Πα.Δα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ

Transcript

1 Πα.Δα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών Εισαγωγή στην Εργαστηριακή Φυσική ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Δημήτριος Ν.Νικολόπουλος Καθηγητής Περιβαλλοντική και Ιατρική Φυσική

2 Μέτρηση Η σύγκριση ενός μεγέθους με ένα άλλο ομοειδές το οποίο λαμβάνεται ως μονάδα. Απαιτείται η χρήση συγκεκριμένου οργάνου μέτρησης Απλή: Σύνθετη: Η τιμή ενός φυσικού μεγέθους προκύπτει απ'ευθείας από τις ενδείξεις καταλλήλου οργάνου. (π.χ. μήκος x) Η τιμή ενός φυσικού μεγέθους προκύπτει ως συνάρτηση απλών μετρήσεων με τη βοήθεια κατάλληλης μαθηματικής σχέσης.(π.χ. όγκος V=x y z)

3 Μέτρηση φυσικού μεγέθους Μήκος Έστω ότι είναι επιθυμητό να μετρηθεί το μήκος ενός αντικειμένου. Είναι απαραίτητη η χρήση οργάνου μέτρησης (χάρακας). Ο χάρακας φέρει υποδιαιρέσεις. Είναι δηλαδή βαθμονομημένος. Έστω ότι είναι απαλλαγμένος από κατασκευαστικές ατέλειες ή φθορές. Το μέγιστο επιτρεπόμενο μήκος μέτρησης χωρίς επαναχρησιμοποίηση είναι 60 cm.

4 Μέτρηση φυσικού μεγέθους Μέτρηση μήκους Η ορθή χρήση της μετρητικής διάταξης (χάρακας) απαιτεί: Ορθό μηδενισμό (τοποθέτηση του μηδενός του χάρακα στην αρχή του αντικειμένου) Ορθή ανάγνωση (ο πειραματιστής αναγιγνώσκει κάθετα και όχι υπό γωνία)

5 Επισήμανση: Δεν είναι δυνατή η ανάγνωση μήκους μικρότερου της ελάχιστης υποδιαίρεσης της διάταξης μέτρησης (στο παράδειγμα το cm). Επομένως, είναι αδύνατο να μετρηθεί, με τη συγκεκριμένη διάταξη μέτρησης, μήκος 54,1 cm ή 54,15 cm. Ως εκ τούτου αποδεκτές τιμές μήκους μπορεί να είναι το 54,0 cm (! όχι 54 cm) και το 54,1 cm, αλλά όχι οτιδήποτε μικρότερο (54,151 cm)

6 . Η διάταξη μέτρησης Επιλέγεται με βάση μέθοδο μέτρησης συγκεκριμένη Θέτει τα μέγιστα πειραματικής ακριβείας. Παρέχει βέλτιστα αποτελέσματα ανάλογα με τη χρήση. όρια της

7 Mετρούμενη τιμή (x) Η τιμή ενός φυσικού μεγέθους η οποία προκύπτει από τις ενδείξεις κάποιου οργάνου. Πραγματική (αληθινή) τιμή (α) Η αληθινή τιμή ενός φυσικού μεγέθους. Σφάλμα (σ) Η διαφορά ανάμεσα στην αληθινή και τη μέση μετρούμενη τιμή Απόκλιση (αβεβαιότητα) (Δx) Η διαφορά ανάμεσα σε μία μέτρηση και στη μέση τιμή x i x x i

8 Επισήμανση: Η αληθινή τιμή (α) δεν είναι γνωστή. Προσεγγίζεται από τη μέση τιμή (μ) με όρια αυτά που καθορίζονται από το απόλυτο σφάλμα. z z όπου ο όρος w καθορίζεται στατιστικά ανάλογα με τα επίπεδα σημαντικότητας (βεβαιότητα γνώσης p=66.7%, 95%, 99% κ.λπ.) γνώσης του αποτελέσματος (z=1,00-1,96-,96) Ο κύριος στόχος της Εργαστηριακής Φυσικής είναι η βελτίωση της πειραματικής ακριβείας με την ελαχιστοποίηση του απολύτου σφάλματος και των αποκλίσεων των επιμέρους μετρήσεων.

9 Συστηματικά Συστηματικά είναι τα σφάλματα που υπεισέρχονται σταθερά στις μετρήσεις και επηρεάζουν το αποτέλεσμα πάντοτε κατά την ίδια φορά, είναι δηλαδή είτε θετικά, είτε αρνητικά. Τυχαία Τυχαία είναι τα σφάλματα που οφείλονται σε αστάθμητους και τυχαίους παράγοντες κατά τη διεξαγωγή των μετρήσεων ενός μεγέθους με την ίδια μέθοδο και το ίδιο όργανο. Μεταβάλλουν το αποτέλεσμα της μέτρησης και κατά τις δύο φορές, είναι δηλαδή άλλοτε θετικά και άλλοτε αρνητικά.

10 Συστηματικά Τυχαία Όργανα: Βαθμολόγηση κλίμακας. Ατέλειες κατασκευής Φθορά Μέθοδος μέτρησης Περιβάλλον Παρατηρητής Όργανα: Ευαισθησία Αρχή λειτουργίας Περιβάλλον Αστάθεια εξωτερικών συνθηκών (Πίεση, Θερμοκρασία, Τάση). Παρατηρητής Εσφαλμένη ανάγνωση Απροσεξία χρήσης οργάνων Αδυναμία ορθής εφαρμογής μεθόδου μέτρησης Λόγω παράλλαξης

11 Από τη μετρητική διαδικασία καθορίζονται τα ψηφία μιας μέτρησης που είναι με βεβαιότητα γνωστά. Σημαντικά ψηφία (σ.ψ.) ενός μετρημένου μεγέθους είναι όλα εκείνα τα ψηφία που είναι γνωστά με βεβαιότητα καθώς και το πρώτο αβέβαιο. Σε κάποιες περιπτώσεις λογίζεται στα σημαντικά ψηφία ενός αριθμού και το δεύτερο αβέβαιο. 7 0,4 0,0 0, x 10 (όχι 70!) 7 x 10 (όχι 700!) 38 7, 6 0,56 0,50 x 10 0,08 x 10 1 σ.ψ. σ.ψ.

12 51 3,14 0,693 4,0 x 10 (40!) 0,40 x 10 (40!) ,5 6 0, x 10 3 σ.ψ. 4 σ.ψ.

13 5,55 4 σ.ψ. 10,895 5 σ.ψ. 0,0067 σ.ψ. 0, σ.ψ. σ.ψ. 1,00 3 σ.ψ. 1,01 3 σ.ψ. 6,7 x 10- (0,0067!)

14 100 3 σ.ψ. 10,0 x 10 (100!) 3 σ.ψ. 1,00 x 10 (100!) 3 σ.ψ. 3 σ.ψ ,1 x 10 (101!) 3 σ.ψ. 1,01 x 10 (101!) 3 σ.ψ. 4 σ.ψ. 64,19 x 10

15 Επισήμανση: Το πλήθος των σημαντικών ψηφίων (σ.ψ.) ενός πειραματικά μετρούμενου μεγέθους καθορίζεται από τις πειραματικές διατάξεις και τις μεθόδους μέτρησης. Μεταβάλλεται όμως αναλόγως του ορθού ή μη τρόπου λήψης μετρήσεων. Το ΠΛΗΘΟΣ των σ.ψ. αισθητοποιεί την ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΑΚΡΙΒΕΙΑ. Και τα δύο αυτά καθορίζονται από τα ΣΦΑΛΜΑΤΑ των ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ.

16 Πιθανότητα Εμφάνισης (μέτρησης) (p) Διακριτές τιμές (μεγάλες διαμερίσεις) Το πηλίκο του πλήθους εμφανίσεως (Ni) (συχνότητα εμφάνισης) κάποιας μετρηθείσας τιμής x ευρισκομένης εντός μίας διαμέρισης δxi (xi< x < xi+δxi) ως προς το σύνολο των εμφανίσεων όλων των τιμών (Nολ). p(p (x ix) p( xni i x Nxi x i ) ) i N N i i Συνεχείς τιμές (πολλές πολύ μικρές διαμερίσεις-σχεδόν συνεχείς) Το πηλίκο του πλήθους εμφανίσεως (N(x)) κάποιας τιμής x ευρισκόμενης μεταξύ x και x+dx (x< x < x+dx) ως προς το σύνολο των εμφανίσεων όλων των τιμών. p( x ) p(xx dx x x dx ) p( x ) N( x ) dx x N( x ) dx 0

17 Κατανομή Πιθανότητας: Η συνάρτηση του τρόπου κατανομής των τιμών των πιθανοτήτων εμφάνισης για όλο το εύρος τιμών της μεταβλητής x (μετρούμενο μέγεθος) Για μεγάλες διαμερίσεις της μεταβλητής x (δx>>) (μικρό πλήθος μετρήσεων) η κατανομή πιθανότητας προσεγγίζεται από ραβδογράμματα ή ιστογράμματα. Για μικρές διαμερίσεις (δx<<) (μεγάλο πλήθος μετρήσεων) περιγράφεται από μαθηματικές συναρτήσεις.

18 Μία συνήθης κατανομή την οποία ακολουθούν οι μετρήσεις φυσικών μεγεθών είναι η κανονική κατανομή ή κατανομή του Gauss. σ1 >σ σ1 σ +3σ1-3σ μ μ +3σ Η κανονική κατανομή είναι συμμετρική ως προς τη μέση τιμή (μ). Η μέση τιμή είναι και η πιθανότερη τιμή. Ανάλογα με την τιμή σ η κατανομή παρουσιάζει μικρή ή μεγάλη κύρτωση. -3σ1 Η πιθανότερη τιμή είναι η τιμή με τη μέγιστη πιθανότητα εμφάνισης.

19 ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ!!! μετρήσεις στα πλαίσια απλών Μετρήσεων Φυσικής ακολουθούν συνήθως την κανονική κατανομή. Οι

20 Μέση τιμή (average-mean value) n x= xx = i μ x i 1 n Σφάλμα μέσης τιμής ή απόλυτο σφάλμα (standard error) n ( x ) x i x x i ( x ) i i 1 n (n 1) και n είναι το πλήθος των μετρήσεων

21 Σχετικό σφάλμα x Επί τοις εκατό σφάλμα % 100 x

22 Δειγματική διασπορά ή διακύμανση (variance) ) ( Δx i sn = n biased Δειγματική διασπορά ή διακύμανση (variance) ) ( Δx i s n 1= n 1 x i x x i unbiased και n είναι το πλήθος των μετρήσεων

23 Τυπική απόκλιση σ = x x

24 Αβεβαιότητες λόγω χρήσης οργάνων xi μ x= n x i x x i ) ( Δx i σ s n 1= n 1 ) ( Δx s σ i n 1 σ ( x)= = n(n 1) n n και n είναι το πλήθος των μετρήσεων ΙΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ Σφάλματα Μετρήσεων, 018, Δημήτριος Νικολόπουλος

25 Αβεβαιότητες λόγω χρήσης οργάνων μ x= σi xi σ i 1 σ i 1 σ ( x)= 1 σ i είναι η αβεβαιότητα της κάθε μέτρησης ΑΝΙΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ

26 Αβεβαιότητες στατιστικής υφής σ = μ x xi μ x= n (Poisson) σ x σ ( x)= n n ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΚΦΡΑΣΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ

27 ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ Μέγιστο σφάλμα W W W W x y z x y z Σφάλμα μέσης τιμής ή απόλυτο σφάλμα W ( W ) x W ( x ) y x, y,z W ( y) z x, y,z ( z) x, y,z

28

29 ΣΕ ΚΑΘΕ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ...

30 Επιστημονική γραφή αποτελέσματος μέτρησης x ( x ) (......) μονάδα μέτρησης x % (... μονάδα μέτρησης... %)

31 Στρογγυλοποίηση: διαδικασία εμφάνισης μόνο των σημαντικών ψηφίων (σ.ψ.) ενός πειραματικά μετρούμενου μεγέθους με τη στατιστικά ορθή αποκοπή των (μετά του πρώτου) αβέβαιων ψηφίων. Η Η στρογγυλοποίηση λαμβάνει χώρα μετά τον καθορισμό του πλήθους των σημαντικών ψηφίων. Το τελευταίο καθορίζεται με στατιστικά κριτήρια από το απόλυτο σφάλμα.

32 Κανόνες στρογγυλοποίησης Για τη στρογγυλοποίηση ελέγχεται το ψηφίο (αποκοπτόμενο ψηφίο-ψα) το οποίο ακολουθεί το τελευταίο σημαντικό ψηφίο (σ.ψτ)του αριθμού που είναι επιθυμητό να στρογγυλοποιηθεί (πρώτο αβέβαιο για n<5, δεύτερο αβέβαιο για n 5). Το ψηφίο ψα είναι το δεύτερο αβέβαιο για n<5 ή το τρίτο αβέβαιο για n 5. Ισχύουν οι κάτωθι κανόνες: Αν το ψηφίο ψα είναι μεγαλύτερο του 5 τότε αυξάνουμε το σ.ψτκατά μία μονάδα ψα > 5 σ.ψτ=σ.ψτ+1 Αν το ψηφίο ψα είναι μικρότερο του 5 τότε αφήνουμε το σ.ψτ όπως είναι ψα < 5 σ.ψτ=σ.ψτ Αν το ψηφίο ψα είναι το 5 τότε το σ.ψτ είναι άρτιο το αφήνουμε όπως είναι ψα = 5 σ.ψτ= σ.ψτ (αρτιο σ.ψτ) το σ.ψτ είναι περιττό το αυξάνουμε κατά 1 ψα = 5 σ.ψτ= σ.ψτ +1(περιττό σ.ψτ)

33 5,55 5,55 (3 σ.ψ.) 5,6 ( σ.ψ.) 1,415 1,4 (3 σ.ψ.) 1,4 ( σ.ψ.) 10,895 10,9 (3 σ.ψ.) 11 ( σ.ψ.) 10,985 (!) 11,0 (3 σ.ψ.) 11 ( σ.ψ.) 14, (3 σ.ψ.) 1x10 (όχι 10) ( σ.ψ.) 6487, x 10 (3 σ.ψ.) 65x10 ( σ.ψ.)

34 0, ,0558 (3 σ.ψ.) 0,056 ( σ.ψ.) 1,0078 1,01 (3 σ.ψ.) 1,0 (!) ( σ.ψ.) 55,895 56=5,6x10 (3 σ.ψ.) 5x10 ( σ.ψ.) 0,999 (!) 0,100 (3 σ.ψ.) 0,10 ( σ.ψ.),13678,14 (3 σ.ψ.),1 ( σ.ψ.)

35 Καθορισμός πλήθους σ.ψ.: Ισχύουν οι κάτωθι κανόνες: Για n<5 το απόλυτο σφάλμα πρέπει να έχει 1 σ.ψ. Για n 5 το απόλυτο σφάλμα πρέπει να έχει σ.ψ. Η μέση τιμή παρουσιάζεται με τόσα ψηφία (σ.ψ.) όσα αντιστοιχούν στην τάξη μεγέθους του (στρογγυλοποιημένου) απολύτου σφάλματος.

36 Καθορισμός πλήθους σ.ψ.: μ=15,3467- σ=0, μ ± σ = (15, ± 0,) μονάδα μέτρησης (n<5) μ ± σ = (15,16 ± 0,16) μονάδα μέτρησης (n 5 ) μ=101,8- σ=1,5 μ ± σ = (1,0 ± 0,1) x10 μονάδα μέτρησης (n<5) μ ± σ = (10,1 ± 1,) x10 μονάδα μέτρησης (n 5 ) μ ± σ = (1,01 ± 0,1) x10 μονάδα μέτρησης (n 5 ) μ=55,555- σ=5,5555 μ ± σ = (5,6 ± 0,6) x10 μονάδα μέτρησης (n<5) μ ± σ = (5,56 ± 0,56) x10 μονάδα μέτρησης (n 5 ) μ ± σ = (0,556 ± 0,056) x10 μονάδα μέτρησης (n 5 )

37 ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ (πρακτικοί κανόνες) Εφαρμόζονται όταν τα επιμέρους (μετρημένα) μεγέθη: έχουν ευρεθεί με διαφορετικές τεχνικές (π.χ. Μήκος 1,3 mm και 5,3 mm) αφορούν μετρήσεις με ίδια τεχνική αλλά διαφορετικής τάξης (π.χ. Πάχος,001 m και 0,004 m) Πολ/μος-Διαίρεση Το πλήθος των σημαντικών ψηφίων ενός παράγωγου μεγέθους είναι ίδιο με το αντίστοιχο πλήθος του μετρημένου ή παράγωγου μεγέθους με τα λιγότερα σημαντικά ψηφία 1,3 mm x 5,3 mm = 66,4 mm 66 mm 3 σ.ψ. x σ.ψ. σ.ψ.

38 ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ (πρακτικοί κανόνες-συνέχεια) Πρόσθεση-Αφαίρεση Μεγέθη μετρημένα με διαφορετικές τεχνικές Μεγέθη μετρημένα με ίδια τεχνική αλλά τάξης Το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων ενός παράγωγου μεγέθους είναι ίδιο με το αντίστοιχο πλήθος του μετρημένου ή παράγωγου μεγέθους με τα λιγότερα δεκαδικά ψηφία 15 mm + 0,14 mm = 15,14 mm 15 mm 3 σ.ψ. + σ.ψ. 3 σ.ψ. 0 δ.ψ. + δ.ψ. 0 δ.ψ. (!) διαφορετικής Το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων ενός παράγωγου μεγέθους είναι ίδιο με το αντίστοιχο πλήθος του κάθε επιμέρους μετρημένου ή παράγωγου μεγέθους.,0001 mm + 0,0004 mm =,0005 mm 5 σ.ψ. + 5 σ.ψ. 5 σ.ψ. 5 δ.ψ. + 5 δ.ψ. 5 δ.ψ. (!) 1,004 mm + 0,996 mm = 0,008 mm 4 σ.ψ. + 3 σ.ψ. 1 σ.ψ. 4 δ.ψ. + 4 δ.ψ. 4 δ.ψ. (!)

39 x Υπολογισμός Σφάλματος α/α xi (m) 4,3 4,5 4,6 4,4 4,5 4,1 4,9 4,7 4,5 4,4 x i 4,49 x (m) 4,49 Δxi (m) Δxi (m) 0,019 0, ,001 0, ,011 0, ,009 0, ,001 0, ,039 0, ,041 0, ,01 0, ,001 0, ,009 0, x i 0,00490

40 Αποτελέσματα n x i 4, 49 m i 1 x 4,49 m n 10

41 Αποτελέσματα n x i 0, m ( x ) i 1 n (n 1) , m 0, m ( x ) % 100 0, x

42 Αποτελέσματα x ( x ) (4,49 0,007) m x % (4,49 m 0, %)

43 Σύνθετη μέτρηση Έστω ότι ζητείται να υπολογισθεί η οριακή ταχύτητα μιας μικρής σφαίρας για τη θέση του οποίου ισχύουν οι προηγούμενες μετρήσεις Έστω ότι έχουν ληφθεί και μετρήσεις των αντιστοίχων χρονικών διαστημάτων. Οι τελευταίες αυτές μετρήσεις και τα αποτελέσματα τους φαίνονται έχουν ως ακολούθως:

44 x Υπολογισμός Σφάλματος ti (s) α/α ,3,9,5,6,,3,,5,1,7 t i 4,3 (s) t x,43 Δti (s) 0,13-0,47-0,07-0,17 0,3 0,13 0,3-0,07 0,33-0,7 t i Δti (s) 0, ,0900 0, , , , , , , , ,581000

45 Αποτελέσματα n t t i i 1 n 4,3 m,43 s 10 n t i 0, 581 s ( t ) i 1 n (n 1) , s 0, s

46 Αποτελέσματα ( x ) % 100 3, x

47 Αποτελέσματα x ( x ) (,43 0,08) s x % (,43 s 3 %)

48 Αποτελέσματα u u (u ) x x t u ( x ) x,t t ( t ) x,t 1 x ( x ) ( t ) t t

49 Αποτελέσματα 4,49 m u 1, m s 1,43 s 4,49 m 4,49 m ( u ) 0,007 m 0,08 s,43 s,43 s (u ) 0, m s -1 0, m s -1

50 Αποτελέσματα u ( t ) (1,75 0,06) m s 1-1 u % (1,75 m s 3 %)

51 Συνολική αβεβαιότητα Έστω ότι ένας παρατηρητής μετρά το μήκος μίας έδρας 100 φορές. Έστω ότι η αβεβαιότητα της κάθε μέτρησης είναι σταθερή και ίση προς σ=0.500 cm. Έστω ότι όλες οι μετρήσεις πραγματοποιήθηκαν με το ίδιο όργανο το οποίο έχει πεπερασμένη και γνωστή ακρίβεια, έστω σi. Ας υποτεθεί ότι το πραγματικό μήκος της έδρας είναι γνωστό και ίσο προς xμ=0.000 cm. Ας υποτεθεί επίσης ότι οι πραγματικές μετρήσεις κατανέμονται κατά Gauss. Έστω ότι ισχύει το κάτωθι: 100 μετρήσεις ==> μ ~ <x> = 0.08 cm, σ ~ s = 0.48 cm. Επειδή το χρησιμοποιούμενο όργανο δεν αλλάζει, σi = σ και επειδή σ~ s έπεται ότι σi ~ 0.48 cm. Τότε σμ ~ s / sqrt(n) = s / sqrt (100) = s / 10 = 0.48 cm / 10 ==> σμ ~ 0.05 cm (1 σ.ψ.) Η πραγματική διακύμανση σ = 0.08cm cm =0.08 cm δε διαφέρει σημαντικά από την εκτίμησή της μέσω των 100 μετρήσεων (0.05 cm)

52 Συνολική αβεβαιότητα Ένα πείραμα πραγματοποιήθηκε για τον υπολογισμό της τάσης μιάς συστοιχίας κελλιών. Ο παρατηρητής πραγματοποιεί 40 μετρήσεις με ένα όργανο-1. Ευρίσκει αποτέλεσμα μ1=1,0 V και διακύμανση s1=0.01v. Στη συνέχεια πραγματοποιεί άλλες 10 μετρήσεις με ένα όργανο-. Ευρίσκει αποτέλεσμα μ=1,018 V και διακύμανση s1=0.004v (μία τάξη μεγέθους). μ x= xi σ i 1 σ i = = 40 (1.0) (1.018) = (1.0)V +0.61(1.018)V = V

53 Συνολική αβεβαιότητα Η συνολική αβεβαιότητα είναι σ ( x) = 1 1 σ i = σ ( x)= ( + )= V

54 Συνολική αβεβαιότητα Παρ'ότι έγιναν 4 φορές περισσότερες μετρήσεις (40) με μεγάλη αβεβαιότητα (0.01V) η μέση τιμή είναι περίπου φορές πιο ευαίσθητη ( ) στη δεύτερη φάση των μετρήσεων η οποία συνοδεύεται από μικρότερη διασπορά. Το τελικό αποτέλεσμα (0.0010V) είναι καλύτερο από κάθε επιμέρους αποτέλεσμα. Πράγματι, αυτό ισχύει αφού: = V σ 1 ( x)= = V σ ( x)= 10 40