(elementary graph algorithms)

Transcript

1 (elementary graph algorithms) Παύλος Εφραιμίδης 1

2 περιεχόμενα γραφήματα αναπαραστάσεις οριζόντια διερεύνηση καθοδική διερεύνηση 2

3 ΓΡΑΦΉΜΑΤΑ 3

4 αναπαράσταση δύο καθιερωμένοι τρόποι: πίνακας γειτνίασης συλλογή από καταλόγους γειτνίασης 4

5 Königsberg, 1736 ο Euler σε ώρα περιπάτου στις όχθες του ποταμού Pregel (Königsberg 1736). Leonhard Euler ( ) 1783) Mathematician and physicist Απόφοιτος: University of Basel Institutions: Imperial p Russian Academy of Sciences Berlin Academy Doctoral advisor: Johann Bernoulli Doctoral students: Johann Hennert Joseph p Lagrange g 5

6 το πρόβλημα Υπάρχει διαδρομή που περνάει από όλες τις γέφυρες ακριβώς μία φορά και τερματίζει στο σημείο εκκίνησης; 6

7 πιο αναλυτικά? 7

8 το πρώτο γραφοθεωρητικό πρόβλημα 8

9 η λύση του Euler ο Euler βρήκε τη λύση χρησιμοποιώντας το βαθμό των κορυφών του γραφήματος βαθμός: το πλήθος των ακμών που προσπίπτουν στην κορυφή 9

10 θεωρία βασική ορολογία

11 βασική ορολογία Γράφημα G = (V,E) V: κόμβοι κορυφές του γραφήματος E: γραμμές ακμές του γραφήματος μη κατευθυνόμενο γράφημα G=(V,E) u ε v1 v2 κατευθυνόμενο γράφημα G=(V,E)

12 απλό γράφημα Η ακμή e=(v1 (v1,v2) v2) εφάπτεται (incident on) των κορυφών v1 και v2. Οι κορυφές v1 και v2 λέγονται γειτονικές. Παράλληλες ακμές σε μη κατευθυνόμενο γράφημα Ανακύκλωση (loop) Απλό γράφημα (simple graph): Γράφημα G δίχως ανακυκλώσεις και παράλληλες ακμές.

13 μονοπάτια - κύκλοι μονοπάτια απλό μονοπάτι (simple path) σε γράφημα Γ: μονοπάτι δίχως επαναλαμβανόμενες κορυφές κύκλος (cycle) : Μονοπάτι δίχως επαναλαμβανόμενες ακμές όπου αρχική και τελική κορυφή συμπίπτουν απλός κύκλος (simple cycle): κύκλος δίχως επαναλαμβανόμενες κορυφές (εκτός αρχικής και τελικής)

14 βάρη μεμονωμένη μμ μ κορυφή: Μια κορυφή στην οποία V δεν εφάπτεται καμία ακμή καλείται μεμονωμένη κορυφή (isolated vertex). γράφημα με βάρη: Γράφημα στο οποίο έχει συσχετιστεί με κάθε ακμή ένας αριθμός, το βάρος. G 1 v 3 v v 1 v 2 v 5 v 6 μήκος μονοπατιού σε γράφημα με βάρη: Το άθροισμα των βαρών των ακμών του μονοπατιού.

15 ειδικά γραφήματα ειδικές κατηγορίες : πλήρες γράφημα (complete graph) με v κορυφές διμερές γράφημα (bipartite graph) πλήρες διχοτομήσιμο γράφημα (bipartite graph) με ν και μ κορυφές

16 διμερές μρςγράφημα ένα γράφημα G=(V (V, E)στο οποίο το σύνολο κορυφών μπορεί να διαμεριστεί σε δύο σύνολα V1 και V2 έτσι ώστε: Για κάθε ακμή e = (u,v) είτε uinv1και vinv2 είτε v in V1 και u in V2 σε ένα διμερές γράφημα υπάρχουν ακμές μόνο μεταξύ μιας κορυφής του V1 και μιας κορυφής του V2 16 Γραφήματα

17 συνδεόμενα γραφήματα συνδεόμενο γράφημα (connected graph) υπογράφημα (sub-graph): Τμήμα του γραφήματος G που περιέχει την κορυφή ν (part of the graph)

18 υπεργράφημα (hypergraph) p Η γενίκευση του μοντέλου των το οποίο αντί για ακμές έχει υπερ-ακμές: Κάθε ακμή του είναι ένα σύνολο 2 ή περισσότερων κορυφών Στα γραφήματα κάθε ακμή είναι ένα σύνολο 2 κορυφών (ή ένα διατεταγμένο ζεύγος 2 κορυφών για κατευθυνόμενα γραφήματα) 18 Γραφήματα

19 δέντρο άκυκλο γράφημα: Ένα γράφημα το οποίο δεν έχει κύκλους απλό γράφημα: Δεν έχει πολλαπλές ακμές συνδεδεμένο (συνεκτικό) γράφημα: Υπάρχει μονοπάτι μεταξύ κάθε ζεύγους κορυφών του γραφήματος Δέντρο: Ένα άκυκλο απλό συνδεδεμένο γράφημα ονομάζεται δέντρο. 19 Γραφήματα

20 ΑΝΑΠΑΡΆΣΤΑΣΗ ΓΡΑΦΗΜΆΤΩΝ 20

21 μη-κατευθυνόμενο μ γράφημα κατάλογοι γειτνίασης

22 μη-κατευθυνόμενο μ γράφημα πίνακας γειτνίασης

23 κατευθυνόμενο γράφημα κατάλογοι γειτνίασης

24 κατευθυνόμενο γράφημα πίνακας γειτνίασης

25 οριζόντια ρζ διερεύνηση η οριζόντια διερεύνηση (breadth first search): ένας απλός τρόπος διερεύνησης ενός γραφήματος Δίνονται γράφημα G(V,E) αφετηριακός κόμβος s Ζητείται: συστηματική εξέταση των ακμών του G ώστε να εντοπιστούν όλοι οι κόμβοι που είναι προσπελάσιμοι από τον s Ο χαρακτηρισμός «οριζόντια» αναφέρεται στη σειρά με την οποία επισκέπτεται τους κόμβους του γραφήματος 25

26 οριζόντια διερεύνηση ή διερεύνηση πρώτα σε πλάτος ο αλγόριθμος επεκτείνει το σύνορο μεταξύ εντοπισμένων και μη εντοπισμένων κόμβων ομοιόμορφα σε όλο το εύρος του συνόρου αυτού ή με άλλα λόγια: ο αλγόριθμος εντοπίζει πρώτα όλους τους κόμβους σε απόσταση k από τον s, και μόνο αφού εξαντλήσει αυτούς τους κόμβους προχωρά στον εντοπισμό κόμβων σε απόσταση k+1 26

27 παράδειγμα οριζόντιας διερεύνησης 27

28 (a) r s t u 0 v w x y Q s 0 r s t u 1 0 Q (b) w r v w x y (c) r s t u v w x y Q r t x (d) r s t u v w x y Q t x v r s t u Q (e) x v u v w x y (f) r s t u v w x y Q v u y

29 (g) r s t u v 1 w 2 x 3 y Q u y 3 3 (h) r s t u v w x y Q y 3 (i) r s t u Q empty

30 30

31 καθοδική διερεύνηση η καθοδική διερεύνηση (depth first search): ακόμη ένας απλός τρόπος διερεύνησης ενός γραφήματος Δίνονται γράφημα G(V,E) αφετηριακός κόμβος s Ζητείται: συστηματική εξέταση των ακμών του G ώστε να εντοπιστούν όλοι οι κόμβοι που είναι προσπελάσιμοι από τον s Ο χαρακτηρισμός «καθοδική» αναφέρεται στη σειρά με την οποία επισκέπτεται τους κόμβους του γραφήματος 31

32 καθοδική διερεύνηση ή διερεύνηση πρώτα σε βάθος όπως υποδηλώνει το όνομά της, η καθοδική διερεύνηση επεκτείνεται προς μεγαλύτερα βάθη στο γράφημα, οποτεδήποτε αυτό είναι δυνατό. οι ακμές εξερευνώνται με αφετηρία τον πιο πρόσφατα εντοπισμένο κόμβο v από τον οποίο εκκινούν μη εξερευνημένες ακμές αφού εξερευνηθούν όλες οι ακμές του v, η διερεύνηση η επιστρέφει ρφ στον κόμβο από τον οποίο εντοπίστηκε ο v και συνεχίζει με τις τυχόν άλλες ακμές που εκκινούν από αυτόν 32

33 παράδειγμα καθοδικής διερεύνησης 33

34 (a) r s t u 0 v w x y Q s 0 r s t u 1 0 Q (b) w r v w x y (c) r s t u v w x y Q w v 1 2 (d) r s t u v w x y Q w 1 r s t u Q (e) t x v w x y (f) r s t u v w x y Q t u y

35 (g) r s t u v 1 w 2 x 3 y Q t u 2 3 (h) r s t u v w x y Q t 2 (i) r s t u Q empty

36 36

37 Αναφορές/Πηγές ς Εισαγωγή στους αλγόριθμους, Κεφάλαιο 22 Διακριτά μαθηματικά και μαθηματική λογική, Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Χρησιμοποιήθηκε υλικό από: