Κλασσική Θεωρία Ελέγχου
|
|
- Πύρρος Σπηλιωτόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 16. Υπολογισμός αντισταθμιστή με χρήση διοφαντικών εξισώσεων Νίκος Καραμπετάκης
2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
4 Περιεχόμενα Ενότητας Θεώρημα Sylvester (πρώτα πολυώνυμα) Επίλυση πολυωνυμικών διοφαντικών εξισώσεων Σχεδίαση Αντισταθμιστή. Αποσύζευξη εισόδων-εξόδων (σύστημα με 2 εισόδους και 2 εξόδους). 4
5 Σκοποί Ενότητας Επίλυση του προβλήματος σχεδίασης αντισταθμιστή με την χρήση πολυωνυμικών διοφαντικών εξισώσεων. Αποσύζευξη εισόδων-εξόδων (σύστημα με 2 εισόδους και 2 εξόδους). 5
6 Το Πρόβλημα Σχεδίασης Αντισταθμιστή (1) Θεωρείστε ένα γραμμικό σύστημα Σ, μ.ε.μ.ε. με την παρακάτω περιγραφή στο πεδίο της συχνότητας: x s G s y s όπου y s = L y t, x s = L x t. Έστω G s = h s d s = h n 1 s n h 1 s + h 0 d n s n + d n 1 s n d 1 s + d 0 όπου h s, d s είναι πολυώνυμα πρώτα μεταξύ τους. 6
7 Το Πρόβλημα Σχεδίασης Αντισταθμιστή (2) Πρόβλημα Σχεδιασμού Αντισταθμιστή (Design of Controller) Να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς K s ενός συστήματος (αντισταθμιστή) (compensator ή controller) K s = h c s d c s όπου deg h c s deg d c s έτσι ώστε η συνάρτηση μεταφοράς του «κλειστού» συστήματος Σ k : r s y s να έχει δεδομένους (επιθυμητούς) πόλους. 7
8 Πολυώνυμα πρώτα μεταξύ τους (1) Λήμμα. Τα πολυώνυμα f(s), g(s) έχουν κοινό παράγοντα αν και μόνο αν υπάρχουν μη-μηδενικά πολυώνυμα s(s) και t(s) τέτοια ώστε 0 degs s < degg s, 0 degt s < degf s, f s s s + g s t s = 0 8
9 Πολυώνυμα πρώτα μεταξύ τους (2) ( ) Ας υποθέσουμε ότι τα πολυώνυμα f(s), g(s) έχουν κοινό παράγοντα τον h(s). Τότε και συνεπώς f s f s = g s h s f s f s h s = f s h s g s h s h s, g s = h s f s h s g s h s g s h s f s = h s g s = 0 h s g s 9
10 Πολυώνυμα πρώτα μεταξύ τους (3) Συνεπώς υπάρχουν μη-μηδενικά πολυώνυμα s(s) = t(s) = f s h s τέτοια ώστε g s h s 0 degs s < degg s, 0 degt s < degf s, και f s s s + g s t s = 0 10
11 Πολυώνυμα πρώτα μεταξύ τους (4) ( ) Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν μη-μηδενικά πολυώνυμα s(s) και t(s) τέτοια ώστε 0 degs s < degg s, 0 degt s < degf s, f s s s + g s t s = 0 f s s s = g s t s Κάθε παράγοντας του f(s) είναι παράγοντας του g(s)t(s). 1 η περίπτωση. Υπάρχει παράγοντας του f(s) που είναι παράγοντας του g(s) (κοινός παράγοντας). ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ : Τα f(s), g(s) έχουν κοινό παράγοντα. 11
12 Πολυώνυμα πρώτα μεταξύ τους (5) ( ) Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν μη-μηδενικά πολυώνυμα s(s) και t(s) τέτοια ώστε 0 degs s < degg s, 0 degt s < degf s, f s s s + g s t s = 0 f s s s = g s t s 2 η περίπτωση. Δεν υπάρχει παράγοντας του f(s) που να είναι παράγοντας του g(s). Συνεπώς θα πρέπει όλοι οι παράγοντες του f(s) να είναι παράγοντες του t(s). Το t(s) όμως είναι μη-μηδενικό και έχει βαθμό μικρότερο του f(s) και συνεπώς αυτό είναι αδύνατο. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Τα f(s), g(s) έχουν κοινό παράγοντα. 12
13 Πολυώνυμα πρώτα μεταξύ τους (6) n = degf, m = degg s = s i x i 0 i<m, t = t i x i 0 i<n P x = f x s x + g x t x P x = f n s m 1 + g m t n 1 x m+n 1 + f n s m 2 + f n 1 s m 1 + g m t n m 2 + g m 2 t n m 1 x m n f 0 s 0 + g 0 t 0 x 0 13
14 Πολυώνυμα πρώτα μεταξύ τους (7) P x = f n s m 1 + g m t n 1 x m+n 1 + f n s m 2 + f n 1 s m 1 + g m t n m 2 + g m 2 t n m 1 x m n f 0 s 0 + g 0 t 0 x 0 P x 0 f n s m 1 + g m t n 1 = 0 f n s m 2 + f n 1 s m 1 + g m t n m 2 + g m 2 t n m 1 = 0 = 0 f 0 s 0 + g 0 t 0 = 0 14
15 Πολυώνυμα πρώτα μεταξύ τους (8) s m 1,, s 0, t n 1,, t 0 Syl f, g = 0 f n f 0 f Syl f, g = n f 0 g m g 0 g m g 0 Για να υπάρχει μη-μηδενική λύση θα πρέπει η ορίζουσα Sylvester να είναι ίση με μηδέν! 15
16 Πολυώνυμα πρώτα μεταξύ τους (9) f n f 0 f Syl f, g = n f 0 g m g 0 g m g 0 Η resultant των πολυωνύμων f(s), g(s), συμβολίζεται res(f, g), και ορίζεται ως η ορίζουσα του πίνακα Sylvester π.χ. res(f, g) = Det[Syl(f(s), g(s))]. 16
17 Πολυώνυμα πρώτα μεταξύ τους (10) Θεώρημα. Έστω f(s), g(s) πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές. Τα f(s), g(s) έχουν κοινό παράγοντα αν και μόνο αν res(f, g) = 0. f x = x 2 5x + 6, g x = x 2 3x res f, g = det = Τα f(x), g(x) έχουν κοινό παράγοντα. 17
18 Πολυώνυμα πρώτα μεταξύ τους (11) Θεώρημα. Έστω f(s), g(s) πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές. Τα f(s), g(s) έχουν κοινό παράγοντα αν και μόνο αν res(f, g) = 0. f x = x 2 7x + 12, g x = x 2 x res f, g = det = Τα f(x), g(x) δεν έχουν κοινό παράγοντα. 18
19 Επίλυση πολυωνυμικής διοφαντικής Έστω τα πολυώνυμα εξίσωσης (1) d s = d n s n + d n 1 s n d 0, deg d s = n h s = h n 1 s n 1 + h n 2 s n h 0, deg h s = n s 0 s S s = s 0 s n 1 19
20 Επίλυση πολυωνυμικής διοφαντικής εξίσωσης (2) x s 1 0 d s s 0 sd s = S s d s s = 0 d s s = d s h s 0 1 h s h s 0 s sh s 0 s n 1 s n 1 h s degx s = max degx i s = 2n 1 20
21 Επίλυση πολυωνυμικής διοφαντικής x s = x 0 + x 1 s + + x 2n 1 s 2n 1 = x 0 x 1 x 2n 1 s 1 s 2n 1 όπου R = x 0 x 1 x 2n 1 d 0 d 1 d n 1 0 d 0 d n 2 = 0 0 d 0 h 0 h 1 h n 1 0 h 0 h n h 0 εξίσωσης (3) = Rs s d n 0 0 d n 1 d n 0 d 1 d 2 d n h n h 1 h 2 h n
22 Επίλυση πολυωνυμικής διοφαντικής εξίσωσης (4) Θεώρημα. Αν τα πολυώνυμα d s = d n s n + d n 1 s n d 0, deg d s = n h s = h n 1 s n 1 + h n 2 s n h 0, deg h s = n 1 είναι πρώτα μεταξύ τους και f s = f 2n 1 s 2n 1 + f 2n 2 s 2n f 0, deg f s = 2n 1 είναι αυθαίρετο πολυώνυμο, τότε υπάρχουν πολυώνυμα a(s), b(s) βαθμού μικρότερου ή ίσου του n 1 τέτοια ώστε: a s d s + b s h s = f s Απόδειξη: a s = a n 1 s n 1 + a n 1 s n a 0, deg a s = n 1 b s = b n 1 s n 1 + b n 2 s n b 0, deg b s = n 1 22
23 Επίλυση πολυωνυμικής διοφαντικής εξίσωσης (5) a s d s + b s h s = f s a s b s d s h s 1 0 s 0 a 0 a 1 a n 1 b 0 b 1 b s n 1 0 n s 0 s n 1 = f s d s h s = f s 23
24 Επίλυση πολυωνυμικής διοφαντικής εξίσωσης (6) a 0 a 1 a n 1 b 0 b 1 b n 1 R = f 0 f 1 f 2n 1 s 1 s 2n 1 1 s s 2n 1 a 0 a 1 a n 1 b 0 b 1 b n 1 R = f 0 f 1 f 2n 1 a 0 a 1 a n 1 b 0 b 1 b n 1 = f 0 f 1 f 2n 1 R 1 24
25 Παράδειγμα 1 (1) a s d s + b s h s = f s d s = s 3 5s + 6, deg d s = 3 h s = s 2 4s + 4, deg h s = 2 f s = s 4 s 2 + s 1, deg f s = 4 a 0 a 1 a 2 b 0 b 1 b 2 = = = 25
26 Παράδειγμα 1 (2) Άρα = a s = s + 0s2, b s = s 9 16 s2 26
27 Το Πρόβλημα Σχεδίασης Αντισταθμιστή Έστω τώρα κλειστό σύστημα: στω τώρα κλειστό σύστημα: ου όπου (4) r e K(s) G(s) y + - G s = h s n d s = h n 1 s n 1 1 h s h + + h 1 s + h 0 d n s n + d n 1 s n 1, K s = h n 1s h1s h0 hc s c s G s, K s n n 1 d s s dn s 1 + d s 1 + dd 0 1 s + d dc s 0 d c s και d s και h s πρώτα μεταξύ τους. ι h(s), d(s) πρώτα μεταξύ τους. Η συνάρτηση μεταφοράς του κλειστού συστήματος θα είναι G s K s h s hc s H s Η συνάρτηση μεταφοράς 1 G s Kτου s κλειστού d s dc s συστήματος h s hc s θα είναι G s K s H s = 1 + G s K s = h s h c s d s d c s + h s h c s 27
28 Το Πρόβλημα Σχεδίασης Αντισταθμιστή Έστω ότι θέλουμε (5) p c s = d s d c s + h s h c s = s + p 1 s + p 2 s + p n, Re p i < 0 Ας θέσουμε K s = h c s d c s = b s q s + a s, deg a s n 1 deg b s n 1 q s = s + q 1 s + q 2 s + q n 1, με Re q i > 0. h s b s H s = d s q s + a s + h s b s = d s q s + h s b s d s a s + h s b s 28
29 Το Πρόβλημα Σχεδίασης Αντισταθμιστή Έστω (6) δ s = s n + δ n 1 s n δ 1 s + δ 0 = s + p 1 s + p 2 s + p n, με Re p i < 0 και έστω δ s d s = f s deg δ s = n, deg d s = n deg f s < n. Επειδή τα d s και h s είναι πρώτα μεταξύ τους θα υπάρχουν πολυώνυμα a s και b s τέτοια ώστε Τότε a s d s + b s h s = q s f s. 29
30 Το Πρόβλημα Σχεδίασης Αντισταθμιστή (7) h s b s H s = d s q s + q s f s = h s b s h s b s = q s d s + f s q s δ s Έστω ότι η συνάρτηση μεταφοράς του ανοικτού συστήματος είναι: G s = h s d s = h n 1s n h 1 s + h 0 s n + d n 1 s n 1, + + d 1 s + d 0 όπου τα πολυώνυμα d s και h s είναι πρώτα μεταξύ τους. Θέλουμε έναν αντισταθμιστή K s = h c s d c s, deg h c s deg d c s τέτοιον ώστε οι πόλοι του κλειστού συστήματος να είναι οι p 1, p 2,, p n. 30
31 Αλγόριθμος εύρεσης αντισταθμιστή (1) Βήμα 1. Σχημάτισε το πολυώνυμο δ s = s n + δ n 1 s n δ 1 s + δ 0 = s + p 1 s + p 2 s + p n Βήμα 2. Υπολόγισε τη διαφορά δ s d s = f s Βήμα 3. Διάλεξε αυθαίρετο ευσταθές πολυώνυμο q s βαθμού n 1 q s = s + q 1 s + q 2 s + q n 1, Re q i < 0 Βήμα 4. Υπολόγισε πολυώνυμα a s και b s τέτοια ώστε a s d s + b s h s = q s f s 31
32 Αλγόριθμος εύρεσης αντισταθμιστή (2) βάσει του τύπου a 0 a 1 a n 1 b 0 b 1 b n 1 = φ 0 φ 1 φ 2n 1 R 1 όπου φ s = q s f s = φ 0 + φ 1 s + + φ 2n 1 s 2n 1 και R η resultant των d s και h s. Βήμα 5. Ο ζητούμενος αντισταθμιστής είναι K s = h c s d c s = b s q s + a s 32
33 Παράδειγμα 2 (1) Έστω ότι η συνάρτηση μεταφοράς του ανοικτού συστήματος είναι: G s = h s = 1 = 1 d s s+2 s+3 s 2 +5s+6 και θέλουμε να δημιουργήσουμε έναν ελεγκτή ώστε να έχουμε: α) μέγιστο ποσοστό υπερύψωσης (maximum overshoot) 5%, β) χρόνο αποκατάστασης (settling time) λιγότερο από 1 sec (για τον οποίο η απόκριση παραμένει στο 2% της τελικής τιμής). 33
34 Παράδειγμα 2 (2) Θα πρέπει λοιπόν M p = 5 100e ζπ 1 ζ 2 = 5 ζ = 0.69 t s ω ζω n 0.69ω n = 4 n 0.69 = 5.80 Άρα επιθυμητοί πόλοι του κλειστού συστήματος p 1,2 = ζω n ± iω n 1 ζ 2 = 4 ± i4.2 Βήμα 1. Σχημάτισε το πολυώνυμο δ s = s i s i = s 2 + 8s
35 Παράδειγμα 2 (3) Βήμα 2. Υπολόγισε την διαφορά δ s d s = s 2 + 8s s 2 5s 6 = 3s = f s Βήμα 3. Διάλεξε αυθαίρετο ευσταθές πολυώνυμο q(s) βαθμού 2-1=1 q s = s + q 1 με Re q 1 > 0 Βήμα 4. Υπολόγισε πολυώνυμα a(s), b(s) τέτοια ώστε a s s 2 + 5s b s 1 = s + q 1 3s = 3s 2 + 3q s q 1 35
36 Παράδειγμα 2 (4) a 0 a 1 b 0 b 1 = 27.64q 1 3q = q q 1 και άρα a s = 3, b s = q q 1 s αλλά και a s = 3 k s 1, b s = q q 1 s + k s s 2 + 5s
37 Παράδειγμα 2 (5) Βήμα 5. Ο ζητούμενος αντισταθμιστής είναι: αλλά και K s K s = h c s d c s = b s q s + a s = q q 1 s s + q = h c s d c s = b s q s + a s = q q 1 s + k s s 2 + 5s + 6 s + q k s 37
38 Παράδειγμα 2 (6) Η συνάρτηση μεταφοράς του κλειστού συστήματος θα είναι H s αλλά και H s = = h s b s q s δ s = q q 1 s s + q 1 s 2 + 8s = q q 1 s s + q 1 s 2 + 8s h s b s q s δ s = q q 1 s s + q 1 s 2 + 8s = q q 1 s + k s s 2 + 5s + 6 s + q 1 s 2 + 8s
39 Παράδειγμα 2 (7) Μπορούμε να επιλέξουμε το q 1 ώστε να απέχει 5-10 φορές πιο μακριά από το πραγματικό μέρος των 2 μιγαδικών πόλων ώστε να μην επηρεάσει την απόκριση στον χρόνο του συστήματος π.χ. q 1 = 4 10 = 40 και άρα ο αντισταθμιστής μου θα έχει την παρακάτω μορφή: K s = h c s d c s = b s s = q s + a s s s = s + 43 ενώ η συνάρτηση μεταφοράς του κλειστού συστήματος θα γίνει: H s = h s b s q s δ s = q q 1 s s + q 1 s 2 + 8s s = s + 40 s 2 + 8s
40 Παράδειγμα 2 (8) Δουλεύοντας στο Matlab με το sisotool και θέτοντας στο ανοικτό σύστημα την G(s) και σαν ελεγκτή τον K(s), και παίζοντας με το Κ στον γεωμετρικό τόπο των ριζών μπορώ να πάρω το σύστημα: 40
41 Παράδειγμα 2 (9) Με K s = s s μπορούμε να πετύχουμε settling time 0.99 sec και maximum overshoot 6.91%. Μπορούμε να ελαττώσουμε το overshoot αν θέσουμε στο αρχικό μας πρόβλημα μικρότερο overshoot από αυτό που ζητάει η άσκηση. Να θέσουμε για παράδειγμα ως maximum overshoot 4% και όχι 5% και συνεπώς να βρούμε άλλον ελεγκτή. 41
42 Παράδειγμα 2 (10) Θα μπορούσαμε επίσης να επιδιώξουμε απλοποίηση στο σύστημα δηλ q q 1 s = k s + q q 1 = kq 1 k = 18.64, q 1 = q 1 = k k = 21.64, q 1 = 3 Για q 1 = 2 ο αντισταθμιστής μου θα έχει την παρακάτω μορφη: K s = h c s d c s = b s q s + a s s = s s = = 18.6 s
43 Παράδειγμα 2 (11) Ενώ η συνάρτηση μεταφοράς του κλειστού συστήματος θα γίνει: h s b s H s = q s δ s = q q 1 s s + q 1 s 2 + 8s s = s + 40 s 2 + 8s s = s + 2 s 2 + 8s = s 2 + 8s
44 Παράδειγμα 3 (1) Έστω ότι η συνάρτηση μεταφοράς του ανοικτού συστήματος είναι: G s = h s = 1 = 1 d s s+2 s+3 s 2 +5s+6 και θέλουμε να δημιουργήσουμε έναν ελεγκτή ώστε να έχουμε: α) μέγιστο ποσοστό υπερύψωσης (maximum overshoot) 5%, β) χρόνο αποκατάστασης (settling time) λιγότερο από 1 sec. 44
45 Παράδειγμα 3 (2) Θα πρέπει λοιπόν M p = 5 100e 1 ζ 2 = 5 ζ = 0.69 t s ω ζω n 0.69ω n = 4 n 0.69 = 5.80 Άρα επιθυμητοί πόλοι του κλειστού συστήματος p 1,2 = ζω n ± iω n 1 ζ 2 = 4 ± i4.2 Έστω ότι ο PID ελεγκτής που αναζητούμε είναι της μορφής ζπ 1 K s = K p + K i s + K ds = K ds 2 + K p s + K i s 45
46 Παράδειγμα 3 (3) Συνεπώς η συνάρτηση μεταφοράς του κλειστού συστήματος θα έχει την μορφή: G o s = G s K s 1 + G s K s = = 1 K d s 2 + K p s + K i s 2 + 5s + 6 s 1 K d s 2 + K p s + K i 1 + s 2 + 5s + 6 s K d s 2 + K p s + K i s s 2 + 5s K d s 2 + K p s + K i = K d s 2 + K p s + K i s K d s K p s + K i = K d s 2 + K p s + K i s + q 1 s 2 + 8s
47 Παράδειγμα 3 (4) Μπορούμε να επιλέξουμε το q 1 ώστε να απέχει 5-10 φορές πιο μακριά από το πραγματικό μέρος των 2 μιγαδικών πόλων ώστε να μην επηρεάσει την απόκριση στον χρόνο του συστήματος π.χ. q 1 = 4 10 = 40 και άρα G c s = K d s 2 + K p s + K i s K d s K p s + K i K d s 2 + K p s + K i = s s s K d = 48 K d = K p = K p = K i = K i = K d s 2 + K p s + K i s + 40 s 2 + 8s
48 Παράδειγμα 3 (5) Συνεπώς ο ελεγκτής θα έχει την μορφή: K s = s + 43s = 43s s s και η συνάρτηση μεταφοράς του κλειστού συστήματος θα είναι G c s = 43s s s 3 +48s s
49 Παράδειγμα 3 (6) Δουλεύοντας στο Matlab με το sisotool και θέτοντας στο ανοικτό σύστημα την G(s) και σαν ελεγκτή τον K(s), και παίζοντας με το Κ στον γεωμετρικό τόπο των ριζών μπορώ να s+ 0.19s 2 πάρω το σύστημα: K s = s 49
50 Σταθερά σφάλματος θέσης K p (1) Σταθερά σφάλματος θέσης K p Μέτρο σφάλματος στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας, μεταξύ της εισόδου και της εξόδου, όταν η είσοδος του συστήματος μοναδιαίας ανάδρασης τύπου l διεγείρεται από την μοναδιαία βηματική συνάρτηση. v(s) - e(s) G(s) y(s) G s = KB 1 s s l B 2 s 50
51 Σταθερά σφάλματος θέσης K p (2) e s = v s y s = v s G s e s I + G s e s = v s e s = I + G s 1 v s e = lim s I + G s 1 v s. s 0 KB 1 0 K p = lim G s = l = 0 s 0 B 2 0 l > 0 e = lim t e t = K p = B 2 0 l = 0 B KB l > 0 51
52 Σταθερά σφάλματος ταχύτητας K u (1) Σταθερά σφάλματος ταχύτητας K u Μέτρο σφάλματος στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας, μεταξύ της εισόδου και της εξόδου, όταν η είσοδος του συστήματος μοναδιαίας ανάδρασης τύπου l διεγείρεται από την μοναδιαία συνάρτηση κλίσης. v(s) - e(s) G(s) y(s) G s = KB 1 s s l B 2 s 52
53 Σταθερά σφάλματος ταχύτητας K u (2) e = lim s 0 s I + G s 1 v s = lim s 0 s e K u = lim s 0 sg s = = lim t e t = 1 K u = 1 1 s 2 = lim s G s 0 l = 0 KB 1 0 l = 1 B 2 0 l > 1 l = 0 B 2 0 l = 1 KB l > 1 1 sg s 53
54 Άσκηση 1 (1) Έστω ότι η συνάρτηση μεταφοράς του ανοικτού συστήματος είναι: G s = h s d s = 1 s + 2 s + 8 Και θέλουμε να δημιουργήσουμε έναν ελεγκτή ώστε να έχουμε: α) Μέγιστο ποσοστό υπερύψωσης (maximum overshoot) 5%, β) Χρόνο αποκατάστασης (settling time) λιγότερο από 1.5 sec (θέτοντας ως settling time το 2%). γ) Μηδενικό steady-state λάθος σε βηματική είσοδο (u(t) = 1) δ) Λιγότερο από 25% steady-state λάθος σε είσοδο αναρρίχησης (u(t) = t.) 54
55 Άσκηση 1 (2) Απάντηση. Θα πρέπει λοιπόν M p 5 100e πζ 1 ζ 2 5 ζ 0.69 t s 1.5 t s 4 ζωn 4 ζω n 1.5 ζω n =
56 Άσκηση 1 (3) Παρατηρούμε στο Matlab ότι με έναν ελεγκτή αναλογικό της μορφής Κ=10 μπορούμε να πετύχουμε τις πρώτες 2 απαιτήσεις αλλά όχι την τρίτη και τέταρτη. 56
57 Άσκηση 1 (4) Ακραίοι επιθυμητοί πόλοι του κλειστού συστήματος: p 1,2 = ζω n ± iω n 1 ζ 2 = 2.66 ± i3.86 Βήμα 1. Σχημάτισε το πολυώνυμο δ s = s i s i = s s Βήμα 2. Υπολόγισε την διαφορά δ s d s = s s s 2 10s 16 = 4.68s = f s Βήμα 3. Διάλεξε αυθαίρετο ευσταθές πολυώνυμο q(s) βαθμού 2-1=1 q s = s + q 1 με Re q 1 > 0 57
58 Άσκηση 1 (5) Βήμα 4. Υπολόγισε πολυώνυμα a(s), b(s) τέτοια ώστε a s s s b s 1 = s + q s = 4.68s q s + 5.9q 1 a 0 a 1 b 0 b = 5.98q q = q q 1 και άρα a s = 4.68, b s = q q 1 s 1 58
59 Άσκηση 1 (6) αλλά και a s = 4.68 k s 1, b s = q q 1 s + k s s s + 16 Βήμα 5. Ο ζητούμενος αντισταθμιστής είναι: K s = h c s d c s = b s q s + a s = q q 1 s s + q αλλά και K s = h c s d c s = b s q s + a s = q q 1 s + k s s s + 16 s + q k s 59
60 Άσκηση 1 (7) Ενώ η συνάρτηση μεταφοράς του κλειστού συστήματος θα είναι: h s b s H s = q s δ s = q q 1 s s + q 1 s s αλλά και H s = h s b s q s δ s = q q 1 s + k s s s + 16 s + q 1 s s
61 Άσκηση 1 (8) K s = h c s d c s = b s q s + α s = q q 1 s s + q Για να ικανοποιείται η συνθήκη 3 θα πρέπει το ανοικτό σύστημα να είναι του τύπου 1. Για να γίνει αυτό μπορούμε να επιλέξουμε q 1 = 4.68 και συνεπώς θα έχουμε K s = h c s d c s = b s q s + α s H s = s = s h s b s q s δ s = s s s s
62 Υπολογισμός αντισταθμιστού Άσκηση 1 (9) K s = h c s d c s = b s q s + a s = = q q 1 s + k s s s + 16 s + q k s αλλά και q 1 = = 26.6 = k s K s H s = = h c s d c s h s b s q s δ s k = = s s2 = s s s2 = s s s
63 Υπολογισμός αντισταθμιστού Άσκηση 1 (10) Για να ικανοποιείται η 4 η συνθήκη θα πρέπει K u = lim sk s G s 1 s = s lim s s 0 s = s s2 lim s s 0 s = = s s + 16 = s s
64 Υπολογισμός αντισταθμιστή (1) Δουλεύοντας στο Matlab και θέτοντας στο ανοικτό σύστημα την G(s) και σαν ελεγκτή τον K(s) K s = h c s d c s = b s q s + a s %Πρώτος Ελεγκτής sys=zpk([],[-2-8],1) sysk=tf([ ],[1 0]) sys1=series(sys,sysk) sys2=feedback(sys1,1) sys3=series(sys2,tf([1],[1 0])) subplot(2,2,1) step(sys2)%(βηματική είσοδος) subplot(2,2,2) step(sys3)%(ramp input) s = s 64
65 Υπολογισμός αντισταθμιστή (2) Δουλεύοντας στο Matlab και θέτοντας στο ανοικτό σύστημα την G(s) και σαν ελεγκτή τον K(s) K s = h c s d c s = b s q s + a s s = s 65
66 Υπολογισμός αντισταθμιστή (3) Δουλεύοντας στο Matlab και θέτοντας στο ανοικτό σύστημα την G(s) και σαν ελεγκτή τον K(s) K s = h c s d c s %Δεύτερος Ελεγκτής sys=zpk([],[-2-8],1) sysk=tf([ ],[1 0]) sys11=series(sys,syskk) sys22=feedback(sys11,1) subplot(2,2,3) step(sys22)%(βηματική είσοδος) sys33=series(sys22,tf([1],[1 0])) subplot(2,2,4) step(sys33)%(ramp input) s s2 = s 66
67 Υπολογισμός αντισταθμιστή (4) Δουλεύοντας στο Matlab και θέτοντας στο ανοικτό σύστημα την G(s) και σαν ελεγκτή τον K(s) K s = h c s d c s s s2 = s 67
68 Υπολογισμός αντισταθμιστή (5) 68
69 Άσκηση 2 Έστω ότι η συνάρτηση μεταφοράς του ανοικτού συστήματος είναι: G s = h s d s = 1 s + 2 s + 3 = 1 s 2 + 5s + 6 Και θέλουμε να δημιουργήσουμε έναν ελεγκτή ώστε να έχουμε: α) Μέγιστο ποσοστό υπερύψωσης (maximum overshoot) 5%, β) χρόνο αποκατάστασης (settling time) λιγότερο από 1 sec. Προσπαθήστε να υπολογίσετε τον ελεγκτή θέτοντας ως όρια για να λύσετε την παραπάνω άσκηση χαμηλότερα δηλαδή α) μέγιστο ποσοστό υπερύψωσης (maximum overshoot) 4%, β) χρόνο αποκατάστασης (settling time) λιγότερο από 0.8 sec. 69
70 Αποσύζευξη εισόδων-εξόδων (Decoupling) (1) D s = D 11 s D 12 s D 21 s D 22 s G s = G 11 s G 12 s G 21 s G 22 s, T s = T 11 s 0 0 T 22 s C s = C 1 s 0 0 C 2 s = G s D s 70
71 Αποσύζευξη εισόδων-εξόδων (Decoupling) (2) D s = T s = 1 G 12 s G 11 s G 21 s 1 G 22 s G 11 s G 12 s G 21 s G 22 s, G s = G 11 s G 12 s G 21 s G 22 s 0 G 22 s G 12 s G 21 s G 11 s C s = C 1 s 0 0 C 2 s 0 71
72 Αποσύζευξη εισόδων-εξόδων (Decoupling) (3) T 11 s = G 11 s G 12 s G 21 s G 22 s T 22 s = G 22 s G 12 s G 21 s G 11 s Luyben, W.L., Distillation decoupling. AIChE Journal, 1970, 16(2):
73 Αποσύζευξη εισόδων-εξόδων (Decoupling) (4) 2s 2 16s 10 1 D s = 2s 2 + 3s + 1 4s 2 24s 8 3s s G s = s 2 + 8s + 5 2s 2 + 3s s 2 + 5s + 1 s 2 + 6s + 2 2s 4 73s 3 386s 2 344s 77 T 1 s = 6s s s s s s s 4 73s 3 386s 2 344s 77 T 2 s = 2s s s s s s
74 Αποσύζευξη εισόδων-εξόδων (Decoupling) (5) Υποθέτουμε ότι σκοπός μας είναι η κατασκευή ενός ελέγκτή για T 1 s, ο οποίος θα ικανοποιεί τα εξής: 1) Overshoot 5%, 2) 2% settling time 10s. Έστω ότι σκοπός μας είναι η κατασκευή ενός ελέγκτή για T 2 s ο οποίος θα ικανοποιεί τα εξής: 1) Overshoot 2%, 2) 2% settling time 20s. 74
75 Βιβλιογραφία Βαρδουλάκης Α.Ι., 2011, Εισαγωγή στη Μαθηματική Θεωρία Σημάτων, Συστημάτων και Ελέγχου, Τόμος Α :, ΕΚΔΟΣΕΙΣ Α. ΤΖΙΟΛΑ & ΥΙΟΙ Α.Ε. Li Qiu and Kemin Zhou, 2010, Introduction to Feedback Control, Pearson Ed. Luyben, W.L., Distillation decoupling. AIChE Journal, 1970, 16(2):
76 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Νικόλαος Καραμπετάκης. «. Ενότητα 16: Υπολογισμός αντισταθμιστή με χρήση διοφαντικών εξισώσεων». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: 76
77 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1] 77
78 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 78
79 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος Ενότητας Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Χειμερινό εξάμηνο
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 15: Επίλυση διοφαντικών εξισώσεων πολυωνύμων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΚλασσική Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7: Χρονική απόκριση συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΚλασσική Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9: Περιγραφή συστημάτων στο πεδίο της συχνότητας Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΚλασσική Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Συστήματα πρώτης και δεύτερης τάξης Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΚλασσική Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 12: PI-controllers, Lag compensators Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΚλασσική Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 11: Γεωμετρικός τόπος των ριζών Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου
Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 5 η : ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 16. Ανάστροφο εκκρεμές (ανάδραση κατάστασης) Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΛογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 21. Επανατοποθέτηση πολών με ανάδραση εκτιμώμενης κατάστασης Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9. Επανατοποθέτηση πόλων σε συστήματα πολλών εισόδων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΚλασσική Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 22. Ανατροφοδότηση εξόδου Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΚλασσική Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4: Ιδιότητες συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου
Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 3 η : ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9. Πραγματοποιήσεις Συνάρτησης Μεταφοράς Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΚλασσική Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ο μετασχηματισμός Laplace Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Επίλυση Διακριτών Γραμμικών Συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 7: Σειρές Taylor, Maclaurin. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7: Σειρές Taylor, Maclaurin Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18. Ασυμπτωτική ευστάθεια και σταθεροποιησιμότητα γραμμικών συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 20. Παρατηρητής Κατάστασης Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΚλασσική Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 13: PD controllers, Lead compensators Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΛογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΚλασσική Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 14: Κριτήριο Nyquist Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΙστορία της μετάφρασης
ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Μεταφραστές και πρωτότυπα. Ελένη Κασάπη ΤΜΗΜΑ ΑΓΓΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Συνάρτηση Μεταφοράς Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 5: Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Κατασκευή Διαφορικής Εξίσωσης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Κατασκευή Διαφορικής Εξίσωσης Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 6: Ακρότατα Συνάρτησης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Ακρότατα Συνάρτησης Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΘεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 7η: Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΚλασική Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Θεωρία Ελέγχου Ενότητα 2: Σήματα Συνεχούς Χρόνου Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΜηχανολογικό Σχέδιο Ι
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΕκκλησιαστικό Δίκαιο
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 11η: Οργανισμοί της Εκκλησίας της Ελλάδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΘεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 10η: Απεσταλμένοι του Ρωμαίου Ποντίφικα και Ρωμαϊκή Κουρία Κυριάκος Κυριαζόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 8: Εφαρμογές Σειρών Taylor. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Εφαρμογές Σειρών Tylor Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου
Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 7 η : ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕκκλησιαστικό Δίκαιο
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8η: Ο νέος αντιρατσιστικός νόμος και ο ν.4301/2014 Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΑΝΟΙΚΤΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Γενικά Μαθηματικά Ι Ενότητα 11 : Ακολουθίες και Σειρές Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα : Ακολουθίες και Σειρές Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative Commos. Για
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 9: Κίνηση Σε Πολικές Συντεταγμένες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9: Κίνηση Σε Πολικές Συντεταγμένες Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative
Διαβάστε περισσότεραΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 3. Ενότητα 13: Τύπος του Taylor. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 13: Τύπος του Taylor. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 14: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3. Κανονικές μορφές Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΟικονομία των ΜΜΕ. Ενότητα 7: Μορφές αγοράς και συγκέντρωση των ΜΜΕ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Οικονομία των ΜΜΕ Ενότητα 7: Μορφές αγοράς και συγκέντρωση των ΜΜΕ Γιώργος Τσουρβάκας, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Δημοσιογραφίας και
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 17: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 3
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 3: Ενισχυτές στις χαμηλές συχνότητες Χατζόπουλος Αλκιβιάδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχ. Υπολογιστών Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 1
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 1: Σχεδίαση τελεστικών ενισχυτών Χατζόπουλος Αλκιβιάδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχ. Υπολογιστών Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 17. Ανάδραση του ανύσματος κατάστασης και επανατοποθέτηση πόλων του συστήματος Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 14. Ελάχιστες Πραγματώσεις Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΠαράκτια Ωκεανογραφία
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διάλεξη 8 η : Θραύση και αναρρίχηση κυματισμών-2 Θεοφάνης Β. Καραμπάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Διακριτοποίηση συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 2 η : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ
Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 2 η : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΙστορία της μετάφρασης
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Η μετάφραση των εβδομήκοντα, η εκπαίδευση των μεταφραστών κατά Κικέρωνα, η τέχνη της μετάφρασης από την αρχαιότητα μέχρι τα
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Ομοιότητα και Όμοιες Περιγραφές Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 6: Ακρότατα συναρτησιακών διανυσματικών συναρτήσεων. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Ακρότατα συναρτησιακών διανυσματικών συναρτήσεων Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4: Υπολογισμός του εκθετικού πίνακα Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΙστορία των Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7: Κλασσική Άλγεβρα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7.2: Πέντε βασικά
Διαβάστε περισσότεραΠαράκτια Τεχνικά Έργα
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΑΘΕΣΗ ΥΓΡΩΝ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΑ ΥΠΟΒΡΥΧΙΟΙ ΑΓΩΓΟΙ Ενότητα 5 η : Κατασκευαστικά παραδείγματα Γιάννης Ν. Κρεστενίτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ Ενότητα # 17: Ταχύτητα Αντιδράσεων Ακρίβος Περικλής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)
Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου
Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 4 η : ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΚλασσική Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Μαθηματική περιγραφή συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΘεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 11η: Σύγκριση Ρωσικής Ορθόδοξης Εκκλησίας και Καθολικής Εκκλησίας Κυριάκος Κυριαζόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 13: Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΙστορία των Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Μαθηματικά στην Αναγέννηση. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5.:
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1. Ελεγξιμότητα (μέρος 1ο) Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕκκλησιαστικό Δίκαιο
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6η: Ελληνική νομολογία Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΘερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση
Διαβάστε περισσότεραΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7. Ισοδύναμες Περιγραφές Συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 6
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 6: Ανάδραση Χατζόπουλος Αλκιβιάδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχ. Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΒέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων
Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 7: Βέλτιστος έλεγχος συστημάτων διακριτού χρόνου Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα
Διαβάστε περισσότεραΦ 619 Προβλήματα Βιοηθικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Ο Πλάτων και ο Αριστοτέλης ως ιατροί. Οι ιατροφιλόσοφοι (Ιπποκράτης, Γαληνός, Κέλσος). Ελένη Καλοκαιρινού Φιλοσοφίας-Παιδαγωγικής
Διαβάστε περισσότεραΑξιολόγηση μεταφράσεων ιταλικής ελληνικής γλώσσας
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αξιολόγηση μεταφράσεων ιταλικής ελληνικής γλώσσας Ενότητα 1: Αυτοαξιολόγηση μεταφραστών Κασάπη Ελένη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6 η Άσκηση - DFS δένδρα Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΟδοποιία IΙ. Ενότητα 14: Υπόδειγμα σύνταξης τευχών θέματος Οδοποιίας. Γεώργιος Μίντσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Οδοποιία IΙ Ενότητα 14: Υπόδειγμα σύνταξης τευχών θέματος Οδοποιίας Γεώργιος Μίντσης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΔιεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 8: Η Οικονομική πολιτική της Ευρωπαϊκής Ένωσης Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής Ενότητα 9: Μέτρηση Αγωγιμότητας Διαλυμάτων Περικλής Ακρίβος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΟικονομία των ΜΜΕ. Ενότητα 9: Εταιρική διασπορά και στρατηγικές τιμολόγησης
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9: Εταιρική διασπορά και στρατηγικές τιμολόγησης Γιώργος Τσουρβάκας, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Δημοσιογραφίας και ΜΜΕ Σχολή
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 19: Υπολογισμός Εμβαδού και Όγκου Από Περιστροφή (2 ο Μέρος) Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Υπολογισμός Εμβαδού και Όγκου Από Περιστροφή ( ο Μέρος) Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΥπόγεια Υδραυλική και Υδρολογία
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4: Αναλυτική επίλυση του μαθηματικού ομοιώματος: Σύμμορφη Απεικόνιση Καθηγητής Κωνσταντίνος Λ. Κατσιφαράκης Αναπληρωτής Καθηγητής
Διαβάστε περισσότεραΛογισμός 3. Ενότητα 5:Θεώρημα ακραίων τιμών και θεώρημα ενδιάμεσων τιμών- Ομοιόμορφη συνέχεια. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5:Θεώρημα ακραίων τιμών και θεώρημα ενδιάμεσων τιμών- Ομοιόμορφη συνέχεια. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΟικονομετρία. Εξειδίκευση του υποδείγματος. Μορφή της συνάρτησης: Πολυωνυμική, αντίστροφη και αλληλεπίδραση μεταβλητών
Οικονομετρία Εξειδίκευση του υποδείγματος Μορφή της συνάρτησης: Πολυωνυμική, αντίστροφη και αλληλεπίδραση μεταβλητών Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.4: Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 4
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 4: Ενισχυτές στις υψηλές συχνότητες Χατζόπουλος Αλκιβιάδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχ. Υπολογιστών Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής Ενότητα 4: Τοποθέτηση d ηλεκτρονίων σε οκτάεδρα Σύμπλοκα Περικλής Ακρίβος Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΣυμπεριφορά Καταναλωτή
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9 : Ομάδες αναφοράς Χριστίνα Μπουτσούκη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΓεωργική Εκπαίδευση Ενότητα 9
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9: Σχεδιασμός εκπαιδευτικών προγραμμάτων για τον αγροτικό χώρο Αφροδίτη Παπαδάκη-Κλαυδιανού Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΔιοικητική Λογιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 10: Προσφορά και κόστος Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά
Διαβάστε περισσότεραΔιδακτική της Πληροφορικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 14: Διδακτικές Προσεγγίσεις για τον Προγραμματισμό Σταύρος Δημητριάδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότερα