x 2,, x Ν τον οποίον το αποτέλεσμα επηρεάζεται από

Transcript

1 Στη θεωρία, θεωρία και πείραμα είναι τα ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ... υπό ισχυρή συμπίεση ίδια αλλά στο πείραμα είναι διαφορετικά, A.Ensten Οι παρακάτω σημειώσεις περιέχουν τα βασικά σημεία που πρέπει να γνωρίζει κάποιος που ασχολείται με πειραματικές δραστηριότητες σε επίπεδο σχολικού εργαστηρίου. Αναφέρονται οι βασικοί όροι της θεωρίας, τονίζονται οι βασικές αρχές και διαδικασίες και δίνεται ο κύριος μαθηματικός φορμαλισμός. Η βασική έννοια του πειράματος είναι η μέτρηση φυσικών μεγεθών. 1) Σφάλμα μέτρησης(measurement error) ή αβεβαιότητα μέτρησης(measurement uncertanty) : Η αβεβαιότητα που συνοδεύει κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους x θ θεωρητική ή πραγματική τιμή ενός φυσικού μεγέθους x εκτίμηση τιμής φυσικού μεγέθους, δ x σφάλμα(εκτίμηση εύρους) Το συμβολίζουμε ως εξής: x±δ x, σημαίνει ότι η πραγματική τιμή του φυσικού μας μεγέθους εκτιμούμε ότι βρίσκεται στο διάστημα [ x δ x, x+δ x] π.χ H εκτίμηση για την τιμή του μήκους ενός σώματος είναι x=40 cm και το σφάλμα είναι δ x=0.3cm δηλαδή δεν μπορούμε να πούμε πόσο είναι η πραγματική τιμή του μήκους αλλά εκτιμούμε ότι αυτή βρίσκεται μεταξύ [39.7 cm, 40.3 cm]. Άρα η εκτίμηση για το μήκος συμβολίζεται ως: (40.0±0.3)cm 2) Είδη σφάλματος - Διακριτική ικανότητα οργάνων μέτρησης(επηρεάζουν κυρίως την ακρίβεια των μετρήσεων). Το σφάλμα λόγω διακριτικής ικανότητας δx διακριτική ικανότητα, αφορά την ελάχιστη ακρίβεια που μας παρέχει το όργανο μέτρησης. Για ένα ψηφιακό όργανο, η διακριτική ικανότητα του(συνήθως, και στα πλαίσια του σχολικού εργαστηρίου) είναι το 1/2 του τελευταίου ψηφίου που εμφανίζεται στην οθόνη. - Συστηματικά(επηρεάζουν κυρίως την πιστότητα των μετρήσεων) Δεν έχουμε άμεσο έλεγχο σε αυτά. Η τιμή τους δεν μεταβάλλεται με το πλήθος των μετρήσεων που κάνουμε. Συνήθως οδηγούν τις μετρήσεις μας στο να υποεκτιμούν ή να υπερεκτιμούν συστηματικά την πραγματική τιμή. Βελτιώνονται με το να εντοπίζουμε τον παράγοντα που επηρεάζει τις μετρήσεις μας και να προσπαθούμε να τον εξαλείψουμε.. - Τυχαία(επηρεάζουν κυρίως την ακρίβεια των μετρήσεων) Όταν έχουμε ένα σύνολο επαναλαμβανόμενων μετρήσεων x 1, x 2,, x Ν τον οποίον το αποτέλεσμα επηρεάζεται από διάφορους παράγοντες με τυχαίο τρόπο τότε η εκτίμηση της μέτρησής μας είναι: τυχαιότητας είναι δ x τυχαίο = Ν =1 (x x) 2 Ν (Ν 1). x= Ν x =1 Αποδεικνύεται ότι η τιμή ενός τυχαίου σφάλματος μειώνεται με το πλήθος των μετρήσεων. Ν και το σφάλμα λόγω - Σφάλματα αβλεψίας (κακές πρακτικές, άσχετες με την πειραματική διαδικασία, εκ μέρους του πειραματιστή) Επισήμανση: Οι πηγές των σφαλμάτων κατά τον προσδιορισμό της τιμής ενός φυσικού μεγέθους μπορεί να είναι πολλές. Στα πλαίσια ενός σχολικού εργαστηρίου από όλα τα σφάλματα θα κρατάμε αυτό με την μεγαλύτερη τιμή παρότι δεν είναι μαθηματικά ακριβές. Συνήθως έχουμε να συγκρίνουμε το τυχαίο σφάλμα έναντι του σφάλματος διακριτικής ικανότητας του οργάνου μέτρησης και επιλέγουμε το μεγαλύτερο, δηλ δx=max {δ x τυχαιο, δx διακριτικη ικανοτητα } 3) Μέτρα ποιότητας μετρήσεων Οι παρακάτω ορισμοί είναι ένα μέτρο του πόσο καλή είναι η ποιότητα μιας μέτρησης. Πιστότητα(Accuracy): Το πόσο κοντά είναι η εκτίμηση της μέτρησής μας x στην πραγματική τιμή x θ Ακρίβεια(Precson) ή σχετικό σφάλμα: Το πόσο μικρή είναι η αβεβαιότητα δ x σε σχέση με την εκτίμηση της μέτρησης μας x μέτρο πιστότητας(ac) : x x θ x θ (%), μέτρο ακρίβειας(pre): δx x (%) Όσο πιο μικρή η τιμή τους τόσο πιο καλή η ποιότητα της μέτρησης.

2 4) Σημαντικά ψηφία(σ.ψ) μετρούμενης τιμής φυσικών μεγεθών Κατά την διάρκεια μίας μέτρησης ή υπολογισμού ενός φυσικού μεγέθους μπορεί να εμφανιστεί η αριθμητική τιμή του με πολλά ψηφία. Δεν έχει νόημα να αναγράφονται όλα όταν έχουμε μια συγκεκριμένη ακρίβεια λόγω των σφαλμάτων της μέτρησης. Το πλήθος των ψηφίων που κρατάμε καθορίζεται από τα σημαντικά ψηφία του σφάλματος της μέτρησης. Τα σημαντικά ψηφία ενός αριθμού ορίζονται με βάση τους παρακάτω κανόνες: 1. Ως πρώτο (και περισσότερο) σημαντικό ψηφίο καταμετράται το αριστερότερα ευρισκόμενο μη μηδενικό ψηφίο. 2. Απουσία υποδιαστολής, ως τελευταίο (και λιγότερο) σημαντικό ψηφίο καταμετράται το δεξιότερο μη μηδενικό ψηφίο. 3. Παρουσία υποδιαστολής, ως τελευταίο (και λιγότερο) σημαντικό ψηφίο καταμετράται το δεξιότερο ψηφίο, ακόμα κι αν είναι το μηδέν. 4. Όλα τα ψηφία ανάμεσα στο πρώτο σημαντικό και το τελευταίο σημαντικό καταμετρώνται ως σημαντικά ψηφία. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ 874,63 (5) 1480 (3) 1480,00 (6) 0,0058 (2) 0,730 (3) 5, (4) 6, (3) ΠΛΗΘΟΣ ΣΗΜΑΝΤΙΚΩΝ ΨΗΦΙΩΝ Για την αναγραφή της αριθμητικής τιμής μιας μέτρησης μαζί με το σφάλμα της ακολουθούμε τους εξής κανόνες: Κανόνας 1: Τα πειραματικά σφάλματα πρέπει να αναφέρονται αφού στρογγυλοποιηθούν με (1) ή (2) σημαντικά ψηφία.[στο σχολικό εργαστήριο συνήθως θα αναγράφουμε το σφάλμα με (1) σημαντικό ψηφίο] Κανόνας 2. Κατά την αναγραφή ενός πειραματικού αποτελέσματος πρέπει η μετρούμενη τιμή (ή η μέση τιμή των μετρήσεων) και το σφάλμα της να αναφέρονται με την ίδια αριθμητική ακρίβεια αφού στρογγυλοποιηθούν. Για παράδειγμα, αν μετρήσαμε την μάζα ενός σώματος 453,79gr και το σφάλμα είναι 0,5gr η απάντηση είναι: (453.79±0,5)gr ΛΑΘΟΣ, παραβιάζεται ο 2ος κανόνας(δεν έχουν την ίδια ακρίβεια) (453,8±0,5)gr ΣΩΣΤΟ π.χ αν μετρήσαμε το μήκος ενός σώματος 9,789m με σφάλμα 0,086m και θέλουμε να κρατήσουμε (1) σημαντικό ψηφίο τότε: (9,787±0,086)m ΛΑΘΟΣ, κρατήσαμε (2) σημαντικά ψηφία στο σφάλμα (9,79±0,09)m ΣΩΣΤΟ 5) Διάδοση σφαλμάτων Για μερικά φυσικά μεγέθη η τιμή τους προκύπτει μετρώντας τα απευθείας με όργανα μέτρησης ή/και παίρνοντας επαναλαμβανόμενες μετρήσεις. Για άλλα όμως η τιμή τους υπολογίζεται έμμεσα από τις μετρήσεις άλλων μεγεθών με τις οποίες συνδέονται μέσω μαθηματικών σχέσεων. Παρακάτω ανάλογα με την μαθηματική σχέση που συνδέει τα μεγέθη μπορούμε να υπολογίζουμε το σφάλματα Υπολογιζόμενο μέγεθος f Σφάλμα δf Άθροισμα μεγεθών, f= A+B δf = δα 2 +δβ 2 Αφαίρεση μεγεθών, f= A B δf = δα 2 +δβ 2 Γενικά f= A±B±Γ±... δf = δα 2 +δβ 2 +δγ Πολλαπλασιασμός με σταθερά κ, f=k A δf =k δα Γινόμενο μεγεθών, f = A B δf = A B ( δα A ) 2 +( δb B ) 2 Διαίρεση μεγεθών, f= A B δf = A B ( δα A ) 2 +( δb B ) 2 Δύναμη, f= A v δf =v Α ν δα A Ρίζα, f= A δf = A 2 δα A

3 6) Μοντελοποίηση Η διαδικασία εύρεσης θεωρητικών κανόνων που να περιγράφουν την εξάρτηση μεταξύ των φυσικών μεγεθών του πειράματος. Κατά την φάση της μοντελοποίησης(η διερεύνηση στο χαρτί ) και ανάλογα με το πείραμα τα φυσικά μεγέθη τα ταξινομούμε ως εξής: Παράμετροι: Θεωρούμε ότι έχουν σταθερή τιμή καθ όλη την διάρκεια του πειράματος. Μεταβλητές: Τα φυσικά μεγέθη που μπορούν να μεταβάλλουν την τιμή τους κατά την διάρκεια του πειράματος. - Ανεξάρτητες: Οι μεταβλητές που μπορούμε εμείς ελεγχόμενα να αλλάζουμε τις τιμές τους κατά την διάρκεια του πειράματος. - Εξαρτημένες: Οι μεταβλητές που αλλάζουν την τιμή τους εξαιτίας της αλλαγής κάποιων ανεξάρτητων μεταβλητών. Στα πλαίσια του σχολικού εργαστηρίου συνήθως μία θα είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή και μία θα είναι η αντίστοιχη εξαρτημένη. Όταν έχουμε ένα σύνολο μετρήσεων {(x 1, y 1 ),(x 2, y 2 ),( x 3, y 3 ), }, μπορούμε να τις απεικονίσουμε(και επιβάλλεται!!) σε ένα διάγραμμα x y, ώστε να μπορέσουμε να βρούμε(ή να επιβεβαιώσουμε) την σχέση που συνδέει αυτές τις μεταβλητές. Στο διάγραμμα αυτό για κάθε σημείο (x, y) απεικονίζουμε και τα αντίστοιχα σφάλματα(εικ. 1 και εικ. 2). εικ.1 εικ.2 Γραμμική εξάρτηση(lnear regresson): Όταν η εξάρτηση μεταξύ του φυσικού μεγέθους x (ανεξάρτητη μεταβλητή) και του φυσικού μεγέθους y (εξαρτημένη μεταβλητή) είναι της μορφής y= Α x+β. Τα μεγέθη Α, Β αποτελούν τις παραμέτρους της σχέσης. Η γραμμική εξάρτηση είναι μία περίπτωση εξάρτησης πολύ καλά μελετημένης για την οποία έχουν δημιουργηθεί πολλά μαθηματικά εργαλεία ώστε να μπορούμε να απαντούμε σε διάφορα ερωτήματα. - Όταν έχουμε ένα σύνολο πειραματικών σημείων υπάρχει ένα κριτήριο το οποίο μας δείχνει πόσο γραμμική είναι η σχέση μεταξύ των μεγεθών, ο συντελεστής γραμμικής συσχέτισης(lnear correlaton coeffcent) ( R 2 ). Όσο πλησιάζει η τιμή του το 1 τόσο πιο γραμμική η σχέση των πειραματικών σημείων. Ο τύπος από τον οποίο υπολογίζεται είναι: R 2 = [ =1 [ x y ( x ) ( y )] 2 =1 x 2 ( =1 =1 x ) 2 ] [ =1 =1 y 2 ( =1 y ) 2 ]

4 - Όταν γνωρίζουμε (ή υποθέτουμε) ότι ισχύει μία γραμμική σχέση μεταξύ των πειραματικών τιμών {(x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),(x 3, y 3 ), }, μπορούμε να υπολογίσουμε της παραμέτρους Α και Β της γραμμικής σχέσης όπως και τα αντίστοιχα σφάλματα τους δ α και δ β από τους παρακάτω τύπους: και x y ( x ) ( y ) Α= x 2 ( x ) 2, δ Α= ( x 2 ) ( y ) ( x ) ( x y ) Β= x 2 ( ( y Α x Β) 2 2 x ) 2 x 2 (, δ x ) Β= ( y Α x Β) 2 2 x 2 x 2 ( x ) 2 2 Οι παραπάνω τύποι προέρχονται από την εφαρμογή της μεθοδολογίας που ονομάζεται μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων. - Γραμμικοποίηση μη γραμμικών σχέσεων Μερικές φορές γνωρίζουμε(ή υποθέτουμε) ότι η μαθηματική σχέση μεταξύ των μεταβλητών του πειράματος μας έχουν μη γραμμική σχέση. Επιδιώκουμε με κατάλληλη επιλογή καινούργιων μεταβλητών να μετατρέπουμε την μη γραμμική σχέση σε γραμμική ώστε να να μπορούμε να εφαρμόσουμε όλα τα παραπάνω μαθηματικά εργαλεία της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων. Παρακάτω δίνονται παραδείγματα μετατροπής μη γραμμικής σχέσης σε γραμμική. Μη γραμμική σχέση Νέες μεταβλητές Γραμμική σχέση που προκύπτει h=h g t 2 (h εξαρτημένη, t ανεξάρτητη) F= K r 2 (F εξαρτημένη, r ανεξάρτητη) x y t 2 h y=β+ Α x ( Β=h 0, Α= 1 2 g ) 1 F y= Α x r 2 (Α=Κ, Β=0) Παράρτημα Οι υπολογισμοί που αναφέρθηκαν είναι χρονοβόροι και αριθμητικά πολύπλοκοι, ειδικά όταν είναι να εφαρμοστούν σε μεγάλο πλήθος δεδομένων. Στην εποχή μας ο τρόπος για την επεξεργασία των δεδομένων γίνεται με την βοήθεια των υπολογιστών. Ένα πρόγραμμα που βοηθά στην συγκεντροποίηση των δεδομένων, στην μαζική επεξεργασία τους και στην απεικόνιση τους σε διαγράμματα είναι το Calc LbreOffce(παρόμοιο με το MS EXCEL OFFICE). Λίστα βασικών εντολών STDEV (data x) Υπολογισμός x AVERAGE(data x) και δ x τυχαιο SQRT(COUT ( data x)) Υπολογισμός R 2 RSQ( y data ; x data) Υπολογισμός των συντελεστών Α, Β και των σφαλμάτων τους δα, δβ της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων από τα πειραματικά δεδομένα {(x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),(x 3, y 3 ), } Α SLOPE( y data ; x data), Β ITERSECT ( y data ; x data) [δεν εμφανίζει το αντίστοιχο σφάλμα] Για να υπολογίσουμε και τα σφάλματα δα, δβ χρησιμοποιούμε την εντολή LIEST ( y data ; x data ;1,1). Αυτή η εντολή εμφανίζει τις τιμές των μεγεθών Α,Β, δ Α, δ Β, R 2 μαζί με κάποιες άλλες παραμέτρους που δεν μας ενδιαφέρουν στα πλαίσια του σχολικού εργαστηρίου. Βιβλιογραφία: 1) Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής Τόμος Ι, Τομέας Φυσικής, ΕΜΠ, ) Εργαστηριακές Ασκήσεις Γενικής Φυσικής, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Τμήμα Φυσικής, ) Εισαγωγικά μαθήματα για τα εργαστήρια Φυσικής, ΤΕΙ Αθήνας, ) Measurements and ther uncertantes 1nd edton, Oxford Unversty Press, 2010

5

6 Scence n Realty

7