Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου-Εργαστήριο

Transcript

1 4.4. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ Αναλογικό διάγραμμα δεύτερης τάξης Ένα φυσικό σύστημα δεύτερης τάξης έχει διαφορική εξίσωση: y + α 1 y + a 0 y = b u(t) ή d2 y dy(t) + a dt 2+α1 dt 0 y(t) = b u(t) (4.38) και αναλογικό διάγραμμα: Σχήμα 78: Αναλογικό διάγραμμα δεύτερης τάξης φυσικού συστήματος Για x(t) = U: σταθερή, το σύστημα έχει τρεις δυνατές χρονικές αποκρίσεις: α) Εκθετική συμπεριφορά: για α1 2 > 4α0 β) Οριακή απόκριση: για α1 2 = 4α0 γ) Φθίνουσα ταλάντωση: για α1 2 < 4α0. (Καλλιγερόπουλος & Βασιλειάδου, 2005, σ. 172) MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 1

2 Γενική Περιγραφή Σεναρίου Γνωστικό αντικείμενο: Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου (ΣΑΕ)- Αναλογικός Υπολογιστής - Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων 2 ης τάξης. Θεματική ταξινομία: Εξάμηνο: 8 Περιόδου: Εαρινού Εξαμήνου -Τμήμα Πληροφορικής με Εφαρμογές στην Βιοϊατρική Εκπαιδευτικό πρόβλημα: Το παρόν σενάριο αποτελεί μια επαφή των φοιτητών με την επίλυση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων 2 ης τάξης, με αναλογικό υπολογιστή. Οι ασκήσεις έχουν δημιουργηθεί με τέτοιο τρόπο ώστε να παροτρύνουν τους φοιτητές, να πειραματιστούν και μέσω της διερεύνησης, να ανακαλύψουν έννοιες και σχέσεις που δεν γνώριζαν μέχρι τη στιγμή αυτή ή έννοιες που έχουν αναφερθεί σε θεωρητικό επίπεδο στα ΣΑΕ. Δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στην ανακάλυψη της γνώσης και όχι στην αβασάνιστη προσφορά της από τον εκπαιδευτικό. Οι μαθητές εμπλέκονται στην κατασκευή κυκλωμάτων, στην λήψη μετρήσεων και στη διεξαγωγή συμπερασμάτων. Γενική περιγραφή περιεχομένου: Το σενάριο είναι δομημένο για δυο ώρες εργαστηρίου. Αρχικά θα γίνει αναφορά στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων δευτέρου βαθμού σε «Αναλογικό Υπολογιστή» στα ΣΑΕ.. Η Μέθοδος επίλυσης διαφορικής εξίσωσης σε αναλογικό υπολογιστή και αντίστροφα. Πρακτική διαδικασία υλοποίησης κυκλωμάτων στον αναλογικό υπολογιστή, μετρήσεις σημάτων εξόδου και σχολιασμός των σημάτων εξόδου στον παλμογράφο. Διδακτικοί Στόχοι: Να διαπιστώσουν οι φοιτητές - σπουδαστές τη λειτουργία του αναλογικού υπολογιστής σε δυναμικά συστήματα 2 ης τάξης. Να υπολογίζουν την απόκρισης συστήματος (δηλαδή της εξόδου), την διαφορική εξίσωση και την συνάρτηση μεταφοράς σε αναλογικό υπολογιστή. Να σχεδιάζουν το αναλογικό διάγραμμα του συστήματος και να το υλοποιούν στο ταμπλώ του feedback ACM347. MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 2

3 Λέξεις κλειδιά που χαρακτηρίζουν τη θεματική του σεναρίου: Εξομοίωση δυναμικών συστημάτων 2 ης τάξης Αναλογικό διάγραμμα Ηλεκτρικό κύκλωμα συντελεστή απόσβεσης χρονική απόκριση συχνότητα ταλάντωσης Υλικοτεχνική υποδομή Ψηφιακό υλικό: Αίθουσα Εργαστηρίου Η/Υ ή ΣΑΕ εφόσον διαθέτει Η/Υ με σύνδεση στο διαδίκτυο για όλες τις ομάδες μαθητών Βιντεοπροβολέας και Η/Υ με σύνδεση στο διαδίκτυο για τον διδάσκοντα Αναλογικός υπολογιστής ACM 347 (της FEEDBACK) Τροφοδοτικό ±15V DC Ψηφιακό Πολύμετρο Γεννήτρια συναρτήσεων Εκτιμώμενη Διάρκεια Ο εκτιμώμενος χρόνος που απαιτείται από τον φοιτητή σπουδαστή για την ολοκλήρωση της παρούσας εργαστηριακής άσκησης είναι 2 διδακτικές ώρες. Πνευματικά δικαιώματα ή άλλοι αντίστοιχοι περιορισμοί: 1. Αναλογικός Υπολογιστής feedback ACM (ΠΑΝΤΑΖΗΣ, 1999) 3. (Καλλιγερόπουλος & Βασιλειάδου, 2005) Εκτιμώμενο Επίπεδο Δυσκολίας: Υψηλή δυσκολία Τύπος διαδραστικότητας : Συνδυασμός παθητικής και ενεργητικής μάθησης Επίπεδο διαδραστικότητας : Υψηλό Προτεινόμενη ηλικιακή ομάδα του τελικού χρήστη: Άνω τον 18 Εκπαιδευτική βαθμίδα που απευθύνεται το σενάριο: Τριτοβάθμια Εκπαίδευση - Σχολές Θετικών Επιστημών & Τεχνολογίας Παράδοση Φύλλο έργου Το φύλλο έργου πρέπει να το ανεβάσετε στο free open e-class ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ, σύμφωνα με την ημερομηνία παράδοσης! MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 3

4 ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ 1 ο Φυσικό αναλογικό διάγραμμα δεύτερης τάξης Η φυσική μορφή της διαφορικής εξίσωσης ενός συστήματος δεύτερης τάξης είναι: όπου: ωn = a 0 : η φυσική συχνότητα του συστήματος ζ = Α = a 1 2 a 0 : ο συντελεστής απόσβεσης του συστήματος b a 0 : η ενίσχυση του συστήματος. Η φυσική μορφή του αναλογικού διαγράμματος είναι: (4.39) Σχήμα 79: Αναλογικό διάγραμμα δεύτερης τάξης φυσικού συστήματος(γενικό Α.Δ) Η φυσική συχνότητα ωn καθορίζει τη συχνότητα των ταλαντώσεων, ο συντελεστής απόσβεσης ζ την υπερύψωση, ενώ η ενίσχυση Α τη μόνιμη χρονική απόκριση του συστήματος. (Καλλιγερόπουλος & Βασιλειάδου, 2005, σ. 174) MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 4

5 ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ 1 ο ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΕΤΟΣ: ΑΡ. ΜΗΤΡΩΟΥ: ΟΜΑ Α: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3 ΒΑΘΜΟΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΟΥ 3 A. Επίλυση Αναλογικού Διαγράμματος 2ης τάξης σε Διαφορική Εξίσωση-Σ.Μ. Απαιτούμενα Όργανα και Υλικά: Μονάδα Αναλογικού Υπολογιστή ACM347(Feedback). Παλμογράφος διπλής δέσμης με μνήμη. (Βλέπε Παράρτημα Β) Καλώδια συνδεσμολογίας. Γεννήτρια χαμηλών συχνοτήτων. (Βλέπε Παράρτημα Β) Τροφοδοτικό ±15V DC Ψηφιακό Πολύμετρο Πορεία Εργασίας Συνδέστε το φυσικό αναλογικό διάγραμμα δεύτερης τάξης στο ταμπλώ της ACM Εφαρμόστε στην είσοδο τετραγωνικό παλμό συχνότητας 50Hz και εύρους ±5V. 2. Μεταβάλλετε τις τιμές των συντελεστών ωn, ζ και Α μέσω των ποτενσιομέτρων ΡΟΤ1, ΡΟΤ2, ΡΟΤ3, ΡOT4. Παρατηρείστε στον παλμογράφο και σχολιάστε την επίδραση των συντελεστών αυτών στη χρονική απόκριση y(t). MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 5

6 3. Δώστε τη φυσική ερμηνεία του συντελεστή απόσβεσης ζ, της φυσικής συχνότητας ωn και της ενίσχυσης Α του συστήματος. 4. Αφαιρέστε τον αναστροφέα-ενισχυτης(k=2) INV και εξετάστε έτσι για αρνητικό συντελεστή απόσβεσης ζ τη χρονική απόκριση του ασταθούς συστήματος δεύτερης τάξης. Επιλέξτε τους κατάλληλους συντελεστές έτσι ώστε να παρατηρήσετε τόσο εκθετική όσο και ταλαντευόμενη ασταθή χρονική απόκριση. 5. Σημειώστε τις παρατηρήσεις σας ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ 2 ο Χρονική απόκριση συστήματος δεύτερης τάξης Ένα σύστημα δεύτερης τάξης έχει τις παρακάτω βηματικές αποκρίσεις * για είσοδο u(t)=u: σταθερή, και για διάφορες τιμές του συντελεστή απόσβεσης ζ: α) ζ>1 : Εκθετική Απόκριση (4.40) β) ζ=1 : Οριακή Απόκριση γ) ζ<1 : Φθίνουσα Ταλάντωση (4.41) (4.42) *απόκριση=έξοδος συστήματος (Καλλιγερόπουλος & Βασιλειάδου, 2005, σ. 176) MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 6

7 ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ 2 ο ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΕΤΟΣ: ΑΡ. ΜΗΤΡΩΟΥ: ΟΜΑ Α: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3 ΒΑΘΜΟΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΟΥ 4 B. Υπολογισμός της Χρονικής απόκρισης συστήματος δεύτερης τάξης Απαιτούμενα Όργανα και Υλικά: Μονάδα Αναλογικού Υπολογιστή ACM347(Feedback). Παλμογράφος διπλής δέσμης με μνήμη. (Βλέπε Παράρτημα Β) Καλώδια συνδεσμολογίας. Γεννήτρια χαμηλών συχνοτήτων. (Βλέπε Παράρτημα Β) Τροφοδοτικό ±15V DC Ψηφιακό Πολύμετρο Πορεία Εργασίας 1. Επιλέγοντας: ΡΟΤ4=Α=1, ΡΟΤ1=ΡΟΤ2=ωn Τ=1 δηλαδή αντικαθιστώντας τα ποτενσιόμετρα αυτά με καλωδιακές συνδέσεις, συνδέστε το παρακάτω απλοποιημένο φυσικό αναλογικό διάγραμμα στο ταμπλώ της ACM347. MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 7

8 2. Επιλέξτε τις κατάλληλες τιμές για τους συντελεστές του ποτενσιομέτρου ΡΟΤ3 και του αναστροφέα- αναστροφέα-ενισχυτης(k=2) INV και παρατηρείστε, σχεδιάστε και σχολιάστε τις χρονικές αποκρίσεις y του συστήματος για: ζ = Μετρείστε σε κάθε περίπτωση τις μέγιστες τιμές ym της χρονικής απόκρισης y ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ 3 ο Χαρακτηριστικά χρονικής απόκρισης συστήματος δεύτερης τάξης α)υπερύψωση: u (4.43) β) Χρόνος Αποκατάστασης: (4.44) γ) Μόνιμο Σφάλμα: (4.45) Κύκλωμα RLC Σχήμα 80: δεύτερης τάξης φυσικού συστήματος (κύκλωμα RLC) (Καλλιγερόπουλος & Βασιλειάδου, 2005, σ. 178) MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 8

9 ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ 3 ο ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΕΤΟΣ: ΑΡ. ΜΗΤΡΩΟΥ: ΟΜΑ Α: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3 ΒΑΘΜΟΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΟΥ 5 C. Υπολογισμός Χαρακτηριστικών χρονικής απόκρισης συστήματος 2ης τάξης Απαιτούμενα Όργανα και Υλικά: Μονάδα Αναλογικού Υπολογιστή ACM347(Feedback). Παλμογράφος διπλής δέσμης με μνήμη. (Βλέπε Παράρτημα Β) Καλώδια συνδεσμολογίας. Γεννήτρια χαμηλών συχνοτήτων. (Βλέπε Παράρτημα Β) Τροφοδοτικό ±15V DC Ψηφιακό Πολύμετρο Πορεία Εργασίας 1. Με βάση τα στοιχεία και τις μετρήσεις της χρονικής απόκρισης συστήματος δεύτερης τάξης, που συλλέξατε στο φύλλο έργου 4, υπολογίστε θεωρητικά τα χαρακτηριστικά του συστήματος, για τις δεδομένες τιμές Α, ωn και ζ. α) Υπερύψωση: u β) Χρόνο Αποκατάστασης: Τs γ) Μόνιμο Σφάλμα: e 2. Συγκρίνετε τα θεωρητικά αυτά χαρακτηριστικά με τα χαρακτηριστικά που προκύπτουν από τις σχετικές μετρήσεις: ym, y, Ts, e. 3. Δίνεται ένα πραγματικό ηλεκτρικό κύκλωμα RLC με C=1μF και L=10mH του σχήματος 80. Υπολογίστε για το σύστημα αυτό τους συντελεστές Α, ωn και ζ, όταν R=10kΩ. 4. Για ποια τιμή της αντίστασης R έχει το σύστημα αυτό οριακή απόκριση; MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 9

10 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3: ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗΣ ΙΙΙ (Feedback ACM347) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΕΤΟΣ: ΑΡ. ΜΗΤΡΩΟΥ: ΟΜΑ Α: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: ΒΑΘΜΟΣ ΦΥΛΛΟ ΑΝΑΘΕΣΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (Ν ο...) ΟΔΗΓΙΕΣ: Να πραγματοποιήσετε τις παρακάτω ασκήσεις και να τις ανεβάσετε στο Free open e-class: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ /Εργασίες. Τα Αναλογικά Διαγράμματα θα υλοποιηθούν στο έντυπο φύλλο του αναλογικού υπολογιστή (feedback ACM 347), Παράρτημα Α. Άσκηση α)να υπολογίσετε την Σ.Μ. του παρακάτω Αναλογικού Διαγράμματος. β)να υπολογίσετε την ιδοσυχνότητα ταλάντωσης (ωn)και τον συντελεστή απόσβεσης (ζ) δίνεται η Σ. Μ. ενός δευτεροβάθμιου συστήματος. 2 Υ(s) X(s) = ω n s 2 + 2ζω n + ω2 n γ) Να υπολογίσετε την υπερύψωση(h%), τον χρόνο 1 ης υπερύψωσης (th) και τον χρόνο αποκατάσταση(ts) του συστήματος. δ)να υλοποιήσετε το Α.Δ στο έντυπο φύλλο του αναλογικού υπολογιστή (feedback ACM 347). MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 10