Δημιουργία και διαχείριση φύλλων εργασίας για τους μαθητές. ΣΕΝΑΡΙΟ Δραστηριότητες και φύλλα εργασίας

Transcript

1 Ενότητα Σεναρίου 13 Δημιουργία και διαχείριση φύλλων εργασίας για τους μαθητές ΣΕΝΑΡΙΟ Δραστηριότητες και φύλλα εργασίας Στην παρούσα Συνεδρία προτείνονται διάφορες δραστηριότητες, οι οποίες δεν αποτελούν αυτοτελή τυπικά σενάρια. Δεν υπάρχουν επίσης τα αντίστοιχα φύλλα εργασίας των μαθητών και σκοπός της Συνεδρίας είναι ακριβώς η εξάσκηση των επιμορφουμένων στη δημιουργία φύλλων εργασίας (των μαθητών). Ταυτόχρονα, στην παρούσα ενότητα παρουσιάζονται μια σειρά από δραστηριότητες οι ο- ποίες τα τελευταία χρόνια έχουν βρεθεί στο προσκήνιο των συζητήσεων για τη διδασκαλία της Πληροφορικής. Πρόκειται για δραστηριότητες που προωθήθηκαν αρχικά από το site (και το αντίστοιχο βιβλίο) csunplugged ( και οι οποίες έχουν το κοινό χαρακτηριστικό ότι, παρόλο που έχουν καθαρά πληροφορικό χαρακτήρα, ωστόσο δεν απαιτούν πάντοτε Η.Υ. για την υλοποίησή τους. Πολλές παρόμοιες ιδέες υπάρχουν στο περιοδικό/site (Computer Science For Fun). Η ιδέα πίσω από την κίνηση αυτή είναι διπλή: (1) Η συνεχής και αδιάλειπτη χρήση του Η.Υ. στη διδασκαλία της Πληροφορικής, προτρέπει τους μαθητές συχνά σε ένα είδος «μαθησιακού ακτιβισμού», δηλαδή σε μια συνεχή αλληλεπίδραση με το σύστημα, χωρίς να δίνει την ευκαιρία για βαθύτερη σκέψη και κατανόηση των νέων εννοιών και μεθόδων που διδάσκονται. Αυτό, μεταξύ άλλων, συμβάλλει και σε μια θεώρηση της Πληροφορικής ως μιας σειράς δεξιοτήτων στη χρήση των εφαρμογών της. (2) Η Επιστήμη αναφοράς είναι η Πληροφορική και ως Επιστήμη έχει έννοιες, θεωρίες, τεχνικές, οι οποίες δεν εξαρτώνται από τους Η.Υ. με άμεσο τρόπο. Στις προτεινόμενες δραστηριότητες στο csunplugged ο Η.Υ. απουσιάζει και το βάρος δίνεται στις ίδιες τις δραστηριότητες και μεθόδους και στον αναστοχασμό των μαθητών πάνω στις ίδιες τις δράσεις τους. Στην παρούσα ενότητα ορισμένες από τις προτεινόμενες δραστηριότητες είναι από αυτές που περιγράφονται στο csunplugged (ή είναι εμπνευσμένες από το csunplugged), ενώ άλλες, παρόμοιες, δεν έχουν καμιά σχέση με αυτό. Ωστόσο, αν και η υλοποίηση των πιο πολλών δεν απαιτεί τη χρήση κάποιου Η.Υ. ή γενικότερα ψηφιακού συστήματος, για τις περισσότερες από τις ιδέες αυτές υπάρχει κάποιο «ισοδύναμο λογισμικό», δηλαδή κάποια δημιουργία με λογισμικό που τις υποστηρίζει. Η χρήση των Τ.Π.Ε. στις περιπτώσεις αυτές υποστηρίζει με ουσιαστικό τρόπο τις ιδέες ή τις έννοιες που πρόκειται να διδαχθούν. Στις δραστηριότητες που ακολουθούν, δεν προσδιορίζεται αυστηρά το επίπεδο τάξης ή προηγουμένων γνώσεων των μαθητών, δεδομένου ότι οι δραστηριότητες είναι ποικίλες και ΙΤΥΕ Διόφαντος - Διεύθυνση Επιμόρφωσης και Πιστοποίησης 33/170

2 μπορεί να απευθύνονται σε διάφορες τάξεις του σχολείου και διαφορετικά γνωστικά επίπεδα. Εξάλλου ο τρόπος με τον οποίο θα διδαχθούν, μπορεί να τις κάνει κατάλληλες για διδασκαλία σε διαφορετικές σχολικές τάξεις. Τα στοιχεία αυτά προτείνεται να τα προσδιορίσουν οι ίδιοι οι επιμορφούμενοι, καθώς ο στόχος της Συνεδρίας είναι ακριβώς η άσκηση των επιμορφουμένων στη δημιουργία και διαχείριση φύλλων εργασίας που διανέμονται στους μαθητές και τις μαθήτριες. Τα φύλλα εργασίας θα δημιουργηθούν στη διάρκεια της Συνεδρίας (ή πριν από αυτήν) και θα εξεταστούν συλλογικά στη διάρκεια της Συνεδρίας. Ποια πρέπει να είναι τα χαρακτηριστικά των φύλλων εργασίας; Ένα φύλλο εργασίας, αποτελεί ένα κείμενο (ή ένα κείμενο και μερικά συνοδευτικά αρχεία) που δίδεται στους μαθητές προκειμένου αυτοί να εργαστούν (μόνοι τους ή σε ομάδες) με τη βοήθεια του εκπαιδευτικού, προκειμένου να υλοποιήσουν κάποιες δραστηριότητες και να αποκτήσουν (δημιουργήσουν) μια νέα γνώση ή να αποκτήσουν νέες δεξιότητες. Όπως είναι εύλογο, κατά κανόνα, δεν έχει νόημα να δοθούν σε ένα φύλλο εργασίας τμήματα κειμένου τα οποία οι μαθητές και οι μαθήτριες πρέπει να αποστηθίσουν. Πρέπει, αντίθετα, τα φύλλα εργασίας να είναι οργανωμένα έτσι, ώστε, μέσα από τη λύση προβλημάτων, την απάντηση σε ερωτήματα και μια σειρά από άλλες, ανάλογες δραστηριότητες, οι μαθητές και οι μαθήτριες να ολοκληρώσουν μια ενότητα που σχετίζεται με κάποια νέα γνώση. Η ολοκλήρωση ενός φύλλου εργασίας δεν αρκεί πάντοτε για τον προσδιορισμό της νέας γνώσης: στις περισσότερες περιπτώσεις ο εκπαιδευτικός πρέπει να ολοκληρώσει τη διαδικασία, συνοψίζοντας τα ουσιώδη σημεία της πορείας των μαθητών και «επισημοποιώντας» τη νέα γνώση. Ωστόσο, η εργασία των μαθητών αποτελεί το ουσιαστικότερο τμήμα της διαδικασίας δημιουργίας τη νέας γνώσης, της μάθησης δηλαδή. Το περιεχόμενο των φύλλων εργασίας δηλαδή, πρέπει, με κάποιον τρόπο να ωθεί τους μαθητές και να τους υποστηρίζει στην αυτόνομη δραστηριοποίησή τους με προσανατολισμό τη δημιουργία νέων γνώσεων (ή τον μετασχηματισμό παλιότερων). Τα φύλλα εργασίας θα πρέπει λοιπόν να περιγράφουν προβλήματα ή να διατυπώνουν ερωτήσεις (που σχετίζονται με την έννοια ή τη μέθοδο που πρόκειται να διδαχθεί) και να προσανατολίζουν τους μαθητές στην επίλυση του προβλήματος με τρόπο συνεργατικό και αυτόνομο (χωρίς δηλαδή προσφυγή στην αυθεντία του εκπαιδευτικού όσο είναι δυνατόν). Το φύλλο εργασίας υποστηρίζει τους μαθητές στην κατανόηση του προβλήματος, στην αναζήτηση χρήσιμων πληροφοριών, στη δημιουργία εικασιών (και τη δοκιμασία επαλήθευσής τους), στη διατύπωση προτάσεων και απόψεων, στην έκφραση επιχειρημάτων και ανάπτυξη διαλόγου, στην επινόηση λύσεων, στη συνεργασία, στον αναστοχασμό. Τα φύλλα εργασίας προορίζονται για εργασία μέσα στο σχολείο αλλά σε κάποιες περιπτώσεις μπορεί να χρησιμοποιηθούν και στο σπίτι. Ο εκπαιδευτικός που ετοιμάζει ένα φύλλο εργασίας (ή μια σειρά από φύλλα εργασίας), πρέπει φυσικά να έχει προσδιορίσει το κοινό που θα τα χρησιμοποιήσει (σχολική τάξη ή και κάποιο άλλο, ιδιαίτερο χαρακτηριστικό) και τους συγκεκριμένους διδακτικούς στόχους που θέλει να επιτύχει (σε μερικές περιπτώσεις οι στόχοι αναγράφονται και στο φύλλο εργασίας, προκειμένου να λάβουν γνώση και οι μαθητές). Επίσης θα πρέπει να υπολογίσει τον απαιτούμενο χρόνο για την ολοκλήρωση των εργασιών που ανατίθενται στους μαθητές. Τα φύλλα εργασίας μπορούν, ενδεχομένως, να περιέχουν κάποια τμήματα «θεωρίας» (υπόμνηση κανόνων, τύπους, οδηγίες για τη χρήση ενός λογισμικού κ.λπ.), αλλά είναι προορισμένα για εργασία, δηλαδή για δραστηριότητες που θα υλοποιήσουν οι μαθητές. Θα πρέπει ίσως να τονιστεί ιδιαίτερα ότι τα φύλλα εργασίας είναι κατά κανόνα προορισμένα για να ΙΤΥΕ Διόφαντος - Διεύθυνση Επιμόρφωσης και Πιστοποίησης 34/170

3 υποστηρίξουν την ομαδική εργασία: οι μαθητές πρέπει να εργάζονται σε ομάδες, γιατί ακριβώς οι συνθήκες επικοινωνίας είναι τέτοιες, που οι μαθητές πρέπει (μεταξύ τους) να συζητήσουν, να επιχειρηματολογήσουν, να διαφωνήσουν ενδεχομένως. Η μοναχική εργασία, αν και ευνοείται ιδιαίτερα στο σχολικό σύστημα, δεν είναι πάντοτε η καταλληλότερη συνθήκη για τη δημιουργία νέας γνώσης. Μέσα από τον διάλογο, συχνά επέρχονται κοινωνιο-γνωστικές συγκρούσεις, οι οποίες καταλήγουν ακόμη και σε αποκλίνουσες απόψεις. Στην περίπτωση αυτή, το ιδανικό είναι το ίδιο το περιβάλλον «να δίνει» την απάντηση: οι μαθητές να δοκιμάσουν στον Η.Υ. τις απόψεις τους, να προσπαθήσουν με το ρομπότ, να προσομοιώσουν στο πάτωμα ή με οιονδήποτε άλλο τρόπο ταιριάζει στο πρόβλημα που έχουν να λύσουν, χωρίς ευθεία παρέμβαση του διδάσκοντος. Οι μαθητές αναπτύσσουν λοιπόν τη συλλογιστική τους ικανότητα, ξεκαθαρίζουν τα στοιχεία της έννοιας ή της τεχνικής που συζητούν και κατανοούν πληρέστερα τις υπό διαπραγμάτευση έννοιες. Σε ορισμένες περιπτώσεις, ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέλει να πάρει ατομικές απαντήσεις προφανώς θα πρέπει τότε οι μαθητές να εργαστούν ατομικά, αλλά αυτό (δηλαδή η αποκλειστικά ατομική εργασία) δεν πρέπει να αποτελεί τον μόνιμο και αποκλειστικό κανόνα μέσα στην τάξη. Στα φύλλα εργασίας, όταν τίθενται ερωτήματα ή προβλήματα προς επίλυση, θα πρέπει να δίνονται κάποιες κατευθύνσεις για την εξεύρεση των απαντήσεων (με τη χρήση πηγών ψηφιακών ή μη ψηφιακών, με τη χρήση κάποιου λογισμικού κ.ά.). Φυσικά τα ερωτήματα και τα προβλήματα θα πρέπει να είναι διαρθρωμένα έτσι ώστε να έχουν μια λογική σειρά, σε σχέση με το γνωστικό αντικείμενο που είναι υπό διαπραγμάτευση. Αυτό εξασφαλίζει όχι μόνο τη δυνατότητα εύρεσης της απάντησης σε κάθε περίπτωση, αλλά αυτό είναι και το σημαντικότερο καθιστά την απάντηση κατά κάποιον τρόπο, ανεξάρτητη από τον διδάσκοντα: ο διδάσκων δεν είναι η μοναδική «πηγή» της γνώσης, ούτε ο μόνος που μπορεί να προσδιορίσει την ορθότητα των λύσεων. Βέβαια, στο τέλος, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, ο εκπαιδευτικός θα «επισημοποιήσει» τη γνώση, δηλαδή θα προσδιορίσει ποιες από τις δραστηριότητες και τις εργασίες των μαθητών είναι οι πιο σημαντικές και ποια ακριβώς είναι η νέα γνώση που κατακτήθηκε. Ωστόσο, αυτό είναι κάτι διαφορετικό από τη διαρκή λειτουργία του καθηγητή στη διάρκεια του μαθήματος ως μοναδικής «αυθεντίας», πηγής της νέας γνώσης και μοναδικού αξιολογητή των αποτελεσμάτων των μαθητών. Οι απαντήσεις των μαθητών, εφόσον είναι γραπτές και σύντομες (μπορούν δηλαδή να δοθούν μέσα στη διάρκεια του μαθήματος) είναι προτιμότερο να σημειώνονται πάνω στο φύλλο εργασίας και να συλλέγονται από τον εκπαιδευτικό. Σε κάθε περίπτωση, οι ενδιάμεσες εργασίες των μαθητών και των μαθητριών (προγράμματα σε Η.Υ., φύλλα εργασίας, άλλες απαντήσεις και δραστηριότητες) είναι προτιμότερο να συλλέγονται από τον εκπαιδευτικό και να ταξινομούνται κατά μαθητή (ως ένα είδος portfolio), έτσι ώστε ο εκπαιδευτικός όχι μόνο να έχει μια εικόνα των μαθητών, αλλά να έχει γνώση των δυσκολιών που αντιμετωπίζουν οι μαθητές μπροστά στις νέες έννοιες ή μεθόδους που είναι υπό διαπραγμάτευση (παρανοήσεις, συστηματικά λάθη, παραλείψεις, ορθές αλλά όχι πλήρεις απαντήσεις, πλήρεις απαντήσεις, λύσεις, προγράμματα, εργασίες). Θα πρέπει να δοθεί ιδιαίτερη προσοχή στα φύλλα εργασίας που απευθύνονται στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση. Οι μαθητές της πρωτοβάθμιας, κυρίως των μικρότερων τάξεων, όπως είναι φυσικό, προτιμούν τα μικρά και κατανοητά κείμενα. Εξάλλου, ανάλογα και με την τάξη ΙΤΥΕ Διόφαντος - Διεύθυνση Επιμόρφωσης και Πιστοποίησης 35/170

4 στην οποία απευθύνεται ο εκπαιδευτικός, θα πρέπει να γνωρίζει πως οι μαθητές της πρωτοβάθμιας αφομοιώνουν πολύ καλύτερα τις βιωματικές και αναπαραστατικές δραστηριότητες, παρά αυτές που στηρίζονται μόνο στον συμβολισμό (αφηρημένες παραστάσεις, τύποι κ.λπ.). Είναι επίσης προτιμότερο, οι έννοιες να παρουσιάζονται μέσα σε ένα είδος αφήγησης (όταν αυτό είναι δυνατόν) προκειμένου όχι μόνο να είναι πιο οικείες στους μαθητές και τις μαθήτριες, αλλά να ασκήσουν και τι δεξιότητές τους για μοντελοποίηση. Οι περισσότερες από τις δραστηριότητες που περιγράφονται παρακάτω μπορούν να υλοποιηθούν είτε με την υποστήριξη κάποιου λογισμικού ή κάποιου περιβάλλοντος, είτε χωρίς το ψηφιακό περιβάλλον. Τα ψηφιακά περιβάλλοντα είναι ποικίλα και θα προσδιορίζονται κάθε φορά. Οι δραστηριότητες που μπορούν να πραγματοποιηθούν χωρίς τη χρήση κάποιου ψηφιακού περιβάλλοντος, αποσκοπούν στην καλύτερη κατανόηση των εννοιών αλλά και του τρόπου λειτουργίας των Η.Υ. Οι προτεινόμενες δραστηριότητες έχουν ως εξής: Δραστηριότητες σχετικά με το δυαδικό σύστημα και τις ιδιότητές του Το δυαδικό σύστημα παίζει έναν κεντρικό ρόλο στην Πληροφορική όχι μόνο εξαιτίας της χρήσης του στην αναπαράσταση των δεδομένων στον Η.Υ., αλλά και γιατί οι ιδιότητές του συνδέονται με πολλές όψεις της ψηφιακής επεξεργασίας των πληροφοριών. Έχει βέβαια και μια πολύ στενή σύνδεση με τα Μαθηματικά. Παρατίθενται μια σειρά από σχετικές δραστηριότητες που σχετίζονται με το δυαδικό σύστημα. Δραστηριότητα 1: Η ζυγαριά Το λογισμικό ΔΕΛΥΣ, περιλαμβάνει μια δραστηριότητα με το όνομα «ΖΥΓΑΡΙΑ». Αυτή όμως είναι προσβάσιμη και απευθείας, online, στη διεύθυνση: (επιλέξτε «ΔΕΙΓΜΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ» από τις επιλογές αριστερά). (το σύστημα ζητά την εγκατάσταση ενός plug-in, αν δεν είναι ήδη εγκατεστημένο και στη συνέχεια λειτουργεί κανονικά). Το περιβάλλον της ΖΥΓΑΡΙΑΣ έχει διάφορα στοιχεία. Στους δυο δίσκους μπορούν να μπαίνουν σταθμά είτε των 1, 10, 100 μονάδων βάρους (αντιστοιχία με το δεκαδικό σύστημα), είτε των 1, 2, 4, 8, (αντιστοιχία με το δυαδικό σύστημα). Ο χρήστης μπορεί να μετακινήσει βάρη στους δυο δίσκους και να προσπαθήσει να ισορροπήσει τους δυο δίσκους. Οι ακόλουθες οδηγίες προς τους μαθητές (ή άλλες ισοδύναμες), μπορούν να δοθούν γραπτά, ή προφορικά: Κάθε φορά που ο χρήστης κάνει διπλό κλικ (ή κλικ και σύρσιμο) στα αντίστοιχα δεκαδικά βαρίδια μπορεί να τα τοποθετήσει στον αριστερό δίσκο της περιοχής (5) δες την εικόνα στο τέλος της παραγράφου. Κάνοντας κλικ στο πλήκτρο «Μηδενισμός», περιοχή (2), αδειάζει ο αντίστοιχος δίσκος και επανατοποθετούνται τα βαρίδια στην αρχική τους περιοχή. Στην περιοχή (3) εμφανίζεται το βάρος των δυαδικών βαριδιών που είναι τοποθετημένα στον δίσκο τους. Κάνοντας κλικ σε οποιοδήποτε ψηφίο της περιοχής (3) εμφανίζεται 1 ή 0 αντίστοιχα και τοποθετούνται αυτόματα στον δίσκο τους (ή απομακρύνονται από τον δίσκο) τα αντίστοιχα δυαδικά βαρίδια. Κάθε φορά που κάνεις κλικ στο σημείο (4) θέτεις τη ζυγαριά σε «Ζύγιση» ή «Κλείδωμα». Όταν η ζυγαριά βρίσκεται στην κατάσταση «Ζύγιση», εμφανίζεται το βάρος των δίσκων ΙΤΥΕ Διόφαντος - Διεύθυνση Επιμόρφωσης και Πιστοποίησης 36/170

5 στην περιοχή (8) (αριθμός στο δεκαδικό σύστημα) και το βάρος των δυαδικών βαριδιών εμφανίζεται στην περιοχή (3) (αντίστοιχος αριθμός στο δυαδικό σύστημα). Όταν η ζυγαριά είναι σε «Ζύγιση» και κάνεις κλικ στο σημείο (4), τότε κλειδώνει και σβήνει η ένδειξη της περιοχής (7). Στους δίσκους της περιοχής (5) μπορείς να τοποθετήσεις (με διπλό κλικ ή κλικ και σύρσιμο) δεκαδικά και δυαδικά βαρίδια. Στον αριστερό δίσκο της περιοχής (5) ο χρήστης μπορεί να τοποθετήσει δεκαδικά βαρίδια από την περιοχή (6) ενώ στον δεξιό δίσκο δυαδικά βαρίδια από την περιοχή (1). Κάθε φορά που ο χρήστης κάνει διπλό κλικ (ή κλικ και σύρσιμο) στα αντίστοιχα δεκαδικά βαρίδια μπορεί να τα τοποθετήσει στον αριστερό δίσκο της περιοχής (5). Όταν η ζυγαριά είναι σε κατάσταση ζύγισης στην περιοχή (7) εμφανίζεται το σύμβολο > ή < ή = ανάλογα αν το βάρος του δίσκου των δεκαδικών είναι μεγαλύτερο του βάρους του δίσκου των δυαδικών ή μικρότερο ή ίσο. Στην περιοχή (8) εμφανίζεται το βάρος των δεκαδικών βαριδιών που είναι τοποθετημένα στον δίσκο τους. Αν ο χρήστης πληκτρολογήσει στην περιοχή (8) έναν αριθμό στο δεκαδικό σύστημα, τότε τοποθετούνται στον δίσκο τους τα αντίστοιχα δεκαδικά βαρίδια. Η ιδέα είναι ότι οι μαθητές και οι μαθήτριες θα αντιληφθούν ότι το βάρος είναι το ίδιο σε κάθε δίσκο (ο αναπαριστώμενος αριθμός δηλαδή) και μπορεί να μετρηθεί (να «ζυγιστεί») με οιαδήποτε σταθμά. Το σύστημα της ΖΥΓΑΡΙΑΣ επιτρέπει επίσης να δει κανείς σε έναν ψηφιακό μετρητή κάτω από τον κάθε δίσκο τα σταθμά που έχει βάλει (δηλαδή ουσιαστικά αναγράφεται η αναπαράσταση του «βάρους», του αριθμού δηλαδή, στα δυο συστήματα, το δεκαδικό και το δυαδικό). Η ΖΥΓΑΡΙΑ επιτρέπει το προσωρινό «κλείδωμα» της ζύγισης, την προσωρινή δηλαδή παύση λειτουργίας του συστήματος (δυνατότητα χρήσιμη σε ορισμένες περιπτώσεις, όταν, για παράδειγμα, για διδακτικούς λόγους, ο μαθητής πρέπει να προβλέψει ένα αποτέλεσμα του είδους «ισορροπεί η ζυγαριά»;). Επιπλέον έχει ορισμένα πρόσθετα λειτουργικά χαρακτηριστικά για διευκόλυνση του χρήστη (για παράδειγμα, τα σταθμά μπορούν να μετακινηθούν με διπλό «κλικ» επάνω τους. Το περιβάλλον της ΖΥΓΑΡΙΑΣ επιτρέπει τη σταδιακή εξοικείωση των μαθητών με τις βασικές ΙΤΥΕ Διόφαντος - Διεύθυνση Επιμόρφωσης και Πιστοποίησης 37/170

6 έννοιες του δυαδικού συστήματος (και με το διδακτικό εμπόδιο της σύγχυσης μεταξύ των αριθμών και των αναπαραστάσεών τους). Το βασικό ζητούμενο είναι να κατανοήσουν οι μαθητές το γεγονός ότι ένας αριθμός παραμένει ό ίδιος, σε όποιο σύστημα και αν τον αναπαραστήσουμε και ότι ένας αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί με πολλούς τρόπους στα διάφορα συστήματα αρίθμησης. Με άλλα λόγια, η ΖΥΓΑΡΙΑ αποτελεί ένα μέσο για την υπέρβαση της βασικής δυσκολίας των μαθητών να αντιλαμβάνονται τους «δυαδικούς» ως αριθμούς άλλου είδους από τους «δεκαδικούς» και όχι ως μια διαφορετική αναπαράσταση του ιδίου αριθμού με ένα διαφορετικό τρόπο από τον συνηθισμένο (δεκαδικό). Όπως είναι γνωστό, αυτή η βασική δυσκολία κατανόησης δημιουργεί μι σειρά από δευτερεύουσες αρνητικές συνέπειες: οι μαθητές αποστηθίζουν τεχνικές μετατροπής από το ένα σύστημα σε ένα άλλο (δεκαδικό, δυαδικό αλλά και άλλα), όπως και να χρησιμοποιήσουν με ευχέρεια ιδιότητες του δυαδικού συστήματος: γιατί ένα byte μπορεί να αναπαραστήσει 256 διαφορετικούς αριθμούς (και ποιους); Με ποιον τρόπο συνδυασμοί φυσικών αντικειμένων ή καταστάσεων μπορούν να αντιπροσωπεύουν αριθμούς (για παράδειγμα: κυκλώματα από τα οποία περνά ή όχι ηλεκτρικό ρεύμα κ.λπ.); Πώς οι ιδιότητες του δυαδικού συστήματος (αλλά και των υπολοίπων) συνδέονται με την αναδρομή; Επιπλέον, η ΖΥΓΑΡΙΑ επιτρέπει τη διατύπωση ορισμένων ερωτημάτων που συνδέονται με το δυαδικό σύστημα και τα συστήματα αρίθμησης γενικότερα, με όρους πρακτικούς. Ο συνολικός στόχος των δραστηριοτήτων αυτών είναι η συνειδητοποίηση του γεγονότος της ύπαρξης μερικών αναλλοίωτων ιδιοτήτων στα συστήματα α- ρίθμησης, ο εντοπισμός των ιδιοτήτων αυτών και η κατανόησή τους. Η ΖΥΓΑΡΙΑ επιτρέπει την αντιμετώπιση ενός (μαθηματικού-πληροφορικού) προβλήματος με όρους «πρακτικής». Απαραίτητος είναι φυσικά ένας κάποιος χρόνος εξοικείωσης των μαθητών με τη ΖΥΓΑΡΙΑ. Στο σχετικό φύλλο εργασίας θα πρέπει να υπάρχουν οδηγίες και δραστηριότητες που να ε- πιτρέψουν στους μαθητές ακριβώς να εξοικειωθούν με το περιβάλλον της ΖΥΓΑΡΙΑΣ. Δραστηριότητες αυτού του είδους μπορούν να είναι οι ακόλουθες: 1. Άδειασε και τους δυο δίσκους της ζυγαριάς. Τοποθέτησε στον αριστερό δίσκο 201 μονάδες βάρους. Κλείδωσε τη ζυγαριά. Τοποθέτησε στο δεξιό δίσκο τα βάρη 128, 64, 8, 1 μονάδων βάρους. Ξεκλείδωσε τη ζυγαριά. Τι παρατηρείς; Μπορείς να το εξηγήσεις; Αφαίρεσε ένα βάρος από έναν δίσκο. Τι παρατηρείς; 2. Άδειασε τη ζυγαριά. Ξεκλείδωσε τη ζυγαριά. Τοποθέτησε ορισμένα 167 μονάδες βάρους στον αριστερό δίσκο. Τοποθέτησε μερικές μονάδες βάρους στον δεξιό δίσκο, αλλά έτσι ώστε η ζυγαριά να γέρνει αριστερά. Κλείδωσε τη ζυγαριά. Τοποθέτησε στον δεξιό δίσκο μονάδες βάρους έτσι ώστε η ζυγαριά να ισορροπήσει όταν την ξεκλειδώσεις. Ξεκλείδωσε τη ζυγαριά. Κάνε την ίδια άσκηση αλλά τοποθετώντας μεγαλύτερο βάρος στον δεξιό δίσκο. Οι μαθητές και οι μαθήτριες μπορούν στο περιβάλλον της ΖΥΓΑΡΙΑΣ να διερευνήσουν τα α- κόλουθα: ΙΤΥΕ Διόφαντος - Διεύθυνση Επιμόρφωσης και Πιστοποίησης 38/170

7 (1) Τα δυο συστήματα είναι «ισοδύναμα»; Δηλαδή αν ένας αριθμός αναπαρίσταται στο ένα σύστημα, τότε μπορεί πάντοτε να αναπαρασταθεί και στο άλλο; Το ερώτημα αυτό στο περιβάλλον της ΖΥΓΑΡΙΑΣ διατυπώνεται ως εξής: ένα τυχαίο βάρος που το εκφράζουμε με σταθμά από το αριστερό σύνολο, ισορροπείται πάντοτε με βάρη από το δεξιό σύνολο; Το αντίστροφο ισχύει; (2) κάθε αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί στο δυαδικό σύστημα, όπως και στο δεκαδικό; Το ερώτημα αυτό (που είναι παρόμοιο με το προηγούμενο) στο περιβάλλον της ΖΥΓΑΡΙΑΣ διατυπώνεται ως εξής: για όλα τα βάρη μπορώ να βάλω σταθμά στον έναν ή στον άλλο δίσκο έτσι ώστε το σύνολό τους να ισούται με το βάρος; (3) Μια αναπαράσταση ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα είναι μοναδική; Το ερώτημα αυτό στο περιβάλλον της ΖΥΓΑΡΙΑΣ διατυπώνεται ως εξής: αν σε κάποια στιγμή η ΖΥ- ΓΑΡΙΑ ισορροπεί, μπορώ να αλλάξω μερικά σταθμά στον έναν μόνο δίσκο και να ι- σορροπήσει πάλι; (4) Θέματα αναπαράστασης στα 2 συστήματα: μπορείς να ισορροπήσεις τη ζυγαριά τοποθετώντας μονάδες βάρους στον αριστερό δίσκο κοιτώντας τις ψηφιακές οθόνες μόνον, χωρίς δηλαδή να κοιτάς και τα ίδια τα σταθμά; Μπορείς να κάνεις το ίδιο στον δεξιό δίσκο; (5) Ποιο είναι το μεγαλύτερο βάρος που μπορεί να ζυγιστεί με τα δεκαδικά σταθμά; Με τα δυαδικά; Αν προσθέταμε σταθμά δυαδικά (έστω άλλα 2), ποια θα ήταν τα πλέον κατάλληλα; Μέσω των ερωτημάτων αυτών ο εκπαιδευτικός μπορεί να θέσει προς συζήτηση την υπόθεση ότι το δυαδικό σύστημα είναι «βέλτιστο», με την έννοια ότι χρησιμοποιούνται τα λιγότερα δυνατά «σταθμά» κάθε ενδιάμεση τιμή σταθμών είναι περιττή, γιατί με κατάλληλο συνδυασμό των σταθμών που υπάρχουν, μπορεί να ζυγιστεί οποιοδήποτε ενδιάμεσο βάρος. Αυτό μπορεί να χρησιμεύσει και στην καλύτερη κατανόηση του δυαδικού συστήματος, αλλά και ως βασική διαδικασία για να περιγραφούν και άλλα συστήματα (δες την επόμενη ερώτηση). (6) Ο εκπαιδευτικός μπορεί στη συνέχεια να διαπραγματευτεί, ανάλογα με την τάξη, πιο προηγμένα θέματα: μπορούμε στο δυαδικό σύστημα με μια ματιά να αποφανθούμε αν ένας αριθμός είναι περιττός ή άρτιος (μονός ή ζυγός) χωρίς να τον μετατρέψουμε στο δεκαδικό σύστημα; Άραγε θα ήταν δυνατό να έχουμε ένα σύστημα «τριαδικό» (κατά το δυαδικό); Πώς θα ήταν τότε τα σταθμά; Γιατί στα δεκαδικά σταθμά έχουμε αρκετά από κάθε είδος (πόσα;) ενώ στο δυαδικό μόνο ένα; Είναι δυνατόν στο κάθε σύστημα (δηλαδή στο δυαδικό ή στο δεκαδικό) να έχουμε έναν πιο «οικονομικό» τρόπο αναπαράστασης (με λιγότερα σταθμά συνολικά); Αξίζει να σημειωθεί ότι το σύστημα της ζυγαριάς μπορεί να υλοποιηθεί και με μια πραγματική ζυγαριά (αν κανείς βρει μια πλάστιγγα 1 ). Δραστηριότητα 2: Αναπαραστάσεις του δυαδικού συστήματος Υπάρχουν πολλά συστήματα που επιτρέπουν δραστηριότητες οι οποίες αποσκοπούν στην 1 Σχετικά πρόσφατα, Νοέμβριο του 2012, είδα υλοποιημένη την ιδέα από τον Jens Gallenbacher, συγγραφέα του βιβλίου Abenteuer Informatik (περιπέτεια Πληροφορικής) ένα βιβλίο μέσα στο πνεύμα του csunplugged. Τα σταθμά ήταν παλιά CD και DVD πάνω στα οποία ήταν κολλημένα μικρά σιδερένια κομμάτια με το κατάλληλο βάρος! ΙΤΥΕ Διόφαντος - Διεύθυνση Επιμόρφωσης και Πιστοποίησης 39/170

8 κατανόηση των μηχανισμών που διέπουν τη λειτουργία του δυαδικού συστήματος. Από αυτές που περιγράφονται παρακάτω, ορισμένες προέρχονται από ιδέες και δραστηριότητες που περιγράφονται στο csunplugged ( Άλλες στηρίζονται σε λειτουργίες του λογισμικού ΔΕΛΥΣ. Οι περισσότερες από αυτές μπορούν να χρησιμοποιηθούν συνδυαστικά με τη χρήση ψηφιακών συστημάτων και λογισμικού και χωρίς τη χρήση ψηφιακών συστημάτων. Η αναπαράσταση των δυαδικών αριθμών είναι πολύ εύκολη. Κάθε ζεύγος στοιχείων (αντικειμένων ή συμβόλων) μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως βασικό «αλφάβητο» για το δυαδικό σύστημα. Για παράδειγμα στο βιβλίο csunplugged παρατίθενται τα εξής παραδείγματα: Μπορείτε να προτείνετε στους μαθητές να κάνουν τους αντίστοιχους υπολογισμούς σε κάθε γραμμή. Εξάλλου μια πολύ προσφιλής διδακτική τεχνική για την αναπαράσταση δυαδικών αριθμών είναι και οι ίδιο οι μαθητές, σε σειρά, όπως είναι στα θρανία τους. Μερικοί μαθητές ή μαθήτριες μπορούν να σηκωθούν όρθιοι (και να αντιπροσωπεύουν το «1», ενώ οι καθισμένοι α- ντιπροσωπεύουν το «0»). Ο εκπαιδευτικός μπορεί να τους ζητήσει να αποφασίσουν μόνοι τους ποιοι πρέπει να σηκωθούν ή να μείνουν καθιστοί ώστε να «αναπαραστήσουν» τον α- ριθμό «17» κ.λπ. Οι δυαδικοί αριθμοί μπορούν φυσικά να αναπαρασταθούν με κατάλληλες κάρτες: ΙΤΥΕ Διόφαντος - Διεύθυνση Επιμόρφωσης και Πιστοποίησης 40/170

9 Με τις κάρτες αυτές μπορούν να πραγματοποιηθούν πολλές δραστηριότητες. Προκαταρκτικά ο διδάσκων μπορεί να προτείνει την ανεύρεση του τρόπου με τον οποίο είναι φτιαγμένες (καθεμιά, πλην της πρώτης δεξιά, έχει τον διπλάσιο αριθμό κουκίδων από αυτήν που είναι δεξιά της) και γενικά μια σειρά δραστηριοτήτων και ερωτήσεων εξοικείωσης. Στη συνέχεια μπορεί να δείξει στους μαθητές με ποιον τρόπο μπορούμε να αναπαραστήσουμε αριθμούς απλώς αναποδογυρίζοντας μερικές από αυτές: Ενδιαφέρον έχουν ορισμένες δραστηριότητες που σχετίζονται με αλγοριθμικές διαδικασίες. Για παράδειγμα, ξεκινώντας με όλες τις κάρτες ανάποδα (δηλαδή από το 0) αναπαριστάνουμε τους διαδοχικούς φυσικούς 1,2,3,... Υπάρχει άραγε κάποιος κανόνας για τον τρόπο με τον οποίο τις αναποδογυρίζουμε; Αν υποθέσουμε ότι κάθε «κλειστό» δάκτυλο παριστάνει ένα «0» και ένα «ανοιχτό» δάκτυλο παριστάνει ένα «1», τότε πόσους διαφορετικούς αριθμούς στο δυαδικό σύστημα μπορεί να αναπαραστήσει ένα μαθητής με το ένα χέρι του; Με τα δυο χέρια; Οι μαθητές, σε ομάδες, μπορούν να δοκιμάσουν να αναπαραστήσουν όλους τους αριθμούς από το 1 ως το 31. Αν υποθέσουμε ότι ένας κάτοικος άλλου πλανήτη είχε επίσης «ελαστικά» δάκτυλα στα πόδια (και μπορούσε να τα ανοιγοκλείνει όπως τα δάκτυλα στα χέρια του), τότε αυτός, χρησιμοποιώντας και τα 20 δάκτυλά του, ποιους αριθμούς θα μπορούσε να αναπαραστήσει στο δυαδικό σύστημα; Σχετική δραστηριότητα στο Scratch υπάρχει έτοιμη στο: ΙΤΥΕ Διόφαντος - Διεύθυνση Επιμόρφωσης και Πιστοποίησης 41/170

10 Δραστηριότητα 3: Προηγμένα χαρακτηριστικά του δυαδικού συστήματος Στο λογισμικό ΔΕΛΥΣ 2 υπάρχουν δραστηριότητες σχετικές με τις μετατροπές από το δεκαδικό στο δυαδικό σύστημα και αντιστρόφως. Η κατανόηση της διαδικασίας μετατροπής των δυαδικών σε δεκαδικούς και αντιστρόφως μπορεί να επιτρέψει, σε μεγαλύτερους μαθητές, να απαντήσουν σε πιο σύνθετα ερωτήματα, όπως: δεδομένου ενός αριθμού σε δεκαδική μορφή, ποιος αριθμός πρέπει να προστεθεί σε αυτόν ώστε η δυαδική αναπαράσταση του αθροίσματος να αποτελείται από ένα «1», ακολουθούμενο μόνο από «0»; Ο αριθμός της μορφής είναι δύναμη του 2 (δυαδικό σύστημα), άρα για οιονδήποτε αριθμό, πρέπει να προσθέσουμε τη διαφορά του από μια δύναμη του 2 (προφανώς μεγαλύτερή του). Για παράδειγμα, στον αριθμό 476 μπορούμε να προσθέσουμε τον 36, γιατί = 512 = 2 9 και στο δυαδικό γράφεται: Παρόμοιο είναι το ερώτημα, αν επιθυμούμε η δυαδική αναπαράσταση του αθροίσματος να αποτελείται μόνο από «1»: Εκτέλεση πράξεων Μέσα από μια σειρά δραστηριοτήτων, οι μαθητές μπορούν επίσης να ασχοληθούν με τους τρόπους με τους οποίους ο Η.Υ. κάνει εσωτερικά τις πράξεις και να κατανοήσουν ότι το σύνολο των πράξεων που κάνει ο Η.Υ. βασικά είναι οι εξής 2: πρόσθεση και μετατόπιση. Η πρόσθεση δυο δυαδικών μπορεί να προσομοιωθεί από τους μαθητές. Πιο συγκεκριμένα, Στη δραστηριότητα αυτή οι μαθητές λειτουργούν ως «δυαδικά ψηφία» και παράγουν το ά- θροισμα 2 αριθμών σε δυαδική μορφή. Οι μαθητές είναι τοποθετημένοι σε τρεις σειρές. Οι δυο πρώτες είναι για τους «προσθετέους» και η τρίτη για το «άθροισμα» και έχει έναν μαθητή παραπάνω. Οι μαθητές της πρώτης σειράς αντιστοιχούνται με τα δυαδικά ψηφία ενός αριθμού και παραμένουν καθιστοί, αν αντιστοιχούν σε 0 ή σηκώνονται όρθιοι, αν αντιστοιχούν σε 1. Το ίδιο κάνουν και οι μαθητές της δεύτερης σειράς. Υπάρχει και ένας επιπλέον μαθητής, ξέχωρα από τους άλλους, ο Κ (για το «κρατούμενο»), ο οποίος είναι καθιστός. Αφού τακτοποιηθούν οι μαθητές των 2 πρώτων σειρών οι μαθητές της τρίτης σειράς ακολουθούν τους κανόνες της πρόσθεσης. Ο Κ απλώς υπακούει στις εντολές της τρίτης σειράς. Οι κανόνες για την πρόσθεση μπορούν να μοιραστούν σε κάθε μαθητή της τρίτης σειράς γραμμένοι σε ένα χαρτί ή να αναγραφούν στον πίνακα για να τους βλέπουν όλοι εκτός από τον επιπλέον μαθητή της τρίτης σειράς που παίρνει ειδικές εντολές. Οι κανόνες είναι απλοί και εκτελούνται βήμα-βήμα από το τέλος προς την αρχή (από τα λιγότερο σημαντικά ψηφία): Αν οι δυο συμμαθητές μπροστά σου είναι καθισμένοι, δες τι είναι ο Κ. Αν ο Κ είναι καθισμένος μείνε και συ καθισμένος και πες ότι τελείωσες. Αν ο Κ είναι όρθιος, σήκω όρθιος και πες στον Κ να καθίσει. Πες μετά ότι τελείωσες. Αν οι δυο συμμαθητές σου μπροστά είναι ένας καθιστός και ένας όρθιος, δες τι είναι ο Κ. 2 Το λογισμικό ΔΕΛΥΣ δε λειτουργεί με όλα τα λειτουργικά συστήματα και για τον λόγο αυτό οι δραστηριότητές του θα περιγράφονται πάντοτε ως επιπλέον δραστηριότητες, δεν περιλαμβάνονται στις «κύριες». ΙΤΥΕ Διόφαντος - Διεύθυνση Επιμόρφωσης και Πιστοποίησης 42/170

11 Αν ο Κ είναι καθισμένος, σήκω όρθιος και πες στον Κ να μείνει καθισμένος. Πες μετά ότι τελείωσες. Αν ο Κ είναι όρθιος, πες ότι τελείωσες. Αν οι δυο συμμαθητές σου μπροστά είναι όρθιοι, δες τι είναι ο Κ. Αν ο Κ είναι καθισμένος, πες στον Κ να σηκωθεί όρθιος. Πες μετά ότι τελείωσες. Αν ο Κ είναι όρθιος, σήκω όρθιος. Πες μετά ότι τελείωσες. Ο επιπλέον μαθητής απλώς παρατηρεί τον Κ. Αν ο Κ είναι καθιστός απλώς λέει ότι τελείωσε, αλλιώς σηκώνεται όρθιος, λέει στον Κ να καθίσει και μετά δηλώνει ότι τελείωσε. Είναι ενδιαφέρον να δοθούν αριθμοί με αποτέλεσμα «μεγαλύτερου μήκους» από τους ίδιους («υπερχείλιση») ώστε οι μαθητές να συνειδητοποιήσουν τη λειτουργία ενός ψευτο-αθροιστή όπως αυτός που παριστάνουν. Η δραστηριότητα αυτή μπορεί να αποτελέσει αφορμή για περαιτέρω συζήτηση για το δυαδικό και το δεκαδικό σύστημα, τα συστήματα αρίθμησης γενικότερα, τους συμβολισμούς και τους σχετικούς αλγόριθμους των πράξεων. Επίσης αποτελεί ένα παράδειγμα εξαγωγής ενός αποτελέσματος με «μηχανικό τρόπο» (στην πραγματικότητα εφαρμόζοντας κάποιον αλγόριθμο) δηλαδή χωρίς να είναι συνολικά γνωστό στους επιμέρους «συντελεστές» (τους μαθητές της τρίτης σειράς): καθένας απλώς εκτελεί εντολές για ένα μικρό τμήμα της όλης διαδικασίας, αλλά το τελικό αποτέλεσμα συντίθεται από τις επιμέρους διαδικασίες. Ενδιαφέρον παρουσιάζει και η εκτέλεση της αφαίρεσης. Στο δεκαδικό σύστημα, η αφαίρεση μπορεί να γίνει πρόσθεση των συμπληρωμάτων ως προς 9 όλων των ψηφίων. Έτσι αντί για την αφαίρεση , θεωρώ το συμπλήρωμα (διαφορά) των ψηφίων του 386 από το 9. Προκύπτει ο αριθμός 613. Αντί λοιπόν για αφαίρεση , προστίθενται = 1287, «περικόπτεται» το 1 και προστίθεται στο τέλος δηλαδή = 288 (που είναι και το αποτέλεσμα της αφαίρεσης ). Η εξήγηση είναι πολύ απλή: = = ( ) 999 = ( ) = 613 Εξάλλου η περικοπή το «1» (χιλιάδα) και η πρόσθεσή του σημαίνει ότι αφαιρείται το 1000 και προστίθεται 1, δηλαδή τελικά αφαιρείται ο 999. Στο δυαδικό σύστημα η όλη διαδικασία είναι εξαιρετικά απλή, γιατί το συμπλήρωμα λαμβάνεται απλώς εναλλάσσοντας τα «0» και «1». Άρα, προσομοιώνοντας με τους μαθητές, αρκεί οι μαθητές της δεύτερης σειράς να αλλάξουν στάση (οι καθισμένοι να σηκωθούν και οι όρθιοι να καθίσουν). Με ανάλογους τρόπους μπορούν να συζητηθούν και οι υπόλοιπες πράξεις. Ακόμη, αν οι μαθητές σας έχουν ασχοληθεί με τις προηγούμενες δραστηριότητες, μπορείτε να τους προτείνετε να προσπαθήσουν να επιλύσουν ενδιαφέροντα προβλήματα όπως το α- κόλουθο. Γράφουμε έναν τυχαίο αριθμό στο δυαδικό σύστημα με 8 ψηφία, για παράδειγμα: Το μετατρέπουμε στο δεκαδικό: είναι ο 137. Γράφουμε επίσης το «αλγεβρικό συμπλήρωμα» των ψηφίων του δυαδικού ως προς το 2 (δηλαδή κάθε «1» το μετατρέπουμε σε «0» και κάθε «0» σε «1»). Δημιουργείται έτσι ο: , του οποίου η δεκαδική αναπαράσταση είναι: 118. Προσθέτουμε τους 2 αριθμούς και βρίσκουμε: = 255. Το ίδιο αποτέλεσμα βρίσκουμε όμως, όποιος και αν είναι ο αρχικός δυαδικός αριθμός από ΙΤΥΕ Διόφαντος - Διεύθυνση Επιμόρφωσης και Πιστοποίησης 43/170

12 τον οποίο ξεκινάμε. Το ερώτημα είναι: γιατί συμβαίνει αυτό; Για όσες και όσους θα είχαν ενδιαφέρον, οι κανόνες με τους οποίους σχηματίζονται οι δυαδικές αναπαραστάσεις διαδοχικών αριθμών, γίνονται εμφανείς στο δεκαδικό σύστημα αν μπορούσε κανείς να δει δεκαδικούς «μηχανικούς» καταμετρητές όπως τα παλιά ταξίμετρα ή οι ακόμη παλιότερες βενζιναντλίες. Ο τρόπος με τον οποίο λειτουργούν τα γρανάζια μπορεί να είναι ένα πολύ ενδιαφέρον θέμα για διαθεματική μελέτη συνδυασμένο και με άλλες ανάλογες κατασκευές (όπως η μηχανή του Β. Pascal κ.ά.). Πώς θα λειτουργούσε άραγε ένα «δυαδικό» ταξίμετρο (δηλαδή ένα ταξίμετρο που θα εμφάνιζε τους αριθμούς στο δυαδικό σύστημα); Ορισμένα από τα ερωτήματα αυτά (ο εκπαιδευτικός θα επιλέξει) δε θα απαντηθούν μέσα στην τάξη, αλλά μπορούν να προταθούν ως «ανοιχτές προκλήσεις» για τους μαθητές. Είναι ενδεχόμενο κάποιοι μαθητές να επανέλθουν ύστερα από μερικές μέρες και να πληροφορήσουν τον εκπαιδευτικό ότι έλυσαν το πρόβλημα ή να ζητήσουν πρόσθετες πληροφορίες. Πρόκειται ενδεχομένως για μαθητές ή μαθήτριες οι οποίοι έχουν ένα ιδιαίτερο ενδιαφέρον, το οποίο ο εκπαιδευτικός μπορεί να συντηρήσει και να «καλλιεργήσει» με κατάλληλη καθοδήγηση. Δραστηριότητες σχετικά με κωδικοποιήσεις Δραστηριότητα 4: Κωδικοποίηση κειμένων με αριθμούς Η κωδικοποίηση κειμένων είναι μια απλή υπόθεση 3. Αρκεί σε κάθε γράμμα να αντιστοιχίσουμε έναν αριθμό. Βέβαια η αντιστοίχιση μπορεί να είναι πιο πολύπλοκη, αν λάβουμε υπόψη όλα τα σύμβολα που εμφανίζονται σε ένα κείμενο (κεφαλαία, πεζά, σημεία στίξεως, τονισμένα γράμματα, παρενθέσεις κ.λπ.). Για ευκολία όμως θα θεωρήσουμε μόνο κεφαλαία γράμματα, χωρίς σημεία στίξεως. Ενδιαφέρον είναι το εξής σημείο: απαιτείται να κωδικοποιήσουμε το κενό (για παράδειγμα, στη δραστηριότητα με το Χριστουγεννιάτικο δένδρο που ακολουθεί, το κενό δεν κωδικοποιείται). Μπορούν λοιπόν να επινοηθούν δραστηριότητες κωδικοποίησης/αποκωδικοποίησης μικρών κειμένων και ανταλλαγής μηνυμάτων κ.λπ. Στο πλαίσιο των δραστηριοτήτων αυτών το csunplugged, προτείνει μια δραστηριότητα κωδικοποίησης κειμένου σε μια φανταστική κατάσταση: 3 Αν και βέβαια, στην πραγματικότητα η κωδικοποίηση με τους κώδικες ASCII και UNICODE αποδείχθηκε μάλλον πολύπλοκη εδώ όμως απλοποιούμε τις κωδικοποιήσεις για διδακτικούς λόγους. ΙΤΥΕ Διόφαντος - Διεύθυνση Επιμόρφωσης και Πιστοποίησης 44/170

13 Ο Γιάννης αποκλείστηκε κατά τύχη το βράδυ των Χριστουγέννων σε ένα πολυκατάστημα και δεν μπορεί να ειδοποιήσει κανέναν να έλθει να του ανοίξει. Σκέφτηκε να ζητήσει βοήθεια απ έξω. Με τα φωτάκια των Χριστουγεννιάτικων δένδρων που υπήρχαν μέσα στο πολυκατάστημα, έφτιαξε έναν πίνακα στον οποίο, συνδέοντας κατάλληλα τα φωτάκια, μπορεί να έχει άλλα φωτάκια αναμμένα και άλλα σβηστά. Σκέφθηκε να χρησιμοποιήσει τις γνώσεις του από την Πληροφορική και να σχηματίσει ένα μήνυμα. Ποιο είναι το μήνυμα; Σχετική δραστηριότητα στο Scratch υπάρχει έτοιμη στο: Θα μπορούσε άραγε να οριστούν κατάλληλες συναρτήσεις σε ένα Excel, ώστε το «άναμμα» και το «σβήσιμο» των φώτων (δηλαδή ορισμένων κελιών του Excel) να γίνεται αυτόματα (αν για ευκολία, γράφουμε ένα γράμμα σε κάθε κελί και το συνδυάσουμε με τη δυνατότητα του Excel μορφοποίηση υπό όρους); Δραστηριότητα 5: Κωδικοποίηση εικόνων Είναι βέβαια γνωστός ο τρόπος με τον οποίο κωδικοποιούνται οι εικόνες στα ψηφιακά συστήματα και αναπαρίστανται στις οθόνες: ΙΤΥΕ Διόφαντος - Διεύθυνση Επιμόρφωσης και Πιστοποίησης 45/170

14 Επειδή ωστόσο η αναπαράσταση με πραγματικό αριθμό Pixels είναι επίπονη και χρονοβόρα, μπορούμε να θεωρήσουμε μια πιο «χονδροειδή» αναπαράσταση ενός και μόνου χαρακτήρα, όπως στο παρακάτω: Αν υποθέσουμε ότι κάθε λευκό κελί συμβολίζεται με ένα «Α» («άσπρο») και ένα μαύρο με «Μ», τότε η παρακάτω κωδικοποίηση, αναπαριστά πλήρως την παραπάνω εικόνα: ΑΑΑΑΑΑΑΑ ΑΑΜΜΜΜΑΑ ΑΜΑΑΑΑΜΑ ΑΜΑΑΑΑΜΑ ΑΜΑΑΑΑΜΑ ΑΜΜΜΜΜΜΑ ΑΜΑΑΑΑΜΑ ΑΜΑΑΑΑΜΑ Αν τοποθετήσουμε τα γράμματα στη σειρά, τότε θα έχουμε την επόμενη συμβολοσειρά: ΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΜΜΜΜΑΑΑΜΑΑΑΑΜΑΑΜΑΑΑΑΜΑΑΜΑΑΑΑΜΑΑΜΜΜΜΜΜΑΑΜΑΑΑΑΜΑΑΜΑΑΑΑ ΜΑ Στους μαθητές, μπορούν να προταθούν δραστηριότητες του είδους: ΙΤΥΕ Διόφαντος - Διεύθυνση Επιμόρφωσης και Πιστοποίησης 46/170

15 Στον ίδιο καμβά, ποιο γράμμα αναπαρίσταται με την ακόλουθη συμβολοσειρά: ΑΑΑΑΑΑΑΑΑΜΜΜΜΑΑΑΑΜΑΑΑΑΑΑΑΜΜΜΑΑΑΑΑΜΑΑΑΑΑΑΑΜΜΜΑΑΑΑ; Ακόμη, αν αντί «Α» και «Μ», χρησιμοποιήσουμε «0» και «1», θα έχουμε την ακόλουθη συμβολοσειρά: Μπορούμε ακόμη να υποθέσουμε ότι κάθε byte (δηλαδή οχτάδα bits) είναι η αναπαράσταση ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα και έτσι το γράμμα «Α» κεφαλαίο της εικόνας παραπάνω, από τους αριθμούς: 0, 50, 66, 66, 66, 116, 66 Με τη μέθοδο αυτή, ποιοι είναι οι 8 αριθμοί που αντιπροσωπεύουν το «μυστηριώδες» γράμμα που περιγράφεται λίγο παραπάνω; Στο csunplugged προτείνεται μια πιο «οικονομική μέθοδος» κωδικοποίησης των εικόνων (χωρίς να λάβουμε υπόψη και τα χρώματα κάθε pixel): Οι μαθητές μπορούν να προσδιορίσουν τον τρόπο με τον οποίο κωδικοποιείται η εικόνα στο παράδειγμα παραπάνω; Το βασικό πρόβλημα είναι βέβαια ότι η κωδικοποίηση είναι εύκολη: 1,3,1,4,1,1,4,0,1,3,1,0,1,3,1,1,4, αλλά η αποκωδικοποίηση δεν είναι, αφού το «μήκος» κάθε γραμμής δεν είναι σταθερό. Στο σχετικό αρχείο Scratch στη δραστηριότητα αυτή το τέλος κάθε γραμμής συμβολίζεται με -1. Μπορούν να κωδικοποιήσουν επίσης τα γράμματα παραπάνω (το «Α» και το «μυστηριώδες» γράμμα) με αυτήν την τεχνική; ΙΤΥΕ Διόφαντος - Διεύθυνση Επιμόρφωσης και Πιστοποίησης 47/170

16 Δραστηριότητες σχετικά με κρυπτογραφία και ελέγχους ισοτιμίας Δραστηριότητα 6: Κωδικοί και κρυπτογραφία Το αντικείμενο της δραστηριότητας αυτής είναι η κατανόηση από την πλευρά των μαθητών μερικών στοιχειωδών μεθόδων κρυπτογράφησης. Στο τέλος της δραστηριότητας αναμένεται οι μαθήτριες και οι μαθητές να έχουν κατανοήσει την έννοια της κρυπτογράφησης και τον αλγοριθμικό χαρακτήρα της διαδικασίας κρυπτογράφησης-αποκρυπτογράφησης. Η βασική ιδέα είναι ένα μήνυμα που στέλνει κάποιος (αποστολέας) σε κάποιο άλλο πρόσωπο (αποδέκτης), αλλά με τρόπο τέτοιο, ώστε να μην είναι κατανοητό από κάποιον που θα θελήσει να το παραβιάσει, χωρίς να είναι ο αποδέκτης. Ως βασική τεχνική κρυπτογράφησης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια πολύ απλή τεχνική αντικατάστασης γραμμάτων. Έτσι, με ένα συστηματικό τρόπο, μπορεί κανείς να αντιστοιχίσει ένα γράμμα σε ένα άλλο. Ειδικά για την Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση, μπορεί εύκολα να δημιουργηθεί μια κατασκευή με χαρτί, ώστε οι μαθητές να κατανοήσουν τον τρόπο κρυπτογράφησης-αποκρυπτογράφησης: Πρόκειται για δυο λωρίδες χαρτιού, κομμένες και τυλιγμένες σε σχήμα κυλίνδρου (στη φωτογραφία είναι τυλιγμένες γύρω από ένα πλαστικό μπουκάλι). Περιστρέφοντας τη μια ή την άλλη αλλάζουν οι αντιστοιχίες. Έτσι αν αρχικά το Α=>Α, Β=>Β κ.λπ., μετατοπίζοντας τον κάτω κύλινδρο κατά μία «θέση» δεξιόστροφα (κατά τη φορά κίνησης δεικτών ρολογιού) οι αντιστοιχίες αλλάζουν, καθώς Α=>Β, Β=>Γ κ.λπ. Η αποκωδικοποίηση του μηνύματος είναι πολύ απλή, αν ξέρει κανείς τον αριθμό μετατοπίσεων θέσης. Ωστόσο η τεχνική αυτή δεν είναι πολύ αποδοτική, καθώς οι κωδικοποιήσεις φανερώνουν αρκετά στοιχεία. Για παράδειγμα, με αυτή τη μέθοδο κρυπτογράφησης, το μήκος των λέξεων παραμένει σταθερό. Αν λοιπόν το μήνυμα: ΑΥΡΙΟ ΤΟ ΠΡΩΙ κωδικοποιηθεί με έναν τρόπο σε: ΙΤΥΕ Διόφαντος - Διεύθυνση Επιμόρφωσης και Πιστοποίησης 48/170

17 ΕΩΦΝΤ ΨΤ ΥΦΓΝ (4 μετατοπίσεις θέσεως), αυτός που αποπειράται να αποκωδικοποιήσει γνωρίζει ότι έχει να κάνει με τρεις λέξεις, μήκους 5,2,4 χαρακτήρων. Αν στην κωδικοποίηση προστεθεί και το κενό ως 25 ος χαρακτήρας (όπως στο πληκτρολόγιο), τότε η παραπάνω φράση «ΑΥΡΙΟ ΤΟ ΠΡΩΙ», θα κωδικοποιηθεί ως εξής (δες στην παραπάνω φωτογραφία: το κενό της επάνω λωρίδας αντιστοιχεί στο «Τ» της κάτω λωρίδας): ΕΩΦΝΤΔΨΤΔΥΦΓΝ ενώ, σε άλλη περίπτωση, η λέξη ΛΕΦΟΥΣΙ θα κωδικοποιηθεί ως ΟΙ ΤΩΧΝ. Αυτό ενδεχομένως αυξάνει το βαθμό δυσκολίας για όποιον θέλει να αποκρυπτογραφήσει το μήνυμα, χωρίς να είναι ο αποδέκτης. Ωστόσο, αν κάποιος καταφέρει να βρει έστω και μια αντιστοιχία, για παράδειγμα ότι το γράμμα «Γ» κρυπτογραφείται ως «Θ», τότε είναι πολύ εύκολο να προσδιορίσει όλες τις αντιστοιχίες. Ακόμη, η συχνότητα των γραμμάτων σε ένα κείμενο, μπορεί να δώσει ενδείξεις, καθώς το πιο συχνό γράμμα στην ελληνική γλώσσα είναι το «Α», με δεύτερο το «Ε», στην Αγγλική γλώσσα είναι το «e» κ.λπ. Μια ιδέα θα ήταν η κωδικοποίηση να είναι μεταβλητή: για παράδειγμα το πρώτο γράμμα του αρχικού μηνύματος να κωδικοποιηθεί με 3 μετατοπίσεις δεξιόστροφες, το δεύτερο με πέντε, το τρίτο με 8 κ.λπ. Ουσιαστικά τέτοιες τεχνικές κρυπτογράφησης έχουν χρησιμοποιηθεί πολύ συχνά με παραλλαγές. Στην τεχνική του (Blaise de) Viginère, χρησιμοποιείται ένας ορθογώνιος πίνακας όπως ο παρακάτω: ΙΤΥΕ Διόφαντος - Διεύθυνση Επιμόρφωσης και Πιστοποίησης 49/170

18 Γ A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb Ι 1 Α A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb Α 2 Β B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A T 3 Γ Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Ρ 4 Δ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Ο 5 Ε Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Σ 6 Ζ Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Γ 7 Η Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Ι 8 Θ Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Α 9 Ι Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ T 10 Κ Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Ρ 11 Λ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Ο 12 Μ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Σ 13 Ν Ν Ξ Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Γ 14 Ξ Ξ Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ N Ι 15 Ο Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ N Ξ Α 16 Π Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ N Ξ O T 17 Ρ Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ N Ξ O Π Ρ 18 Σ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ N Ξ O Π Ρ Ο 19 T T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ N Ξ O Π Ρ Σ Σ 20 Υ Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ N Ξ O Π Ρ Σ T Γ 21 Φ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ N Ξ O Π Ρ Σ T Υ Ι 22 Χ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ N Ξ O Π Ρ Σ T Υ Φ Α 23 Ψ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ N Ξ O Π Ρ Σ T Υ Φ Χ T 24 Ω Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ N Ξ O Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ρ 25 bb bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ N Ξ O Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω Έτσι το μήνυμα «ΕΠΙΘΕΣΗ» θα κρυπτογραφηθεί ως «ΕΡΛΛΙΨΕ». Παρατηρήστε ότι η συχνότητα των γραμμάτων δε διατηρείται, καθώς ένα γράμμα, το «Ε», κωδικοποιείται με διαφορετικό τρόπο ανάλογα με τη θέση του. Η ύπαρξη ενός κλειδιού, όπως η λέξη «ΓΙΑΤΡΟΣ» (στην πρώτη στήλη επαναλαμβανόμενη «ΓΙΑΤΡΟΣΓΙΑΤΡΟΣΓΙΑΤΡΟΣ», επιτρέπει μια ακόμη πιο περίπλοκη κωδικοποίηση. ΙΤΥΕ Διόφαντος - Διεύθυνση Επιμόρφωσης και Πιστοποίησης 50/170

19 Μια άλλη ιδέα είναι να χρησιμοποιηθεί μια άλλη ακολουθία ακεραίων, γνωστή, αλλά όχι προφανής, όπως τα ψηφία του π ή της τετραγωνικής ρίζας ενός αριθμού, για παράδειγμα της τετραγωνικής ρίζας του 2, του 3 του 5 κ.λπ. Οι μαθητές ή ο εκπαιδευτικός μπορούν να κάνουν αναφορές στις σύγχρονες μεθόδους κρυπτογράφησης με κλειδί, τον ρόλο που παίζουν οι πρώτοι αριθμοί κ.λπ. εξαρτάται φυσικά από το επίπεδο των μαθητών στους οποίους απευθύνεται. Σημείωση: όλες οι παραπάνω διαδικασίες μπορούν πολύ εύκολα να προγραμματιστούν σε μια απλή γλώσσα προγραμματισμού (ίσως και σε ένα λογιστικό φύλλο όπως το Calc ή το Excel), ώστε η κρυπτογράφηση ή αποκρυπτογράφηση να γίνει αυτόματη. Το ουσιώδες είναι να έχουν κατανοήσει οι μαθητές τους αντίστοιχους αλγορίθμους, ώστε να αντιλαμβάνονται τον τρόπο λειτουργίας του προγράμματος. Ο βαθμός στον οποίο εμβαθύνει ο εκπαιδευτικός στις μεθόδους κρυπτογράφησης εξαρτάται φυσικά από το κοινό στο οποίο απευθύνεται κ.λπ. Σχετική δραστηριότητα στο Scratch υπάρχει έτοιμη στο: H κρυπτογραφία και οι κωδικοποιήσεις έχουν βέβαια μια ιδιαίτερη σημασία και πολλές ε- φαρμογές, όχι μόνο στο πεδίο των στρατιωτικών, αλλά και των σύγχρονων οικονομικών συναλλαγών. Εύκολα μπορεί κανείς να βρει στο διαδίκτυο πολλά σχετικά στοιχεία και τεχνικές κρυπτογράφησης, μερικά από τα οποία μπορούν να αποτελέσουν τη βάση για δραστηριότητες με τους μαθητές. Ιδιαίτερη είναι και η ιστορία του Enigma μιας πολύπλοκης μηχανής κρυπτογράφησης που επινόησαν και χρησιμοποίησαν οι Γερμανοί στο Δεύτερο Παγκόσμιο Πόλεμο. Η μηχανή επινοήθηκε από το Γερμανό Arthur Scherbius (πριν το 1930) και μέσα σε μια δεκαετία βελτιώθηκε πολύ. Ευτυχώς στην πλευρά των Συμμάχων αρχικά ο Πολωνός Rejewski Marian και στη συνέχεια μια ολόκληρη ομάδα επιλέκτων Μαθηματικών και ειδικών, στο Bletchley Park, κατόρθωσαν να «σπάσουν» τη διαδικασία κρυπτογράφησης, χωρίς να γίνουν αντιληπτοί από τους Γερμανούς. Στην ομάδα του Bletchley Park βασικό στέλεχος ήταν ο Alan Turing, οποίος, για τις ανάγκες της αποκρυπτογράφησης, σχεδίασε τον αναγνωριζόμενο ως πρώτο προγραμματιζόμενο Η.Υ., τον Colossus ( Δραστηριότητα 7: Έλεγχος ισοτιμίας (parity bits) Πρόκειται για μια δραστηριότητα η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί είτε στην Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση, είτε στις πρώτες τάξεις του Γυμνασίου. Είναι μια δραστηριότητα η οπoία δεν απαιτεί την ύπαρξη Η.Υ. και αποσκοπεί στην κατανόηση του μηχανισμού του ελέγχου της ορθής μετάδοσης ενός μηνύματος κωδικοποιημένου στο δυαδικό σύστημα. Ο έλεγχος ισοτιμίας είναι μια σχετικά απλή μέθοδος για τον έλεγχο σφαλμάτων κατά τη μετάδοση μηνυμάτων (κωδικοποιημένων στο δυαδικό σύστημα ). Ο έλεγχος αυτός δεν είναι απαραίτητο να προσομοιωθεί οπωσδήποτε με δυαδικά ψηφία, αλλά μπορεί να πραγματοποιηθεί και με άλλα αναπαραστατικά μέσα τα οποία είναι λογικώς «ισοδύναμα» με το δυαδικό σύστημα. Έστω για παράδειγμα μια τετραγωνική διάταξη καρτών με τυχαία κατανομή της όψης τους ΙΤΥΕ Διόφαντος - Διεύθυνση Επιμόρφωσης και Πιστοποίησης 51/170

20 (άσπρο-μαύρο): Η προσθήκη μια ακόμη γραμμής και στήλης έτσι ώστε το άθροισμα των «μαύρων» σε όλες τις στήλες και γραμμές να είναι άρτιο, δίνει την εξής κατανομή: Στην παραπάνω διάταξη, τα «μαύρα» κάθε γραμμής και σειράς είναι άρτιου πλήθους. Το αναποδογύρισμα οιασδήποτε κάρτας θα αλλάξει αυτήν τη συνθήκη. Ο εκπαιδευτικός προσκαλεί τα παιδιά να αλλάξουν την όψη μιας κάρτας (να την αναποδογυρίσουν δηλαδή) χωρίς ο ίδιος να βλέπει την αλλαγή. Στο παράδειγμα που ακολουθεί: ΙΤΥΕ Διόφαντος - Διεύθυνση Επιμόρφωσης και Πιστοποίησης 52/170

21 είναι εύκολο να διακρίνει κανείς την κάρτα που άλλαξε όψη, αφού το πλήθος των «μαύρων» παύει να είναι άρτιο σε κάποια γραμμή και στήλη. Ο εκπαιδευτικός, λοιπόν, μπορεί εύκολα να «μαντέψει» ποια κάρτα αναποδογύρισαν οι μαθητές. Ο εκπαιδευτικός μπορεί να επαναλάβει μερικές φορές τη διαδικασία και να ζητήσει από τους μαθητές να του εξηγήσουν πώς βρίσκει την απάντηση. Εάν η απάντηση δεν προκύψει από τους μαθητές, μπορεί να τους καθοδηγήσει εξηγώντας με ποιον τρόπο επέλεξε να τοποθετήσει τις όψεις των καρτών στην πρόσθετη σειρά και στήλη (έτσι ώστε το άθροισμα των μαύρων να είναι πάντα άρτιο). Αφού οι μαθητές κατανοήσουν τον μηχανισμό, μπορεί να τους ζητήσει να εντοπίσουν περιπτώσεις στις οποίες το πρόβλημα να είναι πιο σύνθετο (για παράδειγμα: μια σειρά αλλαγών περισσοτέρων καρτών είναι πάντα ανιχνεύσιμη;). Σχετική δραστηριότητα στο Scratch υπάρχει έτοιμη στο: Ο έλεγχος ορθότητας ενός κωδικού είναι πολύ συνηθισμένη διαδικασία (στους λεγόμενους γραμμωτούς κώδικες» ΕΑΝ-13, γνωστούς ως barcodes, σε διάφορα προϊόντα και αλλού). Οι γραμμωτοί κώδικες αποτελούνται από 13 ψηφία, 12 σημαντικά και ένα ψηφίο ελέγχου. Τα πρώτα ψηφία είναι ο κωδικός της χώρας, ακολουθούν ψηφία που ταυτοποιούν την εταιρεία που κατασκεύασε το προϊόν και στη συνέχεια ο κωδικός του προϊόντος του ίδιου. Ο υπολογισμός του τελευταίου ψηφίου (του 13 ου ) προκύπτει ως εξής: αθροίζονται τα ψηφία ΙΤΥΕ Διόφαντος - Διεύθυνση Επιμόρφωσης και Πιστοποίησης 53/170

22 περιττής τάξεως. Αθροίζονται τα ψηφία αρτίας τάξεως και το άθροισμα πολλαπλασιάζεται επί 3. Τα δυο τελευταία αποτελέσματα αθροίζονται και υπολογίζεται το υπόλοιπο της διαιρέσεως του αριθμού που προκύπτει με το 10. Το προκύπτον υπόλοιπο αφαιρείται από το 10 ή χρησιμοποιείται ως έχει, εάν είναι 0. Στην παραπάνω εικόνα, το άθροισμα των ψηφίων περιττής τάξεως είναι: = 33 Το άθροισμα των ψηφίων άρτιας τάξεως είναι: = 40. Τριπλασιάζουμε: 40 x 3 = = 153. Το υπόλοιπο της διαιρέσεως με το 10 είναι 3, και αν το αφαιρέσω από το 10, προκύπτει 7, που είναι πράγματι το τελευταίο ψηφίο του κωδικού. Δραστηριότητες σχετικά με αλγορίθμους Δραστηριότητα 8: Δυαδική αναζήτηση Ανάμεσα στις μικρές δραστηριότητες που έχουν δημιουργηθεί στο zip&can=2&q με το Scratch, υπάρχει μία που σχετίζεται με τη δυαδική αναζήτηση. Στην εφαρμογή, το πρόγραμμα (η «γάτα») προσπαθεί να «μαντέψει» έναν αριθμό που έχει σκεφτεί ο χρήστης (ο μαθητής ή η μαθήτρια) με κατάλληλες ερωτήσεις του τύπου: «ο αριθμός που σκέφτηκες είναι μικρότερος από τον»; ΙΤΥΕ Διόφαντος - Διεύθυνση Επιμόρφωσης και Πιστοποίησης 54/170

23 Επίσης υπάρχουν αρκετές εργασίες και προτάσεις γύρω από το θέμα της χρήσης επαναληπτικών διαδικασιών, στην ελληνική γλώσσα. Αναφέρονται ενδεικτικά οι εργασίες των Κυριακού Γρηγόρη, στην ημερίδα «Η Πληροφορική στην εποχή του Νέου Σχολείου», (Θεσσαλονίκη 2012), με τίτλο ΜΑΝΤΕΨΕ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ! ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ: Η ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΣΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ SCRATCH, προσβάσιμη στη διεύθυνση Δραστηριότητα 9: Άλλες δραστηριότητες από το csunplugged Στον ιστοχώρο zip&can=2&q υπάρχουν, γραμμένες σε Scratch από τον ερευνητή Mordehai Βen Ari του Weizmann Institute of Science, πολλές από τις παραπάνω δραστηριότητες (και άλλες ακόμη) τις οποίες οι εκπαιδευτικοί μπορούν να χρησιμοποιήσουν στις διδασκαλίες τους. Το σχετικό αρχείο.zip περιέχει μια σειρά από αρχεία Scratch, τα οποία εκτελούνται (εφόσον το Scratch είναι εγκατεστημένο στον Η.Υ.) και το καθένα αντιστοιχεί σε μια απλή δραστηριότητα σχετική με διάφορες όψεις της Πληροφορικής. Για παράδειγμα, το αρχείο parity.sb παρουσιάζει έναν πίνακα όπως τον παραπάνω πίνακα για τη δραστηριότητα της ισοτιμίας. Όταν ο χρήστης αλλάξει, με το ποντίκι, την όψη μιας κάρτας, τότε δυο «μάγοι» (ένας για τη στήλη και ένας για τη γραμμή), αναγγέλλουν τη στήλη και τη γραμμή της κάρτας που άλλαξε όψη. Βιβλιογραφία και πρόσθετες πηγές Στο Διαδίκτυο υπάρχει μεγάλος αριθμός πηγών και πληροφοριών για κάθε μια από τις δραστηριότητες που αναφέρονται παραπάνω (και τις αντίστοιχες μεθόδους, έννοιες και τεχνικές της Πληροφορικής). Για παράδειγμα, σε πολλούς τοπικούς ή διεθνείς διαγωνισμούς Πληροφορικής, μπορούν να εντοπιστούν ποικίλες δραστηριότητες οι οποίες να χρησιμοποιηθούν στο σχολικό περιβάλλον. Από τον γαλλόφωνο διαγωνισμό Πληροφορικής CASTOR ( και γαλλόφωνα sites), παρατίθενται ορισμένα παραδείγματα: Παράδειγμα 1 Στο κοινωνικό Δίκτυο CASTOR, κάθε μέλος μπορεί να μοιράζεται μια φωτογραφία με μερικούς φίλους (όσους θέλει). Όσοι μοιράζονται μια φωτογραφία με ένα μέλος, μπορούν να δουν και να σχολιάσουν μια φωτογραφία. Οι φίλοι αυτών που σχολιάζουν μια φωτογραφία μπορούν να δουν τη φωτογραφία, αλλά όχι να τη σχολιάσουν (εκτός αν τη μοιράζονται με το αρχικό μέλος). Στο παρακάτω γράφημα, οι «φιλίες» παριστάνονται με τις γραμμές που συνδέουν δυο πρόσωπα. ΙΤΥΕ Διόφαντος - Διεύθυνση Επιμόρφωσης και Πιστοποίησης 55/170

24 Η Λουκία, θέλει να ανεβάσει μια φωτογραφία, την οποία να μην μπορεί να δει ο Ιάσονας. Είναι δυνατόν αυτό; Με ποιους πρέπει να μοιραστεί τη φωτογραφία η Λουκία ώστε να μην μπορεί να τη δει ο Ιάσονας (αλλά να μπορούν να τη δουν άλλοι); Παράδειγμα 2 Ένας μεγάλος και ένας μικρός κάστορας στέκονται πλάτη με πλάτη και σε κάποια στιγμή ξεκινούν να περπατούν προς την κατεύθυνση που κοιτάζουν. Οι κάστορες κρατούν στα χέρια τους μικρά αστέρια και μπορούν να τα αφήνουν στο χώμα όταν τους το πουν. Ο μεγάλος κάστορας κάνει μεγάλα βήματα και ο μικρός μικρά βήματα. Και οι δυο εκτελούν τις εξής ε- ντολές: 1. Κάνε ένα βήμα και άσε ένα αστέρι δεξιά σου 2. Κάνε ένα βήμα και άσε ένα αστέρι αριστερά σου 3. Κάνε ένα βήμα και άσε ένα αστέρι δεξιά σου 4. Κάνε ένα βήμα και άσε ένα αστέρι αριστερά σου Ποια από τις παρακάτω διαδρομές (Α, Β, Γ, Δ) αντιπροσωπεύει την πορεία που έκαναν οι κάστορες; ΙΤΥΕ Διόφαντος - Διεύθυνση Επιμόρφωσης και Πιστοποίησης 56/170