Αριθµητική υπολογιστών

Transcript

1 Αριθµητική υπολογιστών Μιχάλης ρακόπουλος Υπολογιστική Επιστήµη & Τεχνολογία, #03 1

2 εκαδικό σύστηµα αρίθµησης Βάση το ψηφία: δεκαδικό ψηφίο εκφράζει 1 από 10 πιθανές επιλογές µετράει 10 πράγµατα έχει 10 διακριτές τιµές. 2 δεκαδικά ψηφία εκφράζουν 1 από 100 πιθανές επιλογές µετράνε 100 πράγµατα έχουν 100 διακριτές τιµές. 3 δεκαδικά ψηφία... Μέτρηµα µε δυνάµεις του 10: 1821 = = Αριθµητική υπολογιστών Μ. ρακόπουλος 2 υαδικό σύστηµα αρίθµησης Βάση το 2. 2 ψηφία: 0 1 (bits) 1 δυαδικό ψηφίο εκφράζει 1 από 2 πιθανές επιλογές µετράει 2 πράγµατα έχει 2 διακριτές τιµές. 2 δυαδικά ψηφία εκφράζουν 1 από 4 πιθανές επιλογές µετράνε 4 πράγµατα έχουν 4 διακριτές τιµές. 3 δυαδικά ψηφία... Μέτρηµα µε δυνάµεις του 2: = Οι ψηφιακές συσκευές χρησιµοποιούν το δυαδικό σύστηµα. = Αριθµητική υπολογιστών Μ. ρακόπουλος 3 Μετατροπή ϐάσης: δυαδικοί σε δεκαδικούς 1ος τρόπος 2ος τρόπος = = = 13 Γραµµή Bit b d 1 = 1, d n+1 = 2 d n + b n+1, n > Αριθµητική υπολογιστών Μ. ρακόπουλος 4 2

3 Μετατροπή ϐάσης: δεκαδικοί σε δυαδικούς 1ος τρόπος: ανάλυση σε δυνάµεις του = 32 + (10) = (2) = = = ος τρόπος: διαδοχικές διαιρέσεις µε 2 (µόνο για ακεραίους). Πηλίκο Υπόλοιπο τα υπόλοιπα µε αντίστροφη σειρά Αριθµητική υπολογιστών Μ. ρακόπουλος 5 Μετατροπή ϐάσης: κλασµατικό µέρος 1ος τρόπος: ανάλυση σε δυνάµεις του = = = ος τρόπος: διαδοχικοί πολλαπλασιασµοί µε 2 και αποκοπή ακέραιου µέρους µέχρις ότου το κλασµατικό µέρος να γίνει 0. Π.χ. για το 0.625: εκαδικός 2 υαδικός < τέλος Πώς παριστάνεται στο δυαδικό σύστηµα ο δεκαδικός ? Αριθµητική υπολογιστών Μ. ρακόπουλος 6 Αλλα συστήµατα αριθµών Οι δυαδικοί αριθµοί είναι «ογκώδεις». Στην πληροφορική συχνά χρησιµοποιούνται οι ϐάσεις: 8: Οκταδικοί 8 ψηφία: : εκαεξαδικοί 16 ψηφία: 0 9, A B C D E F Μετατροπή ανάµεσα σε δυαδικό-οκταδικό: κάθε δυαδική τριάδα αντιστοιχεί σε ένα οκταδικό ψηφίο και το αντίστροφο Μετατροπή ανάµεσα σε δυαδικό-δεκαεξαδικό: κάθε δυαδική τετράδα αντιστοιχεί σε ένα 16-δικό ψηφίο και το αντίστροφο. 7 B A 3. B C 4 {}}{ Αριθµητική υπολογιστών Μ. ρακόπουλος 7 3

4 Bits & Bytes Bit: η µικρότερη µονάδα πληροφορίας. Αντιπροσωπεύει µία από 2 πιθανές καταστάσεις: ναι/όχι, αληθές/ψευδές, on/off, άνδρας/γυναίκα,... Ολα τα παραπάνω, κωδικοποιούνται σαν 0 ή 1: δυαδικό ψηφίο (bit) {0, 1} Το δυαδικό σύστηµα επιτρέπει την κατασκευή εξαρτηµάτων που έχουν µόνο 2 καταστάσεις: υψηλή/χαµηλή τάση, κυκλοφορία ϱεύµατος (chips) παρουσία ή όχι ηλεκτρικόυ ϕορτίου (flash) ϕορά µαγνητικού πεδίου (δίσκοι) ανάκλαση ή όχι ϕωτεινής δέσµης (cd-rom, dvd). Η πληροφορία αποθηκεύεται και επεξεργάζεται σαν bits Byte: 8 bits που λειτουργούν σαν µια ενιαία µονάδα. Αριθµητική υπολογιστών Μ. ρακόπουλος 8 Υπολογιστική αναπαράσταση ακεραίων υαδικοί αριθµοί εκφρασµένοι µε m bits αʹ. Προσηµασµένο µέγεθος (signed magnitude) Τα υπόλοιπα m 1 bits για το µέγεθος (απόλυτη τιµή). π.χ = και = ύο µηδενικά: και Συµπλήρωµα ως πρός ένα (ones complement) Ο αντίθετος προκύπτει µε αντικατάσταση των 0 από 1 και των 1 από 0 (και για το πρόσηµο). Ισοδύναµα: αφαίρεση από τον (m bits). π.χ = και = ύο µηδενικά: και Αριθµητική υπολογιστών Μ. ρακόπουλος 9 Υπολογιστική αναπαράσταση ακεραίων (συνεχ.) υαδικοί αριθµοί εκφρασµένοι µε m bits αʹ. Συµπλήρωµα ως πρός δύο (two s complement) Ο αντίθετος από συµπλήρωµα ως προς ένα µε πρόσθεση της µονάδας (τυχόν κρατούµενο στο αριστερό bit αγνοείται). Ισοδύναµα: αφαίρεση από τον (m + 1 bits). π.χ = και = Μια αναπαράσταση για το µηδέν: , αλλά: Ποιός είναι ο αντίθετος του ? Εχει επικρατήσει στους σύγχρονους υπολογιστές. (πλήθος αρνητικών) = (πλήθος ϑετικών) + 1 Αριθµητική υπολογιστών Μ. ρακόπουλος 10 4

5 Υπολογιστική αναπαράσταση ακεραίων (συνεχ.) υαδικοί αριθµοί µε m bits αʹ. Πλεόνασµα (excess) κατά 2 m 1 Κάθε αριθµός παριστάνεται από το άθροισµα της πραγµατικής του τιµής µε το 2 m 1. Π.χ. για m = 8 το σύστηµα λέγεται πλεονασµα-128 και οι αριθµοί 128 έως +127 απεικονίζονται στους 0 έως 255. Είναι το συµπλήρωµα ως προς το 2 µε το πρόσηµο αντεστραµµένο: = και = Χρησιµοποιείται στην παράσταση πραγµατικών. Αριθµητική υπολογιστών Μ. ρακόπουλος 11 Υπολογιστική αναπαράσταση ακεραίων (συνεχ.) Στα παραπάνω συστήµατα αναπαράστασης, ένα εύρος ϑετικών τιµών απεικονίζεται σε ϑετικές και αρνητικές τιµές. Για m = 3 bits: Bits Μη-προσηµασµένη τιµή προσηµασµένο µέγεθος συµπλ.-1 συµπλ.-2 πλεόνασµα Αριθµητική υπολογιστών Μ. ρακόπουλος 12 Αριθµητική στο δυαδικό σύστηµα Οπως και στο δεκαδικό σύστηµα. Π.χ. η πρόσθεση γίνεται ψηφίο-προς-ψηφίο ξεκινώντας από τα δεξια. Αν στην πρόσθεση προκύψει κρατούµενο στο αριστερό bit: = 0, = 1, = 1, = 10 στο συµπλήρωµα ως προς ένα προστίθεται στο δεξιότερο bit του αποτελέσµατος (end-around carry). στο συµπλήρωµα ως προς δύο αγνοείται. εκαδικό συµπλ-1 συµπλ-2 Προσθετέος Αφαιρετέος Αποτέλεσµα Αριθµητική υπολογιστών Μ. ρακόπουλος 13 Υπολογιστική αναπαράσταση πραγµατικών αριθµών Η ενότητα 4.3 από το ϐιβλίο των Van Loan και Fan. Αριθµητική υπολογιστών Μ. ρακόπουλος 14 5