ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΚΑΙ Η ΕΞΙΣΩΣΗ BERNOULLI ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΘΕΜΑ Β

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΡΕΥΣΤΑ ΣΕ ΚΙΝΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΚΑΙ Η ΕΞΙΣΩΣΗ BERNOULLI ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΘΕΜΑ Β Ερώτηση. Μια δεξαμενή τροφοδοτείται με νερό από μια βρύση, έτσι ώστε το ύψος του νερού στη δεξαμενή να παραμένει σταθερό και ίσο με. Στην κάτω επιφάνεια της δεξαμενής υπάρχει μια οπή εμβαδού. Η παροχή από την οπή δίνεται από τη σχέση h α) Π Α gh β) Π Α gh γ) Π Α gh. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή είναι η απάντηση α. Για να παραμένει σταθερό το ύψος του νερού στο δοχείο, θα πρέπει να υπάρχει ισορροπία μεταξύ της παροχής της βρύσης που φέρνει νερό στη δεξαμενή και της παροχής με την οποία το νερό εξέρχεται από τη δεξαμενή, δηλαδή: Π Π Π ή Π Α υ () Π όπου υ η ταχύτητα με την οποία το νερό εξέρχεται από την οπή. Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli μεταξύ ενός σημείου Β της ελεύθερης επιφάνειας του νερού και του σημείου Γ στο οποίο βρίσκεται η οπή, θεωρώντας σαν επίπεδο αναφοράς για τη δυναμική ενέργεια του ρευστού, το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο Γ: B ρυ ρ gh ρυ B Γ ()

2 Η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού παραμένει διαρκώς στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, δηλαδή υ Β Β 0. Επίσης, η πίεση στα σημεία Β και Γ είναι ίση με την ατμοσφαιρική, Γ ατμ. Έτσι, η παραπάνω σχέση () γίνεται: ατμ ρ gh ατμ ρυ ή υ gh () (πράγμα αναμενόμενο, σύμφωνα με το θεώρημα Torricelli). Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και () βρίσκουμε: Π Α gh.

3 Ερώτηση. Μια οριζόντια σύριγγα περιέχει νερό, το οποίο θεωρείται ιδανικό ρευστό. Το έμβολο της σύριγγας μπορεί να κινείται χωρίς τριβές κι έχει εμβαδό A, ενώ το νερό εξέρχεται στην ατμόσφαιρα από μια τρύπα εμβαδού A Ασκούμε στο έμβολο της σύριγγας μια οριζόντια δύναμη μέτρου. Το μέτρο της ταχύτητας με την οποία το νερό εξέρχεται από την τρύπα είναι ίσο με F A. F A A α) F A β) F A γ) F A. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή είναι η απάντηση α. Εφαρμόζοντας την εξίσωση του Bernoulli για μια οριζόντια φλέβα νερού μεταξύ των σημείων Α και Β, όπου το σημείο Β είναι ένα σημείο αμέσως μετά την έξοδο του νερού από τη σύριγγα, έχουμε: F A Α A υ Β υ A ρυ ρυ B () Η πίεση στο σημείο Α είναι A F ατμ. Το νερό στο σημείο Β βρίσκεται σε επαφή με A την ανοιχτή ατμόσφαιρα, οπότε δέχεται πίεση ίση με την ατμοσφαιρική, δηλαδή Β ατμ. Η εξίσωση της συνέχειας μεταξύ των θέσεων Α και Β δίνει: Π Π ή Α Β υ Α υ Α ή A Α υ υ ή υ υ. Αντικαθιστώντας στη σχέση () έχουμε: ατμ F υ ρ( ) ρυ ατμ ή A ή 4 F 9 A F A.

4 Ερώτηση. Ένα δοχείο περιέχει νερό πυκνότητας ρ μέχρι ύψος h από τον πυθμένα του. Πάνω από το νερό υπάρχει στρώμα λαδιού πυκνότητας, μέχρι ύψος πάνω από τη στάθμη του νερού. Σε ρ h ένα σημείο του πυθμένα του δοχείου υπάρχει μια οπή. Η ταχύτητα με την οποία το νερό εξέρχεται από την τρύπα έχει μέτρο: α) υ gh β) υ g ( h h ) γ) υ g ( ρ h. ρ ρ h ) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Η σωστή απάντηση είναι η γ. Οι δύο επιφάνειες των υγρών κατέρχονται πολύ αργά. Άρα, από την υδροστατική, για την πίεση στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο υγρών ισχύει: g h () Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για μια φλέβα που διέρχεται από τα σημεία και, θεωρώντας επίπεδο αναφοράς για τη δυναμική ενέργεια, το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο : ρ υ ρ υ ρ gh () Έχουμε όμως ότι η σχέση () γίνεται: ατμ, αφού το υγρό εξέρχεται στην ατμόσφαιρα και υ 0. Έτσι ατμ ρ υ ρ gh () Με αντικατάσταση της () στην (), προκύπτει: ατμ ρ υ ρ gh ρ gh ατμ ή υ g ( ρ h. ρ ρ h ) 4

5 Ερώτηση 4. Το σχήμα δείχνει έναν οριζόντιο σωλήνα, μέσα στον οποίο ρέει νερό, το οποίο θεωρούμε ιδανικό ρευστό, με μόνιμη και στρωτή ροή. Η διατομή του σωλήνα είναι τριπλάσια από τη διατομή A του αριστερού τμήματος A του δεξιού του τμήματος. Δίνεται ότι η πίεση στο σημείο του σχήματος είναι ίση με και στο σημείο ίση με. Η ταχύτητα με την οποία ρέει το νερό στο αριστερό τμήμα του σωλήνα είναι ίση με υ. Η διαφορά πίεσης είναι ίση με Α Α α) 4 β) γ) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Η σωστή απάντηση είναι η α. Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για μια φλέβα υγρού, μεταξύ του σημείου και του σημείου. ρ υ ρ υ () Η εξίσωση της συνέχειας μεταξύ των σημείων και δίνει: Π Π ή Α υ A υ ή A υ Α υ ή υ υ. () Από τη σχέση () με τη βοήθεια της () παίρνουμε: ( ) ή 4 5

6 Ερώτηση 5. Το σχήμα δείχνει έναν οριζόντιο σωλήνα, μέσα στον οποίο ρέει νερό, το οποίο θεωρούμε ιδανικό ρευστό, με μόνιμη και στρωτή ροή. Στον οριζόντιο σωλήνα έχουμε προσαρμόσει έναν κατακόρυφο ανοικτό σωλήνα, μέσα στον οποίο το ύψος του νερού είναι ίσο με h.η ταχύτητα με την οποία ρέει το νερό στο αριστερό τμήμα του σωλήνα είναι ίση με υ επιτάχυνση της βαρύτητας, του σχήματος, είναι ίση με και στο δεξιό ίση με g ( ). Αν είναι γνωστά, η και η πυκνότητα του νερού, ρ, τότε η πίεση στο σημείο Α h Α α) β) γ) gh ( ) ( ) g h ( ). Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Η σωστή απάντηση είναι η γ. Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για μια φλέβα υγρού, μεταξύ του σημείου και του σημείου. ρ υ ρ υ () Το νερό στον κατακόρυφο σωλήνα είναι ακίνητο, οπότε στη βάση του επικρατεί πίεση ρ gh () ατμ Από τη σχέση () με τη βοήθεια της () παίρνουμε: g h ή g h ( ) 6

7 Ερώτηση 6. Ο σωλήνας του σχήματος είναι γεμάτος με ιδανικό υγρό. Το οριζόντιο τμήμα ΚΛ του σωλήνα έχει σταθερή διατομή ενώ το οριζόντιο τμήμα ΜΝ του σωλήνα έχει σταθερή διατομή A Α. Οι δύο οριζόντιοι σωλήνες απέχουν μεταξύ τους κατακόρυφα κατά h και στο σημείο Ν υπάρχει στρόφιγγα. Όταν η στρόφιγγα είναι κλειστή η διαφορά πιέσεων μεταξύ των σημείων Α και Γ είναι ίση με Δ A. Γ Όταν η στρόφιγγα είναι ανοικτή και το υγρό ρέει με στρωτή και μόνιμη ροή από το σημείο Α προς το σημείο Γ, η διαφορά πιέσεων μεταξύ των σημείων Α και Γ είναι ίση με Δ A α) β) γ) Γ Δ Δ Δ Δ Δ Δ.. Για τις δύο διαφορές πιέσεων ισχύει Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Α, Κ Α Μ Λ h Γ Ν Η σωστή απάντηση είναι η γ. Όταν το υγρό βρίσκεται σε ισορροπία, θα έχουμε: ρ gh A ή ρ gh A ή ρ gh Γ Γ Δ () Όταν το υγρό ρέει από το Α προς το Γ, από την εξίσωση συνέχειας έχουμε: Κ Α Α υ Μ Λ Α h Γ υ Ν Π Π ή Α Γ A υ Α υ κι αφού A Α, βρίσκουμε υ υ. Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για μια φλέβα υγρού μεταξύ των σημείων Α και Γ: ρ υ ρ gh ρ υ A Γ ή Γ Α ρ gh ρ υ ρ υ ή Δ ρ gh ρ υ ρ υ () Από τις σχέσεις () και () έχουμε: Δ Δ ρ υ ρ υ κι αφού υ υ προκύπτει: Δ Δ. 7

8 Ερώτηση 7. ΔΕΝ ΑΠΟΤΕΛΕΙ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ Στο διπλανό σχήμα φαίνεται μια σήραγγα (τούνελ), φτιαγμένη από χαρτόνι. Ένα ρεύμα αέρα, περνά μέσα από τη σήραγγα, με κατεύθυνση παράλληλη στον άξονά της. Όταν η ταχύτητα του ρεύματος αυξηθεί, το πιθανότερο να συμβεί είναι η σήραγγα α) να λυγίσει προς τα κάτω. β) να ανασηκωθεί. γ) να μετατοπιστεί προς τα αριστερά της κατεύθυνσης του ρεύματος του αέρα. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Η σωστή απάντηση είναι η α. Από την εξίσωση του Bernoulli μεταξύ ενός σημείου στο άπειρο κι ενός σημείου Α που βρίσκεται μέσα στη σήραγγα, έχουμε: ρ υ A ρ υ Α Β Στο άπειρο η ρευματική ταχύτητα είναι μηδέν ( 0 υ ) και η πίεση ίση με την ατμοσφαιρική ( ατμ ), οπότε η παραπάνω σχέση μας δίνει: ατμ ρ υ A () Η πίεση που επικρατεί σε ένα σημείο Β που βρίσκεται ακριβώς πάνω από τη σήραγγα είναι ίση με την ατμοσφαιρική, δηλαδή: B ατμ () Από τις σχέσεις () και () παίρνουμε: B A ρ υ Δηλαδή, η πίεση μέσα στη σήραγγα είναι μικρότερη από την πίεση πάνω από τη σήραγγα. Η διαφορά πιέσεων έχει σαν αποτέλεσμα να ασκείται μια δύναμη στη σήραγγα με φορά προς τα κάτω, η οποία είναι ανάλογη της διαφοράς πιέσεων μεγαλώνει όσο μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα υ του ρεύματος αέρα. και B A 8

9 ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. Ένα ανοικτό κυλινδρικό δοχείο περιέχει νερό. Στην πλευρική επιφάνεια του δοχείου και σε βάθος h=0,45 από την ελεύθερη επιφάνεια, υπάρχει μια μικρή στρογγυλή τρύπα διαμέτρου δ=c από την οποία εκρέει το νερό. Η επιφάνεια της οπής θεωρείται πολύ μικρότερη από την ελεύθερη επιφάνεια του δοχείου. Α. Να βρείτε:. την ταχύτητα εκροής.. την παροχή της οπής. Β. Στην ελεύθερη επιφάνεια του δοχείου προσαρμόζεται ένα έμβολο με αποτέλεσμα το νερό να εκρέει από την τρύπα με ταχύτητα υ =4/. Να βρείτε την πρόσθετη πίεση (υπερπίεση) που προκαλείται από το έμβολο στο νερό. Δίνονται ρ ν=000kg/, g=0/. Α. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα υγρού μεταξύ των σημείων Α και Β. Θεωρούμε ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας αυτό που διέρχεται από το σημείο Β. gh Όταν το υγρό εκρέει από την τρύπα έχει ταχύτητα υ Β=υ και η πίεσή του γίνεται ίση με την ατμοσφαιρική, επομένως A= B= at. Επειδή το εμβαδόν της ελεύθερης επιφάνειας είναι συγκριτικά πολύ μεγαλύτερο από αυτό της οπής, μπορούμε να υποθέσουμε ότι υ Α=0. Έτσι η παραπάνω σχέση γίνεται gh gh 0 0, 45 A. Η παροχή της φλέβας του υγρού είναι 0, 0 L 0, 0 0, 9

10 B. H πίεση στο σημείο Α είναι και η ταχύτητα εκροής στο Β είναι υ. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για τη φλέβα υγρού που διέρχεται από τα σημεία Α και Β. 0 gh at gh at k g k g , 45 N.500 0

11 Άσκηση. Οριζόντιος σωλήνας κυκλικής διατομής Α έχει διάμετρο δ = δ. Σε κάποιο σημείο ο σωλήνας χωρίζεται σε δύο άλλους οριζόντιους σωλήνες κυκλικών διατομών Α, Α με Α υ Α Β υ διαμέτρους και αντίστοιχα. Το υγρό στο υ Α Α Γ σωλήνα με κυκλική διατομή Α εξέρχεται στην ατμόσφαιρα. Στο σωλήνα με κυκλική διατομή Α το υγρό κινείται με ταχύτητα μέτρου υ = 5 /, ενώ στο σωλήνα με κυκλική διατομή Α το υγρό κινείται με ταχύτητα μέτρου υ = 5 /. Να υπολογιστεί Α. η πίεση στο σημείο Α. Β. το μέτρο της ταχύτητας. Γ. η πίεση στη θέση Γ. Το υγρό εξέρχεται στην ατμόσφαιρα ή ακόμη βρίσκεται μέσα σε σωλήνα; Δίνεται ο τύπος για το εμβαδόν κυκλικής διατομής, η ατμοσφαιρική πίεση ατ = 0 5 N/ και η πυκνότητα του υγρού ρ = 0 kg/. Θεωρούμε το υγρό ιδανικό, την ροή στρωτή και τις τριβές αμελητέες. Α. Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για την ρευματική γραμμή ΑΒ με B = ατ και έχουμε: ( ) 5 k g (6 5 5 ) 4 0 Β. Το υγρό που κινείται στο σύστημα των σωλήνων είναι ασυμπίεστο επομένως η παροχή σε αυτούς είναι σταθερή. Αν Π, Π και Π οι παροχές στους αντίστοιχους σωλήνες, τότε ισχύει: A

12 Γ. Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για την ρευματική γραμμή ΑΓ και έχουμε: ( ) 5 k g ( 5 5 ) 4 0 Επειδή στο σημείο Γ, Γ > ατμ το υγρό δεν έχει συναντήσει ακόμα την ατμόσφαιρα.

13 Άσκηση. Η δεξαμενή του σχήματος έχει σχήμα κυλίνδρου με εμβαδό βάσης Α=8 και είναι γεμάτη με νερό ενώ η πάνω βάση της είναι ανοικτή επικοινωνώντας με την ατμόσφαιρα. Στην κάτω βάση υπάρχει κατακόρυφος σωλήνας ο οποίος συνδέεται μέσω των οριζόντιων σωληνώσεων ΒΒ και ΓΓ με βρύσες. Οι οριζόντιες σωληνώσεις απέχουν h =0, και h =,5 αντίστοιχα από την κάτω βάση της δεξαμενής και έχουν διάμετρο c. Α. Οι δύο βρύσες είναι κλειστές και η πίεση που επικρατεί στη βρύση Γ είναι Γ=,. 0 5 Ν/. Να βρείτε: i. τη χωρητικότητα της δεξαμενής ii. Την πίεση που επικρατεί στη βρύση Β. Β. Οι δύο βρύσες είναι ανοικτές. Να βρείτε: i. την ταχύτητα εκροής του νερού από τη βρύση Γ. ii. τον όγκο του νερού που φεύγει από τη βρύση Β σε χρονικό διάστημα in. Θεωρείστε ότι στη διάρκεια του in η στάθμη του νερού στη δεξαμενή δεν έχει μεταβληθεί. Δίνονται: g=0/, ρ ν=000kg/ και ατμ=0 5 N/. Αi. Oι βρύσες είναι κλειστές και το νερό δεν ρέει στις σωληνώσεις. Η πίεση στο σημείο Γ είναι ίση με αυτή στο σημείο Γ. at g( h h ) h h at g 5 N 5 N, 0 0 h, 5 h 0, 5 k g Επομένως, η χωρητικότητα (όγκος) της δεξαμενής είναι V A h 8 0, 5 V 4 5 N k g 5 N g( h h ) , 8, 08 0 ii. at

14 Βi. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα νερού, μεταξύ του σημείου Α που βρίσκεται στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού του δοχείου και του σημείου Γ. g h h A= Γ= at και υ Α=0, επομένως g h h g h h 0 ( 0, 5, 5) 40 ii. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα νερού, μεταξύ του σημείου Α που βρίσκεται στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού του δοχείου και του σημείου B. g h h B B A = B = at και υ Α = 0, επομένως g h h g h h 0 ( 0,5 0,) 4 B B B H παροχή του νερού στη βρύση Β είναι V t Επομένως, o όγκος του νερού που φεύγει από τη βρύση είναι V t A t 0 V t V 4 0 V 4 L 4

15 Άσκηση 4. Το σύστημα των σωλήνων του σχήματος ονομάζεται βεντουρίμετρο και χρησιμοποιείται για τη μέτρηση της ταχύτητας ροής ενός ρευστού σε ένα σωλήνα. Στον οριζόντιο σωλήνα του σχήματος ρέει φυσικό αέριο, η επιφάνεια Α είναι διπλάσια της Α με Α =c. Στον υοειδή σωλήνα υπάρχει νερό και οι δύο στήλες έχουν διαφορά ύψους h=6,75 c. Nα βρείτε Α. Τη διαφορά πίεσης μεταξύ των σημείων και που βρίσκονται στις ελεύθερες επιφάνειες του νερού. Β. Την ταχύτητα του αερίου στο σημείο. Γ. Την παροχή του αερίου στον οριζόντιο σωλήνα. Δ. τον όγκο του αερίου που διέρχεται από μια διατομή του σωλήνα σε χρόνο in. Δίνονται: η επιτάχυνση βαρύτητας g=0/, η πυκνότητα του αερίου ρ a=0,5kg/, η πυκνότητα του νερού ρ ν=000kg/. Α. Τα σημεία και βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και το νερό είναι σε ισορροπία, άρα =. Όμως από την υδροστατική gh gh k g gh , N Β. Οι πιέσεις που επικρατούν στις ελεύθερες επιφάνειες του νερού είναι ίδιες με αυτές που επικρατούν στις επιφάνειες Α, Α αντίστοιχα. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια οριζόντια φλέβα αερίου, μεταξύ των σημείων και του οριζόντιου σωλήνα, () Από την εξίσωση της συνέχειας για τα σημεία και παίρνουμε 5

16 Α υ =Α υ ή Α υ =Α υ ή υ =υ Αντικαθιστώντας στη σχέση () παίρνουμε N kg 0, 5 Γ. Η παροχή του αερίου στο σωλήνα είναι Δ. H παροχή του αερίου στο σωλήνα V t Επομένως, o όγκος του αερίου που διέρχεται από το σωλήνα είναι V t V,60 V 60L 6

17 Άσκηση 5. Το δοχείο του σχήματος είναι ανοικτό, περιέχει νερό και ο καμπυλωτός σωλήνας (σίφωνας) είναι σταθερής διατομής. Για τις αποστάσεις του σχήματος ισχύουν h =0,, h =0,45. Να βρείτε: Α. την ταχύτητα εκροής του νερού από το σημείο Γ. Β. την πίεση στο σημείο Β. Γ. το μέγιστο ύψος h για το οποίο έχουμε ροή νερού μέσα από το σίφωνα αν το άκρο Γ βρίσκεται σε ύψος h =0,45 κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού του δοχείου. Δίνονται: at=0 5 N/, g=0/ και ρ ν=.000kg/. Α. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα νερού που διέρχεται από τα σημεία Α (ελεύθερη επιφάνεια) και Γ (σημείο εξόδου). Θεωρούμε επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας αυτό που διέρχεται από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού. gh A A A= Γ= at και υ Α=0 οπότε η παραπάνω σχέση γίνεται, 0 gh gh 0 0, 45 Β. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα νερού που διέρχεται από τα σημεία Α (ελεύθερη επιφάνεια) και B. gh A A B B A= at και υ Α=0. Επειδή η διάμετρος του σωλήνα είναι σταθερή, σύμφωνα με την εξίσωση της συνέχειας, η ταχύτητα των μαζών του νερού θα είναι ίδια σε κάθε σημείο του σωλήνα, άρα υ Β=υ Γ, οπότε η παραπάνω σχέση γίνεται: gh gh at B B at () 7

18 Με αριθμητική αντικατάσταση στην () παίρνουμε: 5 N k g k g N , B B Γ. Για την πίεση στο σημείο Β ισχύει Β >0 Από τη σχέση () με μαθηματική επεξεργασία και αριθμητική αντικατάσταση παίρνουμε: 0 ή gh 0 gh B at at 5 N k g at h h h 9, 55 g k g Το μέγιστο ύψος είναι 9,55. 8

19 Άσκηση 6. Η δεξαμενή του σχήματος περιέχει νερό και είναι ανοικτή στην ατμόσφαιρα. Το νερό διοχετεύεται μέσω του οριζόντιου σωλήνα μεταβλητής διατομής με Α =Α =0c στο σημείο εξόδου Γ. Ο κατακόρυφος σωλήνας Β είναι τοποθετημένος σε σημείο του οριζόντιου σωλήνα με εμβαδόν Α. Το ύψος της στήλης του νερού στη δεξαμενή είναι h=,8 και θεωρούμε ότι κατά την εκροή του νερού από το Γ το ύψος h δεν μεταβάλλεται. Nα βρείτε: Α. την ταχύτητα εκροής από το σημείο Γ. Β. την πίεση στο εσωτερικό του σωλήνα με διατομή Α. Γ. το ύψος h της στήλης του νερού στον κατακόρυφο σωλήνα Β. Δίνονται: at=0 5 Ν/, g=0/ και ρ ν=.000kg/. Α. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα νερού που διέρχεται από τα σημεία Α και Γ. gh A A Επειδή A= Γ= at και υ Α=0, η παραπάνω σχέση γίνεται gh 0, 8 6 Β. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για την φλέβα νερού από το Α μέχρι το σημείο που η πίεση είναι. gh, () A A Έχουμε: A= at και υ Α=0. Επίσης, από το νόμο της συνέχειας μεταξύ των διατομών Α και Α παίρνουμε: Π =Π ή Α υ =Α υ Γ ή υ =/. H σχέση () γίνεται 9

20 5 N k g k g gh , at N Γ. Για την πίεση στο σημείο από την υδροστατική έχουμε: N N at gh h h, 6 at g k g

21 Άσκηση 7. Το δοχείο του σχήματος περιέχει νερό και είναι κολλημένο σταθερά στο αμαξίδιο. Η στάθμη του νερού φτάνει μέχρι ύψος h=0,5 και σε απόσταση h =5c από τη βάση του δοχείου υπάρχει οπή εμβαδού Α=40 η οποία φράσσεται με πώμα. Τη χρονική στιγμή t=0 αφαιρούμε το πώμα και νερό εκρέει από την οπή. Να βρείτε τη χρονική στιγμή t=0: Α. την ταχύτητα εκροής. Β. τη μέση δύναμη που ασκεί μια στοιχειώδης εκρέουσα μάζα Δ του νερού στο δοχείο. Γ. την επιτάχυνση του συστήματος δοχείο -νερό- αμαξίδιο, αν η συνολική μάζα του είναι =0kg. Δίνονται g=0/, ρ ν=000kg/. Α. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα υγρού που διέρχεται από τα σημεία Α και Β. Θεωρούμε επίπεδο αναφοράς αυτό που διέρχεται από το σημείο Β. g h h Όταν το υγρό εκρέει από την οπή έχει ταχύτητα υ Β=υ και η πίεσή του γίνεται ίση με την ατμοσφαιρική, επομένως A= B= at. Επειδή το εμβαδόν της ελεύθερης επιφάνειας είναι συγκριτικά πολύ μεγαλύτερο από αυτό της οπής, υ Α=0 και η παραπάνω σχέση γίνεται g h h g h h 0 0, 45 Β. Η ορμή μιας στοιχειώδους μάζας Δ που εξέρχεται από την οπή μεταβάλλεται κατά Εφαρμόζουμε το δεύτερο νόμο του Newton σε μια στοιχειώδη μάζα Δ του νερού.

22 F V A t t t k g 6 F F 0, 6 N Σύμφωνα με τον ο νόμο του Newton και η στοιχειώδης μάζα ασκεί δύναμη στο ρευστό του δοχείου ίδιου μέτρου και αντίθετης κατεύθυνσης, άρα F 0, 6 N. Γ. Η επιτάχυνση που αποκτά το σύστημα δοχείο με νερό-αμαξίδιο είναι F 0, 6 N 0, 06 M 0 k g

23 Άσκηση 8. Ένα δοχείο περιέχει νερό, μέχρι ορισμένο ύψος. Από κάποια βρύση διατομής Α που βρίσκεται στον πυθμένα του δοχείου, στη θέση Β, χύνεται το νερό. Η επιφάνεια του δοχείου έχει εμβαδό διατομής Α με Α = 0Α. Σε κάποια χρονική στιγμή η ταχύτητα εκροής του νερού είναι υ = 0 /, ενώ την ίδια στιγμή η ταχύτητα πτώσης της ελεύθερης επιφάνειας του νερού έχει μέτρο υ. Να υπολογίσετε: h Γ Α ατ υ Β υ Α. την ταχύτητα με την οποία κατέρχεται η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού. Β. το ύψος h του νερού στο δοχείο κατά τη στιγμή αυτή. Γ. όταν η επιφάνεια του νερού στο δοχείο κατέβει κατά Δh =,75 σε σχέση με την προηγούμενη στάθμη (h ), ανοίγουμε μία δεύτερη βρύση που βρίσκεται στο ίδιο ύψος με την πρώτη, θέση Γ και έχει την ίδια διατομή. Να βρεθεί η ταχύτητα με την οποία κατεβαίνει η ελεύθερη επιφάνεια στο δοχείο. Δίνεται g = 0 /. Α. Από την εξίσωση της συνέχειας έχουμε: 0 0 Β. Εφαρμόζουμε το νόμο του Bernoulli για τα σημεία Α (επιφάνεια του νερού) και το σημείο Β (σημείο εκροής του νερού) έχουμε: g h () αλλά = = ατ έτσι η () γίνεται: g h g h h h 4, 9 5 g Γ. Όταν η στάθμη έχει κατέβει κατά Δh θα έχουμε: h h h h, Από την εξίσωση συνέχειας έχουμε: 0 5 () Δh h h Γ Α ατ υ' Β υ' ατ

24 Εφαρμόζουμε το νόμο του Bernoulli για τα σημεία Α (επιφάνεια του νερού, A = ατ) και το σημείο Β ( Β = ατ, σημείο εκροής του νερού) έχουμε: ( ) g h g h 5 gh g h 4

25 Άσκηση 9. ΔΕΝ ΑΠΟΤΕΛΕΙ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ Η στέγη ενός μικρού σπιτιού αποτελείται από δύο επίπεδα κομμάτια εμβαδού 5 επί 4 τετραγωνικών μέτρων το καθένα τα οποία σχηματίζουν μεταξύ τους μικρή γωνία. Όταν φυσάει οριζόντιος άνεμος, λόγω της στένωσης των ρευματικών γραμμών πάνω από τη στέγη, έχουμε αύξηση της ταχύτητας του ανέμου κατά 0%. Η μέγιστη επιτρεπόμενη κάθετη στη στέγη δύναμη που μπορεί να αναπτυχθεί σε κάθε τμήμα της στέγης, χωρίς αυτή να αποκολληθεί, είναι F ax=8.00n. Επίσης, δεχόμαστε ότι πολύ μακριά από το σπίτι, λόγω της ταχύτητας του ανέμου η πίεση είναι λίγο μικρότερη N της ατμοσφαιρικής και ίση με 00 Α. Να βρείτε τη συνάρτηση που περιγράφει τη διαφορά πίεσης μεταξύ του κάτω και πάνω μέρους της στέγης σε συνάρτηση με την ταχύτητα του ανέμου. Β. Να γίνει γραφική παράσταση της συνάρτησης του ερωτήματος Α στην οποία να φαίνεται ένα ζεύγος τιμών. Γ. Να βρείτε τη μέγιστη οριζόντια ταχύτητα ανέμου για την οποία δεν έχουμε αναρπαγή της στέγης. Δίνoνται: ρ αέρα=, kg/, 0 5 / Α. Θεωρούμε ένα σημείο πολύ μακριά από τη στέγη ( ) όπου και το σημείο που είναι λίγο πάνω από τη στέγη και εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli., () Λόγω της στένωσης των ρευματικών γραμμών έχουμε 0% μεγαλύτερη ταχύτητα στο σημείο επομένως υ =,. Η σχέση () γράφεται, 0, 86 Στο κάτω μέρος της στέγης δεν φυσά άνεμος, οπότε θεωρούμε ότι είναι Άρα, η δημιουργούμενη διαφορά πίεσης μεταξύ του κάτω και πάνω μέρους της στέγης είναι: 5

26 ( 0, 86 ) ή 00 0, 86 SI () Β. Η υπερπίεση 00 0, 86 ( SI ) σε συνάρτηση με την ταχύτητα του ανέμου είναι συνάρτηση ου βαθμού και η γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Γ. Στο εσωτερικό του σπιτιού (σημείο ), η πίεση είναι ίση με την ατμοσφαιρική και η πίεση στο σημείο είναι μικρότερη της ατμοσφαιρικής. Επομένως, η διαφορά πίεσης ( - ) έχει ως συνέπεια την εμφάνιση κάθετης δύναμης στην επιφάνεια της στέγης που έχει μέτρο F A () Για να μην έχουμε αναρπαγή της στέγης θα πρέπει F< F ax ή F< 8.00N. Από την σχέση () παίρνουμε: 800 N N 800 N A Για αυτή τη διαφορά πίεσης, από τη σχέση () προκύπτει ότι η ταχύτητα του ανέμου είναι N , , 86 0, 86 6

27 ΘΕΜΑ Δ Πρόβλημα. Το δοχείο του σχήματος περιέχει δύο υγρά που δεν αναμιγνύονται. Το υγρό που είναι σε επαφή με τον πυθμένα του δοχείου είναι νερό πυκνότητας ρ =000kg/ και πάνω σε αυτό υπάρχει λάδι πυκνότητας ρ =800kg/. Τα ύψη των υγρών είναι h =,4 και h =0,5 αντίστοιχα. Το δοχείο είναι ανοικτό στην ατμόσφαιρα και στον πυθμένα του υπάρχει μία κλειστή κυκλική οπή μικρού εμβαδού συγκριτικά με το εμβαδόν βάσης του δοχείου. Ανοίγουμε την οπή. Να βρείτε: Α. την πίεση στη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού-νερού. Β. την ταχύτητα εκροής από το σημείο Γ της οπής. Γ. την παροχή της οπής αν η διάμετρός της είναι δ=c. Δ. τη διάμετρο της υδάτινης στήλης σε απόσταση h =,4 κάτω από το σημείο εκροής Γ. Δίνονται: g=0/ και at=0 5 N/. Α. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα λαδιού μεταξύ των σημείων A και B. Θεωρούμε επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας αυτό που διέρχεται από το σημείο Β. gh, () A A B B Επειδή η οπή εκροής έχει μικρό εμβαδόν σε σχέση με την ελεύθερη επιφάνεια του λαδιού στο δοχείο, η ταχύτητα του λαδιού στα σημεία Α και Β είναι μηδενική. Επίσης A= at. H σχέση () γίνεται 5 N k g N gh , B at B Β. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα νερού, μεταξύ των σημείων B και Γ. Θεωρούμε επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας αυτό που διέρχεται από το σημείο Γ. gh B B Eπειδή υ Β=0 και Γ= at έχουμε 7

28 gh B at gh B at 5 N k g 5 N, , 4 0 kg Γ. Η παροχή του νερού από την τρύπα είναι 0 6 0, Δ. Τo νερό εξέρχεται κατακόρυφα από την τρύπα και λόγω της βαρύτητας η ταχύτητα των μαζών αυξάνεται. Η παροχή διατηρείται σταθερή. Σύμφωνα με την εξίσωση της συνέχειας, η αύξηση της ταχύτητας ροής προκαλεί μείωση της διατομής της υδάτινης στήλης. Εφαρμόζουμε την διατήρηση της μηχανικής ενέργειας για μια στοιχειώδη μάζα μεταξύ των σημείων Γ και Δ. gh gh 6 0, 4 8 Από την εξίσωση της συνέχειας μεταξύ των σημείων Γ και Δ παίρνουμε:

29 Πρόβλημα. Το δοχείο του σχήματος είναι ανοικτό και περιέχει ιδανικό υγρό. Σε αποστάσεις y =0, και y =0,8 από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού και στην ίδια κατακόρυφο ανοίγουμε δύο μικρές οπές εμβαδού Α=0,c η κάθε μια. Το υγρό αρχίζει να χύνεται ταυτόχρονα και από τις δύο οπές. Α. Να βρείτε:. τις ταχύτητες εκροής από τις δύο οπές.. τη θέση του σημείου συνάντησης των δύο φλεβών νερού θεωρώντας ότι το δοχείο είναι αρκετά ψηλά σε σχέση με το έδαφος. Β. Πάνω από το δοχείο βρίσκεται μια βρύση από την οποία χύνεται το ίδιο υγρό με τέτοια ροή ώστε, παρόλο που το υγρό εκρέει από τις οπές, η στάθμη του στο δοχείο να παραμένει σταθερή. Να βρείτε την παροχή του υγρού από τη βρύση. Δίνεται g=0/. Α. Εφαρμόζοντας το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα υγρού στα σημεία Α και Β βρίσκουμε: gy 0 0,. (Θεώρημα Torricelli). Ομοίως, για τα σημεία Α και Γ βρίσκουμε gy 0 0, 8 4 A. Θεωρούμε ορθογώνιο σύστημα αξόνων με αρχή το σημείο Γ (κάτω οπή) και τα θετικά στον κατακόρυφο άξονα προς τα κάτω. Οι φλέβες νερού συναντιούνται στο σημείο Δ το οποίο βρίσκεται σε οριζόντια απόσταση x και κατακόρυφη απόσταση y από το σημείο Γ. Η κίνηση κάθε φλέβας είναι οριζόντια βολή (ευθύγραμμη ομαλή στον άξονα x και ελεύθερη πτώση στον άξονα y). Έστω τη χρονική στιγμή t=0 το υγρό εκρέει ταυτόχρονα και από τις δύο οπές. Oι φλέβες θα συναντηθούν στο Δ, όταν θα έχουν την ίδια οριζόντια μετατόπιση, x. 9

30 x t t t 4t t t, () Δηλαδή το νερό της οπής θέλει διπλάσιο χρόνο για να φθάσει στο Δ από ότι το νερό της οπής. Για τις κατακόρυφες μετατοπίσεις έχουμε: Για την φλέβα : y y gt, ( ) Για την φλέβα : y gt, ( ) Συνδυάζοντας τις (),(),() παίρνουμε y gt g t 0, 6 5 t 0 t t 0, Άρα x t 4 0, x 0, 8, y 0 0, y 0, Β. Για να παραμένει η στάθμη του υγρού στο δοχείο σταθερή, θα πρέπει η παροχή του υγρού από τη βρύση να είναι ίση με αυτήν λόγω της εκροής από τις οπές του δοχείου. 4 5 L 0, , 06 0

31 Πρόβλημα. Στο σωλήνα του σχήματος (ροόμετρο Ventouri) κινείται νερό. Οι διατομές του σωλήνα στα σημεία Α, Β είναι Α, Α με Α = 4Α και η διαφορά στάθμης στους δύο κατακόρυφους ανοικτούς σωλήνες στα αντίστοιχα σημεία είναι h = c (βλέπε σχήμα). Να υπολογιστεί Α h h h Β Α Α υ υ Α. η διαφορά πίεσης μεταξύ των σημείων που βρίσκονται στις βάσεις των δύο κατακόρυφων στηλών Α και Β. Β. το μέτρο της ταχύτητας του υγρού στο σωλήνα διατομής Α. Γ. ο όγκος του νερού που περνά από τον σωλήνα σε t = h αν για την διατομή ισχύει Α = 00 c. Δίνεται g = 0 / και ρ = 0 kg/. Α. Από την υδροστατική, στις βάσεις των δύο κατακόρυφων στηλών Α και Β, για τις πιέσεις A και B αντίστοιχα ισχύει: g h και g h B A Οπότε g ( h h ) g h 0 k g 0 0, 0 0 N A B A B A B Β. Έστω υ και υ τα μέτρα των ταχυτήτων στα σημεία Α και Β του σωλήνα και Α και Β οι αντίστοιχες πιέσεις. Με εφαρμογή του νόμου του Bernoulli για τη ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία Α και Β έχουμε: ( ) () Από το νόμο της συνέχειας έχουμε: 4 4 () Άρα από () και () έχουμε:

32 0 0 ( ) A B A B kg ( 6 ) 0, N Γ. Η παροχή δίνεται από τη σχέση: V V t V 0 0, V 5 7, 6 t

33 Πρόβλημα 4. Εντός κλειστού δοχείου μεγάλης διατομής υπάρχει νερό πυκνότητας ρ = 000 kg/ μέχρι ύψους h = 5. Πάνω από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού υπάρχει αέρας με πίεση = 0 5 N/. Στο κάτω άκρο του δοχείου υπάρχει μικρή οπή κατάλληλα διαμορφωμένη ώστε το νερό να εκτοξεύεται κατακόρυφα, όπως στο σχήμα. Να υπολογιστεί: Α. το ύψος της φλέβας του νερού που εκτοξεύεται από τη μικρή οπή. h Β. το μέτρο της ταχύτητας της φλέβας στο ισοϋψές σημείο με την επιφάνεια του νερού μέσα στο δοχείο. Γ. η μεταβολή της πίεσης που πρέπει να υποστεί στο αέριο ώστε να διπλασιάσουμε το μέγιστο ύψος του πίδακα. Δ. το ελάχιστο ύψος μιας όμοιας ανοιχτής δεξαμενής, ώστε η φλέβα να φτάσει στο ίδιο μέγιστο ύψος με αυτό της ερώτησης α, αν αντί για αέριο υπό πίεση είχαμε ανοικτή την πάνω επιφάνεια και συμπληρώναμε με λάδι πυκνότητας ρ λ = 800 kg/. Δίνεται g = 0 / και η ατμοσφαιρική πίεση ατ = 0 5 N/. Το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό και η ροή είναι μόνιμη και στρωτή. Α. Επειδή η διατομή του δοχείου είναι πολύ μεγάλη σε σχέση με τη διατομή της οπής, το ύψος της στάθμης του υγρού θεωρείται σταθερό. Θεωρούμε επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από τη βάση της δεξαμενής. h Α Β Γ H Με εφαρμογή του νόμου του Bernoulli για τη ρευματική φλέβα που διέρχεται από τα σημεία Α και Β έχουμε: ρ g h ρ υ ρ g H ρ υ () B Αλλά υ Α = 0, (θεωρούμε ότι η επιφάνεια μέσα στο δοχείο είναι αρκετά μεγάλη ώστε να κατεβαίνει πολύ αργά), A = και υ Β = 0 (βρισκόμαστε στο μέγιστο ύψος). Έτσι η σχέση () γίνεται:

34 5 N 5 N 0 0 B ρ g h ρ g H H h H 5 B ρg k g 0 0 H 5. Β. Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για τη ρευματική φλέβα που διέρχεται από τα σημεία Α και Γ. 5 5 ( 0 0 ) ( ) kg ρ g h ρ g h ρ υ υ υ 0 ρ 0 N N Γ. Το νέο μέγιστο ύψος θα είναι: Η = Η = 50. Έστω Δ το σημείο στο μέγιστο ύψος. Εφαρμόζω την εξίσωση του Bernoulli για τα σημεία Α και Δ. ρ g h ρ g H ρ g ( H h ) 5, 5 0 α τ 5 N Έτσι η μεταβολή της πίεσης είναι: 5, 5 0. A A A A N Δ. Για να πετύχουμε το ίδιο μέγιστο ύψος στην φλέβα θα πρέπει στο σημείο της νοητής επιφάνειας μεταξύ των δύο υγρών να έχουμε την ίδια πίεση με πριν ( A = 0 5 N/ ). Η υδροστατική πίεση που θα έχει το λάδι ύψους h δίνεται από την σχέση: ρ g h λ λ h Α Β H Άρα για την πίεση στο σημείο Α θα ισχύει: h A ατ ρ g h h h 5 A λ α τ μ λ α τ ρ g λ Έτσι η δεξαμενή θα πρέπει να έχει τουλάχιστον ύψος: h h h h 0 ο λ ο λ 4

35 Πρόβλημα 5. Δεξαμενή μεγάλης διατομής με κατακόρυφα τοιχώματα είναι τοποθετημένη στο έδαφος και περιέχει νερό μέχρι ύψους Η =. Α. Να υπολογιστεί σε ποια απόσταση h από τον πυθμένα της δεξαμενής πρέπει να ανοίξουμε μικρή οπή, ώστε η φλέβα του νερού να συναντήσει το έδαφος σε οριζόντια α- πόσταση S =,, από το τοίχωμα της δεξαμενής. Β. Να δειχθεί ότι η μέγιστη απόσταση S είναι ίση με το ύψος Η του νερού στη δεξαμενή. Γ. Να βρεθεί για ποια τιμή του h η απόσταση S γίνεται μέγιστη. Η ταχύτητα του νερού που εκτοξεύεται από την οπή που έχει ανοιχθεί σε απόσταση h από τη βάση της δεξαμενής σύμφωνα με το θεώρημα του Torricelli ατ υ είναι: υ g y υ g (H h ) () Η κίνηση κάθε μορίου της φλέβας του νερού είναι σύνθετη: H h υ h Οριζόντιος άξονας: S Ευθύγραμμη ομαλή με ταχύτητα υ, οπότε είναι S = υt () Κατακόρυφος άξονας: Ελεύθερη πτώση οπότε είναι : h h g t t (). g Από () και () έχουμε: S υ t S υ t S υ h ( ) h S g (H h ) 4 h 4 h H S 0 (4). g g Με αντικατάσταση των Η και S στην (4) παίρνουμε: 4 h 8h, 44 0 h h 0, 6 0 (5) Η σχέση (5) είναι εξίσωση β βαθμού με Δ =,56 και έχει λύσεις h =,8 και h = 0,. Άρα υπάρχουν δύο θέσεις της οπής, που είναι συμμετρικές ως προς το μέσο της δεξαμενής, για τις οποίες έχουμε το ίδιο S. 5

36 Β. Από την εξίσωση (4) προκύπτει ότι για να έχει λύση πρέπει: 0 6 6S 0 S 0 H S άρα S ax = Η =. Γ. Με αντικατάσταση στην σχέση (4) της μέγιστης τιμής του S παίρνουμε: 4 h 8 h 4 0 h h 0 (h ) 0 h Άρα, η οπή πρέπει να ανοιχθεί στο μέσο του ύψους της δεξαμενής h = και η οριζόντια απόσταση που συναντά το έδαφος η φλέβα του νερού είναι S = Η =. 6

37 Πρόβλημα 6. Η δεξαμενή του σχήματος περιέχει νερό και φέρει ένα έμβολο ώστε να καλύπτει ολόκληρη την επιφάνεια του νερού. Το νερό διοχετεύεται μέσω του οριζόντιου σωλήνα μεταβλητής διατομής με Α =Α =c στο σημείο εξόδου Γ από όπου εκρέει πέφτοντας στο δοχείο εμβαδού βάσης Α=0,88. Ο κατακόρυφος σωλήνας Β είναι τοποθετημένος σε σημείο του οριζόντιου σωλήνα με εμβαδόν Α. Το ύψος της στήλης του νερού στη δεξαμενή είναι h=,8 και θεωρούμε ότι κατά την εκροή του νερού από το Γ το ύψος h δεν μεταβάλλεται. Τη χρονική στιγμή t=0 πιέζουμε προς τα κάτω το έμβολο με αποτέλεσμα το νερό να εκρέει από το σημείο Γ με ταχύτητα 9/. Να βρείτε: Α. την πίεση εμβ μεταξύ εμβόλου και της επιφάνειας του νερού στη δεξαμενή. Β. το ύψος h της στήλης του νερού στον κατακόρυφο σωλήνα Β. Γ. την αύξηση του ύψους y του νερού στο δοχείο μετά από χρόνο in. Δίνονται: at=0 5 Ν/, g=0/ και ρ ν=.000kg/. Α. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα νερού που διέρχεται από τα σημεία Α και Γ. gh A Επειδή Γ= at και υ Α=0, η παραπάνω σχέση γίνεται k g 5 N k g gh 000 at , 8 N.500 Β. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για την φλέβα νερού από το Α μέχρι το σημείο που η πίεση είναι. gh, () A, υ Α=0 Από το νόμο της συνέχειας παίρνουμε Π =Π ή Α υ =Α υ Γ ή υ =/. 7

38 H σχέση () γίνεται 5 N k g k g g h, , N H πίεση στο σημείο είναι N N at gh Þ h h, 6 at g k g Γ. H παροχή του νερού στο σωλήνα V t Επομένως, o όγκος του νερού που φεύγει από το σωλήνα είναι V V t A t 0 c 60 V 0, 6 t 4 V 0, 6 V y y y 0, 75 A 0, 88 8

39 Πρόβλημα 7. Ανοικτή δεξαμενή νερού έχει στον πυθμένα βρύσες πανομοιότυπες που η κάθε μία έχει εμβαδό διατομής Α = c. Η δεξαμενή τροφοδοτείται από σωλήνα από τον οποίο τρέχει νερό στην ελεύθερη επιφάνεια της με σταθερή παροχή Π = 0,8 L/. h Α ατ Α. Να υπολογίσετε σε ποιο ύψος η στάθμη του νερού παραμένει σταθερή στη δεξαμενή όταν έχουμε ανοιχτή μία βρύση. Γ Β ατ υ Β. Να βρείτε την κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου του νερού στην έξοδο. Γ. Αν θέλουμε να ποτίσουμε τον κήπο μας με το παραπάνω σύστημα, πόσες βρύσες μπορούμε να ανοίξουμε ταυτόχρονα, δεδομένου ότι ικανοποιητική παροχή έχουμε όταν η στάθμη στη δεξαμενή δεν πέφτει κάτω από h = 0,. Δίνεται g = 0 / και η πυκνότητα του νερού ρ = 0 kg/. Θεωρήστε τη ροή στρωτή, το νερό ιδανικό ρευστό και την ταχύτητα με την οποία πέφτει το νερό από τον σωλήνα στη δεξαμενή είναι περίπου μηδέν. Α. Μετατρέπουμε τα μεγέθη σε μονάδες του S.I. Π = 0,8 L/ = / = / και Α = c = 0 4. Έστω h το ύψος του νερού όταν έχουμε ισορροπία στις παροχές, δηλαδή το ύψος h είναι αυτό που πρέπει να έχει το νερό στη δεξαμενή ώστε η παροχή νερού από το σωλήνα να είναι ίση με την παροχή εκροής του νερού από τη βρύση. Συνεπώς θα ισχύει: () Εφαρμόζουμε το νόμο του Bernoulli για τα σημεία Α (επιφάνεια του νερού) και το σημείο Β (σημείο εκροής του νερού) έχουμε: g h () αλλά = = ατμ έτσι η () γίνεται: g h g h (). Από τις () και () προκύπτει: 9

40 4 (8 0 ) g h h h h 0, 8 g 4 ( 0 ) 0. () 0 0, 8 4 Β. Από την σχέση () προκύπτει ότι Η κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου είναι: kg J ρ υ υ V V V Γ. Από την σχέση () μπορούμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα εκροής για το ελάχιστο ύψος στο δοχείο. g h. Αφού η στάθμη σταθεροποιηθεί στο ύψος h θα ισχύει: βρύσες. 40

41 Πρόβλημα 8. ΔΕΝ ΑΠΟΤΕΛΕΙ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ Στο σχήμα φαίνεται η αρχή λειτουργίας ενός ψεκαστήρα που στο δοχείο του υπάρχει υγρό ψεκασμού πυκνότητας ρ υγ = 0 kg/. Για να λειτουργεί ο ψεκαστήρας πρέπει το υγρό ψεκασμού να ανέρχεται από το δοχείο στον κατακόρυφο σωλήνα ως το χείλος αυτού, σημείο Β. Α. Να βρείτε με ποια ταχύτητα πρέπει να εξέρχεται ο αέρας από το ακροφύσιο του ψεκαστήρα αν το τμήμα του σωλήνα που βρίσκεται έξω από το υγρό έχει ύψος h = 0 c. Β. Όταν ο αέρας εξέρχεται από το ακροφύσιο με ταχύτητα μέτρου υ = 4 /, πόσο μπορεί να είναι το μέγιστο ύψος h του σωλήνα που βρίσκεται έξω από το υγρό; Γ. Το συνολικό μήκος του σωλήνα είναι Η = 6,05 c, και τον σταθεροποιούμε σε θέση που να σχηματίζεται στήλη υγρού ύψους h =,05 c όταν ψεκάζουμε με την κατάλληλη ταχύτητα. Ψεκάζουμε με σταθερό ρυθμό 40 ψεκ./in. Μετά από πόσο χρόνο θα σταματήσει να λειτουργεί ο ψεκαστήρας; Δίνεται ότι ο μέσος όγκος των δημιουργούμενων σταγονιδίων είναι 60 nl (nano L) και κάθε ψεκασμός "παρασύρει" 000 σταγονίδια. Δίνονται πυκνότητα αέρα ρ α =,5 kg/, εμβαδόν της βάσης του δοχείου Α = 4 c και g = 0 /. Α. Έστω υ η ταχύτητα που εξέρχεται ο αέρας από το ακροφύσιο του ψεκαστήρα, θέση (). Αν η πίεση που επικρατεί στη θέση (), τότε η πίεση του αέρα στη θέση (), που θεωρούμε ότι βρίσκεται μακριά από τη διάταξη, είναι ίση με την ατμοσφαιρική πίεση ατ, και η ταχύτητα του αέρα και των σταγονιδίων είναι υ = 0. Με εφαρμογή της εξίσωσης του Bernoulli για τις θέσεις () και () έχουμε: ρ υ ρ υ () α α αλλά = ατ και υ = 0 οπότε η () γίνεται: ρ υ () α α τ Στην επιφάνεια του υγρού του δοχείου ψεκασμού επικρατεί η ατμοσφαιρική πίεση. Επομένως στο σωλήνα που ανέρχεται το υγρό ψεκασμού η πίεση στη βάση του είναι: ρ g h (). ατ μ υγ 4

42 Η () λόγω () δίνει: k g 0 0 0, ρ g h υ γ υ υ υ 4 0 ρ kg α, 5 Β. Εφαρμόζουμε ανάλογη διαδικασία και λύνουμε ως προς το ύψος. Αφού φυσάμε με μεγαλύτερη ταχύτητα το μέγιστο ύψος h του σωλήνα που βρίσκεται έξω από το υγρό μπορεί να είναι μεγαλύτερο από πριν, όπως στο σχήμα. Θα προκύψει: k g, 5 4 ρ υ α ρ υ ρ g h h h α ρg k g 0 0 h 0, 0 5 h, 0 5 c Γ. Ο όγκος του νερού που θα πρέπει να βγει από το δοχείο ώστε αυτό να μην λειτουργεί είναι: 4 V A h A ( H h ) V V 0 0 V 0 l Ο όγκος υγρού που αφαιρείται με κάθε ψεκασμό είναι: V σ τ α γ ό ν ε ς ό γ κ ο ς σ τ α γ ό ν α ς L 9 6 V 0 0 L V 0 0 l Συνεπώς οι ψεκασμοί είναι: V 0 L N N ψ ε κ α σ μ ο ί V 0 0 L 4

43 Άρα σε κάθε in έχουμε 40 ψεκασμούς Τελικά x = 5 in. x 000 Ημερομηνία τροποποίησης: /0/08 Επιμέλεια: Βασίλειος Δουκατζής, Ηλίας Ποντικός, Γεώργιος Χαρίλας Επιστημονικός έλεγχος: Αντώνιος Παλόγος, Κωνσταντίνος Στεφανίδης 4