Ï ÁíäñÝáò, ï Âáóßëçò êáé ï Ãéþñãïò åßíáé ôñåéò ößëïé óôïõò ï ðïßïõò, åêôüò áðü ôçí ðïäçëáóßá, áñýóåé êáé ç áêñßâåéá. ÊÜèå ÊõñéáêÞ îåêéíïýí ìå ôá ðïäþë
|
|
|
- Αμάραντος Βλαστός
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ïé ðïäçëüôåò Óýíôïìç ðåñéãñáöþ ôçò äñáóôçñéüôçôáò Ïé ðïäçëüôåò åßíáé Ýíá ðñüâëçìá óôï ïðïßï äßíåôáé ç åõêáé ñßá óôïõò ìáèçôýò íá óõíäýóïõí ôï óõíôåëåóôþ äéåýèõíóçò ìéáò åõèåßáò ìå Ýíá öõóéêü ìýãåèïò (ôá ýôçôá) ê áé íá êáôáóêåõüóïõí ãñáììéêü ìïíôýëá ôçò ìïñöþò y = á x Þ y = á x + â ìýóá áðü Ýíá áðëü ðñáãìáôéêü ðñüâëçìá. íôáîç äñáóôçñéüôçôáò óôï áíáëõôéêü ðñüãñáììá ÔÜîç: Á ËÕÊÅÉÏÕ. Ãíùóôéêü áíôéêåßìåíï: Ç óõíüñôçóç f(x) = á x + â, óõóôþìáôá ãñáììéêþí åîéóþóåùí. ÄéäáêôéêÞ åíüôçôá: 2.4, 3.1. Åñãáëåßá ëïãéóìéêïý Function probe. Åêôéìþìåíïò ñüíïò äéäáóêáëßáò 2 äéäáêôéêýò þñåò. Äéäáêôéêïß óôü ïé 1. Íá óõíäýóïõí ïé ìáèçôýò ôçí Ýííïéá ôïõ óõíôåëåóôþ äéåýèõíóçò ìéáò åõèåßáò ìå ôçí ôá ýôçôá óôçí ïìáëþ êßíçóç. 2. Íá áíáêáëýøïõí ôç ó Ýóç ç ïðïßá óõíäýåé äýï ðïóü ôá ïðïßá óõììåôáâüëëïíôáé éäéáßôåñá üôáí ç ó Ýóç ðïõ ôá óõíäýåé åßíáé ãñáììéêþ. 3. Íá êáôáíïþóïõí ôçí éóïäõíáìßá ôçò ãñáöéêþò åðßëõóçò åíüò óõóôþìáôïò åîéóþóåùí ìå ôçí áëãåâñéêþ åðßëõóç. 4. Íá áíôéëçöèïýí ôç óçìáóßá ôçò åðéëïãþò êáôüëëçëçò êëßìáêáò êáôü ôç ñþóç ôïõ ëïãéóìéêïý. 5. Íá êáôáóêåõüóïõí, ìýóù ôïõ ðñïâëþìáôïò, ìßá óõíüñôçóç ðïëëáðëþí ôýðùí. 5
2 Ï ÁíäñÝáò, ï Âáóßëçò êáé ï Ãéþñãïò åßíáé ôñåéò ößëïé óôïõò ï ðïßïõò, åêôüò áðü ôçí ðïäçëáóßá, áñýóåé êáé ç áêñßâåéá. ÊÜèå ÊõñéáêÞ îåêéíïýí ìå ôá ðïäþëáôü ôïõò, áðü ôïí ôüðï äéá ìïíþò ôïõò, ãéá ðïäçëáóßá. Ï ÁíäñÝáò êáé ï Âáóßëçò îåêéíïýí áðü ôçí ÁèÞíá, êáé óõãêåêñ éìýíá áðü ôçí ðåñéï Þ ôùí ÁìðåëïêÞðùí, êáé êáôåõèýíïíôáé óôïí ÐåéñáéÜ, óôï ÓôÜäéï Å éñþíçò êáé Öéëßáò, üðïõ êáé èá óôáìáôþóïõí. Ç áðüóôáóç: ÁèÞíá ÐåéñáéÜò åßíáé 20 éëéüìåôñ á. Ï Ãéþñãïò îåêéíü áðü ôçí ðåñéï Þ ÃêÜæé, ç ïðïßá áðý åé 6 éëéüìåôñá áðü ôï óçìåßï åêê ßíçóçò ôùí äýï ðñïçãïõìýíùí êáé ç ïðïßá âñßóêåôáé ìåôáîý ôùí ÁìðåëïêÞðùí êáé ôïõ Óôáä ßïõ ÅéñÞíçò êáé Öéëßáò êáé êáôåõèýíåôáé, êáé áõôüò, ðñïò ôï óçìåßï üðïõ èá óôáìáôþóïõí êáé ï é Üëëïé äýï. Ï ÁíäñÝáò äéáíýåé 2 éëéüìåôñá êüèå 4 ëåðôü, åíþ ï Ãéþñãïò êáé ï Âáóßëçò äéáíýï õí 1 éëéüìåôñï êüèå 4 ëåðôü. Ïé ôñåéò ößëïé èýëïõí íá ôïõò åöïäéüóïõìå ìå üëá åêåßíá ôá óôïé åßá ìå ôá ïðïßá èá ìðïñïýí áíü ðüóá óôéãìþ íá ãíùñßæïõí ôç ó åôéêþ ôïõò èýóç, ôçí áðüó ôáóþ ôïõò áðü ôçí ÁèÞíá (ðüëç Á) êáé ôïí ÐåéñáéÜ (ðüëç Ð) êáé ôá äéáãñüììáôá ðïñåßáò ôïõò. 1 Íá ôïðïèåôþóåôå ðüíù óå ìßá åõèåßá ôéò áñ éêýò èýóåéò ôùí ôñéþí ößëùí. Íá êáôáóêåõ- Üóåôå Ýíáí ðßíáêá ï ïðïßïò íá äßíåé êüèå 4 ëåðôü ôçí áðüóôáó ç êüèå ðïäçëüôç áðü ôçí ðåñéï Þ ôùí ÁìðåëïêÞðùí. 2 ÂÜóåé ôïõ ðßíáêá, äåí ìðïñïýìå íá îýñïõìå áíü ðüóá ñïíéêþ óôéãìþ (ð.. êüèå ëåðôü) ôçí áðüóôáóþ ôïõò áðü ôçí ðåñéï Þ ôùí ÁìðåëïêÞðùí; Ðþò ìðïñïýìå íá ëýóïõìå áõôü ôï ðñüâëçìá ìå ôéò äõíáôüôçôåò ðïõ ìáò ðáñý åé ôï ëïãéóìé êü; Íá äþóåôå ìßá ãåùìåôñéêþ ëýóç (ãñáöéêþ ðáñüóôáóç) êáé ìßá áëãåâñéêþ (íá âñåßô å Ýíáí ôýðï). 3 Ðáñáôçñïýìå üôé êüèå åõèåßá ó çìáôßæåé äéáöïñåôéêþ ãùíß á ìå ôïí Üîïíá x x. Ðþò ó åôßæåôáé áõôþ ç ãùíßá ìå ôá äåäïìýíá ôïõ ðñïâëþìáôïò; 4 Íá êáôáóêåõüóåôå, ìå ôç âïþèåéá ôïõ ëïãéóìéêïý, Ýíáí ðßíáêá ï ïðïßïò íá äßíåé êüèå ëåðôü ôçí áðüóôáóç êüèå ðïäçëüôç áðü ôçí ðüëç Ð. Íá êüíåôå ô éò ãñáöéêýò ðáñáóôüóåéò êáé íá âñåßôå ôéò åîéóþóåéò ôùí åõèåéþí. Ôé ðáñáôçñåß ôå ôþñá ãéá ôéò ãùíßåò ôùí åõèåéþí; 5 Áò ó ïëéüóïõìå ôþñá ôéò ãñáöéêýò ðáñáóôüóåéò ôïõ åñùôþìá ôïò 2. Ìðïñïýìå íá õðïóôçñßîïõìå üôé äýï ðïäçëüôåò èá óõíáíôçèïýí êáèþò èá êáôåõèýíïíôáé ðñïò ôï ÓôÜäéï ÅéñÞíçò êáé Öéëßáò; Óå ðüóç áðüóôáóç áðü ôçí ðåñéï Þ ôùí ÁìðåëïêÞðùí èá óõíáíôçèïýí; Èá óõíáíôçèåß ï Âáóßëçò ìå ôï Ãéþñãï; 6 Ïé ôñåéò ößëïé èýëïõí íá ãíùñßæïõí ôéò ìåôáîý ôïõò áðïóôüóåéò áíü ðüóá ñïíéêþ óôéãìþ. Íá êüíåôå, üðùò êáé óôï åñþôçìá 2, ôéò ãñáöéêýò ðáñáóôüóåéò ôùí ó Ýóåùí ïé ïðïßåò ãéá êüèå ñïíéêþ óôéãìþ ìüò äßíïõí ôçí áðüóôáóç ôïõ ÁíäñÝá áðü ôï Âáóßëç, ôïõ Ãéþñãïõ áðü ôïí ÁíäñÝá êáé ôïõ Ãéþñãïõ áðü ôï Âáóßëç. Ðïéåò åßíáé ïé ó Ýóåéò ðïõ ìáò äßíïõí áõôýò ôéò áðïóôüóåéò; 6
3 Oäçãßåò ãéá ôïí åêðáéäåõôéêü I.Oé ìáèçôýò èá ðñýðåé íá ãíùñßæïõí üôé ôá áíüëïãá ðïóü óõíäýïíôáé ìå ôç ó Ýóç y = áx êáé üôé ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò ó Ýóçò áõôþò åßíáé åõèåßá ç ïðïßá ð åñíü áðü ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí. Áêüìç, èá ðñýðåé íá Ý ïõí ãíùñßóåé ôç óçìáóßá ôçò óõíüñôçóçò ðïëëáðëïý ôýðïõ. II.Óôü ïò ôçò åñþôçóçò 1 åßíáé íá óõìðëçñþóïõí ïé ìáèçôýò, ìå ôç âïþèåéá ôïõ ëïãéóìéêïý, ôéò óôþëåò ôïõ ðßíáêá ( ñüíïò, ÁíäñÝáò, Âáóßëçò, Ãéþñãïò) êáé íá ìüèïõí ôç ñþóç ôçò åíôïëþò ÃÝìéóìá. Ç óôþëç ôïõ Ãéþñãïõ êáëü èá åßíáé íá óõìðëçñùèåß ùñßò ôç ñþóç ôïõ ôýðïõ y = á x + â, áöïý áõôü ôïí ôýðï ðñïóðáèïýí íá ðñïóåããßóïõí. Èá ðñýðåé íá êáô áãñüøïõìå ôüóåò ôéìýò ãéá êüèå óôþëç, þóôå ï ðßíáêáò íá ðåñéý åé ôá æåýãç ðïõ áíôéóôïé ïýí ôüóï óôçí åêêßíçóç üóï êáé óôïí ôåñìáôéóìü êüèå ðïäçëüôç. Ãéá íá ãåìßóïõìå êüèå óôþëç, ôïðïèåôïýìå óôçí Ýíäåéîç áðü ôçí ðñþôç ôéìþ ôïõ áíôßóôïé ïõ ìåãýèïõò, äçëáäþ ôï 0 ãéá ôï ñüíï (t) êáé ãéá ôçí áðüóôáóç ôïõ ÁíäñÝá (a) êáé ôïõ Báóßëç (b) áðü ôçí ÁèÞíá êáé 6 ãéá ôçí áðüóôáóç ôïõ Ãéþñãïõ (r) áðü ôçí ÁèÞíá, êáé óôçí Ýíäåéîç Ýùò ôçí ôåëåõôáßá ôéìþ, äçëáäþ ôï 80 ãéá ôï ñüíï êáé ôï 20 ãéá ôçí áðüóôáóç êüèå ðïäçëüôç. Óôçí Ýíäåéîç ôçí ôéìþ ôïðïèåôïýìå ôï ðïóü êáôü ôï ïðïßï áõîüíåé ç áðüóôáóç ôïõ êüèå ðïäçëüôç 4 ëåðôü. Åéêüíá 1. Ôï ðáñüèõñï äéáëüãïõ ãéá ôï ãýìéóìá ôçò óôþëçò a. Eéêüíá 2. O ðßíáêáò ðïõ äçìéïõñãåßôáé ìåôü ôï ãýìéóìá üëùí ôùí óôçëþí. 7
4 III.Óôü ïò ôçò åñþôçóçò 2 åßíáé íá åðéëýîïõí ïé ìáèçôýò, ìåôü áð ü äéáðñáãìüôåõóç, êáôüëëçëç êëßìáêá êáé óôç óõíý åéá íá âñïõí ôéò åîéóþóåéò ìå ôç âïþèåéá ôïõ ë ïãéóìéêïý. Ç åðéëïãþ êáôüëëçëçò êëßìáêáò åßíáé ìéá äéáäéêáóßá ôçí ïð ïßá åöáñìüæïõí óõíþèùò ìç áíéêü ïé ìáèçôýò, üôáí ãéá ðáñüäåéãìá èýëïõí íá óõó åôßóïõí ñüíï ìå ñ Þìáôá êáé ôá ñçìáôéêü ðïóü áíýñ ïíôáé óå åêáôïììýñéá. Ôï ëïãéóìéêü äßíåé ôç äõíáôüôçôá óõíåéäçô Ü ðëýïí ï ìáèçôþò íá åðéëýãåé ôçí êáôüëëçëç êëßìáêá þóôå íá ìðïñåß íá ìåôáöýñåé ôéò ìåôñþóåéò ôïõ ó å Ýíá þñï ôïí ïðïßï ìðïñåß íá åëýã åé êáëýôåñá. Êáëü èá åßíáé, êáôü ôçí åðéëïãþ ôçò êëßìáêáò, ôá äéáóôþìáôá ðüíù óôïõò äýï Üîïíåò íá Ý ïõí ßóá ìþêç þóôå ôï êáñôåóéáíü åðßðåäï íá åßíáé ùñéóìýíï óå ôåôñüãùíá. Åéêüíá 3. Ç êëßìáêá åðéëýãåôáé ìýóù ôçò åíôïëþò ÁëëáãÞ êëßìáêáò áðü ôï ìåíïý ÃñÜöçìá. Ãéá íá áðáíôþóïõí óôçí åñþôçóç ïé ìáèçôýò, êáôáóêåõüæïõí ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y = x êáé, ìåôáöýñïíôüò ôç ìå ôá êáôüëëçëá åñãáëåßá, ôçí ðñïóáñìüæïõ í êüèå öïñü óôá óçìåßá ðïõ ðñïýñ ïíôáé áðü ôïí ðßíáêá (åéêüíá 4). ÕðÜñ åé ìåãüëç ðéèáíüôçôá ïé ìáèçôýò íá êáôáëþîïõí óôï óõ ìðýñáóìá üôé ç åõèåßá ðïõ ðñïóáñìüæåôáé êáëýôåñá óôá óçìåßá åßíáé, ð.., ç y = 0,51x êáé ü é ç y = 0,5x, ðïõ åßíáé ç óùóôþ. Ïé ìáèçôýò Ý ïõí ôç äõíáôüôçôá íá åêôéìþóïõí áí ç åõèåßá ðïõ Ý ïõí âñåé åßí áé ç êáôüëëçëç áðïêüðôïíôáò óçìåßá áðü ôçí åõèåßá êáé åëýã ïíôáò ôéò óõíôåôáãìýíåò ôïõò (âë. êáé ðáñáôþñçóç VII). Åéêüíá 4. 8
5 Ç ðñïóáñìïãþ ôçò åõèåßáò ðüíù óôá óçìåßá ãßíåôáé ìýóù ôçò åðéëïãþò áðü ôçí åñãáëåéïèþêç ôùí åñãáëåßùí ðïõ öáßíïíôáé óôéò åéêüíåò 5 êáé 6. ÓôñïöÞ ÐáñÜëëçëç ìåôáöïñü Åéêüíá 5. Åéêüíá 6. Åéêüíá 7. Áðü ôçí åðéëïãþ ÌåôáâëçôÝò ôïõ ìåíïý ÃñÜöçìá ìðïñïýìå íá ïíïìüóïõìå ôïõò Üîïíåò êáé íá êáèïñßóïõìå ôéò ìåôáâëçôýò êáé ôéò ìïíüäåò ìýôñçóçò. ÔÝëïò, èá Þôáí ñþóéìï íá õðïãñáììéóôåß áðü ôï äéäüóêïíôá üôé, ìýóù ôçò ãñáöéêþò ðáñüóôáóçò, åðéôõã Üíïõìå ôç ìåôüâáóç áðü ôï äéáêñéôü þñï ôùí æåõãþí óô ï óõíå Þ þñï ôïõ ãñáöþìáôïò, ðñüãìá ôï ïðïßï åßíáé óçìáíôéêü ãéá ôç ìåëýôç åíüò öáéíïìýíïõ. 9
6 IV. Óôçí åñþôçóç 3, ïé ìáèçôýò èá õðïëïãßóïõí ôçí êëßóç êüèå åõè åßáò êáé èá äéáðéóôþóïõí (åéêüíá 8) üôé: á) ôáõôßæåôáé ìå ôï óõíôåëåóôþ ôïõ x óôç ó Ýóç y = á x+â, â) ïñßæåôáé ìýóù åíüò ïñèïãùíßïõ ôñéãþíïõ, ïðüôå ó åôßæåôáé ìå ôçí åöáðôïìýíç ôçò ãùíßáò ðïõ ó çìáôßæåé ç åõèåßá ìå ôïí Üîïíá x x, ã) óõíäýåôáé ìå ôçí ôá ýôçôá óôçí ïìáëþ êßíçóç. Åäþ åßíáé óçìáíôéêü íá åðéóçìáíèåß ç óçìáóßá ôïõ ðçëßêïõ äéáöïñþí, ôï ïðïßï åìöáíßæåôáé óôçí åôéêýôá ôïõ ãñáöþìáôïò üôáí ìåôñïýìå ôçí êëßóç ìéáò åõèåßáò. Ôï ðçëßêï áõôü èá óõíäýóåé ôçí êëßóç ôçò åõèåßáò ìå ôçí åöáðôïìýíç êáé ôçí ôá ýôçôá. Åéêüíá 8. V. Ç åñþôçóç 4 Ý åé óôü ï íá äéáðéóôþóïõí ïé ìáèçôýò üôé ç êëßó ç ôçò åõèåßáò åßíáé áñíçôéêþ óôçí ðåñßðôùóç ðïõ ç ãùíßá åßíáé áìâëåßá. Ç óõìðëþñùóç ôùí óôçëþí ôç ò áðüóôáóçò áðü ôïí ÐåéñáéÜ ôþñá ðëýïí ìðïñåß íá ãßíåé ìå ôç âïþèåéá ôïõ ëïãéóìéêïý (åéêüíá 9). Ïé óôþëåò a, b êáé c ôïõ ðßíáêá ðñýðåé íá óõìðëçñùèïýí ìå ôçí ôéìþ 20, åöüóïí ïé ðïäçëüôåò ðåñéìýíïõí óôïí ÐåéñáéÜ ìý ñé íá öôüóåé êáé ï ôåëåõôáßïò. Åéêüíá 9. 10
7 Åéêüíá 11. Åéêüíá 10. Ðñïöáíþò, èá ðáñïõóéáóôïýí êáé óçìåßá ðüíù óôïí Ü- îïíá x x üðùò öáßíåôáé óôçí åéêüíá 10. Áí äéáãñüøïõìå Ýíá Ýíá ôá óçìåßá áõôü, åðéëýãïíôáò ÄéáãñáöÞ óçìåßïõ áðü ôï ìåíïý Åðåîåñãáóßá, ìðïñïýìå íá âñïýìå ôçí åîßóùóç ôçò åõèåßáò ðïõ ðåñíü áðü ôá Üëëá ìå ôç âïþèåéá ôïõ áõôüìáôïõ åñãáëåßïõ ðïõ öáßíåôáé óôçí åéêüíá 10. ÔÝëïò, êáëü èá åßíáé íá ãßíåé ìéá áíáöïñü óôï üôé ç åõèåßá ìå áñíçôéêþ êëßóç åßíáé Ýíá áðëü ðáñüäåéãìá ãíçóßùò öèßíïõóáò óõíüñôçóçò (âë. åéêüíá 12). Åéêüíá 12. VI.Ç åñþôçóç 5 Ý åé óôü ï íá ïäçãþóåé ôïõò ìáèçôýò óôï óõìðýñáóìá üôé ç ëýóç åíüò óõóôþìáôïò ðáñéóôüíåôáé áðü ôï êïéíü óçìåßï ôùí ãñáöéêþí ðáñáóôüóåùí ôùí åîéóþóåùí (âë. åéêüíá 13). Åäþ åßíáé ñþóéìï íá óõæçôçèåß ç óçìáóßá ôçò ðáñáëëçëßáò ôùí äýï ãñáöéêþí ðáñáóôüóåùí (áäýíáôï óýóôçìá). Ç ñþóç ôïõ ëïãéóìéêïý åäþ äåí åßíáé ðåñéôôþ, áöïý óå ðïëýðëïêá óõóôþìáôá (ìå óõíôåëåóôýò äýó ñçóôïõò) ôï ëïãéóìéêü ìðïñåß íá ðñïóöýñåé ìßá éêáíïðïéçôéêþ ðñïóýããéóç. Åéêüíá
8 VII. Ï óôü ïò ôçò åñþôçóçò 6 åßíáé íá õðïëïãßóïõí ïé ìáèçôýò ìßá ó Ýóç ç ïðïßá äåí ðñïóåããßæåôáé åýêïëá üðùò óôéò äýï ðñïçãïýìåíåò ðåñéðôþóåéò. Êáôáñ Þí, èá êáôáóêåõüóïõí Ýíáí ðßíáêá (åéêüíá 14) ï ïðïßïò ð ñïêýðôåé áðü ôïí ðßíáêá ôçò åñþôçóçò 2 (áöïý ðñþôá óõìðëçñùèïýí ïé óôþëåò) áöáéñþíôáò ôïõò á ñéèìïýò ðïõ õðüñ ïõí óôá êåëéü Ýíáí ðñïò Ýíá. Åäþ èá ðñýðåé íá åðéóçìáíèåß óôïõò ìáèçôýò ü ôé ìßá åõèåßá ðáñüëëçëç óôïí Üîïíá x x åßíáé ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ìéáò óôáèåñþò óõíüñôçóçò. Ìßá Üëëç óçìáíôéêþ äñáóôçñéüôçôá ìå ôçí ïðïßá èá åìðëáêïý í ïé ìáèçôýò åßíáé êáé áõôþ ôçò êáôáóêåõþò óõíüñôçóçò ðïëëáðëþí ôýðùí. Áõôü èá óõìâåß áöïý ç á ðüóôáóç, ð.., ôïõ ÁíäñÝá áðü ôï Ãéþñãï óôçí áñ Þ ìåéþíåôáé, óå êüðïéá ñïíéêþ óôéãìþ ãßíå ôáé 0, óôç óõíý åéá áõîüíåôáé êáé ôýëïò, üôáí ï ÁíäñÝáò èá öôüóåé êáé èá óôáìáôþóåé óôïí ÐåéñáéÜ, ç á ðüóôáóç èá áñ ßóåé íá ìéêñáßíåé. ¼ðùò öáßíåôáé óå êüèå ãñüöçìá, ï ôýðïò ôçò óõíüñôçóçò áëëü æåé ãéá ôéò äéüöïñåò ôéìýò ôïõ ñüíïõ êáé ïé ìáèçôýò ôþñá ìå âüóç ôïí ðßíáêá ìå ôá æåýãç ôéìþí áëë Ü êáé ôéò ãñáöéêýò ðáñáóôüóåéò (åéêüíåò 15,16,17) ìðïñïýí íá ãñüøïõí ôïõò ôýðïõò ôùí óõíáñôþóåùí ðïõ ìáò äßíïõí ôéò áðïóôüóåéò ìåôáîý ôùí ðïäçëáôþí. Ãéá ðáñüäåéãìá, ç áðüóôáóç Âà (ôïõ Âáóßëç áðü ôï Ãéþñãï) äßí åôáé áðü ôïí ôýðï: f(t) = R S T t t < t 80 Åéêüíá 14. Åéêüíá 15. Åéêüíá 16. Åéêüíá
9 VIII. ÐáñáôÞñçóç ãéá óõæþôçóç ìå áöïñìþ ôçí åñþôçóç 2. Èá ðñýðåé íá åðéóçìáíèåß üôé, ìå ôç ìýèïäï ôçò ðñïóáñìïãþò ìéáò åõèåßáò ðüíù óå óõíåõèåéáêü óçìåßá, äåí åßíáé âýâáéï üôé Ý ïõìå ðñïóáñìüóåé áêñéâþò ô ç æçôïýìåíç åõèåßá. Ãéá íá ôï åîáóöáëßóïõìå áõôü, ìðïñïýìå íá áðïêüøïõìå óçìåßá áðü ôçí åõèåßá ê áé íá åëýãîïõìå áí áõôü éêáíïðïéïýí ôá äåäïìýíá ôïõ ðñïâëþìáôïò. Áò åëýãîïõìå, ãéá ðáñüäåéãìá, ôçí áðüíôçóç óôçí åñþôçóç 2 ãéá ôçí ðåñßðôùóç ôïõ ÁíäñÝá. Áðü ôï ìåíïý ÃñÜöçìá ôïõ ðáñáèýñïõ ÃñÜöçìá åðéëýãïõì å Äåßãìá áðü êáìðýëç êáé ýóôåñá Óýíïëï óçìåßùí, áöïý ðñþôá Ý ïõìå åðéëýîåé ôçí åõèåßá y = 0,51x + 0, áðü ôçí ïðïßá èá áðïêüøïõìå óçìåßá. Óôï ðáñüèõñï äéáëüãïõ ðïõ åìöáíßæåôáé, óõìð ëçñþíïõìå ôïí áñéèìü ôìçìüôùí óôá ïðïßá åðéèõìïýìå íá äéáéñýóïõìå ôï åðéëåãìýíï ôìþìá ôïõ Ü îïíá (åéêüíá 18). Ôï ðëþèïò ôùí óçìåßùí ôá ï- ðïßá áðïêüðôïõìå ìå áõôü ôïí ôñüðï åßíáé êáôü Ýíá ìåãáëýôåñï áðü ôïí áñéèìü ôùí ôìçìüôùí. Åéêüíá 18. Ôá óçìåßá ðïõ Ý ïõí áðïêïðåß åìöáíßæïíôáé ðüíù óôçí åõèåß á (âë. åéêüíá 19). Óôç óõíý åéá, áðü ôï ìåíïý ÁðïóôïëÞ ôïõ ðáñáèýñïõ ÃñÜöçìá ôá óçìåßá áðïóô Ýëëïíôáé óôïí ðßíáêá, üðïõ êáé ãßíåôáé Ýëåã ïò (âë. åéêüíá 20). Ðáñáôçñïýìå üôé, åíþ ç óôþëç x óõìðßðô åé ìå ôç óôþëç t, ç óôþëç y äå óõìðßðôåé ìå ôç óôþëç a. Åéêüíá 19. Åéêüíá
10 Åñþôçóç 1ç (7 ìïíüäåò) Ðïéïé áðü ôïõò ðáñáêüôù ðßíáêåò ìåôáâïëþí ðáñéóôüíïõí ðï óü x êáé y, ôùí ïðïßùí ç ó Ýóç Ý åé ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ìßá åõèåßá; Á Â Ã Ä Å x y x y x y x y x y / / / á) Íá äéêáéïëïãþóåôå ôçí áðüíôçóþ óáò ùñßò ôç âïþèåéá ôïõ Ç/Õ. (3,5 ìïíüäåò) â) Íá åëýãîåôå ôçí ïñèüôçôá ôçò áðüíôçóþò óáò ìýóù ôïõ H/Y. Íá åîçãþóåôå, åöüóïí ôá áðïôåëýóìáôá óôïí Ç/Õ óõìöùíïýí ìå áõôü ôçò åñþôçóçò (á), ôçí ïñèü ôçôá ôùí áðáíôþóåùí ðïõ Ý åôå äþóåé óôï (á). (3,5 ìïíüäåò) Åñþôçóç 2ç (7 ìïíüäåò) Óå üóïõò áðü ôïõò ðáñáðüíù ðßíáêåò ç ó Ýóç ìåôáîý ôùí x êáé y Ý åé ãñáöéêþ ðáñüóôáóç åõèåßá, íá õðïëïãßóåôå ôï óõíôåëåóôþ äéåýèõíóçò ôçò åõèåßáò ç ïðïßá åßíáé ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò ó Ýóçò: á) ùñßò ôç ñþóç ôïõ õðïëïãéóôþ. (3 ìïíüäåò) â) Ìå ôç ñþóç ôïõ õðïëïãéóôþ. (4 ìïíüäåò) Åñþôçóç 3ç (6 ìïíüäåò) Íá âñåßôå ôá êïéíü óçìåßá ôùí ãñáöéêþí ðáñáóôüóåùí ðïõ åß íáé åõèåßåò: á) ùñßò ôç ñþóç õðïëïãéóôþ. (3 ìïíüäåò) â) Ìå ôç ñþóç ôïõ õðïëïãéóôþ. (3 ìïíüäåò) 14
11 ÁðáíôÞóåéò óôï öýëëï áîéïëüãçóçò Å 1 ) Óôïõò ðßíáêåò Â, Ã, Ä ãéá ßóåò ìåôáâïëýò ôïõ x áíôéóôïé ïýí ßóåò ìåôáâïëýò ôïõ y, Üñá ðáñéóôüíïõí åõèåßåò (Ýëåã ïò ôçò áðüíôçóçò ìå åéóáãùãþ ôùí ðéíüêùí óô ïí õðïëïãéóôþ êáé åýñåóç ôùí óçìåßùí). Å 2 ) Ç åýñåóç ìðïñåß íá ãßíåé ìýóù ôçò ðáñáôþñçóçò ôùí áíáëïãé þí y x = 3 ãéá ôïí Â, y x = 1 2 êáé ôçò x 2 = y ãéá ôïí Ä ðßíáêá. Ç åýñåóç ìðïñåß íá ãßíåé ìýóù ôïõ õðïëïãéóôþ. ãéá ôïí Ã Å 3 ) á) Ïé åõèåßåò åßíáé ïé (å 1 ) y = 3x, (å 2 ) y = 1 2 x êáé (å 3 ) y = x 2. Ïé (å 1 ), (å 2 ) Ý ïõí êïéíü óçìåßï ôï (0, 0), oé (å 1 ), (å 3 ) ôï óçìåßï ( 1, 3), áöïý 3x = x 2, êáé ïé (å 2 ), (å 3 ) ôï óçìåßï F HG 4 2, 3 3 I K J, áöïý 1 x = x 2. 2 â) Ïé ãñáöéêýò ðáñáóôüóåéò óôïí õðïëïãéóôþ äßíïõí ôéò óõíôåôáãìýíåò áõôþí ôùí óçìåßùí. 15
( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
. Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé
16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.
55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò
å) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé
¼ôáí Ýíáò ðáßêôçò ôïõ ìðüóêåô åðé åéñåß óïõô, ôüôå ç ôñï é Ü ôçò ìðüëáò åßíáé ðåñßðïõ ç áêüëïõèç: ÊÜèå óþìá, ôï ïðïßï åêôïîåýåôáé ðëüãéá ìå êüðïéá äýí
ÌåëÝôç ôçò óõíüñôçóçò f(x) = áx 2 +âx+ã Óýíôïìç ðåñéãñáöþ ôçò äñáóôçñéüôçôáò Ç ìåëýôç ôçò óõíüñôçóçò f(x) = áx 2 + â + ã åßíáé ìéá äñáóôçñéüôçôá ìýóù ôçò ïðïßáò ïé ìáèçôýò èá ìåëåôþóïõí ôç âáóéêþ éäéüôçôá
2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr
2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé
ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)
44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá
Ó ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X
V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò
Y y= if x<=0 then 0 else if x<24 then 10xe^(-(x/10)) else 0 Y y= if x<=0 then 0 else if x<24 then (10-x)e^(-(x/10)) else 0
Ôá ñïìðüô Óýíôïìç ðåñéãñáöþ ôçò äñáóôçñéüôçôáò Ôá ñïìðüô åßíáé Ýíá ðñüâëçìá ìýóù ôïõ ïðïßïõ ïé ìáèçôýò èá ìåëåôþóïõí ôç óõìðåñéöïñü ìéáò óõíüñôçóçò, ç ïðïßá åêöñüæåé ôï çìåñþóéï êýñäïò ìéáò åðé åßñçóçò
16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò
62 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò Óýíôïìç ðåñéãñáöþ ôçò äñáóôçñéüôçôáò Óôç äñáóôçñéüôçôá áõôþ êáëïýíôáé ïé ìáèçôýò íá ìåëåôþóïõí ôéò óõíáñôþóåéò çìßôïíï (y=çìx) êáé
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...
3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ
.1 Ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò 55.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò Åñþ ôçóç 1 Ôé ëýãåôáé óõíüñôçóç; ÁðÜíôçóç Ç ó Ýóç åêåßíç ðïõ êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá ìüíï ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò y ëýãåôáé
ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ
28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ
1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá
Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò
50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)
ÅÍÏÔÇÔÁ 6ç ÑÏÍÏÓ-ÄÉÁÄÏ Ç
Ενότητα 6 Μάθημα 45 Πρώτος-τελευταίος 1. Íá êáôáíïþóïõí ôéò Ýííïéåò ðñþôïò êáé ôåëåõôáßïò. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôï ñüíï êáé ôç äéáäï Þ ãåãïíüôùí. 1. Íá áêïýóïõí ôï ðáñáìýèé
Sketchpad. Function probe.
H ìýôñçóç óôçí ðéóßíá Óýíôïìç ðåñéãñáöþ ôçò äñáóôçñéüôçôáò Ç ìýôñçóç óôçí ðéóßíá åßíáé ìßá äñáóôçñéüôçôá ìýóù ôçò ïð ïßáò ïé ìáèçôýò èá áíáêáëýøïõí ôï íüìï ôùí çìéôüíùí. Áõôü èá ãßíåé êáèþò èá ðñïóðáèïýí
10. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç
0. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ 0. Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ÊáôÜ ôç ìåëýôç åíüò öáéíïìýíïõ óôï åñãáóôþñéï êáôáãñüöïõìå ôá áðïôåëýóìáôá ôùí ðáñáôçñþóåùí êáé ôùí ìåôñþóåþí ìáò óå ðßíáêåò. Ïé ðßíáêåò
ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ
55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,
ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ Εικονογράφηση ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Ï ðéï ìåãüëïò êáé ï ðéï óçìáíôéêüò ðáéäáãùãéêüò êáíüíáò äåí åßíáé ôï íá
ÏìÜäá Å: ëëåò ÓõíáñôÞóåéò
70 ÏìÜäá Å: ëëåò ÓõíáñôÞóåéò 18. Måôáó çìáôéóìïß óôç óõíüñôçóç ôçò áðüëõôçò ôéìþò Óýíôïìç ðåñéãñáöþ ôçò äñáóôçñéüôçôáò Óôç äñáóôçñéüôçôá áõôþ ñçóéìïðïéåßôáé ç óõíüñôçóç ôçò áðüëõôçò ôéìþò ãéá ôçí åéóáãùãþ
Ðñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ãéá Ýíá óþìá ðïõ åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëü ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç éó ýïõí ïé ôýðïé: õ=õ ï +á. t x=õ. ï t+ át. ÅÜí ôï óþìá îåêéíüåé áðü ôçí çñåìßá, äçëáäþ ç áñ éêþ ôá ýôçôá åßíáé õ ï =0, ôüôå ïé
ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ. Åõèýãñáììç êßíçóç. ôçò ìåôáôüðéóþò ôïõ êáé íá âñåßôå ôçí ôéìþ ôçò. Ðüóï åßíáé ôï äéüóôçìá ðïõ äéüíõóå ôï êéíçôü óôç äéáäñïìþ áõôþ;
63 63 ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ 1. Íá áíáöýñåôå ðïéá áðü ôá óþìáôá ðïõ öáßíïíôáé óôçí åéêüíá êéíïýíôáé A. Ùò ðñïò ôç Ãç B. Ùò ðñïò ôï áõôïêßíçôï. 5. íá êéíçôü ìåôáôïðßæåôáé áðü ôç èýóç Ì 1 óôç èýóç Ì 2. Íá ó åäéüóåôå
ÅÍÏÔÇÔÁ 5ç ÔÁ Ó ÇÌÁÔÁ
Ενότητα 5 Μάθημα 38 Ο κύκλος 1. Ná êáôáíïþóïõí ôçí Ýííïéá ôïõ êýêëïõ. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôïí êýêëï. 1. Íá ðáßîïõí êáé íá ôñáãïõäþóïõí ôï «Ãýñù-ãýñù üëïé» êáé «To ìáíôçëüêé».
ιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá
1.1 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí Express Ýêäïóç ôïõ SQL Server... 3 1.2 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí åãêáôüóôáóç... 3 2.1 ÅãêáôÜóôáóç Microsoft SQL Server 2008R2 Express Edition... 4 2.1 Åíåñãïðïßçóç ôïõ
Estimation Theory Exercises*
Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò
ÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ
ÕÐÏÕÑÃÅÉÏ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ÏÉÊÏÍÏÌÉÊÙÍ ÃÅÍÉÊÇ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÄÇÌÏÓÉÁÓ ÐÅÑÉÏÕÓÉÁÓ & ÅÈÍÉÊÙÍ ÊËÇÑÏÄÏÔÇÌÁÔÙÍ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÔÅ ÍÉÊÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ & ÓÔÅÃÁÓÇÓ ÔÌÇÌÁ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÏÕ ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÕ ÖÏÑÏËÏÃÇÔÅÁÓ ÁÎÉÁÓ ÁÊÉÍÇÔÙÍ
[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.
![[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.](/thumbs/61/46104077.jpg "[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.")
ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ 76 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï
ÊåöÜëáéï 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï óôù ç ôñéüäá (a, b, c). Ôï óýíïëï ôùí ôñéüäùí êáëåßôáé 3-äéÜóôáôïò þñïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå IR 3. Åéäéêüôåñá ç ôñéüäá (a, b, c) ïñßæåé
ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ
66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ
Chi-Square Goodness-of-Fit Test*
Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@mathuoagr February 6, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô ÐáðáúùÜííïõ êáé ôá âéâëßá
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ
ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò
Cel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí
ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí Cel animation Ç ôå íéêþ áõôþ óõíßóôáôáé óôçí êáôáóêåõþ ðïëëþí ó åäßùí ðïõ äéáöýñïõí ìåôáîý ôïõò óå óõãêåêñéìýíá óçìåßá. Ôá ó Ýäéá áõôü åíáëëüóóïíôáé ôï Ýíá ìåôü ôï Üëëï äßíïíôáò ôçí
1ï ÊñéôÞñéï Áîéïëüãçóçò
1ï ÊñéôÞñéï Áîéïëüãçóçò óå üëç ôçí ýëç ÖõóéêÞò. à ôüîç ÊáèçãçôÞò: ¼íïìá: Âáèìüò: ÈÅÌÁ 1ï Åéê. 1 A. -2ìC ç Á êáé +2ìC ç  -1ìC ç Á êáé -1ìC ç  -9ìC ç Á êáé -9ìC ç  D. +1ìC ç Á êáé +1ìC ç  ÅðéëÝîôå ôç
Συντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
3524 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 3523 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 252 28 Öåâñïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 19306/Ã2 ÐñïãñÜììáôá Óðïõäþí Ôå íéêþí Åðáããåëìáôéêþí Åêðáéäåõôçñßùí (Ô.Å.Å.).
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
19. Ôï ðñüâëçìá ôïõ þñïõ óôüèìåõóçò
75 19. Ôï ðñüâëçìá ôïõ þñïõ óôüèìåõóçò Óýíôïìç ðåñéãñáöþ ôçò äñáóôçñéüôçôáò Óôï Ðñüâëçìá ôïõ þñïõ óôüèìåõóçò äßíåôáé ç åõêáéñßá óôïõò ìáèçôýò íá áó ïëçèïýí á) ìå ôéò êëéìáêùôýò óõíáñôþóåéò (óõíáñôþóåéò
Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá...
ÇËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá....1 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí þñï ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß Ýíá çëåêôñéêü öïñôßï èá äå èåß äýíáìç. Ãéá íá åîåôüóïõìå áí óå êüðïéï
ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ
ÌÜèçìá 5 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ 5.1 ÄéáêñéôÞ ðñïóýããéóç 5.1.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ôïõ ðïëõùíýìïõ ðïõ
Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ!
ΑΞΕΣΟΥΑΡ Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ÅããõÜôáé ôçí áóöüëåéá êáé õãåßá ôïõ ìùñïý êáôü ôç äéüñêåéá ôïõ ýðíïõ! AP 1270638 Õðüóôñùìá Aerosleep, : 61,00 AP 125060 ÊÜëõììá Aerosleep, : 15,30 ÁóöáëÞò, ðüíôá áñêåôüò
1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç
1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç 7 1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç Åñþ ôçóç 1 Ðïéïé áñéèìïß ïíïìüæïíôáé öõóéêïß; Ðþò ôïõò óõìâïëßæïõìå êáé ðþò ùñßæïíôáé;
ÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç É - ÓÅÌÖÅ Åñãáóßá 2 ìåóåò êáé åðáíáëçðôéêýò ìýèïäïé
ÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç É - ÓÅÌÖÅ Åñãáóßá 2 ìåóåò êáé åðáíáëçðôéêýò ìýèïäïé Íéêüëáò ÊÜñáëçò Á/Ì : 91442 ÔìÞìá 1ï 28 Óåðôåìâñßïõ, 26 1 ìåóåò ÌÝèïäïé 1.1 Åñþôçìá 1 ñçóéìïðïéþíôáò ôçí gauss.m êáé ôçí herm5.m,
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
¼ñãáíá Èåñìïêñáóßáò - ÓõóêåõÝò Øõêôéêþí Ìç áíçìüôùí
¼ñãáíá Èåñìïêñáóßáò - ÓõóêåõÝò Øõêôéêþí Ìç áíçìüôùí ÈåñìïóôÜôçò ÓõíôÞñçóçò REF-DF-SM ÅëÝã åé Ýíá èåñìïóôïé åßï PTC Êëßìáêá èåñìïêñáóßáò: -19? +99 C ëåã ïò áðüøõîçò - dfrst Ôñßá ñåëý: óõìðéåóôþò (30Á, 2ÇÑ),
Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò
1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï
5. ÐÑÏÏÄÏÉ 7 5. ÁñéèìçôéêÞ ðñüïäïò Á ÏìÜäá. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 3. Óõíåðþò
ÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá
ÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá Íüìïò ôïõ Coulomb Çëåêôñéêü Ðåäßï - íôáóç ÄõíáìéêÝò ÃñáììÝò Äõíáìéêü - ÄéáöïñÜ Äõíáìéêïý ÐõêíùôÝò ÃéÜííçò Ãáúóßäçò - ÅÊÖÅ ßïõ Äéáôýðùóç ôïõ Íüìïõ F F - F r F Ç HëåêôñïóôáôéêÞ
Üóêçóç 15. ÕëéêÜ - åîáñôþìáôá äéêôýïõ ðåðéåóìýíïõ áýñá êáé ðíåõìáôéêýò óõóêåõýò
ÕëéêÜ - åîáñôþìáôá äéêôýïõ ðåðéåóìýíïõ áýñá êáé ðíåõìáôéêýò óõóêåõýò Óôü ïé ôçò Üóêçóçò äéüñêåéá Üóêçóçò: 6 äéäáêôéêýò þñåò Óôï ôýëïò ôçò Üóêçóçò ïé ìáèçôýò èá åßíáé éêáíïß: é íá áíáãíùñßæïõí ôá åîáñôþìáôá
SPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá
ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης 2o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1.1. ÓùóôÞ áðüíôçóç åßíáé ç Ä. ΘΕΜΑ 1ο 1.2. ñçóéìïðïéïýìå ôçí êáôáíïìþ ôùí çëåêôñïíßùí óå áôïìéêü ôñï éáêü óýìöùíá
ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò
ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß
ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
ΘΕΜΑ: Τροποποίηση κατηγοριών στα εγκεκριµένα ενιαία τιµολόγια εργασιών για έργα οδοποιϊας.
ΕΞ. ΕΠΕΙΓΟΝ ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ 5 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα, 23 Φεβρουαρίου 2005 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΕ.ΧΩ..Ε. Αρ.Πρωτ. 17α/10/22/ΦΝ 437 ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜ. ΗΜΟΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΕΝ. /ΝΣΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΡΟΓ/ΤΟΣ /ΝΣΗ ΝΟΜΟΘΕΤΙΚΟΥ ΣΥΝΤ/ΣΜΟΥ &
ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
30 ÊåöÜëáéï 2 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 2.1 ÅéóáãùãÞ ¼ðùò êáé óôïí IR 2, Ýôóé êáé óôïí IR 3 ìðïñïýìå íá ïñßóïõìå ìéá êáìðýëç ðáñáìåôñéêü. ÄçëáäÞ, íá Ý åé ôç ìïñöþ x = x(t), y = y(t), z = z(t), üðïõ t åßíáé
ÅíäåéêôéêÞ äñáóôçñéüôçôá
> ÅíäåéêôéêÞ äñáóôçñéüôçôá 85 ÅíäåéêôéêÞ äñáóôçñéüôçôá Ôï ðñüâëçìá ìå ôéò ðßôóåò Ìßá ðéôóáñßá öôéü íåé óôñïããõëýò ðßôóåò óå 5 äéáöïñåôéêü ìåãýèç: > áôïìéêþ ðßôóá ìå äéüìåôñï 15 cm > ðßôóá ìåóáßïõ ìåãýèïõò
Åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 00 7 Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Ç åîßóùóç áx + â = 0 áx = â (ìå á 0) (ìå á = â = 0) â Ý åé áêñéâþò ìßá ëýóç, ôç x =. á áëçèåýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x (ôáõôüôçôá
ΔΙΗΜΕΡΟ ΚΙΝΗΤΟΠΟΙΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΔΗΜΩΝ ΤΗΣ ΧΩΡΑΣ. Αναστολή λειτουργίας των δήμων στις 12 και 13 Σεπτεμβρίου 2012
ΔΙΗΜΕΡΟ ΚΙΝΗΤΟΠΟΙΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΔΗΜΩΝ ΤΗΣ ΧΩΡΑΣ Αναστολή λειτουργίας των δήμων στις 12 και 13 Σεπτεμβρίου 2012 Τετάρτη, 12 Σεπτεμβρίου, Πανελλαδική Συγκέντρωση στη Πλατεία Κλαυθμώνος, στις 11.00 π.μ. Πορεία
ÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý
ÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý Çëåêôñéêü ðåäßï.10 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí.. ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß..... öïñôßï äý åôáé......11 íá óçìåéáêü çëåêôñéêü öïñôßï äçìéïõñãåß
ÅðåéäÞ ïé äõíüìåéò F 1 êáé F 2 åßíáé ïìüññïðåò (ó Þìá) èá éó ýåé: F ïë = F 1 + F 2. ÔåëéêÜ: F ïë = 1.500Í.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ç äýíáìç áëëçëåðßäñáóçò äýï çëåêôñéêþí öïñôßùí ìðïñåß íá õðïëïãéóôåß ìå âüóç ôïí íüìï ôïõ Coulomb. Óôï ðáñüäåéãìá ìáò âñßóêåôáé ç óõíéóôáìýíç äýíáìç ðïõ åíåñãåß óôï öïñôßï q áðü äýï Üëëá öïñôßá
Κίνδυνοι στο facebook WebQuest Description Grade Level Curriculum Keywords
Κίνδυνοι στο facebook WebQuest Description: Το Facebook είναι ένας ιστοχώρος
Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
2. Ôï ðñüâëçìá ôïõ ðýôñéíïõ ìïíïðáôéïý
13 2. Ôï ðñüâëçìá ôïõ ðýôñéíïõ ìïíïðáôéïý Óýíôïìç ðåñéãñáöþ ôçò äñáóôçñéüôçôáò Ç äñáóôçñéüôçôá áõôþ äßíåé ôçí åõêáéñßá óôïõò ìáèçôýò íá áó ïëçèïýí ìå äéáäéêáóßåò ïéêïäüìçóçò ìéáò áíáäñïìéêþò ó Ýóçò, ðñïêåéìýíïõ
ΜΑΘΗΜΑ 1. Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ -
ΜΑΘΗΜΑ 1 Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑΤΩΝ- ΟΡΥΚΤΩΝ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ - ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΤΡΕΠΤΟΣ ΖΥΓΟΣ- ΕΚΚΡΕΜΕΣ
ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò
B i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí
B i o f l o n Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí Ç åôáéñåßá Aflex, ç ïðïßá éäñýèçêå ôï 1973, Þôáí ç ðñþôç ðïõ ó åäßáóå ôïí åýêáìðôï óùëþíá PTFE ãéá ôç ìåôáöïñü çìéêþí õãñþí ðñßí áðü 35 ñüíéá. Ï åëéêïåéäþò
Áíáìüñöùóç ôïõ ÐñïãñÜììáôïò Ðñïðôõ éáêþí Óðïõäþí ôïõ ÔìÞìáôïò Ìáèçìáôéêþí ôïõ
ÔÏ ÅÑÃÏ ÓÕà ÑÇÌÁÔÏÄÏÔÅÉÔÁÉ ÁÐÏ ÔÏ ÅÕÑÙÐÁÉÊÏ ÊÏÉÍÙÍÉÊÏ ÔÁÌÅÉÏ ÊÁÉ ÁÐÏ ÅÈÍÉÊÏÕÓ ÐÏÑÏÕÓ Áíáìüñöùóç ôïõ ÐñïãñÜììáôïò Ðñïðôõ éáêþí Óðïõäþí ôïõ ÔìÞìáôïò Ìáèçìáôéêþí ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Áèçíþí ìå Ýìöáóç óôçí ÐëçñïöïñéêÞ,
ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÐÅËÏÐÏÍÍÇÓÏÕ ÁÊÁÄÇÌÁÚÊÏ ÅÔÏÓ ÔÑÉÐÏËÇ
ÁÊÁÄÇÌÁÚÊÏ ÅÔÏÓ 2002-2003 ÔÑÉÐÏËÇ ÌÁÈÇÌÁ ÃÑÁÌÌÉÊÇ ÁËÃÅÂÑÁ ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÌÅÑÏÓ É ÃÉÙÑÃÏÓ ÐÁÍÏÐÏÕËÏÓ ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÏÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÃÑÁÌÌÉÊÇÓ ÁËÃÅÂÑÁÓ 1. ÐÉÍÁÊÅÓ 1. Ó åäéüóôå ôçí åéêüíá ôùí ãñáììþí ãéá ôéò äýï åîéóþóåéò,
ATHINA COURT. ÐïëõôåëÞ Äéáìåñßóìáôá
ATHINA COURT ÐïëõôåëÞ Äéáìåñßóìáôá ΣΥΓΚΡΟΤΗΜΑ ΙΑΜΕΡΙΣΜΑΤΩΝ ΑΘΗΝΑ Το συγκρότημα διαμερισμάτων AΘΗΝΑ βρίσκεται σε μια ήσυχη περιοχή στην Έγκωμη, Γωνία Γρηγόρη Αυξεντίου & Αρχιεπισκόπου Λεοντίου και αποτελείται
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 5551 ÔÅÕ ÏÓ ÔÅÔÁÑÔÏ Áñ. Öýëëïõ 647 7 Áõãïýóôïõ 2001 ÐÅÑÉÅ ÏÌÅÍÁ ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Ôñïðïðïßçóç åãêåêñéìýíïõ ó åäßïõ ðüëçò ÄÞìïõ Çñáêëåßïõ, óôçí ðïëåïäïìéêþ åíüôçôá
ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 17 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 17.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 17.1.1 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 1 Õðåíèõìßæåôáé ï ïñéóìüò ôçò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ ãéá åõêïëßá óôç
ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Âáóéêïß ïñéóìïß
ÌÜèçìá 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ôá êõñéüôåñá óôïé åßá ôùí äéáíõóìüôùí, ðïõ åßíáé áðáñáßôçôá ãéá ôçí êáôáíüçóç ôùí åðüìåíùí ìáèçìüôùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá ðëçñýóôåñç
ÌÅÑÏÓ 3 ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΤΗΣ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΠΡΑΞΗΣ ÁÐÁÉÔÇÓÅÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ. Υπηρεσίες Ιατρικής Πληροφορικής και Τηλεϊατρικής 9 ÂÁÓÉÊÅÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÅÉÓ
138 Υπηρεσίες Ιατρικής Πληροφορικής και Τηλεϊατρικής ÌÅÑÏÓ 3 ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΤΗΣ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΠΡΑΞΗΣ 9 ÂÁÓÉÊÅÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÅÉÓ 10 ÌÏÍÔÅËÏ ÁÐÏÔÉÌÇÓÇÓ ÔÙÍ ÁÐÁÉÔÇÓÅÙÍ 11 ÔÏÌÅÉÓ ÅÖÁÑÌÏÃÇÓ ÔÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ 139
ΕΝΔΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΚΑΙ ΧΕΙΡΟΥΡΓΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΙΑΣ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΓΑΣΤΡΟΟΙΣΟΦΑΓΙΚΗΣ ΣΥΜΒΟΛΗΣ Εκπαιδευτικό Σεμινάριο.
ΕΝΔΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΚΑΙ ΧΕΙΡΟΥΡΓΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΙΑΣ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΓΑΣΤΡΟΟΙΣΟΦΑΓΙΚΗΣ ΣΥΜΒΟΛΗΣ Εκπαιδευτικό Σεμινάριο Τελικό Πρόγραμμα Β Χειρουργική και Γαστρεντερολογική κλινική, Ναυτικού Νοσοκομείου
245/Á/1977). 2469/1997 (ÖÅÊ 36/Á/1997). 1484/Â/ ).
ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ F 661 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 72 28 Éáíïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. Ä14/48529 ãêñéóç Ôéìïëïãßïõ Åñãáóôçñéáêþí êáé åðß Ôüðïõ Äïêéìþí ôïõ ÊÅÄÅ. OI ÕÐÏÕÑÃÏÉ
8. ÁÂÅÂÁÉÏÔÇÔÁ (ÓÖÁËÌÁ) ÌÅÔÑÇÓÇÓ. 7.5 ÌéêñïûðïëïãéóôÞò óå óõíäõáóìü ìå öùôïðýëåò. Åñãáóôçñéáêüò ïäçãüò
Åñãáóôçñéáêüò ïäçãüò 31 7.5 ÌéêñïûðïëïãéóôÞò óå óõíäõáóìü ìå öùôïðýëåò Óôç äéüôáîç ôçò åéêüíáò 7.5.1 ï ìéêñïûðïëïãéóôþò ìðïñåß íá ìåôñþóåé ôï ñïíéêü äéüóôçìá ðïõ ñåéüæåôáé ãéá íá äéáíýóåé ôï áìáîßäéï ôçí
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Προσέγγιση παραγώγων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
6936 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 6935 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 432 17 Áðñéëßïõ 2001 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 91496 Áíþôáôá ¼ñéá ÕðïëåéììÜôùí, MRLs, Öõôïðñïóôáôåõôéêþí Ðñïúüíôùí åðß êáé åíôüò
ÖÅÊ 816 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) ÏÄÇÃÉÅÓ ÐÁ ÔÇ ÓÕÌÐËÇÑÙÓÇ ÔÇÓ ÁÉÔÇÓÇÓ ÅÃÊÅÊÑÉÌÅÍÏÕ ÁÐÏÈÇÊÅÕÔÇ Ï ÇÌÁÔÙÍ 1. ÇÌÅÑÏÌÇÍÉÁ: ÁíáãñÜöåô
11544 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) ÖÅÊ 816 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) 11545 ÏÄÇÃÉÅÓ ÐÁ ÔÇ ÓÕÌÐËÇÑÙÓÇ ÔÇÓ ÁÉÔÇÓÇÓ ÅÃÊÅÊÑÉÌÅÍÏÕ ÁÐÏÈÇÊÅÕÔÇ Ï ÇÌÁÔÙÍ 1. ÇÌÅÑÏÌÇÍÉÁ: ÁíáãñÜöåôáé
Union of Pure and Applied Chemistry).
.5 Ç ãëþóóá ôçò çìåßáò Ãñáö çìéêþí ôýðùí êáé åéóáãùã óôçí ïíïìáôïëïãßá ôùí áíüñãáíùí åíþóåùí..5.1 ÃåíéêÜ. Ç çìåßá Ý åé ôç äéê ôçò äéåèí ãëþóóá, ç ïðïßá êáèïñßæåôáé áðü êáíüíåò ðïõ Ý ïõí ðñïôáèåß êáé ðñïôåßíïíôáé
ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ
ÌÜèçìá 9 ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ 9. ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá 9.. ÅéóáãùãÞ Ãéá ôçí êáëýôåñç êáôáíüçóç ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ìéáò óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí, äçëáäþ ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò, êñßíåôáé áðáñáßôçôï
ÈÅÌÁ ÌÅËÅÔÇ ÖÙÔÉÓÌÏÕ ÌÉÊÑÏÕ ÂÉÏÔÅ ÍÉÊÏÕ ÙÑÏÕ ÌÅ ÔÇ ÑÇÓÇÇ/Õ
31 ÈÅÌÁ ÌÅËÅÔÇ ÖÙÔÉÓÌÏÕ ÌÉÊÑÏÕ ÂÉÏÔÅ ÍÉÊÏÕ ÙÑÏÕ ÌÅ ÔÇ ÑÇÓÇÇ/Õ Äéäáêôéêïß Óôü ïé Ç áðüêôçóç éêáíüôçôáò: á. Óôçí åêðüíçóç öùôïôå íéêþò ìåëýôçò ìå ôç ñþóç Ç/Õ ãéá óõãêåêñéìýíï þñï â. Óôïí õðïëïãéóôéêü Ýëåã
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 11: Προσέγγιση μερικών διαφορικών εξισώσεων - Παραβολικές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Åõèýãñáììç êßíçóç. 1.1 Åõèýãñáììç êßíçóç
33 c m y k Åõèýãñáììç êßíçóç 33 1.1 Åõèýãñáììç êßíçóç c m y k 34 34 Åõèýãñáììç êßíçóç Ðþò èá ìðïñïýóå íá ðåñéãñáöåß ç êßíçóç åíüò áãùíéóôéêïý áõôïêéíþôïõ; Ðüóï ãñþãïñá êéíåßôáé ç ìðüëá ðïõ êëþôóçóå Ýíáò
6 s(s 1)(s 3) = A s + B. 3. Íá âñåèåß ï ìåô/ìüò Laplace ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Çëåêôñïëïãßáò ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 22/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. (i Õðïëïãßóôå ôçí óåéñü Fourier S f (x ôçò óõíáñôþóåùò (18 ìïí. { ; < x f(x
ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé óôéò ðáñáêüôù êõñßùò ðåñéðôþóåéò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ìéáò óõíüñôçóçò åßíáé áäýíáôïò
4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò
4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò Óôéò áóêþóåéò ìå åðßäñáóç óôç èýóç ìéáò éóïññïðßáò ãßíåôáé áíáöïñü óå ðåñéóóüôåñåò áðü ìßá èýóåéò éóïññïðßáò. Ïé èýóåéò éóïññïðßáò åßíáé äéáäï
ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ
ÌÜèçìá 3 ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ 3.1 ÅéóáãùãÞ Åßíáé ãíùóôü üôé óôá äéüöïñá ðñïâëþìáôá ôùí åöáñìïãþí ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ðáñïõóéüæïíôáé óõíáñôþóåéò ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ðïëýðëïêïõò ôýðïõò, äçëáäþ ôýðïõò
Êáëþò Þëèáôå. Ïäçãüò ãñþãïñçò Ýíáñîçò. ÓõíäÝóôå. ÅãêáôáóôÞóôå. Áðïëáýóôå
Êáëþò Þëèáôå Ïäçãüò ãñþãïñçò Ýíáñîçò ÓõíäÝóôå ÅãêáôáóôÞóôå Áðïëáýóôå Ôé õðüñ åé óôç óõóêåõáóßá Áêïõóôéêü DECT 122 Óôáèìüò âüóçò DECT 122 ÌïíÜäá çëåêôñéêþò ôñïöïäïóßáò Ôçëåöùíéêü êáëþäéï Åðáíáöïñôéæüìåíåò
ÈÅÌÁ 1ï. ÈÅÌÁ 2ï. ÈÅÌÁ 3ï. Óåë. 1 ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Â ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ:
ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Â ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ: Çì/íßá: ÈÅÌÁ 1ï Äýï áõôïêßíçôá Á êáé Â êéíïýíôáé ìå ìýóåò ôá ýôçôåò 60km/h êáé 90km/h êáé äéáíýïõí
ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 1 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 11 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 111 Ïñéóìïß Êñßíåôáé áñ éêü áðáñáßôçôï íá ãßíåé óôïí áíáãíþóôç õðåíèýìéóç ôùí ðáñáêüôù âáóéêþí ìáèçìáôéêþí åííïéþí: Ïñéóìüò 111-1 (åîßóùóçò) ËÝãåôáé