. γ. υ = υ = 0 /. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). To ιδανικό ρευστό είναι ασυμπίεστο, επομένως η συνολικός όγκος ρευστού που διέρχεται σε χρόνο Δt από το σωλήνα διατομής Α θα ισούται με αυτόν που διέρχεται από τους σωλήνες διατομών Α και Α. A Π =Π +Π ή Α υ =Α υ +Α υ A ή A 4, () 4 4 Οι σωλήνες μικρής διατομής έχουν ίδια παροχή, A Π =Π A ή 4 4, () Από (), () παίρνουμε 4υ =υ =υ ή υ =υ =0/.

12 Ερώτηση 0. Στο σχήμα φαίνεται ένας σωλήνας με διακλαδώσεις διαφορετικών διατομών και ένα ιδανικό ρευστό που τον διαρρέει. Για τις επιμέρους παροχές των σωλήνων γνωρίζουμε ότι Π =Π =Π. Τα βέλη δείχνουν την κατεύθυνση κίνησης του ρευστού. Στη διατομή 4 το υγρό ρέει προς τα α. αριστερά με Π 4=Π. β. δεξιά με Π 4=Π. γ. δεξιά με Π 4=Π. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β). Ισχύει η αρχή διατήρησης της ύλης. Στις περιοχές που έχουμε είσοδο του ρευστού (περιοχές,), θεωρούμε την παροχή θετική και στις περιοχές όπου το ρευστό εξέρχεται (περιοχή ), τη θεωρούμε αρνητική. Θεωρούμε αυθαίρετα ότι στην περιοχή 4 το ρευστό εισέρχεται. Σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της ύλης, Π +Π -Π +Π 4 = 0, () Από την εκφώνηση έχουμε Π =Π =Π () Από (), () παίρνουμε Π 4=-Π Άρα, το ρευστό στην περιοχή 4 ρέει προς τα δεξιά, δηλαδή εξέρχεται με την παροχή του σωλήνα να είναι Π.

13 Ερώτηση. Ο κυλινδρικός σωλήνας του σχήματος στις περιοχές,, έχει διατομές με διαμέτρους δ, δ = δ /4 και δ = δ / αντίστοιχα. Ένα ιδανικό ρευστό ρέει μέσα στο σωλήνα. Για τα μέτρα των ταχυτήτων υ, υ, υ στις περιοχές,, ισχύει α. 6υ = υ = 4υ. β. 4υ = υ = υ. γ. υ = υ = υ. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (α). To ιδανικό ρευστό είναι ασυμπίεστο, επομένως η συνολικός όγκος νερού που διέρχεται σε χρόνο Δt από τις περιοχές,, είναι ίδιος. Π =Π =Π ή Α υ =Α υ =Α υ ή

14 Ερώτηση. Νερό τρέχει μέσα από ένα λάστιχο ποτίσματος και γεμίζει ένα δοχείο. Η παροχή του λάστιχου είναι τέτοια ώστε το άδειο δοχείο να γεμίσει με νερό σε 0. Με το ίδιο λάστιχο θέλουμε να γεμίσουμε ένα δεύτερο ίδιο άδειο δοχείο αλλά χρησιμοποιώντας το δάκτυλό μας φράζουμε μέρος της οπής ώστε το εμβαδό διατομής της να μειωθεί στο μισό. Το χρονικό διάστημα γεμίσματος του δοχείου τώρα είναι α. 5. β. 0. γ. 60. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β). To νερό είναι ασυμπίεστο επομένως η παροχή του λάστιχου είναι σταθερή. V t =σταθερό Η μείωση της διατομής απλά αυξάνει την ταχύτητα ροής του νερού. Εφόσον θέλουμε και στις δύο περιπτώσεις να γεμίσουμε δοχείο ίδιου όγκου, θα χρησιμοποιηθεί ο ίδιος όγκος νερού, και επειδή η παροχή είναι ίδια, το δοχείο θα γεμίσει στο ίδιο χρονικό διάστημα. 4

15 Ερώτηση. Οι δυο βρύσες Α και Β σταθερής παροχής χρησιμοποιούνται για να γεμίσουν το άδειο δοχείο με νερό. Όταν η βρύση Α είναι ανοικτή και η βρύση Β κλειστή, το δοχείο γεμίζει σε,5 in. Όταν η βρύση Α είναι κλειστή και η βρύση Β ανοικτή, το δοχείο γεμίζει σε in. Όταν είναι ανοικτές και οι δύο βρύσες, το δοχείο γεμίζει σε χρόνο α. 0,5 in. β. in. γ.,in. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β). Όταν η βρύση Α είναι ανοικτή και η βρύση Β κλειστή, το δοχείο όγκου V γεμίζει σε χρόνο t, άρα η παροχή της βρύσης Α, Π Α, είναι V A, () t Όταν η βρύση Β είναι ανοικτή και η βρύση Α κλειστή, το δοχείο όγκου V γεμίζει σε χρόνο t, άρα η παροχή της βρύσης Β, Π Β είναι V, () t Όταν είναι και οι δύο βρύσες ανοικτές, τότε η συνολική παροχή είναι και το δοχείο όγκου V γεμίζει σε χρονικό διάστημα t για το οποίο ισχύει: V (),() V V V t t t t t t t t t,5inin t t,5inin t t in 5

16 Ερώτηση 4. Η παροχή ενός σωλήνα νερού ελαττώνεται γραμμικά σε σχέση με το χρόνο όπως δείχνεται στο σχήμα. Το νερό χύνεται σε αρχικά άδεια κυλινδρική δεξαμενή που έχει εμβαδό βάσης. Όταν μηδενιστεί η παροχή, το νερό στη δεξαμενή θα έχει ανέβει σε ύψος α. y=0,05. β. y=0,0. γ. y=0,5. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). To σκιασμένο εμβαδόν στο διάγραμμα παροχήςχρόνου δίνει τον όγκο του νερού που θα χυθεί στο δοχείο. 60 0,0 V V 0, Το νερό θα ανέβει σε ύψος V 0,0 h h 0,5 A 6

17 Ερώτηση 5. Σε μια κατάσταση, γνωστή με τον ιατρικό όρο ως αθηροσκλήρωση, η διατομή μιας αρτηρίας λόγω συσσώρευσης λιπιδίων φράσσεται εν μέρει με αποτέλεσμα ένα τμήμα του εμβαδού της διατομής της να καθίσταται ανενεργό. Το ανενεργό τμήμα μιας αρτηρίας είναι ίσο με το 5% του εμβαδού της. Αν η ταχύτητα ροής του αίματος στο φυσιολογικό τμήμα της αρτηρίας είναι υ, τότε για την ταχύτητα ροής του αίματος στο εν μέρει φραγμένο τμήμα, υ, ισχύει α. 4 β.. 4. γ. 4. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β). Συμβολίζουμε με Α το εμβαδόν της φυσιολογικής αρτηρίας, οπότε της εν μέρει φραγμένης αρτηρίας το ενεργό εμβαδό είναι Σύμφωνα με την εξίσωση της συνέχειας, η παροχή κατά μήκος της αρτηρίας παραμένει σταθερή, άρα 4 4 7

18 Ερώτηση 6. Από τη βρύση του σχήματος που έχει εσωτερική διατομή εμβαδού Α (σημείο ) εξέρχεται νερό με ταχύτητα υ. Στο σημείο το εμβαδόν διατομής της στήλης του νερού έχει μειωθεί στο μισό. Αν η επιτάχυνση της βαρύτητας στην περιοχή είναι g, o όγκος της στήλης του νερού που υπάρχει κάτω από τη βρύση μεταξύ των σημείων και είναι α. A V. β. g A V. γ. g A V. g Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (α). Ο όγκος της στήλης του νερού βρίσκεται από τη σχέση της παροχής: V V t t () όπου: - Π, είναι η παροχή της βρύσης που δίνεται από τη σχέση A και - t, είναι το απαιτούμενο χρονικό διάστημα για να μετατοπιστεί μια στοιχειώδης μάζα νερού από το σημείο στο σημείο. Η μάζα του νερού στο βαρυτικό πεδίο επιταχύνεται ομαλά με α=g. () g t t g Η εξίσωση συνέχειας μεταξύ των σημείων και δίνει Με αντικατάσταση στη σχέση () βρίσκουμε : t g και με αντικατάσταση στη σχέση () παίρνουμε: A V A V g g 8

19 Ερώτηση 7. Σε μια μάζα ρευστού που ρέει σε σωλήνα, προσφέρεται από το περιβάλλον ρευστό ενέργεια 50J ανά μονάδα όγκου και η κινητική ενέργεια του ρευστού αυξάνεται κατά 70J ανά μονάδα όγκου. Κατά μήκος της ροής ο σωλήνας α. στενεύει και κατέρχεται. β. στενεύει και ανέρχεται. γ. φαρδαίνει και κατέρχεται. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (α). K Η κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου του ρευστού,, αυξάνεται, επομένως V η ταχύτητα ροής αυξάνεται. Από την αρχή διατήρησης της ύλης (εξίσωση της συνέχειας) προκύπτει ότι αφού, δηλαδή ο σωλήνας στενεύει. Από την αρχή διατήρησης της ενέργειας έχουμε: W K U 50J 70J U U 0J V V V V V V V V Η δυναμική ενέργεια ανά μονάδα όγκου ελαττώνεται, άρα ο σωλήνας κατέρχεται. 9

20 Ερώτηση 8. O οριζόντιος αγωγός του σχήματος με διατομή επιφάνειας Α σχηματίζει στένωση με διατομή επιφάνειας Α. Οι κατακόρυφοι λεπτοί σωλήνες Α και Β συνδέονται στον κύριο αγωγό και στο στένωμα και είναι ανοικτοί στο πάνω μέρος τους. Το νερό ρέει στον αγωγό από τα αριστερά προς τα δεξιά. Για τα ύψη h και h του νερού στους κατακόρυφους σωλήνες ισχύει α. h = h. β. h > h. γ. h < h. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β). O σωλήνας είναι οριζόντιος, οπότε η εξίσωση του Bernoulli παίρνει τη μορφή p. όπου φαίνεται ότι στις περιοχές που πυκνώνουν οι ρευματικές γραμμές, στη στένωση του σωλήνα, η ταχύτητα ροής αυξάνεται και η πίεση ελαττώνεται, δηλαδή p >p. Από την υδροστατική για τις πιέσεις στα σημεία, αντίστοιχα, ισχύει: p =p at+ρgh και p =p at+ρgh Επειδή p >p έχουμε h >h. 0

21 Ερώτηση 9. Στον οριζόντιο σωλήνα του σχήματος, ρέει προς τα δεξιά ιδανικό υγρό πυκνότητας ρ. Το εμβαδόν διατομής Α είναι διπλάσιο του εμβαδού διατομής Α και το υγρό διέρχεται από την διατομή Α με ταχύτητα υ. Για τη διαφορά της πίεσης, p -p, μεταξύ των σημείων και, ισχύει α. β. γ. p p. p p,5. p p. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β). Εφαρμόζοντας το νόμο του Bernoulli για τα σημεία και που ανήκουν στην ίδια ρευματική γραμμή έχουμε p p, () Από την εξίσωση της συνέχειας για το σωλήνα έχουμε A A A A Αντικαθιστώντας στην () παίρνουμε p p 4 p p p p,5

22 Ερώτηση 0. O οριζόντιος αγωγός του σχήματος με διατομή επιφάνειας Α σχηματίζει στένωση με διατομή επιφάνειας Α όπου Α =Α. Δύο κατακόρυφοι λεπτοί σωλήνες που είναι ανοικτοί στο πάνω μέρος τους συνδέονται στον κύριο αγωγό και στο στένωμα. Ένα ιδανικό υγρό ρέει στον αγωγό από τα αριστερά προς τα δεξιά και οι δύο ελεύθερες επιφάνειες του υγρού στους δύο κατακόρυφους σωλήνες απέχουν μεταξύ τους Δh. To μέτρο της ταχύτητας του υγρού στην περιοχή διατομής εμβαδού Α είναι υ και η επιτάχυνση της βαρύτητας στην περιοχή είναι g. Η ταχύτητα υ και η κατακόρυφη απόσταση Δh συνδέονται με τη σχέση α. g h. β. g h. γ. gh. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β). Εφαρμόζοντας το νόμο του Bernoulli για τα σημεία και που ανήκουν στην ίδια ρευματική γραμμή του οριζόντιου σωλήνα έχουμε: p p p p gh p p gh Όμως Οπότε η () γίνεται: gh ( ), () Aπό την εξίσωση της συνέχειας προκύπτει: A A, () Συνδυάζοντας τις (), () παίρνουμε: gh gh

23 Ερώτηση. Ο σωλήνας του σχήματος αποτελείται από δύο οριζόντια τμήματα και ένα κατακόρυφο. Το κάτω οριζόντιο τμήμα έχει εμβαδόν κάθετης διατομής Α και το πάνω τμήμα Α =Α. Τα δύο οριζόντια τμήματα απέχουν μεταξύ τους κατακόρυφα κατά h. Ένα ιδανικό υγρό ρέει από τα αριστερά προς τα δεξιά. H ταχύτητα του υγρού στο κάτω τμήμα είναι υ, ενώ οι πιέσεις στο κάτω και πάνω τμήμα είναι ίδιες. H υψομετρική διαφορά h ανάμεσα στα δύο οριζόντια τμήματα του σωλήνα και η ταχύτητα υ συνδέονται με τη σχέση α. h 8g β. h. g. γ. h g. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (α). Εφαρμόζοντας το νόμο του Bernoulli για τα σημεία και που ανήκουν στην ίδια ρευματική γραμμή έχουμε pp p p gh gh h, () g Από την εξίσωση της συνέχειας μεταξύ των σημείων () και () του σωλήνα έχουμε: A A A A, () Συνδυάζοντας τις (), () παίρνουμε h 8g

24 Ερώτηση. Το κυλινδρικό δοχείο του σχήματος έχει μεγάλο εμβαδόν βάσης και περιέχει ιδανικό υγρό. Στο πλευρικό τοίχωμα και σε βάθος h υπάρχει οπή εμβαδού διατομής Α από την οποία εξέρχεται το υγρό με ταχύτητα μέτρου υ. Σε ένα ίδιο δοχείο υπάρχει το ίδιο υγρό και σε βάθος h/ υπάρχει οπή εμβαδού διατομής Α από την οποία εξέρχεται το υγρό με ταχύτητα μέτρου υ. Αν οι παροχές των οπών είναι ίσες, ο λόγος των εμβαδών A A είναι α. β... γ.. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (α). Τα δοχεία έχουν μεγάλο εμβαδόν βάσης, έτσι θεωρούμε ότι κατά την εκροή του υγρού από την οπή, η ελεύθερη επιφάνειά του διατηρείται σε σταθερό ύψος και ισχύει το θεώρημα του Torricelli ( gh ). Έχουμε ίσες παροχές από τις οπές των δοχείων, επομένως h A A A gh A g A h g A A gh A 4

25 Ερώτηση. Στο δοχείο του σχήματος που έχει μεγάλο εμβαδόν διατομής, πέφτει νερό από μια βρύση η οποία έχει σταθερή παροχή, Π. Στο πλευρικό τοίχωμα του δοχείου και κοντά στον πυθμένα υπάρχει μικρή οπή εμβαδού Α από την οποία εξέρχεται το νερό, με αποτέλεσμα η στάθμη του νερού στο δοχείο να σταθεροποιηθεί σε ύψος h. Αν το εμβαδόν της οπής διπλασιαστεί, η στάθμη του νερού θα σταθεροποιηθεί σε ύψος h για το οποίο ισχύει α. h h. β. γ. h h h h 4.. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Kατά την εκροή του υγρού από την οπή, η ελεύθερη επιφάνειά του διατηρείται σε σταθερό ύψος. Με εφαρμογή του θεωρήματος Torricelli προκύπτει: gh Η παροχή της βρύσης είναι σταθερή, Π. Αφού η στάθμη του υγρού διατηρείται σταθερή, οι παροχές της βρύσης και των οπών είναι ίσες. Στην η περίπτωση ισχύει: gh Στην η περίπτωση ισχύει: gh Από το συνδυασμό των δύο σχέσεων προκύπτει: h A gh A gh h 4h h 4 5

26 Ερώτηση 4. Το δοχείο του σχήματος με εμβαδόν βάσης Α περιέχει νερό ύψους h. Στο πλευρικό τοίχωμα και κοντά στον πυθμένα υπάρχει βρύση με οπή εμβαδού διατομής Α. Η σχέση ανάμεσα στα εμβαδά των διατομών είναι Α =5Α και η επιτάχυνση της βαρύτητας στην περιοχή είναι g. Τη χρονική στιγμή t=0 που ανοίγουμε τη βρύση, το νερό εξέρχεται από αυτήν με ταχύτητα υ της οποίας το μέτρο είναι α. gh. 5 β. gh. γ., 4gh. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β). Όταν ανοίξουμε τη βρύση, το νερό εκροής θα έχει ταχύτητα υ και η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού θα κατέρχεται με ταχύτητα μέτρου υ. Από την εξίσωση της συνέχειας μεταξύ της ελεύθερης επιφάνειας και του σωλήνα εκροής έχουμε: 5 A A 5A A, () Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για τα σημεία και της ίδιας ρευματικής γραμμής. p gh p gh, () Συνδυάζοντας τις (), () παίρνουμε gh 5 gh 5 6

27 Ερώτηση 5. Το δοχείο του σχήματος περιέχει νερό ύψους h. Θεωρούμε ότι η ελεύθερη επιφάνεια του νερού στο δοχείο έχει μεγάλο εμβαδόν ώστε το ύψος h να παραμένει σταθερό. Στο πλευρικό τοίχωμα του δοχείου και κοντά στον πυθμένα, είναι προσαρμοσμένος ένας σωλήνας σταθερής διατομής ο οποίος κάμπτεται έτσι ώστε το νερό να εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω. Για τα μέτρα των ταχυτήτων του υγρού καθώς αυτό διέρχεται από τα σημεία Β και Γ που βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο (βλέπε σχήμα) ισχύει α. β. γ.... Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β). Εφαρμόζουμε την αρχή της συνέχειας για μια φλέβα νερού μεταξύ των θέσεων Β και Γ. A A () Στα σημεία Β, Δ το εμβαδόν διατομής της φλέβας είναι ίσο με αυτό του σωλήνα A A () Καθώς η φλέβα νερού ανέρχεται από το σημείο Δ προς το σημείο Γ, η ταχύτητά της μειώνεται, οπότε σύμφωνα με την εξίσωση της συνέχειας μεταξύ των σημείων Γ, Δ, το εμβαδόν διατομής αυξάνεται και γίνεται μεγαλύτερο από αυτό του σωλήνα, A A ή A A Με αντικατάσταση στη σχέση () προκύπτει: 7

28 Ερώτηση 6. Σε ένα πείραμα μέτρησης του ιξώδους, χρησιμοποιούμε δύο οριζόντιες γυάλινες πλάκες εμβαδού Α όπου ανάμεσά τους είναι τοποθετημένο ένα νευτώνειο υγρό () πάχους με συντελεστή ιξώδους n. Η κάτω πλάκα είναι ακλόνητη ενώ στην επάνω πλάκα ασκούμε οριζόντια δύναμη F με αποτέλεσμα μετά από λίγο αυτή να κινείται με σταθερή ταχύτητα υ. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα αντικαθιστώντας το υγρό () με ένα υγρό () ίδιου πάχους με συντελεστή ιξώδους n =n. Η εξάρτηση της δύναμης σε συνάρτηση με την ταχύτητα υ της πάνω πλάκας σε κοινό σύστημα αξόνων δίνεται από το διάγραμμα α. (Ι). β. (ΙΙ). γ. (ΙΙΙ). Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β). Όταν η πάνω πλάκα κινείται με σταθερή ταχύτητα, το ιξώδες (δυνάμεις εσωτερικής τριβής) και n δύναμη F έχουν το ίδιο μέτρο που υπολογίζεται από τη σχέση na TF Tο μέτρο της δύναμης, F, είναι ανάλογο της ταχύτητας της πάνω πλάκας, υ, (όταν η κάτω είναι ακίνητη), άρα το πηλίκο F na είναι σταθερό και παριστάνει την κλίση της ευθείας στο διάγραμμα F=f(υ). na na Επειδή n n Το σωστό διάγραμμα είναι το (II). 8

29 Ερώτηση 7. Σε ένα πείραμα μέτρησης του ιξώδους, χρησιμοποιούμε δύο οριζόντιες γυάλινες πλάκες εμβαδού Α όπου ανάμεσά τους είναι τοποθετημένο ένα νευτώνειο υγρό,, πάχους με συντελεστή ιξώδους n. Η κάτω πλάκα είναι ακλόνητη ενώ στην επάνω πλάκα ασκούμε οριζόντια δύναμη F μέσω μιας διάταξης με τροχαλία και δίσκο όπου τοποθετούμε σταθμά (βλέπε σχήμα). Επαναλαμβάνουμε το πείραμα αντικαθιστώντας το υγρό,, με δεύτερο υγρό,, ίδιου πάχους που έχει συντελεστή ιξώδους n =0n. Στην περίπτωση του πρώτου υγρού, η μάζα των σταθμών που κρεμάσαμε για να κινείται η πάνω πλάκα με σταθερή ταχύτητα υ είναι. Στην δεύτερη περίπτωση για να κινηθεί η πάνω πλάκα με σταθερή ταχύτητα υ/, η μάζα των σταθμών πρέπει να είναι α.. β. 0. γ. 5. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Όταν η πάνω πλάκα κινείται με σταθερή ταχύτητα, το ιξώδες (δυνάμεις εσωτερικής τριβής) και n δύναμη F έχουν το ίδιο μέτρο που υπολογίζονται από τη σχέση na TF Επίσης ισχύει na F g g Για το υγρό () έχουμε: na g, () Για το υγρό () έχουμε: 0nA g, () Από τις σχέσεις (), () παίρνουμε 5 9

30 Ερώτηση 8. Δύο οριζόντιες γυάλινες πλάκες εμβαδού Α είναι τοποθετημένες σε οριζόντιο τραπέζι. Ανάμεσα στις πλάκες υπάρχει νευτώνειο υγρό πάχους με συντελεστή ιξώδους n. Η κάτω πλάκα είναι ακλόνητη ενώ στην επάνω πλάκα ασκούμε οριζόντια δύναμη F με αποτέλεσμα αυτή μετά από λίγο να κινείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ. Ο ρυθμός προσφοράς ενέργειας μέσω της δύναμης όταν η πλάκα κινείται με σταθερή ταχύτητα υ είναι P. Προκειμένου η πάνω πλάκα να κινείται με σταθερή ταχύτητα υ, θα πρέπει ο ρυθμός προσφοράς ενέργειας από τη νέα οριζόντια δύναμη που θα ασκήσουμε σε αυτήν να είναι α. P. β. P. γ. 4P. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). H δύναμη προσφέρει ενέργεια στην πλάκα με ρυθμό W F x na W na F P t t t O ρυθμός προσφοράς ενέργειας είναι ανάλογος του τετραγώνου της ταχύτητας. Άρα, όταν η ταχύτητα της πάνω πλάκας διπλασιαστεί, ο ρυθμός προσφοράς ενέργειας θα τετραπλασιαστεί. 0

31 Ερώτηση 9. Μια πλάκα εμβαδού Α και μάζας αφήνεται χωρίς αρχική ταχύτητα να κινηθεί πάνω στο πλάγιο επίπεδο του σχήματος γωνίας φ. Μεταξύ της πλάκας και του επιπέδου υπάρχει στρώμα νευτώνειου υγρού πάχους και συντελεστή ιξώδους n. H πλάκα θα κινείται στο επίπεδο με επιτάχυνση της οποίας το μέτρο α. παραμένει σταθερό. β. από μια μέγιστη τιμή μειώνεται μέχρι μηδενισμού του. γ. από μια μέγιστη τιμή μειώνεται μέχρι να αποκτήσει μια σταθερή τιμή διάφορη του μηδενός. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β). Όταν αφήσουμε την πλάκα ελεύθερη να κινηθεί, ασκούνται σε αυτήν, στην διεύθυνση της κίνησης, - Η συνιστώσα του βάρους w x=gημφ - Το ιξώδες λόγω της επαφής της με το na ρευστό μέτρου Εφαρμόζοντας το ο νόμο του Νεύτωνα έχουμε na na F g g Αρχικά, η ταχύτητα είναι μηδέν και η επιτάχυνση μέγιστη, ( ax g ), οπότε η πλάκα ξεκινά επιταχυνόμενη κίνηση. Καθώς η ταχύτητα αυξάνεται, η επιτάχυνση na ελαττώνεται μέχρι τη στιγμή που οι όροι g γίνονται ίσοι, τότε η επιτάχυνση μηδενίζεται και η πλάκα κινείται με σταθερή ταχύτητα.

32 Ερώτηση 0. Στο διπλανό σχήμα, το νερό της δεξαμενής (μεγάλης διατομής) εξέρχεται από κατακόρυφο σωλήνα σχηματίζοντας κατακόρυφο πίδακα που φτάνει σε ύψος h πάνω από το στόμιο του σωλήνα. Αν στενέψουμε το στόμιο του σωλήνα (π.χ. βάζοντας το δάκτυλο μας) ο πίδακας του νερού θα φτάσει σε ύψος α. μικρότερο από h. β. μεγαλύτερο από h. γ. στο ίδιο ύψος h. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli για μια φλέβα νερού που διέρχεται από τα σημεία Α και Δ. Επειδή η διατομή A του σωλήνα είναι πολύ μικρότερη από την επιφάνεια του δοχείου θεωρούμε ότι η ταχύτητα υ Α με την οποία κατεβαίνει η ελεύθερη επιφάνεια του νερού είναι μηδενική, υ Α=0. Η πίεση p Α, στο σημείο Α είναι ίση με την ατμοσφαιρική, αφού το δοχείο είναι ανοικτό, όπως και η πίεση p Δ, στο σημείο Δ, αφού το νερό βρίσκεται στον αέρα. Το θεώρημα Bernoulli δίνει: p gh p gh p 0 gh p 0 gh h H Άρα το νερό θα φτάσει ακριβώς στο ύψος που βρίσκεται η ελεύθερη επιφάνεια του νερού στο δοχείο. Αν στενέψουμε το στόμιο του σωλήνα ο πίδακας του νερού θα φτάσει στο ίδιο ύψος, αφού δεν αλλάζει κάτι στην εφαρμογή της εξίσωσης του Bernoulli.

33 Ερώτηση. Το δοχείο του σχήματος έχει μεγάλη διατομή και περιέχει νερό ύψους Η και πυκνότητας ρ. Στον πυθμένα της δεξαμενής υπάρχει ένας οριζόντιος στενός σωλήνας, το άκρο Γ του οποίου είναι κλειστό και η πίεση που επικρατεί σε αυτό είναι p. Αν ανοίξουμε το άκρο Γ του σωλήνα, το νερό εξέρχεται στην ατμόσφαιρα και η πίεση του νερού στο άκρο Γ γίνεται p. Η μεταβολή της πίεσης στο άκρο του σωλήνα, Δp= p - p, είναι ίση με α. Δp=-ρgH β. Δp=+ρgH γ. Δp=-ρgH+p at Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (α). Με κλειστό το άκρο Γ του σωλήνα, έχουμε υγρό σε ισορροπία και η πίεση στο άκρο Γ είναι p = p at+ρgh. Ανοίγοντας το άκρο Γ του οριζόντιου σωλήνα, το νερό βρίσκεται σε επαφή με την ατμόσφαιρα με αποτέλεσμα η πίεση στο Γ να γίνει ίση με p =p at. Επομένως η πίεση μεταβλήθηκε κατά Δp= p - p =-ρgh.

34 Ερώτηση. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα κατακόρυφο δοχείο μεγάλης διατομής που περιέχει νερό ύψους Η και πυκνότητας ρ. Στον πυθμένα της δεξαμενής υπάρχει ένας οριζόντιος στενός σωλήνας το άκρο Γ του οποίου είναι κλειστό. Αν ανοίξουμε το άκρο Γ του σωλήνα, το νερό εξέρχεται στην ατμόσφαιρα με ταχύτητα υ. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα αντικαθιστώντας τον σωλήνα με έναν άλλο μεγάλης διατομής. Στην περίπτωση αυτή η επιφάνεια του νερού του δοχείου κατέρχεται με ταχύτητα υ και το νερό εξέρχεται από τον σωλήνα στην ατμόσφαιρα με ταχύτητα υ. Τις δύο αρχικές ταχύτητες εκροής τις συνδέει η σχέση α. υ =υ. β. υ >υ. γ. υ <υ. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β). 4

35 Στην πρώτη περίπτωση από το θεώρημα Torricelli προκύπτει gh, () Στη δεύτερη περίπτωση, η εξίσωση του Bernoulli μεταξύ του σημείου Α της ελεύθερης επιφάνειας του νερού στο δοχείο και του σημείου Γ, όπου η ρευματική γραμμή εξέρχεται στην ατμόσφαιρα γράφεται: p gh p gh gh, () Από τις σχέσεις () και () προκύπτει υ >υ. 5

36 Ερώτηση. Ένας σωλήνας νερού διαμέτρου δ καταλήγει σε τρυπητό (υπαίθρια ντουζιέρα) στο οποίο έχουν ανοιχτεί τρύπες με διάμετρο δ =δ/0 η καθεμία. Το νερό στο σωλήνα έχει ταχύτητα ροής υ και εκρέει από τις τρύπες με πενταπλάσια ταχύτητα (υ =5υ). Το τρυπητό έχει α. 0 τρύπες. β. 0 τρύπες. γ. 50 τρύπες. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β). H παροχή του σωλήνα είναι σταθερή, επομένως A NA A A () όπου A και 4 A Αντικαθιστώντας στην () παίρνουμε 4 00 ή 5 N

37 Ερώτηση 4. Οι ανεμογεννήτριες προσφέρουν μια εναλλακτική πηγή ενέργειας μετατρέποντας την αιολική ενέργεια σε μηχανική. Στο σχήμα δείχνεται μια ανεμογεννήτρια οριζόντιου άξονα της οποίας τα πτερύγια απορροφούν μέρος της κινητικής ενέργειας του αέρα πυκνότητας ρ α που διέρχεται από την κυκλική επιφάνεια εμβαδού Α που ορίζουν καθώς αυτά περιστρέφονται. Στην περιοχή πνέει άνεμος σταθερής ταχύτητας υ του οποίου οι ρευματικές γραμμές διαπερνούν κάθετα την κυκλική επιφάνεια που ορίζουν τα πτερύγια. Η κινητική ενέργεια που μεταφέρει ο αέρας στην ανεμογεννήτρια στη μονάδα χρόνου, K t, είναι ίση με α. β. γ. A A A... Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (α). Η κινητική ενέργεια που μεταφέρει ο αέρας χρόνου είναι στην ανεμογεννήτρια στη μονάδα του K K V ή t t t t t V To πηλίκο είναι η παροχή της φλέβας αέρα που έχει εμβαδό διατομής ίσο με τον t V κυκλικό δίσκο που σχηματίζουν τα πτερύγια καθώς στρέφονται. Άρα, και με t αντικατάσταση παίρνουμε K K A ή A t t 7

38 Ερώτηση 5. Στη διπλανή διάταξη (βεντουρίμετρο), ένας κεντρικός οριζόντιος αγωγός νερού με διατομή επιφάνειας Α σχηματίζει στένωμα με διατομή επιφάνειας Α. Δύο κατακόρυφοι λεπτοί σωλήνες Β και Γ συνδέονται στον κύριο αγωγό και στο στένωμα αντίστοιχα. Η διαφορά στάθμης του υγρού στους δύο κατακόρυφους σωλήνες είναι h. Aν το μέτρο της ταχύτητας του υγρού στο σημείο είναι υ και η επιτάχυνση βαρύτητας στην περιοχή είναι g, ο λόγος A A είναι ίσος με α. β. gh gh. γ. gh. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (α). Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli στα σημεία και της ρευματικής γραμμής του σχήματος. p p, () Οι πιέσεις στα σημεία και είναι p =p at+ρgh και p =p at+ρgh αντίστοιχα. Αντικαθιστώντας στην () παίρνουμε p gh p gh ή g(h h ) gh, () at at ή H παροχή του σωλήνα είναι σταθερή επομένως Α υ =Α υ ή A A, () 8

39 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (),() έχουμε A A gh A gh gh A A A ή ή ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 9

40 Ερώτηση 6. Στον οριζόντιο σωλήνα του διπλανού σχήματος ρέει ιδανικό υγρό πυκνότητας ρ. Ο σωλήνας στην περιοχή έχει εμβαδό διατομής Α, ενώ στην περιοχή στενεύει και έχει εμβαδό διατομής Α. Το υγρό ρέει στην περιοχή με ταχύτητα μέτρου υ. Αν η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου του υγρού κατά τη μετάβασή του από την περιοχή στην περιοχή είναι α. β. 4, ο λόγος των διαμέτρων των σωλήνων είναι γ. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). H κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου ενός υγρού δίνεται από τη σχέση K V. Επομένως η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του υγρού κατά τη μετάβασή του από την περιοχή στην περιοχή είναι K V Σύμφωνα με την εκφώνηση K 4 ή 8 ή, () V H παροχή του σωλήνα είναι σταθερή επομένως Α υ =Α υ 4 4 () ή ή 40

41 Ερώτηση 7. Ένα ανοικτό κυλινδρικό δοχείο περιέχει νερό μέχρι ύψος h. Στο πλευρικό τοίχωμα και στη βάση του δοχείου υπάρχει βρύση με οπή εμβαδού διατομής πολύ μικρότερου του εμβαδού της βάσης του δοχείου. Ανοίγουμε τη βρύση και η παροχή της είναι Π. Αν ανοίγοντας τη βρύση θέλουμε η παροχή της να είναι Π/, θα πρέπει η στάθμη του νερού στο δοχείο να κατέβει από το αρχικό ύψος κατά α. β. γ. h 4. h 4 h 4.. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). H παροχή της βρύσης δίνεται από τη σχέση H πίεση στην επιφάνεια του νερού είναι ίση με την ατμοσφαιρική, η επιφάνεια βάσης του δοχείου πολύ μεγαλύτερη από το στόμιο της βρύσης και το νερό εξέρχεται σε πίεση ίση με την ατμοσφαιρική. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα του Τorricelli η ταχύτητα εκροής είναι gh. Θέλουμε η νέα παροχή να είναι η μισή της αρχικής, επομένως gh h ή ή ή gh ή h 4 Eπομένως η στάθμη του νερού πρέπει να κατέβει κατά Δh=h-h =h/4. 4

42 Ερώτηση 8. Ένα ανοικτό κυλινδρικό δοχείο με μεγάλο εμβαδό βάσης ακουμπά σε οριζόντια επιφάνεια και περιέχει νερό. Στο πλευρικό τοίχωμα του δοχείου και στην ίδια κατακόρυφο ανοίγουμε δύο μικρές οπές σε βάθος h και h =4h αντίστοιχα από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού. Αν γνωρίζουμε ότι από τις οπές εξέρχεται ίσος όγκος νερού ανά δευτερόλεπτο, ο λόγος των εμβαδών των διατομών των οπών α.. β. /. γ.. A A είναι Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Επειδή οι διατομές των οπών είναι πολύ μικρές σε σχέση με την επιφάνεια βάσης του δοχείου, για να βρούμε τις ταχύτητες εκροής από τις οπές εφαρμόζουμε το θεώρημα Torricelli και παίρνουμε Για την οπή : gh Για την οπή : gh g4h ή Ο εξερχόμενος όγκος νερού ανά δευτερόλεπτο ισούται με την παροχή, επομένως ή ή 4

43 Ερώτηση 9. Στο σχήμα φαίνεται ένα τμήμα αγωγού μεταβλητής διατομής στον οποίο ρέει ιδανικό υγρό. Τα εμβαδά διατομής συνδέονται με τη σχέση Α =A. Τα σημεία και της ρευματικής γραμμής έχουν την ίδια πίεση και η ένταση βαρύτητας στην περιοχή είναι g. Αν οι σημειακές μάζες του νερού διέρχονται από το σημείο με ταχύτητα μέτρου υ, η υψομετρική διαφορά των σημείων και, h, είναι α. β. h g h g.. γ. h g. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (α). Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για τα σημεία και της ρευματικής γραμμής. p gh p ή gh, () H παροχή του σωλήνα είναι σταθερή, επομένως ή ή, () Συνδυάζοντας τις (), () παίρνουμε gh 4 ή gh ή h g 4

44 Ερώτηση 40. Ένα ανοικτό κυλινδρικό δοχείο με μεγάλο εμβαδό βάσης ακουμπά στο έδαφος και περιέχει νερό που η ελεύθερη επιφάνειά του απέχει Η από το έδαφος. Στο πλευρικό τοίχωμα του δοχείου ανοίγουμε μια μικρή οπή με εμβαδό διατομής Α ο σε βάθος h από την ελεύθερη επιφάνεια το νερού. Το εμβαδόν Α της κάθετης διατομής της φλέβας νερού λίγο πριν αυτή κτυπήσει στο έδαφος δίνεται από τη σχέση h α. A Ao. H h β. A Ao. H h γ. A Ao. H Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β). Σύμφωνα με το θεώρημα του Torricelli, η φλέβα νερού εξέρχεται από την οπή με ταχύτητα μέτρου gh. Εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου ενέργειας για να υπολογίσουμε την ταχύτητα της φλέβας λίγο πριν κτυπήσει στο έδαφος. K K Ww ή o g(h h) ή o gh gh ή ή gh gh gh gh Σύμφωνα με την αρχή της συνέχειας ή ή ή Ao o A Ao gh A gh A Ao H h 44

45 ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. A) Ένα κυλινδρικό δοχείο με εμβαδό βάσης Α =00 c περιέχει νερό μέχρι ύψους h =45 c. Να υπολογίσετε την υδροστατική πίεση σε σημείο Γ στον πυθμένα του δοχείου. B) Ρίχνουμε πάνω από το νερό ποσότητα λαδιού μάζας ίσης με του νερού, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Να υπολογίσετε: B) τη συνολική πίεση στη διαχωριστική επιφάνεια Β μεταξύ των δύο υγρών. B) τη δύναμη που δέχεται ο πυθμένας μόνο από το περιεχόμενο του δοχείου. Γ) Εισάγουμε έναν ομογενή κύλινδρο μικρών διαστάσεων μέσα στο δοχείο. Ο κύλινδρος ισορροπεί όπως φαίνεται στο σχήμα, μισός μέσα στο λάδι και μισός στο νερό. Οι στάθμες των δύο υγρών να θεωρήσετε πως δεν αλλάζουν με την είσοδο του κυλίνδρου. Να υπολογίσετε την πυκνότητα του κυλίνδρου. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g =0 /, η πυκνότητα του νερού ρ ν = g/c, η πυκνότητα του λαδιού ρ λ=0,9 g/c και η ατμοσφαιρική πίεση p at = 0 5 N/. Α) Η υδροστατική πίεση σε σημείο Γ στον πυθμένα του δοχείου δίνεται από τη σχέση p = ρ gh 0 kg 0 0, 45 p 4500 N (ρ ν =g/c =000kg/ ) Β) Ο όγκος του νερού είναι V =Αh , Η μάζα του νερού είναι kg ρ ρ V ,5kg. 4 V 45

46 Η ποσότητα λαδιού που ρίχνουμε είναι ίσης μάζας με του νερού. Άρα 4,5kg. Ο όγκος του λαδιού είναι 4,5kg 4 ρ V V V ρ kg 900 (ρ λ=0,9 g/c = 900kg/ ) Για το ύψος της στήλης του λαδιού h έχουμε 4 V 500 V =Αh h h 4 0,5 50c. Α 000 Τέλος, η συνολική πίεση στη διαχωριστική επιφάνεια Β μεταξύ των δύο υγρών είναι το άθροισμα της ατμοσφαιρικής πίεσης και της υδροστατικής πίεσης από την υπερκείμενη ποσότητα του λαδιού N kg N p = p +ρ g h ,5 p 04,5 0 5 B B Β) Α τρόπος Τη δύναμη που δέχεται ο πυθμένας του δοχείου μόνο από τα υγρά την βρίσκουμε από την υδροστατική πίεση που δημιουργούν τα δύο υγρά στον πυθμένα. p F= Α = ρ g h ρ g h kg kg , , N N 0. 4 F F 90 Β τρόπος Επειδή το δοχείο έχει κατακόρυφα τοιχώματα, η δύναμη που δέχεται ο πυθμένας από το περιεχόμενο του δοχείου είναι ίση με το βάρος των δύο υγρών συνολικά. F g 4,5 4,5kg 0 F 90N 46

47 Γ) Έστω ότι ο κύλινδρος έχει εμβαδό βάσης β, ύψος d και πυκνότητα ρ k. Οι δυνάμεις που δέχεται πλευρικά από τα υγρά αλληλοεξουδετερώνονται. Έτσι δέχεται τις τρεις δυνάμεις που φαίνονται στο σχήμα: το βάρος του W, την F στην άνω βάση του και την F στην κάτω βάση. Αφού ο κύλινδρος ισορροπεί θα είναι F 0 F F W. () Οι πιέσεις στην άνω και κάτω βάση είναι p και p αντίστοιχα: d p p gh d p = p +ρ g h ρ g. Το βάρος του κυλίνδρου σε συνάρτηση με την πυκνότητά του είναι W = g ρ V g ρ d g. K Η σχέση () γίνεται p p W d d p + ρ g h ρ g + ρ g h ρ d g p d d ρ g ρ g ρ d g ρ ρ ρ g g 0,9 ρ ρ c c g ρ ρ 0,95 c 47

48 Άσκηση. Ο κυλινδρικός υοειδής σωλήνας του διπλανού σχήματος έχει σταθερή διατομή Α =0 c. Εισάγουμε αρχικά 400 L νερού, που σχηματίζει δύο κατακόρυφες στήλες ύψους h =0 c. Α) Να υπολογίσετε την συνολική πίεση σε ένα σημείο Γ στον πυθμένα του δοχείου. Έπειτα εισάγουμε στον δεξιό σωλήνα 90gr λάδι πυκνότητας ρ λ=0,9 g/c. Να υπολογίσετε: Β) την υψομετρική απόσταση x μεταξύ της ελεύθερης επιφάνειας του λαδιού και της ελεύθερης επιφάνειας του νερού. Γ) τη συνολική πίεση στο σημείο Γ μετά την τοποθέτηση του λαδιού. Δ) τη μάζα ενός εμβόλου που πρέπει να τοποθετήσουμε πάνω από την επιφάνεια του λαδιού, ώστε οι επιφάνειες των υγρών να είναι στο ίδιο ύψος. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g =0 /, η ατμοσφαιρική πίεση p at= 0 5 N/ και η πυκνότητα του νερού ρ ν = g/c. Α) Η συνολική πίεση σε ένα σημείο Γ στον πυθμένα του δοχείου, ισούται με το άθροισμα της ατμοσφαιρικής πίεσης και της υδροστατικής πίεσης p p N kg = p +ρ g h , 5, N 00, (ρ ν = g/c = 000 kg/ ) Β) Από τον τύπο της πυκνότητας θα βρούμε τον όγκο του λαδιού και στη συνέχεια το ύψος της στήλης που σχηματίζει. g 90g ρ 0,9 V 00c. V c V 48

49 Η στήλη του λαδιού έχει ύψος h που είναι V =Αh 00c h h 0c 0,. 0c ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Mετά την προσθήκη του λαδιού, έστω ότι η στάθμη του νερού στο δεξιό σωλήνα κατέβηκε κατά y, οπότε στον αριστερό σωλήνα ανέβηκε επίσης κατά y. Το σημείο Ζ βρίσκεται στη διαχωριστική επιφάνεια νερού λαδιού. Τα σημεία Δ και Ζ βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο ενός υγρού (του νερού) που ισορροπεί, άρα έχουν ίδιες συνολικές πιέσεις. p = p p +ρ g y y p + ρ g h ρ y ρ h ρ h y ρ kg 900 0, y 0, 045 4,5c kg 0 (ρ λ = 0,9 g/c = 900 kg/ ) Άρα η υψομετρική απόσταση x μεταξύ της ελεύθερης επιφάνειας του λαδιού και του νερού είναι x = h - y 0c 4,5c x c 0,0 Γ) H συνολική πίεση στο σημείο Γ μετά την τοποθέτηση του λαδιού είναι p p 5 N kg = p +ρ g h y , 0, 045, N 0,45 0, Δ) Μετά την τοποθέτηση του εμβόλου μάζας, πάνω στην ελεύθερη επιφάνεια του λαδιού, οι επιφάνειες των δύο υγρών βρίσκονται στο ίδιο ύψος. Το σημείο Λ βρίσκεται στη διαχωριστική επιφάνεια νερού λαδιού. Τα σημεία Λ και Κ βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο ενός υγρού (του νερού) που ισορροπεί, άρα έχουν ίδιες συνολικές πιέσεις. = +ρ g 0c + ρ g 0c p p p p p w g ρ g 0c ρ g 0c ρ ρ g 0c A A g g ρ ρ0c A 0,9 0c 0c c c 0g. 49

50 Άσκηση. Μία βρύση με παροχή Π = L/in γεμίζει ένα κυλινδρικό βαρέλι με εμβαδό βάσης Α=000c σε χρονικό διάστημα t = in. Να υπολογίσετε: Α) τη μάζα του νερού που χωράει το βαρέλι. Β) την υδροστατική πίεση στον πυθμένα του βαρελιού σε συνάρτηση με το χρόνο και να τη σχεδιάσετε σε αριθμημένους άξονες. Μια δεύτερη βρύση κυκλικής διατομής με ακτίνα r c και ταχύτητα ροής υ =5/in χρησιμοποιείται για να γεμίσει το ίδιο βαρέλι. Να υπολογίσετε το χρονικό διάστημα που χρειάζεται: Γ) η δεύτερη βρύση να γεμίσει το βαρέλι. Δ) να γεμίσει το βαρέλι, αν χρησιμοποιήσουμε ταυτόχρονα και τις δύο βρύσες. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g =0 / και η πυκνότητα του νερού ρ=g/c. Α) Από την παροχή της βρύσης βρίσκουμε τον όγκο του βαρελιού V L = V t in V 6L. in t Η μάζα του νερού που χωράει το βαρέλι θα προκύψει από τη σχέση της πυκνότητας kg kg V ρ ρv 000 6L kg. (ρ= g/c = 000 kg/ ) Β) Η υδροστατική πίεση στον πυθμένα του βαρελιού, σε βάθος h, δίνεται από τη σχέση p p V = ρ g h = ρ g = ρ g A t A 0 / 60 = 000kg / 0 / t p = 0 t (S.I.) 0 t 80 Η υδροστατική πίεση στον πυθμένα του βαρελιού σε συνάρτηση με το χρόνο δίνεται στο διπλανό διάγραμμα. 50

51 Γ) Η παροχή της δεύτερης βρύσης είναι ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ = Α r 0 5 = 60 / in. in Από την παροχή της βρύσης βρίσκουμε το χρονικό διάστημα για να γεμίσει το βαρέλι V V 60 = t = t = 6in 60. t 60 / in Δ) Αν το βαρέλι γεμίσει ταυτόχρονα και με τις δύο βρύσες, τότε έχουμε για τη συνολική παροχή και των δύο βρυσών = 0 / in 6 0 / in 8 0 / in. Το απαιτούμενο χρονικό διάστημα για να γεμίσει το βαρέλι είναι t για το οποίο ισχύει: V V 60 = t = t = in 0. t 80 / in 5

52 Άσκηση 4. Μία βρύση B, παροχής Π, εσωτερικής διατομής Α =4c, ξεκινά τη χρονική στιγμή t=0 να εισάγει νερό με ταχύτητα ροής υ = 0 /in, σε μια μικρή άδεια κυλινδρική δεξαμενή εμβαδού βάσης Ε β=000 c. Τη χρονική στιγμή t = 00, η στάθμη του νερού ανέρχεται σε ύψος h. Εκείνη τη στιγμή ανοίγουμε μια δεύτερη βρύση, B, αφαίρεσης νερού, που βρίσκεται στον πυθμένα της δεξαμενής, διατηρώντας ανοικτή και τη βρύση B. Παρατηρούμε ότι μετά την πάροδο χρονικού διαστήματος Δt =00, δηλαδή τη χρονική στιγμή t = 00, η στάθμη του νερού ανέβηκε κατά h =5 c ακόμα. Τη χρονική στιγμή t κλείνουμε τη βρύση B και αφήνουμε ανοικτή μόνο τη δεύτερη βρύση. Να υπολογίσετε: Α) την παροχή της πρώτης βρύσης. Β) το ύψος h. Γ) την παροχή της δεύτερης βρύσης. Δ) την υδροστατική πίεση στον πυθμένα της δεξαμενής, μετά από πάροδο χρονικού διαστήματος 00 από τη στιγμή t που κλείσαμε τη βρύση εισόδου νερού. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0 /, η πυκνότητα του νερού ρ = g/c και ότι η παροχή της βρύσης Β παραμένει χρονικά σταθερή. Α) Η παροχή της πρώτης βρύσης είναι 4 4 = Α /. 60 Β) Από την παροχή της βρύσης βρίσκουμε τον όγκο του νερού που θα εισέλθει στο βαρέλι σε χρονικό διάστημα t = 00 V 4 = V t 0 00 V 0 0 L. t Τη χρονική στιγμή t = 00, η στάθμη του νερού ανέρχεται σε ύψος h που είναι V 0 V=Ε h h h 0, 0c. 4 Ε

53 Γ) Όταν είναι ανοικτές και οι δύο βρύσες, τότε έχουμε τη μία βρύση να εισάγει νερό, ενώ η δεύτερη αφαιρεί, οπότε η συνολική παροχή είναι: () Επίσης για τη συνολική παροχή έχουμε: 4 V h = 0 4 /. t t 00 Άρα η σχέση () μας δίνει για την παροχή της δεύτερης βρύσης 0 / 0 / 0 / Δ) Σε χρονικό διάστημα Δt = 00 από τη στιγμή t που κλείσαμε τη βρύση εισόδου, ο όγκος του νερού που θα εξέλθει από τη βρύση Β είναι V 4 = V t 0 00 V 0. t Η στάθμη του νερού θα κατεβεί κατά y V 0 V=Εyy y 0, 05 5c. 4 Ε Το νερό στη δεξαμενή θα έχει ύψος h h h h y 0, 0,05 0,05 h 0, 0c. Η υδροστατική πίεση στον πυθμένα της δεξαμενής, σε βάθος h, δίνεται από τη σχέση p kg N p = ρg h 0 0 0, =000. 5

54 Άσκηση 5. Η αθηροσκλήρωση είναι πάθηση των αρτηριών που δημιουργείται από τη σταδιακή εναπόθεση λιπαρών ουσιών στα τοιχώματά τους, με αποτέλεσμα τη στένωση και την απόφραξή τους, που μπορεί να οδηγήσει σε έμφραγμα ή εγκεφαλικό επεισόδιο. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται μια αρτηρία που είναι εν μέρει φραγμένη στην περιοχή του σημείου Γ. Στην περιοχή που δεν υπάρχει η μερική απόφραξη, η κυκλική διατομή Α έχει ενεργό ακτίνα r = και η ταχύτητα του αίματος είναι υ = 0,5 /. Στο σημείο της στένωσης Γ, η κυκλική διατομή Α έχει ενεργό ακτίνα r και η ταχύτητα του αίματος, υ, είναι αυξημένη κατά 5% σε σχέση με τη υ. Να υπολογίσετε: Α) την ταχύτητα υ του αίματος στην περιοχή με την στένωση. Β) την ενεργό διάμετρο δ της αρτηρίας στην περιοχή που υπάρχει η στένωση. Γ) το ποσοστό % που είναι φραγμένη η επιφάνεια της διατομής της αρτηρίας. Δ) τον όγκο του αίματος που διέρχεται από το σημείο της αρτηρίας με τη στένωση σε χρονικό διάστημα ενός λεπτού. Α) Στο σημείο της στένωσης Γ η ταχύτητα του αίματος, υ, είναι αυξημένη κατά 5% σε σχέση με τη υ. Άρα 00% 5% 00% 5%, 5,5,5,5 0,5 /,5 /. Β) Κατά μήκος της αρτηρίας έχουμε σταθερή παροχή αίματος. Από την εξίσωση της συνέχειας θα υπολογίσουμε την ενεργό διάμετρο δ της αρτηρίας στην περιοχή που υπάρχει η στένωση r = Α Α r r r 0,5 /,5 /,5 r r r 80 8 r 60 ή 6.,5 54

55 Γ) Το ποσοστό % που η αρτηρία είναι φραγμένη υπολογίζεται από τη σχέση: r 8 A r r 00% 00% 00% 00% A 80 00% 00% 55,56% 44 Δ) Η παροχή αίματος στα δύο σημεία της αρτηρίας είναι = =Α r 0 0,5 / L L = ,. in in 60 Από την παροχή του αίματος βρίσκουμε τον όγκο του αίματος που διέρχεται από το σημείο της αρτηρίας με τη στένωση σε χρόνο ενός λεπτού V L = V t 4, in V 4, L. t in 55

56 Άσκηση 6. Ένας κυλινδρικός σωλήνας νερού βρίσκεται στο οριζόντιο επίπεδο και αποτελείται από τρία τμήματα μεταβλητής διατομής, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Το τμήμα Α έχει εμβαδό διατομής A = 4 c, το τμήμα Β, A = c και το τμήμα Γ, A. Στο τμήμα Α του σωλήνα επικρατεί πίεση p = 0 5 Ν/. Στο τμήμα Β το νερό έχει ταχύτητα υ =0 /. Το νερό εξέρχεται στον αέρα από την έξοδο Δ του σωλήνα. Να υπολογίσετε: Α) την ταχύτητα υ του νερού στο τμήμα Α του σωλήνα. Β) την πίεση p στο τμήμα Β του σωλήνα. Γ) τη διατομή του σωλήνα A στο τμήμα Γ του σωλήνα. Δ) τη μάζα του νερού που εξέρχεται από το σωλήνα σε χρόνο t = 5 in. Να θεωρήσετε το νερό ιδανικό ρευστό. Δίνονται: η πυκνότητα του νερού ρ =0 kg/ και η ατμοσφαιρική πίεση p at = 0 5 N/. Α) Η παροχή του σωλήνα και στα τρία τμήματα παραμένει σταθερή. Από την εξίσωση της συνέχειας θα υπολογίσουμε την ταχύτητα υ του νερού στο τμήμα Α του σωλήνα = Α Α Α c 0 / Α 4c 5. Β) Για να υπολογίσουμε την πίεση p στο τμήμα Β του σωλήνα, εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια οριζόντια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία και p p p p 5 N kg p N p,650 56

57 Γ) Από την εξίσωση της συνέχειας για τα σημεία και 4 του σωλήνα, που η διατομή είναι σταθερή, έχουμε = Α Α () Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια οριζόντια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία και 4. Η πίεση p 4, στο σημείο 4 είναι ίση με την ατμοσφαιρική, αφού το νερό από το σημείο 4 του σωλήνα εξέρχεται στον αέρα, άρα p p N 5 N kg 0 p p Από τη σχέση () έχουμε 4 5 και από την εξίσωση της συνέχειας για τα τμήματα Β και Γ του σωλήνα, υπολογίζουμε τη διατομή του σωλήνα A στο τρίτο κομμάτι του σωλήνα Α c 0 / 4 B = Α Α Α Α c. 5 / Δ) Τη μάζα του νερού, που εξέρχεται από το σωλήνα, σε χρόνο t = 5 in θα τη βρούμε αφού πρώτα υπολογίσουμε την παροχή του σωλήνα 4 B = Α c Από τη σχέση της παροχής του σωλήνα θα βρούμε τον όγκο του νερού που εξέρχεται από το σωλήνα, σε χρόνο t = 5 in V = V t 0 00 V 0, 6. t Η μάζα του νερού που εξέρχεται από το σωλήνα, σε χρόνο t = 5 in, προκύπτει από τη σχέση της πυκνότητας V kg ρ ρv 000 0, kg. 57

58 Άσκηση 7. Ένας κυλινδρικός σωλήνας νερού βρίσκεται στο κατακόρυφο επίπεδο και αποτελείται από τρία τμήματα μεταβλητής διατομής, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Το τμήμα Α έχει εμβαδό διατομής A = 5 c, το τμήμα Β, A = c και το τμήμα Γ, A. Στο τμήμα Β το νερό έχει ταχύτητα υ =5 /. Στο τμήμα Γ του σωλήνα η κινητική ενέργεια του νερού ανά μονάδα όγκου είναι V J/. Στο τμήμα Γ (σημεία και 4, βλέπε σχήμα) η διατομή είναι ίδια και το νερό από το άκρο Δ του σωλήνα εξέρχεται στον αέρα. Η υψομετρική διαφορά μεταξύ των σημείων και είναι h = 50 c και μεταξύ των σημείων και είναι h =0 c. Να υπολογίσετε: Α) την ταχύτητα υ 4 του νερού στην έξοδο Δ. Β) το εμβαδό διατομής A στο τμήμα Γ. Γ) τις πιέσεις στα σημεία,, και 4 του σωλήνα. Δ) το έργο που παρέχεται από το περιβάλλον ρευστό σε όγκο νερού ΔV = L, κατά την μετακίνησή του από το σημείο στο σημείο. Να θεωρήσετε το νερό ιδανικό ρευστό. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g =0 /, η πυκνότητα του νερού ρ =0 kg/ και η ατμοσφαιρική πίεση p at = 0 5 N/. Α) Στο τρίτο κομμάτι του σωλήνα, στο τμήμα Γ, η κινητική ενέργεια του νερού ανά μονάδα όγκου είναι J/, άρα V 4 J 50 K K / V 0. V V kg 0 58

59 Β) Η παροχή του σωλήνα και στα τρία τμήματα παραμένει σταθερή. Από την εξίσωση της συνέχειας θα υπολογίσουμε το εμβαδό διατομής A στο τμήμα Γ του σωλήνα. = Α Α Α c 5 / Α c. 0 / Γ) Η πίεση p 4, στην έξοδο Δ είναι ίση με την ατμοσφαιρική, αφού το νερό εξέρχεται στον αέρα. 5 N p4 p p4 0. Από την εξίσωση της συνέχειας για τα τμήματα Γ και Δ του σωλήνα, που η διατομή είναι σταθερή, έχουμε: = Α Α Για να υπολογίσουμε την πίεση p στο τρίτο κομμάτι του σωλήνα, στο σημείο, εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια οριζόντια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία και 4 5 N p p4 4 p p4 p 0. Για να υπολογίσουμε την πίεση p στο κομμάτι Β του σωλήνα εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία και, θεωρώντας σαν επίπεδο αναφοράς για τη δυναμική ενέργεια του ρευστού το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο. p g h p p p g h 5 N kg kg p , 5 N p,450 Από την εξίσωση της συνέχειας για τα τμήματα Α και Β του σωλήνα, έχουμε Α c 5 / Α 5c = Α Α. Τέλος εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία και. 59

60 p gh h p p p gh h 5 N kg kg p ,8 5 N p,4 0 Δ) Α τρόπος Το έργο που παρέχεται σε όγκο νερού ΔV = L κατά την μετακίνησή του από το σημείο στο από το περιβάλλον ρευστό ισούται με το άθροισμα δύο έργων, του W = F Δx = p A Δx και του W = -F Δx = -p A Δx. Όμως, A Δx = A Δx = ΔV, οπότε το έργο του περιβάλλοντος ρευστού είναι: 5 N 5 N W p pv, W 4,5J. Β τρόπος Το έργο που παρέχεται από το περιβάλλον ρευστό σε όγκο νερού ΔV = L κατά την μετακίνησή του από το σημείο στο μετατρέπεται σε αύξηση της μηχανικής ενέργειας του ρευστού. Άρα, αρκεί να υπολογίσουμε τη μεταβολή της μηχανικής ενέργειας του ρευστού μεταξύ των δύο θέσεων. Θεωρούμε ότι η δυναμική ενέργεια είναι μηδέν στο οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο W K U K U g h g h W V Vg (0 h ) kg kg W , W 4,5 J. 60

61 Άσκηση 8. Το δοχείο μεγάλης επιφάνειας, που φαίνεται στο διπλανό σχήμα, είναι ανοικτό και γεμάτο με νερό. Η επιφάνεια της διατομής του δοχείου είναι A και στο κατώτερο σημείο του πλευρικού τοιχώματος, σε βάθος h =80 c από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού, υπάρχει μικρό άνοιγμα από το οποίο εξέρχεται σωλήνας Β, με εμβαδό εσωτερικής διατομής A = c. Ο σωλήνας στη συνέχεια στενεύει σε μικρότερο σωλήνα Γ, με εμβαδό εσωτερικής διατομής A = c. Οι διατομές A και A είναι πολύ μικρότερες από την επιφάνεια του δοχείου A. Πάνω στο σωλήνα Β είναι προσαρμοσμένος λεπτός κατακόρυφος ανοικτός σωλήνας, στον οποίο η στήλη νερού έχει ύψος h. Από το σωλήνα Γ το νερό εξέρχεται με ταχύτητα υ στον αέρα. Να υπολογίσετε: Α) την ταχύτητα υ του νερού στο σημείο εξόδου του σωλήνα, Γ. Β) την ταχύτητα υ του νερού στο σημείο της εξόδου από το δοχείο. Γ) την πίεση p στο σωλήνα Β, στο σημείο. Δ) το ύψος h της στήλης του νερού στον κατακόρυφο λεπτό σωλήνα. Να θεωρήσετε το νερό ιδανικό ρευστό. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g =0 /, η πυκνότητα του νερού ρ =0 kg/ και η ατμοσφαιρική πίεση p at = 0 5 N/. Α) Η πίεση p, στο σημείο είναι ίση με την ατμοσφαιρική, αφού το δοχείο είναι ανοικτό, όπως και η πίεση p, στο σημείο εξόδου, Γ, αφού το νερό εξέρχεται στον αέρα, άρα 5 N p p p 0. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία και. Επειδή η διατομή A είναι πολύ μικρότερη από την επιφάνεια του δοχείου 6

62 A, θεωρούμε ότι η ταχύτητα υ με την οποία κατεβαίνει η ελεύθερη επιφάνεια του νερού είναι μηδενική, υ =0. p g h p gh g h 0 0,8 4. Β) Από την εξίσωση της συνέχειας για τα τμήματα Β και Γ του σωλήνα, βρίσκουμε την ταχύτητα υ του νερού στο σημείο εξόδου από το δοχείο. Α c 4 / B Α c = Α Α. Γ) Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια οριζόντια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία και, για να βρούμε την πίεση p στο πρώτο κομμάτι του σωλήνα, στο τμήμα Β p p p p 5 N kg p N p,060 Δ) Σύμφωνα με την υδροστατική, η πίεση p στο σημείο ισούται με την πίεση στη βάση της στήλης νερού του λεπτού κατακόρυφου σωλήνα. Άρα το ύψος h της στήλης του νερού είναι p 5 5 p p p g h h g kg 0 0 h 0, 6 60c. N, N 6

63 Άσκηση 9. Το δοχείο μεγάλης επιφάνειας, που φαίνεται στο διπλανό σχήμα, είναι ανοικτό, έχει διατομή με μεγάλη επιφάνεια, Α και είναι γεμάτο με νερό. Σε κάποιο σημείο του πυθμένα του δοχείου υπάρχει ένα μικρό άνοιγμα, από το οποίο εξέρχεται σωλήνας Β, με εμβαδό εσωτερικής διατομής A = 4 c. Ο σωλήνας στη συνέχεια στενεύει σε μικρότερο σωλήνα, Γ, με εμβαδό εσωτερικής διατομής A = c. Οι διατομές A και A είναι πολύ μικρότερες από την επιφάνεια του δοχείου A. Η στήλη του νερού στο δοχείο έχει σταθερό ύψος h =, ενώ ο σωλήνας έχει συνολικό μήκος h =. Το νερό από το σωλήνα εξέρχεται στον αέρα, στο σημείο, με ταχύτητα υ, ενώ στο σημείο το νερό εξέρχεται από το δοχείο με ταχύτητα υ. Να υπολογίσετε: Α) την ταχύτητα υ του νερού στο σημείο εξόδου του σωλήνα Γ, στο σημείο. Β) την ταχύτητα υ του νερού στο σημείο εξόδου από το δοχείο, στο σημείο. Γ) την πίεση p στο σημείο εξόδου από το δοχείο, στο σημείο. Δ) πόσος όγκος νερού εξέρχεται από το σωλήνα Γ σε χρόνο t = in. Να θεωρήσετε το νερό ιδανικό ρευστό. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g =0 /, η πυκνότητα του νερού ρ =0 kg/ και η ατμοσφαιρική πίεση p at = 0 5 N/. Α) Η πίεση p, στο σημείο είναι ίση με την ατμοσφαιρική, αφού το δοχείο είναι ανοικτό, όπως και η πίεση p, στο σημείο, αφού το νερό εξέρχεται στον αέρα, άρα 5 N p p p 0. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία και. Επειδή η διατομή A είναι πολύ μικρότερη από την επιφάνεια του δοχείου A θεωρούμε ότι η ταχύτητα υ με την οποία κατεβαίνει η ελεύθερη επιφάνεια του νερού είναι μηδενική, υ =0. 6

64 p gh h p gh h gh h 0 0. Β) Από την εξίσωση της συνέχειας για τους σωλήνες Β και Γ βρίσκουμε την ταχύτητα υ του νερού στο σημείο εξόδου από το δοχείο Α c 0 / Α 4c = Α Α 0. Γ) Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία και, για να βρούμε την πίεση p στο σημείο p g h p p p g h 5 N kg kg p N p,050 Δ) Τον όγκο του νερού, που εξέρχεται από το σωλήνα σε χρονικό διάστημα t = in, θα τον βρούμε, αφού πρώτα υπολογίσουμε την παροχή του σωλήνα 4 4 = Α Από τη σχέση της παροχής του σωλήνα θα βρούμε τον όγκο του νερού που εξέρχεται από το σωλήνα Γ, σε χρόνο t = in= 60 V 4 = V t V t 64

65 Άσκηση 0. Το δοχείο μεγάλης επιφάνειας A, που φαίνεται στο διπλανό σχήμα, είναι ανοικτό και γεμάτο με νερό σε σταθερό ύψος h =50 c, ενώ πάνω από το νερό υπάρχει στρώμα λαδιού ύψους h =40 c. Από τον πυθμένα του πλευρικού τοιχώματος του δοχείου εξέρχεται λεπτός σωλήνας σταθερής διατομής A = c. Ο σωλήνας αρχικά είναι οριζόντιος και στη συνέχεια κάμπτεται, ώστε να γίνει κατακόρυφος προς τα πάνω. Το άνοιγμα του σωλήνα βρίσκεται σε ύψος h =0 c πάνω από το επίπεδο του πυθμένα του δοχείου και από εκεί το νερό εκτοξεύεται με ταχύτητα υ (βλέπε σχήμα). Η διατομή A είναι πολύ μικρότερη από την επιφάνεια του δοχείου A. Να υπολογίσετε Α) την πίεση p στο σημείο, στη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού νερού. Β) την κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου του νερού στο σημείο του σωλήνα που βρίσκεται αμέσως μετά την έξοδο του νερού από το δοχείο. Γ) την πίεση p στο σημείο του σωλήνα που βρίσκεται αμέσως μετά την έξοδο του νερού από το δοχείο. Δ) το ύψος h 4 που θα φτάσει το νερό, από τον πυθμένα του δοχείου. Να θεωρήσετε το νερό και το λάδι ιδανικά ρευστά. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g =0 /, η πυκνότητα του νερού ρ ν =0 kg/, η πυκνότητα του λαδιού ρ λ =0,9 0 kg/ και η ατμοσφαιρική πίεση p at = 0 5 N/. Α) Η πίεση p στο σημείο, στη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού νερού, είναι το άθροισμα της ατμοσφαιρικής πίεσης και της υδροστατικής πίεσης από την υπερκείμενη ποσότητα του λαδιού 5 N kg N p = p +ρ g h , 4 p 0, 6 0. Β) Η κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου του νερού στο σημείο, στο οποίο το νερό εισέρχεται στο σωλήνα είναι K V V () Χρησιμοποιώντας την εξίσωση συνέχειας κατά μήκος του σωλήνα θα βρούμε τη σχέση μεταξύ των ταχυτήτων υ και υ. 65

66 = Α Α ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Άρα η σχέση () γίνεται: K V V () Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία και. Επειδή η διατομή A είναι πολύ μικρότερη από την επιφάνεια του δοχείου A, θεωρούμε ότι η ταχύτητα υ με την οποία κατεβαίνει η ελεύθερη επιφάνεια του νερού και του λαδιού είναι μηδενική, υ =0. Η πίεση p, στο σημείο είναι ίση με την ατμοσφαιρική, αφού το νερό εξέρχεται στον αέρα p N 0, άρα 5 p p gh p gh p + ρgh gh p g h ρgh gh g h ρgh g h h kg kg , ,5 0, J 6,60 K J Άρα η σχέση () δίνει 6,60. V Γ) Για την πίεση p στο σημείο, στο οποίο το νερό εισέρχεται στο σωλήνα εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία και p gh p p gh p p p gh N kg J p 0, ,5 6,60 p N,

67 Δ) Θα υπολογίσουμε το ανώτερο ύψος h 4, στο οποίο θα φτάσει το νερό από τον πυθμένα του δοχείου (υ 4=0), εφαρμόζοντας το θεώρημα Bernoulli για μια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία και 4. p g h p 4 g h4 p gh p p p gh gh4 h4 g N kg 5 0, ,5 0 h4 h4 0,86 86 c. kg

68 Άσκηση. Το ροόμετρο Venturi, που φαίνεται στο διπλανό σχήμα, αποτελείται από έναν οριζόντιο κυλινδρικό σωλήνα μεταβλητής διατομής που διαρρέεται από νερό. Στα δύο μέρη του έχει διαφορετικές διατομές A = 4 c και A = c, αντίστοιχα. Οι δύο λεπτοί κατακόρυφοι σωλήνες είναι ανοικτοί. Όταν στο σημείο η ταχύτητα του νερού είναι υ = /, το νερό στον πρώτο κατακόρυφο σωλήνα βρίσκεται σε ύψος h =,5. Να υπολογίσετε: Α) την ταχύτητα υ του νερού στο δεύτερο κομμάτι του οριζόντιου σωλήνα (σημείο ). Β) την μεταβολή στην πίεση του νερού, καθώς αυτό μεταβαίνει από το πρώτο στο δεύτερο μέρος του οριζόντιου σωλήνα. Γ) το ύψος h του νερού στον δεύτερο κατακόρυφο σωλήνα. Δ) το ποσοστό μεταβολής στην αρχική παροχή του σωλήνα, προκειμένου να μηδενιστεί το ύψος του νερού στο δεύτερο κατακόρυφο σωλήνα, ενώ στον πρώτο να παραμείνει σε ύψος h =,5. Να θεωρήσετε το νερό ιδανικό ρευστό. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g =0 /, η πυκνότητα του νερού ρ ν =0 kg/ και η ατμοσφαιρική πίεση p at = 0 5 N/. Α) Η παροχή του σωλήνα παραμένει σταθερή. Από την εξίσωση της συνέχειας θα υπολογίσουμε την ταχύτητα υ του νερού στο δεύτερο κομμάτι του οριζόντιου σωλήνα (σημείο ). Α 4c / Α c = Α Α 4 /. Β) Αν η πίεση στο τμήμα Α είναι p και στο τμήμα Β είναι p, το θεώρημα Bernoulli για μια οριζόντια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία και, δίνει την μεταβολή στην πίεση του νερού, καθώς αυτό μεταβαίνει από το πρώτο στο δεύτερο μέρος του οριζόντιου σωλήνα. 68

69 p p p p kg N p 0 4 p 6 0. ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Άρα, καθώς το νερό περνάει στον στενότερο σωλήνα, όπου η ταχύτητα μεγαλώνει, η πίεση μειώνεται. Γ) Σύμφωνα με την υδροστατική, η πίεση p, στο τμήμα Β, ισούται με την πίεση στη βάση της στήλης νερού του λεπτού κατακόρυφου σωλήνα. p p gh. Ομοίως για την πίεση p, στο σημείο. p p gh. Άρα, για το ύψος h του νερού στον δεύτερο κατακόρυφο σωλήνα έχουμε p p p p gh p g h p g h g h N 60 h h h,5 h 0, 75. p gh p g g kg 0 0 Δ) Αλλάζουμε την παροχή του νερού, ώστε να μηδενιστεί το ύψος του νερού στο δεύτερο κατακόρυφο σωλήνα και η πίεση p να γίνει ίση με την ατμοσφαιρική. 5 N p p 0. Έστω Π η καινούρια παροχή του νερού και υ και υ, οι νέες ταχύτητες του νερού στα δύο τμήματα του σωλήνα. Η εξίσωση συνέχειας δίνει Α Α 4c c () Από το θεώρημα Bernoulli για μια οριζόντια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία και, έχουμε gh p p p p g h g h 0,5 g h. Αρχικά η παροχή Π του νερού ήταν 69

70 4 Α 4c 8 0. Η καινούρια παροχή Π του νερού είναι 4 Α 4c 0. Τελικά το ποσοστό μεταβολής της παροχής του νερού, προκειμένου να μηδενιστεί το ύψος του νερού στο δεύτερο κατακόρυφο σωλήνα, ενώ στον πρώτο να παραμείνει σε ύψος h =,5 είναι: % 00% 50%

71 Άσκηση. Στον οριζόντιο σωλήνα Venturi, μεταβλητής διατομής, ρέει φυσικό αέριο. Τα δύο μέρη του σωλήνα έχουν διατομές A και A, αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Κάτω από τον οριζόντιο σωλήνα υπάρχει δεύτερος υοειδής λεπτός σωλήνας που περιέχει νερό. Μέσα από τον οριζόντιο σωλήνα μεταφέρονται 0,6 kg αερίου το λεπτό. Όταν στο σημείο η κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου του αερίου είναι 4 J/, η υψομετρική διαφορά του νερού στους δύο κατακόρυφους σωλήνες είναι Δh=0, c. Να υπολογίσετε: Α) την ταχύτητα υ του φυσικού αερίου στο πρώτο κομμάτι του οριζόντιου σωλήνα (σημείο ). Β) την μεταβολή στην πίεση του αερίου, καθώς αυτό μεταβαίνει από το πρώτο στο δεύτερο μέρος του οριζόντιου σωλήνα. Γ) την ταχύτητα υ του φυσικού αερίου στο δεύτερο κομμάτι του οριζόντιου σωλήνα (σημείο ). Δ) τις διατομές A και A στα δύο μέρη του οριζόντιου σωλήνα. Να θεωρήσετε το φυσικό αέριο ιδανικό ρευστό. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g =0 /, η πυκνότητα του νερού ρ ν =0 kg/, η πυκνότητα του φυσικού αερίου ρ α =0,5kg/ και η ατμοσφαιρική πίεση p at=0 5 N/. Α) Στο πρώτο κομμάτι του σωλήνα, στο σημείο, η κινητική ενέργεια του φυσικού J αερίου ανά μονάδα όγκου είναι 4, άρα V J 4 K K / V 4. V V kg 0,5 Β) Έστω ότι η πίεση στο τμήμα Α είναι p και στο τμήμα Β είναι p. Τα σημεία Δ και Ε βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο ενός υγρού (του νερού) που ισορροπεί, άρα έχουν ίδιες συνολικές πιέσεις. Στο σημείο Δ η πίεση ισούται με την πίεση του αερίου p, ενώ στο σημείο Ε η πίεση ισούται με το άθροισμα της πίεσης του αερίου p και της υδροστατικής πίεσης από την υπερκείμενη 7

72 ποσότητα του νερού. p p p p p p = +ρ g h - ρ g h kg N p ρ g h 0 0 0, 0 p. ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Έτσι η μεταβολή στην πίεση του αερίου, καθώς αυτό μεταβαίνει από το πρώτο στο δεύτερο μέρος του οριζόντιου σωλήνα είναι αρνητική. Γ) Το θεώρημα Bernoulli για μια οριζόντια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία και, δίνει την ταχύτητα υ του φυσικού αερίου στο δεύτερο κομμάτι του οριζόντιου σωλήνα p p p p p 0 N kg kg 0,5 4 0,5. Δ) Μέσα από το σωλήνα μεταφέρονται 0,6 kg αερίου το λεπτό. Ο όγκος του αερίου προκύπτει από τη σχέση της πυκνότητας 0,6kg ρ V V V,. V ρ kg 0,5 Η παροχή του αερίου στο σωλήνα είναι V, = 0, 0. t 60 Η παροχή του αερίου είναι σταθερή και στο πρώτο τμήμα του σωλήνα είναι 0,0 = Α Α Α = 50 Α 50c. 4 Η παροχή του αερίου στο δεύτερο τμήμα του σωλήνα είναι 0,0 = Α Α Α = 0 Α 0c. 0 7

73 Άσκηση. Μια λεπτή πλάκα Π μάζας =0,kg και εμβαδού Α=00c τοποθετείται πάνω σε σταθερό οριζόντιο τραπέζι και ανάμεσά τους υπάρχει στρώμα νευτώνειου ρευστού, πάχους d=, με συντελεστή ιξώδους n=0,4ν /. Ασκούμε σταθερή οριζόντια δύναμη F =4N και παρατηρούμε ότι η πλάκα μετά από μετατόπιση x=0c αρχίζει να κινείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ. Να υπολογίσετε: Α) την ταχύτητα υ. Β) την ισχύ P της δύναμης F, όταν η πλάκα κινείται με σταθερή ταχύτητα υ. Γ) την θερμική ενέργεια Q που απελευθερώθηκε λόγω τριβών, μέχρι την απόκτηση της ταχύτητας υ. Ασκούμε αντί για τη δύναμη μέτρου F μια άλλη δύναμη μέτρου F και η πλάκα μετά από λίγο κινείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ. Αν η ισχύς της δύναμης αυξήθηκε κατά 00% Δ) να υπολογίσετε τη δύναμη F και την σταθερή ταχύτητα υ. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0 /. Α) Εφόσον η πλάκα κινείται με σταθερή ταχύτητα η συνολική δύναμη που της ασκείται είναι ίση με μηδέν. Στην πλάκα ασκείται η δύναμη F και η τριβή Τ από το ρευστό, άρα 4N0, n A Fd F 0 F T F 4 d n A 0 /. Β) Η ισχύς P της δύναμης F, όταν η πλάκα κινείται με σταθερή ταχύτητα υ είναι WF F x P P F 4N P 8W. t t Γ) Η θερμική ενέργεια Q που απελευθερώθηκε λόγω τριβών, μέχρι την απόκτηση της ταχύτητας υ, ισούται με το απόλυτο του έργου της τριβής Q W. T 7

74 Το έργο της τριβής θα το υπολογίσουμε εφαρμόζοντας το Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας για την πλάκα. Kτελ -Καρχ WT WF 0 WT F x WT F x WT 0,kg 4N 0, W 0,J. T Άρα η θερμική ενέργεια Q που απελευθερώθηκε λόγω τριβών είναι Q WT 0,J. Δ) Αν η ισχύς της δύναμης αυξηθεί κατά 00% η νέα ισχύς P της δύναμης F, όταν η πλάκα κινείται με σταθερή ταχύτητα υ είναι P P - P P 00% = 00% P = 4P 4 8W P W. P Εφόσον η πλάκα κινείται με σταθερή ταχύτητα η συνολική δύναμη που της ασκείται είναι ίση με μηδέν. Στη πλάκα ασκείται η δύναμη F και η τριβή Τ από το ρευστό, άρα na d F 0 F T F () Η ισχύς P της δύναμης F, όταν η πλάκα κινείται με σταθερή ταχύτητα υ, με χρήση και της σχέσης () είναι W0 4 0,4 / 00 0 n A Pd P F 4. d n A Από τη σχέση () βρίσκουμε τη δύναμη F 4 0,4 / / na F F 8N. d 0 74

75 Άσκηση 4. Α) Μια λεπτή πλάκα Π μάζας = kg και εμβαδού Α=00c αφήνεται πάνω σε πλάγιο επίπεδο, γωνίας κλίσης φ = 0, το οποίο έχει επικαλυφθεί με στρώμα νευτώνειου ρευστού, πάχους d και συντελεστή ιξώδους n= 0,5 Ν /. Η πλάκα μετά από κάποιο χρονικό διάστημα αποκτά σταθερή ταχύτητα μέτρου υ =,5 /. Να υπολογίσετε το πάχος d του στρώματος του ρευστού. Β) Ακινητοποιούμε την προηγούμενη πλάκα και ασκούμε σ αυτή δύναμη F παράλληλη στο πλάγιο επίπεδο, με κατεύθυνση προς τα πάνω, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η πλάκα κινείται προς τα πάνω και μετά από μετατόπιση x= αποκτά σταθερή ταχύτητα υ, διπλάσια από την ταχύτητα υ. Να υπολογίσετε: ) τη δύναμη F. ) τον ρυθμό με τον οποίο παρέχει ενέργεια η δύναμη F στην πλάκα, όταν κινείται με σταθερή ταχύτητα υ. ) το ποσοστό του έργου της δύναμης F που μετατράπηκε σε θερμική ενέργεια, μέχρι η πλάκα να αποκτήσει την ταχύτητα υ. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g =0 /, το ημ0 = και το συν0 =. Α) Στην πλάκα, στον άξονα x της κίνησης, ασκείται η συνιστώσα w x του βάρους και η τριβή Τ από το ρευστό. Το βάρος της πλάκας είναι w g kg 0 / w 0N και η συνιστώσα του βάρους στον άξονα x είναι 0 wx g 0N 0 wx 5. Εφόσον η πλάκα κινείται με σταθερή ταχύτητα η συνολική δύναμη που της ασκείται είναι ίση με μηδέν. 75

76 Fx 0 w x T w x d d x d ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 4 / 0,5 000,5 n A n A d w 5N Β) Η πλάκα κινείται τώρα με σταθερή ταχύτητα υ διπλάσια της υ, άρα με υ = 5 /. Εφόσον η πλάκα κινείται με σταθερή ταχύτητα η συνολική δύναμη που της ασκείται είναι ίση με μηδέν. na Fx 0 F w x T F w x d 4 0,5 / F 5N 50 F 5N. B) Ο ρυθμός με τον οποίο παρέχει ενέργεια η δύναμη F είναι η ισχύς P της δύναμης F, όταν η πλάκα κινείται με σταθερή ταχύτητα υ, άρα W F x t t t t t F P = = F 5N5 75W. B) Η θερμική ενέργεια Q που απελευθερώθηκε λόγω τριβών, μέχρι την απόκτηση της σταθερής ταχύτητας, ισούται με το απόλυτο του έργου της τριβής Q W. Το έργο της τριβής θα το υπολογίσουμε εφαρμόζοντας το Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας για την πλάκα. Kτελ -Καρχ WT WF Ww x 0 WT F x w x x WT F x w x x WT kg 5 5N 5N W,5J 0J 0J W 7,5 J. T T Άρα η θερμική ενέργεια Q που απελευθερώθηκε λόγω τριβών είναι T Q WT 7,5J. Το ποσοστό του έργου της δύναμης F που μετατράπηκε σε θερμική ενέργεια, μέχρι η πλάκα να αποκτήσει την σταθερή ταχύτητα υ, είναι 76

77 Q Q 7,5J 7,5J Q 00% = 00% = 00% = 00% 00% 5%. W F x 5N 0J W F F 77

78 ΘΕΜΑ Δ Πρόβλημα. Στον υδραυλικό ανυψωτήρα του διπλανού σχήματος, τα έμβολα Ε και Ε έχουν εμβαδό A =0c, A =00 c και βάρη w =0N, w =0N, αντίστοιχα. Το έμβολο Ε συνδέεται με το κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Τα δύο έμβολα βρίσκονται αρχικά σε ισορροπία στο ίδιο ύψος, με το ελατήριο να είναι επιμηκυμένο από το φυσικό του μήκος κατά d=0c. A) Να υπολογίσετε τη σταθερά του ελατηρίου k. Στο έμβολο Ε εφαρμόζουμε κατακόρυφα προς τα κάτω μια μεταβλητή δύναμη τελικού μέτρου F =N, με τρόπο ώστε τα έμβολα να μετακινούνται με ταχύτητα σχεδόν μηδενική, τελικά τα έμβολα ισορροπούν σε νέες θέσεις. Να υπολογίσετε: B) πόσο μετακινήθηκαν τα δύο έμβολα. Γ) τη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου στη νέα θέση ισορροπίας. Δ) το έργο της δύναμης F, που ασκείται από το νερό στο έμβολο Ε λόγω της υδροστατικής πίεσης, κατά τη μετακίνησή του. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0 / και η πυκνότητα του νερού ρ ν =g/c. Α) Δύο σημεία Γ και Δ, ακριβώς κάτω από τα δύο έμβολα, βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο υγρού που ισορροπεί, άρα έχουν ίδιες πιέσεις w w F p = p p + p + A A 0 0F F 0. Άρα η σταθερά του ελατηρίου k είναι: N F 0 k d 0 k 0, 0 k 00 78

79 Β) Εφαρμόζουμε κατακόρυφα προς τα κάτω και σιγά-σιγά μία δύναμη τελικού μέτρου F = N. Tα δύο έμβολα μετακινούνται από την αρχική τους θέση, μέχρι τη νέα θέση που θα ισορροπήσουν κατά y και y, αντίστοιχα. Το νερό είναι ασυμπίεστο, άρα όσος όγκος νερού κατεβαίνει στον ένα σωλήνα ίσος όγκος νερού ανεβαίνει στον άλλο. Άρα ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ V V A y A y 00 y 000 y y 0y. 4 4 Η δύναμη του ελατηρίου στη νέα θέση είναι N F k d y 00 0, y Τα σημεία Κ και Λ του υγρού, βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο υγρού που ισορροπεί, άρα έχουν ίδιες πιέσεις w F w F = ρ g y y p p p p K A A N 000 0, y 0 0 0y y N kg N 4 N 4 N 4 N 4 N, 0, 0 0,0 0 y 0 y N N, y y 0, 0c y 0y y Γ) Η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου στη νέα θέση θα είναι U, d y N 0, 0, N k , 04 U, J Δ) Για να βρούμε το έργο της δύναμης F, που ασκείται από το νερό στο έμβολο Ε, κατά τη μετακίνησή του θα εφαρμόσουμε το Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας μεταξύ των δύο θέσεων. Η ατμοσφαιρική πίεση δεν επηρεάζει την κίνηση του κυλίνδρου καθώς οι δυνάμεις που οφείλονται σε αυτήν αλληλοεξουδετερώνονται. K -Κ W W W () τελ αρχ W F F 79

80 K =Κ 0 τελ αρχ W w y 0N 0, W J W W W U F U 000, J J WF,5J Με αντικατάσταση στη σχέση () παίρνουμε: 0 J,5J W W 0,5J F F 80

81 Πρόβλημα. Δύο ομογενείς κύλινδροι ισορροπούν με τον άξονά τους κατακόρυφο μέσα σε δοχείο με νερό, μεγάλης επιφάνειας, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Ο κύλινδρος Γ, μάζας Γ=0,5kg, έχει ύψος h=50c, εμβαδό βάσης Α=0c και είναι ολόκληρος βυθισμένος μέσα στο νερό. Ο κύλινδρος Β είναι ολόκληρος έξω από το νερό και έχει διαστάσεις ίδιες με τον κύλινδρο Γ. Να υπολογίσετε: Α) την υδροστατική πίεση που επικρατεί στην κάτω βάση του κυλίνδρου Γ, δηλαδή σε βάθος h= 50 c από την επιφάνεια του νερού. Β) τη δύναμη που δέχεται ο κύλινδρος Γ από το νερό εξαιτίας της υδροστατικής πίεσης, καθώς και από τον κύλινδρο Β. Γ) την πυκνότητα του κυλίνδρου Β. Αποσύρουμε απότομα τον κύλινδρο Β. Να υπολογίσετε: Δ) την ταχύτητα του κυλίνδρου Γ τη στιγμή που εξέρχεται πλήρως από το νερό. Να θεωρήσετε ότι δεν αλλάζει η στάθμη του νερού κατά την έξοδο του κυλίνδρου Γ απ αυτό και ότι η δύναμη τριβής που ασκείται από το νερό στον κύλινδρο Γ, κατά την κίνησή του, είναι αμελητέα. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0/ και η πυκνότητα του νερού ρ ν =g/c. Α) Η υδροστατική πίεση σε βάθος h=50 c από την επιφάνεια του νερού είναι kg N p = ρ g h 0 0 0,5 p 5000 (ρ ν = g/c = 000 kg/ ) Β) Οι δυνάμεις που δέχεται ο κύλινδρος Γ στα πλευρικά τοιχώματα αλληλοεξουδετερώνονται. Έτσι η μόνη δύναμη που δέχεται από το νερό εξαιτίας της υδροστατικής πίεσης είναι η F, στην κάτω βάση του, που έχει φορά κατακόρυφα προς τα πάνω. p N 0. 4 F= Α = Ο κύλινδρος Γ δέχεται ακόμα το βάρος του w Γ και την δύναμη επαφής Ν από τον κύλινδρο Β. Εφόσον ο κύλινδρος Γ ισορροπεί ισχύει: 8

82 F 0 F w F g 0 N 0,5kg 0 N 5. Άρα η δύναμη που δέχεται ο κύλινδρος Γ από τον κύλινδρο Β είναι N 5. Γ) Στον κύλινδρο Β ασκούνται το βάρος του w Β και η δύναμη επαφής Ν από τον κύλινδρο Β, η οποία ως δράση αντίδραση έχει ίσο μέτρο με τη Ν. Για την ισορροπία του κυλίνδρου Β έχουμε F 0 w 5 g 5 0 5N 0,5kg. Άρα η πυκνότητα του κυλίνδρου Β, που έχει ίδιες διαστάσεις και όγκο με τον κύλινδρο Γ, είναι 0,5kg 0,5kg kg g ρ 500 ρ 0,5 V Αh 00 0,5 0 c 4 Δ) Αποσύροντας απότομα τον κύλινδρο Β, ο κύλινδρος Γ αρχίζει να ανέρχεται υπό την επίδραση των δυνάμεων της μεταβλητής F και του βάρους w Γ. Για να βρούμε την ταχύτητα του κυλίνδρου τη στιγμή που αυτός εξέρχεται από το νερό θα εφαρμόσουμε το Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας από τη θέση που ο κύλινδρος ξεκινά χωρίς αρχική ταχύτητα μέχρι τη θέση που εξέρχεται πλήρως από το νερό με ταχύτητα υ. K -Κ W W () τελ αρχ W F Πρέπει να υπολογίσουμε το έργο της μεταβλητής δύναμης F. Έστω μια τυχαία θέση στην άνοδο του κυλίνδρου, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Ο κύλινδρος έχει μετατοπιστεί κατά y, άρα είναι βυθισμένος κατά h-y μέσα στο νερό. Σε ένα σημείο Δ ακριβώς στη βάση του κυλίνδρου η υδροστατική πίεση είναι p p kg = ρ g h y 0 0 0,5 y 4 0 0,5 y (S.I.) 0 y 0,5 και η δύναμη F που ασκεί το νερό στον κύλινδρο είναι p 4 4 F= Α = 0 0,5 y 0 0 F = 0 0y S.I. 0 y 0,5 8

83 Για να βρούμε το έργο της F θα κάνουμε τη γραφική της παράσταση σε συνάρτηση με την μετατόπιση y.to σκιασμένο εμβαδό ισούται με το έργο της μεταβλητής δύναμης του νερού. W F = 0N 0,5 =,5J. Με αντικατάσταση στη σχέση () παίρνουμε: Kτελ -Καρχ WW WF 0 g h W F 0,5kg 0,5kg 0 0,5,5J 0 0 Ο κύλινδρος Γ εξέρχεται οριακά από το νερό. 8

84 Πρόβλημα. Ομογενής κύλινδρος, μάζας Μ =0,kg, έχει ύψος h =0c, εμβαδό βάσης Α =0c και ισορροπεί με τον άξονά του κατακόρυφο μέσα σε δοχείο με νερό, μεγάλης επιφάνειας, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Μια σημειακή μεταλλική σφαίρα, μάζας =0,05 kg, αφήνεται από απόσταση d =45c πάνω από τον κύλινδρο και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά μ αυτόν. Να υπολογίσετε: Α) τη δύναμη που δέχεται ο κύλινδρος από το νερό στη θέση ισορροπίας του εξαιτίας της υδροστατικής πίεσης και το βάθος στο οποίο βρίσκεται η βάση του. Β) τη συνολική πίεση στην κάτω βάση του κυλίνδρου, στη θέση ισορροπίας του. Γ) σε ποιο ύψος πάνω από τη στάθμη του νερού θα ανέλθει η σημειακή μεταλλική σφαίρα μετά την κρούση. Δ) την ταχύτητα του κυλίνδρου τη στιγμή που εισέρχεται ολόκληρος στο νερό. Θεωρείστε ότι δεν αλλάζει η στάθμη του νερού κατά την βύθιση του κυλίνδρου σ αυτό και ότι η δύναμη αντίστασης που ασκείται από το νερό στον κύλινδρο, κατά την κίνησή του, είναι αμελητέα. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0 /, η ατμοσφαιρική πίεση p at=0 5 pa και η πυκνότητα του νερού ρ ν =g/c. Α) Στον κύλινδρο ασκούνται το βάρος του w και η κατακόρυφη προς τα πάνω δύναμη, F ν, εξαιτίας της υδροστατικής πίεσης που ασκείται από το νερό στην κάτω βάση του κυλίνδρου. Η ατμοσφαιρική πίεση δεν επηρεάζει την ισορροπία του κυλίνδρου καθώς οι δυνάμεις που οφείλονται σε αυτήν αλληλοεξουδετερώνονται. Για την ισορροπία του κυλίνδρου έχουμε F 0 F w g 0, kg0 F Έστω ότι ο κύλινδρος είναι βυθισμένος κατά y μέσα στο νερό. H υδροστατική πίεση σε βάθος y από την επιφάνεια του νερού είναι p = ρ g y και για την κατακόρυφη προς τα πάνω δύναμη, Fν, ισχύει: 84

85 F F = p Α F = ρ g y y y 0, ρ g kg (ρ ν = g/c = 000 kg/ ) Β) Η συνολική πίεση στην κάτω βάση του κυλίνδρου, στη θέση ισορροπίας του είναι ίση με το άθροισμα της ατμοσφαιρικής πίεσης και της υδροστατικής πίεσης N kg N p = p +ρ g y , p Γ) Η σημειακή μεταλλική σφαίρα με την πτώση της θα αποκτήσει, πριν χτυπήσει στον κύλινδρο, ταχύτητα υ, την οποία υπολογίζουμε με εφαρμογή της Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας. Θεωρούμε στάθμη μηδενικής δυναμικής ενέργειας την πάνω βάση του κυλίνδρου: Ε = Ε Κ U K + U,, αρχ τελ 0 g d 0 g d 0 0,45. Μετά την κεντρική ελαστική κρούση η σημειακή μεταλλική σφαίρα και ο κύλινδρος θα αποκτήσουν ταχύτητες υ και υ, που δίνονται από τις σχέσεις 0, 05kg 0,kg 0, 05kg 0,kg 0, 05kg. 0, 05kg 0,kg Η σφαίρα μετά την κρούση θα ανέλθει κατακόρυφα y μέχρι να σταματήσει. Το y υπολογίζεται με εφαρμογή της Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας μεταξύ των δύο θέσεων. Θεωρούμε στάθμη μηδενικής δυναμικής ενέργειας την πάνω βάση του κυλίνδρου: Ε = Ε Κ U K + U αρχ τελ g g y y y 0, 05. Το ύψος Η πάνω από τη στάθμη του νερού που θα ανέλθει η σφαίρα είναι: 85

86 H h y y 0c 0c 5c H 5c ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Δ) O κύλινδρος κατά τη βύθισή του δέχεται δύο δυνάμεις, το βάρος του w και τη δύναμη, F ν, εξαιτίας της υδροστατικής πίεσης από το νερό. Η ατμοσφαιρική πίεση δεν επηρεάζει την κίνηση του κυλίνδρου καθώς οι δυνάμεις που οφείλονται σε αυτήν αλληλοεξουδετερώνονται. Για να βρούμε την ταχύτητα του κυλίνδρου τη στιγμή που εισέρχεται ολόκληρος στο νερό θα εφαρμόσουμε το Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας από τη θέση που ο κύλινδρος ξεκινάει με αρχική ταχύτητα υ μέχρι τη θέση που εισέρχεται ολόκληρος στο νερό με ταχύτητα υ. Kτελ -Καρχ WW WF () Η δύναμη, Fν είναι μεταβλητή, γιατί η υδροστατική πίεση στη βάση του κυλίνδρου διαρκώς αυξάνεται, καθώς αυτός βυθίζεται. Για να βρούμε το έργο της Fν πρέπει να κάνουμε τη γραφική της παράσταση σε σχέση με τη μετατόπιση και να υπολογίσουμε το κατάλληλο εμβαδό. Έστω μια τυχαία θέση στη διάρκεια βύθισης του κυλίνδρου, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Ο κύλινδρος έχει μετατοπιστεί κατά x, άρα είναι βυθισμένος κατά y+x μέσα στο νερό. Στη θέση αυτή στην επιφάνεια της βάσης του κυλίνδρου η υδροστατική πίεση είναι kg p = ρ g y x 0 0 0, x 4 0 0, x (S.I.) 0 x 0, p Άρα το μέτρο της δύναμης που ασκεί το νερό στον κύλινδρο είναι: p 4 4 F= Α = 0 0, x 00 F 0x S.I. 0 x 0, H μετατόπιση x παίρνει τιμές από μηδέν έως h-y=0,, όταν ο κύλινδρος εισέρχεται ολόκληρος στο νερό. Η γραφική παράσταση του μέτρου της δύναμης Fν σε σχέση με τη μετατόπιση δείχνεται στο διπλανό σχήμα. To σκιασμένο εμβαδό ισούται με το έργο της Fν, που είναι αρνητικό, γιατί η δύναμη του νερού είναι αντίθετη της μετατόπισης: N N W F = - 0, = -0,5J. Με αντικατάσταση στη σχέση () παίρνουμε: 86

87 Kτελ -Καρχρ WW WF M M Mg h y W F 0,kg 0,kg 0,kg 0 0, 0,5J 0. 87

88 Πρόβλημα 4. Ένας οριζόντιος κυκλικός σωλήνας εσωτερικής ακτίνας r εκτοξεύει νερό από ύψος h=5. Το νερό εξέρχεται του σωλήνα με ταχύτητα υ 0, τη χρονική στιγμή t=0 και όταν φτάνει στο έδαφος η επιφάνεια r διατομής της φλέβας του έχει ακτίνα r ίση με Στο σημείο πτώσης του νερού στο έδαφος είναι τοποθετημένο ένα δοχείο όγκου V L, το οποίo γεμίζει τη χρονική στιγμή Θεωρούμε την αντίσταση του αέρα αμελητέα. Να υπολογίσετε: t Α) τη χρονική διάρκεια της πτώσης του νερού μέχρι να φθάσει στο έδαφος. Β) την ταχύτητα υ 0 εξόδου του νερού από το σωλήνα. Γ) την οριζόντια απόσταση S του σημείου που χτυπάει το νερό στο έδαφος από την έξοδο του σωλήνα και τη γωνία φ με το οριζόντιο επίπεδο, υπό την οποία προσκρούει το νερό. Δ) την εσωτερική ακτίνα r του σωλήνα. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g =0 /.. Α) Η κίνηση που κάνει το νερό είναι οριζόντια βολή. Σύμφωνα με την αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων η χρονική διάρκεια της πτώσης του νερού, μέχρι να φθάσει στο έδαφος, εξαρτάται από το ύψος h που εκτοξεύεται h 5 h g t t t. g 0 / Β) Από την εξίσωση της συνέχειας προκύπτει ότι έχουμε σταθερή παροχή κατά μήκος της φλέβας του νερού, από την έξοδο του σωλήνα μέχρι και ελάχιστα πριν την πρόσκρουση στο έδαφος. Ελάχιστα πριν το νερό κτυπήσει στο έδαφος η επιφάνεια διατομής της φλέβας του έχει ακτίνα r ίση με r. 88

89 r 0 = Α 0 Α r 0 r r r 0 r. () 0 Η ταχύτητα του νερού όταν θα φθάσει στο έδαφος είναι. () x y Η ταχύτητα που θα έχει το νερό την ίδια στιγμή στον κατακόρυφο άξονα, υ y, είναι: = gt 0 / 0 /. () y y Έτσι η σχέση () με χρήση και των σχέσεων () και () γίνεται 4 0 x y 0 0 y 0 0 y / 00 0 /. Γ) Η οριζόντια απόσταση S του σημείου που χτυπάει το νερό στο έδαφος από την έξοδο του σωλήνα είναι: S=υ0t 0 / S 0. Η γωνία φ με το οριζόντιο επίπεδο υπό την οποία προσκρούει το νερό είναι y 0 / / 0 Δ) Η παροχή του σωλήνα είναι ίση με την παροχή σε όλο το μήκος της φλέβας του νερού. Εφόσον το δοχείο όγκου V = π L γεμίζει τη χρονική στιγμή t = και με δεδομένο ότι το νερό χρειάστηκε χρονικό διάστημα t = για να φτάσει στο έδαφος η παροχή θα είναι V L L t t = 0. Θα βρούμε την εσωτερική ακτίνα r του σωλήνα από την παροχή του 89

90 = Α r r r / 0 / r r 0 c. 90

91 Πρόβλημα 5. Ένας σωλήνας εσωτερικής διατομής Α=0 c με τη βοήθεια πιεστικής αντλίας εκτοξεύει νερό με ρυθμό L κάθε δευτερόλεπτο, παράλληλα σε πλάγιο δάπεδο, γωνίας κλίσης φ=0 0 και κατεύθυνση προς τα πάνω. Το νερό προσπίπτει κάθετα στην πλευρική επιφάνεια ενός σώματος μάζας =0,5kg, που παραμένει ακίνητο πάνω στο πλάγιο επίπεδο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Το σώμα παρουσιάζει με το δάπεδο συντελεστή στατικής τριβής μ σ. Το νερό μετά την πρόσκρουσή του στο σώμα πέφτει προς το δάπεδο χωρίς ταχύτητα και απομακρύνεται. Να υπολογίσετε: Α) την ταχύτητα με την οποία εξέρχεται το νερό από το σωλήνα. Β) την ισχύ της αντλίας που προωθεί το νερό, αν θεωρήσουμε ότι η δυναμική του ενέργεια δεν μεταβάλλεται. Γ) τη δύναμη που ασκεί το νερό στο σώμα κατά την πρόσκρουσή του σε αυτό. Δ) τον ελάχιστο συντελεστή στατικής τριβής μ σ, ώστε το σώμα να παραμένει ακίνητο. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0 /, ημ0 0 = πυκνότητα του νερού ρ = g/c., συν0 0 = και η Α) Η παροχή του σωλήνα είναι V L t = 0. Από την παροχή του σωλήνα βρίσκουμε την ταχύτητα υ με την οποία εξέρχεται το νερό από το σωλήνα 0 / = Α / Β) Η ισχύς της αντλίας που κινεί το νερό ισούται με το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του νερού 9

92 V V P t t t t t kg P 0 / 0 / P W. (ρ= g/c =000 kg/ ) Γ) Η δύναμη, F, που ασκεί το νερό με την πρόσκρουσή του στο σώμα είναι αντίθετη της δύναμης, F, που δέχεται το νερό από το σώμα, ως δράση αντίδραση. Η δύναμη, F, που δέχεται το νερό από το σώμα ισούται με το ρυθμό μεταβολής της ορμής του νερού. Παίρνοντας θετικά την κατεύθυνση της αρχικής ταχύτητας του νερού έχουμε: p V V F t t t t t kg F 0 / 0 / F N. Άρα το σώμα δέχεται δύναμη μέτρου F=Ν στην κατεύθυνση της ταχύτητας του νερού. Δ) Το βάρος του σώματος είναι w g 0,5kg 0 / w 5N και οι συνιστώσες του βάρους 0 w g 5N 0 w,5 0 w y g 5N0 5 w y,5. Η συνιστώσα του βάρους w x είναι μεγαλύτερη της F και για να μην κινηθεί το σώμα προς τα κάτω, η στατική τριβή πρέπει να είναι προς τα πάνω και να έχει τιμή που θα βρούμε από την ισορροπία του σώματος F 0 w F T T w F,5N T,5. x x x Η στατική τριβή είναι μικρότερη ή ίση της μέγιστης στατικής τριβής, που δίνεται από τη σχέση T w,ax y Άρα, ο ελάχιστος συντελεστής στατικής τριβής, ώστε το σώμα να παραμένει ακίνητο θα είναι:,5 T w w 5,ax y,, y,5 9

93 Πρόβλημα 6. Ένας κατακόρυφος σωλήνας σταθερής διατομής Α =0c, τροφοδοτεί με νερό δύο οριζόντιους σωλήνες διατομής Α =c και Α =4c, οι οποίοι εκτοξεύουν νερό προς το έδαφος. Οι οριζόντιοι σωλήνες βρίσκονται σε ύψη h και h αντίστοιχα. Το νερό αρχίζει να ανέρχεται στον κατακόρυφο σωλήνα με ταχύτητα υ =/ και εξέρχεται από τους δύο οριζόντιους σωλήνες με ταχύτητες υ =6/ και υ, αντίστοιχα. Οι χρόνοι που βρίσκεται το νερό στο αέρα μέχρι να κτυπήσει στο έδαφος είναι t και t =t, αντίστοιχα. Να υπολογίσετε: Α) την ταχύτητα υ με την οποία το νερό εξέρχεται από τον ψηλότερο οριζόντιο σωλήνα. Β) τα ύψη h και h στα οποία βρίσκονται οι δύο οριζόντιοι σωλήνες. Γ) την πίεση του νερού p στη βάση του κατακόρυφου σωλήνα (σημείο ). Δ) ποιο ποσοστό % της συνολικής ποσότητας νερού που τροφοδοτεί ο κατακόρυφος σωλήνας φτάνει στον ψηλότερο οριζόντιο σωλήνα. Να θεωρήσετε το νερό ιδανικό ρευστό. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0/, η πυκνότητα του νερού ρ=000kg/ και η ατμοσφαιρική πίεση p at =0 5 N/. Α) Από την εξίσωση της συνέχειας θα υπολογίσουμε την ταχύτητα υ με την οποία το νερό εξέρχεται από τον ψηλότερο οριζόντιο σωλήνα Α Π = Α + Α Α 0c / c 6 / 4c. Β) Οι δύο δέσμες του νερού κάνουν οριζόντια βολή. Η χρονική διάρκεια της πτώσης του νερού, μέχρι να φθάσει στο έδαφος, εξαρτάται από το ύψος που εκτοξεύεται. Άρα, από τη σχέση των χρόνων πτώσης του νερού στο έδαφος, t =t, θα υπολογίσουμε τη σχέση των υψών h και h. 9

94 h g t h g t h gt h 4 g t h 4h () ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία και, θεωρώντας σαν επίπεδο αναφοράς για τη δυναμική ενέργεια του ρευστού το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο. p p gh () Ομοίως εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία και p p gh () Οι πιέσεις p και p, στα σημεία και είναι ίσες με την ατμοσφαιρική, αφού το νερό από τους δύο σωλήνες εξέρχεται στον αέρα. 5 N p p p 0. Στις σχέσεις () και () τα πρώτα μέλη είναι ίσα, άρα θα είναι και τα δεύτερα. Χρησιμοποιώντας και τη σχέση () υπολογίζουμε τα ύψη h και h που βρίσκονται οι δύο οριζόντιοι σωλήνες p g h p g h g h g h 6 gh g4h h h 0, 45. 6g 60 Από τη σχέση () προκύπτει h =4h =,8. Γ) Από τη σχέση () βρίσκουμε την πίεση του νερού p στη βάση του κατακόρυφου σωλήνα (σημείο ). p p gh p p gh p , , N kg kg 5 N p Δ) Το ποσοστό % της συνολικής ποσότητας νερού που καταλήγει στον ψηλότερο οριζόντιο σωλήνα είναι: 94

95 V V t 00% 00% 00% 00% 00% V V t Α 4c / 00% 00% 00% 00% 40%. Α 0c / 95

96 Πρόβλημα 7. Το δοχείο που φαίνεται στο διπλανό σχήμα, είναι ανοικτό, έχει διατομή με μεγάλη επιφάνεια Α και είναι γεμάτο με νερό σε βάθος h =,75. Στο σημείο B του πλευρικού τοιχώματος, που βρίσκεται σε ύψος h =,5 από τον πυθμένα, υπάρχει μικρό άνοιγμα εμβαδού διατομής A = 0 c, που είναι κλεισμένο με πώμα. Η διατομή A είναι πολύ μικρότερη από την επιφάνεια του δοχείου, A. Τη χρονική στιγμή t=0 αφαιρούμε το πώμα. Το νερό από το άνοιγμα εξέρχεται με οριζόντια ταχύτητα υ και με την πτώση του γεμίζει μικρό άδειο δοχείο όγκου V= L που βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο με τον πυθμένα του δοχείου. Να υπολογίσετε: Α) την ταχύτητα υ με την οποία το νερό εξέρχεται στον αέρα. Β) τη χρονική στιγμή που θα γεμίσει το μικρό δοχείο. Γ) το εμβαδό της διατομής A της φλέβας του νερού στο σημείο που φτάνει στο μικρό δοχείο. Αν η ελεύθερη επιφάνεια του νερού στο μεγάλο δοχείο έχει επιφάνεια διατομής A =00c και τοποθετήσουμε πάνω της έμβολο μάζας =5kg Δ) να υπολογίσετε ξανά τη χρονική στιγμή που θα γεμίσει το μικρό δοχείο, αν επαναλάβουμε την παραπάνω διαδικασία θεωρώντας ότι το μεγάλο δοχείο παραμένει γεμάτο με νερό σε βάθος h =,75. Να θεωρήσετε το νερό ιδανικό ρευστό. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0/, η πυκνότητα του νερού ρ=0 kg/ και η ατμοσφαιρική πίεση p at =0 5 N/. Α) Η πίεση p, στο σημείο Α, της επιφάνειας του δοχείου είναι ίση με την ατμοσφαιρική, αφού το δοχείο είναι ανοικτό, όπως και η πίεση p, στο σημείο B, αφού το νερό εξέρχεται στον αέρα, άρα 96

97 5 N p p p 0. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία Α και B. Επειδή η διατομή A είναι πολύ μικρότερη από την επιφάνεια του δοχείου A θεωρούμε ότι η ταχύτητα υ με την οποία κατεβαίνει η ελεύθερη επιφάνεια του νερού είναι μηδενική, υ =0. p gh h p gh h g h h 0 0,5 0. ( ώ Torricelli) Β) Η κίνηση που κάνει το νερό είναι οριζόντια βολή. Σύμφωνα με την αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων, η χρονική διάρκεια της πτώσης του νερού, μέχρι να φθάσει στο έδαφος, εξαρτάται από το ύψος που εκτοξεύεται h,5 h g t t t 0,5. g 0 / H παροχή της φλέβας του νερού στο σημείο Β, στο σημείο εξόδου από το δοχείο, είναι L Α ,5. H παροχή της φλέβας του νερού παραμένει σταθερή μέχρι την πρόσπτωση του νερού στο μικρό δοχείο, άρα το χρονικό διάστημα Δt που χρειάζεται για να γεμίσει το δοχείο είναι V V L = t = t. t 0,5L / Κατά συνέπεια το μικρό δοχείο θα γεμίσει τη χρονική στιγμή t t t 0,5 t,5. Γ) H παροχή κατά μήκος της φλέβας του νερού είναι σταθερή και από την εξίσωση της συνέχειας, από την έξοδο της δεξαμενής μέχρι και ελάχιστα πριν την πρόσκρουση του νερού στο μικρό δοχείο, με ταχύτητα υ, έχουμε = Α Α () Η ταχύτητα του νερού όταν θα φθάσει στο έδαφος είναι y () Η ταχύτητα που θα έχει το νερό την ίδια στιγμή στον κατακόρυφο άξονα, υ y, είναι 97

98 y = g t 0 / 0,5 y 5 () ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Έτσι η σχέση () γίνεται y Η σχέση () τελικά δίνει 0 c 0 / Α 5 = Α Α Α Α c. 5 / 7 Δ) Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία Α και B. Επειδή η διατομή A είναι πολύ μικρότερη από την επιφάνεια του δοχείου A θεωρούμε ότι η ταχύτητα υ με την οποία κατεβαίνει η ελεύθερη επιφάνεια του νερού είναι μηδενική, υ =0. Η πίεση p, στο σημείο B, είναι ίση με την ατμοσφαιρική, αφού το νερό εξέρχεται στον αέρα, ενώ η πίεση p, στο σημείο Α είναι W g p p p p p (4) A A Το θεώρημα Bernoulli με χρήση της σχέσης (4) δίνει p g h g g p p A A h p g h h g h h 5kg 0 / kg kg 0 0 0, Η χρονική διάρκεια της πτώσης του νερού είναι ίδια με πριν h,5 h g t t t 0,5. g 0 / H παροχή της φλέβας του νερού στο σημείο Β, στο σημείο εξόδου από το δοχείο, είναι 98

99 0 4 L Α H παροχή της φλέβας του νερού παραμένει σταθερή μέχρι την πρόσπτωση του νερού στο μικρό δοχείο, άρα το χρονικό διάστημα Δt που χρειάζεται για να γεμίσει το δοχείο είναι V V L = t = t. t L / Κατά συνέπεια το μικρό δοχείο θα γεμίσει τη χρονική στιγμή t t t 0,5 t,5. 99

100 Πρόβλημα 8. Το δοχείο επιφάνειας A =00c, που φαίνεται στο διπλανό σχήμα, είναι ανοικτό και γεμάτο με νερό σε ύψος h =80c. Μια βρύση μπορεί να εισάγει νερό στο δοχείο. Σε δύο σημεία των πλευρικών τοιχωμάτων, στα χαμηλότερα σημεία του δοχείου, υπάρχουν δύο μικρά ανοίγματα Γ και Δ με εμβαδά διατομών A =c και A =c, που είναι κλειστά με πώματα. Κάτω από το δοχείο υπάρχει πλατιά δεξαμενή, σε κατακόρυφη απόσταση h =80c από το δοχείο, στην οποία καταλήγουν οι φλέβες νερού από τα ανοίγματα. Τη χρονική στιγμή t=0, ανοίγουμε ταυτόχρονα τη βρύση παροχής Π B και το άνοιγμα Γ, οπότε το νερό εξέρχεται με οριζόντια ταχύτητα υ. Να υπολογίσετε: Α) την παροχή της βρύσης Π Β, ώστε η στάθμη του νερού να παραμένει σταθερή στο αρχικό ύψος h. Β) την ταχύτητα υ δ με την οποία το νερό προσπίπτει στην πλατιά δεξαμενή. Γ) τον όγκο του νερού που εισήλθε στη δεξαμενή μέχρι τη χρονική στιγμή t =0,4. Αφαιρούμε το πώμα και από το άνοιγμα Δ, οπότε το νερό εξέρχεται με οριζόντια ταχύτητα υ. Να υπολογίσετε: Δ) το ύψος h του νερού στο δοχείο τη χρονική στιγμή που ο ρυθμός με τον οποίο κατεβαίνει η ελεύθερη επιφάνεια του νερού στο δοχείο είναι 0,0 /. Να θεωρήσετε το νερό ιδανικό ρευστό. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0/. Α) Για να παραμένει σταθερή η στάθμη του νερού στο αρχικό ύψος h, πρέπει η παροχή της βρύσης Π Β να είναι ίση με την παροχή Π Γ στο άνοιγμα της εξόδου Γ του νερού = Α () B B 00

101 Η πίεση p, στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού είναι ίση με την ατμοσφαιρική, αφού το δοχείο είναι ανοικτό, όπως και η πίεση p, στο σημείο Γ, αφού το νερό εξέρχεται στον αέρα, άρα 5 N p p p 0. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία και. Επειδή παραμένει σταθερή η στάθμη του νερού στο αρχικό ύψος h, η ελεύθερη επιφάνεια του νερού έχει μηδενική ταχύτητα, υ =0. p g h p g h g h 0 0,8 4. ( ώ Torricelli) Με αντικατάσταση στη σχέση () βρίσκουμε την παροχή της βρύσης Π Β. 4 4 B = B Α c B 4 0. Β) Η κίνηση που κάνει το νερό είναι οριζόντια βολή. Σύμφωνα με την αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων η χρονική διάρκεια της πτώσης του νερού, μέχρι να φθάσει στο έδαφος, εξαρτάται από το ύψος h πάνω από τη δεξαμενή, που εκτοξεύεται. h 0,8 h g t t t 0, 4. g 0 / Η ταχύτητα του νερού όταν φθάνει στο έδαφος είναι y () 0

102 Η ταχύτητα που έχει το νερό την ίδια στιγμή στον κατακόρυφο άξονα, υ y, είναι: y = g t 0 / 0,4 y 4. Έτσι η σχέση () δίνει y Η γωνία φ με το οριζόντιο επίπεδο, υπό την οποία προσκρούει το νερό είναι y 4 / / Γ) Τη χρονική στιγμή t =0,4 έχει εισέλθει στη δεξαμενή όγκος νερού που θα υπολογιστεί από την παροχή για χρονικό διάστημα Δt= t - t, όπου t ο χρόνος για να φτάσει το νερό στη δεξαμενή. V 4 = V = t t 40 0,4 0,4 V 40. t Δ) Έστω υ και υ οι ταχύτητες με τις οποίες εξέρχεται το νερό από τα δύο ανοίγματα, αντίστοιχα. Ο όγκος του νερού που εξέρχεται στη μονάδα του χρόνου από τα δύο ανοίγματα ισούται με το άθροισμα του όγκου νερού που εισέρχεται στο δοχείο από τη βρύση και του όγκου που προέρχεται από την κάθοδο της ελεύθερης επιφάνειας του νερού στη μονάδα του χρόνου. Άρα η εξίσωση της συνέχειας μπορεί να γραφεί: () B + Α = Π B + Α Α + Α Τη χρονική στιγμή που ο ρυθμός με τον οποίο κατεβαίνει η ελεύθερη επιφάνεια του νερού στο δοχείο, δηλαδή η ταχύτητά της, είναι υ = 0,0 /, έστω ότι το ύψος του νερού στο δοχείο είναι h. Η πίεση p, στο σημείο Α είναι ίση με την ατμοσφαιρική, αφού το δοχείο είναι ανοικτό, όπως και οι πιέσεις p και p, στα σημεία Γ και Δ, αφού το νερό εξέρχεται στον αέρα, άρα 0

103 5 N p p p p 0. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία Α και Δ g h p g h g h (4) p Ομοίως, με εφαρμογή του θεωρήματος Bernoulli για μια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία Α και Γ, έχουμε g h p g h g h (5) p Από τις σχέσεις (4) και(5) προκύπτει ότι υ = υ. Με αντικατάσταση στη σχέση () παίρνουμε: B + Α B + Α Α + Α Α + Α , Τελικά για το ύψος h από τη σχέση (5) έχουμε: 0,0 g h h h 0,9998 9,998c. g 0 0

104 Πρόβλημα 9. H δεξαμενή, που φαίνεται στο διπλανό σχήμα, είναι ανοικτή και γεμάτη με νερό σε ύψος h =5c. Στα σημεία Β και Γ του πλευρικού τοιχώματος και του πυθμένα, αντίστοιχα, υπάρχουν μικρά ανοίγματα με επιφάνειες διατομών A =c και A =c, αντίστοιχα. Τα δύο ανοίγματα βρίσκονται σε ύψος h =0c από το έδαφος και είναι κλεισμένα με πώματα. Οι διατομές A και A είναι πολύ μικρότερες από την επιφάνεια A της δεξαμενής. Τη χρονική στιγμή t=0, αφαιρούμε ταυτόχρονα τα δύο πώματα. Το νερό εξέρχεται στον αέρα από τα δύο ανοίγματα με ταχύτητες υ και υ αντίστοιχα. Η ταχύτητα υ είναι οριζόντια. Να υπολογίσετε: Α) τις ταχύτητες υ και υ με τις οποίες εξέρχεται το νερό στον αέρα από τα ανοίγματα Β και Γ. Β) το μέτρο των ταχυτήτων υ προσκρούει στο έδαφος. και υ, με τις οποίες το νερό των δύο φλεβών Γ) τις χρονικές στιγμές t και t, που το νερό των δύο φλεβών προσκρούει στο έδαφος. Δ) τις επιφάνειες των διατομών A και A που έχουν οι φλέβες νερού όταν φτάνουν στο έδαφος. Να θεωρήσετε το νερό ιδανικό ρευστό. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g =0/, η πυκνότητα του νερού ρ=0 kg/ και η ατμοσφαιρική πίεση p at =0 5 N/. Α) Η πίεση p, στο σημείο Α είναι ίση με την ατμοσφαιρική, αφού το δοχείο είναι ανοικτό, όπως και η πίεση p, στα σημεία Β και Γ, αφού το νερό εξέρχεται στον αέρα, άρα 5 N p p p 0. 04

105 Οι διατομές A και A είναι πολύ μικρότερες από την επιφάνεια του δοχείου A και θεωρούμε ότι η ταχύτητα υ με την οποία κατεβαίνει η ελεύθερη επιφάνεια του νερού είναι μηδενική, υ =0. Η ταχύτητα υ με την οποία εξέρχεται το νερό στον αέρα από το άνοιγμα Β προκύπτει από το θεώρημα Bernoulli για μια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία Α και Β. p g h p g h g h 0,5 5. Ομοίως προκύπτει η ταχύτητα υ, αν εφαρμόσουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα νερού που διέρχεται από τα σημεία Α και Γ. p g h p g h g h 0,5 5. Β) Τα μέτρα των ταχυτήτων υ και υ, αντίστοιχα, με τις οποίες το νερό των δύο φλεβών προσκρούει στο έδαφος, θα τα υπολογίσουμε με το θεώρημα Bernoulli. Η πίεση p, στο σημείο Γ, είναι ίση με την ατμοσφαιρική, όπως και η πίεση στα σημεία που το νερό φτάνει στο έδαφος. Πρώτα για μια ρευματική γραμμή της κατακόρυφης φλέβας. p gh p g h 5 0, 7. Και για μια ρευματική γραμμή της φλέβας νερού που κάνει οριζόντια βολή, το θεώρημα Bernoulli δίνει το ίδιο αποτέλεσμα 05

106 p gh p gh 5 0, 7. ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ) Η δέσμη του νερού που εξέρχεται από το πλευρικό άνοιγμα κάνει οριζόντια βολή. Σύμφωνα με την αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων η χρονική διάρκεια της πτώσης του νερού, μέχρι να φθάσει στο έδαφος, εξαρτάται από το ύψος που εκτοξεύεται h, h g t t t 0,4 ή t 0, 6. g 0 / Η δέσμη του νερού που κινείται κατακόρυφα κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα υ. Η ταχύτητα υ που θα αποκτήσει τη χρονική στιγμή t, είναι 7 5 g t t t 0,. g 0 Δ) Τις επιφάνειες διατομών A και A, που έχουν οι φλέβες νερού όταν φτάνουν στο έδαφος θα τις υπολογίσουμε από την εξίσωση της συνέχειας για την κάθε φλέβα νερού, από την έξοδό της από τη δεξαμενή μέχρι και ελάχιστα πριν την πρόσκρουσή της στο έδαφος. Α c 5 / 5 = Α Α Α Α c. 7 / 7 Α c 5 / 0 = Α Α Α Α c. 7 / 7 06

107 Πρόβλημα 0. Η δεξαμενή μεγάλης επιφάνειας A, που φαίνεται στο διπλανό σχήμα, είναι ανοικτή και περιέχει νερό σε σταθερό ύψος h=50c, ενώ από πάνω από το νερό υπάρχει στρώμα λαδιού ίδιου ύψους h. Σε δύο σημεία των πλευρικών τοιχωμάτων, υπάρχουν μικρά ανοίγματα Β και Γ με διατομές A =c και A = 5 c, αντίστοιχα. Οι διατομές A και A είναι πολύ μικρότερες από την επιφάνεια A της δεξαμενής. Τα δύο ανοίγματα βρίσκονται σε ύψος h =80c, h =0c από τον πυθμένα του δοχείου, αντίστοιχα, και είναι κλεισμένα με πώματα. Τη χρονική στιγμή t=0, ανοίγουμε ταυτόχρονα τα δύο ανοίγματα, οπότε το λάδι και το νερό εξέρχονται στον αέρα με οριζόντιες ταχύτητες υ και υ, αντίστοιχα. Οι σχηματιζόμενες φλέβες νερού και λαδιού, αφού κάνουν οριζόντιες βολές, καταλήγουν μέσα σε μικρό άδειο δοχείο, όγκου V=0 L, που βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο με τον πυθμένα της δεξαμενής. Να υπολογίσετε: Α) τις ταχύτητες υ και υ, με τις οποίες το λάδι και το νερό εξέρχονται στον αέρα από τα ανοίγματα Β και Γ, αντίστοιχα, τη χρονική στιγμή t=0. Β) τις χρονικές στιγμές t και t που οι δύο φλέβες από το λάδι και το νερό, αντίστοιχα, προσπίπτουν στο δοχείο. Γ) τη χρονική στιγμή t που θα γεμίσει το δοχείο. Δ) το ποσοστό του συνολικού υγρού στο μικρό δοχείο που καταλαμβάνει το λάδι, κατά τη χρονική στιγμή t, που το δοχείο γεμίζει. Να θεωρήσετε το νερό και το λάδι ιδανικά ρευστά. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g =0 /, η πυκνότητα του νερού ρ ν =0 kg/, η πυκνότητα του λαδιού ρ λ =0,9. 0 kg/ και η ατμοσφαιρική πίεση p at =0 5 N/. Α) Η πίεση p, στο σημείο είναι ίση με την ατμοσφαιρική, αφού η δεξαμενή είναι ανοικτή, όπως και οι πιέσεις p, p, στα σημεία Β και Γ, αφού το λάδι και το νερό, αντίστοιχα, εξέρχονται στον αέρα, άρα 5 N p p p p 0. 07