ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Transcript

1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Εργαστηριακοί Συνεργάτες: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ, Α. ΟΙΚΟΝΟΜΙΔΗΣ, Χ. ΤΣΙΡΩΝΗΣ ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΡΩΤΗ Παρουσίαση της ιδέας του συστήματος: o Διεργασίες, μηχανισμοί: ομοιότητες στοιχείων, λειτουργιών κλπ. o Βασικές έννοιες συστήματος (δομή και λειτουργία/ δυναμική συμπεριφορά), χαρακτηριστικά (είσοδοι, έξοδοι). o Καθορισμός περιβάλλοντος. o Ανάλυση της αλληλεπίδρασή τους. o Συμβολισμός με blocks. o Τυπικός σχολιασμός του ρυθμιστή Watt. Έλεγχος: o Σκοπός (καθορισμός κατάλληλης δραστηριότητας η οποία εφαρμοζόμενη στο σύστημα θα προκαλέσει το επιδιωκόμενο από τον χρήστη αποτέλεσμα). o Τυπικές επιδιώξεις κατά τον έλεγχο συστημάτων (διατήρηση επιθυμητής τιμής, ακολουθία επιθυμητού σήματος αναφοράς, απόρριψη αρνητικών χαρακτηριστικών λόγω ανεπιθύμητων επιδράσεων συστήματοςπεριβάλλοντος κλπ). o Μέθοδος: Ανοικτός και κλειστός βρόχος. o Παραδείγματα (ρυθμιστής Watt, βραχίονας, κίνηση ρομποτικού βραχίονα) και ανάλυση του τρόπου λειτουργίας τους o Τυπικά τεχνικά στοιχεία ελέγχου: διεγέρτες (actuators) αισθητήρια (sensors) κλπ. Εφαρμογή των δύο προηγούμενων εννοιών: o Αναπαράσταση των προηγούμενων παραδειγμάτων με λειτουργικά διαγράμματα (block diagrams), συζήτηση των δυνατών λύσεων. o Συζήτηση - παρατηρήσεις.

2 ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗ H μαθηματική αναπαράσταση στο πεδίο του χρόνου: o H ανάγκη για πλήρη περιγραφή ενός συστήματος (δομή και λειτουργία). o Μέσο για μια τέτοια πλήρη περιγραφή (μαθηματική αναπαράσταση, αλγεβρικές και διαφορικές εξισώσεις). o Υπενθύμιση βασικών γνώσεων ολοκληρώματος, παραγώγου, διαφορικών εξισώσεων. o Γραμμικά συστήματα: περιγραφή από γραμμικές διαφορικές εξισώσεις παραδείγματα. o Αρχή της υπέρθεσης - τυπικά παραδείγματα εφαρμογής και μη-εφαρμογής της στις διαφορετικές κατηγορίες συστημάτων. Παρουσίαση της μαθηματικής εξομοίωσης στο πεδίο του χρόνου: o Μέθοδος μελέτης συστήματος φαινομένου και εργαλεία (φυσικά μεγέθη, νόμοι και υλικά στοιχεία): Φυσικά μετρήσιμα μεγέθη τυπικά της φύσης του συστήματος (μετατόπιση, επιτάχυνση, ρεύμα κλπ). Νόμοι: Διατήρηση ύλης και ενέργειας και χρήση τους ανάλογα της φύσης του συστήματος. Υλικά στοιχεία: «Απώλειες» ενέργειας (τριβή), συσσώρευση ενέργειας, μετατροπή/απόδοση ενέργειας. o Εφαρμογή σε τυπικές κατηγορίες συστημάτων (μηχανικό σύστημα με γραμμική ή περιστροφική κίνηση, ηλεκτρικά συστήματα). Εφαρμογή των προηγουμένων για την εύρεση μαθηματικού μοντέλου σε τυπικά συστήματα: o Μάζα, ελατήριο, αποσβεστήρας. o Μοντέλο με δύο διαφορικές εξισώσεις, παρουσίαση μεθόδου (χρήση τελεστή D) για την εύρεση της συνολικής διαφορικής εξίσωσης του συστήματος. o Ηλεκτρικό κύκλωμα RLC. o Κινητήρας Συνεχούς Ρεύματος o Συζήτηση Παρατηρήσεις.

3 ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΙΤΗ Παρουσίαση της έννοιας του μαθηματικού αναλόγου: o Συστήματα διαφορετικής φύσης αλλά με όμοια μαθηματική περιγραφή (ανάλογα). o Αντιστοιχίες μεταξύ μεγεθών και νόμων ανάλογων συστημάτων τυπικό παράδειγμα μετατροπής. o Βοήθημα: Κώδικας μετατροπής μεταξύ από μηχανικά σε ηλεκτρικά συστήματα τάσης ή έντασης (και αντιστρόφως). o Εφαρμογή: Μοντέλο μηχανικού συστήματος με δύο διαφορικές εξισώσεις - εφαρμογή μεθόδου (χρήση τελεστή D) για την εύρεση της συνολικής διαφορικής εξίσωσης του συστήματος - μετατροπή μηχανικού (μάζεςελατήρια- αποσβεστήρες) σε ηλεκτρικό τάσης και έντασης. Εξομοίωση συστημάτων σε αναλογικό υπολογιστή: o Τι είναι ο αναλογικός υπολογιστής, αντιστοιχίες με τους ψηφιακούς υπολογιστές. o Συστήματα πρώτης τάξης και τυπική συνδεσμολογία σε αναλογικό υπολογιστή. Μέθοδος ανάλυσης του αναλογικού διαγράμματος. Εναλλακτικό αναλογικό διάγραμμα συστήματος πρώτης τάξης. o Συστήματα δεύτερης τάξης και τυπική συνδεσμολογία σε αναλογικό υπολογιστή. Μέθοδος ανάλυσης του αναλογικού διαγράμματος. Εφαρμογή σε απλό μηχανικό σύστημα- ανάλυση τυπικών δυσκολιών. Εφαρμογή των προηγούμενων σε φυσικά συστήματα: o Σύστημα με δύο μάζες και ελατήρια αποσβεστήρες: Μαθηματικό μοντέλο, μέθοδος χρήσης της διαφορικής εξίσωσης για σχεδιασμό του αναλογικού διαγράμματος, εξάρτηση μεταξύ φυσικών μεγεθών συστήματος (σταθερές ελατηρίων/αποσβεστήρων) και τιμών ποτενσιομέτρων αναλογικού διαγράμματος. o Βελτίωση του αναλογικού διαγράμματος: Αναμόρφωση διαφορικής εξίσωσης για σχεδιασμό αναλογικού διαγράμματος με ανεξαρτησία μεταξύ τιμών των ποτενσιομέτρων του. o Συζήτηση παρατηρήσεις.

4 ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΕΤΑΡΤΗ Η έννοια της εξομοίωσης στο πεδίο συχνότητας ενός φυσικού συστήματος: o Επαρκής διερεύνηση των συστημάτων με σειρά απλών πειραμάτων. o Παραδείγματα από την καθημερινή μας εμπειρία, όπου συστήματα δοκιμάζονται ή λειτουργούν στο πεδίο συχνοτήτων. o Βασική ιδιότητα γραμμικών συστημάτων: Ημιτονοειδής διέγερση προκαλεί ημιτονοειδή απόκριση ίδιας συχνότητας αλλά διαφορετικού πλάτους-φάσης. o Υπενθύμιση: Μιγαδικοί αριθμοί & ιδιότητες, μετασχηματισμός Fourier & ιδιότητες. Η απόκριση ηλεκτρικών στοιχείων (R, L, C) σε διέγερση συχνότητας. Διαφορικές εξισώσεις κυκλώματος R-L και διέγερση συχνότητας (μετατροπή Δ.Ε σε αλγεβρική). o Μιγαδική συνάρτηση μεταφοράς. o Εφαρμογή μετασχηματισμού Fourier στην περίπτωση διέγερσης με γενικευμένη περιοδική συνάρτηση. o Διέγερση με μη-περιοδική συνάρτηση: Εισαγωγή του μετασχηματισμού Laplace, η φυσική του έννοια και οι ιδιότητες. o Εφαρμογή μετασχηματισμού Laplace σε ηλεκτρικά στοιχεία και κυκλώματα (RL). o Γενικά περί μοντέλων διεργασιών με διαφορικές εξισώσεις. Υπενθύμιση μετασχηματισμού Laplace και εφαρμογή του στις διαφορικές εξισώσεις. o Υπολογισμός αλγεβρικής σχέσης μεταξύ απόκρισης συστήματος και εισόδου (υπό μηδενικές αρχικές συνθήκες), ανεξάρτητης της τελευταίας και χαρακτηριστικής της δομής του συστήματος: Συνάρτηση Μεταφοράς. o Αντιστοιχία με τις διαφορικές εξισώσεις και τις σχέσεις μεταφοράς στο πεδίο συχνότητας. o Παράδειγμα: Κύκλωμα RLC, υπολογισμός σχέσης μεταφοράς στο πεδίο συχνότητας και συνάρτησης μεταφοράς - σύγκριση αυτών. Επίλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων στο πεδίο Laplace: o Μέθοδος εντάσεων βρόχων και παράδειγμα. Συζήτηση παρατηρήσεις.

5 ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΕΜΠΤΗ Συνέχεια στην επίλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων στο πεδίο Laplace: o Μέθοδος εντάσεων βρόχων και παράδειγμα. o Μέθοδος τάσεων κόμβων και παράδειγμα.. o Ειδικές περιπτώσεις: Κυκλώματα με πηγές έντασης ή τάσης χωρίς παράλληλη ή εν σειρά αντίσταση στον κλάδο τους και μεταβολή της μεθόδου. Παρουσίαση της Συνάρτησης Μεταφοράς (Σ.Μ): o Γενικά περί μοντέλων διεργασιών με διαφορικές εξισώσεις. Υπενθύμιση μετασχηματισμού Laplace και εφαρμογή του στις διαφορικές εξισώσεις. o Υπολογισμός αλγεβρικής σχέσης μεταξύ απόκρισης συστήματος και εισόδου (υπό μηδενικές αρχικές συνθήκες), ανεξάρτητης της τελευταίας και χαρακτηριστικής της δομής του συστήματος: Συνάρτηση Μεταφοράς. o Αντιστοιχία με τις διαφορικές εξισώσεις και τις σχέσεις μεταφοράς στο πεδίο συχνότητας. o Παράδειγμα: Κύκλωμα RLC, υπολογισμός σχέσης μεταφοράς στο πεδίο συχνότητας και συνάρτησης μεταφοράς - σύγκριση αυτών. o Χαρακτηριστικά συνάρτησης μεταφοράς: Πόλοι, μηδενιστές (ρίζες), αναπαράστασή τους στο μιγαδικό επίπεδο (Im - Re), χαρακτηριστικό πολυώνυμο, χαρακτηριστική εξίσωση, βαθμός συστήματος. Ολική συνάρτηση μεταφοράς - Άλγεβρα βαθμίδων: o Πράξεις με στοιχειώδεις βαθμίδες, όπου καθεμία έχει γνωστή συνάρτηση μεταφοράς. Βαθμίδες εν σειρά, παράλληλα, κλειστός βρόχος με ανατροφοδότηση. o Εφαρμογή στη μοντελοποίηση συστημάτων (κινητήρας συνεχούς ρεύματος, κινητήρας συνεχούς ρεύματος με διέγερση δρομέα): Από τις εξισώσεις στο διάγραμμα βαθμίδων, την απλοποίησή του και την τελική συνάρτηση μεταφοράς. o Συζήτηση - παρατηρήσεις.

6 ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΚΤΗ Ολοκληρωμένο παράδειγμα μελέτης εφαρμογών ηλεκτρομηχανικών συστημάτων χρησιμοποιώντας διαγράμματα βαθμίδων και συναρτήσεις μεταφοράς: Σύστημα γεννήτριας-κινητήρα συνεχούς ρεύματος. o Εξήγηση αρχής λειτουργίας, μοντελοποίηση και εύρεση συνάρτησης μεταφοράς κάθε στοιχειώδους συστήματος, εύρεση διαγράμματος βαθμίδων και ολικής συνάρτησης μεταφοράς. o Το κύκλωμα κλειστού βρόχου για τον έλεγχο του κινητήρα. Εξήγηση αρχής λειτουργίας, μοντελοποίηση και εύρεση συνάρτησης μεταφοράς κάθε στοιχειώδους συστήματος, εύρεση διαγράμματος βαθμίδων. Υπενθύμιση των βασικών συναρτήσεων εισόδου για τη λήψη τυπικής απόκρισης σε γραμμικά συστήματα: Συνάρτηση βαθμίδας (βηματική), βηματικός παλμός (dirac), ανοδική (ράμπα) και παραβολή: Παρουσίαση στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο Laplace, παράθεση ιδιοτήτων και παραδείγματα εφαρμογών. Λύση διαφορικής Εξίσωσης (Δ.Ε) με τη χρήση αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace: o Χωρισμός συνάρτησης (εκφρασμένης στο πεδίο Laplace) σε απλά κλάσματα και επιστροφή στο πεδίο χρόνου μέσω αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace: Περίπτωση απλών πραγματικών πόλων. Περίπτωση πολλαπλών πραγματικών πόλων. Περίπτωση μιγαδικών πόλων. o Επίλυση παραδειγμάτων που συνδυάζουν τις τρεις παραπάνω περιπτώσεις. Εφαρμογή των παραπάνω σε απλό ηλεκτρικό κύκλωμα αντίστασης και πυκνωτή (κύκλωμα RC) υπό αρχική συνθήκη τάσης: o Υπολογισμός διαφορικής εξίσωσης. o Μετασχηματισμός στο πεδίο Laplace και εύρεση συνάρτησης μεταφοράς.. o Υπολογισμός απόκρισης συστήματος για είσοδο βαθμίδας. o Εξέταση της ολικής έκφρασης και αναγνώριση μεταβατικής - μόνιμης φάσης, και ελεύθερης - εξαναγκασμένης απόκρισης. Σύνδεση με τη συνάρτηση μεταφοράς. o Σύγκριση με το αποτέλεσμα που προκύπτει από την επίλυση Δ.Ε: Η ολική απόκριση ως άθροισμα των λύσεων που αντιστοιχούν στην ομογενή Δ.Ε και στην ειδική λύση αυτής ή ως άθροισμα των λύσεων που αντιστοιχούν στην ελεύθερη και την εξαναγκασμένη απόκριση ή ως άθροισμα των λύσεων που αντιστοιχούν στη μεταβατική και στη μόνιμη κατάσταση.

7 ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΒΔΟΜΗ Μελέτη απόκρισης διαφορικής εξίσωσης 2ης τάξης : o Η τυπική μορφή. o Οι τρεις περιπτώσεις συντελεστή απόσβεσης (ζ>1, ζ=1 και ζ<1) και υπόδειξη της μεθόδου υπολογισμού της απόκρισης σε βηματική είσοδο για την κάθε μια περίπτωση. o Για καθεμία από τις τρεις περιπτώσεις του συντελεστή απόσβεσης, παρουσίαση της καμπύλης της απόκρισης και σχολιασμός της εξέλιξης αυτής στη βάση της μαθηματικής της μορφής. o Ιδιότητες και χαρακτηριστικά μεγέθη της καμπύλης απόκρισης συστήματος δευτέρου βαθμού με ζ<1: Υπερύψωση υ, χρόνος υπερύψωσης t υ, χρόνος αποκατάστασης t s, χρόνος ανόδου t r. Συνοπτική παρουσίαση του τρόπου υπολογισμού τους και της χρήσης με σχολιασμό τυπικής εφαρμογής (τροχόςελατήριο- αποσβεστήρας). o Η αναπαράσταση του ζεύγους των μιγαδικών πόλων στο επίπεδο Re-Im, και η σχέση της τοποθεσίας των πόλων με το συντελεστή απόσβεσης ζ και τη φυσική συχνότητα ω n. Παράδειγμα μίας τυπικής συνάρτησης μεταφοράς δευτέρου βαθμού με μιγαδικούς πόλους (και, άρα, ζ<1). o Υπολογισμός απόκρισης στο πεδίο του χρόνου συγκρίνοντας την δεδομένη έκφραση της συνάρτησης μεταφοράς με την τυπική μορφή του δευτεροβάθμιου συστήματος (καθορισμός στατικού κέρδους, συντελεστή απόσβεσης ζ και φυσικής συχνότητας ω n ) και αντικαθιστώντας τα μεγέθη στο γενικό τύπο της απόκρισης. o Σχεδιασμός της απόκρισης με χρήση των ζ, ω n για τον καθορισμό του χρόνου υπερύψωσης t υ, χρόνου αποκατάστασης t s και χρόνου ανόδου t r. Ολοκληρωμένη μελέτη ηλεκτρομηχανικού συστήματος με βάση παράδειγμα κινητήρα συνεχούς ρεύματος με διέγερση δρομέα: o Μοντελοποίηση μέσω διαφορικών εξισώσεων και μετατροπή αυτών σε αλγεβρικές με μετασχηματισμό Laplace, για μηδενικές αρχικές συνθήκες. o Σχεδιασμός του μπλοκ διαγράμματος. και εύρεση συνάρτησης μεταφοράς. o Θέση της συνάρτησης μεταφοράς στην αντίστοιχη τυπική μορφή για δευτεροβάθμιο σύστημα, και αναγνώριση στατικού κέρδους, ζ και ω n. o Απόκριση του συστήματος λόγω μεταβολής παραμέτρων (αδράνεια, ρεύμα δρομέα, τριβή) μέσω μελέτης των εκφράσεων στατικού κέρδους, ζ και ω n. Επιβεβαίωση του λογικού των παρατηρήσεων αυτών μέσω της εμπειρίας μας από την χρήση τέτοιων κινητήρων. o Ερωτήσεις Παρατηρήσεις.

8 ΕΝΟΤΗΤΑ ΟΓΔΟΗ Διαγράμματα Bode (λογαριθμικά): o Χρησιμοποίηση των db για την έκφραση του μέτρου: Άθροισμα λογαριθμικών διαγραμμάτων υποσυστημάτων για την εύρεση του διαγράμματος του συνολικού συστήματος. o Η αντίστοιχη μεθοδολογία για τη φάση. o Τυπικά υποσυστήματα και προσεγγιστικά διαγράμματα μέτρου-φάσης αυτών: Μηδενιστής (ρίζα) στο μηδέν. Πόλος στο μηδέν (συμμετρία διαγραμμάτων i-ii). Μηδενιστής (ρίζα) πραγματικός στο ω n. Πόλος πραγματικός στο ω n (συμμετρία διαγραμμάτων iii- iv). Εισαγωγή στους μιγαδικούς μηδενιστές πόλους (συμμετρία διαγραμμάτων). Η χρήση πίνακα μέτρων και φάσεων για το σχηματισμό διαγράμματος Bode: o Ανάλυση σύνθετου παραδείγματος [σύστημα 4 ου βαθμού τύπου-1 με ύπαρξη διπλού πόλου, κέρδος Κ>0 και ύπαρξη μηδενιστή (ρίζας)]. Σχηματισμός πίνακα μέτρου - φάσεων, επιβεβαίωση των οπτικών παρατηρήσεων κατά την κατασκευή του διαγράμματος Bode. o Τυπικά λάθη κατά τον σχηματισμό του πίνακα και την χάραξη των διαγραμμάτων μέτρου φάση (χαρακτηριστικά λάθη στον υπολογισμό των κλίσεων, στην τοποθέτηση ασυμπτώτων κλπ) και τρόποι αποφυγής τους. Εξαγωγή συνάρτησης μεταφοράς από διάγραμμα Bode: o Ερμηνεία των αλλαγών κλίσεων. o Αναλυτικό παράδειγμα απλής περίπτωσης. Απόκριση συστήματος σε ημιτονοειδή είσοδο στη βάση του διαγράμματος μέτρου φάσης. Ενδεικτικό παράδειγμα. o Ερωτήσεις Παρατηρήσεις.