Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Transcript

1 Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 7 η : ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΕ

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Στην ενότητα αυτή παρουσιάζεται ο αναλογικός ολοκληρωτικός διαφορικός ελεγκτής και η χρήση του στη σχεδίαση των συστημάτων ελέγχου. 4

5 Περιεχόμενα ενότητας Controllers Ελεγκτές. Επιρροή των όρων P, I και D. Διάγραμμα ανοιχτού συστήματος χωρίς ελεγκτή. PID Controller. Ολοκληρωτικός ελεγκτής. 5

6 Controllers Ελεγκτές (1/2) Στις επόμενες ενότητες θα εξετασθούν οι βιομηχανικοί ελεγκτές ή ελεγκτές τριών όρων PID, (με τους διάφορους συνδυασμούς τους όπως: P, PI ή PID). Η προτίμηση των ελεγκτών PID οφείλεται εν μέρει στην σθεναρή και εν μέρει στην απλή τους λειτουργία, κάτω από πολλές και διαφορετικές συνθήκες. Η υλοποίηση ενός τέτοιου ελεγκτή βασίζεται στον προσδιορισμό των τριών παραμέτρων Kp, Ki, Kd. Εικόνα 1: Controllers Ελεγκτές. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 6

7 Controllers Ελεγκτές (2/2) Σήμα εξόδου του ελεγκτή στο πεδίο του χρόνου. Σήμα εξόδου του ελεγκτή στο πεδίο του Laplace. Η έξοδος του ελεγκτή PID σχηματίζεται από το άθροισμα τριών όρων, ενός όρου Ρ (Proportional) αναλόγου του σφάλματος, ενός όρου Ι (Integral) αναλόγου του ολοκληρώματος του σφάλματος και ενός όρου D (Derivative ) αναλόγου της παραγώγου του σφάλματος. Εικόνα 2: Controllers Ελεγκτές. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 7

8 Ορισμοί Εικόνα 3: Ορισμοί. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 8

9 Επιρροή των όρων P, I και D στην απόκριση του συστήματος Ο αναλογικός όρος P βοηθά στη βελτίωση της συμπεριφοράς του συστήματος τόσο στην μεταβατική όσο και στην μόνιμη κατάσταση, αλλά αδυνατεί να εξαλείψει πλήρως το μόνιμο σφάλμα. Δεν μπορεί να αντεπεξέλθει ικανοποιητικά σε όλους τους τύπους των συστημάτων και των εξωτερικών διαταραχών, γι' αυτό (όπου απαιτείται) συνδυάζεται μαζί με άλλους όρους. Ο ολοκληρωτικός όρος Ι χρησιμοποιείται σε συστήματα που παρουσιάζουν σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση, αφού για όσο χρόνο υπάρχει σφάλμα, η έξοδος του ελεγκτή, λόγω του ολοκληρώματος αυξάνεται με αποτέλεσμα την εξάλειψη του σφάλματος, αλλά αυτό γίνεται σε βάρος της ταχύτητας απόκρισης και της ευστάθειας του συστήματος. Ο διαφορικός όρος D αυξάνει την ευστάθεια του συστήματος και βελτιώνει τη συμπεριφορά του κατά τη μεταβατική κατάσταση, αλλά λόγω της επιβολής στην πράξη περιορισμού της εξόδου του ελεγκτή δεν χρησιμοποιείται ποτέ από μόνος του.

10 Επιρροή των όρων P, I και D Να σημειωθεί ότι η συσχέτιση στον πίνακα μπορεί να μην είναι ακριβής, διότι οι όροι Κp, Ki και Kd είναι αλληλοεξαρτώμενοι. Εικόνα 4: Επιρροή των όρων P, I και D. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 10

11 Παράδειγμα εφαρμογής PID ελεγκτή (1/2) Έστω ότι έχουμε το εικονιζόμενο μηχανικό σύστημα. Εικόνα 5: Παράδειγμα εφαρμογής PID ελεγκτή. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. Η μαθηματική περιγραφή είναι: m x + b x + kx = f. Μετασχηματίζοντας σε Laplace, παίρνουμε: ms 2 X s + bsx s + kx s = F s. Η συνάρτηση μεταφοράς είναι: X(s) F(s) = 1 ms 2 +bs+k. 11

12 Παράδειγμα εφαρμογής PID ελεγκτή (2/2) Έστω: Με αυτές τις τιμές η συνάρτηση που προκύπτει είναι: Σκοπός μας είναι να δούμε, πως κάθε ένας από τους όρους συμβάλει στο να έχουμε: Μικρό χρόνο ανόδου. Ελάχιστη υπερύψωση. Μηδενικό μόνιμο σφάλμα. 12

13 Διάγραμμα ανοιχτού συστήματος χωρίς ελεγκτή Η συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόγχου είναι: Εικόνα 6: Διάγραμμα ανοιχτού συστήματος χωρίς ελεγκτή. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. Η τιμή της εξόδου στη μόνιμη κατάσταση είναι: X(s) = 1 F(s) s 2 +10s+20 x ss = lim x t = lim sx s = lim sf s X s t s 0 s 0 F s =

14 Βηματική απόκριση του συστήματος ανοιχτού βρόγχου 0.05=1/20 είναι η τελική τιμή της εξόδου X(t) σε μοναδιαία βηματική διέγερση. Αυτό σημαίνει ότι το μόνιμο σφάλμα στο ανοιχτό σύστημα είναι 95%. Ο χρόνος αποκατάστασης Τs είναι περίπου 1,5 sec. Εικόνα 7: Βηματική απόκριση του συστήματος ανοιχτού βρόγχου. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 14

15 P Controller - Αναλογικός Ελεγκτής (1/2) Η ΣΜ του συστήματος κλειστού βρόγχου είναι: Εικόνα 8: P Controller - Αναλογικός Ελεγκτής. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 15

16 P Controller - Αναλογικός Ελεγκτής Επιλέγοντας Κp=300 (2/2) Από τη γραφική παράσταση της απόκρισης φαίνεται ότι ο αναλογικός ελεγκτής, μειώνει το χρόνο ανόδου και το μόνιμο σφάλμα αυξάνει την υπερύψωση και επιφέρει Μικρή αλλαγή στο χρόνο αποκατάστασης. Εικόνα 9: P Controller - Αναλογικός Ελεγκτής. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 16

17 PI Controller Αναλογικός- Ολοκληρωτικός Ελεγκτής (1/2) Η ΣΜ του συστήματος κλειστού βρόγχου είναι: Εικόνα 10: PI Controller Αναλογικός-Ολοκληρωτικός Ελεγκτής. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 17

18 PI Controller Αναλογικός- Ολοκληρωτικός Ελεγκτής (2/2) Επιλέγοντας Κp=30, Ki=70. Από τη γραφική παράσταση της απόκρισης φαίνεται ότι ο αναλογικός ολοκληρωτικός ελεγκτής, μειώνει το χρόνο ανόδου και μηδενίζει το μόνιμο σφάλμα. Εικόνα 11: PI Controller Αναλογικός- Ολοκληρωτικός Ελεγκτής. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 18

19 PD Controller Αναλογικός- Διαφορικός Ελεγκτής (1/2) Η ΣΜ του συστήματος κλειστού βρόγχου είναι: Εικόνα 12: PD Controller Αναλογικός - Διαφορικός Ελεγκτής. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 19

20 PD Controller Αναλογικός- Διαφορικός Ελεγκτής (2/2) Επιλέγοντας Κp=300, Kd=10. Από τη γραφική παράσταση της απόκρισης φαίνεται ότι ο Αναλογικός- Διαφορικός ελεγκτής, μειώνει την υπερύψωση και το χρόνο αποκατάστασης ενώ έχει μικρή επιρροή στο χρόνο ανύψωσης και στο μόνιμο σφάλμα. Εικόνα 13: PD Controller Αναλογικός - Διαφορικός Ελεγκτής. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 20

21 PID Controller Αναλογικός-Ολ/κός- Διαφορικός Ελεγκτής (1/3) Η ΣΜ του συστήματος κλειστού βρόγχου είναι: Εικόνα 14: PID Controller Αναλογικός-Ολοκληρωτικός-Διαφορικός Ελεγκτής. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 21

22 PID Controller (2/3) Αναλογικός-Ολοκληρωτικός-Διαφορικός Ελεγκτής. Βέλτιστη απόκριση. Εικόνα 15: PID Controller Αναλογικός-Ολοκληρωτικός-Διαφορικός Ελεγκτής. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 22

23 PID Controller (3/3) Εικόνα 16: PI Controller Αναλογικός-Διαφορικός Ελεγκτής. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 23

24 Αναλογικός Ελεγκτής Εικόνα 17: Αναλογικός Ελεγκτής. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 24

25 Μεταβολή του κέρδους σε Αύξηση του κέρδους: Βελτιώνει την μεταβατική και την μόνιμη απόκριση Μειώνει το μόνιμο σφάλμα. Μειώνει την Ευστάθεια! Αναλογικό Ελεγκτή Εικόνα 18: Μεταβολή του κέρδους σε Αναλογικό Ελεγκτή. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 25

26 Αναλογικός Ελεγκτής με μεγάλο κέρδος Εικόνα 19: Αναλογικός Ελεγκτής με μεγάλο κέρδος. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 26

27 Ολοκληρωτικός Ελεγκτής Το Ολοκλήρωμα του σφάλματος με σταθερό κέρδος επιφέρει: Αύξηση του τύπου του συστήματος κατά 1. Εξάλειψη του μονίμου σφάλματος σε βηματική διέγερση. Αύξηση της υπερύψωσης και των ταλαντώσεων. Εικόνα 20: Ολοκληρωτικός Ελεγκτής. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 27

28 Αύξηση του κέρδους σε Αναλογικό- Ολοκληρωτικό Ελεγκτή (PI) Αύξηση του κέρδους : Δε βελτιώνει τη μόνιμη απόκριση. Αυξάνει ελαφρώς το χρόνο αποκατάστασης. Αύξηση της υπερύψωσης και των ταλαντώσεων. Εικόνα 21: Αύξηση του κέρδους σε Αναλογικό-Ολοκληρωτικό Ελεγκτή. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 28

29 Διαφορικός Ελεγκτής Διαφόριση του σφάλματος με σταθερό κέρδος Γρήγορη ανίχνευση των μεταβολών της εξόδου. Μείωση υπερύψωσης και ταλαντώσεων. Δεν επηρεάζει τη μόνιμη απόκριση. Βελτίωση της μεταβατικής απόκρισης. Εικόνα 22: Διαφορικός ελεγκτής. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 29

30 Αύξηση του κέρδους σε Αναλογικό- Διαφορικό Ελεγκτή (PD) Αύξηση του κέρδους : Βελτίωση της μεταβατικής απόκρισης. Μείωση της κορυφής και του χρόνου ανόδου. Αύξηση της υπερύψωσης και του χρόνου αποκατάστασης. Εικόνα 23: Αύξηση του κέρδους σε Αναλογικό-Διαφορικό Ελεγκτή. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 30

31 Μεταβολές κέρδους σε Ελεγκτή PID Εικόνα 24: Μεταβολές κέρδους σε Ελεγκτή PID. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 31

32 Συμπεράσματα Αυξάνοντας το αναλογικό κέρδος μειώνεται το μόνιμο σφάλμα, αν όμως το αυξήσουμε πολύ το σύστημα αποσταθεροποιείται. Ο Ολοκληρωτικός έλεγχος επιφέρει ισχυρή μείωση του μόνιμου σφάλματος, αλλά συχνά μειώνει την ευστάθεια του συστήματος. Ο Διαφορικός έλεγχος αυξάνει την απόσβεση και βελτιώνει την ευστάθεια χωρίς να επηρεάζει το μόνιμο σφάλμα.

33 Βιβλιογραφία 1. FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments....33

34 Τέλος Ενότητας

35 Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας, Γαύρος Κωνσταντίνος. «Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: URL.

36 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 36

37 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς. το Σημείωμα Αδειοδότησης. τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων. το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει). μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 37

38 Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφί ες: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 38