Βασίλης Καραγιάννης Μηνάς Καραγιάννης. και οι φίλοι του στη χώρα των. Μαθηματικών ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΆ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ ΓΙΑ ΤΗ Δ ΤΆΞΗ ΔΗΜΟΤΙΚΟΎ

Transcript

1

2 Βασίλης Καραγιάννης Μηνάς Καραγιάννης Ο IQ και οι φίλοι του στη χώρα των Μαθηματικών ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΆ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ ΓΙΑ ΤΗ Δ ΤΆΞΗ ΔΗΜΟΤΙΚΟΎ

3 Θέση υπογραφής δικαιούχων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση. Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθεσίας (Ν. 22/993, όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Απαγορεύεται απολύτως άνευ γραπτής αδείας του εκδότη η κατά οποιονδήποτε τρόπο ή μέσο (ηλεκτρονικό, μηχανικό ή άλλο) αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Eκδόσεις Πατάκη Βιβλία για την εκπαίδευση / Δημοτικό / Μαθηματικά Σειρά: Ο IQ και οι φίλοι του στη χώρα των Μαθηματικών Βασίλης Καραγιάννης, Μηνάς Καραγιάννης, Ο IQ και οι φίλοι του στη χώρα των Μαθηματικών Δ Δημοτικόυ Υπεύθυνος έκδοσης: Νίκος Κύρος Εικονογράφηση: Κώστας Ξύγκας, Ζαχαρίας Παπαδόπουλος Εικονογράφηση εξωφύλλου: Κώστας Ξύγκας Σχεδιασμός εξωφύλλου: Εύη Καλλιονάκη Διορθώσεις: Σοφία Κροκίδη Σελιδοποίηση: Εύη Καλλιονάκη Φιλμ, μοντάζ: Μαρία Ποινιού-Ρένεση Copyright για την εικονογράφηση Σ. Πατάκης AEEΔE (Εκδόσεις Πατάκη), 209 Copyright Σ. Πατάκης AEEΔE (Eκδόσεις Πατάκη), Βασίλης Καραγιάννης και Μηνάς Καραγιάννης, 209 Πρώτη έκδοση από τις Eκδόσεις Πατάκη, Αθήνα, Μάρτιος 209 KET B02 KEΠ 95/9 ISBN ΠΑΝΑΓΗ ΤΣΑΛΔΑΡΗ (ΠΡΩΗΝ ΠΕΙΡΑΙΩΣ) 38, ΑΘΗΝΑ, THΛ.: , , , ΦAΞ: , KENTPIKH ΔIAΘEΣH: EMM. MΠENAKH 6, AΘHNA, THΛ.: YΠOK/MA: ΚΟΡΥΤΣΑΣ (ΤΕΡΜΑ ΠΟΝΤΟΥ ΠΕΡΙΟΧΗ Β ΚΤΕΟ), ΚΑΛΟΧΩΡΙ ΘEΣΣΑΛΟNIKHΣ, Τ.Θ. 23, THΛ.: , , , ΦAΞ: Web site: info@patakis.gr, sales@patakis.gr 2

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ας γνωριστούμε Η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Ασκήσεις παρατηρητικότητας, λογικής, κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς Κλασματικές μονάδες ( 2, 3, 4, 5, 6, 8, κ.ά.) Μοτίβα Προβλήματα περιμέτρου και 0 εμβαδού Σύνθετα προβλήματα 2Η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Πράξεις με εκατοντάδες έως το Συμμετρία Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες «περισσότερο», «λιγότερο», «διπλάσιο» και «μισό» Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη Τάνγκραμ Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού Ασκήσεις παρατηρητικότητας, λογικής, κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης 3Η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Πράξεις με χιλιάδες έως το Συμμετρία Μοτίβα Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες «περισσότερο», «λιγότερο», «διπλάσιο» και «μισό» Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη 4Η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Δεκαδικά κλάσματα, δεκαδικοί αριθμοί Μοτίβα Ασκήσεις παρατηρητικότητας, λογικής, κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού Σύνθετα προβλήματα Συμμετρία 5Η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Ασκήσεις παρατηρητικότητας, λογικής, κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης Προβλήματα περιμέτρου, εμβαδού και μάζας (βάρους) Αναγωγή στην κλασματική μονάδα Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες «περισσότερο», «λιγότερο», «διπλάσιο», «μισό» κ.ά. 6Η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Προβλήματα περιμέτρου, εμβαδού και όγκου Συμμετρία Ασκήσεις παρατηρητικότητας, λογικής, κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες «περισσότερο», «λιγότερο», «διπλάσιο», «μισό» κ.ά. Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη 7Η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Ασκήσεις παρατηρητικότητας, λογικής, κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης Μοτίβα Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού Συμμετρία Αναγωγή στην κλασματική μονάδα 3

5 8Η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μέτρηση εμβαδού και μάζας (βάρους) Προβλήματα περιμέτρου Συμμετρία Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες «περισσότερο», «λιγότερο», «διπλάσιο», «μισό» κ.ά. Ασκήσεις παρατηρητικότητας, λογικής, κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης Τάνγκραμ 9Η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κλάσματα Τάνγκραμ Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς Μέτρηση μήκους, εμβαδού, όγκου και μάζας (βάρους) Ασκήσεις παρατηρητικότητας, λογικής, κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης Επίπεδα σχήματα ΟΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς Μοτίβα με δεκαδικούς αριθμούς Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού Ασκήσεις παρατηρητικότητας, λογικής, κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης Προβλήματα με πολλαπλάσια και κοινά πολλαπλάσια Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες «περισσότερο», «λιγότερο», «διπλάσιο», «μισό» κ.ά. Η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κλασματικές μονάδες ( 2, 4, 8 κ.ά.) Προβλήματα περιμέτρου, εμβαδού και χωρητικότητας Ασκήσεις παρατηρητικότητας, λογικής, κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης 2Η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Συμμετρία Ανάπτυγμα κύβου Προβλήματα περιμέτρου, εμβαδού και μάζας (βάρους) Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες «περισσότερο», «λιγότερο», «διπλάσιο», «μισό» κ.ά. Μοτίβα Ασκήσεις παρατηρητικότητας, λογικής, κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης 3Η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς και ομώνυμα (δεκαδικά) κλάσματα Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού Σύνθετα προβλήματα 4Η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μέτρηση εμβαδού Προβλήματα με πολλαπλάσια και κοινά πολλαπλάσια Ανάπτυγμα κύβου Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες «περισσότερο», «λιγότερο», «διπλάσιο», «μισό» κ.ά. 5Η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μέτρηση εμβαδού και όγκου Προβλήματα με πολλαπλάσια και κοινά πολλαπλάσια Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες «περισσότερο», «λιγότερο», «διπλάσιο», «μισό» κ.ά. Προβλήματα περιμέτρου Αναγωγή στην κλασματική μονάδα 4

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 6Η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Συμμετρία Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες «περισσότερο», «λιγότερο», «διπλάσιο», «μισό» κ.ά. Αναγωγή στην κλασματική μονάδα Προβλήματα περιμέτρου, εμβαδού και όγκου Προβλήματα με κλασματικές μονάδες ( 2, 4, 8 κ.ά.) Ανάπτυγμα κύβου Σύνθετα προβλήματα 7Η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες «περισσότερο», «λιγότερο», «διπλάσιο», «μισό» κ.ά. Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη Προβλήματα κίνησης 8Η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες «περισσότερο», «λιγότερο», «διπλάσιο», «μισό» κ.ά. Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη Προβλήματα κίνησης Ασκήσεις παρατηρητικότητας, λογικής, κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης Μοτίβα 9Η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Προβλήματα περιμέτρου, εμβαδού, όγκου και μάζας (βάρους) Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες «περισσότερο», «λιγότερο», «διπλάσιο», «μισό» κ.ά. Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη Προβλήματα κίνησης Μοτίβα Ασκήσεις παρατηρητικότητας, λογικής, κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης 2ΟΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες «περισσότερο», «λιγότερο», «διπλάσιο», «μισό» κ.ά. Μοιράζουμε μία ποσότητα σε άνισα μέρη Προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού Ανάπτυγμα κύβου Μοτίβα Ασκήσεις παρατηρητικότητας, λογικής, κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης 2Η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Σύνθετα προβλήματα περιμέτρου, εμβαδού και μέσου όρου Σύνθετα προβλήματα με τις έννοιες «περισσότερο», «λιγότερο», «διπλάσιο», «μισό» κ.ά. Ασκήσεις παρατηρητικότητας, λογικής, κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης 22Η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Σύνθετα προβλήματα περιμέτρου και εμβαδού Συμμετρία Σύνθετα προβλήματα κλασμάτων και με τις έννοιες «περισσότερο», «λιγότερο» κ.ά. Ασκήσεις παρατηρητικότητας, λογικής, κριτικής σκέψης και συνδυαστικής αντίληψης Παράρτημα Απαντήσεις των ασκήσεων

7 6

8 Ας γνωριστούμε... Γεια σας, παιδιά! Είμαι ο Άι Κιου ο Εξυπνούλης. Μαζί θα περάσουμε ευχάριστα, καθώς θα έχετε τη δυνατότητα να αξιοποιήσετε δημιουργικά τον πολύτιμο ελεύθερο χρόνο σας. Έχω ετοιμάσει ειδικά για εσάς μια πρωτότυπη σειρά βιβλίων Μαθηματικών με ποικίλες δημιουργικές ασκήσεις, εμπλουτισμένα όμως με γρίφους, σπαζοκεφαλιές και κάθε λογής πνευματικά παιχνίδια. Κάθε βιβλίο περιλαμβάνει: Ενότητες Ασκήσεων διαβαθμισμένης δυσκολίας [οι ασκήσεις με αστερίσκο (*) είναι για δυνατούς λύτες] που παρακολουθούν την ύλη των σχολικών βιβλίων. Παράρτημα με σύντομη θεωρία, εκπαιδευτικό υλικό και οδηγίες. Απαντήσεις των ασκήσεων με διάφορους τρόπους-στρατηγικές, που βοηθούν στην πληρέστερη κατανόησή τους. Ειδικότερα, μέσα από αυτά τα βιβλία: > Θα ακονίσετε το μυαλό σας και θα μάθετε να σκέφτεστε έξυπνα και πρωτότυπα. > Θα αναπτύξετε την κριτική σκέψη, τη φαντασία, την παρατηρητικότητα, τη συνδυαστική αντίληψη, την ικανότητα συγκέντρωσης και όχι μόνο. > Θα εμπεδώσετε και θα επεκτείνετε τις βασικότερες μαθηματικές έννοιες που διδάσκεστε στο σχολείο και θα προετοιμαστείτε κατάλληλα, σιγά σιγά και σταθερά, για τη συμμετοχή σας σε σχολικές εξετάσεις αλλά και σε κάθε είδους μαθηματικούς διαγωνισμούς. Είμαι βέβαιος ότι θα θελήσετε όλοι σας να πάρετε μέρος στο συναρπαστικό αυτό ταξίδι στον κόσμο των αριθμών και των σχημάτων και να δοκιμάσετε τις δυνάμεις σας... Σας εύχομαι ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ! Με αγάπη, >> IQ ο Εξυπνούλης 7

9 8

10 H EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Χρησιμοποιώντας πλακάκια μόνο της μορφής αυτής ποιο από τα παρακάτω μωσαϊκά είναι αδύνατο να κατασκευάσω; Κύκλωσε τη σωστή απάντηση. A) Β) Γ) Δ) Ε).2 Μπορείς να συμπληρώσεις τα Sudoku (A, B) που ακολουθούν; Πρόσεξε μόνο κάθε σειρά, κάθε στήλη και κάθε μπλοκ τετραγώνων (2x2) να περιέχει καθέναν από τους αριθμούς* μία και μοναδική φορά. Α B * Σημείωση: Αναλυτικές οδηγίες για τη λύση των Sudoku βλέπε στο Παράρτημα. 9

11 .3 * Μπορείς να βρεις πόσο κοστίζει κάθε είδος παγωτού, με βάση τα αθροίσματά τους που δίνονται οριζόντια και κάθετα; Για να διευκολυνθείς, συσχέτισε οριζόντια ή κάθετα ή οριζόντια και κάθετα ανά δύο αυτά τα αθροίσματα. = 0 = = 8 = = 2 = = = 4 = 4 =.4 * Αρίθμησα όλες τις σελίδες ενός 50φυλλου τετραδίου που αγόρασα. Πόσες φορές έγραψα το ψηφίο σε αυτήν την αρίθμηση; Κύκλωσε τη σωστή απάντηση. A) 0 B) Γ) 2 Δ) 20 Ε) 2 0

12 H EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.5 * Αγόρασα δύο κορδέλες με συνολικό μήκος μέτρο. Η α κορδέλα είναι 0 εκ. μακρύτερη από τη β. Πόσο είναι το μήκος της κάθε κορδέλας; α εκ. 0 εκ. β εκ. α = εκ. β = εκ..6 Ποιον αριθμό (Α, Β, Γ, Δ, Ε) πρέπει να τοποθετήσω στο κενό κουτάκι ( ), για να έχω σωστή κυκλική αριθμητική αλυσίδα; Κύκλωσε τη σωστή απάντηση και συμπλήρωσε και τους άλλους αριθμούς στο εσωτερικό του κύκλου. : x 8 A) + 7 B) 7 : Γ) x 7 x Δ) : 7 Ε) x 9

13 .7 * Οι 50 μαθητές ενός σχολείου έκαναν εκδρομή με πούλμαν και πλήρωσαν συνολικά.000 ευρώ. Μερικοί μαθητές όμως απουσίαζαν την ημέρα της εκδρομής και το εισιτήριο ανέλαβαν να το πληρώσουν οι υπόλοιποι, δίνοντας ο καθένας από 5 ευρώ επιπλέον. Πόσοι μαθητές απουσίαζαν; Κύκλωσε τη σωστή απάντηση. A) 5 B) 6 Γ) 8 Δ) 0 Ε) 2.8 * Μπορείς να βρεις την αξία των παρακάτω αντικειμένων, με βάση τις ισότητες που δίνονται οριζόντια; Προσπάθησε! Αν: = 2,5 Tότε: = +,5 = = 3,25 = 0,5 = 2

14 H EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.9 Α B Σε ένα σχολείο υπάρχουν 90 κορίτσια και 30 αγόρια. Τα μισά από τα παιδιά έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους. Αν όλα τα κορίτσια έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους, πόσα αγόρια έχουν επίσης ένα ψαράκι στο σπίτι τους; Κύκλωσε τη σωστή απάντηση. Ο Φοίβος έχει 0 κουτιά που έχουν μέσα 20 βόλους το καθένα και ο Παύλος 8 κουτιά που έχουν μέσα 50 βόλους το καθένα. Πόσα κουτιά με βόλους πρέπει να δώσει ο Παύλος στον Φοίβο, για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων; Κύκλωσε τη σωστή απάντηση. A) 0 B) 0 A) B) 2 Γ) 20 Δ) 30 Ε) 40 Γ) 3 Δ) 4 Ε) 5.Ο Τι μέρος από τα παρακάτω τετράγωνα (, 2, 3, 4, 5) είναι χρωματισμένο; Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση. A) 8 B) 5 Γ) 4 Δ) 3 Ε) 2 2 A) 2 B) 3 Γ) 4 Δ) 6 Ε) 8 3 A) 8 B) 5 Γ) 4 Δ) 3 Ε) 2 4 A) 2 B) 3 Γ) 4 Δ) 5 Ε) 8 5 A) 8 B) 6 Γ) 4 Δ) 3 Ε) 2 3

15 *. Παρατήρησε προσεκτικά την παρακάτω ακολουθία με τα κυκλικά σχέδια (θέσεις η, 2η, 3η, 4η, 5η, 6η, 7η, 8η...). α) Βρες το μοτίβο και κύκλωσέ το και β) ζωγράφισε στον πίνακα τα κυκλάκια που θα βρίσκονται στις παρακάτω θέσεις. οι) Θέσεις β) η Θέσεις 2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η ΠΙΝΑΚΑΣ 23η 33η 82η 00ή 29η 99η Κυκλάκια *.2 Με σπιρτόξυλα κατασκευάζω σειρές από σπιτάκια, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Πόσα σπιρτόξυλα θα χρειαστώ για να κατασκευάσω: α) μία σειρά από 0 όμοια σπιτάκια; β) μία σειρά από 00 όμοια σπιτάκια; γ) μία σειρά από.000 όμοια σπιτάκια; Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση. οι) β) γ) A) 40 Β) 4 Γ) 43 Δ) 45 Ε) 50 A) 400 Β) 40 Γ) 40 Δ) 450 Ε) 500 A) Β) 4.00 Γ) 4.00 Δ) Ε)

16 H EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.3 Το μεγάλο τρίγωνο ΑΒΓ στο παρακάτω σχήμα αποτελείται από 9 ίδια (ίσα) ισόπλευρα μικρότερα τρίγωνα. Η περίμετρος του μεγάλου τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ. α) Πόσα εκ. είναι η περίμετρος του χρωματισμένου εξαγώνου ΔΕΖΗΘΙ; β) Πόσα τρίγωνα (οποιουδήποτε μεγέθους) υπάρχουν στο τρίγωνο ΑΒΓ; Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση. A οι) A) 2 εκ. β) A) 9 Δ Ε Β) 24 εκ. Β) 0 Γ) 36 εκ. Γ) 2 Ι Κ Ζ Δ) 48 εκ. Δ) 3 Ε) 60 εκ. Ε) 4 Γ Θ Η Β.4 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α, Β), για να ισχύει η ισότητα. Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα. Α B Σημείωση: Για τη βιωματική λύση της άσκησης χρησιμοποίησε οδοντογλυφίδες. 5

17 . *.5 Ένα μυρμήγκι ξεκινάει από κάποιο τετραγωνάκι του παρακάτω μωσαϊκού και κινείται από το ένα στο άλλο προχωρώντας δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα, μόνο οριζόντια ή κάθετα και ποτέ διαγώνια. Στη διαδρομή του περνάει από όλα τα τετραγωνάκια, αλλά μόνο μία φορά από το καθένα. α) Από ποιο τετραγωνάκι ξεκινάει; β) Αν η περίμετρος από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ., πόση είναι η περίμετρος ολόκληρου του μωσαϊκού; Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση. οι) A) Από οποιοδήποτε τετραγωνάκι. Β) Μόνο από τα γωνιακά μαύρα τετραγωνάκια. Γ) Μόνο από το κεντρικό μαύρο τετραγωνάκι. Δ) Από οποιοδήποτε άσπρο τετραγωνάκι. Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετραγωνάκι. β) A) 75 εκ. Β) 78 εκ. Γ) 82,5 εκ. Δ) 90 εκ. Ε) 20 εκ..6 * Ποιο από τα παρακάτω τετράγωνα πλακάκια (Α, Β, Γ, Δ, Ε) πρέπει να τοποθετήσω στο τετραγωνάκι με το ερωτηματικό (. ), ώστε το χρωματισμένο μέρος του σχήματος να είναι όσο και το λευκό μέρος του; Κύκλωσε τη σωστή απάντηση. A) Δ) B) Ε) Γ) 6

18 2H EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2. Διάβασε τους κανόνες του παρακάτω παιχνιδιού «Tα τενεκεδάκια», σκέψου λογικά και απάντησε στις ερωτήσεις.. 2. οι) β) γ) Κανόνες Όταν σπρώξεις ένα τενεκεδάκι, αυτό πέφτει, μαζί με όσα τενεκεδάκια στηρίζονται πάνω σε αυτό. Κερδίζει όποιος συγκεντρώσει τους περισσότερους βαθμούς από τα τενεκεδάκια που έριξε. Ερωτήσεις 400 Ο Φοίβος έριξε το τενεκεδάκι με τον αριθμό 800. Πόσους βαθμούς πήρε; Κύκλωσε τη σωστή απάντηση. Α).900 B) Γ) 2.00 ) Ε) Ποιο τενεκεδάκι πρέπει να ρίξεις εσύ, για να συγκεντρώσεις τους περισσότερους βαθμούς; Κύκλωσε τη σωστή απάντηση. Α) 600 B) 700 Γ) 800 ) 900 Ε).000 Ο Νίκος και ο Γιάννης έριξαν αντίστοιχα τα τενεκεδάκια με τους αριθμούς 700 και.000. Ποιο παιδί νίκησε; Κύκλωσε τη σωστή απάντηση. Α) Ο Νίκος B) Ο Γιάννης δ) Γ) Συγκέντρωσαν και τα δύο παιδιά τους ίδιους βαθμούς. Πόσα τενεκεδάκια θα χρειαστείς, για να φτιάξεις έναν τέτοιον πύργοστόχο με 8 «πατώματα» (στρώσεις); Κύκλωσε τη σωστή απάντηση. Α) 20 B) 27 Γ) 36 ) 45 Ε) 55 7

19 2.2 Κλείδωσα τη βαλίτσα μου με δύο τριψήφιους αριθμούς. Τώρα θέλω να την ξεκλειδώσω, αλλά δε θυμάμαι κάποια ψηφία (από το 0 έως το 9) αυτών των τριψήφιων αριθμών. Το μόνο που θυμάμαι είναι ότι το άθροισμα των ψηφίων του ενός αριθμού είναι ίσο με το άθροισμα των ψηφίων του άλλου αριθμού. Ποια από τις παρακάτω βαλίτσες είναι η δική μου; Κύκλωσε τη σωστή απάντηση και και και και και A) Β) Γ) Δ) Ε) * 2.3 Έφτιαξα έναν μεγάλο κύβο χρησιμοποιώντας μικρότερα κυβάκια. Στη συνέχεια τον χρωμάτισα εξωτερικά, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Πόσα από τα μικρά κυβάκια: οι) β) γ) Έχουν 2 έδρες τους χρωματισμένες; Α) 3 B) 6 Γ) 8 ) 0 Ε) 2 Έχουν έδρα τους χρωματισμένη; Α) 3 B) 4 Γ) 5 ) 6 Ε) 8 εν έχουν καμία έδρα τους χρωματισμένη; Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση. Α) 7 B) 8 Γ) 9 ) 0 Ε) 8

20 2H EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2.4 * Τα παρακάτω κασκόλ (Α, Β, Γ) αποτελούνται από ίσα τετράγωνα και ίσα ορθογώνια κομμάτια. Συσχετίζοντας τα μήκη των τριών κασκόλ, μπορείς να βρεις: α) πόση είναι η περίμετρος και β) πόσο είναι το εμβαδόν του Γ κασκόλ; Κύκλωσε τη σωστή απάντηση σε κάθε περίπτωση. Α οι) A) 240 εκ. β) A).600 τ.εκ. 80 εκ. Β) 280 εκ. Β).800 τ.εκ. B Γ) 320 εκ. Δ) 360 εκ. Γ) τ.εκ. Δ) τ.εκ. 20 εκ. Ε) 400 εκ. Ε) τ.εκ. Γ ; εκ. 2.5 Μετακίνησε μόνο ένα ξυλάκι σε κάθε περίπτωση (Α, Β), για να ισχύει η ισότητα. Στη συνέχεια σχεδίασε δίπλα τη νέα (σωστή) ισότητα. Α B 9

21 EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Παράρτημα. Σύντομη θεωρία σε βασικές έννοιες Σύντομες οδηγίες για τη λύση Sudoku Εκπαιδευτικό υλικό (τάνγκραμ κ.ά.) 89

22 90

23 . Αξονική συµµετρία Γύρω µας, τόσο στη φύση όσο και στις ανθρώπινες κατασκευές, υπάρχουν σχήµατα ή αντικείµενα που αποτελούνται από δύο όµοια τµήµατα. Όταν ένα σχήµα µπορεί να χωριστεί µε µια ευθεία γραµµή σε δύο τµήµατα, έτσι ώστε το ένα τµήµα να είναι η αντανάκλαση του άλλου, τότε είναι συµµετρικό ως προς την ευθεία αυτή, η οποία ονοµάζεται άξονας συµµετρίας. Ένα συµµετρικό σχήµα µπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συµµετρίας. Για παράδειγµα: άξονας συµµετρίας 2 άξονες συµµετρίας 3 άξονες συµµετρίας 4 άξονες συµµετρίας άπειροι άξονες συµµετρίας Στα παρακάτω σχήµατα οι διακεκοµµένες γραµµές δεν είναι άξονες συµµετρίας, γιατί, αν και χωρίζουν τα σχήµατα σε δύο τµήµατα, το ένα τµήµα δεν είναι αντανάκλαση του άλλου. Αν δηλαδή τα σχήµατα διπλωθούν κατά µήκος αυτών των γραµ- µών, τα δύο τµήµατά τους δε θα συµπέσουν. Z Z 9

24 Κάποια συµµετρικά σχήµατα έχουν άξονα συµµετρίας που τα τέµνει (όπως στα προηγούµενα σχήµατα), ενώ άλλα είναι συµµετρικά ως προς άξονα συµµετρίας που βρίσκεται έξω από αυτά. Για παράδειγµα: Πρόσεξε την κατεύθυνση των ψαριών θέση β θέση 3 Επίσης, στο διπλανό σχήµα βλέπουµε ότι ο αριθµός 2 (θέση ) έχει συµµετρικό του τον αριθµό 5 (θέση 2) ως προς τον άξονα α, ενώ οι αριθµοί 2 και 5 (θέσεις, 2 αντίστοιχα) έχουν ως συµµετρικό τους τους αριθµούς 5 και 2 (θέσεις 3, 4 αντίστοιχα) ως προς τον άξονα β. Προσοχή! Όταν ένα σχήµα είναι συµµετρικό ως προς έναν άξονα, η επιφάνεια κάθε τµήµατος είναι το µισό του όλου. Έτσι, αν γνωρίζουµε το εµβαδόν ολόκληρου του σχήµατος, διαιρώντας διά 2 µπορούµε να βρούµε το εµβαδόν κάθε τµήµατός του (και το αντίστροφο). Για παράδειγµα: «Πόσο είναι το εµβαδόν των κόκκινων τµηµάτων του τετραγώνου ΑΒΓ µε πλευρά 4 εκ.;». α θέση 2 θέση 4 Το τετράγωνο ΑΒΓ έχει εµβαδόν: (κάθετη πλευρά) x (κάθετη πλευρά) = = 4 εκ. x 4 εκ. = 6 τ.εκ. A Αν πάρουµε ως άξονα συµµετρίας του τη διαγώνιο ΑΓ (ή τη διαγώνιο Β ), το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα Α Γ και ΑΒΓ. Έτσι, για κάθε κόκκινο τµήµα στο ένα τρίγωνο υπάρχει το αντίστοιχο ίσο του λευκό τµήµα στο άλλο τρίγωνο και αντίστροφα. Άρα το εµβαδόν των κόκκινων τµηµάτων του τετραγώνου είναι το µισό του ολόκληρου εµβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ. ηλαδή: 6 τ. εκ. : 2 = 8 τ. εκ. 4 εκ. Β 4 εκ. Γ 92

25 2. Μοτίβα Α) Γεωµετρικό µοτίβο Γεωµετρικό µοτίβο λέγεται το γεωµετρικό στοιχείο ( )που επαναλαµβάνεται και δηµιουργεί ένα σχέδιο. Για να δηµιουργήσουµε ή να επεκτείνουµε ένα σχέδιο µε επαναλαµβανόµενα µέρη, αρκεί να γνωρίζουµε το µοτίβο του και τον τρόπο µε τον οποίο αυτό επαναλαµβάνεται. Β) Αριθµητικό µοτίβο Αριθµητικό µοτίβο λέγεται ο κανόνας που ορίζει τη σταθερή και επαναλαµβανόµενη σχέση ανάµεσα σε µια σειρά αριθµών. Η σειρά αυτή των αριθµών που δηµιουργήθηκε µε βάση κάποιον κανόνα λέγεται ακολουθία και κάθε αριθµός ονοµάζεται όρος της ακολουθίας. Για να δηµιουργηθεί η παραπάνω σειρά αριθµών, προσθέτουµε κάθε φορά 2 στον προηγούµενο αριθµό. Ο κανόνας είναι: Αριθµός + 2. Γ) Σύνθετο µοτίβο Σχ. Σχ. 2 Σχ. 3 Σχ. 4 Σύνθετο µοτίβο λέγεται το µοτίβο που ακολουθεί και γεωµετρικό και αριθµητικό µοτίβο. Σε ένα Ο ίδιος κανόνας ισχύει σύνθετο µοτίβο το γεωµετρικό µοτίβο διακρίνεται και για το παρακάτω συνήθως εύκολα. Για να βρούµε όµως το αριθµητικό σύνθετο µοτίβο. µοτίβο, καταγράφουµε τα δεδοµένα σε πίνακα και εξετάζουµεαν συνδέονται µεταξύ τους µε κάποιον κανόνα. Στο παράδειγµά µας ο κανόνας είναι: Προσθέτουµε 2 στο προηγούµενο σχήµα. Σχέδιο ο 2ο 3ο 4ο 5ο 6ο Αριθµός τετραγώνων

26 EΝΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Απαντήσεις των ασκήσεων. 235

27 η Ενότητα Ασκήσεων. Σωστή απάντηση είναι η Ε Α =, = 2, = 3, = 4 [Υπάρχουν πολλοί τρόποι λύσης. Για παράδειγμα: Αν συσχετίσουμε το άθροισμα της 2ης σειράς με το άθροισμα της 2ης στήλης, βρίσκουμε ότι το παγωτό κυπελλάκι κοστίζει 4 0 = 4. Από το άθροισμα της 2ης σειράς βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό ξυλάκι μαζί με το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζουν 0 : 2 = 5. Συνδυάζοντας το άθροισμα της ης στήλης με τη συνολική τιμή από το ένα παγωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι και με την τιμή από το ένα παγωτό κυπελλάκι, βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό σάντουιτς κοστίζει [ (5 + 4 )] : 2 = ( 9 ): : 2 = 2 : 2 =. Συνδυάζοντας το άθροισμα της 3ης στήλης με την τιμή από το ένα παγωτό σάντουιτς, βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό χωνάκι κοστίζει 4 = 3. Τέλος, συνδυάζοντας τη συνολική τιμή από το ένα παγωτό χωνάκι και το ένα παγωτό ξυλάκι με την τιμή από το ένα παγωτό χωνάκι μόνο του, βρίσκουμε ότι το ένα παγωτό ξυλάκι κοστίζει 5 3 = 2.] B.4 Σωστή απάντηση είναι η Ε) 2. [Στις σελίδες:, 0, (δύο φορές), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 00). Προσοχή! Το 50φυλλο τετράδιο έχει 00 σελίδες (2 σελίδες το φύλλο)]..5 Η α κορδέλα έχει μήκος 55 εκ. και η β 45 εκ. [Αν αφαιρέσουμε τα επιπλέον 0 εκ. της α κορδέλας από το συνολικό μήκος των δύο κορδελών, βρίσκουμε το διπλάσιο της β κορδέλας. Δηλαδή: μ. 0 εκ. = 00 εκ. 0 εκ. = 90 εκ. Οπότε η β κορδέλα είναι 90 εκ. : 2 = 45 εκ. και η α είναι 45 εκ. + 0 εκ. = 55 εκ. Αλλιώς: Αν προσθέσουμε 0 εκ. στο συνολικό μήκος των δύο κορδελών, βρίσκουμε το διπλάσιο της α κορδέλας: μ. + 0 εκ. = = 00 εκ. + 0 εκ. = 0 εκ. Οπότε η α κορδέλα είναι 0 εκ. : 2 = 55 εκ. και η β είναι 55 εκ. 0 εκ. = 45 εκ. Σημαντική παρατήρηση: Από τα παραπάνω προκύπτει γενικά ότι: α) Αν από το άθροισμα δύο αριθμών αφαιρέσουμε τη διαφορά τους, βρίσκουμε το διπλάσιο του μικρότερου αριθμού. β) Αν στο άθροισμα δύο αριθμών προσθέσουμε τη διαφορά τους, βρίσκουμε το διπλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού.].6 Σωστή απάντηση είναι η Δ) : 7. [Ξεκινώντας από το 9 και κινούμενοι δεξιόστροφα, έχουμε διαδοχικά: 9 x 6 = : 9 = = 2 2 : 2 = 6 6 x 8 = = = 63 και 63 : 7 = 9.].7 Σωστή απάντηση είναι η Δ) 0. [Αρχικά το εισιτήριο ήταν.000 : 50 = = 20. Στη συνέχεια έγινε = 25. Έτσι, στην εκδρομή συμμετείχαν.000 : : 25 = 40 μαθητές άρα απουσίασαν = 0 μαθητές.] 236

28 .8 Έχουμε: Ρακέτα =,75, Καραβάκι = 2,75, Μπάλα = 4,25. [Από την τρίτη σχέση βρίσκουμε ότι το καραβάκι κοστίζει 3,25 0,5 = 2,75. Αντικαθιστώντας την τιμή από το καραβάκι στη δεύτερη σχέση, βρίσκουμε ότι η μπάλα κοστίζει 2,75 +,5 = 4,25. Τέλος, αντικαθιστώντας την τιμή της μπάλας στην πρώτη σχέση, βρίσκουμε ότι η ρακέτα κοστίζει: 4,25 2,5 =,75.].9 A. Σωστή απάντηση είναι η Γ) 20. [Όλα τα παιδιά του σχολείου είναι = 220 και τα μισά 220 : 2 = 0. Άρα τα αγόρια που έχουν ένα ψαράκι στο σπίτι τους είναι: 0 90 = 20.] Β. Σωστή απάντηση είναι η Β) 2. [Ο Φοίβος έχει 20 x 0 = 200 βόλους. Ο Παύλος έχει 50 x 8 = 400 βόλους. Δηλαδή ο Παύλος έχει = 200 βόλους περισσότερους. Άρα πρέπει να δώσει τους μισούς βόλους στον Φοίβο, για να έχουν και οι δύο τον ίδιο αριθμό βόλων. Θα δώσει 200 : 2 = 00 βόλους ή 00 : 50 = 2 κουτιά. Αλλιώς: Συνολικά τα δύο παιδιά έχουν: (20 x x 0) + (50 x 8) = = 600 βόλους. Για να έχουν τον ίδιο αριθμό βόλων, το καθένα πρέπει να έχει 600 : 2 = 300 βόλους. Άρα ο Παύλος πρέπει να δώσει στον Φοίβο = 00 βόλους ή 00 βόλ. : 50 βόλ. = = 2 κουτιά. Έτσι, ο Φοίβος θα έχει = 300 βόλους και ο Παύλος = 300 βόλους.].o Οι σωστές απαντήσεις είναι: E) 2, 2 Γ) 4, 3 Ε) 2, 4 Α) 2, 5 Ε) 2 [Το χρωματισμένο μέρος των τετραγώνων, 2, 3 φαίνεται καλύτερα αν χωρίσουμε τα τετράγωνα σε 8 ίσα μέρη, όπως το τετράγωνο 4. Δηλαδή: Σ αυτό το τετράγωνο τα δύο λευκά τρίγωνα καλύπτουν το του τετραγώνου. Άρα το χρωματισμένο μέρος 2 του τετραγώνου καλύπτει το άλλο μισό του.. α) Το μοτίβο είναι: β) [Το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 4 θέσεις (πολλαπλάσια του 4). Έτσι, έχουμε: 23 : 4 = 5 και περισσεύουν 3. Άρα στην 23η θέση θα βρίσκεται το 3ο κυκλάκι. 33 : 4 = 8 και περισσεύει. Άρα στην 33η θέση θα βρίσκεται το ο κυκλάκι. 82 : 4 = 20 και περισσεύουν 2. Άρα στην 82η θέση θα βρίσκεται το 2ο κυκλάκι. 00 : 4 = 25. Άρα στην 00ή 23η 33η 82η 00ή 29η 99η Θέσεις Κυκλάκια ] θέση θα βρίσκεται το 4ο κυκλάκι. 29 : 4 = 32 και περισσεύει. Άρα στην 29η θέση θα βρίσκεται το ο κυκλάκι. 99 : 4 = 49 και περισσεύουν 3. Άρα στην 99η θέση θα βρίσκεται το 3ο κυκλάκι.].2 Σωστές απαντήσεις είναι: α) Β) 4, β) Β) 40, γ) Β) 4.00 [Αναλυτικά: Για το πρώτο σπιτάκι χρειά- 237

29 ζομαι 5 σπιρτόξυλα, ενώ για τα υπόλοιπα χρειάζομαι 4 σπιρτόξυλα για το καθένα (αφού ως διαδοχικά έχουν μία κοινή πλευρά ανά δύο συνεχόμενα). Έτσι, για να σχηματίσω: α) 0 όμοια σπιτάκια, χρειάζομαι (5 x x ) + (4 x 9) = = 4 σπιρτόξυλα. β) 00 όμοια σπιτάκια, χρειάζομαι (5 x ) + + (4 x 99) = = 40 σπιρτόξυλα. γ).000 όμοια σπιτάκια, χρειάζομαι (5 x ) + + (4 x 999) = = 4.00 σπιρτόξυλα. Αλλιώς: Για κάθε σπιτάκι χρειάζομαι 4 σπιρτόξυλα, εκτός από το πρώτο, που χρειάζεται σπιρτόξυλο παραπάνω. Έτσι, για να σχηματίσω: α) 0 όμοια σπιτάκια, χρειάζομαι + (4 x 0) = + 40 = 4 σπιρτόξυλα. β) 00 όμοια σπιτάκια, χρειάζομαι + (4 x x 00) = = 40 σπιρτόξυλα. γ).000 όμοια σπιτάκια, χρειάζομαι + (4 x x.000) = = 4.00 σπιρτόξυλα.].3 α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 48 εκ. [Η πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ είναι 72 εκ. : : 3 = 24 εκ. και η πλευρά του καθενός από τα εννιά ισόπλευρα τρίγωνα είναι: 24 εκ. : : 3 = 8 εκ. ή 72 εκ. : 9 = 8 εκ. Επομένως η περίμετρος του χρωματισμένου κανονικού (ισόπλευρου) εξαγώνου είναι 8 εκ. x 6 =48 εκ.] β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 3. [Σχηματίζονται: 9 μικρά τρίγωνα (ΑΕΔ, ΔΚΙ, ΔΕΚ, ΕΚΖ, ΙΘΓ, ΙΚΘ, ΚΗΘ, ΚΖΗ, ΖΒΗ). 3 μεγαλύτερα τρίγωνα από 4 τριγωνάκια το καθένα (ΑΖΙ, ΔΗΓ, ΕΒΘ). πολύ μεγάλο τρίγωνο από 9 τριγωνάκια (ΑΒΓ). Συνολικά: = 3 τρίγωνα.].4 Α [Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 0, το μετατρέπουμε σε 9.] Β [Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το 2, το μετατρέπουμε σε 3.].5 Σωστές απαντήσεις είναι: α) Ε) Από οποιοδήποτε μαύρο τετραγωνάκι, β) Δ) 90 εκ. [Η πλευρά από κάθε τετραγωνάκι είναι 30 εκ. : 4 = 7,5 εκ., ενώ η πλευρά του μωσαϊκού είναι 7,5 εκ. x 3 = 22,5 εκ. Άρα η περίμετρος του μωσαϊκού είναι 22,5 εκ. x 4 = = 90 εκ. Αλλιώς: 7,5 εκ. x 2 = 90 εκ.]..6 Σωστή απάντηση είναι η Δ). [Για ευκολία χωρίζουμε όλα τα τετράγωνα πλακάκια του σχήματος σε τριγωνάκια (σε τέταρτα). Δηλαδή: 4 x 6 = 64 τριγωνάκια (τέταρτα). Το χρωματισμένο μέρος του σχήματος πρέπει να είναι το μισό, δηλαδή 64 : 2 = 32 τριγωνάκια (τέταρτα). Χρωματισμένα είναι 3 τριγωνάκια. Άρα πρέπει να χρωματιστεί ακόμη 32 3 = τριγωνάκι (τέταρτο). Δηλαδή:. 2η Ενότητα Ασκήσεων 2. α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) Δηλαδή: = β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 900. Δηλαδή: = γ) Σωστή απάντηση είναι η Β) ο Γιάννης. Δηλαδή: ] 238

30 Νίκος = =.400 Γιάννης = = Αφού >.400, νίκησε ο Γιάννης. δ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 36. [Ξεκινώντας από την κορυφή του πύργου-στόχου, βλέπουμε ότι για το κάθε πάτωμα-στρώση χρειάζεται ο αντίστοιχος αριθμός από τενεκεδάκια. Έτσι, έχουμε: ο πάτωμα τενεκεδάκι 2ο πάτωμα 2 τενεκεδάκια 3ο πάτωμα 3 τενεκεδάκια 4ο πάτωμα 4 τενεκεδάκια 5ο πάτωμα 5 τενεκεδάκια 6ο πάτωμα 6 τενεκεδάκια 7ο πάτωμα 7 τενεκεδάκια 8ο πάτωμα 8 τενεκεδάκια Συνολικά: 36 τενεκεδάκια.] 2.2 Σωστή απάντηση είναι η Δ). [Γιατί: 9 9 και = =9.] 2.3 α) Σωστή απάντηση είναι η Ε) 2. [Τα 2 κυβάκια βρίσκονται στις 2 ακμές του κύβου, δηλαδή 4 στην η στρώση, 4 στη 2η στρώση και 4 στην 3η στρώση.] β) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 6. [Τα 6 κυβάκια βρίσκονται στις 6 έδρες του κύβου στο κεντρικό κυβάκι. Αλλιώς: στην η στρώση, 4 στη 2η στρώση και στην 3η στρώση, από κάτω.] γ) Σωστή απάντηση είναι η Γ) 9. [Από τα 9 κυβάκια τα 8 κυβάκια βρίσκονται στις 8 κορυφές του κύβου, δηλαδή 4 στην η στρώση και άλλα 4 στην 3η στρώση, και το άλλο κυβάκι βρίσκεται στη μεσαία στρώση, στο εσωτερικό του κύβου, στην «καρδιά» του, γι αυτό και δε φαίνεται.] 2.4 α) Σωστή απάντηση είναι η Δ) 360 εκ. β) Σωστή απάντηση είναι η Ε) τ.εκ. [α) Συγκρίνοντας το μήκος του Α κασκόλ με το μήκος του Β κασκόλ, βρίσκουμε ότι το μήκος του ενός ορθογώνιου κομματιού (κατά το οποίο είναι μεγαλύτερο το Β κασκόλ) είναι 20 εκ. 80 εκ. = 40 εκ. Συγκρίνοντας το μήκος του Β κασκόλ με το μήκος του Γ κασκόλ, βρίσκουμε ότι το μήκος του Γ κασκόλ (που είναι κατά ένα ορθογώνιο κομμάτι μεγαλύτερο από το Β κασκόλ) είναι 20 εκ εκ. = 60 εκ. Αν από το μήκος του Α κασκόλ αφαιρέσουμε το μήκος του ορθογώνιου κομματιού του, βρίσκουμε ότι η πλευρά κάθε τετράγωνου κομματιού (και το πλάτος κάθε κασκόλ) είναι (80 εκ. 40 εκ.) : : 2 = 40 εκ. : 2 = 20 εκ. Άρα η περίμετρος του Γ κασκόλ είναι (μήκος + πλάτος) x 2 = = (60 εκ εκ.) x 2 = 80 εκ. x 2 = 360 εκ. β) Το εμβαδόν του Γ κασκόλ είναι μήκος x x πλάτος = 60 εκ. x 20 εκ. = τ.εκ.] 2.5 Α [Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το πρώτο 6, το μετατρέπουμε σε 9.] Αλλιώς: Α [Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το δεύτερο 6 και τοποθετώντας το στο πρώτο 6, μετατρέπουμε το δεύτερο 6 σε 5 και το πρώτο 6 σε 8.] Β [Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο πρώτο, μετατρέπουμε το + σε και το πρώτο σε 7.] Αλλιώς: Β [Μετακινώντας ένα ξυλάκι από το + και τοποθετώντας το στο δεύτερο, μετατρέπουμε το + σε και το δεύτερο σε 7.] 239