Sketchpad. Function probe.
|
|
|
- Ωρίων Κουρμούλης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 H ìýôñçóç óôçí ðéóßíá Óýíôïìç ðåñéãñáöþ ôçò äñáóôçñéüôçôáò Ç ìýôñçóç óôçí ðéóßíá åßíáé ìßá äñáóôçñéüôçôá ìýóù ôçò ïð ïßáò ïé ìáèçôýò èá áíáêáëýøïõí ôï íüìï ôùí çìéôüíùí. Áõôü èá ãßíåé êáèþò èá ðñïóðáèïýí íá åîçãþóïõí ã éá ðïéï ëüãï, áí ãíùñßæïõìå ôçí áêôßíá åíüò êýêëïõ êáé ôç ãùíßá ù ìå ôçí ïðïßá öáßíåôáé ìßá ïñäþ ÁÂ áðü êüðïéï óçìåßï Ó ôïõ êýêëïõ, ìðïñïýìå íá õðïëïãßóïõìå ôï ìþêïò ôçò ïñäþò. Ïé ìáèçôýò èá êáôáóêåõüóïõí Ýíá ãåùìåôñéêü ìïíôýëï ôïõ ðñ ïâëþìáôïò ìå ôç âïþèåéá ôïõ Sketchpad êáé èá ðüñïõí ìåôñþóåéò ôçò ãùíßáò êáé ôçò ïñä Þò. Ó ù Á Ïé ìåôñþóåéò, óôç óõíý åéá, èá ðåñáóôïýí óôïí ðßíáêá ôéìþí ôïõ Function Probe êáé Â áðü åêåß óôï ãñüöçìá. Ôá óçìåßá óôïõò Üîïíåò äçìéïõñãïýí ô ç äéáßóèçóç üôé ç ó Ýóç åßíáé çìéôïíïåéäþò êáé üôé ôï ìýãéóôï ôùí ôéìþí ôçò ó åôß æåôáé ìå ôç äéüìåôñï ôïõ êýêëïõ. Ç åðáëþèåõóç ôçò ó Ýóçò èá ãßíåé ìýóù ôçò ãñáöéêþò ðáñüóôáóçò ôçò óõíüñôçóçò y = çìx, ç ïðïßá, ìå ôá êáôüëëçëá åñãáëåßá ôïõ ëïãéóìéêïý, èá ðñïóáñìïóôåß ðüíù ó ôá óçìåßá ðïõ åß áí ðñïêýøåé áðü ôéò ìåôñþóåéò. íôáîç äñáóôçñéüôçôáò óôï áíáëõôéêü ðñüãñáììá ÔÜîç: Â ËÕÊÅÉÏÕ. Ãíùóôéêü áíôéêåßìåíï: Ôñéãùíïìåôñßá. Åðßëõóç ôñéãþíïõ (íüìïò çìéôüíùí). ÄéäáêôéêÞ åíüôçôá: Ðáñ Eñãáëåßá ëïãéóìéêïý: Sketchpad. Function probe. Åêôéìþìåíïò ñüíïò äéäáóêáëßáò 2 äéäáêôéêýò þñåò. Äéäáêôéêïß óôü ïé 1. Íá áíáãíùñßæïõí ôçí ýðáñîç êüðïéáò çìéôïíïåéäïýò ó Ýóçò ôüóï óôéò ìåôñþóåéò üóï êáé óôá óçìåßá ôá ïðïßá ðñïêýðôïõí áðü ôéò ìåôñþóåéò áõôýò. 2. Íá äéáôõðþíïõí óå áõóôçñü ìáèçìáôéêþ ãëþóóá ôïí êáíüíá ôïí ïðïßï Ý ïõí áíáêáëýøåé. 3. Íá äéáðéóôþóïõí üôé ï íüìïò ôùí çìéôüíùí ìüò åðéôñýðåé íá õðïëïãßæïõìå áðïóôüóåéò óçìåßùí óôá ïðïßá äåí ìðïñïýìå íá Ý ïõìå Üìåóç ðñüóâáóç. 72
2 Ï Íßêïò êáé ï ÁíôñÝáò åßíáé äýï ößëïé ïé ïðïßïé èýëïõí íá Í ìåôñþóïõí ôçí áðüóôáóç ìåôáîý ôùí äýï ìéêñþí ðáóóüëùí  êáé Ã. Ôï ðñüâëçìá åßíáé üôé äåí õðüñ åé ðñüóâáóç þóôå  íá ìåôñþóïõí áðåõèåßáò ôçí áðüóôáóç, áöïý ïé ðüóóáëïé âñßóêïíôáé ðüíù óôçí ðåñéöýñåéá ìéáò ãåìüôçò íåñü êõêëéêþò ðéóßíáò áêôßíáò 5 ìýôñùí (åéêüíá 1). Á Ï ÁíôñÝáò äéáèýôåé Ýíá ãùíéüìåôñï, Ýíá üñãáíï äçëáäþ ìå ôï ïðïßï ìðïñïýìå íá ìåôñþóïõìå ôç ãùíßá ÂÁÃ. Óôïõò äýï à ößëïõò, ï ìáèçìáôéêüò ôïõ ó ïëåßïõ Ý åé ðåé üôé ìå ôï ãùíéüìåôñï Ý ïõí ôç äõíáôüôçôá íá õðïëïãßóïõí ôçí áðüóôáóç äýï áíôéêåéìýíùí, ðïõ âñßóêïíôáé óôçí ðåñéöýñåéá åíüò êýêëïõ, áñêåß íá åßíáé ãíùóôþ ç áêôßíá ôïõ êýêëïõ. Åéêüíá 1. Ï óôü ïò ìáò åßíáé íá âñïýìå ôïí ôñüðï ìå ôïí ïðïßï åßíáé äõ íáôüí íá õðïëïãßóïõìå ôçí áðüóôáóç áõôþ ìå ôç âïþèåéá ôïõ ãùíéïìýôñïõ, ãíùñßæïíôáò ôçí áêôßíá ôïõ êýêëïõ. Èá åñãáóôïýìå óôçí áñ Þ ìå ôï Sketchpad. 1 Íá êáôáóêåõüóåôå Ýíá ãåùìåôñéêü ó Þìá ôï ïðïßï èá áíáðáñé óôü ôá äéüöïñá ãåùìåôñéêü óôïé åßá ôïõ ðñïâëþìáôïò (ãùíßåò, óçìåßá, åõèýãñáììá ôìþìáôá) ùò åîþò: Íá êáôáóêåõüóåôå óçìåßï óôçí ïèüíç êáé áðü ôï ìåíïý Ìåôáó çìáôé óìüò ìýóù ôçò åíôïëþò ÌåôáöïñÜ íá ìåôáöýñåôå ïñéæüíôéá ôï óçìåßï êáôü 5 åêáôï óôü. Ôþñá õðüñ ïõí äýï óçìåßá, íá åðéëýîåôå êáé ôá äýï, êáé áðü ôï ìåíïý ÊáôáóêåõÞ íá åðé ëýîåôå ôçí êáôáóêåõþ êýêëïõ. ÐÜíù óôïí êýêëï íá êáôáóêåõüóåôå ôñßá óçìåßá Á, Â, à êá é íá ôá åíþóåôå. 2 Ôþñá èá ðñýðåé íá ìåëåôþóïõìå ôïí ôñüðï ìå ôïí ïðïßï ìåôáâ Üëëåôáé ìéá ðëåõñü üôáí ìåôáâüëïõìå ôçí áðýíáíôé ãùíßá. Ðñéí áñ ßóïõìå ôéò ìåôñþó åéò, êáëü èá åßíáé áðü ôï ìåíïý ÐñïâïëÞ êáé ìýóù ôçò åíôïëþò ÐñïôéìÞóåéò íá åðéëý îïõìå ìïíüäá ìýôñçóçò ôùí ãùíéþí ôá áêôßíéá. ÅðéëÝãïõìå ôá óçìåßá Â, Á, à Ýíá ðñïò Ýíá (êñáôþíôáò ðáôçìýíï ôï shift) êáé áðü ôï ìåíïý ÌÝôñçóç åðéëýãïõìå Ãùíßá. Óôç óõíý åéá åðéëýãïõìå ôá óçìåßá Â, à êáé áðü ôï ßäéï ìåíïý åðéëýãïõìå ÌÞêïò. Ôþñá õðüñ ïõí ïé ìåôñþóåéò ìéáò ãùíßáò êáé ôçò áðýíáíôé ðëåõñüò ôçò óôçí ïèüíç. Ôï ëïãéóìéêü Ý åé ôç äõíáôüôçôá íá êáôáãñüöåé ôá æåýãç ôùí ìåôñþóåùí êáé íá ôá åìöáíßæåé óôçí ïèüíç áðü ôï ìåíïý ÌÝôñçóç êáé ìýóù ôçò åíôïëþò Ðéíáêïðïßçóç áñêåß ìåôü áðü êüèå ìåôáêßíçóç ôïõ Åéêüíá 2.  íá êüíïõìå äéðëü «êëéê» óôçí ôåëåõôáßá åããñáöþ ôïõ ðßíáêá (åéêüíá 2). Íá ðüñåôå áñêåôýò ìåôñþóåéò, ð
3 3 Ôá æåýãç ôéìþí èá ðñýðåé íá ðåñáóôïýí óôïí ðßíáêá ôéìþí ôï õ Function Probe êáé óôç óõíý åéá óôïõò Üîïíåò ôïõ ðßíáêá ÃñÜöçìá. Íá åðéëýîåôå êáôüëëçëç êëßìáêá, ìå âüóç ôç ìýãéóôç êáé ôçí åëü éóôç ôéìþ êüèå ìåôáâëçôþò, áðü ôï ìåíïý Ðßíáêáò. Íá ìåôáöýñåôå ôá æåýãç ôéìþí óô ïõò Üîïíåò. ÕðÜñ åé êüðïéá ìáèçìáôéêþ ó Ýóç ìåôáîý ãùíßáò êáé áðýíáíôé ðëåõñüò ôïõ ô ñéãþíïõ ÁÂÃ; 4 Íá ðáñáôçñþóåôå ôï óçìåßï óôï ïðïßï ðáñïõóéüæåôáé ìýãéóô ï. Ðïéá åßíáé ç ìýãéóôç ôéìþ; Ðïéá ãùíßá (óå ìïßñåò) áíôéóôïé åß óôï óçìåßï áõôü; Ðïéá óõ íüñôçóç ðáñïõóéüæåé óôï ßäéï óçìåßï ìýãéóôç ôéìþ; 5 Óôï ðñïçãïýìåíï åñþôçìá, Ý åôå êüíåé ìéá åéêáóßá ãéá ôï ðï éá ó Ýóç óõíäýåé ôç ãùíßá ìå ôçí áðýíáíôé ðëåõñü. Íá åðéâåâáéþóåôå ôçí åéêáóßá óáò ì å ôç âïþèåéá ôïõ ëïãéóìéêïý. 6 ÔåëéêÜ, ðïéá ó Ýóç óõíäýåé ìéá ãùíßá, ôçí áðýíáíôé ðëåõñü ê áé ôçí áêôßíá ôïõ ðåñéãåãñáììýíïõ êýêëïõ åíüò ôñéãþíïõ; Íá äéáôõðþóåôå Ýíáí êáíüí á óå áõóôçñü ìáèçìáôéêþ äéáôýðùóç. ÔåëéêÜ, ðþò èá ãßíåé ç ìýôñçóç ôçò áðüóôáóçò Âà ì å ôç âïþèåéá ôïõ ãùíéïìýôñïõ; 74
4 Oäçãßåò ãéá ôïí åêðáéäåõôéêü Ïé ìáèçôýò èá ðñýðåé íá ãíùñßæïõí ôéò ôñéãùíïìåôñéêýò óõí áñôþóåéò êáé ôéò ãñáöéêýò ôïõò ðáñáóôüóåéò, éäéáßôåñá ôç óõíüñôçóç f(x) = çìx. Áêüìç, èá ðñýðåé íá ãíùñßæïõí üôé åããåãñáììýíåò ãùíßåò ðïõ âáßíïõí óå ßóá ôüîá åßíáé ßóåò. I. Óôçí áñ Þ ôçò äñáóôçñéüôçôáò, ï äéäüóêùí óõæçôü ìå ôïõò ìá èçôýò ãéá ôï ðþò ìðïñïýìå íá ìåôñþóïõìå áðïóôüóåéò, éäéáßôå ñá ôï  ýøïò åíüò áðïìáêñõóìýíïõ áíôéêåéìýíïõ, ìå ôç âïþèåéá ôïõ ãùíéïìýôñïõ. ÓõãêåêñéìÝíá, ôïõò åîçãåß üôé, áí Ýíáò ðáñáôçñç ôþò âñßóêåôáé óôï óçìåßï à êáé ãíùñßæåé ôçí áðüóôáóç ÁÃ, ôüôå ì ðïñåß Á à íá ìåôñþóåé ìå ôï ãùíéüìåôñï ôç ãùíßá à êáé, êüíïíôáò ñþóç ôçò Åéêüíá 3. ôñéãùíïìåôñéêþò åöáðôïìýíçò, íá õðïëïãßóåé ôï ýøïò ÁB (åéê üíá 3). ÌÝóù ôçò óõæþôçóçò áõôþò, ïé ìáèçôýò èá áíáêáëýóïõí ôéò ãí þóåéò ôïõò ãéá ôç ñþóç ôçò ôñéãùíïìåôñßáò óôç ìýôñçóç ðëåõñþí ôñéãþíùí. Óôç óõíý åéá, êáôáó êåõüæïõí ôï ó Þìá ìå ôï ïðïßï èá ãßíåé ç äéåñåýíçóç óôï Sketchpad. II. Óôéò åñùôþóåéò 2 êáé 3, äßíåôáé ç ðëçñïöïñßá óôïõò ìáèçôýò ü ôé óôï Function Probe ç ãùíßá èá ðñýðåé íá Ý åé ìåôñçèåß óå áêôßíéá êáé óôç óõíý åéá ïé ìáèçôýò ðå ñíïýí ôéò ìåôñþóåéò óôïí ðßíáêá ôéìþí ôïõ Function Probe. Åäþ êáëü èá åßíáé ï äéäüóêùí íá ðáñáêéíþóåé ôïõò ìáèç ôýò íá ðüñïõí ìåôñþóåéò êáé ãéá ðáñáðëçñùìáôéêýò ãùíßåò ð.. 1,046 (60 ) êáé 2,09 (120 ), þóôå íá åìöá íéóôïýí ôá óçìåßá áõôü óõììåôñéêü óôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç êáé íá áðïôåëïýí ìéá ðñü óèåôç Ýíäåéîç ãéá ôï ðïéá ìïñöþ Ý åé ç æçôïýìåíç ó Ýóç. Ðñéí ìåôáöýñïõí ïé ìáèçôýò ôéò ôéìýò áðü ôïí ðßíáêá óôï ãñ Üöçìá, êáôáóêåõüæïõí êáôüëëçëç êëßìáêá. Ç êëßìáêá åðéëýãåôáé ìýóù ôçò åíôïëþò ÁëëáãÞ êëßìáêá ò áðü ôï ìåíïý ÃñÜöçìá (åéêüíá 4). Ç êëßìáêá, óôç óõíý åéá, êáëü èá åßíáé íá áðïèçêåõôåß ìå êüðï éï üíïìá. Ç åðéëïãþ êáôüëëçëçò êëßìáêáò åßíáé ìéá äéáäéêáóßá ôçí ïð ïßá åöáñìüæïõí óõíþèùò ìç áíéêü ïé ìáèçôýò, üôáí ãéá ðáñüäåéãìá èýëïõí íá óõó åôßóïõí ñüíï ìå ñ Þìáôá êáé ôá ñçìáôéêü ðïóü áíýñ ïíôáé óå åêáôïììýñéá. Ôï ëïãéóìéêü äßíåé ôç äõíáôüôçôá óõíåéäçô Ü ðëýïí ï ìáèçôþò íá åðéëýãåé ôçí êáôüëëçëç êëßìáêá þóôå íá ìðïñåß íá ìåôáöýñåé ôéò ìåôñþóåéò ôï õ óå Ýíá þñï ôïí ïðïßï ìðïñåß íá åëýã åé êáëýôåñá. Êáëü èá åßíáé ïé Üîïíåò íá åßíáé ùñéóìýíïé óå ßóï áñéèìü ìïíüäùí þóôå ôï êáñôåóéáíü åðßðåäï íá åßíáé ùñéóìýíï óå ôåôñüãùíá. Åéêüíá 4. 75
5 ÔÝëïò, ïé ìáèçôýò áðïóôýëëïõí ôá æåýãç ôéìþí áðü ôïí ðßíáêá ôéìþí óôï ãñüöçìá ìýóù ôçò åíôïëþò Óçìåßá óå ãñüöçìá áðü ôï ìåíïý ÁðïóôïëÞ ôïõ ðßíáêá ôéìþí. Ï ôñüðïò ìå ôïí ïðïßï Ý ïõí ðáñïõóéáóôåß ôá óçìåßá óôïõò Üîïíåò äåß íåé üôé ç ó Ýóç äåí åßíáé ôõ- áßá êáé ðñïåôïéìüæåé ãéá ôï åðüìåíï åñþôçìá (åéêüíá 5). Åéêüíá 5. III. Óôçí åñþôçóç 4, ï äéäüóêùí Ý åé ôçí åõêáéñßá íá åìðëýîåé ôïõ ò ìáèçôýò óå ìéá ðïëý óçìáíôéêþ óõæþôçóç, ç ïðïßá áöïñü óôá áñáêôçñéóôéêü ôïõ ãñáöþìáôïò. ¹äç, óôçí áñ Þ, Ý åé ãßíåé áíáöïñü ãéá ñþóç ôçò ôñéãùíïìåô ñßáò óå ðñïâëþìáôá ìåôñþóåùí. Aí áõôü óõíäõáóôåß ìå ôï ãåãïíüò üôé ôï ìýãéóôï ðáñïõóéüæåôáé ðåñ ßðïõ óôéò 90 êáé áí õðüñ ïõí ìåôñþóåéò ðáñáðëçñùìáôéêþí ãùíéþí ïé ïðïßåò èá äßíïõí ßäéï áðïôýëå óìá, ôüôå ïé ìáèçôýò èá ìðïñýóïõí íá áíôéëçöèïýí üôé ßóùò ôá óçìåßá âñßóêïíôáé ðüíù óå ìéá çìé ôïíïåéäþ êáìðýëç. Ïé ìáèçôýò Ý ïõí ôþñá íá åëýãîïõí áí ôá óçìåßá ðñüãìáôé âñ ßóêïíôáé ðüíù óå ìéá çìéôïíïåéäþ êáìðýëç êáé ðïéá åßíáé áõôþ. IV. Óôïí ßäéï þñï åñãáóßáò, ïé ìáèçôýò êáôáóêåõüæïõí ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y = çìx. Ðñïöáíþò ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç äåí ðåñíü áðü ôá óçìåßá êáé ï é ìáèçôýò èá ðñýðåé íá ðñïóáñìüóïõí ôçí êáìðýëç þóôå íá åëýãîïõí áí åßíáé äõíáôüí íá ðåñüóåé. Ç ðñïóáñìïãþ èá ãßíåé ìå ôç âïþèåéá ôïõ åñãáëåßïõ åëáóôé êüò åéñéóìüò, ôï ïðïßï ãéá íá åíåñãïðïéçèåß èá ðñýðåé íá åßíáé åðéëåãìýíç ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç (åé êüíá 6). Åéêüíá 6. 76
6 Áí áíõøþóïõìå ôçí êïñõöþ ôçò ãñáöéêþò ðáñüóôáóçò, ôüôå, áöåíüò, ç êáìðýëç ðñïóáñìüæåôáé ðüíù óôá óçìåßá êáé, áöåôýñïõ, ôï ëïãéóìéêü ìüò ðëçñïöïñåß üôé ç íýá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç áíôéóôïé åß óôç ó Ýóç y = 10çìx (åéêüíá 7). Åéêüíá 7. Ç ðñïóáñìïãþ ìéáò ãíùóôþò êáìðýëçò ðüíù óå Ýíá óýíïëï óçì åßùí áðïôåëåß ìéá óçìáíôéêþ äñáóôçñéüôçôá êáé ï äéäüóêùí Ý åé åäþ ôçí åõêáéñßá íá åðéóçìüíå é óôïõò ìáèçôýò üôé ïé åðéóôþìïíåò ñçóéìïðïéïýí óõ íü ðáñüìïéåò ìåèüäïõò üôáí èýëïõí íá ìåëåôþó ïõí ôçí åîýëéîç åíüò öáéíïìýíïõ. V. Ïé ìáèçôýò Ý ïõí ðëýïí ôç äõíáôüôçôá íá ìåôáôñýøïõí ôç óõ íáñôçóéáêþ ó Ýóç: y = 10çìx óå Âà = 2ñçìÁ êáé íá äéáôõðþóïõí ôï íüìï ôùí çìéôüíùí. Åäþ èá ðñýðåé íá óçìåéùèåß üôé ç ðñïóýããéóç ôïõ íüìïõ ôùí ç ìéôüíùí Þôáí åìðåéñéêþ, áöïý ïõóéáóôéêü ðñáãìáôïðïéþèçêå ìýóù ìåôñþóåùí. Ç ãåíéêþ áðüäåéîç åßí áé áõôþ ðïõ èá êáôáóôþóåé Ýãêõñï ôï íüìï ôùí çìéôüíùí. 77
7 Ï êáèçãçôþò ôùí ìáèçìáôéêþí óå Ýíá Ëýêåéï Ýäùóå óôïõò ìáè çôýò ôçò Â Ëõêåßïõ ôï ðáñáêüôù ðñüâëçìá. Äõï ïìüêåíôñïé êýêëïé Ý ïõí áêôßíåò 3 êáé 1 áíôßóôïé á. Ôï óçìåßï Á åßíáé óôáèåñü ðüíù óôï ìåãüëï êýêëï åíþ ôï Ì êéíåß - ôáé. Ç ÏÌ ôýìíåé ôï ìéêñü êýêëï óôï Â. Áðü ôá óçìåßá Ì, Â öýñíïõìå êüèåôåò ðüíù óôçí ÏÁ, ïðüôå ïñßæïíôáé ôá ôìþìáôá ÏÆ êáé ÌÄ. Ðüóç ðñýðåé íá åßíáé ç ãùíßá ÌÏÁ þóôå ç äéáöïñü ÌÄ ÏÆ íá åßíáé ßóç ìå 1/2; Åñþôçóç 1ç (2 ìïíüäåò) Íá äåßîåôå üôé ÌÄ ÏÆ= 3çìx óõíx, üðïõ x ç ãùíßá ÌÏÁ. Åñþôçóç 2ç (5 ìïíüäåò) Íá êáôáóêåõüóåôå Ýíáí ðßíáêá ôéìþí ôçò f(x) = 3çìx óõíx ãéá 50 ôéìýò (óå áêôßíéá) ôçò ãùíßáò x. Ðïéá åßíáé ç ìýãéóôç êáé ðïéá ç åëü éóôç ôéìþ ôçò óõíüñôçóçò; Åñþôçóç 3ç (4 ìïíüäåò) Íá ðåñüóåôå ôá óçìåßá óôïõò Üîïíåò. Ôé ðáñáôçñåßôå áðü ôç ä éüôáîç ôùí óçìåßùí; Åñþôçóç 4ç (7 ìïíüäåò) Íá âñåßôå ìéá óõíüñôçóç ç ïðïßá ðåñíü áðü üëá ôá óçìåßá. Åñþôçóç 5ç (2 ìïíüäåò) Ìå âüóç ôçí áðüíôçóç óôçí åñþôçóç 4, íá äþóåôå ìéá ëýóç óôï á ñ éêü ðñüâëçìá. 78
8 ÁðáíôÞóåéò óôï öýëëï áîéïëüãçóçò E 1 ) Óôï ôñßãùíï ÌÏÄ éó ýåé ÌÄ = ÏÌ çìx = 3çìx. Óôï ôñßãùíï ÂÏÆ éó ýåé ÏÆ = ÏÂ óõíx = 1 óõíx. ñá ÌÄ ÏÆ = 3çìx óõíx. E 2 ) Ç ðñþôç óôþëç èá óõìðëçñùèåß ìå ôçí åíôïëþ ÃÝìéóìá áðü 0 ì Ý ñé 6,28 (2ð) êáé ç äåýôåñç ìå âüóç ôïí ôýðï ôçò óõíüñôçóçò. Ï áñéèìüò 2 öáßíåôáé íá åßíáé ôï ìý ãéóôï êáé ï áñéèìüò 2 åßíáé ôï åëü éóôï. E 3 ) Ç äéüôáîç ôùí óçìåßùí õðïäåéêíýåé çìéôïíïåéäþ óõíüñôçóç ìå ìýãéóôï ôï 2. E 4 ) ÊáôáóêåõÜæïõìå ôç óõíüñôçóç y = 2çìx êáé ôç ìåôáöýñïõìå äåîéü êáôü 0,52 áêôßíéá (ð/6), ïðüôå ðåñíü áðü üëá ôá óçìåßá. Ç æçôïýìåíç óõíüñôçóç åßíáé g(x) = 2çì(x ð 6 ). E 5 ) Ç ëýóç óôï áñ éêü ðñüâëçìá ðñïêýðôåé áðü ôç ëýóç ôçò åîßóùóçò 2çì(x ð ) = 1/2 äçëáäþ çì(x 6 ð ) =1/4. Åäþ èá ðñýðåé ç åðßëõóç íá ãßíåé ìýóù ôçò ãñáöéêþò ðáñüóôáóçò áöïý áëãåâñéêü êüôé ôýôïéï 6 åßíáé áäýíáôï. Ïé ìáèçôýò êáôáóêåõüæïõí ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y = çì(x ð 6 ) êáé, ìå ôç ñþóç ôïõ åñãáëåßïõ åíôïðéóìïý ôùí óõíôåôáãìýíùí åíüò óçìåßïõ ôçò ãñáöéêþò ðáñüóôáóçò, âñßóêïõí ôï æåýãïò ìå ôåôáãìýíç 1/4 ( x = 0.65 áêôßíéá). Óçìåßùóç: Åßíáé ñþóéìï ï äéäüóêùí íá Ý åé åíçìåñþóåé ôïõò ìáèçôýò ãéá ôç äõíáôüôçôá ôïõ ëïãéóìéêïý íá åíôïðßæåé ôéò óõíôåôáãìýíåò åíüò óçìåßïõ ìå ôï áíôßóôïé ï åñãáëåßï. 79
16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.
55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð
( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
. Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò
2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr
2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé
å) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé
¼ôáí Ýíáò ðáßêôçò ôïõ ìðüóêåô åðé åéñåß óïõô, ôüôå ç ôñï é Ü ôçò ìðüëáò åßíáé ðåñßðïõ ç áêüëïõèç: ÊÜèå óþìá, ôï ïðïßï åêôïîåýåôáé ðëüãéá ìå êüðïéá äýí
ÌåëÝôç ôçò óõíüñôçóçò f(x) = áx 2 +âx+ã Óýíôïìç ðåñéãñáöþ ôçò äñáóôçñéüôçôáò Ç ìåëýôç ôçò óõíüñôçóçò f(x) = áx 2 + â + ã åßíáé ìéá äñáóôçñéüôçôá ìýóù ôçò ïðïßáò ïé ìáèçôýò èá ìåëåôþóïõí ôç âáóéêþ éäéüôçôá
16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò
62 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò Óýíôïìç ðåñéãñáöþ ôçò äñáóôçñéüôçôáò Óôç äñáóôçñéüôçôá áõôþ êáëïýíôáé ïé ìáèçôýò íá ìåëåôþóïõí ôéò óõíáñôþóåéò çìßôïíï (y=çìx) êáé
ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)
44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá
Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò
50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé
Y y= if x<=0 then 0 else if x<24 then 10xe^(-(x/10)) else 0 Y y= if x<=0 then 0 else if x<24 then (10-x)e^(-(x/10)) else 0
Ôá ñïìðüô Óýíôïìç ðåñéãñáöþ ôçò äñáóôçñéüôçôáò Ôá ñïìðüô åßíáé Ýíá ðñüâëçìá ìýóù ôïõ ïðïßïõ ïé ìáèçôýò èá ìåëåôþóïõí ôç óõìðåñéöïñü ìéáò óõíüñôçóçò, ç ïðïßá åêöñüæåé ôï çìåñþóéï êýñäïò ìéáò åðé åßñçóçò
3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ
.1 Ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò 55.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò Åñþ ôçóç 1 Ôé ëýãåôáé óõíüñôçóç; ÁðÜíôçóç Ç ó Ýóç åêåßíç ðïõ êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá ìüíï ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò y ëýãåôáé
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...
1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá
Ó ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X
V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò
Ï ÁíäñÝáò, ï Âáóßëçò êáé ï Ãéþñãïò åßíáé ôñåéò ößëïé óôïõò ï ðïßïõò, åêôüò áðü ôçí ðïäçëáóßá, áñýóåé êáé ç áêñßâåéá. ÊÜèå ÊõñéáêÞ îåêéíïýí ìå ôá ðïäþë
Ïé ðïäçëüôåò Óýíôïìç ðåñéãñáöþ ôçò äñáóôçñéüôçôáò Ïé ðïäçëüôåò åßíáé Ýíá ðñüâëçìá óôï ïðïßï äßíåôáé ç åõêáé ñßá óôïõò ìáèçôýò íá óõíäýóïõí ôï óõíôåëåóôþ äéåýèõíóçò ìéáò åõèåßáò ìå Ýíá öõóéêü ìýãåèïò (ôá
ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ
66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ
10. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç
0. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ 0. Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ÊáôÜ ôç ìåëýôç åíüò öáéíïìýíïõ óôï åñãáóôþñéï êáôáãñüöïõìå ôá áðïôåëýóìáôá ôùí ðáñáôçñþóåùí êáé ôùí ìåôñþóåþí ìáò óå ðßíáêåò. Ïé ðßíáêåò
ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ
28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)
ÅÍÏÔÇÔÁ 6ç ÑÏÍÏÓ-ÄÉÁÄÏ Ç
Ενότητα 6 Μάθημα 45 Πρώτος-τελευταίος 1. Íá êáôáíïþóïõí ôéò Ýííïéåò ðñþôïò êáé ôåëåõôáßïò. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôï ñüíï êáé ôç äéáäï Þ ãåãïíüôùí. 1. Íá áêïýóïõí ôï ðáñáìýèé
Συντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
ÅÍÏÔÇÔÁ 5ç ÔÁ Ó ÇÌÁÔÁ
Ενότητα 5 Μάθημα 38 Ο κύκλος 1. Ná êáôáíïþóïõí ôçí Ýííïéá ôïõ êýêëïõ. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôïí êýêëï. 1. Íá ðáßîïõí êáé íá ôñáãïõäþóïõí ôï «Ãýñù-ãýñù üëïé» êáé «To ìáíôçëüêé».
ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ
55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,
Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá...
ÇËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá....1 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí þñï ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß Ýíá çëåêôñéêü öïñôßï èá äå èåß äýíáìç. Ãéá íá åîåôüóïõìå áí óå êüðïéï
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò
ÏìÜäá Å: ëëåò ÓõíáñôÞóåéò
70 ÏìÜäá Å: ëëåò ÓõíáñôÞóåéò 18. Måôáó çìáôéóìïß óôç óõíüñôçóç ôçò áðüëõôçò ôéìþò Óýíôïìç ðåñéãñáöþ ôçò äñáóôçñéüôçôáò Óôç äñáóôçñéüôçôá áõôþ ñçóéìïðïéåßôáé ç óõíüñôçóç ôçò áðüëõôçò ôéìþò ãéá ôçí åéóáãùãþ
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ Εικονογράφηση ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Ï ðéï ìåãüëïò êáé ï ðéï óçìáíôéêüò ðáéäáãùãéêüò êáíüíáò äåí åßíáé ôï íá
3524 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 3523 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 252 28 Öåâñïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 19306/Ã2 ÐñïãñÜììáôá Óðïõäþí Ôå íéêþí Åðáããåëìáôéêþí Åêðáéäåõôçñßùí (Ô.Å.Å.).
Estimation Theory Exercises*
Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò
1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï
ÊåöÜëáéï 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï óôù ç ôñéüäá (a, b, c). Ôï óýíïëï ôùí ôñéüäùí êáëåßôáé 3-äéÜóôáôïò þñïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå IR 3. Åéäéêüôåñá ç ôñéüäá (a, b, c) ïñßæåé
ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.
1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï
5. ÐÑÏÏÄÏÉ 7 5. ÁñéèìçôéêÞ ðñüïäïò Á ÏìÜäá. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 3. Óõíåðþò
Cel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí
ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí Cel animation Ç ôå íéêþ áõôþ óõíßóôáôáé óôçí êáôáóêåõþ ðïëëþí ó åäßùí ðïõ äéáöýñïõí ìåôáîý ôïõò óå óõãêåêñéìýíá óçìåßá. Ôá ó Ýäéá áõôü åíáëëüóóïíôáé ôï Ýíá ìåôü ôï Üëëï äßíïíôáò ôçí
ιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá
1.1 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí Express Ýêäïóç ôïõ SQL Server... 3 1.2 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí åãêáôüóôáóç... 3 2.1 ÅãêáôÜóôáóç Microsoft SQL Server 2008R2 Express Edition... 4 2.1 Åíåñãïðïßçóç ôïõ
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Ðñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ãéá Ýíá óþìá ðïõ åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëü ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç éó ýïõí ïé ôýðïé: õ=õ ï +á. t x=õ. ï t+ át. ÅÜí ôï óþìá îåêéíüåé áðü ôçí çñåìßá, äçëáäþ ç áñ éêþ ôá ýôçôá åßíáé õ ï =0, ôüôå ïé
ÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ
ÕÐÏÕÑÃÅÉÏ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ÏÉÊÏÍÏÌÉÊÙÍ ÃÅÍÉÊÇ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÄÇÌÏÓÉÁÓ ÐÅÑÉÏÕÓÉÁÓ & ÅÈÍÉÊÙÍ ÊËÇÑÏÄÏÔÇÌÁÔÙÍ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÔÅ ÍÉÊÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ & ÓÔÅÃÁÓÇÓ ÔÌÇÌÁ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÏÕ ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÕ ÖÏÑÏËÏÃÇÔÅÁÓ ÁÎÉÁÓ ÁÊÉÍÇÔÙÍ
Chi-Square Goodness-of-Fit Test*
Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@mathuoagr February 6, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô ÐáðáúùÜííïõ êáé ôá âéâëßá
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ
1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç
1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç 7 1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç Åñþ ôçóç 1 Ðïéïé áñéèìïß ïíïìüæïíôáé öõóéêïß; Ðþò ôïõò óõìâïëßæïõìå êáé ðþò ùñßæïíôáé;
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης 2o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1.1. ÓùóôÞ áðüíôçóç åßíáé ç Ä. ΘΕΜΑ 1ο 1.2. ñçóéìïðïéïýìå ôçí êáôáíïìþ ôùí çëåêôñïíßùí óå áôïìéêü ôñï éáêü óýìöùíá
¼ñãáíá Èåñìïêñáóßáò - ÓõóêåõÝò Øõêôéêþí Ìç áíçìüôùí
¼ñãáíá Èåñìïêñáóßáò - ÓõóêåõÝò Øõêôéêþí Ìç áíçìüôùí ÈåñìïóôÜôçò ÓõíôÞñçóçò REF-DF-SM ÅëÝã åé Ýíá èåñìïóôïé åßï PTC Êëßìáêá èåñìïêñáóßáò: -19? +99 C ëåã ïò áðüøõîçò - dfrst Ôñßá ñåëý: óõìðéåóôþò (30Á, 2ÇÑ),
Åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 00 7 Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Ç åîßóùóç áx + â = 0 áx = â (ìå á 0) (ìå á = â = 0) â Ý åé áêñéâþò ìßá ëýóç, ôç x =. á áëçèåýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x (ôáõôüôçôá
[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.
![[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.](/thumbs/61/46104077.jpg "[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.")
ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ 76 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ!
ΑΞΕΣΟΥΑΡ Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ÅããõÜôáé ôçí áóöüëåéá êáé õãåßá ôïõ ìùñïý êáôü ôç äéüñêåéá ôïõ ýðíïõ! AP 1270638 Õðüóôñùìá Aerosleep, : 61,00 AP 125060 ÊÜëõììá Aerosleep, : 15,30 ÁóöáëÞò, ðüíôá áñêåôüò
Üóêçóç 15. ÕëéêÜ - åîáñôþìáôá äéêôýïõ ðåðéåóìýíïõ áýñá êáé ðíåõìáôéêýò óõóêåõýò
ÕëéêÜ - åîáñôþìáôá äéêôýïõ ðåðéåóìýíïõ áýñá êáé ðíåõìáôéêýò óõóêåõýò Óôü ïé ôçò Üóêçóçò äéüñêåéá Üóêçóçò: 6 äéäáêôéêýò þñåò Óôï ôýëïò ôçò Üóêçóçò ïé ìáèçôýò èá åßíáé éêáíïß: é íá áíáãíùñßæïõí ôá åîáñôþìáôá
19. Ôï ðñüâëçìá ôïõ þñïõ óôüèìåõóçò
75 19. Ôï ðñüâëçìá ôïõ þñïõ óôüèìåõóçò Óýíôïìç ðåñéãñáöþ ôçò äñáóôçñéüôçôáò Óôï Ðñüâëçìá ôïõ þñïõ óôüèìåõóçò äßíåôáé ç åõêáéñßá óôïõò ìáèçôýò íá áó ïëçèïýí á) ìå ôéò êëéìáêùôýò óõíáñôþóåéò (óõíáñôþóåéò
1ï ÊñéôÞñéï Áîéïëüãçóçò
1ï ÊñéôÞñéï Áîéïëüãçóçò óå üëç ôçí ýëç ÖõóéêÞò. à ôüîç ÊáèçãçôÞò: ¼íïìá: Âáèìüò: ÈÅÌÁ 1ï Åéê. 1 A. -2ìC ç Á êáé +2ìC ç  -1ìC ç Á êáé -1ìC ç  -9ìC ç Á êáé -9ìC ç  D. +1ìC ç Á êáé +1ìC ç  ÅðéëÝîôå ôç
Κίνδυνοι στο facebook WebQuest Description Grade Level Curriculum Keywords
Κίνδυνοι στο facebook WebQuest Description: Το Facebook είναι ένας ιστοχώρος
ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò
ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß
ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï
ÖÅÊ 816 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) ÏÄÇÃÉÅÓ ÐÁ ÔÇ ÓÕÌÐËÇÑÙÓÇ ÔÇÓ ÁÉÔÇÓÇÓ ÅÃÊÅÊÑÉÌÅÍÏÕ ÁÐÏÈÇÊÅÕÔÇ Ï ÇÌÁÔÙÍ 1. ÇÌÅÑÏÌÇÍÉÁ: ÁíáãñÜöåô
11544 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) ÖÅÊ 816 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) 11545 ÏÄÇÃÉÅÓ ÐÁ ÔÇ ÓÕÌÐËÇÑÙÓÇ ÔÇÓ ÁÉÔÇÓÇÓ ÅÃÊÅÊÑÉÌÅÍÏÕ ÁÐÏÈÇÊÅÕÔÇ Ï ÇÌÁÔÙÍ 1. ÇÌÅÑÏÌÇÍÉÁ: ÁíáãñÜöåôáé
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 17 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 17.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 17.1.1 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 1 Õðåíèõìßæåôáé ï ïñéóìüò ôçò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ ãéá åõêïëßá óôç
ÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç É - ÓÅÌÖÅ Åñãáóßá 2 ìåóåò êáé åðáíáëçðôéêýò ìýèïäïé
ÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç É - ÓÅÌÖÅ Åñãáóßá 2 ìåóåò êáé åðáíáëçðôéêýò ìýèïäïé Íéêüëáò ÊÜñáëçò Á/Ì : 91442 ÔìÞìá 1ï 28 Óåðôåìâñßïõ, 26 1 ìåóåò ÌÝèïäïé 1.1 Åñþôçìá 1 ñçóéìïðïéþíôáò ôçí gauss.m êáé ôçí herm5.m,
ÅðåéäÞ ïé äõíüìåéò F 1 êáé F 2 åßíáé ïìüññïðåò (ó Þìá) èá éó ýåé: F ïë = F 1 + F 2. ÔåëéêÜ: F ïë = 1.500Í.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ç äýíáìç áëëçëåðßäñáóçò äýï çëåêôñéêþí öïñôßùí ìðïñåß íá õðïëïãéóôåß ìå âüóç ôïí íüìï ôïõ Coulomb. Óôï ðáñüäåéãìá ìáò âñßóêåôáé ç óõíéóôáìýíç äýíáìç ðïõ åíåñãåß óôï öïñôßï q áðü äýï Üëëá öïñôßá
6936 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 6935 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 432 17 Áðñéëßïõ 2001 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 91496 Áíþôáôá ¼ñéá ÕðïëåéììÜôùí, MRLs, Öõôïðñïóôáôåõôéêþí Ðñïúüíôùí åðß êáé åíôüò
ÐïëëÝò åôáéñßåò ðñïóöýñïõí õðçñåóßåò
Ferral Ferral Της Πηνελόπης Λεονταρά Σήμανση CE: Πως γίνεται ο έλεγχος της παραγωγικής Ï êáèïñéóìüò ôïõ åëýã ïõ ðáñáãùãþò óå Ýíá êáôáóêåõáóôéêü óýìöùíá ìå ôéò ôå íéêýò ðñïäéáãñáöýò ãéá ôá êïõöþìáôá, óôçí
ΘΕΜΑ: Τροποποίηση κατηγοριών στα εγκεκριµένα ενιαία τιµολόγια εργασιών για έργα οδοποιϊας.
ΕΞ. ΕΠΕΙΓΟΝ ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ 5 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα, 23 Φεβρουαρίου 2005 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΕ.ΧΩ..Ε. Αρ.Πρωτ. 17α/10/22/ΦΝ 437 ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜ. ΗΜΟΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΕΝ. /ΝΣΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΡΟΓ/ΤΟΣ /ΝΣΗ ΝΟΜΟΘΕΤΙΚΟΥ ΣΥΝΤ/ΣΜΟΥ &
ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
30 ÊåöÜëáéï 2 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 2.1 ÅéóáãùãÞ ¼ðùò êáé óôïí IR 2, Ýôóé êáé óôïí IR 3 ìðïñïýìå íá ïñßóïõìå ìéá êáìðýëç ðáñáìåôñéêü. ÄçëáäÞ, íá Ý åé ôç ìïñöþ x = x(t), y = y(t), z = z(t), üðïõ t åßíáé
ΜΑΘΗΜΑ 1. Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ -
ΜΑΘΗΜΑ 1 Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑΤΩΝ- ΟΡΥΚΤΩΝ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ - ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΤΡΕΠΤΟΣ ΖΥΓΟΣ- ΕΚΚΡΕΜΕΣ
Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
SPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá
ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí
2. Ôï ðñüâëçìá ôïõ ðýôñéíïõ ìïíïðáôéïý
13 2. Ôï ðñüâëçìá ôïõ ðýôñéíïõ ìïíïðáôéïý Óýíôïìç ðåñéãñáöþ ôçò äñáóôçñéüôçôáò Ç äñáóôçñéüôçôá áõôþ äßíåé ôçí åõêáéñßá óôïõò ìáèçôýò íá áó ïëçèïýí ìå äéáäéêáóßåò ïéêïäüìçóçò ìéáò áíáäñïìéêþò ó Ýóçò, ðñïêåéìýíïõ
B i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí
B i o f l o n Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí Ç åôáéñåßá Aflex, ç ïðïßá éäñýèçêå ôï 1973, Þôáí ç ðñþôç ðïõ ó åäßáóå ôïí åýêáìðôï óùëþíá PTFE ãéá ôç ìåôáöïñü çìéêþí õãñþí ðñßí áðü 35 ñüíéá. Ï åëéêïåéäþò
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email:
ÅÑÃÁÓÔÇÑÉÏ ÇËÅÊÔÑÉÊÙÍ ÅÃÊÁÔÁÓÔÁÓÅÙÍ ÏÑÃÁÍÁ ÅËÅÃ ÏÕ ÇËÅÊÔÑÉÊÙÍ ÊÕÊËÙÌÁÔÙÍ Ç ðñáãìáôïðïßçóç áõôþò ôçò Üóêçóçò Ý åé óáí óêïðü íá åîïéêåéùèïýí ïé ìáèçôýò
2 ÏÑÃÁÍÁ ÅËÅÃ ÏÕ ÇËÅÊÔÑÉÊÙÍ ÊÕÊËÙÌÁÔÙÍ ÅÑÃÁÓÔÇÑÉÏ ÇËÅÊÔÑÉÊÙÍ ÅÃÊÁÔÁÓÔÁÓÅÙÍ ÏÑÃÁÍÁ ÅËÅÃ ÏÕ ÇËÅÊÔÑÉÊÙÍ ÊÕÊËÙÌÁÔÙÍ Ç ðñáãìáôïðïßçóç áõôþò ôçò Üóêçóçò Ý åé óáí óêïðü íá åîïéêåéùèïýí ïé ìáèçôýò ìå ôá üñãáíá
ΔΙΗΜΕΡΟ ΚΙΝΗΤΟΠΟΙΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΔΗΜΩΝ ΤΗΣ ΧΩΡΑΣ. Αναστολή λειτουργίας των δήμων στις 12 και 13 Σεπτεμβρίου 2012
ΔΙΗΜΕΡΟ ΚΙΝΗΤΟΠΟΙΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΔΗΜΩΝ ΤΗΣ ΧΩΡΑΣ Αναστολή λειτουργίας των δήμων στις 12 και 13 Σεπτεμβρίου 2012 Τετάρτη, 12 Σεπτεμβρίου, Πανελλαδική Συγκέντρωση στη Πλατεία Κλαυθμώνος, στις 11.00 π.μ. Πορεία
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 5551 ÔÅÕ ÏÓ ÔÅÔÁÑÔÏ Áñ. Öýëëïõ 647 7 Áõãïýóôïõ 2001 ÐÅÑÉÅ ÏÌÅÍÁ ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Ôñïðïðïßçóç åãêåêñéìýíïõ ó åäßïõ ðüëçò ÄÞìïõ Çñáêëåßïõ, óôçí ðïëåïäïìéêþ åíüôçôá
ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ. Åõèýãñáììç êßíçóç. ôçò ìåôáôüðéóþò ôïõ êáé íá âñåßôå ôçí ôéìþ ôçò. Ðüóï åßíáé ôï äéüóôçìá ðïõ äéüíõóå ôï êéíçôü óôç äéáäñïìþ áõôþ;
63 63 ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ 1. Íá áíáöýñåôå ðïéá áðü ôá óþìáôá ðïõ öáßíïíôáé óôçí åéêüíá êéíïýíôáé A. Ùò ðñïò ôç Ãç B. Ùò ðñïò ôï áõôïêßíçôï. 5. íá êéíçôü ìåôáôïðßæåôáé áðü ôç èýóç Ì 1 óôç èýóç Ì 2. Íá ó åäéüóåôå
8. ÁÂÅÂÁÉÏÔÇÔÁ (ÓÖÁËÌÁ) ÌÅÔÑÇÓÇÓ. 7.5 ÌéêñïûðïëïãéóôÞò óå óõíäõáóìü ìå öùôïðýëåò. Åñãáóôçñéáêüò ïäçãüò
Åñãáóôçñéáêüò ïäçãüò 31 7.5 ÌéêñïûðïëïãéóôÞò óå óõíäõáóìü ìå öùôïðýëåò Óôç äéüôáîç ôçò åéêüíáò 7.5.1 ï ìéêñïûðïëïãéóôþò ìðïñåß íá ìåôñþóåé ôï ñïíéêü äéüóôçìá ðïõ ñåéüæåôáé ãéá íá äéáíýóåé ôï áìáîßäéï ôçí
ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò
11. ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ
. ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ 1 . ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ÅÐÉÐËÙÍ Σύντομη αναδρομή στην ιστορία της. Η εταιρία Salice, πρωτοπόρος στον τομέα των χωνευτών μεντεσέδων επίπλων, παράγει μια πολύ μεγάλη γκάμα μεντεσέδων και μηχανισμών
ÅíäåéêôéêÞ äñáóôçñéüôçôá
> ÅíäåéêôéêÞ äñáóôçñéüôçôá 85 ÅíäåéêôéêÞ äñáóôçñéüôçôá Ôï ðñüâëçìá ìå ôéò ðßôóåò Ìßá ðéôóáñßá öôéü íåé óôñïããõëýò ðßôóåò óå 5 äéáöïñåôéêü ìåãýèç: > áôïìéêþ ðßôóá ìå äéüìåôñï 15 cm > ðßôóá ìåóáßïõ ìåãýèïõò
11. ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ
. ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ 1 . ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ÅÐÉÐËÙÍ Σύντομη αναδρομή στην ιστορία της. Η εταιρία Salice, πρωτοπόρος στον τομέα των χωνευτών μεντεσέδων επίπλων, παράγει μια πολύ μεγάλη γκάμα μεντεσέδων και μηχανισμών
ÌÅÑÏÓ 3 ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΤΗΣ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΠΡΑΞΗΣ ÁÐÁÉÔÇÓÅÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ. Υπηρεσίες Ιατρικής Πληροφορικής και Τηλεϊατρικής 9 ÂÁÓÉÊÅÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÅÉÓ
138 Υπηρεσίες Ιατρικής Πληροφορικής και Τηλεϊατρικής ÌÅÑÏÓ 3 ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΤΗΣ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΠΡΑΞΗΣ 9 ÂÁÓÉÊÅÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÅÉÓ 10 ÌÏÍÔÅËÏ ÁÐÏÔÉÌÇÓÇÓ ÔÙÍ ÁÐÁÉÔÇÓÅÙÍ 11 ÔÏÌÅÉÓ ÅÖÁÑÌÏÃÇÓ ÔÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ 139
ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò
> ÁíáãåíÝò óôüäéï (ðïëý ìåãüëç äéüñêåéá) Ôï áíáãåíýò åßíáé ôï óôüäéï ôçò áíüðôõîçò. Ç ôñß á áñ ßæåé íá ãåííéýôáé êáé ðïëý ãñþãïñá ðáßñíåé ôçí ïëïêëçñù
ÊåöÜëáéï 5.2 ÓôÜäéá áíüðôõîçò ôçò ôñß áò Óêïðüò ôïõ êåöáëáßïõ áõôïý åßíáé ïé ìáèçôýò/ ôñéåò íá ãíùñßóïõí ôá óôüäéá áíüðôõîçò ôçò ôñß áò. > ÅéóáãùãÞ Ïé ôñß åò óå üðïéïí ôýðï ôñé þìáôïò êáé áí áíþêïõí (
ÊÉÍÇÓÇ ÓÅ Ó ÇÌÁÔÁ (ANIMATIONS) ME TH MATHEMATICA
animations.nb à Notebook E22 (ΑΚΟΜΗ ΣΕ ΠΑΡΑ ΠΟΛΥ ΠΡΟΧΕΙΡΗ ΜΟΡΦΗ... ) ÊÉÍÇÓÇ ÓÅ Ó ÇÌÁÔÁ (ANIMATIONS) ME TH MATHEMATICA ¼ðùò Þäç ãíùñßæïõìå, ìå ôç Mathematica ìðïñïýìå íá äçìéïõñãþóïõìå ðïéêßëá ó Þìáôá,
ÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá
ÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá Íüìïò ôïõ Coulomb Çëåêôñéêü Ðåäßï - íôáóç ÄõíáìéêÝò ÃñáììÝò Äõíáìéêü - ÄéáöïñÜ Äõíáìéêïý ÐõêíùôÝò ÃéÜííçò Ãáúóßäçò - ÅÊÖÅ ßïõ Äéáôýðùóç ôïõ Íüìïõ F F - F r F Ç HëåêôñïóôáôéêÞ
: Ï ïäçãüò áõôüò åîçãåß ôïí ôñüðï áíôéêáôüóôáóçò êáé áíáâüèìéóçò ôçò ìíþìçò óôïí õðïëïãéóôþ.
µ µ : 430223-151 2007 Ï ïäçãüò áõôüò åîçãåß ôïí ôñüðï áíôéêáôüóôáóçò êáé áíáâüèìéóçò ôçò ìíþìçò óôïí õðïëïãéóôþ. µ µ µ µ ÐñïóèÞêç ìéáò ìïíüäáò ìíþìçò óôçí õðïäï Þ ìïíüäáò åðýêôáóçò ìíþìçò......................
245/Á/1977). 2469/1997 (ÖÅÊ 36/Á/1997). 1484/Â/ ).
ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ F 661 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 72 28 Éáíïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. Ä14/48529 ãêñéóç Ôéìïëïãßïõ Åñãáóôçñéáêþí êáé åðß Ôüðïõ Äïêéìþí ôïõ ÊÅÄÅ. OI ÕÐÏÕÑÃÏÉ
ΣΕΡΙΦΟΣ ΣΕΡΙΦΟΥ ΓΑΛΑΝΗΣ
ΔΗΜΟΣ: ΣΕΡΙΦΟΣ ΣΕΡΙΦΟΥ ΓΑΛΑΝΗΣ ΟΙΚΙΣΜΟΣ: ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΟΣ ÏÉÊÉÓÌÏÓ ÐÑÏÓÏ Ç: ÄåäïìÝíïõ üôé ðñüêåéôáé ãéá ðáñáäïóéáêü ïéêéóìü, ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôçò áîßáò ôùí áêéíþôùí äåí åöáñìüæïíôáé ïé óõíôåëåóôýò ðñüóïøçò:
Êáëþò Þëèáôå. Ïäçãüò ãñþãïñçò Ýíáñîçò. ÓõíäÝóôå. ÅãêáôáóôÞóôå. Áðïëáýóôå
Êáëþò Þëèáôå Ïäçãüò ãñþãïñçò Ýíáñîçò ÓõíäÝóôå ÅãêáôáóôÞóôå Áðïëáýóôå Ôé õðüñ åé óôç óõóêåõáóßá Áêïõóôéêü DECT 122 Óôáèìüò âüóçò DECT 122 ÌïíÜäá çëåêôñéêþò ôñïöïäïóßáò Ôçëåöùíéêü êáëþäéï Åðáíáöïñôéæüìåíåò
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Προσέγγιση παραγώγων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Artwork Package GK Issue 2.0
,QWXLW\Œ/RGJLQJ Artwork Package 585-310-739GK Issue 2.0 &RPFRGH October 1997 Copyright 1997, Lucent Technologies All Rights Reserved Printed in U.S.A. v ± º Ÿ «¼± Ÿ³µ² ³ ² ³ «µ² ²µ º³²¼³ µ ž»²± ²ž± ¼³²
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email: fotakis@aegean.gr 1 Âáóéêïß Ïñéóìïß êáé Ïñïëïãßá
ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç
ÌÜèçìá 0 ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 0. ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Äéåõêñéíßæåôáé üôé áêïëïõèþíôáò ìßá áõóôçñü
ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ
ÌÜèçìá 9 ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ 9. ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá 9.. ÅéóáãùãÞ Ãéá ôçí êáëýôåñç êáôáíüçóç ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ìéáò óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí, äçëáäþ ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò, êñßíåôáé áðáñáßôçôï
ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ
ÌÜèçìá 3 ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ 3.1 ÅéóáãùãÞ Åßíáé ãíùóôü üôé óôá äéüöïñá ðñïâëþìáôá ôùí åöáñìïãþí ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ðáñïõóéüæïíôáé óõíáñôþóåéò ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ðïëýðëïêïõò ôýðïõò, äçëáäþ ôýðïõò
Á~/99) , Ã2/2864/ êáé Ã2/3850/
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 22635 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 1667 13 Äåêåìâñßïõ 2001 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. Ã2/5157 ãêñéóç ÐñïãñáììÜôùí Óðïõäþí ôïõ ÔïìÝá Ïéêïíïìßáò - Äéïßêçóçò. Ï ÕÐÏÕÑÃÏÓ
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 8: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του
Γαλάτεια Γρηγοριάδου-Σουρέλη, Πρώτη έκδοση: Νοέμβριος 2012 ISBN
ΤΙΤΛΟΣ ΒΙΒΛΙΟΥ: Ελάτε να διαβάσουμε παραμύθια ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: Γαλάτεια Γρηγοριάδου-Σουρέλη ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΟΡΘΩΣΗ: Χρυσούλα Τσιρούκη ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Κατερίνα Χαδουλού ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΣΕΛΙΔΟΠΟΙΗΣΗ: Ραλλού Ρουχωτά ΕΚΤΥΠΩΣΗ:
ÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý
ÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý Çëåêôñéêü ðåäßï.10 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí.. ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß..... öïñôßï äý åôáé......11 íá óçìåéáêü çëåêôñéêü öïñôßï äçìéïõñãåß
Ramsey's Theory or something like that.
Ramsey's Theory or something like that. ÌÜñèá, ÄçìÞôñçò, ÓôÝöáíïò 30 Íïåìâñßïõ 2005 Complete disorder is impossible T.S.Motzikin 1 ÅéóáãùãÞ. To 1930 o Ramsey[10] äçìïóßåõóå Ýíá Üñèñï ðüíù óå Ýíá ðñüâëçìá