ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Ειίου Λυκείου Θετική Κτεύθυση

2 ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Ππστυρίδης Στύρος Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Θωμΐδης Ιωάης Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης OMAΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Πολύζος Γεώργιος ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟΥ Αδμόπουλος Λεωίδς Επίτιμος Σύμβουλος του ΠΙ Δκτυλογράφηση: Σχήμτ: Γρδέρη Ρόζ Μπούτσικς Μιχάλης Με πόφση της ελληικής κυβερήσεως τ διδκτικά βιβλί του Δημοτικού, του Γυμσίου κι του Λυκείου τυπώοτι πό το Οργισμό Εκδόσεως Διδκτικώ Βιβλίω κι διέμοτι δωρεά

3 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Ειίου Λυκείου Θετική Κτεύθυση Αδρεδάκης Στυλιός Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ Κτσργύρης Βσίλειος Κθηγητής Β/θμις εκπίδευσης Μέτης Στέφος Κθηγητής Β/θμις εκπίδευσης Μπρουχούτς Κω/ος Κθηγητής Β/θμις εκπίδευσης Ππστυρίδης Στύρος Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Β/θμις εκπίδευσης ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ 999

4 ΠΡΟΛΟΓΟΣ To βιβλίο που κρτάτε στ χέρι σς περιλμβάει τη ύλη τω Μθημτικώ, όπως προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδώ της Θετικής Κτεύθυσης της Γ τάξης του Ειίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 999- Το βιβλίο υτό προήλθε πό μόρφωση του βιβλίου τω Μθημτικώ της ης κι της ης δέσμης της Γ τάξης του Γεικού Λυκείου κι ποτελείτι πό δύο μέρη To πρώτο μέρος, που φέρει το τίτλο ΑΛΓΕΒΡΑ, ποτελείτι πό δυο κεφάλι To πρώτο κεφάλιο ποτελεί μι εισγωγή στη Θεωρί τω Πιάκω, η ο- ποί μετξύ άλλω είι έ εργλείο γι τη μελέτη τω Γεωμετρικώ Μετσχημτισμώ κι τω Γρμμικώ Συστημάτω, τ οποί μελετώτι στο ίδιο κεφάλιο Το δεύτερο κεφάλιο εισάγει στους Μιγδικούς Αριθμούς, οι οποίοι είι προέκτση τω Πργμτικώ Αριθμώ Οι Μιγδικοί Αριθμοί κλύφθηκ τη περίοδο της Αγέησης στη προσπάθει επίλυσης εξισώσεω τρίτου βθμού Όμως, στους ιώες που κολούθησ ποδείχτηκε η μεγάλη σημσί τους γι πάρ πολλά προβλήμτ της μθημτικής επιστήμης κι τω εφρμογώ της Το κεφάλιο υτό έχει ληφθεί πό το βιβλίο τω Μθημτικώ Θετικής Κτεύθυσης Β τάξης Ειίου Λυκείου τω συγγρφέω: Αδμόπουλου Λ, Βισκδουράκη Β, Γβλά Δ, Πολύζου Γ κι Σβέρκου Α Tο δεύτερο μέρος, που φέρει το τίτλο ΑΝΑΛΥΣΗ, ποτελείτι πό τρί κεφάλι Το πρώτο κεφάλιο σημτοδοτεί έ έο ξεκίημ Είι το πέρσμ πό τις πεπερσμέες πράξεις στις «άπειρες διδικσίες» Τ σπέρμτ της έοις του ορίου υπάρχου σφλώς με πολύ σφή κι συγκεκριμέο τρόπο στ γρπτά του Αρχιμήδη Η άπτυξη, όμως, υτής της έοις έγιε στ χρόι της Αγέησης κι έκτοτε κτέχει κετρική θέση στο κόσμο τω μθημτικώ εοιώ Κτ ρχάς στο κεφάλιο υτό προυσιάζοτι βσικές κι ήδη γωστές στους μθητές - έοιες τω συρτήσεω, κθώς κι μερικές κόμη βσικές έοιες της Αάλυσης Στη συέχει εισάγετι η έοι του ορίου στο, η έοι του ορίου στο κι στο κι δίοτι οι πιο χρκτηριστικές ιδιότητές του Τέλος, δίετι η έοι της συέχεις μις συάρτησης κι προυσιάζοτι οι βσικότερες ιδιότητές της Στο δεύτερο κι τρίτο κεφάλιο προυσιάζοτι οι έοιες της πργώγου κι του ολοκληρώμτος τιστοίχως κι γίετι χρήση τω εοιώ υτώ σε πολλές εφρμογές Η πράγωγος κι το ολοκλήρωμ είι κτά κάποιο τρόπο οι

5 δύο διφορετικές όψεις του ίδιου ομίσμτος Σε μι έκφρσή τους είι η κλίση της εφπτομέης κι το εμβδό, σε άλλη η τχύτητ κι το μήκος της τροχιάς εός κιητού κτλ Αυτό το βιβλίο ως θρώπιο δημιούργημ δε είι τέλειο Ο μόος τρόπος γι έχουμε στ σχολεί μς ύστερ πό μερικά χρόι έ κλύτερο μέσο διδσκλίς είι ο ηφάλιος κι ελεύθερος διάλογος, το οποίο η επιστημοική πράδοση έχει κθιερώσει γι ιώες τώρ Γι υτό το λόγο η συγγρφική ο- μάδ με ιδιίτερη ικοποίηση θ δέχετι σχόλι κι πρτηρήσεις γι το βιβλίο πό οποιοδήποτε συάδελφο, μθητή ή άλλο πολίτη εδιφέρετι γι τ ζητήμτ της πιδείς Τ σχόλι κι οι πρτηρήσεις μπορού ποστέλλοτι στο Πιδγωγικό Ιστιτούτο, Μεσογείω 96, 5 Αγί Πρσκευή Μάρτιος 999 Οι Συγγρφείς

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α ΜΕΡΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Πίκες Γρμμικά Συστήμτ Σελ Η έοι του πίκ Πρόσθεση πιάκω - Πολλπλσισμός ριθμού με πίκ 6 Πολλπλσισμός πιάκω Γεωμετρικοί μετσχημτισμοί 7 5 Η έοι του γρμμικού συστήμτος 5 6 Επίλυση γρμμικού συστήμτος με τη μέθοδο πλοιφής του Gauss 5 7 Eπίλυση γρμμικού συστήμτος με τη μέθοδο τω οριζουσώ 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Μιγδικοί Αριθμοί Η Έοι του Μιγδικού Αριθμού 85 Πράξεις στο Σύολο τω Μιγδικώ 88 Μέτρο Μιγδικού Αριθμού 97 Τριγωομετρική Μορφή Μιγδικού 5 Πολυωυμικές Εξισώσεις στο Β ΜΕΡΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Όριο - συέχει συάρτησης Σελ Πργμτικοί Αριθμοί 9 Συρτήσεις Μοότοες συρτήσεις - Ατίστροφη συάρτηση 8 Όριο συάρτησης στο 57 5 Ιδιότητες τω ορίω 65 6 Μη πεπερσμέο όριο στο 76 7 Όριο συάρτησης στο άπειρο 8 8 Συέχει συάρτησης 88

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Διφορικός Λογισμός Η έοι της πργώγου 9 Πργωγίσιμες συρτήσεις - Πράγωγος συάρτήση Κόες πργώγισης 9 Ρυθμός μετβολής 5 Θεώρημ Μέσης Τιμής Διφορικού Λογισμού 5 6 Συέπειες του Θεωρήμτος Μέσης Τιμής 5 7 Τοπικά κρόττ συάρτησης 58 8 Κυρτότητ - σημεί κμπής συάρτησης 7 9 Ασύμπτωτες - Κόες De L Hospital 79 Μελέτη κι χάρξη της γρφικής πράστσης μις συάρτησης 87 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Ολοκληρωτικός Λογισμός Αόριστο ολοκλήρωμ Μέθοδοι ολοκλήρωσης 9 Διφορικές εξισώσεις 8 Ορισμέο ολοκλήρωμ 6 5 Η συάρτηση F f t dt 6 Θεώρημ Μέσης Τιμής Ολοκληρωτικού Λογισμού 7 Εμβδό επιπέδου χωρίου ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 65

8 Β ΜΕΡΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ

9 Α ΜΕΡΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

10 ΠΡΟΛΟΓΟΣ To βιβλίο που κρτάτε στ χέρι σς περιλμβάει τη ύλη τω Μθημτικώ, όπως προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδώ της Θετικής Κτεύθυσης της Γ τάξης του Ειίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 999- Το βιβλίο υτό προήλθε πό μόρφωση του βιβλίου τω Μθημτικώ της ης κι της ης δέσμης κι ποτελείτι πό δύο μέρη To πρώτο μέρος, που φέρει το τίτλο ΑΛΓΕΒΡΑ, ποτελείτι πό δυο κεφάλι To πρώτο κεφάλιο ποτελεί μι εισγωγή στη Θεωρί τω Πιάκω, η ο- ποί μετξύ άλλω είι έ εργλείο γι τη μελέτη τω Γεωμετρικώ Μετσχημτισμώ κι τω Γρμμικώ Συστημάτω, τ οποί μελετώτι στο ίδιο κεφάλιο Το δεύτερο κεφάλιο εισάγει στους Μιγδικούς Αριθμούς, οι οποίοι είι προέκτση τω Πργμτικώ Αριθμώ Οι Μιγδικοί Αριθμοί κλύφθηκ τη περίοδο της Αγέησης στη προσπάθει επίλυσης εξισώσεω τρίτου βθμού Όμως, στους ιώες που κολούθησ ποδείχτηκε η μεγάλη σημσί τους γι πάρ πολλά προβλήμτ της μθημτικής επιστήμης κι τω εφρμογώ της Το κεφάλιο υτό είι πρμέο πό το βιβλίο τω Μθημτικώ Θετικής Κτεύθυσης Β τάξης Ειίου Λυκείου τω συγγρφέω: Αδμόπουλου Λ, Βισκδουράκη Β, Γβλά Δ, Πολύζου Γ κι Σβέρκου Α Tο δεύτερο μέρος, που φέρει το τίτλο ΑΝΑΛΥΣΗ, ποτελείτι πό τρί κεφάλι Το πρώτο κεφάλιο σημτοδοτεί έ έο ξεκίημ Είι το πέρσμ πό τις πεπερσμέες πράξεις στις «άπειρες διδικσίες» Τ σπέρμτ της έοις του ορίου υπάρχου σφλώς με πολύ σφή κι συγκεκριμέο τρόπο στ γρπτά του Αρχιμήδη Η άπτυξη, όμως, υτής της έοις έγιε στ χρόι της Αγέησης κι έκτοτε κτέχει κετρική θέση στο κόσμο τω μθημτικώ εοιώ Κτ ρχάς στο κεφάλιο υτό προυσιάζοτι βσικές κι ήδη γωστές στους μθητές - έοιες τω συρτήσεω, κθώς κι μερικές κόμη βσικές έοιες της Αάλυσης Στη συέχει εισάγετι η έοι του ορίου στο, η έοι του ορίου στο κι στο κι δίοτι οι πιο χρκτηριστικές ιδιότητές του Τέλος, δίετι η έοι της συέχεις μις συάρτησης κι προυσιάζοτι οι βσικότερες ιδιότητές της Στο δεύτερο κι τρίτο κεφάλιο προυσιάζοτι οι έοιες της πργώγου κι του ολοκληρώμτος τιστοίχως κι γίετι χρήση τω εοιώ υτώ σε πολλές εφρμογές Η πράγωγος κι το ολοκλήρωμ είι κτά κάποιο τρόπο οι δύο διφορετικές όψεις του ίδιου ομίσμτος Σε μι έκφρσή τους είι η κλίση της εφπτομέης κι το εμβδό, σε άλλη η τχύτητ κι το μήκος της τροχιάς εός κιητού κτλ

11 Αυτό το βιβλίο ως θρώπιο δημιούργημ δε είι τέλειο Ο μόος τρόπος γι έχουμε στ σχολεί μς ύστερ πό μερικά χρόι έ κλύτερο μέσο διδσκλίς είι ο ηφάλιος κι ελεύθερος διάλογος, το οποίο η επιστημοική πράδοση έχει κθιερώσει γι ιώες τώρ Γι υτό το λόγο η συγγρφική ο- μάδ με ιδιίτερη ικοποίηση θ δέχετι σχόλι κι πρτηρήσεις γι το βιβλίο πό οποιοδήποτε συάδελφο, μθητή ή άλλο πολίτη εδιφέρετι γι τ ζητήμτ της πιδείς Τ σχόλι κι οι πρτηρήσεις μπορού ποστέλλοτι στο Πιδγωγικό Ιστιτούτο, Μεσογείω 96, 5 Αγί Πρσκευή Μάρτιος 999 Μάρτιος 999 Οι Συγγρφείς

12 ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Ππστυρίδης Στύρος Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Θωμΐδης Ιωάης : Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης OMAΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Πολύζος Γεώργιος ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟΥ Αδμόπουλος Λεωίδς: Επίτιμος Σύμβουλος του ΠΙ Δκτυλογράφηση: Σχήμτ: Γρδέρη Ρόζ Μπούτσικς Μιχάλης Με πόφση της ελληικής κυβερήσεως τ διδκτικά βιβλί του Δημοτικού, του Γυμσίου κι του Λυκείου τυπώοτι πό το Οργισμό Εκδόσεως Διδκτικώ Βιβλίω κι διέμοτι δωρεά

13

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΠΙΝΑΚΕΣ - ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Πίκες κι Γρμμικά Συστήμτ

15 ΠΙΝΑΚΕΣ - ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΠΙΝΑΚΑ Γεικά Τέσσερ εργοστάσι πργωγής υτοκιήτω A, B, Γ κι Δ δίου γι το τελευτίο μοτέλο τους ως προς πέτε τεχικά χρκτηριστικά τις εξής πληροφορίες: Εργοστάσιο Α: Ισχύς 97 DIN, χρόος γι τη μετβολή της τχύτητς πό - km/h,7 sec, τελική τχύτητ 8 km/h, κτάλωση στη πόλη ά km 9,5 lit, φορολογήσιμοι ίπποι Εργοστάσιο Β: Ισχύς DIN, χρόος γι τη μετβολή της τχύτητς πό - km/h,9 sec, τελική τχύτητ 9 km/h, κτάλωση στη πόλη ά km lit, φορολογήσιμοι ίπποι Εργοστάσιο Γ: Ισχύς 5 DIN, χρόος γι τη μετβολή της τχύτητς πό - km/h 7,9 sec, τελική τχύτητ km/h, κτάλωση στη πόλη ά km, 7, lit, φορολογήσιμοι ίπποι 6 Εργοστάσιο Δ: Ισχύς 7 DIN, χρόος γι τη μετβολή της τχύτητς πό - km/h 7,6 sec, τελική τχύτητ 5 km/h, κτάλωση στη πόλη ά km,5 lit, φορολογήσιμοι ίπποι Τις πληροφορίες υτές μπορούμε τις προυσιάσουμε πιο οργωμέ ως ε- ξής: Εργοστάσιο Τεχικά Χρκτηρ Ισχύς DIN Α 97 Β Γ 5 Δ 7 Χρόος γι τη μετβολή της τχύτητς πό - km/h,7,9 7,9 7,6 Τελική Τχύτητ km/h Κτάλωση στη πόλη lit ά km 9,5 7,,5 Φορολογήσι μοι ίπποι 6

16 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τ ριθμητικά δεδομέ της ορθογώις υτής διάτξης, κλεισμέ μέσ σε γκύλες, ,7,9 7,9 7, λέμε ότι σχημτίζου έ πίκ με γρμμές κι 5 στήλες ή, συτομότερ, έ πίκ τύπου 5 ή κόμ έ 5 πίκ Έστω το σύστημ 5 9,5 7,,5 z ω 6 z ω 7z ω Το σύστημ υτό θ μπορούσε πρστθεί ως εξής: Συτελεστής Εξίσωση η η η του του του z του ω στθ όρος Έτσι οι συτελεστές τω γώστω σχημτίζου το πίκ 5 7 κι οι συτελεστές τω γώστω μζί με τους στθερούς όρους το 5 πίκ 5 Γεικά έχουμε το κόλουθο ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ 7 Μι διάτξη γρμμές κι στήλες, λέγετι πίκς τύπου μ ή πλούστερ μ πίκς μ το πλήθος ριθμώ σε μορφή ορθογωίου σχήμτος με μ

17 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τους πίκες τους συμβολίζουμε συήθως με κεφλί γράμμτ A, B, Γ κτλ Οι ριθμοί με τους οποίους σχημτίζουμε έ πίκ λέγοτι στοιχεί του πίκ Το στοιχείο εός μ πίκ Α που ήκει στη i-γρμμή κι j-στήλη συμβολίζετι με ij Έτσι ο μ πίκς Α γράφετι: M i M μ M i M μ L L L L L L j στήλη L j j ή συτομογρφικά ], i μ, j [ ij Γι πράδειγμ, ο πίκς ] με [ ij M M ij μj L L L L L ij M i i γρμμή M μ i j έχει στοιχεί,, κι Επομέως, ο πίκς υτός γράφετι Η ισότητ μετξύ τω πιάκω ορίζετι ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣ Δυο πίκες A, B λέμε ότι είι ίσοι, ότ έχου το ίδιο ριθμό γρμμώ, το ίδιο ριθμό στηλώ δηλδή είι του ίδιου τύπου κι τ τίστοιχ στοιχεί τους είι ίσ Γι δηλώσουμε ότι δύο πίκες είι ίσοι γράφουμε A B Από το ορισμό υτό προκύπτει ότι δύο πίκες διφορετικού τύπου δε μπορεί είι ίσοι Α ές πίκς έχει το ίδιο ριθμό γρμμώ κι στηλώ, δηλδή είι τύπου * γι κάποιο, τότε ο πίκς υτός λέγετι τετργωικός πίκς Τ στοιχεί,,,, εός τετργωικού πίκ Α, λέμε ότι σχημτίζου τη κύρι διγώιο του Α Α τ στοιχεί εός τετργωικού πίκ Α που δε βρίσκοτι στη κύρι διγώιο είι όλ, τότε ο Α λέγετι διγώιος πίκς Γι πράδειγμ, οι πίκες: είι διγώιοι πίκες,, 6

18 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ές πίκς που έχει μί μόο γρμμή, όπως ο [ ] λέγετι πίκς 7 γρμμή, εώ ές πίκς που έχει μί μόο στήλη, όπως ο λέγετι πίκς στήλη Ές πίκς που έχει έ μόο στοιχείο, όπως ο [ ] λέγετι πίκς στοιχείο Τέλος, ές τετργωικός πίκς λέγετι τριγωικός άω, ότ όλ τ στοιχεί του που βρίσκοτι κάτω πό τη κύρι διγώιο είι μηδεικά κι τριγωικός κάτω, ότ όλ τ στοιχεί του που βρίσκοτι πάω πό τη κύρι διγώιο είι μηδεικά Γι πράδειγμ, οι πίκες 6 5, είι τριγωικοί άω, εώ οι πίκες 6 5 είι τριγωικοί κάτω 7, ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Το διπλό σχήμ πριστάει το οδικό δίκτυο που συδέει τις πόλεις Α, Β, Γ, Δ κι Ε Ν πρστθεί το δίκτυο υτό με έ πίκ του οποίου κάθε στοιχείο φερώει το πλήθος τω δυτώ τρόπω μετάβσης πό πόλη σε πόλη, όχι οπωσδήποτε διφορετική πόλη, φού προηγουμέως περάσουμε πό μί μόο πόλη, πχ ΑΒΑ κτλ ΛΥΣΗ Από τη πόλη Α στη Α υπάρχου τρόποι: ABA, AΔ Α, AEA, πό τη Α στη Β δε υπάρχει τρόπος, φού πρέπει περάσουμε πό μί μόο πόλη, πό τη Α στη Γ υπάρχου τρόποι AΔ Γ, ΑΒΓ, πό τη Α στη Δ υπάρχει ές τρόπος ΑΕΔ, πό τη Α στη Ε υπάρχει τρόπος ΑΔΕ κτλ Ε A Δ B Γ

19 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5 Έτσι το οδικό δίκτυο μπορεί πρστθεί με το πίκ διπλής εισόδου ΣΤΗΝ ΑΠΟ Α Β Γ Δ Ε Α Β Γ Δ Ε ή πλά με το 5 5 πίκ Ν εξετστεί υπάρχου τιμές τω γι τις οποίες ισχύου:, i ii ΛΥΣΗ i H ισότητ ισχύει, κι μόο συληθεύου οι ισότητες Η τρίτη ισότητ ληθεύει γι Η τιμή υτή του επληθεύει κι τις άλλες δύο ισότητες Επομέως, οι πρπάω ισότητες συληθεύου γι ii Η ισότητ ισχύει, κι μόο συληθεύου οι ισότητες Η δεύτερη κι τρίτη ισότητ γράφοτι κι προφώς δε συληθεύου γι κμί τιμή τω κι Επομέως, δε υπάρχου τιμές τω 6, γι τις οποίες οι πίκες υτοί είι ίσοι

20 6 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ο διπλός πίκς δείχει ΟΜΑΔΕΣ γι τρεις ομάδες ποδοσφίρου τους γώες Α, τις ίκες Ν, τις ΝΙΚΗ ήττες Η, τις ισοπλίες Ι, τ τέρμτ Ε που πέτυχε η ομάδ, τ τέρμτ Δ που δέχτηκε ΘΥΕΛΛΑ ΔΑΦΝΗ η ομάδ κι τους βθμούς Β που έχει Α A ] είι ο πίκς υτός, τότε βρείτε: [ ij i Ποιος είι ο τύπος του πίκ A ii Ποιες πληροφορίες μς δίου τ στοιχεί, κι N 6 7 H I 5 E 5, 7 Δ 6 B 5 7 Δίετι συτομογρφικά ο πίκς A ] όπου i j Ν πρστήσετε το πίκ υτό, φού βρείτε τ στοιχεί του Ν βρείτε τ, γι τ οποί ισχύει: i ii [ ij ij Γι ποι τιμή του θετικού ριθμού ο πίκς είι διγώιος ln ln ln 5 Ν βρεθού οι τιμές τω [,π γι τις οποίες ισχύει: ημ εφ ημ συ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΠΙΝΑΚΑ Πρόσθεση πιάκω

21 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 7 Μί ετιρεί πουλάει τηλεοράσεις, ψυγεί, κουζίες κι πλυτήρι σε Αθή, Θεσσλοίκη κι Πάτρ Οι πωλήσεις τους μήες Σεπτέμβριο κι Οκτώβριο προυσίσ τη εξής κίηση: Σεπτέμβριος Οκτώβριος Aθή Θεσ/κη Πάτρ Aθή Θεσ/κη Πάτρ Τηλεοράσεις Ψυγεί 9 5 Κουζίες 9 8 Πλυτήρι Επομέως, τους δυο υτούς μήες οι συολικές πωλήσεις της ετιρείς ήτ οι εξής: Τηλεοράσεις Ψυγεί Κουζίες Πλυτήρι Αθή Θεσ/ίκη Πάτρ Α τώρ θεωρήσουμε τους πίκες τω πρπάω πωλήσεω έχουμε: Γι το Σεπτέμβριο: 8 A Γι το Οκτώβριο: 5 B κι γι τις συολικές πωλήσεις: Γ O πίκς Γ λέγετι άθροισμ τω πιάκω Α κι Β κι συμβολίζετι με δηλδή Γ A B Γεικά έχουμε το κόλουθο ορισμό: A B,

22 8 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ Άθροισμ δυο μ πιάκω A ] κι B β ] λέγετι ο μ πίκς [ ij του οποίου κάθε στοιχείο είι το άθροισμ τω τίστοιχω στοιχείω τω Α κι Β Ο πίκς υτός συμβολίζετι με A B Δηλδή, A B [ ij βij ] [ ij Δε ορίζουμε άθροισμ πιάκω διφορετικού τύπου 9 7 Γι πράδειγμ, οι πίκες A 8 5 κι B 9 6 που είι του ίδιου τύπου, με βάση το πρπάω ορισμό, μπορού προστεθού κι το άθροισμά τους είι A B , εώ οι πίκες Γ κι Δ, που δε είι του ίδιου τύπου δε μπορού προστεθού 5 Η πράξη με τη οποί βρίσκουμε το άθροισμ δύο πιάκω λέγετι π ρ ό σ θ ε σ η π ι ά κ ω Ιδιότητες της πρόσθεσης τω πιάκω Η πρόσθεση τω πιάκω έχει ιδιότητες άλογες με τη πρόσθεση τω πργμτικώ ριθμώ Συγκεκριμέ: Α A, B, Γ είι μ πίκες, τότε A B B A τιμετθετική A B Γ A B Γ προσετιριστική Α είι ο μ πίκς που όλ τ στοιχεί του είι μηδέ, τότε γι κάθε μ πίκ Α ισχύει A A A Ο πίκς λέγετι μηδεικός πίκς Γι πράδειγμ, οι πίκες, είι μηδεικοί

23 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 9 Α με A συμβολίσουμε το πίκ του οποίου όλ τ στοιχεί είι τίθετ τω τίστοιχω στοιχείω εός πίκ Α, τότε ισχύει A A A A Ο πίκς A λέγετι τίθετος του πίκ Α Γι πράδειγμ, ο τίθετος του πίκ είι ο πίκς Η προσετιριστική ιδιότητ μς επιτρέπει γράφουμε Γ B A γι κθέ πό τ ίσ θροίσμτ Γ B A, Γ B A Ομοίως, είι πίκες του ίδιου τύπου, τότε έχουμε: Γ,Δ B A,, ] [ ] [ ] [ Δ Γ B A Δ Γ B A Δ Γ B A Δ Γ B A Δ Γ A B Δ Γ B A ] [ ] [ κτλ κι επομέως, μπορούμε γράφουμε Δ Γ B A γι κθέ πό τ θροίσμτ υτά Γεικά, επειδή ισχύει η τιμετθετική κι η προσετιριστική ιδιότητ, μπορεί ποδειχθεί ότι το άθροισμ τριώ ή περισσοτέρω πιάκω είι το ίδιο κτά οποιοδήποτε τρόπο κι εκτελεστεί η πρόσθεση κι συμβολίζετι με A A A,,, A A A L Αφίρεση πιάκω Όπως κι στη περίπτωση τω πργμτικώ ριθμώ, έτσι κι στους πίκες η φίρεση ορίζετι με τη βοήθει της πρόσθεσης Συγκεκριμέ, είι δύο B A, μ πίκες, τότε η διφορά B A ορίζετι ως εξής: B A B A Γι πράδειγμ, κι, τότε 6 A B B A Δηλδή, ο πίκς B A προκύπτει με φίρεση τω στοιχείω του Β πό τ τίστοιχ στοιχεί του Α Από τους πρπάω ορισμούς της πρόσθεσης κι της φίρεσης προκύπτει ότι: B A X A B X Πράγμτι: Α A B X, τότε B A B B X, οπότε B A X, εώ

24 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α X A B, τότε X B A B B, οπότε X B A Πολλπλσισμός ριθμού με πίκ Ο πρκάτω πίκς Α περιγράφει τις τιμές πώλησης σε δρχμές τριώ ηλεκτρικώ ειδώ μις βιομηχίς σε δύο υποκτστήμτ: A Tηλεοράσεις Βίτεο Στερεοφωικά ο υποκτάστημ ο υποκτάστημ Α κτά τη περίοδο τω εκπτώσεω, ο βιομήχος προτίθετι κάει έκπτωση % στ προϊότ του, τότε πρέπει διμορφώσει τις έες τιμές στο 8% τω προηγουμέω Οι έες τιμές πώλησης θ προκύψου πολλπλσιάσουμε τις πλιές τιμές με,8, όπως φίετι στο πρκάτω πίκ:,8 6 B,8 5,8,8,8 8 8, Ο πίκς Β λέγετι γιόμεο του ριθμού,8 με το πίκ Α κι συμβολίζετι με,8 A, δηλδή είι B, 8A Γεικά, έχουμε το κόλουθο ορισμό: OΡΙΣΜΟΣ Γιόμεο εός πργμτικού ριθμού λ με έ πίκ A [ ij ], λέγετι ο πίκς που προκύπτει πολλπλσιάσουμε κάθε στοιχείο του Α με λ Ο πίκς υτός συμβολίζετι με λ A ή λa Δηλδή, λ A Η πράξη με τη οποί βρίσκουμε το γιόμεο ριθμού με πίκ λέγετι π ο λ- λ π λ σ ι σ μ ό ς ρ ι θ μ ο ύ μ ε π ί κ Γι πράδειγμ, το γιόμεο του ριθμού λ με το πίκ A 5 είι ο πίκς: [ λ ij ] A Iδιότητες του πολλπλσισμού ριθμού με πίκ Α A, B είι μ πίκες κι κ, λ πργμτικοί ριθμοί, τότε ισχύου οι πρκάτω ιδιότητες, που είι άμεση συέπει του ορισμού: κ λ A κα λα λ A B λα λβ κ λα κλ A

25 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ A A Επιπλέο, ισχύει η ισοδυμί: A λ λa ή ΕΦΑΡΜΟΓH N βρεθεί ο πίκς Χ γι το οποίο ισχύει: X Mι τέτοι ισότητ είι μι ε ξ ί σ ω σ η με π ί κ ε ς ΛΥΣΗ Έχουμε X X X X X X ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις, βρείτε το άθροισμ B A κι τη διφορά B A, εφόσο φυσικά ορίζοτι:

26 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ i, 5 A 5 6 B ii, A B iii ] 6 5 [ A, ] 6 5 [ B iv, 6 5 A 5 B v, μ λ κ ω γ β A μ λ κ ω γ β B Α είι,, κι, βρείτε το άθροισμ A 5 A 5 6 A A A A A A Ν βρείτε τ ω,, γι τ οποί ισχύει η ισότητ: ω Ν κάετε τις πράξεις: i ii iii λ λ λ λ λ λ λ 5 Α κι, βρείτε τους πίκες: A 8 6 B i A ii iii A A B 5 iv B A 6 Ν λύσετε τις εξισώσεις:

27 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ i X ii X 7 Ν ποδείξετε ότι το άθροισμ ημ συ συ ημ ημ συ ημ ημ συ συ είι ές διγώιος πίκς 8 Α κι, βρείτε τις τιμές τω ώστε ισχύει: δ γ β X δ γ β Y,β,γ,δ 8 5 Y X B ΟΜΑΔΑΣ Ν βρείτε τ, γι τ οποί ισχύει: i ii N βρείτε τους πίκες γι τους οποίους ισχύει: X,Y Y X κι 5 Y X Α κι 5 A B, λύσετε τη εξίσωση B A X B X 5 Μι βιομηχί που κτσκευάζει τηλεοράσεις, βίτεο κι κάμερες έχει δύο εργοστάσι πργωγής κι Το κόστος πργωγής ά συσκευή δίετι σε χιλιάδες δρχ στους πρκάτω πίκες: Π Π Τηλ Βιτ Κμ Τηλ Βιτ Κμ Εργσί Υλικά Π Εργσί Υλικά Π

28 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ν βρείτε το πίκ Π Π κι εξηγήσετε τι εκφράζει 5 Μι βιομηχί έχει τέσσερ εργοστάσι πργωγής Π, Π Π κι, Π, κθέ πό τ οποί πράγει δύο προϊότ E κι E Το ημερήσιο επίπεδο πργωγής σε μοάδες προϊότω δίετι στο επόμεο πίκ: A Π Π Π Π 8 6 E 8 E i N βρείτε το ημερήσιο επίπεδο πργωγής, υτή υξηθεί κτά % ii Ν βρείτε το σύολο της πργωγής ά προϊό σε 5 μήες, υποτεθεί ότι τ εργοστάσι δούλεψ μήες με το προηγούμεο επίπεδο κι μήες με το έο επίπεδο πργωγής μής μέρες ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός του γιομέου δύο πιάκω Ας υποθέσουμε ότι γι τη κτσκευή δύο ειδώ γλυκισμάτω Γ κι Γ χρειζόμστε τ υλικά σε kg που φίοτι στο πρκάτω πίκ: Αλεύρι Ζάχρη Βούτυρο, A,,6,8,, Γ Γ γλύκισμ γλύκισμ Έστω επίσης ότι το κόστος σε δρχ τω υλικώ υτώ ά κιλό, γι τ έτη 99 κι 99, είι όπως δείχει ο πρκάτω πίκς: B λεύρι ζάχρη βούτυρο

29 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5 Γι βρούμε το κόστος σε δρχμές τω υλικώ του γλυκίσμτος, πολλπλσιάζουμε τις ποσότητες τω υλικώ με τις τίστοιχες τιμές κι προσθέτουμε τ γιόμε υτά Δηλδή το κόστος του το 99 ήτ, 6,6 7, 9 56 Η πρπάω διδικσί περιγράφετι με τη βοήθει τω πιάκω ως εξής: Γ Γ

30 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5 6 [,,6,] 7 [, 6,6 7, 9] [56] 9 O πίκς [56] λέγετι γιόμεο της πρώτης γρμμής του Α επί τη πρώτη στήλη του Β Αλόγως, το κόστος του Γ το 99 ήτ, 8,6, 696 Δηλδή πριστάετι με το γιόμεο της πρώτης γρμμής του Α επί τη δεύτερη στήλη του Β 8 [,,6,] [696] Ομοίως, το κόστος του Γ το 99 ήτ:, 6,8 7, 9 7 ή 6 [,,8,] 7 [7], 9 εώ το 99 ήτ:, 8,8, 89 ή 8 [,,8,] [89] Ο πίκς Γ δείχει το κόστος τω δύο γλυκισμάτω κτά τ έτη κι 99 Ο πίκς Γ που προκύπτει με το πιο πάω τρόπο λέγετι γιόμεο του πίκ Α με το πίκ Β κι συμβολίζετι με A B ή AB, δηλδή 6 8,,6, Γ 7,,8, Γεικά έχουμε το κόλουθο ορισμό: OΡΙΣΜΟΣ

31 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6 Α είι ές ] [ ik A μ πίκς κι ] [ kj β B είι ές ρ πίκς, τότε ορίζουμε ως γιόμεο του πίκ Α με το πίκ Β κι το συμβολίζουμε με B A ή με ΑΒ το ρ μ πίκ, του οποίου κάθε στοιχείο είι το ά- γ ij θροισμ τω γιομέω τω στοιχείω της -γρμμής του Α με τ τίστοιi χ στοιχεί της -στήλης του Β Δηλδή, j j i j i j i ij β β β γ L Σχημτικά -στήλη j μρ μj μ μ iρ ij i i ρ j ρ j ρ j ρ j ρ j μ μ μ i i i γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ β β β β β β β β β β β β i L L M L L M L L L L M M M M L L L L L M M L M L L γρμμή Γι πράδειγμ, το γιόμεο βρίσκετι ως εξής: 5, γ γ κι γ γ Επομέως, Τοίζετι ότι το γιόμεο ΑΒ ορίζετι ότ ο ριθμός τω στηλώ του πίκ Α είι ίσος με το ριθμό τω γρμμώ του πίκ Β Σχημτικά: ρ μ ρ μ AB Β A, Γι πράδειγμ,, κι, τότε, σύμφω με το πρπάω ορισμό, ορίζοτι τ γιόμε κι είι A B 5 Γ AΓ BA AB,,

32 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 7 AB 7, 8 BA κι AΓ , 8 εώ δε ορίζοτι τ γιόμε BΓ, ΓΒ κι ΓΑ Ιδιότητες του πολλπλσισμού τω πιάκω Α λ, μ είι πργμτικοί ριθμοί κι A, B είι πίκες, τότε ισχύου οι πρκάτω ιδιότητες με τη προϋπόθεση οτι ορίζοτι οι πράξεις που σημειώοτι A BΓ AB Γ προσετιριστική Α Β Γ AB ΑΓ κι Β Γ A BA ΓΑ επιμεριστική λa μb λμ AB L L Α με I συμβολίσουμε το διγώιο πίκ L του M M M M L οποίου κάθε στοιχείο της κυρίς διγωίου είι ίσο με, τότε γι κάθε τετργωικό πίκ Α ισχύει: AI I A A O πίκς υτός λέγετι μοδιίος πίκς Γι πράδειγμ, οι πίκες I, I είι μοδιίοι Το πίκ I θ το συμβολίζουμε πλούστερ με Ι, ότ είι προφής ο τύπος του Α τώρ Α είι ές μ πίκς, τότε ισχύου Γι πράδειγμ ΑΙ A κι I μ A A

33 8 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ κι 5 6 Η προσετιριστική ιδιότητ μς επιτρέπει γράφουμε ABΓ γι κθέ πό τ ίσ γιόμε ABΓ, AB Γ Ομοίως, Α,Β,Γ,Δ είι πίκες τέτοιοι, ώστε ορίζοτι τ γιόμε ΑΒ, ΒΓ, 5 ΓΔ τότε έχουμε 6 [ AB Γ] Δ AB ΓΔ A[ B ΓΔ] A[ ΒΓ Δ] [ A BΓ] Δ κι μπορούμε γράφουμε ΑΒΓΔ γι κθέ πό τ γιόμε υτά Γεικά, επειδή ισχύει η προσετιριστική ιδιότητ, μπορεί ποδειχτεί ότι ότ πολλπλσιάζουμε έ ριθμό πιάκω A, A,, A το γιόμεο θ είι το ίδιο κτά οποιοδήποτε τρόπο κι εκτελεστεί ο πολλπλσισμός, χωρίς ό- μως λλάξει η σειρά τω πργότω κι συμβολίζετι με A A Α ο Α είι ές τετργωικός πίκς, τότε ορίζοτι τ γιόμε ΑΑ, ΑΑΑ, ΑΑΑΑ, κτλ κι τ συμβολίζουμε με μορφή δυάμεω ως εξής: A, A, A,, - τιστοίχως Ορίζουμε επίσης A A Α p, q είι θετικοί κέριοι, κι κ πργμτικός ριθμός, ποδεικύετι ότι: ΣΧΟΛΙΟ A A A p q p q p q pq p p p, A A κι κa κ A Γωρίζουμε ότι γι το πολλπλσισμό τω πργμτικώ ριθμώ ισχύει, επιπλέο, κι η τιμετθετική ιδιότητ Δηλδή, ισχύει β β γι οποιουσδήποτε,β Η ιδιότητ, όμως, υτή δε ισχύει γι το πολλπλσισμό τω πιάκω, φού υπάρχου πίκες A 5 κι B, τότε A, B με AB BA Γι πράδειγμ, AB BA, φού: 9 8 AB, εώ BA Επειδή, λοιπό, δε ισχύει η τιμετθετική ιδιότητ οι ισότητες: A B A ± B A ± AB, A ± B A ± A B AB ± B, B A B A B, A B A B A AB B κτλ A AB BA οι πρπάω ισότη- δε ισχύου πάτοτε Στη περίπτωση, όμως, που τες ισχύου

34 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 9 ΕΦΑΡΜΟΓH Δίοτι οι πίκες κι Ν ποδειχτεί ότι: A B i I A, I B κι A B ii I BA AB iii AB B A B A ΛΥΣΗ i Είι I A B I Άρ B A ii Είι AB BA Άρ I BA AB iii Είι I BA AB I B BA AB A B A B A B A I BA AB λόγω της ii λόγω της ii AB AB B A Άρ, AB B A B A Ατιστρέψιμοι πίκες Γωρίζουμε ότι γι κάθε πργμτικό ριθμό με υπάρχει ο τίστροφός του, που συμβολίζετι με ή, γι το οποίο ισχύει

35 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Είι λογικό τώρ ρωτήσουμε: Α δοθεί ές πίκς Α μπορούμε βρούμε έ πίκ Β τέτοιο ώστε ισχύει AB BA I ; Σύμφω με το πολλπλσισμό που ορίσμε μι τέτοι ερώτηση έχει όημ μόο ο Α είι ές τετργωικός πίκς Οδηγούμστε έτσι στο εξής ορισμό: OΡΙΣΜΟΣ Έστω Α ές τετργωικός πίκς τύπου Α υπάρχει τετργωικός πίκς Β τύπου, τέτοιος ώστε ισχύει AB BA I, τότε ο Α λέγετι - τιστρέψιμος πίκς κι ο Β τίστροφος του Α Α ές πίκς Α έχει τίστροφο, τότε ποδεικύετι ότι υτός είι μοδικός κι συμβολίζετι με A Έτσι έχουμε: Γι πράδειγμ, τότε έχουμε: AB I Άρ, ο Β είι ο τίστροφος του Α AA A A I A κι B, κι BA I Σύμφω με το πρπάω ορισμό, ο πίκς Β είι τίστροφος του Α, ότ AB I κι BA I Αποδεικύετι, όμως, ότι: ΘΕΩΡΗΜΑ Α γι δυο πίκες A, B ισχύει μι πό τις ισότητες τότε θ ισχύει κι η άλλη AB I κι BA I, Με βάση υτό το θεώρημ, γι ποδείξουμε ότι ές πίκς Β είι τίστροφος εός πίκ Α, ρκεί ποδείξουμε μί μόο πό τις ισότητες AB I κι BA I Τέλος, ές πίκς Α είι τιστρέψιμος, τότε ισχύου οι ισοδυμίες: i ii AX B X A XA B X BA B Πράγμτι, γι τη i έχουμε: Α AX B, τότε A AX A B, οπότε X A B

36 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α X A B, τότε AX AA B, οπότε AX B Ομοίως ποδεικύετι κι η ii ΣΧΟΛΙΟ Γωρίζουμε ότι γι το πολλπλσισμό τω πργμτικώ ριθμώ ισχύει επιπλέο κι η ιδιότητ: β, τότε ή β Η ιδιότητ, όμως, υτή δε ισχύει γι το πολλπλσισμό τω πιάκω, φού πχ γι τους πίκες A κι B ισχύει χωρίς, ωστόσο, AB είι A O ή B O Δηλδή: Μπορεί έ γιόμεο πιάκω ισούτι με το μηδεικό πίκ, χωρίς κές είι μηδεικός Στη περίπτωση όμως που ισχύει AB κι ο ές πό τους πίκες είι - τιστρέψιμος, τότε ο άλλος είι μηδεικός Πράγμτι, ο Α είι τιστρέψιμος, τότε έχουμε διδοχικά: AB Aτίστροφος εός A πίκ AB A IB B β Έστω A ές πίκς Θ εξετάσουμε πότε υτός τιστρέφετι γ δ κι θ βρούμε το τίστροφό του Γι τιστρέφετι ο Α, πρέπει κι ρκεί υπάρχει πίκς X τέτοιος, ώστε ισχύει AX I ή, z ω ισοδύμ, γ β δ z ω βz γ δz βω γ δω βz γ δz βω Σ κι Σ γ δω Αρκεί, επομέως, τ συστήμτ Σ κι Σ έχου λύση Τ συστήμτ υτά έχου

37 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ κι D γ β δ βγ δ β β D δ, D z γ, D β, D ω δ γ δ γ Επομέως: A D, τότε τ συστήμτ Σ κι Σ έχου μοδική λύση, οπότε ο πίκς Α τιστρέφετι Η λύση του Σ είι το ζεύγος, z με D δ κι D D εώ η λύση του Σ είι το ζεύγος, ω D β κι D D Dz γ z, D D με D ω ω D D Άρ δ X D γ D β D, οπότε ο τίστροφος του Α είι ο πίκς D A δ D γ β Α D, τότε έ τουλάχιστο πό τ συστήμτ Σ κι Σ είι δύτο, οπότε ο πίκς Α δε τιστρέφετι Πράγμτι Α D ή D ή D ή D, τότε έ τουλάχιστο πό τ συστήμτ Σ κι Σ θ είι δύτο z β Α D D D D, τότε β γ δ, οπότε κι πάλι τ δύο z ω συστήμτ θ είι δύτ Αποδείξμε λοιπό ότι: ω O πίκς β β A είι τιστρέψιμος, κι μόο γ δ γ δ Ο τίστροφος εός πίκ A γ β, υπάρχει, δίετι πό το τύπο δ δ β A, όπου D γ β D γ δ Γι πράδειγμ:

38 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ο πίκς A τιστρέφετι, γιτί κι ο τίστροφός του είι ο A β Ο πίκς A δε τιστρέφετι, γιτί ΕΦΑΡΜΟΓH Δίοτι οι πίκες A κι B i N βρεθεί ο τίστροφος του πίκ Α ii Ν λυθεί η εξίσωση ΛΥΣΗ AX B i Γι το πίκ Α έχουμε D Άρ ii Επειδή ο πίκς Α είι τιστρέψιμος, έχουμε: AX B X A A B X X 6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ N βρείτε τ γιόμε AB κι BA σε όποιες πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζοτι:

39 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ i, ii, ] A [ B A B iii, 5 A 5 B iv, A 7 B Α, κι A B Γ Ν βρείτε τους πίκες: i AB ii Γ AB iii ABΓ T στοιχεί γι τις μοιβές κι το ριθμό τω εργτώ σε δύο οικοδομικές ετιρείες Α κι Β έχου με μορφή πιάκω ως εξής: Aριθμός εργτώ Εβδομδιίες ποδοχές Ειδικευμέοι Αειδίκευτοι σε χιλ δρχμές B A Αειδίκευτοι Ειδικευμέοι 5 Ν εκφράσετε με τη βοήθει του πολλπλσισμού τω πιάκω το σύολο τω μοιβώ τω εργτώ στις δύο ετιρείες Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ποδείξετε ότι ο πίκς Β είι τίστροφος του Α i, ii, A B 5 A B 5 Ν βρείτε το τίστροφο, εφόσο υπάρχει, κθεός πό τους πρκάτω πίκες: A, κι B θ θ θ θ Γ συ ημ ημ συ 6 i Ν βρείτε το τίστροφο του πίκ ημ συ συ ημ

40 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5 ημ συ συ ημ ii Ν λύσετε τη εξίσωση: X συ ημ ημ συ Α A, τότε: B ΟΜΑΔΑΣ i Ν βρείτε τις τιμές τω, γι τις οποίες ισχύει A A I ii Ν υπολογίσετε τους πίκες A κι A A A, βρείτε το πργμτικό ριθμό, ώστε ισχύει A A I Ν βρείτε τους πίκες X, β X I,β γι τους οποίους ισχύει Α A, B, ποδείξετε ότι: i A I, B I iii A B A B A B ii A B, A B I 5 A A, ποδείξετε ότι: i Ο πίκς Α τιστρέφετι κι βρείτε το ii A A I, * A συ - ημ ημ συ 6 A A, B, τότε: ημ συ συ ημ i Ν ποδείξετε ότι A A, B A ii Ν ποδείξετε ότι A B iii Ν λύσετε τη εξίσωση A B I 7 Mι βιομηχί επίπλω κουζίς έχει δύο εργοστάσι E κι E Οι πίκες Μ κι Ν δίου τις ώρες εργσίς που πιτούτι γι τη κτσκευή κάθε επίπλου κι τις ωριίες μοιβές του προσωπικού σε δρχμές τιστοίχως

41 6 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κτσκευή Βάψιμο Συσκευσί E E,6,6, Πάγκος 5 55 M,9, Κρέκλ, N 6 7,5,, Τρπέζι 5 i Ν βρείτε το πίκ ΜΝ κι εξηγήσετε τι εκφράζει Κτσκευή Βάψιμο Συσκευσί ii Ποιο είι το κόστος εργσίς γι τη πργωγή μις κρέκλς στο εργοστάσιο κι εός πάγκου στο εργοστάσιο E ; E 8 Α A 5 6 κι B, ποδείξετε ότι: i A κι γεικά A, I άρτιος θετικός ii B I, B B κι γεικά B B περιττός θετικός ημ π 9 Δίετι ο πίκς A, συ ημ, π i Ν ποδείξετε ότι A A ii Ν λύσετε τη εξίσωση A I Α A, i Ν ποδείξετε ότι A A A ii Ν βρείτε τη σχέση μετξύ τω, ώστε ο πίκς A είι τίστροφος του A iii N βρείτε το τίστροφο του πίκ M λ λ Α A, λ λ λ, τότε: i Ν ποδείξετε ότι A I I, άρτιος A A, περιττός, A A κι γεικά ότι

42 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 7 ii Α λ, βρείτε το πίκ Χ γι το οποίο ισχύει A 99 X iii Ν υπολογίσετε το άθροισμ I A A L A Δίετι ο πίκς A i Ν βρείτε το τίστροφο του πίκ Α ii Ν βρείτε το πίκ Χ σε κάθε μι πό τις πρκάτω περιπτώσεις: AX β AXA γ AX A A Α A, τότε: i Ν ποδείξετε ότι A I κι γεικά ότι Ι, άρτιος A I, περιττός ii Ν βρείτε τις πργμτικές τιμές του γι τις οποίες ισχύει A A ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Η Έοι του Γεωμετρικού Μετσχημτισμού Γωρίζουμε πό τη Α Λυκείου ότι συάρτηση πό έ σύολο Α σε έ σύολο Β είι μι διδικσί με τη οποί κάθε στοιχείο του Α τιστοιχίζετι σε έ κι μοδικό στοιχείο του Β Στη πράγρφο υτή θ σχοληθούμε με συρτήσεις γι τις οποίες τ Α κι Β συμπίπτου με το σύολο E τω σημείω εός κρτεσιού επιπέδου O Οι συρτήσεις υτές λέγοτι γεωμετρικοί μετσχημτισμοί στο επίπεδο ή, πλά, γεωμετρικοί μετσχημτισμοί Δηλδή, γεωμετρικός μετσχημτισμός είι οποιδήποτε συάρτηση Τ M, T :E E M, O

43 8 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ως προς τη συάρτηση υτή η εικό, T M, του σημείου M, θ συμβολίζετι με M, Έ πράδειγμ γεωμετρικού μετσχημτισμού είι η συάρτηση T :E E M, M,, η οποί τιστοιχίζει κάθε σημείο Μ στο συμμετρικό του M ως προς το άξο C C M, O M, Στη συέχει θ σχοληθούμε μόο με τους γεωμετρικούς μετσχημτισμούς που πεικοίζου τ σημεί M, στ M, τω οποίω οι συτετγμέες δίοτι πό έ σύστημ της μορφής β μ γ δ ή, ισοδύμ, πό μι εξίσωση της μορφής β μ γ δ όπου,β,γ,δ,μ, πργμτικοί ριθμοί Α μ κι, τότε η εξίσωση πίρει τη μορφή β γ δ Στη περίπτωση υτή ο γεωμετρικός μετσχημτισμός λέγετι γρμμικός μετσχημτισμός κι ο πίκς λέγετι πίκς του γρμμικού μετ- β γ δ σχημτισμού Γι πράδειγμ, ο γεωμετρικός μετσχημτισμός που ορίζετι πό το σύστημ 7 7 ή, ισοδύμ, πό τη εξίσωση είι ές γρμμικός μετσχημτισμός με πίκ το Με υτό το μετσχημτισμό 7 το σημείο A, πεικοίζετι στο A,6, εώ το σημείο B, στο B,, δηλδή στο ευτό του Ας θεωρήσουμε τώρ το γρμμικό μετσχημτισμό

44 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 9 β T : γ δ κι τ μοδιί διύσμτ i r, κι r j, Τότε, η εικό A του πέρτος A, Β β,δ του διύσμτος i r έχει συτετγμέες, γ, φού β γ δ, γ Β, r j O r i Α, Α,γ εώ η εικό B του πέρτος B, του διύσμτος r j έχει συτετγμέες β, δ, φού γ β β δ δ Πρτηρούμε, δηλδή, ότι: Oι συτετγμέες της εικός του πέρτος, A,, του διύσμτος i r, είι η πρώτη στήλη, εώ οι συτετγμέες της εικός του πέρτος, Β,, του διύσμτος r j είι η δεύτερη στήλη του πίκ του γρμμικού μετσχημτισμού Γι πράδειγμ, ο γρμμικός μετσχημτισμός, που πεικοίζει τ πέρτ A, κι B, τω διυσμάτω i r r, κι j, στ σημεί A, κι B, τιστοίχως, έχει πίκ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Δίετι ο γρμμικός μετσχημτισμός T : i Ν βρεθού οι εικόες A, κι B, τω σημείω A, κι B, τιστοίχως ii Ν ποδειχτεί ότι A B AB

45 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΛΥΣΗ i Έχουμε Επομέως, οι εικόες τω κι είι τ σημεί κι τιστοίχως, A, B, A, B ii Είι AB B A Πρτηρούμε ότι ο μετσχημτισμός υτός διτηρεί τις ποστάσεις Οι γρμμικοί μετσχημτισμοί που διτηρού τις ποστάσεις λέγοτι ισομετρίες Δίετι ο γρμμικός μετσχημτισμός: T : N βρεθεί: i Το πρότυπο του σημείου, A, δηλδή το σημείο, Α που πεικοίζετι στο A, ii Η εικό της ευθείς : ε ΛΥΣΗ i Ισχύει Επειδή ο πίκς είι τιστρέψιμος, πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το τίστροφό του, που είι ο πίκς κι έχουμε διδοχικά:

46 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άρ το σημείο Α έχει συτετγμέες, ii Αρκεί βρούμε τη εξίσωση η οποί επληθεύετι πό τις συτετγμέες τω εικόω τω σημείω της ευθείς ε κι μόο π υτές Πράγμτι, έχουμε: Eπομέως, το σημείο θ ισχύει: Άρ, το σημείο M, ήκει στη ε, τότε 6 M, ήκει στη ευθεί ε : ε 5 ε O Αλλά κι τιστρόφως, το σημείο M, ήκει στη ευθεί ε :, τότε το M, ήκει στη ευθεί ε : Συεπώς, η εικό της ευθείς ε : είι η ευθεί ε : ΣΧΟΛΙΟ Αποδεικύετι ότι κάθε γρμμικός μετσχημτισμός, του οποίου ο πίκς - τιστρέφετι, πεικοίζει: ευθείες σε ευθείες ευθύγρμμ τμήμτ σε ευθύγρμμ τμήμτ με άκρ τις εικόες τω άκρω πολύγω σε πολύγω με κορυφές τις εικόες τω κορυφώ Γι πράδειγμ, με το μετσχημτισμό

47 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ T : το τρίγωο ΑΒΓ με κορυφές A,, B, κι Γ, πεικοίζετι στο τρίγωο A B Γ που έχει ως κορυφές τις εικόες A,, B, κι Γ, τω κορυφώ του τριγώου ΑΒΓ Είι βολικό, πολλές φορές, έ πολύγωο A A A το πριστάουμε με το πίκ K K, που έχει ως στήλες τις συτετγμέες τω κορυφώ του Το πίκ υτό θ το λέμε πίκ του πολυγώου Έτσι, ο πίκς του ΑΒΓ είι ο, εώ του A B Γ ο Eίι φερό ότι 6 Β Γ A B Γ Α Β Γ Β Άρ ο πίκς του τριγώου A B Γ προκύπτει πολλπλσιάσουμε το πίκ του γρμμικού μετσχημτισμού με το πίκ του τριγώου ΑΒΓ Αυτό ισχύει κι γι οποιοδήποτε πολύγωο Βσικοί γεωμετρικοί μετσχημτισμοί Συμμετρί ως προς τη ρχή τω ξόω Κλούμε συμμετρί ως προς τη ρχή τω ξόω το γεωμετρικό εκείο μετσχημτισμό με το οποίο κάθε σημείο M, του κρτεσιού επιπέδου πεικοίζετι στο συμμετρικό του M, ως προς τη ρχή τω ξόω Όπως γωρίζουμε πό τη Α Λυκείου ισχύει C Μ -,- Γ O Α Α 7 Μ, C O Άρ, η συμμετρί ως προς τη ρχή τω ξόω είι γρμμικός μετσχημτισμός με πίκ I

48 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Συμμετρί ως προς άξο μι ευθεί ε Κλούμε συμμετρί ως προς άξο μι ευθεί ε, το γεωμετρικό εκείο μετσχημτισμό με το οποίο κάθε σημείο του κρτεσιού επιπέδου πεικοίζετι στο συμμετρικό του,, ως προς τη ευθεί ε, M, M O ε Μ, Μ, 8 Στη πράγρφο υτή θ σχοληθούμε με τη συμμετρί ως προς το άξο, τη συμμετρί ως προς το άξο κι τη συμμετρί ως προς τη ευθεί Συμμετρί ως προς το άξο Οπως γωρίζουμε πό τη Α Λυκείου ισχύει: Άρ, η συμμετρί ως προς το άξο είι γρμμικός μετσχημτισμός με πίκ O 9 C C Μ, Μ, β Συμμετρί ως προς το άξο O C C Μ, Μ, Όπως γωρίζουμε πό τη Α Λυκείου ισχύει: Άρ η συμμετρί ως προς το άξο είι ές γρμμικός μετσχημτισμός με πίκ γ Συμμετρί ως προς άξο τη ευθεί Όπως γωρίζουμε πό τη Α Λυκείου ισχύει: O C ε C Μ, Μ, Άρ, η συμμετρί ως προς άξο τη ευθεί είι ές γρμμικός μετσχημτισμός με πίκ Oι πρπάω γρμμικοί μετσχημτισμοί είι όλοι ισομετρίες

49 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Στροφή με κέτρο Ο κι γωί θ Έστω O έ σύστημ συτετγμέω στο επίπεδο κι θ μι θετική ή ρητική γωί Κλούμε στροφή με κέτρο Ο κι γωί θ το γεωμετρικό εκείο μετσχημτισμό με το ο- ποίο κάθε σημείο M, του επιπέδου τιστοιχίζετι στο πέρς M,, του διύσμτος O M που είι η τελική θέση του OM, υτό στρφεί γύρω πό το Ο κτά γωί θ Α φ είι η γωί που σχημτίζει το διάυσμ OM με το άξο ρσυφ ρημφ Έτσι, θ ισχύει Μ, ρ Μ, θ φ O κι ρ το μέτρο του διύσμτος OM, τότε θ ισχύει: ρσυ φ θ κι ρημ φ θ ρσυφσυθ ημφημθ ρσυφσυθ ρημφημθ ρημφσυθ συφημθ ρημφσυθ ρσυφημθ συθ ημθ ημθ συθ συθ ημθ ημθ συθ Άρ, η στροφή με κέτρο Ο κι γωί θ είι γρμμικός μετσχημτισμός με συθ ημθ πίκ Ειδικότερ: ημθ συθ π Η στροφή με κέτρο Ο κι γωί θ έχει πίκ β Η στροφή με κέτρο Ο κι γωί θ π έχει πίκ I κι είι η συμμετρί ως προς τη ρχή τω ξόω γ Η στροφή με κέτρο Ο κι γωί π θ έχει πίκ δ Τέλος, η στροφή με κέτρο Ο κι γωί θ π έχει πίκ Ι κι είι η τυτοτική πεικόιση Εύκολ ποδεικύετι ότι κι η στροφή είι μι ισομετρί

50 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5 Ομοιοθεσί Κλούμε ομοιοθεσί με κέτρο τη ρχή * τω ξόω Ο κι λόγο λ το μετσχημτισμό με το οποίο κάθε σημείο M, του επιπέδου τιστοιχίζετι στο σημείο M, που ορίζετι πό τη ισότητ O M λom Επειδή OM, κι O M,, έχουμε: O M λom, λ, O Μ, Μ, λ> λ λ λ λ λ λ Άρ,η ομοιοθεσί με κέτρο τη ρχή τω ξόω κι λόγο λ είι ές λ γρμμικός μετσχημτισμός με πίκ λi λ ΜΝΗΜΟΝΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ Γι θυμόμστε το πίκ τω πρπάω γρμμικώ μετσχημτισμώ, ρκεί θυμόμστε ότι η πρώτη στήλη του είι οι συτετγμέες της εικός του σημείου A,, εώ η δεύτερη στήλη του είι οι συτετγμέες της εικός του B, Γι πράδειγμ, ο πίκς της συμμετρίς ως προς το άξο είι ο που έχει γι πρώτη κι δεύτερη στήλη τις συτετγμέες τω συμμετρικώ ως προς το άξο τω σημείω A, κι B, τιστοίχως 5 Πράλληλη μετφορά r Έστω δ δ, δ έ διάυσμ του κρτεσιού επιπέδου O Κλούμε πράλληλη μετφορά κτά διάυσμ δ r το γεωμετρικό εκείο μετσχημτισμό με το οποίο κάθε σημείο M, του επιπέδου τιστοιχίζετι στο σημείο r M, που ορίζετι πό τη ισότητ MM δ Σχ

51 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6 Επειδή, M M, έχουμε r δ r δ O Μ, Μ, δ M M,, δ δ r δ δ δ δ δ δ δ δ Άρ, η πράλληλη μετφορά δε είι γρμμικός μετσχημτισμός ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Έστω Τ ο μετσχημτισμός στροφή με κέτρο Ο κι γωί π θ Ν βρεθεί η εικό της κμπύλης C C : ως προς το μετσχημτισμό Τ ΛΥΣΗ Έστω έ σημείο του επιπέδου κι, M, M η εικό του ως προς το μετσχημτισμό Τ Τότε θ ισχύει π π π π / / / / συ - ημ ημ συ / / / / / / / /

52 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 7 Επομέως, το M, ήκει στη κμπύλη C, τότε θ ισχύει: [ ], οπότε το σημείο M, θ είι σημείο της ισοσκελούς υπερβολής C : 5 C C O Αλλά κι τιστρόφως, το M, ήκει στη κμπύλη C, τότε το M, θ ήκει στη C Άρ, η εικό της C :, ως προς τη στροφή με κέτρο Ο κι γωί είι η υπερβολή C : Συεπώς, η κμπύλη υπερβολή που προκύπτει στρέψουμε τη C κτά γωί π θ, C : είι μι π θ Έστω κι T οι γρμμικοί μετσχημτισμοί με πίκες T A κι A τιστοίχως Ν βρεθεί ο πίκς του γρμμικού μετσχημτισμού που προκύπτει, εφρμόσουμε πρώτ το κι έπειτ το T, δηλδή του μετσχημτισμού T o ΛΥΣΗ Έστω T T M, έ σημείο του επιπέδου Α M, είι η εικό του Μ μέσω του μετσχημτισμού T κι M, η εικό του M μέσω του μετσχημτισμού, τότε θ ισχύει T κι, οπότε θ έχουμε

53 8 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 8 8 Άρ, ο πίκς του T o T είι ο που είι το γιόμεο A A τω πιάκω τω μετσχημτισμώ κι T Γεικά: T Α A, A είι πίκες δύο γρμμικώ μετσχημτισμώ, T κι T τιστοίχως, τότε ο πίκς του γρμμικού μετσχημτισμού T o T είι ο A A, εώ του T o T είι ο A A ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ν γράψετε τους πίκες τω γρμμικώ μετσχημτισμώ: T :, T :, T: κι βρείτε τις εικόες τω σημείω A, κι B, Ν βρείτε το γρμμικό μετσχημτισμό που πεικοίζει τ πέρτ A, κι B, τω μοδιίω διυσμάτω i r κι r j στ σημεί i, κι, τιστοίχως, ii, κι, τιστοίχως Δίετι ο γρμμικός μετσχημτισμός: T : Ν βρείτε τις εικόες τω σημείω O, κι A, κι στη συέχει ποδείξετε ότι ο Τ δε είι ισομετρί Δίετι ο γρμμικός μετσχημτισμός: T : i Ν βρείτε τη εικό A B Γ Δ του τετργώου ΑΒΓΔ που έχει πίκ ii Ν ποδείξετε ότι το Α Β Γ Δ είι πλάγιο πρλληλόγρμμο

54 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 9 5 Δίετι ο μετσχημτισμός: N βρείτε T : i το πρότυπο του σημείου A,5 ii τη εικό της ευθείς ε : 6 Τι πριστάου γεωμετρικά οι γρμμικοί μετσχημτισμοί που έχου πίκ: i / / A, ii A / / iii A, iv A v A, vi A B ΟΜΑΔΑΣ Δίετι ο γρμμικός μετσχημτισμός: T : i Ν ποδείξετε ότι ο Τ πεικοίζει όλ τ σημεί του επιπέδου στη ευθεί ε: ii N βρείτε τ πρότυπ του σημείου O, iii Ν ποδείξετε ότι το σημείο A, δε έχει πρότυπο Δίετι ο γρμμικός μετσχημτισμός: T : κι δύο οποιδήποτε σημεί A,, B, του επιπέδου Ν ποδείξετε ότι i O T δε είι ισομετρί, δηλδή ότι A B AB ii iii Ο Τ πεικοίζει το μέσο του ευθ τμήμτος ΑΒ στο μέσο της εικός του A B Το εμβδό του τριγώου ΟΑΒ είι ίσο με το εμβδό της εικός του O A B

55 5 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ν βρείτε το γρμμικό μετσχημτισμό που πεικοίζει τ σημεί A, κι B, στ σημεί: i A, κι B, τιστοίχως ii A 6, κι B, τιστοίχως Σε κθεμιά περίπτωση βρείτε τη εικό της ευθείς ε: Ν ποδείξετε ότι κθές πό τους πρκάτω γεωμετρικούς μετσχημτισμούς είι γρμμικός μετσχημτισμός i Η συμμετρί ως προς τη ευθεί ii Η προβολή πάω στο άξο iii Η προβολή πάω στο άξο iv Η προβολή πάω στη ευθεί Στη συέχει βρείτε σε κθεμί περίπτωση τη εικό του τετργώου ΟΑΓΒ με πίκ κι επιβεβιώσετε γεωμετρικά τη πάτησή σς 5 Δίετι ο μετσχημτισμός Τ με πίκ A, όπου > β > β i Ν ποδείξετε ότι η εικό του κύκλου C: είι η έλλειψη C β : ii Αφού βρείτε τη εικό O A Γ B του τετργώου ΟΑΓΒ, που έχει πίκ, δείξετε ότι O A Γ B β OAΓΒ 5 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Κάθε εξίσωση της μορφής L β, όπου,,, β είι πργμτικοί ριθμοί κι,,, άγωστοι, λέγετι γρμμική εξίσωση με γώστους Οι ριθμοί,, λέγοτι συτελεστές τω γώστω κι ο β στθερός όρος Γι πράδειγμ, η εξίσωση είι μι γρμμική εξίσωση με δύο - γώστους Επίσης, η 5 είι γρμμική εξίσωση με τέσσε-

56 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5 ρις γώστους, εώ οι εξισώσεις κι δε είι γρμμικές Κάθε διτετγμέη -άδ ριθμώ s, s,, s που επληθεύει μι γρμμική εξίσωση με γώστους λέγετι λύση της εξίσωσης Γι πράδειγμ, η διτετγμέη τριάδ,, είι λύση της εξίσωσης ω, φού Έ πλήθος μ γρμμικώ εξισώσεω με γώστους τω οποίω ζητάμε τις κοιές λύσεις, λέγετι γρμμικό σύστημ μ εξισώσεω με γώστους ή - πλούστερ μ γρμμικό σύστημ Γι πράδειγμ, το ω ω είι έ γρμμικό σύστημ Γεικά, έ μ γρμμικό σύστημ έχει τη μορφή L β L β μ μ L μ β μ Σ Σ Ο ος δείκτης i του συτελεστή δείχει τη εξίσωση στη οποί ήκει ο ij ij, εώ ο ος δείκτης j δείχει το άγωστο με το οποίο πολλπλσιάζετι ο Γι πράδειγμ, ο είι ο συτελεστής του γώστου στη τρίτη ε- ij ξίσωση εός συστήμτος Κάθε διτετγμέη -άδ ριθμώ η οποι επληθεύει όλες τις εξισώσεις εός μ γρμμικού συστήμτος, λέγετι λύση του συστήμτος Γι πράδειγμ, η διτετγμέη τριάδ,, είι λύση του συστήμτος Σ, φού κι Η διδικσί με τη οποί βρίσκουμε τις λύσεις εός συστήμτος λέγετι επίλυση του συστήμτος Έ σύστημ που έχει μι τουλάχιστο λύση λέγετι συμβιβστό, εώ έ σύστημ που δε έχει κμί λύση λέγετι δύτο Τέλος, δύο γρμμικά συστήμτ που έχου τις ίδιες κριβώς λύσεις λέγοτι ισοδύμ Με τη βοήθει τω πιάκω το σύστημ Σ γράφετι ω ω

57 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5 Το ο μέλος όμως της ισότητς υτής είι το γιόμεο του πίκ τω συτελεστώ τω γώστω με το πίκ στήλη τω γώστω Επομέως το σύστημ γράφετι ω Σ ω Γεικότερ, το μ γρμμικό σύστημ γράφετι Σ μ μ μ μ β β β M M L M M M L L Α τώρ συμβολίσουμε με Α το πίκ τω συτελεστώ τω γώστω, με Χ το πίκ-στήλη τω γώστω κι με Β το πίκ-στήλη τω στθερώ ό- ρω, τότε το γράφετι Σ B AX Α οι στθεροί όροι εός γρμμικού συστήμτος είι όλοι ίσοι με το μηδέ, τότε το σύστημ λέγετι ομογεές κι σύτομ γράφετι AX Τέλος ο πίκς μ μ μ μ β β β L M M M M L L που ποτελείτι πό το πίκ Α τω συτελεστώ τω γώστω, συμπληρωμέο με τη στήλη τω στθερώ όρω λέγετι επυξημέος πίκς του συστήμτος Όπως θ δούμε στη συέχει, ο πίκς υτός πίζει σημτικό ρόλο στη επίλυση του συστήμτος Η κτκόρυφη δικεκομμέη γρμμή στο επυξημέο πίκ προστίθετι πλώς γι ξεχωρίζει τη στήλη τω στθερώ ό- ρω 6 ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΑΠΑΛΟΙΦΗΣ ΤΟΥ GAUSS Aποδεικύετι ότι, σε έ γρμμικό σύστημ εφρμόσουμε μι πό τις επόμεες διδικσίες, τότε προκύπτει ισοδύμο σύστημ:

58 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5 Ελλγή της θέσης δύο εξισώσεω Πολλπλσισμός τω μελώ μις εξίσωσης με έ μη μηδεικό ριθμό Πρόσθεση τω μελώ μις εξίσωσης πολλπλσισμέω με έ ριθμό στ μέλη μις άλλης Έτσι, ότ έχουμε λύσουμε έ γρμμικό σύστημ προσπθούμε, εφρμόζοτς τις προηγούμεες διδικσίες, το μετσχημτίσουμε σε έ άλλο ισοδύμο σύστημ του οποίου η λύση είι προφής Ας δούμε τώρ με έ πράδειγμ πως εφρμόζοτι κι πως συμβολίζοτι οι τρεις υτές διδικσίες Έστω το γρμμικό σύστημ Πολλπλσιάζουμε τ μέλη της ης εξίσωσης E του Σ με κι τ προσθέτουμε στ τίστοιχ μέλη της ης εξίσωσης του E Σ Έτσι, πλείφετι πό τη Ε ο άγωστος Πολλπλσιάζουμε τ μέλη της Ε του Σ με κι τ προσθέ- τουμε στ μέλη της Ε Ετσι, πλείφετι πό τη Ε ο άγωστος E E E E ω 5ω ω Σ ω E ω Σ ω ω E ω Σ 7 ω Πολλπλσιάζουμε τ μέλη της Ε του Σ με στής του γίετι Έτσι, ο συτε- E E ω ω 7 ω Σ Συεχίζουμε εφρμόζοτς τις πρπάω διδικσίες που πριστάουμε πλέο μόο συμβολικά: E E 7E ω ω 8ω 8 Σ5 E E 8 ω ω ω Σ 6

59 5 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E E E ω ω Σ 7 E E E ω Σ8 E E E ω Σ 9 Επειδή το σύστημ Σ 9 είι ισοδύμο με το ρχικό σύστημ Σ, συμπερίουμε ότι η λύση του συστήμτος είι η τριάδ,, Μπορούμε περιγράψουμε πλούστερ τη διδικσί επίλυσης εός μ γρμμικού συστήμτος, σκεφτούμε ως εξής: Αφού κάθε εξίσωση πριστάετι με μι γρμμή του επυξημέου πίκ, ρκεί οι πρπάω μεττροπές τω εξισώσεω γίοτι στις γρμμές Γ, Γ,, Γ μ του επυξημέου πίκ Οι μεττροπές υτές λέγοτι γρμμοπράξεις κι είι οι εξής: Γρμμοπράξη Συμβολισμός Ελλγή της θέσης δύο γρμμώ Γ i Γ j Πολλπλσισμός μις γρμμής με έ μη μηδεικό ριθμό Γ i λγ i, λ Πρόσθεση τω στοιχείω μις γρμμής, πολλπλσισμέω με έ ριθμό, στ Γ Γ λγ τίστοιχ στοιχεί μις άλλης γρμμής Ότ έχουμε δύο πίκες Α, Β που ο ές προκύπτει πό το άλλο με γρμμοπράξεις, τότε οι πίκες υτοί λέγοτι γρμμοϊσοδύμοι ή πλώς ισοδύμοι κι γράφουμε A ~ B Είι προφές ότι, οι επυξημέοι πίκες δύο συστημάτω είι ισοδύμοι, τότε κι τ συστήμτ είι ισοδύμ, φού κθεμιά γρμμοπράξη ξεχωριστά οδηγεί σε σύστημ ισοδύμο με το ρχικό Έτσι, η επίλυση του προηγούμεου συστήμτος μπορεί γίει ως εξής: 5 Γ Γ Γ ~ i Γ i Γ Γ ~ j 7 Γ Γ ~ 7 Γ Γ 7Γ ~

60 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ~ 8 Γ Γ ~ Γ Γ Γ ~ Γ Γ Γ ~ Γ Γ Γ Ο τελευτίος πίκς τιστοιχεί στο σύστημ ω Επομέως, η λύση του συστήμτος είι η τριάδ,, Πρτηρούμε ότι ο τελευτίος πίκς τω συτελεστώ τω γώστω είι ο μοδιίος πίκς Έτσι μπορούμε διβάσουμε μέσως τη λύση του συστήμτος Γι πλοποιήσουμε κι συτομεύσουμε κόμη περισσότερο τη διδικσί επίλυσης εός συστήμτος, πολλές φορές στο ίδιο βήμ εφρμόζουμε περισσότερες πό μί γρμμοπράξεις Ας λύσουμε τώρ κι το σύστημ Πίρουμε το επυξημέο πίκ κι έχουμε διδοχικά: ~ Γ Γ Γ Γ Γ Γ ~ Γ Γ ~ Γ Γ Γ 5 ~ Γ Γ 6 5 ~ 6 Γ Γ Γ Γ Γ Γ 5 ~ 5Γ Γ Γ

61 56 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTA Έτσι το ρχικό σύστημ είι ισοδύμο με το σύστημ 5 Λύουμε τη πρώτη εξίσωση ως προς έ άγωστο, πχ ως προς υτό μς διευκολύει, φού ο συτελεστής του γώστου υτού είι κι έχουμε 5 Επειδή ο άγωστος εκφράζετι ως συάρτηση τω,, υτό σημίει ότι μπορούμε επιλέξουμε υθιρέτως τις τιμές τω, Δηλδή, το γρμμικό σύστημ έχει άπειρο πλήθος λύσεω, τις διτετγμέες πετάδες,,,,, όπου οι, μπορού πάρου οποιεσδήποτε πργμτικές τιμές Πχ γι, έχουμε τη λύση,,,, του συστήμτος Ο τελευτίος πό τους πρπάω ισοδύμους επυξημέους πίκες είι, ό- πως λέμε, ές ηγμέος κλιμκωτός πίκς Γεικά, δίουμε το επόμεο ορισμό: OΡΙΣΜΟΣ Ές μ πίκς λέγετι ηγμέος κλιμκωτός, ισχύου συγχρόως τ πρκάτω: Οι μη μηδεικές γρμμές βρίσκοτι πρι πό τις μηδεικές β Το πρώτο πό ριστερά μη μηδεικό στοιχείο κάθε μη μηδεικής γρμμής είι το κι βρίσκετι δεξιότερ του τίστοιχου της προηγούμεης γρμμής γ Το πρώτο πό ριστερά κάθε μη μηδεικής γρμμής είι κι το μόο μη μηδεικό στοιχείο της στήλης στη οποί ήκει Έτσι πχ οι πίκες Ές μ πίκς λέγετι, πλώς, κλιμκωτός, Οι μη μηδεικές γρμμές βρίσκοτι πρι πό τις μηδεικές κι β Το πρώτο πό τ ριστερά μη μηδεικό στοιχείο κάθε γρμμής βρίσκετι δεξιότερ πό το τίστοιχο στοιχείο της προηγούμεης γρμμής, χωρίς είι κτάγκη ίσο με

62 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 57, 5, είι ηγμέοι κλιμκωτοί, εώ οι πίκες, δε είι ηγμέοι κλιμκωτοί Σχετικά με τους ηγμέους κλιμκωτούς πίκες ισχύει το πρκάτω θεώρημ ΘΕΩΡΗΜΑ Κάθε πίκς μεττρέπετι σε ηγμέο κλιμκωτό πίκ με τη εκτέλεση εός πεπερσμέου πλήθους γρμμοπράξεω Σύμφω με το θεώρημ υτό κάθε πίκς είι ισοδύμος με έ ηγμέο κλιμκωτό πίκ Μπορεί ποδειχθεί ότι υτός ο ηγμέος κλιμκωτός πίκς είι κι μοδικός Ο πρκάτω λγόριθμος μς δίει μι μέθοδο με τη οποί μπορούμε βρίσκουμε κάθε φορά το μοδικό υτό ηγμέο κλιμκωτό πίκ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΒΗΜΑ ο: Βρίσκουμε τη πρώτη στήλη του πίκ που περιέχει μη μηδεικό στοιχείο ΒΗΜΑ ο: Μετφέρουμε στο πίκ πρώτη τη γρμμή που περιέχει μη μηδεικό στοιχείο της στήλης γρμμοπράξη ΒΗΜΑ ο: Κάουμε το μη μηδεικό στοιχείο της στήλης μοάδ γρμμοπράξη ΒΗΜΑ ο: Κάουμε όλ τ στοιχεί της στήλης που είι κάτω πό τη μοάδ μηδεικά γρμμοπράξη ΒΗΜΑ 5ο: Αγοούμε τη πρώτη γρμμή του πίκ κι επλμβάουμε τ βήμτ έως γι τις επόμεες γρμμές του πίκ Α όμως οι γρμμές που πέμει είι μηδεικές, πηγίουμε στο 6ο βήμ ΒΗΜΑ 6ο: Από γρμμή σε γρμμή χρησιμοποιώτς το πρώτο πό ριστερά κάθε γρμμής κι τη γρμμοπράξη κάουμε μηδέ όλ τ στοιχεί της στήλης στη οποί βρίσκετι η μοάδ υτή

63 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTA 58 Ο πρπάω λγόριθμος, που οομάζετι κι λγόριθμος του Gauss, ολοκληρώετι ότ σε κάθε μη μηδεική γρμμή του πίκ το πρώτο πό ριστερά είι κι το μόο μη μηδεικό στοιχείο της στήλης στη οποί ήκει Έτσι γι λύσουμε έ γρμμικό σύστημ με το λγόριθμο του Gauss, μεττρέπουμε το επυξημέο πίκά του σε έ ισοδύμο ηγμέο κλιμκωτό πίκ Γι πράδειγμ, ς λύσουμε το σύστημ Σχημτίζουμε το επυξημέο πίκ του συστήμτος 5 κι έχουμε διδοχικά: Γ Γ βήμ ο 5 Γ Γ Γ Γ Γ Γ βήμ ο ο βήμ 5ο βήμ γρμμή η τη Αγοούμε Γ Γ Γ Γ βήμ ο Γ Γ Γ βήμ ο

64 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 59 ο βήμ 5ο βήμ γρμμή η τη Αγοούμε Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ βήμ 6ο Γ Γ Γ βήμ 6ο Ο τελευτίος πίκς είι ηγμέος κλιμκωτός κι τιστοιχεί στο σύστημ 5 που είι ισοδύμο με το σύστημ 5 Επομέως, το σύστημ έχει άπειρο πλήθος λύσεω της μορφής,,,,,, Ας λύσουμε τώρ κι το σύστημ: ω z ω z ω z Σχημτίζουμε το επυξημέο πίκ του συστήμτος κι έχουμε διδοχικά: ~ Γ Γ Γ Γ Γ Γ ~ 5 Γ Γ ~ 5Γ Γ Γ

65 6 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTA Από τη η γρμμή του τελευτίου πίκ έχουμε ότι z ω ή, που σημίει ότι το σύστημ είι δύτο Γεικά, Α κτά τη επίλυση εός συστήμτος με τη βοήθει του επυξημέου πίκ προυσιστεί μι γρμμή της μορφής, με, τότε το σύστημ είι δύτο ΣΧΟΛΙΟ Από τ συστήμτ που λύσμε μέχρι τώρ, πρτηρούμε ότι, όσ πό υτά είι συμβιβστά, ή έχου μί μοδική λύση ή έχου άπειρο πλήθος λύσεω Δηλδή, δε εμφίστηκε σύστημ που έχει περισσότερες πό μί λλά πεπερσμέου πλήθους λύσεις Αποδεικύετι ότι υτό ισχύει γεικά γι τ γρμμικά συστήμτ ΕΦΑΡΜΟΓH Ν λυθεί το σύστημ ΛΥΣΗ κ κ, κ Σχημτίζουμε το επυξημέο πίκ του συστήμτος κι έχουμε διδοχικά: κ κ Γ Γ ~ κ Γ Γ κ ~ Γ κ κ κ Γ Γ Γ ~ κ κ Α κ, τότε το σύστημ είι δύτο Α κ, τότε ο τελευτίος πίκς γράφετι Επομέως, το σύστημ ισοδυμεί με τη εξίσωση κι έτσι έχει άπειρο πλήθος λύσεω της μορφής,,

66 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ν γράψετε τ συστήμτ i κι ii 5 ω ω 6 6 ω ω στη μορφή B AX, όπου Α ο πίκς τω συτελεστώ τω γώστω, Χ ο πίκς τω γώστω κι Β ο πίκς τω στθερώ ό- ρω Ν γράψετε τ γρμμικά συστήμτ που περιγράφου οι ισότητες: i ii φ ω ω Στη συέχει γράψετε τους επυξημέους πίκες τω συστημάτω υτώ Ν λύσετε τ συστήμτ που τιστοιχού στους ηγμέους κλιμκωτούς πίκες: i ii iii Mε το λγόριθμο του Gauss λύσετε τ συστήμτ: i ii iii z z z z z z z z z

67 ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑTA 6 5 Oμοίως τ συστήμτ: i ii ω z ω z ω z z ω z ω z iii z ω z ω z 6 Ομοίως τ συστήμτ: i ii 6 z z z B ΟΜΑΔΑΣ Ν βρείτε τ ώστε το σύστημ έχει ως λύση τη γ β,, γω β γω γω β,,,, ω Ν βρείτε τη εξίσωση της πρβολής, γ β β,γ,, που διέρχετι πό τ σημεί, κι,, 6, Α π,β,γ < < κι εφ συ ημ εφ συ ημ εφ συ ημ γ β γ β γ β, ποδείξετε ότι π γ β Α κι, λύσετε το γρμμικό σύστημ A ω X AX X 5 Α, βρείτε ολους τους πίκες Χ γι τους οποίους ι- σχύει: A XA AX