HMY 333 Φωτονική Διάλεξη 06. Εισαγωγή στις ταλαντώσεις και κύματα. Απλοί αρμονικοί ταλαντωτές. Γιατί εξετάζουμε την απλή αρμονική κίνηση;

Transcript

1 HMY 333 Φτονική Διάλεξη 6 Εισαγγή στις ταλαντώσεις και κύματα Απλοί αρμονικοί ταλανττές Μάζα-ελατήριο Mss-spring H. Chrisin, K.U.Ln(Wikipdi Εκκρεμές Pndlm U. o Monn LC κύκλμα hp:// 3 4 Γιατί εξετάζουμε την απλή αρμονική κίνηση; Επειδή είναι ημιτονοειδής, και η ημιτονοειδής ταλάντση είναι απλή και εμφανίζεται σε αρκετά φυσικά συστήματα όπς στα συστήματα διπόλν. Γιατί εξετάζουμε την απλή αρμονική κίνηση; Ειδικότερα, η ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία παράγεται από ένα ταλαντευόμενο δίπολο. Dnil A. Rssll, Kring Unirsiy Ταλαντευόμενο ακουστικό δίπολο. Αυτό παράγει διαμήκη κύματα. Ταλαντευόμενο ηλεκτρικό δίπολο. Αυτό παράγει εγκάρσια κύματα. MIT-OCW TEAL proc

2 5 6 ( Το φς είναι ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία συγκεκριμένου εύρους μηκών κύματος.το φς που σχετίζεται με ένα υλικό μπορεί να θερηθεί ς ταλαντευόμενο ηλεκτρικό πεδίο. ( Το γυαλί περιέχει μόρια, και κάθε μόριο είναι ένα δίπολο. (3 Επειδή το δίπολο περιέχει θετικά και αρνητικά φορτία, το ταλαντευόμενο ηλεκτρικό πεδίο (από το φς θα θέσει το δίπολο σε ταλάντση. (4 Το ταλαντευόμενο δίπολο με τη σειρά του εκπέμπει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία (δηλ. φς. (5Τέλος το ταλαντευόμενο ηλεκτρικό πεδίο θα θέσει σε ταλάντση το επόμενο μόριο. Εχει, λοιπόν, δημιουργηθεί μια αλυσιδτή αντίδραση με αποτέλεσμα το φς να διαδίδεται στο υλικό μέσ συνδεδεμένν ταλαντώσεν: 7 8 Γνρίζοντας, λοιπόν, τη δυναμική τν συστημάτν ελατηρίου-μάζας, την χρησιμοποιήσουμε για να καταλάβουμε πώς το φς διαδίδεται μέσ τν οπτικών μέσν. Σε ένα μεταγενέστερο στάδιο, θα χρησιμοποιήσουμε αυτό το αποτέλεσμα για ναδούμεότι ( Ο δείκτης διάθλασης είναι μιγαδικός αριθμός ( Το φς απορροφάται στα οπτικά μέσα Εάν συμπεριλάβουμε την απόσβεση στο μοντέλο του ελατηρίου, μπορούμε να εξηγήσουμε πώς το εξαγόμενο πεδίο έχει μικρότερο πλάτος (δηλ. το φς εξασθανεί. Η αλλαγή φάσης προκαλείται από την καθυστέρηση μεταξύ του εισερχόμενου πεδίου και της ταλάντσης τν δίπολν. Μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε αυτό για να εξηγήσουμε τη φυσική προέλευση του δείκτη διάθλασης.

3 9 Σύστημα μάζας-ελατηρίου Η μάζα mτοποθετείται σε πάτμα που δεν έχει τριβή Hrrd Από το νόμο του Hook, το ελατήριο τραβά ή σπρώχνει τη μάζα με μια δύναμη ανάλογη με τη μετατόπιση από τη θέση ισορροπίας: F kx Θα αρχίσουμε με την ανάλυση της απλής αρμονικής κίνησης. Δεύτερος νόμος του Nwon: F m m d Hrrd m d kx m kx d (6. Εξίσση απλής αρμονικής κίνησης k m kx x d d m Αυτή είναι μια γραμμική διαφορική εξίσση. Στην πραγματικότητα, τα περισσότερα συστήματα δεν είναι γραμμικά. Παραδείγματος χάριν, ο νόμος του Hook δεν ισχύει πέρα από τα όρια ελαστικότητας. Εντούτοις, πολλά συστήματα είναι σχεδόν γραμμικά, και έτσι η εξίσση της απλής αρμονικής κίνησης εμφανίζεται σε πολλά φυσικά και τεχνητά συστήματα. Η γενική λύση Υποθέτντας ότι οι ταλαντώσεις είναι ημιτονοειδείς συναρτήσεις του χρόνου, θα μπορούσαμε επίσης να επιλέξουμε ς λύση: x x sin Δεδομένου ότι η διαφορική εξίσση κίνησης είναι δευτέρας τάξης, d k x m η λύση θα αποτελείται από δύο μέρη: x cos bsin (6.

4 3 4 x( cos bsin Μπορούμε να βρούμε τους συντελεστές εάν γνρίζουμε τις αρχικές συνθήκες. x x ( cos bsin dx ( sin b cos d ( sin b cos b x x cos sin (6.3 Μιγαδικοί αριθμοί Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε τους μιγαδικούς αριθμούς για να βρούμε την λύση της εξίσσης ενός απλού αρμονικού ταλανττή: Υποθέστε ότι η λύση είναι εκθετική: θ cosθ sinθ Η γενική μορφή της εξίσσης της απλής αρμονικής κίνησης. U d d d d U d U U d d d U & U ± ± (6.4 ( Στην πραγματικότητα, η γραμμικότητα υποδεικνύει ότι η γενική λύση είναι: A ± όπου γενικά το Α είναι ένας μιγαδικός αριθμός: A b (6.6 Th Mxicn w A ± ( b(cos± sin cos± bsin ( bcos± sin Το πραγματικό μέρος είναι η φυσική λύση Θα έχετε δει αυτή τη μέθοδο πολλές φορές πριν. Είναι η τεχνική που χρησιμοποιούμε για να αναλύσουμε κυκλώματα εναλλασσόμενου ρεύματος. Αναπαριστουμε τις τάσεις και το ρεύμα χρησιμοποιώντας τους μιγαδικούς αριθμούς (δηλ. phsors, και αποδεχόμαστε το πραγματικό μέρος της λύσης ς τη φυσική λύση. Inci Snding p Siing down I. Frks, D. Hlbing, T. icsk, Mxicn ws in n xcibl mdim. Nr 49, 3-3 (.

5 7 8 Οι απλές αρμονικές ταλαντώσεις και τα ημιτονοειδή κύματα είναι διαφορετικά φυσικά φαινόμενα, αλλά από μαθηματική άποψη είναι παρόμοια. Μία πέτρα που ρίχνεται σε μία μικρή λίμνη, θα δημιουργήσει κυκλικά κύματα. Εγκάρσια κίνηση του επιπλέοντος σώματος. Ταχύτητα διάδοσης του κύματος Το κύμα προχρά κατά ένα μήκος κύματος στον οριζόντιου άξονα όταν το σώμα που επιπλέει εκτελεί μία πλήρη ταλάντση (χρόνος μίας περιόδου, κατά μήκος του κατακόρυφου άξονα. Hyprphysics 9 Εάν εξετάζουμε ένα εγκάρσιο κύμα, τα μόρια εκτελούν ταλάντση (απλή αρμονική κίνηση στον κατακόρυφο άξονα. Η διαταραχή (κύμα έχει ημιτονοειδή μορφή και διαδίδεται κατά μήκος του οριζόντιου άξονα. Δονήσεις (απλή αρμονική κίνηση Κύμα(ημιτονοειδής μορφή Η κυματική εξίσση Μονοδιάστατα κύματα Ως κύμα ορίζουμε μια διαταραχή (π.χ. ένας παλμός που διαδίδεται στον χώρο Σημείση. Τα υδάτινα κύματα φαίνονται να είναι εγκάρσια. Μια λεπτομερής παρατήρηση θα μας πείσει ότι είναι κυκλικά (συνδυασμός εγκάρσιν και διαμήκν κυμάτν Dn Rssll Κύμα που διαδίδεται στον άξονα b

6 Θα εξετάσουμε ένα μονοδιάστατο παλμό αυθαίρετης μορφής που στο χρόνο δίνεται από τη συνάρτηση (. ( Όλα τα σημεία του παλμού έχουν μετατοπιστεί κατά μήκος του θετικού άξονα σε μια απόσταση.ως εκ τούτου, για ο παλμός δίνεται από (-. Επομένς για οποιοδήποτε συγκεκριμένο χρόνο, έχουμε: Υποθέτουμε ότι αυτός ο παλμός κινείται στη θετική κατεύθυνση με σταθερή ταχύτητα και χρίς να αλλοιώνεται. Σε χρόνο, έχουμε: b (- Οδεύον κύμα στην κατεύθυνση Ταχύτητα Μπορούμε να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι ένα κύμα που ταξιδεύει στην αρνητική κατεύθυνση δίνεται από: (6.7 (- ( Οδεύον κύμαστην -κατεύθυνση Ταχύτητα - (6.8 b 3 4 Όλα αυτά είναι παραδείγματα οδεύοντν κυμάτν κατεύθυνση Θέλουμε τώρα να βρούμε τη μερική διαφορική εξίσση που ικανοποιείται από όλα τα κύματα, ανεξάρτητα από τη συνάρτηση. A sin( Αρμονικό κύμα Έχουμε (- ( (6.9 A A ( ( Όπου. & Εάν παραγγίσουμε (ς προς τη θέση έχουμε: (6. A sch (. (6. (6.

7 5 Εάν παραγγίσουμε (ς προς έχουμε:.. (6.3 (6.4 (6.5 6 Συγκρίνντας τις εξισώσεις (6. και (6.5, παίρνουμε τη μονοδιάστατη κυμάτικη εξίσση : On-dimnsionl w qion (6.6 Χρησιμοποιώντας την ίδια προσέγγιση, μπορούμε να βρούμε το ίδιο αποτέλεσμα για ένα κύμα που οδέυει στην αντίθετη κατεύθυνση, g (. Η γενική λύση της κυμάτικης εξίσσης ( είναι: ( (, ( g (6.7 Μονοδιάστατη κυμάτικη εξίσση 7 Παράδειγμα: Γραμμές μεταφοράς Για μια γραμμή μεταφοράς, μπορούμε να βρούμε πρώτα τις εξισώσεις του lgrphr, και να τις χρησιμοποιήσουμε έπειτα για να πάρουμε την ακόλουθη εξίσση: C G L R Εάν η γραμμή μεταφοράς είναι χρίς απώλειες, R και G, έτσι: LC Η εξίσση αυτή έχει την ίδια μορφή με την κυματική εξίσση σε μια διάσταση. Εάν συγκρίνουμε τις (6.6 & (6.9, βρίσκουμε ότι και (LC -/. olg, ( (6.8 (6.9 8 Z S S Z L Z Εάν η διέγερση είναι ημιτονοειδής, οι λύσεις για την τάση και το ρεύμα στη σταθερή κατάσταση θα είναι οι φασορές: (, ( I I(, ( d - ( Φορτίο Πηγή (6. A (6. B Γραμμή μεταφοράς I(

8 9 3 Για ημιτονοειδή διέγερση, οι κυματικές εξισώσεις για την τάση και ρεύμα, οι οποίες γενικά είναι: R L G C γίνονται Συντελεστής διάδοσης: I ( ( γ ( γ I( I ( R L( G C γ R L G C I (6. A (6. B (6. Οι εξισώσεις για το ρεύμα είναι ίδιες με τις εξισώσεις της τάσης. Έτσι θα λύσουμε μόνο τις εξισώσεις τάσης. i r γ γ γ ( i r ( i γ αντιπροσπεύει το προσπίπτον κύμα, το κινούμενο δηλ. στην κατεύθυνση, προς το φορτίο αντιπροσπεύει το ανακλώμενο κύμα, το κινούμενο δηλ. στην κατεύθυνση, προς την πηγή Έτσι ο φασοράς της τάσης αποτελείται από δύο μέρη: i γ ( r r ( i ( ( γ (6.3 r 3 3 Ο συντελεστής διάδοσης είναι μιγαδικός αριθμός γ ( R L( G C α β (6.4 Έτσι μπορούμε να γράψουμε την εξίσση (7 στην ακόλουθη μορφή ( i ( r ( α α Εάν εξετάσουμε το κύμα με την μπροστινή κατεύθυνση: ( β ( β ( σύνθετο πλάτος. Τιμή του προσπίπτοντος οδεύοντος κύματος για. i α ( β αντιπροσπεύει την εξασθένιση του προσπίπτοντος οδεύοντοςκύματος όρος φάσης (Χρονική και χρική εξάρτηση. (6.5 Ο όρος ( β είναι αρμονικό κύμα. Εξετάζοντας το πραγματικό μέρος, έχουμε: R φάση ( β ( cos( β Περιοδικότητα στον χρόνο Περίοδος: T π / Περιοδικότητα στον χώρο Περίοδος :λ π /β Στα κυκλώματα μικροκυμάτν, το σύμβολο β χρησιμοποιείται για τη σταθερά φάσης. Για την οπτική, χρησιμοποιούμε το k. π λ (6.6 k (6.7

9 Αρμονικά εγκάρσια κύματα Γενικά, ένα αρμονικό οδεύον κύμα γράφεται: (, Acos( k Όταν βρισκόμαστε σε ένα σταθερό σημείο στο χώρο, μπορούμε να εξετάσουμε τη χρονική συμπεριφορά του κύματος στο συγκεκριμένο σημείο (ταλάντση ενός σματιδίου: Όταν βρισκόμαστε σε ένα σταθερό χρονικά σημείο, εξετάζουμε την χρική εξάρτηση του κύματος (στιγμιότυπο. T π περίοδος λ π k 33 (6.8 A πλάτος μήκος κύματος Μπορούμε να βρούμε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος εξετάζοντας δύο σημεία σταθερής φάσης του κύματος: cos ( k k k p Ταχύτητα φάσης p k k 34 (6.9 cos ( k