Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα.

Transcript

1 Κατευθυνόµενα γραφήµατα Απλό κατευθυνόµενο Γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E), µε: Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) σύνολο κορυφών / κόµβων V, Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς σύνολο κατευθυνόµενων ακµών E διµελής σχέση επί του V Στην κατευθυνόµενη ακµή (, ): είναι αρχική κορυφή (til). είναι τερµατική κορυφή (h). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 1 / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 2 / 39 Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα Υπογραφήµατα Απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E) µε σύνολο κορυφών/κόµβων V σύνολο ακµών E σύνολο δισυνόλων στοιχείων του V Υπογράφηµα H(W, F) του γραφήµατος G(V, E): όταν W V και F E. Το γράφηµα που επάγεται από ένα υποσύνολο κόµβων W V του G: είναι το υπογράφηµα H(W, F), όπου F = { (u, v) u W και v W }. Μια ακµή προσπίπτει / πρόσκειται στους κόµβους που ενώνει. δηλαδή, το F περιέχει ακµές µόνο µεταξύ κόµβων στο W Η (, ) πρόσκειται στους και. Οι και είναι γειτονικοί. Η (, ) ονοµάζεται βρόχος. V = {,,, } E = { {, }, {, }, {, }, {, } } Πλήρες γράφηµα K 5 Υπογράφηµα επαγόµενο από {,,, } Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 3 / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 4 / 39

2 Πολυγραφήµατα (Multirphs) Γειτονιά Κόµβου/Κορυφής Πολυγράφηµα G είναι γράφηµα (V, E) όπου το E είναι πολυσύνολο: διατεταγµένων Ϲευγών από το V V, αν G κατευθυνόµενο, µη διατεταγµένων Ϲευγών από το V V, αν G µη κατευθυνόµενο. Σε µη κατευθυνόµενο γράφηµα Γειτονιά του v V: N G (v) = { u V {u, v} E } 4 3 Σε κατευθυνόµενο γράφηµα (µε ή χωρίς ϐρόχους) ύο ειδών γειτονιές για κάθε κόµβο: «Εξερχόµενη» Γειτονιά: N + G (u) = { v V : (u, v) E } 1 2 «Εισερχόµενη» Γειτονιά: N G (u) = { v V : (v, u) E } Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 5 / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 6 / 39 Βαθµός Κόµβου/Κορυφής Βασικές Σχέσεις Βαθµών Κόµβων Σε µη κατευθυνόµενο γράφηµα: πλήθος προσκείµενων ακµών. απλό χωρίς ϐρόχους: (u) = { {u, v} E : v V } = N G (v) απλό µε ϐρόχο {u, u}: (u) = 2 + { {u, v} E : v V \ {u} } Σε κατευθυνόµενο γράφηµα (µε ή χωρίς ϐρόχους) Βασική Ταυτότητα. Σε κάθε απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα: 2m = v V (v) Σε κάθε απλό κατευθυνόµενο γράφηµα: 2m = ( ) (v) + + (v) m = (v) = + (v) v V v V v V ύο ειδών ϐαθµοί για κάθε κόµβο: «Εξερχόµενος» Βαθµός: + (u) = { (u, v) E : v V} = N + G (v) Θεώρηµα. Κάθε απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα έχει άρτιο πλήθος κόµβων µε περιττό ϐαθµό. «Εισερχόµενος» Βαθµός: (u) = { (v, u) E : v V} = N G (V) Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 7 / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 8 / 39

3 Απόδειξη Ειδικές Περιπτώσεις Γραφηµάτων Το πλήθος κόµβων µε περιττό ϐαθµό είναι άρτιο. Πλήρη Γραφήµατα n κόµβων (συµβ.: K n ) Απόδειξη: Εστω V = V 1 V 2, όπου: { (v) περιττός για κάθε v V1, (v) άρτιος για κάθε v V 2. Κύκλοι (Cyls) n κόµβων (συµβ.: C n ): Τότε: 2m = v V (v) = v V 1 (v) + v V 2 (v). Το άθροισµα είναι άρτιο και v V 2 (v) άρτιος. Ρόδες (Whls) n + 1 κόµβων (συµβ.: W n ): Αρα ϑα πρέπει v V 1 (v) άρτιος (ενώ τα (v) εδώ είναι περιττά). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 9 / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 10 / 39 ιµερή Γραφήµατα ιµερές Γράφηµα G(V, E) αν: µπορούµε να διαµερίσουµε το V σε µη κενά ξένα υποσύνολα V 1 και V 2, ώστε για κάθε δύο κόµβους v 1, v 2 V 1 ή v 1, v 2 V 2 είναι {v 1, v 2 } E. Παραδείγµατα: Ο C 6 είναι διµερής. Ο C 3 δεν είναι διµερής. Για κάθε n 3, ο K n δεν είναι διµερής. Γιατί; Σε ένα τουλάχιστον από τα δύο µέρη ϑα υπάρχουν ακµές. Εξαίρεση, ο K 2 (µια ακµή µόνη της), όπου κάθε µέρος έχει έναν κόµβο. Ο C n είναι διµερής αν και µόνο αν n είναι άρτιος. Παραδείγµατα (α) Είναι καθένα από αυτά τα γραφήµατα διµερές; Το (α) είναι πράγµατι διµερές: V 1 = {,, }, V 2 = {,,, }. Το (ϐ) δεν είναι διµερές: Ο ϑα πρέπει να αποτελεί µόνος του το ένα από τα δύο µέρη. ιότι συνδέεται µε όλους τους υπόλοιπους κόµβους. Αρα, οι {,,,, } (που έχουν ακµές µεταξύ τους) ϑα αποτελούν το έτερο µέρος της διαµέρισης. (ϐ) Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 11 / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 12 / 39

4 Πλήρη ιµερή Γραφήµατα Αναπαράσταση Γραφηµάτων Συµβολίζονται µε K m,n, όπου m = V 1, n = V 2. Ολοι οι κόµβοι του V 1 συνδέονται µε όλους τους κόµβους του V 2. Το πλήθος ακµών του K m,n είναι m n. Μέγιστο πλήθος ακµών διµερούς γραφήµατος µε n συνολικά κόµβους; n 1 στη µία πλευρά της διαµέρισης, n 2 στην άλλη πλευρά: n 1 + n 2 = n. Πλήθος ακµών: n 1 n 2 = n 1 (n n 1 ) = n 1 n n1 2. Μέγιστο n 2 /4, για n 1 = n 2 = n/2. Επειδή n ακέραιος, µέγιστο n n 2 2. Πίνακας Γειτνίασης A = [ ij ]: { 1 αν {i, j} E ij = 0 αν {i, j} E A = A = K 2,3 K 3,3 K 3,5 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 13 / 39 Μη κατευθυνόµενο γράφηµα συµµετρικός πίνακας γειτνίασης. Κατευθυνόµενο γράφηµα όχι πάντα συµµετρικός πίνακας. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 14 / 39 Αναπαράσταση Γραφηµάτων Πίνακας Πρόσπτωσης M = [m ij ]: { 1 αν η j E πρόσκεται στον κόµβο i. m ij = 0 αν η j E δεν πρόσκεται στον κόµβο i Ισόµορφα Γραφήµατα ύο απλά γραφήµατα G 1 (V 1, E 1 ) και G 2 (V 2, E 2 ) είναι ισόµορφα αν: υπάρχει 1-1 και επί συνάρτηση : V 1 V 2, τέτοια ώστε: {x, y} E αν και µόνο αν {(x), (y)} E A = () = 1, () = 3, () = 2, () = Χρήσιµο και για πολυγραφήµατα, εφόσον οι ακµές είναι ονοµατισµένες. Ο πίνακας είναι και τότε 0 1 (ακόµα και αν υπάρχουν ϐρόχοι). () = 4, () = 2, () = 3, () = 1 Αλλά όχι: h() = 1, h() = 2, h() = 3, h() = 4. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 15 / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 16 / 39

5 Αναλλοίωτες Ιδιότητες στον Ισοµορφισµό Παράδειγµα (1) Ο έλεγχος ισοµορφισµού είναι αλγοριθµικά δύσκολο προβλήµα. Υπάρχουν n! δυνατές συναρτήσεις (1 1 και επί) προς δοκιµή. Βρίσκοντας αποδεικνύουµε ότι δύο γραφήµατα είναι ισόµορφα. Για Ν Ο δεν είναι, πρέπει να αποκλείσουµε όλες τις n! συναρτήσεις!!! Αναλλοίωτες Ιδιότητες: «επιβιώνουν» του ισοµορφισµού. Αν κάποια δεν ισχύει για οποιαδήποτε, τότε τα γραφήµατα δεν είναι ισόµορφα. Προφανείς Αναλλοίωτες Ιδιότητες: πλήθος κόµβων, πλήθος ακµών. Επίσης, Βαθµός Κόµβων: ϑα πρέπει να ισχύει ((v)) = (v). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 17 / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 18 / 39 Παράδειγµα (2) Παράδειγµα (3) s t w x h z y u 2 v 2 v u u 1 v 1 v 3 Τα δύο γραφήµατα δεν είναι ισόµορφα. v 5 v 4 Ο κόµβος (αριστερά) είναι ϐαθµού 2. εποµένως µπορεί να αντιστοιχηθεί µε κάποιον από τους t, u, x, y (δεξιά). Οµως ο έχει µόνο γείτονες ϐαθµού 3 (, ). Καθένας από τους t, u, x, y έχει έναν γείτονα ϐαθµού 2. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 19 / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 20 / 39

6 Παράδειγµα (4) Παράδειγµα (5) u 1 u 2 v 1 u 1 u 2 v 1 v5 v 2 v 5 v 2 v 4 v 3 v 4 v 3 εν είναι ισόµορφα. Το γράφηµα στα δεξιά έχει έναν κόµβο ϐαθµού 4 (τον v 2 ), ενώ όλοι οι κόµβοι στο γράφηµα στα αριστερά έχουν ϐαθµό το πολύ 3. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 21 / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 22 / 39 Μονοπάτια, Κυκλώµατα και Κύκλοι Μονοπάτι µήκους n σε (µη κατευθ.) γράφηµα G(V, E) από u V στον v V: ακολουθία ακµών 1, 2,..., n ή κόµβων x 0 = u, x 1,..., x n = v, ώστε: i = { x i 1, x i }, για i = 1,..., n. Κύκλωµα: x 0 = x n (δηλαδή u = v). Απλό Μονοπάτι / Κύκλωµα: δεν διασχίζει την ίδια ακµή > 1 ϕορές. Στοιχειώδες Κύκλωµα (Κύκλος): απλό και δεν περνά από ίδιο κόµβο > 1 ϕορές. Μονοπάτι Κύκλωµα Απλό Κύκλωµα,,,,,,,,,,,,,,,,, Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 23 / 39 Απαρίθµηση Μονοπατιών Εστω γράφηµα G(V, E) µε πίνακα γειτνίασης A ως προς µια διάταξη των κόµβων του, v 1,..., v n. Μπορεί το G να είναι κατευθυνόµενο η µη. Μπορεί να είναι πολυγράφηµα ή να έχει ϐρόχους. Το πλήθος διαφορετικών µονοπατιών µήκους r Z + από τον v i στον v j δίνεται από το στοιχείο (i, j) του πίνακα A r. Παράδειγµα: A = A4 = Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 24 / 39

7 Συνδετικότητα (Συνεκτικότητα) Συνδεδεµένο (συνεκτικό) µη κατευθυνόµενο γράφηµα G(V, E): Εχει µονοπάτι µεταξύ οποιωνδήποτε δύο κόµβων u, v V. ιαφορετικά το γράφηµα είναι ασύνδετο / µη συνεκτικό. Ασύνδετο γράφηµα µε τρεις συνδεδεµένες συνιστώσες. Συνδεδεµένη Συνιστώσα: µεγιστικό (mximl) συνδεδεµένο υπογράφηµα. (συµπερίληψη επιπλέον κόµβου η ακµής µε τα άκρα της δίνει ασύνδετο) Θεώρηµα Σε συνδεδεµένο γράφηµα κάθε δύο κόµβοι συνδέονται µε απλό µονοπάτι. h Συνδετικότητα (Συνεκτικότητα) Σε συνδεδεµένο (µη κατευθυνόµενο) γράφηµα G(V, E): Κόµβος Αποκοπής (Cut Vrtx): η διαγραφή του (µε τις προσκείµενες ακµές) αφήνει ασύνδετο υπογράφηµα. Ακµή Αποκοπής / Γέφυρα (Cut E / Bri): η διαγραφή της αφήνει ασύνδετο υπογράφηµα. Ενα πλήρες γράφηµα δεν έχει κόµβους αποκοπής ή γέφυρες. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 25 / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 26 / 39 Παράδειγµα Συνδετικότητα Κόµβων και Ακµών Σε (µη κατευθυνόµενο) γράφηµα G(V, E): Υποσύνολο Κόµβων ιαχωρισµού V V: Το G V είναι ασύνδετο. Συνδετικότητα Κόµβων (Vrtx Conntivity) κ(g): η ελάχιστη πληθυκότητα ενός υποσυνόλου κόµβων διαχωρισµού. h κ(g) = min{ V : V V και G V είναι ασύνδετο } Ποιοί είναι οι κόµβοι αποκοπής και οι γέφυρες του γραφήµατος; Υποσύνολο Ακµών ιαχωρισµού E E: Το G E είναι ασύνδετο. Κόµβοι Αποκοπής:,,. Γέφυρες: {, }, {, } Συνδετικότητα Ακµών (E Conntivity) λ(g): η ελάχιστη πληθυκότητα ενός υποσυνόλου ακµών τοµής. λ(g) = min{ E : E E και G E είναι ασύνδετο } Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 27 / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 28 / 39

8 Παραδείγµατα Παραδείγµατα h Ο κόµβος είναι κόµβος αποκοπής. Εποµένως, κ(g) = 1. Το γράφηµα δεν έχει γέφυρες. Υποσύνολο ακµών διαχωρισµού: { {, }, {, } }. Εποµένως, λ(g) = 2. Το γράφηµα δεν έχει κόµβους αποκοπής. Οµως το {, } είναι υποσύνολο κόµβων διαχωρισµού. Οµοίως, τα {, } και {, }. Εποµένως, κ(g) = 2. Το γράφηµα δεν έχει γέφυρες. Εχει υποσύνολο ακµών διαχωρισµού: { {, }, {, } }. Εποµένως, λ(g) = 2. Υποσύνολο κόµβων διαχωρισµού: {, } εν έχει κόµβο αποκοπής, άρα, κ(g) = 2. Οχι Ϲεύγος ακµών διαχωρισµού ή γέφυρα, διότι ϐαθµός κάθε κόµβου 3. Εχει υποσύνολο ακµών διαχωρισµού: { {, }, {, }, {, } }. Εποµένως, λ(g) = 3. Υποσύνολο κόµβων διαχωρισµού: {,, } εν έχει Ϲεύγη κόµβων διαχωρισµού. Εποµένως, κ(g) = 3. Οχι γέφυρες ή Ϲεύγη ακµών διαχωρισµού, διότι ϐαθµός κάθε κόµβου 3. Αφαίρεση των {, }, {, }, {, h} το αποσυνδέει. Αρα, λ(g) = 3. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 29 / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 30 / 39 Συνδετικότητα Κόµβων κ() Συνδετικότητα Ακµών λ() εν ορίζεται σε πλήρη γραφήµατα: δεν έχουν κόµβους αποκοπής! εν ορίζεται στο K 1 (διότι δεν έχει ακµές). και κάθε υπογράφηµά τους ως προς υποσύνολο κόµβων είναι πλήρες! Ορίζουµε λ(k 1 ) = 0. Ισχύει επίσης λ(g) = 0 αν G ασύνδετος. Ορίζουµε κ(k n ) = n 1 για πλήθος κόµβων n 1. Εποµένως, σε κάθε γράφηµα G µε n κόµβους, 0 κ(g) n 1. Τότε, κ(g) = 0 αν και µόνο αν G = K 1 ή G είναι ασύνδετο. Εποµένως, σε κάθε γράφηµα G µε n κόµβους, 0 λ(g) n 1. Ν Ο λ(g) = n 1 αν και µόνο αν G = K n. κ(g) λ(g) n 1 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 31 / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 32 / 39

9 Απόδειξη (1/2): λ(g) = n 1 G = K n Απόδειξη (2/2): G = K n λ(g) = n 1 Αν G = K n : Αν λ(g) = n 1: Κάθε δυνατό υποσύνολο ακµών διαχωρισµού έχει n 1 ακµές. Αρα, και το σύνολο ακµών που διαχωρίζει κάθε κόµβο u από τους άλλους. Αρα, ο u έχει τουλάχιστον n 1 γείτονες στο G, και, εποµένως, ακριβώς n 1 γείτονες. Εστω αυθαίρετη διαµέριση του V στα σύνολα X και Y. Κάθε κόµβος του X έχει y = Y γείτονες στο Y, διότι το γράφηµα είναι πλήρες Αρα, αν x = X, υπάρχουν xy = x(n x) ακµές διαχωρισµού των X,Y. Για 1 x n, η ποσότητα αυτή είναι τουλάχιστον n 1 λ(g). Εποµένως το G είναι το πλήρες γράφηµα των n κόµβων. xn x 2 παραβολή µε τα κοίλα προς τα κάτω, τα ελάχιστά της συµβαίνουν για x = 1 ή x = n 1. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 33 / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 34 / 39 Συνδετικότητα (Κόµβων / Ακµών) Συνδετικότητα Κατευθυνόµενων Γραφηµάτων Ισχυρά Συνδεδεµένο (Συνεκτικό) κατευθυνόµενο γράφηµα G(V, E): Εχει κατευθυνόµενο µονοπάτι µεταξύ οποιωνδήποτε δύο κόµβων u, v V. Να προσδιοριστεί η συνδετικότητα κ (κόµβων) και λ (ακµών) του γραφήµατος ιαφορετικά: είτε ασύνδετο (µη συνεκτικό), είτε ασθενώς συνδεδεµένο. Ασθενώς Συνδεδεµένο κατευθυνόµενο γράφηµα G(V, E): Το «υποκείµενο» µη κατευθυνόµενο γράφηµα είναι συνδεδεµένο. h ιαφορετικά: το γράφηµα G είναι ασύνδετο (µη συνεκτικό). Ισχυρά Συνδεδεµένο Ασθενώς συνδεδεµένο Ασύνδετο Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 35 / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 36 / 39

10 Συνδετικότητα Κατευθυνόµενων Γραφηµάτων Μονοπάτια / Κυκλώµατα και Ισοµορφισµός Σε ένα κατευθυνόµενο γράφηµα, δύο διαφορετικοί κόµβοι ανήκουν: είτε στην ίδια ισχυρά συνδεδεµένη συνιστώσα, ή σε δύο διαφορετικές (ξένες) ισχυρά συνδεδεµένες συνιστώσες. Μονοπάτι ή απλό κύκλωµα συγκεκριµένου µήκους ϑα πρέπει να επιβιώνει του ισοµορφισµού ως αναλλοίωτη ιδιότητα. Αν υφίσταται στο ένα γράφηµα και όχι στο άλλο, δε µπορούν να είναι ισόµορφα. u 1 u 1 u 6 u 2 u 6 u 2 G 1 G 2 Το G 1 είναι ισχυρά συνδεδεµένο. Το G 2 είναι ασθενώς συνδεδεµένο: δεν υπάρχει µονοπάτι από. Τρεις ισχυρά συνδεδεµένες συνιστώσες: {}, {}, {,, }. Μη ισόµορφα: το δεξιό γράφηµα έχει απλό κύκλο µήκους 3 (π.χ., u 1, u 2, u 6, u 1 ), αλλά το αριστερό όχι. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 37 / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 38 / 39 Μονοπάτια / Κυκλώµατα και Ισοµορφισµός u 2 v 1 u 1 v 5 v 2 v 4 v 3 Ελεγχος Αναλλοίωτων: Ιδιο πλήθος κόµβων, ίδιο πλήθος ακµών. 2 κόµβοι ϐαθµού 3 και στα δύο γραφήµατα (u 1, και v 1,v 3 αντίστοιχα). 3 κόµβοι ϐαθµού 2 και στα δύο γραφήµατα. Απλοί κύκλοι µε µήκη 3, 4, 5 και στα δύο γραφήµατα. Ισως να είναι ισόµορφα. Πράγµατι, ένας ισοµορφισµός είναι: (u 1 ) = v 3, ( ) = v 2, ( ) = v 1, (u 2 ) = v 5, ( ) = v 4 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 39 / 39