ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/11/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/11/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. A1. Αν ένα σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση και η δύναμη που αντιτίθεται στην κίνηση του είναι της μορφής:, τότε: α. το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται γραμμικά με το χρόνο. β. η σταθερά απόσβεσης εξαρτάται μόνο από το σχήμα του σώματος. γ. η σταθερά απόσβεσης εξαρτάται από τις ιδιότητες του μέσου στο οποίο πραγματοποιείται η ταλάντωση, από το σχήμα και το μέγεθος του σώματος. δ. η περίοδος της ταλάντωσης, για ορισμένη σταθερά απόσβεσης, μειώνεται με την πάροδο του χρόνου. Α2. Ένα σύστημα ελατηρίου σώματος εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με πολύ μικρή σταθερά απόσβεσης. Η συχνότητα Τότε: του διεγέρτη είναι αρχικά μεγαλύτερη από την ιδιοσυχνότητα του συστήματος. α. Αν η συχνότητα του διεγέρτη αυξηθεί, το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης θα αυξηθεί. β. Για να φέρουμε το σύστημα σε συντονισμό θα πρέπει να αυξήσουμε την περίοδο της εξαναγκασμένης ταλάντωσης. γ. Αν με αφετηρία τη συχνότητα αρχίσουμε να αυξάνουμε τη συχνότητα του διεγέρτη, τότε θα υπάρξει μια συχνότητα, με, για την οποία το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης θα είναι ίσο με το αρχικό. δ. Αν αυξήσουμε τη σταθερά απόσβεσης το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης θα αυξηθεί. Α3. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που πραγματοποιούνται πάνω στην ίδια ευθεία και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Οι χρονικές εξισώσεις απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας των δύο ταλαντώσεων στο είναι: ( ) και ( ). Η χρονική εξίσωση στο α.. β.. της συνισταμένης ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα είναι: γ. ( ). δ. ( ). Σελίδα 1 από 10

2 Α4. Η ταχύτητα με την οποία διαδίδεται ένα μηχανικό κύμα σε ένα ελαστικό μέσο εξαρτάται: α. από τις ιδιότητες του ελαστικού μέσου και από το πόσο ισχυρή είναι η διαταραχή. β. μόνο από το πόσο ισχυρή είναι η διαταραχή. γ. από τη συχνότητα του κύματος. δ. μόνο από τις ιδιότητες του ελαστικού μέσου. Α5. Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ). α. Εγκάρσια ονομάζονται τα κύματα στα οποία όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. β. Τα κύματα που διαδίδονται στην επιφάνεια των υγρών μπορούν να θεωρηθούν κατά προσέγγιση εγκάρσια. γ. Η συχνότητα μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης ισούται πάντοτε με τη συχνότητα του διεγέρτη. δ. Στις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, για ορισμένη τιμή της συχνότητας του διεγέρτη, το πλάτος μειώνεται εκθετικά με το χρόνο. ε. Στην περίπτωση της ταλάντωσης που εκτελεί το σύστημα ενός εκκρεμούς ρολογιού, επιδιώκεται μεγιστοποίηση της απόσβεσης. Α1. γ. Α2. β. Α3. δ. Α4. δ. Α5. α. Σ, β. Σ, γ. Σ, δ. Λ, ε. Λ ΘΕΜΑ Β Β1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίσου πλάτους και μηδενικής αρχικής φάσης, που πραγματοποιούνται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και έχουν συχνότητες και αντίστοιχα, οι οποίες διαφέρουν λίγο μεταξύ τους. Ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του πλάτους της συνισταμένης κίνησης του σώματος είναι ίσος με. Αν αυξήσουμε τη συχνότητα κατά και διατηρήσουμε τη συχνότητα σταθερή, τότε ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του πλάτους της συνισταμένης κίνησης του σώματος θα: α. παραμείνει ο ίδιος. β. αυξηθεί κατά. γ. μειωθεί κατά. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Μονάδες 2 Σελίδα 2 από 10

3 Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Μονάδες 6 Β1. Σωστή απάντηση είναι η β. Ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του πλάτους της συνισταμένης κίνησης του σώματος ισούται με την περίοδο του διακροτήματος. Συνεπώς ισχύει: ή ή (1). Αν αυξήσουμε τη συχνότητα κατά, τότε για τη νέα συχνότητα θα ισχύει: και επιπλέον ισχύει ότι:. Συνεπώς η νέα περίοδος του διακροτήματος γίνεται: ή ή ή λόγω της σχέσης (1): ή. Συνεπώς ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του πλάτους της συνισταμένης ταλάντωσης αυξήθηκε κατά. Β2. Ένα σύστημα ιδανικού ελατηρίου σταθεράς και σώματος μάζας εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με την επίδραση εξωτερικής περιοδικής δύναμης (διεγέρτης). Το σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση συντονισμού. Αντικαθιστούμε το σώμα με άλλο που έχει μάζα. Για να φέρουμε το σύστημα ξανά σε κατάσταση συντονισμού θα πρέπει: α. να διπλασιάσουμε τη συχνότητα του διεγέρτη. β. να υποδιπλασιάσουμε τη συχνότητα του διεγέρτη. γ. να τετραπλασιάσουμε τη συχνότητα του διεγέρτη. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Μονάδες 2 Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Μονάδες 6 Β2. Σωστή απάντηση είναι η β. Έστω η αρχική συχνότητα του διεγέρτη. Επειδή το σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση συντονισμού, ισχύει: ή (1). Αν αντικαταστήσουμε το σώμα μάζας με άλλο σώμα με μάζα η ιδιοσυχνότητα του συστήματος θα γίνει: ή, ή λόγω της σχέσης (1):. Συνεπώς για να φέρουμε το σύστημα ξανά σε κατάσταση συντονισμού θα πρέπει για τη συχνότητα του διεγέρτη να ισχύει: ή. Σελίδα 3 από 10

4 Β3. Ένα μικρό σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση με περίοδο και με πλάτος που μειώνεται εκθετικά με το χρόνο. Αν τη χρονική στιγμή, το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης είναι ίσο με και τη χρονική στιγμή, το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης είναι, τότε το επί τοις εκατό ποσοστό μείωσης του πλάτους στη διάρκεια της δεύτερης περιόδου της φθίνουσας ταλάντωσης είναι ίσο με: α. β. γ. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Μονάδες 2 Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Μονάδες 7 Β3. Σωστή απάντηση είναι η γ. Έστω το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης τη χρονική στιγμή. Επειδή τα πλάτη και αποτελούν διαδοχικά πλάτη της φθίνουσας ταλάντωσης, ισχύει: ή ή. Το ζητούμενο ποσοστό μείωσης του πλάτους στη διάρκεια της δεύτερης περιόδου της φθίνουσας ταλάντωσης υπολογίζεται από τη σχέση: ή ή. ΘΕΜΑ Γ Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται με ταχύτητα μέτρου κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου που ταυτίζεται με τον θετικό ημιάξονα, προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα. Τη χρονική στιγμή το υλικό σημείο αρχίζει να ταλαντώνεται χωρίς αρχική φάση. Στα παρακάτω διαγράμματα (α) και (β) παριστάνονται τα στιγμιότυπα του κύματος τις χρονικές στιγμές και αντίστοιχα. y(m) (α) y(m) (β) +0,5 t 1 +0,5 t 2 0 0,5 x(m) 0 0,5 x(m) -0,5-0,5 Γ1. Να γράψετε την εξίσωση του κύματος και να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή, που αντιστοιχεί στο στιγμιότυπο του διαγράμματος (α). Μονάδες 6 Γ2. Να γράψετε την εξίσωση του στιγμιότυπου του κύματος που παριστάνεται στο διάγραμμα (β). Μονάδες 4 Σελίδα 4 από 10

5 Γ3. Να υπολογίσετε την ταχύτητα της ταλάντωσης του υλικού σημείου, που βρίσκεται στη θέση, τη χρονική στιγμή. Γ4. Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις των φάσεων της ταλάντωσης δύο υλικών σημείων και του ελαστικού μέσου σε συνάρτηση με το χρόνο. (rad ) 2 3 0,1 0, 4 t (s) Να υπολογίσετε τη διαφορά φάσης των ταλαντώσεων των υλικών σημείων και, κάποια χρονική στιγμή κατά την οποία ταλαντώνονται και τα δύο σημεία. Γ5. Να υπολογίσετε τον αριθμό των υλικών σημείων του ελαστικού μέσου, τα οποία βρίσκονται ανάμεσα στα σημεία και και έχουν τη χρονική στιγμή την ίδια απομάκρυνση και την ίδια φορά κίνησης με το σημείο. Γ1. Από το στιγμιότυπο του κύματος που παριστάνεται στο διάγραμμα (α) προκύπτει ότι και ή. Από τη θεμελιώδη κυματική εξίσωση προκύπτει: ή ή ή. Συνεπώς η εξίσωση που περιγράφει το κύμα είναι: ( ) ή. Από το στιγμιότυπο του κύματος που παριστάνεται στο διάγραμμα (α) φαίνεται ακόμα ότι τη χρονική στιγμή το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση από την αρχή του άξονα. Συνεπώς ισχύει ότι: ή ή. Γ2. Όπως φαίνεται από το στιγμιότυπο που παριστάνεται στο διάγραμμα (β) το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση από την αρχή του άξονα, για την οποία ισχύει: ή. Συνεπώς η χρονική στιγμή, η οποία αντιστοιχεί στο στιγμιότυπο αυτό μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση: ή ή. Σελίδα 5 από 10

6 Η εξίσωση του στιγμιότυπου του κύματος τη χρονική στιγμή δίνεται από τη σχέση: ( ) ή, για. Γ3. Η χρονική εξίσωση της ταχύτητας του σημείου σε συνάρτηση με το χρόνο είναι: ( ) ή ( ) ή ( ) ή ( ). Από την τελευταία σχέση για προκύπτει: ή. Γ4. Έστω και οι θέσεις των σημείων και αντίστοιχα στον άξονα. Όπως φαίνεται από το διάγραμμα τα υλικά σημεία και ξεκινούν να ταλαντώνονται τις χρονικές στιγμές και αντίστοιχα. Ισχύει ότι: ή και ή. Οι φάσεις ταλάντωσης των σημείων και, κάποια χρονική στιγμή κατά την οποία ταλαντώνονται και τα δύο σημεία είναι αντίστοιχα: ( ) ή (1) και ( ) ή (2). Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι. Επομένως η διαφορά φάσης των ταλαντώσεων των σημείων και είναι: ή. Γ5. Α ΤΡΟΠΟΣ: Η απόσταση από την αρχή του άξονα στην οποία έχει διαδοθεί το κύμα τη χρονική στιγμή είναι: ή. Την ίδια χρονική στιγμή η απομάκρυνση του υλικού σημείου είναι ( ) ή. Η απομάκρυνση του υλικού σημείου που βρίσκεται στη θέση τη χρονική στιγμή είναι: ( ) ή ή. Η απόσταση αποτελείται από τμήματα μήκους, τα οποία υπολογίζονται από τη σχέση: ή ή. Σχεδιάζουμε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή. Σελίδα 6 από 10

7 y(m ) 0, ,2 0, 4 1, 6 x (m ) 0,5 Όπως φαίνεται από το στιγμιότυπο του κύματος τα σημεία που βρίσκονται ανάμεσα στα σημεία και και έχουν την ίδια απομάκρυνση και την ίδια ταχύτητα με το σημείο είναι τρία. Β ΤΡΟΠΟΣ Η διαφορά φάσης των ταλαντώσεων δύο υλικών σημείων, τα οποία έχουν κάθε χρονική στιγμή την ίδια απομάκρυνση και την ίδια ταχύτητα είναι: (1), με Ισχύει:, ή λόγω της σχέσης (1): (2), με Επομένως, η απόσταση μεταξύ των θέσεων ισορροπίας δύο υλικών σημείων, τα οποία έχουν κάθε χρονική στιγμή την ίδια απομάκρυνση και την ίδια ταχύτητα είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος. Έστω ένα τυχαίο υλικό σημείο που βρίσκεται στη θέση του άξονα και έχει κάθε χρονική στιγμή την ίδια απομάκρυνση και την ίδια ταχύτητα με το σημείο. Σύμφωνα με τη σχέση (2), ισχύει ότι: ή ή (3),. Για να βρούμε πόσα τέτοια σημεία έχουμε ανάμεσα στο σημείο και, λύνουμε την ανίσωση:, ή λόγω της σχέσης (3): ή ή ή. Συνεπώς υπάρχουν 3 σημεία. ΘΕΜΑ Δ Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις (1) και (2), οι οποίες πραγματοποιούνται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Οι χρονικές εξισώσεις της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας των δύο συνιστωσών ταλαντώσεων (1) και (2) στο είναι: και ( ) Δ1. Να αποδείξετε ότι η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος, λόγω της σύνθετης ταλάντωσης που εκτελεί είναι: ( ). Σελίδα 7 από 10

8 Δ2. Τη χρονική στιγμή, αν το σώμα εκτελούσε μόνο την ταλάντωση (1) θα βρισκόταν στη θέση, ενώ την ίδια χρονική στιγμή, αν εκτελούσε μόνο την ταλάντωση (2) η επιτάχυνση του θα ήταν. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος της χρονική στιγμή, λόγω της σύνθετης ταλάντωσης που εκτελεί. Ένα πολύ μικρό σώμα μάζας ισορροπεί δεμένο στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο σε οριζόντιο δάπεδο. Το σώμα συνδέεται μέσω αβαρούς και μη εκτατού νήματος με ένα ακλόνητο σημείο Γ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Στη θέση ισορροπίας του σώματος το ελατήριο είναι επιμηκυμένο κατά σε σχέση με το φυσικό του μήκος και το σώμα δέχεται από το νήμα δύναμη μέτρου.. l Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα που συνδέει το σώμα με το σημείο Γ, οπότε αυτό αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς. Αν θεωρήσουμε ως αρχή μέτρησης του χρόνου τη χρονική στιγμή κατά την οποία το σώμα διέρχεται για δεύτερη φορά από τη θέση, όπου το ελατήριο αποκτά το φυσικό του μήκος και θετική φορά τη φορά προς τα πάνω, τότε η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας του είναι η ίδια με την εξίσωση της απομάκρυνσης που περιγράφει τη συνισταμένη ταλάντωση που εκτελεί το σώμα. Δ3. Να υπολογίσετε τo μέτρο της ταχύτητας του σώματος τη χρονική στιγμή. Μονάδες 4 Δ4. Να αποδείξετε ότι η μάζα του σώματος είναι Δ5. Κάποια χρονική στιγμή κατά την οποία το σώμα βρίσκεται στην κάτω ακραία θέση της ταλάντωσης του, τοποθετούμε ακαριαία πάνω στο σώμα ένα δεύτερο πολύ μικρό σώμα μάζας, οπότε το σύστημα των δύο σωμάτων συνεχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Να υπολογίσετε το πλάτος της Σελίδα 8 από 10

9 ταλάντωσης του συστήματος των σωμάτων και και να αποδείξετε ότι το σώμα δεν θα χάσει την επαφή του με το σώμα κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης τους. Δίνεται: η επιτάχυνσης της βαρύτητας. Μονάδες 6 Δ1. Το πλάτος της συνισταμένης ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα υπολογίζεται από τη σχέση: ή ή ή. Η αρχική φάση της συνισταμένης ταλάντωσης υπολογίζεται από τη σχέση: ή ή ή ή. Συνεπώς η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος Σ από τη θέση ισορροπίας του, λόγω της σύνθετης ταλάντωσης είναι: ( ). Δ2. Έστω η απομάκρυνση του σώματος τη χρονική στιγμή, αν εκτελούσε μόνο την ταλάντωση (2). Ισχύει: ή Έστω η απομάκρυνση του σώματος τη χρονική στιγμή, λόγω της συνισταμένης ταλάντωσης που εκτελεί. Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας ισχύει: ή. Συνεπώς το μέτρο της ταχύτητας του σώματος τη χρονική στιγμή είναι: ή Δ3. Έστω το μέτρο της ταχύτητας του σώματος τη χρονική στιγμή. Από τη χρονική εξίσωση της ταχύτητας του σώματος για έχουμε: ή ή. Δ4. T..(1) 1. l l 1 w F F x..( 2 ) w Η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης του (Θ.Ι.2)), τη χρονική στιγμή είναι: ή Όπως φαίνεται από το σχήμα, ισχύει ή, όπου είναι η συμπίεση του ελατηρίου στη Θ.Ι.(2). Το πλάτος Α της ταλάντωσης είναι: ή ή. Σελίδα 9 από 10

10 Οι δυνάμεις που δέχεται το σώμα στην αρχική θέση ισορροπίας του (Θ.Ι.(1)), πριν κοπεί το νήμα, είναι η τάση από το νήμα, το βάρος του και η δύναμη από το ελατήριο. Επειδή το σώμα ισορροπεί ισχύει: ή ή (1). Στη Θ.Ι.(2) του σώματος ισχύει: ή ή (2). Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει: ή ή Δ5.. l 1 F..( 2 )...(3) w F l N 2 1 w 2 x 1 w Από τη σχέση (2) προκύπτει ότι:. Τη χρονική στιγμή που τοποθετούμε το σώμα πάνω στο σώμα, το σώμα είναι στην ακραία θέση της ταλάντωσης του, οπότε η θέση αυτή θα είναι ακραία θέση και για την ταλάντωση του συστήματος των σωμάτων και. Έστω η συμπίεση του ελατηρίου στη θέση ισορροπίας του συστήματος των σωμάτων και (Θ.Ι.(3)). Στη Θ.Ι.(3) ισχύει ότι: ή ή ή. Όπως φαίνεται από το σχήμα το πλάτος της ταλάντωσης του συστήματος των σωμάτων και είναι: ή. Η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης του συστήματος των σωμάτων και είναι ή. Έστω μια τυχαία θέση στον θετικό ημιάξονα με απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του συστήματος των σωμάτων και (Θ.Ι.(3)). Οι δυνάμεις που δέχεται το σώμα στη θέση αυτή είναι το βάρος του και η κάθετη αντίδραση από το σώμα. Για τη συνολική δύναμη που δέχεται το σώμα ισχύει: ή ή ή. Για να χαθεί η επαφή των δύο σωμάτων θα πρέπει, οπότε από την προηγούμενη σχέση προκύπτει: ή ή Επειδή είναι δεν χάνεται η επαφή. Σελίδα 10 από 10