4η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ1. Ασκήσεις 4 ου Κεφαλαίου

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ1. Ασκήσεις 4 ου Κεφαλαίου"

Ὅμηρος Πρωτονοτάριος
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 4η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ Ασκήσεις 4 ου Κεφαλαίου. Ένας επίπεδος πυκνωτής αποτελείται από δύο παράλληλους οπλισμούς, οι οποίοι απέχουν μεταξύ τους.8 mm και έχουν εμβαδόν 7.6 cm ο καθένας. Μεταξύ τους υπάρχει ατμοσφαιρικός αέρας. Σε αυτούς εφαρμόζεται διαφορά δυναμικού V. Υπολογίστε: (α) το ηλεκτρικό πεδίο μεταξύ των οπλισμών, (β) την επιφανειακή πυκνότητα φορτίου, (γ) τη χωρητικότητα και (δ) το φορτίο κάθε οπλισμού. (α) Η διαφορά δυναμικού μεταξύ των οπλισμών του πυκνωτή είναι: ΔV = Ed, επομένως, V V 4 Ε = = =. V / m. 3 d. 8 m (β) Γνωρίζουμε ότι το ηλεκτρικό πεδίο μεταξύ των οπλισμών του πυκνωτή είναι: E = σ/ε ο, επομένως, 4 8 σ= εε σ = / Nm. V / m = / m. ο (γ) Επίσης, γνωρίζουμε ότι η χωρητικότητα ενός επίπεδου πυκνωτή είναι: ( A / Nm )( m ) = ε ο = = F. 3 d. 8 m (δ) Το φορτίο κάθε οπλισμού είναι: = V = F V = 74.7 F.

2 . (α) Βρείτε την ύναμη χωρητικότητα των πυκνωτών της εικόνας. (β) Βρείτε το φορτίο κάθε πυκνωτή, και (γ) τη διαφορά δυναμικού στα άκρα κάθε πυκνωτή. (α) Αντικαθιστούμε τον παράλληλο συνδυασμό των πυκνωτών 6 μf και μf με την ύναμη τους που είναι: βγ = + 8 = 8 μf. Έπειτα προκύπτουν τρείς πυκνωτές των 8 μf που είναι σε σειρά. Άρα: 3 8 μf = + + = = =. 67 μf. 8 μf 3 αβ βγ γδ (β) Οι τρείς πυκνωτές των 8 μf που είναι σε σειρά έχουν το ίδιο φορτίο. Άρα: = = = V =. 67 μ 9 V = 4 μ. αβ βγ γδ Όμως, η διαφορά δυναμικού μεταξύ των σημείων β και γ είναι: βγ 4 μ V βγ = = = 3 V. βγ 8 μf Το φορτίο σε κάθε πυκνωτή του αρχικού κυκλώματος είναι: 8 = αβ = 4 μ 8 = γδ = 4 μ = ΔV βγ = ( μf)(3 V) = 6 μ 6 = 6 ΔV βγ = (6 μf)(3 V) = 8 μ (γ) Βρήκαμε στο προηγούμενο ερώτημα ότι: ΔV βγ = 3 V. Άρα: ΔV = ΔV 6 = ΔV βγ = 3 V. Οι δύο πυκνωτές των 8 μf του αρχικού κυκλώματος θα έχουν την ίδια διαφορά δυναμικού στα άκρα τους λόγω της ίδιας χωρητικότητας και του ίδιου φορτίου. Άρα: 8 4 μ V 8 = = = 3 V. 8 8 μf Επομένως, η διαφορά δυναμικού είναι ίδια σε όλους τους πυκνωτές.

3 3. Δύο πυκνωτές = 8 μf και = 36 μf, είναι συνδεδεμένοι σε σειρά, ενώ στα άκρα των δύο πυκνωτών έχει συνδεθεί μια μπαταρία V. Βρείτε (α) την ύναμη χωρητικότητα και (β) την ενέργεια που αποθηκεύεται σε αυτήν. (γ) Βρείτε την ενέργεια που αποθηκεύεται σε κάθε πυκνωτή ξεχωριστά. (δ) Δείξτε ότι το άθροισμα αυτών των δύο τιμών ενέργειας είναι το ίδιο με την ενέργεια που βρήκατε στο δεύτερο σκέλος. (ε) Η ισότητα αυτή ισχύει πάντα ή εξαρτάται από το πλήθος των πυκνωτών και των χωρητικοτήτων τους. (στ) Αν οι ίδιοι πυκνωτές ήταν συνδεδεμένοι παράλληλα, πόση θα έπρεπε να είναι η διαφορά δυναμικού στα άκρα τους ώστε η συνδεσμολογία αυτή να αποθηκεύει το ίδιο ποσό ενέργειας με εκείνο του πρώτου σκέλους; (ζ) Σε αυτή την περίπτωση, σε ποιον πυκνωτή αποθηκεύεται περισσότερη ενέργεια, στον ή στον ; (α) Η ύναμη χωρητικότητα είναι: = + = μf. (β) Η ενέργεια που αποθηκεύεται στην ύναμη χωρητικότητα είναι: 6 4 ( ) ( F )( V ) 8 64 U = V U = =. J. (γ) Εφόσον οι πυκνωτές και είναι σε σειρά θα έχουν το ίδιο φορτίο. Άρα: = = ολικό = V = ( μ)( V) = 44 μ. Επομένως, η ενέργεια που αποθηκεύεται σε κάθε ένα από τους δύο πυκνωτές είναι: 4 ( 44 ) ( ) 4 ( 44 ) ( ) 4 U = U = = J. () 8 F 6 4 U = U = =. 88 J. 36 F 6 (δ) Διαπιστώνουμε ότι: U + U = U. (ε) Η συνολική ενέργεια που αποθηκεύεται στον ύναμο πυκνωτή θα είναι πάντα ίση με το άθροισμα των ενεργειών που αποθηκεύονται στους δύο σε σειρά πυκνωτές. (στ) Αν οι πυκνωτές και είναι παράλληλα συνδεδεμένοι, τότε: = + = 8 μf + 36 μf = 54 μf. Αν η συνολική ενέργεια που αποθηκεύεται στον παράλληλο συνδυασμό είναι ίση με την ενέργεια που βρέθηκε στο ερώτημα (β), τότε προκύπτει ότι: ( ) 4 (. ) U 8 64 J U = V V = = = V F (ζ) Επειδή η διαφορά δυναμικού στα άκρα των πυκνωτών είναι ίδια, όταν αυτοί συνδέονται παράλληλα, και εφόσον U = ( V ), δηλαδή η δυναμική ενέργεια ανάλογη της χωρητικότητας, ο πυκνωτής με την μεγαλύτερη χωρητικότητα, δηλαδή ο, θα αποθηκεύει περισσότερη ενέργεια.

4 4. Δύο μεγάλες παράλληλες μεταλλικές πλάκες, καθεμιά με εμβαδό Α, έχουν οριζόντιο προσανατολισμό και χωρίζονται η μια από την άλλη από απόσταση 3d. Οι πλάκες, οι οποίες αρχικά είναι αφόρτιστες, συνδέονται με ένα γειωμένο αγώγιμο σύρμα. Στη συνέχεια, εισάγεται μια τρίτη πανομοιότυπη πλάκα με φορτίο μεταξύ των δύο αρχικών πλακών, παράλληλα προς αυτές και σε απόσταση d από την επάνω πλάκα. (α) Πόσο είναι το επαγόμενο φορτίο που θα εμφανιστεί σε καθεμιά από τις δύο αρχικές πλάκες; (β) Πόση είναι η διαφορά δυναμικού μεταξύ της μεσαίας πλάκας και καθεμιάς από τις υπόλοιπες πλάκες; (α) Μπορούμε να μοντελοποιήσουμε το σύστημα με τις μεταλλικές πλάκες ως δύο πυκνωτές συνδεδεμένους παράλληλα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο πάνω πυκνωτής έχει χωρητικότητα = εα, d εα ενώ ο κάτω πυκνωτής έχει χωρητικότητα =. d Για το συνολικό φορτίο θα ισχύει: + = () και για τη τάση ΔV: ΔV = ΔV = ΔV (). Άρα: d d ( ) V = V = = = ( 3) εα εα ( ) ( 3 ) + = = (4) και ( ) ( 4) + = = Άρα το επαγόμενο φορτίο στην επάνω πλάκα θα είναι /3 και το επαγόμενο φορτίο στην κάτω πλάκα θα είναι /3 (είναι αρνητικά τα φορτία γιατί οι πλάκες συνδέονται στην γείωση). (β) Η διαφορά δυναμικού μεταξύ της μεσαίας πλάκας και καθεμιάς από τις d υπόλοιπες πλάκες θα είναι: V = V = V V = = 3εΑ.

5 5. Θεωρήστε δύο αγώγιμες σφαίρες με ακτίνες R και R, οι οποίες χωρίζονται από απόσταση πολύ μεγαλύτερη συγκριτικά με οποιαδήποτε από τις δύο ακτίνες. Στις σφαίρες κατανέμεται συνολικό φορτίο. Θέλουμε να δείξουμε ότι, όταν η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια του συστήματος έχει ελάχιστη τιμή, τότε η διαφορά δυναμικού μεταξύ των σφαιρών θα είναι ίση με μηδέν. Το συνολικό φορτίο είναι ίσο με q + q, όπου q το φορτίο της πρώτης σφαίρας και q το φορτίο της δεύτερης σφαίρας. Επειδή οι σφαίρες απέχουν πολύ μεταξύ τους, μπορείτε να θεωρήσετε ότι το φορτίο κάθε σφαίρας είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο στην επιφάνεια τους. (α) Δείξτε ότι η ενέργεια κάθε αγώγιμης σφαίρας με ακτίνα R και φορτίο q, η οποία βρίσκεται στο κενό, είναι U = k q /R. (β) Βρείτε τη συνολική ενέργεια του συστήματος των δύο σφαιρών συναρτήσει του q, του συνολικό φορτίο, και των ακτίνων R και R. (γ) Για να βρείτε την ελάχιστη τιμή της ενέργειας, βρείτε την παράγωγο του αποτελέσματος του δεύτερου σκέλους ως προς q και εξισώστε τη με το μηδέν. Βρείτε το q συναρτήσει του, και των ακτίνων R και R. (δ) Βρείτε το φορτίο q χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα του τρίτου σκέλους. (ε) Βρείτε το δυναμικό κάθε σφαίρας. (στ) Πόση είναι η διαφορά δυναμικού μεταξύ των δύο σφαιρών; (α) Σύμφωνα με τη θεωρία, η χωρητικότητα μιας φορτισμένης σφαίρας φορτίου q και R ακτίνας R είναι: = 4 πε R = (), και επομένως η διαφορά δυναμικού στην k q επιφάνεια της είναι: V = k. R Άρα, η ενέργεια που αποθηκεύεται σε αυτόν είναι: kq R kq U = ( V) U = =. k R R (β) Η συνολική ενέργεια του συστήματος των δύο σφαιρών είναι: q q q ολική = + ολική = + ολική = + R k R k kq k ( q ) U ολική. R R U U U U U = + ( ) ( q ) (γ) Εξισώνοντας την παράγωγο ως προς q της σχέσης που δίνει την ενέργεια που βρήκαμε στο προηγούμενο ερώτημα βρίσκουμε ότι: duολική kq k ( q )( ) = + = Rq= R Rq dq R R R q = (). R + R (δ) Το φορτίο q είναι: ( ) R () q = q q = (3). R+ R kq kr k (ε) V = = V = (4). R R R + R R + R ( ) ( 3) kq kr k V = = V = (5). R R( R+ R) R+ R (στ) Από τις σχέσεις (4) και (5) συμπεραίνουμε ότι η διαφορά δυναμικού είναι: ΔV = V V =.

Σχετικά έγγραφα

4η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ1. Ασκήσεις 4 ου Κεφαλαίου

4η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ Ασκήσεις 4 ου Κεφαλαίου. (α) Βρείτε την ισοδύναμη χωρητικότητα μεταξύ των άκρων α και β της συνδεσμολογίας του σχήματος. Θεωρήστε ότι = 5 μ, = μ, και =