Αλγόριθμοι για Ασύρματα Δίκτυα. Θεωρία Γραφημάτων

Transcript

1 Αλγόριθμοι για Ασύρματα Δίκτυα Θεωρία Γραφημάτων

2 Ασύρματα Δίκτυα Ιδιότητες Χρησιμότητα Προκλήσεις Τεχνικές για την αντιμετώπιση των προκλήσεων αυτών

3 Ασύρματες συσκευές υπάρχουν παντού γύρω μας Τι συμβαίνει αν όλες επικοινωνούν μεταξύ τους; Πώς μπορεί να γίνει αυτό; Πώς μπορούμε να τις αξιοποιήσουμε;

4 Ιδιότητες ασύρματων συσκευών Λειτουργούν με μπαταρία απαιτείται ελαχιστοποίηση κατανάλωσης ενέργειας Περιορισμένη CPU και μνήμη δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί μεγάλο εύρος υπολογισμών Ασύρματη επικοινωνία μπορεί να αποκατασταθεί επικοινωνία μόνο με κοντινές συσκευές Υψηλό κόστος επικοινωνίας η μετάδοση κοστίζει σε ενέργεια πολύ περισσότερο από την πραγματοποίηση υπολογισμών

5 Μπορούμε να στείλουμε μήνυμα από ένα κινητό σε ένα άλλο;

6 Πώς διαφοροποιείται η διαδικασία σε σύγκριση με το Internet; Δεν υπάρχουν δρομολογητές (routers) και πύλες (gateways) ΔενυπάρχουνδιευθύνσειςIP για τον προσδιορισμό υποδικτύων Δεν απαιτούνται εξυπηρετητές (servers) Τα μηνύματα μεταβιβάζονται κατευθείαν στον προορισμό τους Δομή που μοιάζει περισσότερο με ισότιμη (peer-to-peer) παρά με πελάτη-εξυπηρετητή (client-server) Περισσότεροι περιορισμοί σε ενέργεια, υπολογισμούς και επικοινωνία

7 MIT RoofNet

8 ΜΙΤ RoofNet Τεχνολογία για "mesh networking" που αναπτύχθηκε στο MIT Επιτρέπει τη δημιουργία ασύρματου δικτύου για μικρή πόλη Το λογισμικό του RoofNet εντοπίζει αυτόματα τη συντομότερη διαδρομή μεταξύ σημείων A και B και ελέγχει συνεχώς τα μονοπάτια στο δίκτυο Κάθε κόμβος του RoofNet είναι μικρή υπολογιστική συσκευή που τρέχει Linux, έχει κάρτα b και καλή κεραία

9 Δίκτυα Αισθητήρων (Sensor Networks) Για την παρακολούθηση αυθαίρετων τοποθεσιών Μπορεί να μην υπάρχει υποδομή για σύνδεση στο Internet

10 Ενδιαφέροντα ζητήματα στα Ασύρματα Δίκτυα Εντοπισμός θέσης (localization) Ποιες είναι οι θέσεις των κόμβων; Δικτυακή δομή (network structure) και τοπολογία (topology) Δρομολόγηση (routing) Αποθήκευση και ανάκτηση δεδομένων Κωδικοποίηση και Θεωρία της Πληροφορίας Αποδοτική ανάμειξη δεδομένων Κατανεμημένος υπολογισμός (distributed computation) Συνάθροιση (aggregation) υπολογισμών, ερωτημάτων Διαχείριση ασύρματων κόμβων

11 Εντοπισμός θέσης (localization) Γνώση της θέσης: πολύ χρήσιμη Πλοήγηση (navigation), έλεγχος, δρομολόγηση Δεν υπάρχει πάντα GPS Λόγω υψηλού κόστους Λόγω του ότι δεν δουλεύει σε κλειστούς χώρους Εντοπισμός θέσης κόμβων από γράφημα συνεκτικότητας (connectivity graph) Κάποιες θέσεις μπορεί να είναι ήδη γνωστές Η ισχύς του σήματος βοηθάει

12 Δικτυακή δομή (network structure) και τοπολογία (topology) Πού υπάρχουν ασυνέχειες (holes) Πού βρίσκονται τα όρια (boundaries)

13 Δρομολόγηση (routing)

14 Αποθήκευση και ανάκτηση δεδομένων Απλή στρατηγική: αποθήκευση όλων των δεδομένων στον διακομιστή (server) Μεγάλος φόρτος στο διακομιστή, πιθανή δυσλειτουργία προκαλεί γενικευμένο πρόβλημα Οι κόμβοι κοντά στο διακομιστή πρέπει να διαχειριστούν μεγάλη κίνηση (bottleneck) Οτιδήποτε πρέπει να σταλεί στο διακομιστή ακόμα και όταν πηγή και προορισμός είναι πολύ κοντά

15 Αποθήκευση και ανάκτηση δεδομένων Προτιμότερη η αποθήκευση δεδομένων σε διαφορετικούς κόμβους στο δίκτυο Κατανέμεται ο φόρτος Εξισορροπείται η κίνηση Μεγαλύτερη αντοχή σε δυσλειτουργίες Ποια είναι η ακριβής στρατηγική;

16 Κατανεμημένος υπολογισμός (distributed computation) και Συνάθροιση (aggregation) υπολογισμών Υπάρχουν n κόμβοι Κάθε κόμβος έχει μια τιμή Ο διακομιστής θέλει να λάβει το άθροισμα των τιμών των κόμβων Κάθε κόμβος στέλνει την τιμή του Συνολικό κόστος:

17 Κατανεμημένος υπολογισμός (distributed computation) και Συνάθροιση (aggregation) υπολογισμών Υπάρχουν n κόμβοι Κάθε κόμβος έχει μια τιμή Ο διακομιστής θέλει να λάβει το άθροισμα των τιμών των κόμβων Ο δεξιότερος κόμβος στέλνει την τιμή του στον επόμενο κόμβο Οι άλλοι κόμβοι προσθέτουν την τιμή τους στα δεδομένα που έλαβαν και τα προωθούν Συνολικό κόστος:

18 Κατανεμημένος υπολογισμός (distributed computation): τοπικές ενέργειες για καθολικά αποτελέσματα Κάθε κόμβος διαθέτει υπολογιστική μονάδα Χρησιμοποιώντας αυτή την υπολογιστική μονάδα, δεν χρειάζεται να στέλνεται οτιδήποτε στο διακομιστή Η επικοινωνία είναι ακριβότερη από την πραγματοποίηση υπολογισμών Όταν πολλοί κόμβοι προσπαθούν να επικοινωνήσουν προκαλούνται παρεμβολές (interference) και καθυστερήσεις

19 Αδόμητα Ασύρματα Δίκτυα (ad hoc Wireless Networks) Δίκτυα Πλέγματος (Mesh Networks) Π.χ., RoofNet Δίκτυα Αισθητήρων (Sensor Networks) Μελέτη και κατανόηση θεμελιωδών ζητημάτων στα δίκτυα: πώς κάνουμε τα πάντα από την αρχή Θεμελιώσεις για νέα και καλύτερα δίκτυα του μέλλοντος Εφαρμογές και σε άλλα δίκτυα: κοινωνικά (social), βιολογικά (biological), Ανάπτυξη ιδεών με χρησιμότητα και σε άλλες περιοχές Θεωρία γραφημάτων, αλγόριθμοι, κατανεμημένος υπολογισμός, γεωμετρία, βάσεις δεδομένων, θεωρία της πληροφορίας,

20 Γράφημα ; Διακριτή δομή Προσδιορίζει τις σχέσεις μεταξύ αντικειμένων μιας συλλογής Αποτελείται από κορυφές (vertices) ήκόμβους (nodes) και ακμές (edges) Γειτονικές είναι κορυφές που ενώνονται με ακμή

21 V: σύνολο κορυφών Γράφημα (Graph) n = V : πλήθος κορυφών E: σύνολο ακμών m= E : πλήθος ακμών Αν υπάρχει η ακμή a-b, τότε οι κορυφές a και b είναι γειτονικές

22 Κατεύθυνση στις ακμές; Συμμετρική σχέση μεταξύ των άκρων της ακμής Ηακμήαπλάτασυνδέει Μη συμμετρική σχέση μεταξύ των άκρων ακμών κατευθυνόμενες ακμές κατευθυνόμενα γραφήματα

23 Υπογράφημα (Subgraph) του G Γράφημα H με υποσύνολο κορυφών και ακμών του G Για κάθε ακμή (a,b) στο H, οι κορυφές a και b πρέπει να ανήκουν στο H Υπογράφημα που δημιουργείται από υποσύνολο κορυφών X V Γράφημα με κορυφές X και ακμές μεταξύ κορυφών του X

24 Συνεκτική συνιστώσα (Connected component) Υπογράφημα στο οποίο Κάθε ζευγάρι κορυφών συνδέεται με μονοπάτι Συνεκτικό (connected) γράφημα Μόνο 1 συνεκτική συνιστώσα

25 Γράφημα Πόσες ακμές μπορεί να έχει ένα γράφημα; = Με ασυμπτωτικό συμβολισμό O? Ο(n 2 )

26 Άσκηση

27

28 Βασική ορολογία Μη κατευθυνόμενο γράφημα Γειτονικές κορυφές u,v: υπάρχει ακμή (u,v) μεταξύ τους Η ακμή (u,v) είναι προσκείμενη στις κορυφές u και v Η ακμή (u,v) συνδέει τις κορυφές u και v Οι κορυφές u και v είναι τελικά σημεία της ακμής (u,v) Βαθμός κορυφής v: πλήθος ακμών που πρόσκεινται στην κορυφή v Συμβολίζουμε deg(v) Κορυφές με βαθμό 0: απομονωμένες Κορυφές με βαθμό 1: εκκρεμείς

29 Παράδειγμα

30 Το Θεώρημα της Χειραψίας Τι θα έχουμε αν προσθέσουμε τους βαθμούς όλων των κορυφών ενός γραφήματος; Ακμή με δύο σημεία χειραψία με δύο χέρια ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΧΕΙΡΑΨΙΑΣ: Έστω G=(V,E) μη κατευθυνόμενο γράφημα με e ακμές. Τότε 2e = deg( v) v V Ισχύει ακόμα και αν υπάρχουν πολλαπλές ακμές και βρόχοι Κάθε ακμή συνεισφέρει 2 στο άθροισμα αφού προσπίπτει σε δύο ακριβώς κορυφές. Το άθροισμα των βαθμών των κορυφών μη κατευθυνόμενου γραφήματος είναι άρτιος αριθμός.

31 Το Θεώρημα της Χειραψίας Πόσες ακμές υπάρχουν σε γράφημα με 10 κορυφές, που κάθε μία είναι βαθμού 6; Τοάθροισματωνβαθμώντωνκορυφώνείναι6*10=60 Επειδή ισούται με το διπλάσιο του πλήθους των ακμών: 2*e=60 e=30

32 Ειδικά απλά γραφήματα

33 Ειδικά απλά γραφήματα

34 Ειδικά απλά γραφήματα

35 Ειδικά απλά γραφήματα

36 Διμερή γραφήματα Οι κορυφές διαμερίζονται σε δύο υποσύνολα Ακμές υπάρχουν μόνο μεταξύ κορυφών σε διαφορετικά υποσύνολα

37 Παράδειγμα Είναι διμερή τα παρακάτω γραφήματα; Διμερές Μη διμερές

38 ΠλήρηδιμερήγραφήματαΚ m,n Οι κορυφές διαμερίζονται σε δύο υποσύνολα Α και Β με m και n κορυφές, αντίστοιχα Ακμές υπάρχουν μόνο μεταξύ κορυφών των υποσυνόλων Α και Β Υπάρχει ακμή μεταξύ κάθε κορυφής του Α προς όλες τις κορυφές του Β και κάθε κορυφής του Β προς όλες τις κορυφές του Α

39 Εφαρμογές ειδικών τύπων Τοπικά δίκτυα γραφημάτων Διασύνδεση μίνι-υπολογιστών και προσωπικών υπολογιστών με περιφερειακές συσκευές (εκτυπωτές, plotters, κτλ) Τοπολογία αστέρα Τοπολογία δακτυλίου Υβριδική τοπολογία

40 Ασκήσεις

41 Περίπατοι (Walks) Ακολουθία κορυφών στην οποία διαδοχικές κορυφές είναι γειτονικές v 1, v 2, v 3,...v i, v i+1, (v i, v i+1 ) E

42 Μονοπάτια (Paths) Περίπατοι χωρίς επαναλαμβανόμενες κορυφές

43 Μονοπάτια (Paths) Συχνά αντικείμενα διανύουν τις ακμές ενός γραφήματος πηγαίνοντας από κόμβο σε κόμβο Επιβάτες ακολουθούν σειρά αεροπορικών πτήσεων Πληροφορία περνάει από άτομο σε άτομο σε ένα κοινωνικό δίκτυο Χρήστης ή λογισμικό επισκέπτεται σειρά Web σελίδων ακολουθώντας links Μονοπάτι σε ένα γράφημα είναι ακολουθία κόμβων με την ιδιότητα ότι κάθε διαδοχικό ζευγάρι κόμβων στην ακολουθία συνδέεται με ακμή Πολλές φορές σκεφτόμαστε ως μονοπάτι όχι μόνο τους κόμβους αλλά και τις ακμές της ακολουθίας Γενικά σε ένα μονοπάτι κόμβοι μπορεί να επαναλαμβάνονται Μονοπάτια που δεν περιέχουν επαναλήψεις κόμβων λέγονται απλά

44 Κύκλος (Cycle) Περίπατος με την ίδια αρχική και τελική κορυφή

45 Κύκλοι (Cycles) Ειδική περίπτωση μη απλού μονοπατιού με τη μορφή δακτυλίου Κύκλος = μονοπάτι με τουλάχιστον 3 ακμές στο οποίο ο πρώτος και ο τελευταίος κόμβος είναι ο ίδιος αλλά όλοι οι υπόλοιποι κόμβοι είναι διακριτοί Υπήρχαν πολλοί κύκλοι στο Arpanet Σχεδιάστηκε έτσι ώστε κάθε ακμή να ανήκει σε κάποιον κύκλο Αν κάποια ακμή γινόταν μη λειτουργική πάλι θα υπήρχε τρόπος επικοινωνίας ανάμεσα σε οποιουσδήποτε δύο κόμβους

46 Μονοπάτια σε γραφήματα a,d,c,f,e: μονοπάτι d,e,c,a: όχι μονοπάτι b,c,f,e,b: κύκλος με μήκος 4 a,b,e,d,a,b: όχι απλό μονοπάτι μήκους 5

47 Ερωτήσεις Πόσοι περίπατοι το πολύ υπάρχουν σε ένα γράφημα; Πόσα μονοπάτια το πολύ υπάρχουν σε ένα γράφημα;

48 Πλήθος μονοπατιών Γράφημα με n κορυφές Το πολύ C(n,2)=n(n-1)/2 ακμές n*(n-1)*(n-2)* *1 = n! μονοπάτια που να περιέχουν όλες τις κορυφές Πρόβλημα περιοδεύοντος πωλητή 1/2*n*(n-1)*(n-2)* *(n-k) μονοπάτια μήκους k Μονοπάτι μήκους k περιέχει k+1 κορυφές Διαλέγω την 1 η κορυφή με n τρόπους, τη 2 η με n-1, την κορυφή k+1 με n-k τρόπους Συνολικά: n 1 k= 2 n*( n 1)*...*( n k)

49 Γινόμενο διανυσμάτων και πινάκων =???????

50 Πλήθος περιπάτων σε κατευθυνόμενο γράφημα Πίνακας γειτνίασης Από Προς Ητιμήτου ισούται με το πλήθος των κατευθυνόμενων ακμών

51 Πλήθος περιπάτων σε κατευθυνόμενο γράφημα Από Προς Πόσοι περίπατοι μήκους 2 υπάρχουν από την κορυφή 1 προς την 3; Σε περιπάτους επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση κορυφών και ακμών Πλήθος περιπάτων = Τύπος: Σύνολο

52 Πλήθος περιπάτων μήκους 3 από κορυφή i σε κορυφή j; Περίπατοι μήκους 3 έχουν 2 ενδιάμεσες κορυφές: εμφανίζεται φορές Αθροίζουμε για όλες τις ενδιάμεσες κορυφές Συνολικό πλήθος περιπάτων Γενικά, το πλήθος των περιπάτων μήκους m από την κορυφή i στην κορυφή j είναι (Α m ) ij, δηλ., υψώνουμε τον πίνακα Α στη δύναμη m πολλαπλασιάζοντας τον Α με τον εαυτό του m φορές και μετά κοιτάμε την τιμή στη γραμμή i και στη στήλη j.

53 Πλήθος περιπάτων σε κατευθυνόμενο γράφημα

54 Συνηθισμένα γραφήματα Πλήρη γραφήματα (complete graphs) Υπάρχουν όλες οι δυνατές ακμές Δέντρα (tree graphs) Συνεκτικά γραφήματα Δεν περιέχουν κύκλους

55 Συνηθισμένα γραφήματα Αστέρες (Star graphs) Διμερή γραφήματα (Bipartite graphs) Οι κορυφές είναι διαμερισμένες σε 2 σύνολα Δεν υπάρχει ακμή μεταξύ κορυφών στο ίδιο σύνολο

56 Συνηθισμένα γραφήματα Πλέγματα (Grids) (πεπερασμένα) Μονοδιάστατο πλέγμα (1D grid) ήαλυσίδα(chain) ή μονοπάτι (path) Διδιάστατο πλέγμα (2D grid) Τριδιάστατο πλέγμα (3D grid)

57 Τυχαία γραφήματα (Random graphs) Τα πιο βασικά γραφήματα χωρίς δομή Αποτελούν σημείο αναφοράς Τι συμβαίνει απουσία οποιασδήποτε επιρροής Κοινωνικές και τεχνολογικές επιδράσεις Σε πολλά πραγματικά δίκτυα υπάρχει τυχαία συνιστώσα Πολλά πράγματα συμβαίνουν χωρίς σαφή αιτία

58 Τυχαία γραφήματα Erdos Renyi (1959)

59 Τυχαία γραφήματα Erdos Renyi n: πλήθος κορυφών p: πιθανότητα ύπαρξης κάθε ακμής Έστω V με n κορυφές Εξετάζουμε κάθε δυνατή ακμή και την προσθέτουμε στο E με πιθανότητα p

60 Μέση και Αναμενόμενη Τιμή Έστω X το αποτέλεσμα της ρίψης ενός δίκαιου ζαριού με 3 όψεις Οι πιθανές τιμές για το X είναι 1, 2, 3, 4, 5, 6 καικάθεμίαεμφανίζεταιμε πιθανότητα 1/6 Η αναμενόμενη τιμή για την X είναι: (X)expected=1 (1/6)+2 (1/6)+3 (1/6)+4 (1/6)+5 (1/6)+6 (1/6)=21/6=3,5 Υποθέστε ότι ρίχνουμε το ζάρι 10 φορές και τα αποτελέσματα είναι 5, 2, 6, 2, 2, 1, 2, 3, 6, 1 Τότε η μέση τιμή (δηλ., ο μέσος όρος) των αποτελεσμάτων είναι (X)average=( )/10=3,0 Λέμε ότι η μέση τιμή είναι 3,0 με απόσταση 0,5 από την αναμενόμενη τιμή 3,5. Αν ρίξουμε το ζάρι N φορές, για πολύ μεγάλο N, τότεημέσητιμήθα συγκλίνει στην αναμενόμενη τιμή, δηλ., (X)average=(X)expected Αυτό συμβαίνει γιατί όταν το N είναι πολύ μεγάλο κάθε πιθανή τιμή του X (δηλ., από 1 έως 6) θα εμφανιστεί ισοπίθανα με πιθανότητα 1/6, κάνοντας την μέση τιμή ίση με την αναμενόμενη

61 Αναμενόμενος αριθμός ακμών Αναμενόμενος συνολικός αριθμός ακμών Αναμενόμενος αριθμός ακμών σε κάθε κορυφή ν n 1 πιθανές ακμές από τη v κάθε μία από αυτές επιλέγεται με πιθανότητα p

62 Αναμενόμενος αριθμός ακμών Όταν Ο αναμενόμενος αριθμός ακμών σε μια κορυφή είναι?

63 Τυχαία γραφήματα Erdos Renyi Η πιθανότητα δημιουργίας γραφήματος με k ακμές είναι: Η πιθανότητα το τυχαίο γράφημα να έχει ακριβώς k ακμές είναι:

64 Τυχαία γραφήματα Erdos Renyi Η πιθανότητα δημιουργίας γραφήματος με k ακμές είναι: Πιθανότητα να υπάρχουν k ακμές Πιθανότητα να μην υπάρχουν οι υπόλοιπες n-k ακμές Η πιθανότητα το τυχαίο γράφημα να έχει ακριβώς k ακμές είναι: Τρόποι να διαλέξουμε k ακμές από αυτές που υπάρχουν συνολικά

65 Ασκήσεις Πόσες ακμές μπορεί να έχει ένα γράφημα; Υποθέτουμε ότι υπάρχει το πολύ 1 ακμή μεταξύ 2 κορυφών Υποθέτοντας απλό γράφημα, υπάρχει το πολύ 1 ακμή ανάμεσα σε κάθε ζεύγος κορυφών Υπάρχουν C(n,2) ζεύγη κορυφών μπορούν να υπάρχουν C(n,2) = n(n-1)/2 ακμές

66 Ασκήσεις Αν κάθε ακμή εμφανίζεται με πιθανότητα p, ποια πρέπει να είναι η τιμή της p έτσι ώστε ο αναμενόμενος αριθμός ακμών σε κάθε κορυφή να είναι 1; Σε κάθε κορυφή v πρόσκεινται το πολύ n-1 ακμές Κάθε ακμή εμφανίζεται με πιθανότητα p ανεξάρτητα από τις υπόλοιπες Ο αναμενόμενος αριθμός ακμών σε κάθε κορυφή v είναι (n-1)p Λύνοντας ως προς p την εξίσωση (n-1)p = 1 p = 1/n-1

67 Ασκήσεις Ποια είναι η πιθανότητα κάποια κορυφή να έχει βαθμό k; Υπάρχουν ακμές προς k κορυφές Δεν υπάρχουν ακμές προς n-k κορυφές Μπορούμε να διαλέξουμε k από n-1 κορυφές με C(n-1,k) τρόπους p k είναι η πιθανότητα οι κορυφές αυτές να έχουν ακμές C(n-1,k)*p k είναι η πιθανότητα μία κορυφή να έχει ακμές προς k άλλες κορυφές Δεν πρέπει να υπάρχουν ακμές προς τις υπόλοιπες n-1-k κορυφές Αυτό συμβαίνει με πιθανότητα (1-p) n-1-k Συνολικά το ζητούμενο συμβαίνει με πιθανότητα

68 Απομονωμένες κορυφές (Isolated vertices) Πόσο πιθανό είναι να υπάρχουν απομονωμένες κορυφές σε ένα τυχαίο γράφημα; Πώς επηρεάζει το πλήθος των απομονωμένων κορυφών η αύξηση της p;

69 Πιθανότητα ύπαρξης απομονωμένων κορυφών Η ύπαρξη απομονωμένων κορυφών Είναι πιθανή όταν: Είναι απίθανη όταν:

70 Αποστάσεις σε γραφήματα Μονοπάτια (Paths) Ελάχιστα μονοπάτια (Shortest paths) Αναζήτηση κατά πλάτος (Breadth First Search - BFS)

71 Μονοπάτια (Paths) Μήκος (Length) ενός μονοπατιού ή περιπάτου είναι το πλήθος των ακμών από τις οποίες περνάει Σε γράφημα χωρίς βάρη (unweighted graph) Σε γράφημα με βάρη (weighted graph) οι ακμές έχουν αριθμητικά βάρη (weights) Μήκος ή Βάρος ενός μονοπατιού είναι το άθροισμα των βαρών στις ακμές του Σε κατευθυνόμενο γράφημα Ένας περίπατος ή ένα μονοπάτι πρέπει να τηρούν τις κατευθύνσεις

72 Απόσταση Η απόσταση (Distance) μεταξύ δύο κορυφών σε ένα γράφημα είναι το μήκος του συντομότερου (δηλ., ελάχιστου) μονοπατιού ανάμεσά τους Διάμετρος (Diameter) γραφήματος Η απόσταση μεταξύ των δύο πιο απομακρυσμένων κορυφών του γραφήματος

73 Εύρεση απόστασης μεταξύ δύο κορυφών σε ένα γράφημα Αναζήτηση κατά πλάτος (Breadth first search BFS) Αλγόριθμος του Dijkstra για εύρεση συντομότερων (ελάχιστων) μονοπατιών

74 Αναζήτηση κατά πλάτος (Breadth-First Search - BFS) Για πολύπλοκα γραφήματα χρειάζεται συστηματικός τρόπος καθορισμού αποστάσεων μεταξύ κόμβων τους Ο πιο προφανής και πιο αποδοτικός τρόπος μοιάζει με το πώς εντοπίζουμε αποστάσεις σε ένα δίκτυο φίλων Αρχικά, οι προσωπικοί μας φίλοι είναι σε απόσταση 1 από εμάς Μετά, εντοπίζουμε όλους τους φίλους των φίλων μας (που δεν είναι δικοί μας φίλοι) αυτοί είναι σε απόσταση 2 από εμάς Μετά, εντοπίζουμε όλους τους φίλους των φίλων των φίλων μας (που δεν είναι σε απόσταση 1 ή 2 από εμάς) αυτοί είναι σε απόσταση 3 από εμάς (...) Συνεχίζουμε, ψάχνοντας σε διαδοχικά επίπεδα καθένα από τα οποία απέχει +1 από εμάς Κάθε νέο επίπεδο περιέχει όλους τους κόμβους που Δεν έχουν ανακαλυφθεί ήδη σε προηγούμενα επίπεδα Συνδέονται με ακμή με κάποιον κόμβο προηγούμενου επιπέδου

75 Αναζήτηση κατά πλάτος (Breadth-First Search - BFS) Εσείς Απόσταση 1 Οι φίλοι σας Απόσταση 2 Οι φίλοι των φίλων σας Απόσταση 3 Οι φίλοι των φίλων των φίλων σας Κόμβοι που δεν έχουμε ανακαλύψει ακόμα με ακμές προς κόμβους προηγούμενων επιπέδων

76 Αναζήτηση κατά πλάτος (Breadth-First Search - BFS) Η τεχνική αυτή καλείται Αναζήτηση κατά Πλάτος ή Breadth-First Search ή BFS Ξεκινώντας από κάποια κορυφή του γραφήματος ψάχνουμε απομακρυνόμενοι ανακαλύπτοντας νωρίτερα τις κοντινότερες κορυφές BFS: τεχνική για οργάνωση της δομής γραφημάτων Οι κόμβοι τοποθετούνται ανάλογα με την απόστασή τους από κάποιον δοσμένο αρχικό κόμβο

77 Αναζήτηση κατά πλάτος (Breadth-First Search - BFS) Απόσταση 1 Απόσταση 2 Απόσταση 3

78 Συνολική μονάδα μέτρησης της απόστασης κορυφών γραφήματος;; Διάμετρος (diameter) Η μέγιστη απόσταση μεταξύ κάθε ζεύγους κορυφών στο γράφημα Μέση απόσταση (average distance) Η μέση απόσταση υπολογισμένη για όλα τα ζεύγη κορυφών στο γράφημα Φυσικά μέτρα για το πόσο συμπαγές είναι ένα γράφημα

79 Διάμετρος Μέση απόσταση (Diameter Average distance) AB=1 AC=1 AD=1 AE=1 AF=1 BC=2 BD=1 BE=2 BF=2 CD=1 CE=2 CF=2 DE=2 DF=2 EF=1

80 Διάμετρος Μέση απόσταση (Diameter Average distance) AB=1 AC=1 AD=1 AE=1 AF=1 BC=2 BD=1 BE=2 BF=2 CD=1 CE=2 CF=2 DE=2 DF=2 EF=1 Διάμετρος=2 Μέση απόσταση = 22/15= Πόσα ζεύγη κορυφών υπάρχουν;;; C(6,2)

81 Διάμετρος Μέση απόσταση (Diameter Average distance) Διάμετρος=2 Μέση απόσταση = 44/36=1.2222

82 Συνεκτικότητα (Connectivity) Σε ένα γράφημα, υπάρχει μονοπάτι από κάθε κόμβο σε κάθε άλλον κόμβο; ΝΑΙ: συνεκτικό γράφημα Π.χ., Arpanet Τα περισσότερα δίκτυα επικοινωνιών και μεταφορών πρέπει να είναι συνεκτικά Αποσκοπούν στη μεταφορά κίνησης μεταξύ των κόμβων τους Δεν υπάρχει πάντα απαίτηση για συνεκτικότητα Σε ένα κοινωνικό δίκτυο μπορεί κάλλιστα να μην υπάρχει τρόπος επικοινωνίας μεταξύ δύο ατόμων

83 Συνεκτικότητα σε μη κατευθυνόμενα γραφήματα Συνεκτικό γράφημα: υπάρχει απλό μονοπάτι μεταξύ οποιωνδήποτε δύο (διαφορετικών) κορυφών του συνεκτικό Μη συνεκτικό

84 Συνεκτικότητα σε μη κατευθυνόμενα γραφήματα Μη συνεκτικό γράφημα είναι ένωση δύο ή περισσότερων συνεκτικών υπογραφημάτων (= συνεκτικών συνιστωσών) που ανά ζεύγη δεν έχουν κοινές κορυφές

85 Συνεκτικότητα σε κατευθυνόμενα γραφήματα Ισχυρά συνεκτικό κατευθυνόμενο γράφημα: αν a και b κορυφές του γραφήματος, υπάρχει διαδρομή από την a στη b και από τη b στην a Ασθενώς συνεκτικό κατευθυνόμενο γράφημα: αν a και b κορυφές του γραφήματος, υπάρχει διαδρομή από την a στη b ισχυρά συνεκτικό ασθενώς συνεκτικό

86 Μη συνεκτικά γραφήματα Μη συνεκτικό γράφημα εμφανίζεται χωρισμένο σε «κομμάτια» που είναι ομάδες κόμβων Κάθε τέτοια ομάδα ή συνεκτική συνιστώσα είναι συνεκτικό γράφημα δεν υπάρχουν επικαλύψεις μεταξύ διαφορετικών ομάδων

87 Συνεκτικές συνιστώσες (Connected components) Συνεκτική συνιστώσα ενός γραφήματος είναι υποσύνολο κόμβων τέτοιο ώστε: Υπάρχει μονοπάτι μεταξύ οποιωνδήποτε δύο κόμβων σε κάθε υποσύνολο «Η συνιστώσα είναι όντως συνεκτική εσωτερικά» Κάθε υποσύνολο δεν ανήκει σε κάποιο μεγαλύτερο σύνολο με την ιδιότητα ότι υπάρχει μονοπάτι μεταξύ οποιωνδήποτε δύο κόμβων στο σύνολο «Η συνιστώσα είναι όντως αυτόνομο κομμάτι του γραφήματος κι όχι μέρος ενός μεγαλύτερου κομματιού»

88 Συνεκτικές συνιστώσες (Connected components) Όχι συνεκτική συνιστώσα αφού είναι μέρος μεγαλύτερου «κομματιού» Συνεκτική συνιστώσα

89 Συνεκτικές συνιστώσες (Connected components) Διάσπαση γραφήματος σε συνεκτικές συνιστώσες περιγραφή της δομής του Σε κάθε συνεκτική συνιστώσα μπορεί να υπάρχει πλουσιότερη δομή που είναι σημαντική για την κατανόηση των χαρακτηριστικών του δικτύου