ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ -1- ΣΕΛΙ Α 1. ΠΡΟΛΟΓΟΣ 3 2. ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ANA TOYΣ ΑΙΩΝΕΣ 4 3. Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Σ Τ Ο Υ Σ Σ Ο Υ Μ Ε Ρ Ι Ο Υ Σ 1

Transcript

1 ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ : «ΑΡΧΑΙΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥΣ»

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ -1- ΣΕΛΙ Α 1. ΠΡΟΛΟΓΟΣ 3 2. ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ANA TOYΣ ΑΙΩΝΕΣ 4 3. Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Σ Τ Ο Υ Σ Σ Ο Υ Μ Ε Ρ Ι Ο Υ Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΑΖΤΕΚΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΑΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΒΑΒΥΛΩΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ KINA ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΚΙΝΑ --ΚΙΝΕΖΙΚ ΚΙΝΕΖΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΙΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΑΡΑΒΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΙΝ ΙΑ ΣΡΙΝΙΒΑΣΑ ΡΑΜΑΝΟΥΤΖΑΝ ( ) 1920) [Ο ΡΟΜΑΝΤΙΚΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ] ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑ Α ΘΑΛΗΣ Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣ ΑΝΑΞΙΜΑΝ ΡΟΣ Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣ ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Ο ΣΑΜΙΟΣ ΦΙΛΟΛΑΟΣ Ο ΚΡΟΤΩΝΙΑΤΗΣ ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ Ο ΧΙΟΣ ΟΙΝΟΠΙ ΗΣ ΟΠΙ ΗΣ Ο ΧΙΟΣ ΗΜΟΚΡΙΤΟΣ Ο ΑΒ ΗΡΙΤΗΣ ΑΡΧΥΤΑΣ Ο ΤΑΡΑΝΤΙΝΟΣ ΠΛΑΤΩΝ Ο ΑΘΗΝΑΙΟΣ ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ Ο ΑΘΗΝΑΙΟΣ ΕΥ ΟΞΟΣ Ο ΚΝΙ ΙΟΣ ΜΕΝΑΙΧΜΟΣ Ο ΠΡΟΚΟΝΝΗΣΙΟΣ ΠΥΘΕΑΣ Ο ΜΑΣΣΑΛΙΩΤΗΣ EΥΚΛΕΙ ΗΣ ΑΡΙΣΤΑΡΧΟΣ Ο ΣΑΜΙΟΣ ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ Ο ΣΥΡΑΚΟΥΣΙΟΣ ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΣ Ο ΚΥΡΗΝΑΙΟΣ ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ Ο ΠΕΡΓΑΙΟΣ ΝΙΚΟΜΗ ΗΣ ΙΠΠΑΡΧΟΣ Ο ΝΙΚΑΕΥΣ ΠΟΣΕΙ ΩΝΙΟΣ Ο ΡΟ ΙΟΣ 81

3 35. ΙΟΝΥΣΟ ΩΡΟΣ Ο ΜΗΛΙΟΣ ΙΟΚΛΗΣ Ο ΑΛΕΞΑΝ ΡΕΥΣ ΗΡΩΝ Ο ΑΛΕΞΑΝ ΡΙΝΟΣ ΜΕΝΕΛΑΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝ ΡΙΝΟΣ ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ Ο ΚΛΑΥ ΙΟΣ ΙΟΦΑΝΤΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝ ΡΙΝΟΣ ΠΑΠΠΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝ ΡΙΝΟΣ ΥΠΑΤΙΑ Η ΘΕΩΝΟΣ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΙΟ ΣΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΜΕ ΤΗ ΣΥΜΒΟΥΛΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΥΡΙΑ ΣΜΑΡΩ ΑΛΕΞΑΝ ΡΟΥ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΑΚΡΟΣΤΟΙΧΙ ΑΣ ΕΠΙΛΟΓΟΣ

4 ΠΡΟΛΟΓΟΣ H επιλογή αυτού του θέµατος έγινε, διότι µας φάνηκε ενδιαφέρον να ασχοληθούµε µε την Ιστορία των Μαθηµατικών και συγκεκριµένα µε τους Αρχαίους Έλληνες Μαθηµατικούς. Η ενασχόληση µε αυτήν την εργασία είναι εποικοδοµητική, αφού µας προσφέρει γνώσεις για τα µαθηµατικά, τις οποίες µέχρι σήµερα δεν γνωρίζαµε και οι οποίες θα µας βοηθήσουν στην κατανόησή τους. Η επιλογή αυτής της ερευνητικής εργασίας µεταξύ πολλών άλλων έγινε, αφενός µεν, γιατί µας αρέσουν τα µαθηµατικά σαν επιστήµη και, αφετέρου δε, γιατί θελήσαµε να µάθουµε περισσότερα για τους προγόνους µας οι οποίοι µε το ανήσυχο πνεύµα τους και τη διαρκή αναζήτηση της ερµηνείας των φαινοµένων που συνέβαιναν γύρω τους ανακάλυψαν νόµους, θεωρήµατα, προτάσεις και γεωµετρικές κατασκευές τα οποία έχουν εφαρµογή και στους σηµερινούς νόµους επιστηµών όπως τα Μαθηµατικά, η Φυσική, η Μηχανική, η Αστρονοµία κ.ά. Η εργασία αυτή µας βοήθησε πολύ στο να αποκτήσουµε οµαδικό πνεύµα συνεργασίας µεταξύ µας και να ανταλλάξουµε απόψεις πάνω σε θέµατα που µας αφορούν. Ο διαχωρισµός της οµάδας σε επιµέρους υποοµάδες µας δηµιούργησε πνεύµα ευθύνης µε τη λήψη σηµαντικών αποφάσεων σε διαφορετικούς τοµείς έρευνας µε τη µορφή διαλόγου. Η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΟΜΑ Α ΤΟΥ 1 ΟΥ ΓΕ.Λ ΑΛΕΞ/ΠΟΛΗΣ -3-

5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ANA TOYΣ ΑΙΩΝΕΣ Αίγυπτος Κίνα Μεσοποταµία Αίγυπτος Μεσοποταµία Ελλάδα Ινδία π.χ Εµφάνιση ιερογλυφικών αριθµών Κατασκευή πυραµίδων Πραγµατεία Μεταθέσεων Πραγµατεία αριθµητικής σε 9 κεφάλαια ( υπολογισµοί εµβαδών) Προσέγγιση της τιµής του π Εµφάνιση σφηνοειδούς γραφής των αριθµών π.χ Πάπυροι Rhind και Μόσχας Υπολογισµοί όγκων και εµβαδών Υπολογισµοί εµβαδών και "επίλυση" εξισώσεων β βαθµού π.χ Θαλής. Έννοια απόδειξης, Αποδεικτική Γεωµετρία Πυθαγόρας -Πυθαγόρειοι. Θεωρία Αριθµών, γεωµετρία, µουσική κλίµακα Υπολογισµός τετραγωνικών ριζών -4-

6 Ελλάδα Ελλάδα Κίνα π.χ Οινοπίδης ο Χίος: Γεωµετρία Ιπποκράτης ο Χίος: Τετραγωνισµός Ζήνων ο Ελεάτης: Παράδοξα κίνησης ( που περικλείουν έννοιες συνέχειας και ορίου) Λεύκιππος: Ατοµική θεωρία Αντιφών: Μέθοδος εξάντλησης Ιππίας ο Ηλείος: Τετραγωνισµός Θεόδωρος ο Κηρυναίος: Ασύµµετρους ς αριθµούς ηµόκριτος: Ατοµική Θεωρία, Γεωµετρία Αρχύτας: Αναλογίες Πλάτων: Θεµελίωση Μαθηµατικών Θεαίτητος: Γεωµετρία Εύδοξος: Αναλογίες Μέναιχµος: Κωνικές εινόστρατος: Τετραγωνίζουσα Αριστοτέλης: Λογική Ευκλείδης: Στοιχεία, εδοµένα, Φαινόµενα π.χ Αρίσταρχος: Πρώτη διατύπωση της θεωρίας του ηλιοκεντρικού συστήµατος Ερατοσθένης: Πρώτοι αριθµοί, Γεωδαισία Απολλώνιος: Κωνικές Αρχιµήδης: Γεωµετρία, Αρχές απειροστικού λογισµού, Θεωρητική φυσική, Εφαρµογές Ίππαρχος: Αστρονοµία, Τριγωνοµετρία Σωσιγένης: ηµιουργία Ιουλιανού ηµερολογίου Τετραγωνικές, κυβικές ρίζες. Γραµµικές εξισώσεις -5-

7 Ελλάδα Κίνα Ελλάδα Κίνα Ελλάδα Μεξικό Μέση Ανατολή Ινδία Ιταλία Κίνα µ.χ Ήρων ο Αλεξανδρεύς: Γεωδαισία, Μαθηµατικά, Εφαρµογές Σερήνος: Κυλινδρικές τοµές Νικόµαχος: Θεωρία Αριθµών Θέων ο Σµυρναίος: Θεωρία Αριθµών Κλαύδιος Πτολεµαίος: Αστρονοµία, Τριγωνοµετρία, Γεωδαισία Αστρονοµία, Γεωµετρία µ.χ ιόφαντος: Άλγεβρα, Θεωρία Αριθµών Πάππος: Γεωµετρία Ιαµβλίχος: Θεωρία Αριθµών Θέων ο Αλεξανδρεύς: Γεωµετρία Liu Hui: Τεχνικές µέτρησης. Αριθµητική µ.χ Υπατία: Γεωµετρία, Αστρονοµία Πρόκλος: Γεωµετρία Ανάπτυξη της αρίθµησης και αστρονοµίας των Maya Με τον Χαρούν αλ Ρασίντ, προστάτη των Μαθηµατικών, (βασίλευσε ) 8) αρχίζει η αραβική εποχή, αµάλγαµα δύο κόσµων (ελληνικού - αραβικού) Aryabhata και Τριγωνοµετρία Brahmagupta και απροσδιόριστη ανάλυση, ανάπτυξη του ινδοαραβικού συστήµατος αρίθµησης Boethius: Γεωµετρία και Θεωρία Αριθµών Αριθµητική, Μέτρηση κύκλου, Εξισώσεις 3ου βαθµού, Αστρονοµία -6-

8 Μέση Ανατολή Ινδία Ισπανία Βυζάντιο Περσία Ινδία Ισπανία Ιταλία Κίνα µ.χ al Khowârismi: Άλγεβρα Honein ibn Ishâq: Ελληνικά Μαθηµατικά Tâbt ibn Qurra: Κωνικές, Ελληνικά Μαθηµατικά Abû Kâmil: Γεωµετρία, Άλγεβρα Al Nairizi: Γεωµετρία Αβικέννας: νας: Γεωµετρία, Αριθµητική Mahâvira: Αριθµητική, Άλγεβρα Gerbert (Sylvester II): Αριθµητική µ.χ Μιχαήλ Ψελλός: Αστρονοµία Οµάρ Καγιάµ: Γεωµετρική λύση κυβικών εξισώσεων, αίτηµα των παραλλήλων, θεωρία αναλογιών Al Biruni: Σφαιρική τριγωνοµετρία Bhâskara: Άλγεβρα Αραβικά έργα µεταφράζονται σε λατινικά Abraham ben Ezra: Συνδυαστική Μεταφράσεις αραβικών έργων στα λατινικά (Πλάτων του Tivoli, Gerardo της Gremoma) Αριθµητική -7-

9 Αγγλία Βυζάντιο Γαλλία Ιταλία Κίνα Περού Περσία Αγγλία Γαλλία Γερµανία Ιταλία Ινδία Κάτω Χώρες µ.χ Μελέτη κίνησης, επιτάχυνσης Calculatores Ιωάννης Παχυµέρης: Περί των τεσσάρων µαθηµάτων Παχυµερούς µεγάλου διδασκάλου: (Αριθµητική, µουσική, Γεωµετρία, Αστρονοµία) Μάξιµος Πλανούδης: Θεωρία Αριθµών Εµµανουήλ Μοσχόπουλος: Μαγικά τετράγωνα Νικόλαος Ραβδάς: Αριθµητική, Γεωµετρία O Jordanus και προχωρηµένη Άλγεβρα Leonardo της Πίζας (FIbonacci): Άλγεβρα, Αριθµητική, Γεωµετρία ( εισαγωγή αραβικών γνώσεων) Επίλυση πολυωνυµικών εξισώσεων Κίπους: ( κόµβοι σε σχοινιά ) για µέτρηση Nasir al Din Tusi και τριγωνοµετρία µ.χ Τριγωνοµετρία Ο Vieta και ο αλγεβρικός συµβολισµός Reichenmeisters: Προοπτική (Durer) Αλγεβρική επίλυση εξισώσεων 3ου βαθµού (Ferrari, Tartaglia, Carnano ). Γεωµετρία, Γεωµετρική προοπτική Υπολογισµοί ηµx, συνx Stevin και τα δεκαδικά κλάσµατα Πορτογαλία N. Nuñez (Άλγεβρα, ( Γεωµετρία, Ναυσιπλοΐα) -8-

10 Ευρώπη Κίνα µ.χ Kepler, Newton: Ουράνια µηχανική Descartes-Fermat: ηµιουργία Αναλυτικής Γεωµετρίας Napier, Briggs: Ανακάλυψη λογαρίθµων Girard-Descartes: Θεωρία εξισώσεων Pascal-Fermat: Θεωρία πιθανοτήτων Fermat-Pascal: Θεωρία Αριθµών Pascal-Desa Desargues: Προβολική Γεωµετρία Newton-Leibniz: ηµιουργία απειροστικού λογισµού Γαλιλαίος: Γεωµετρία, Αστρονοµία, Μηχανική Huygens: Γεωµετρία, Φυσική, Αστρονοµία, Θεωρία πιθανοτήτων. Ο Mateo Ricci µεταφράζει τα στοιχεία του Ευκλείδη στα κινέζικα µ.χ Ανάπτυξη τεχνικής για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων (Euler ( Euler, D`Alembert Alembert, Clairaut, Bernoulli, Lagrange) - Προσπάθεια αυστηρής θεµελίωσης του απειροστικού λογισµού (D`Alembert ( Alembert, Euler, Lagrange) - Θεωρία πιθανοτήτων (Bernoulli( Bernoulli, de Moivre, Bayes ayes, Laplace ) - Eπίλυση πολυωνυµικών εξισώσεων (Lagrange ( Lagrange, Ruffini) - Γεωµετρία: Μελέτη Καµπυλών (Euler ( Euler, Clairaut, Monge, Dupin)-Λογισµός Μεταβολών (Euler ( Euler, Lagrange) µ.χ Αλγεβρική Θεωρία αριθµών - Θεωρία Galois - Οµάδες και Σώµατα - Quaternions και οι µη µεταθετικές άλγεβρες - Θεωρία Πινάκων - Η αριθµητικοποίηση της ανάλυσης - ιαφορική Γεωµετρία - Μη Ευκλείδειες Γεωµετρίες - Προβολική Γεωµετρία - ιανυσµατική Ανάλυση - Θεµελίωση της Γεωµετρίας - Μαθηµατική Λογική - Θεωρία πιθανοτήτων - Θεωρία Συναρτήσεων -9-

11 µ.χ Θεωρία Συνόλων - Ανάπτυξη της Τοπολογίας-Αυστηρή Θεµελίωση της Θεωρίας Πιθανοτήτων - Επίδραση των Η/Υ στα Μαθηµατικά - Αλγεβροποίηση των Μαθηµατικών - Επίλυση ανοιχτών προβληµάτων (το τελευταίο θεώρηµα του Fermat, το πρόβληµα των 4 χρωµάτων) - Η γένεση της οµάδας N. Bourbaki - Η δηµιουργία καινούριων κλάδων και θεωριών (συναρτησιακή ανάλυση, τανυστική ανάλυση, ολική διαφορική γεωµετρία, κυβερνητική, θεωρία γραφηµάτων, θεωρία κατηγοριών, θεωρία κατανοµών, θεωρία solitons κ.α). -10-

12 Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Σ Τ Ο Υ Σ Σ Ο Υ Μ Ε Ρ Ι Ο Υ Σ Ήδη απ' την 8η χιλιετία π.χ. οι κάτοικοι της περιοχής που έµελλε να κατοικήσουν οι Σουµέριοι, χρησιµοποιούσαν ένα σύστηµα αριθµητικής καταγραφής βασισµένο σε µικρές πήλινες "µάρκες" (tokens), τουλάχιστον όσον αφορά στην καταµέτρηση γεωργικών προϊόντων. Στην εποχή που κατοικούν την περιοχή οι Σουµέριοι, τα µαθηµατικά φαίνονται να έχουν ένα καθαρά ωφελιµιστικό χαρακτήρα, εξυπηρετώντας τον σκοπό µιας "αναδιανεµητικής οικονοµίας" που ήταν υπό τη διεύθυνση του Ιερατείου. Βέβαια αυτό δεν αποκλείει τη κατοχή και χρήση γνώσεων στον τοµέα των Μαθηµατικών, σε πιο θεωρητικό επίπεδο και για µηωφελιµιστικούς σκοπούς, απ' τους ίδιους τους ιερείς, όπως ακριβώς φαίνεται ότι συνέβαινε µε κάθε είδος γνώσης. Η γνώση ήταν προνόµιο ενός κλειστού ιερατικού κύκλου στα πλαίσια των Μυστηρίων που άνθησαν και στη Μεσοποταµία. Μόνο οι πρακτικές όψεις κάθε επιστήµης (όπως η καταγραφή προϊόντων ή ο καταµερισµός της γης) εκλαϊκεύονταν. Αυτή είναι µια όψη που συχνά οι σύγχρονοι αρχαιολόγοι παραβλέπουν, θεωρώντας κάθε ανάπτυξη γνώσης, αποτέλεσµα υλιστικών και πρακτικών αναγκών και όχι εφαρµογή ενός θεωρητικού υπόβαθρου). Τα αρχαιολογικά ευρήµατα της Μεσοποταµίας που ήρθαν στο φως τους τελευταίους αιώνες, περιλάµβαναν αρκετά κείµενα (χαραγµένα πάνω σε πήλινες πινακίδες) που αφορούσαν στις γνώσεις των λαών της περιοχής για τα Μαθηµατικά. Η σφηνοειδής γραφή των πινακίδων αυτών αποκρυπτογραφήθηκε στα µέσα του 19ου αιώνα απ' τον γερµανό G.F. Grotefend ( ) και τον άγγλο ταγµατάρχη H. Rawlinson ( ). Από τις περίπου µισό εκατοµµύριο πήλινες πινακίδες σφηνοειδούς γραφής που έχουν βγει στο φως σχεδόν 500 είναι αυτές που έχουν άµεσο µαθηµατικό ενδιαφέρον. Οι πινακίδες αυτές βρίσκονται σε συλλογές σε διάφορα µουσεία της Ευρώπης, των Η.Π.Α., καθώς και στο Αρχαιολογικό Μουσείο της Βαγδάτης. Αργότερα, στα τέλη της δεκαετίας του 1930, τα µαθηµατικά αυτά κείµενα άρχισαν να αποκρυπτογραφούνται απ' τον αυστριακό Οttο Neugebauer ( ), κορυφαίο ερευνητή των µαθηµατικών και της αστρονοµίας της Μεσοποταµίας. Αν και οι περισσότερες πινακίδες χρονολογούνται στην εποχή της Βαβυλωνιακής Αυτοκρατορίας, ωστόσο είναι γνωστό ότι οι γνώσεις της εποχής αυτής αποτελούν κληρονοµιά και µετεξέλιξη των σουµεριακών µαθηµατικών. -11-

13 Φαίνεται λοιπόν ότι, βρισκόµαστε µπροστά σ' ένα υψηλό επίπεδο µαθηµατικών γνώσεων που βασίζεται σε ένα αριθµητικό σύστηµα µε βάση τον αριθµό 60, αν και στα "ψηφία" φαίνεται η πρακτικότητα του αριθµού 10. ύο σύµβολα, η απλή κατακόρυφη σφήνα που παριστάνει τη µονάδα (1) και η διπλή σφήνα που παριστάνει τη δεκάδα (10), αποτελούν τα µοναδικά "ψηφία" του συστήµατος αυτού το όποιο ήταν θεσιακό, δηλ. η αξία ενός ή περισσότερων ψηφίων καθορίζονταν απ' τη θέση που αυτό κατείχε µέσα σ' ένα αριθµό. Οι αριθµοί απ' το 1 ως το 59 σχηµατίζονται µε συνδυασµό των δύο βασικών συµβόλων και αριθµοί απ' το 60 και πάνω γράφονται σαν δυνάµεις του 60. Αυτό είναι εύκολο να το κατανοήσουµε στο δικό µας δεκαδικό σύστηµα, το οποίο είναι επίσης θεσιακό. Για παράδειγµα στον αριθµό 1858, το πρώτο "8" αναφέρεται σε εκατοντάδες (102), ενώ το δεύτερο "8" σε µονάδες (100). Όµοια κάθε ψηφίο φανερώνει µια αξία πολλαπλάσια κάποιας δύναµης του δέκα (10), ανάλογα µε τη θέση που κατέχει µέσα σ' ένα αριθµό. Το ίδιο συµβαίνει µε τους σουµεριακούς αριθµούς, µόνο που η βάση είναι ο αριθµός 60. Μάλιστα ένα σύµβολο µπορεί να αναφέρεται και σε αρνητικές δυνάµεις του 60 (π.χ για το 1/600) οι οποίες χρησίµευαν όπως και σήµερα για της υποδιαιρέσεις της µονάδας, αλλά και στην τέλεση της πράξης της διαίρεσης (η διαίρεση α / β ισοδυναµούσε µε τον πολλαπλασιασµό α β-1). Μπορεί η χρήση ενός 60αδικού συστήµατος να φαντάζει σήµερα περίεργη, αλλά ας σκεφτούµε ότι οδήγησε τους Σουµέριους και αργότερα τους Βαβυλώνιους στη µέτρηση του χρόνου µε βάση κύκλους διαιρεµένους σε 60 µονάδες, τρόπο που χρησιµοποιούµε ακόµα και σήµερα (1 ώρα = 60 λεπτά = 3600 δευτ/πτα). Επίσης οδήγησε τους Σουµέριους στο να χωρίσουν τον κύκλο σε και κάθε µοίρα σε 60 λεπτά. Έτσι ο αριθµός 60 αποτελεί εδώ και χρόνια τουλάχιστον τη βάση µέτρησης των κύκλων του Χώρου και του Χρόνου, δίνοντάς τους µια µυστηριακή βάση, αφού ο κύκλος θεωρούνταν τόσο απ' τους Σουµέριους ιερείς όσο και στα Ιερά Μαθηµατικά των Πυθαγορείων, σαν το σύµβολο του σύµπαντος και της ολοκλήρωσης της Ζωής. Άλλο χαρακτηριστικό του αριθµητικού συστήµατος είναι η έλλειψη υποδιαστολής, κάτι που γενικά θα µπορούσε να επιφέρει σύγχυση (π.χ. τα ψηφία θα µπορούσαν να αναφέρονται στον αριθµό αλλά και στον ,89). Το πρόβληµα αυτό φαίνεται ότι παρακάµπτονταν απ' τα συµφραζόµενα στο κείµενο που περιέχονταν ο αριθµός. Επίσης παρείχε ευελιξία αφού στις αριθµητικές πράξεις όλοι οι αριθµοί αντιµετωπίζονται ως ακέραιοι. -12-

14 (Το ίδιο συµβαίνει σήµερα µε τους δεκαδικούς αριθµούς. Ο πολλαπλασιασµός τους γίνεται σαν να είναι ακέραιοι αριθµοί και το µόνο που χρειάζεται είναι να τοποθετηθεί στο τέλος, µετά την εκτέλεση του πολλαπλασιασµού, η υποδιαστολή στην κατάλληλη θέση). Το µόνο χαρακτηριστικό που φαντάζει σαν µειονέκτηµα είναι η έλλειψη συµβόλου για τον αριθµό "µηδέν". Φανταστείτε τη σύγχυση που θα προέκυπτε σήµερα αν για να γράψουµε τον αριθµό δέκα, θα έπρεπε να σηµειώσουµε απλά "1". Το "1" θα µπορούσε να συµβολίζει µία µονάδα αλλά και µία δεκάδα, µία εκατοντάδα, µία χιλιάδα κ.ο.κ. Άλλο στοιχείο ήταν η χρήση κειµένων πινάκων για την αποφυγή µακροσκελών υπολογισµών (όπως ο σηµερινός πίνακας της προπαίδειας). Έχουν ανακαλυφθεί πίνακες αντίστροφων (χρήσιµοι στις διαιρέσεις), πίνακες τετραγώνων, κύβων και κυβικών ριζών, ακόµα και πίνακες µε τις τιµές των παραστάσεων της µορφής α 2 + β 3, για διάφορες τιµές των α και β. Μια τέτοια γνωστή πινακίδα είναι η "Plimptοn 322", η οποία περιέχει τις γνωστές "πυθαγόρειες τριάδες", δηλ. τριάδες αριθµών που ικανοποιούν τη σχέση β 2 + γ 2 = α 2, δηλ. τη σχέση που συνδέει τις κάθετες πλευρές και την υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου. Το ότι η χρήση των αριθµητικών µεθόδων δεν περιορίζονταν σε εµπορικούς και οικονοµικούς σκοπούς, αλλά προχωρούσε σε θεωρητικό επίπεδο µέσα από µια εκπαιδευτική διαδικασία, φαίνεται απ' την αρχαιολογική ανακάλυψη πολλών προβληµάτων που απαιτούν τη χρήση εξισώσεων για την επίλυσή τους. Χαρακτηριστικό είναι το παρακάτω πρόβληµα. Είναι ένα απ' τα 22 προβλήµατα που περιέχονται στην πινακίδα "YBC 4652". "Βρήκα µια πέτρα. εν τη ζύγισα. Αφαίρεσα το ένα έβδοµο. Πρόσθεσα το ένα ενδέκατο. Αφαίρεσα το ένα δέκατο τρίτο. Τη ζύγισα: 1 ma-na. Ποιο ήταν το αρχικό βάρος της πέτρας;" Η απάντηση στο πρόβληµα αυτό (1 mana, 9½ gin, 2½ se) θα προέκυπτε σήµερα µε την λύση της εξίσωσης : (x - x7 ) (x - x7 ) [111 (x - x7 )] = 1, όπου x είναι το αρχικό βάρος της πέτρας. -13-

15 Η Γεωµετρία Η σουµεριακή γεωµετρία περιλάµβανε τον υπολογισµό των εµβαδών, όγκων και µετρικών σχέσεων σε τρίγωνα και τραπέζια. Γνώριζαν να υπολογίζουν το εµβαδόν του ορθογωνίου και του ορθογωνίου τριγώνου και απ' αυτά και άλλων σχηµάτων. Υπολόγιζαν επίσης σωστά τους όγκους πρισµάτων και κυλίνδρων. Για τους υπολογισµούς σε κύκλους και κυλίνδρους χρησιµοποιούσαν την προσέγγιση π = 3. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η πινακίδα "Plimptοn 322", δείχνει ότι µπορούσαν να υπολογίσουν την υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου µε όµοιο τρόπο µε το "Πυθαγόρειο θεώρηµα". Το ότι τα Μαθηµατικά και οι Γεωµετρία ήταν όχι µόνο θεωρητικές επιστήµες, αλλά εφαρµόσιµες και στην πράξη, αντικατοπτρίζεται στην Αρχιτεκτονική τους που ύψωσε κλιµακωτές πυραµίδες (ζιγκουράτ) και µεγαλοπρεπείς ναούς. -14-

16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΑΖΤΕΚΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΑΓΙΑ Πρόκειται για τον πολιτισµό των Ίνκας που θα είχε βέβαια να µας προσφέρει ένα σύνολο µαθηµατικών γνώσεων, αλλά, επειδή δεν υπάρχουν γραπτά µνηµεία, δεν είναι δυνατή η ανασύστασή τους. Καλύτερες πληροφορίες έχουµε για τα µαθηµατικά των Μάγια και για τους κληρονόµους του πολιτισµού τους, των Αζτέκων κι αυτό οφείλεται στη γραφή τους, πικτογραφική και ιερογλυφική, που τις συναντάµε στα µνηµεία και στα χειρόγραφα, που µπορούµε σήµερα ν' αποκρυπτογραφούµε. Όλη τους η προσπάθεια φαίνεται ότι στρεφόταν στον υπολογισµό του χρόνου, στο πρόβληµα της καθιέρωσης ηµερολόγιου και στην πρόβλεψη αστρονοµικών γεγονότων. Η πρώτη µέρα στο ηµερολόγιο των Αζτέκων ήταν η 12η Αυγούστου 3113 π.χ. κι οι παρατηρήσεις τους αναφέρονται σε µια περίοδο τουλάχιστον 38 αιώνων. Χρησιµοποιώντας σύµβολα όπως καρδιές, τόξα και χέρια, οι αρχαίοι Αζτέκοι χρησιµοποιούσαν ένα αριθµητικό σύστηµα πολύ πιο περίπλοκο από όσο θεωρούσαν οι επιστήµονες µέχρι σήµερα. Η αυτοκρατορία των Αζτέκων στο κεντρικό Μεξικό αποτελούσε πάντα σηµείο αναφοράς σε ότι αφορά την αρχιτεκτονική, τη µηχανική, την αστρονοµία αλλά και άλλα επιστηµονικά πεδία, ενώ η νέα έρευνα επιβεβαιώνει ότι η αριθµητική ήταν κι αυτή ένα πεδίο ιδιαίτερα ανεπτυγµένο. Οι ερευνητές εξέτασαν εκατοντάδες σχέδια σε δύο χειρόγραφα που χρονολογούνται µεταξύ 1540 και 1544 τα οποία είχαν χρησιµοποιηθεί για να περιγράψουν αγροτικές ιδιοκτησίες των Αζτέκων στην αρχαία πόλη του Τεπετλαοζτόκ. Οι Αζτέκοι χρησιµοποιούσαν ένα σύστηµα που περιελάµβανε διάφορα σύµβολα σαν εναλλακτική στη χρήση κλασµάτων. Η έρευνα έδειξε ότι αυτά τα ιερογλυφικά ήταν µέρος της υπολογιστικής µεθόδου που χρησιµοποιούσαν για να προσδιορίσουν µία έκταση γης. Όπως εξηγεί η Μπάρµπαρα Γουίλιαµς, ερευνητής του πανεπιστηµίου του Γουισκόνσιν των ΗΠΑ, οι Αζτέκοι χρησιµοποιούσαν τις τέσσερις µαθηµατικές πράξεις της πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασµού και διαίρεσης. Όπως όµως σε όλες τις πρωτόγονες κοινωνίες, αυτές οι πράξεις ήταν αρκετές για τις ανάγκες τους. Το γεγονός ότι οι Αζτέκοι χρησιµοποιούσαν µαθηµατικά για τον προσδιορισµό εδαφικών περιοχών είναι γνωστό ήδη από το 1980, ωστόσο λίγα ήταν γνωστά για τη µέθοδο που χρησιµοποιούσαν. «Η νέα ανακάλυψη αυξάνει το βαθµό κατανόησης µας για τον αρχαίο αυτό πολιτισµό και µας δείχνει ότι επρόκειτο για µια λογικά δοµηµένη κοινωνία σε όλα τα κοινωνικά της στρώµατα» κατέληξε η Γουίλιαµς. -15-

17 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΒΑΒΥΛΩΝΑ Για την επιστήµη η Βαβυλώνα ήταν µια πόλη που έφερε αλλαγή στον κόσµο. Η ίδια θεωρούσε τον εαυτό της «κοσµική πόλη» µε ιστορία ώς πίσω την 3η χιλιετία π.χ. και διάρκεια ώς τον θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου, το 323 π.χ. Η Βαβυλώνα ανήκει στη Μεσοποταµία και είναι µια εύφορη πεδιάδα µεταξύ των ποταµών Τίγρη και Ευφράτη. Η περιοχή είχε στο κέντρο της τον Σουµεριακό πολιτισµό, που άκµασε πριν από το π.χ.. Ήταν ένας προηγµένος πολιτισµός έχοντας οικοδόµηση των πόλεων, υποστήριξη των κατοίκων µε ταχυδροµική υπηρεσία. Το αριθµητικό σύστηµα που χρησιµοποιούν έχει βάση το 60. Περίπου το π.χ. οι Σηµίτες εισβάλλουν στο χώρο και οι δύο πολιτισµοί αναµειγνύονται. Οι Σηµίτες επινοούν τον άβακα ως εργαλείο για την καταµέτρηση και αναπτύσσουν κάπως αδέξια τις αριθµητικές µεθόδους µε προσθήκη της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασµού και της διαίρεσης σε όλους τους φορείς στους οποίους συµµετέχουν. Το π.χ. έχουµε στοιχεία για τον υπολογισµό πυθαγόρειων τριάδων, καθώς και σύνθετων προβληµάτων που λύνονται µε τη χρήση µεθόδων γραµµικής άλγεβρας ή αρκετά σύνθετων εξισώσεων π.χ. Οι Βαβυλώνιοι έφτασαν σε υψηλό επίπεδο µαθηµατικής κουλτούρας, µεγαλύτερη των σύγχρονων Αιγυπτίων. Οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν τις τέσσερις πράξεις και τις ρίζες, λύνανε προβλήµατα πρώτου και δεύτερου βαθµού, υπολόγιζαν εµβαδόν ορθογωνίων τριγώνων, παραλληλόγραµµων, τραπεζίων καθώς και το εµβαδόν του κύκλου (π=3 αντί π=3,14). Το αριθµητικό τους σύστηµα ήταν µη ψηφιακό, θεσιακό, χωρίς υποδιαστολή και χωρίς µηδέν. Υποστηρίζεται ότι γνωρίζανε και το δεκαδικό σύστηµα. Το εξηνταδικό σύστηµα των Βαβυλωνίων έχει επιβιώσει µέχρι σήµερα στο µέτρηµα του χρόνου. Έτσι π.χ. όταν οι Βαβυλώνιοι ήθελαν να εκφράσουν τον αριθµό 75, έλεγαν «1,15», όπως κι εµείς σήµερα τα 75 λεπτά τα εκφράζουµε σαν 1 ώρα και 15 λεπτά. -16-

18 Οι πρώτες παραστάσεις των αριθµών στη Μεσοποταµία Την περίοδο π.χ. δηµιουργήθηκε στη Μεσοποταµία η ακκαδική αυτοκρατορία και εισήγαγε δύο καινοτοµίες στον διοικητικό µηχανισµό: Την εσωτερική συνοχή των µονάδων µέτρησης. Την αντικατάσταση των κυκλικών ή κυκλοειδών παραστάσεων για τους αριθµούς µε σφηνοειδή χαρακτήρες. Παραδείγµατα θεσιακής εξάρτησης 48 60² 60²

19 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ Οι Αιγύπτιοι ήταν ο πρώτος λαός που ασχολήθηκε µε την µαθηµατική επιστήµη. Οι γνώσεις που κατείχαν ήταν απόρροια της αναγκαιότητας επίλυσης προβληµάτων που σχετίζονταν µε τις γεωργικές τους καλλιέργειες κατά µήκος του ποταµού Νείλου. Οι περισσότερες γνώσεις µας σε ότι αφορά τα Αιγυπτιακά µαθηµατικά, προέρχονται από δυο διάσηµους παπύρους, τον πάπυρο του Rhind που χρονολογείται περίπου το 1650 π.χ. και του παπύρου της Μόσχας που χρονολογείται µεταξύ 2000π.Χ και 1800 π.χ. Από αυτούς φαίνεται ότι οι Αιγύπτιοι κατείχαν αξιόλογες γνώσεις καθώς ασχολούνταν µε συγκεκριµένες περιπτώσεις αριθµητικών προβληµάτων (υπολογισµός όγκων, επίλυση εξισώσεων κ.ά.) χωρίς ωστόσο να φαίνεται ότι είχαν αναπτύξει γενικές µεθόδους επίλυσης προβληµάτων. Το σύστηµα αρίθµησης που χρησιµοποιείται στην αρχαία Αίγυπτο το δεκαδικό σύστηµα, γραπτός µέσα hieroglyphs και ιερατικός. Και τα δύο συστήµατα υπήρξαν από τουλάχιστον Πρόωρη δυναστική περίοδος. (Πρέπει να σηµειωθεί ότι το ιερατικό σύστηµα δεν διαφέρει από το ιερογλυφικό σύστηµα πέρα από µια χρήση της απλούστευσης δεσµοί για το γρήγορο γράψιµο.) Πάπυρος Rhind, είναι µια συλλογή 84 προβληµάτων που αντιγράφτηκε περίπου το 1650 π.χ. από ένα πρωτότυπο του 1850 π.χ. Ο µαθηµατικός πάπυρος Rhind γράφεται σε ιερατικό Πάπυρος της Μόσχας, γράφτηκε γύρω στο 1850 π.χ. Είναι µια συλλογή 25 προβληµάτων. Ο δερµάτινος κύλινδρος, που γράφτηκε γύρω στο 1650 π.χ. και περιέχει 26 αθροίσµατα µοναδιαίων κλασµάτων. Επίσης υπάρχει ο πάπυρος Kahun και ο πάπυρος του Βερολίνου, που είναι του 1850 π.χ. περίπου και περιέχουν µαθηµατικές πράξεις. -18-

20 Πάπυρος Rhind Πάπυρος της Μοσχας Πρόβληµα 26 του πάπυρου Rhind : Μια ποσότητα και το τέταρτο µέρος αυτής κάνουν µαζί 15. Ποια είναι η ποσότητα; Έστω 4. Τότε το 4 και 1 (το τέταρτο µέρος του 4) κάνει 5 και όχι 15. Για να βρεθεί το σωστό, πρώτα υπολογίζεται η απόκλιση και σηµειώνεται ότι το 15 είναι τριπλάσιο του 5. Έτσι η διόρθωση της αρχικής αυθαίρετης παραδοχής γίνεται µε τριπλασιασµό της, 3 φορές το 4, δηλ. 12. ιαπιστώνεται ότι αυτό είναι σωστό, γιατί 12 και 3 (το τέταρτο του 12) κάνει 15. Η µέθοδος αυτή, που χρησιµοποιήθηκε και σε µεταγενέστερες εποχές, ονοµάζεται: µέθοδος της αυθαίρετης παραδοχής ή µέθοδος της λανθασµένης θέσης. Οι Έλληνες, που είχαν πάντοτε σχέσεις µε τους Αιγυπτίους, τους ονόµασαν «αρπεδονάπτες», από το όργανο που χρησιµοποιούσαν για τις µετρήσεις τους, την αρπεδόνη. Η αρπεδόνη ήταν ένα κλειστό κορδόνι µε κόµβους σε καθορισµένες θέσεις, που χώριζαν το σκοινί σε 12 ίσα τµήµατα µονάδες µήκους. Με αυτό οι «αρπεδονάπτες» (αυτοί που άπτονται τις αρπεδόνης) κατασκεύαζαν την ορθή γωνία. Είναι αξιοσηµείωτο ότι µε το ίδιο ουσιαστικά εργαλείο οι σηµερινοί οικοδόµοι «γωνιάζουν» τα οικόπεδα ή τα κτήρια που θέλουν να κατασκευάσουν σε σχήµα ορθογωνίου. Χρησιµοποιώντας 12 µέτρα ή 12 ίσα τµήµατα µιας κορδέλας φτιάχνουν ένα τρίγωνο µε πλευρές µέτρων 3, 4, 5, που προκύπτει ορθογώνιο έτσι εφαρµόζουν, χωρίς απαραίτητα να το ξέρουν, το Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Με αυτό τον τρόπο οι Αιγύπτιοι πρέπει να κατάλαβαν ότι ένα τρίγωνο είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο και έτσι, πιθανώς, να κατέληξαν στο γεγονός ότι =

21 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ KINA 2 oς - 8 ος ΑΙΩΝΑΣ Μ. Χ Από τον 2 ο µ. Χ. αιώνα και µέχρι τον 8 ο στην Κίνα και στην Ινδία πραγµατοποιείται σηµαντική επιστηµονική πρόοδος. Την ίδια περίοδο την Ευρώπη µαστίζουν διάφορες θρησκευτικές και πολιτικές διαµάχες που λειτουργούν σαν τροχοπέδη τόσο στην εξέλιξη όσο και στην ελεύθερη διακίνηση των ιδεών. Την περίοδο λοιπόν αυτή η Κίνα και η Ινδία αναγορεύονται σε δύο από τα σπουδαιότερα κέντρα ανάπτυξης της Μαθηµατικής γνώσης. Είναι γνωστόν ότι τα Μαθηµατικά, και µαζί και οι υπόλοιπες επιστήµες, άνθισαν στην αρχαία Κίνα ήδη από τα πανάρχαια χρόνια. Παρότι λοιπόν οι Κινέζοι ήδη από το 1200 πχ. περίπου είχαν πραγµατοποιήσει αρκετές έρευνες και είχαν προοδεύσει στα Μαθηµατικά, χρησιµοποιούσαν (και συνέχισαν να χρησιµοποιούν για 12 περίπου αιώνες µετά) την τιµή 3, σαν προσέγγιση για το π. Πληροφορίες για τα αρχαία Κινεζικά Μαθηµατικά παίρνουµε από το σύγγραµµα Ιερόν βιβλίον της Αριθµητικής, που γράφτηκε (όπως εικάζεται) από το 1100 πχ περίπου, και µέχρι το 250 πχ. Σ αυτό, τα διάφορα µαθηµατικά αποτελέσµατα δίνονται µε τη µορφή συµπερασµάτων, χωρίς την απιτούµενη απόδειξη ή αιτιολόγηση, γεγονός που πιθανόν σηµαίνει ότι κάποια από αυτά (ίσως) προστέθηκαν αργότερα κατά την περίοδο σχολιασµού ή αναδηµοσίευσης του συγγράµµατος. (Το έργο σχολιάστηκε την περίοδο από το 200 πχ µέχρι το 250 µχ. περίπου και αναδηµοσιεύθηκε γύρω στα 600 µχ. Έτσι οι Κινέζοι άρχισαν να ασχολούνται σοβαρά µε τον τετραγωνισµό του κύκλου και τον προσδιορισµό του π µετά τον 1 ο αιώνα µ. Χ. Στις αρχές λοιπόν του 1 ο αιώνα µ. Χ, ο Κινέζος µαθηµατικός Liu Hsiao, προσέγγιζε το π µε την τιµή π=3,1547. Όµως επειδή δεν υπάρχουν καθόλου στοιχεία παραµένει παντελώς άγνωστη η µέθοδος που χρησιµοποίησε για να πάρει την τιµή αυτή. Οι πρώτες µαθηµατικές έννοιες των Κινέζων χρονολογούνται από πολύ παλιά. Ήδη απ' τον 13ο αιώνα π.χ. οι Κινέζοι είχαν σύστηµα δεκαδικής αρίθµησης, ανάλογο µ' εκείνο που υπάρχει σήµερα κι απ' τον 3ο π.χ. αιώνα οι Κινέζοι έδωσαν µια πρωτότυπη λύση του Πυθαγόρειου θεωρήµατος. Υπολόγισαν κατά προσέγγιση τον αριθµό π κι έλυσαν τις εξισώσεις του πρώτου βαθµού. Η χρήση όµως του µηδενός άρχισε τον 8ο αιώνα µ.χ. και κατά το 12ο και 13ο αιώνα µ.χ. η κινεζική άλγεβρα γνώρισε µεγάλη ανάπτυξη. Ύστερα όµως απ' την κατάκτηση των Μαντσού, τα µαθηµατικά τους περιορίζονται σ' ορισµένα πρακτικά θέµατα. -20-

22 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΚΙΝΑ --ΚΙΝΕΖΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΙΜΕΝΑ Η ιστορία των κινεζικών µαθηµατικών και οι µαθηµατικοί ήταν ως επί το πλείστον χαθεί ή καταστραφεί κατά τη διάρκεια των αιώνων. Για παράδειγµα, το δεσποτικό αυτοκράτορας Shih Huang-ti της Ch'in δυναστείας ( π.χ.) διέταξε το κάψιµο των βιβλίων στο 213 π.χ. Οι µελετητές κατά την επόµενη περίοδο Χαν (206 π.χ. έως 220 µ.χ.), για τη µεταγραφή της Κίνας λογοτεχνικών και scientifice παραδόσεις από τη µνήµη ή να παραµείνουν τµήµατα της κύλισης. Η γνώση της αστρονοµίας και σε άλλες περιοχές ήταν συχνά αποφάσεις που έχουν εκδοθεί από πατέρα σε γιο, και µόνο αργότερα καταγράφονται στα κείµενα. υστυχώς, πολύ λίγα κείµενα αφιερωµένη στη µαθηµατική αστρονοµία έχουν επιζήσει. Ωστόσο, υπάρχουν διάφορες υπάρχουσες κινεζικές εφαρµόζονται µαθηµατικά κείµενα, τα οποία είναι συλλογές των προβληµάτων και των λύσεων που διοργανώθηκε σε κεφάλαια σύµφωνα µε τις πρακτικές εφαρµογές τους. Τα κείµενα αυτά αποδεικνύει ότι οι Κινέζοι ήταν οι πρώτοι της κοινωνίας των πολιτών να χρησιµοποιούν ορισµένες από τις πιο βασικές και προηγµένες µαθηµατικές αρχές και τις έννοιες που χρησιµοποιούνται στη σύγχρονη εποχή. ύο από αυτά τα κείµενα είναι οι Chou Pei και Chiu Τσανγκ. Το παλαιότερο υπάρχοντα κινεζικά κείµενα που περιέχουν τυπικές µαθηµατικές θεωρίες που παρήχθησαν κατά τη διάρκεια της περιόδου Han. Η κλασική Αριθµητική του Γνώµων και την Εγκύκλιο Μονοπάτια του Ουρανού (Chou Pei Suan Ching) είναι χρονολογούνται πριν από τον 3ο αιώνα π.χ. και περιέχει διάφορες σύγχρονες µαθηµατικές αρχές, όπως η εργασία µε κλάσµατα χρησιµοποιώντας έναν κοινό παρονοµαστή, καθώς και αποδείξεις πολλές γεωµετρικές θεωρίες. Το κείµενο περιέχει µια ακριβή διαδικασία της διαίρεσης για να ανακαλύψει την τετραγωνική ρίζα των αριθµών. Στην πραγµατικότητα, η Chou Pei παρουσιάζει η παλαιότερη γνωστή απόδειξη της δεξιάς γωνίας θεωρία τρίγωνο στην Hsuan-Πεµ διάγραµµα. Αυτή η θεωρία, commony γνωστό ως το "Πυθαγόρειο θεώρηµα", δείχνει ότι το άθροισµα των τετραγώνων των ποδιών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο µε το τετράγωνο της υποτείνουσας ή α 2 + β 2 =γ 2. Άλλες σηµαντικές κινεζικά κείµενα µαθηµατικά περιλαµβάνουν την Μαθηµατική Classic του Sun Tzu (Sun Tzu Suan Ching), γραµµένο µε τον 3ο αιώνα µ.χ.., Και Οι έκα Μαθηµατική Εγχειρίδια (Suanjing Shi Shu). Οι 13 κείµενο αιώνα, η λεπτοµερής ανάλυση των µαθηµατικών κανόνων στην Εννέα Κεφάλαια (Hsiang Chieh Chiu Chang Suan Fa), απέδειξε τη θεωρία είναι γνωστή ως «τρίγωνο του Pascal" 300 χρόνια πριν τη γέννηση του Pascal. -21-

23 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΑΡΑΒΩΝ Στους Άραβες οφείλουµε το ότι στράφηκαν προς όλους τους πολιτισµούς κι ότι δηµιούργησαν απ' αυτούς µια σύνθεση, που µ' αυτή έγινε δυνατή η βάση για τη νέα ανάπτυξη της µαθηµατικής επιστήµης. Αναφέρουµε τώρα µερικούς Άραβες µαθηµατικούς κι αστρονόµους που λάµπρυναν τη Βαγδάτη και πρώτα ο Al Κharezmi, που θεωρείται πατέρας της Αλγεβρας, ο Αbu Al Mafa, σχολιαστής του Ευκλείδη και του ιοφάντη, που θεωρείται ένας απ' τους σκαπανείς της τριγωνοµετρίας και ο αστρονόµος Al Zargali, που διάπρεψε κατά τα τέλη του 11ου αιώνα. Αίτια της παρακµής της αραβικής επιστήµης είναι η κατάκτηση του ανατολικού αραβικού κράτους απ' τους Μογγόλους κι η τουρκική κατάκτηση. Επινόησαν την άλγεβρα και εφεύραν τα ψηφία της αριθµητικής που απ' αυτούς έχουν πάρει τ' όνοµά τους (αραβικά ψηφία). Ο λέξη ΑΛΓΕΒΡΑ προέρχεται από τη λατινική Algebra η οποία µε τη σειρά της προέρχεται από την αραβική λέξη al-jabr. Η αραβική λέξη πρωτοεµφανίζεται στο - γραµµένο γύρω στα 825- έργο του µεγάλου άραβα µαθηµατικού al-khwârizmi «Hisâb al-jabr w al- mugâbalah» ένας τίτλος που σε ελεύθερη απόδοση είναι «Επιστήµη της συνένωσης και της αντίθεσης» και η λέξη al-jabr ήταν για πολλά χρόνια συνώνυµο του «επιστήµη των εξισώσεων». Το αραβικό κείµενο έγινε γνωστό στην Ευρώπη από λατινικές µεταφράσεις. Από τη λέξη al-jabr γεννήθηκε ο λατινικός όρος Algebra που αποδόθηκε στα ελληνικά µε το «Άλγεβρα». Το 1857 βρέθηκε µια λατινική µετάφραση που άρχιζε µε το «Έχει πει ο Αλγορίθµι...». το όνοµα δηλαδή του αλ Χαυαρίσµι έγινε «Αλγορίθµι» και από την παράφραση αυτή γεννήθηκε και η λέξη ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ που σηµαίνει «µια τυπική διαδικασία υπολογισµού µε συγκεκριµένο τρόπο» Το βιβλίο του al-khwarizmi δεν χρησιµοποιεί τον σύγχρονο αλγεβρικό συµβολισµό ούτε και εξισώσεις. Το οτιδήποτε είναι γραµµένο µε λέξεις. ιαπραγµατεύεται κυρίως εξισώσεις. Μελετά έξι διαφορετικούς τύπους εξισώσεων. Ωστόσο τα ισλαµικά µαθηµατικά δεν ασχολούνται µε ΑΡΝΗΤΙΚΟΥΣ αριθµούς. Στη δευτεροβάθµια λόγου χάρη εξίσωση οι αρνητικές ρίζες αγνοούνται. Το ίδιο όµως βιβλίο περιέχει και κανόνες Αριθµητικής που διαµορφώθηκαν µε τα ινδικά πρότυπα για την εκτέλεση πράξεων µε ινδικά ψηφία. Αναφέρεται επίσης σε τετραγωνικές και κυβικές ρίζες, σε κλάσµατα και στη µέθοδο των τριών. Στο βιβλίο του σχετικά µε τους υπολογισµούς Κιταµπ Αλ-γκιαµπρ παρουσίασε για πρώτη φορά την συστηµατική λύση της γραµµικής και δευτεροβάθµιας εξίσωσης. Θεωρείται ο «πατέρας» της άλγεβρας, τιµή την οποία µοιράζεται µε τον ιόφαντο. Στον δωδέκατο αιώνα, οι λατινικές µεταφράσεις του έργου του στους Ινδικούς αριθµούς παρουσίασαν το δεκαδικό θεσιακό σύστηµα αριθµού στον υτικό Κόσµο. Αναθεώρησε την «Γεωγραφία» του Πτολεµαίου και έγραψε για την αστρονοµία και την αστρολογία. -22-

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΥΣΗ Πραγµατοποιείται µε τον Ζερµπέρ ντ Ώριγιάκ ( µ.χ.), που αργότερα έγινε πάπας µε το όνοµα Συλβέστρος Β'. Στο έργο του Ζερµπέρ επιδρά η αριθµητική των Αράβων, όσο για τη γεωµετρία, βρίσκεται σε πολύ χαµηλότερο βαθµό απ' τη γεωµετρία του Ευκλείδη. Στο δυτικό µεσαίωνα οι γεωµετρικές γνώσεις είναι πρακτικές. Οι ιδιότητες των διάφορων γεωµετρικών σχηµάτων αποδείχνονται εµπειρικά κι όχι µε λογικούς επαγωγικούς συλλογισµούς. Το έτος 1494 εκτυπώνεται στη Βενετία ένα πραγµατικά εκλαϊκευτικό µαθηµατικό έργο. Πρόκειται για το βιβλίο του Λουκά Πατσιόλι, που στο κείµενό του θ' αναφέρονται όλοι οι µεγάλοι αλγεβριστές του επόµενου αιώνα. Χάρη σ' αυτούς τους αλγεβριστές, όπως ο Σκιπίωνας νταλ Φέρρο, ο Νικόλαος Ταρτάλια, ο Ιερώνυµος Καρντάνο, ο Λουδοβίκος Φερράρι κι ο Ραφαήλ Μποµπέλι, τα µαθηµατικά αρχίζουν να αναπτύσσονται προς µια καινούρια κατεύθυνση. Η µαθηµατική έρευνα έχει τόσο πολύ ωριµάσει απ' την άποψη της σαφήνειας της σκέψης και του ελέγχου των πράξεων, ώστε το πρόβληµα της λύσης µιας αλγεβρικής εξίσωσης µπορεί να τεθεί στη γενικότητά του. Οι µαθηµατικοί ύστερα ασχολήθηκαν µε τις εξισώσεις 5ου βαθµού και τη λύση τους και µε το πώς µπορεί να τοποθετηθούν στις τετραγωνικές ρίζες οι αρνητικοί αριθµοί. Η µελέτη του τελευταίου βοήθησε στην ολοκλήρωση της µελέτης των µιγαδικών αριθµών. Ο Άµπελ, στη συνέχεια, απόδειξε ότι µια εξίσωση πέµπτου βαθµού δεν µπορεί να λυθεί µε τη βοήθεια των ριζικών. Το έργο του συνέχισε ο Γκάους στις αρχές του 19ου αιώνα. Στη Γαλλία ο Βιετ ( ), ο Καρτέσιος ( ) κι ο Φερµά ( ) υπήρξαν οι συνεχιστές του έργου των Ιταλών αλγεβριστών του 15ου αιώνα. Οι µαθηµατικοί αυτοί έδωσαν στον αλγεβρικό λογισµό την οριστική του µορφή κι αυτός υπάρχει µέχρι σήµερα όπως τον άφησαν, µε ορισµένες αλλαγές που έγιναν πολύ πρόσφατα. Στον Καρτέσιο και στον Φερµά οφείλουµε µια πολύ χρήσιµη ιδέα, δηλαδή τη δηµιουργία του συστήµατος των συντεταγµένων. Οι δυνατότητες που δίνει στα µαθηµατικά αυτή η ιδέα είναι τεράστιες. Αρχικά έκαναν τη γεωµετρία, από επιστήµη καθαρά των σχηµάτων, απλό πεδίο εφαρµογής της άλγεβρας και την ονόµασαν αναλυτική γεωµετρία. Ο λογισµός αντικαθιστά τα λογικά συµπεράσµατα, που προέρχονται απ' τα αξιώµατα. Η µετάβαση απ' την επίπεδη αναλυτική γεωµετρία στη γεωµετρία του χώρου, πραγµατοποιήθηκε απ' τον Παράν ( ). -23-

25 Αυτή η γενίκευση δηµιούργησε την ιδέα του χώρου των "ν" διαστάσεων, που έγινε έργο του Σλαίφλι ( ). Αυτοί οι χώροι των "ν" διαστάσεων πήραν την οριστική τους θέση στα µαθηµατικά, όταν η µαθηµατική έρευνα διάθετε αποτελεσµατικά µέτρα. Για τα σύγχρονα µαθηµατικά πρέπει να αναφέρουµε, σχετικά µε την άλγεβρα και την ανάλυση, ότι αναπτύχθηκαν δύο νέοι κλάδοι των µαθηµατικών κατά τον 19ο αιώνα. Πρόκειται για τη συµβολική λογική, µε τους Μπουλ ( ), Σραίντερ ( ) και Φρέγκε ( ), που είχε την πρόθεση να υποτάξει την άσκηση της λογικής σ' ένα αλγεβρικό λογισµό και για τη θεωρία των συνόλων. Η άλγεβρα, η ανάλυση καθώς και η γεωµετρία χρησιµοποιούσαν συχνά τη θεωρία αυτή και προσπαθούσαν να τη γενικέψουν. Και η έννοια αυτή αποτέλεσε αντικείµενο ιδιαίτερων ερευνών. Πρώτος ο Γ. Κάντορ ( ) θεµελίωσε µια γενική θεωρία των συνόλων, που ασχολιόταν ιδιαίτερα µε τα άπειρα σύνολα. Στη συνέχεια ο Μπρόουερ (1881), οι Γάλλοι Μπαιρ, Λεµπέγκ και Μπορέλ, ασχολήθηκαν µε τη θεωρία των συνόλων. Σε κάθε φιλοσοφία λοιπόν που αποβλέπει στην ακρίβεια των νοηµάτων και ιδιαίτερα σε ότι αφορά τις οδούς και τα µέσα της γνώσης, η ανάπτυξη των µαθηµατικών απ' τα αρχαία χρόνια µέχρι τις µέρες µας πρέπει να θεωρηθεί λαµπρό παράδειγµα. -24-

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΙΝ ΙΑ ιαπιστώθηκε ότι τα µαθηµατικά των Ινδιών πήραν τη µεγαλύτερη ανάπτυξή τους απ' τον 1ο µέχρι τον 8ο µ.χ. αιώνα, δηλαδή κατά την κλασική εποχή των Ινδιών. Ήδη πριν απ' την περίοδο αυτή, υπήρξαν πνευµατικές ανταλλαγές µε τον ελληνικό κόσµο και πρέπει να θυµηθούµε ότι η εκστρατεία του Μεγάλου Αλέξανδρου έφερε τους Έλληνες µέχρι τον Ινδό ποταµό. Ο κόσµος οφείλει στους Ινδούς µαθηµατικούς τη θεµελιώδη ανακάλυψη του συστήµατος δεκαδικής αρίθµησης, που βασίζεται στη χρήση εννιά διακριτών ψηφίων και του µηδενός. Το σύστηµα αυτό επέµεναν να το αγνοούν οι Έλληνες, αλλά αργότερα διαδόθηκε στη ύση από τους Άραβες. Το αριθµητικό αυτό σύστηµα βοήθησε σηµαντικά την όλη ανάπτυξη των µαθηµατικών. Οι αρχαιολογικές ανασκαφές στο Μοχένζο Ντάρο έφεραν στο φως στοιχεία ενός πολύ ανεπτυγµένου πολιτισµού στην Ινδία, την ίδια εποχή περίπου που οι Αιγύπτιοι έκτιζαν τις περίφηµες πυραµίδες τους. Η Ινδία όπως και η Αίγυπτος είχε τους δικούς της «αρπεδονάπτες». Οι πρώτες γεωµετρικές γνώσεις βρίσκονται καταχωρηµένες στα Σουλβασούτρας, που ήταν παραρτήµατα των Βεδών, των θρησκευτικών βιβλίων των Ινδών. Τα Σουλβασούτρας δίνουν κανόνες για την ακριβή κατασκευή βωµών, που ήταν απαραίτητη προϋπόθεση για την επιτυχή έκβαση µιας θυσίας. Επειδή ο χρόνος σύνθεσης του έργου είναι δύσκολο να προσδιοριστεί, οι χρονολογίες που δίνονται από τους διάφορους µελετητές, έχουν µεγάλη απόκλιση που είναι µεταξύ του 800 π.χ. και 200 µ.χ. Παρ όλα αυτά µπορούµε να πούµε, ότι τα Σουλβασούτρας είναι τα αρχαιότερα κείµενα όπου ανιχνεύουµε τα πρώτα σπέρµατα µαθηµατικών γνώσεων στην Ινδία. Την περίοδο των Σουλβασούτρας διαδέχεται µια άλλη, αυτή των Σιδχάντων ή συστηµάτων αστρονοµίας. Στις Σιδχάντες που γράφτηκαν περίπου στα τέλη του 4ου µ.χ. αιώνα, διακρίνονται σαφή σηµάδια ελληνικής επιρροής. Όµως οι Ινδοί καινοτοµούν σε σχέση µε τους Έλληνες, αντικαθιστώντας την συναρτησιακή σχέση µεταξύ χορδών και των αντίστοιχων επίκεντρων γωνιών τους, µε ηµιχορδές και αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες, δηλαδή µε ηµίτονα. Ακόµη και η λέξη ηµίτονο προέρχεται από την παραποιηµένη απόδοση της σανσκριτικής λέξης jyaardha, που σηµαίνει µισή χορδή. Η εισαγωγή αυτής της ηµιτονοειδούς συνάρτησης, είναι η βασική συνεισφορά των Σιδχάντων στην ιστορία των µαθηµατικών. -25-

27 Το έτος 476 µ.χ. που θεωρείται βασικά σαν το τέλος της Ρωµαϊκής Αυτοκρατορίας, γεννιέται στην Ινδία ο πρώτος σπουδαίος αστρονόµος, ο Αριαµπάτα. Είναι ο πρώτος Ινδός αστρονόµος που το έργο του περιέχει κεφάλαια µε καθαρά µαθηµατικό περιεχόµενο. Το έργο του που φέρει το όνοµα Αριαµπατίγια, είναι µια πραγµατεία αστρονοµικού κυρίως περιεχοµένου, περιέχει όµως κάποια κεφάλαια µε καθαρά µαθηµατικό περιεχόµενο και έτσι µας παρέχεται η δυνατότητα, να εκτιµήσουµε το επίπεδο των µαθηµατικών γνώσεων στην Ινδία κατά τον 6ο µ.χ. Μετά τον Αριαµπάτα αρχίζουν να εµφανίζονται στην Ινδία σηµαντικοί µαθηµατικοί, µε µεγάλη προσφορά στα ινδικά µαθηµατικά. Ένα σηµαντικό επίτευγµα των Ινδών µαθηµατικών είναι και η λύση των ιοφαντικών εξισώσεων. Ενώ ο ιόφαντος και η Υπατία ασχολήθηκαν µε την εύρεση ρητών λύσεων των εξισώσεων αυτών, στα ινδικά έργα για πρώτη φορά αναζητούνται ακέραιες λύσεις τέτοιων εξισώσεων. Ένα άλλο αξιοσηµείωτο επίτευγµα του ινδικού λαού είναι τα εννιά σύµβολα αρίθµησης, τα γνωστά σε όλους µας «αραβικά ψηφία», τα οποία ονοµάσθηκαν έτσι, όχι γιατί προέρχονται από τους Άραβες, αλλά γιατί διαδόθηκαν και έγιναν γνωστά από αυτούς στον υπόλοιπο κόσµο. Η Ινδική παράδοση αποδίδει τα σύµβολα αυτά, στον «Αγαθοεργό ηµιουργό του σύµπαντος». Παρόµοιες πεποιθήσεις περί θεϊκής έµπνευσης ισχύουν άλλωστε και για τα πρωιµότερα ινδικά έργα. Πάντως σήµερα επικρατεί η αντίληψη ότι, αριθµητικά µας σύµβολα προέρχονται από τα δυτικοαραβικά, που και αυτά µε τη σειρά τους κατάγονται από τα ινδικά ψηφία. Τα ινδικά ψηφία εµφανίζονται για πρώτη φορά, σε διάφορες επιγραφές που χρονολογούνται τον 3ο αιώνα π.χ. -26-

28 ΣΡΙΝΙΒΑΣΑ ΡΑΜΑΝΟΥΤΖΑΝ ( ) 1920) [Ο ΡΟΜΑΝΤΙΚΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ] Ως άλλος Μότσαρτ, ο ινδός µαθηµατικός Σρινιβάσα Ραµανουτζάν ( ) άφησε πίσω του µια πλούσια σοδειά πρωτότυπων θεωρηµάτων που µελετώνται ως σήµερα. Λιγότερο γνωστή είναι η µυθιστορηµατική ζωή του, που ξεκίνησε από ένα µικρό χωριό της Ινδίας και έλαµψε στο Κέιµπριτζ για να καταλήξει στην πνευµατική µοναξιά της αγαπηµένης του πατρίδας. Ενα από τα σηµαντικότερα πράγµατα στη ζωή του Μότσαρτ είναι το τεράστιο και πολύπλευρο έργο του που πραγµατοποιήθηκε σε σύντοµο χρόνο. Ο Μότσαρτ πέθανε σε ηλικία 35 χρόνων και άφησε πίσω του 600 έργα. Μεταξύ αυτών 41 συµφωνίες, 27 κοντσέρτα για πιάνο, 23 κουαρτέτα εγχόρδων, 17 σονάτες για πιάνο και επτά όπερες. Το αντίστοιχο παράδειγµα στην ιστορία των µαθηµατικών είναι ο αυτοδίδακτος ινδός µαθηµατικός Σρινιβάσα Ραµανουτζάν. Ο Ραµανουτζάν πέθανε σε ηλικία 33 χρόνων και άφησε πίσω του πρωτότυπα θεωρήµατα τα οποία µελετώνται και ερευνώνται ως σήµερα. Ο δάσκαλος στο µικρό χωριό Εροντε της Ινδίας δίδασκε αριθµητική και µάλιστα την πράξη της διαίρεσης µε παραδείγµατα. Ρώτησε λοιπόν τους µαθητές πόσες µπανάνες αντιστοιχούν σε κάθε παιδί αν τρεις µπανάνες µοιραστούν σε τρία παιδιά. Οι µαθητές απάντησαν όλοι µαζί µία. Μετά έκανε την ίδια ερώτηση αν οι µπανάνες είναι και τα παιδιά Οι µαθητές απάντησαν και πάλι µία. Ξαφνικά ένας µαθητής ρώτησε τον δάσκαλο: Αν µηδέν µπανάνες µοιραστούν σε µηδέν παιδιά, πόσες αντιστοιχούν στο καθένα; Ολόκληρη η τάξη ξέσπασε σε γέλια θεωρώντας την ερώτηση ανόητη. Ο δάσκαλος όµως δεν γέλασε και αντιµετώπισε την ερώτηση σοβαρά. Στην ουσία ο µαθητής ρωτούσε για την έννοια του απείρου, µια έννοια που ταλαιπώρησε τους µαθηµατικούς για αιώνες ώσπου να αποδειχθεί ότι η διαίρεση του µηδενός µε το µηδέν δεν είναι µηδέν ή ένα, αλλά άπειρο. Ο µαθητής που έκανε την ερώτηση ήταν ο Σρινιβάσα Ραµανουτζάν. Ο Ραµανουτζάν γεννήθηκε το 1887 σε µια φτωχή οικογένεια βραχµάνων στο Εροντε της Ινδίας. Ο πατέρας του ήταν υπάλληλος σε ένα κατάστηµα υφασµάτων. Πήγε στο σχολείο σε ηλικία επτά ετών και έµεινε ως τα 16 του. Αρχισε να ασχολείται µε τα µαθηµατικά από µικρή ηλικία και ήταν λαµπρός µαθητής. H πραγµατική είσοδός του στον κόσµο των µαθηµατικών έγινε όταν έφτασε στα χέρια του το βιβλίο «Μια σύνοψη αποτελεσµάτων στα καθαρά και εφαρµοσµένα µαθηµατικά» του Τζωρτζ Καρ. Το βιβλίο περιείχε θεωρήµατα τα οποία ο Ραµανουτζάν µελετούσε µε ενθουσιασµό και απεδείκνυε µε δικό του τρόπο. Ισχυριζόταν ότι η θεά Ναµακάι τον ενέπνεε στα όνειρά του µε µαθηµατικούς τύπους. -27-

29 Με βάση τις πολύ καλές επιδόσεις του στο γυµνάσιο κέρδισε µια υποτροφία για το πανεπιστήµιο, όπου τα πράγµατα δεν εξελίχθηκαν καλά. Τα µαθηµατικά, που ήταν η µεγάλη του αγάπη, ήταν η αιτία της αποτυχίας του στο πανεπιστήµιο. Ο Ραµανουτζάν ασχολούνταν µόνο µε τα µαθηµατικά και αγνοούσε τα υπόλοιπα µαθήµατα. Απέτυχε στις εξετάσεις, έχασε την υποτροφία και δεν πήρε το πτυχίο του. Παντρεύτηκε στα 22 του αλλά δεν µπόρεσε να βρει δουλειά στο πανεπιστήµιο, παρά τις προσπάθειες επώνυµων Ινδών που είχαν εντυπωσιαστεί από τις ικανότητές του. Τελικά το 1912, σε ηλικία 25 ετών, βρήκε δουλειά στο Λιµενικό Ταµείο του Μαντράς. Οπως είναι φυσικό, η δουλειά του δεν τον ενδιέφερε καθόλου και όλον τον υπόλοιπο χρόνο ασχολούνταν µε τα µαθηµατικά. Εµενε ξάγρυπνος τις νύχτες παράγοντας και αποδεικνύοντας νέα θεωρήµατα στη θεωρία των αριθµών. H περίοδος αυτή της ζωής του µοιάζει µε την αντίστοιχη του Αϊνστάιν στο γραφείο ευρεσιτεχνιών της Ζυρίχης, όπου υπηρέτησε ως υπάλληλος. Εκείνη την περίοδο ο µεγάλος φυσικός συνέλαβε και δηµοσίευσε τις σηµαντικότερες εργασίες του χρησιµοποιώντας τον ελεύθερο χρόνο του. Ο προϊστάµενός του στο γραφείο διαπίστωσε το µεγάλο του ταλέντο στα µαθηµατικά και τον προέτρεψε να έλθει σε επικοινωνία µε τους βρετανούς µαθηµατικούς. Ο Ραµανουτζάν έστειλε το 1913 µια επιστολή στον πιο γνωστό βρετανό µαθηµατικό της εποχής, τον Τζ. Χάρντι. Όπως ανέφερε ο Χάρντι αργότερα, η επιστολή περιείχε 120 θεωρήµατα χωρίς απόδειξη. Μερικά από αυτά ήταν γνωστά, µερικά µπορούσαν να αποδειχθούν µε δυσκολία και µερικά ήταν εντελώς νέα και πρωτότυπα. Ο Χάρντι εντυπωσιάστηκε αναφέροντας πως δεν είχε δει ποτέ κάτι παρόµοιο στη ζωή του και αποφάσισε να καλέσει τον νεαρό Ινδό στο Κέιµπριτζ. Υστερα από δύσκολες προσπάθειες κατάφερε να φέρει τον Ραµανουτζάν στο Κέιµπριτζ το Ο Ραµανουτζάν και ο Χάρντι είχαν στενή συνεργασία. Ο Ραµανουτζάν είχε την τάση να επινοεί συνεχώς θεωρήµατα χωρίς να τα αποδεικνύει και ο Χάρντι προσπαθούσε να του διδάξει τη διαδικασία της απόδειξης, η οποία είναι η βάση των µαθηµατικών. H ζωή του στο Κέιµπριτζ ήταν δύσκολη, παρ' όλες τις προσπάθειες του Χάρντι να αισθάνεται άνετα στο ψυχρό περιβάλλον του πανεπιστηµίου. Το 1917 αρρώστησε και νοσηλεύτηκε πολλές φορές στο νοσοκοµείο. H µεγάλη του αγάπη και η ικανότητά του στη θεωρία των αριθµών φαίνεται από το εξής περιστατικό. Ο Χάρντι τον επισκέφθηκε κάποτε στο νοσοκοµείο και όταν τον συνάντησε του ανέφερε ότι το ταξί που τον µετέφερε είχε τον αριθµό Τότε ο Ραµανουτζάν απάντησε αµέσως ότι ο αριθµός αυτός είναι ο µικρότερος ακέραιος που µπορεί να αντιπροσωπευθεί µε το άθροισµα δύο κυβικών δυνάµεων κατά δύο τρόπους (1729=13+123=93+103). Λόγω της επιδείνωσης της υγείας του ο Ραµανουτζάν επέστρεψε στην Ινδία το 1919 και τον επόµενο χρόνο πέθανε. -28-

30 Ο Ραµανουτζάν πήρε τελικά το πτυχίο του από το Κέιµπριτζ το 1916, ενώ το 1918 εκλέχθηκε εταίρος της Βασιλικής Εταιρείας του Λονδίνου και του Trinity College του Κέιµπριτζ. Κατά τη διάρκεια της πεντάχρονης παραµονής του εκεί δηµοσίευσε 21 εργασίες, αλλά άφησε και µεγάλο αδηµοσίευτο έργο σε σκόρπια τετράδια. Το 1976, 56 χρόνια µετά τον θάνατό του, βρέθηκε στο Κέιµπριτζ ένα τετράδιο 138 σελίδων που περιείχε 600 θεωρήµατα. Πρόκειται για τη δουλειά που εκπόνησε στον έναν χρόνο που έζησε στην Ινδία πριν από τον θάνατό του. Ο Ραµανουτζάν, παρ' όλο που γνώριζε ότι έφθανε το τέλος, δούλευε συνεχώς ως τον θάνατό του. Ο καθηγητής Μπ. Μπερντ του Πανεπιστηµίου του Ιλινόι των ΗΠΑ, και οι συνεργάτες του ασχολήθηκαν επί δεκαετίες µε την ταξινόµηση και τη µελέτη του έργου του (4.000 θεωρήµατα) το οποίο δηµοσιεύτηκε σε πέντε τόµους από τον εκδοτικό οίκο Springer. Στο Πανεπιστήµιο του Μαντράς ιδρύθηκε προς τιµήν του το Ινστιτούτο Προχωρηµένων Σπουδών στα µαθηµατικά ενώ στo Avvai Kalai Kazhagam µουσείο.. Ο Ραµανουτζάν θεωρείται ο µεγαλύτερος µαθηµατικός της Ινδίας, καλύτερος από τον Χίλµπερτ, ισάξιος του Γκάους και του Οϊλερ, και η ζωή του αποτελεί την πλέον ροµαντική και συγκινητική ιστορία των σύγχρονων µαθηµατικών. -29-

31 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑ Α Πάρα πολλοί ήταν οι Αρχαίοι Έλληνες που ασχολήθηκαν συστηµατικά µε τα µαθηµατικά και τέραστιο ήταν το έργο που άφησαν στις επόµενες γενιές ανθρώπων όχι µόνο στην Ελλάδα, αλλά και σ ολόκληρο τον κόσµο. Παραθέτουµε παρακάτω τους σηµαντικότερους από αυτούς, καθώς και τα πεδία των µαθηµατικών µε τα οποία κυρίως ασχολήθηκαν. Αρκεί να τονίσουµε ότι η Ευκλείδεια Γεωµετρία, την οποία διδάσκονται οι µαθητές στα Ελληνικά σχολεία, είναι η µοναδική παγκοσµίως παραδεκτή θεµελίωση της Γεωµετρίας, παρότι πολλοί ξένοι µεταγεννέστεροι µαθηµατικοί προσπάθησαν να την καταρρίψουν. ΘΑΛΗΣ Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣ ( π.χ.) ΑΝΑΞΙΜΑΝ ΡΟΣ Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣ ( π.χ.) ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Ο ΣΑΜΙΟΣ ( π.χ.) ΦΙΛΟΛΑΟΣ Ο ΚΡΟΤΩΝΙΑΤΗΣ ( π.χ.) ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ Ο ΧΙΟΣ ( π.χ.) ΟΙΝΟΠΙ ΗΣ Ο ΧΙΟΣ (440 π.χ άκµασε) ΗΜΟΚΡΙΤΟΣ Ο ΑΒ ΗΡΙΤΗΣ ( π.χ.) ΑΡΧΥΤΑΣ Ο ΤΑΡΑΝΤΙΝΟΣ ( π.χ.) ΠΛΑΤΩΝ Ο ΑΘΗΝΑΙΟΣ ( π.χ.) ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ Ο ΑΘΗΝΑΙΟΣ ( π.χ.) ΕΥ ΟΞΟΣ Ο ΚΝΙ ΙΟΣ ( π.χ.) ΜΕΝΑΙΧΜΟΣ Ο ΠΡΟΚΟΝΝΗΣΙΟΣ (375 π.χ γέννηση) ΠΥΘΕΑΣ Ο ΜΑΣΣΑΛΙΩΤΗΣ (330 π.χ. άκµασε) ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ (300 π.χ. άκµασε) ΑΡΙΣΤΑΡΧΟΣ Ο ΣΑΜΙΟΣ ( π.χ.) -30-

32 ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ Ο ΣΥΡΑΚΟΥΣΙΟΣ ( π.χ.) ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΣ Ο ΚΥΡΗΝΑΙΟΣ ( π.χ.) ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ Ο ΠΕΡΓΑΙΟΣ ( π.χ.) ΝΙΚΟΜΗ ΗΣ (200 π.χ. άκµασε) ΙΠΠΑΡΧΟΣ Ο ΝΙΚΑΕΥΣ ( π.χ.) ΠΟΣΕΙ ΩΝΙΟΣ Ο ΡΟ ΙΟΣ ( π.χ.) ΙΟΝΥΣΟ ΩΡΟΣ Ο ΜΗΛΙΟΣ (2-1 αι. π.χ.) ΙΟΚΛΗΣ Ο ΑΛΕΞΑΝ ΡΕΥΣ (1 αι. π.χ.) ΗΡΩΝ Ο ΑΛΕΞΑΝ ΡΙΝΟΣ (1 αι. π.χ. - 1 αι. µ.χ.) ΜΕΝΕΛΑΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝ ΡΙΝΟΣ (1-2 αι. µ.χ.) ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ Ο ΚΛΑΥ ΙΟΣ ( µ.χ.) ΙΟΦΑΝΤΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝ ΡΙΝΟΣ (250 µ.χ. άκµασε) ΠΑΠΠΟΣ Ο ΑΛΕΞΑΝ ΡΙΝΟΣ (300 µ.χ. άκµασε) ΥΠΑΤΙΑ Η ΘΕΩΝΟΣ ( µ.χ.) -31-

33 ΘΑΛΗΣ Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣ Ο Θαλής ο Μιλήσιος ήταν προσωκρατικός φιλόσοφος, που δραστηριοποιήθηκε στις αρχές του 6ου αιώνα π.χ. στη Μίλητο, ενώ θεωρείται ως ο Ιδρυτής της Ιωνικής σχολής, ή της σχολής της Μιλήτου, που θεωρείται µια εµβρυώδης µορφή υλιστικής σχολής. Γεννήθηκε το 624/623 π.χ. Σε αυτή τη χρονολογία κατέληξαν οι ερευνητές µελετώντας τον Απολλόδωρο, ο οποίος αναφέρει ότι ο Θαλής σε ηλικία σαράντα ετών πρόβλεψε µια έκλειψη του Ήλιου που έγινε το Μάιο του 585 π.χ. Ο Θαλής, πάντα σύµφωνα µε τους ισχυρισµούς του Απολλόδωρου, πέθανε το 547/546 π.χ. Πληροφορίες λένε ότι δεν σπούδασε σε καµία σχολή ούτε µαθήτευσε σε κανένα δάσκαλο. Μόνο όταν ταξίδεψε στην Αίγυπτο και στην Βαβυλώνα, γνωρίζοντας από κοντά τους αρχαίους πολιτισµούς των λαών. Συναναστράφηκε µε διάφορους ιερείς σοφούς της Αιγύπτου. Σε όλη τη διάρκεια της ζωής του παρέµεινε άγαµος και αφοσιωµένος στην θεωρητική και πρακτική ενασχόληση µε τη φιλοσοφία και τις άλλες επιστήµες. Ήταν µια πολύπλευρη προσωπικότητα. Ασχολήθηκε µε την αστρονοµία και τα µαθηµατικά, τη φυσική και την φιλοσοφία. Για τα επιστηµονικά του επιτεύγµατα λέγονται πολλά και είναι δύσκολο να ξεχωρίσει κανείς πόσα από αυτά δεν οφείλονται στον θρύλο που δηµιουργήθηκε γύρω από την προσωπικότητά του. Αναδείχτηκε σε οξυδερκή διανοητική και πολιτικά. Σε καίριες στιγµές παρενέβη στα πολιτικά πράγµατα, όπως όταν συνέστησε στους Μιλήσιους να µη συµµαχήσουν µε τον Κροίσο ή ότανσυµβούλευσε τις ιωνικές πόλεις να συµµαχήσουν µεταξύ τους για να αντιµετωπίσουν τους κοινούς πιθανούς εχθρούς. Του αποδίδεται το έργο Ναυτική Αστρολογία, αλλά θεωρείται µάλλον αµφίβολο αν το έγραψε ο ίδιος. Για την ανασύσταση της σκέψης του βασιζόµαστε αποκλειστικά σε µαρτυρίες. Η παράδοση κατατάσσει τον Θαλή µεταξύ των επτά σοφών και τον περιγράφει ως άνθρωπο µε πλατιές γνώσεις και µεγάλη επινοητικότητα. Το σηµαντικότερο είναι, ωστόσο, ότι µέσω της προβληµατικής του για την αρχή του κόσµου ανήγαγε τα πολλαπλά φαινόµενα του κόσµου σε µία απρόσωπη, µοναδική ή ενιαία αρχή, γεγονός που τον κατατάσσει δίκαια στη χορεία των φιλοσόφων. -32-

34 Ο Θαλής είναι γνωστός και για την επιτυχηµένη πρόβλεψη της ηλιακής έκλειψης του 585. Ανακάλυψε τις τροπές (ηλιοστάσια), το ετερόφωτο της Σελήνης, καθώς και τον ηλεκτρισµό και τον µαγνητισµό, από τις ελκτικές ιδιότητες του ορυκτού µαγνητίτη και του ήλεκτρου (κεχριµπάρι), δίδαξε τον προσανατολισµό από τον αστερισµό της Μικράς Άρκτου, κατασκεύασε το περίφηµο «διαστηµόµετρο» για τον υπολογισµό των αποστάσεων των πλοίων από την ξηρά, υπολόγισε και το ύψος των πυραµίδων στην Αίγυπτο µετρώντας τον ίσκιο τους, τη στιγµή ακριβώς που ο δικός του ίσκιος ήταν ίσος µε το πραγµατικό του ύψος. Υπήρξε πάνω απ όλα βαθύς µελετητής και διδάσκαλος στο κατ εξοχήν «ιωνικό» φιλοσοφικό ζήτηµα, εκείνο δηλαδή της φυσικής συστάσεως του Συµ-Παντός Κόσµου. Πρώτος ο Θαλής αναζήτησε την αρχή των όντων όχι στον Θεό, αλλά σε κάποιο φυσικό είδος. Η προσπάθειά του Θαλή να εξηγήσει τη φύση και το πλήθος των φυσικών φαινοµένων, όχι πια µε το µύθο και τη θρησκεία, αλλά ορθολογικά, τον τοποθετεί ιστορικά στην πρώτη θέση της αρχαιοελληνικής φιλοσοφικής παραδόσεως. Στην κοσµολογία του φιλόσοφου σηµαντικό ρόλο παίζει το νερό (ύδωρ). Του αποδίδονται δύο κοσµολογικές απόψεις: «Η Γη έχει τη µορφή ενός κυκλικού δίσκου που στηρίζεται στο νερό» και την άποψη «Το νερό είναι η αρχή των πάντων». Η ζωτική δύναµη του νερού και η τεράστια σηµασία του στη φύση ήταν η αιτία που έκανε τον Θαλή να το ορίσει ως πρωταρχικό στοιχείο. Στην Ορφική µυθολογία βρίσκουµε το «Ύδωρ» και την «Ύλη» σαν τα πρωταρχικά στοιχεία δηµιουργίας της πρώτης ύλης του σύµπαντος. Η «Ύλη» δεν ορίζεται µε την σηµερινή επιστηµονική έννοια, αλλά αποτελεί µια µορφή κοσµικής ύλης. Το «Ύδωρ» (νερό), ο αέρας είτε άλλο στοιχείο είναι κατά τους Προσωκρατικούς φιλοσόφους συνυφασµένο µε την ζωή, την ψυχή και τη δύναµη της φύσεως που κινεί τα πάντα (φύεσθαι). Σύµφωνα µε τον Αριστοτέλη στο (Περί Ουρανού Β 13) ήταν η αρχαιότερη θεωρία που είχε διατυπωθεί και είχε παραδοθεί από τον Θαλή. Τούτη η άποψη φέρει ίχνη των οµηρικών και των ησιόδειων κοσµολογικών αντιλήψεων, ιδιαίτερα της εικόνας του Ωκεανού ποταµού που περιβάλλει την Γη και είναι πηγή όλων των υδάτων. Η ιδέα, όµως ότι κάτω από τη γη υπάρχουν νερά, στρέφει το ενδιαφέρον της έρευνας προς την πλευρά της Βαβυλωνιακής και της Αιγυπτιακής µυθολογίας και υποδεικνύει ως ένα βαθµό µια άµεση επαφή του Θαλή µε τις µυθολογίες της Εγγύς Ανατολής. Είτε θεωρούσε ότι το νερό εκτός από κοσµογονική αρχή συµµετέχει στη σύσταση του κόσµου είτε όχι, το σηµαντικό είναι ότι ο φιλόσοφος αφαιρεί από το νερό τη θεϊκή του ιδιότητα και το αναγνωρίζει µόνον ως φυσικό σώµα. -33-