Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου Χειμερινού εξαμήνου

Transcript

1 Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου Χειμερινού εξαμήνου ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος ελέγχου κλειστού βρόχου. α. Να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς / του συστήματος με κατάλληλους μετασχηματισμούς του δομικού διαγράμματος (,0 μον.). β. Να σχεδιαστεί το ισοδύναμο διάγραμμα ροής σημάτων του δομικού διαγράμματος του σχ. και να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς με εφαρμογή του κανόνα του Maon (,5 μον.). γ. Να υπολογιστούν οι κατάλληλες τιμές των Κ και Κ 2 ώστε η απόκριση κλειστού βρόχου σε βηματική είσοδο να παρουσιάζει κρίσιμη απόσβεση με μια διπλή ρίζα = 0 (,5 μον.). Σχήμα Λύση: α. ος τρόπος: Μετακίνηση σημείου λήψης μετά από δομική μονάδα: ( )

2 2 ος τρόπος: Το σύστημα μπορεί να επανασχεδιαστεί ως ακολούθως: ( ) β. Ε () Ε 2 () Οι εξισώσεις του συστήματος είναι: = E 2 () (/) E 2 () = E ()[ /()] E () = [E 2 () ] = E 2 ()

3 Επομένως, το ισοδύναμο ΔΡΣ είναι: E () E 2 () /() / Από το ΔΡΣ προκύπτουν τα ακόλουθα: Υπάρχει μόνο ένας απευθείας δρόμος μεταξύ εισόδου και εξόδου (N=), ο Ε ()Ε 2 (), με απολαβή: Q () = /[()] Υπάρχουν δύο βρόχοι, οι Ε ()Ε 2 ()Ε () και Ε ()Ε 2 ()Ε (), με απολαβές: B () = /() B 2 () = /() Παρατηρούμε ότι δεν υπάρχουν μη εγγίζοντες βρόχοι αφού όλοι οι βρόχοι έχουν κοινούς κόμβους με τον απευθείας δρόμο. Επίσης, παρατηρούμε ότι όλοι οι βρόχοι έχουν κοινούς κόμβους μεταξύ τους. Αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι έχουν κοινά γράμματα στην ονομασία τους (τα γράμματα αντιστοιχούν σε κόμβους). Επομένως ΣL 2 = 0 και ΣL 3 = 0. Οπότε έχουμε: και Δ() = ΣL = [B () B 2 ()] = Δ () = = [ /() /()] = = /() /() Σύμφωνα με τον κανόνα του Maon η ολική συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι: ή γ. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου είναι: P() = 2 ( ) Για να ικανοποιείται η ζητούμενη συνθήκη θα πρέπει:

4 P() = 2 ( ) = ( 0) 2 = Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι θα πρέπει: = 00 = = = 9 = 0,9 ΘΕΜΑ 2 Ο (4,0 μονάδες) Η συμπεριφορά ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου συστήματος περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση: y (t) 7y (t) 2y(t) = x(t) όπου x(t) η είσοδος και y(t) η έξοδος του συστήματος. Να προσδιοριστούν: α. Η συνάρτηση μεταφοράς και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος (,0 μον.). β. Η κρουστική απόκριση του συστήματος (,5 μον.). γ. Η βηματική απόκριση του συστήματος με αρχικές συνθήκες y(0) = 0 και y (0) = (,5 μον.). Λύση: α. Παίρνοντας το μετασχηματισμό Laplace της διαφορικής εξίσωσης έχουμε: ή Επομένως, η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι: και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι: β. Η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος είναι: Επιλύοντας το τριώνυμο, προκύπτουν οι πόλοι του συστήματος: Επομένως η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος μπορεί να εκφραστεί ως ακολούθως: Αναπτύσσοντας σε απλά κλάσματα έχουμε:

5 Από τη σχέση αυτή προκύπτουν τα ακόλουθα: Εναλλακτικά, μπορούμε να υπολογίσουμε τα c, c 2 ως εξής: Επομένως: Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς ενός σταθερού γραμμικού συστήματος με μηδενικές αρχικές συνθήκες ταυτίζεται με το μετασχηματισμό Laplace της κρουστικής απόκρισης αυτού. Άρα η κρουστική απόκριση του συστήματος θα είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης μεταφοράς H(): Επομένως, όπως προκύπτει από τους πίνακες μετασχηματισμού Laplace, η κρουστική απόκριση του συστήματος θα είναι: γ. Η διαφορική εξίσωση του συστήματος για βηματική είσοδο είναι η εξής: και οι αρχικές συνθήκες που δίνονται είναι: Εφαρμόζοντας μετασχηματισμό Laplace θα έχουμε: και αντικαθιστώντας τις αρχικές τιμές: ή Άρα η θα είναι:

6 Αναπτύσσοντας σε απλά κλάσματα θα έχουμε: όπου: Επομένως: και εφαρμόζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace, η βηματική απόκριση είναι: ΘΕΜΑ 3 Ο (4,0 μονάδες) Δίνεται σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου G() = /[( )( 3)], μοναδιαία αρνητική ανάδραση και ελεγκτή G C () = k/. α. Να σχεδιαστεί το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα του συστήματος, να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς και να γραφεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου. β. Να προσδιοριστεί το κατάλληλο εύρος τιμών του k ώστε το σύστημα να είναι ευσταθές. γ. Να υπολογιστούν οι σταθερές σφαλμάτων θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης, καθώς και τα αντίστοιχα σφάλματα. δ. Εάν η είσοδος του συστήματος είναι μια συνάρτηση ράμπας της μορφής x(t) = Atu(t), να προσδιοριστεί το κατάλληλο εύρος τιμών του Α ώστε το σφάλμα ταχύτητας να είναι μικρότερο του 5%. Λύση: α. Το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα του συστήματος είναι το ακόλουθο: G c () G() και ισοδύναμα: G c ()G()

7 Επομένως, η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου θα είναι: και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου θα είναι: β. Για να προσδιοριστεί το εύρος τιμών του Κ για τις οποίες το σύστημα είναι ευσταθές θα πρέπει να συμπληρώσουμε τον πίνακα Routh: Κ 0 0 Κ 0 Για να είναι το σύστημα ευσταθές θα πρέπει όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα να είναι θετικοί αριθμοί, επομένως θα πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα 2 k > 0 και k > 0. Άρα το εύρος τιμών του k για τις οποίες το σύστημα είναι ευσταθές είναι: 0 < k < 2 γ. Υπολογισμός σταθερών σφαλμάτων θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης: Υπολογισμός σφαλμάτων θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης: δ. Για να έχουμε e v < 5% θα πρέπει: Βρήκαμε ότι για να είναι το σύστημα ευσταθές πρέπει 0 < k < 2. Οι οριακές τιμές για το A υπολογίζονται με βάση τις οριακές τιμές του k, δηλ. για k=0 (οπότε Α=0) και για k=2 (οπότε A=0,2). Άρα το κατάλληλο εύρος τιμών του Α είναι: 0 < Α < 0,2.