Για τη δραστηριότητα χρησιμοποιούνται τέσσερεις χάρακες του 1 m. Στο σχήμα φαίνεται το πρώτο δέκατο κάθε χάρακα.

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Για τη δραστηριότητα χρησιμοποιούνται τέσσερεις χάρακες του 1 m. Στο σχήμα φαίνεται το πρώτο δέκατο κάθε χάρακα."

Ἀγαυή Μαυρογένης
10 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Σημαντικά ψηφία Η ταχύτητα διάδοσης του φωτός είναι x 10 8 m/s. Η τιμή αυτή είναι δοσμένη σε 9 σημαντικά ψηφία. Τα 9 σημαντικά ψηφία είναι Η τιμή αυτή μπορεί να δοθεί και με 5 σημαντικά ψηφία x 10 8 m/s (29979) ή και με τρία σημαντικά ψηφία 3.00 x 10 8 m/s (300). Όταν τα μηδενικά βρίσκονται μπροστά από έναν αριθμό δεν λογαριάζονται ως σημαντικά. Για παράδειγμα στον αριθμό τα σημαντικά ψηφία είναι 3 (456). Όμως τα μηδενικά στο τέλος ενός αριθμού είναι σημαντικά. Για παράδειγμα στον αριθμό τα σημαντικά ψηφία είναι 5 (45600). Τα σημαντικά ψηφία δεν είναι το ίδιο με τα δεκαδικά ψηφία. Τα μήκη 23.0 m, 2.30 m και m έχουν όλα τρία σημαντικά ψηφία αλλά έχουν ένα, δύο και πέντε δεκαδικά ψηφία αντίστοιχα. Ένας τρόπος διδασκαλίας των σημαντικών ψηφίων. Στα πρώτα εργαστηριακά μαθήματα στο Λύκειο εισάγεται η έννοια του σφάλματος στη μέτρηση. Καμιά μέτρηση φυσικού μεγέθους δεν είναι απόλυτα ακριβής. Η ακρίβεια της μέτρησης περιορίζεται πάντα από την τελειότητα με την οποία είναι κατασκευασμένη μια συσκευή ή ένα όργανο μέτρησης. Εξηγούμε στους μαθητές μας ότι η μέτρηση των φυσικών μεγεθών στο εργαστήριο (ή και αλλού) απαιτεί την ανάγνωση κάποιας κλίμακας. Η λεπτομέρεια με την οποία βαθμονομήθηκε μια κλίμακα είναι περιορισμένη. Ακόμα και η γραμμή στην υποδιαίρεση της κλίμακας έχει κάποιο πάχος. Επομένως η μέτρηση του τελευταίου ψηφίου που διαβάζουμε σε μια κλίμακα γίνεται κατά προσέγγιση και κατά συνέπεια δεν είμαστε καθόλου βέβαιοι για την ανάγνωση του ψηφίου αυτού. Παρόλα αυτά, το τελευταίο αυτό ψηφίο θεωρείται ως σημαντικό γιατί δίνει κάποια πληροφορία για το μέγεθος που μετρούμε. Σημαντικό ψηφίο ορίζεται ως εκείνο το οποίο θεωρούμε ότι είναι σχετικά αξιόπιστο. Η πιο κάτω δραστηριότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βοηθηθούν οι μαθητές μας να κατανοήσουν καλύτερα την έννοια των σημαντικών ψηφίων και να αποφεύγουν να καταγράφουν ψηφία τα οποία δεν είναι σημαντικά. Για τη δραστηριότητα χρησιμοποιούνται τέσσερεις χάρακες του 1 m. Στο σχήμα φαίνεται το πρώτο δέκατο κάθε χάρακα.

Όταν τα μηδενικά βρίσκονται μπροστά από έναν αριθμό δεν λογαριάζονται ως σημαντικά. Για παράδειγμα στον αριθμό 0.0456 τα σημαντικά ψηφία είναι 3 (456).

2 cm cm 10 cm cm Στον πρώτο χάρακα καλύπτονται πλήρως όλες οι υποδιαιρέσεις, ώστε να μη φαίνονται. Αυτό είναι και το μοναδιαίο μήκος, το 1 μέτρο. Στο δεύτερο χάρακα καλύπτονται όλες οι υποδιαιρέσεις εκτός από τις δεκάδες (0cm, 10cm, 20cm ). Στον τρίτο χάρακα καλύπτονται μόνο οι υποδιαιρέσεις του 1mm και αφήνονται φανερές οι υποδιαιρέσεις του εκατοστόμετρου. Στον τέταρτο χάρακα αφήνονται φανερές όλες οι υποδιαιρέσεις. Ζητούμε από ένα μαθητή να μετρήσει το μήκος ενός αντικειμένου το οποίο είναι τουλάχιστον μεγαλύτερο από 1 m. Ας υποθέσουμε ότι το μήκος του είναι μεταξύ 2 και 3 m. Για τη μέτρηση αυτή χρησιμοποιεί τον πρώτο χάρακα. Οι συμμαθητές του τον παρακολουθούν να χρησιμοποιεί δύο φορές το χάρακα (το μοναδιαίο μήκος) χωρίς να φτάνει στο τέλος του αντικειμένου. Καταγράφει στον πίνακα την τιμή 2. Μετά ζητούμε από το μαθητή να χρησιμοποιήσει τον ίδιο αυτό χάρακα για να υπολογίσει κατά προσέγγιση, πόσο κλασματικό μέρος του χάρακα είναι το υπόλοιπο μήκος του αντικειμένου. Ας πούμε ότι βρίσκει ότι είναι 0.4 του μέτρου. Τονίζουμε στους μαθητές ότι η προσέγγιση αυτή (0.4) είναι λογική αφού είμαστε σε θέση να δούμε ότι το εναπομείναν μήκος είναι μικρότερο του 0.5 μέτρου και μεγαλύτερο από τα 0.3 του μέτρου. Παρόλα αυτά, δεν είμαστε απόλυτα σίγουροι για την τιμή 0.4, άρα το δεύτερο δεκαδικό ψηφίο δεν είναι ακριβές. Παραμένει όμως μια χρήσιμη πληροφορία για το μήκος του αντικειμένου. Γράφουμε στον πίνακα 2.4 m και υπογραμμίζουμε το 4 για να δείξουμε ότι το 4 περικλείει μέσα μια αβεβαιότητα. Το μήκος του αντικειμένου μας έχει μετρηθεί με δύο σημαντικά ψηφία με όργανο τον πρώτο χάρακα. Περισσότερη ακρίβεια είναι αδύνατο να δοθεί από αυτό το όργανο μέτρησης. Συνεχίζοντας τη δραστηριότητα ο μαθητής χρησιμοποιεί τώρα το δεύτερο χάρακα. Οι δεκάδες είναι φανερές, άρα ο μαθητής είναι τώρα σε θέση να επιβεβαιώσει αν το δεύτερο δεκαδικό ψηφίο στη μέτρηση 2.4 είναι ακριβές. Στη συνέχεια ο μαθητής είναι σε θέση να εκτιμήσει το κλασματικό μέρος της τέταρτης δεκάδας το οποίο θα αποτελέσει και το τρίτο σημαντικό ψηφίο στη μέτρησή μας. Ας πούμε ότι ο μαθητής βρίσκει κατά προσέγγιση ότι το αντικείμενο έχει το άκρο του στο 0.6 της τέταρτης δεκάδας.

Στον τρίτο χάρακα καλύπτονται μόνο οι υποδιαιρέσεις του 1mm και αφήνονται φανερές οι υποδιαιρέσεις του εκατοστόμετρου. Στον τέταρτο χάρακα αφήνονται φανερές όλες οι υποδιαιρέσεις.

3 Γράφει τώρα στον πίνακα 2.46 υπογραμμίζοντας το 6 για να δείξει ότι το 6 δεν είναι καθόλου βέβαιο, αποτελεί όμως μια χρήσιμη πληροφορία για το μήκος του αντικειμένου και είναι το τρίτο σημαντικό ψηφίο στη μέτρησή μας. Έτσι ο δεύτερος χάρακας μας δίνει τη δυνατότητα να μετρήσουμε το μήκος ενός αντικειμένου με ακρίβεια τριών σημαντικών ψηφίων. Χρησιμοποιώντας τον τρίτο χάρακα ο μαθητής είναι σε θέση να μετρήσει με ακρίβεια τέταρτου σημαντικού ψηφίου, 2,463 m. Το τέταρτο σημαντικό ψηφίο (δηλαδή το 3) είναι αβέβαιο, παραμένει όμως χρήσιμη πληροφορία για το μήκος του αντικειμένου. Ο τέταρτος χάρακας μας δίνει τη δυνατότητα να μετρήσουμε μέχρι και πέμπτο σημαντικό ψηφίο. Έστω ότι ο μαθητής εκτιμά ότι το ψηφίο αυτό είναι το 9. Το μήκος τώρα θα γραφτεί ως 2,4639 m. Το 9 παραμένει αβέβαιο ψηφίο, παρόλα αυτά σημαντικό για τη μέτρηση. Μια καλή διδακτική προσέγγιση είναι να συνεχίσει η δραστηριότητα αυτή από ομάδες μαθητών. Οι μαθητές να μετρήσουν το μήκος του θρανίου τους χρησιμοποιώντας ένα χάρακα του ενός μέτρου στον οποίο είναι φανερές όλες οι υποδιαιρέσεις. Οι μαθητές καταγράφουν το αποτέλεσμα της μέτρησής τους στον πίνακα. Γίνεται φανερό ότι συμφωνούν για το μήκος του θρανίου στα τρία σημαντικά ψηφία. Θα διαπιστώσουν όμως ότι διαφέρει το τέταρτο σημαντικό ψηφίο σε μερικές ομάδες και σχεδόν υπάρχει διαφωνία από όλες τις ομάδες για το πέμπτο σημαντικό ψηφίο. Συζήτηση στην τάξη θα φέρει στην επιφάνεια τους διάφορους λόγους για τους οποίους οι ομάδες βρίσκουν διαφορετική τιμή. Τέτοιοι λόγοι είναι: Ο τρόπος που σημείωναν οι μαθητές το τέλος του χάρακα όταν τον μετακινούσαν για να μετρήσουν μήκος μεγαλύτερο του ενός μέτρου. Το γεγονός ότι υπάρχουν ατέλειες στο τελείωμα του θρανίου. Λανθασμένος τρόπος με τον οποίο παρατηρούν την κλίμακα του χάρακα (λάθος παράλλαξης). Χρήση διαφορετικού χάρακα, άρα διαφορετική βαθμονόμηση. Η μεγάλη δυσκολία να διαβαστεί το τελευταίο σημαντικό ψηφίο. Για να δείξουμε ότι για να μετρήσουμε ένα μικρό αντικείμενο χρειαζόμαστε όργανο μέτρησης του οποίου η κλίμακα έχει μεγαλύτερη ακρίβεια, δίνουμε στους μαθητές να μετρήσουν με το συνηθισμένο χάρακα (με υποδιαιρέσεις mm) το πάχος του μολυβιού τους. Θα διαπιστώσουν ότι η απάντησή τους μπορεί να δοθεί μόνο με δύο σημαντικά ψηφία. Αν τους πούμε να μετρήσουν το πάχος ενός κέρματος θα διαπιστώσουν την ακαταλληλότητα του συνηθισμένου χάρακα να μετρήσει με ακρίβεια μεγαλύτερη του ενός σημαντικού ψηφίου. Οι μαθητές μπορούν να συνεχίσουν με μετρήσεις, χρησιμοποιώντας ακριβέστερα όργανα μέτρησης όπως είναι ένα διαστημόμετρο και ένα μικρόμετρο.

Έτσι ο δεύτερος χάρακας μας δίνει τη δυνατότητα να μετρήσουμε το μήκος ενός αντικειμένου με ακρίβεια τριών σημαντικών ψηφίων.

4 Ιστορικά μπορεί να δοθούν παραδείγματα μέσα από τα οποία φαίνεται η προσπάθεια του ανθρώπου να εφεύρει ακριβέστερα όργανα μέτρησης και να τονισθεί η σημασία των οργάνων αυτών στην εξέλιξη της Φυσικής. Παράδειγμα. Σε ένα πείραμα στον ηλεκτρισμό μετρούμε την ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος σε ένα κύκλωμα και τη βρίσκουμε Ι = 0.48 Α ± 0.01 A και την αντίστοιχη τάση V = 4.75 V ± 0.01 V. Αν υπολογίσουμε την αντίσταση χρησιμοποιώντας τις «καλύτερες» τιμές, η υπολογιστική μηχανή μπορεί να μας δώσει Χρησιμοποιώντας όμως τη μέγιστη τιμή για την τάση 4.76 V και την ελάχιστη τιμή για την ένταση του ρεύματος 0.47 Α η αντίσταση θα έχει την τιμή Χρησιμοποιώντας την ελάχιστη τιμή για την τάση 4.74 V και τη μέγιστη τιμή για την ένταση του ρεύματος 0.49Α η αντίσταση θα έχει την τιμή Ασφαλώς δεν έχει νόημα να δοθεί η τιμή της αντίστασης με ακρίβεια 10 σημαντικών ψηφίων αφού οι τρεις τιμές που υπολογίσαμε διαφέρουν κατά πολύ μεταξύ τους. Αφού η τάση μετρήθηκε με ακρίβεια 3 σημαντικών ψηφίων και η ένταση με 2 σημαντικά ψηφία, η τιμή της αντίστασης θα δοθεί με ακρίβεια 2 σημαντικών ψηφίων. Άρα η «καλύτερη» τιμή είναι 9.9 Ω, η ελάχιστη 9.7 Ω και η μέγιστη 10.1 Ω. Οι δύο ακραίες τιμές διαφέρουν από την «καλύτερη» κατά 0.2 Ω, δηλαδή η αβεβαιότητα στην αντίσταση μπορούμε να πούμε ότι είναι ΔR = 0.2 Ω. Η τιμή της αντίστασης μπορεί να γραφτεί ως R = 9.9 Ω ± 0.2 Ω Ήδη το δεύτερο ψηφίο (ο αριθμός 9) είναι αβέβαιο και γι αυτό δεν έχει νόημα να δώσουμε την απάντηση με περισσότερη ακρίβεια από 2 σημαντικά ψηφία.

Αν υπολογίσουμε την αντίσταση χρησιμοποιώντας τις «καλύτερες» τιμές, η υπολογιστική μηχανή μπορεί να μας δώσει Χρησιμοποιώντας όμως τη μέγιστη τιμή για την τάση 4.

5 Χρήσιμος κανόνας για την καταγραφή του τελικού αποτελέσματος. Σε ένα υπολογισμό, το τελικό αποτέλεσμα μια πράξης δεν μπορεί να δίνεται με μεγαλύτερη ακρίβεια από ότι οι τιμές που χρησιμοποιήθηκαν για να υπολογισθεί αυτό. Η τελική απάντηση δεν μπορεί να έχει περισσότερα σημαντικά ψηφία από ότι ο ελάχιστος αριθμός σημαντικών ψηφίων που χρησιμοποιήθηκε στον υπολογισμό. Στο παράδειγμα του ηλεκτρισμού διαιρέσαμε τρία σημαντικά ψηφία (4.75V) με δύο σημαντικά ψηφία (0.48Α). Η απάντηση δόθηκε με ακρίβεια 2 σημαντικών ψηφίων (9.9 Ω), όσο δηλαδή ήταν και τα σημαντικά ψηφία του μεγέθους που μετρήθηκε με την ελάχιστη ακρίβεια, της έντασης δηλαδή του ρεύματος. Βιβλιογραφία. Salters Horners Advanced Physics Project, AS Student Book, Edexcel Pearson, London, Nathan Borowsky, Significant figures in measurement: Demonstration The Physics Teacher, Volume 4, Issue 7, pp (October 1966) Ανδρέας Παπαστυλιανού ΕΜΕ Φυσικής Τηλ Σεπτέμβριος 2010

Η τελική απάντηση δεν μπορεί να έχει περισσότερα σημαντικά ψηφία από ότι ο ελάχιστος αριθμός σημαντικών ψηφίων που χρησιμοποιήθηκε στον υπολογισμό.

Σχετικά έγγραφα

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση.

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. 1. Εισαγωγή. Κάθε μέτρηση, όσο προσεκτικά και αν έχει γίνει, περικλείει κάποια αβεβαιότητα. Η ανάλυση των σφαλμάτων είναι η μελέτη και ο υπολογισμός αυτής της αβεβαιότητας στη