ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Ηλεκτρονικη και 1/65 Πληροφορίας

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 /65

2 Σήματα- συμβολισμοί x(), x(-),x(), x(),. x(){,-2,-3,-,,, 2, 3, 4, } x(){x()}{,x(-),x(), x(),.} x(){,-2,-3, -,,, 2, 3, 4, } 2/65

3 Συμβολισμοί (συνέχεια) x()? x(5)? x(-)? x(2)? /65

4 Βασικές ψηφιακές πράξεις Πρόσθεση {x ()}+{x 2 ()}{x ()+x 2 ()} Πολλαπλασιασμός Κλιμάκωση Μετατόπιση Αναδίπλωση {x ()}.{x 2 ()}{x ().x 2 ()} a{x()}{ax()}, x(/n) y(){x(-k)}, {x(+k)} y(){x(-)} Iσχύς σήματος E x Σx()x * ()Σ x() 2 Συσχέτιση - DFT Συνέλιξη φιλτράρισμα 4/65

5 Μετατόπιση y()x(- d ) x() x(-2) /65

6 Αναδίπλωση y() {x(-)} /65

7 Συσχέτιση Πόσο μοιάζουν οι ακολουθίες x() y()??? y() x() 7/65

8 Συσχέτιση Η ετεροσυσχέτιση r xy (k) των ακoλουθιών x() και y() είναι μια ακολουθία που ορίζεται ως εξής: Εάν y()x() η συσχέτιση r xx ονομάζεται αυτοσυσχέτιση r xy (k) x()y( + k) x() r () x()x() xx y() ryy () y()y() 5 x()*y() rxy () x()y() 2.5 8/65

9 Συσχέτιση (συνέχεια) συντελεστής συσχέτισης ρ xy (k) είναι η τιμή της συσχέτισης κανονικοποιημένη ως προς τις τιμές r xx () και r yy () που είναι και οι μέγιστες τιμές των r xx (k) και r yy (k): ρ xy ( k) [r xx r Συνήθεις εφαρμογές: αποκάλυψη της περιοδικότητας σε σήματα με xy () r θόρυβο, εύρεση της καθυστέρισης σε δύο όμοια σήματα (πχ. Radar) (k) yy ()] / 2 9/65

10 Συσχέτιση -Τυχαίοι αριθμοί 4 2 Η ακολουθία ιστόγραμμα συσχέτιση /65

11 Συσχέτιση παράδειγμα (radar).5 x().5 y() y()+oise συσχέτιση r xy (2) Άσκηση Να «υλοποιηθεί» το παράδειγμα αυτό (m-file) Το μέγιστο της συσχέτισης είναι στο r xy (2). Δηλ το σήμα y() έχει 2 χρονικές στιγμές καθυστέρησης σχετικά με το x() 5 /65

12 Βασικά ψηφιακά σήματα δ() Μοναδιαία κρούση (ώθηση) u() Μοναδιαία βαθμίδα Εκθετική ακολουθία πραγματικών x()a ή μιγαδικών x()e (σ+jω) τιμών Ημιτονικό σήμα 2/65

13 δ() Μοναδιαία κρούση (ώθηση) DSP6 δ() δ() δ( o ) o o δ(- o ) ο 3 3/65

14 δ() Μοναδιαία κρούση παράδειγμα Να σχεδιασθούν τα σήματα:.5 x()δ()+δ(-)+δ(-2)+δ(-3) x()2δ()+3δ(-)-δ(-3) /65

15 δ() και x() Μία οποιαδήποτε ακολουθία x() μπορεί να παρασταθεί σαν ένα σταθμικό άθροισμα συναρτήσεων δ() x() k x(k )δ( k ) x() 3 2 x()δ()+3δ(-)+2δ(-2)+δ(-3) 2 4 5/65

16 Επεξεργασία της ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ ΚΕΦ 2 ΔΠΜΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ 6/65 u() - Μοναδιαία βαθμίδα u(-2) < u() ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( u u δ και m δ u m Σχέση u() και δ() : < ο ο ο ) u( u()

17 Μοναδιαία βαθμίδα -παράδειγμα u() Να σχεδιασθούν: u(- ) x()u(-) x()u(2-) u(2- ) 3 7/65

18 παράδειγμα (συνέχεια) Να σχεδιασθεί το σήμα x()u()-u(-2) 2 x() δ(m) δ(m) m m m δ(m) δ() + δ( ) u() u(-2) Γραφικά: x() 8/65

19 παράδειγμα (συνέχεια) Να σχεδιασθεί το σήμα x()u()u(2-) u() Γραφικά: u(2-) x() 3 9/65

20 παράδειγμα (συνέχεια) Να σχεδιασθεί το σήμα x()u(-)+u(-2) u(- ) u(-2) x() 3 2/65

21 Εκθετική συνάρτηση (ακολουθία) DSP8.m Πραγματικών x()α Ή μιγαδικών τιμών x()α (σ+jω).8.6 x /65

22 Ημιτονικό σήμα x()acos(ω ο ) DSP7.m Η ψηφιακή συχνότητα ω μετρείται σε rad/δείγμα Η αναλογική Ω μετρείται σε rad/sec x ( ) x( t) t T Αcos(Ωt) s t T s Αcos( ΩΤ s ) Α cos(ω) x() Τ s ωωτ s ω2πf/f s 3 22/65

23 Περιοδικότητα ημιτονικού σήματος x() Υπάρχει περιοδικότητα?? Αe jω Αe j(+n)ω e j(nω) e j2πm Nω2πm ω2πm/n. Εάν ω/2π δεν είναι ρητός αριθμός η μεν περιβάλλουσα αντιστοιχεί στο ημιτονικό σήμα, τα σημεία όμως του ψηφιακού σήματος δεν παρουσιάζουν περιοδικότητα. 23/65

24 Περιοδικότητα ημιτονικού σήματος - παραδείγματα x()συν(2) Εδώ είναι ω2 2π 2π π άρρητος ω 2 μή περιοδικό x()συν(3π/5) ω 2π ω3π/5 3π / 5 3 2π 24/65

25 Ψηφιακά Συστήματα (Επεξεργαστές) x() διέγερση L[. ] y() απόκριση Γραμμικά συστήματα Αμετάβλητα με το χρόνο Αιτιατά Ευσταθή 25/65

26 Ψηφιακά Συστήματα (παράδειγμα) Τι είναι ένα σύστημα??? Παράδειγμα: Φίλτρο μέσης τιμής 3 σημείων L[. ] Πως περιγράφεται?? Παράδειγμα y() x() + x( ) + 3 x( 2) 2 26/65

27 Γραμμικά Χρονικά Αμετάβλητα Συστήματα (ΓΧΑ LTI) 27/65

28 Γραμμικά (liear) συστήματα Ορισμός: L[a x ()+a 2 x 2 ()]a L[x ()]+a 2 L[x 2 ()] για κάθε a, a 2, x, x 2 x () Σύστημα y () x 2 () Σύστημα y 2 () x ()+x 2 () Σύστημα y ()+y 2 () 28/65

29 Γραμμικά (liear) συστήματα (παράδειγμα ) Το σύστημα που περιγράφεται από την Ε.Δ y()3x()-4x(-) είναι γραμμικό διότι: Για x y 3x()-4x(-) Για x2 y2 3x2()-4x2(-) Για xx +x2 y3[x()+x2()] 4 [x(-)+x2(-)] [3x()-4x(-)] +[3x2()-4x2(-)] y()+y2() 4 29/65

30 Γραμμικά συστήματα (παράδειγμα 2) x() Σύστημα y() [x()] 2 Το σύστημα αυτό δεν είναι γραμμικό διότι: Για x () y () [x ()] 2 Για x 2 () y 2 () [x 2 ()] 2 Για x()x ()+x 2 () y() [x ()+ x 2 ()] 2 Αλλά : [x ()] 2 +[x 2 ()] 2 [x ()+ x 2 ()] 2 Διατήρηση της συχνότητας (αντι)παράδειγμα: x()si(ω) y() si 2 (ω) ½ +½ cos(2ω) 3/65

31 Συστήματα χρονικά αμετάβλητα (time-ivariat systems) Oρισμός: Εάν y()l{x()} y(-k)l{x(-k)} Σχηματικά: x() Σύστημα y() x(-κ) Σύστημα y(-κ) 3/65

32 Άλλες ιδιότητες Αιτιατότητα : h() για < Ευστάθεια: φραγμένη είσοδος φραγμένη έξοδος BIBO stability αναγκαία και ικανή συνθήκη: h() < /65

33 Πως περιγράφονται τα LTI συστήματα 33/65

34 Περιγραφή ΓΧΑ (LTI) συστημάτων Τα συστήματα που θα περιγράψουμε θεωρούμε ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητα της χρονικής μετατόπισης (liear timeivariat) ΓΧΑ (LTI) Περιγράφονται: Με την κρουστική απόκριση - συνέλιξη Με την εξίσωση διαφορών Με την συνάρτηση μεταφοράς (πεδίο z) 34/65

35 Εξισώσεις διαφορών και διαφορικές εξισώσεις εισαγωγικά Oι Ε.Δ μπορεί να θεωρηθεί ότι προέρχονται από Διαφ. Εξισώσεις Όπως ένα ψηφιακό σύστημα από ένα αναλογικό Παράδειγμα Το RC κύκλωμα περιγράφεται από την Διαφ. Εξίσωση: Προσέγγιση της παραγώγου: x(t) dy(t) RC + y(t) x(t) dt y() y( ) RC + y() T Που μπορεί βέβαια να γραφεί σαν ΕΔ ως εξής: y()ay(-)+bx() R x() C + y(t) _ 35/65

36 Τι είναι δ() Σύστημα h() 36/65

37 Υπολογισμός της h() Άμεσα: από την εξίσωση διαφορών Παράδειγμα y().5y(-)-.85y(-2)+x() Αρα για x()δ() y()h() h()δ() h().5h()+.5 h(2).5 h()-.85h(). Παρατήρηση:.5 x x.4 Δεν είναι υποχρεωτικό να βρίσκεται η h() από την εξίσωση διαφορών. δ() h() 37/65

38 38/65

39 y() Συνέλιξη - εισαγωγικά x() h() y() + k x(k)h( k) αφορά ΓΧΑ-LTI συστήματα x ()+x 2 () Σύστημα y ()+y 2 () x() k x(k )δ( k ) Σύστημα y() k x(k)h( k) 39/65

40 Συνέλιξη ΔΗΛΑΔΗ Για συστήματα ΓΧΑ (LTI) η έξοδος βρίσκεται ως η συνέλιξη της εισόδου με την κρουστική απόκριση: y() κ x(k)h( k) 4/65

41 Γραφική θεώρηση της Συνέλιξης y() κ x(k)h( k) x(k) h(k) h(-k) x(k)*h(-k) y() x(k)h( k) κ 4/65

42 Γραφική θεώρηση της Συνέλιξης y() κ x(k)h( k) x(k) h(-k) x(k)*h(-k) y() x(k)h( κ k) /65

43 Γραφική θεώρηση της Συνέλιξης y() κ x(k)h( k) 2 y( ) x(k )h( 2 k ) (. 5) κ... y( 7 ) Μήκος συνέλιξης μ+ν- 43/65

44 υπολογισμός συνέλιξης - παράδειγμα x() h() x(k) h(-k) y()x.3.3 h(-k) y()x.25+x.3.55 h(2-k) y(2)x.2+x.25+x.3 y(3)..9 y(4)...85 y(5) y(6) y(3).5x /65

45 Παράδειγμα 2 Δίνεται x()u()-u(-) και h().9 u() Ζητείται η απόκριση y() H συνέλιξη των δύο σημάτων είναι 9 k y() ()(.9) u( k).9.9 k 9 k k u( k) < Στην περίπτωση αυτή u(-k) για κ 9 y() <9 Εχουμε u(-k) για κ y() (+ ) k +.9 (.9 k ) 9 Στην περίπτωση αυτή u(-k) για κ 9 y().9 9 k.9 k.9 9 k (.9 ) k (.9 ) 45/65

46 Υπολογισμός συνέλιξης με πίνακα h Χ To άθροισμα σε κάθε λωρίδα αποτελεί τα σημεία της y()x()*h() h().3, h() h(3).25 46/65

47 Απόδειξη (ερμηνεία) της συνέλιξης - σύνοψη Βασίζεται στα εξής: Κάθε σήμα αναλύεται σε άθροισμα x() k x(k) δ( k) Επειδή το σύστημα είναι ανεξάρτητο του χρόνου για κάθε επιμέρους απόκριση ισχύει L[δ()]h() L[δ(-k)]h(-k) x(k)δ(-k) L[. ] x(k)h(-k) Επειδή το σύστημα είναι γραμμικό για το άθροισμα των όρων ισχύει y() x(k)h( k) 47/65

48 συνέλιξη - κάτι ακόμη.. Αν και h() x() γιά < γιά < Τα όρια της συνέλιξης γίνονται: y() + k + k x(k)h( x(k)h( k) k) k x(k)h( k) 48/65

49 «Τι είναι Συνέλιξη;» Παράδειγμα: φίλτρο μέσης τιμής y() 9 k x( k ) 9 k h(k )x( k ) Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ ΚΕΦ 2 ΔΠΜΣ Επεξεργασία της 49/65

50 Συνδυασμός Ψηφιακών Συστημάτων Σε σειρά: y() h ()* h 2 ()*x() h 2 ()* h ()* x() (προσεταιριστική ιδιότητα) x() h () h 2 () y() Παράλληλα: y() [h ()+ h 2 ()]*x() h ()*x()+ h 2 ()*x() (επιμεριστική ιδιότητα) x() h () h 2 () y() 5/65

51 αποσυνέλιξη Εστω y()x()*h() x() x() x(2)..x(k) h() h() h(2)..h(k) x() x() x(2)..x(k) h(k).. h(2) h() h() h(k).. h(2) h() h() h(k).. h(2) h() h() y()x()h() y()x()h()+x()h() y(2)x()h(2)+x()h()+x(2)h() h(k).. h(2) h() h() y()x()h()+x()h(-)+. h () x() y() h () x() { y() x()h() } h() x() y() k x( k)h(k ) 5/65

52 Παράδειγμα x y h () x() y() 2 / 2 { y() x()h() } { 7 3 } 2 h() x() 2 { y(2) x()h() x(2)h() } { } 2 h(2) x() 2 { y(3) x(3)h() x(2)h() x()h(2) } { } h(3) x() 2 Τελικά h /65

53 53/65

54 γενική εξίσωση διαφορών N M a k y( k) bmx( m) k m y()-.5y(-)+.85y(-2)x() ισοδύναμα γράφεται y() M m b N m x( m) a ky( k) k y().5y(-)-.85y(-2)+x() 54/65

55 Η εξίσωση διαφορών δίνει την πλήρη περιγραφή του συστήματος Οι αρχικές συνθήκες y(-k) γενικά είναι μη μηδενικές 55/65

56 παράδειγμα y()-y(-)+.5y(-2)x() διέγερση: x()si(2π/6+π/6) u() αρχικές συνθήκες y(-)y(-2) 2 το σήμα εισόδου x() Η απόκριση y() /65

57 Οι δύο αποκρίσεις 2 y() η μερική λύση που είναι ένα ημίτονο με πλάτος2 και η λύση της ομογενούς 2 2 y(μερική) - y(ομογενής) > 57/65

58 Μεταβατικές αποκρίσεις Η λύση της ομογενούς Ε.Δ σχετίζεται με τα φαινόμενα που εμφανίζονται στην αρχή (ή στο τέλος) ενός σήματος Ουσιαστικά αυτή είναι η μεταβατική απόκριση και "επισκιάζει" την σταθερή απόκριση που συνήθως είναι και η επιθυμητή x() y() Το σήμα του σχήματος (α) είναι ένα συνημίτονο με περιόδους (2 σημεία) που εμφανίζεται την χρονική στιγμή 2. Όπως φαίνεται στο (β) η απόκριση είναι ουσιαστικά μόνο η μεταβατική απόκριση που εμφανίζεται στην αρχή και στο τέλος του σήματος. 58/65

59 Εξισώσεις διαφορών και διαγράμματα βαθμίδων Μία εξίσωση διαφορών παριστάνεται και με ένα διάγραμμα βαθμίδων όπου τα στοιχεία είναι αθροιστές, πολλαπλασιαστές και καθυστερητές y().8y(-)+x() x() y().8 T 59/65

60 Άλλο παράδειγμα Ποιό είναι το διάγραμμα βαθμίδων για την Ε.Δ: y() 2 [x() + x( )] x() T / 2 y() 6/65

61 Κρουστική απόκριση και εξ. διαφορών Εάν δίνεται η h() μπορεί να βρεθεί η Ε.Δ?? Παράδειγμα Να βρεθεί η Ε.Δ όταν δίνεται η κρουστική απόκριση h()δ()+.5δ(-)+.δ(-2) Αντικαθιστώντας h() y() και δ() x() έχουμε: y()x()+.5x(-)+.x(-2) 6/65

62 Παράδειγμα 2 Δίνεται η h()a u() Να βρεθεί η y()~x() h(-)a - u(-) ah(-)a u(-) h()-ah(-)a u()- a u(-) a [u()-u(-)] a δ() δ() (?) y()-ay(-) x() 62/65

63 Βηματική απόκριση μπορεί να υπολογισθεί: από την εξίσωση διαφορών θέτοντας x()u() από την κρουστική απόκριση δ() βάσει της σχέσεως u( ) δ ( m) m s( ) m h( m) 63/65

64 FIR (Fiite Impulse Respose) y() M b m m x( m) h() IIR (Ifiite Impulse Respose) y() M m b N m x( m) aky( k) k h() 64/65