ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ Ι 10. Η μέθοδος των ειδώλων

Transcript

1 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ Ι. Η μέθοδος των ειδώλων Περιγραφή της μεθόδου Σημειακό φορτίο και αγώγιμο επίπεδο Φορτίο μεταξύ δύο αγωγίμων ημιεπιπέδων Σημειακό φορτίο έξω από γειωμένη σφαίρα Σημειακό φορτίο έξω από επιπλέουσα σφαίρα Φορτισμένη γραμμή παράλληλη με αγώγιμο κύλινδρο Δισύρματη γραμμή μεταφοράς στο κενό Είδωλα μη στατικών φορτίων (DC και AC ρευμάτων)

2 Περιγραφή της μεθόδου των ειδώλων Η μέθοδος των ειδώλων (method of images) είναι : εφαρμογή του θεωρήματος του μονοσημάντου ειδική τεχνική επίλυσης προβλημάτων οριακών τιμών εφαρμόσιμη όταν οι συνοριακές επιφάνειες των αγωγών / διηλεκτρικών έχουν σχήμα επιπέδου, κυλίνδρου ή σφαίρας εφαρμόσιμη και σε προβλήματα μη στατικών φορτίων (ρευμάτων DC και AC) μέθοδος μετατροπής ενός αρχικού προβλήματος σε ένα ισοδύναμο, το οποίο είναι ευκολότερο να λυθεί Με την μέθοδο των ειδώλων αντικαθιστούμε την επίδραση ενός αγώγιμου / διηλεκτρικού σώματος στο πεδίο μίας δεδομένης κατανομής του φορτίου, με την επίδραση μίας κατανομής φανταστικού φορτίου (είδωλο) Το πεδίο στην περιοχή επιλύσεως είναι το άθροισμα ) του πεδίου των πραγματικών φορτίων και ) του πεδίου των ειδώλων τους χωρίς την παρουσία του σώματος Δεν υπάρχει μία γενική μέθοδος ευρέσεως των ειδώλων για όλα τα προβλήματα

3 Σημειακό φορτίο και αγώγιμο επίπεδο x Αγώγιμο επίπεδο απείρων διαστάσεων στο xοy O y h +q z Βάσει του θεωρήματος του μονοσημάντου, εάν ευρεθεί μία συνάρτηση δυναμικού Φ, ηοποία:. να ικανοποιεί την εξίσωση Laplace. να έχει σταθερή τιμή στο αγώγιμο επίπεδο και 3. να συμπεριφέρεται κοντά στο q κατά τα γνωστά για πεδίο σημειακού φορτίου αυτή θα είναι και η μοναδική λύση του προβλήματος. Όλες οι ανωτέρω συνθήκες ικανοποιούνται από το Φ που προκαλούν το +q και το είδωλό του -q με το αγώγιμο επίπεδο απόν. x P -q h y h +q z q P 4

4 Υπολογισμός της επιφανειακής πυκνότητος του φορτίου στο αγώγιμο επίπεδο : x E n ρs E n P E z h h z y -q +q x,y, E z x,y,z q z 4 z x y zh / E z / x y zh q h z x,y,z 4 x y zh h z x y zh 3/ 3/

5 E z x,y, q h x y h 3/ qh ρ s E z x,y, 3/ x y h ρ s qh 3 ισοδυναμικές δυναμικές

6 Υπολογισμός του ολικού φορτίου Q στο επίπεδο : qh ds Q SdS 3 S S ds dd, h qh dd Q 3/ S h qh d Q d 3/ h qh / h Q q Η συνεισφορά του ειδώλου q στο πεδίο του ημιχώρου z >, είναι ισοδύναμη με την συνεισφορά του φορτίου που επάγεται στο αγώγιμο επίπεδο

7 Φορτίο μεταξύ δύο αγωγίμων ημιεπιπέδων Εάν η δίεδρος γωνία θ είναι υποπολλαπλάσιο του π, ο αριθμός των ειδώλων n ισούται με : n

8 Σημειακό φορτίο έξω από γειωμένη σφαίρα Ρ Ο α r Ρ q r Ρ q Το επίπεδο προηγούμενου προβλήματος είναι σφαίρα απείρου ακτίνος. Άρα το είδωλο του q θα ευρίσκεται κάπου μέσα στην σφαίρα. q =? =? q q r q 4 r 4 r r q P Εάν επιλέξουμε το ΟΡ έτσι ώστε : OP OP OP OP τα τρίγωνα ΟΡ ΡκαιΟΡ Ρ είναι όμοια, οπότε : r r 3

9 q 3 q q q q q Αναμενόμενο, διότι εάν ήταν q = - q, η σφαίρα δεν γίνεται ισοδυναμική. Το πεδίο του δυναμικού έξω από την γειωμένη σφαίρα ακτίνος α είναι ισοδύναμο με το πεδίο του q και του ειδώλου του q στο κενό. Ρ α Ο r r q q q q q P 4 r 4 r 4 r r

10 Σημειακό φορτίο έξω από επιπλέουσα και αφόρτιστη σφαίρα Ο θ -q Ρ r r r q q Με την προσθήκη του φανταστικού φορτίου -q στο κέντρο Ο, η σφαίρα παραμένει ισοδυναμική και επιπροσθέτως ηλεκτρικά ουδέτερη. q q q P r, 4 r r r

11 Φορτισμένη γραμμή παράλληλη με αγώγιμο κύλινδρο A. Γειωμένος κύλινδρος r Ρ r α Ο q q (C/m) Τα επαγόμενα φορτία στην κυλινδρική επιφάνεια είναι ισοδύναμα με την γραμμική κατανομή φορτίου q = -q που ευρίσκεται σε απόσταση από τον άξονα της κυλινδρικής επιφανείας Απόδειξη: από το Παράδειγμα 7.3 γνωρίζουμε ότι οι ισοδυναμικές επιφάνειες είναι κύλινδροι με: άξονα στο: και ακτίνα: x όπου k k k r /r, y d, και d k k d

12 k Η ισοδυναμική επιφάνεια για η επιφάνεια του κυλίνδρου: / / x d d / d d / Ρ / είναι r r α Ο q x M q d d q r q ln P c ln k c 4 r 4 q q ln c c ln 4 4 q r q ln P ln k 4 4 r

13 k= k< k> q q k k Β. Επιπλέων κύλινδρος φορτισμένος με q Ρ Σημείο αναφοράς μηδενικού r δυναμικού το Μ όπου r r r d α q Ο M q οπότε c d d q r ln P 4 r Γ. Επιπλέων και αφόρτιστος κύλινδρος?

14 Δισύρματη γραμμή μεταφοράς στο κενό V V -q q α α D Τα επιφανειακά φορτία στους κυλινδρικούς αγωγούς είναι ισοδύναμα με τα q και q. Τα απόλυτα δυναμικά V και V των αγωγών με επίπεδο αναφοράς μηδενικού δυναμικού το μεσοκάθετο είναι: V q ln 4 V q ln 4 D D 4 D D D 4

15 C q D D 4 V V ln D D 4 V q V C D D 4 D D ln ln D D 4 D x Άλλες περιπτώσεις : C ln F D cosh m D D 4 D D 4 ln x x cosh x

16 Είδωλα μη στατικών φορτίων (ρευμάτων) Ι Ι Ι αγώγιμο επίπεδο είδωλο z /4 γραμμή μεταφοράς κεραία διπόλου z φάσορας του ρεύματος I z I co s(k z) κυματαριθμός k z /4