Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Transcript

1 Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 5 η : ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΕ

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Στην ενότητα αυτή μελετάται η δυνατότητα ρύθμισης των χαρακτηριστικών της μεταβατικής απόκρισης και της απόκρισης στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου. Στην ενότητα αυτή εισάγονται κάποιες έννοιες όπως το ποσοστό υπερύψωσης (overshoot), ο χρόνος αποκατάστασης (settling time), ο χρόνος επίτευξης μέγιστου (time to peak), ο χρόνος ανόδου (rise time) και το σφάλμα παρακολούθησης εισόδου ή το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας (steady error ή steady state tracking error). 4

5 Περιεχόμενα ενότητας Χρονική απόκριση συστημάτων 1ης & 2ης τάξης. Συστήματα πρώτης τάξης. Συστήματα δεύτερης τάξης. Χαρακτηριστικά μεγέθη χρονικής απόκρισης ευσταθούς Συστήματος. 5

6 Χρονική απόκριση συστημάτων Εισαγωγικές έννοιες και ορισμοί. 1ης & 2ης τάξης Με τον όρο χρονική απόκριση ενός συστήματος, εννοούμε τη συμπεριφορά του συστήματος συναρτήσει του χρόνο όταν διεγείρεται από μία συγκεκριμένη είσοδο. Η χρονική απόκριση ενός συστήματος ελέγχου αποτελείται από δύο μέρη: Τη μεταβατική απόκριση (transient response). Την απόκριση μόνιμης κατάστασης (steady state response). Αν c(t) ονομάσουμε την απόκριση του συστήματος (έξοδος) τότε έχουμε: c(t) = ct(t) + css(t) όπου: ct(t) = απόκριση μεταβατικής κατάστασης css(t) = απόκριση μόνιμης κατάστασης. 6

7 Συστήματα πρώτης τάξης Ας θεωρήσουμε το δομικό διάγραμμα του συστήματος 1ης τάξης του παρακάτω σχήματος. Η συνάρτηση μεταφοράς θα είναι της μορφής: όπου Τ είναι η σταθερά χρόνου του συστήματος. Εικόνα 1: Συστήματα πρώτης τάξης. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 7

8 Απόκριση (Σ) 1 ης τάξης σε διέγερση μοναδιαίας βαθμίδας (1/3) Η απόκριση του συστήματος για είσοδο της μορφής r(t) = u(t) θα είναι: C t = L 1 C s = L 1 1 T s s = 1 t e T Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται η καμπύλη της απόκρισης C(t), για σταθερές χρόνου T1 < Τ2 < T3. Εικόνα2: Απόκριση συστήματος πρώτης τάξης. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 8

9 Απόκριση (Σ) 1 ης τάξης σε διέγερση μοναδιαίας βαθμίδας (2/3) Η έξοδος ανεβαίνει εκθετικά από την τιμή 0 προς την τελική τιμή 1. Η αρχική κλίση της καμπύλης στον χρόνο t=0 δίνεται από: και η τιμή της εξόδου για t =Τα. όπου η Τ είναι η σταθερά χρόνου του συστήματος ή ταχύτητα απόκρισης. Εικόνα 3: Απόκριση συστήματος πρώτης τάξης. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 9

10 Απόκριση (Σ) 1 ης τάξης σε διέγερση μοναδιαίας βαθμίδας (3/3) Χρόνος ανόδου tr. Εάν t1 είναι ο χρόνος στον οποίο η έξοδος έχει φτάσει στο 10% της τελικής της τιμής και t2 ο χρόνος στον οποίο η έξοδος έχει φτάσει στο 90% της τελικής τιμής τότε: Χρόνος αποκατάστασης ts 2%. Είναι ο χρόνος στον οποίο η έξοδος του συστήματος διαφέρει από την τελική της τιμή κατά 2%. Εικόνα 4: Απόκριση συστήματος πρώτης τάξης. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 10

11 Απόκριση (Σ) πρώτης τάξης σε διέγερση μοναδιαίας αναρρίχησης Η απόκριση του συστήματος για είσοδο της μορφής r(t) = t θα είναι: Εικόνα 5: Απόκριση συστήματος πρώτης τάξης. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 11

12 Κρουστική απόκριση συστήματος Η απόκριση του συστήματος για είσοδο της μορφής r(t)=δ(t) θα είναι: πρώτης τάξης Η καμπύλη της κρουστικής απόκρισης απεικονίζεται παρακάτω. Εικόνα 6: Κρουστική απόκριση συστήματος πρώτης τάξης. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 12

13 Συστήματα δεύτερης τάξης (1/2) Ας θεωρήσουμε το δομικό διάγραμμα του συστήματος 2ης τάξης του παρακάτω σχήματος. Η συνάρτηση μεταφοράς είναι της μορφής: Η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος είναι: Οι πόλοι της G(s) είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης δηλαδή: Εικόνα 7: Απόκριση συστήματος δεύτερης τάξης. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 13

14 Συστήματα δεύτερης τάξης (2/2) Υπό-απόσβεση Χωρίς απόσβεση Κρίσιμη απόσβεση Υπέρ-απόσβεση όπου Ο συντελεστής ζ ονομάζεται συντελεστής απόσβεσης του συστήματος (damping ratio) και το ωn κυκλική ιδιοσυχνότητα (natural frequency ) χωρίς απόσβεση. Εικόνα 8: Απόκριση συστήματος δεύτερης τάξης. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 14

15 Απόκριση μοναδιαίας βαθμίδας 1)Υπό-απόσβεση (0 < ζ < 1) Στην περίπτωση όπου 0 < ζ < 1 η χαρακτηριστική εξίσωση έχει δυο ρίζες συζυγείς μιγαδικές. Η χρονική απόκριση είναι της μορφής: όπου: ή και Ο συντελεστής ωd ονομάζεται κυκλική ιδιοσυχνότητα του συστήματος με απόσβεση (damped natural frequency). 15

16 Κρίσιμη απόσβεση (ζ = 1) Στην περίπτωση που ζ=1 η χαρακτηριστική εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές ίδιες με τιμή: Η χρονική απόκριση είναι της μορφής: 16

17 Υπέρ-απόσβεση (ζ > 1) Στην περίπτωση όπου ζ > 1 η χαρακτηριστική εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές με τιμές: Η χρονική απόκριση είναι της μορφής: 17

18 Μηδενική απόσβεση (ζ = 0) Στην περίπτωση όπου ζ = 0 η χαρακτηριστική εξίσωση έχει δύο ρίζες συζυγείς φανταστικές: Η χρονική απόκριση είναι της μορφής: 18

19 Χρονική απόκριση συστήματος δεύτερης τάξης Εικόνα 9: Χρονική Απόκριση συστήματος δεύτερης τάξης. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 19

20 Χαρακτηριστικά μεγέθη χρονικής απόκρισης ευσταθούς (Σ) (1/9) Εικόνα 10: Χαρακτηριστικά μεγέθη χρονικής απόκρισης. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 20

21 Χαρακτηριστικά μεγέθη χρονικής απόκρισης ευσταθούς (Σ)(2/9) Χρόνος καθυστέρησης td (delay time): Ο χρόνος που χρειάζεται για να φθάσει η απόκριση, για πρώτη φορά, το 50% της τελικής της τιμής. Χρόνος ανύψωσης tr (rise time): Ο χρόνος που χρειάζεται για να ανέλθει η απόκριση από το 10% στο 90% της τελικής της τιμής και δίνεται από τη σχέση: Χρόνος κορυφής tp (peak time): Ο χρόνος που χρειάζεται για να φθάσει η απόκριση στην πρώτη κορυφή της καμπύλης και είναι: 21

22 Χαρακτηριστικά μεγέθη χρονικής απόκρισης ευσταθούς (Σ)(3/9) Χρόνος αποκατάστασης ts (settling time): Ο χρόνος που χρειάζεται για να φθάσει και να παραμείνει η καμπύλη απόκρισης ανάμεσα στο ±2% ή ±5% της τελικής τιμής. Με κριτήριο ζώνης το 2% είναι: t s = 4 ζω n Με κριτήριο ζώνης το 5% είναι: t s = 3 ζω n Μέγιστη υπερύψωση Mp (maximum percent overshoot): Η διαφορά της μέγιστης τιμής cm και της τελικής τιμής έστω cf της c(t). Το ποσοστό υπερύψωσης ορίζεται: M. O = 100 e lim c(t) t πζ 1 ζ 2 Μ p = c m c f c f 100% c f = Μέγιστη τιμή της απόκρισης cm: Η τιμή της απόκρισης στην πρώτη κορυφή της καμπύλης είναι: c m = 1 + e ζπ β 22

23 Χαρακτηριστικά μεγέθη χρονικής απόκρισης ευσταθούς (Σ)(4/9) Παράδειγμα 1. Σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς συνδέεται σε σειρά με ελεγκτή με συνάρτηση μεταφοράς. Να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόγχου με μοναδιαία αρνητική ανάδραση, καθώς επίσης τα μεγέθη αυτής: ωd, ζ, ωn, υπερύψωση M.O%. Πηγή: Διδάσκων (2015). 23

24 Χαρακτηριστικά μεγέθη χρονικής απόκρισης ευσταθούς (Σ)(5/9) Παράδειγμα 1 (συνέχεια). Σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς συνδέεται σε σειρά με ελεγκτή με συνάρτηση μεταφοράς. Να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόγχου με μοναδιαία αρνητική ανάδραση, καθώς επίσης τα μεγέθη αυτής: ωd, ζ, ωn, υπερύψωση M.O%. 24

25 Χαρακτηριστικά μεγέθη χρονικής απόκρισης ευσταθούς (Σ)(6/9) Παράδειγμα 2. Σύστημα κλειστού βρόγχου με μοναδιαία αρνητική ανάδραση έχει συνάρτηση μεταφοράς (δες δίπλα) και συνδέεται με αντισταθμιστή σειράς με συνάρτηση μεταφοράς (δες δίπλα). Να εκλεγεί κατάλληλη τιμή για την παράμετρο α, έτσι ώστε το ποσοστό υπερύψωσης της αντίστοιχης βηματικής απόκρισης να είναι 5%. 25

26 Χαρακτηριστικά μεγέθη χρονικής απόκρισης ευσταθούς (Σ)(7/9) Παράδειγμα 2 (συνέχεια). Σύστημα κλειστού βρόγχου με μοναδιαία αρνητική ανάδραση έχει συνάρτηση μεταφοράς (δες δίπλα) και συνδέεται με αντισταθμιστή σειράς με συνάρτηση μεταφοράς (δες δίπλα). Να εκλεγεί κατάλληλη τιμή για την παράμετρο α, έτσι ώστε το ποσοστό υπερύψωσης της αντίστοιχης βηματικής απόκρισης να είναι 5%. 26

27 Χαρακτηριστικά μεγέθη χρονικής απόκρισης ευσταθούς (Σ)(8/9) Παράδειγμα 3. Να υπολογιστεί η ΣΜ και η χρονική απόκριση y(t) του ΣΚΒ με μοναδιαία είσοδο ράμπας (r(t)=t). 27

28 Χαρακτηριστικά μεγέθη χρονικής απόκρισης ευσταθούς (Σ)(9/9) Παράδειγμα 4. Για το σύστημα με Σ.Μ (δες δίπλα και αναλογικό (Ρ) ελεγκτή σειράς με Σ.Μ. (δες δίπλα) και μοναδιαία αρνητική ανάδραση. Α) Να σχεδιαστεί ο Γ.Τ.Ρ. αφού πρώτα σχεδιάσετε το διάγραμμα βαθμίδων. Β) Να υπολογιστεί η χρονική απόκριση της εξόδου του Σ.Κ.Β., με μοναδιαία βηματική είσοδο για k=100. Γ) Να υπολογιστεί ο χρόνος μεγίστου της παραπάνω χρονικής απόκρισης. 28

29 Σχέση μεταξύ της θέσης των πόλων και των μηδενικών στο πεδίο-s Εικόνα 11: Σχέση μεταξύ της θέσης των πόλων και των μηδενικών στο πεδίοs. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 29

30 Η θέση των πόλων στο μιγαδικό επίπεδο (1/2) Η θέση των πόλων στο μιγαδικό επίπεδο σχετίζεται άμεσα με τη χρονική απόκριση του συστήματος. Στο (a) φαίνεται η θέση των πόλων στο μιγαδικό επίπεδο, στο (b) φαίνεται η χρονική απόκριση κατά μήκος του άξονα jω 2 του μιγαδικού επιπέδου, στο (c) φαίνεται η χρονική απόκριση κατά μήκος του άξονα jω 1 και στο (d) φαίνεται η χρονική απόκριση του συστήματος του οποίου οι πόλοι βρίσκονται πάνω στον αρνητικό ημιάξονα. Εικόνα 12: Η θέση των πόλων στο μιγαδικό επίπεδο Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 30

31 Η θέση των πόλων στο μιγαδικό επίπεδο (2/2) Εικόνα 13: Η θέση των πόλων στο μιγαδικό επίπεδο. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 31

32 Βιβλιογραφία 1. FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 32

33 Τέλος Ενότητας

34 Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας, Γαύρος Κωνσταντίνος. «Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: URL.

35 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 35

36 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς. το Σημείωμα Αδειοδότησης. τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων. το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει). μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 36

37 Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφί ες: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 37