Γραφήματα. Κεφάλαιο Εισαγωγικές έννοιες Ορισμός
|
|
- Ανδρόνικος Δυοβουνιώτης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κεφάλαιο 3 Γραφήματα 3.1 Εισαγωγικές έννοιες Ορισμός Ορισμός 3.1. Γράφος (ή γράφημα) G, ονομάζεται ένα διατεταγμένο ζεύγος συνόλων (V, E), όπου V είναι μη κενό σύνολο στοιχείων και E ένα σύνολο μη διατεταγμένων ζευγών του V, δηλαδή ( ) V E 2 Παράδειγμα 3.2. Αν V = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } είναι ένα μη κενό σύνολο στοιχείων και E = {{v 1, v 2 }, {v 1, v 3 }, {v 4, v 5 }} τότε το διατεταγμένο ζεύγος G = (V, E) είναι ένας γράφος. Τα στοιχεία του μη κενού συνόλου V λέγονται κορυφές ή κόμβοι (vertices, nodes) του γράφου. Τα στοιχεία του συνόλου E λέγονται ακμές (edges) και μπορούν να συμβολιστούν και με ένα γράμμα, π.χ. e, όπου e = {x, y}, x, y V, x y. Καμιά φορά, καταχρηστικώς, θεωρούμε και ακμές-βρόχους, δηλαδή e = {x, x}. Αν e = {v 1, v 2 } είναι ακμή ενός γράφου G, αυτή ενώνει ή συνδέει τις κορυφές v 1, v 2 του G και μπορεί να συμβολιστεί επίσης ως v 1 v 2 ή v 2 v 1. Οι κορυφές v 1, v 2 λέγονται άκρα (endpoints) της ακμής e. Επειδή δε η ακμή e τις συνδέει, λέγονται γειτονικές (adjacent) κορυφές στο G. Αν τώρα v 1, v 2 είναι γειτονικές κορυφές στο G, τότε η ακμή v 1 v 2 προσπίπτει (incident) στις v 1 και v 2. Δύο ακμές που προσπίπτουν στην ίδια κορυφή είναι γειτονικές ακμές στο G. Ο ορισμός του γράφου όπως δόθηκε παραπάνω, δεν διευκολύνει την εποπτική αντίληψη του όρου. Είναι δυνατόν και πολλές φορές επιβάλλεται, για την αναγνώριση και τη μελέτη ιδιοτήτων των γράφων, η απεικόνιση αυτών με τη βοήθεια διαγράμματος. Για την κατασκευή του διαγράμματος, κάθε κορυφή του γράφου τη σχεδιάζουμε με ένα σημείο, μία κουκίδα και κάθε ακμή με ένα τμήμα καμπύλης γραμμής. Από τον τρόπο κατασκευής του διαγράμματος, είναι φανερό πως δεν υπάρχει μοναδικός τρόπος σχεδίασης ενός γράφου. Παράδειγμα 3.3. Το διάγραμμα του γραφήματος G με E = {{v 1, v 2 }, {v 1, v 3 }, {v 4, v 5 }, {v 5, v 5 }} 23
2 24 Κεφάλαιο 3. Γραφήματα μπορεί να είναι αυτό που φαίνεται στο σχήμα 3.1(α) ή αυτό που φαίνεται στο σχήμα 3.1(β). Οι κορυφές v 1, v 2 είναι γειτονικές στο G ενώ οι v 3, v 4 δεν είναι. Οι ακμές v 1 v 2, v 1 v 3 είναι γειτονικές στο G ενώ οι v 4 v 5, v 1 v 2 δεν είναι. v 1 () v 5 v 2 v 3 v 4 () v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 Σχήμα 3.1: Δύο διαφορετικά διαγράμματα για τον γράφο G Ο αριθμός των κορυφών ενός γράφου G(V, E) ονομάζεται τάξη (order) του G και συμβολίζεται με V και ο αριθμός των ακμών του, μέγεθος (size) του G και συμβολίζεται με E. Στην Πληροφορική όμως, συνήθως ονομάζουμε μέγεθος το n = V. Παράδειγμα 3.4. Στο γράφο G του Παραδείγματος 2 η τάξη του ισούται με 5 και το μέγεθος με 4. Ο γράφος G μπορεί επίσης να συμβολιστεί και με G(5, 4). Παρατήρηση 3.5. Από τον ορισμό του γράφου προκύπτει ότι μία ακμή δεν μπορεί να έχει ως άκρα την ίδια κορυφή. Συχνά όμως στην Πληροφορική, όπως αναφέραμε και πιο πάνω, χρειαζόμαστε μια τέτοια ακμή. Η ακμή τότε λέγεται βρόχος (loop). Επίσης από τον ορισμό του γράφου προκύπτει ότι δεν είναι δυνατή η ύπαρξη περισσοτέρων ακμών με ίδια άκρα, δηλαδή δεν είναι δυνατή η ύπαρξη παράλληλων ακμών. Στο γράφο του Παραδείγματος 2, εφόσον υπάρχει η ακμή v 1 v 2 η ύπαρξη μιας παράλληλης της π.χ. v 2 v 1, αποκλείεται απ τον ορισμό. Ένας γράφος ο οποίος δεν έχει βρόχους, λέγεται στην Πληροφορική απλός γράφος. Επειδή σε ότι θα αναφερθεί παρακάτω, δεν επηρεάζει η ύπαρξη ή μη βρόχων στους γράφους, χωρίς βλάβη της γενικότητας, θα θεωρούμε στο εξής μόνο απλούς γράφους. Υπάρχουν όμως και πολυγραφήματα (multigraphs). Το διάγραμμα ενός πολυγραφήματος μπορεί να περιέχει πολλές ακμές που συνδέουν τις ίδιες κορυφές. Παράδειγμα 3.6. Στο σχήμα 3.2 φαίνεται ένα πολυγράφημα. 3.2 Υπογράφος Ορισμός 3.7. Ένας γράφος G = (V, E ) είναι υπογράφος (subgraph) ενός άλλου γράφου G = (V, E), αν ισχύει V V και E E.
3 3.3 Βαθμός κορυφής 25 v 1 v 2 v 3 v 5 v 4 Σχήμα 3.2: Πολυγράφημα Παράδειγμα 3.8. Στο σχήμα 3.3 o G είναι ένας υπογράφος του G. Ορισμός 3.9. Έστω G = (V, E ) υπογράφος ενός γράφου G = (V, E). Αν ισχύει V = V τότε ο υπογράφος λέγεται παράγων υπογράφος (spanning subgraph) του γράφου G. Παράδειγμα Στο σχήμα 3.3 ο G είναι παράγων υπογράφος του G. 3.3 Βαθμός κορυφής Ορισμός Έστω ένας γράφος G = (V, E). Βαθμός (degree, valence) μιας κορυφής v V ονομάζεται ο αριθμός των ακμών του G που προσπίπτουν στην v και συμβολίζεται με d G (v) ή d(v). Ένας γράφος G(V, E), για τον οποίο ισχύει d(v) = k για κάθε κορυφή του, λέγεται k-κανονικός γράφος. Αποδεικνύεται εύκολα ότι το άθροισμα των βαθμών όλων των κορυφών ενός γράφου, ισούται αριθμητικά με το διπλάσιο του αριθμού των ακμών του. Δηλαδή σε ένα γράφο G = (V, E) έχουμε ότι d(v) = 2 E v V c c c b d b d b d a e a e Γράφος G Γράφος G Γράφος G Σχήμα 3.3: Ο γράφος G και δύο υπογράφοι αυτού
4 26 Κεφάλαιο 3. Γραφήματα G 1 : v 1 v 2 G 2 : v 1 v 3 Σχήμα 3.4: G 1 : 1 κανονικός και G 2 : 2 κανονικός γράφος v 2 Παράδειγμα Στο γράφο G στο σχήμα 3.3 έχουμε d(b) = 3, d(d) = 4, d(c) = d(e) = 2. Στο σχήμα 3.4 o G 1 είναι 1 κανονικός γράφος και ο G 2 είναι 2 κανονικός γράφος. 3.4 Δρόμος - Μονοπάτι - Κύκλος Ορισμός Σε ένα γράφο G, μια πεπερασμένη ακολουθία εναλλάξ κορυφών και ακμών του G που αρχίζει και τελειώνει σε κορυφή και που κάθε ακμή που περιέχεται στην ακολουθία προσπίπτει στην κορυφή που προηγείται και σε αυτήν που έπεται, λέγεται δρόμος ή διαδρομή (walk) στο G. Παράδειγμα Στο γράφο G στο σχήμα 3.3 η ακολουθία κορυφών και ακμών του γράφου είναι δρόμος στο G. c{c, d}d{d, b}b{b, a}a{a, d}d{d, b}b Ορισμός Αν σε έναν δρόμο ενός γράφου κάθε ακμή του δρόμου εμφανίζεται μόνο μία φορά, ο δρόμος λέγεται δρομίσκος ή μονοπάτι (trail). Παράδειγμα Στο γράφο G στο σχήμα 3.3 ο δρόμος είναι δρομίσκος. d{d, b}b{b, a}a{a, d}d{d, e}e Ορισμός Ένας δρόμος στον οποίο κάθε κορυφή και κάθε ακμή του εμφανίζονται ακριβώς μία φορά, λέγεται απλό μονοπάτι (path). Παράδειγμα Στο γράφο G στο σχήμα 3.3 ο δρόμος είναι απλό μονοπάτι. a{a, b}b{b, c}c{c, d}d{d, e}e Ορισμός Ένας δρόμος με αρχή και τέλος την ίδια κορυφή, λέγεται κλειστός δρόμος, αλλιώς λέγεται ανοικτός. Ορισμός Ένας δρόμος που είναι κλειστό μονοπάτι λέγεται κύκλος (cycle). Ένας δρόμος που είναι απλό κλειστό μονοπάτι λέγεται απλός κύκλος (simple cycle).
5 3.5 Παράσταση Γράφου 27 Παράδειγμα Στο γράφο G στο σχήμα 3.3 ο δρόμος c{c, b}b{b, d} είναι ανοικτός δρόμος ο δρόμος c{c, b}b{b, d}d{d, a}a{a, b}b{b, c}c είναι κλειστός δρόμος ο δρόμος c{c, b}b{b, d}d{d, c}c είναι κύκλος Ορισμός Ένας κύκλος που περνά ακριβώς μια φορά από κάθε ακμή ενός γράφου G (χωρίς απαραίτητα να περνά ακριβώς μια φορά και από κάθε κορυφή) ονομάζεται κύκλος Euler. Ένας γράφος που έχει κύκλο Euler ονομάζεται γράφος Euler. Αποδεικνύεται εύκολα ότι ένας γράφος έχει κύκλο Euler ανν όλες οι κορυφές έχουν άρτιο βαθμό (σχήμα 3.5(α)). Ορισμός Ένας κύκλος που περνά ακριβώς μια φορά από κάθε κορυφή ενός γράφου G (χωρίς απαραίτητα να περνά και από όλες τις ακμές) ονομάζεται κύκλος Hamilton. Ένας γράφος που έχει κύκλο Hamilton ονομάζεται γράφος Hamilton (σχήμα 3.5(β)). () () Σχήμα 3.5: (α) Γράφος Euler, (β) Γράφος Hamilton Σε ένα γράφο G, ένας δρόμος μεταξύ δύο κορυφών u και v του G λέγεται και (u, v) δρόμος ή απλούστερα uv δρόμος. Ο αριθμός των ακμών ενός γράφου που εμφανίζονται σε έναν δρόμο του γράφου, λέγεται μήκος του δρόμου. Παράδειγμα Στο παράδειγμα 3.21 τα μήκη των δρόμων με τη σειρά που εμφανίζονται είναι 2, 5 και Παράσταση Γράφου Ένας γράφος μπορεί να παρασταθεί με τη βοήθεια του πίνακα γειτνίασης (adjacency matrix) ή του πίνακα πρόσπτωσης (incidence matrix) ή των λιστών γειτνίασης (adjacency lists).
6 28 Κεφάλαιο 3. Γραφήματα Ορισμός 3.25 (Πίνακας γειτνίασης). Έστω ένας γράφος G = (V, E) με V = {v 1, v 2,..., v n }. Τότε ο γράφος μπορεί να παρασταθεί με τη βοήθεια ενός n n πίνακα A(G), όπου { 1, αν {v i, v j } E A(G) = [a ij ], a ij = 0, αλλιώς Ο πίνακας A(G) λέγεται πίνακας γειτνίασης (adjacency matrix), και είναι συμμετρικός (a i,j = a j,i ). Μια άλλη παράσταση είναι με τις λίστες γειτνίασης (adjacency lists). Η λίστα γειτνίασης μιας κορυφής v περιέχει όλες τις γειτονικές κορυφές της v. Η παράσταση αυτή σε Η/Υ είναι πιο αποδοτική για αραιούς γράφους. Ορισμός Οι αραιοί γράφοι έχουν O(n) ακμές ενώ οι πυκνοί γράφοι έχουν Ω(n 2 ) Σχήμα 3.6: Γράφος Παράδειγμα Η αναπαράσταση του γράφου που φαίνεται στο σχήμα 3.6 με τον πίνακα γειτνίασης είναι η παρακάτω: A(G) = H αναπαράσταση με τις λίστες γειτνίασης είναι η παρακάτω: [1] [2] 1 4 [3] 1 4 [4] [5] 4
7 3.6 Προσανατολισμένος Γράφος Προσανατολισμένος Γράφος Αν στον ορισμό του γράφου αντικαταστήσουμε τα στοιχεία του E με διατεταγμένα ζεύγη στοιχείων του V, παίρνουμε ένα προσανατολισμένο ή κατευθυνόμενο γράφο (directed graph, digraph). Δηλαδή E V V. v 1 v 5 v 2 v 4 v 3 Σχήμα 3.7: Κατευθυνόμενος γράφος Παράδειγμα Ο γράφος στο σχήμα 3.7 είναι ένας προσανατολισμένος γράφος. Αν ο γράφος είναι ο G = (V, E) τότε έχουμε: V = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } E = {(v 5, v 1 ), (v 1, v 5 ), (v 2, v 1 ), (v 5, v 2 ), (v 2, v 3 ), (v 5, v 4 ), (v 4, v 3 )} Ορισμός Έστω x μια κορυφή ενός προσανατολισμένου γράφου. Ο αριθμός των ακμών που προσπίπτουν (εισέρχονται) σε αυτήν την κορυφή ονομάζεται προς-βαθμός (in-degree) της κορυφής x και συμβολίζεται με deg (x): deg (x) = {(y, x) : y V και (y, x) E} Ο αριθμός των ακμών που ξεκινούν (εξέρχονται) από την κορυφή x ονομάζεται από-βαθμός (out-degree) και συμβολίζεται με deg + (x): deg + (x) = {(x, y) : y V και (x, y) E} Παράδειγμα Στον προσανατολισμένο γράφο στο σχήμα 3.7 έχουμε: deg (v 2 ) = {(v 5, v 2 )} = 1 deg + (v 2 ) = {(v 2, v 3 ), (v 2, v 1 )} = Συνεκτικός Γράφος Ορισμός Έστω ένας γράφος G = (V, E). Δύο κορυφές u, v του G είναι συνδεδεμένες (connected) αν υπάρχει τουλάχιστον ένα uv-μονοπάτι στο G. Η σχέση σύνδεση δύο κορυφών
8 30 Κεφάλαιο 3. Γραφήματα στο G, είναι μια σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο V του G, η οποία δημιουργεί μια διαμέριση (partition) σε κλάσεις ισοδυναμίας π.χ. τις V 1, V 2,..., V k. Για τις κλάσεις αυτές ισχύει ότι: V i V V i Vj = V 1 V2... Vk = V, 1 i k, i, j Προφανώς κάθε ζεύγος κορυφών u, v συνδέονται αν και μόνο αν οι κορυφές u, v ανήκουν στην ίδια κλάση ισοδυναμίας V i. Ορισμός Έστω ένας γράφος G = (V, E) και V V. Ο υπογράφος που έχει σύνολο κορυφών το V και σύνολο ακμών όλες τις ακμές του G, των οποίων και τα δύο άκρα ανήκουν στο V, λέγεται παραγόμενος υπογράφος (induced subgraph) από τον V και συμβολίζεται G[V ]. Ορισμός Έστω ένα γράφος G = (V, E) και V 1, V 2,..., V k οι κλάσεις ισοδυναμίας του V που δημιουργούνται απ τη σχέση σύνδεση δύο κορυφών. Τα υπογραφήματα G[V 1 ], G[V 2 ],..., G[V k ] λέγονται συνεκτικές συνιστώσες (connected components) του γράφου G. Ο αριθμός των συνιστωσών ενός γράφου G συμβολίζεται με (G). Ορισμός Ένας γράφος λέγεται συνεκτικός αν αποτελείται από μία μόνο συνιστώσα. Αν ο αριθμός των συνιστωσών ενός γράφου είναι μεγαλύτερος από το 1, ο γράφος λέγεται μη συνεκτικός. Είναι φανερό πως ένας γράφος είναι συνεκτικός, αν για κάθε ζεύγος κορυφών του γράφου υπάρχει ένα μονοπάτι τουλάχιστον, που τις συνδέει. Παράδειγμα Ο γράφος του σχήματος 3.5α είναι μη συνεκτικός με (G) = 2. Ο γράφος του σχήματος 3.5β είναι συνεκτικός με (G) = 1. Παρατήρηση Στην περίπτωση προσανατολισμένου γράφου οι ακμές σε μονοπάτια (άρα και σε κύκλο) πρέπει να έχουν όλες τον ίδιο προσανατολισμό. Ορισμός Ένας προσανατολισμένος γράφος λέγεται ισχυρά συνεκτικός (strongly connected) αν για κάθε ζεύγος (u, v) υπάρχει μονοπάτι από το u στο v. Ο γράφος λέγεται ασθενώς συνεκτικός (weakly connected) αν για κάθε ζεύγος (u, v) υπάρχει μονοπάτι από το u στο v αν αγνοήσουμε τον προσανατολισμό των ακμών. Ορισμός Ένας απλός γράφος G = (V, E) (χωρίς βρόχους και παράλληλες ακμές ) ονομάζεται πλήρης όταν δύο οποιεσδήποτε κορυφές του είναι γειτονικές. Για ένα πλήρη γράφο προφανώς ισχύει ότι: E = ( V 2 ) άρα: E = ( V 2 Ο πλήρης γράφος με n κορυφές συμβολίζεται με K n. ) = V ( V 1) 2 Ορισμός Ένας γράφος G(V, E) ονομάζεται διμερής (bipartite) αν το σύνολο των κόμβων V μπορεί να διαμεριστεί σε δύο μη κενά υποσύνολα X και Y έτσι ώστε όλες οι ακμές στο E να ενώνουν έναν κόμβο του X με έναν κόμβο του Y. Ένας πλήρης διμερής γράφος (δηλαδή ο διμερής γράφος στον οποίο κάθε κορυφή του X ενώνεται με κάθε κορυφή του Y ) συμβολίζεται με K n,m, όπου n = X και m = Y.
9 3.8 Δέντρα 31 Ορισμός Ένας γράφος ονομάζεται επίπεδος (planar) αν μπορεί να σχεδιαστεί στο επίπεδο έτσι ώστε όλες οι ακμές του να μην διασταυρώνονται, φυσικά εκτός από τις κοινές κορυφές τους. Έχει αποδειχθεί ότι ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι ένας γράφος επίπεδος είναι να μην περιέχει υπογράφο ομοιομορφικό με τον K 5 ή τον K 3,3 (Θεώρημα Kuratowski). 3.8 Δέντρα Ορισμός Δένδρο λέγεται ένας συνεκτικός γράφος που δεν περιέχει κύκλους. Δάσος λέγεται κάθε γράφος που δεν περιέχει κύκλους. Οι συνεκτικές συνιστώσες ενός δάσους, είναι δέντρα. Ένα δέντρο στο οποίο ξεχωρίζουμε μια κορυφή, την οποία ονομάζουμε ρίζα, λέγεται δέντρο με ρίζα (rooted tree). Πρόταση Ένας γράφος είναι δάσος αν και μόνο αν είναι υπογράφος ενός δέντρου. Ανάλογοι είναι και οι ορισμοί για προσανατολισμένα δέντρα (δάση). Ο προσανατολισμός θεωρείται από τη ρίζα προς τα φύλλα. Ένας κατευθυνόμενος γράφος χωρίς κύκλους δεν είναι πάντα δέντρο. Ένας τέτοιος κατευθυνόμενος ακυκλικός γράφος (DAG=Directed Acyclic Graph) είναι χρήσιμος στην κωδικοποίηση της συντακτικής δομής αριθμητικών εκφράσεων, στην αναπαράσταση μερικών διατάξεων, κ.α. Ένα δέντρο και ένας κατευθυνόμενος ακυκλικός γράφος φαίνονται στο σχήμα 3.8. () () Σχήμα 3.8: (α) Δένδρο, (β) Κατευθυνόμενος ακυκλικός γράφος Ορισμός Έστω ένα δέντρο με ρίζα. Αν x και y είναι κορυφές τέτοιες ώστε η x να βρίσκεται στο μονοπάτι που συνδέει τη ρίζα με την y, τότε η x ονομάζεται πρόγονος (ancestor) της y και η y απόγονος (descendant) της x. Αν επιπλέον x y τότε η x είναι γνήσιος πρόγονος της y και η y γνήσιος απόγονος της x. Αν x είναι γνήσιος πρόγονος της y και {x, y} είναι ακμή του δέντρου, τότε η x είναι γονέας (parent)της y και η y παιδί (child) της x. Οι κορυφές με τον ίδιο γονέα λέγονται αδέλφια (siblings). Οι κορυφές που δεν έχουν απογόνους ονομάζονται τερματικές ή φύλλα (terminals, leaves). Οι κορυφές που δεν είναι τερματικές, λέγονται εσωτερικές ή μη τερματικές ή κορυφές κλάδων (internals, non-terminals, branch nodes). Παράδειγμα Στο σχήμα 3.9 έχουμε: Η κορυφή 1 είναι η ρίζα του δέντρου.
10 32 Κεφάλαιο 3. Γραφήματα Η κορυφή 4 είναι πρόγονος της κορυφής 10. Η κορυφή 9 είναι απόγονος της κορυφής 4. Η κορυφή 3 είναι γονέας της κορυφής 7. Οι κορυφές 5 και 6 είναι αδέλφια με γονέα την κορυφή 2. Οι κορυφές 2, 3, 4, 8 είναι εσωτερικές κορυφές. Οι κορυφές 5, 6, 7, 9, 10 είναι φύλλα. Επίπεδο 3 1 Επίπεδο Επίπεδο Επίπεδο Σχήμα 3.9: Δένδρο με αριθμημένες κορυφές Ορισμός Ύψος (height) ενός κόμβου είναι η μέγιστη απόστασή του από απόγονό του. Ύψος δέντρου είναι το ύψος της ρίζας. Βάθος (depth) ενός κόμβου είναι η απόστασή του από τη ρίζα. Επίπεδο (level) κόμβου είναι το ύψος του δέντρου πλην το βάθος του κόμβου. Ορισμός Δυαδικό δέντρο (binary tree) είναι ένα δέντρο με ρίζα στο οποίο κάθε κορυφή έχει το πολύ δύο παιδιά (σχήμα 3.10). Ισοδύναμα, δυαδικό δέντρο είναι ένα πεπερασμένο σύνολο κορυφών που είναι ή κενό, ή αποτελείται από τη ρίζα και δύο ξένα μεταξύ τους δυαδικά δέντρα που ονομάζονται το δεξί και το αριστερό υποδέντρο. Σε ένα δυαδικό δέντρο στο οποίο κάθε κορυφή του είναι είτε τερματική είτε έχει ακριβώς δύο παιδιά, δεν υπάρχουν εκφυλισμένοι εσωτερικοί κόμβοι (no degenerate branch nodes) (σχήμα 3.10). Ένα δυαδικό δέντρο ύψους k το οποίο έχει 2 k φύλλα, όλα στο επίπεδο 0, ονομάζεται εντελώς πλήρες δυαδικό δέντρο (fully complete binary). Πλήρες δ.δ.(ή καμιά φορά σχεδόν πλήρες) ονομάζουμε ένα ε.π.δ.δ. που όμως του λείπουν μερικά ακροδεξιά φύλλα. (σχήμα 3.10). Μια κωδικοποίηση ενός δυαδικού δέντρου στον υπολογιστή μπορεί να γίνει πολύ εύκολα ως εξής: χρησιμοποιούμε ένα μονοδιάστατο πίνακα A και στη θέση A[1] βάζουμε τη ρίζα του δέντρου. Τις θέσεις A[2], A[3] καταλαμβάνουν (αν υπάρχουν) τα δύο παιδιά της ρίζας. Γενικά στις θέσεις A[2 k], A[2 k + 1] βρίσκονται τα παιδιά της κορυφής k. Συνεπώς ο γονέας της κορυφής n βρίσκεται στη θέση A[n div 2]. Σημειώνουμε ότι η αναπαράσταση αυτή χρησιμοποιείται συνήθως όταν το δέντρο είναι (σχεδόν) πλήρες.
11 3.9 Διαδραστικό Υλικό Σύνδεσμοι 33 Δυαδικό δένδρο (Binary Tree) Χωρίς εκφυλισμένους κόμβους Πλήρες δυαδικό δένδρο (Complete Binary Tree) Εντελώς πλήρες δυαδικό δένδρο (Fully Complete Binary Tree) Σχήμα 3.10: Δυαδικά δένδρα 3.9 Διαδραστικό Υλικό Σύνδεσμοι Διαδραστικό εργαλείο σχεδίασης γράφων Free Graph Theory Software: free-graph-theory-software.org/ Ηλεκτρονικό σύγγραμμα για Θεωρία Γραφημάτων του R. Diestel: com/index.html Ηλεκτρονικό σύγγραμμα για Θεωρία Γραφημάτων των J.A. Bondy, U.S.R. Murty. http:
12 34 Κεφάλαιο 3. Γραφήματα // Ασκήσεις 1. Δείξτε ότι ένας ακυκλικός συνεκτικός γράφος με n κόμβους έχει n 1 ακμές. 2. Δείξτε ότι ένας συνεκτικός γράφος με n κόμβους και n 1 ακμές είναι δέντρο. 3. Δείξτε ότι αν ένας γράφος δεν έχει κύκλους αλλά η πρόσθεση οποιασδήποτε νέας ακμής δημιουργεί κύκλο τότε ο γράφος είναι δέντρο. Δείξτε ότι η αφαίρεση οποιασδήποτε ακμής του κύκλου που σχηματίστηκε κάνει πάλι τον γράφο δέντρο. 4. Σε ένα δένδρο ένας κόμβος λέγεται 1/k separator αν μετά την αφαίρεσή του, οι συνεκτικές συνιστώσες που απομένουν έχουν μέγεθος το πολύ n/k, όπου n ο αριθμός των κόμβων του δένδρου. (α) Δείξτε ότι σε κάθε δένδρο υπάρχει 1/2 separator. (β) Δείξτε ότι αν σε ένα δένδρο υπάρχει 1/k separator (υποθέτοντας ότι k < n) τότε υπάρχει κόμβος με βαθμό τουλάχιστον k. Εξετάστε αν ισχύει και το αντίστροφο. (γ) Βρείτε αλγόριθμο που αποφαίνεται αν ένα δένδρο έχει 1/(x + 3) separator, όπου x το τελευταίο ψηφίο του αριθμού ταυτότητάς σας. Αποδείξτε την ορθότητα του αλγορίθμου σας και υπολογίστε την πολυπλοκότητά του. 5. Ολική καταβόθρα (sink) σε ένα κατευθυνόμενο γράφο λέγεται μια κορυφή που δεν έχει ακμή προς άλλες κορυφές και υπάρχει ακμή από κάθε άλλη κορυφή προς αυτή. Για αναπαραστάση του γράφου με πίνακα γειτνίασης σχεδιάστε όσο το δυνατόν πιο αποδοτικό αλγόριθμο που βρίσκει μια ολική καταβόθρα ή αποφαίνεται ότι δεν υπάρχει. Ποια είναι η πολυπλοκότητα του αλγορίθμου σας; Μπορείτε να βρείτε αλγόριθμο με πολυπλοκότητα O(n);
13 Βιβλιογραφία [1] Reinhard Diestel, Graph Theory (3rd edition), Springer [2] Frank Harary, Graph Theory. Addison-Wesley Series in Mathematics, [3] J.A. Bondy, U.S.R. Murty. Graph Theory with Applications. North Holland, Διατίθεται ελεύθερα στο διαδίκτυο. [4] Γιάννης Μανωλόπουλος, Μαθήματα Θεωρίας Γράφων: Θεμελιώσεις - Θεωρία - Εφαρμογές. Εκδοσεις Νεων Τεχνολογιων, ISBN , Εκδοση 2η (2000). [5] Ronald Graham, Donald Knuth, Oren Patashnik. Συνκριτά Μαθηματικά (δεύτερη έκδοση, μτφ. Χ. Καπούτσης, επιμ. Ε. Ζάχος) Εκδόσεις Κλειδάριθμος, [6] S. Dasgupta, C.H. Papadimitriou, and U.V. Vazirani. Algorithms, MacGraw-Hill, Αλγόριθμοι, ελληνική έκδοση, Εκδόσεις Κλειδάριθμος, [7] Ε. Ζάχος, Α. Παγουρτζής, Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών, Σημειώσεις, ΕΜΠ, [8] C.L. Liu. Στοιχεία Διακριτών Μαθηματικών (απόδοση στα Ελληνικά: Κ. Μπους και Δ. Γραμμένος). Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, [9] K.H. Rosen. Discrete Mathematics and its Applications (6th Edition). McGraw-Hill, [10] Η. Κουτσουπιάς. Μαθηματικά της Πληροφορικής. ΕΚΠΑ, [11] J.E. Hopcroft and J.D. Ullman. Introduction to Automata Theory, Languages and Computation, Addison Wesley Longman, [12] Μ. Sipser. Introduction to the Theory of Computation, International Thomson Publishing,
14 .
Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραu v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4
Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E
Διαβάστε περισσότεραΕλληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας
1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΙΣ ΟΡΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙOΥΝΤΑΙ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΥΣ Α ΚΑΙ Β ΤΗΣ ΘΕ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Ένα γράφημα αποτελείται από ένα σύνολο 94.
ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΙΣ ΟΡΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙOΥΝΤΑΙ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΥΣ Α ΚΑΙ Β ΤΗΣ ΘΕ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» ΤΟΜΟΣ Α ΤΟΜΟΣ Β ΑΓΓΛΙΚΗ Γράφημα, Γράφος, Ένα γράφημα αποτελείται από ένα σύνολο 94 11 κορυφών και ένα σύνολο ακμών.
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory)
Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Ε Εξάμηνο, Τμήμα Πληροφορικής & Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΙ Λαμίας plam@inf.teilam.gr, Οι διαφάνειες βασίζονται στα βιβλία:. Αλγόριθμοι, Σχεδιασμός & Ανάλυση, η έκδοση,
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 5 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΓράφοι. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα. Στάθης Ζάχος, Δημήτρης Φωτάκης
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Στάθης Ζάχος, Δημήτρης Φωτάκης Γράφοι Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 4 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότερα2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ (1) Εστω G απλός γράφος, που έχει 9 κορυφές και άθροισμα βαθμών κορυφών μεγαλύτερο του 7. Αποδείξτε ότι υπάρχει μια κορυφή του G με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4. () Αποδείξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Πληροφορικής
Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενα γραφήματα Ορισμός Κατευθυνόμενογράφημα Gείναιέναζεύγος (V,E)όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Πληροφορικής
Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενα γραφήματα Ορισμός Κατευθυνόμενογράφημα Gείναιέναζεύγος (V,E)όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Βάθος. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Συμπληρώσεις: Α. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Αναζήτηση Κατά Βάθος Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Συμπληρώσεις: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση
Διαβάστε περισσότεραΓράφηµα (Graph) Εργαστήριο 10. Εισαγωγή
Εργαστήριο 10 Γράφηµα (Graph) Εισαγωγή Στην πληροφορική γράφηµα ονοµάζεται µια δοµή δεδοµένων, που αποτελείται από ένα σύνολο κορυφών ( vertices) (ή κόµβων ( nodes» και ένα σύνολο ακµών ( edges). Ενας
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.0 ( ) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 3 Γραφήµατα v1.0 (2010-05-25) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισµοί και Εφαρµογές γραφήµατα γράφηµα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΘΕΜΑ: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Επίκουρος Καθηγητής ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9 Απριλίου 2009 1 / 0 Παραδείγµατα γράφων
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 5: Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ Ενότητα : Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΓράφοι: κατευθυνόμενοι και μη
Γράφοι: κατευθυνόμενοι και μη (V,E ) (V,E ) Γράφος (ή γράφημα): ζεύγος (V,E), V ένα μη κενό σύνολο, Ε διμελής σχέση πάνω στο V Μη κατευθυνόμενος γράφος: σχέση Ε συμμετρική V: κορυφές (vertices), κόμβοι
Διαβάστε περισσότεραέντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής. Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 3 η Διάλεξη Μονοπάτια και Κύκλοι Μήκη και αποστάσεις Κέντρο και μέσο γράφου. Ακτίνα και Διάμετρος Δυνάμεις Γραφημάτων Γράφοι Euler.
Διαβάστε περισσότερα(elementary graph algorithms)
(elementary graph algorithms) Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα γραφήματα αναπαραστάσεις οριζόντια διερεύνηση καθοδική διερεύνηση 2 ΓΡΑΦΉΜΑΤΑ 3 αναπαράσταση δύο καθιερωμένοι τρόποι: πίνακας γειτνίασης συλλογή
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα
Ασκήσεις στους Γράφους 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι κάθε γράφημα περιέχει μια διαδρομή από μια κορυφή u σε μια κορυφή w αν και
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ
Διάλεξη 9: Εισαγωγή στους Γράφους Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Γράφοι - ορισμοί και υλοποίηση Διάσχιση Γράφων Διδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ
Διαβάστε περισσότεραΓράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά.
Γράφοι Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο πλευρές (ακµές) και κορυφές (κόµβους). Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Graph Drawing 4 πιθανές αναπαραστάσεις
Διαβάστε περισσότεραιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.
Διαβάστε περισσότεραΠληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων)
Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Βάθος. Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης διαφάνειες για SCC: A. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Αναζήτηση Κατά Βάθος Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης διαφάνειες για SCC: A. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΜη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα.
Κατευθυνόµενα γραφήµατα Απλό κατευθυνόµενο Γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E), µε: Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) σύνολο κορυφών / κόµβων V, Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (IΙ) (γράφοι και δένδρα)
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 2016-17 Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (IΙ) (γράφοι και δένδρα) http://mixstef.github.io/courses/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Αφηρημένες
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Δοµές Δεδοµένων. Σύντοµη επανάληψη (ΕΠΛ 035).
Βασικές Δοµές Δεδοµένων Σύντοµη επανάληψη (ΕΠΛ 035). Περίληψη Γραµµικές Δοµές Δεδοµένων Πίνακες Λίστες Στοίβες Ουρές Γράφοι Δέντρα Γραµµικές Δοµές Πίνακας (array) A[0] A[1] A[2] A[ ] A[n-1] Προκαθορισµένη
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs)
Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E) µε σύνολο κορυφών/κόµβων V Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ
Ενότητα 5 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 3 Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισµοί και Εφαρµογές γραφήµατα γράφηµα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1)
Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 1 / 23 Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών
Διαβάστε περισσότεραΣύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις
Κεφάλαιο 2 Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Τα σύνολα, οι σχέσεις και οι συναρτήσεις χρησιμοποιούνται ευρύτατα σε κάθε είδους μαθηματικές αναπαραστάσεις και μοντελοποιήσεις. Στη θεωρία υπολογισμού χρησιμεύουν,
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Γραφημάτων
Αλγόριθμοι Γραφημάτων. Γραφήματα. Αναπαράσταση Γραφημάτων 3. Διερεύνηση σε Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Γράφημα Ορισμός: Ένα γράφημα G είναι το διατεταγμένο ζεύγος
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 10β: Αλγόριθμοι Γραφημάτων-Γραφήματα- Αναπαράσταση Γραφημάτων- Διερεύνηση Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραd(v) = 3 S. q(g \ S) S
Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3. Γραφήματα. v1.3 ( ) Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 3 Γραφήματα v1.3 (2014-01-30) Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισμοί και Εφαρμογές γραφήματα γράφημα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων
Διαβάστε περισσότεραe 2 S F = [V (H), V (H)]. 3-1 e 1 e 3
Διάλεξη 3: 19.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Λίβανος & Σ. Κ. 3.1 Ακμοδιαχωριστές, Τομές, Δεσμοί Ορισμός 3.1 Ακμοδιαχωριστής (edge-separator) ενός γραφήματος =
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 8 η Διάλεξη Επιπεδότητα (ή επιπεδικότητα γράφων) Βασικές εννοιες και ιδιότητες Θεώρημα Kuratowski Δυαδικότητα (Δυϊκότητα) επίπεδων γράφων Αλγόριθμοι
Διαβάστε περισσότεραq(g \ S ) = q(g \ S) S + d = S.
Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος & Σ. Κ. Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΕλληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 1 : Σύνολα & Σχέσεις (1/2) Αλέξανδρος Τζάλλας
1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 1 : Σύνολα & Σχέσεις (1/2) Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.
Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά απαιτητικά ερωτήματα,
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο #9 Ασκήσεις σε Γράφους 18/5/2018
Φροντιστήριο #9 Ασκήσεις σε Γράφους 18/5/2018 Άσκηση 9.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γράφων - Εισαγωγή
Θεωρία Γράφων - Εισαγωγή Τοπολογιές απειονίσεις Τοπολογία Κλάδος των μαθηματιών που μελετά ανάμεσα σε άλλα τις ιδιότητες εείνες των γεωμετριών σχημάτων οι οποίες παραμένουν αναλλοίωτες ατά τις τοπολογιές
Διαβάστε περισσότεραβασικές έννοιες (τόμος Β)
θεωρία γραφημάτων Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα βασικές έννοιες (τόμος Α) βασικές έννοιες (τόμος Β) 2 Θεωρία Γραφημάτων Βασική Ορολογία Τόμος Α, Ενότητα 4.1 Βασική Ορολογία Γραφημάτων Γράφημα Γ = (E,V)
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 231 Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι 11-1
Γράφοι Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Γράφοι - ορισµοί και υλοποίηση Διάσχιση Γράφων Τοπολογική Ταξινόµηση ΕΠΛ 23 Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Γράφοι Η πιο γενική µορφή δοµής
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016
Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016 Άσκηση 8.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Αλφάβητα, Γλώσσες, Κανονικές Εκφράσεις
1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 6 : Αλφάβητα, Γλώσσες, Κανονικές Εκφράσεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Τμήμα Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες
Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα
Διαβάστε περισσότεραΕλληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 8 : Αυτόματα NFA - DFA. Αλέξανδρος Τζάλλας
Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 8 : Αυτόματα NFA - DFA Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 2 Η ΔΙΑΛΕΞΗ Βασικές Έννοιες Γράφων - Ορισμοί (συνέχεια) - Ισομορφισμοί-Ομοιομορφισμοί Γράφων - Πράξεις - Αναπαράσταση Γράφων (Πίνακες
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα, αντίστοιχη
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 231 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι Άννα Φιλίππου,
Γράφοι Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Γράφοι - ορισµοί και υλοποίηση Τοπολογική Ταξινόµηση ιάσχιση Γράφων ΕΠΛ 23 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι Άννα Φιλίππου, 26 - Γράφοι Ηπιο
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα συνεκτικότητα,
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017
Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017 Άσκηση 8.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Θεωρία Γράφων
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εισαγωγή στη Θεωρία Γράφων Υλικό βασισμένο στις εξής πηγές: Βιβλίο «Μαθήματα Θεωρίας Γράφων», Γιάννη Μανωλόπουλου, Εκδόσεις Νέων
Διαβάστε περισσότερα1 (6) 9 (6) 2 (3) 10 (9) 3 (6) 11 (6) 4 (8) 12 (6) 5 (6) 13 (8) 6 (5) 14 (6) 7 (6) 15 (11) 8 (8)
Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΗΜΥ 311: Διακριτη Αναλυση και Δομες Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 Καθηγητής: Χριστόφορος Χατζηκωστής Τελική Εξέταση Τρίτη, 22 Δεκεμβρίου,
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Γράφων. Κεφάλαιο Διάσχιση γράφων Γενικά Αναζήτηση κατά πλάτος (Breadth First Search)
Κεφάλαιο Αλγόριθμοι Γράφων. Διάσχιση γράφων.. Γενικά Οι τεχνικές διάσχισης γράφων μας βοηθούν στο να επισκεπτόμαστε συστηματικά τους κόμβους ενός γράφου G(V,E) έτσι ώστε να δίνουμε γρήγορα απαντήσεις σε
Διαβάστε περισσότεραΕλληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 11 : Γραμματικές χωρίς συμφραζόμενα. Αλέξανδρος Τζάλλας
1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 11 : Γραμματικές χωρίς συμφραζόμενα Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραΔιμερή γραφήματα και ταιριάσματα
Κεφάλαιο 6 Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι C. L. Liu and C. Liu 1985, Cameron 1994, Diestel 2005 και Stanley 1986. 6.1 Διμερή γραφήματα Η κλάση
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αξιόλογη προσπάθεια,
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά. Θεωρία γράφων/ γραφήματα. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά. Συνεκτικότητα. 25 -Γράφοι
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Θεωρία γράφων/ γραφήματα Πέμπτη, 17/05/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 17-May-18 1 1 17-May-18 2 2 Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Ισομορφισμός γράφων Υπολογιστική
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 29: Γράφοι. Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου
Διάλεξη 9: Γράφοι Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Γράφοι - ορισμοί και υλοποίηση - Διάσχιση Γράφων Διδάσκων: Παναγιώτης νδρέου ΕΠΛ035 Δομές Δεδομένων και λγόριθμοι για Ηλ. Μηχ.
Διαβάστε περισσότεραΘέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Δένδρα. Δένδρα
Δένδρα Δένδρα Ειδική κατηγορία γραφημάτων: συνεκτικά γραφήματα που δεν περιέχουν απλά κυκλώματα [1857] Arthur Cayley: για απαρίθμηση ορισμένων ειδών χημικών ενώσεων Χρησιμοποιούνται σε πληθώρα προβλημάτων,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3. Γραφήματα. ver. 21/12/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 3 Γραφήματα ver. 21/12/2014 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισμοί και Εφαρμογές γραφήματα γράφημα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων ανά
Διαβάστε περισσότεραΤομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα
Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 11: Δέντρα Ι Εισαγωγή σε Δενδρικές Δομές Δεδομένων
Διάλεξη 11: Δέντρα Ι Εισαγωγή σε Δενδρικές Δομές Δεδομένων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή σε δενδρικές δομές δεδομένων, Ορισμοί και πράξεις Αναπαράσταση δενδρικών δομών
Διαβάστε περισσότεραΓράφοι. Ορολογία. Ορισµός: G = (V, E) όπου. Ορολογία (συνέχεια) γράφος ή γράφηµα (graph) V:ένα σύνολο E:µια διµελής σχέση στο V
Γράφοι Ορολογία γράφος ή γράφηµα (graph) Ορισµός: G = (V, E) όπου V:ένα σύνολο E:µια διµελής σχέση στο V Ορολογία (συνέχεια) κάθε v V ονοµάζεται κορυφή (vertex) ή κόµβος (node) κάθε (v 1, v 2 ) Ε ονοµάζεται
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων
Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Σεπτέμβριος 2017
Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Σεπτέμβριος 2017 Όλα τα γραφήματα είναι μη-κατευθυνόμενα, αν δεν αναφέρεται κάτι άλλο. ΕΓΘΑ : Σ. Κοσμαδάκης, «Εισαγωγή στα Γραφήματα, Θεωρία-Ασκήσεις».
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 11: Δέντρα Ι - Εισαγωγή σε Δενδρικές Δομές Δεδομένων
ΕΠΛ231 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 1 Διάλεξη 11: Δέντρα Ι - Εισαγωγή σε Δενδρικές Δομές Δεδομένων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Εισαγωγή σε δενδρικές δομές δεδομένων, -
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραjτο πλήθος των ταξιδιών που κάνει η αεροσυνοδός µέχρι την j ηµέρα. Σχηµατίζω µία ακολουθία που αποτελείται από τα a.
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ιδάσκοντες: Φωτάκης, Σούλιου, Θ Λιανέας η Γραπτή Εργασία Θέµα (Αρχή του Περιστερώνα, 8 µονάδες) α)
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 3: Εισαγωγή (Πράξεις) Ιωάννης Μανωλόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Γραφημάτων
11 Αλγόριθμοι Γραφημάτων Περιεχόμενα Κεφαλαίου 11.1 Βασικές Έννοιες....................... 330 11.2 Εσωτερική Παράσταση Γράφων.............. 333 11.3 Μέθοδοι Διάσχισης...................... 336 11.4 Τοπολογική
Διαβάστε περισσότεραΣυνεκτικότητα Γραφήματος
Συνεκτικότητα Γραφήματος Θεμελιώδης έννοια στη Θεωρία Γραφημάτων. Πληθώρα πρακτικών εφαρμογών, όπως: Αξιόπιστη και ασφαλής επικοινωνία. Δρομολόγηση σε δίκτυα. Πλοήγηση. Συνεκτικότητα Γραφήματος Θεμελιώδης
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες
Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΜΥ 3: Διακριτή Ανάλυση και Δομές Χειμερινό Εξάμηνο 26 Σειρά Ασκήσεων 5: Απαρίθμηση, Αρχή της Θυρίδας, Συνδυασμοί και Μεταθέσεις, Γραφήματα και Ιδιότητες
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός
ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός Βασικές Έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετηθεί ο βαθμός συνεκτικότητας (συνδεσμικότητας)
Διαβάστε περισσότεραx (a 1 + a 2 ) mod 9, y (a 1 a 2 ) mod 9.
Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΗΜΥ 311: Διακριτη Αναλυση και Δομες Χειμερινό Εξάμηνο 2017-2018 Καθηγητής: Χριστόφορος Χατζηκωστής Τελική Εξέταση Πέμπτη, 14 Δεκεμβρίου,
Διαβάστε περισσότερα