Μελέτη και μοντελοποίηση διπλών εκλειπτικών συστημάτων αστέρων τύπου W UMa

Transcript

1 Μελέτη και μοντελοποίηση διπλών εκλειπτικών συστημάτων αστέρων τύπου W UMa Διδακτορική Διατριβή Αθανάσιος Παπαγεωργίου Τμήμα Φυσικής Πανεπιστήμιο Πατρών Επιβλέπουσα: Ε-Π Χριστοπούλου, Επίκουρη Καθηγήτρια, Τμήμα Φυσικής Πανεπιστήμιο Πατρών Πάτρα 2015

2 Η εικόνα του εξωφύλλου παρουσιάζει μια καλλιτεχνική απεικόνιση του διπλού εκλειπτικού συστήματος Kepler-16. Στο σύστημα αυτό παρατηρήθηκε άμεσα από το διαστημικό τηλεσκόπιο Kepler, ο πρώτος πλανήτης σε περιφορά γύρω από το διπλό σύστημα (Credits: NASA/JPL-Caltech/R. Hurt).

3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ, ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ Μελέτη και μοντελοποίησ η διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων ασ τέρων τύπου W UMa Διδακτορική Διατριβή του ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΥ Τριμελής Συμβουλευτική Επιτροπή Ελευθερία- Παν. Χρισ τοπούλου, Επικ. Καθηγήτρια Παν/μιου Πατρών (Επιβλέπουσ α) Χρήσ τος Γούδης, Καθηγητής Παν/μιου Πατρών Βασ ίλης Γερογιάννης, Καθηγητής Παν/μιου Πατρών ΠΑΤΡΑ,

4

5 σ ε όλους όσ ους "όταν βρεθήκαν σ το σ ταυροδρόμι, διάλεξαν το μονοπάτι το λιγότερο πατημένο..." 2

6 3

7 Περίληψη Η μελέτη των διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων παραμένει ένα από τα πιο ενδιαφέροντα ερευνητικά πεδία της ασ τροφυσ ικής γιατί παρέχει την πιο ακριβή μέθοδο υπολογισ μού των βασ ικών ασ τρικών μεγεθών (μαζών, ακτίνων, θερμοκρασ ιών) αλλά και κάθε μορφής ασ τρικής δρασ τηριότητας που αναπτύσ σ εται (κηλίδες, δίσ κοι προαύξησ ης ύλης, αναπάλσ εις) μέσ α από τη μακρόχρονη μεταβολή της περιόδου τους. Επιπλέον επιτρέπει τον έλεγχο των θεωριών ασ τρικής εξέλιξης μέσ α από την αλληλεπίδρασ ή τους αλλά και την πρόβλεψη παρουσ ίας τρίτων σ ωμάτων ασ τρικής ή μη φύσ ης. Σε αυτήν τη διατριβή μελετάται μία ιδιαίτερη κατηγορία διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων σ ε επαφή, τα W UMa τα οποία αποτελούνται από ασ τέρες κύριας ακολουθίας οι οποίοι βρίσ κονται σ ε υπερεπαφή, και χαρακτηρίζονται από τις μικρότερες περιόδους κι άρα από τη μικρότερη σ τροφορμή. Σκοπός της είναι τόσ ο η παρατηρησ ιακή μελέτη και ανάλυσ η σ υσ τημάτων W UMa που παρουσ ιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον όσ ο και η ανάγκη ανάπτυξης μεθοδολογίας μοντελοποίησ ης για την εξαγωγή της μέγισ της πληροφορίας και ελέγχου των εξαγόμενων φυσ ικών παραμέτρων κάτω από την εφαρμογή σ ύγχρονων σ τατισ τικών μεθόδων. Το πρώτο μέρος της επικεντρώνεται σ τη σ κιαγράφησ η του θεωρητικού επισ τημονικού πλαισ ίου περιγραφής των διπλών εκλειπτικών ασ τρικών σ υσ τημάτων σ ε επαφή. Το Κεφάλαιο 1 αναφέρεται σ τη γεωμετρία των τροχιών και σ τη φυσ ική των ασ τέρων του σ υσ τήματος, σ την περιγραφή του μοντέλου Roche και σ την αλληλεπίδρασ η των μελών καθώς και σ τη δυναμική των σ υσ τημάτων όπως αυτή εκδηλώνεται από την παρατηρούμενη μεταβολή της περιόδου του. Το Κεφάλαιο 2 αναφέρεται σ τις φωτομετρικές παρατηρήσ εις που έγιναν κατά την διάρκεια της παρούσ ας διατριβής καθώς και σ τις αυτοματοποιημένες μεθόδους επεξεργασ ίας και ανάλυσ ης των παρατηρησ ιακών ασ τρονομικών δεδομένων οι οποίες αναπτύχθηκαν. Το Κεφάλαιο 3 περιγράφει τις σ ύγχρονες τεχνικές μοντελοποίησ ης και τα προγράμματα ανάλυσ ης για τη λύσ η του αντίσ τροφου προβλήματος. Το Κεφάλαιο 4 περιγράφει την αναζήτησ η, εξόρυξη και αυτόματη ανάλυσ η δεδομένων από παρατηρησ ιακές ασ τρονομικές επισ κοπήσ εις και την εφαρμογή του κώδικα τεχνητών νευρωνικών δικτύων EBAI. Το δεύτερο μέρος επικεντρώνεται σ την αναλυτική μελέτη επιλεγμένων σ τενών διπλών σ υσ τημάτων W UMa με ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Σε όλα τα επιλεγμένα σ υσ τήματα παρουσ ιάζεται η φωτομετρική τους μελέτη κάτω από το φως νέων BV RcIc παρατηρήσ εων, η μελέτη της περιόδου, το εξαγόμενο μοντέλο σ ε σ υνδυασ μό με φασ ματοσ κοπικά δεδομένα, ο προσ διορισ μός τροχιακών και φυσ ικών παραμέτρων και η θέσ η τους σ ε εξελικτικά διαγράμματα. Επίσ ης γίνεται η διερεύνησ η του προτεινόμενου μοντέλου για μοναδικότητα σ το χώρο των λύσ εων μέσ α από σ άρωσ η με εισ αγωγή διαταραχών ή άλλων σ τατισ τικών μεθόδων και ο σ τατισ τικός προσ διορισ μός των σ φαλμάτων των παραμέτρων. Συγκεκριμένα σ το Κεφάλαιο 5 παρουσ ιάζεται το ενοποιημένο μοντέλο του σ υσ τήματος TY Boo δύο κηλίδων που ερμηνεύει τη σ υμπεριφορά του την περίοδο και τη μελέτη της περιόδου του. Σύμφωνα με αυτό το σ ύσ τημα TY Boo ανήκει σ την υποκατηγορία W των W UMa με μικρό βαθμό επαφής f = (7.6 ±0.8)% και η μακρόχρονη μελέτη της περιόδου του δείχνει μακροχρόνια μείωσ η (dp/dt = 3.65x10 8 d yr 1 ) και μία περιοδικότητα (P 3 = 58.9yrs, A = days) η οποία, χωρίς να αποκλείεται η παρουσ ία τρίτου σ ώματος, ερμηνεύεται με ενεργό μαγνητικό κύκλο που προκαλεί την εμφάνισ η κηλίδων. 4

8 Στο Κεφάλαιο 6 παρουσ ιάζεται για πρώτη φορά η λεπτομερής ανάλυσ η του σ υσ τήματος W UMa, FI Boo το οποίο ταξινομείται σ την υποκατηγορία W, με βαθμό επαφής f = (50.15 ± 8.10) %, κάτω από την παρουσ ία τρίτου σ ώματος το οποίο μπορεί να παίζει σ ημαντικό ρόλο σ τη δημιουργία και την εξέλιξή του. Σύμφωνα με το προτεινόμενο μοντέλο προσ διορίζονται οι μάζες M h =0.40 ± 0.05 M, M c =1.07 ± 0.05 M, και οι θερμοκρασ ίες T h = 5746±33 Κ, T c = 5420±46 Κ των ασ τέρων-μελών του καθώς και των προγεννητόρων τους (1.71 ± 0.10 M και 0.63 ± 0.01 M, αντίσ τοιχα) και διερευνάται το εξελικτικό σ τάδιο του ασ τέρα με τη μεγαλύτερη μάζα μέσ α από ισ όχρονες. Στο Κεφάλαιο 7 διερευνάται σ ε βάθος το σ ύσ τημα σ ε επαφή V1003 Her, το οποίο χαρακτηρίζεται απο μεταβολή μικρού πλάτους, με πολλαπλά μοντέλα για τα οποία ελέγχεται η σ ταθερότητα των με ανεξάρτητες μεθόδους. Το επικρατέσ τερο από αυτά δείχνει ότι το σ ύσ τημα είναι W UMa με βαθμό επαφής f = (36±10) %, με ασ υνήθισ τα άνισ ες θερμοκρασ ίες μεταξύ των ασ τέρων του 550 Κ, και λόγο μαζών q = Η μικρή του κλίσ η i = 38 o ± 1 o το καθισ τά ένα από τα μεγαλύτερης μάζας σ την υποκατηγορίας W. Στο Κεφάλαιο 8 εξετάζεται η φύσ η του διπλού σ υσ τήματος HI Dra, η λεπτομερής ανάλυσ η του οποίου δείχνει ότι είναι W UMa με μικρό βαθμό επαφής f = (24 ± 4) % και διαφορά θερμοκρασ ίας μεταξύ των ασ τέρων του 330 Κ. Προτείνονται και διερευνώνται εξονυχισ τικά δύο μοντέλα με κηλίδες από τα οποία επικρατέσ τερο, με ψυχρή κηλίδα πάνω σ τον μικρότερης μάζας και ψυχρότερο ασ τέρα- τον τοποθετεί σ την υποκατηγορία Α. Προσ διορίζονται οι φυσ ικές παράμετροι των μελών του (M = 1.72 ± 0.08M, M c = 0.43 ± 0.02 M, R h = 1.98 ± 0.03R, R c = 1.08 ± 0.02 R, L h = 9.6 ± 0.1 L, L c = 2.4 ± 0.1 L ) και των προγεννητόρων τους (1.11 ± 0.03 M και 2.25 ± 0.07 M, αντίσ τοιχα) και προσ εγγίζεται η ηλικία του σ υσ τήματος σ ε 2.4 Gyr. Τέλος σ το Κεφάλαιο 8 παρουσ ιάζονται τα πρώτα αποτελέσ ματα από τις φωτομετρικές παρατηρήσ εις με το τηλεσ κόπιο Αρίσ ταρχος 2.3 m, διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων με ι- διαίτερο ενδιαφέρον που ανακαλύφθηκαν ή παρατηρήθηκαν από την διασ τημική αποσ τολή Kepler με περιόδους περιφοράς < 0.45 d, τα οποία παρουσ ιάζουν ασ υμμετρίες σ την καμπύλη φωτός, χρονικές μεταβολές των εκλείψεων των μελών τους ή είναι εν δυνάμει τριπλά σ υσ τήματα. Τα πρώτα αποτελέσ ματα αφορούν τα σ υσ τήματα KIC και KIC τα οποία ταξινομούνται ως σ υσ τήματα τύπου W UMa, W υποκατηγορίας με πιθανό τρίτο σ υνοδό. 5

9 Summary The study of eclipsing binary systems remains one of the most powerful research fields in stellar astrophysics because it provides the primary source of calculating fundamentals properties of stars (masses, radii, temperatures) and every form of stellar activity (spots, accreting discs, pulsations) through photometry and spectroscopy or/and through the study of long-term variability of their period. Additionally it allows testing of stellar structure and evolution theories and the prediction of third body companions of stellar or sub-stellar origin. This thesis is focused on the study of W UMa type eclipsing binaries containing main sequence stars in overcontact configuration with short periods and, therefore the small angular momentum. The aim is both the multiband observational study, analysis and investigation of WUMa systems of particular interest but also the development of modeling methodology in order to extract the maximum information and to determine a detailed assessment of the parameter uncertainties through the application of modern statistical methods. The first part of the Doctoral Thesis outlines the theoretical framework for describing eclipsing binary stars. Chapter 1 refers to the physics and geometry of orbits and components, the description of the Roche model that led to the classification based on equipotential surfaces, the computation of the total radiated flux in the direction of the observer by including all the corrections needed and the description of systems dynamics as manifested by the observed change of their period. Chapter 2 presents the photometric observations made during this research and the automated methods of processing and analysis (pipelines) which were developed. Chapter 3 sketches the modern modeling and analysis software techniques for the solution of inverse problem (Differential Corrections, Levenberg-Marquardt, Downhill Simplex, Genetic Algorithms, Heuristic Scanning, Bootstrap resampling, Metropolis Hasting Markov Chain Monte Carlo), their implementation to programs developed as part of the present thesis and their application to real data. These also represent the methodology of the analyses implemented for the study of the WUMa systems, described in Part 2. Finally, Chapter 4 describes the development of a pipeline for the exploration, extraction and automatic analysis of data from astronomical surveys and its application to ASAS database. In the same chapter the first results from the training and validation of the Artificial Neural Network (ANN), EBAI, and the best topology for the ANN are presented. The second part focuses on the detailed study of selected W UMa systems with particular interest. This includes: the new multiband photometric observations, the longterm period variation, the exported model from photometric and spectroscopic data (from the literature), the determination of orbital and physical parameters and their position in evolutionary diagrams, the investigation of the proposed model for uniqueness in the parameter space through heuristic scanning with parameter kicking or other statistical methods- and the statistical determination of the uncertainties of the derived parameters. In Chapter 5, new CCD four-color light curves of TY Boo made on eight nights over were analyzed in comparison with historical light curves obtained from 1969 through The light curves could all be represented by a unique geometry and by wavelength consistent phototometric parameters of a two-spot model on either stellar component. It is confirmed that TY Boo is a shallow W-type contact binary system with a degree of contact factor of f = 7.6 ± 0.8%. A period investigation based on 6

10 all available data shows a long-term decrease (dp/dt = days yr 1 ) and an oscillation (P 3 = 58.9 yr, A = days). Without ruling out the presence of a tertiary companion, the weight of evidence points to an active cyclic magnetic activity that causes spot formation rather than an unseen companion. Mass transfer between the components and angular momentum loss are also considered as possible mechanisms. In Chapter 6, a detailed analysis of the interesting W UMa binary FI Boo in view of the spectroscopic signature of a third body through photometry, period variation, and a thorough investigation of solution uniqueness is presented. We obtained new BVRcIc photometric data that, when combined with spectroscopic data, enable us to analyze the system FI Boo and determine its basic orbital and physical properties through PHOEBE, as well as the period variation by studying the times of the minima. This combined approach allows us to study the long-term period changes in the system for the first time in order to investigate the presence of a third body and to check extensively the solution uniqueness and the uncertainties of derived parameters. Our modeling indicates that FI Boo is a W-type moderate (f = 50.15% ± 8.10%) overcontact binary with component masses of M h = 0.40 ± 0.05 M and M c =1.07 ± 0.05 M, temperatures of T h = 5746 ± 33 K and T c = 5420 ± 56 K, and a third body, which may play an important role in the formation and evolution. The results were tested by heuristic scanning and parameter kicking to provide the consistent and reliable set of parameters that was used to obtain the initial masses of the progenitors (1.71 ± 0.10 M and 0.63 ± 0.01 M, respectively). We also investigated the evolutionary status of massive components with several sets of widely used isochrones. In Chapter 7, an extensive analysis of the low amplitude, contact binary V1003 Her is presented, based on the new VR c I c, CCD photometric light curves in combination with published radial velocity (RV) curves. We investigate the stable configurations for the system with two independent methods and modeling tools: PHOEBE, ROCHE, via heuristic scanning and genetic algorithms, although the very low inclination of the system can place limitations. All methods indicate that V1003 Her is most likely in overcontact state with unequal components with temperature difference of 550 K, a mass ratio of q = and a contact degree of 36 ± 10 %. As it is viewed at the very low inclination of i 38 ± 1, if its configuration is confirmed, it will be among the most massive W- subtype of W UMa systems. This conclusion is also supported by other published models. However, in order to conclude reliable physical properties of the system, the high-precise based-ground photometry (or satellite photometry) and spectroscopic follow-up of V1003 Her is required. In Chapter 8, a detailed investigation of the low-amplitude contact binary HI Dra is presented, based on the new VR c I c CCD photometric light curves (LCs) combined with published radial velocity (RV) curves. Our completely covered LCs were analyzed using PHOEBE and revealed that HI Dra is an overcontact binary with low fill-out factor f= 24 ± 4 (%) and temperature difference between the components of 330 K. Two spotted models are proposed to explain the LC symmetry, between which the A subtype of W UMa type eclipsing systems, with a cool spot on the less massive and cooler component, proves to be more plausible on evolutionary grounds. The results and stability of the solutions were explored by heuristic scan and parameter perturbation to 7

11 provide a consistent and reliable set of parameters and their errors. Our photometric modeling and RV curve solution give the following absolute parameters of the hot and cool components, respectively: M h = 1.72 ± 0.08 M and M c = 0.43 ± 0.02 M, R h = 1.98 ± 0.03 R and R c = 1.08 ± 0.02 R, and L h = 9.6 ± 0.1 L and L c = 2.4 ± 0.1 L. Based on these results the initial masses of the progenitors (1.11 ± 0.03 M and 2.25 ± 0.07 M, respectively) and a rough estimate of the age of the system of 2.4 Gyr are discussed. Finally, in Chapter 9, our first results from ground based follow up photometric observation of interesting eclipsing binary systems (EBs) from Kepler field are presented. The program was launched in 2013 with the 2.3 m Aristarchos telescope at Helmos Observatory, Greece including eclipsing binary systems with periods < 0.45d and K p (mag) = mag. The included targets in this program show light curve asymmetries, Eclipse Timings Variation or they are third body candidates. Modern analysis techniques such as heuristic scanning with parameter perturbation and genetic algorithm (PIKAIA), enable to reveal and optimize the astrophysical parameters of selected EBs. The results from BVRI photometry for the third body candidates, WUMa eclipsing binary systems of W-subtype, KIC and KIC , are presented for the first time, as well as conclusions derived so far. 8

12 9

13 Ευχαρισ τίες Η ολοκλήρωσ η μιας επισ τημονικής διατριβής είναι αποτέλεσ μα σ υνεχούς επισ τημονικής αναζήτησ ης, χρονοβόρας και επίπονης εργασ ίας, επιμονής καθώς και προσ ήλωσ ης σ ε διαρκώς αυξανόμενους σ τόχους. Στην παρούσ α επισ τημονική διατριβή είχα την τύχη να σ υνεργασ τώ με ανθρώπους, που το μοναδικό τους κίνητρο είναι η προσ φορά σ την επισ τημονική γνώσ η και γι αυτό οφείλω τουλάχισ τον να αναφερθώ ονομασ τικά. Αρχικά, θα ήθελα να ευχαρισ τήσ ω την κυρία Ελευθερία Χρισ τοπούλου, Επίκουρη Καθηγήτρια του Τμήματος Φυσ ικής, η οποία είχε την επίβλεψη της εργασ ίας αυτής, για την πολύτιμη βοήθειά της, την καθοδήγησ η καθώς και για την εμπισ τοσ ύνη που μου έδειξε καθ όλη την διάρκεια έως και την ολοκλήρωσ η της εργασ ίας. Κυρίως όμως για την ίδρυσ η και λειτουργία του Ασ τεροσ κοπείου Μυθωδία, σ το Εργασ τήριο Ασ τρονομίας του Πανεπισ τημίου Πατρών, το οποίο έδωσ ε τη δυνατότητα εκπαίδευσ ης και έρευνας σ την Παρατηρησ ιακή Ασ τροφυσ ική. Θα ήθελα επίσ ης να ευχαρισ τήσ ω τους κυρίους Στέλιο Κλειδή, πρόεδρο της Ενωσ ης Ελλήνων Ερασ ιτεχνών Ασ τρονόμων και Γιώργο Νικολιδάκη για την βοήθειά τους σ ε τεχνικά και επισ τημονικά θέματα. Τον Καθηγητή του Τμήματος Φυσ ικής κ. Αθανάσ ιο Αργυρίου, για την βοήθειά του σ την ενασ χόλησ ή μου με τα Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα. Το ίδρυμα υποτροφιών Α. Γ. Λεβέντη για την χορήγησ η υποτροφίας κατα τα έτη Τέλος, να ευχαρισ τήσ ω την οικογένεια μου, για την πολύπλευρη σ τήριξή τους σ ε όλα τα χρόνια των σ πουδών μου και την έμπρακτη σ υμπαράσ τασ ή τους σ τις επιλογές μου. 10

14 11

15 Περιεχόμενα Περίληψη 5 Summary 8 I. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Εισ αγωγή Στοιχεία τροχιάς ενός διπλού σ υσ τήματος Επίπεδο τροχιάς Το πρόβλημα Κέπλερ Μοντέλο Roche Γεωμετρία Roche Ενεργός ακτίνα Κατάταξη διπλών εκλειπτικών ασ τέρων Εκπεμπόμενη ακτινοβολία Διόρθωσ η λόγω βαρυτικής αμαύρωσ ης Διόρθωσ η λόγω αμαύρωσ ης χείλους και αδιαφάνειας των ασ τέρων Διόρθωσ η λόγω φαινομένου ανάκλασ ης Διόρθωσ η λόγω κηλίδων σ την φωτόσ φαιρα Ολική ροή ακτινοβολίας σ ε κάθε φάσ η της τροχιάς Μεταβολή περιόδου και μεταφορά μάζας Μηχανισ μοί μεταβολής περιόδου Ασ τρονομικές Παρατηρήσ εις Οργανα παρατήρησ ης Φωτομετρία με CCD Αυτοματοποιημένη Επεξεργασ ία και Ανάλυσ η Παρατηρησ ιακών Δεδομένων Τεχνικές μοντελοποίησ ης και προγράμματα ανάλυσ ης Μοντελοποίησ η καμπυλών φωτός και λύσ η του αντίσ τροφο προβλήματος Μέθοδοι ελαχισ τοποίησ ης της σ υνάρτησ ης χ 2 και εκτίμησ η της αβεβαιότητας των παραμέτρων Διαφορικές διορθώσ εις (Differential Corrections, DC) Μέθοδος Levenberg-Marquardt Η μέθοδος Nelder-Mead Downhill Simplex Η μέθοδος των πολλαπλών υποσ υνόλων (Method of Multiple Subsets) 75 12

16 Περιεχόμενα 3.3. Γενετικοί αλγόριθμοι Σάρωσ η σ τον χώρο των λύσ εων (Heuristic Scanning) και μέθοδοι Monte- Carlo Μαρκοβιανή αλυσ ίδα Monte-Carlo και Metropolis-Hasting (Metropolis-Hasting Markov Chain Monte Carlo, M-H MCMC) Προγράμματα ανάλυσ ης των μεταβολών της περιόδου Εφαρμογή του υπολογισ τικού πακέτου PIKAIA σ την εύρεσ η τροχιακών μεταβολών Εφαρμογή τεχνικών επίλυσ ης μη γραμμικών προβλημάτων σ ε σ υνθετικά δεδομένα Εφαρμογή σ ε σ υνθετικές καμπύλες φωτός και εύρεσ η των παραμέτρων των ασ τέρων ενός διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος Εφαρμογή σ ε σ υνθετικές καμπύλες O-C και εύρεσ η των τροχιακών παραμέτρων του τρίτου σ υνοδού ενός διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος καθώς και του ρυθμού μεταφοράς μάζας Εφαρμογή σ ε πραγματικά δεδομένα Ανάλυσ η δεδομένων από ασ τρονομικές επισ κοπήσ εις Εκτίμησ η των φυσ ικών παραμέτρων διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων με την χρήσ η τεχνητών νευρωνικών δικτύων (ΕΒΑΙ) Εφαρμογή του κώδικα τεχνητών νευρωνικών δικτύων ΕΒΑΙ Αυτόματη εύρεσ η διπλών σ υσ τημάτων ασ τέρων με ενδιαφέροντα χαρακτηρισ τικά σ ε ασ τρονομικές βάσ εις δεδομένων II. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ, ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΜΠΥ- ΛΩΝ ΦΩΤΟΣ ΔΙΠΛΩΝ ΕΚΛΕΙΠΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Oλισ τική μελέτη του εκλειπτικού σ υσ τήματος W UMa TY Βοο: Το μοντέλο των δύο κηλίδων Εισ αγωγή Παρατηρήσ εις CCD Μελέτη της περιόδου Ανάλυσ η της καμπύλης φωτός και μοντελοποίησ η Συζήτησ η των αποτελεσ μάτων Ερμηνεία των μεταβολών της περιόδου Εξελικτική πορεία του TY Boo Η καμπύλη φωτός και το αναλυτικό μοντέλο του τριπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος FI Boo Εισ αγωγή Φωτομετρικές παρατηρήσ εις και επεξεργασ ία των δεδομένων Τροχιακά χαρακτηρισ τικά

17 Περιεχόμενα 6.4. Μοντελοποίησ η της καμπύλης φωτός Το σ ύσ τημα FI Boo Μία εκτεταμένη μέθοδος διερεύνησ ης του λόγου των μαζών q-search Αποτελέσ ματα και σ υζήτησ η Φυσ ικές παράμετροι Εξελικτική μελέτη Λεπτομερής διερεύνησ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή V1003 Her Εισ αγωγή Νέες φωτομετρικές παρατηρήσ εις με CCD Μελέτη μεταβολής περιόδου Ανάλυσ η καμπυλών φωτός Αποτελέσ ματα και σ υζήτησ η Εξελικτική κατάσ τασ η Προσ διορισ μός απόλυτων παραμέτρων και η φύσ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή HI Dra Εισ αγωγή Νέες CCD φωτομετρικές παρατηρήσ εις Νέοι χρόνοι ελαχίσ των Μοντελοποίησ η της καμπύλης φωτός Συζήτησ η των αποτελεσ μάτων και σ υμπεράσ ματα Φωτομετρικές παρατηρήσ εις διπλών σ υσ τημάτων του πεδίου Kepler με το τηλεσ κόπιο Αρίσ ταρχος (2.3m) Εισ αγωγή Επίγειες CCD φωτομετρικές παρατηρήσ εις και επεξεργασ ία δεδομένων Μοντελοποίησ η των καμπυλών φωτός Το διπλό εκλειπτικό σ ύσ τημα KIC Το διπλό εκλειπτικό σ ύσ τημα KIC Παράρτημα

18 Κατάλογος Σχημάτων 1.1. Αναπαράσ τασ η της καμπύλης φωτός ενός διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος ασ τέρων Α και Β και της πραγματικής τους κίνησ ης σ το χώρο (πάνω) Αναπαράσ τασ η των σ τροφών σ τον χώρο και των γωνιών (φ, θ, ψ) Euler Επίπεδο τροχιάς (πράσ ινο χρώμα) ενός διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος α- σ τέρων ως προς το επίπεδο το εφαπτόμενο της ουράνιας σ φαίρας (λευκό πλαίσ ιο) Η θέσ η σ υσ τήματος δύο μαζών Μ 1 και Μ 2 (και του κέντρου μάζα τους (M) ως προς την αρχή τυχαίου σ υσ τήματος αναφοράς (αρισ τερά) Γραφική αναπαράσ τασ η των τροχιών ενός διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος σ την περίπτωσ η κυκλικής (πάνω) και έκκεντρης (κάτω) τροχιάς Σχηματική αναπαράσ τασ η ελλειπτικής τροχιάς της αληθούς, έκκεντρης και μέσ ης ανωμαλίας Γραφική αναπαράσ τασ η των διανυσ μάτων θέσ εως του διπλού σ υσ τήματος ασ τέρων ως προς σ ύσ τημα με αρχή τον ασ τέρα με τη μεγαλύτερη μάζα Μ Ισ οδυναμικές επιφάνειες κατά το μοντέλο Roche για διπλό σ ύσ τημα ασ τέρων με λόγο μαζών q = Το επίπεδο xy όπου παρουσ ιάζονται οι προβολές των επιφανειών ίσ ου βαρυτικού δυναμικού υπό μορφή κλεισ τών γραμμών Ταξινόμησ η των διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων Γραφική αναπαράσ τασ η του μοναδιαίου διανύσ ματος της ευθείας οράσ εως ŝ, του ακτινικού μοναδιαίου διανύσ ματος ê r, και του κάθετου διανύσ ματος ˆn, πάνω σ την παραμορφωμένη επιφάνεια ασ τέρος Γραφική αναπαράσ τασ η της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας Φαινόμενο αμαύρωσ ης χείλους Ενα τρίτο σ ώμα (μαύρος κύκλος) σ ε τροχιά γύρω από ένα σ τενό διπλό σ ύσ τημα (μπλέ και κόκκινοι κύκλοι) προκαλεί περιοδική μεταβολή της παρατηρούμενης περιόδου του σ υσ τήματος από τη Γη Νύχτες παρατήρησ ης ανά μήνα και αθροισ τικά σ ε κάθε μήνα κατά την περίοδο Νύχτες παρατήρησ ης ανά μήνα και αθροισ τικά σ ε καθε μήνα κατά την περίοδο Σχηματική αναπαράσ τασ η ανιχνευτή CCD Δισ διάσ τατη αναπαράσ τασ η της κατατομής της λαμπρότητας ενός ασ τέρα με καμπύλη Gauss σ ε σ χέσ η με το FWHM

19 Κατάλογος Σχημάτων 2.5. Προσ διορισ μός της λαμπρότητας ενός ασ τέρα με βάσ η τον κύκλο φωτομετρίας του και το δακτύλιο που καθορίζει τη λαμπρότητα του ουρανού Γραφική αναπαράσ τασ η της ροής δεδομένων Αναπαράσ τασ η των βασ ικών τελεσ τών της μεθόδου Nelder-Mead Downhill Simplex για το πολύτοπο σ τον χώρο R Γραφική παράσ τασ η του ίχνους των παραμέτρων α 1, α 2, α 3 ανά ζεύγη, από τις αρχικές τιμές τους (κύκλος) έως την περιοχή σ ύγκλισ ης Γραφική παράσ τασ η του ίχνους των παραμέτρων a 1, a 2, a 3 σ υναρτήσ ει του αριθμού των Μαρκοβιανών βημάτων καθώς και τα ισ τογράμματα των κατανομών τους Διαγράμματα πυκνότητας των παραμέτρων παραβολικής σ υνάρτησ ης (MCMC) Γραφικό περιβάλλον του προγράμματος (Python) για την μελέτη της μεταβολής της τροχιακής περιόδου Γραφική παράσ τασ η του λόγου των θερμοκρασ ιών T 2 T 1 (πάνω αρισ τέρα) και της κλίσ ης του σ υσ τήματος ως προς την ευθεία οράσ εως i, σ υναρτήσ ει της σ υνάρτησ ης κόσ τους (CFV)(PIKAIA, Phoebe-scripter) Συνθετικό μοντέλο τροχιακής μεταβολής λόγω παρουσ ίας τρίτου σ υνοδού σ ε διπλό σ ύσ τημα ασ τέρων Γραφικές παρασ τάσ εις του ημιπλάτους της μεταβολής, του ορίσ ματος του περίασ τρου, και του παραβολικού όρου με την σ υνάρτησ η κόσ τους CFV (PIKAIA, LITE) Ισ τογράμματα κατανομών του ημιπλάτους της μεταβολής, του ορίσ ματος του περίασ τρου, του παραβολικού όρου qmt και της περιόδου του τρίτου σ υνοδού (Bootstrap residuals) Ισ τογράμματα κατανομών του ημιπλάτους της μεταβολής, του ορίσ ματος του περίασ τρου, του παραβολικού όρου, και της εκκεντρότητας του τρίτου σ υνοδού (Heuristic scanning with parameter perturbation) Γραφική αναπαράσ τασ η της τομής [e 3 ω] και [e 3 qmt] του χώρου των παραμέτρων (ΤΖ Boo) Γραφική απεικόνισ η των παραμέτρων ενός αποχωρισ μένου διπλού σ υσ τήματος ασ τέρων που άμεσ α προκύπτουν από την καμπύλη φωτός Τοπολογία νευρωνικού δικτύου τριών επιπέδων Ισ τογράμματα κατανομών που δημιουργήθηκαν με τυχαία δειγματολειψία από κανονική, εκθετική ή ομοιόμορφη κατανομή για αποχωρισ μένα διπλά σ υσ τήματα ασ τέρων Γραφική παράσ τασ η της σ υνάρτησ ης κόσ τους ανά καμπύλη φωτός (exemplar) σ υναρτήσ ει των επαναλήψεων εκμάθησ ης Γραφική παράσ τασ η του μέσ ου τετραγωνικού σ φάλματος για κάθε παράμετρο (α,,β, γ, δ, ε) σ υναρτήσ ει των τοπολογιών του νευρωνικού δικτύου Γραφική παράσ τασ η του ρυθμού εκμάθησ ης (learning rate) σ υναρτήσ ει των επαναλήψεων

20 Κατάλογος Σχημάτων 4.7. Αντιπροσ ωπευτικά σ υσ τήματα ασ τέρων, με ισ χυρή ασ υμμετρία σ την καμπύλη φωτός τους Στο ισ τόγραμμα παρουσ ιάζονται οι τιμές maxi-maxii που αντανακλούν την ασ υμμετρία των καμπυλών φωτός όλων των σ υσ τημάτων του αρχικού δείγματος Διάγραμμα του πλάτους της μεταβολής όπως προέκυψε από την ανάλυσ η (FITamp) και το πλάτος που δίνεται από την ασ τρονομική βάσ η δεδομένων ASAS για τα σ υσ τήματα του δείγματος Κατανομή του δείγματος σ την ουράνια σ φαίρα Τα φωτομετρικά σ ημεία και οι σ υνθετικές καμπύλες φωτός του μοντέλου του TY Boo σ τα φίλτρα BV RcIc Το διάγραμμα O C του TY Boo Η μεταβολή της τροχιακής περιόδου του TY Boo με το VSAA Σύγκρισ η όλων των παρατηρήσ εων του TY Boo σ το φίλτρο V Μεταβολές των παραμέτρων της ψυχρής και της θερμής κηλίδας (λόγο φωτεινοτήτων L c /L h, ασ τρογραφικό μήκος Long, ακτίνα R) του προτεινόμενου μοντέλου των δύο κηλίδων για το σ ύσ τημα TY Boo, Το τρισ διάσ τατο μοντέλο (3D) των ασ τέρων μελών του σ υτήματος TY Boo και η προτεινόμενη ενοποιημένη λύσ η των δύο κηλίδων, των καμπυλών φωτός του οι οποίες έχουν παρατηρηθεί μέχρι σ ήμερα Η θέσ η των ασ τέρων-μελών του TY Boo σ το διάγραμμα logl-logm Παρατηρήσ εις CCD του FI Boo την 1η Μαΐου Διάγραμμα O - C του σ υσ τήματος FI Boo Φωτομετρικές καμπύλες σ τα φίλτρα BV RcIc για το σ ύσ τημα FI Boo Ισ τογράμματα από τα αποτελέσ ματα της σ άρωσ ης σ τον χώρο του σ υσ τήματος FI Boo Διάγραμμα πυκνότητας (2D Ισ τόγραμμα) του λόγου των θερμοκρασ ιών T 2 T 1 και του λόγου των ακτίνων R 2 R 1 με την μεταξύ τους απόσ τασ η Οι θέσ εις των μελών του σ υσ τήματος FI Boo σ τα εξελικτικά διαγράμματα logm-logl και logm-logr Κατανομή της τροχιακής σ τροφορμής ως πρός την ολική μάζα των αποχωρισ μένων σ υσ τημάτων ασ τέρων, ημιαποχωρισ μένων σ υσ τημάτων ασ τέρων και σ υσ τημάτων σ ε επαφή Η θέσ η του μέλους με την μεγαλύτερη μάζα του σ υσ τήματος FI Boo σ το διάγραμμα logm logl μαζί με θεωρητικές ισ όχρονες καμπύλες (Z = 0.04) Παρατηρησ ιακά δεδομένα σ τα φίλτρα V RcIc του διπλού σ υσ τήματος V1003 Her O-C διάγραμμα για το διπλό- μικρού πλάτους- σ ύσ τημα ασ τέρων V1003 Her Σάρωσ η σ τον χώρο των παραμέτρων Ω 1, T 1, T 2, i και της μονοχρωματικής φωτεινότητας L i με εφαρμογή διαταραχής για σ ύσ τημα ασ τέρων V1003 Her

21 Κατάλογος Σχημάτων 7.4. Στο σ χήμα παρουσ ιάζονται οι καλύτερες τιμές του ανηγμένου βαρυτικού δυναμικού του πρωτεύοντος και δευτερεύοντος ασ τέρα από την σ άρωσ η της κλίσ ης (i -scan) σ ε εύρος τιμών 28 o - 50 o Διάγραμμα πυκνότητας (2D Ισ τόγραμμα) του λόγου των θερμοκρασ ιών T 2 T 1 με τον λόγο των ακτίνων R 2 R Η θέσ η των ασ τέρων-μελών του σ υσ τήματος V1003 Her σ τα διαγράμματα logm logl και logm logr Κατανομή της τροχιακής σ τροφορμής ως προς την ολική μάζα των αποχωρισ μένων σ υσ τημάτων ασ τέρων, ημιαποχωρισ μένων σ υσ τημάτων ασ τέρων και σ υσ τημάτων σ ε επαφή Οι VRcIc φωτομετρικές καμπύλες του HI Dra Διάγραμμα (O-C) του σ υσ τήματος HI Dra Τα αποτελέσ ματα σ το χώρο των λύσ εων για τις παραμέτρους δυναμικό και κλίσ η (Ω-i) για τα Μοντέλα 1 και 2 με τις κηλίδες του σ υσ τήματος HI Dra Καμπύλες ίσ ου χ 2 σ το χώρο των λύσ εων του λόγου των ενεργών θερμοκρασ ιών και του λόγου των ακτίνων ( T 2 T 1 - R 2 R 1 ), για τα Μοντέλα 1 και 2 με τις κηλίδες του σ υσ τήματος HI Dra Γεωμετρική αναπαράσ τασ η των δύο μοντέλων του σ υσ τήματος HI Dra Η θέσ η των ασ τέρων -μελών του σ υσ τήματος HI Dra σ το διάγραμμα logmlogl των εκλειπτικών διπλών σ υσ τημάτων W UMa υποκατηγορίας Α και W Φωτομετρικές και σ υνθετικές καμπύλες των σ υσ τημάτων KIC και KIC , T 9.2. Διαγράμματα των παραμέτρων i, Ω, 2 T 1, R 1 a, R 2 a και της τομής [ T 2 T 1 - R 2 R 1 ] του χώρου των παραμέτρων όπως προέκυψαν από την μέθοδο των γενετικών αλγορίθμων για το διπλό εκλειπτικό σ ύσ τημα KIC Η σ υνεισ φορά του τρίτου σ υνοδού σ την ολική φωτεινότητα σ ε σ χέσ η με την σ υνάρτησ η κόσ τους και οι τομές του χώρου [Ω i], [ T 2 T 1 - R 2 R 1 ] όπως προέκυψε από τη μέθοδο των γενετικών αλγορίθμων Αποτελέσ ματα της σ άρωσ ης σ τον χώρο των λύσ εων για τα σ υσ τήματα KIC και KIC Οι θέσ εις των μελών των σ υσ τημάτων KIC και KIC σ το εξελικτικό διάγραμμα μάζας-φωτεινότητας (LogM LogL) και μάζας-ακτίνας LogM LogR Πρόγραμμα για την εύρεσ η της περιόδου/ανάλυσ η σ υχνοτήτων μιας χρονοσ ειράς χρησ ιμοποιώντας την μέθοδο ελαχισ τοποίησ ης της εντροπίας της πληροφορίας (Πρόγραμμα 3) Πρόγραμμα υπολογισ μού της σ χετικής θέσ ης των ασ τέρων (φάσ η) του σ υσ τήματος σ ε πραγματικό χρόνο (Προγραμμα 1)

22 Κατάλογος Πινάκων 2.1. Οργανα παρατήρησ ης (τηλεσ κόπια και ανιχνευτές) Αποτελέσ ματα των παραμέτρων α 1, α 2, α 3 της παραβολής f(x), όπως προέκυψαν από την μέθοδο M-H MCMC Παράδειγμα εφαρμογής των μεθόδων σ ε σ υνθετικές καμπύλες φωτός διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος ασ τέρων Παράδειγμα εφαρμογής των μεθόδων σ ε σ υνθετικές καμπύλες μεταβολής περιόδου διπλού σ υσ τήματος ασ τέρων Αποτελέσ ματα της μελέτης μεταβολής περιόδου του διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος ΤΖ Βοο Φωτομετρικές, φασ ματοσ κοπικές και μελέτες περιόδου του TY Boo από προηγούμενες μελέτες Φωτομετρικές παρατηρήσ εις BV RcIc του TY Boo* Νέοι χρόνοι ελαχίσ των του TY Boo Χρόνοι ελαχίσ των * Παράμετροι της ανάλυσ ης της περιόδου του TY Boo Φωτομετρικές λύσ εις για τις παρούσ ες και τις ισ τορικές καμπύλες φωτός Παράμετροι της πιθανής μαγνητικής δρασ τηριότητας του TY Boo Μακρόχρονες μεταβολές των καμπυλών φωτός του σ υσ τήματος TY Boo Πρόσ φατες/νέες φυσ ικές παράμετροι σ υσ τημάτων W των W UMa Μεγέθη και χρώματα του μεταβλητού και των ασ τέρων σ ύγκρισ ης και ελέγχου (SIMBAD) Φωτομετρικές παρατηρήσ εις σ τα φίλτρα BV RcIc του διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος FI Boo Χρόνοι ελαχίσ των του σ υσ τήματος FI Boo Αποτελέσ ματα προσ αρμογής βέλτισ της καμπύλης για το σ ύσ τημα FI Boo Φυσ ικές παράμετροι του διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος σ ε επαφή FI Boo Φωτομετρικές παρατηρήσ εις V RcIc του V1003 Her* Χρόνοι ελαχίσ των με CCD παρατηρήσ εις του V1003 Her Τελικές τιμές των παραμέτρων όπως προέκυψαν από τις δύο μεθόδους (HS, GA) Φυσ ικές παράμετροι διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων W UMa με μικρή κλίσ η Φυσ ικές παράμετροι των W-υποκατηγορίας W UMa σ υσ τημάτων ασ τέρων μεγάλης ολικής μάζας

23 Κατάλογος Πινάκων 8.1. Φωτομετρικές παρατηρήσ εις V RcIc του HI Dra* Χρόνοι ελαχίσ των με CCD παρατηρήσ εις του HI Dra Τελικές παράμετροι των μοντέλων του HI Dra Επιλεγμένα σ υσ τήματα από τον κατάλογο Kepler Input Catalog Πληροφορίες παρατηρήσ εων Χρόνοι ελαχίσ των για τα διπλά εκλειπτικά σ υσ τήματα KIC και KIC Παράμετροι των διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων KIC και KIC Κατάλογος Προγραμμάτων και Scripts

24 Κατάλογος Πινάκων 21

25 Μέρος I. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 22

26 Κατάλογος Πινάκων 23

27 1. Εισ αγωγή Περισ σ ότερα από τα τέσ σ ερα πέμπτα των ασ τρικών πηγών που παρατηρούμε σ το νυχτερινό ουρανό αποτελούνται από δύο ή περισ σ ότερους ασ τέρες οι οποίοι περιφέρονται γύρω από το κοινό κέντρο μάζας τους. Η πλειοψηφία όμως των ασ τέρων -μελών βρίσ κεται σ ε αρκετά μεγάλες αποσ τάσ εις μεταξύ τους ώσ τε η μεταξύ τους αλληλεπίδρασ η να είναι αμελητέα και οι ασ τέρες να σ υμπεριφέρονται σ αν να ήταν απομονωμένοι ασ τέρες ίδιας μάζας. Περίπου το 25% όμως αυτών των σ υσ τημάτων είναι αρκετά κοντά ώσ τε να αλληλεπιδράσ ουν κάποια σ τιγμή κατα τη διάρκεια της ασ τρικής τους εξέλιξης. Στην περίπτωσ η που το επίπεδο τροχιάς ενός διπλού ασ τρικού σ υσ τήματος διέρχεται ή είναι πολύ κοντα από την ευθεία ο- ράσ εως για έναν παρατηρητή σ τη Γη, τότε οι ασ τέρες του σ υσ τήματος κατά την αμοιβαία περισ τροφή τους γύρω από το βαρύκεντρο υφίσ τανται περιοδικές εκλείψεις (ο ένας από τον άλλο) με αποτέλεσ μα την αυξομείωσ η της φαινόμενης λαμπρότητας του σ υσ τήματος. Οι ασ τέρες καλούνται διπλοί εκλειπτικοί ή μεταβλητοί δι εκλείψεων (eclipsing binaries, EBs). Η κατασ κευή της καμπύλης της μεταβολής της φαινόμενης λαμπρότητας του σ υσ τήματος σ ε μία πλήρη τροχιά δηλαδή σ τη διάρκεια μίας περιόδου, μέσ ω της φωτομετρίας, ονομάζεται καμπύλη φωτός του σ υσ τήματος. Η έκλειψη του θερμότερου ασ τέρα καλείται πρωτεύον φωτομετρικό ελάχισ το, ενώ η έκλειψη του ψυχρότερου δευτερεύον φωτομετρικό ελάχισ το (Σχήμα 1.1). Φαινομενολογικά ανάλογα με τη μορφή της καμπύλης φωτός τους (Σχήμα 1.1) διακρίνονται σ ε διάφορες κατηγορίες (Algol ή ΕΑ, β Lyra ή ΕΒ, WUMa ή ΕW) ή ανάλογα με το εξελικτικό σ τάδιο αλληλεπίδρασ ης σ το οποίο βρίσ κονται (βλ. Μοντέλο Roche 1.2.3) Καθώς περίπου το 0.2% των ασ τέρων του Γαλαξία μας ανήκουν σ την κατηγορία των διπλών εκλειπτικών, αναμένεται να υπάρχουν περίπου σ το Γαλαξία μας από τα οποία έχουν ανακαλυφθεί περίπου 4000 (Maceroni 2006, Guinan 2004). Η διασ τημική αποσ τολή Hipparchos έχει ανακαλύψει 917 κοντικά εκλειπτικά διπλά από τα οποία 347 ήταν ήδη γνωσ τά (Turon 1997), η αποσ τολή Kepler έχει αναλύσ ει τουλάχισ τον 2000, ενώ η αποσ τολή Gaia αναμένεται να χαρτογραφήσ ει σ χεδόν όλο το Γαλαξία. Μία ειδική κατηγορία εκλειπτικών σ υσ τημάτων, τα αποχωρισ μένα (detached) αποτελούν την πρωταρχική πηγή μετρήσ εων των μαζών και των ακτίνων των ασ τέρων αλλά και των ασ τρικών πτωμάτων τους με ακρίβεια καλύτερη κι από 1% (π.χ. Andersen 1991, Southworth et al. 2005, Southworth et al. 2007, Torres et al. 2010). Αυτές οι μετρήσ εις είναι καθορισ τικές για τον έλεγχο της θεωρητικής σ χέσ ης μάζας-ακτίνας η οποία χρησ ιμοποιείται σ ε μία ευρεία περιοχή ασ τροφυσ ικών προβλημάτων όπως οι διελεύσ εις των εξωπλανητών, η βαθμονόμησ η των ασ τρικών εξελικτικών μοντέλων και η κατανόησ η των τελευταίων εξελικτικών σ ταδίων των διπλών σ υσ τημάτων σ τα οποία σ υμβαίνει μεταφορά μάζας, όπως είναι οι κατακλυσ μιαίοι μεταβλητοί (Littlefair et al. 2008, Savoury et al. 2011). Ανάμεσ α σ τα πιο ενδιαφέροντα διπλά εκλειπτικά σ υσ τήματα είναι τα W UMa (από τον πρωτότυπο ασ τέρα του ασ τερισ μού) τα οποία αποτελούνται από ασ τέρες - μη εκφυλισ μένους - σ ε επαφή σ το εσ ωτερικό σ ημείο Langrange (van Hamme & Cohen 2008, και ενδοαναφορές). 24

28 1. Εισ αγωγή Σχήμα 1.1.: Αναπαράσ τασ η της καμπύλης φωτός ενός διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος α- σ τέρων Α και Β και της πραγματικής τους κίνησ ης σ το χώρο (πάνω) Πρόκειται για σ υσ τήματα με περίοδο μικρότερη της μιας ημέρας τα οποία αποτελούν την πλειοψηφία των EBs, λόγω της πολύ μικρής απόσ τασ ης των ασ τέρων μελών, η οποία καθισ τά τις εκλείψεις παρατηρήσ ιμες ακόμα και με πολύ μικρή τροχιακή κλίσ η ως προς την ευθεία παρατηρήσ εως ( 30 o, Kallrath & Milone 2009). Σύμφωνα με την τρέχουσ α θεωρία (van Hamme & Cohen 2008) τα Α τύπου θεωρούνται ότι βρίσ κονται σ ε κατάσ τασ η ισ ορροπίας σ ε αντίθεσ η με τα W τα οποία λόγω της σ χετικά μικρής επαφής τους, δε βρίσ κονται πάντα σ ε επαφή αλλά ταλαντώνονται (αν και η κατασ τασ η έλλειψης επαφής δε διαρκεί μεγάλο διάσ τημα) σ ύμφωνα με την θεωρία των θερμικών ταλαντώσ εων (theory of thermal relation oscillations, TRO, Lucy 1976). Επειδή οι μεταβολές της περιόδου των διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων είναι ενδεικτικές της ανταλλαγής μάζας μεταξύ των ασ τέρων μελών (βλ. 1.4), η μελέτη τους είναι σ ημαντική για τον καθορισ μό της φυσ ικής κατάσ τασ ης ενός σ υσ τήματος σ ε επαφή Στοιχεία τροχιάς ενός διπλού σ υσ τήματος Επίπεδο τροχιάς Σε ένα διπλό σ ύσ τημα ασ τέρων μπορούμε να ορίσ ουμε δύο ειδών ελλειπτικές τροχιές α) τις δύο βαρυκεντρικές τροχιές, του κάθε ασ τέρα-μέλους ως προς το κέντρο μάζας του σ υσ τήματος (βαρύκεντρο) το οποίο βρίσ κεται σ τη μία εσ τία της έλλειψης, και οι οποίες περιγράφονται με τους απόλυτους ημιάξονες α 1 και α 2 β) τη σ χετική τροχιά (του ενός ασ τέρα ως προς τον άλλο) η οποία περιγράφεται με το μήκος του μεγάλου ημιάξονα α. Σύμφωνα με το δεύτερο νόμο του Κέπλερ, η ευθεία που ενώνει τα κέντρα των δύο ασ τέρων περνάει από το κέντρο μάζας του σ υσ τήματος, όλες οι τροχιές είναι σ υνεπίπεδες και σ υνδέονται μεταξύ τους (α = α 1 + α 2, e = e 1 = e 3 ) αλλά και με την περίοδο (P = P 1 = P 2 ) με τον 3ο νόμο του Kepler ο οποίος γράφεται για τη σ χετική τροχιά: G(m 1 + m 2 ) = 4π 2 a 3 /P 2 25

29 1. Εισ αγωγή για την τροχιά του ασ τέρα μάζας m 1 γύρω από το κέντρο μάζας: Gm 3 2 /(m 1 + m 2 ) 2 = 4π 2 a 3 1 /P 2 για την τροχιά του ασ τέρα μάζας m 2 γύρω από το κέντρο μάζας: Gm 3 1 /(m 1 + m 2 ) 2 = 4π 2 a 3 2 /P 2 Ο προσ ανατολισ μός των τροχιών των ασ τέρων γύρω από το κέντρο μάζας διαφέρει κατά 180 ο, δηλαδή οι ασ τέρες βρίσ κονται πάντα σ ε αντιδιαμετρικές θέσ εις ως προς το κέντρο μάζας. Στην περίπτωσ η όπου e = 0.0, οι τροχιές είναι κυκλικές και οι ασ τέρες-μέλη απέχουν σ ε όλες τις θέσ εις α. (Σχήμα 1.5) Με την καταγραφή των φωτομετρικών καμπυλών ενός διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος μελετάμε τη σ χετική τροχιά του σ υσ τήματος και εξάγουμε τις παραμέτρους της, ενώ με την καταγραφή των καμπυλών των ακτινικών ταχυτήτων των δύο μελών μελετάμε τις τροχιές των ασ τέρων γύρω από το κέντρο μάζας τους και τις αντίσ τοιχες παραμέτρους. Συνήθως το επίπεδο των παραπάνω τροχιών δε σ υμπίπτει με το εφαπτόμενο επίπεδο της ουράνιας σ φαίρας (επίπεδο ουρανού) σ τη θέσ η του κέντρου μάζας του σ υσ τήματος αλλά σ χηματίζει με αυτό μία γωνία, την κλίσ η i (i = 90 όταν είναι κάθετο). Οι παρατηρούμενες δηλαδή τροχιές είναι οι προβολές των παραπάνω τροχιών (βαρυκεντρικών και σ χετικής) σ το επίπεδο του ουρανού- το οποίο είναι κάθετο σ την ευθεία οράσ εως του παρατηρητή- και ονομάζονται φαινόμενες. Ο προσ διορισ μός της πραγματικής σ χετικής τροχιάς ενός διπλού σ υσ τήματος ασ τέρων σ τον τρισ διάσ τατο χώρο, απαιτεί γνώσ η - πέρα από το μέγεθος της (μήκος μεγάλου ημιάξονα α) και το σ χήμα της (εκκεντρότητα e) - και του προσ ανατολισ μού της ο οποίος καθορίζεται εκτός από την κλίσ η i και από τις γωνίες Ω, (γωνία αναβιβάζοντος σ υνδέσ μου) και ω (όρισ μα του περίασ τρου) 1 όπως φαίνεται σ το Σχήμα 1.2. Η κατανόησ η των σ τοιχείων προσ ανατολισ μού της τροχιάς ενός διπλού σ υσ τήματος ασ τέρων προϋποθέτει την κατανόησ η του επιπέδου της τροχιάς των ασ τέρων σ ε σ χέσ η με το επίπεδο του ουρανού. Η κίνησ η από το πραγματικό σ ύσ τημα σ υντεταγμένων περιφοράς του διπλού σ υσ τήματος (x, y, z ) σ το φαινόμενο σ ύσ τημα σ υντεταγμένων (x,y,z) που βρίσ κεται το εφαπτόμενο ε- πίπεδο του ουρανού, μπορεί να περιγραφεί με σ τροφές με την εισ αγωγή των γωνιών Euler (θ, ϕ, ψ) από δεξιά προς τα αρισ τερά (Σχήμα 1.2). Οπως φαίνεται αναλυτικά σ το Σχήμα 1.2 η πρώτη περισ τροφή γίνεται κατά γωνία ϕ γύρω από τον άξονα z (Σχήμα 1.2.α), η δεύτερη περισ τροφή κατά γωνία θ γύρω από τον πρώην άξονα x (τωρινό x ) (Σχήμα 1.2.β) και η τρίτη περισ τροφή κατά γωνία ψ γύρω από τον πρώην άξονα z (τωρινό z ) (Σχήμα 1.2.γ). Η μαθηματική περιγραφή της μεταφοράς από το σ ύσ τημα (x,y,z) σ το (x,y,z ) γίνεται με την χρήσ η του πίνακα μετασ χηματισ μού Α = cos(φ)cos(ψ) sin(ϕ)cos(ϑ)sin(ψ) cos(φ)cos(ϑ)sin(ψ) + sin(φ)cos(ψ) sin(ϑ)sin(ψ) sin(φ)cos(ϑ)cos(ψ) cos(φ)sin(ψ) cos(ϑ)cos(φ)cos(ψ) sin(φ)sin(ψ) sin(ϑ)cos(ψ) sin(φ)sin(ϑ) cos(φ)sin(ϑ) cos(ϑ) 1 Στην ουράνια μηχανική σ υνηθίζεται να χρησ ιμοποιούμε γωνίες που έχουν ως αρχή μέτρησ ης έναν σ ταθερό άξονα σ τον αδρανειακό χώρο οι γωνίες αυτές ονομάζονται μήκη (longitudes), π.χ. το μήκος του αναβιβάζοντος σ υνδέσ μου, Ω είναι η γωνία του αναβιβάζοντος σ υνδέσ μου 26

30 1. Εισ αγωγή Σχήμα 1.2.: Αναπαράσ τασ η των σ τροφών σ τον χώρο και των γωνιών (φ, θ, ψ) Euler Θεωρώντας ότι ο παρατηρητής βρίσ κεται πάντα σ ε διεύθυνσ η κάθετη σ το επίπεδο του ουρανού (προέκτασ η Οz, σ το Σχήμα 1.3, όπου το Οz είναι κάθετο σ το εφαπτόμενο επίπεδο του ουρανού το οποίο παρισ τάνεται με λευκό πλαίσ ιο), η κλίσ η του επιπέδου τροχιάς των ασ τέρων παρισ τάνεται με την γωνία θ = i, η γωνία του αναβιβάζοντος σ υνδέσ μου με την γωνία ϕ = Ω, και το όρισ μα του περίασ τρου με τη γωνία ψ = ω 90 ο (Σχήμα 1.3). Τελικά ο πίνακας μετασ χηματισ μού γίνεται cos (i) cos (ω) sin (Ω) + sin (ω) cos (Ω) sin (ω) sin (Ω) cos (i) cos (ω) cos (Ω) sin (i) cos (ω) A = cos (ω) cos (Ω) cos (i) sin (ω) sin (Ω) cos (ω) sin (Ω) + cos (i) sin (ω) cos (Ω) sin (i) sin (ω) sin (i) sin (Ω) sin (i) cos (Ω) cos (i) και η μετατροπή από το σ ύσ τημα (x,y,z ) σ το (x,y,z) ως εξής: x x y = A 1 y z z Από το Σχήμα 1.3 είναι εμφανές α) για κάθε τιμή της κλίσ ης i διαφορετική από 90 ο, το επίπεδο της τροχιάς και το επίπεδο το εφαπτόμενο σ τον ουράνιο θόλο τέμνονται σ ε δύο σ ημεία της τροχιάς, τον αναβιβάζοντα και τον καταβιβάζοντα σ ύνδεσ μο, σ τα οποία ο περιφερόμενος ασ τέρας πλησ ιάζει ή απομακρύνεται από τον παρατηρητή αντίσ τοιχα. Η ευθεία που ενώνει αυτά τα σ ημεία της τροχιάς λέγεται γραμμή των σ υνδέσ μων, ενώ ο μεγάλος άξονας της τροχιάς των ασ τέρων (η γραμμή που ενώνει το περίασ τρο και το άπασ τρο) λέγεται γραμμή των αψίδων. Επίσ ης από το ίδιο σ χήμα φαίνεται ότι το όρισ μα του περίασ τρου ω είναι η γωνία από τον αναβιβάζοντα σ ύνδεσ μο μέχρι το περίασ τρο σ ύμφωνα με τη φορά της κίνησ ης, πάνω σ το επίπεδο της τροχιάς του σ υσ τήματος και καθορίζει τον προσ ανατολισ μό της τροχιάς. 27

31 1. Εισ αγωγή Σχήμα 1.3.: Επίπεδο τροχιάς (πράσ ινο χρώμα) ενός διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος ασ τέρων ως προς το επίπεδο το εφαπτόμενο της ουράνιας σ φαίρας (λευκό πλαίσ ιο) Το πρόβλημα Κέπλερ Η κίνησ η δύο ασ τέρων με μάζες Μ 1 και Μ 2 (Μ 2 Μ 1 ) και διανύσ ματα θέσ ης r 1 και r 2 αντίσ τοιχα, γύρω από το το κοινό κέντρο μάζας Μ το οποίο περιγράφεται από το διάνυσ μα R ως προς την αρχή τυχαίου σ υσ τήματος αναφοράς (Σχήμα 1.4) R = Μ 1r 1 + Μ 2 r 2 Μ 1 + Μ 2 (1.1) υπό την επίδρασ η κεντρικής δύναμης, ανάγεται σ την κίνησ η ενός σ ώματος ανηγμένης μάζας µ (1/µ = 1/Μ 1 + 1/Μ 2 ) γύρω από την ολική μάζα του σ υσ τήματος Μ = Μ 1 + Μ 2. Η λύσ η του προβλήματος περιγράφεται με την γενική λύσ η του προβλήματος Kepler για ελλειπτικές τροχιές όπου σ την μία εσ τία της έλλειψης βρίσ κεται το κέντρο μάζας του. Το διάνυσ μα r που περιγράφει τη θέσ η κάθε ασ τέρα σ ε κάθε χρονική σ τιγμή δίνεται από τη σ χέσ η r(υ) = a(1 e2 ) 1 + ecos(υ) (1.2) όπου α ειναι ο μεγάλος ημιάξονας της έλλειψης, e η εκκεντρότητα της τροχιάς και υ η αληθής ανωμαλία δηλαδή η γωνία από το περίασ τρο μέχρι την επιβατική ακτίνα του ασ τέρα μετρούμενη αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού. (Σχήμα 1.6) Η λύσ η της εξίσ ωσ ης κίνησ ης για ελλειπτικές τροχιές ενός σ ώματος ανηγμένης μάζας µ υπό την επίδρασ η κεντρικής δύναμης f = GΜ 1 Μ 2 /r 2 απαιτεί τη λύσ η του ολοκληρώματος 28

32 1. Εισ αγωγή Σχήμα 1.4.: Η θέσ η σ υσ τήματος δύο μαζών Μ 1 και Μ 2 (και του κέντρου μάζα τους (Μ) ως προς την αρχή τυχαίου σ υσ τήματος αναφοράς (αρισ τερά). Το ισ οδύναμο πρόβλημα κίνησ ης της ανηγμένης μάζας µ γύρω από την ολική μαζα Μ σ το σ ύσ τημα του κέντρου μάζας. 29

33 1. Εισ αγωγή της ενέργειας το οποίο δίνεται από τη σ χέσ η που περιγράφει το t(r) ˆ µ r t = 2k r 0 rdr r r2 2a (1 e2 ) 2 2 (1.3) όπου k = GΜ 1 Μ 2 και για t = 0, r = r o η απόσ τασ η του περίασ τρου. Θέτοντας για τη λύσ η του ολοκληρώματος τη βοηθητική μεταβλητή E(0, 2π) με r = a(1 ecos(ε)) (1.4) όπου Ε ονομάζεται έκκεντρη ανωμαλία, και παρισ τάνει τη γωνία από το περίασ τρο έως την προβαλλόμενη θέσ η του ασ τέρα σ ε ένα βοηθητικό κύκλο με κέντρο, το κέντρο της έλλειψης και ακτίνα το μεγάλο ημιάξονα (Σχήμα 1.6), η εξίσ ωσ η 1.3 παίρνει την απλή μορφή t = µa 3 Από τις σ χέσ εις (1.2),(1.4) προκύπτει k ˆ2π 1 ecos(ε) = 1 e2 1+ecos(υ) 0 (1 ecos(e)) de (1.5) και 1 + ecos(υ) = 1 e2 1 ecos(ε) απ όπου τελικά καταλήγουμε σ τη σ χέσ η η οποία περιγράφει τη σ χέσ η μεταξύ της έκκεντρης (Ε) και αληθούς ανωμαλίας (υ). tan( υ 2 ) = 1+e 1 e tan( Ε 2 ) Η ολοκλήρωσ η της εξισ ώσ εως (1.5) σ το διάσ τημα Ε(0, 2π) δίνει τον τρίτο νόμο του Kepler P 2 = 4π2 µ 4π a 3 k = 2 G(Μ 1 +Μ 2 ) από όπου η περίοδος του σ υσ τήματος δίνεται από την σ χέσ η µa P = 2π 3 k = 2π α 3 G(Μ 1 + Μ 2 ) Με ολοκλήρωσ η της εξίσ ωσ ης (1.5) σ το διάσ τημα(0, E) προκύπτει η εξίσ ωσ η Kepler t = P (E esin(e)) 2π Εισ άγοντας σ την εξίσ ωσ η Kepler τη γωνία Μ η οποία σ υνδέεται μέσ ω της έκκεντρης ανωμαλίας με την σ χέσ η Μ = E esin(e) προκύπτει Μ=(2π/P ) t = E esin(e) 30

34 1. Εισ αγωγή Σχήμα 1.5.: Γραφική αναπαράσ τασ η των τροχιών ενός διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος σ την περίπτωσ η κυκλικής (πάνω) και έκκεντρης (κάτω) τροχιάς. 31

35 1. Εισ αγωγή Σχήμα 1.6.: Σχηματική αναπαράσ τασ η ελλειπτικής τροχιάς. Στον βοηθητικό κύκλο (διακεκομμένη καμπύλη) προβάλλεται η θέσ η του σ ώματος που περιφέρεται σ ε ελλειπτική τροχια (με την βαρυτική δύναμη να βρίσ κεται σ την εσ τία της έλλειψης). Οι γωνίες ˆΜ και ˆΕ αναπαρισ τούν την μέσ η και έκκεντρη ανωμαλία αντίσ τοιχα, ενώ η γωνία υ την αληθή ανωμαλία του διανύσ ματος θέσ εως του σ ώματος πάνω σ την ελλειπτική τροχιά. 32

36 1. Εισ αγωγή Η γωνία Μ = 2π P (t t ) όπου t είναι η αρχική χρονική σ τιγμή μέτρησ ης, ονομάζεται μέσ η ανωμαλία και είναι ανάλογη του χρόνου που έχει περάσ ει από τη διέλευσ η του ασ τέρα από το περίασ τρο. Η μέσ η ανωμαλία Μ αυξάνει ομοιόμορφα από 0 έως 2π κατα τη διάρκεια της τροχιάς και για μη κυκλικές τροχιές δεν μπορεί να σ χεδιασ τεί αφού δεν αναφέρεται σ ε πραγματικό αλλά σ ε ιδεατό σ ώμα που περιφέρεται με σ ταθερή γραμμική ταχύτητα πάνω σ την τροχιά του. Η μέσ η ανωμαλία είναι σ την ουσ ία, το γινόμενο του χρονικού διασ τήματος από το πιο πρόσ φατο πέρασ μα από το περίασ τρο μέχρι τη δεδομένη σ τιγμή επί τη μέσ η γωνιακή ταχύτητα (η μέσ η γωνιακή ταχύτητα είναι 2π δια την περίοδο μιας πλήρους περιφοράς). Για να περιγραφεί η χρονική εξάρτησ η της κίνησ ης των ασ τέρων ενός διπλού σ υσ τήματος χρησ ιμοποιείται η τροχιακή φάσ η (Φ) του σ υσ τήματος τη χρονική σ τιγμή t η οποία ορίζεται ως το κλάσ μα της περιόδου που έχει περάσ ει από την τελευταία ολοκλήρωσ η μιας περιόδου Φ = int( t t P ) όπου int αναφέρεται σ το δεκαδικό μέρος της παρένθεσ ης. Η φάσ η μεταβάλλεται γραμμικά με το χρόνο σ το διάσ τημα [0,1] και σ υνδέεται με τη μέσ η ανωμαλία με τη σ χέσ η M = 2π (Φ Φ per ) όπου Φ per, η φάσ η κατά την οποία ο ασ τέρας διέρχεται από το περίασ τρο. Φ per = int( t tper P ) Οταν το όρισ μα του περίασ τρου είναι ω = π 2 τότε το περίασ τρο είναι σ την ευθεία οράσ εως οπότε Φ=Φ per καθώς και σ την περίπτωσ η κυκλικής τροχιάς. Εάν t I και t II είναι οι διαδοχικές χρονικές σ τιγμές του πρωτεύοντος και του δευτερεύοντος ελαχίσ του με t II >t I, η χρονική απόσ τασ η μεταξύ των δύο εκλείψεων και άρα και το αντίσ τοιχο διάσ τημα φάσ ης, εξαρτάται από τα e και ω και δίνεται προσ εγγισ τικά από την σ χέσ η (Tsesevich 1973) ή διαιρώντας με την περίοδο (t II t I ) P 2 = P e cos(ω) 1+( 1 sin(i) )2 π (t II t I ) P 1 2 = e cos(ω)1 + ( 1 sin(i) )2 π (1.6) Από τη σ χέσ η (1.6) προκύπτει ότι για κυκλικές τροχιές (e = 0), (t II t I ) P = 0.5 δηλαδή οι εκλείψεις απέχουν φάσ η Φ = 0.5, όπως αναμενόταν. Για ελλειπτικές όμως τροχιές π.χ για e = 0.3 και i = 90 ο και για ω= π 4, προκύπτει (t II t I ) P = 0.63 ενώ για ω = π 2, (t II t I ) P = 0.5. Από τα παραπάνω σ υμπεραίνουμε ότι οι εκλείψεις μπορεί να απέχουν φάσ η Φ = 0.5 όχι μόνο σ την περίπτωσ η των κυκλικών τροχιών αλλά και σ την περίπτωσ η έκκεντρων όταν το όρισ μα του περίασ τρου είναι π/2. 33

37 1. Εισ αγωγή 1.2. Μοντέλο Roche Σε ένα απομονωμένο διπλό σ ύσ τημα ασ τέρων υπάρχουν τρεις φορείς διαταραχής του βαρυτικού δυναμικού: α) Η διόρθωσ η του Νευτώνιου δυναμικού από την Γενική Θεωρία της Σχετικότητας. β) Παλιρροιογόνες δυνάμεις που αναπτύσ σ ονται μεταξύ των μελών και διαταράσ σ ουν το βαρυτικό δυναμικό. γ) Το δυναμικό εκ περισ τροφής που δημιουργείται από την ιδιοπερισ τροφή των ασ τέρων Γεωμετρία Roche Η γεωμετρία ενός διπλού σ υσ τήματος ασ τέρων μπορεί να προσ εγγισ τεί από το μοντέλο Roche το οποίο αποτελεί τη βασ ική περιγραφή του ανηγμένου βαρυτικού δυναμικού του σ υσ τήματος το οποίο σ υνυπολογίζει τόσ ο την πραγματική βαρύτητα όσ ο και την πρόσ θετη δύναμη που οφείλεται σ την περισ τροφική κίνησ η του σ υσ τήματος αναφοράς. Το μοντέλο Roche βασ ίζεται σ την αρχή των ισ οδυναμικών επιφανειών σ ύμφωνα με την οποία το σ χήμα και τα φυσ ικά χαρκτηρισ τικά των ασ τέρων ενός διπλού σ υσ τήματος μπορούν να καθορισ τούν με βάσ η το δυναμικό της επιφάνειάς τους κάτω από τις υποθέσ εις α) ότι οι ασ τέρες δρουν βαρυτικά ως σ ημειακές πηγές και βρίσ κονται σ ε υδροσ τατική ισ ορροπία σ ε διασ τήματα χρόνου μικρότερα αυτών της αλλαγής των δυνάμεων που δρουν σ τις επιφάνειες τους και β) ότι η περίοδος των μη ακτινικών ασ τρικών ταλαντώσ εων είναι πολύ μικρότερη της περιόδου περιφοράς του σ υσ τήματος. Η τελευταία σ υνθήκη εξασ φαλίζει ότι οι ασ τέρες μπορούν να περιγραφούν με επιφάνειες ίσ ης πυκνότητας και δυναμικού. Η απλή περίπτωσ η κυκλικών τροχιών και σ ύγχρονης ιδιοπερισ τροφής ενός διπλού σ υσ τήματος ασ τέρων με σ ημειακές μάζες Μ 1 και Μ 2 οι οποίοι απέχουν απόσ τασ η α, σ ε σ ύσ τημα αναφοράς που βρίσ κεται σ τον ασ τέρα Μ 1 φαίνεται σ το Σχήμα 1.7. Το σ ύσ τημα περισ τρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας του το οποίο απέχει r c από την αρχη των αξόνων και είναι παράλληλος με τον άξονα z. Το δυναμικό V σ το σ ημείο που φέρεται δοκιμασ τική σ ημειακή μαζα m η οποία απέχει αποσ τάσ εις r 1, r 2 και τ από τις μάζες Μ 1 και Μ 2 και το κέντρο μάζας αντίσ τοιχα θα είναι (Σχήμα 1.7) V = GM 1 r 1 GM 2 r 2 1 (ω τ ) (ω τ ) (1.7) 2 όπου ω = ω x î + ω y ĵ + ω zˆk = ωzˆk = 2π Per ˆk, ω y = ω x = 0 Λόγω της γεωμετρίας του σ υσ τήματος τα παραπάνω εκφράζονται σ ε σ φαιρικές σ υντεταγμένες θ [0, ] από [+z, z] και ϕ [0, ] με αρχή τον άξονα x προς διεύθυνσ η αντίθετη από τη φορά των δεικτών του ρολογιού r 1 = rcos(ϕ)sin(θ)î + rsin(ϕ)sin(θ)ĵ + rcos(θ)ˆk = r 1 = r 2 cos 2 (ϕ) + r 2 sin(θ) + r 2 cos(θ) = r (1.8) r 2 = r 1 aî = (rcos(ϕ)sin(θ) a)î + rsin(ϕ)sin(θ)ĵ + rcos(θ)ˆk = 34

38 1. Εισ αγωγή Σχήμα 1.7.: Γραφική αναπαράσ τασ η των διανυσ μάτων θέσ εως του διπλού σ υσ τήματος ασ τέρων ως προς σ ύσ τημα με αρχή τον ασ τέρα με τη μεγαλύτερη μάζα Μ 1. r 2 = r 2 + a 2 2arsin(θ)cos(φ) (1.9) Η θέσ η του διανύσ ματος του κέντρου μάζας του σ υσ τήματος r c το οποίο βρίσ κεται σ τον άξονα-x εξαρτάται από το λόγο των μαζών q = M 2 M 1 και τ = r 1 - r c = r 1 - r c = r 1 M 1 + r 2 M 2 M 1 +M 2 = am 2 M 1 +M 2 î = r c = aq q+1î, aq aq q+1î = (rcos(ϕ)sin(θ) q+1 )î + rsin(ϕ)sin(θ)ĵ + rcos(θ)ˆk = τ 2 = r 2 sin 2 (θ) + a2 q 2 (q + 1) 2 2aq rsin(θ)cos(ϕ) (1.10) q + 1 οπότε από τις σ χέσ εις (1.7)-(1.10) το δυναμικό V μπορεί να εκφρασ τεί σ ε σ φαιρικές σ υντεταγμένες [ 1 V = GM 1 r 1 + q ] 1 r 2 2 ω2 τ 2 = (1.11) [ 1 V = GM 1 r + q ] 12 [ r 2 + a 2 2arsin(θ)cos(φ) ω2 r 2 sin 2 (θ) + a2 q 2 (q + 1) 2 2aq ] q + 1 rsin(θ)cos(ϕ) (1.12) όμως ισ χύει οτι ω 2 α 3 = G(M 1 + M 2 ) (1.13) επομένως από τις σ χέσ εις προκύπτει 35

39 1. Εισ αγωγή V = GM 1 a [ 1 ρ + q ρ ρsin(θ)cos(φ) (1 + q)ρ2 sin 2 (θ) 2 όπου ρ = r/a, Εισ άγoντας το αδιάσ τατο βαρυτικό δυναμικό ] q 2 2(1 + q) + 2qρsin(θ)cos(φ) 2 (1.14) q 2 Ω = V a 1 GM 1 2 q + 1 (1.15) κι αντικαθισ τώντας τη σ χέσ η 1.14 προκύπτει ότι [ Ω= GM 1a 1 GM 1 a ρ + q ρ ρsin(θ)cos(φ) (1 + q)sin2 (θ)ρ q 2 2 q+1 = q2 2(1+q) ]- qρsin(θ)cos(φ) Ω= 1 ρ + q + 1 ρ ρsin(θ)cos(φ) 2 ρ2 sin 2 (θ)(1+q)-qρsin(θ)cos(φ) = [ ] Ω = 1 ρ + q 1 ρ ρsin(θ)cos(φ) ρsin(θ)cos(φ) (1 + q)sin2 (θ)ρ 2 (1.16) Εάν εισ άγουμε τα διευθύνοντα σ υνημίτονα λ = sin(θ)cos(ϕ) (1.17) µ = sin(θ)sin(ϕ) (1.18) v = cos(θ) (1.19) τελικά προκύπτει η γενική σ χέσ η για το ανηγμένο βαρυτικό δυναμικό [ ] Ω = 1 ρ + q 1 ρ ρλ ρλ (1 + q)(1 ν2 )ρ 2 (1.20) Η σ χέσ η 1.20, γνωσ τή ως τροποποιημένο δυναμικό Kopal (Kopal 1959) αναφέρεται σ το δυναμικό του ασ τέρα με μάζα Μ 1 (σ τον ασ τέρα ο οποίος βρίσ κεται την αρχή του σ υσ τήματος σ υντεταγμένων). Η εναλλαγή των δυναμικών από τον ασ τέρα 1 (Ω) σ τον ασ τέρα 2 (Ω ) γίνεται με τον μετασ χηματισ μό Ω = Ω q + q 1 2q και τότε θα ισ χύει επίσ ης q = 1 q. Το μοντέλο Roche μπορεί να εφαρμοσ τεί μόνο σ τις περιπτώσ εις κυκλικών τροχιών και σ ύγχρονης περισ τροφής των ασ τέρων. Ωσ τόσ ο, γενικεύσ εις του μοντέλου Roche για σ υσ τήματα σ ε κυκλικές τροχιές και ασ ύγχρονη περισ τροφή έχουν περιγράφει από τους Plavec (1958) και Limber (1963) ή σ την γενικότερη περίπτωσ η έκκεντρης τροχιάς με ασ ύγχρονη 36

40 1. Εισ αγωγή περισ τροφή από τον Wilson (1979). Η γενικότερη περιγραφή του ανηγμένου βαρυτικού δυναμικού για έκκεντρες τροχιές με ασ ύγχρονη περισ τροφή δίνεται από την σ χέσ η (Wilson 1979): [ ] Ω = 1 ρ + q 1 ρ 2 + δ 2 2ρλδ ρλ F 2 (1 + q)(1 ν 2 )ρ 2 (1.21) όπου δ = d/a, η σ τιγμιαία απόσ τασ η μεταξύ των μελών (d) του σ υσ τήματος σ ε μονάδες ημιάξονα της ελλείψεως (α), και F ο παράγοντας σ υγχρονισ μού σ χέσ η Θα πρέπει να σ ημειωθεί ότι : Το δυναμικό είναι εξαρτώμενο από την φάσ η, διότι εξαρτάται από την απόσ τασ η d μεταξύ των μελών του σ υσ τήματος και η απόσ τασ η είναι σ υνάρτησ η της φάσ ης Φ. Αυτό σ ημαίνει ότι οι επιφάνειες των ασ τέρων και το βαρυτικό δυναμικό αλλάζουν με τη φάσ η. Ο όγκος τους όμως παραμένει σ ταθερός Wilson (1979) και μόνο σ το περίασ τρο μπορούν οι επιφάνειες των ασ τέρων να είναι σ ε επαφή με τους οριακούς λοβούς 2 (Hadrava 1968). Ετσ ι, το βαρυτικό δυναμικό μπορεί να παραμετροποιηθεί χρησ ιμοποιώντας το δυναμικό που έχουν σ το περίασ τρο και οι αντίσ τοιχοι λοβοί Roche είναι αυτοί που μπορούν να πληρώσ ουν οι ασ τέρες σ το περίασ τρο. δ 2 Οι ασ τέρες τείνουν να έχουν σ ε σ ύγχρονη ιδιοπερισ τροφή σ το περίασ τρο λόγω παλιρροϊκών δυνάμεων. Ο παράγοντας σ υγχρονισ μού F για κάθε ασ τέρα ορίζεται ως ο λόγος της γωνιακής ταχύτητας ιδιοπερισ τροφής ω περ ως προς την τροχιακή γωνιακή ταχύτητα ω τροχ με F=1 να αντισ τοιχεί σ ε σ ύγχρονη ιδιοπερισ τροφή και κυκλικές τροχιές. F = ω περ ω τροχ = Οι δυνάμεις Coriolis μπορούν να αγνοηθούν (1 + e) (Hut 1981) (1.22) (1 e) 3 Δεν εμπεριέχει όρους πίεσ ης ακτινοβολίας που σ ε ασ τέρες προγενέσ τερου φασ ματικού τύπου μπορεί να έχουν σ ημαντική επίδρασ η σ το δυναμικό αφού P T 4. Διαταραχές του βαρυτικού μπορούν να προκαλέσ ουν την κίνησ η της γραμμής των αψίδων (ευθείας που ενώνει περίασ τρο και άπασ τρο) με την προϋπόθεσ η ότι ο μικρότερης μάζας ασ τέρας έχει ελλειπτική τροχιά. Η κίνησ η της γραμμής των αψίδων, δηλαδή του προσ ανατολισ μού της ελλειπτικής τροχιάς, δε προκαλεί μεταβολές σ την παρατηρούμενη περίοδο και σ ε πρώτη προσ έγγισ η μπορεί να περιγραφεί ως ω(t) = ω 0 + ω(t t 0 ) 2 Οι λοβοί για έκκεντρη τροχιά με ταχύτητα ιδιοπερισ τροφής μεγαλύτερη της τροχιακής είναι μικρότεροι σ ε μέγεθος σ ε σ χέσ η με αυτούς που θα είχε εάν το σ ύσ τημα είχε σ ύγχρονη περισ τροφή και κυκλική τροχιά, ενώ για μικρότερη ταχύτητα ιδιοπερισ τροφής σ ε σ χέσ η με την τροχιακή οι οριακοί λοβοί είναι μεγαλύτεροι από τους αντίσ τοιχους λοβούς Roche (κυκλική τροχιά - σ ύγχρονη περισ τροφή) (Plavec 1958, Limber 1963). Γι αυτό τους ονομάζουμε οριακούς λοβούς. 37

41 1. Εισ αγωγή όπου ω 0 το παρατηρούμενο όρισ μα του περίασ τρου τη χρονική σ τγμή t o και ω= dω dt. Αυτή μπορεί να διαπισ τωθεί από μεταβολές μεταξύ δύο διαδοχικών φωτομετρικών ελαχίσ των του σ υσ τήματος. Εφαρμογή επίλυσ ης μοντέλου Roche Προκειμένου να προσ διορισ τεί η μορφή των επιφανειών των ασ τέρων ενός διπλού σ υσ τήματος, το παραπάνω πρόβλημα λύθηκε χρησ ιμοποιώντας την γλώσ σ α σ υμβολικού προγραμματισ μού Maxima. Στο Σχήμα (1.8) παρουσ ιάζονται οι ισ οδυναμικές επιφάνειες για το διπλό σ ύσ τημα ασ τέρων καθώς και τα σ ημεία Lagrange για τα οποία ισ χύει F = m Ω = 0 (1.23) Η εξίσ ωσ η 1.23 δεν επιδέχεται αναλυτική λύσ η και γι αυτό χρησ ιμοποιείται η μέθοδος Newton Raphson για την αριθμητική εύρεσ η των ριζών και επομένως των σ ημείων όπου η σ υνισ ταμένη δύναμη σ ε σ ημειακή μάζα m, είναι μηδέν (σ ημεία Lagrange). Για τα διπλά σ υσ τήματα ασ τέρων τα σ ημεία Lagrange, L 1, L 2, και το ανηγμένο βαρυτικό δυναμικό σ ε αυτά τα σ ημεία, Ω L1, Ω L2, αποτελούν σ ημαντική πληροφορία για την ταξινόμησ ή τους. Για παράδειγμα 3 τα σ ημεία Lagrange L 1, L 2 για ένα διπλό σ ύσ τημα (σ ε μονάδες της μεταξύ τους απόσ τασ ης) σ ε κυκλική τροχιά, σ ύγχρονη περισ τροφή και λόγο μαζών q = M 2 M 1 = 0.25, είναι L 1 = 0.638, L 2 = 1.471, ενώ το ανηγμένο βαρυτικό δυναμικό των δύο ασ τέρων Ω L1 = 2.353, Ω L2 = Γενικά υπάρχουν 5 σ ημεία Lagrange, και χάριν πληρότητας παρουσ ιάζονται σ το Σχήμα (1.9) (L 3 = 0.883, L 4 = 0.953, L 5 = 0.953, Ω L3 = 1.973, Ω L4 = 1.798, Ω L5 = 1.798). Η μορφή ενός ασ τέρα καθορίζεται από την ισ οδυναμική επιφάνεια την οποία καταλαμβάνει και άρα η τιμή του ανηγμένου βαρυτικού δυναμικού Ω καθοριζει και τη μορφολογία του διπλού σ υσ τήματος. Οπως φαίνεται από το Σχήμα 1.9, κοντά σ ε κάθε ασ τέρα η μορφή των ισ οδυναμικών επιφανειών είναι κύκλοι που περικλείουν κάθε ασ τέρα ξεχωρισ τά ενώ σ το όριο όπου η ισ οδυναμική επιφάνεια περικλείει και τους δύο ασ τέρες οι ασ τέρες έχουν μορφή σ ταγόνας και έχουν επαφή σ ε ένα μόνο σ ημείο, το σ ημείο L 1. Αυτή η εσ ωτερική κρίσ ιμη ισ οδυναμική επιφάνεια κάθε ασ τέρα ονομάζεται λοβός Roche (σ την πραγματικότητα τα δύο μισ ά της) Ενεργός ακτίνα Ενεργός ακτίνα του ασ τέρα r L ονομάζεται η ακτίνα σ φαίρας που έχει τον ίδιο όγκο με το λοβό Roche και δίνεται από την σ χέσ η (Eggleton 1983) : 0.49q 2 3 r L = 0.6q ln( q 1 3 ) 0 < q < (1.24) όπου q είναι ο λόγος των μαζών των δύο ασ τέρων, M 2 < M 1. Η ακτίνα r L2 του ασ τέρα μικρότερης μάζας Μ 2 προκύπτει από παραπάνω σ χέσ η για q = Μ 2 /Μ 1 1 ενώ η ακτίνα του μεγαλύτερης μάζας ασ τέρα r L1 προκύπτει για q = Μ 1 /Μ 2 1. Η σ χέσ η (1.24) είναι μια πολύ χρήσ ιμη ποσ ότητα για την μελέτη της εξέλιξης των μελών του διπλού σ υσ τήματος. 3 Η ανάλυσ η, ο υπολογισ μός και τα διαγράμματα έγιναν με την επίλυσ η του προβλήματος σ ε γλώσ σ α σ υμβολικού προγραμματισ μού Maxima. 38

42 1. Εισvαγωγή z z e+11 1e+11-2e e+11 x 0 1e+11 2e+11-1e+11-2e+11 2e+11 1e+11-2e+11 y 0-1e+11 x 0 1e+11 2e+11-1e+11-2e+11 Σχήμα 1.8.: Ισvοδυναμικές επιφάνειες κατά το μοντέλο Roche για διπλό σvύσvτημα ασvτέρων με λόγο μαζών q = Στο επίπεδο xy παρουσvιάζονται οι προβολές των επιφανειών ίσvου βαρυτικού δυναμικού υπό μορφή κλεισvτών γραμμών. Σχήμα 1.9.: Το επίπεδο xy όπου παρουσvιάζονται οι προβολές των επιφανειών ίσvου βαρυτικού δυναμικού υπό μορφή κλεισvτών γραμμών. Τα βέλη υποδεικνύουν τις θέσvεις των σvημείων Lagrange για διπλό σvύσvτημα ασvτέρων με λόγο μαζών q = y

43 1. Εισ αγωγή Η πραγματική ενεργός ακτίνα κάθε ασ τέρα σ το λοβό του Roche είναι R L = r L α όπου α η απόσ τασ η μεταξύ των ασ τέρων ή ο μεγάλος ημιάξονας της σ χετικής τροχιάς Κατάταξη διπλών εκλειπτικών ασ τέρων Σύμφωνα με το βαρυτικό δυναμικό των ασ τέρων του σ υσ τήματος Ω 1, Ω 2 και τη σ χέσ η τους ως προς την κρίσ ιμη τιμή των βαρυτικων δυναμικών Ω in, Ω out των σ ημείων L 1 και L 2, ένα διπλό εκλειπτικό σ ύσ τημα μπορεί να ταξινομηθεί σ τις παρακάτω κατηγορίες: 1. Αποχωρισ μένο σ ύσ τημα (Detached system): τα μέλη του διπλού σ υσ τήματος έχουν κατά βάσ η σ φαιρικό (ή σ χεδόν σ φαιρικό σ χήμα) και για το βαρυτικό δυναμικό του κάθε ασ τέρα ισ χύει: Ω j > Ω in > Ω out, όπου j = 1, 2. Δηλαδή οι επιφάνειες των ασ τέρων βρίσ κονται εντός της κρίσ ιμης ισ οδυναμικής επιφάνειας Ω in που περνά από το L 1 (Σχήμα 1.10, πάνω αρισ τερά). 2. Ημιαποχωρισ μένο σ ύσ τημα (Semidetached system): ο ένας από τα δύο μέλη του σ υσ τηματος π.χ ο ασ τέρας 1, λόγω εξέλιξής του, έχει γεμίσ ει τον λοβό του Roche του και η επιφάνειά του Ω 1 βρίσ κεται σ ε επαφή με την κρίσ ιμη ισ οδυναμική επιφάνεια Ω in που περνά απο το L 1 δηλαδή ισ χύει: Ω 1 = Ω in > Ω out και Ω 2 > Ω in > Ω out. Σε αυτά τα σ υσ τήματα έχουμε μεταφορά μάζας του ενός ασ τέρος σ τον σ υνοδό του μέσ ω του σ ημείου Lagrange L 1. Φαινομενολογικά τα σ υσ τήματα αυτά κατατάσ ονται ως Algol τύπου σ υσ τήματα. (Σχήμα 1.10, πάνω δεξιά). 3. Συσ τήματα σ ε υπερεπαφή (Overcontact systems): τα μέλη τους μοιράζονται κοινή φωτόσ φαιρα και οι επιφάνειες των μελών τους έχουν γεμίσ ει την κρίσ ιμη ισ οδυναμική επιφάνεια Ω i που περνά απο το L 1 όχι όμως και την κρίσ ιμη ισ οδυναμική επιφάνεια Ω οut που περνά απο το L 2. Για το βαρυτικό δυναμικό του κάθε ασ τέρα ισ χύει: Ω in < Ω < Ω out όπου Ω 1 = Ω 2 = Ω. Φαινομενολογικά τα σ υσ τήματα αυτά κατατάσ σ ονται ως W UMa τύπου σ υσ τήματα. Τα σ υσ τήματα αυτά χωρίζονται σ ε δύο υποκατηγορίες: Τα σ υσ τήματα W τύπου όπου ο θερμότερος ασ τέρας είναι αυτός με την μικρότερη μάζα και τα σ υσ τήματα Α τύπου σ τα οποία ο θερμότερος εκ των δυο μελών είναι αυτός που έχει και την μεγαλύτερη μάζα (Binnendijk 1965b, 1970). Από τα παρατηρησ ιακά δεδομένα τα W τύπου σ υσ τήματα τείνουν να έχουν λόγο μαζών q > 0.3 φασ ματικούς τύπους G και K, και μικρότερες τροχιακές περιόδους (P < 0.3 ημέρες), ενώ τα σ υσ τήματα Α τύπου q < 0.3, φασ ματικού τύπου F ή Α και μεγαλύτερες τροχιακές περιόδους (P > 0.3 ημέρες) (Wilson, 1978) (Σχήμα 1.10, κάτω αρισ τερά). 4. Συσ τήματα σ ε διπλή επαφή (Double Contact systems): σ ε σ υσ τήματα με ασ ύγχρονη περισ τροφή ή/και σ υσ τήματα με έκκεντρη τροχιά, όπου ο ένας εκ των μελών περισ τρέφεται με γωνιακή ταχύτητα μεγαλύτερη της τροχιακής μπορεί ο ένας ασ τέρας λόγω περισ τροφής να αγγίζει τον οριακό λοβό, ενώ ο σ υνοδός του να αγγίζει τον λοβό Roche λόγω εξέλιξης. Τα σ υσ τήματα αυτά ονομάζονται σ υσ τήματα σ ε διπλή επαφή, είναι σ πάνια αλλά υπάρχουν. (TT Herculis, Terrel & Nelson 2014) (Σχήμα 1.10, κάτω δεξιά). 40

44 1. Εισ αγωγή Η ταξινόμησ η σ ύμφωνα με την μορφολογία μπορεί να γίνει χρησ ιμοποιώντας μια χρήσ ιμη ποσ ότητα, τον παράγοντα πλήρωσ ης F που δίνεται από την σ χέσ η: F = Ω Ω in Ω out Ω i (1.25) Ετσ ι για τα αποχωρισ μένα σ υσ τήματα ο παράγοντας πλήρωσ ης έχει αρνητικές τιμές F < 0, για σ υσ τήματα σ ε υπερεπαφή 0 F < 1, και για ημιαποχωρισ μένα σ υσ τήματα F = Εκπεμπόμενη ακτινοβολία Η ροή της ακτινοβολίας την οποία εκπέμπει ένα διπλό σ ύσ τημα ασ τέρων δεν εξαρτάται μόνο από τη γεωμετρία της τροχιάς του αλλά και από την ίδια την κατανομή των φυσ ικών παραμέτρων της (ενεργού θερμοκρασ ίας Τ, βαρυτικής επιτάχυνσ ης g) πάνω σ την επιφάνεια των ασ τέρων η οποία δεν είναι ομοιόμορφη λόγω παραμόρφωσ ης της ασ τρικής επιφάνειας λόγω αλληλεπίδρασ ης και περισ τροφής. Εάν ο ασ τέρας δεν έχει σ φαιρική σ υμμετρία, η παραμορφωμένη επιφάνεια S καθορίζεται από το σ ύνολο S των διανυσ μάτων (σ ημείων) r της ισ οδυναμικής επιφάνειας που καθορίζεται από το μοντέλο Roche (Σχήμα 1.11). Άρα για τον υπολογισ μό της ροής ακτινοβολίας, χρειάζεται να καθορισ τεί το σ τοιχείο της επιφάνειας dσ του διπλού σ υσ τήματος που ακτινοβολεί ώσ τε να υπολογισ τεί η παραμορφωμένη επιφάνεια του ασ τέρα S ˆ S = dσ (1.26) S Σε σ φαιρικές σ υντεταγμένες για το διάνυσ μα r ισ χύει r = rê r (Σχήμα 1.8), όπου ê r είναι το ακτινικό μοναδιαίο διάνυσ μα το οποίο γράφεται ê r = cos(ϕ)sin(θ)î + sin(ϕ)sin(θ)ĵ + cos(θ)ˆk ή με βάσ η τα διευθύνοντα σ υνημίτονα (λ, µ, ν, ( σχέσ εις )), ê r = λî + µĵ + νˆk. Για το σ τοιχείο της επιφάνειας dσ αποδεικνύεται ότι σ ε σ φαιρικές σ υντεταγμένες δίνεται από τη σ χέσ η dσ = ρ2 sin(θ) dθdϕ (1.27) cos(β) όπου ρ = r/α (1.15) και β είναι η γωνία μεταξύ του διανύσ ματος r και του κάθετου διανύσ ματος σ την επιφάνεια του ασ τέρα n (n x, n y, n z ) T (Σχήμα 1.11) Σύμφωνα με το Σχήμα 1.11 ισ χύει cos(β) =ê r n = λn x + µn y + νn z Το κάθετο σ την παραμορφωμένη επιφάνεια διάνυσ μα ˆn, γράφεται με βάσ η το μοναδιαίο ως n = reˆ n. Το μοναδιαίο όμως διάνυσ μα eˆ n καθορίζεται από τη γεωμετρία Roche και τις ισ οδυναμικές επιφάνειες (επειδή ο ασ τέρας δεν έχει σ φαιρική σ υμμετρία) και γράφεται ως eˆ n = Ω(λ,µ,ν) Ω(λ,µ,ν), με Ω(λ, µ, ν) = Ω ( ) 2 ( ) 2 x + Ω ( y + Ω ) 2γιατί z η βαθμίδα του δυναμικού είναι πάντα κάθετη σ την ισ οδυναμική επιφάνεια και με φορά προς τα μέσ α. Από τις (1.26) και (1.27) προκύπτει ότι η σ υνολική επιφάνεια του παραμορφωμένου ασ τέρα που ακτινοβολεί S θα είναι 41

45 1. Εισ αγωγή Σχήμα 1.10.: Ταξινόμησ η των διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων σ ε αποχωρισ μένα σ υσ τήματα (Detached, 1α), ημιαποχωρισ μένα σ υσ τήματα (Semi-Detached, 1β), σ υσ τήματα σ ε υπερεπαφή (Overcontact, 1γ) και σ υσ τήματα σ ε διπλή επαφή (Double Contact, 1δ) σ ύμφωνα με την γεωμετρία Ροςηε. Τα σ χήματα δημιουργήθηκαν με το λογισ μικό Binary Maker v3.0 (Bradstreet & Steelman. 42

46 1. Εισ αγωγή Σχήμα 1.11.: Γραφική αναπαράσ τασ η του μοναδιαίου διανύσ ματος της ευθείας οράσ εως ŝ, του ακτινικού μοναδιαίου διανύσ ματος ê r, και του κάθετου διανύσ ματος ˆn, πάνω σ την παραμορφωμένη επιφάνεια ασ τέρος. S = ˆ π ˆ2π 0 0 ρ 2 sin(θ) dθdϕ (1.28) cos(β) Ο υπολογισ μός της σ υνολικής επιφάνειας του παραμορφωμένου ασ τέρα που ακτινοβολεί S είναι σ ημαντικός γιατί εάν είναι γνωσ τή η βολομετρική φωτεινότητα του ασ τέρα L bol, L bol = SσΤ 4 eff (1.29) όπου σ = Jm 2 s 1 K 4, η σ ταθερά Stefan-Boltzmann, μπορεί να υπολογισ θεί η ενεργός θερμοκρασ ία του Τ eff. Η μονοχρωματική έντασ η της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας Ι λ [W m 3 sr 1 ] από σ τοιχείο επιφανείας dσcosθ, σ την περιοχή μήκους κύματος [λ, λ + dλ] σ ε διεύθυνσ η κάθετη σ την επιφάνεια, εκφράζει την ενέργεια de που διέρχεται σ ε χρονικό διάσ τημα dt από το σ τοιχείο επιφάνειας σ τη διεύθυνσ η της σ τερεάς γωνίας dω = sinθdθdϕ (Σχήμα 1.12) και δίνεται από την σ χέσ η Ι λ = de dσ dλ cosθ sinθ dθ dϕ dt Η μονοχρωματική ροή ακτινοβολίας f λ σ την φασ ματική περιοχή λ, λ + dλ προκύπτει με ολοκλήρωσ η της μονοχρωματικής έντασ ης ακτινοβολίας Ι λ σ ε όλη τη σ τερεά γωνία και εκφράζει την ενέργεια που διέρχεται προς τα έξω, ανά σ τοιχείο επιφάνειας σ ε χρόνο dt f λ = ˆ π/2 ˆ2π 0 0 Ι λ cosθ sinθdθdϕ = π Ι λ (1.30) 43

47 1. Εισ αγωγή Σχήμα 1.12.: Γραφική αναπαράσ τασ η της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας Ι λ [W m 3 sr 1 ] από σ τοιχείο επιφανείας dσcosθ, σ την περιοχή μήκους κύματος [λ, λ + dλ] σ ε διεύθυνσ η κάθετη σ την επιφάνεια, εκφράζει την ενέργεια de που διέρχεται σ ε χρονικό διάσ τημα dt από το σ τοιχείο επιφάνειας σ τη διεύθυνσ η της σ τερεάς γωνίας dω = sinθdθdϕ (Carroll & Ostlie 2006). 44

48 1. Εισ αγωγή Η ροή ακτινοβολίας F p που διαδίδεται μέσ ω ενός φίλτρου απόκρισ ης T λ δίνεται από την σ χέσ η ˆ F p = f λ T λ dλ (1.31) Στην περίπτωσ η όπου η εκπομπή ακτινοβολίας ακολουθεί κατανομή Planck, όπως σ την περίπτωσ η των διπλών ασ τρικών σ υσ τημάτων, τότε Ι λ = Β λ (Τ eff ) όπου Β λ (Τ eff ) είναι η σ υνάρτησ η Planck Β λ (Τ eff ) = 2hc2 λ 5 1 e hc/λkt 1 (1.32) και η ροή ακτινοβολίας που περνά από το φίλτρο F p προκύπτει με ολοκλήρωσ η σ την φασ ματική περιοχή του φίλτρου [λ, λ + dλ] ˆ F p = π Β λ Τ λ d λ (1.33) Ανάλογα με το φωτομετρικό σ ύσ τημα (φίλτρα U, B, V, Rc, Ic, Vilnius, Sloan κτλ) που χρησ ιμοποιείται, είναι γνωσ τη η απόκρισ η T λ του φίλτρου σ τις εκάσ τοτε φασ ματικές περιοχές καθώς και το εύρος της φασ ματικής περιοχής σ το κάθε σ ύσ τημα. Η εξερχόμενη έντασ η της ακτινοβολίας Ι p που περνά από το φίλτρο προκύπτει από τη σ χέσ η ˆ Ι p = F p / T λ dλ (1.34) Οπως αναφέρθηκε, η πυκνότητα ενέργειας u λ = de dλ καθορίζει το μοντέλο εκπομπής ακτινοβολίας του ασ τέρος που σ ε πρώτη προσ έγγισ η περιγράφεται από μια κατανομή Planck (1.32). Ωσ τόσ ο, όπως παρατηρείται, το φάσ μα των ασ τέρων απέχει πολύ από την κατανομή Planck (ιδιαίτερα σ ε ψυχρούς ασ τέρες κύριας ακολουθίας) λόγω της αδιαφάνειας των ασ τέρων και γι αυτό χρησ ιμοποιούνται μοντέλα ασ τρικής ατμόσ φαιρας που περιγράφουν με μεγαλύτερη ακρίβεια την ασ τρική εκπομπή ακτινοβολίας θερμοκρασ ίας Τ eff και βαρυτικής επιτάχυνσ ης log( g g 0 ) (Kurucz, ATLAS). Αυτά τα μοντέλα, αν και αποτελούν πολύ καλή προσ έγισ η για τα αποχωρισ μένα διπλά σ υσ τήματα ασ τέρων, είναι εμφανές ότι απέχουν περισ σ ότερο σ την περίπτωσ η των διπλών σ ε υπερεπαφή όπου οι ασ τέρες μοιράζονται κοινή φωτόσ φαιρα. Στην πραγματικότητα, η ροή ακτινοβολίας F p που εκπέμπεται από μία ασ τρική φωτόσ φαιρα δεν είναι αυτή που δίνεται σ την σ χέσ η 1.31, αλλά τροποποιείται λόγω διαφόρων φαινομένων που σ υμβαίνουν σ τους ασ τέρες και τις επιφάνειές τους (βαρυτική αμαύρωσ η, αμαύρωσ η χείλους, φαινόμενα ανάκλασ ης, κηλίδες) ή την παρουσ ία τρίτου σ υνοδού σ το σ ύσ τημα, τα οποία θα εξετασ τούν σ τις επόμενες υποενότητες Διόρθωσ η λόγω βαρυτικής αμαύρωσ ης Οι ασ τέρες λόγω περισ τροφής αποκλίνουν από τη σ φαιρική σ υμμετρία και τοπικά παρουσ ιάζουν μεταβολές της επιτάχυνσ ης της βαρύτητας σ την επιφάνειά τους και ανομοιόμορφη κατανομή της εκπεμπόμενης ροής από αυτήν. Αυτή η μεταβολή ονομάζεται βαρυτική αμαύρωσ η και εξαρτάται από το μηχανισ μό διάδοσ ης ενέργειας προς την επιφάνεια (φωτόσ φαιρα). 45

49 1. Εισ αγωγή Ο μηχανισ μός καθορίζεται από την ενεργό θερμοκρασ ια του ασ τέρα: για Τ eff > 7200 Κ ο κύριος μηχανισ μός είναι δια ακτινοβολίας, ενώ για Τ eff < 7200 Κ κυριαρχείται από μεταφορά δια ρευμάτων (Lucy 1967). Για τους ασ τέρες με διάδοσ η ενέργειας μέσ ω ακτινοβολίας οφείλεται κυρίως σ τη βαθμίδα της θερμοκρασ ίας κοντά και μέσ α σ τη επιφάνειά τους. Σύμφωνα με τον von Zeipel (1924a,b) η ροή ακτινοβολίας από την παραμορφωμένη επιφάνεια ενός ασ τέρα F, είναι ανάλογη της τοπικής βαρυτικής επιτάχυνσ ης g. F = 4ac 3κρ T 3 dt dv g = k(v ) g όπου α = 4σ/c η σ ταθερά ακτινοβολίας, Τ η τοπική θερμοκρασ ία της ασ τρικής επιφάνειας, κ η μέσ η αδιαφάνεια Rosseland, ρ η πυκνότητα του ασ τρικού αερίου, g η τοπική επιτάχυνσ η της βαρύτητας και k(κ, Τ) o παράγοντας που περιγράφει την διάδοσ η της μεταφερόμενης ακτινοβολίας ο οποίος εξαρτάται μόνο από το δυναμικό, αφού είναι σ υνάρτησ η της θερμοκρασ ίας Τ(V ) και της αδιαφάνειας κ(ρ, Τ) = κ(v ) (Kippenhahn & Weigert 1989). Από την παραπάνω σ χέσ η προκύπτει ότι η εκπεμπόμενη βολομετρική ροή F για κάθε τιμή του βαρυτικού δυναμικού V, εξαρτάται μόνο από την τοπική επιτάχυνσ η της βαρύτητας g και άρα οι περιοχές σ τον ισ ημερινό του ασ τέρα θα φαίνονται σ κοτεινότερες απ ότι οι περιοχές σ τους πόλους, απ όπου προκύπτει και το όνομα βαρυτική αμαύρωσ η. Η τοπική επιτάχυνσ η της βαρύτητας g l σ ε κάθε σ ημείο r s της επιφάνειας του ασ τέρα δίνεται από τη σ χέσ η g l = g(r s ) =g o Ω(r s ) = g 0 ( Ω x ) 2 + ( Ω y ) 2 ( + Ω ) 2 z όπου Ω το ανηγμένο βαρυτικό δυναμικό και g o σ ταθερά αναλογίας. Η σ χέσ η που σ υνδέει την τοπική βολομετρική ροή ακτινοβολίας F l με την επιτάχυνσ η της βαρύτητας δίνεται από την σ χέσ η β= ( )β F l = F gl pole g pole, { 1.0 von Zeipel για αστ έρες με μεταφορά ενέργειας με ακτινοβολία 0.32 Lucy (1967) για αστ έρες με μεταφορά ενέργειας δια ρευμάτων όπου F pole είναι η βολομετρική ροή ακτινοβολίας σ τους πόλους και g l, g pole η επιτάχυνσ η της βαρύτητας σ ε τυχαίο σ ημείο της ασ τρικής επιφάνειας (l) και σ τους πόλους (pole) αντίσ τοιχα. Για θερμούς ασ τέρες προγενέσ τερου φασ ματικού τύπου που η βολομετρκή ροή ακτινοβολίας κυριαρχείται από τον νόμο Stefan-Boltzmann τότε F l T 4 ισ χύει β= g 4 και ο λόγος της τοπικής θερμοκρασ ίας Τ l ως προς την θερμοκρασ ία σ τους πόλους T pole δίνεται από τη σ χέσ η Lucy (1967) T l = T pole ( gl g pole ) α, α= β 4 = {0.25 vonzeipel 0.08 Lucy(1967) όπου η θερμοκρασ ία σ τους πόλους δίνεται από την σ χέσ η (Wilson 1979) 46

50 T pole = T εν 1. Εισ αγωγή S ( ) g g l ds g pole 0.25 όπου S είναι η επιφάνεια του ασ τέρα. Για ασ τέρες με σ φαιρική σ υμμετρία ισ χύει οτι T pole = Τ eff. Ετσ ι, υπολογίζοντας την τοπική βαρυτική επιτάχυνσ η g l, και την θερμοκρασ ία σ τους πόλους T pole, και επομένως την τοπική θερμοκρασ ία T l, μπορεί να υπολογισ θεί από το μοντέλο (μέλαν σ ώμα ή μοντέλο ατμόσ φαιρας ασ τέρων) η τοπική βολομετρική (ή μονοχρωματική) ροή της ακτινοβολίας F l σ ε κάθε σ τοιχείο επιφανείας και άρα η έντασ η της ακτινοβολίας Διόρθωσ η λόγω αμαύρωσ ης χείλους και αδιαφάνειας των ασ τέρων Η έντασ η της εξερχόμενης ακτινοβολίας από την επιφάνεια των ασ τέρων αποκλίνει από την κατανομή Planck όπως παρατηρείται σ τα ασ τρικά φάσ ματα, γιατί διερχόμενη μέσ α από την ασ τρική ατμόσ φαιρα υφίσ ταται απορρόφησ η, ή σ κέδασ η ανάλογα με τις πηγές αδιαφάνειας που κυριαρχούν σ τα σ τρώματά της. Η μείωσ η της εξερχόμενης ακτινοβολίας I λ που διαδίδεται μέσ α σ ε μία ασ τρική ατμόσ φαιρα, πυκνότητας ρ σ ε απόσ τασ η dr δίνεται από την σ χέσ η: di λ = κ λ ρi λ dr (1.35) όπου κ λ σ υντελεσ τής απορρόφησ ης ή αδιαφάνειας της ατμόσ φαιρας σ ε [m 2 kgr 1 ]. Οι κύριες πηγές αδιαφάνειας σ τα ασ τρικά φάσ ματα οφείλονται σ ε ενεργειακές μεταπτώσ εις ηλεκτρονίων και σ υνοψίζονται παρακάτω: 1. Αδιαφάνεια σ τάθμης-σ τάθμης (bound-bound). Οι μεταβάσ εις σ τάθμης-σ τάθμης σ υμβαίνουν όταν ένα φωτόνιο απορροφάται από ένα ηλεκτρόνιο που βρίσ κεται σ ε δέσ μια κατάσ τασ η σ ε ένα άτομο και διεγείρεται σ ε ανώτερη ενεργειακή σ τάθμη. Στην αδιαφάνεια σ τάθμης-σ τάθμης κ λ,bb, οφείλονται οι γραμμές απορρόφησ ης σ τα ασ τρικά φάσ ματα. 2. Αδιαφάνεια σ τάθμης-σ υνεχούς (bound-free). Η απορρόφησ η σ τάθμης-σ υνεχούς σ υμβαίνει όταν ένα φωτόνιο απορροφάται από ένα ηλεκτρόνιο που βρίσ κεται σ ε δέσ μια κατάσ τασ η σ ε ένα άτομο με αποτέλεσ μα να το μεταφέρει σ το σ υνεχές μέρος του φάσ ματος (φωτοιονισ μός). Η αδιαφάνεια σ τάθμης-σ υνεχούς κ λ,bf, αποτελεί πηγή αδιαφάνειας για το σ υνεχές μέρος του ασ τρικού φάσ ματος. 3. Αδιαφάνεια σ υνεχούς-σ υνεχούς (free-free). Η αδιαφάνεια σ υνεχούς-σ υνεχούς κ λ,ff, αποτελεί μια ακόμη πηγή αδιαφάνειας για το σ υνεχές μέρος του ασ τρικού φάσ ματος και σ υμβαίνει όταν ένα ελεύθερο ηλεκτρόνιο που βρίσ κεται κοντά σ ε ένα ιόν απορροφά ένα φωτόνιο με αποτέλεσ μα την αύξησ η της κινητικής του ενέργειας. Το ανάσ τροφο φαινόμενο σ υμβαίνει όταν ένα ελεύθερο ηλεκτρόνιο σ κεδάζεται με ένα ιόν με αποτέλεσ μα την μείωσ η της κινητικής του ενέργειας και την εκπομπή ακτινοβολίας (ακτινοβολία πέδησ ης). 47

51 1. Εισ αγωγή 4. Αδιαφάνεια λόγω σ κέδασ ης ηλεκτρονίων κ λ,es. Σκέδασ η Thomson. Η σ κέδασ η Thomson σ υμβαίνει όταν ένα φωτόνιο χαμηλής ενέργειας σ κεδάζεται με ένα ελεύθερο ηλεκτρόνιο με αποτέλεσ μα να αποκλίνει της πορείας του. Η σ κέδασ η Thomson δεν επιφέρει αλλαγή σ το μήκος κύματος του φωτονίου και ως μηχανισ μός αδιαφάνειας ειναι αποδοτικός σ ε περιοχές υψηλής πυκνότητας και μεγάλης θερμοκρασ ίας του ασ τέρος όπως το εσ ωτερικό των ασ τέρων ή σ τις επιφάνειες των θερμών ασ τέρων. Σκέδασ η Compton. Η σ κέδασ η Compton σ υμβαίνει όταν ένα φωτόνιο υψηλής ενέργειας σ κεδάζεται με ένα δέσ μιο ηλεκτρόνιο με αποτέλεσ μα την μείωσ η της ενέργειάς του και την απόκλισ η της αρχικής του διεύθυνσ ης. Σκέδασ η Rayleigh. Η σ κέδασ η Rayleigh σ υμβαίνει όταν ένα φωτόνιο χαμηλής ενέργειας σ κεδάζεται με ένα δέσ μιο ηλεκτρόνιο με αποτέλεσ μα την απόκλισ η της αρχικής του πορείας. 5. Αδιαφάνεια λόγω της παρουσ ίας των ιόντων υδρογόνου Η. Ενα άτομο ουδετέρου υδρογόνου είναι δυνατόν να προσ λάβει ένα ηλεκτρόνιο σ ε δέσ μια κατάσ τασ η με αποτέλεσ μα να γίνει αρνητικό ιόν Η. Η ενέργεια ιονισ μού του επιπλέον ηλεκτρονίου είναι μικρή ( 0.75eV ) σ ε σ ύγκρισ η με την ενέργεια ιονισ μού του ουδετέρου υδρογόνου ( 13.6eV ) και γι αυτό φωτόνια χαμηλής ενέργειας μπορούν να απορροφηθούν από το Η μετατρέποντάς το πάλι σ ε ουδέτερο υδρογόνο. Η σ υμβολή του Η σ την αδιαφάνεια (κ λ,η ) είναι σ ημαντική σ ε ασ τέρες μεταγενέσ τερου φασ ματικού τύπου. 6. Φωτοδιάσ πασ η μορίων. Η φωτοδιάσ πασ η μορίων σ υμβαίνει όταν ένα φωτόνιο υψηλής ενέργειας είναι ικανό να διασ πάσ ει ένα μόριο σ ε ανεξάρτητα άτομα. Επειδή η σ υνολική αδιαφάνεια κ λ εξαρτάται από το μήκος κύματος της ακτινοβολίας, χρησ ιμοποιείται, η μέσ η αδιαφάνεια κ για όλα τα μήκη κύματος η οποία εξαρτάται από τη χημική σ ύνθεσ ης του ασ τέρα, την πυκνότητα και τη θερμοκρασ ία του, γνωσ τή και ως μέσ η αδιαφάνεια Roseland : 1 κ = 0 κ Β ν (Τ) dν ν Τ Β ν (Τ) dν 0 Τ όπου Β ν σ υνάρτησ η Planck και κ ν η μονοχρωματική αδιαφάνεια. Αν και δεν υπάρχει αναλυτική έκφρασ η για τη μέσ η αδιαφάνεια, υπάρχουν προσ εγγισ τικές εκφράσ εις ανεξάρτητες του μήκους κύματος, για μερικές από τις παραπάνω πηγές αδιαφάνειας. Η σ υνολική εξάρτησ η είναι της μορφής κ = κ ο ρ/τ 3.5 eff όπου ρ η πυκνότητα σ ε [kg m 3 ],Τ eff [Κ], κ ο σ ταθερά για δεδομένη χημική σ ύνθεσ η (Χ, Υ, Ζ) όπου (Χ, Υ, Ζ) η περιεκτικότητα κατά μάζα του ασ τέρα σ ε υδρογόνο, ήλιο και μέταλλα. Οι σ χέσ εις της αδιαφάνειας αυτής της μορφής είναι γνωσ τές και ως νόμος του Kramer. Η σ υνολική μέσ η αδιαφάνεια Rosseland δίνεται ως άθροισ μα των επιμέρους πηγών αδιαφάνειας για έναν ασ τέρα ως εξής: 48

52 1. Εισ αγωγή κ = κ bb + κ ff + κ bf + κ es + κ λ,η (1.36) Η αδιαφάνεια των διαφόρων σ τρωμάτων της ατμόσ φαιρας ενός ασ τέρα κυμαίνεται μεταξύ (2 25) 10 2 m 2 kg 1 ενώ σ το εσ ωτερικό του είναι πολύ μεγαλύτερη m 2 kg 1. Στην πράξη, επειδή παρατηρούμε την εξερχόμενη έντασ η ακτινοβολίας κατά την αντίσ τροφη πορεία της, η μείωσ ή της μπορεί να εκφρασ τεί με την εισ αγωγή του οπτικού βάθους τ λ, το οποίο εκφράζει τον αριθμό των μέσ ων ελευθέρων διαδρομών που έχει διανύσ ει η ακτινοβολία από την αρχική της εκπομπή ως την επιφάνεια του ασ τέρα όπου τ λ = 0 dτ λ = κ λ ρdr di λ = I λ dτ λ (1.37) Ομως θα πρεπει να ληφθεί υπόψιν ότι κατά την πορεία της, μπορεί να υπάρχει και εκπομπή ακτινοβολίας π.χ από τον αντίσ τροφο μηχανισ μό σ τάθμης-σ τάθμης επομένως να υπάρχει σ υνεισ φορά σ την αρχική ακτινοβολία: di λ = j λ ρdr (1.38) όπου j λ ο σ υντελεσ τής εκπομπής. Η σ υνολική μεταβολή της ακτινοβολίας που διαδίδεται εντός της ασ τρικής ατμόσ φαιρας κι άρα της εξερχόμενης έντασ ης προκύπτει από τις σ χέσ εις 1.35 και 1.38 Από τις σ χέσ εις (1.37) (1.39), προκύπτει di λ = (j λ κ λ I λ ) ρdr (1.39) ( ) di λ = I λ j λ κλ I λ j λ κλ dτ λ = di λ dτ λ = I λ j λ κλ = όπου S λ = j λ κλ di λ dτ λ = I λ S λ (1.40) ονομάζεται σ υνάρτησ η πηγής και περιγράφει την ασ τρική ατμόσ φαιρα ενώ η εξίσ ωσ η (1.40) αποτελεί την εξίσ ωσ η διάδοσ ης της ακτινοβολίας. Εάν γνωρίζουμε πώς μεταβάλλεται η σ υνάρτησ η πηγής σ ε σ χέσ η με το βάθος της ασ τρικής ατμόσ φαιρας δηλαδή τη σ χέσ η S λ = f(τ λ ), από την εξίσ ωσ η διάδοσ ης της ακτινοβολίας θα προέκυπτε η κατανομή της εξερχόμενης ακτινοβολίας από κάθε σ ημείο του ασ τρικού δίσ κου Ι λ (γ) που σ χηματίζει γωνία γ μεταξύ της ευθειας παρατήρησ ης και της κάθετης σ το δίσ κο. Οπως αποδεικνύεται, 4 σ ε οποιαδήποτε γωνία παρατηρείται η επιφάνεια του ασ τέρα πάντα παρατηρείται σ ε οπτικό βάθος τ λ = 2/3 δηλαδή η έντασ η της εξερχόμενης ακτινοβολίας προέρχεται πάντα από το ίδιο οπτικό βάθος. Αυτό σ ημαίνει ότι για κάθε σ υγκεκριμένο 4 υιοθετώντας για τη διάδοσ η της ακτινοβολίας υπό σ ταθερή γωνία ένα προσ εγγισ τικό μοντέλο όπου τα διαδοχικά σ τρώματα του εσ ωτερικού των ασ τέρων είναι παράλληλα μεταξύ τους (πρότυπο παράλληλων επιπέδων), ο σ υντελεσ τής απορρόφησ ης είναι ανεξάρτητος του μήκους κύματος (υπόθεσ η γκρί ατμόσ φαιρας), υποθέτοντας ότι σ το εσ ωτερικό επικρατεί τοπική θερμοδυναμική ισ ορροπία (S λ = B), και κάτω από την προσ έγγισ η του Eddington, 49

53 1. Εισ αγωγή Σχήμα 1.13.: Φαινόμενο αμαύρωσ ης χείλους.το βάθος της ασ τρικής ατμόσ φαιρας (άρα και της θερμοκρασ ίας) που βλέπει ο παρατηρητής μεταβάλλεται ανάλογα με τη γωνία γ σ τον ασ τρικό δίσ κο (γωνία σ ε σ χέσ η με την κάθετη διεύθυνσ η της εξερχόμενης ακτινοβολίας) (Σχήμα 3.17, Kallrath & Milone 2009). βάθος, η εξερχόμενη ακτινοβολία από σ το χείλος του ασ τρικού δίσ κου διαπερνά περισ σ ότερο υλικό σ ε σ χέσ η με την αντίσ τοιχη από το κέντρο του δίσ κου ή για την ίδια ποσ ότητα υλικού η εξερχόμενη ακτινοβολία σ το χείλος προέρχεται μόνο από τα επιφανειακά σ τρώματα της φωτόσ φαιρας σ ε σ χέσ η με αυτή από το κέντρο του δίσ κου η οποία προέρχεται και από σ τρώματα που βρίσ κονται πιο βαθιά προς σ το εσ ωτερικό του ασ τέρα. Επομένως η έντασ η ακτινοβολίας από το κέντρο του δίσ κου είναι ισ χυρότερη από εκείνη που προέρχεται από το χείλος. Αυτό οφείλεται σ το γεγονός ότι η θερμοκρασ ία αυξάνεται από την επιφάνεια προς το κέντρο με αποτέλεσ μα παρατηρώντας το κέντρο του ασ τρικού δίσ κου, να παρατηρούμε πιο θερμές περιοχές βαθύτερα σ την επιφάνεια του ασ τέρα, ενώ παρατηρώντας σ το χείλος του ασ τρικού δίσ κου παρατηρούμε τα εξωτερικές και πιο ψυχρές περιοχές του ασ τέρα. Ετσ ι ο ασ τέρας φαίνεται πιο φωτεινός σ το κέντρο του και πιο σ κοτεινός σ τα άκρα του δίσ κου (φαινόμενο αμαύρωσ ης χείλους ). Αρα για να υπολογισ τεί η εξερχόμενη έντασ η από οποιοδήποτε σ ημείο του ασ τρικού δίσ κου πρέπει να υπολογισ τεί ο σ υντελεσ τής διόρθωσ ης λόγω αμαύρωσ ης χείλους D της επιφάνειας του ασ τέρα, οποίος δίνεται από την σ χέσ η D(cos(γ)) = I λ I λ (0) (1.41) όπου Ι λ (0) η εξερχόμενη ακτινοβολία κάθετα σ το δίσ κο (για σ φαιρικούς ασ τέρες είναι η εξερχόμενη ακτινοβολία από το κέντρο του ασ τρικού δίσ κου) και γ η γωνία μεταξύ του καθέτου διανύσ ματος ˆn και του διανύσ ματος ê της εξερχόμενης ακτινοβολίας (Σχήμα 1.13) με cos(γ) = ˆn ê. Θα πρέπει να σ ημειωθεί ότι η εξερχόμενη ακτινοβολία κάθετα σ το δίσ κο Ι λ (0) υπολογίζεται από την σ χέσ η (1.32) σ την προσ έγγισ η του μέλανος σ ώματος και από την αντίσ τοιχη σ χέσ η (1.34) για διάφορα ασ τρικά μοντέλα ατμόσ φαιρας. 50

54 1. Εισ αγωγή Εάν υποτεθεί ότι η διόρθωσ η λόγω αμαύρωσ ης χείλους της επιφάνειας ακολουθεί νόμο τετραγώνου της δύναμης (cos 2 γ) της μορφής D(cos(γ)) = 1 (x λ + 2y λ ) + y λ + (x λ + 2y λ ) cos(γ) y λ cos 2 (γ) όπου x λ, y λ οι σ υντελεσ τές αμαύρωσ ης χείλους οι οποίοι εξαρτώνται από το μήκος κύματος λ, της παρατηρούμενης ακτινοβολίας τότε από σ χέσ η (1.41) προκύπτει I λ = Ι λ (0) [1 (x λ + 2y λ ) + y λ + (x λ + 2y λ )cos(γ) y λ cos 2 (γ)] (1.42) Η εκπεμπόμενη ροή από τον δίσ κο θα είναι F = 2π R 0 0 I λrdrdϕ και με βάσ η τη γωνία γ από r = Rsin(γ) = dr = Rcos(γ)dγ και τη σ χέσ η 1.42 F = 2π 0 π/2 0 Ι λ (0) [1 (x λ +2y λ )+y λ +(x λ +2y λ )cos(γ) y λ cos 2 (γ)] R 2 sin(γ)cos(γ)dγdϕ απ όπου τελικά προκύπτει για την εκπεμπόμενη ροή από το δίσ κο ( F τετρ. = π 1 y λ 6 x ) λ Ι λ (0) R 2 (1.43) 3 Οι σ υντελεσ τές x λ, y λ για την μοντελοποίησ η των παρατηρησ ιακών καμπυλών φωτός των διπλών σ υσ τημάτων προέρχονται από μοντέλα ατμοσ φαιρών ή πίνακες που προκύπτουν από αυτά (van Hamme 1993). Στην οπτική φασ ματική περιοχή, για ασ τέρες μεταγενέσ τερου φασ ματικού τύπου (Τ < 9000 Κ) καλύτερη προσ έγγισ η για την διόρθωσ η λόγω αμαύρωσ ης χείλους είναι η υιοθέτησ η λογαριθμικού νόμου όπως δόθηκε από τους Klinglesmith & Sobieski (1970) : D(cos(γ)) = 1 x λ (1 cos(γ)) y λ cos(γ)ln[cos(γ)] ενώ για την περίπτωσ η ασ τέρων προγενέσ τερου φασ ματικού τύπου (Τ > 9000Κ) η υιοθέτησ η νόμου τετραγωνικής ρίζας (Diaz-Cordovs & Gimenez 1992 ): D(cos(γ)) = 1 x λ (1 cos(γ)) y λ (1 cos(γ)) Διόρθωσ η λόγω φαινομένου ανάκλασ ης Στα διπλά σ υσ τήματα ασ τέρων λόγω εγγύτητας (R/α 15 20%) μπορεί ο κάθε ασ τέρας να θερμαίνει περιοχές του σ υνοδού του με αποτέλεσ μα την εκπομπή ακτινοβολίας λόγω ανάκλασ ης (Wilson 1990). Η διόρθωσ η λόγω ανάκλασ ης R κατά τη ροή ακτινοβολίας από τον ασ τέρα s σ τον ασ τέρα t που θερμαίνεται έχει την μορφή R = 1 + A t F s F t (1.44) όπου A t η ανακλασ τικότητα της επιφάνειας του ασ τέρα που θερμαίνεται (albedo), F s η ροή της προσ πίπτουσ ας ακτινοβολίας σ την σ υγκεκριμένη περιοχή του ασ τέρα που θερμαίνεται από τον ασ τέρα που ακτινοβολεί και F t η αδιατάρακτη ροή ακτινοβολίας του ασ τέρα που θερμαίνεται. Η ακρίβεια του μοντέλου ανακλασ τικότητας εξαρτάται από την αναλυτική έκφρασ η της ροής ακτινοβολίας F s η οποία δίνεται από τον Wilson (1990). 51

55 1. Εισ αγωγή Διόρθωσ η λόγω κηλίδων σ την φωτόσ φαιρα Οι ασ τέρες ενός διπλού σ υσ τήματος, λόγω φωτοσ φαιρικής δρασ τηριότητας εάν είναι ασ τέρες προγενέσ τερου φασ ματικού τύπου ή λόγω πρόσ πτωσ ης υλικού από το σ υνοδό ασ τέρα, μπορεί να εμφανίζουν περιοχές (κηλίδες) μικρότερης ή μεγαλύτερης θερμοκρασ ίας με αποτέλεσ μα τη μείωσ η ή την αύξησ η της σ υνολικής εκπεμπόμενης ροής ακτινοβολίας από την επιφάνειά τους. Εάν Ι spot είναι η τοπική έντασ η της ακτινοβολίας μιας κηλίδας θερμοκρασ ίας Τ spot τότε ο παράγοντας διόρθωσ ης δίνεται από την σ χέσ η S = Ι spot I local (1.45) όπου I local η έντασ η της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας από την αδιατάρακτη περιοχή του ασ τέρα Ολική ροή ακτινοβολίας σ ε κάθε φάσ η της τροχιάς Η ολική μονοχρωματική ροή ακτινοβολίας για κάθε ασ τέρα, διορθωμένη από την αμαύρωσ η χείλους D(cosγ), τη βαρυτική αμαύρωσ η, την παρουσ ία κηλίδων S, ή το φαινόμενο ανακλάσ εως R δίνεται από την σ χέσ η : F λi cor(φ)= S χ(r s) ŝ ˆn ê r ˆn I λ(cosγ, g, T, R, S) r 2 sin(θ)dϕdθ i = 1, 2 όπου χ(r s ) η σ υνάρτησ η που δηλώνει εάν είναι ορατή η επιφάνεια του κάθε ασ τέρα από τον παρατηρητή (Kalrath & Milone 2009), Φ η φάσ η του σ υσ τήματος, ê r το ακτινικό μοναδιαίο διάνυσ μα, ŝ το μοναδιαίο διανύσ μα της ευθείας οράσ εως πάνω σ την επιφάνεια του ασ τέρα και I λ (cosγ, g, T, R, S) η μονοχρωματική έντασ η ακτινοβολίας από την σ τοιχειώδη επιφάνεια του ασ τέρα (Σχήμα 1.11). Ετσ ι, η ολική ροή από το διπλό σ ύσ τημα ασ τέρων είναι F λtot = F λ1 cor + F λ2 cor + F λ3 (1.46) όπου F λ3 η ροή ακτινοβολίας σ ε περίπτωσ η ύπαρξης τρίτου σ ώματος σ το σ ύσ τημα που σ υνεισ φέρει σ την ολική ακτινοβολία Μεταβολή περιόδου και μεταφορά μάζας Κάθε διπλό εκλειπτικό σ ύσ τημα περιόδου P o περιγράφεται από μία γραμμική εφημερίδα με την οποία μπορούν να προβλεφθούν οι επόμενοι χρόνοι ελαχίσ των t cal σ ύμφωνα με τη σ χέσ η t cal = HJD 0 + P 0 E όπου Ε = εποχή ή ο αριθμός των τροχιακών κύκλων που έχουν περάσ ει από τον πρώτο χρόνο ελαχίσ του HJD 5 0. Η εποχή είναι ένας ακέραιος αριθμός n ή n + 1 2, σ την περίπτωσ η που αναφέρεται σ ε χρόνους δευτερευόντων ελαχίσ των, κυκλικών τροχιών. Άρα οι διαφορές 5 ο χρόνος ελαχίσ του εκφράζεται σ ε Ηλιοκεντρική Ιουλιανή ημερομηνία ( 52

56 1. Εισ αγωγή Τ μεταξύ των παρατηρούμενων χρόνων ελαχίσ των T obs και των θεωρητικά προβλεπόμενων t cal, δηλαδή αντίσ τοιχα Ο C (Observed Calculated) θα είναι O C = T obs t cal = T = T obs (HJD 0 + P 0 E) = f(e) (1.47) Εάν για την κατασ κευή του διαγράμματος O C = f(e) έχουν χρησ ιμοποιηθεί Ν αριθμοί ελαχίσ των τότε η εύρεσ η μίας νέας γραμμικής εφημερίδας που προβλέπει με μεγαλύτερη ακρίβεια τους χρόνους ελαχίσ του του διπλού σ υσ τήματος σ υνίσ ταται σ την ελαχισ τοποίσ η του αθροίσ ματος Ν Σ i=1 (O C) 2 i 0 σ ε σ χέσ η με τα HJD 0 και P 0. To διάγραμμα T ως προς Ε δηλαδή O C = f(e) είναι πολύ ευαίσ θητο σ ε κάθε απόκλισ η από την περιοδικότητα και μπορεί να αναδείξει εάν η περίοδος έχει παραμείνει σ ταθερή για διάσ τημα πολλών ετών ή και δεκαετιών, ανάλογα με το χρονικό εύρος σ το οποίο αναφέρονται οι παρατηρούμενοι χρόνοι ελαχίσ των Ν. Εάν οι διαφορές Ο C μπορούν να περιγραφούν από μία ευθεία δηλαδή εάν Ο C = αε τότε η περίοδος είναι σ ταθερή, για το διάσ τημα σ το οποίο αναφέρονται οι χρησ ιμοποιούμενοι χρόνοι ελαχίσ των (ανάλογα και με την ακρίβεια των παρατηρούμενων ελαχίσ των). Η ευθεία θα έχει μηδενική κλίσ η δηλαδή α = 0 μόνο σ την περίπτωσ η όπου η περίοδος της εφημερίδας που χρησ ιμοποιήθηκε είναι ορθή, ενώ εάν δεν είναι ορθή αλλά σ ταθερή, η ευθεία θα έχει κάποια κλίσ η λόγω της σ υγκέντρωσ ης των μικρών χρονικών διαφορών Τ = T obs t cal ανά τροχιακό κύκλο σ ε όλο το χρονικό εύρος των παρατηρούμενων ελαχίσ των και η καινούρια περίοδος θα είναι P = P 0 + α. Συγκεκριμένα, εάν το διάγραμμα O C = f(e) έχει κλίσ η προς τα πάνω (α > 0), τότε η υπολογιζόμενη νέα περίοδος θα είναι μεγαλύτερη από αυτή που χρησ ιμοποιήθηκε για την κατασ κευή του (από παλιότερη εφημεριδα)p > P 0 και το αντίθετο. Στη γενικότερη περίπτωσ η όπου το διάγραμμα O C = f(e) έχει παραβολική μορφή Ο C = qmt E 2 + be + c από την (1.47) προκύπτει T obs (HJD 0 + P 0 E) = qmt E 2 + be + c = T obs = qmt E 2 + be + c + HJD 0 + P 0 E = T obs = qmt E 2 + (P 0 + b)e + (HJD 0 + c) δηλαδή τα προβλεπόμενα ελάχισ τα θα δίνονται από νέα εφημερίδα της μορφής T obs = (HJD 0 + c) + (P 0 + b)e + qmt E 2 Αυτό σ ημαίνει ότι η σ τιγμιαία περίοδος θα είναι P = (P 0 + b) + 2 qmt E dp όπου ο ρυθμός μεταβολής της περιόδου θα είναι de = 2 qmt ημέρες/κύκλο ή σ υνήθως όπως εκφράζεται σ ε ημέρες/έτος dp dt =2 qmt (365.24/P) ημέρες/έτος. Αποδεικνύεται ότι ο δευτεροβάθμιος όρος της εφημεριδας μπορεί να οφείλεται σ την μεταφορά μάζας μεταξύ των ασ τέρων-μελών του σ υσ τήματος 6. Στη σ υντηρητική περίπτωσ η μεταφοράς μάζας δηλαδή όταν δεν υπάρχουν απώλειες μάζας και η ολική μάζα του σ υσ τήματος διατηρείται σ ταθερή ( dm 1 dt =- dm 2 dt ) μαζί με την ολική σ τροφορμή του σ υσ τήματος από τον 3ο νόμο του Kepler προκύπτει (Μ 1 Μ 2 ) 3 P = σταθ. και άρα 6 απ όπου προκύπτει και ο σ υβολισ μός qmt:quadratic mass transfer 53

57 1. Εισ αγωγή ( dp dt ) P =3( dm 1 dt ) M 1 M 2 M 1 M 2 = dm 1 dt = 2 qmt M 1M 2 3P 2 (M 1 M 2 ) (1.48) Αυτό σ ημαίνει, ότι εάν ο αρχικά μεγαλύτερης μάζας ασ τέρας Μ 1 (Μ 1 > Μ 2 ) μεταφέρει μάζα σ το σ υνοδό του μικρότερης μάζας Μ 2, τότε dm 1 dt <0 και dp dt <0 δηλαδή η τροχιακή περίοδος μειώνεται όπως και το μέγεθος της σ χετικής τροχιάς α σ ύμφωνα με τον 3 ο νόμο Kepler. H μείωσ η της περιόδου σ υνεχίζεται μέχρι Μ 1 = M 2 και η τροχιά να φτάσ ει σ το ελάχισ το μέγεθός της. Εάν ο ασ τέρας Μ 1 σ υνεχίζει τη μεταφορά μάζας και μετά την ανασ τροφή των μαζών δηλαδή μετά από Μ 1 < Μ 2 τότε dp dt >0 και τα μεγέθη P, a αυξάνονται. Θα πρέπει να σ ημειωθεί ότι μεταβάλλεται ανάλογα και η ακτίνα των λοβών Roche R L των ασ τέρων όπως προκύπτει από τη σ χέσ η που δίνει την πραγματική ενεργό ακτίνα (βλ ) R L = r L a και τη σ χετική ακτίνα (Σχέσ η 1.24) σ ύμφωνα με τις οποίες οι ακτίνες των λοβών εξαρτώνται κυρίως από τον μεγάλο ημιάξονα της σ χετικής τροχιάς α και δευτερευόντως από την τιμή του λόγου των μαζών q. Στην περίπτωσ η όπου dp dt >0, τότε ο μεγαλύτερης μάζας ασ τέρας κερδίζει μάζα. Στη μη σ υντηρητική περίπτωσ η μεταφοράς μάζας, δεν διατηρείται η σ υνολική μάζα και η σ υνολική σ τροφορμή και τέτοια είναι η περίπτωσ η απώλειας μάζας με τη μορφή ασ τρικών ανέμων, κατασ τροφικών γεγονότων, υπερχείλισ ης του λοβού Roche (Hilditch 2001) Μηχανισ μοί μεταβολής περιόδου Η εξέλιξη των σ τενών διπλών σ υσ τημάτων καθορίζεται από την απώλεια σ τροφορμής. Σε πολλές κατηγορίες σ τενών διπλών σ υσ τημάτων (Algol, RS CVn, W UMa) έχουν παρατηρηθεί περιοδικές μεταβολές της τροχιακής περιόδου οι οποίες κυμαίνονται από έτη μέχρι δεκαετίες. Η σ υγκέντρωσ η επακριβών χρόνων ελαχίσ των μπορεί να αναδείξει μεταβολές της περιόδου οι οποίες σ ε μεγάλα χρονικά διασ τήματα οφείλονται σ τη απώλεια σ τροφορμής του σ υσ τήματος ενώ σ ε μικρότερα μπορεί να οφείλονται τόσ ο σ ε εγγενή αίτια δηλαδή σ ε εσ ωτερικές διαδικασ ίες του ίδιου του ασ τέρα/ασ τέρων κύριας ακολουθίας, του σ υσ τήματος, όπως είναι ο μηχανισ μός Applegate (Applegate 1992) ή σ ε εξωτερικά αίτια δηλαδή σ την παρουσ ία ενός τρίτου σ ώματος ασ τρικής ή μη φύσ ης (φαινόμενο LITE). O μηχανισ μός Applegate βασ ίζεται σ το γεγονός ότι κάθε ασ τέρας κύριας ακολουθίας, ο οποίος χαρακτηρίζεται από βαθιά σ τρώματα μεταφοράς ενέργειας δια ρευμάτων, έχει διαφορική περισ τροφή και μηχανισ μό μαγνητικής γεννήτριας (magnetic dynamo). Οι μαγνητικές δυναμικές γραμμές αυτού του εσ ωτερικού μαγνητικού πεδίου του ασ τέρα, εντοπίζονται σ τα διαφορικά περισ τρεφόμενα σ τρώματά του. Κάθε αλλαγή της έντασ ης του πεδίου σ τα διάφορα σ τάδια του μαγνητικού κύκλου προκαλούν μεταβολές σ το βαθμό σ ύζευξης μεταξύ των εσ ωτερικών και των εξωτερικών σ τρωμάτων του ασ τέρα, προκαλώντας μεταφορά σ τροφορμής λόγω ιδιοπερισ τροφής και άρα μεταβολή της διαφορικής περισ τροφής του, προκειμένου η ολική σ τροφορμή του σ υσ τήματος να διατηρηθεί σ ταθερή. Η επιβράδυνσ η ή η επιτάχυνσ η των εξωτερικών σ τρωμάτων αυτού του ενεργού ασ τέρα κατά τη διάρκεια ενός κύκλου, έχει ως αποτέλεσ μα τη μεταβολή του σ χήματός του δηλαδή της πεπλάτυνσ ης του ασ τέρα η οποία 54

58 1. Εισ αγωγή καθορίζεται κυρίως από την περισ τροφή των εξωτερικών του σ τρωμάτων. Σύμφωνα με το μηχανισ μό Applegate, σ ε ένα διπλό σ ύσ τημα, η μεταβολή του σ χήματος του ενός ασ τέραμέλους λόγω της βαρυτικής του σ ύζευξης με το σ υνοδό του ασ τέρα, μέσ ω τετραπολικής ροπής, προκαλεί μεταβολές της τροχιακής περιόδου του σ υσ τήματος, ώσ τε να διατηρηθεί σ ταθερή η ολική σ τροφορμή του σ υσ τήματος, σ την ίδια χρονική κλίμακα με τον κύκλο δρασ τηριότητας του ενεργού ασ τέρα. Η αναμενόμενη μεταβολή της περιόδου σ ε χρονικά διασ τήματα δεκαετιών ή και μεγαλύτερα μπορεί να είναι αρκετά μεγάλη ( P/P 10 5 ). Καθώς το εσ ωτερικό μαγνητικό πεδίο του ενεργού ασ τέρα ανέρχεται σ την επιφάνεια, ελευθερώνει ενέργεια τοπικά με τη μορφή ασ τρικών κηλίδων. Καθώς η διαφορική περισ τροφή μεταβάλλεται, μεταβάλλεται και η ολική κινητική ενέργεια λόγω ιδιοπερισ τροφής η οποία ελαχισ τοποιείται όταν ο ενεργός ασ τέρας περισ τρέφεται σ αν σ τερεό σ ώμα. Αφού κάθε μεταβολή της κινητικής ενέργειας προσ τίθεται ή αφαιρείται από την ροή του ασ τέρα, αναμένεται να υπάρχει σ υσ χέτισ η μεταξύ της τροχιακής περιόδου, της σ υμπεριφοράς των κηλίδων και άρα της θερμοκρασ ίας και του χρώματος του δευτερεύοντα ασ τέρα. Θα πρέπει να σ ημειωθεί ότι δεν απαιτούνται ακτινικές αναπάλσ εις του ενεργού ασ τέρα δηλαδή μεταβάσ εις μεταξύ κατασ τάσ εων υδροσ τατικής ισ ορροπίας γιατί μόνο η διαφορική περισ τροφή μεταβάλλεται, και όχι η μέσ η ακτίνα του ενεργού ασ τέρα. Η θεωρία Applegate προέβλεψε ότι α) ότι η καμπύλη φωτός και το διάγραμμα O-C θα πρέπει να χαρακτηρίζονται από κύκλους του ίδιου χρονικού εύρους β) τα ακρότατα (μέγισ τα ή ελάχισ τα) της παρατηρούμενης λαμπρότητας του σ υσ τήματος θα πρέπει να σ υμπίπτουν με τα ακρότατα του Ο-C διαγράμματος και γ) o ασ τέρας θα πρέπει να φαίνεται κυανότερος όταν είναι λαμπρότερος. Το μοντέλο Applegate (1992) επεκτάθηκε από τους Lanza, Rodonò & Rosner (1998) και Rüdiger et al. (2002) και αποτελεί το θεωρητικό πλαίσ ιο προσ διορισ μού του εσ ωτερικού μαγνητικού πεδίου των ασ τέρων των σ τενών διπλών σ υσ τημάτων. Προκειμένου να σ υμπεράνουμε εάν η παρατηρούμενη μεταβολή της περιόδου ενός διπλού σ υσ τήματος οφείλεται σ το μηχανισ μό Applegate, σ υγκρίνουμε την ενέργεια E που απαιτείται για την μεταφορά σ τροφορμής του ασ τέρα J από το εσ ωτερικό προς το εξωτερικό του, με την διαθέσ ιμη ενέργεια Ε = 4πR 2 στ 4 τ ενός ενεργού ασ τέρα ακτίνας R και θερμοκρασ ίας Τ κατά το χρονικό διάσ τημα τ σ το οποίο παρατηρείται η μεταβολή της περιόδου. Σύμφωνα με τον Applegate (1992) Ε = Ω d J + J 2 /2I eff (1.49) όπου Ω d είναι η γωνιακή ταχύτητα της αρχικής διαφορικής περισ τροφής του ενεργού ασ τέρα, η οποία είναι ίσ η με μηδέν σ το κριτήριο της ελάχισ της απαιτούμενης ενέργειας, Ι eff η ενεργός ροπή αδρανείας του ασ τέρα και J η μεταβολή της σ τροφορμής. H ενεργός ροπή αδρανείας του ασ τέρα δίνεται απο τη σ χέσ η: Ι eff = I s I /(I S + I ) όπου I η ροπή αδρανείας του πυρήνα του ασ τέρα και I S η ροπή αδρανείας του κελύφους του ασ τέρα. Για τυπικές τιμές Μ S = 0.1M, Ι eff = 0.5I S = (1/3)M S RS 2. Οπως αποδεικνύεται με βάσ η το ανηγμένο δυναμικό του ενεργού ασ τέρα (μάζας Μ και ακτίνας R) και αγνοώντας όρους παραμόρφωσ ης υψηλότερης τάξης από τους τετραπολικούς, η μεταβολή της περιόδου του διπλού σ υσ τήματος P σ υνδέεται με την μεταβολή της τετραπολικής ροπής Q με τη σ χέσ η ΔP P = 9 ( ) R 2 ΔQ a = 9 ΔQ, όπου α η τροχιακή απόσ τασ η μεταξύ των δύο MR 2 Ma 2 ασ τέρων του σ υσ τήματος. H μεταβολή της σ τροφορμής J που πρέπει να μεταφερθεί από 55

59 1. Εισ αγωγή τα εσ ωτερικά σ τα εξωτερικά σ τρώματα του ενεργού ασ τέρα υπολογίζεται από τη σ χέσ η J = GM ( 2 a ) 2 P R R 6π όπου α η τροχιακή απόσ τασ η μεταξύ των δύο ασ τέρων. Το αρνητικό πρόσ ημο δηλώνει ότι η περίοδος μειώνεται καθώς ο ασ τέρας γίνεται πιο πεπλατυσ μένος. Εχοντας υπολογίσ ει τα σ τοιχεία του σ υσ τήματος και του ενεργού ασ τέρα, για να ισ χύει ο μηχανισ μός Aplegate θα πρέπει Ε Ε. Σύμφωνα με τον Applegate (1992) η αντίσ τοιχη μεταβολή της φωτεινότητας του σ υσ τήματος είναι L = π Ε/P mod όπου P mod η περίοδος της μεταβολής της τροχιακής περιόδου P του σ υσ τήματος και το μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο Β κάτω από την επιφάνεια του ενεργού ασ τέρα Β 2 10(GΜ 2 /R 4 )(α/r) 2 P/P mod το οποίο για τυπικές τιμές P 1d και P mod 50 έτη είναι της τάξης των μερικών kg. Το πλάτος της παρατηρούμενης μεταβολής P της περιόδου P και το πλάτος της ημιτονοειδούς μεταβολής σ ε ένα διάγραμμα Ο-C σ υνδέονται με τη σ χέσ η P/P = 2π(Ο C)/P mod. Σύμφωνα με τη δεύτερη θεωρία, περιοδική μεταβολή της περιόδου ενός σ τενού διπλού σ υσ τήματος μπορεί να προέλθει από την παρουσ ία ενός τρίτου σ ώματος (σ υχνά μη παρατηρήσ ιμου) το οποίο λόγω της βαρυτικής επίδρασ ης σ το σ τενό διπλό σ ύσ τημα ασ τέρων, το οποίο περισ τρέφεται γύρω από το κοινό κέντρο μάζας των τριών σ ωμάτων, οδηγείται σ ε περιοδική μεταβολή της απόσ τασ ής του από τον παρατηρητή και άρα σ ε περιοδική μεταβολή των παρατηρούμενων φωτομετρικών χρόνων ελαχίσ του (Light Time Effect, LITE) (Σχήμα 1.14). Αυτή η θεωρία εισ ήχθη πρώτη φορά από τον Irwin (1959) και προβλέπει ημιτονοειδή μεταβολή των διαφορών O-C. Το πιο ακραίο παράδειγμα της επίδρασ ης ενός τρίτου σ ώματος σ τη μεταβολή της περιόδου ενός διπλού σ υσ τήματος είναι η παύσ η των παρατηρούμενων εκλείψεων όπως σ την περίπτωσ η του SS Lac (Torres & Stefanik 2000, Eggleton & Kiseleva-Eggleton 2001). Το μαθηματικό μοντέλο του LITE περιγράφεται από τον Irwin (1956, 1959) όπου η χρονική διαφορά λόγω της επίδρασ ης του τρίτου σ ώματος τ (= Ο C) σ ε ημέρες, υπολογίζεται από την σ χέσ η: [ A 1 e 2 ] 3 Ο C = sin(υ 1 e ω 3 ) + e 3 sinω 3 (1.50) 3 cos 2 ω e 3 cosυ 3 όπου A το ήμισ υ του πλάτους της καμπύλης του διαγράμματος O-C λόγω LITE, υ 3, e 3, ω 3 η αληθής ανωμαλία, η εκκεντρότητα της τροχιάς και το όρισ μα του περίασ τρου του τρίτου σ ώματος. H σ υνάρτησ η μάζας του τρίτου σ ώματος f(m 3 ) δίνεται (Torres 2010) α 12 sini 3 3 /P 2 3 = (m 3sini 3 ) 3 /(m 1 + m 2 + m 3 ) 2 όπου P 3 η περίοδος του τρίτου σ ώματος. Επειδή η περίοδος του τρίτου σ ώματος μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή, η παρατηρούμενη μεταβολή της περιόδου λόγω LITE μπορεί να παρατηρηθεί σ ε οποιαδήποτε χρονική κλίμακα. Αν και η σ υγκέντρωσ η των χρόνων ελαχίσ των από τη βιβλιογραφία και τις βάσ εις δεδομένων είναι υπόθεσ η ρουτίνας, η κατασ κευή ενός O-C διαγράμματος με αυσ τηρά ημιτονοειδή μορφή δεν είναι εύκολη υπόθεσ η. Μια ανακεφαλαίωσ η του θέματος μαζί με τα κυριότερα προβλήματα σ υνοψίζεται από τους Nelson et al. (2014). Μεταφορά μάζας ή απώλεια μάζας μεταξύ των ασ τέρων μελών ενός διπλού σ υσ τήματος μπορεί να προκαλέσ ει αύξησ η ή ελάττωσ η της περιόδου του αλλά δεν ερμηνεύει την περιοδική μεταβολή της περιόδου. Σύμφωνα με τους Biermann & Hall (1973) σ τα σ υσ τήματα Algol, σ την περίπτωσ η μεταφοράς μάζας, με διατήρησ η της σ τροφορμής και χωρίς απώλεια μάζας, 56

60 1. Εισ αγωγή Σχήμα 1.14.: Ενα τρίτο σ ώμα (μαύρος κύκλος) σ ε τροχιά γύρω από ένα σ τενό διπλό σ ύσ τημcα (μπλέ και κόκκινοι κύκλοι) προκαλεί περιοδική μεταβολή της παρατηρούμενης περιόδου του σ υσ τήματος από τη Γη. Καθώς το διπλό σ ύσ τημα κινείται γύρω από το κέντρο μάζας του σ υσ τήματος των τριών σ ωμάτων (πράσ ινο σ ημείο), κινείται λίγο μακρύτερα ή πλησ ιέσ τερα σ τον παρατηρητή, με αποτέλεσ μα το εκπεμπόμενο φως του να έχει να διανύσ ει μεγαλύτερη η μικρότερη απόσ τασ η κι άρα οι εκλείψεις του να παρατηρουνται αργότερα ή νωρίτερα από τις προβλεπόμενες, απουσ ία του τρίτου σ ώματος. οι ξαφνικές εκροές μάζας από το έναν ασ τέρα σ τον άλλο, κατά τις οποίες αποθηκεύεται παροδικά σ τροφορμή σ την περισ τροφή του θερμού ασ τέρα ο οποίος αυξάνει τη μάζα του, μπορεί να προκαλέσ ουν περιοδική μεταβολή της περιόδου. (Τα επεισ όδια μεταφοράς μάζας οδηγούν σ ε ταχεία μείωσ η της περιόδου η οποία σ ταδιακά αυξάνει καθώς οι παλιρροιογόνες δυνάμεις ξαναδίνουν πίσ ω τη σ τροφορμή σ το σ ύσ τημα). Μεταγενέσ τερες μελέτες όμως, απέτυχαν να επιβεβαιώσ ουν το παραπάνω σ υμπέρασ μα με αποτέλεσ μα από το 1991, επικρατέσ τερο για τις παρατηρούμενες περιοδικές μεταβολές της περιόδου, θεωρήθηκε το μοντέλο του μαγνητικού κύκλου των ασ τέρων-μελών. Η διαφοροποίησ η επήλθε με την παρατήρησ η περιοδικών μεταβολών σ τα RS CVn σ υσ τήματα τα οποία είναι αποχωρισ μένα κι άρα δεν υπάρχει θέμα υπερχείλισ ης του λοβού Roche ώσ τε να καθίσ ταται ικανή η μεταφορά μάζας. Σύμφωνα με τον Hall (1989) σ υσ τήματα Algol σ τα οποία παρατηρούνται αυξομειώσ εις περίοδου, περιέχουν ασ τέρα μεταγενέσ τερου φασ ματικού τύπου από F5 κι άρα χαρακτηρίζονται από ενεργό μαγνητικό κύκλο όπως τα RS CVn. 57

61 Βιβλιογραφία [Andersen(1991)] Andersen, J. 1991, A&A Rev., 3, 91 [Applegate(1992)] Applegate, J. H. 1992, ApJ, 385, 621 [Biermann & Hall(1973)] Biermann, P., & Hall, D. S. 1973, A&A, 27, 249 [Bradstreet & Steelman(2002)] Bradstreet, D. H., & Steelman, D. P. 2002, Bulletin of the American Astronomical Society, 34, 1224 [Carroll & Ostlie(2006)] Carroll, B. W., & Ostlie, D. A. 2006, Institute for Mathematics and Its Applications, [Diaz-Cordoves & Gimenez(1992)] Diaz-Cordoves, J., & Gimenez, A. 1992, A&A, 259, 227 [Eggleton(1983)] Eggleton, P. P. 1983, ApJ, 268, 368 [Eggleton & Kiseleva-Eggleton(2001)] Eggleton, P. P., & Kiseleva-Eggleton, L. 2001, ApJ, 562, 1012 [Guinan(2004)] Guinan, E. F. 2004, New A Rev., 48, 647 [Hadrava(1986)] Hadrava, P. 1986, Hvar Observatory Bulletin, 10, 1 [Hall(1989)] Hall, D. S. 1989, BAAS, 21, 1116 [Hilditch(2001)] Hilditch, R. W. 2001, An Introduction to Close Binary Stars, by R. W. Hilditch, pp ISBN Cambridge, UK: Cambridge University Press, March 2001., [Hut(1981)] Hut, P. 1981, A&A, 99, 126 [Irwin(1952)] Irwin, J. B. 1952, ApJ, 116, 211 [Irwin(1952)] Irwin, J. B. 1952, ApJ, 116, 218 [Irwin(1959)] Irwin, J. B. 1959, AJ, 64, 149 [Kallrath & Milone(2009)] Kallrath, J., & Milone, E. F. 2009, Eclipsing Binary Stars: Modeling and Analysis: Astronomy and Astrophysics Library. ISBN Springer-Verlag New York, 2009, 58

62 Βιβλιογραφία [Kippenhahn & Weigert(1990)] Kippenhahn, R., & Weigert, A. 1990, Stellar Structure and Evolution, XVI, 468 pp. 192 figs.. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York. Also Astronomy and Astrophysics Library, Kippenhahn, R. & Weigert, A.: 1989, Stellar Structure and Evolution, Springer, Berlin, Germany??? [Klinglesmith & Sobieski(1970)] Klinglesmith, D. A., & Sobieski, S. 1970, AJ, 75, 175 [Kurucz(1979)] Kurucz, R. L. 1979, ApJS, 40, 1 [Lanza et al.(1998)] Lanza, A. F., Rodono, M., & Rosner, R. 1998, MNRAS, 296, 893 [Limber(1963)] Limber, D. N. 1963, ApJ, 138, 1112 [Littlefair et al.(2008)] Littlefair, S. P., Dhillon, V. S., Marsh, T. R., et al. 2008, MNRAS, 388, 1582 [Lucy(1976)] Lucy, L. B. 1976, ApJ, 205, 208 [Lucy(1967)] Lucy, L. B. 1967, ZAp, 65, 89 [Maceroni(2006)] Maceroni, C. 2006, Astrophysics of Variable Stars, 349, 41 [Nelson et al.(2014)] Nelson, R. H., Terrell, D., & Milone, E. F. 2014, New A Rev., 59, 1 [Prša & Zwitter(2005)] Prša, A., & Zwitter, T. 2005, ApJ, 628, 426 [Plavec, M. J. (1958)] Plavec, M. J.: 1958, Dynamical Instability of the Components of Close Binary Systems, Mem. Soc. Roy. Sci. Liege 20, 411?420 [Rüdiger(2002)] Rüdiger, G. 2002, The Physics of Cataclysmic Variables and Related Objects, 261, 317 [Savoury et al.(2011)] Savoury, C. D. J., Littlefair, S. P., Dhillon, V. S., et al. 2011, MNRAS, 415, 2025 [Southworth & Clausen(2007)] Southworth, J., & Clausen, J. V. 2007, A&A, 461, 1077 [Southworth et al.(2005)] Southworth, J., Smalley, B., Maxted, P. F. L., Claret, A., & Etzel, P. B. 2005, MNRAS, 363, 529 [Terrell & Nelson (2014)] Terrell, D., & Nelson, R. H. 2014, ApJ, 783, 35 [Torres et al.(2010)] Torres, G., Andersen, J., & Giménez, A. 2010, A&A Rev., 18, 67 [Torres & Stefanik(2000)] Torres, G., & Stefanik, R. P. 2000, AJ, 119, 1914 [Turon (1998)] Turon C., 1998, in Bedding T. R., Booth A. J., Davis J., eds., IAU Symp. 189, Fundamental Stellar Properties: The Interaction between Observation and Theory, Kluwer, Dordrecht, 9. 59

63 Βιβλιογραφία [van Hamme & Cohen(2008)] van Hamme, W., & Cohen, R. E. 2008, Astrophysics and Space Science Library, 352, 215 [van Hamme(1993)] van Hamme, W. 1993, AJ, 106, 2096 [von Zeipel(1924)] von Zeipel, H. 1924, MNRAS, 84, 702 [von Zeipel(1924)] von Zeipel, H. 1924, MNRAS, 84, 665 [Wilson(1979)] Wilson, R. E. 1979, ApJ, 234, 1054 [Wilson(1990)] Wilson, R. E. 1990, ApJ, 356,

64 2. Ασ τρονομικές Παρατηρήσ εις Σε αυτό το κεφάλαιο περιγράφονται τα όργανα διεξαγωγής των φωτομετρικών παρατηρήσ εων και σ κιαγραφούνται οι τεχνικές παρατήρησ ης και ανάλυσ ης των φωτομετρικών δεδομένων των W UMa ασ τρικών σ υσ τημάτων. Επίσ ης περιγράφεται η διαδικασ ία αυτοματοποιημένης επεξεργασ ίας των δεδομένων (pipeline) Οργανα παρατήρησ ης Οι παρατηρήσ εις της παρούσ ας διατριβής έγιναν με το τηλεσ κόπιο του Ασ τεροσ κοπείου Μυθωδία του Εργασ τηρίου Ασ τρονομίας του Παν/μίου Πατρών και το τηλεσ κόπιο Αρίσ ταρχος του Ασ τεροσ κοπείου Χελμός του Ινσ τιτούτου Ασ τρονομίας, Ασ τροφυσ ικής, Διασ τημικών Εφαρμογών & Τηλεπισ κόπησ ης (ΙΑΑΔΕΤ) του Εθνικού Ασ τεροσ κοπείου Αθηνών, με τις αντίσ τοιχες CCD κάμερες. Τα χαρακτηρισ τικά των οργάνων παρατήρησ ης (τηλεσ κοπίων και των ανιχνευτών CCD) παρουσ ιάζονται σ τον Πίνακα 2.1 Ο κύριος όγκος των παρατηρήσ εων της παρούσ ας διατριβής πραγματοποιήθηκε σ το Ασ τεροσ κοπείο Μυθωδία. Αναλυτικά οι νύχτες παρατήρησ ης κατά τα έτη φαίνονται σ τα διαγράμματα των Σχημάτων 2.1 και 2.2. Συνολικά αναφέρονται, όχι μόνο σ τα δεδομένα που αναλύονται σ την παρούσ α διατριβή αλλά και σ ε άλλα, μικρής περιόδου, σ υσ τήματα W UMa που έχουν σ υμπεριληφθεί σ το πρόγραμμα που ξεκινησ ε το 2010 τα οποία βρίσ κονται υπό ανάλυσ η. Επιπλέον οι παρατηρήσ εις αφορούν και τη σ υμμετοχή του Ασ τεροσ κοπείου Μυθωδία σ το πρόγραμμα DWARF 3 το οποίο περιγράφεται σ την εργασ ία The DWARF project: Eclipsing binaries - precise clocks to discover exoplanets T. Pribulla,...Papageorgiou...et al Για το τελευταίο πρόγραμμα πραγματοποιήθηκαν παρατηρήσ εις και με το τηλεσ κόπιο των 1.23 m του Ασ τεροσ κοπείου του Κρυονερίου. 3 Table 2.1.: Οργανα παρατήρησ ης (τηλεσ κόπια και ανιχνευτές) Τηλεσ κόπιο Τύπος τηλεσ κοπίου D (cm) f/ CCD Διάταξη 1x1 FΟV Celestron Schmidt-Cassegrain 35.5 /6.3 ST-10XME CCD x μm Αρίσ ταρχος Ritchey-Chretien 228 /8 LN-CCD Princeton Instruments VersArray 1024B 2 pixel size (0.57") 1024x micron pixel size (0.28") (arcmin) 21 x 14 5 x 5 61

65 2. Ασ τρονομικές Παρατηρήσ εις Σχήμα 2.1.: Νύχτες παρατήρησ ης ανά μήνα (πάνω αρισ τερά) και αθροισ τικά σ ε κάθε μήνα (πάνω δεξιά) κατά την περίοδο Το 80% των παρατηρήσ εων πραγματοποιήθηκαν κατά την περίοδο της παρούσ ας διατριβής ( ) σ το Ασ τεροσ κοπείο Μυθωδία, σ το Ασ τεροσ κοπείο του Χελμού και σ το Ασ τεροσ κοπείο του Κρυονερίου (κάτω). 62

66 2. Ασ τρονομικές Παρατηρήσ εις Σχήμα 2.2.: Νύχτες παρατήρησ ης ανά μήνα (πάνω αρισ τερά) και αθροισ τικά σ ε καθε μήνα (πάνω δεξιά) κατά την περίοδο Το 92% των παρατηρήσ εων πραγματοποιήθηκαν σ το Ασ τεροσ κοπείο Μυθωδία, το 7.9% σ το Ασ τεροσ κοπείο του Χελμού και το 3.6% σ το Ασ τεροσ κοπείο του Κρυονερίου (κάτω). 63

67 2. Ασ τρονομικές Παρατηρήσ εις Σχήμα 2.3.: Σχηματική αναπαράσ τασ η ανιχνευτή CCD 2.2. Φωτομετρία με CCD Η φωτομετρία είναι μία τεχνική μέτρησ ης της λαμπρότητας (ροής) ενός αντικειμένου σ ε μία εικόνα, η οποία καταγράφεται σ τη διάταξη ενός ανιχνευτή σ υζευγμένου φορτίου CCD (charge-coupled device). Κάθε εικονοσ τοιχείο (pixel) σ ε ένα CCD καταγράφει ένα σ υγκεκριμένο αριθμό φωτονίων τα οποία προσ πίπτουν πάνω του κατά τη διάρκεια της έκθεσ ης (Σχήμα 2.3). Αυτός ο αριθμός των φωτονίων μετατρέπεται σ ε αριθμό φωτοηλεκτρονίων βάσ η του φωτοηλεκτρικού φαινομένου-τα οποία αποθηκεύονται σ την CCD μέχρι να αναγνωσ τούν. Λόγω της γραμμικότητας της κάμερας CCD όσ ο περισ σ ότερα φωτόνια προσ πέσ ουν σ ε ένα εικονοσ τοιχείο, τόσ α περισ σ ότερα ηλεκτρόνια θα αποθηκευτούν σ ε αυτό. Η διακίνησ η των ηλεκτρονίων επιτυγχάνεται με τη σ υσ τηματική αλλαγή της τάσ ης σ τις πύλες κάθε εικονοσ τοιχείο που επιτρέπουν το εικονοσ τοιχείο να δρα ως πηγάδι δυναμικού και να παγιδεύει τα ηλεκτρόνια μέχρι να τελειώσ ει η έκθεσ η και σ τη σ υνέχεια να τα κινεί. Είναι ακριβως αυτή η σ ύζευξη φορτίου που δίνει σ ε έναν ανιχνευτή CCD το όνομά του. Κάθε αναλογικό φορτίο ψηφιοποιείται σ ύμφωνα με την απόδοσ η (gain) της CCD δηλαδή ανάλογα με τον αριθμό των ηλεκτρονίων που χρειάζονται για να παράξουν μία τυχαία μονάδα που ονομάζεται analog to-digital unit (ADU). Αυτό σ ημαίνει ότι οι απαριθμήσ εις των φωτοηλεκτρονίων σ ε κάθε εικονοσ τοιχείο εικόνας είναι σ ε ADUs. Οι CCD κάμερες, εισ άγουν διάφορα σ φάλματα σ τις πρωτότυπες ακατέργασ τες εικόνες (raw images), τα οποία πρέπει να διορθωθούν πριν τα δεδομένα χρησ ιμοποιηθούν σ τη φωτομετρία. Αυτά σ κιαγραφούνται ως εξής: Αφαίρεσ η bias 64

68 2. Ασ τρονομικές Παρατηρήσ εις Επειδή η μετατροπή από αναλογικό σ ε ψηφιακό σ ήμα εισ άγει μια μικρή σ τατισ τική διακύμανσ η σ τις καταγραφόμενες τιμές, ακόμα και σ την περίπτωσ η μηδενικής έκθεσ ης, αντί της μηδενικής τιμής των φωτοηλεκτρονίων θα αναγνωσ τεί μία μέσ η τιμή με μία διασ πορά γύρω από το μηδέν. Αυτή η απόκλισ η από τη μηδενική τιμή της CCD ονομάζεται επίπεδο bias και υπολογίζεται με λήψη «εικόνων bias» (εικόνων μηδενικού χρόνου έκθεσ ης) οι οποίες λαμβάνονται πριν (ή/και μετά) τις εικόνες των δεδομένων. Η μέσ η εικόνα bias η οποία κατασ κευάζεται από τον σ υνδυασ μό των επιμέρους εικόνων bias (ώσ τε να μειωθεί ο σ τατισ τικός θόρυβος) αφαιρείται από τις εικόνες δεδομένων, ώσ τε αυτές να μην περιέχουν επιπλέον ADUs. Αφαίρεσ η ρεύματος σ κότους Σε έναν ανιχνευτή CCD, τα ηλεκτρόνια μπορούν κατά καιρούς να κερδίζουν θερμική ενέργεια ώσ τε να μεταπηδούν από τη ζώνη σ θένους σ τη ζώνη αγωγιμότητας χωρίς την επίδρασ η ενός φωτονίου. Αυτό το επιπλέον σ ήμα λέγεται ρεύμα σ κότους και αποτελεί σ ημαντική πηγή θορύβου, ιδιαίτερα για εκθέσ εις μεγάλου χρόνου. Το ρεύμα σ κότους περιορίζεται με ψύξη της CCD. O υπολογισ μός του γίνεται με λήψη «εικόνων σ κότους» (δηλαδή με το διάφραγμα της κάμερας κλεισ τό) μεγάλου χρόνου έκθεσ ης (dark frames). Επειδή το ρεύμα σ κότους είναι ανάλογο του χρόνου έκθεσ ης, οι εικόνες σ κότους ανάγονται σ το χρόνο έκθεσ ης των δεδομένων ώσ τε να αντιπροσ ωπεύουν τον αριθμό των θερμικών ηλεκτρονίων σ τα δεδομένα. Η μέσ η εικόνα dark η οποία κατασ κευάζεται από τις επιμέρους εικόνες dark (ώσ τε να μειωθεί ο σ τατισ τικός θόρυβος) αφαιρείται από τις εικόνες των δεδομένων. Επιπεδοποίησ η πεδίου Επειδή κάθε εικονοσ τοιχείο του ανιχνευτή έχει διαφορετική απόδοσ η σ τα προσ πίπτοντα φωτόνια, το CCD chip παρουσ ιάζει διαφορετική χωρική σ υμπεριφορά. Προκειμένου να διορθωθεί, λαμβάνονται εικόνες ισ οφωτισ μένων πεδίων (Flat fields) του ουρανού, λίγο μετά τη δύσ η ή λίγο πριν την ανατολή (όταν ο ουρανός είναι υποφωτισ μένος) με το τηλεσ κόπιο να μετακινείται ελαφρά μεταξύ των λήψεων ώσ τε να μην παραμένουν ασ τέρες σ το ίδιο τμήμα του chip. Η μέσ η εικόνα (median) ισ οφωτισ μένου πεδίου η οποία κατασ κευάζεται από τις επιμέρους εικόνες, κανονικοποιείται σ τη μονάδα και χρησ ιμοποιείται για τη διαίρεσ η όλων των εικόνων των δεδομένων. Η διαδικασ ία γίνεται σ ε κάθε φίλτρο ξεχωρισ τά. Φωτομετρία Η μέτρησ η της ροής ενός ασ τέρα μπορεί να γίνει χωρίς τη χρήσ η φίλτρου («λευκό φως») όταν όλο το φως από τον ασ τέρα προσ πίπτει σ τον ανιχνευτή και όπως γίνεται σ υνήθως με τη χρήσ η φίλτρων τα οποία απομονώνουν μία σ υγκεκριμένη φασ ματική περιοχή. Τα φίλτρα που χρησ ιμοποιήθηκαν σ τις CCD κάμερες των δύο τηλεσ κοπίων ήταν Johnsons-Cousins BVRcIc για το Ασ τεροσ κοπείο Μυθωδία και μεγαλύτερου πλάτους για το Ασ τεροσ κοπείο Χελμός 4. Σε μία εικόνα CCD, το είδωλο κάθε ασ τέρα κατανέμεται σ ε μερικά εικονοσ τοιχεία σ ύμφωνα με την σ υνάρτησ η κατανομής της σ ημειακής πηγής (PSF), η δισ διάσ τατη κατατομή της οποίας σ υνήθως προσ εγγίζεται από μία καμπύλη Gauss (Σχήμα 2.4). Τότε η ακτίνα του ειδώλου του ασ τέρα προσ εγγίζεται από το σ της κατανομής Gauss ή από το FWHM που παρισ τάνει τη διάμετρο του ασ τρικού ειδώλου σ το σ ημείο όπου η έντασ η έχει το ήμισ υ της μέγισ της τιμής της. Για ασ τέρες που η κατανομή της έντασ ής του προσ εγγίζεται με καμπύλη Gauss ισ χύει FWHM=2.37 σ

69 2. Ασ τρονομικές Παρατηρήσ εις Σχήμα 2.4.: Δισ διάσ τατη αναπαράσ τασ η της κατατομής της λαμπρότητας ενός ασ τέρα με καμπύλη Gauss σ ε σ χέσ η με το FWHM 66

70 2. Ασ τρονομικές Παρατηρήσ εις Προκειμένου να φωτομετρηθεί ένας ασ τέρας, εφαρμόζεται η τεχνική της φωτομετρίας διαφράγματος σ ύμφωνα με την οποία ορίζουμε ένα κύκλο (aperture, διάφραγμα) γύρω του, ο οποίος καταλαμβάνει μερικά εικονοσ τοιχεία και χρησ ιμοποιώντας το κατάλληλο λογισ μικό (AIP4Win, IRAF) υπολογίζεται ο αριθμός των ηλεκτρονίων (απαριθμήσ εων) σ ε κάθε εικονοσ τοιχείο που περιέχεται σ τον κύκλο (Σχήμα 2.5). Η ακτίνα του κύκλου που επιλέγεται βασ ίζεται σ το πλάτος σ το ήμισ υ της έντασ ης (FWHM) της καμπύλης του Σχήματος 2.4 επί ένα παράγοντα ο οποίος παράγει το μεγαλύτερο λόγο σ ήματος πρός θόρυβο (SNR). Επειδή σ ε όλη την εικόνα υπάρχει ένα υπόβαθρο λαμπρότητας ή θορύβου από τον ουρανό B, δεν μπορούν ποτέ να μετρηθούν μόνο τα ηλεκτρόνια (απαριθμήσ εις σ ε ADU) C τα οποία περιέχονται μέσ α σ τον κύκλο του ασ τέρα αλλά μετράται η ποσ ότητα C ap = C + n ap B, όπου n ap είναι το άθροισ μα των εικονοσ τοιχείων σ τον κύκλο φωτομετρίας του ασ τέρα. Το παρατηρησ ιακό φαινόμενο μέγεθος (instrumental magnitude) τότε του ασ τέρα υπολογίζεται από τη σ χέσ η (2.1) m = 2.5log ((C ap n ap B) /t) + Z (2.1) όπου Ζ (instrumental zero point) και t o χρόνος έκθεσ ης. Η διαδικασ ία αφαίρεσ ης θορύβου από το υπόβαθρο του ουρανού ονομάζεται αφαίρεσ η- υποβάθρου ουρανού. Μία σ υνήθης τεχνική αφαίρεσ ης του ουρανού είναι η δημιουργία ενός δακτυλίου έξω από τον κύκλο του μετρούμενου ασ τέρα (Σχήμα 2.5) με την υπόθεσ η ότι ο ουρανός γύρω και πίσ ω από τον ασ τέρα έχει την ίδια λαμπρότητα με τον ουρανό που περιέχεται σ το δακτύλιο γύρω από τον ασ τερα. Τότε ανάγοντας τις απαριθμήσ εις του ουρανού C ann που περιέχονται σ ε δακτύλιο που περιλμβάνει n ann εικονοσ τοιχείων, σ το σ υνολικό αριθμό των εικονοσ τοιχείων του ασ τέρα n ap, η σ χέσ η (2.1) γράφεται: m = 2.5log ((C ap C ann (n ap /n ann ) /t) + Z (2.2) Για την κατάλληλη επιλογή των ακτίνων φωτομετρίας ασ τέρα και δακτυλίου θα πρέπει να σ ημειωθεί ότι το σ ήμα αυξάνει με το n ap και ο θόρυβος αυξάνει με το n ap και μειώνεται με το n ann. Ο τελικός λόγος σ ήματος/θόρυβο (SNR) από όλες τις πηγές θορύβου θα είναι SNR = S star S star + n ap (1 + n ap /n an )(gc sky + gc dark + σ 2 ron + g 2 σ 2 quan) (2.3) όπου g, η απόδοσ η του CCD (e/adu) S star, το σ ήμα απο τον ασ τέρα (ADU) C sky, το υπόβαθρο του ουρανού (ADU) C dark, το ρεύμα σ κότους που προσ τίθεται σ ε κάθε εικονοσ τοιχείο (ADU) σ ron, ο χρόνος ανάγνωσ ης που προσ τίθεται σ ε κάθε εικονοσ τοιχείο (σ ε e r.m.s) σ quant, θόρυβος ψηφιοποίησ ης (ADU), σ υνήθως =0.29 Η μετατροπή του SNR σ ε σ φάλμα του μεγέθους του ασ τέρα m ± σ m θα είναι σ m = /SNR (2.4) 67

71 2. Ασ τρονομικές Παρατηρήσ εις Σχήμα 2.5.: Προσ διορισ μός της λαμπρότητας ενός ασ τέρα με βάσ η τον κύκλο φωτομετρίας του και το δακτύλιο που καθορίζει τη λαμπρότητα του ουρανού Διαφορική φωτομετρία Με τη χρήσ η φωτομετρίας διαφράγματος σ ε έναν μεταβλητό ασ τέρα σ ε μία χρονική σ ειρά εικόνων μπορεί να κατασ κευασ τεί η καμπύλη φωτός του, δηλαδή η μεταβολή της ροής του ασ τέρας σ ε σ χέσ η με το χρόνο. Επειδή όμως οι μεταβολές σ τις ατμοσ φαιρικές σ υνθήκες μπορεί να επηρεάσ ουν τη μορφή της καμπύλης φωτός, χρησ ιμοποιείται η τεχνική της διαφορικής φωτομετρίας σ την οποία υπολογίζεται η ροή ενός άλλου γειτονικού (σ το ίδιο πεδίο της CCD) ασ τέρα μη μεταβλητού, ο οποίος ονομάζεται ασ τέρας σ ύγκρισ ης. Διαιρώντας τον αριθμό απαριθμήσ εων του μεταβλητού ασ τέρα με τις απαριθμήσ εις του ασ τέρα σ ύγκρισ ης διατηρείται η μορφή της εγγενούς μεταβλητότητας του μεταβλητού αλλά απαλείφονται οι μεταβολές της ατμόσ φαιρας. Επειδή η ερυθρή (και υπέρυθρη ακτινοβολία) παρουσ ιάζουν μεγάλη διαφορά σ την απόσ βεσ η από τη γήινη ατμόσ φαιρα σ ε σ χέσ η με τα άλλα μήκη κύματος σ τα οποία γίνονται οι παρατηρήσ εις (Β, V), o ασ τέρας σ υγκρίσ εως θα πρέπει να είναι παρόμοιου φασ ματικού τυπου (χρώματος) και φαινόμενου μεγέθους. Επιπλέον, θα πρέπει να μην λαμβάνεται κοντά σ τα άκρα του πεδίου και φυσ ικά να μην είναι ο ίδιος μεταβλητός ασ τέρας σ τη χρονική κλίμακα του υπό παρατήρησ η μεταβλητού. Για να διασ φαλισ τεί η τελευταία σ υνθήκη, η διαδικασ ία επαναλαμβάνεται με έναν τρίτο μη-μεταβλητό ασ τέρα, ο οποίος χρησ ιμεύει ως ασ τέρας ελέγχου της μη μεταβλητότητας του ασ τέρα σ ύγκρισ ης. Στη διαφορική φωτομετρία υπολογίζεται η διαφορά ροών του μεταβλητού ασ τέρα (V) και του ασ τέρα σ υγκρίσ εως (C) και μετατρέπεται σ ε διαφορά μεγεθών, οπότε η σ ταθερά Ζ (εξίσ ωσ η 2.2) απαλείφεται V C = m V m C (2.5) H σ χετική μεταβολή της λαμπρότητας του μελετούμενου μεταβλητού ασ τέρα δίνεται από την γραφική παράσ τασ η της διαφοράς των μεγεθών m της εξίσ ωσ ης (2.5) ως προς το χρόνο, εκφρασ μένο σ ε Ηλιοκεντρική Ιουλιανή Ημερομηνία (HJD) η οποία ανάγει το χρόνο παρατήρησ ης σ ε ηλιοκεντρικό σ ύσ τημα λαμβάνοντας υπόψιν την περιφορά της Γης γύρω από 68

72 2. Ασ τρονομικές Παρατηρήσ εις τον Ηλιο Αυτοματοποιημένη Επεξεργασ ία και Ανάλυσ η Παρατηρησ ιακών Δεδομένων Προκειμένου να αυτοματοποιηθεί η διαδικασ ία επεξεργασ ίας και ανάλυσ ης των παρατηρησ ιακών δεδομένων αναπτύχθηκαν scripts που κάνουν χρήσ η διεθνών ασ τρονομικών πακέτων. H γενικότερη διαδικασ ία (pipeline, Σχήμα 2.6) που ακολουθήθηκε για την επεξεργασ ία και την ανάλυσ η των δεδομένων μέσ α από λογισ μικά πακέτα IRAF 5, Astrometry.net 6 περιγράφεται ως εξής: A) Τα ακατέργασ τα παρατηρησ ιακά δεδομένα (εικόνες CCD) καθως και τα δεδομένα βαθμονόμισ ης (εικόνες bias, dark και flat) εισ έρχονται σ το πρώτο επίπεδο επεξεργασ ίας όπου Γίνεται ο διαχωρισ μός των δεδομένων ανά φίλτρο και δημιουργούνται τα αρχεία masterbias, masterflat, masterdark (IRAF:ccdred) για την βαθμονόμησ η των παρατηρησ ιακών δεδομένων Αφαιρείται ο ηλεκτρονικός θόρυβος υποβάθρου (bias) Αφαιρείται το ρεύμα σ κότους (dark current) 7 Πραγματοποιείται η επιπεδοποίησ η του πεδίου των παρατηρησ ιακών δεδομένων (flatfielding) Μετατρέπεται ο χρόνος σ ε Ιουλιανή ημερομηνία και τελικά γίνεται η Ηλιοκεντρική διόρθωσ η χρόνου σ ε καθε εικόνα (IRAF:setjd). B) Τα επεξεργασ μένα δεδομένα εισ έρχονται σ το δεύτερο επίπεδο επεξεργασ ίας όπου θα γίνει ασ τρομετρία σ τις επεξεργασ μένες εικόνες (Astrometry.net:solve-field). Δηλαδή, η μετατροπή του σ υσ τήματος σ υντεταγμένων των εικονοσ τοιχείων (x, y) σ ε ουρανογραφικές σ υντεταγμένες (RA, Dec, J2000). Γ) Οι επεξεργασ μένες εικόνες, μετα την διαδικασ ία της ασ τρομετρίας εισ έρχονται σ το τρίτο επίπεδο όπου γίνεται η φωτομετρία (IRAF:PHOT) για διαφορετικές ακτίνες διαφράγματος. Η κάθε εικόνα έχοντας το ουρανογραφικό πλέγμα σ υντεταγμένων μπορεί να φωτομετρηθεί για δεδομένες σ υντεταγμένες των ασ τέρων που επιθυμείται. Δ) Τέλος, η ροή δεδομένων μέσ ω της αυτοματοποιημένης επεξεργασ ίας και ανάλυσ ης τερματίζεται με την εξαγωγή των αρχείων φωτομετρίας, τις τελικές επεξεργασ μένες Σε περίπτωσ η που τα δεδομένα προέρχονται από ανιχνευτές CCD που ψύχονται με υγρό άζωτο σ ε πολύ χαμηλες θερμοκρασ ίες ( -100 ο C) το ρεύμα σ κότους είναι αμελητέο και ως εκ τούτου η διαδικασ ία αφαίρεσ ης του ρεύματος σ κότους παραλείπεται. 69

73 2. Ασ τρονομικές Παρατηρήσ εις Σχήμα 2.6.: Γραφική αναπαράσ τασ η της ροής δεδομένων εικόνες όπου και εντοπίζονται οι ασ τέρες που φωτομετρήθηκαν για οπτική επισ κόπησ η καθώς δίνεται και η σ τατισ τική των φωτομετρικών αποτελεσ μάτων σ τους ασ τέρες ώσ τε να γίνει η βέλτισ τη επιλογή ασ τέρων σ υκρίσ εως και ελέγχου. 70

74 3. Τεχνικές μοντελοποίησ ης και προγράμματα ανάλυσ ης Σε αυτό το κεφάλαιο περιγράφονται όλες οι τεχνικές που χρησ ιμοποιήθηκαν σ την μοντελοποίησ η των W UMa ασ τρικών σ υσ τημάτων από παρατηρησ ιακά δεδομένα και τα προγράμματα που αναπτύχθηκαν για τον προσ διορισ μό των παραμέτρων τους και των λαθών τους με σ κοπό την εύρεσ η της μοναδικής λύσ ης σ το χώρο των παραμέτρων Μοντελοποίησ η καμπυλών φωτός και λύσ η του αντίσ τροφο προβλήματος. Η εύρεσ η των παραμέτρων ενός διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος ασ τέρων εδράζεται σ την λύσ η του αντίσ τροφου προβλήματος όπως διατυπώθηκε παραπάνω. Δηλαδή, σ την εύρεσ η, με βάσ η τις καμπύλες φωτός των φωτομετρικών παρατηρήσ εων σ ε δεδομένη φασ ματική περιοχή, της σ υνθετικής καμπύλης (και επομένως των παραμέτρων του διπλού σ υσ τήματος ασ τέρων που τη σ υνθέτουν) η οποία να περιγράφει τα παρατηρησ ιακά δεδομένα. Η λύσ η του αντίσ τροφου προβλήματος σ υνίσ ταται σ την ελαχισ τοποίησ η της διαφοράς μεταξύ των παρατηρησ ιακών δεδομένων και των δεδομένων των σ υνθετικών καμπυλών φωτός και εκφράζεται ως: N p χ 2 p = i=1 w p w i ( Fpobs F psyn ) 2 (3.1) όπου F psyn η σ υνθετική ροή ακτινοβολίας σ ε δεδομένη φασ ματική περιοχή, F pobs η ροή ακτινοβολίας που προκύπτει από τα παρατηρησ ιακά δεδομένα σ την ίδια φασ ματική περιοχή, w i τον παράγοντα σ τάθμισ ης των παρατηρησ ιακών σ ημείων Ν p, w p = 1 τον παράγοντα σp 2 σ τάθμισ ης του κάθε φίλτρου ώσ τε να σ ταθμισ τούν οι παρατηρήσ εις λόγω διαφορετικής ακρίβειας ή αριθμού σ ημείων σ την κάθε φασ ματική περιοχή του φίλτρου. Η ελαχισ τοποίησ η της ποσ ότητας χ 2 μπορεί να γίνει με διάφορες τεχνικές όπως τη μέθοδο προσ αρμογής καμπύλης ελαχίσ των τετραγώνων ή σ τοχασ τικές διαδικασ ίες. Οι τεχνικές επίλυσ ης χωρίζονται σ ε αυτές που προϋποθέτουν τον υπολογισ μό παραγώγων της ποσ ότητας χ 2 και σ ε αυτές που δεν χρειάζονται την εύρεσ η παραγώγων. Ο χώρος των λύσ εων ενός τέτοιου μη-γραμμικού προβλήματος εμπεριέχει τοπικά ελάχισ τα ή/και ευρείες κοιλάδες που κάνουν την εύρεσ η του ολικού ελαχίσ του (δηλαδή την πραγματική λύσ η) ένα εξαιρετικά δύσ κολο εγχείρημα. Οι πηγές που δημιουργούν τις εν λόγω παραμορφώσ εις του χώρου των λύσ εων οφείλονται κυρίως : 71

75 3. Τεχνικές μοντελοποίησ ης και προγράμματα ανάλυσ ης 1. σ τη σ υσ χέτισ η των παραμέτρων του σ υσ τήματος (π.χ βαρυτικό δυναμικό Ω και κλίσ η i του σ υσ τήματος ως προς την ευθεία οράσ εως) 2. σ την έλλειψη παρατηρησ ιακών δεδομένων σ ε όλες τις φασ ματικές περιοχές 3. σ τη χαμηλή ακρίβεια των παρατηρησ ιακών δεδομένων 4. σ την ελλιπή γνώσ η των τιμών παραμέτρων που επιδρούν άμεσ α σ την μορφολογία της καμπύλης (π.χ λόγος των μαζών q = m 2 m1, λόγω έλλειψης φασ ματοσ κοπικών παρατηρήσ εων) 5. σ τις δυσ κολίες εκτίμησ ης των παραμέτρων λόγω ιδιαιτερότητας του σ υσ τήματος ασ τέρων (λ.χ χαμηλή κλίσ η του σ υσ τήματος ως προς την ευθεία οράσ εως, εμφάνισ η κηλίδων λόγω φωτοσ φαιρικής δρασ τηριότητας ή πρόσ πτωσ ης μάζας από τον σ υνοδό ασ τέρα) 3.2. Μέθοδοι ελαχισ τοποίησ ης της σ υνάρτησ ης χ 2 και εκτίμησ η της αβεβαιότητας των παραμέτρων Διαφορικές διορθώσ εις (Differential Corrections, DC) Η μέθοδος των διαφορικών διορθώσ εων προτάθηκε πρώτα από τον Euler (1755) και εφαρμόσ τηκε σ τους διπλούς εκλειπτικούς ασ τέρες από τους Wyse και Kron (1939), Kopal (1943) και αργότερα από τους Wilson και Devinney (1971) ή σ υνδυασ τικά με την μέθοδο Levenberg-Marquard (Wilson 1993) που υλοποιήθηκε σ το μοντέλο διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων των Wilson και Devinney (WD). Η μέθοδος των διαφορικών διορθώσ εων βασ ίζεται σ την αντικατάσ τασ η των μερικών παραγώγων με πεπερασ μένες διαφορές καθώς και σ το γεγονός ότι οι δευτέρας τάξεως όροι της σ υνάρτησ ης ελαχισ τοποίησ ης είναι κατά πολύ μικρότεροι των όρων πρώτης τάξης. Με μαθηματικό φορμαλισ μό η εύρεσ η των διορθώσ εων που ελαχισ τοποιούν την σ υνάρτησ η περιγράφεται ως εξής: Εσ τω ότι τα παρατηρησ ιακά δεδομένα είναι F pobs = O P και η σ υνθετική καμπύλη από το μοντέλο F psyn = C p (x j ) σ ε κάθε φίλτρο p σ ε δεδομένη χρονική σ τιγμή, όπου x j οι παράμετροι του μοντέλου. Τότε η σ υνάρτησ η ελαχισ τοποίησ ης δίνεται ως: χ 2 = (Ο Α x) Τ W (O A x) όπου Α pj = C p(x j ) x j τα σ τοιχεία του πίνακα [Α], [W ] = [ 1 ] ο πίνακας των σ τατισ τικών σpj 2 βαρών και Ο η πίνακας-σ τήλη των παρατηρήσ εων. Ετσ ι ελαχισ τοποιώντας την σ υνάρτησ η χ 2 προκύπτει χ 2 = 0 = 2A(x)d(x) = 0, όπουd(x) = O P C p (x j ). Με μετακίνησ η κατά x j γίνεται A(x j + x j ) W d(x j + x j ) = 0 (3.2) Η ανάπτυξη σ ε σ ειρά Taylor του πρώτου μέλους της εξίσ ωσ ης (3.2) και με την υπόθεσ η των μικρών υπολοίπων δηλαδή σ την περίπτωσ η που η λύσ η είναι κοντά σ ε ελάχισ το (τοπικό ή ολικό) καταλήγει σ την επίλυσ η της 72

76 3. Τεχνικές μοντελοποίησ ης και προγράμματα ανάλυσ ης και η διόρθωσ η δίνεται από [A(x j ) W A T (x j )] x j = A(x j ) W d(x j ), x j = C 1 A(x j ) W d(x j ) όπου C = A(x k ) W A T (x j ) και ο πίνακας C 1 ονομάζεται πίνακας σ υνδιακύμανσ ης (covariance matrix). Εδώ θα πρέπει να διασ αφηνισ τεί η υπόθεσ η των μικρών υπολοίπων. Οταν οι παράμετροι x j εχουν τιμές τέτοιες ώσ τε η σ υνθετική καμπύλη να περιγράφει τα παρατηρησ ιακά δεδομένα και επομένως η διαφορά τους d(x) να είναι μικρή τότε η σ υνεισ φορά του πίνακα του Hess (των παραγώγων δεύτερης τάξης) είναι πολύ μικρότερη της σ υνεισ φοράς των όρων πρώτης τάξης και επομένως μπορούν να απαλειφθούν Μέθοδος Levenberg-Marquardt Η μέθοδος Levenberg-Marquardt εισ ήχθη από τον Levenberg (1944) και σ υμπληρώθηκε από τον Marquardt (1963) ως μια μέθοδος επίλυσ ης μη γραμμικών προβλημάτων με την μέθοδο των ελαχίσ των τετραγώνων. Η μέθοδος εισ άγει έναν παράγοντα λ σ το ίδιο πρόβλημα έτσ ι ώσ τε μεταβάλλοντας την μεταβλητή λ να επέρχεται σ ύγκλισ η σ την επαναληπτική διαδικασ ία ελαχισ τοποίησ ης της σ υνάρτησ ης χ 2. Εσ τω f(x i ) = (Ο i C p (x i )) 2, η σ υνάρτησ η ελαχισ τοποίησ ης, τότε για μικρές μεταβολές δ των παραμέτρων x έχουμε f(x i + δ) f(x i ) + J i δ, όπουj i = f(x i) x i σ την περιοχή του ελαχίσ του δ f = 0 = (J Τ J)δ = Jf (3.3) O Levenberg (1944) εισ ήγαγε τον παράγοντα λκαι η σ χέσ η (3.3) γίνεται (J Τ J + λ)δ = Jf(x) (3.4) και τελικά σ υμπληρώθηκε από τον Marquardt (1963) ως εξής: (J Τ J + λdiag(j Τ J))δ = Jf(x) (3.5) Επιλύοντας την (3.5) μπορεί να βρεθεί η μετατόπισ η δ η οποία ελαχισ τοποιεί την f(x). Για μικρές τιμές της παραμέτρου λ τότε η μέθοδος σ υμπίπτει με την μέθοδο Gauss-Newton που είναι πιο αποδοτική όταν οι παράμετροι είναι κοντά σ τις τιμές της λύσ ης ενώ όταν το λ έχει μεγάλες τιμές τότε η μέθοδος Levenberg-Marquardt προσ εγγίζει την μέθοδο της απότομης καθόδου (Steepest Descent) που είναι πιο αποδοτική για τιμές των παραμέτρων μακριά από την πραγματική λύσ η. Ετσ ι ανάλογα τις τιμές που έχουν οι παράμετροι κατά την διαδικασ ία της σ ύγκλισ ης, η παράμετρος λ μεταβάλλεται ανάλογα και αυτό κάνει την μέθοδο Levenberg-Marquardt εξαιρετικά αποδοτική σ την επίλυσ η μη γραμμικών προβλημάτων. 73

77 3. Τεχνικές μοντελοποίησ ης και προγράμματα ανάλυσ ης Η μέθοδος Nelder-Mead Downhill Simplex Η μέθοδος Simplex αρχικά εισ ήχθη από τους Spendley et al. (1962) και σ υμπληρώθηκε από τους Nelder & Mead (1965). Η βασ ική ιδέα της μεθόδου είναι ότι η λύσ η μίας σ υνάρτησ ης f, n παραμέτρων μπορεί να βρεθεί χρησ ιμοποιώντας ένα γεωμετρικό πολύτοπο n + 1 κορυφών (ακμών) εντός του χώρου των λύσ εων n διασ τάσ εων (R n )(τρίγωνο για δύο διασ τάσ εις, τετράεδρο για τρεις διασ τάσ εις κτλ). Η μέθοδος Simplex δεν χρησ ιμοποιεί παραγώγους της σ υνάρτησ ης παρά μόνο υπολογισ μούς της σ υνάρτησ ης για δοθείσ ες τιμές των παραμέτρων. Οι τιμές των παραμέτρων (οι σ υντεταγμένες των ακμών του πολυτόπου) προκύπτουν από γεωμετρικές τροποποιήσ εις των πολυτόπων. Εάν οι προταθείσ ες τιμές μέσ ω αυτής της διαδικασ ίας ελαχισ τοποιούν την σ υνάρτησ η, τότε γίνονται αποδεκτές αντικαθισ τώντας την ακμή του πολυτόπου με την μεγαλύτερη τιμή της σ υνάρτησ ης. Ετσ ι το γεωμετρικό πολύτοπο κινείται εντός του χώρου των λύσ εων και σ υγκλίνει σ την περιοχή του ελαχίσ του της σ υνάρτησ ης. Οι βασ ικές τροποποιήσ εις του γεωμετρικού πολύτοπου είναι η ανάκλασ η (reflection), η επέκτασ η (expansion) και η σ υσ τολή (contraction) (Σχήμα 3.1). Η επαναληπτική διαδικασ ία της μεθόδου γίνεται ως εξής: 1. Επιλέγονται οι παράμετροι p 1, p 2,..., p n που αποτελούν τις σ υντεταγμένες των ακμών x i (p 1, p 2,..., p n ) του πολύτοπου και υπολογίζεται για κάθε ακμή η τιμή της σ υνάρτησ ης f. 2. Τίθεται σ ε αύξουσ α/φθίνουσ α σ ειρά οι τιμές της σ υνάρτησ ης f σ τις θέσ εις των ακμών f(x 1 ) < f(x 2 ) <... < f(x n+1 ) 3. Υπολογίζεται το βαρύκεντρο του πολυτόπου από την σ χέσ η:x centroid = 1 n xi 4. Υπολογίζεται το σ ημείο ανάκλασ ης από την σ χέσ η: x reflect = (1+α)x centroid αx n+1 όπου α μία σ ταθερά, σ υνήθως α=1. 5. Εάν f(x reflect ) < f(x i )τότε η υπολογίζεται το σ ημείο επέκτασ ης από την σ χέσ η: x expand = (1 γ)x centroid + γx reflect καθώς και η τιμή της σ υνάρτησ ης σ το σ ημείο x expand. Χαρακτηρισ τική τιμή για το γ είναι γ = 2. Εάν f(x expand ) < f(x 1 ), τότε αντικαθίσ ταται το σ ημείο x n+1 από το x expand και ο αλγόριθμός ξεκινά πάλι από το (2) Ειδάλλως το σ ημείο x n+1 αντικαθίσ ταται από το σ ημείο x reflect και ο αλγόριθμός ξεκινά πάλι από το (2) 6. Εάν f(x 1 ) f(x reflect ) f(x n ), τότε το σ ημείο x n+1 αντικαθίσ ταται από το σ ημείο x reflect και ο αλγόριθμός ξεκινά πάλι από το (2) 7. Εάν f(x reflect ) f(x n ), τότε υπολογίζεται το σ ημείο σ υσ τολής από την σ χέσ η: x contract = (1 β)x centroid + βx n+1 καθώς και η τιμή της σ υνάρτησ ης σ το σ ημείο x contract. Χαρακτηρισ τική τιμή για το β είναι β = 0.5 ή β = Εάν ισ χύει επίσ ης ότι f(x reflect ) f(x n+1 ), πρίν αρχίσ ει η διαδικασ ία της σ υσ τολής, το σ ημείο x n+1 αντικαθίσ ταται από το σ ημείο x reflect καθώς και f(x n ) = f(x reflect ) 8. Εάν f(x contract ) f(x n+1 ) τότε το σ ημείο x n+1 αντικαθίσ ταται από το σ ημείο x contract και ο αλγόριθμός ξεκινά πάλι από το (2) Ειδάλλως, όλες οι ακμές του 74

78 3. Τεχνικές μοντελοποίησ ης και προγράμματα ανάλυσ ης Σχήμα 3.1.: Αναπαράσ τασ η των βασ ικών τελεσ τών της μεθόδου Nelder-Mead Downhill Simplex για το πολύτοπο σ τον χώρο R 2 πολύτοπου εκτός της ακμής που δίδει την μικρότερη τιμή της σ υνάρτησ ης, δηλαδή την f(x 1 ), αντικαθίσ ταται από σ ημεία που υπολογίζονται από την σ χέσ η: x i = (1 ε)x 1 + εx i και ο αλγόριθμός ξεκινά πάλι από το (2). Χαρακτηρισ τική τιμή για το ε είναι ε = 0.5. Η επαναληπτική διαδικασ ία θα τερματισ τεί εφαρμόζοντας κριτήρια τερματισ μού όπως για παράδειγμα την σ χέσ η σ = 1 n+1 (fi f average ) 2 < 10 8 όπουf average, η μέσ η τιμή της σ υνάρτησ ης όλων των ακμών Η μέθοδος των πολλαπλών υποσ υνόλων (Method of Multiple Subsets) Οταν κατά την διάρκεια της ελαχισ τοποίησ ης της σ υνάρτησ ης f(x 1, x 2, x 3,..., x n ) o αλγόριθμος αποκλίνει, τότε είναι αποδοτικό να χωρισ θούν σ ε δύο υποσ ύνολα έτσ ι ώσ τε να επιτυγχάνεται η σ ύγκλισ η σ το κάθε ένα ξεχωρισ τά. Με αυτή τη μέθοδο επιτυγχάνεται η σ ύγκλισ η σ ταδιακά με εναλλάξ ελαχισ τοποίησ η των δυο υποσ υνόλων και τελικά η εύρεσ η της λύσ ης του προβλήματος (Wilson & Biermann 1976) Γενετικοί αλγόριθμοι Οι γενετικοί αλγόριθμοι εφαρμόζουν τη διαδικασ ία της φυσ ικής επιλογής για τη εύρεσ η της βέλτισ της λύσ ης του προβλήματος. Η μέθοδος είναι εμπνευσ μένη από τις φυσ ικές διαδικασ ίες 75

79 3. Τεχνικές μοντελοποίησ ης και προγράμματα ανάλυσ ης επιλογής και εξέλιξης των ειδών. Οι βασ ικές διαδικασ ίες είναι η η επιλογή, η διασ ταύρωσ η (διχοτόμησ η και επανασ ύνδεσ η), και η μετάλλαξη. Καθορίζοντας με τυχαίο τρόπο τον αρχικό πληθυσ μό των λύσ εων, εφαρμόζεται το κριτήριο επιλογής, ώσ τε η καλύτερη λύσ η να μεταφέρεται σ την επόμενη γενιά χωρίς καμία αλλαγή σ τις παραμέτρους που δομούν την λύσ η. Ο υπόλοιπος πληθυσ μός (των λύσ εων εν προκειμένω) θα υποσ τεί την διαδικασ ία της διασ ταύρωσ ης και τελικά της μετάλλαξης πριν μεταφερθεί σ την επόμενη γενιά. Η βέλτισ τη λύσ η της δεύτερης γενιάς, βάσ ει του κανόνα επιλογής, θα μεταφερθεί σ τη τρίτη γενιά και ο υπόλοιπος πληθυσ μός θα υποσ τεί τις διαδικασ ίες διασ ταύρωσ ης και μετάλλαξης. Με αυτή την διαδικασ ία πάντα η καλύτερη λύσ η κάθε γενιάς μεταφέρεται σ την επόμενη γενιά και μάλισ τα η λύσ η αυτή είναι καλύτερη από τις προηγούμενες γενιές. Επιπλέον, η τυχαιότητα σ τις διαδικασ ίες διασ ταύρωσ ης και μετάλλαξης δίνει την δυνατότητα εξερεύνησ ης του σ υνόλου του χώρου των λύσ εων και επομένως την δυνατότητα εύρεσ ης του ολικού ελαχίσ του, δηλαδή της πραγματικής λύσ ης του προβλήματος. Πρέπει να σ ημειωθεί ότι οι γενετικοί αλγόριθμοι δρουν επί του σ υνόλου του πληθυσ μού και όχι μεμονωμένα σ ε κάθε λύσ η. Η διαδικασ ία εύρεσ ης της λύσ ης με αλγόριθμο που βασ ίζεται σ την γενετική εξέλιξη (Metcalfe (1999, 2000), Papageorgiou et al. 2014a) περιγράφεται ως εξής: 1. Επιλέγεται το εύρος τιμών των παραμέτρων 2. Δημιουργούνται με τυχαίο τρόπο λύσ εις, σ ύμφωνα με το εύρος τιμών που έχει δοθεί και καλούνται φαινότυποι. 3. Υπολογίζεται η τιμή της σ υνάρτησ ης ελαχισ τοποίησ ης (χ 2 ) για κάθε λύσ η 4. Η καλύτερη λύσ η της γενιάς (η λύσ η που δίνει την μικρότερη τιμή της σ υνάρτησ ης ελαχισ τοποίησ ης) μεταφέρεται σ την επόμενη γενιά. 5. Οι λύσ εις τίθενται σ ε αύξουσ α σ ειρά σ ύμφωνα με την τιμή της σ υνάρτησ ης ελαχισ τοποίησ ης (δηλαδή από την καλύτερη προς την χειρότερη λύσ η) και επιλέγονται τα ζεύγη των λύσ εων από τις οποίες θα επιλεγούν οι παράμετροι (που καλούνται γενότυποι) που θα υποσ τούν την διαδικασ ία της διασ ταύρωσ ης και μετάλλαξης. 6. Εφαρμογή της διασ ταύρωσ ης και της μετάλλαξης σ τους γενότυπους 7. Ελεγχος εάν οι λύσ εις είναι φυσ ικά αποδεκτές 8. Επισ τροφή σ το βήμα 3 Ο τρόπος και το σ ημείο μετάλλαξης σ τον γενότυπο καθώς και ο τρόπος που γίνεται η διασ ταύρωσ η μπορεί να τροποποιηθεί σ ε διάφορες εκδοχές του αλγορίθμου. Το PIKAIA (Charbonneau 2002) είναι μια υπολογισ τική ρουτίνα γενετικών αλγορίθμων με πολλές δυνατότητες και επιλογές για τους βασ ικούς τελεσ τές (βλ. Κεφάλαιο 9). Παράδειγμα εφαρμογής των τελεσ τών μετάλλαξης (mutation) και διασ ταύρωσ ης (crossover): Εσ τω οι παράμετροι X 1, Y 1 (4.8564, ) και X 2, Y 2 (4.6791, ) από τις λύσ εις Σ 1, Σ 2. Βήμα 1: Διασ ταύρωσ η (Crossover) 76

80 3. Τεχνικές μοντελοποίησ ης και προγράμματα ανάλυσ ης X 1 = Y 1 = γενότυπος νέος γενότυπος 1 X 2 = Y 2 = γενότυπος νέος γενότυπος 2 Οι σ ειρές των αριθμών με το ίδιο χρώμα δομούν ένα νέο γενότυπο ο οποίος περίεχει πληροφορία και από τους δυο γονείς (αρχικές τιμές των παραμέτρων). Η θέσ η σ την οποία θα τμηθούν οι αρχικοί γενότυποι μπορεί να είναι τυχαίος. Βήμα 2: Μετάλλαξη (Mutation) νέος γενότυπος 1 Μετάλλαξη επανασ ύνδεσ η X 1 = Y1 = νέος γενότυπος 2 Μετάλλαξη επανασ ύνδεσ η X 2 = Y2 = Η θέσ η σ την οποία θα επιλεγεί ο αριθμός που θα μεταλλαχθεί καθώς και αριθμός που μεταλλάσ εται μπορεί να είναι τυχαίος. Νέες τιμές των παραμέτρων: X 1 = Y 1 = X 1 = Y 1 = X 2 = Y 2 = X 2 = Y 2 = Σάρωσ η σ τον χώρο των λύσ εων (Heuristic Scanning) και μέθοδοι Monte-Carlo Η σ ύγκλισ η με τις μεθόδους των Διαφορικών διορθώσ εων, της Levenberg-Marquardt ή της μεθόδου Nelder-Mead Downhill Simplex δεν εγγυώνται ότι η λύσ η είναι η πραγματική, δηλαδή οτι ο αλγόριθμος έχει σ υγκλίνει σ το ολικό ελάχισ το της σ υνάρτησ ης καθώς και οι αβεβαιότητες σ τις παραμέτρους (που σ υνήθως προέρχονται από τον πίνακα σ υνδιακύμανσ ης) είναι υπερεκτιμημένες. Η σ άρωσ η σ τον χώρο των λύσ εων (Heuristic scanning, Prša & Zwitter 2005, Christopoulou & Papageorgiou 2013, Papageorgiou et al. 2014a,b) έχει δείξει ότι είναι αποδοτική, αποφεύγοντας τα τοπικά ελάχισ τα σ τον χώρο των λύσ εων και αποδίδει σ την εκτίμησ η των πραγματικών αβεβαιοτήτων των παραμέτρων. Οταν έχει επέλθει σ ύγκλισ η σ ε μια λύσ η τότε όλες οι παράμετροι διαταράσ σ ονται κατά 5-10% της τιμής τους και η διαδικασ ία σ ύγκλισ ης ξεκινά από την αρχή. Ετσ ι, εάν είχε σ υγκλίνει σ ε τοπικό ελάχισ το η πιθανότητα να φύγει εκτός του τοπικού ελαχίσ του είναι μεγάλη. Εάν δε η λύσ η βρίσ κεται εντός του ολικού ελαχίσ του, η πιθανότητα να διαφύγει είναι πολύ μικρότερη και ο αλγόριθμος σ κιαγραφεί την περιοχή του χώρου εντός του ελάχισ του. Η σ τατισ τική των λύσ εων θα δώσ ει τις πραγματικές τιμές των αβεβαιοτήτων. Δηλαδή δημιουργώντας ισ τογράμματα των τιμών των παραμέτρων υπολογίζεται η μέσ η τιμή και η τυπική απόκλισ η κάθε παραμέτρου. Πρέπει να σ ημειωθεί ότι η επιλογή της διαταραχής κάθε παραμέτρου γίνεται με τυχαίο τρόπο κάνοντας δειγματοληψία από Γκαουσ ιανές κατανομές με μέσ η τιμή μηδέν και εύρος 5-10% της τιμής κάθε παραμέτρου. Ακόμα, για την εκτίμησ η των αβεβαιοτήτων μπορούν να χρησ ιμοποιηθούν τεχνικές βασ ισ μένες σ ε μεθόδους Monte-Carlo. Αυτό γίνεται δημιουργώντας μεγάλο αρι- 77

81 3. Τεχνικές μοντελοποίησ ης και προγράμματα ανάλυσ ης θμό σ υνθετικών δεδομένων από τα πραγματικά δεδομένα με τυχαία μετακίνησ η των παρατηρησ ιακών δεδομένων, κάνοντας δειγματοληψία από Γκαουσ ιανές κατανομές με κέντρο το μηδέν και εύρος το παρατηρησ ιακό σ φάλμα της καμπύλης και προσ αρμόζοντας βέλτισ τη καμπύλη σ ε κάθε σ υνθετική. Η σ τατισ τική των λύσ εων θα δώσ ει την τυπική απόκλισ η κάθε παραμέτρου ως μέτρο της αβεβαιότητάς τους. Η μέθοδος Bootstrap (Efron 1982, Press et al. 1992) αποτελεί μια τεχνική Monte- Carlo για την εκτίμησ η των αβεβαιοτήτων παρόμοια με αυτή που περιγράφηκε παραπάνω. Η διαφορά έγκειται σ την δημιουργία των σ υνθετικών δεδομένων από τα πραγματικά παρατηρησ ιακά δεδομένα. Εχοντας ως δεδομένα τα υπόλοιπα που προέκυψαν από την προσ αρμογή της βέλτισ της ευθείας σ τα παρατηρησ ιακά δεδομένα εφαρμόζουμε την μέθοδο ως εξής: 1. Κάνοντας τυχαία δειγματοληψία από τα υπόλοιπα της προσ αρμογής βέλτισ της καμπύλης δημιουργείται ένα νέο σ ύνολο υπολοίπων, R, ίδιου μεγέθους με το αρχικό 2. Δημιουργούνται τα σ υνθετικά δεδομένα, Μ, από τα πραγματικά δεδομένα, Ο, και το σ ύνολο υπολοίπων που δημιουργήθηκε: Μ i = O i + R i 3. Γίνεται προσ αρμογή βέλτισ της καμπύλης σ τα νέα σ υνθετικά δεδομένα Μ, και καταγράφονται τα αποτελέσ ματα 4. Κάνοντας τα παραπάνω βήματα χιλιάδες φορές, δημιουργούνται ισ τογράμματα για κάθε παράμετρο, από όπου προκύπτει η μέσ η τιμή για κάθε παράμετρο και η τυπική απόκλισ η ως μέτρο της αβεβαιότητας της παραμέτρου Μαρκοβιανή αλυσ ίδα Monte-Carlo και Metropolis-Hasting (Metropolis-Hasting Markov Chain Monte Carlo, M-H MCMC) Η εκτίμησ η των αβεβαιοτήτων μπορεί να γίνει με την εύρεσ η της, εκ των υσ τέρων κατανομής (posteriori distribution) κάθε παραμέτρου μέσ ω μιας διαδικασ ίας αποδοχής-απόρριψης μιας κατάσ τασ ης σ τον χώρο των παραμέτρων. Χρησ ιμοποιώντας ενα τυχαίο περίπατο (random walk) n βημάτων, η νέα κατάσ τασ η x n+1 σ τον χώρο των λύσ εων προκύπτει μόνο από προηγούμενη κατάσ τασ η x n με μικρή και τυχαία μετακίνησ η ε εξασ φαλίζοντας την εργοδικότητα της Μαρκοβιανής διαδικασ ίας. Δηλαδή η νέα κατάσ τασ η σ τον χώρο των λύσ εων για κάθε παράμετρο θα είναι: x n+1 = x n + ε Η αποδοχή ή η απόρριψη της νέας κατάσ τασ ης βασ ίζεται σ το κριτήριο Metropolis-Hasting που περιγράφεται παρακάτω. Αυτό δίνει την δυνατότητα σ τον αλγόριθμο να κινείται σ τις περιοχές μέγισ της πιθανότητας σ το χώρο των παραμέτρων χωρίς όμως να αποκλείονται μεταβάσ εις σ ε περιοχές με μικρότερη πιθανότητα. Η Monte-Carlo Μαρκοβιανή αλυσ ίδα (Ford 2006, και οι αναφορές εντός της εργασ ίας) βασ ίζεται σ την αποδοχή ή την απόρριψη 78

82 3. Τεχνικές μοντελοποίησ ης και προγράμματα ανάλυσ ης τιμών των παραμέτρων του μοντέλου από προτεινόμενες κατανομές (proposal, κατανομήπρότασ η), σ ύμφωνα με την πιθανότητα που υπολογίζεται ως Μπαεζιανή μεταγενέσ τερη πιθανότητα (posterior). Σύμφωνα με τον κανόνα του Bayes, η πιθανότητα των τιμών των P (d x)p (x) παραμέτρων x έχοντας γνωσ τά τα δεδομένα d είναι P (x d) = P(x)P(d x)dx (μεταγενέσ τερη κατανομή), όπου P (d x) η πιθανότητα των δεδομένων d για γνωσ τές παραμέτρους x και P (x) η πιθανότητα των παραμέτρων x από την πρότερη γνώσ η (πρότερη κατανομή) που υπάρχει για αυτές. Το ολοκλήρωμα σ τον παρονομασ τή είναι σ ταθερό για γνωσ τές τιμές των δεδομένων και αποτελεί μια σ ταθερά νορμαλισ μού. Το κριτήριο αποδοχής-απόρριψης Metropolis-Hasting μιας κατάσ τασ ης σ τον χώρο των παραμέτρων έχει ως εξής: Για τη νέα κατάσ τασ η x n+1 που προκύπτει η πιθανότητα μετάβασ ης σ την νέα θέσ η P (x n+1 x n ) (transition distribution) θα είναι: P (x n+1 x n ) = q(x n+1 x n )α(x n+1 x n ) όπου q η προτεινόμενη κατανομή που θα πρέπει να είναι σ υμμετρική κατανομή και α η πιθανότητα αποδοχής-απόρριψης που δίνεται από την σ χέσ η α(x n+1 x n ) = min(1, exp[ (χ2 n+1 χ2 n ) 2 ]) όπου χ 2 το άθροισ μα των υπολοίπων του μοντέλου και των παρατηρησ ιακών δεδομένων. 1 Τα βήματα του αλγορίθμου σ υνοψίζονται ως εξής: 1) επιλέγονται τυχαίες τιμές x n+1 των παραμέτρων x από τις προταθείσ ες κατανομές q(x n+1 x n ) (έσ τω κανονική κατανομή, Ν(μέσ η τιμή, τυπική απόκλισ η)) 2) υπολογίζεται η πιθανότητα αποδοχής-απόρριψης α(x n+1 x n ) 3) επιλέγεται ένας τυχαίος αριθμός R από μια ομοιόμορφη κατανομή. 4) εάν R α τότε η νέα κατάσ τασ η γίνεται αποδεκτή και η διαδικασ ία ξεκινά από το βήμα 1 5) εάν R α τότε απορρίπτεται η νέα κατάσ τασ η και η διαδικασ ία ξεκινά από το βήμα 1 Εάν για την νέα κατάσ τασ η προκύπτει ότι χ 2 n+1 χ 2 n τότε πάντα οι νέες προταθείσ ες τιμές των παραμέτρων θα γίνονται αποδεκτές και η κίνησ η σ τον χώρο των παραμέτρων θα γίνεται προς την διέυθυνσ η της ελάχισ της τιμής του χ 2. Αλλιώς, εάν χ 2 n+1 χ 2 n, τότε η αποδοχή ή όχι των νέων τιμών θα περάσ ει από το παραπάνω κριτήριο. Ετσ ι δίνεται η πιθανότητα σ ε περιοχές του χώρου των παραμέτρων με μικρότερη τιμή χ 2 να γίνουν αποδεκτές και επομένως την δυνατότητα να διαφύγει από τοπικά ελάχισ τα του χώρου. Εχει δειχθεί ότι για μονοδιάσ τατα προβλήματα εύρεσ ης της επιθυμητής κατανομής ο λόγος αποδοχής-απόρριψης των κατασ τάσ εων (acceptance rate, α) πρέπει να είναι 44%, ενώ για πολυδιάσ τατα προβλήματα είναι 25% (Gelmann 2003). Εάν το εύρος της κατανομής κάθε παραμέτρου είναι μικρό, τότε ο λόγος αποδοχής-απόρριψης θα είναι μεγάλος (α 1) αφού 1 Αυτό σ υμβαίνει επειδή η πιθανότητα P (d x) exp( χ 2 /2), και επομένως για ομοιόμορφη κατανομή των P (x) 1, f(x) = P (x d) = P (d x)p (x) exp( χ 2 /2). Ετσ ι προκύπτει, α(x n+1 x n ) = min(1, [ P (xn+1 )q(x n,x n+1 ) ]) = min(1, exp[ (χ2 n+1 χ2 n ) ])(Ford et al. 2005). P (x n )q(x n+1,x n ) 2 79

83 3. Τεχνικές μοντελοποίησ ης και προγράμματα ανάλυσ ης Πίνακας 3.1.: Αποτελέσ ματα των παραμέτρων α 1, α 2, α 3 της παραβολής f(x), όπως προέκυψαν από την μέθοδο M-H MCMC Παράμετρος Μέσ η τιμή Τυπική Απόκλισ η a a a οι προταθείσ ες τιμές των παραμέτρων θα επιλέγονται από μια σ τενή περιοχή του εύρους τιμών της παραμέτρου και η σ ύγκλισ η της Μαρκοβιανής αλυσ ίδας θα είναι εξαιρετικά αργή. Αντιθέτως, εάν το εύρος των κατανομών των παραμέτρων είναι μεγάλο τότε η δειγματοληψία των τιμών των παραμέτρων θα γίνεται σ ε περιοχές του χώρου των λύσ εων με πολύ μικρή πιθανότητα με αποτέλεσ μα να απορρίπτονται σ το σ ύνολό τους. Για να επιτευχθεί ο επιθυμητός λόγος αποδοχής-απόρριψης σ υνήθως ακολουθούνται δύο τακτικές: 1) Δοκιμάζονται πιθανές τιμές εύρους σ ε κάθε προτεινόμενη κατανομή εως ότου βρεθεί ο επιθυμητός λόγος. 2) Δοκιμάζονται πιθανές τιμές εύρους σ ε κάθε προτεινόμενή κατανομή μέσ ω μιας ψευδο- Μαρκοβιανής αλυσ ίδας. Αυτό σ ημαίνει ότι μετά από κάποια βήματα, ελέγχεται ο λόγος α εάν έχει την επιθυμητή τιμή. Επομένως, για κάθε παράμετρο αυξάνεται ή μειώνεται το εύρος της προτεινόμενης κατανομής ώσ τε ο λόγος α να έχει την επιθυμητή τιμή. Στο τέλος αυτής της διαδικασ ίας κρατώνται σ ταθερές οι τιμές του εύρους κατανομής κάθε παραμέτρου και αρχίζει ξανά μια πραγματική Μαρκοβινή αλυσ ίδα Monte-Carlo. Στην απλή περίπτωσ η εύρεσ ης των αβεβαιοτήτων μιας παραβολικής σ υνάρτησ ης (π.χ μεταφορά μάζας σ ε διάγραμμα O-C, βλ. 1.4) υλοποιήθηκε σ ε γλώσ σ α προγραμματισ μού Python η παραπάνω μέθοδος. Δημιουργήθηκαν σ υνθετικά δεδομένα από την σ υνάρτησ η f(x) = a 1 x 2 +a 2 x+a 3 με τυχαίο σ υνθετικό θόρυβο, όπου a 1 = , a 2 = , a 3 = Η εύρεσ η του εύρους των προτεινόμενων (κανονικών) κατανομών έγινε μέσ ω μιας ψευδο- Μαρκοβιανής αλυσ ίδας, και σ τη σ υνέχεια πραγματοποιήθηκαν 10 5 βήματα μιας πραγματικής Μαρκοβιανής αλυσ ίδας Monte-Carlo. Για την εύρεσ η των αβεβαιοτήτων οι αρχικές 2000 τιμές αγνοήθηκαν ως δοκιμασ τική περίοδος (burn-in). Δηλαδή, αγνοήθηκε η περιοχή τιμών έως ότου η αλυσ ίδα καταλήξει σ τις περιοχές μέγισ της πιθανότητας, που φαίνονται σ τα Σχήματα (3.2). Τα αποτελέσ ματα (Πίνακας 3.5) δίνονται από την μέσ η τιμή και τυπική απόκλισ η των ισ τογραμμάτων (Σχήμα 3.3) και οι τομές του χώρου των παραμέτρων a 1 a 2, a 1 a 3, a 2 a 3 (ισ τογράμματα δύο διασ τάσ εων) φαίνονται σ τα Σχήματα (3.4). Για πιο περίπλοκα μοντέλα υπάρχουν έτοιμα πακέτα Μπαεζιανής σ τατισ τικής υλοποιημένα σ ε Python όπως το πακέτο pymc (Fonnesbeck et al. 2013) που χρησ ιμοποιεί εκτός των άλλων και την παραπάνω μέθοδο ή πιο αποδοτικές μεθόδους που βρίσ κονται σ ε άλλα υπολογισ τικά πακέτα (emcee, Foreman-Mackey et al. 2013). Στο πρόγραμμα προσ αρμογής χρονικών υπολοίπων που αναπτύσ εται σ την ενότητα 3.6 (Timing residuals, O-C) (Σχήμα 3.5) έγινε η προσ πάθεια ενσ ωμάτωσ ης της μεθόδου M-H MCMC, η οποία μέχρι 80

84 3. Τεχνικές μοντελοποίησ ης και προγράμματα ανάλυσ ης Σχήμα 3.2.: Γραφική παράσ τασ η του ίχνους των παραμέτρων α 1, α 2, α 3 ανά ζεύγη, από τις αρχικές τιμές τους (κύκλος) έως την περιοχή σ ύγκλισ ης. 81

85 3. Τεχνικές μοντελοποίησ ης και προγράμματα ανάλυσ ης Trace a1 Trace a Frequency Frequency a a2 0.9 Trace a Frequency a3 Σχήμα 3.3.: Γραφική παράσ τασ η του ίχνους των παραμέτρων a 1, a 2, a 3 σ υναρτήσ ει του α- ριθμού των Μαρκοβιανών βημάτων καθώς και τα ισ τογράμματα των κατανομών τους. 82

86 3. Τεχνικές μοντελοποίησ ης και προγράμματα ανάλυσ ης Σχήμα 3.4.: Διαγράμματα πυκνότητας των παραμέτρων a 1, a 2, a 3 ανά ζεύγη. Η χρωματική διαβάθμισ η υποδηλώνει το πλήθος των καταμετρήσ εων ίδιων τιμών. Η λαμπρότερη περιοχή υποδεικνύει την περιοχή της πραγματικής λύσ ης. 83

87 3. Τεχνικές μοντελοποίησ ης και προγράμματα ανάλυσ ης την παρούσ α χρονική σ τιγμή βρίσ κεται υπό την διαδικασ ία ελέγχου. Θα πρέπει να σ ημειωθεί ότι το νέο εκσ υγχρονισ μένο υπολογισ τικό πακέτο μοντελοποίησ ης διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων Phoebe-2.0 χρησ ιποποιεί τις παραπάνω μεθόδους και τα υπολογισ τικά πακέτα Μπαεζιανής σ τατισ τικής (pymc, emcee) για την εύρεσ η των αβεβαιοτήτων των παραμέτρων των σ υσ τημάτων ασ τέρων Προγράμματα ανάλυσ ης των μεταβολών της περιόδου Για την μελέτη της μεταβολής της τροχιακής περιόδου σ χεδιάσ τηκε και υλοποιήθηκε σ ε γλώσ σ α προγραμματισ μού Python (Σχήμα (3.5), πρόγραμμα προσ αρμογής βέλτισ της καμπύλης των χρονικών υπολοίπων (Timing residuals, O-C) των καταγεγραμμένων χρονικών σ τιγμών των εκλείψεων. Το υπολογισ τικό πρόγραμμα προσ αρμόζει τη βέλτισ τη καμπύλη για παραβολικές μεταβολές λόγω μεταφοράς μάζας μεταξύ των ασ τέρων ή/και ημιτονοειδείς μεταβολές λόγω πιθανής παρουσ ίας τρίτου σ υνοδού σ το σ ύσ τημα. Από την προσ αρμογή της βέλτισ της καμπύλης προκύπτουν τα σ τοιχεία τροχιάς του τρίτου σ ώματος ή/και ο ρυθμός μεταφοράς μάζας μεταξύ των μελών του ασ τρικού σ υσ τήματος. Αρχικά, ξεκινώντας από προταθείσ ες τιμές (που ενδεχομένως μπορεί να βρίσ κονται μακρυά από την πραγματική λύσ η), εφαρμόζεται η μέθοδος Nelder-Mead Downhill Simplex (με επιλογή για το πλήθος των βημάτων) ώσ τε να προσ εγγισ τεί ένα ελάχισ το και επομένως μια πιθανή λύσ η σ τον χώρο των παραμέτρων. Επειτα, από το σ ημείο σ ύγκλισ ης της προηγούμενης μεθόδου ξεκινά η εφαρμογή της μεθόδου Levenberg-Marquardt που σ υγκλίνει ταχέως εντός ή πολύ κοντά ενός ελαχίσ του σ τον χώρο των παραμέτρων. Αυτή η διαδικασ ία μπορεί να επαναληφθεί όσ ες φορές επιλέξει ο χρήσ της (Επιλογή Batch Mode). Τελικά, όταν επιτευχθεί η σ ύγκλισ η, υπολογίζονται από τον πίνακα σ υνδιακύμανσ ης οι αβεβαιότητες των παραμέτρων. Πολλές φορές οι τιμές των παραμέτρων που προκύπτουν από την παραπάνω διαδικασ ία δεν αντισ τοιχούν σ την πραγματική λύσ η του ολικού ελαχίσ του καθώς και οι αβεβαιότητες των παραμέτρων που προκύπτουν από τον πίνακα σ υνδιακύμανσ ης σ υχνά είναι υποτιμημένες, κυρίως λόγω: 1. της σ υσ χέτισ ης των τροχιακών παραμέτρων του μη γραμμικού προβλήματος 2. των μεγάλων διασ τημάτων ασ υνέχειας της καμπύλης O-C λόγω έλλειψης παρατηρησ ιακών δεδομένων 3. της ακρίβειας των παρατηρησ ιακών δεδομένων και το πλήθος τους σ το διάγραμμα O-C, που προκύπτουν από διαφορετικά τηλεσ κόπια, από ανιχνευτές με διαφορετική ακρίβεια καταγραφής, των παρατηρησ ιακών σ ημείων της καμπύλης φωτός κατά την διάρκεια της έκλειψης 4. διάφορες τεχνικές εύρεσ ης της χρονικής σ τιγμής της έκλειψης και της εγγενούς δυσ κολίας εύρεσ ης της χρονικής σ τιγμής της εκλείψεως σ ε σ υσ τήματα με ισ χυρή παραμόρφωσ η (π.χ λόγω ασ τρικών κηλίδων) της καμπύλης φωτός (Kwee & van Woerden 1956, Mikulášek et al. 2012, Wilson & van Hamme 2014). 84

88 3. Τεχνικές μοντελοποίησ ης και προγράμματα ανάλυσ ης Σχήμα 3.5.: Γραφικό περιβάλλον του προγράμματος (Python) για την μελέτη της μεταβολής της τροχιακής περιόδου Η αντιμετώπισ η του μη γραμμικού προβλήματος για την εύρεσ η του ολικού ελαχίσ του γίνεται με την τεχνική της σ άρωσ ης σ τον χώρο των λύσ εων που είναι ενσ ωματωμένη σ το υπολογισ τικό πρόγραμμα που δημιουργήθηκε. Ετσ ι, η λύσ η που προκύπτει από την μέθοδο Levenberg-Marquardt διαταράσ σ εται, και η προαναφερθείσ α διαδικασ ία σ ύγκλισ ης (Nelder- Mead Downhill Simplex, Levenberg-Marquardt) ξεκινά από την αρχή. Οι κατανομές των τιμών των παραμέτρων που προκύπτουν από την σ άρωσ η τοποθετούνται σ ε ισ τογράμματα από τα οποία προκύπτουν οι μέσ ες τιμές και οι αβεβαιότητες των παραμέτρων. Με την διαδικασ ία αυτή δίνεται η δυνατότητα, σ την περίπτωσ η που η αρχική λύσ η αντιπροσ ωπεύει ένα τοπικό ελάχισ το, να διαφύγει από αυτό και να βρεθεί η πραγματική λύσ η καθώς και οι πραγματικές αβεβαιότητες των παραμέτρων που προκύπτουν από την σ τατισ τική όλων των πιθανών λύσ εων εντός του ολικού ελαχίσ του. Εναλλακτικά, για την εκτίμησ η των αβεβαιοτήτων μπορεί να γίνει με την μέθοδο Bootstrap residuals (Ενότητα 3.4), που ειναι ενσ ωματωμένη σ το πρόγραμμα που δημιουργήθηκε Εφαρμογή του υπολογισ τικού πακέτου PIKAIA σ την εύρεσ η τροχιακών μεταβολών Η αναζήτησ η του ολικού ελαχίσ του για την εύρεσ η των τροχιακών μεταβολών μπορεί να γίνει και με την χρήσ η γενετικών αλγορίθμων και το υπολογισ τικό κώδικα PIKAIA. Η δημιουργία προγράμματος-οδηγού σ ε γλώσ σ α προγραμματισ μού Fortran που χρησ ιμοποιεί το υπολογισ τικό πακέτο γενετικών αλγορίθμων PIKAIA έγινε για αυτό το σ κοπό και τα 85

89 3. Τεχνικές μοντελοποίησ ης και προγράμματα ανάλυσ ης αποτελέσ ματα που προκύπτουν από την εφαρμογή του περιγράφονται σ την υποενότητα Άλλο πρόγραμμα μελέτης των τροχιακών μεταβολών που χρησ ιμοποιεί την μέθοδο Nelder- Mead Downhill Simplex με επιλογές για την προσ αρμογή βέλτισ της καμπύλης και υπολογισ μού των τροχιακών παραμέτρων του τρίτου σ ώματος και φαινομένου μεταφοράς μάζας καθώς και άλλων φαινομένων (π.χ. μετατόπισ η της γραμμής των αψίδων σ ε αποχωρισ μένα σ υσ τήματα) έχει γίνει από τον Zasche et al. (2009) σ ε Matlab και έχει χρησ ιμοποιηθεί σ την παρούσ α διατριβή Εφαρμογή τεχνικών επίλυσ ης μη γραμμικών προβλημάτων σ ε σ υνθετικά δεδομένα Εφαρμογή σ ε σ υνθετικές καμπύλες φωτός και εύρεσ η των παραμέτρων των ασ τέρων ενός διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος. Για την εφαρμογή όλων των παραπάνω μεθόδων, δημιουργήθηκαν καμπύλες φωτός (PHOEBE 0.31) για δεδομένες παραμέτρους (Πίνακας 3.2) ενός σ υσ τήματος ασ τέρων σ τις φασ ματικές περιοχές των φίλτρων B, V, Rc, Ic και σ ε αυτές εφαρμόσ τηκε τεχνητός θόρυβος τυχαίας δειγματοληψίας από κατανομή Gauss με μέσ η τιμή μηδέν και εύρους 0.01 mag ώσ τε οι σ υνθετικές καμπύλες φωτός να προσ ομοιάζουν τα πραγματικά δεδομένα. Με τη χρήσ η του προγράμματος PHOEBE-scripter 0.31, προσ αρμόσ τηκε η βέλτισ τη καμπύλη για το σ ύνολο των καμπυλών φωτός και εφαρμόσ τηκε η τεχνική της σ άρωσ ης σ τον χώρο των λύσ εων. Πιο αναλυτικά, χρησ ιμοποιήθηκε η μέθοδος των διαφορικών διορθώσ εων (DC) σ ε σ υνδυασ μό με την Levenberg-Marquardt για την σ ύγκλισ η εναλλάξ των δύο υποσ υνόλων (μέθοδος των πολλαπλών υποσ υνόλων, MMS) των παραμέτρων: φωτεινότητα L 1 του πρωτεύοντος ασ τέρα, θερμοκρασ ία του δευτερεύοντος ασ τέρα T 2, ανηγμένο βαρυτικό δυναμικό Ω 12 και φωτεινότητα L 1 του πρωτεύοντος ασ τέρα, θερμοκρασ ία του δευτερεύοντος ασ τέρα T 2, κλίσ η του σ υσ τήματος i. Στο τέλος της επαναληπτικής διαδικασ ίας (σ ημείο σ ύγκλισ ης) όλες οι παράμετροι διαταράσ σ ονται (5-10)% της τιμής τους και η διαδικασ ία ξεκινά από την αρχή. Συνολικά έγιναν 5000 επαναλήψεις από τις οποίες 3000 τιμές κάθε παραμέτρου επιλέχθηκαν για τον υπολογισ μό των τελικών αποτελεσ μάτων. Τα αποτελέσ ματα σ υμφωνούν με τις θεωρητικές τιμές του Πίνακα 3.2), σ αρώνοντας την περιοχή του ολικού ελαχίσ του. Οπως έχει δείξει ο Prša et al. (2005) η μέθοδος της σ άρωσ ης σ τον χώρο των λύσ εων βελτιώνει την διαδικασ ία σ ύγκλισ ης αποφεύγοντας τα τοπικά ελάχισ τα. Αυτή η σ τρατηγική ανάλυσ ης ακολουθήθηκε σ την αντιμετώπισ η της προσ αρμογής της βέλτισ της καμπύλης και τον προσ διορισ μό των παραμέτρων των διπλού σ υσ τημάτων που αναλύθηκαν σ την παρούσ α διατριβή. Η δημιουργία προγράμματος σ ε γλώσ σ α προγραμματισ μού Fortran, που χρησ ιμοποιεί το υπολογισ τικό πακέτο γενετικών αλγορίθμων PIKAIA και το πρόγραμμα PHOEBE-scripter 0.31, υλοποιήθηκε για την εύρεσ η του ολικού ελαχίσ του με την εφαρμογή της τεχνικής των γενετικών αλγορίθμων. Ο αριθμός του αρχικού πληθυσ μού ήταν 120 λύσ εις και εξελίχθηκαν σ ε 1000 γενιές. Στα Σχήματα (3.6) παρουσ ιάζονται οι παράμετροι ( T 2 T 1, i) σ υναρτήσ ει της ποσ ότητας χ 2, και το διάγραμμα πυκνότητας ( T 2 T 1 R 2 R 1 ) σ ε σ ύνολο τιμών. 86

90 3. Τεχνικές μοντελοποίησ ης και προγράμματα ανάλυσ ης Σχήμα 3.6.: Γραφική παράσ τασ η του λόγου των θερμοκρασ ιών T 2 T 1 (πάνω αρισ τερά) και της κλίσ ης του σ υσ τήματος ως προς την ευθεία οράσ εως i, σ υναρτήσ ει της σ υνάρτησ ης κόσ τους (CFV), όπως προέκυψαν από την μέθοδο των γενετικών αλγορίθμων (PIKAIA, Phoebe-scripter). Στο διάγραμμα πυκνότητας (κάτω) του υποχώρου T 2 T 1 - R 2 R 1 παρουσ ιάζεται η λύσ η (κίτρινη περιοχή) του προβλήματος όπως προέκυψε από την μέθοδο των γενετικών αλγορίθμων. 87

91 3. Τεχνικές μοντελοποίησ ης και προγράμματα ανάλυσ ης Πίνακας 3.2.: Παράδειγμα εφαρμογής των μεθόδων σ ε σ υνθετικές καμπύλες φωτός διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος ασ τέρων Παράμετρος Συνθετικό Μοντέλο Αποτελέσ ματα T 2 /T ±0.01 i( o ) ±1.5 Ω 1 =Ω ±0.02 q = M 2 /M 1 (fixed) A 1 = A 2 (fixed) g 1 = g 2 (fixed) L 1B /L Btot ±0.010 L 1V /L V tot ± L 1Rc /L Rctot ± L 1Ic /L Ictot ± Εφαρμογή σ ε σ υνθετικές καμπύλες O-C και εύρεσ η των τροχιακών παραμέτρων του τρίτου σ υνοδού ενός διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος καθώς και του ρυθμού μεταφοράς μάζας. Αντίσ τοιχα, για την μελέτη των τροχιακών μεταβολών ενός διπλού σ υσ τήματος ασ τέρων δημιουργήθηκαν σ υνθετικά δεδομένα για ένα σ ύσ τημα με παραβολική μεταβολή και τρίτο σ υνοδό ασ τέρα (βλ. ενότητα 1.6). Οι παράμετροι δίνονται σ τον Πίνακα (3.3). Για την εφαρμογή των μεθόδων που προαναφέρθηκαν προσ τέθηκε σ υνθετικός θόρυβος τυχαίας δειγματοληψίας από κατανομή Gauss με μέσ η τιμή μηδέν και εύρους ημέρες και επιπλέον αφαιρέθηκαν περιοχές της καμπύλης ώσ τε να η σ υνθετική καμπύλη O-C να προσ ομοιάζει τα πραγματικά δεδομένα (Σχήμα 3.7). Τα αποτελέσ ματα δίνονται σ τον Πίνακα (3.7.2). Η αφαίρεσ η περιοχών σ το σ υγκεκριμένο παράδειγμα αύξησ ε το σ φάλμα (5-10)%. Η εφαρμογή του προγράμματος που χρησ ιμοποιεί το υπολογισ τικό πακέτο γενετικών αλγορίθμων PIKAIA, σ την σ υνθετική καμπύλη O-C του παραδείγματος υποσ τηρίζει τα αποτελέσ ματα του Πίνακα 3.3 για την τοποθεσ ία του ολικού ελαχίσ του που παρουσ ιάζεται σ τα Σχήματα (3.8) για τις παραμέτρους (ω, Amp, qmt) για αρχικό πληθυσ μό 120 λύσ εων και εξέλιξη 1000 γενιών. Η ισ χυρή σ ύζευξη/σ υσ χέτισ η της εκκεντρότητας e και του ορίσ ματος του περίασ τρου ω του σ υσ τήματος φαίνεται σ το Σχήμα (3.8) όπου υπάρχουν σ υμμετρικές λύσ εις για δεδομένες τιμές (e, ω) ή/και ακόμα όταν ο σ υνοδός ασ τέρας διαγράφει κυκλική τροχιά (e = 0), η παράμετρος ω εκφυλίζεται πλήρως. Επίσ ης, εφαρμόζοντας την μέθοδο Bootstrap residuals, σ τα ισ τογράμματα (3.9) παρουσ ιάζονται τα αποτελέσ ματα για την εκτίμησ η των αβεβαιοτήτων. 88

92 3. Τεχνικές μοντελοποίησ ης και προγράμματα ανάλυσ ης Πίνακας 3.3.: Παράδειγμα εφαρμογής των μεθόδων σ ε σ υνθετικές καμπύλες μεταβολής περιόδου διπλού σ υσ τήματος ασ τέρων Παράμετρος Συνθετικό Μοντέλο Αποτελέσ ματα e ±0.01 Amp(d) ±0.002 ω 3 (rad) ±0.5 qmt (c/d) ±0.001 P (d) ± P 3 (yr) ±0.02 HJD(d) ± T 03 (d) ± O-C (days) "synthetic.dat" using 1: Epoch Σχήμα 3.7.: Συνθετικό μοντέλο τροχιακής μεταβολής λόγω παρουσ ίας τρίτου σ υνοδού σ ε διπλό σ ύσ τημα ασ τέρων (αρισ τερά). Για να δημιουργηθούν πιο ρεαλισ τικά δεδομένα για το παράδειγμα σ την αρχική σ υνθετική καμπύλη προσ τέθηκε τυχαίος θόρυβος και αφαιρέθηκαν τμήματα της καμπύλης (δεξιά). 89

93 3. Τεχνικές μοντελοποίησ ης και προγράμματα ανάλυσ ης Σχήμα 3.8.: Γραφικές παρασ τάσ εις του ημιπλάτους της μεταβολής Amp (d), του ορίσ ματος του περίασ τρου ω (rad) και του παραβολικού όρου qmt (σ ε κλίμακα κύκλους/ημέρα) με την σ υνάρτησ η κόσ τους CFV, όπως προέκυψαν από την ανάλυσ η με την μέθοδο των γενετικών αλγορίθμων (PIKAIA) για την εύρεσ η της λύσ ης της σ υνθετικής καμπύλης. 90

94 3. Τεχνικές μοντελοποίησ ης και προγράμματα ανάλυσ ης Σχήμα 3.9.: Ισ τογράμματα κατανομών του ημιπλάτους της μεταβολής Amp(d), του ορίσ ματος του περίασ τρου ω (rad), του παραβολικού όρου qmt και της περιόδου του τρίτου σ υνοδού P 3 (yr). Οι κατανομές προέκυψαν από την ανάλυσ η με την μέθοδο Bootstrap residuals, μέσ ω του προγράμματος ανάλυσ ης μεταβολής περιόδου που περιγράφηκε σ την ενότητα 3.6, για την εύρεσ η των αβεβαιοτήτων των παραμέτρων της λύσ ης για την σ υνθετική καμπύλη του παραδείγματος. 91

95 3. Τεχνικές μοντελοποίησ ης και προγράμματα ανάλυσ ης Πίνακας 3.4.: Αποτελέσ ματα της μελέτης μεταβολής περιόδου του διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος ΤΖ Βοο Παράμετρος Αποτελέσ ματα e ±0.07 Amp(d) ± ω 3 (rad) 6.10±0.26 qmt (c/d) ±0.015 P (d) ± P 3 (yr) ±0.71 HJD(d) ± T 03 (d) ± Εφαρμογή σ ε πραγματικά δεδομένα Η μεταβολή περιόδου του διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος TZ Boo, μελετήθηκε από τους Christopoulou et al. (2011) και από την ανάλυσ η προέκυψαν οι τροχιακές παράμετροι του τρίτου σ υνοδού καθώς και ο ρυθμός μεταφοράς μάζας μεταξύ των μελών του σ υσ τήματος. Συλλέγοντας από την διεθνή βιβλιογραφία τους δημοσ ιευμένους χρόνους ελαχίσ των από το (101 ελάχισ τα), και χρησ ιμοποιώντας τους χρόνους ελαχίσ των από το που σ υνοψίζονται σ την εργασ ία των Christopoulou et al. (2011) δημιουργήθηκε το διάγραμμα O-C. Η επικαιροποίησ η της λύσ ης έγινε χρησ ιμοποιώντας το πρόγραμμα ανάλυσ ης τροχιακών μεταβολών περιόδου και τις μεθόδους ανάλυσ ης που περιγράφηκε παραπάνω. Αρχικά, δημιουργήθηκαν μοντέλα διατηρώντας σ ταθερές τις τιμές της εκκεντρότητας του τρίτου σ ώματος σ το διάσ τημα (0, 1). Η βέλτισ τη τιμή της εκκεντρότητας που προέκυψε χρησ ιμοποιήθηκε ως σ ταθερά και σ τη σ υνέχεια προσ αρμόσ τηκε βέλτισ τη καμπύλη ώσ τε να βρεθούν οι τιμές των υπολοίπων παραμέτρων. Η λύσ η που προέκυψε χρησ ιμοποιήθηκε για την σ άρωσ η σ τον χώρο των παραμέτρων, ώσ τε να βρεθούν οι αβεβαιότητες των παραμέτρων και να ελεγχθεί η σ ταθερότητα της λύσ ης. Τα αποτελέσ ματα δίνονται σ τόν πίνακα (3.7.3) καθώς και οι κατανομές των παραμέτρων (Amp, qmt, e 3 ) παρουσ ιάζονται σ τα ισ τογράμματα των σ χημάτων (3.10). Στο Σχήμα 3.11 (πάνω) παρουσ ιάζεται η επιφάνεια της τομής του χώρου των παραμέτρων [e 3 ω 3 ] σ υναρτήσ ει του χ 2, το διάγραμμα της εκκεντρότητας σ υναρτήσ ει του χ 2 (κάτω αρισ τερά) και το αποτέλεσ μα της προσ αρμογής βέλτισ της καμπύλης (κάτω δεξιά). 92

96 3. Τεχνικές μοντελοποίησ ης και προγράμματα ανάλυσ ης Σχήμα 3.10.: Ισ τογράμματα κατανομών του ημιπλάτους της μεταβολής Amp (d), του ορίσ ματος του περίασ τρου ω (rad), του παραβολικού όρου qmt και της εκκεντρότητας του τρίτου σ υνοδού e 3. Οι κατανομές προέκυψαν από την ανάλυσ η με την μέθοδο της σ άρωσ ης σ τον χώρο των λύσ εων με εφαρμογή διαταραχής σ τις παραμέτρους (Heuristic scanning with parameter perturbation), μέσ ω του προγράμματος ανάλυσ ης μεταβολής περιόδου που περιγράφηκε σ την προηγούμενη ενότητα. Η μέσ η τιμή και η τυπική απόκλισ η των παραπάνω κατανομών δίνουν την τιμή και την αβεβαιότητα κάθε παραμέτρου για τις μεταβολές περιόδου σ το τριπλό σ ύσ τημα ασ τέρων ΤΖ Βοο, και παράλληλα της σ ταθερότητα της λύσ ης. 93

97 3. Τεχνικές μοντελοποίησ ης και προγράμματα ανάλυσ ης e qmt O-C (days) Epoch (cycles) Σχήμα 3.11.: Γραφική αναπαράσ τασ η της τομής [e 3 ω] (πάνω δεξιά) και [e 3 qmt] (πάνω αρισ τερά) του χώρου των παραμέτρων όπως προέκυψε από την ανάλυσ η των μεταβολών περιόδου για το τριπλό σ ύσ τημα ΤΖ Βοο. Γραφική παράσ τασ η της εκκεντρότητας e 3 με το χ 2 (κάτω αρισ τερά) και της βέλτισ της καμπύλης σ τα παρατηρησ ιακά δεδομένα (κάτω δεξιά) για το τριπλό σ ύσ τημα ΤΖ Βοο, όπως προέκυψε από την ανάλυσ η των μεταβολών περιόδου. 94

98 Βιβλιογραφία [Charbonneau(1995)] Charbonneau, P. 1995, ApJS, 101, 309 [Charbonneau, P. (2002)] Charbonneau, P., 2002, Release Notes for PIKAIA 1.2, NCAR Technical Note 451+STR (Boulder: National Center for Atmospheric Research) [Christopoulou et al.(2011)] Christopoulou, P.-E., Papageorgiou, A., & Chrysopoulos, I. 2011,AJ, 142, 99 [Christopoulou & Papageorgiou(2013)] Christopoulou, P.-E., & Papageorgiou, A. 2013, AJ, 146, 157 [Efron(1982)] Efron, B. 1982, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 1982 [Euler, L. (1755)] Euler, L., : 1755, Institutiones Calculi Differentialis, Memoires de l academie de sciences de Berlin [Ford(2005)] Ford, E. B. 2005, AJ, 129, 1706 [Ford(2006)] Ford, E. B. 2006, ApJ, 642, 505 [Foreman-Mackey et al.(2013)] Foreman-Mackey, D., Hogg, D. W., Lang, D., & Goodman, J. 2013, PASP, 125, 306 [Fonnesbeck, et al. (2013)] Fonnesbeck, C., Patil, A., Huard, D., Salvatier, J., 2013, PyMC: [Gelman et al. (2003)] Gelman, A., Carlin, J.B., Stern, H.S., & Rubin, D.B. 2003, in Bayesian Data Analysis, London: Chapman & Hall [Kopal, Z. (1943)] Kopal, Z.: 1943, An Application of the Method of Least-Squares to the Adjustment of Photometric Elements of Eclipsing Binaries, Proc. Am. Philos. Soc. 86, [Kwee & van Woerden(1956)] Kwee, K. K., & van Woerden, H. 1956, Bull. Astron. Inst. Neth., 12, 327 [Levenberg, K. (1944)] Levenberg, K.: 1944, A Method for the Solution of Certain Nonlinear Problems in Least-Squares, Quart. Appl. Math. 2, [Marquardt, D. W. (1963)] Marquardt, D. W.: 1963, An Algorithm for Least-Squares Estimation of Nonlinear Parameters, SIAM J. Appl. Math. 11,

99 Βιβλιογραφία [Mikulášek et al.(2012)] Mikulášek, Z., Zejda, M., & Janík, J. 2012, IAU Symposium, 282, 391 [Metcalfe(1999)] Metcalfe, T. S. 1999, AJ, 117, 2503 [Nelder & Mead (1965)] Nelder, J. A. & Mead, R.: 1965, A Simplex Method for Function Minimization, Comp. J. 7,308b-313 [Papageorgiou et al (2014a)] Papageorgiou, A., Christopoulou P. E., Pribulla, T., & Vanko, M., 2014a, Refined investigation of the low-amplitude contact binary V1003 Her (Astrophysics and Space Science, in press) [Papageorgiou & Christopoulou (2014b)] Papageorgiou, A., Christopoulou P. E., 2014b, A multi-band photometric study of the low-amplitude contact binary HI Draconis (Astronomical Journal, in press) [Press et al.(1992)] Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T., & Flannery, B. P. 1992, Cambridge: University Press, c1992, 2nd ed., [Prša & Zwitter(2005)] Prša, A., & Zwitter, T. 2005, ApJ, 628, 426 [Spendley et al. (1962)] Spendley, W., Hext, G. R., & Himsworth, F. R.: 1962, Sequential Application of Simplex Designs in Optimisation and Evolutionary Operation, Technometrics 4, 441?461 [Wilson & Van Hamme(2014)] Wilson, R. E., & Van Hamme, W. 2014, ApJ, 780, 151 [Wilson, R. E. (1993)] Wilson, R. E., :1993 in ASP Conf. Ser. 38: New Frontiers in Binary Star Research, pp 91-+ [Wilson & Biermann(1976)] Wilson, R. E., & Biermann, P. 1976, A&A, 48, 349 [Wilson & Devinney(1971)] Wilson, R. E., & Devinney, E. J. 1971, ApJ, 166, 605 [Wyse & Kron (1939)] Wyse, A.B and Kron, G.E.: 1939, Lick Observatory Bulletin 19, 17 [Zasche et al.(2009)] Zasche, P., Liakos, A., Niarchos, P., et al. 2009, New A, 14,

100 4. Αναζήτησ η, αυτόματη ανάλυσ η και τεχνικές εξόρυξης δεδομενων από ασ τρονομικές επισ κοπήσ εις Σε αυτό το κεφάλαιο περιγράφονται οι τεχνικές εξόρυξης δεδομένων διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων από μεγάλες ασ τρονομικές επισ κοπήσ εις και η διαδικασ ία εξαγωγής των πρώτων φυσ ικών παραμέτρων τους μέσ ω νευρωνικών δικτύων. Επίσ ης παρουσ ιάζεται η μέθοδος αυτόματης εύρεσ ης διπλών σ υσ τημάτων ασ τέρων με ενδιαφέροντα χαρακτηρισ τικά σ ε ασ τρονομικές βάσ εις δεδομένων Εκτίμησ η των φυσ ικών παραμέτρων διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων με την χρήσ η τεχνητών νευρωνικών δικτύων (ΕΒΑΙ) Οι διασ τημικές αποσ τολές τηλεσ κοπίων (KEPLER, COROT, GAIA, κτλ) καθώς και επίγεια ρομποτικά τηλεσ κόπια (ASAS, SuperWASP, OGLE κτλ) έχουν δώσ ει σ την ασ τρονομική κοινότητα πληθώρα παρατηρησ ιακών δεδομένων και καμπυλών φωτός από μεταβλητούς α- σ τέρες (διπλούς εκλειπτικούς, παλλόμενους, κατακλυσ μιαίους μεταβλητούς κλπ). Η εξόρυξη παρατηρησ ιακών δεδομένων μπορεί να γίνει από ειδικές βάσ εις παρατηρησ ιακών δεδομένων που έχουν δημιουργηθεί από το εκάσ τοτε επισ τημονικό πρόγραμμα. Η μοντελοποίησ η και ταξινόμησ η τέτοιου όγκου δεδομένων είναι αδύνατη χωρίς την χρήσ η ειδικών τεχνικών και μεθόδων. Το υπολογισ τικό πρόγραμμα Eclipsing Binaries via Artificial Intelligence (EBAI, Prša 2008), που δημιουργήθηκε για τις ανάγκες του διασ τημικού τηλεσ κοπίου KEPLER, χρησ ιμοποιεί τεχνητά νευρωνικά δίκτυα για την μοντελοποίησ η διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων. Η μέθοδος βασ ίζεται σ την εκπαίδευσ η και εκμάθησ η (training) των νευρώνων του δικτύου από μεγάλο αριθμό γνωσ τών προτύπων και σ την σ υνέχεια αναγνώρισ η (recognition) άγνωσ των προτύπων. Τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα μπορούν να χρησ ιμοποιηθούν είτε για ταξινόμησ η είτε για υπολογισ μό παραμέτρων. Το πρόγραμμα ΕΒΑΙ έχει χρησ ιμοποιηθεί για την μοντελοποίησ η χιλιάδων εκλειπτικών σ υσ τημάτων ασ τέρων. Η βασ ική δομή ενός νευρώνα αποτελείται από ένα επίπεδο εισ όδου (input layer), ένα επίπεδο εξόδου (output layer) και ένα ή περισ σ ότερα ενδιάμεσ α, κρυφά επίπεδα (hidden layers). Οι κόμβοι εισ όδου εισ άγουν σ το νευρωνικό δίκτυο την πληροφορία που προέρχεται από τα παρατηρησ ιακά δεδομένα. Κάθε τιμή σ τον κόμβο εισ όδου πολλαπλασ ιάζεται με μια τιμή του παράγοντα σ τάθμισ ης (weights) και οδηγείται σ την σ υνάρτησ η ενεργοποίησ ης f και τελικά σ τους κόμβους του κρυφού επιπέδου. Αντίσ τοιχα σ υνεχίζεται η διαδικασ ία από το κρυφό επίπεδο προς 97

101 4. Ανάλυσ η δεδομένων από ασ τρονομικές επισ κοπήσ εις το επίπεδο εξόδου, το οποίο και θα δώσ ει τις τιμές των παραμέτρων του προβλήματος. Το νευρωνικό δίκτυο εκπαιδεύεται μέσ ω της δημιουργίας σ χέσ εων των μεταξύ των επιπέδων του νευρωνικού δικτύου. Για παράδειγμα, εισ άγοντας μια καμπύλη φωτός σ τους κόμβους εισ όδου που έχει δημιουργηθεί από γνωσ τές παραμέτρους εξόδου οι τιμές των βαρών σ υσ χέτισ ης θα αντανακλούν την σ χέσ η μεταξύ των τιμών εξόδου-εισ όδου. Ενα τεχνητό νευρωνικό δίκτυο ευθέως τροφοδοτούμενο (feed-forward) με σ υνεχή και διαφορίσ ιμη σ υνάρτησ η ενεργοποιήσ εως με ένα επίπεδο εισ όδου, ένα επίπεδο εξόδου και ένα κρυφό επίπεδο, μπορεί αναλυτικότερα να περιγραφεί ως εξής: Για l σ ημεία εισ όδου (τα οποία αποτελούν τα παρατηρησ ιακά δεδομένα μιας καμπύλης φωτός) σ το επίπεδο εισ όδου εφαρμόζονται οι σ υντελεσ τές σ τάθμισ ης w ij (Σχήμα 4.2). Σε κάθε κόμβο j του κρυφού επιπέδου, m κόμβων, οι σ ταθμισ μένες τιμές εισ όδου x i, (i = 0, 2,...l) αθροίζονται πριν εισ αχθούν σ την σ υνάρτησ η ενεργοποίησ ης f. Η τιμή κάθε κόμβου j του κρυφού επιπέδου θα είναι τότε όπου x i, i = 0, 2,...l τα σ ημεία από την καμπύλη φωτός και f(z) = 1 1 e η σ ιγμοειδής σ υνάρτησ η ενεργοποιήσ εως. z Με αντίσ τοιχο τρόπο γίνεται η διάδοσ η σ το επίπεδο εξόδου, δηλαδή σ ε κάθε κόμβο k του επιπέδου εξόδου, με n κόμβους, αθροίζονται αντίσ τοιχα οι σ ταθμισ μένες τιμές πριν εισ αχθούν σ την σ υνάρτησ η ενεργοποίησ ης f. Η τιμή κάθε κόμβου k του επιπέδου εξόδου θα είναι ( n ) y k = f wjk h j όπου w jk οι σ υντελεσ τές σ τάθμισ ης σ την σ ύνδεσ η κρυφού επιπέδου και επιπέδου εξόδου (Σχήμα 4.2). Η ανάδρομη διάδοσ η (back-propagating) σ το τεχνητό νευρωνικό δίκτυο αναπροσ αρμόζει τα βάρη σ υσ χέτισ ης κατά την διάρκεια της εκπαίδευσ ης του δικτύου ώσ τε να ελαχισ τοποιήσ ει το σ φάλμα k=1 Ε = 1 2 (yk t k ) 2 όπου y k οι τιμές εξόδου του νευρωνικού δικτύου για δοθείσ ες τιμές εξόδου t k (δηλαδή τις παραμέτρους t k του διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος που δομούν την καμπύλη φωτός) των παραδειγμάτων προς εκμάθησ η. Οι σ υντελεσ τές σ τάθμισ ης του κρυφού επιπέδου και του επιπέδου εξόδου, για μία επανάληψη, αναπροσ αρμόζονται ως εξής: w jk = w jk + w jk, w jk = η Ε w jk όπου η ο ρυθμός εκμάθησ ης (learning rate), Ε w jk = h j δ k όπουδ k = y k (1 y k )(y k t k ) για κάθε σ ημείο εξόδου ενώ τα βάρη εισ όδου και κρυφού επιπέδου θα αναπροσ αρμοσ τούν ως εξής: w jk = w jk + w ij, w ij = η Ε w ij, 98

102 4. Ανάλυσ η δεδομένων από ασ τρονομικές επισ κοπήσ εις Σχήμα 4.1.: Γραφική απεικόνισ η των παραμέτρων ενός αποχωρισ μένου διπλού σ υσ τήματος ασ τέρων που άμεσ α προκύπτουν από την καμπύλη φωτός. (Prša et al. 2008, Σχήμα 3) Ε w ij = x i δ j όπου δ j = h j (1 h j ) δ k w ij για κάθε σ ημείο εξόδου. Η ελαχισ τοποίησ η γίνεται με την μέθοδο της απότομης καθόδου (steepest descent) δηλαδή προς την διεύθυνσ η της κλίσ ης του σ φάλματος. Θα πρέπει να σ ημειωθεί ότι κατά την διαδικασ ία σ ύγκλισ ης ο αλγόριθμος μπορεί να αποκλίνει, γιάυτό σ την διόρθωσ η w i+1 κατα την επανάληψη i + 1 προσ τίθεται ένας όρος α w i ως εξής: w i+1 = η Ε w + α w i, όπου w i η διόρθωσ η κατά την επανάληψη i και α μια σ ταθερά που ονομάζεται momentum Εφαρμογή του κώδικα τεχνητών νευρωνικών δικτύων ΕΒΑΙ Η εκπαίδευσ η του νευρωνικού δικτύου απαιτεί την δημιουργία δεκάδων χιλιάδων σ υνθετικών καμπυλών φωτός από μοντέλα διπλών εκλειπτικών ασ τέρων και εκατοντάδες έως και εκατομμύρια επαναλήψεις σ ε δεδομένη τοπολογία δικτύου. Μέρος της εργασ ίας για την εκπαίδευσ η και υπολογισ μού των βασ ικών παραμέτρων αποχωρισ μένων διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων από το επισ τημονικό πρόγραμμα OGLE ΙΙΙ (Udalski et al. 1992) παρατίθεται σ ε αυτή την διατριβή. Τα παρατηρησ ιακά δεδομένα είναι φωτομετρικές καμπύλες φωτός σ το φίλτρο Ι και προέρχονται από το Μεγάλο Νέφος του Μαγγελάνου. Οι σ υνθετικές καμπύλες για την εκπαίδευσ η δημιουργήθηκαν από το λογισ μικό μοντελοποίησ ης διπλών ε- κλειπτικών σ υσ τημάτων PHOEBE-scripter. Η δημιουργία των σ υνθετικών καμπυλών έγινε με τυχαία δειγματοληψία των τιμών από διάφορες κατανομές (κανονική κατανομή, εκθετική κατανομή, ομοιόμορφη κατανομή) για κάθε παράμετρο. Δημιουργήθηκαν καμπύλες φωτός αποχωρισ μένων διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων ασ τέρων για την εκπαίδευσ η του 99

103 4. Ανάλυσ η δεδομένων από ασ τρονομικές επισ κοπήσ εις Σχήμα 4.2.: Τοπολογία νευρωνικού δικτύου τριών επιπέδων. τεχνητού νευρωνικού δικτύου και καμπύλες φωτός για τον έλεγχο εκμάθησ ης (validation). Οι καμπύλες φωτός των σ υσ τημάτων ανάλογα με την ταξινόμησ η του σ υσ τήματος έχουν διαφορετική ευαισ θησ ία σ τις παραμέτρους. Δηλαδή, ανάλογα με την ταξινόμησ η του σ υσ τήματος, οι αλλαγές σ ε σ υγκεκριμένες παραμέτρους επιφέρουν μεγαλύτερη αλλαγή σ τις παρατηρούμενες καμπύλες φωτός. Για παράδειγμα, σ τα αποχωρισ μένα σ υσ τήματα οι παράμετροι που μπορούν να εξαχθούν από τις φωτομετρικές καμπύλες είναι (α) ο λόγος των θερμοκρασ ιών Τ 2 Τ 1, που είναι ανάλογος της φωτεινότητας των ασ τέρων και επομένως της διαφοράς των βαθών των εκλείψεων σ την παρατηρούμενη καμπύλη φωτός, (β) το άθροισ μα των σ χετικών ακτίνων των ασ τέρων (ρ 1 +ρ 2 ), (γ) esinω, (δ) ecosω, όπου e η εκκεντρότητα, ω η γωνία του περίασ τρου του σ υσ τήματος και (ε) sini όπου i η κλίσ η του σ υσ τήματος ως προς το επίπεδο του ουρανού (Σχήμα 4.1). Αυτές οι παράμετροι θα είναι και οι πέντε κόμβοι του επιπέδου εξόδου. Επειδή οι καμπύλες φωτός δεν έχουν πάντα τον ίδιο αριθμό παρατηρήσ εων, θα πρέπει να βρεθεί ένα αντιπροσ ωπευτικό δείγμα σ ημείων (σ υγκεκριμένου αριθμού σ ημείων) ώσ τε να χρησ ιμοποιηθούν ως κόμβοι εισ όδου σ το τεχνητό νευρωνικό δίκτυο. Γι αυτό το λόγο χρησ ιμοποιήθηκε το πρόγραμμα polyfit (Prša et al. 2008) που προσ αρμόζει μια αλυσ ίδα πολυωνύμων σ τις καμπύλες φωτός ώσ τε να δημιουργήσ ει ένα α- ριθμό αντιπροσ ωπευτικών σ ημείων, που απέχουν ίσ η απόσ τασ η φάσ ης μεταξύ τους, για να χρησ ιμοποιηθούν ως σ ημεία εισ όδου σ το επίπεδο εισ όδου του νευρωνικού δικτύου. Για την εύρεσ η της βέλτισ της τοπολογίας του δικτύου χρειάζεται να βρεθεί ο αριθμός των κόμβων σ το κρυφό επίπεδο του τεχνητού νευρωνικού δικτύου. Αν και υπάρχουν γενικοί εμπειρικοί κανόνες που σ υνδέουν τον αριθμό των κρυφών κόμβων με τον αριθμό των κόμβων εισ όδουεξόδου, η πιο διαδεδομένη πρακτική είναι η δοκιμή διαφορετικών τιμών κρυφών κόμβων εκπαιδεύοντας τα προς δοκιμή νευρωνικά δίκτυα και επιλέγοντας την τοπολογία του δικτύου που ελαχισ τοποιεί την διαφορά μεταξύ των θεωρητικών τιμών εξόδου του δείγματος ελέγχου και των τιμών που υπολογίζει το νευρωνικό δίκτυο. Στο Σχήμα (4.5) δίνονται το μέσ ο σ φάλμα κάθε παραμέτρου για κάθε τοπολογία δικτύου 201-L-5, δηλαδή L = κρυφοί κόμβοι, 201 κόμβοι εισ όδου και 5 κόμβοι εξόδου καθως και τα αποτελέσ ματα της 100

104 4. Ανάλυσ η δεδομένων από ασ τρονομικές επισ κοπήσ εις Σχήμα 4.3.: Ισ τογράμματα κατανομών του ορίσ ματος του περίασ τρου omega (rad), της κλίσ ης του διπλού σ υσ τήματος inc (deg), του αθροίσ ματος των σ χετικών ακτίνων R 1 +R 2 a =r 1 +r 2, του λόγου των θερμοκρασ ιών T 2 T 1, και τις εφαπτομενικές σ υνισ τώσ ες της εκκεντρότητας esin(ω) και ecos(ω) σ ε σ ύνολο καμπυλών φωτός που δημιουργήθηκαν με τυχαία δειγματολειψία από κανονική, εκθετική ή ομοιόμορφη κατανομή για αποχωρισ μένα διπλά σ υσ τήματα ασ τέρων. 101

105 4. Ανάλυσ η δεδομένων από ασ τρονομικές επισ κοπήσ εις Σχήμα 4.4.: Γραφική παράσ τασ η της σ υνάρτησ ης κόσ τους ανά καμπύλη φωτός (exemplar) σ υναρτήσ ει των επαναλήψεων εκμάθησ ης. Προς αποφυγή των τοπικών ελαχίσ των, σ τον κώδικά EBAI έχει εισ αχθεί μία διαταραχή κατα την ελαχισ τοποίησ η του χ 2 και αυτό εξηγεί την διασ πορά (δεξιά) που εμφανίζεται κατα μήκος της καμπύλης εκμάθησ ης. αναγνώρισ ης των παραμέτρων για την βέλτισ τη τοπολογία Στο Σχήμα 4.4 παρουσ ιάζεται η σ υνάρτησ η κόσ τους σ υναρτήσ ει των επαναλήψεων για την ίδια τοπολογία για επαναλήψεις. Το επόμενο βήμα είναι να βρεθεί η τιμή του ρυθμού εκμάθησ ης η ώσ τε το δίκτυο να έχει την βέλτισ τη απόδοσ η χρησ ιμοποιώντας την βέλτισ τη τοπολογία και δοκιμάζοντας διάφορες τιμές σ το διάσ τημα ( ) (4.6) και τελικά να γίνει η τελική εκμάθησ η με 10 7 επαναλήψεις. Μελλοντικά, σ τόχος είναι και η δημιουργία νευρωνικού δικτύου για τον υπολογισ μό των παραμέτρων χιλιάδων σ υσ τημάτων σ ε επαφή από το OGLE ΙΙΙ Αυτόματη εύρεσ η διπλών σ υσ τημάτων ασ τέρων με ενδιαφέροντα χαρακτηρισ τικά σ ε ασ τρονομικές βάσ εις δεδομένων Οι ασ τρονομικές βάσ εις δεδομένων περιέχουν ασ τρονομικά δεδομένα σ υσ τημάτων με ι- διαίτερα χαρακτηρισ τικά (ασ υμμετρίες σ την καμπύλη φωτός, ολικές εκλείψεις κτλ) που προέρχονται από φυσ ικές διεργασ ίες σ τους ασ τέρες όπως η παρουσ ία ασ τρικών κηλίδων, η παρουσ ία δίσ κου προσ αύξησ ης υλικού γύρω από τους ασ τέρες, η παρουσ ία μεσ οασ τρικής σ κόνης, σ υσ τήματα με ολικές εκλείψεις κτλ. Η ασ τρονομική κοινότητα έχει αναπτύξει αυτοματοποιημένες διαδικασ ίες ανάλυσ ης και ταξινόμησ ης λόγω του μεγάλου όγκου δεδομένων που προκύπτει από τις ασ τρονομικές παρατηρήσ εις. Στην ενότητα αυτή θα περιγραφεί η υλοποίησ η ενός προγράμματος αυτόματης εύρεσ ης σ υσ τημάτων ασ τέρων με ενδιαφέροντα χαρακτηρισ τικά σ ε ασ τρονομικές βάσ εις δεδομένων βάσ ει των φαινομενολογικών χαρακτηρισ τικών των σ υσ τημάτων. Το πρόγραμμα υλοποιήθηκε σ ε γλώσ σ α προγραμματισ μού 102

106 4. Ανάλυσ η δεδομένων από ασ τρονομικές επισ κοπήσ εις Σχήμα 4.5.: Γραφική παράσ τασ η του μέσ ου τετραγωνικού σ φάλματος για κάθε παράμετρο (α, β, γ, δ, ε) σ υναρτήσ ει των τοπολογιών του νευρωνικού δικτύου (πάνω αρισ τερά). Ο αριθμός των κρυφών κόμβων που ελαχισ τοποιεί το σ φάλμα σ υνολικά των παραμέτρων είναι 100 κόμβοι, και επομένως η βέλτισ τη τοπολογία είναι (πάνω δεξιά). Γραφική παράσ τασ η των υπολογισ θέντων σ υναρτήσ ει των θεωρητικών τιμών παραμέτρων του δείγματος ελέγχου (14700 καμπύλες φωτός). Τα δεδομένα βρίσ κονται πάνω σ την ευθεία x=y που σ ημαίνει ότι το νευρωνικό δίκτυο αναγνωρίζει σ ωσ τά τις παραμέτρους άγνωσ των αποχωρισ μένων σ υσ τημάτων ασ τέρων. Κάτω, παρουσ ιάζονται οι κατανομές των υπολογισ θέντων και των θεωρητικών τιμών του αθροίσ ματος των σ χετικών ακτίνων του σ υσ τήματος απ όπου φαίνεται ότι για την περιοχή το νευρωνικό δίκτυο αναγνωρίζει με επιτυχία της άγνωσ τες καμπύλες φωτός. 103

107 4. Ανάλυσ η δεδομένων από ασ τρονομικές επισ κοπήσ εις Σχήμα 4.6.: Γραφική παράσ τασ η του ρυθμού εκμάθησ ης (learning rate) σ υναρτήσ ει των επαναλήψεων (Prša et al. 2008, Σχήμα 9). Η τιμή 0.1 είναι η καλύτερη για το νευρωνικό δίκτυο που προτείνουν οι Prša et al. (2008). Η διερεύνησ η αυτή είναι το επόμενο βήμα που πρέπει να γίνει ώσ τε να βελτισ τοποιηθεί το νευρωνικό δίκτυο αναγνώρισ ης και εκτίμησ ης των παραμέτρων για αποχωρισ μένα διπλά σ υσ τήματα ασ τέρων που περιγράφηκε παραπάνω. 104

108 4. Ανάλυσ η δεδομένων από ασ τρονομικές επισ κοπήσ εις Fortran και Python. Το πρόγραμμα διαβάζει από δεδομένο κατάλογο το όνομα, την γραμμική ασ τρονομική εφημερίδα, το μέγισ το φαινόμενο μέγεθος, και άλλα σ τοιχεία του κάθε σ υσ τήματος ασ τέρων και εφαρμόζει σ την εκάσ τοτε καμπύλη φωτός μια σ ειρά από περιορισ μούς (ανάλογα των ορίων και της ευαισ θησ ίας των παρατηρησ ιακών οργάνων καταγραφής) ώσ τε η φωτομετρική καμπύλη να καθαρισ τεί από εσ φαλμένα παρατηρησ ιακά σ ημεία. Αυτόματα, δημιουργείται το διάγραμμα φάσ ης της κάθε καμπύλης φωτός που είναι χαρακτηρισ τική για κάθε σ ύσ τημα. Στο σ ημείο αυτό κάθε καμπύλη χωρίζεται σ ε 4 περιοχές φάσ ης (π.χ , , , για σ υσ τήματα σ ε επαφή) και σ ε κάθε περιοχή προσ αρμόζονται πολυώνυμα δευτέρου βαθμού. Από αυτά προκύπτουν τα φαινομενολογικά χαρακτηρισ τικά κάθε σ υσ τήματος, δηλαδή, η διαφορά των μεγίσ των κάθε καμπύλης φωτός maxi-maxii, το βάθος της έκλειψης depthi σ την φάσ η 0, το βάθος της έκλειψης depthiι σ την φάσ η 0.5, και οι καμπυλότητες σ τις εκλείψεις και σ τις περιοχές εκτός των εκλείψεων. Τα αποτελέσ ματα καταχωρούνται αυτόματα σ ε κατάλογο για περαιτέρω ανάλυσ η, ενώ δίνεται η δυνατότητα οπτικής επισ κόπησ ης των καμπυλών φωτός που ενδεχομένως έχουν ενδιαφέρον. Η εφαρμογή του προγράμματος έγινε σ την ασ τρονομική βάσ η ASAS-3. Το αρχικό δείγμα αποτελείτο 5374 διπλά εκλειπτικά σ υσ τήματα ασ τέρων που παρατηρήθηκαν με ασ τρονομικό φίλτρο V του οπτικού μέρους του ηλεκτρομαγνητικού φάσ ματος, τα οποία είτε έχουν χαρακτηρισ τεί ως σ υσ τήματα σ ε επαφή (ΕC) είτε ανήκουν σ ε περισ σ ότερες από μία κατηγορίες (EC/ESD, EC/RRC/ESD, EC/DSCT). Στο ισ τόγραμμα του Σχήματος (4.8) φαίνονται οι τιμές maxi-maxii που αντανακλούν την ασ υμμετρία των καμπυλών φωτός όλων των σ υσ τημάτων του αρχικού δείγματος, (κόκκινες ράβδοι) σ τις περιοχές εκτός των εκλείψεων. Λόγω χαμηλής φωτομετρικής ακρίβειας ( 0.01 mag) των καμπυλών φωτός, επιλέχθηκαν μόνο τα σ υσ τήματα με maxi-maxii > mag (μπλέ ράβδοι) ως σ υσ τήματα με σ ημαντική ασ υμμετρία (O Connell effect, O Connell (1956)). Στο Σχήμα (4.9) παρουσ ιάζονται τα αποτελέσ ματα του εύρους μεταβολής (ASASAmp) όπως δίνεται από την βάσ η ασ τρονομικών δεδομένων ASAS, και το εύρος μεταβολής που υπολογίσ τηκε από το πρόγραμμα (FITAmp) ως μέτρο σ ύγκρισ ης της προσ αρμογής των πολυωνύμων σ τα παρατηρησ ιακά δεδομένα. Από τα 5374 σ υσ τήματα ασ τέρων σ ε επαφή, τα 126 βρέθηκαν να έχουν ισ χυρή ασ υμμετρία και από τα οποία τα 98 είχαν ταξινομηθεί ως σ υσ τήματα σ ε επαφή (EC) ενώ 28 από αυτά είχαν πολλαπλή ταξινόμησ η (EC/ESD κλπ) (Pojmanski & Maciejewski 2004, Pojmanski et al. 2005). Στο Σχήμα (4.7) δίνονται δύο αντιπροσ ωπευτικά σ υσ τήματα ασ τέρων, με ισ χυρή ασ υμμετρία σ την καμπύλη φωτός τους, που προέκυψαν από την παραπάνω ανάλυσ η, ASAS (αρισ τερά) και ASAS (δεξιά). (Papageorgiou et al. 2014c). Τέλος, σ το Σχήμα (4.10) δίνεται η αναπαράσ τασ η της κατανομής των αποτελεσ μάτων σ την ουράνια σ φαίρα σ ε ουρανογραφικές σ υντεταγμένες (ορθή αναφορά και απόκλισ η, RA, Dec). Στα μελλοντικά σ χέδια είναι η εφαρμογή του προγράμματος σ ε άλλες βάσ εις δεδομένων (KEPLER, OGLE, SuperWASP, κτλ), σ ε σ υσ τήματα που έχουν ταξινομηθεί ως αποχωρισ μένα ή ημιαποχωρισ μένα καθώς και η εύρεσ η σ υσ τημάτων με ολική έκλειψη. Η σ υσ τηματική μελέτη σ υσ τημάτων ασ τέρων με ενδιαφέροντα μορφολογικά χαρακτηρισ τικά, όπως για παράδειγμα του φαινομένου O Connell, μπορεί να αποκαλύψει την φύσ η των μεταβολών που παρατηρούνται λόγω της ύπαρξης και εξέλιξης των ασ τρικών κηλίδων λόγω δρασ τηριότητας σ τις επιφάνειες των ασ τέρων. 105

109 4. Ανάλυσ η δεδομένων από ασ τρονομικές επισ κοπήσ εις Σχήμα 4.7.: Αντιπροσ ωπευτικά σ υσ τήματα ασ τέρων, με ισ χυρή ασ υμμετρία σ την καμπύλη φωτός τους, που προέκυψαν από την παραπάνω ανάλυσ η, ASAS (αρισ τερά) και ASAS (δεξιά) (Papageorgiou et al. 2014c) 106

110 4. Ανάλυσ η δεδομένων από ασ τρονομικές επισ κοπήσ εις Σχήμα 4.8.: Στο ισ τόγραμμα παρουσ ιάζονται οι τιμές maxi-maxii που αντανακλούν την α- σ υμμετρία των καμπυλών φωτός όλων των σ υσ τημάτων του αρχικού δείγματος, (κόκκινες ράβδοι) σ τις περιοχές εκτός των εκλείψεων. Λόγω χαμηλής φωτομετρικής ακρίβειας ( 0.01 mag) των καμπυλών φωτός, επιλέχθηκαν μόνο τα σ υσ τήματα με maxi-maxii > mag (μπλέ ράβδοι) ως σ υσ τήματα με σ ημαντική ασ υμμετρία. 107

111 4. Ανάλυσ η δεδομένων από ασ τρονομικές επισ κοπήσ εις Σχήμα 4.9.: Διάγραμμα του πλάτους της μεταβολής όπως προέκυψε από την ανάλυσ η (FI- Tamp) και το πλάτος που δίνεται από την ασ τρονομική βάσ η δεδομένων ASAS για τα σ υσ τήματα του δείγματος. Αυτό αποτελεί μέτρο για την προσ αρμογή της πολυωνυμικής αλυσ ίδας. Παρατηρείται ότι σ ε αμυδρά σ υσ τήματα εμφανίζεται μεγαλύτερη διασ πορά σ το σ χήμα και αυτό είναι λογικό μιας και η προσ αρμογή πολυωνυμικής αλυσ ίδας γίνεται σ ε καμπύλες μικρότερη φωτομετρική ακρίβεια. Σχήμα 4.10.: Κατανομή του δείγματος σ την ουράνια σ φαίρα. 108

112 Βιβλιογραφία [Papageorgiou et al.(2014c)] Papageorgiou, A., Kleftogiannis, G., & Christopoulou, P.- E. 2014c, Contributions of the Astronomical Observatory Skalnate Pleso, 43, 470 [Pojmanski et al.(2005)] Pojmanski, G., Pilecki, B., & Szczygiel, D. 2005, Acta Astron., 55, 275 [Pojmanski & Maciejewski(2004)] Pojmanski, G., & Maciejewski, G. 2004, Acta Astron., 54, 153 [Prša et al.(2008)] Prša, A., Guinan, E. F., Devinney, E. J., et al. 2008, ApJ, 687, 542 [Prša et al.(2011)] Prša, A., Batalha, N., Slawson, R. W., et al. 2011, AJ, 141, 83 [Udalski et al.(1992)] Udalski, A., Szymanski, M., Kaluzny, J., Kubiak, M., & Mateo, M. 1992,Acta Astron., 42,

113 Μέρος II. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ, ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΦΩΤΟΣ ΔΙΠΛΩΝ ΕΚΛΕΙΠΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 110

114 Βιβλιογραφία 111

115 5. Oλισ τική μελέτη του εκλειπτικού σ υσ τήματος W UMa TY Βοο: Το μοντέλο των δύο κηλίδων 5.1. Εισ αγωγή Το διπλό εκλειπτικό σ ύσ τημα σ ε σ τενή επαφή τύπου W UMa, TY Boo (V = mag, a J2000 =15 h 00 m 46.9 s, δ J2000 = 35 o ), αν και ανακαλύφθηκε πριν από 85 έτη παραμένει ένα πολύ ενδιαφέρον αντικείμενο. Οι φωτομετρικές καμπύλες και τα αντίσ τοιχα μοντέλα της βιβλιογραφίας σ υγκεντρώνονται σ τον Πίνακα 5.1. Το πρώτο μοντέλο του Πίνακα 5.1 εξήχθη με την μέθοδο Russel-Merill, το δεύτερο με τη μέθοδο Kopal, ενώ τα υπόλοιπα με το πρόγραμμα των Wilson-Devinney (W-D). Η πιο πρόσ φατη μελέτη σ χετικά με τη σ υμπεριφορά του σ υσ τήματος, βασ ισ μένη σ ε φωτομετρικά και φασ ματσ κοπικά δεδομένα, είναι των Milone et al. (1991), σ ύμφωνα με την οποία ο TY Boo ανήκει σ την υποκατηγορία W των W UMa διπλών σ υσ τημάτων σ ε υπερεπαφή, με φασ ματοσ κοπικό λόγο μαζών Οι ίδιοι σ υγγραφείς παρουσ ίασ αν ένα μοντέλο με ψυχρές και θερμές κηλίδες σ τον πιο ψυχρό ασ τέρα-μέλος του σ υσ τήματος και έδειξαν ότι με το ίδιο μοντέλο μπορούν να ερμηνευτούν και οι παλαιότερες φωτομετρικές καμπύλες των Carr (1972) και Samec & Brookmyer (1987), χωρίς καν την ανάγκη παρουσ ίας κηλίδων, λόγω της πολύ μικρής ασ υμμετρίας που παρουσ ίαζαν σ τα μέγισ τά τους οι φωτομετρικές καμπύλες. Στον Πίνακα 5.1 παρουσ ιάζονται επίσ ης και οι παρατηρούμενες μεταβολές της τροχιακής περιόδου του TY Boo, η μελέτη των οποίων οδήγησ ε σ ε διαφορετικά και αντίθετα σ υμπεράσ ματα. Είναι σ υχνό όμως το φαινόμενο όπου λόγω της ατελούς ή μη αξιόπισ της σ υγκέντρωσ ης των χρόνων ελαχίσ των που έχουν καταγραφεί, οι μεταβολές O-C να ερμηνεύονται ως αύξησ η ή μείωσ η της περιόδου, ως περιοδική μεταβολή της περιόδου ή ως απότομες μεταβολές της. Η πιο πρόσ φατη μελέτη της περιόδου έγινε από τους Yang et al (2007) οι οποίοι σ υμπέραναν ότι η περίοδος δείχνει μία μακρόχρονη μείωσ η ημιτονοειδούς μορφής η οποία μπορεί να ερμηνευτεί και με την παρουσ ία ενός τρίτου σ ώματος σ ύμφωνα με το φαινόμενο LITE. Από τότε έχουν καταγραφεί 84 νέα ελάχισ τα με παρατηρήσ εις με CCD (σ υμπεριλαμβανομένων των παρατηρήσ εων της παρούσ ας εργασ ίας) ώσ τε να μπορεί να πραγματοποιηθεί μία νέα μελέτη της περιόδου του σ υσ τήματος η οποία να οδηγήσ ει σ ε νέα σ υμπεράσ ματα. Σκοπός της παρούσ ας εργασ ίας, είναι η λεπτομερής και επικαιροποιημένη μελέτη της περιόδου του σ υσ τήματος TY Boo, η οποία μαζί με την ανάλυσ η των νέων φωτομετρικών δεδομένων BV RcIc αλλά και των παλαιότερων, θα οδηγήσ ει σ την εξαγωγή των φυσ ικών παραμέτρων και σ τη μοντελοποίησ ή του, κάτω από μία ενοποιημένη προσ έγγισ η. 112

116 5. Oλισ τική μελέτη του εκλειπτικού σ υσ τήματος W UMa TY Βοο: Το μοντέλο των δύο κηλίδων Πίνακας 5.1.: Φωτομετρικές, φασ ματοσ κοπικές και μελέτες περιόδου του TY Boo από προηγούμενες μελέτες c=ψυχρότερος ασ τέρας-μέλος, h=θερμότερος ασ τέρας-μέλος, LMT=light minimum times, LITE=Light Time Effect Αναφορές: (1) Carr 1972; (2) Niarchos 1978; (3) Samec et al. 1989; (4) Rainger et al. 1990; (5) Milone et al. 1991; (6) Wood & Forbes 1963; (7) Qian 2001b; (8) Li et al. 2005; (9) Pribulla & Rucinski 2006; (10) Elmasli et al. 2006; (11) Yang et al

117 5. Oλισ τική μελέτη του εκλειπτικού σ υσ τήματος W UMa TY Βοο: Το μοντέλο των δύο κηλίδων Πίνακας 5.2.: Φωτομετρικές παρατηρήσ εις BV RcIc του TY Boo* *Ολόκληρος ο πίνακας παρατίθεται σ το VizieR Παρατηρήσ εις CCD Οι φωτομετρικές παρατηρήσ εις CCD του TY Boo πραγματοποιήθηκαν κατά το διάσ τημα από το Μάρτιο 2010 έως τον Ιούλιο 2010 (8 νύχτες) και για μία νύχτα τον Ιούνιο του 2011 σ το ασ τεροσ κοπείο Μυθωδία (βλ. ενότητα 2.1) με τα φίλτρα BV RcIc. Ο ασ τέρας σ ύγκρισ ης (C) που επιλέχθηκε ήταν ο GSC (V=11.5 mag) και ο ασ τέρας ελέγχου ο GSC (V=11.67 mag). Η επεξεργασ ία των παρατηρήσ εων περιγράφεται σ τις εργασ ίες των Christopoulou et al. (2011, 2012). Τμήμα των αποτελεσ μάτων της διαφορικής φωτομετρίας σ ε κάθε φίλτρο παρουσ ιάζεται σ τον Πίνακα 5.2 τα οποία αποτελούν σ υνολικά 958 φωτομετρικά σ ημεία σ τις τέσ σ ερις φασ ματικες περιοχές (77 σ το B, 361 σ το V, 282 σ το R c και 238 σ το I c ). Οι σ υνολικές BV RcIc καμπύλες φωτός που προέκυψαν από όλες τις ημέρες παρατήρησ ης παρουσ ιάζονται σ το διάγραμμα του Σχήματος 5.1 ως διαφορά μεγεθών μεταξύ του μεταβλητού και του ασ τέρα σ ύγκρισ ης, σ ε σ χέσ η με την φάσ η η οποία υπολογίσ τηκε σ ύμφωνα με την εφημερίδα του Kreiner (2004). M in(i) = E Οπως φαίνεται από το διάγραμμα του Σχήματος 5.1, η καμπύλη φωτός του TY Boo είναι χαρακτηρισ τική της κατηγορίας των W UMa με τις δύο εκλείψεις του σ υσ τήματος να είναι μερικές. Η φωτομετρική ακρίβεια υπολογίζεται σ ε mag. Για τον υπολογισ μό των χρόνων ελαχίσ του χρησ ιμοποιήθηκε το πρόγραμμα Minima25c (Nelson 2005) το οποίο βασ ίζεται σ τη μέθοδο των Kwee & van Woerden (1956). Από την ανάλυσ η προέκυψαν 16 νέοι χρόνοι ελαχίσ των (11 πρωτεύοντες και 5 δευτερεύοντες) οι οποίοι παρουσ ιάζονται σ το σ τον Πίνακα 5.3 και σ τον Πίνακα 5.4 μαζί με όλους τους νεώτερους που σ υγκεντρώθηκαν από τη βιβλιογραφία μετά την εργασ ία των Yang et al. (2007). 114

118 5. Oλισ τική μελέτη του εκλειπτικού σ υσ τήματος W UMa TY Βοο: Το μοντέλο των δύο κηλίδων M(mag) 10.5 B V Rc-0.1 Ic Phase Σχήμα 5.1.: Τα φωτομετρικά σ ημεία και οι σ υνθετικές καμπύλες φωτός του μοντέλου (σ υνεχής γραμμή) σ τα φίλτρα BV RcIc του TY Boo με μία ψυχρή κηλίδα σ τον ασ τέρα με τη μεγαλύτερη μάζα και μία θερμή κηλίδα σ τον ασ τέρα με την μικρότερη μάζα. Πίνακας 5.3.: Νέοι χρόνοι ελαχίσ των του TY Boo 115

119 5. Oλισ τική μελέτη του εκλειπτικού σ υσ τήματος W UMa TY Βοο: Το μοντέλο των δύο κηλίδων 5.3. Μελέτη της περιόδου Από τις νέες παρατηρήσ εις της παρούσ ας εργασ ίας, υπολογίσ θηκαν 16 νέοι χρόνοι ελαχίσ των με τη μέθοδο Kwee & van Woerden (1956) (KW). Για τη μελέτη της περιόδου χρησ ιμοποιήθηκαν οι χρόνοι ελαχίσ των που είχαν σ υγκεντρώσ ει οι Yang et al. (2007) και προσ τέθηκαν άλλοι 56 από τις τελευταίες παρατηρήσ εις CCD, κυρίως από βάσ εις εκλειπτικών σ υσ τημάτων BAV 1 και O-C gateway 2. Επιπλέον, προσ τέθηκαν 11 χρόνοι ελαχίσ των (4 φωτοηλεκτρικοί και 7 ccd) μεταξύ του ελαχίσ του των Yang et al και των Albayrak (2005) οι οποίοι δεν είχαν περιληφθεί σ τον Πίνακα 1 των Yang et al. (2007). Συνολικά σ υγκεντρώθηκαν 375 χρόνοι ελαχίσ του φωτός σ ε διάσ τημα 85 ετών για την περίοδο Ολοι οι νέοι χρόνοι ελαχίσ των περιέχονται σ τον Πίνακα 5.4. Για τη μελέτη της περιόδου και την κατασ κευή του διαγράμματος Ο-C χρησ ιμοποιήθηκε η εφημερίδα του Kreiner (2001). M in(i) = E (5.1) Οι τιμές O-C που προκύπτουν από τους καινούριους χρόνους ελαχίσ του, περιέχονται σ την 5η σ τήλη του Πίνακα 5.4 και μαζί με τις παλαιότερες τιμές, χρησ ιμοποιήθηκαν για την κατασ κευή του διαγράμματος Ο-C για να ελέγξουν το προτεινόμενο μοντέλο σ χετικά με τη μεταβολή της περιόδου των Yang et al. (2007) και για να βελτιώσ ουν την ισ χύουσ α εφημερίδα με έναν δευτεροβάθμιο όρο και με τους όρους του φαινομένου LITE C = T o + P E + QE 2 + τ 3 (5.2) όπου τ 3 είναι η σ υμβολή του φαινομένου LITΕ λόγω της παρουσ ίας ενός μακρινού τρίτου σ ώματος το οποίο περιφέρεται γύρω από το εκλειπτικό σ ύσ τημα (Irwin 1952) και περιέχει τις πέντε παραμέτρους του (α 12, sin i 3, e 3, ω 3, Τ 3 και P 3 ) που περιγράφηκαν σ την ενότητα 1.5. Ο κώδικας που χρησ ιμοποιήθηκε είναι των Zasche et al. (2009) γραμμένος σ ε Matlab κι έχει το όνομα. LITE & Mass transfer 3. Τα αποτελέσ ματα περιλαμβάνονται σ την τρίτη σ τήλη του Πίνακα 5.5 μαζί με τη μάζα του τρίτου σ ώματος (M 3 ) υπολογισ μένη για τρεις διαφορετικές τιμές της κλίσ ης της τροχιάς του (i 3 ), με βάσ η τις τιμές των μαζών των μελών του σ υσ τήματος που εξήχθησ αν από την παρούσ α ανάλυσ η. Κατά την εφαρμογή, δόθηκε σ τατισ τικό βάρος σ ε κάθε χρόνο ελαχίσ του ανάλογα με το είδος του και σ υγκεκριμένα βάρος 1 σ τις αξιόπισ τες οπτικές και φωτογραφικές παρατηρήσ εις και βάρος 10 σ τις ακριβείς φωτοηλεκτρκές και CCD. Με βάσ η τα παραπάνω αποτελέσ ματα η νέα εφημερίδα που προέκυψε είναι MinI = HJD (16) (8) E (20) E 2 +τ 3 (5.3) Οπως φαίνεται από τα αποτελέσ ματα του Πίνακα 5.5, οι παράμετροι που αφορούν το τρίτο σ ώμα αλλά και οι υπόλοιπες-δεν διαφέρουν ιδιαίτερα από αυτές που υπολόγισ αν οι Yang zasche/ 116

120 5. Oλισ τική μελέτη του εκλειπτικού σ υσ τήματος W UMa TY Βοο: Το μοντέλο των δύο κηλίδων et al. (2007), όπως είναι άλλωσ τε αναμενόμενο, αφού δεν έχουν μεσ ολαβήσ ει τόσ α πολλά έτη ώσ τε να μεταβληθούν τα σ τοιχεία πάνω σ τα οποία βασ ίζεται η μελέτη της περιόδου. Επειδή σ το διάγραμμα O-C τα υπόλοιπα που αφορούν τους οπτικούς χρόνους ελαχίσ των την περίοδο παρουσ ιάζουν μεγάλη διασ πορά περίπου ±0.02 days, σ ε αντίθεσ η με τα αντίσ τοιχα φωτοηλεκτρικά και CCD, θεωρούμε ότι αυτό δεν οφείλεται σ ε πραγματική μεταβολή της περιόδου του σ υσ τήματος αλλά σ ε πολύ μεγαλύτερα σ φάλματα που υπεισ έρχονται κατά τον οπτικό προσ διορισ μό των ελαχίσ των. Προκειμένου σ τη μελέτη της περιόδου να χρησ ιμοποιηθούν μόνο τα αξιόπισ τα δεδομένα, δεν χρησ ιμοποιήθηκαν αυτά που θεωρούνται μικρής ακρίβειας από την BAV (σ υμπεριλαμβανομένου και του πρώτου οπτικού ελαχίσ του του 1962). Επαναλαμβάνοντας την παραπάνω διαδικασ ία υπολογίσ θηκε μια εφημερίδα από τις εξαγόμενες παραμέτρους MinI = HJD (31) (23) E (23) E 2 +τ 3 (5.4) Τα αποτελέσ ματα της παραπάνω διαδικασ ίας περιέχονται σ την τελευταία σ τήλη του Πίνακα 5.4 και η προσ αρμοσ μένη σ τις υπολογιζόμενες Ο-C τιμές, καμπύλη παρισ τάνεται σ το Σχήμα 5.2 ενώ οι αντίσ τοιχες διαφορές της προσ αρμογής σ το κάτω τμήμα του ίδιου σ χήματος. Οπως φαίνεται από τον Πίνακα 5.5 η υπολογιζόμενη με το σ ύνολο των ελαχίσ των, περίοδος του τρίτου σ ώματος P 3 = 58.9 yr σ υμφωνεί με την υπολογιζόμενη από τους Yang et al. (2007) αλλά ο ρυθμός μείωσ ης της περιόδου έχει αυξηθεί σ ε dp/de = days cycle 1 ( d yr 1 ). Οι υπόλοιπες παράμετροι της μεταβολής της τροχιακής περιόδου του TY Boo παρέμειναν περίπου οι ίδιες (εκτός από την εκκεντρότητα e η οποία είναι μεγαλύτερη), αλλά το σ ταθμισ μένο άθροισ μα των υπολοίπων είναι μικρότερο. Δυσ τυχώς, αν και οι Pribulla & Rucinski (2006) σ υμπεριέλαβαν τον TY Boo σ τον κατάλογό τους με τα υποψήφια για παρουσ ία τρίτου ή και περισ σ οτέρων σ ωμάτων σ υσ τήματα σ ε επαφή, ο ΤΥ Βοο κατετάγη σ την κατηγορία αυτών που η λύσ η LITE χαρακτηρίσ θηκε ασ ταθής ή με κάλυψη λιγότερο των 1.5 κύκλων, οπότε ούτε σ υμπεριελήφθη σ το φασ ματοσ κοπικό τους πρόγραμμα ανίχνευσ ης τριπλών σ υσ τημάτων ούτε σ ε κάποιο πρόγραμμα ανίχνευσ ης σ υνοδών σ το υπέρυθρο με χρήσ η σ υσ τημάτων προσ αρμοσ τικής οπτικής. Πρακτικά, ο καλύτερος τρόπος εξέτασ ης της περιόδου είναι μέσ ω της ίδιας της σ υνάρτησ ης της περιόδου. Οι Kalimeris et al. (1994) πρότειναν μέθοδο εύρεσ ης της σ υνάρτησ ης περιόδου από το διάγραμμα O-C. Το πλεονέκτημα αυτής της μεθόδου σ ε σ χέσ η με την κλασ ική ανάλυσ η O-C είναι ότι η σ υνάρτησ η της περιόδου παραμένει η ίδια ανεξάρτητα από την χρησ ιμοποιούμενη εφημερίδα. Από την άλλη, η μορφή του διαγράμματος O-C εξαρτάται από την επιλεγμένη εφημερίδα. Ακολουθώντας αυτήν τη διαδικασ ία, εξήχθη η σ υνάρτησ η της περιόδου P (E). Λόγω της πολύπλοκης φύσ ης των υπολοίπων O-C (Σχήμα 5.2) και με βάσ η την ημιπεριοδική μεταβολή τους, όπως φαίνεται εκ πρώτης όψεως, εξετάσ τηκε περαιτέρω με το πρόγραμμα Variable Sine Algorithmic Analysis (VSAA) 4. Το VSAA είναι μία μέθοδος εύρεσ ης μεταβλητών σ υχνοτήτων σ ε set δεδομένων (Tsantilas & Rovithis 2007, Tsantilas & Rovithis 2008, Kolenberg & Tsantilas 2008, Reindel et al. 2009). Η κύρια ιδέα της μεθόδου είναι η μερική προσ αρμογή των δεδομένων με τη χρήσ η μιας μεταβλητής ημιτονοειδούς σ υνάρτησ ης κι ενός πολύπλοκου αλγόριθμου (Kallrath and Linnell, 1987). Στην

121 5. Oλισ τική μελέτη του εκλειπτικού σ υσ τήματος W UMa TY Βοο: Το μοντέλο των δύο κηλίδων περίπτωσ η του TY Boo, το διάγραμμα O-C περιγράφηκε με ένα πολυώνυμο με τη μέθοδο των ελαχίσ των τετραγώνων και υπολογίσ θηκε η σ υνάρτησ η της περιόδου P(E). Η ανάλυσ η της μεταβολής της περιόδου δείχνει μία μακρόχρονη μείωσ η dp/dt = days yr 1 η οποία σ υμφωνεί με την εξαγόμενη από το LITE, days yr 1 (Πίνακας 5.5). Μετά την αφαίρεσ η αυτής της μείωσ ης της περιόδου η ανάλυσ η της σ υνάρτησ ης P (E) P e με το VSAA- ανέδειξε μία κυματοειδή μεταβολή με περιοδικότητα μεταξύ ημερών, σ ε σ υμφωνία με την P 3 η οποία υπολογίσ θηκε από το LITE. Η παραπάνω ανάλυσ η παρουσ ιάζεται σ το Σχήμα 5.3 (σ υχνότητα, πλάτος, προσ αρμογή). Πριν να μελετήσ ουμε τη φύσ η της κυκλικής σ υνισ τώσ ας της περιόδου, εξετάσ αμε εάν υπάρχει πιθανότητα να είναι το αποτέλεσ μα των μετατοπισ μένων σ ε φάσ η, πραγματικών χρόνων ελαχίσ των, λόγω χρωμοσ φαιρικής δρασ τηριότητας και/ή λόγω της μεθόδου με την οποία μετρούνται τα ελάχισ τα (Maceroni & van t Veer 1994; Kalimeris et al. 2002). Για να ελέχξουμε αυτήν την πιθανότητα, υπολογίσ αμε εκ νέου τα ελάχισ τα για κάθε καμπύλη φωτός (από τις παρούσ ες ή παλιότερες παρατηρήσ εις) με το πακέτο PHOEBE (Prša & Zwitter 2005) το οποίο βασ ίζεται σ τον αλγόριθμο Wilson Devinney (Wilson & van Hamme 2007) το οποίο δίνει πιο επακριβείς χρόνους ελαχίσ των σ ε σ χέσ η με τη μέθοδο KW, αφήνοντας ως ανεξάρτητη παράμετρο μόνο την εποχή του πρώτου ελάχισ του της εφημερίδας HJDo. Τα αποτελέσ ματα δείχνουν ότι οι διαφορές μεταξύ των καταγεγραμμένων χρόνων ελαχίσ του που παρουσ ιάζονται σ τον Πίνακα 5.4 και των υπολογιζόμενων (οι οποίοι δεν παρουσ ιάζονται για λόγους οικονομίας) είναι μικρότερες (περίπου κατά μία τάξη μεγέθους) από το παρατηρούμενο πλάτος της μεταβολής των 58.9 yr και ως εκ τούτου, η μεταβολή επιβιώνει ακόμα και εάν ληφθεί υπόψιν η παρουσ ία κηλίδων Ανάλυσ η της καμπύλης φωτός και μοντελοποίησ η Το σ ύσ τημα TY Boo ανήκει σ την υποκατηγορία W των W UMa όπου ο μικρότερης μάζας αλλά θερμότερος ασ τέρας, αποκρύπτεται κατά το πρωτεύον ελάχισ το, γεγονός που σ υμφωνεί με τις προηγούμενες φωτομετρικές λύσ εις (Πίνακας 5.1). Σε σ χέσ η με τις παρατηρήσ εις του το Σχήμα 5.1 δείχνει ότι και τα δύο ελάχισ τα απέχουν κατά 0.5 της φάσ ης, γεγονός που υποδηλώνει κυκλική τροχιά. Αφού οι παρούσ ες καμπύλες φωτός , καλύπτουν όλες τις φασ ματικές περιοχές BV RcIc και έχουν μεγαλύτερη φωτομετρική ακρίβεια από τις παλαιότερες, η εύρεσ η της φωτομετρικής λύσ ης ξεκίνησ ε από τις πιο σ ύγχρονες, υ- ποθέτοντας αρχικά απουσ ία κηλίδας ή τρίτου σ ώματος. Η μοντελοποίησ η έγινε ταυτόχρονα σ ε όλες τις καμπύλες, δηλαδή σ ε όλα τα φίλτρα. Για τη μοντελοποίησ η χρησ ιμοποιήθηκε το πακέτο PHOEBE (Prša & Zwitter 2005) που βασ ίζεται σ τον αλγόριθμο Wilson Devinney (Wilson & van Hamme 2007) με την επιλογή διπλό σ ύσ τημα σ ε υπερεπαφή χωρίς θερμική ισ ορροπία (overcontact binary, but not in thermal contact), αφού το διπλό σ ύσ τημα είναι τύπου W UMa. Η θερμοκρασ ία επιφάνειας του θερμότερου αλλά μικρότερης μάζας ασ τέρα (πρωτεύοντα ασ τέρα 1), τέθηκε σ ταθερή σ τους 5712 K (Cox 2000), σ ύμφωνα με το φασ ματικό του τύπο G3 (Milone et al. 1991), αν και οι ίδιοι σ υγγραφείς υιοθέτησ αν την τιμή 5823 K γι αυτόν τον φασ ματικό τύπο σ ύμφωνα με τον Popper (1980). Για τους δύο ασ τέρες τους σ υσ τήματος (θερμότερο h και ψυχρότερο-c), oι τιμές των γραμμικών σ υντελεσ τών αμαύρωσ ης χείλους (x bh = x bc, y bh = y bc ), υιοθετήθηκαν με προεκ- 118

122 5. Oλισ τική μελέτη του εκλειπτικού σ υσ τήματος W UMa TY Βοο: Το μοντέλο των δύο κηλίδων Πίνακας 5.4.: Χρόνοι ελαχίσ των * *Ολόκληρος ο πίνακας παρατίθεται σ το VizieR Αναφορές: 1) Parimucha 2007; (2) Nelson 2008; (3) Baldwin & Samolyk 2007; (4) Hubscher 2007 ;(5) Brat et al ;(6) Nagai 2008; (7) Parimucha 2009; (8) Samolyk 2008;(9) Hubscher 2009; (10) Dvorak 2009; (11) Marino 2010; (12) Samolyk 2009; (13) Samolyk 2010a; (14) Hubscher 2010; (15) Samolyk 2010b; (16) Hubscher 2011; (17) Diethelm 2010; (18) Dogru et al. 2006; (19) Diethelm 2006 ; (19) Hubscher & Walter 2007; (20) Hubscher et al. 2006; (21) Parimucha et al. 2011; (22) Nelson 2011; (23) Diethelm 2011; (24) Brat et al. 2011; (25) Yang et al. 2007; (26) Samolyk 2011 Πίνακας 5.5.: Παράμετροι της ανάλυσ ης της περιόδου του TY Boo a Μάζα του υποθετικού τρίτου σ ωματος για διαφορετικές τιμές του i3. b Με βάσ η τις μάζες των ασ τέρων μελών από τους Milone et al. (1991). c Με βάσ η τις μάζες των ασ τέρων μελών της παρούσ ας ανάλυσ ης. 119

123 5. Oλισ τική μελέτη του εκλειπτικού σ υσ τήματος W UMa TY Βοο: Το μοντέλο των δύο κηλίδων Σχήμα 5.2.: Το διάγραμμα O C του TY Boo από όλες τις αξιόπισ τες μετρήσ εις ( ). Πάνω τμήμα: Η σ υνεχής και διακεκομένη γραμμή παρισ τάνουν τον ημιτονοειδή και τον δευτεροβάθμιο όρο αντίσ τοιχα της εξίσ ωσ ης 5.4. Κάτω τμήμα: Τα υπόλοιπα μετά την προσ αρμογή της εξίσ ωσ ης 5.4. Με γεμάτους κύκλους παρισ τάνονται τα πρωτεύοντα ελάχισ τα και με άδειους κύκλους τα δευτερεύοντα ελάχισ τα, με μέγεθος ανάλογο του σ τατισ τικού τους βάρους. βολή από τους Πίνακες του Van Hamme (1993) υποθέτοντας ότι τo φαινόμενο ακολουθεί σ χέσ η τετραγωνικής ρίζας, οι σ υντελεσ τές αμαύρωσ ης λόγω βαρύτητας g h = g c = 0.32 (Lucy 1967) και οι σ υντελεσ τές ανάκλασ ης A h = A c = 0.5 (Rucinski 1969), επειδή οι ασ τέρες έχουν Τ < 7200Κ κι άρα έχουν φωτόσ φαιρες με ζώνη μεταφοράς. Για το λόγο των μαζών των δύο μελών, υιοθετήθηκε η φασ ματοσ κοπική τιμή των Milone et al. (1991) q = M c /M h = 2.15(4) η οποία διατηρήθηκε σ ταθερή κατά τη διάρκεια της μοντελοποίησ ης. Υποθέσ αμε επίσ ης κυκλική τροχιά και σ ύγχρονη περισ τροφή των μελών του σ υσ τήματος. Αν και κατά τη διάρκεια της ανάλυσ ης εξετάσ τηκε η υπόθεσ η παρουσ ίας τρίτης πηγής φωτός όπως προέκυψε από την ανάλυσ η της περιόδου, η σ υμβολή του παρέμεινε μηδενική σ τα πλαίσ ια των σ φαλμάτων. Τα αποτελέσ ματα παρουσ ιάζονται σ την 2 η σ τήλη του Πίνακα 5.6 και όπως προκύπτει από το άθροισ μα των τετραγώνων των υπολοίπων των σ υνθετικών καμπυλών φωτός (δεν παρουσ ιάζονται) σ ε σ χέσ η με τις πειραματικές αλλά και με τον οπτικό έλεγχο της προσ αρμογής τους, δεν είναι ικανοποιητικά. Γι αυτό, για την μοντελοποίησ η υιοθετήθηκε ένα μοντέλο κηλίδων, λαμβάνοντας υπόψιν το μεταγενέσ τερο φασ ματικο τύπο του σ υσ τήματος και τις περιπτώσ εις των διπλών σ υσ τημάτων σ ε επαφή όπως είναι οι TU Boo (Coughlin et al. 2008), AR Boo (Lee et al. 2009), BX Peg (Lee et al. 2009a), GW Cep (Lee et al. 2010), που υποδηλώνουν μεταφορά μάζας μεταξύ των μελών ή μαγνητική δρασ τηριότητα η οποία θα μπορούσ ε να προκαλέσ ει την παρατηρούμενη μείωσ η της τροχιακής περιόδου. Επειδή δε μπορεί να γνωρίζουμε εκ των προτέρων ποιό φαινόμενο προκαλεί την παρατηρούμενη ασ υμ- 120

124 5. Oλισ τική μελέτη του εκλειπτικού σ υσ τήματος W UMa TY Βοο: Το μοντέλο των δύο κηλίδων 2e e-05 Frequency 1.6e e e-05 4e-06 Amplitude 3e-06 2e-06 P 1 (E) and VSAA fit 1e-06 3e-06 2e-06 1e e-06-2e-06-3e Epoch Σχήμα 5.3.: Η μεταβολή της τροχιακής περιόδου του TY Boo με το VSAA: Τα δύο άνω τμήματα παρισ τάνουν τη μεταβολή της σ υχνότητας και του πλάτους της μεταβολής της περιόδου ενώ το κάτω τμήμα τις κυματοειδείς μεταβολές της σ υνάρτησ ης P (E) μετά την αφαίρεσ η της μακρόχρονης μεταβολής. Η σ υνεχής γραμμή παρισ τάνει την προσ αρμογή του VSAA. 121

125 5. Oλισ τική μελέτη του εκλειπτικού σ υσ τήματος W UMa TY Βοο: Το μοντέλο των δύο κηλίδων μετρία των καμπυλών φωτός, δοκιμάσ τηκαν διάφορα μοντέλα με θερμές ή ψυχρές κηλίδες και σ τους δύο ασ τέρες αλλά κυρίως σ τον μεγαλύτερης μάζας ασ τέρα, αφού αυτός αναμένεται να έχει εντονότερη μαγνητική δρασ τηρότητα. Κάθε μοντέλο περιείχε τον ελάχισ το αριθμό κηλίδων που έδινε τα βέλτισ τα αποτελέσ ματα προσ αρμογής. Το καλύτερο μοντέλο περιλαμβάνει δύο κηλίδες περίπου σ τον ισ ημερινό, μία θερμή κηλίδα σ τον θερμότερο ασ τέρα κια μία ψυχρή (σ κοτεινή) σ τον ψυχρότερο ασ τέρα ο οποίος φαίνεται κατά τη διάρκεια της κύριας έκλειψης και γι αυτό οδηγεί σ το βαθύτερο ελάχισ το MinI. Τα αποτελέσ ματα παρουσ ιάζονται σ την τρίτη σ τήλη του Πίνακα 5.6 μαζί με τις παραμέτρους των κηλίδων και οι σ υνθετικές καμπύλες του μοντέλου παρισ τάνονται με σ υνεχείς γραμμές σ το Σχήμα 5.1. Από την παρούσ α φωτομετρική ανάλυσ η προκύπτει ότι το σ ύσ τημα TY Boo έχει μικρό βαθμό επαφής με σ υντελεσ τή πληρότητας f (7-8)%, σ ε σ υμφωνία με τον Rainger et al (Πίνακας 1) και η διαφορά θερμοκρασ ίας μεταξύ των μελών του είναι ΔΤ 300Κ. Προκειμένου να εξετασ τεί η μακροπρόθεσ μη σ υμπεριφορά των κηλίδων του TY Boo και να ελεχθεί εάν η προτεινόμενη λύσ η μπορεί να περιγράψει ικανοποιητικά τις παλιότερες φωτομετρικές καμπύλες του 1969 (Carr 1972), 1985 (Milone et al. 1991, LC2) και 1986 (Samec & Bookmyer 1987) και υποθέτοντας ότι οι ασ τέρες δεν μεταβλήθηκαν σ το διάσ τημα των 42 ετών που καλύπτουν οι παρατηρήσ εις, εφαρμόσ τηκε το προτεινόμενο μοντέλο σ τις παλαιότερες καμπύλες φωτός (Σχήμα 5.4) και επιλύθηκε εκ νέου για να προσ διορισ τούν τα τροχιακά σ τοιχεία του σ υσ τήματος, τα σ τοιχεία των κηλίδων και οι φωτεινότητες των ασ τέρων (οι παραπάνω παράμετροι αφέθηκαν ελεύθερες παράμετροι εκτός του ασ τρικού πλάτους των κηλίδων). Τη δυνατότητα αυτή παρείχε το γεγονός ότι σ τις προηγούμενες καμπύλες χρησ ιμοποιήθηκε ο ίδιος ασ τέρας σ ύγκρισ ης με τις παρούσ ες παρατηρήσ εις. Η μοντελοποίησ η έγινε ταυτόχρονα σ ε όλα τα φίλτρα και τα τελικά μοντέλα για τις τρείς ξεχωρισ τές ομάδες παλαιότερων παρατηρήσ εων παρουσ ιάζονται σ τις τελευταίες σ τήλες του Πίνακα 5.6. Οι καμπύλες φωτός των Samec & Bookmyer, το 1986 παρουσ ιάζουν μεγάλη διασ πορά και για αυτό οι εξαγόμενες παράμετροι των κηλίδων αν και δεν μεταβάλλουν το προτεινόμενο μοντέλο, δεν αποτελούν μοναδική λύσ η. Θα πρέπει να σ ημειωθεί επίσ ης- όπως αναφέρεται από τους Milone et al. (1991)- το άθροισ μα των τετραγώνων των διαφορών (O C) 2 σ τον Πίνακα 5.6 είναι απλώς ενδεικτικό για μελλοντικές παρατηρήσ εις αφού ο αριθμός των σ ημείων που περιλαμβάνεται σ ε κάθε ομάδα διαφορετικών φωτομετρικών παρατηρήσ εων δεν είναι ο ίδιος. Οπως φαίνεται από τον Πίνακα 5.6 και το πάνω μέρος του Σχήματος 5.5 οι παράμετροι που αναφέρονται σ τις φωτεινότητες των ασ τέρων παραμένουν οι ίδιες για όλες τις καμπύλες, ενώ και οι δύο κηλίδες φαίνεται να μετανασ τεύουν κατά μήκος σ την επιφάνεια των ασ τέρων και να αλλάζουν το μέγεθός τους με το χρόνο, μέσ α σ το ίδιο χρονικό διάσ τημα (η ακτίνα της ψυχρής κηλίδας αυξάνεται ενώ της η θερμής κηλίδας μειώνεται). Αυτό σ ημαίνει ότι το προτεινόμενο μοντέλο των δυο κηλίδων παρέχει μία ομοιόμορφη κι αξιόπισ τη περιγραφή του σ υσ τήματος TY Boo. Στο Σχήμα 5.6 παρουσ ιάζεται μια τρισ διάσ τασ η αναπαράσ τασ η των ασ τέρων του TY Boo με την οποία περιγράφονται οι θέσ εις των κηλίδων την περίοδο Πριν να εξαχθούν οι απόλυτες παράμετροι των ασ τέρων μελών του σ υσ τήματος θα πρέπει να σ ημειωθεί ότι οι Milone et al (1991) πραγματοποίησ αν ταυτόχρονη ανάλυσ η του TY Boo με τον κώδικα WD με βάσ η τα κανονικοποιημένα φωτομετρικά τους δεδομένα (τριών ημερών το 1985) και φασ ματοσ κοπικά δεδομένα. Εν τούτοις, οι κανονικοποιημένες καμπύλες φωτός 122

126 5. Oλισ τική μελέτη του εκλειπτικού σ υσ τήματος W UMa TY Βοο: Το μοντέλο των δύο κηλίδων 1 Normalized Flux Phase Σχήμα 5.4.: Σύγκρισ η όλων των παρατηρήσ εων του TY Boo σ το φίλτρο V: 1969 (Carr 1972), 1985 (Milone et al. 1991), 1986 (Samec & Brookmyer 1987), (νέα παρατηρησ ιακά δεδομένα). δεν αναδεικνύουν τις πραγματικές μεταβολές φωτός του σ υσ τήματος με αποτέλεσ μα αν και ο εξαγόμενος φωτομετρικά λόγος των μαζών (7) σ υμφωνεί με τον φασ ματοσ κοπικό 2.15 (4), το άθροισ μα των πλατών των επιμέρους ταχυτήτων των ασ τέρων του σ υσ τήματος διαφέρει κατά 7.1km s 1 από τον εξαγόμενο από προσ αρμογή ημιτονοειδών σ υναρτήσ εων σ τα φασ ματοσ κοπικά δεδομένα. Αυτό επηρεάζει τη σ υνολική μάζα του σ υσ τήματος αφού ισ χύει (M 1 +M 2 )sin 3 i = σταθ (K 1 +K 2 ) 3 P και σ υνεπώς τον προσ διορισ μό των μαζών των ασ τέρων μελών. Με βάσ η τα αποτελέσ ματα της φασ ματοσ κοπικής ανάλυσ ης των Milone et al. (1991), οι μάζες των ασ τέρων μελών είναι M c = 1.21±0.06M και M h = 0.57±0.05M και άρα η ολική μάζα του σ υσ τήματος 1.78 ± 0.08M, Rc = 1.07 ± 0.01R και R h = 0.75±0.01R, Lc = 0.87±0.02L καιl h = 0.54±0.01L. Σύγκρισ η των αποτελεσ μάτων με τον Πίνακα 1 του Milone δείχνει ότι η παρούσ α λύσ η δίνει μεγαλύτερες μάζες, ακτίνες και μικρότερο βαθμό επαφής αλλά παρόμοια κλίσ η του σ υσ τήματος καθώς και μικρότερες θερμοκρασ ίες. Προκειμένου να ελέγξουμε περαιτέρω το παρόν μοντέλο, η προηγούμενη διαδικασ ία με το PHOEBE επαναλήφθηκε, αλλά χρησ ιμοποιώντας τον φασ ματοσ κοπικό λόγο μαζών (1/0.437) των πιο πρόσ φατων δεδομένων των Rainger et al. (1990). Τα αποτελέσ ματα της ανάλυσ ης δείχνουν ότι η νέα εξαγόμενη θερμοκρασ ία του ψυχρότερου ασ τέρα 5393 ± 5.3K είναι μέσ α σ τα όρια του σ φάλματος του προτεινόμενου μοντέλου των δύο κηλίδων, γεγονός που ενισ χύει την επέκτασ ή του και σ ε παλαιότερες καμπύλες φωτός. Εν τούτοις, η μικρή δειγματοληψία των καμπυλών ταχυτήτων των Rainger et al. (1990) ενισ χύει τη χρήσ η των απόλυτων παραμέτρων του σ υσ τήματος με βάσ η τα φασ ματοσ κοπικά δεδομένα των Milone et al (1991). 123

127 5. Oλισ τική μελέτη του εκλειπτικού σ υσ τήματος W UMa TY Βοο: Το μοντέλο των δύο κηλίδων Πίνακας 5.6.: Φωτομετρικές λύσ εις για τις παρούσ ες και τις ισ τορικές καμπύλες φωτός 124

128 5. Oλισ τική μελέτη του εκλειπτικού σ υσ τήματος W UMa TY Βοο: Το μοντέλο των δύο κηλίδων V(mag) Long(deg) L c /L h R(deg) Cool Spot Hot Spot Cool Spot Hot Spot MaxII-MinI MaxI-MinII MaxI-MaxII MaxI-MinI MinI-MinII MaxII-MinII Epoch Σχήμα 5.5.: Τα άνω τρία τμήματα παρισ τάνουν τις μεταβολές των παραμέτρων της ψυχρής (c) και της θερμής (h) κηλίδας (λόγος φωτεινοτήτων L c /L h, ασ τρογραφικό μήκος Long, ακτίνα R) του προτεινόμενου μοντέλου των δύο κηλίδων για το σ ύσ τημα TY Boo. Τα υπόλοιπα τμήματα παρισ τάνουν τη μεταβολή του φωτός του σ υσ τήματος σ το φίλτρο V σ ε χαρακτηρισ τικές φάσ εις (0 p.0, 0 p.25, 0 p.50, 0 p.75). Σχήμα 5.6.: Το τρισ διάσ τατο μοντέλο (3D) των ασ τέρων μελών του σ υτήματος TY Boo και η προτεινόμενη ενοποιημένη λύσ η των δύο κηλίδων, των καμπυλών φωτός του οι οποίες έχουν παρατηρηθεί μέχρι σ ήμερα. 125

129 5. Oλισ τική μελέτη του εκλειπτικού σ υσ τήματος W UMa TY Βοο: Το μοντέλο των δύο κηλίδων 5.5. Συζήτησ η των αποτελεσ μάτων Ερμηνεία των μεταβολών της περιόδου Οι μακροπρόθεσ μες μεταβολές τις περιόδου είναι κοινό φαινόμενο σ τα σ τενά σ υσ τήματα σ ε επαφή- Algols, RS CVn, CVs και W UMa (Lanza & Rodonò 1999, Liao & Qian 2010). Η πιο ικανοποιητική ερμηνεία είναι ότι ο ένας ασ τέρας μέλος (ή και οι δύο) έχει περιοδική ή ημιπεριοδική μαγνητική δρασ τηριότητα σ αν του Ηλιου (Applegate 1992, Lanza et al. 1998, Lanza & Rodonò 1999) ή ότι κοντά σ το διπλό σ ύσ τημα υπάρχει ένα ή περισ σ ότερα σ ώματα που προκαλούν τη μετατόπισ η του βαρύκεντρου του διπλού σ υσ τήματος γύρω από ένα νέο κοινό κέντρο μάζας. Σύμφωνα με τη σ τατισ τική μελέτη των Liao & Qian (2010) περίπου 14.8 % των σ τενών διπλών σ υσ τημάτων τύπου EA, 78.9% τύπου EB και 17.6% τύπου EW τα οποία παρουσ ιάζουν κυκλικές μεταβολές, περιέχουν έναν ασ τέρα προγενέσ τερου φασ ματικού τύπου και άρα η μαγνητική δρασ τηριότητα μπορεί να είναι η αιτία των παρατηρούμενων κυκλικών μεταβολών της περιόδου αλλά όχι η μόνη. Επιπλέον, το σ υμπέρασ μά τους σ υμφωνεί με τον Lanza (2006) ο οποίος διαπίσ τωσ ε ότι ο μηχανισ μός Applegate δεν είναι επαρκής για να ερμηνεύσ ει τις κυκλικές μεταβολές των RS CVn σ υσ τημάτων και γι αυτό επέκτεινε το σ υμπέρασ μά του και σ ε άλλες κατηγορίες σ τενών διπλών σ υσ τημάτων, εφαρμόζοντας μία ευρύτερη σ χέσ η που βασ ίζεται σ τις ενεργειακές απαιτήσ εις ενός απλοποιημένου μοντέλου της εσ ωτερικής δομής των ασ τέρων. Αν και η απουσ ία κυκλικής μεταβολής περιόδου σ τα σ τενά διπλά σ υσ τήματα, τα οποία περιέχουν τουλάχισ τον έναν ασ τέρα μεταγενέσ τερου τύπου, σ υμφωνεί με το παραπάνω σ υμπέρασ μα, θα πρέπει να σ ημειωθεί ότι προκειμένου να διαπισ τωθεί μεταβολή περιόδου, η κατασ κευή του διαγράμματος (O-C) θα πρέπει να βασ ίζεται σ ε ακριβείς χρόνους ελαχίσ των, να γίνει με καλή δειγματοληψία, χωρίς μεγάλα χρονικά κενά και να καλύπτει τουλάχισ τον έναν κύκλο μεταβολής της περιόδου. Επιπλέον η εναλλακτική πιθανότητα, δηλαδή το φαινόμενο LITE απαιτεί μία αυσ τηρά περιοδική μεταβολή της περιόδου η οποία σ υνήθως δεν παρατηρείται σ τις καμπύλες O-C είτε λόγω μεγάλης διασ ποράς είτε λόγω παρουσ ίας κηλίδων και διαφορετικών μεθόδων προσ διορισ μού των χρόνων ελαχίσ των. Τέτοιες είναι οι περιπτώσ εις των V566 Oph, RZ Tau, AG Vir σ το διάγραμμα (Fig.3) των Liao & Qian (2010 και περιεχόμενες αναφορές) τα οποία δείχνουν ασ θενή σ τοιχεία περιοδικής μεταβολής. Σε πολλές περιπτώσ εις (AD Cnc, AP Leo, RZ Com) η παρουσ ία ενός τρίτου σ ώματος δεν επιβεβαιώνεται από φασ ματοσ κοπικές παρατηρήσ εις ή από φωτομετρικές (απουσ ία ή αρνητική σ υμβολή τρίτου φωτός κατά τη μοντελοποίησ η). Κάτι τέτοιο μπορεί να οφείλεται σ το γεγονός ότι ο τρίτος σ υνοδός είναι πολύ αμυδρός για να παρατηρηθεί π.χ η μάζα του τρίτου σ ώματος που περιφέρεται γύρω από το διπλό σ ύσ τημα AP Leo έχει μάζα μόλις 0.17 M ενώ σ το διπλό σ ύσ τημα RZ Com μόλις 0.11 M. Σε μερικές περιπτώσ εις (π.χ AP Leo), τα παρατηρησ ιακά δεδομένα δεν επαρκούν για να διερευνηθεί η σ ύνδεσ η μεταξύ της μεταβολής της περιόδου και της μεταβολής της φωτεινότητας που προβλέπεται από τον μηχανισ μό Applegate ή σ ε άλλες περιπτώσ εις (UX Eri) είναι η εκπομπή ακτίνων X η οποία υποδηλώνει ότι το διπλό σ ύσ τημα έχει ισ χυρή δρασ τηριοτητα, καθισ τώντας πιθανό τον μηχανισ μό Applegate. Γενικά όμως, ακόμα κι αν οι ασ τέρες σ ε δύο σ τενά διπλά σ υσ τήματα τα οποία έχουν τις 126

130 5. Oλισ τική μελέτη του εκλειπτικού σ υσ τήματος W UMa TY Βοο: Το μοντέλο των δύο κηλίδων ίδιες περιόδους κι ανήκουν σ τον ίδιο φασ ματικό τύπο, έχουν κυριολεκτικά τις ίδιες μάζες και ακτίνες κι άρα βρίσ κονται σ ε παρόμοια εξελικτικά σ τάδια, δε θα παρουσ ιάζουν κατ ανάγκη τις ίδιες μεταβολές σ το διάγραμμα O-C, εάν π.χ τα δύο σ υσ τήματα δεν έχουν την ίδια χημική σ ύσ τασ η. Εν περιλήψει, εάν κάποιος αναζητήσ ει μία κοινή ερμηνεία για τη μεταβολή της περιόδου που χαρακτηρίζει τουλάχισ τον τα σ υσ τήματα W UMa, τότε θα πρέπει να λάβει υπόψιν όπως σ ημειώνεται από τον Lanza (2006)- ότι δε μπορεί να αποκλείσ ει τη μαγνητική δρασ τηριότητα αφού 1) τη μελέτη της περιόδου δυσ χεραίνουν φαινόμενα όπως η ταχεία περισ τροφή, η μεταφορά μάζας και η απώλεια σ τροφορμής μέσ ω μαγνητικής πέδησ ης των δευτερευόντων μελών-ασ τέρων και 2) η ανομοιόρφη δύναμη Lorentz, λόγω του εσ ωτερικού μαγνητικού πεδίου η οποία μπορεί να παράγει παρόμοια μεταβολή (Lanza et al. 1998, Lanza & Rodonò 1999, Rüdiger et al. 2002, Lanza & Rodonò 2004). Η παρούσ α λεπτομερής ανάλυσ η της τροχιακής περιόδου του TY Boo δεν αποκλείει την παρουσ ία ενός τρίτου σ ωματος όπως έχει αναφερθεί κατά την εύρεσ η των παραμέτρων του LITE (ενότητα 1.5 και Πίνακας 5.5), αν και μία τέτοια εξήγησ η δεν υποσ τηρίζεται από κάποια άλλη ανεξάρτητη παρατήρησ η ούτε από φωτομετρική λύσ η όπως σ την περίπτωσ η του TZ Boo (Christopoulou et al. 2011). Λόγω της πάρα πολύ μικρής του φωτεινότητας (λευκός ή καφέ νάνος σ ύμφωνα με τους πίνακες του Cox 2000) και της μικρότερης γωνιακής του απόσ τασ ης από το διπλό σ ύσ τημα, είναι δύσ κολο να βρεθούν άμεσ α σ τοιχεία που να πισ τοποιούν την παρουσ ία τρίτου σ ώματος- αν και φασ ματοσ κοπικά, το ήμισ υ του πλάτους των μεταβολών της σ υσ τημικής ακτινικής ταχύτητας του σ υσ τήματος λόγω LITE είναι ανιχνεύσ ιμο (Yang et al. 2007, Christopoulou et al. 2011). Συνεπώς, λόγω των μεταγενέσ τερων φασ ματικών τύπων των ασ τέρων-μελών και της έκλαμψης σ τις γραμμές H και K του CaII η οποία παρατηρήθηκε από τους Milone et al. (1987b) σ τον TY Boo το 1985 κατά τη διάρκεια του πρώτου μεγίσ του, η υπόθεσ η του μηχανισ μού Applegate φαίνεται η πιο πιθανή ερμηνεία. Εισ άγοντας τα εξαγόμενα αποτελέσ ματα της μεταβολής της περιόδου του σ υσ τήματος δηλαδή την περίοδο μεταβολής P 3 = 58.9 yrs (5 η σ τήλη Πίνακας 5.5), το ήμισ υ του πλάτους A = days και τις απόλυτες παραμέτρους των ασ τέρων που έχουν υπολογισ θεί, σ τις εξισ ώσ εις Applegate, διερευνήθηκε η πιθανή μαγνητική δρασ τηριότητα και των δύο ασ τέρωνμελών. Τα αποτελέσ ματα παρουσ ιάζονται σ τον Πίνακα 5.7 μαζί με τη βολομετρική διαφορά σ ε μεγέθη ( m rms ) σ ε σ χέσ η με το μέσ η φωτεινότητα του TY Boo η οποία έχει μετατραπεί σ ε μέγεθος (μέσ ω της εξίσ ωσ ης Pogson της εξίσ ωσ ης (4) των Kim et al. 1997). Η μάζα του κελύφους μεταφοράς έχει θεωρηθεί ότι είναι το 1/10 της μάζας του ενεργού ασ τέρα όπως αρχικά είχε προταθεί από τον Applegate (1992). Στα διπλά σ υσ τήματα σ ε επαφή W UMa, όπου το μέγεθος της μεταβολής της περιόδου είναι της τάξης P/P 10 6, απαιτείται μεταβολή σ την τετραπολική ροπή της τάξης των g cm 2 όπως είναι η περίπτωσ η του AR Boo (Lee et al. 2009), BX Peg (Lee et al. 2009), AA UMa (Lee et al. 2010), VW Boo (Liu et al. 2011) και ο ενεργός ασ τέρας να είναι μεταβλητός κατά L/L και να περισ τρέφεται κατά Ω/Ω Στην περίπτωσ η του TY Boo τα αποτελέσ ματα του Πίνακα 5.7 όχι μόνο σ υμφωνούν με τις τυπικές τιμές των σ υσ τημάτων σ ε επαφή αλλά η μεταβολή της φωτεινότητας ( L rms1 ) του θερμότερου πρωτεύοντα ασ τέρα μπορεί να είναι διπλάσ ια από αυτή που προβλέπεται από το μηχανισ μό Applegate ( L/L ), ενώ η αντίσ τοιχη μεταβολή του ψυχρότερου δευτερεύοντα 127

131 5. Oλισ τική μελέτη του εκλειπτικού σ υσ τήματος W UMa TY Βοο: Το μοντέλο των δύο κηλίδων Πίνακας 5.7.: Παράμετροι της πιθανής μαγνητικής δρασ τηριότητας του TY Boo ασ τέρα ( L rms2 ) σ υμφωνεί με τη θεωρητικά προβλεπόμενη τιμή. Συνεπώς ο μηχανισ μός Applegate θα μπορούσ ε να λειτουργήσ ει και σ τους δύο ασ τέρες και να ερμηνεύσ ει την παρατηρούμενη μεταβολή της περιόδου του TY Boo. Επιπλέον, επειδή το μοντέλο Applegate προβλέπει ότι οι μεταβολές της τροχιακής περιόδου θα ακολουθούν τις μεταβολές της φωτεινότητας, μέσ α σ τον ίδιο κύκλο μετρήθηκαν τα επίπεδα φωτεινότητας, Β και V σ ε τέσ σ ερις χαρακτηρισ τικες φάσ εις (Max I, MinI, Max II και Min II) σ τις παρούσ ες καμπύλες φωτός αλλά και σ τις παλαιότερες του Carr το 1969 και των Samec & Bookmyer το 1986, οι οποίοι χρησ ιμοποιούν τον ίδιο ασ τέρα σ ύγκρισ ης και υπολογίσ θηκαν οι διαφορές τους MinI-MinII, MaxI-MaxII, MaxI-MinI, MaxI-MinII, MaxII-MinI και MaxII-MinI (Πίνακας 5.8 για το V και B). Οι καμπύλες του Millone δεν χρησ ιμοποιήθηκαν, γιατί αν και χρησ ιμοποιούν τον ίδιο ασ τέρα σ ύγκρισ ης, είναι κανονικοποιημένες και η μετατροπή τους σ ε μεγέθη θα εισ ήγαγε επιπλέον σ φάλματα. Τα αποτελέσ ματα παρουσ ιάζονται σ το Σχήμα 5.5 ως προς εποχή (οι εποχές έχουν υπολογισ θεί με βάσ η το μέσ ο όρο των αντίσ τοιχων χρόνων ελαχίσ των των παραπάνω φωτομετρικών δεδομένων). Προκειμένου να γίνει η σ ύγκρισ η, οι μεταβολές του φωτός για κάθε τμήμα του Σχήματος 5.5, σ υγκρίθηκαν με το αντίσ τοιχο τμήμα της ημιτονοειδούς μεταβολής της περιόδου των 58.9 yr της εξίσ ωσ ης (5.2) (μετά την αφαίρεσ η του παραβολικού όρου) μεταξύ των εποχών και Οπως προκύπτει από το Σχήμα 5.5, σ ε αυτό το διάσ τημα, διαφαίνεται ότι μεταβολές του φωτός ακολουθούν μία σ χεδόν ημιτονοειδή μεταβολή εκτός από τις διαφορές MaxII-MinII και MinI-MinII σ το V και MaxI-MinII σ το B (δεν παρουσ ιάζονται). Αυτή η μεταβολή υποδηλώνει ότι εάν και οι δύο ασ τέρες του TY Boo είναι μαγνητικά ενεργοί, οι μεταβολές της μέσ ης βολομετρικής φωτεινότητας τους είναι σ ε σ υμφωνία με το μαγνητικό τους κύκλο. Αυτό το σ υμπέρασ μα υποσ τηρίζει την υπόθεσ η Applegate. Εάν υποθέσ ουμε ότι η φωτεινότητα του θερμότερου και μικρότερης μάζας ασ τέρα είναι σ ταθερή και ενεργός είναι ο μεγαλύτερης μάζας ψυχρότερος ασ τερας, ο οποίος χαρακτηρίζεται από ανομοιογένειες 128

132 5. Oλισ τική μελέτη του εκλειπτικού σ υσ τήματος W UMa TY Βοο: Το μοντέλο των δύο κηλίδων Πίνακας 5.8.: Μακρόχρονες μεταβολές των καμπυλών φωτός του σ υσ τήματος TY Boo Η 1 η και η 2 η σ ειρά σ ε κάθε έτος αναφέρονται σ τις αντίσ τοιχες παρατηρούμενες διαφορές της καμπύλης φωτός σ τα φίλτρα V και B. Αναφορές: (1) Carr 1972; (2) Samec & Bookmyer 1987; (3) Παρούσ ες παρατηρήσ εις (κηλίδες) σ την επιφάνειά του οι οποίες φαίνονται σ τη φάσ η 0.75 (MaxII), αλλά όχι σ τη φάσ η 0.25 (MaxI), τότε το ακόλουθο σ ενάριο είναι πιθανό : Το φως κατά τη φάσ η του Max I θα μεταβληθεί σ ύμφωνα με το μαγνητικό του κύκλο, ενώ οι μεταβολές κατά τη φάσ η του MaxII θα είναι πιο πολύπλοκες λόγω τοπικών ανομοιογενειών, ενώ το φως σ τη φάσ η 0.5 MinII θα είναι πιο σ ταθερό. Άρα η μεταβολή μεταξύ των φάσ εων MaxI-MinII αντανακλά κατά μέσ ο όρο τις σ υνολικές αλλαγές της rms φωτεινότητας. Επιπλέον, επειδή οι κηλίδες είναι επιφανειακές εκδηλώσ εις του εμβυθισ μένου μαγνητικού πεδίου, θα πρέπει να σ υμφωνούν με την παρατηρούμενη δρασ τηριότητα. Γι αυτό, διερευνήθηκε η πιθανή σ υσ χέτισ η της μεταβολής της ακτίνας της ψυχρής κηλίδας με το χρόνο σ ε σ χέσ η με το λόγο φωτεινοτήτων (L c /L h ) μεταξύ της ψυχρής και της θερμής κηλίδας σ το προτεινόμενο μοντέλο των δύο κηλίδων, κάτω από την υπόθεσ η του μέλανος σ ώματος. Τα αποτελέσ ματα παρουσ ιάζονται σ το πρώτο και τρίτο τμήμα του Σχήματος 5.5 αντίσ τοιχα και η παρατηρούμενη μεταβολή επιβεβαιώνει το παραπάνω σ ενάριο. Κατά τις φάσ εις MaxI-MinII η σ υνολική φωτεινότητα του σ υσ τήματος το 2010 ήταν μικρότερη από ότι η αντίσ τοιχη μεταξύ Αυτό σ ημαίνει ότι ο ασ τέρας με τη μεγαλύτερη μάζα έγινε αμυδρότερος, γι αυτό και η λαμπρότητά του σ ε μέγεθος αυξήθηκε, γεγονός το οποίο μπορεί να προκλήθηκε από την μεταβολή κηλίδας ή κηλίδων. Το πρόβλημα με αυτήν την ερμηνεία είναι τα ελλιπή δεδομένα (μόνο τρία σ ημεία τα οποία καλύπτουν 30 έτη του κύκλου των 58.9 yrs), αλλά επίσ ης και η υπόθεσ η μιας σ ταθερής α- σ τρικής μαγνητικής δρασ τηριότητας (σ ε αντίθεσ η με την ηλιακή δρασ τηριότητα). Αν και η η ισ χύς του μηχανισ μού Applegate εξετάσ τηκε από τον Lanza (2006), με βάσ η τις ενεργειακές απαιτήσ εις ανταλλαγής σ τροφορμής μεταξύ των εσ ωτερικών και εξωτερικών ζωνών μεταφοράς, οι Yuan & Qian (2007) παρουσ ίασ αν ένα μηχανισ μό μαγνητικής σ ύνδεσ ης μεταξύ των μαγνητικά ενεργών ασ τέρων ενός διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή, ο οποίος θα μπορούσ ε να παράγει π.χ σ την περίπτωσ η του TY Boo, ένα μέσ ο μαγνητικό πεδίο (5 6) T (εξίσ ωσ η (9) της εργασ ίας τους με βάσ η τις παρούσ ες παραμέτρους). Ενα τέτοιο πεδίο είναι πολύ ισ χυρότερο από το μέσ ο μαγνητικό πεδίο που υπολογίζεται με βάσ η την παρούσ α αναλύσ η 10 kg και θα περίμενε κανείς να παρατηρηθούν κι άλλες εκδηλώσ εις του. Αυτές θα μπορούσ αν να είναι οι εκλάμψεις σ τις γραμμές Η και Κ του CaII που παρατηρήθηκαν από τον Milone et al σ τον TY Boo το 1985 κατά το πρώτο μέγισ το. Από την άλλη, διαπισ τώθηκε μακρόχρονη μείωσ η της περιόδου με ρυθμό dp/dt = d yr 1, ο οποίος είναι τυπικός των διπλών σ υσ τημάτων σ ε χαλαρή επαφή (Πίνακας 9 των 129

133 5. Oλισ τική μελέτη του εκλειπτικού σ υσ τήματος W UMa TY Βοο: Το μοντέλο των δύο κηλίδων Liu et al. 2011). Σύμφωνα με τον Qian (2003), η σ υνεχής αύξησ η ή μείωσ η της περιόδου μπορεί να ερμηνευτεί με ένα εξελικτικό σ ενάριο όπου τα διπλά σ υσ τήματα σ ε επαφή ταλαντώνονται ανάμεσ α σ ε φάσ εις θερμικής ισ ορροπίας (thermal relaxation oscillation TRO, π.χ Lucy 1976, Yakut & Eggleton 2005 και αναφορές) καθώς μεταβάλλεται η απώλεια σ τροφορμής τους και μεταβάλλεται ο βαθμός επαφής τους. Η μακροπρόθεσ μη μείωσ η της περιόδου του TY Boo μπορεί να υποδηλώνει ότι είναι σ το ελεγχόμενο σ τάδιο απώλειας σ τροφορμής αυτού του εξελικτικού σ εναρίου. Υποθέτοντας σ υντηρητική μεταφορά μάζας, ο ασ τέρας με τη μεγαλύτερη μάζα μεταφέρει μάζα σ τον μικρότερο με ρυθμό M yr 1, όπως προκύπτει από τη σ χέσ η: dp/dt P [ 3 (1 q) = q ] dm2 /dt M 2 (Hilditch 2001) (5.5) όπου M 2 και q = M 1 /M 2 σ υμβολίζουν τη μάζα του ασ τέρα με τη μεγαλύτερη μάζα (ασ τέρας 2) και το λόγο των μαζών αντίσ τοιχα. Αυτός ο ρυθμός είναι μεγαλύτερος κατά 74% από το ρυθμό 2.34x10 8 M yr 1 που υπολογίζεται εάν υποθέσ ουμε ότι ο ψυχρός και μεγάλης μάζας ασ τέρας μεταφέρει μάζα σ τον θερμό ασ τέρα μέσ α σ το θερμικό χρόνο, κάτω από την υπόθεσ η της σ ταθερής ολικής σ τροφορμής και ολικής μάζας του σ υσ τήματος. Το προτεινόμενο μοντέλο των δύο κηλίδων αφήνει ανοιχτό το ερώτημα για το εάν η εκδήλωσ η των κηλίδων είναι αποτέλεσ μα της μεταφοράς μάζας μεταξύ των ασ τέρων ή εγγενές χαρακτηρισ τικό τους. Ως εκ τούτου η μακροπρόθεμη μείωσ η της περιόδου θα μπορούσ ε να ερμηνευτεί με απώλεια σ τροφορμής λόγω μαγνητικών ανέμων, σ ενάριο πιθανό σ τους μαγνητικά ενεργούς ασ τέρες. Ο υπολογιζόμενος θεωρητικά ρυθμός μιας τέτοιας μείωσ ης υπολογίζεται σ ε 3.0, 4.3, 6.4 (σ ε μονάδες 10 8 dyr 1 ) σ ύμφωνα με τη σ χέσ η (2) των Guinan & Bradstreet (1994), υιοθετώντας την τιμή k 2 = 0.07, 0.1 και 0.15 αντίσ τοιχα για τη σ ταθερά (gyration constant) για ασ τέρες σ αν τον Ηλιο. Αυτές οι τιμές είναι της ίδιας τάξης ή μεγαλύτερες σ ε σ χέσ η με τις παρατηρούμενες και άρα από μόνη της, η απώλεια σ τροφορμής θα μπορούσ ε να ερμηνεύσ ει πλήρως την παρατηρούμενη μείωσ η της περιόδου του TY Boo Εξελικτική πορεία του TY Boo Η εξελικτική πορεία του TY Boo, μπορεί να μελετηθεί εάν τον τοποθετήσ ουμε σ το διάγραμμα μάζας-φωτεινότητας (M L) του Σχήματος 5.7 με βάσ η τις εξαγόμενες παραμέτρους του. Σύμφωνα με τον εξελικτικό κώδικα των διπλών σ υσ τημάτων (BSE) (Hurley, Tout & Pols 2002), κατασ κευάσ τηκε η κύρια ακολουθία μηδενικής ηλικίας (ZAMS) και η κύρια ακολουθία τελικής ηλικίας (TAMS) σ το διάγραμμα logm logl του Σχήματος 5.7, σ υμπεριλαμβάνοντας τα σ υσ τήματα W UMa τύπου W από τους καταλόγους των Yakut & Eggleton (2005) και Li et al. (2008) και εμπλουτίζοντας τον κατάλογο με τα νέα δεδομένα των νέων σ υσ τημάτων που παρουσ ιάζονται σ τον Πίνακα 5.9. Για μερικά από αυτά τα σ υσ τήματα W UMa τα οποία παρουσ ιάζουν μεγάλη απόκλισ η από τη γενική θέσ η της υποκατηγορίας W, δεν είναι τόσ ο σ ίγουρη η κατάταξή τους. Αυτά είναι τα OU Ser (Deb & Sinh 2011), AH Cnc (Qian et al. 2006), V2357 Oph (Deb & Sinh 2011) τα οποία έχουν ταξινομηθεί ως τύπου Α, ενώ για τα υπόλοιπα οι λύσ εις δεν είναι τόσ ο αξιόπισ τες λόγω της ιδιαιτερότητας του καθενός (GM Dra, V402 Aur, V728 Her). 130

134 5. Oλισ τική μελέτη του εκλειπτικού σ υσ τήματος W UMa TY Βοο: Το μοντέλο των δύο κηλίδων Σχήμα 5.7.: Η θέσ η των ασ τέρων-μελών του TY Boo σ το διάγραμμα logl-logm. Οι ρόμβοι παρισ τάνουν τους πρωτεύοντες ασ τέρες (ασ τέρες με μεγαλύτερη μάζα) ενώ οι κύκλοι τους δευτερεύοντες. Ο κατάλογος των σ υσ τημάτων W έχει κατασ κευασ τει με βάσ η τον κατάλογο των Yakut & Eggleton (2005), Li et al. (2008) κι έχει εμπλουτισ τεί με τα σ υσ τήματα του Πίνακα 5.9. Η κύρια ακολουθία ZAMS (σ υνεχής γραμμή) και TAMS (διακεκομμένη γραμμή) έχει κατασ κευασ τεί με βάσ η τον κώδικα (Hurley et al. 2002) για ασ τέρες ηλιακής μεταλλικότητας. Πίνακας 5.9.: Πρόσ φατες/νέες φυσ ικές παράμετροι σ υσ τημάτων W των W UMa c=ψυχρότερος ασ τέρας, h=θερμότερος ασ τέρας Αναφορές: (1) Deb & Singh 2011; (2) Köse et al. 2011; (3) Erdem & Özkardes 2009; (4) Zola et al. 2010; (5) Liu et al. 2011; (6) Lee et al. 2010; (7) Nelson 2010; (8) Djurašević et al. 2011; (9) Djurašević et al. 2006; (10) Liu et al

135 5. Oλισ τική μελέτη του εκλειπτικού σ υσ τήματος W UMa TY Βοο: Το μοντέλο των δύο κηλίδων Οπως φαίνεται από το Σχήμα 5.7 και οι δύο ασ τέρες μέλη του TY Boo σ υμφωνούν με τη θέσ η των σ υσ τημάτων τύπου W, σ τα οποία η θέσ η του ασ τέρα με τη μεγαλύτερη μάζα βρίσ κεται πάνω ή κάτω από τη ZAMS, ενώ η θέσ η του μικρότερης μάζας ασ τέρα βρίσ κεται κοντά η και πάνω από τη γραμμή της TAMS. Επιπλέον, με την υπόθεσ η ότι και τα δύο μέλη ανήκουν σ την κύρια ακολουθία, ο ασ τέρας με τη μεγαλύτερη μάζα είναι λιγότερο φωτεινός για τη μάζα του ενώ ο μικρότερης μάζα είναι υπερφωτεινός και υπερμεγέθης για τη μικρότερη-μάζα του. Σύμφωνα με το μοντέλο του Stȩpień (2006), τα σ υσ τήματα W UMa μπορούν να μην περάσ ουν φάσ εις κατά τις οποίες ταλαντώνονται μεταξύ κατασ τάσ εων θερμικής ισ ορροπίας (TRO), αλλά να φτάσ ουν σ αυτήν, εάν ο δευτερεύων ασ τέρας ο οποίος ήταν ο πρώην πρωτεύων, είναι ένας εξελιγμένος ασ τέρας ο οποίος έχει μετασ τοιχειώσ ει όλο το υδρογόνο σ τον πυρήνα του, ενώ ο ασ τέρας με τη μικρότερη μάζα είναι ένας ελαφρά εξελιγμένος ασ τέρας κύριας ακολουθίας. Αυτή η ανασ τροφή του λόγου των μαζών είναι η απαραίτητη σ υνθήκη για να σ χηματισ τεί ένα σ ύσ τημα σ ε επαφή W UMa από ένα ψυχρό αποχωρισ μένο σ ύσ τημα αρχικής περιόδου 2 ημερών. Για τον TY Boo αυτό το μοντέλο προβλέπει ότι μπορεί να έχει προέλθει από ένα αποχωρισ μένο διπλό σ ύσ τημα της ZAMS με μάζες 1.2 M και 0.6 M και μετά από 6.1 Gyr να έχει φτάσ ει σ ε ισ ορροπία μετά από την ανασ τροφή των μαζών των ασ τέρων και να έχει P=0.32 days, α=2.3 R, Μ 1 = 1.08M, R 1 = 1.02R, Μ 2 = 0.55M, R 2 = 0.8R. Αν κι αυτές οι παράμετροι είναι σ ε πολύ καλή σ υμφωνία με τις εξαγόμενες από το παρόν μοντέλο, το μοντέλο του Stȩpień δεν εξηγεί τη μείωσ η της περιόδου η οποία ερμηνεύτηκε ως μεταφορά μάζας από τον ασ τέρα μεγαλύτερης μάζας σ τον ασ τέρα με τη μικρότερη μάζα. Αντιθέτως προβλέπει για όλα τα σ υσ τήματα W UMa μετά τη φάσ η επαφής, μία ανάσ τροφη μεταφορά (δηλαδή από τον ασ τέρα μικρότερης μάζας σ τον ασ τέρα μεγαλύτερης μάζας). Αν και σ ε πολλά σ υσ τήματα W UMa έχουν ανιχνευθεί σ υσ τηματικές αυξήσ εις ή μειώσ εις της περιόδου μέχρι και dp/dt = ±( ) d yr 1 και έχουν ερμηνευθεί ως ένδειξη της TRO, αυτό το μοντέλο θεωρεί ότι αυτές οι μεταβολές περιόδου οφείλονται σ τις μεταβολές της μαγνητικής δρασ τηριότητας των ασ τέρων μελών (μηχανισ μός Applegate). Δηλαδή σ την περίπτωσ η του TY Boo, η μακρόχρονη μείωσ η της περιόδου μπορεί να προκαλείται από έναν άλλο κύκλο μαγνητικής δρασ τηριότητας μεγαλύτερης περιόδου από τα 85 έτη τα οποία υποδεικνύει η ανάλυσ η των μέχρι σ ήμερα φωτομετρικών δεδομένων (ο μηχανισ μός Applegate δε χρειάζεται να περιγράφεται από ημιτονοειδή σ υνάρτησ η αλλά από περιοδική). Εν τούτοις ο Paczynski (2007) πρότεινε ότι ένα τέτοιο σ ενάριο μπορεί να ισ χύει μόνο σ ε σ υσ τήματα με ακραίους λόγους μαζών. Άλλο ένα ανοιχτό ερώτημα είναι εάν ο μικρός βαθμός επαφής του σ υσ τήματος υποδηλώνει ότι οι ασ τέρες-μέλη του TY Boo μπορεί να είναι οι προγεννήτορες ενός κανονικού σ υσ τήματος σ ε σ τενή επαφή σ την αρχή της υπερ-επαφής τους. Σύμφωνα με τον Qian (2001a, 2001b, 2003) η εξέλιξη ενός διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή μπορεί να είναι το σ υνδυασ τικό αποτέλεσ μα της TRO και της μη σ ταθερής απώλειας σ τροφορμής μέσ ω της αλλαγής του βαθμού επαφής. Η παρούσ α φωτομετρική λύσ η αποκαλύπτει ότι ο TY Boo είναι ένα διπλό οριακό σ ύσ τημα σ ε επαφή τύπου W με πολύ μικρό βαθμό επαφής, f = 7.6% όπως είναι και η γενικότερη περίπτωσ η με f < 15 % των AD Cnc (Qian et al. 2007a), UX Eri (Qian et al. 2007b), AO Cam και AH Tau (Yang et al. 2010), DD Com (Zhu et al. 2010), RW Com (Djurašević et al. 2011), U Peg (Pribulla & Vaňko 2002),WZ Cep (Zhu & Qian 2009), VW Boo (Liu et al. 2011) σ τα οποία τόσ ο η ασ υμμετρία των καμπυλών όσ ο και η μεταβολή τους μπορεί να ερμηνευτεί με την παρουσ ία κηλίδων. Οπως έχει προταθεί από τον Qian 132

136 5. Oλισ τική μελέτη του εκλειπτικού σ υσ τήματος W UMa TY Βοο: Το μοντέλο των δύο κηλίδων (2001b, 2003), σ τα διπλά σ υσ τήματα σ ε επαφή, το επίπεδο της μαγνητκής δρασ τηριότητας έχει μειωθεί προς δημιουργία του κοινού περιβλήματος μεταφοράς μάζας (common convective envelope, CCE). Οσ ο πιο παχύ είναι το δημιουργούμενο CCE τόσ ο ασ θενέσ τερη είναι η μαγνητική δρασ τηριότητα. Αν και θα περίμενε κανείς, τα σ υσ τήματα με έντονη μαγνητική δρασ τηριότητα να είναι ισ χυρές πηγές ακτίνων Χ, η έρευνα των Stȩpień et al. (2001) έδειξε ότι η ροή αυτών των σ υσ τημάτων σ τις ακτίνες Χ είναι ασ θενέσ τερη από την αντίσ τοιχη των μεμονωμένων ασ τέρων με την ίδια περίοδο περισ τροφής, και είναι της τάξης του της βολομετρικής ροής. Η απουσ ία ανίχνευσ ης ενεργού σ τέμματος το οποίο μερικώς μπορεί να οφείλεται σ ε μαγνητική δρασ τηριότητα- σ ε μερικά από τα παραπάνω διπλά σ υσ τήματα με ασ θενή επαφή (σ υμπεριλαμβανομένου και του TY Boo) υποδηλώνει ότι δεν υπήρχε δρασ τηριότητα τουλάχισ τον την περίοδο ανίχνευσ ης Ανακεφαλαιώνοντας, εξετάζοντας και αναλύοντας τα φωτομετρικά δεδομένα των προηγούμενων εβδομήντα-δύο ετών, παρουσ ιάσ τηκε μία ενοποιημένη λύσ η όλων των καμπυλών φωτός, με βάσ η το μοντέλο Roche και την παρουσ ία δύο κηλίδων. Μετά από προσ εκτική ανάλυσ η, θεωρούμε ότι η παρατηρούμενη μακρόχρονη μείωσ η της περιόδου δεν οφείλεται μόνο σ τη μεταφορά μάζας αλλά και σ την απώλεια σ τροφορμής ενώ τα σ τοιχεία που αιτιολογούν τις μεταβολές της φωτεινότητας του TY Boo ευνοούν μία μαγνητοϋδροδυναμική ερμηνεία αφού οι ασ τέρες που τον αποτελούν είναι ενεργοί, μεταγενέσ τερου τύπου. Τη δρασ τηριότητα του σ υσ τήματος σ τηρίζει η ανίχνευσ η εκλάμψεων CaII που καταγράφηκε σ το φάσ μα του Για τη διευκρίνισ η της φύσ ης του σ υσ τήματος ΤΥ Βοο χρειάζονται και άλλα σ τοιχεία τα οποία είτε να σ τηρίζουν τη μαγνητοϋδροδυναμική δρασ τηριότητα (π.χ κυκλικές μεταβολές σ τις γραμμές εκπομπής, παρατηρήσ εις σ τις ακτίνες Χ ή σ το ραδιοφωνικό μέρος) είτε να ισ χυροποιούν την παρουσ ία τρίτου σ ώματος (ασ τρομετρία, φασ ματοσ κοπικά δεδομένα υψηλότερης διακριτικής ικανότητας). Επίσ ης απαραίτητη είναι η σ υσ τηματική καταγραφή καμπυλών φωτός με σ κοπό την παρακολούθησ η της μεταβολής της περιόδου του σ υσ τήματος. 133

137 Βιβλιογραφία [Albayrak et al.(2005)] Albayrak, B., Yuce, K., Selam, S. O., et al. 2005, Information Bulletin on Variable Stars, 5649, 1 [Applegate(1992)] Applegate, J. H. 1992, ApJ, 385, 621 [Bradstreet & Guinan(1994)] Bradstreet, D. H., & Guinan, E. F. 1994, Interacting Binary Stars, 56, 228 [Carr(1972)] Carr, R. B. 1972, AJ, 77, 155 [Christopoulou et al.(2012)] Christopoulou, P.-E., Papageorgiou, A., Kleidis, S., & Tsantilas, S. 2012, AJ, 143, 30 [Christopoulou et al.(2011)] Christopoulou, P.-E., Parageorgiou, A., & Chrysopoulos, I. 2011, AJ, 142, 99 [Coughlin et al.(2008)] Coughlin, J. L., Dale, H. A., III, & Williamon, R. M. 2008, AJ, 136, 1089 [Cox(2000)] Cox, A. N. 2000, Allen s Astrophysical Quantities, 1 [Deb & Singh(2011)] Deb, S., & Singh, H. P. 2011, MNRAS, 412, 1787 [Diethelm(2006)] Diethelm, R. 2006, Information Bulletin on Variable Stars, 5713, 1 [Diethelm(2011)] Diethelm, R. 2011, Information Bulletin on Variable Stars, 5992, 1 [Diethelm(2010)] Diethelm, R. 2010, Information Bulletin on Variable Stars, 5945, 1 [Djurašević et al.(2011)] Djurašević, G., Yılmaz, M., Baştürk, Ö., et al. 2011, A&A, 525, AA66 [Djurašević et al.(2006)] Djurašević, G., Dimitrov, D., Arbutina, B., et al. 2006, PASA, 23, 154 [Dogru et al.(2006)] Dogru, S. S., Dogru, D., Erdem, A., Cicek, C., & Demircan, O. 2006, Information Bulletin on Variable Stars, 5707, 1 [Dvorak(2009)] Dvorak, S. W. 2009, Information Bulletin on Variable Stars, 5870, 1 [Elmaslı et al.(2006)] Elmaslı, A., Selam, S. O., Albayrak, B., & Oumlzuyar, D. 2006, Ap&SS, 304,

138 Βιβλιογραφία [Erdem & Oumlzkardeş(2009)] Erdem, A., & Oumlzkardeş, B. 2009, New A, 14, 321 [Hilditch(2001)] Hilditch, R. W. 2001, An Introduction to Close Binary Stars, by R. W. Hilditch, pp ISBN Cambridge, UK: Cambridge University Press, March 2001 [Hubscher et al.(2006)] Hubscher, J., Paschke, A., & Walter, F. 2006, Information Bulletin on Variable Stars, 5731, 1 [Hubscher & Walter(2007)] Hubscher, J., & Walter, F. 2007, Information Bulletin on Variable Stars, 5761, 1 [Hubscher(2007)] Hubscher, J. 2007, Information Bulletin on Variable Stars, 5802, 1 [Hubscher et al.(2010)] Hubscher, J., Lehmann, P. B., Monninger, G., Steinbach, H.-M., & Walter, F. 2010, Information Bulletin on Variable Stars, 5918, 1 [Hubscher & Monninger(2011)] Hubscher, J., & Monninger, G. 2011, Information Bulletin on Variable Stars, 5959, 1 [Hubscher et al.(2009)] Hubscher, J., Steinbach, H.-M., & Walter, F. 2009, Information Bulletin on Variable Stars, 5874, 1 [Hurley et al.(2002)] Hurley, J. R., Tout, C. A., & Pols, O. R. 2002, MNRAS, 329, 897 [Irwin(1959)] Irwin, J. B. 1959, AJ, 64, 149 [Köse et al.(2011)] Köse, O., Kalomeni, B., Keskin, V., Ulaş, B., & Yakut, K. 2011, Astronomische Nachrichten, 332, 626 [Kalimeris et al.(2002)] Kalimeris, A., Rovithis-Livaniou, H., & Rovithis, P. 2002, A&A, 387, 969 [Kalimeris et al.(1994)] Kalimeris, A., Rovithis-Livaniou, H., Rovithis, P., et al. 1994, A&A, 291, 765 [Kallrath & Linnell(1987)] Kallrath, J., & Linnell, A. P. 1987, ApJ, 313, 346 [Kim et al.(1997)] Kim, C.-H., Jeong, J. H., Demircan, O., Muyesseroglu, Z., & Budding, E. 1997, AJ, 114, 2753 [Kolenberg & Tsantillas(2008)] Kolenberg, K., & Tsantillas, S. 2008, Communications in Asteroseismology, 157, 52 [Kreiner(2004)] Kreiner, J. M. 2004, Acta Astron., 54, 207 [Kwee & van Woerden(1956)] Kwee, K. K., & van Woerden, H. 1956, Bull. Astron. Inst. Neth., 12, 327 [Lanza & Rodonò(2004)] Lanza, A. F., & Rodonò, M. 2004, Astronomische Nachrichten, 325,

139 Βιβλιογραφία [Lanza & Rodonò(1999)] Lanza, A. F., & Rodonò, M. 1999, A&A, 349, 887 [Lanza et al.(1998)] Lanza, A. F., Rodono, M., & Rosner, R. 1998, MNRAS, 296, 893 [Lanza(2006)] Lanza, A. F. 2006, MNRAS, 369, 1773 [Lee et al.(2009)] Lee, J. W., Kim, S.-L., Lee, C.-U., & Youn, J.-H. 2009, PASP, 121, 1366 [Lee et al.(2010)] Lee, J. W., Youn, J.-H., Han, W., et al. 2010, AJ, 139, 898 [Lee et al.(2009)] Lee, J. W., Youn, J.-H., Lee, C.-U., Kim, S.-L., & Koch, R. H. 2009, AJ, 138, 478 [Li et al.(2005)] Li, L., Han, Z., & Zhang, F. 2005, PASJ, 57, 187 [Li et al.(2008)] Li, L., Zhang, F., Han, Z., Jiang, D., & Jiang, T. 2008, MNRAS, 387, 97 [Liao & Qian(2010)] Liao, W.-P., & Qian, S.-B. 2010, MNRAS, 405, 1930 [Liu et al.(2011)] Liu, L., Qian, S.-B., Liao, W.-P., et al. 2011, AJ, 141, 44 [Lucy(1976)] Lucy, L. B. 1976, ApJ, 205, 208 [Lucy(1967)] Lucy, L. B. 1967, ZAp, 65, 89 [Maceroni & van t Veer(1994)] Maceroni, C., & van t Veer, F. 1994, A&A, 289, 871 [Marino et al.(2010)] Marino, G., Arena, C., Bellia, I., et al. 2010, Information Bulletin on Variable Stars, 5917, 1 [Milone et al.(1987)] Milone, E. F., Fry, D. J. I., & Grillmair, C. 1987, BAAS, 19, 643 [Milone et al.(1991)] Milone, E. F., Groisman, G., Fry, D. J. I., & Bradstreet, D. H. 1991, ApJ, 370, 677 [Nelson(2011)] Nelson, R. H. 2011, Information Bulletin on Variable Stars, 5966, 1 [Nelson(2010)] Nelson, R. H. 2010, Information Bulletin on Variable Stars, 5951, 1 [Nelson(2008)] Nelson, R. H. 2008, Information Bulletin on Variable Stars, 5820, 1 [Niarchos(1978)] Niarchos, P. G. 1978, Ap&SS, 58, 301 [Paczyński et al.(2007)] Paczyński, B., Sienkiewicz, R., & Szczygieł, D. M. 2007, MN- RAS, 378, 961 [Parimucha et al.(2009)] Parimucha, S., Dubovsky, P., Baludansky, D., et al. 2009, Information Bulletin on Variable Stars, 5898, 1 136

140 Βιβλιογραφία [Parimucha et al.(2011)] Parimucha, S., Dubovsky, P., Vanko, M., et al. 2011, Information Bulletin on Variable Stars, 5980, 1 [Parimucha et al.(2007)] Parimucha, S., Vanko, M., Pribulla, T., et al. 2007, Information Bulletin on Variable Stars, 5777, 1 [Popper(1980)] Popper, D. M. 1980, ARA&A, 18, 115 [Prša & Zwitter(2005)] Prša, A., & Zwitter, T. 2005, ApJ, 628, 426 [Pribulla & Vanko(2002)] Pribulla, T., & Vanko, M. 2002, Contributions of the Astronomical Observatory Skalnate Pleso, 32, 79 [Pribulla & Rucinski(2006)] Pribulla, T., & Rucinski, S. M. 2006, AJ, 131, 2986 [Qian et al.(2006)] Qian, S.-B., Liu, L., Soonthornthum, B., Zhu, L.-Y., & He, J.-J. 2006, AJ, 131, 3028 [Qian et al.(2007)] Qian, S.-B., Yuan, J.-Z., Soonthornthum, B., et al. 2007, ApJ, 671, 811 [Qian et al.(2007)] Qian, S.-B., Yuan, J.-Z., Xiang, F.-Y., et al. 2007, AJ, 134, 1769 [Qian(2003)] Qian, S. 2003, MNRAS, 342, 1260 [Qian(2001)] Qian, S. 2001, MNRAS, 328, 635 [Qian(2001)] Qian, S. 2001, MNRAS, 328, 914 [Rüdiger et al.(2002)] Rüdiger, G., Elstner, D., Lanza, A. F., & Granzer, T. 2002, A&A, 392, 605 [Rainger et al.(1990)] Rainger, P. P., Hilditch, R. W., & Bell, S. A. 1990, MNRAS, 246, 42 [Reindel et al.(2009)] Reindel, A., Bradley, P. A., Tsantilas, S., & Guzik, J. A. 2009, Solar-Stellar Dynamos as Revealed by Helio- and Asteroseismology: GONG 2008/SOHO 21, 416, 533 [Ruciński(1973)] Ruciński, S. M. 1973, Acta Astron., 23, 301 [Samec & Bookmyer(1987)] Samec, R. G., & Bookmyer, B. B. 1987, PASP, 99, 842 [Samec et al.(1989)] Samec, R. G., van Hamme, W., & Bookmyer, B. B. 1989, AJ, 98, 2287 [Samolyk(2010)] Samolyk, G. 2010, Journal of the American Association of Variable Star Observers (JAAVSO), 38, 183 [Samolyk(2010)] Samolyk, G. 2010, Journal of the American Association of Variable Star Observers (JAAVSO), 38,

141 Βιβλιογραφία [Samolyk(2009)] Samolyk, G. 2009, Journal of the American Association of Variable Star Observers (JAAVSO), 37, 44 [Samolyk(2008)] Samolyk, G. 2008, Journal of the American Association of Variable Star Observers (JAAVSO), 36, 186 [Stȩpień et al.(2001)] Stȩpień, K., Schmitt, J. H. M. M., & Voges, W. 2001, A&A, 370, 157 [Stepien(2006)] Stepien, K. 2006, Acta Astron., 56, 199 [Tsantilas & Rovithis-Livaniou(2008)] Tsantilas, S., & Rovithis-Livaniou, H. 2008, Communications in Asteroseismology, 157, 87 [Tsantilas & Rovithis-Livaniou(2005)] Tsantilas, S., & Rovithis-Livaniou, H. 2005, The Light-Time Effect in Astrophysics: Causes and cures of the O-C diagram, 335, 147 [van Hamme(1993)] van Hamme, W. 1993, AJ, 106, 2096 [Wood & Forbes(1963)] Wood, B. D., & Forbes, J. E. 1963, AJ, 68, 257 [Yakut & Eggleton(2005)] Yakut, K., & Eggleton, P. P. 2005, ApJ, 629, 1055 [Yang et al.(2007)] Yang, Y.-G., Dai, J.-M., Yin, X.-G., & Xiang, F.-Y. 2007, AJ, 134, 179 [Yang et al.(2010)] Yang, Y.-G., Wei, J.-Y., Kreiner, J. M., & Li, H.-L. 2010, AJ, 139, 195 [Yuan & Qian(2007)] Yuan, J., & Qian, S. 2007, ApJ, 669, L93 [Zasche et al.(2009)] Zasche, P., Liakos, A., Niarchos, P., et al. 2009, New A, 14, 121 [Zhu et al.(2010)] Zhu, L., Qian, S.-B., Mikulášek, Z., et al. 2010, AJ, 140, 215 [Zhu & Qian(2009)] Zhu, L. Y., & Qian, S. B. 2009, AJ, 138, 2002 [Zola et al.(2010)] Zola, S., Gazeas, K., Kreiner, J. M., et al. 2010, MNRAS, 408,

142 6. Η καμπύλη φωτός και το αναλυτικό μοντέλο του τριπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος FI Boo 6.1. Εισ αγωγή Τα σ υσ τήματα τύπου W UMa είναι διπλά σ υσ τήματα ασ τέρων σ ε επαφή, φασ ματικού τύπου F, G, K τα οποία χαρακτηρίζονται από χαμηλή παρόμοια θερμοκρασ ία (Mochnacki 1981, Paczyński et al. 2006). Συνήθως η ανάλυσ η των φωτομετρικών τους καμπυλών βασ ίζεται σ την περιγραφή της επιφάνειάς τους από την κοινή ισ οδυναμική επιφάνεια του μοντέλου Roche (Hilditch, King & McFarlane 1989, Hilditch 1989). Αν και τα τελευταία χρόνια έχουν γίνει πολλές μελέτες των W UMa, αναπάντητο παραμένει το ερώτημα για τη σ ύγχρονη θεωρία ασ τρικής δομής και εξέλιξης, σ χετικά με τη φύσ η του υπερφωτεινού, ασ τέρα-μέλους που έχει τη μικρότερη μάζα (Yang & Liu 2001, Webbink 2003, Li et al. 2008). Γι αυτό απαιτείται ακριβής υπολογισ μός των παραμέτρων όλο και περισ σ ότερων διπλών σ υσ τημάτων σ ε υπερεπαφή. Ακόμα και σ την περίπτωσ η των καλά μελετημένων σ υσ τημάτων, απαιτούνται καινούριες μελέτες γιατί πολλές φορές υπάρχουν προβλήματα όταν τα δεδομένα παρισ τάνονται ως προς φάσ η, και τα νέα αποτελέσ ματα δε σ υμφωνούν με τα παλαιότερα. (Awadalla & Hanna 2005, Gazeas & Niarchos 2006, Eker et al. 2006, Stȩpień 2006a,b, 2009, 2011). Το πιο χαρακτηρισ τικό παράδειγμα είναι η περίπτωσ η του AW UMa (Pribulla & Rucinski 2008) το οποίο πρόκειται για ένα ιδιαίτερο διπλό σ ύσ τημα με ολικές εκλείψεις το οποίο πιθανόν δεν είναι σ την κατάσ τασ η επαφής. Γι αυτό το 2009 σ το ασ τεροσ κοπείο Μυθωδία του Παν/μίου Πατρών, ξεκίνησ ε ένα πρόγραμμα παρατηρησ ιακής μελέτης γνωσ τών σ υσ τημάτων W UMa με σ κοπό την παρουσ ίασ η ενός ολισ τικού μοντέλου (Christopoulou et al. 2011, 2012a,b) κάτω από το φως νέων παρατηρήσ εων. Με κριτήριο ότι ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσ ιάζουν τα διπλά σ υσ τήματα τα οποία μπορεί να έχουν περισ σ ότερα μέλη ή μελετώνται για πρώτη φορά, ο FI Boo σ υμπεριελήφθη σ το παρατηρησ ιακό πρόγραμμα γιατί δεν υπήρχε σ τη βιβλιογραφία μοντέλο το οποίο να λαμβάνει υπόψιν τον νέο αμυδρό τρίτο ασ τέρα του σ υσ τήματος ο οποιος έχει ανιχνευθεί. Το μικρού πλάτους μεταβολής εκλειπτικό σ ύσ τημα FI Boo (BD , HD , HIP 75203, GSC , and TYC , V max =9.49 ± 0.02 mag) ανακαλύφθηκε από την αποσ τολή Hipparcos (ESA 1997), κι έχει περίοδο P=0.39 d, διπλάσ ια από αυτή που αρχικά είχε καταγραφεί σ τον κατάλογο του Hipparcos, όπως διαπισ τώθηκε από τους Lu et al. (2001, από εδώ και πέρα σ υντομογραφικά L01). Οι L01 έδειξαν ότι ο FI Boo είναι ένα διπλό φασ ματοσ κοπικό σ ύσ τημα με διπλές γραμμές σ το φάσ μα του, φασ ματικού τύπου G3V, με φασ ματοσ κοπικό λόγο μαζών q sp = ± και μορφολογία τύπου W όπως προκύπτει από τη φωτομετρία της αποσ τολής Hipparchos. Οι Terrell et al. (2006, από εδώ και πέρα σ υντομο- 139

143 6. Η καμπύλη φωτός και το αναλυτικό μοντέλο του τριπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος FI Boo γραφικά T06) παρουσ ίασ αν τις πρώτες καμπύλες UBV RcIc τις οποίες ανέλυσ αν ταυτόχρονα μαζί με τη φωτομετρία της αποσ τολής Hipparchos και τα φασ ματοσ κοπικά δεδομένα και ταξινόμησ αν το σ ύσ τημα σ την υποκατηγορία A με μικρή τροχιακή κλίσ η i = 43.1 o ± 0.9 και φωτομετρικό λόγο μαζών q ph = ± Επίσ ης, οι D Angelo et al. (2006) ανίχνευσ αν ξεκάθαρα την παρουσ ία ενός αμυδρού τρίτου σ ώματος σ το φάσ μα του FI Boo με λόγο ροής f 3 /f 12 = και λόγο μαζών M 3 /M 12 = Πρόσ φατα οι Kjurkchieva & Marchev (2011, από εδώ και πέρα σ υντομογραφικά KM11) παρατήρησ αν το σ ύσ τημα σ τη γραμμή Hα και εξήγαγαν νέα φασ ματοσ κοπική μελέτη προσ διορίζοντας το λόγο μαζών σ ε q sp = ± 0.01, και ταξινόμησ αν το σ ύσ τημα σ την υποκατηγορία των A με βάσ η τις εξαγόμενες παραμέτρους του Terrell. Απέδειξαν ότι η παρουσ ία τη γραμμής απορρόφησ ης σ την Hα δεν σ χετίζεται με την τροχιακή φάσ η κι ως εκ τούτου μπορεί να οφείλεται σ τη διέλευσ η ενός επιπλέον σ ώματος όπως είχε προταθεί από τους D Angelo et al. (2006). Στο παρόν κεφάλαιο, παρουσ ιάζονται τα αποτελέσ ματα νέων φωτομετρικών παρατηρήσ εων (ενότητα 6.2) και μία εκτενής ανάλυσ η της μοναδικότητας της λύσ ης των φωτομετρικών και φασ ματοσ κοπικών καμπυλών καθώς και των σ φαλμάτων που υπεισ έρχονται (ενότητα 6.4). Στην ενότητα 6.5 παρουσ ιάζονται οι εξαγόμενες φυσ ικές παράμετροι των ασ τέρων μελών σ ε σ χέσ η με τα εξελικτικά μοντέλα (ενότητες και 6.5.2) και σ χολιάζονται τα αποτελέσ ματα Φωτομετρικές παρατηρήσ εις και επεξεργασ ία των δεδομένων Οι παρατηρήσ εις του FI Boo πραγματοποιήθηκαν σ το Ασ τεροσ κοπείο Μυθωδία για 3 νύχτες (30 Απριλίου, 1η και 2 Μαϊου 2012). Συνολικά καταγράφηκαν 632 εικόνες CCD (121 σ το V, 118 σ το B, 197 σ το Rc και 196 σ το Ic). Κάθε νύχτα, πριν την έναρξη λήψης των δεδομένων, κατά το λυκόφως, λαμβάνονταν βοηθητικές εικόνες βαθμονόμησ ης bias, σ κότους (dark) και επιπεδοποίησ ης. Η επεξεργασ ία των εικόνων CCD έγινε με τις κλασ ικές ρουτίνες CCDRED του πακέτου IRAF και η φωτομετρία διαφράγματος με το πακέτο APPHOT του IRAF. Ως ασ τέρας σ ύγκρισ ης χρησ ιμοποιήθηκε ο TYC (V =11.23 ± 0.08 mag) και ασ τέρας ελέγχου ο TYC (V =11.55 ± 0.12 mag). Λόγω μικρότερου πεδίου σ ε σ χέσ η με τους T06, χρησ ιμοποιήθηκε ως ασ τέρας σ ύγκρισ ης, ο ασ τέρας ελέγχου των ΤΟ6 αν και δεν ήταν παρόμοιου μεγέθους με τον μεταβλητό. Τα μεγέθη και τα χρώματα όλων των ασ τέρων παρουσ ιάζονται σ τον Πίνακα 6.1. Οπως προκύπτει από το Σχήμα 6.1 σ το οποίο παρουσ ιάζεται ολόκληρη η καμπύλη φωτός για την 1η Μαϊου, οι ασ τέρες αυτοί είναι σ ταθεροί μέσ α σ τη χρονική κλίμακα του μεταβλητού. Οι διορθώσ εις απόσ βεσ ης λόγω ατμόσ φαιρας αγνοήθηκαν αφού ο υπό παρατήρησ η μεταβλητός και ο ασ τέρας σ ύγκρισ ης είναι πολύ κοντά και δεν παρατηρήθηκαν ποτέ κάτω από 30 o από τον ορίζοντα. Η μέσ η ακρίβεια κάθε σ ημείου σ τις καμπύλες φωτός είναι 5 7mmag. Τμήμα των αποτελεσ μάτων της διαφορικής φωτομετρίας σ ε κάθε φίλτρο παρουσ ιάζεται σ τον Πίνακα

144 6. Η καμπύλη φωτός και το αναλυτικό μοντέλο του τριπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος FI Boo Πίνακας 6.1.: Μεγέθη και χρώματα του μεταβλητού και των ασ τέρων σ ύγκρισ ης και ελέγχου (SIMBAD) Πίνακας 6.2.: Φωτομετρικές παρατηρήσ εις σ τις φασ ματικές περιοχές BV RcIc του διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος FI Boo* *Ολόκληρος ο πίνακας παρατίθεται σ το VizieR 141

145 6. Η καμπύλη φωτός και το αναλυτικό μοντέλο του τριπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος FI Boo m(mag) B-band-1May2012 V-band-1May HJD Σχήμα 6.1.: Παρατηρήσ εις CCD του FI Boo την 1η Μαΐου Τροχιακά χαρακτηρισ τικά Αφού τα διπλά σ υσ τήματα σ ε υπερεπαφή θα πρέπει να υπακούουν μία σ αφή σ χέσ η περιόδουχρώματος, χρησ ιμοποιήθηκε ο εμπειρικός νόμος της περιόδου-χρώματος (J-K) των Deb & Singh (2011) για να επαληθευθεί ότι η περίοδος είναι όντως η διπλάσ ια από την αρχικά καταγεγραμμένη από την αποσ τολή Hipparcos. Συνολικά υπολογίσ τηκαν 10 χρόνοι ελαχίσ των (εκλείψεων), έξι κύριες και τέσ σ ερις δευτερεύουσ ες, σ ε όλα τα φίλτρα B, V, Rc, Ic με βάσ η τη μέθοδο K-W (Kwee & van Woerden 1956), οι εποχές των οποίων παρουσ ιάζονται σ τον Πίνακα 6.3. Επιπλέον σ υγκεντρώθηκαν από τη βιβλιογραφία όλοι οι καταγεγραμμένοι χρόνοι ελαχίσ των με CCD ή φωτοηλεκτρικές παρατηρήσ εις για την περίοδο Οπως έχει σ ημειωθεί από τους Pribulla et al τα σ φάλματα που υπολογίζονται με τη μέθοδο K-W (τα οποία δεν παρουσ ιάζονται σ τον Πίνακα 6.3) είναι σ υχνά υπερεκτιμημένα. (σ ). Κύρια αιτία των σ φαλμάτων είναι τα σ υσ τηματικά σ φάλματα που υπεισ έρχονται, τα οποία σ την περίπτωσ η της φωτομετρίας με CCD οφείλονται σ το σ κεδασ μένο φως το οποίο δε μπορεί να διορθωθεί πλήρως με την επιπεδοποίησ η. Γι αυτό οι χρόνοι ελαχίσ των οι οποίοι καταγράφονται με διαφορετικά οπτικά σ τοιχεία ή/και με διαφορετικό προσ ανατολισ μό, σ ταθμίσ τηκαν ανάλογα με το 1/σ 2 και κανονικοποιήθηκαν ως προς βέλτισ το βάρος w = 10. Η ανάλυσ η της περιόδου έγινε με βάσ η το παραγόμενο διάγραμμα O-C σ ύμφωνα με την φασ ματοσ κοπική εφημερίδα των L01. HJD(M ini) = E (6.1) 142

146 6. Η καμπύλη φωτός και το αναλυτικό μοντέλο του τριπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος FI Boo Πίνακας 6.3.: Χρόνοι ελαχίσ των από CCD/Pe παρατηρήσ εις του σ υσ τήματος FI Boo 143

147 6. Η καμπύλη φωτός και το αναλυτικό μοντέλο του τριπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος FI Boo Σχήμα 6.2.: Διάγραμμα O - C του σ υσ τήματος FI Boo που δημιουργήθηκε από τους χρόνους ελαχίσ των (CCD/Pe) που βρέθηκαν σ τη διεθνή βιβλιογραφία ( ), εμπλουτισ μένο με τις νέες παρατηρήσ εις της παρούσ ας εργασ ίας. Πάνω, παρουσ ιάζεται με κόκκινη και μπλέ γραμμή, ο ημιτονοειδής όρος (τ 3 ) και ο παραβολικός όρος της εξίσ ωσ ης 6.2 αντίσ τοιχα. Κάτω, παρουσ ιάζονται τα υπόλοιπα του μοντέλου της εξίσ ωσ ης 6.2 και των παρατηρησ ιακων δεδομένων. Οι σ υμπαγείς κύκλοι αναπαρισ τουν τα πρωτεύοντα ελάχισ τα και τα ανοιχτά σ ύμβολα τα δευτερεύοντα ελάχισ τα. Το μέγεθος των σ υμβόλων είναι ανάλογο του σ τατισ τικού βάρους κάθε σ ημείου κατα την διάρκεια της προσ αρμογής βέλτισ της καμπύλης. Οι υπολογιζόμενες διαφορές O-C φαίνονται σ τον Πίνακα 6.3 και παρισ τάνονται σ το πάνω μέρος του Σχήματος 6.2 όπου οι γεμάτοι και οι άδειοι κύκλοι παρισ τάνουν τα πρωτεύοντα και τα δευτερεύοντα ελάχισ τα αντίσ τοιχα, με το μέγεθος των κύκλων ανάλογο του σ τατισ τικού του βάρους. Αν και τα δεδομένα καλύπτουν ένα σ χετικά μικρό χρονικό εύρος, έγινε προσ αρμογή της καμπύλης O-C με την εφημερίδα (6.2) η οποία περιγράφεται από μία παραβολική και μία ημιτονοειδή σ υνάρτησ η, προκειμένου να εξετασ τεί εάν η μεταβολή της περιόδου μπορεί να οφείλεται σ την παρουσ ία τρίτου σ ώματος (LITE) όπως προτάθηκε από τα φασ ματοσ κοπικά δεδομένα. C = T o + P E + C E 2 + τ 3 (6.2) όπου τ 3 είναι το φαινόμενο LITΕ λόγω της παρουσ ίας μακρινού τρίτου σ ώματος το οποίο περιφέρεται γύρω από το εκλειπτικό ζεύγος (Irwin 1952) και περιέχει τις πέντε παραμέτρους του τρίτου σ ώματος(α 12 sin i 3, e 3, ω 3, Τ 3 και P 3 ) (βλ. ενότητα 1.5). Με εφαρμογή του προγράμματος του Zasche et al. (2009) 1 προσ διορίσ τηκαν οι παραπάνω παράμετροι και το 1 zasche/ 144

148 6. Η καμπύλη φωτός και το αναλυτικό μοντέλο του τριπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος FI Boo Πίνακας 6.4.: Αποτελέσ ματα προσ αρμογής βέλτισ της καμπύλης (Εξίσ ωσ η 6.2) σ το διάγραμμα O-C για το σ ύσ τημα FI Boo αποτέλεσ μα της προσ αρμογής του παραβολικού και του ημινοειδούς όρου της εφημερίδας (6.2) παρισ τάνεται σ το πάνω μέρος του Σχήματος 6.2 με σ υνεχή και διακεκομμένη γραμμή αντίσ τοιχα, ενώ τα αποτελέσ ματα (O C) 1 φαίνονται σ την 5η σ τήλη του Πίνακα 6.3. Οι εξαγόμενες τροχιακές παράμετροι φαίνονται σ τον Πίνακα 6.4 μαζί με τη μάζα του τρίτου σ ώματος (M 3 ) η οποία έχει υπολογισ τεί για τρείς διαφορετικές κλίσ εις του επιπέδου του (i 3 ) ως προς το τροχιακό επιπεδο του σ υσ τήματος και με βάσ η τις εξαγόμενες απόλυτες παραμέτρους των ασ τέρων-μελών που υπολογίζονται σ τον Πίνακα 6.5. Οπως προκύπτει, εάν η τροχιά του τρίτου σ ώματος είναι σ υνεπίπεδη με το διπλό σ ύσ τημα σ ε επαφή (i 3 = 38 o ), η μάζα του M 3 = 0.45 M αντισ τοχεί σ ε ασ τέρα κύριας ακουλουθίας φασ ματικού τύπου M Μοντελοποίησ η της καμπύλης φωτός Τα νέα φωτομετρικά δεδομένα παρισ τάθηκαν ως προς φάσ η σ ύμφωνα με τη γραμμική εφημερίδα (6.1) και φαίνονται σ το Σχήμα 6.3. Για τη μοντελοποίησ η χρησ ιμοποιήθηκαν και τα φασ ματοσ κοπικά δεδομένα και η ανάλυσ η πραγματοποιήθηκε με το πρόγραμμα PHOEBE (Prša & Zwitter 2005, v0.29 και v0.31). Από τη σ τιγμή που ο λόγος των μαζών του διπλού σ υσ τήματος καθορίζει τη λύσ η, όταν υπάρχουν φασ ματοσ κοπικά δεδομένα, η σ υνήθης τακτική είναι να υιοθετείται και να διατηρείται σ ταθερός κατά την ταυτόχρονη προσ αρμογή όλων των καμπυλών φωτός ή να γίνεται μία ταυτόχρονη ανάλυσ η φωτομετρικών (ακόμα και παλαιότερων) και φασ ματοσ κοπικών καμπυλών. Αν και η ταυτόχρονη προσ αρμογή παρέχει το πλεονέκτημα ότι δίνει μία λύσ η που ικανοποιεί όλα τα διαθέσ ιμα set δεδομένων, σ υνήθως το τελικό μοντέλο δεν ελέγχεται για σ ταθερότητα και μοναδικότητα σ το χώρο των λύσ εων και δεν σ υνοδεύεται από τις πραγματικές αβεβαιότητες των εξαγόμενων παραμέτρων. Σε σ υσ τήματα όπου δεν υπάρχουν διαθέσ ιμα φασ ματοσ κοπικά δεδομένα, η κατάσ τασ η 145

149 6. Η καμπύλη φωτός και το αναλυτικό μοντέλο του τριπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος FI Boo m(mag) B V Rc Ic Phase Σχήμα 6.3.: Φωτομετρικές καμπύλες σ τα φίλτρα BV RcIc για το σ ύσ τημα FI Boo από τις παρατηρήσ εις του Απριλίου-Μαΐου Η σ υνεχής γραμμή παρουσ ιάζει το τελικό μοντέλο. είναι πιο αβέβαιη αφού η μέθοδος που ακολουθείται είναι η εύρεσ η του λόγου μαζών q από ένα εύρος τιμών q με τον οποίο επιτυγχάνεται η καλύτερη δυνατή λύσ η των φωτομετρικών καμπυλών (ελάχισ το Σres 2 ), χωρίς να λαμβάνεται υπόψιν ότι η ακρίβεια του φωτομετρικού προσ διορισ μού του λόγου μαζών ελατώνεται δραματικά όταν οι εκλείψεις δεν είναι ολικές αλλά μερικές (Wilson & Wyithe 2002, Terrell & Wilson 2005 και οι αναφορές εντός των εργασ ιών). Άρα κάθε λύσ η θα πρέπει να ελέγχεται για το εάν αντιπροσ ωπεύει ολικό ελάχισ το σ το χώρο των λύσ εων του σ υσ τήματος και το εάν έχει φυσ ική σ ημασ ία με βάσ η τα παρατηρησ ιακά δεδομένα. Η μεθοδολογία που ακολουθήθηκε έχει ως σ κοπό την κριτική ανάλυσ η και την εύρεσ η λύσ ης με βάσ η φωτομετρικά και φασ ματοσ κοπικά δεδομένα καθώς και τον προσ διορισ μό των πραγματικών σ φαλμάτων των εξαγόμενων παραμέτρων Το σ ύσ τημα FI Boo Αρχικά έγινε η προσ αρμογή των δεδομένων μόνο των καμπυλών ακτινικών ταχυτήτων (RV) των LO1 από τις οποίες προέκυψαν οι αρχικές παράμετροι: λόγος μαζών q = ± , προβαλλόμενο μήκος μεγάλου ημιάξονα αsini = ± R, και σ υσ τημική ταχύτητα V r = ± 0.66 km s 1 (τα σ φάλματα είναι τα τυπικά). Αυτές χρησ ιμοποιήθηκαν ως σ ταθερές σ το PHOEBE κατά την προσ αρμογή μόνο των καμπυλών φωτός χρησ ιμοποιώντας την επιλογή χαρακτηρισ μού του σ υσ τήματος διπλό σ ύσ τημα σ ε υπερεπαφή χωρίς θερμική ισ ορροπία υποθέτοντας κυκλικές τροχιές (χωρίς τα δεδομένα RV) με σ κοπό τον περιορισ μό της κλίσ ης i, του λόγου των θερμοκρασ ιών των ασ τέρων Τ 2 /Τ 1, των σ χετικών ακτίνων (r 1, r 2 ), του ανηγμένου δυναμικού του πρωτεύοντα (Ω 1 ) και της μονοχρωματικής φωτεινότητας του πρωτεύοντα (L 1 ). Ειδικότερα προκειμένου να διατηρηθεί η 146

150 6. Η καμπύλη φωτός και το αναλυτικό μοντέλο του τριπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος FI Boo ποσ ότητα αsini, μετά από κάθε επανάληψη προσ αρμογής με μία θεωρητική καμπύλη και εύρεσ η της καλύτερης τιμής της κλίσ ης i, η παράμετρος α υπολογιζόταν εκ νέου. Σε όλη την ανάλυσ η που ακολουθεί, ως πρωτεύων ασ τέρας (ασ τέρας 1) οριζεται φωτομετρικά ο θερμότερος, η έκλειψη του οποίου παράγει και το βαθύτερο ελάχισ το σ τη φάσ η μηδέν. Κατά την διαδικασ ία, αντί να υιοθετηθεί η θερμοκρασ ία του ενός ασ τέρα (από το φασ ματικό του τύπο ή το χρώμα του) ως σ ταθερή και να αφεθεί ελεύθερη προς σ ύγκλισ η μόνο η θερμοκρασ ία του άλλου ασ τέρα, αφέθηκε ελεύθερος προς σ ύγκλισ η ο λόγος των θερμοκρασ ιών, γιατί ο παρατηρούμενος δείκτης χρώματος εκφράζει όλο το διπλό σ ύσ τημα και ως εκ τούτου αντιπροσ ωπεύει την ενεργό του θερμοκρασ ία. Με βάσ η το εύρος των μαζών του FI Boo ( ) M, σ την ανάλυσ η χρησ ιμοποιήθηκαν οι σ υντελεσ τές αμαύρωσ ης λόγω βαρύτητας των δύο ασ τέρων g 1 = g 2 = 0.32, (Lucy, 1967) και οι σ υντελεσ τές ανακλασ τικότητας A 1 = A 2 = 0.5, λόγω της παρουσ ίας ζωνών μεταφοράς (Τ<7200 Κ). Οι σ υντελεσ τές για το φαινόμενο αμαύρωσ ης χείλους υιοθετήθηκαν αυτόματα από τους ενσ ωματωμένους σ το PHOEBE 0.29d, πίνακες του van Hamme (van Hamme 1993). Στην περίπτωσ η του FI Boo, τα αποτελέσ ματα προσ αρμογής έδειξαν την ανάγκη εισ αγωγής φωτός τρίτου σ ώματος, σ ε όλα τα φίλτρα ταυτόχρονα. Η τελική λύσ η ελέγχθηκε με τη δυνατότητα του PHOEBE s scripter για μοναδικότητα μέσ α από ένα σ υνδυασ μό σ άρωσ ης σ το χώρο των λύσ εων και διαταραχής των παραμέτρων για όλες τις ελεύθερες παραμέτρους για 2000 επαναλήψεις (50 επαναλήψεις για 40 διαταραχές). Η μέθοδος σ άρωσ ης σ το χώρο των λύσ εων (Prša & Zwitter 2005) είναι μία σ άρωσ η παραμέτρων με Monte-Carlo, η οποία χρησ ιμοποιεί την ελαχισ τοποίησ η μέσ ω της μεθόδου των διαφορικών διορθώσ εων (Differential Corrections, DC) για πολλές επαναλήψεις, ξεκινώντας κάθε φορά από τις νέες τιμές των παραμέτρων που προκύπτουν από τη σ ύγκλισ η (Maceroni et al. 2009, Bonanos 2009, Deb & Singh 2011). Επιπλέον, για την αποφυγή του τοπικών ελαχίσ των σ το χώρο των λύσ εων, με την σ ύγκλισ η (εύρεσ η τιμών ελεύθερων παραμέτρων) σ την επιθυμητή ακρίβεια, οι παράμετροι διαταράσ σ ονταν σ το 5-10 % της προκύπτουσ ας τιμής τους και η παραπάνω μέθοδος ξεκινούσ ε από την αρχή. Οι τιμές των ελεύθερων παραμέτρων τέθηκαν σ ε ισ τογράμματα από τα οποία υπολογίσ τηκαν οι μέσ ες τιμές τους με το τυπικό σ φάλμα όπως φαίνεται σ το Σχήμα 6.4 το οποίο προέκυψε με βάσ η το PHOEBE από το ελάχισ το άθροισ μα των τετραγώνων της προσ αρμογής (χ 2 = 0.25) για τις παραμέτρους i, Ω, q, T 2 /T 1. Αυτές παρισ τάνονται για όλο το εύρος των τιμών τους με μικρά bins, με μέγεθος σ χεδόν το ήμισ υ του σ φάλματος τους (Πίνακας 6.5). Στο Σχήμα 6.5 παρισ τάνεται σ ε διάγραμμα πυκνότητας, ο λόγος των θερμοκρασ ιών Τ 2 /Τ 1, και ακτίνων R 2 /R 1, των ασ τέρων-μελών ως προς το μήκος του μεγάλου ημιάξονα α δηλαδή ένα δισ διάσ τατο ισ τόγραμμα το οποίο δείχνει την κατανομή της πιθανότητας κάθε ζεύγους παραμέτρων Τ 2 /Τ 1 α και R 2 /R 1 - α σ την τομή του χώρου των τιμών των σ υγκεκριμένων παραμέτρων. Ο μαυρόασ προς χάρτης (σ ε λογαριθμική κλίμακα) παρισ τάνει τον αριθμό των επαναλήψεων σ τις οποίες επιτυγχάνεται η σ ύγκλισ η και για τις δύο παραμέτρους και παρέχει μία άμεσ η επιβεβαίωσ η των αποτελεσ μάτων της παραπάνω μεθόδου (σ άρωσ ης σ το χώρο των λύσ εων και διαταραχής των παραμέτρων). Οι προκύπτουσ ες διάμεσ ες τιμές φαίνονται σ τον Πίνακα 6.5 και αντιπροσ ωπεύουν το τελικό προτεινόμενο μοντέλο το οποίο παρισ τάνεται με σ υνεχή γραμμή σ το Σχήμα 6.3, σ ε σ χέσ η με τις παρατηρούμενες καμπύλες. Οι αβεβαιότητες των εξαγόμενων παραμέτρων σ τον Πίνακα 6.5, καθορίσ τηκαν με βάσ η τη σ ταθερή απόκλισ η των παραπάνω ισ τογραμμάτων για μεγαλύτερα bins και όχι από τα εξαγόμενα σ φάλματα του PHOEBE. 147

151 6. Η καμπύλη φωτός και το αναλυτικό μοντέλο του τριπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος FI Boo Πίνακας 6.5.: Φυσ ικές παράμετροι του διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος σ ε επαφή FI Boo 148

152 6. Η καμπύλη φωτός και το αναλυτικό μοντέλο του τριπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος FI Boo N i(deg) Σχήμα 6.4.: Ισ τογράμματα από τα αποτελέσ ματα της σ άρωσ ης σ τον χώρο των παραμέτρων με εφαρμογή διαταραχής για τις παραμέτρους i, Ω, q, και T 2 T 1 του σ υσ τήματος FI Boo. Οι προκύπτουσ ες διάμεσ ες τιμές των παραμέτρων φαίνονται σ τον Πίνακα

153 6. Η καμπύλη φωτός και το αναλυτικό μοντέλο του τριπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος FI Boo Σχήμα 6.5.: Διάγραμμα πυκνότητας (2D Ισ τόγραμμα) του λόγου των θερμοκρασ ιών T 2 T 1 και του λόγου των ακτίνων R 2 R 1 με την μεταξύ τους απόσ τασ η όπως προέκυψε από την σ άρωσ η σ τον χώρο των παραμέτρων (heuristic scanning). Οι αποχρώσ εις του γκρί είναι σ ε λογαριθμική κλίμακα και παρισ τάνουν τον αριθμό των μοντέλων Μία εκτεταμένη μέθοδος διερεύνησ ης του λόγου των μαζών q-search Τί θα γινόταν σ την σ την περίπτωσ η που δεν υπήρχαν φασ ματοσ κοπικά δεδομένα για το σ ύσ τημα FI Boo, όπως σ υνήθως σ υμβαίνει για την πλειοψηφία των σ υσ τημάτων W UMa, Σύμφωνα με τους Wilson & Wyithe (2002) και Terrell & Wilson (2005 και αναφορές) οι οποίοι διερεύνησ αν την ακρίβεια εύρεσ ης φωτομετρικού λόγου μαζών σ υσ τημάτων σ ε υπερεπαφή, λύνοντας σ υνθετικά δεδομένα, η μέθοδος q-search οδηγεί σ ε περισ σ ότερο α- ξιόπισ τες λύσ εις των φωτομετρικών καμπυλών μόνο σ την περίπτωσ η των ολικών εκλείψεων λόγω των φυσ ικών περιορισ μών που τίθενται σ τη γεωμετρία Roche από τις διασ τάσ εις των ασ τέρων. Στην προσ πάθεια να διερευνηθεί το παραπάνω σ υμπέρασ μα σ την περίπτωσ η του FI Boo το οποίο χαρακτηρίζεται από μερικές εκλείψεις, πραγματοποιήθηκε μία λεπτομερής διερεύνησ η λύσ εων με εύρος 0.2 q 4 χρησ ιμοποιώντας το PHOEBE, επιλύοντας όλες τις καμπύλες ταυτόχρονα σ την επιλογή διπλό σ ύσ τημα σ ε υπερεπαφή χωρίς θερμική ισ ορροπία και υποθέτοντας κυκλικές τροχιές. Με χρήσ η του PHOEBE scripter και των διαφορικών διορθώσ εων DC, οι ελεύθερες παράμετροι που επιλέγησ αν ήταν οι θερμοκρασ ίες των ασ τέρων T 1, T 2, η τροχιακή κλίσ η i, το ανηγμένο δυναμικό του πρωτεύοντα Ω 1, και η φωτεινότητα ανά φίλτρο του πρωτεύοντα (L 1 ). Οι υπόλοιπες σ ταθερές τέθηκαν σ τις τιμές ασ τέρων με ζώνες μεταφοράς όπως παραπάνω. Η τροχιακή περίοδος P και ο χρόνος του πρώτου ελαχίσ του υιοθετήθηκαν από την εφημερίδα (6.1). Ο κύριος σ κοπός των πρώτων υπολογισ μών ήταν να διερευνηθεί πόσ ο ισ χυρά μεταβάλλεται το άθροισ μα των υπολοίπων (χ 2 ) σ ε αυτό το εύρος των παραμέτρων. Το αποτέλεσ μα έδειξε ότι οι καλύτερες λύσ εις 150

154 6. Η καμπύλη φωτός και το αναλυτικό μοντέλο του τριπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος FI Boo για 2.5 q 4 ήταν ισ οπίθανες. Γι αυτό κατασ κευάσ τηκε ένα αρχικό μοντέλο με το PHOEBE για q = 3.2 και διερευνήθηκε η εξαγόμενη λύσ η με το PHOEBE scripter για μοναδικότητα σ το χώρο των λύσ εων μέσ α από ένα σ υνδυασ μό σ άρωσ ης σ το χώρο των λύσ εων και διαταραχής των παραμέτρων, σ ε όλες τις ελεύθερες παραμέτρους όπως αναφέρθηκε σ την ενότητα 4.1. Οπως έδειξαν οι Prša και Zwitter (2005, 2007) η μέθοδος διαταραχής παραμέτρων είναι πιο αποδοτική ακόμα και σ την περίπτωσ η που υπάρχουν μόνο φωτομετρικά δεδομένα, αφού μπορεί να βελτιώσ ει από 15% έως 75% τη σ ύγκλισ η μετά από μόνο τρεις διαδοχικές διαταραχές. Τα αποτελέσ ματα της παραπάνω μεθόδου έδειξαν ότι υπάρχει ένα σ αφές ελάχισ το χ 2 σ την περιοχή 2.5 < q < 2.8. Επιπλέον, ήταν ενδιαφέρον να διερευνηθεί, εκ των υσ τέρων, ότι οι διάμεσ ες τιμές των χ 2 ισ τογραμμάτων για τις υπόλοιπες παραμέτρους οδήγησ αν σ ε αποκλίσ εις (2-6)% σ ε σ χέσ η με τη λύσ η που προέκυψε από το σ υνδυασ μό φωτομετρικών και φασ ματοσ κοπικών δεδομένων. Τελικά, μπορούμε να σ υμπεράνουμε ότι η λύσ η με την παραπάνω μέθοδο είναι σ χετικά σ ε καλή σ υμφωνιά με την τελική. Εν τούτοις δεν προτείνεται να υιοθετηθεί ως γενικότερη μεθοδολογία, γιατί μπορεί να απορρέει από την απουσ ία ισ χυρών σ υσ χετίσ εων μεταξύ των παραμέτρων σ το σ υγκεκριμένο διπλό σ ύσ τημα. Θα πρέπει να εφαρμοσ τεί και να ελεγχθεί σ ε πολλά περισ σ ότερα διπλά σ υσ τήματα για τα οποία υπάρχουν φασ ματοσ κοπικά δεδομένα, με σ κοπό αργότερα να μπορεί να χρησ ιμοποιηθεί για να περιορίσ ει τη λύσ η σ υσ τημάτων μόνο με φωτομετρικά δεδομένα με μερικές εκλείψεις, και σ ε καμία περίπτωσ η δεν αντικαθισ τά τον φασ ματοσ κοπικά προσ διοριζόμενο λόγο των μαζών (Rucinski, 2001, Deb & Singh 2011) Αποτελέσ ματα και σ υζήτησ η Φυσ ικές παράμετροι Συγκρίνοντας τις καμπύλες φωτός του Σχήματος 6.3 ως προς φάσ η σ ε σ χέσ η με την καμπύλη των ακτινικών ταχυτήτων ως προς φάσ η των LO1, διαπισ τώνουμε ότι ο θερμότερος ασ τέρας του σ υσ τήματος FI Boo έχει τη μικρότερη μάζα (ο ασ τέρας με τη μικρότερη μάζα υφίσ ταται έκλειψη κατά το πρωτεύον ελάχισ το). Το ίδιο σ υμπέρασ μα προκύπτει και από την καμπύλη των ταχυτήτων των KM11 η οποία σ υμφωνεί ως προς τη φάσ η με τη φασ ματοσ κοπική εφημερίδα (6.1). Μετα την εξαγωγή του λόγου των θερμοκρασ ιών Τ 2 /Τ 1 και του λόγου των ακτίνων k = R 2 R 1, υπολογίσ θηκαν οι ενεργές θερμοκρασ ίες των επιμέρους ασ τέρων με βάσ η τη σ χέσ η 3 των Zwitter et al. (2003) T 1 = (((1 + k 2 )T 4 eff )/(1 + k2 (T 2 /T 1 ) 4 )) 0.25 (6.3) όπου T eff είναι η θερμοκρασ ία του σ υσ τήματος η οποία προκύπτει από το χρώμα των ασ τέρων ή το φασ ματικό τους τύπο. Σύμφωνα με τους L01 από τα φασ ματοσ κοπικά δεδομένα προκύπτει ότι ο φασ ματικό τύπος του σ υσ τήματος είναι G3V, κι άρα αντισ τοιχεί σ ε θερμοκρασ ία 5712 K (Cox 2000). Χρησ ιμοποιώντας τις παραμέτρους που εξήχθησ αν από τη λύσ η της καμπύλης φωτός (Πίνακας 6.5), η T 1 προκύπτει άμεσ α (από την εξίσ ωσ η 6.3) ±35 K και η T 2 από το λόγο των θερμοκρασ ιών ± 58 K. Ενας άλλος υπολογισ μός της T eff βασ ίζεται σ τον μεγάλης ακρίβειας προσ διορισ μό των ατμοσ φαιρικών παραμέτρων των Robinson et al. (2007) με βάσ η τους δείκτες Lick. Για τον FI Boo, 151

155 6. Η καμπύλη φωτός και το αναλυτικό μοντέλο του τριπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος FI Boo T eff =5525 K, [Fe/H]=0.04 και log g =4.02. Ακολουθώντας την εξίσ ωσ η (6.3) όπως και προηγουμένως προκύπτει T 1 = ± 33K και T 2 = ± 56 K. Ο τρίτος υπολογισ μός της T eff βασ ίζεται σ τη φωτομετρία της αποσ τολής Hipparchos. Δεδομένου ότι (B V ) J = ± (van Leeuwen 2007), από τη βαθμονόμησ η (B V ) J T eff, των Casagrande et al. (2010) προκύπτει ότι T eff = 5506 ± 73K για [Fe/H]=0.0 ή ± 73K για [Fe/H]=0.04 όπου το σ φάλμα σ τη θερμοκρασ ία έχει υπολογισ τεί από τη μετάδοσ η των σ φαλμάτων της βαθμονόμησ ης χρώματος-θερμοκρασ ίας. Ακολουθώντας την παραπάνω διαδικασ ία αλλά με (B V ) J =0.723 ± από την τελευταία επισ κόπησ η των BV RcIc των σ υσ τημάτων W UMa των Terrell et al. (2012), οι εξαγόμενες θερμοκρασ ίες είναι T eff = 5482 ± 73K για [Fe/H]=0.04, T 1 =5701 K και T 2 =5377 K. Αυτές οι τιμές σ υμφωνούν με τις παραπάνω εξαγόμενες θερμοκρασ ίες, με βάσ η τις ατμοσ φαιρικές παραμέτρους των Robinson et al. (2007), γι αυτό υιοθετήθηκαν για τον υπολογισ μό των φυσ ικών παραμέτρων των ασ τέρων που περιλαμβάνονται σ τον Πίνακα 6.5. Αυτές δείχνουν ότι το σ ύσ τημα FI Boo είναι υποκατηγορίας W, μεσ αίας μάζας (M total = 1.47 M )) και μεσ αίου βαθμού επαφής διπλό σ ύσ τημα σ ε υπερεπαφή (f (%) =50.15±8.10). Από την εξαγόμενη λύσ η, οι απόλυτες παράμετροι των βολομετρικών μεγεθών M bol,1 και M bol,2 και των φωτεινοτήτων L 12 μπορούν να υπολογισ τούν από το PHOEBE. Αυτές περιλαμβάνονται σ τον Πίνακα 6.4 απ όπου προκύπτει ότι M bol = mag. Προκειμένου να σ υγκριθούν τα αποτελέσ ματα, υπολογίσ τηκαν οι φυσ ικές παράμετροι του σ υσ τήματος ως ακολούθως: Πρώτα, υπολογίσ τηκε τo απόλυτο μέγεθος του σ υσ τήματος σ το φίλτρο V με βάσ η τη μετατροπή του μέγισ του μέγεθους του V max =9.57 από την αποσ τολή Hipparchos, σ το φωτομετρικό σ ύσ τημα Johnson ως V max = 9.41mag, την επαναπροσ διοριζόμενη παράλλαξη (π=7.70±0.97 mas) και τη μεσ οασ τρική απόσ βεσ η σ το V. Η τελευταία A V = υπολογίσ τηκε από τους χάρτες σ κόνης σ το υπέρυθρο των Schlarfy et al. (2011) ή A V = (Schlegel et al. 1998). Το απόλυτο μέγισ το μέγεθος του σ υσ τήματος που προκύπτει είναι M V max =3.80± 0.27 mag. Αφού κάθε ασ τέρας-μέλος σ υνεισ φέρει με τη φωτεινότητά του σ το M V max, έχοντας λάβει υπόψιν τις βολομετρικές διορθώσ εις για ασ τέρες κύριας ακολουθίας με T 1 =5746 K, T 2 =5420 K σ το φίλτρο V ( και-0.337) αντίσ τοιχα (Cox 2000), προκύπτει το απόλυτο βολομετρικό μέγεθος του σ υσ τήματος M bol,max =3.862 mag. Αυτή η τιμή σ υμφωνεί με την παρατηρούμενη μέσ α σ τα πλαίσ ια των σ φαλμάτων και δείχνει ότι η επαναπροσ διοριζόμενη παράλλαξη της αποσ τολής Hipparchos ωθεί τον υπολογισ μό της θερμοκρασ ίας προς το κάτω. Τα βολομετρικά μεγέθη υπολογίσ τηκαν υιοθετώντας T = K και M bol = 4.75 mag (Prša & Harmanec 2011). Η κύρια διαφορά της παρούσ ας μελέτης είναι ότι για πρώτη φορά λαμβάνεται υπόψιν σ τη φωτομετρική λύσ η η παρουσ ία ενός τρίτου σ ώματος. Συγκριτικά με τις προηγούμενες και ιδιαίτερα των T06 (και K11), η κύρια διαφορά έγγυται σ την ταξινόμησ η του FI Boo όπως φαίνεται σ το κάτω τμήμα του Πίνακα 6.5 όπου περιλαμβάνονται σ υγκριτικά οι εξαγόμενες παράμετροι. Σύμφωνα και με τις δύο μελέτες, το σ ύσ τημα FI Boo είναι υποκατηγορίας A, των W UMa (αν και οι εξαγόμενες μάζες των ασ τέρων είναι πολύ μικρές σ ε σ χέσ η με το μεγεθός τους, υποδηλώνοντας σ ημαντική απώλεια μάζας και σ τροφορμής). Η νέα εφημερίδα του FI Boo των TO6 αντισ τρέφει τις ταυτότητες των εκλείψεων και μετατοπίζει κατά 0.5 τη φάσ η της καμπύλης ακτινικών ταχυτήτων των L01. Οι KM11 έχοντας υιοθετήσ ει τις εξαγόμενες T 1, T 2, R 1 /α καιr 2 /α από τους T06, έπρεπε να επαναπροσ διορίσ ουν τις ταυτότητες των ασ τέρων από την ανάλυσ η των ακτινικών τους ταχυτήτων και γι αυτό 152

156 6. Η καμπύλη φωτός και το αναλυτικό μοντέλο του τριπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος FI Boo ανέσ τρεψαν το φασ ματοσ κοπικό τους λόγο σ ε 1/ Στην παρούσ α μελέτη, αφού η φασ ματοσ κοπική εφημερίδα των L01 και η φωτομετρική των Pribulla et al. (2002) για την περίοδο [Min I= (14) (4) x E] προβλέπει ορθά την παρατηρούμενη πρωτεύουσ α και δευτερεύουσ α έκλειψη, και σ ύμφωνα με τις καμπύλες φωτός είναι σ αφής ο διαχωρισ μός μεταξύ των εκλείψεων κατά τη διάρκεια της ίδιας νύχτας (διαφορά βάθους MinI-MinII mag) όπως φαίνεται σ το Σχήμα 6.1, μέσ α σ τα πλαίσ ια της φωτομετρικής ακρίβειας ( ) mag, η λύσ η του σ υσ τήματος ως υποκατηγορίας W θεωρείται πιο πιθανή. Αυτό το σ υμπέρασ μα δε βασ ίζεται κυρίως σ τη μορφολογία της καμπύλης φωτός αλλά 1) σ τη διερεύνησ η της λύσ ης υποκατηγορίας A χρησ ιμοποιώντας την εφημερίδα των T06 και q=0.37 που δίνει θερμότερο δευτερεύον μέλος απ ότι πρωτεύον και 2) σ τη διερεύνησ η της σ ταθερότητας της λύσ ης όπως περιγράφηκε σ την ενότητα 4.1. Επιπλέον, επειδή δεν διαπισ τώθηκε κάποια ασ υμμετρία της καμπύλης σ τις μέγισ τες φάσ εις (φαινόμενο O Connell), είναι περιττό σ το προτεινόμενο μοντέλο να σ υμπεριλάβουμε την παρουσ ία κηλίδων, αν και η μεγάλη ταχύτητα περισ τροφής που υπολόγισ αν οι KM11 (από τις φασ ματικές κατατομές και τα βάθη των μετρούμενων γραμμών Hα) αποτελεί ένδειξη υψηλής δρασ τηριότητας των ασ τέρων του σ υσ τήματος. Οπως σ ημειώθηκε από τους T06, η μικρή κλίσ η τους σ υσ τήματος καθισ τά πολύ δύσ κολο τον υπολογισ μό των παραμέτρων των κηλίδων από τη φωτομετρία, με ρεαλισ τική ακρίβεια. Εν τούτοις η παρουσ ία μίας ή περισ σ οτέρων κηλίδων που επηρεάζει την καμπύλη φωτός κοντά σ τα ελάχισ τα μπορεί να μη γίνει αντιληπτή, σ την περίπτωσ η σ υσ τημάτων με σ υγκρίσ ιμα βάθη ελαχίσ των ενώ η μετακίνησ ή τους σ ε διαφορετικά σ ημεία της ασ τρικής επιφάνειας του ενός ή και των δύο ασ τέρων μπορεί να παράγει ακόμα και αντισ τροφή των βαθών κι άρα να οδηγήσ ει σ ε αλλαγή ταξινόμησ ης του σ υσ τήματος από A σ ε W και ανάσ τροφα (Qian 2008, Zola et al. 2010). Αυτό μπορεί να υποδηλώνει ότι η καμπύλη φωτός του FI Boo έχει μεταβληθεί /διακυμανθεί από τύπου W (καμπύλη Hipparchos, 1997) σ ε τύπου A (2005, T06) και πάλι σ ε τύπου W (2012, παρούσ α ανάλυσ η). Αυτό το φαινόμενο είναι σ ύνηθες κι έχει παρατηρηθεί σ ε πολλά σ υσ τήματα σ ε υπερεπαφή: V380 Gem (Barani et al και αναφορές), AM Leo (Hiller et al. 2004, Qian et al. 2007) και TZ Boo (Christopoulou et al και αναφορές). Δυτυχώς δε μπορούμε να σ υγκρίνουμε τις καμπύλες φωτός με του Terrell αφού δε χρησ ιμοποιούμε τον ίδιο ασ τέρα σ ύγκρισ ης. Η σ ύμπτωσ η της θέσ ης του FI Boo με την πηγή των ακτίνων X (RX J ) σ τον κατάλογο ROSAT (Voges et al. 1999), έδωσ ε τη δυνατότητα υπολογισ μού της φωτεινότητας σ τις ακτίνες Χ με βάσ η τη σ χέσ η των Schmitt et al. 1995: f x = CR (5.3 HR + 8.7) erg cm 2 s 1 (6.4) όπου CR είναι ο ρυθμός απαριθμήσ εων RASS, CR=0.0854± και HR ο λόγος σ κληρών προς μαλακών ακτίνων HR= 0.12±0.13. Η παραπάνω σ χέσ η οδηγεί σ ε ( ) KeV ροής 7.97 x erg cm 2 s 1. Χρησ ιμοποιώντας την παράλλαξη της αποσ τολής Hipparchos π=7.70±0.97 mas για τον υπολογισ μό της απόσ τασ ης ± pc, προκύπτει logl x = erg s 1. Συνδυάζοντας το παρατηρούμενο βολομετρικό μέγεθος του σ υσ τήματος, προκύπτει logl X /L bol = Η υπολογιζόμενη τιμή της logl X είναι σ ε σ υμφωνία με τη διάμεσ ο (median) τιμή παλαιότερων μελετών των σ υσ τημάτων W UMa (Stepien et al. 2001, Geske et al. 2006, Szczygiel et al. 2008) και δείχνει ότι το διπλό σ ύσ τημα 153

157 6. Η καμπύλη φωτός και το αναλυτικό μοντέλο του τριπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος FI Boo είναι φωτεινό σ τις ακτίνες X. Η χρωμοσ φαιρική δρασ τηριότητα αποτελεί τον πιο πιθανό μηχανισ μό για τη φωτεινότητα σ τις ακτίνες Χ για το σ ύσ τημα FI Boo. Αν και δεν είναι σ αφής ο μηχανισ μός εκπομπής ακτίνων Χ, θα μπορούσ ε να αποδοθεί σ ε ισ χυρή οριζόντια επιφανειακή ροή η οποία περιβάλλει και τους δύο ασ τέρες μέλη, όπως θα αναμενόταν όταν δύο ασ τέρες με διαφορετικές ειδικές εντροπίες υπερεκχειλίζουν τους λοβούς Roche. Η χρωμοσ φαιρική δρασ τηριότητα όπως ήδη αναφερθηκε παραπάνω, υποσ τηρίζεται και από την μεγάλη ταχύτητα περισ τροφής η οποία προκύπτει από τις κατατομές Hα των KM11 σ ε σ χέσ η με τους μη ενεργούς ασ τέρες του ίδιου φασ ματικού τύπου Εξελικτική μελέτη Οι εξαγόμενες παράμετροι από την ανάλυσ η του FI Boo (Πίνακας 6.4) είναι σ ε καλή σ υμφωνία με τις αντίσ τοιχες των ήδη γνωσ τών των τύπου W των W UMa όπως φαίνεται σ το διάγραμμα logm logl του Σχήματος 6.6. Σύμφωνα με τον εξελικτικό πρόγραμμα των διπλών σ υσ τημάτων (BSE) (Hurley, Tout & Pols 2002), κατασ κευάσ τηκε η κύρια ακολουθία μηδενικής (ZAMS) και τελικής (TAMS) ηλικίας σ το διάγραμμα μάζας φωτεινότητας του Σχήματος 6.6, σ το οποίο περιλαμβάνονται τα σ υσ τήματα W των W UMa από τους καταλόγους των Yakut & Eggleton (2005) και Li et al. (2008), ενημερωμένους με τις νεότερες παρατηρήσ εις (Πίνακας 5.9). Η θέσ η του ασ τέρα με τη μεγαλύτερη μάζα δείχνει ότι είναι υπερφωτεινός και υπερμεγέθης όπως ισ χύει για τα δευτερεύοντα μέλη και των άλλων σ υσ τημάτων υποκατηγορίας W. Οι ασ τέρες με τη μεγαλύτερη μάζα (pri) βρίσ κονται κάτω από την ZAMS και οι ασ τέρες με την μικρότερη μάζα (sec) κοντά ή πάνω από την TAMS. Υπολογίσ τηκε επίσ ης η τροχιακή σ τροφορμή J orb του σ υσ τήματος FI Boo από τη γνωσ τή εξίσ ωσ η J orb = M 5/3 P 1/3 q (1 + q) 2 (6.5) όπου P είναι η τροχιακή περίοδος σ ε ημέρες, M = M 1 +M 2 η ολική μάζα του σ υσ τήματος σ ε ηλιακές μονάδες μάζας και q = M 2 /M 1 ο λόγος των μαζών. Η τιμή που προκύπτει logj orb = (cgs) τοποθετεί τον FI Boo σ την σ αφώς καθορισ μένη περιοχή των ασ τέρων σ ε επαφή σ το διάγραμμα logj logm του Σχήματος 6.7. Η σ τροφορμή λόγω ιδιοπερισ τροφής των ασ τέρων-μελών δεν έχει ληφθεί υπόψιν γιατί είναι σ υνήθως μικρότερη από το ένα δέκατο της τροχιακής J orb (Eker et al. 2006). Το διάγραμμα δείχνει ξεκάθαρα ότι ο FI Boo έχει μικρή τροχιακή σ τροφορμή αλλά όχι μικρότερη από τα σ υσ τήματα σ ε επαφή όπως αναφέρουν οι KΜ11. Αυτή η διαφορά οφείλεται, όπως έχει αναφερθεί, σ την ασ υνήθισ τα μικρή μάζα που υπολόγισ αν για τον δευτερεύοντα ασ τέρα (Πίνακας 6.5) από τη λύσ η τους. Η μικρή σ τροφορμή του FI Boo υποδηλώνει την ύπαρξη σ το παρελθόν απώλειας σ τροφορμής κατά τη διάρκεια της εξέλιξης του διπλού σ υσ τήματος ως αποτέλεσ μα της μείωσ ης της περιόδου και /ή της απώλειας μάζας. Κατά το σ χηματισ μό ενός διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή από ένα αποχωρισ μένο σ ύσ τημα, η Φάσ η I περιγράφει το γέμισ μα του λοβού Roche του πρωτεύοντα του αποχωρισ μένου σ υσ τήματος και τη μεταφορά μέρους της μάζας του σ τον δευτερεύοντα, μετά την υπερχείλισ η του λοβού (Roche lobe overflow, RLOF). Η Φάσ η II περιγράφει την διασ τολή του δευτερεύοντα ασ τέρα ώσ τε να γεμίσ ει το λοβό του Roche και το σ χηματισ μό ενός διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή, με τους ασ τέρες όμως να έχουν ανεσ τραμμένες μάζες (ο ασ τέρας με τη μεγαλύτερη αρχικά μάζα έχει τώρα τη μικρότερη και ανάσ τροφα). Πρόσ φατα 154

158 6. Η καμπύλη φωτός και το αναλυτικό μοντέλο του τριπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος FI Boo log(l/l ) log(r/r ) Wtype-pri Wtype-sec Atype-pri -1 Atype-sec ZAMS TAMS FIBoo-pri FIBoo-sec log(m/m ) YE-Li-pri YE-Li-sec ZAMS -0.4 TAMS FIBoo-pri FIBoo-sec log(m/m ) Σχήμα 6.6.: Οι θέσ εις των μελών του σ υσ τήματος FI Boo σ τα εξελικτικά διαγράμματα logmlogl και logm-logr. Το δείγμα των σ υσ τημάτων τύπου W UMa του Σχήματος logm-logl δημιουργήθηκε από το σ υνδυασ μό των σ υσ τημάτων τύπου W UMa των Yakut & Eggleton (2005), Li et al. (2008) και τον Πίνακα 5.9. Το δείγμα των σ υσ τημάτων τύπου W-υποκατηγορίας W UMa του διαγράμματος logm-logr δημιουργήθηκε από το σ υνδυασ μό των σ υσ τημάτων τύπου W UMa των Yakut & Eggleton (2005) και Li et al. (2008). Οι γραμμές μηδενικής ηλικίας κύριας ακολουθίας ZAMS (σ υνεχής γραμμή) και τερματισ μού TAMS (διακεκομμένη γραμμή), δημιουργήθηκαν με τον κώδικα εξέλιξης των διπλών σ υσ τημάτων ασ τέρων BSE (Hurley et al. 2002) για τιμές μεταλλικότητας του Ηλιου. 155

159 6. Η καμπύλη φωτός και το αναλυτικό μοντέλο του τριπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος FI Boo logj 0 (cgs) Contact Detached FIBoo log(m/m ) Σχήμα 6.7.: Κατανομή της τροχιακής σ τροφορμής ως προς την ολική μάζα των αποχωρισ μένων σ υσ τημάτων ασ τέρων (+, Eker et al. 2006, Torres et al. 2010) και σ υσ τήμάτων σ ε επαφή (, Bilir et al. 2005, Eker et al. 2006, Ibanǒglu et al. 2006). Το διπλό σ ύσ τημα ασ τέρων FI Boo παρουσ ιάζεται με σ υμπαγή κύκλο. Η διακεκομμένη γραμμή διαχωρίζει τα σ υσ τήματα σ ε επαφή από τα αποχωρισ μένα σ υσ τήματα. οι Yildiz & Doğan (2013) ανέπτυξαν μία μέθοδο υπολογισ μού των αρχικών μαζών των διπλών σ υσ τημάτων σ ε επαφή, βασ ισ μένη σ την μοντελοποίησ η των ασ τέρων με βάσ η την απώλεια μάζας. Η κύρια υπόθεσ ή τους είναι ότι η μεταφορά μάζας αρχίζει όταν ο ασ τέρας με τη μεγαλύτερη μάζα (ο προγεννήτορας του τωρινού δευτερεύοντα ασ τέρα) βρίσ κεται κοντά ή μετά την φάσ η TAMS. Εφαρμόζοντας αυτή τη μέθοδο σ το σ ύσ τημα FI Boo, υπολογίσ τηκε η αρχική μάζα του προγεννήτορα του δευτερεύοντα ασ τέρα σ ε 1.71 ± 0.10 M και του προγεννήτορα του πρωτεύοντα (τωρινού ασ τέρα με τη μεγαλύτερη μάζα) σ ε 0.63 ± 0.01 M. Οι υπολογιζόμενες μάζες των προγεννητόρων σ υμφωνούν με το σ υμπέρασ μα των Yildiz & Doğan (2013) σ τα σ υσ τήματα W, σ χετικά με την αρχική μάζα του προγεννήτορα του δευτερεύοντα ασ τέρα M 2i <1.8 ± 0.10 M κι άρα επιβεβαιώνει την κατάταξη του FI Boo ως υποκατηγορίας W. Οι ηλικίες των σ υσ τημάτων W UMa κυμαίνονται από Gyr έως 7.2 Gyr ανάλογα με τη χρησ ιμοποιούμενη μέθοδο (Guinan & Bradstreet 1988, Bilir et al. 2005, Li et al. 2007). Σύμφωνα με τον Bilir et al (2005) η κινηματική ηλικία των διπλών σ υσ τημάτων σ ε επαφή με περιόδους d είναι 7.1 Gyr και με περιόδους d είναι 3.5 Gyr. Εν τούτοις, σ τα διάφορα εξελικτικά μοντέλα (Eggleton & Kiseleva-Eggelton 2002, Stȩpień 2011), ο διαφορετικός ρυθμός απώλειας σ τροφορμής και μάζας που υιοθετείται, μπορεί να μειώσ ει ή να αυξήσ ει το χρόνο διάρκειας της φάσ ης RLOF και σ υνεπώς τον υπολογιζόμενο χρόνο ζωής του σ υσ τήματος. Οπως πρόσ φατα έδειξαν οι Jiang et al (2013), τα παραπάνω μοντέλα για τις ίδιες αρχικές σ υνθήκες, μπορούν να διαφέρουν μέχρι και 6 Gyr σ την 156

160 6. Η καμπύλη φωτός και το αναλυτικό μοντέλο του τριπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος FI Boo FIBoo-pri CMD-3.16Gyr YZVAR-3.2Gyr Y2-3.2Gyr FIBoo-pri CMD-3.16Gyr YZVAR-3.2Gyr Y2-3.2Gyr log(l/l ) log(l/l ) log(m/m ) log(m/m ) Σχήμα 6.8.: Η θέσ η του ασ τέρα με την μεγαλύτερη μάζα του σ υσ τήματος FI Boo σ το διάγραμμα logm logl μαζί με θεωρητικές ισ όχρονες καμπύλες (Z = 0.04), ενώ δεξιά παρουσ ιάζεται μεγεθυμένο. Οι ισ όχρονες για 3.2 Gyr δημιουργήθηκαν από τα θεωρήτικο μοντέλα Yonsei-Yale και YZVAR, ενώ για 3.16 Gyr από τα θεωρητικό μοντέλο CMD. υπολογιζόμενη διάρκεια της φάσ ης RLOF. Aν και σ ύμφωνα με τα παραπάνω, ο προσ διορισ μός της ηλικίας των ασ τέρων μελών των διπλών σ υσ τημάτων σ ε επαφή είναι δύσ κολος και αβέβαιος, αφού ο ασ τέρας με τη μικρότερη μάζα δεν ακολουθεί την κανονική σ χέσ η μάζας-ακτίνας των ασ τέρων κύριας ακολουθίας, και ο μηχανισ μός μεταφοράς μάζας παίζει πολύ σ ημαντικό ρόλο, έγινε μία προσ πάθεια γενικής εκτίμησ ης της πιθανής ηλικίας του σ υσ τήματος FI Boo, σ υγκρίνοντας τις εξαγόμενες παραμέτρους των ασ τέρων του με τρία set θεωρητικών ισ όχρονων: Yonsei-Yale (Y2, Yi et al. 2001, Demarque et al. 2004) και Padova (CMD και YZVAR, Girardi et al. 2000, Marigo et al. 2008, Bertelli et al. 2009, Bressan et al. 2012). Η σ ύγκρισ η φαίνεται σ το Σχήμα 6.8 όπου φαίνεται η θέσ η του ασ τέρα μεγαλύτερης μάζας του σ υσ τήματος FI Boo σ το διάγραμμα logm logl ως προς θεωρητικές ισ όχρονες για 3.2 Gyr και μεταλλικότητα Z=0.04 (για ηλικίες σ τις οποίες ο ασ τέρας με τη μεγαλύτερη μάζα παραμένει ακόμα σ την κύρια ακολουθία). Αυτή η χρονική κλίμακα είναι μεγαλύτερη από το χρόνο ζωής της κύριας ακολουθίας του προγεννήτορα του δευτερεύοντα ασ τέρα M 2i (1.6 Gyr) και σ υμφωνεί με το σ ενάριο σ ύμωνα με το οποίο η μεταφορά μάζας αρχίζει αφού ο προγεννήτορας του δευτερεύοντα ασ τέρα M 2i φτάσ ει σ τη γραμμή TAMS. Παρόμοια είναι η περίπτωσ η και του γνωσ τού διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή τύπου W, AH Vir με M 2i = 1.67 M ) το οποίο είναι μέλος του σ μήνους Wolf 360 (t MS <t cl =3 Gyr), αλλά δεν αποτελεί τον κανόνα αφού το παρόμοιο σ ύσ τημα τύπου W, TX Cnc (Zhang et al. 2009) σ το σ μήνος Praesepe με M 2i = 1.72± 0.1 M και M 1i = 0.97± 0.04 M έχει t MS >t cl =0.7 Gyr. Οπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, η γενική τάσ η του διαγράμματος O-C σ το Σχήμα 157

161 6. Η καμπύλη φωτός και το αναλυτικό μοντέλο του τριπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος FI Boo 6.2 (διακεκομμένη γραμμή) δείχνει μία μακρόχρονη αύξησ η της περιόδου με ρυθμό dp/dt = days/yr (1.42 sec/cent). Μία τέτοια μεταβολή μπορεί να δημιουργηθεί από μεταφορά μάζας του ασ τέρα με τη μικρότερη μάζα προς τον ασ τέρα με τη μεγαλύτερη. Εισ άγοντας τις παραπάνω απόλυτες παραμέτρους του Πίνακα 6.4 σ τη εξίσ ωσ η που σ υνδέει το ρυθμό μεταβολής περιόδου με το ρυθμό μεταφοράς μάζας (σ υντηρητική περίπτωσ η) ( ) Μ Μ 2 yr P = 3P M 1 M 2 (M 2 M 1 ) (6.6) προκύπτει dm 2 /dt = Myr 1. Ο θερμικός χρόνος ζωής του ασ τέρα με τη μικρότερη μάζα (Πίνακας 6.4) υπολογίζεται σ ε τ th = M 2 /R L yr (Paczyński 1971), και είναι παρόμοιος (ίδιας τάξης μεγέθους) με τον υπολογιζόμενο χρόνο μέσ α σ τον οποίο αυξήθηκε η περίοδος σ τη σ ημερινή της τιμή ο οποίος προκύπτει yr. Αυτό σ ημαίνει ότι η παρατηρούμενη μακρόχρονη αύξησ η της περιόδου του FI Boo θα μπορούσ ε να εξηγηθεί με σ υντηρητική μεταφορά από τον μικρότερης μάζας ασ τέρα σ τον μεγαλύτερης. Μία άλλη ερμηνεία της μικρής σ τροφορμης είναι η παρουσ ία του τρίτου σ ώματος το οποίο ανιχνεύθηκε από τους D Angelo et al (2006) καιι επιβεβαιώθηκε από την προτεινόμενη λύσ η. Εάν υποθέσ ουμε ότι το τρίτο σ ώμα είναι σ υνεπίπεδο με το επίπεδο τροχιάς του διπλού σ υσ τήματος (δηλ. i=38 o ), η μάζα και η ακτίνα της τροχιάς του τρίτου σ ώματος υπολογίζονται σ ε Μ 3 =0.45 M και α 3 =3.07 AU αντίσ τοιχα. Με βάσ η τη μάζα του, θα πρέπει να έχει φασ ματικό τύπο M1 και άρα να υπερβολικά αμυδρός. Άρα, αν και η θερμοκρασ ία και η μάζα του τρίτου σ ώματος που προκύπτουν με την παρούσ α ανάλυσ η, σ υμφωνούν με τις προτεινόμενες φασ ματοσ κοπικά από τους D Angelo et al. (2006) (T 3900 K και Μ M ), η εξαγόμενη σ υμβολή του φωτός του τρίτου σ ώματος (Πίνακας 6.4) δε σ υμφωνεί με την υπολογιζόμενη τιμή τους Παρόλο που όπως σ ημειώθηκε από τους σ υγγραφείς για πολύ αμυδρά σ ώματα, η αβεβαιότητα της μεθόδου με την οποια υπολογίζουν τη σ υμβολή του φωτός μεγαλώνει τόσ ο πολύ που φτάνει μέχρι και το 50 % για λόγο ροών μικρότερο του 2%, από τον Πίνακα 6.4, διαπισ τώνουμε με έκπληξη ότι η σ υμβολή του τρίτου φωτός είναι μεγάλη σ το φίλτρο Β (0.30), ενώ σ το φίλτρο R μόλις Κάτι τέτοιο, μπορεί να υποδηλώνει την παρουσ ία ενός υπονάνου σ το σ ύσ τημα, δηλαδή σ το σ ύσ τημα FI Βοο, το τρίτο σ ώμα μπορεί να είναι ένας πολύ αμυδρότερος ασ τέρας από τον αντίσ τοιχο κύριας ακολουθίας ίδιου φασ ματικού τύπου. Η πιο σ υχνή ομάδα τέτοιων θερμών υπονάνων είναι οι ασ τέρες sdb, οι οποίοι καταλαμβάνουν έναν εκτεταμένο οριζόντιο κλάδο κι άρα είναι ασ τέρες σ τη φάσ η καύσ ης του ηλίου σ τον πυρήνα τους. Πρόκειται για ασ τέρες με πολύ λεπτή ατμόσ φαιρα υδρογόνου (n He /n H 0.01) και μάζα περίπου 0.5 M (Heber 1986). Ο σ χηματισ μός τους παραμένει ακόμα άγνωσ τος και προφανώς η αλληλεπίδρασ ή τους με έναν άλλο διπλό σ ύσ τημα ασ τέρων παίζει σ ημαντικό ρόλο σ τη διαδικασ ία δημιουργίας και εξέλιξής τους (Geier 2012 και ενδοαναφορές). Επιπλέον θα πρέπει να σ ημειωθεί ότι ο υπολογισ μός της μάζας του τρίτου σ ώματος βασ ίσ τηκε σ τις εξαγόμενες μάζες των ασ τέρων του FI Boo, για τον θερμότερο (h) M h =0.40 M και τον ψυχροτερο (c), M c =1.07 M. Εν κατακλείδι, αν και ο FI Boo δείχνει καθαρά σ τοιχεία πολλαπλότητας, ο αριθμός των παρατηρηθέντων χρόνων ελαχίσ των μέχρι σ ήμερα (Πίνακα 6.3) δεν επαρκεί για να υπολογισ τεί αξιόπισ τα η μεταβολή της περιόδου του κι από αυτή να εξαχθούν οι παράμετροι του τρίτου σ ώματος. Ως εκ τούτου η φύσ η του τρίτου σ ώματος παραμένει ανοιχτό ερώτημα. Θα πρέπει επίσ ης να τονισ τεί ότι ανεξαρτήτως των υποθέσ εων που έγιναν για να περιγραφεί η σ υνολική η εικόνα του σ υσ τή- 158

162 6. Η καμπύλη φωτός και το αναλυτικό μοντέλο του τριπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος FI Boo ματος, με βάσ η τα φασ ματοσ κοπικά παρατηρησ ιακά δεδομένα που δίνουν τις μάζες και το λόγο των μαζών, η φωτομετρική εικόνα επηρεάζεται κατά πολύ από την παρουσ ία κηλίδων, φωτός τρίτου σ ώματος ή ακόμα και από την παρουσ ία ύλης υπό μορφή ζώνης που περιβάλλει σ το ισ ημερινό επίπεδο και τους δύο ασ τέρες. Τέτοια είναι η περίπτωσ η του σ υσ τήματος AW UMa, όπου και οι δυο ασ τέρες είναι αποχωρισ μένοι και το σ ύσ τημα βρίσ κεται εμβυθισ μένο σ ε ένα ρεύμα θερμού και αδιαφανούς υλικού που προσ ομοιάζει δύο ασ τέρες σ ε σ τενή επαφή (Pribulla & Rucinski 2008). Ανακεφαλαιώνοντας, τα τελευταία πέντε χρόνια έχουν γίνει πολλές παρατηρήσ εις που δείχνουν ότι η παρουσ ία τρίτου σ ώματος είναι πολύ σ υχνό φαινόμενο σ τα σ τενά διπλά σ υσ τήματα σ ε επαφή και ιδιαίτερα σ τα τύπου W UMa (Ruzinski et al. 2007, Liao & Qian 2010, Zakirov 2010). Ο τρίτος σ υνοδός του FI Boo μπορεί να έχει παίξει σ ημαντικό ρόλο σ το σ χηματισ μό του αρχικά δημιουργηθέντος αποχωρισ μένου σ υσ τήματος, μεταφέροντας σ τροφορμή μέσ ω ταλαντώσ εων Kozai (Kozai 1962, Pribulla & Rucinski 2006, D Angelo et al. 2006, Kisseleva-Eggleton & Eggleton 2010). Κάτι τέτοιο θα είχε κάνει τον FI Boo να έχει αρχικά μικρή τροχιακή περίοδο και να εξελιχθεί σ την παρούσ α υπερεπαφή των ασ τέρων μελών του, μέσ ω μαγνητικής πέδησ ης, όπως σ υμβαίνει και σ ε πολλά άλλα σ υσ τήματα W UMa. 159

163 Βιβλιογραφία [Awadalla & Hanna(2005)] Awadalla, N. S., & Hanna, M. A. 2005, Journal of Korean Astronomical Society, 38, 43 [Barani et al.(2013)] Barani, C., Martignoni, M., & Acerbi, F. 2013, New A, 23, 59 [Bertelli et al.(2009)] Bertelli, G., Nasi, E., Girardi, L., & Marigo, P. 2009, A&A, 508, 355 [Bilir et al.(2005)] Bilir, S., Karataş, Y., Demircan, O., & Eker, Z. 2005, MNRAS, 357, 497 [Bonanos(2009)] Bonanos, A. Z. 2009, ApJ, 691, 407 [Bressan et al.(2012)] Bressan, A., Marigo, P., Girardi, L., et al. 2012, MNRAS, 427, 127 [Casagrande et al.(2010)] Casagrande, L., Ramírez, I., Meléndez, J., Bessell, M., & Asplund, M. 2010, A&A, 512, AA54 [Christopoulou et al.(2012)] Christopoulou, P.-E., Papageorgiou, A., Kleidis, S., & Tsantilas, S. 2012, AJ, 143, 30 [Christopoulou et al.(2012)] Christopoulou, P.-E., Papageorgiou, A., Vasileiadis, T., & Tsantilas, S. 2012, AJ, 144, 149 [Christopoulou et al.(2011)] Christopoulou, P.-E., Parageorgiou, A., & Chrysopoulos, I. 2011, AJ, 142, 99 [Cox(2000)] Cox, A. N. 2000, Allen s Astrophysical Quantities, 1 [D Angelo et al.(2006)] D Angelo, C., van Kerkwijk, M. H., & Rucinski, S. M. 2006, AJ, 132, 650 [Deb & Singh(2011)] Deb, S., & Singh, H. P. 2011, MNRAS, 412, 1787 [Demarque et al.(2004)] Demarque, P., Woo, J.-H., Kim, Y.-C., & Yi, S. K. 2004, ApJS, 155, 667 [Dvorak(2008)] Dvorak, S. W. 2008, Information Bulletin on Variable Stars, 5814, 1 [Eggleton & Kiseleva-Eggleton(2002)] Eggleton, P. P., & Kiseleva-Eggleton, L. 2002, ApJ, 575,

164 Βιβλιογραφία [Eker et al.(2006)] Eker, Z., Demircan, O., Bilir, S., & Karataş, Y. 2006, MNRAS, 373, 1483 [ESA(1997)] ESA 1997, VizieR Online Data Catalog, 1239, 0 [Gazeas & Niarchos(2006)] Gazeas, K. D., & Niarchos, P. G. 2006, MNRAS, 370, L29 [Geske et al.(2006)] Geske, M. T., Gettel, S. J., & McKay, T. A. 2006, AJ, 131, 633 [Girardi et al.(2000)] Girardi, L., Bressan, A., Bertelli, G., & Chiosi, C. 2000, VizieR Online Data Catalog, 414, [Guinan & Bradstreet(1988)] Guinan, E. F., & Bradstreet, D. H. 1988, NATO Advanced Science Institutes (ASI) Series C, 241, 345 [Heber(1986)] Heber, U. 1986, A&A, 155, 33 [Hilditch(1989)] Hilditch, R. W. 1989, Space Sci. Rev., 50, 289 [Hilditch et al.(1989)] Hilditch, R. W., King, D. J., & McFarlane, T. M. 1989, MNRAS, 237, 447 [Hiller et al.(2004)] Hiller, M. E., Osborn, W., & Terrell, D. 2004, PASP, 116, 337 [Hubscher et al.(2005)] Hubscher, J., Paschke, A., & Walter, F. 2005, Information Bulletin on Variable Stars, 5657, 1 [Huensch et al.(1996)] Huensch, M., Schmitt, J. H. M. M., Schroeder, K.-P., & Reimers, D. 1996, A&A, 310, 801 [Hurley et al.(2002)] Hurley, J. R., Tout, C. A., & Pols, O. R. 2002, MNRAS, 329, 897 [Ibanoǧlu et al.(2006)] Ibanoǧlu, C., Soydugan, F., Soydugan, E., & Dervişoǧlu, A. 2006, MNRAS, 373, 435 [Irwin(1952)] Irwin, J. B. 1952, ApJ, 116, 211 [Jiang et al.(2013)] Jiang, D. K., Han, Z. W., Yang, L. H., & Li, L. F. 2013, IAU Symposium, 290, 229 [Karska & Maciejewski(2003)] Karska, A., & Maciejewski, G. 2003, Information Bulletin on Variable Stars, 5380, 1 [Kisseleva-Eggleton & Eggleton(2010)] Kisseleva-Eggleton, L., & Eggleton, P. P. 2010, Binaries - Key to Comprehension of the Universe, 435, 169 [Kjurkchieva & Marchev(2011)] Kjurkchieva, D., & Marchev, D. 2011, Bulgarian Astronomical Journal, 15, 77 [Kozai(1962)] Kozai, Y. 1962, AJ, 67,

165 Βιβλιογραφία [Krajci(2005)] Krajci, T. 2005, Information Bulletin on Variable Stars, 5592, 1 [Kwee & van Woerden(1956)] Kwee, K. K., & van Woerden, H. 1956, Bull. Astron. Inst. Neth., 12, 327 [Li et al.(2007)] Li, L., Zhang, F., Han, Z., & Jiang, D. 2007, ApJ, 662, 596 [Li et al.(2008)] Li, L., Zhang, F., Han, Z., Jiang, D., & Jiang, T. 2008, MNRAS, 387, 97 [Liao & Qian(2010)] Liao, W.-P., & Qian, S.-B. 2010, MNRAS, 405, 1930 [Lu et al.(2001)] Lu, W., Rucinski, S. M., & Ogłoza, W. 2001, AJ, 122, 402 [Lucy(1967)] Lucy, L. B. 1967, ZAp, 65, 89 [Maceroni et al.(2009)] Maceroni, C., Montalbán, J., Michel, E., et al. 2009, A&A, 508, 1375 [Marigo et al.(2008)] Marigo, P., Girardi, L., Bressan, A., et al. 2008, A&A, 482, 883 [Mochnacki(1981)] Mochnacki, S. W. 1981, ApJ, 245, 650 [Paczyński(1971)] Paczyński, B. 1971, ARA&A, 9, 183 [Paczyński et al.(2006)] Paczyński, B., Szczygieł, D. M., Pilecki, B., & Pojmański, G. 2006, MNRAS, 368, 1311 [Parimucha et al.(2009)] Parimucha, S., Dubovsky, P., Baludansky, D., et al. 2009, Information Bulletin on Variable Stars, 5898, 1 [Parimucha et al.(2013)] Parimucha, S., Dubovsky, P., & Vanko, M. 2013, Information Bulletin on Variable Stars, 6044, 1 [Parimucha et al.(2011)] Parimucha, S., Dubovsky, P., Vanko, M., et al. 2011, Information Bulletin on Variable Stars, 5980, 1 [Prša & Harmanec(2012)] Prša, A., & Harmanec, P. 2012, IAU Symposium, 282, 339 [Prša & Zwitter(2007)] Prša, A., & Zwitter, T. 2007, IAU Symposium, 240, 217 [Pribulla et al.(2008)] Pribulla, T., Baluďanský, D., Dubovský, P., et al. 2008, MNRAS, 390, 798 [Pribulla et al.(2005)] Pribulla, T., Baludansky, D., Chochol, D., et al. 2005, Information Bulletin on Variable Stars, 5668, 1 [Pribulla & Rucinski(2008)] Pribulla, T., & Rucinski, S. M. 2008, MNRAS, 386, 377 [Pribulla et al.(2002)] Pribulla, T., Vanko, M., Parimucha, S., & Chochol, D. 2002, Information Bulletin on Variable Stars, 5341, 1 162

166 Βιβλιογραφία [Pribulla & Rucinski(2006)] Pribulla, T., & Rucinski, S. M. 2006, AJ, 131, 2986 [Prsa & Zwitter(2005)] Prsa, A., & Zwitter, T. 2005, The Three-Dimensional Universe with Gaia, 576, 611 [Qian et al.(2007)] Qian, S.-B., Xiang, F.-Y., Zhu, L.-Y., et al. 2007, AJ, 133, 357 [Qian et al.(2008)] Qian, S.-B., He, J.-J., & Xiang, F.-Y. 2008, PASJ, 60, 77 [Robinson et al.(2007)] Robinson, S. E., Ammons, S. M., Kretke, K. A., et al. 2007, VizieR Online Data Catalog, 216, [Rucinski(2001)] Rucinski, S. M. 2001, AJ, 122, 1007 [Rucinski et al.(2007)] Rucinski, S. M., Pribulla, T., & van Kerkwijk, M. H. 2007, AJ, 134, 2353 [Schlafly & Finkbeiner(2011)] Schlafly, E. F., & Finkbeiner, D. P. 2011, ApJ, 737, 103 [Schlegel et al.(1998)] Schlegel, D. J., Finkbeiner, D. P., & Davis, M. 1998, ApJ, 500, 525 [Stȩpień(2009)] Stȩpień, K. 2009, MNRAS, 397, 857 [Stȩpień et al.(2001)] Stȩpień, K., Schmitt, J. H. M. M., & Voges, W. 2001, A&A, 370, 157 [Stȩpień(2011)] Stȩpień, K. 2011, Acta Astron., 61, 139 [Stepien(2006)] Stepien, K. 2006, Acta Astron., 56, 347 [Stepien(2006)] Stepien, K. 2006, Acta Astron., 56, 199 [Szczygieł et al.(2008)] Szczygieł, D. M., Socrates, A., Paczyński, B., Pojmański, G., & Pilecki, B. 2008, Acta Astron., 58, 405 [Terrell et al.(2012)] Terrell, D., Gross, J., & Cooney, W. R. 2012, AJ, 143, 99 [Terrell et al.(2006)] Terrell, D., Osborn, W., Smolinski, J., & Gross, J. 2006, AJ, 132, 1153 [Terrell & Wilson(2005)] Terrell, D., & Wilson, R. E. 2005, Ap&SS, 296, 221 [Torres et al.(2010)] Torres, G., Andersen, J., & Giménez, A. 2010, A&A Rev., 18, 67 [van Hamme(1993)] van Hamme, W. 1993, AJ, 106, 2096 [van Leeuwen(2007)] van Leeuwen, F. 2007, A&A, 474, 653 [Voges et al.(1999)] Voges, W., Aschenbach, B., Boller, T., et al. 1999, VizieR Online Data Catalog, 9010, 0 163

167 Βιβλιογραφία [Webbink(2003)] Webbink, R. F. 2003, 3D Stellar Evolution, 293, 76 [Wilson & Wyithe(2003)] Wilson, R. E., & Wyithe, S. B. 2003, GAIA Spectroscopy: Science and Technology, 298, 313 [Wilson & Devinney(1971)] Wilson, R. E., & Devinney, E. J. 1971, ApJ, 166, 605 [Yakut & Eggleton(2005)] Yakut, K., & Eggleton, P. P. 2005, ApJ, 629, 1055 [Yang & Liu(2001)] Yang, Y., & Liu, Q. 2001, AJ, 122, 425 [Yi et al.(2001)] Yi, S., Demarque, P., Kim, Y.-C., et al. 2001, ApJS, 136, 417 [Yildiz & Doğan(2013)] Yildiz, M., & Doğan, T. 2013, MNRAS, 430, 2029 [Zakirov(2010)] Zakirov, M. M. 2010, Kinematics and Physics of Celestial Bodies, 26, 269 [Zasche et al.(2009)] Zasche, P., Liakos, A., Niarchos, P., et al. 2009, New A, 14, 121 [Zhang et al.(2009)] Zhang, X. B., Deng, L., & Lu, P. 2009, AJ, 138, 680 [Zola et al.(2010)] Zola, S., Gazeas, K., Kreiner, J. M., et al. 2010, MNRAS, 408, 464 [Zwitter et al.(2003)] Zwitter, T., Munari, U., Marrese, P. M., et al. 2003, A&A, 404,

168 7. Λεπτομερής διερεύνησ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή V1003 Her 7.1. Εισ αγωγή O ασ τέρας V1003 Her (HIP 92699=TYC =GSC , α J2000 =18 h 53 m 17. s 5 και δ J2000 =+21 o , V= 9.83 mag) ανακαλύφθηκε ως μεταβλητός από την αποσ τολή Hipparcos (ESA 1997) με περίοδο d την οποία διπλασ ίασ ε ο Duerbeck (1997) (P= d) ταξινομώντας το σ ύσ τημα ως τύπου W UMa φασ ματικού τύπου A7 με βάσ η τη σ χέσ η χρώματος-περιόδου του Rucinski (1993). Εν τούτοις σ τον 74 ο κατάλογο των μεταβλητών ασ τέρων (Kazarovets et al., 1999) με βάσ η την ταξινόμησ η της απoσ τολής Hipparcos και σ ύμφωνα με τα κριτήρια του GCVS, ο V1003 Her ταξινομήθηκε ως δ-scuti μικρού πλάτους. Η υπόθεσ η του Duerbeck επιβεβαιώθηκε από τις πρώτες φασ ματοσ κοπικές παρατηρήσ εις των Rucinski et al. (2008) οι οποίοι έδειξαν ότι ο V1003 Her είναι ένα μικρού πλάτους σ τενό διπλό σ ύσ τημα (αβέβαιου τύπου) με λόγο μαζών q sp = ± 0.006, φασ ματικό τύπο A7V και περίοδο d, επισ ημαίνοντας ότι απαιτούνται φωτομετρικές παρατηρήσ εις καλύτερης ακρίβειας από την αποσ τολή Hipparcos. Στη βιβλιογραφία εκτός από τις υψηλού θορύβου και χαμηλής ποιότητας φωτομετρικές παρατηρήσ εις των ASAS 3 (Pojmanski 2002), INTEGRAL/OMC 1 και την επισ κόπησ η NSVS 2, τα μόνα φωτομετρικά δεδομένα που υπάρχουν είναι των Dal & Sipahi (2014), οι οποίοι αναλύοντας τις BV R παρατηρήσ εις τους μαζί με τα διαθέσ ιμα φασ ματοσ κοπικά έδειξαν ένα μοντέλο τύπου A των W UΜa με εξελιγμένους ασ τέρες F8/F9 υψηλής μαγνητικής δρασ τηριότητας. Επιπλέον οι Deb & Singh (2011) αναλύοντας την καμπύλη V του ASAS-3 με το πρόγραμμα Wilson- Devinney και τα φασ ματοσ κοπικά των Rucinski, κατέταξαν το σ ύσ τημα ως τύπου B (Lucy and Wilson (1979) με P = d, i ( o )= 41.59±2.78, ΔT=2316 ± 647 K (A7 and G5) και εξήγαγαν τις απόλυτες παραμέτρους του. Λόγω των παραπάνω διαφορών σ τη μέχρι τώρα μελέτη του, το σ ύσ τημα V1003 Her είναι ενδιαφέρον επιπλέον 1) γιατί είναι οριακά εκλειπτικό σ ύσ τημα αλλά και 2) γιατί τα φασ ματοσ κοπικά δεδομένα δείχνουν ότι κατά τη δευτερεύουσ α έκλειψη αποκρύπτεται ο ασ τέρας με τη μεγαλύτερη μάζα, οπότε το σ ύσ τημα πιθανόν να είναι τύπου W των W UMa Νέες φωτομετρικές παρατηρήσ εις με CCD Οι νέες φωτομετρικές παρατηρήσ εις πραγματοποιήθηκαν σ τις 3, 4, 9, 10, 11, 12, 26, 28 Ιουλίου και σ τις 2 Αυγούσ του 2013 σ το Ασ τεροσ κοπείο Μυθωδία με τα Johnson-Cousins

169 7. Λεπτομερής διερεύνησ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή V1003 Her Πίνακας 7.1.: Φωτομετρικές παρατηρήσ εις V RcIc του V1003 Her* HJD (d) V (mag) HJD (d) Rc (mag) HJD (d) Ic (mag) *Ολόκληρος ο πίνακας παρατίθεται σ το ηττπ://λινκ.σπρινγερ.ςομ/αρτιςλε/ Bessel φίλτρα BV RcIc και τυπικούς χρόνους έκθεσ ης 30 s σ το V, 20 s σ τοrc, και 20s σ το Ic. Η επεξεργασ ία των δεδομένων και η διαφορική φωτομετρία έγινε με το λογισ μικό AIP4WIN (Berry & Burnell 2000). Ως ασ τέρες σ υγκρίσ εως και ελέγχου χρησ ιμοποιήθηκαν οι TYC (α J2000 = 18 h 54 m 12. s 6, δ J2000 = 21 o , V T = ± mag) και TYC (α J2000 = 18 h 54 m 08. s 9, δ J2000 = 21 o , V T = ±0.034 mag) αντίσ τοιχα οι οποίοι βρίσ κονται σ το ίδιο πεδίο. Συνολικά και σ τα τρία φίλτρα καταγράφηκαν 2396 εικόνες (831 σ το V, 822 σ το Rc, και 743 σ το Ic). Τμήμα των αποτελεσ μάτων της διαφορικής φωτομετρίας περιέχεται σ τον Πίνακα 7.2 με τη μορφή ηλιοκεντρικής ιουλιανής ημερομηνίας (HJD) ως προς διαφορά μεγεθών μεταξύ του μεταβλητού ασ τέρα και του ασ τέρα σ ύγκρισ ης (ΔM). Οι φωτομετρικές καμπύλες (LCs) του σ υσ τήματος V1003 Her παρουσ ιάζονται σ το Σχήμα 7.1 με τη μορφή διαφοράς μεγεθών (V-C 1 ) ως προς φάσ η η οποία έχει υπολογισ τεί με βάσ η την εφημερίδα που εξήχθη από το παρόν μοντέλο. Η φωτομετρική ακρίβεια υπολογίζεται σ ε mag Μελέτη μεταβολής περιόδου Από τις νέες παρατηρήσ εις, υπολογίσ τηκαν έξι νέοι χρόνοι ελαχίσ των, με τη μέθοδο Kwee & van Woerden (1956) οι οποίοι φαίνονται σ τον Πίνακα 7.3. Επιπλέον προκειμένου να μελετηθεί η περίοδος του σ υσ τήματος έγινε σ υλλογή όλων των διαθέσ ιμων από τη βιβλιογραφία χρόνων ελαχίσ των (Rucinski et al. 2008, Deb & Singh 2011, Dal & Sipahi 2014), Nel- 166

170 7. Λεπτομερής διερεύνησ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή V1003 Her M(mag) V Rc Ic Phase Σχήμα 7.1.: Παρατηρησ ιακά δεδομένα σ τα φίλτρα V RcIc του διπλού σ υσ τήματος V1003 Her. Οι διακεκομμένες γραμμές παρουσ ιάζουν το θεωρητικό μοντέλο. son (2014) 3 και κατασ κευάσ τηκε το διάγραμμα O-C, χρησ ιμοποιώντας την φασ ματοσ κοπική περίοδο και το πρώτο ελάχισ το της παρούσ ας εργασ ίας (Πίνακας 7.2). Το διάγραμμα των υπολοίπων των χρόνων ελαχίσ των O-C σ το οποίο έχουν σ υμπεριληφθεί και τα πρώτα μη αξιόπισ τα ελάχισ τα της αποσ τολής Hipparcos- παρουσ ιάζεται σ το Σχήμα 7.2 και δείχνει καθαρά ότι αν και η περίοδος υπέσ τη μικρές μεταβολες σ το παρελθόν, έχει παραμείνει σ ταθερή από τον κύκλο (2007) μέχρι σ ήμερα. Για τον υπολογισ μό της εφημερίδας, χρησ ιμοποιήθηκαν σ τατισ τικά βάρη σ τους χρόνους ελαχισ των, σ ύμφωνα με το αντίσ τροφο της ρίζας των επιμέρους σ φαλμάτων τους, με την πιο μικρή τιμή να έχουν τα ελάχισ τα της αποσ τολής Hipparcos. Σύμφωνα με τη μέθοδο των ελαχίσ των τετραγώνων υπολογίσ θηκε η εφημερίδα (7.1) η οποία σ υμφωνεί με την (7.2) η οποια αρχικά χρησ ιμοποιήθηκε για τη μετατροπή όλων των αποτελεσ μάτων σ ε φάσ η. HJD(M ini) = (9) (5) E (7.1) 7.4. Ανάλυσ η καμπυλών φωτός Πρώτα έγινε η προσ αρμογή των φασ ματικών δεδομένων των Rucinski et al. (2008) χρησ ιμοποιώντας το λογισ μικό PHOEBE (version 0.31) (Prša & Zwitter 2005) και τη φασ ματοσ κοπική γραμμική εφημερίδα M ini = E (7.2)

171 7. Λεπτομερής διερεύνησ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή V1003 Her Πίνακας 7.2.: Χρόνοι ελαχίσ των με CCD παρατηρήσ εις του V1003 Her HJD (d) Τύπος Epoch O C (d) Αναφ I (1) I (1) I (1) I (1) I (1) I (1) II (1) I (1) II (1) II (3) II (2) I (2) II (4) I (4) I (4) II (4) I (5) I (5) I 0 0 (5) I (5) II (5) II (5) Αναφορές: (1) HIP ( (2) Nelson (2009, 2010), (3) Rucinski (2008), (4) Dal & Sipahi (2014), (5) παρούσ α εργασ ία 168

172 7. Λεπτομερής διερεύνησ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή V1003 Her O-C(days) Residuals Epoch Σχήμα 7.2.: O-C διάγραμμα που δημιουργήθηκε από παρατηρησ ιακά δεδομένα της παρούσ ας εργασ ίας και από τα δημοσ ιευμένα δεδομένα από την διεθνή βιβλιογραφία. απ όπου προσ διορίσ τηκαν οι τιμές του μεγάλου ημιάξονα αsini= ± 0.015, του λόγου των μαζών q =0.373 ± και της σ υσ τημικής ταχύτητας V r = ±0.61 km/s λαμβάνοντας υπόψιν τα φαινόμενα εγγύτητας μεταξύ των ασ τέρων. Στη σ υνέχεια προκειμένου να κατασ κευασ τούν οι καμπύλες φωτός (LCs), τα φωτομετρικά δεδομένα παρουσ ιάσ τηκαν ως προς φάσ η χρησ ιμοποιώντας την ίδια φασ ματοσ κοπική εφημερίδα. Οι καμπύλες φωτός που προέκυψαν δείχνουν ότι ο ασ τέρας με τη μεγαλύτερη μάζα (ασ τέρας που αποκρύβεται σ ε Τ ο ) αντισ τοιχεί σ το μικρότερου βάθους ελάχισ το. Γι αυτό ανασ τράφηκαν οι ταυτότητες των ασ τέρων και μετατοπίσ τηκε η εφημεριδα σ το Τ ο P, θέτοντας q = 1/0.373 ώσ τε το βαθύτερο ελάχισ το να είναι σ τη φάσ η 0 σ ε σ υμφωνία με το σ υμπέρασ μα των ακτινικών ταχυτήτων. Η ανάλυσ η των καμπυλών έγινε σ ε τρία σ τάδια (i) σ το πρώτο έγινε προσ αρμογή των LCs με το PHOEBE κρατώντας σ ταθερό το λόγο των μαζών, της σ υσ τημικής ταχύτητας και διατηρώντας το αsini. Χρησ ιμοποιήθηκε η επιλογή Detached (Αποχωρισ μένο) υποθέτοντας κυκλικές τροχιές και χωρίς να χρησ ιμοποιηθούν τα φασ ματοσ κοπικά δεδομένα ώσ τε να περιορισ τεί η κλίσ η του σ υσ τήματος i, ο λόγος των θερμοκρασ ιών των δύο ασ τέρων Τ 2 /Τ 1, οι σ χετικές ακτίνες (r 1, r 2 ), τα ανηγμένα δυναμικά (1, 2) και η μονοχρωματική φωτεινότητα του πρωτεύοντα (L 1 ). Συγκεκριμένα για να διατηρηθεί η τιμή του αsini, μετά από κάθε διόρθωσ η της τιμής του i, υπολογιζόταν η νέα τιμή του α και η προσ αρμογή ξανάρχιζε. Το πρώτο μοντέλο-λύσ η σ υνέκλινε σ ε διπλό σ ύσ τημα σ χεδόν σ ε επαφή με μικρή κλίσ η (i = 45 o ) και λόγο Τ 2 /Τ 1 = 0.8 και ελέχθηκε για τη σ ταθερότητα του με σ άρωσ η σ το χώρο των λύσ εων και διαταραχή παραμέτρων (Prša & Zwitter 2005b, Christopoulou & Papageorgiou 2013) με την κατασ κευή 100 μοντέλων. Η σ τατισ τική έδειξε ότι ήταν ασ ταθές και μετά από 2-3 διαταραχές, η λύσ η σ υνέκλινε σ ε σ ύσ τημα σ ε υπερεπαφή ή ημιαποχωρισ μένο, οπότε έπρεπε να ελεγχθουν και οι δυο δυνατότητες. Υιοθετώντας σ την ανάλυσ η ένα μοντέλο ημιαποχωρισ μένου σ υσ τήματος, όλα τα μοντέλα είτε σ υνέκλιναν 169

173 7. Λεπτομερής διερεύνησ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή V1003 Her σ την περιοχή υπερπαφής είτε εξελικτικά δεν ευσ ταθούσ αν (ο λόγος των μαζών ήταν πολύ μικρός λόγω της μικρής κλίσ ης και ο ασ τέρας με τη μικρότερη μάζα είχε δυσ ανάλογα μεγάλη θερμοκρασ ία χωρίς να γεμίζει το λοβό του Roche). (ii) σ το δεύτερο σ τάδιο κατασ κευάσ τηκε μοντέλο σ υσ τήματος σ ε υπερεπαφή χωρίς θερμική ισ ορροπία και επαναλήφθηκε το σ τάδιο (i) για τον έλεγχο της σ ταθερότητας της λύσ ης. Τα αποτελέσ ματα της σ άρωσ ης σ το χώρο των λύσ εων με κατασ κευή 1000 μοντέλων φαίνονται σ το Σχήμα 7.3 για τις παραμέτρους Ω 1, T 2 /T 1, i ως προς τον αριθμό των προσ αρμογών. Οπως φαίνεται από το Σχήμα 7.3 μετά από κάθε διαταραχή, οι παράμετροι Ω 1, T 2 /T 1, i, επέσ τρεφαν σ ταδιακά σ τη μέσ η τιμή τους, υποδεικνύοντας ότι ένα τέτοιο μοντέλο είναι το πιο σ ταθερό και πιθανό. (iii) σ το τελευταίο σ τάδιο, ως ανεξάρτητη μέθοδο εύρεσ ης της κατηγορίας του σ τενού διπλού σ υσ τήματος, πραγματοποιήθηκε σ άρωσ η για τιμές της κλίσ ης i από 28 o 50 o προσ αρμόζοντας την ενεργό θερμοκρασ ία του θερμότερου μέλους T 1 και τα τροποποιημένα δυναμικά (Ω 1, Ω 2 ). Για τη θερμοκρασ ία του σ υσ τήματος, σ ύμφωνα με τον φασ ματικό του τύπο (βλ. 7.5 ) F6V (Rucinski et al. 2013) ή A7V (Rucinski et al. 2008) υιοθετήθηκε από τους πίνακες του Cox (2000) η τιμή 6514±70 K ή 7816±70 K και αποδόθηκε σ τον ασ τέρα 2 αφού αυτός είναι ο ασ τέρας με τη μεγαλύτερη μάζα (και σ υνεπώς με τη μεγαλύτερη ακτίνα). Οι μονοχρωματικές φωτεινότητες υπολογίσ τηκαν αυτόματα μετά από κάθε προσ αρμογή και η T 2 διατηρήθηκε σ ταθερή σ την τιμή 6514 K ή 7816 K, σ το «Αποχωρισ μένο» μοντέλο του PHOEBE. Στο Σχήμα 7.4 φαίνονται τα αποτελέσ ματα της καλύτερης λύσ ης για κάθε τιμή της κλίσ ης του σ υσ τήματος για τα δυναμικά των ασ τέρων. Από το άθροισ μα των τετραγώνων των υπολοίπων (χ 2 ) σ τα δεξιά του Σχήματος 7.4, είναι εμφανές ότι οι καλύτερες τιμές της κλίσ ης κυμαίνονται από 36 o 39 o και αντισ τοιχούν σ το χώρο των παραμέτρων, σ τα σ υσ τήματα σ ε υπερεπαφή (σ υσ τήματα με κλίσ η μικρότερη των 42 o και δυναμικά ). Το καλύτερο μοντέλο (για κλίσ η 38 o ± 1 o ) ελέγχθηκε για τη σ ταθερότητά του, με σ άρωσ η σ το χώρο των λύσ εων με κατασ κευή 100 μοντέλων). Ο χάρτης πυκνότητας του εξαγόμενου λόγου των θερμοκρασ ιών T 2 /T 1 ως προς το λόγο των ακτίνων R 2 /R 1 παρουσ ιάζεται σ το Σχήμα 7.5. Οι τελικές παράμετροι παρατίθενται σ τον Πίνακα 7.4 και οι σ υνθετικές καμπύλες φωτός παρισ τάνονται με διακεκομμένη γραμμή σ το Σχήμα 7.1. Σε αυτό το σ ημείο θα πρέπει να περιγραφεί η σ τρατηγική προσ αρμογής των θεωρητικών καμπυλών σ τα παραπάνω μοντέλα. Χρησ ιμοποιήθηκε η μέθοδος των πολλαπλών υποσ υνόλων (multiple subsets, MMS) (Wilson & Biermann, 1976) ξεκινώντας με ταυτόχρονη προσ αρμογή των μονοχρωματικών φωτεινοτήτων και σ τη σ υνέχεια με διαχωρισ μό των παραμέτρων σ ε δύο ομάδες. Η πρώτη ομάδα περιελάμβανε τις ενεργές θερμοκρασ ιες T 1, T 2, την κλίσ η i και τις μονοχρωματικές φωτεινότητες και η δεύτερη την ενεργό θερμοκρασ ία T 1, (και/ή T 2 ), τα τροποποιημένα επιφανειακά δυναμικά (Ω 1 και/ή Ω 2 ) και τις μονοχρωματικές φωτεινότητες. Στη σ υνέχεια πραγματοποιήθηκε μια διαδικασ ία επαναλήψεων και σ τις δύο ομάδες διατηρώντας το αsini εναλλάξ. Μετά από 50 επαναλήψεις σ ε κάθε ομάδα, αφέθηκαν ελεύθερες όλες οι παράμετροι προς σ ύγκλισ η για τις τελευταίες 30 επαναλήψεις. Για τη σ άρωσ η σ το χώρο των λύσ εων, οι τελικές τιμές σ τις οποίες σ υνέκλιναν οι παράμετροι διαταράχτηκαν κατά 5%, και η σ τρατηγική προσ αρμογής και σ ύγκλισ ης ξεκίνησ ε από την αρχή. Εναλλακτικά, προκειμένου να διερευνηθεί η ολικότητα σ το χώρο των λύσ εων, εφαρμόσ τηκε η μέθοδος των γενετικών αλγορίθμων του Metcalfe (1999) όπως έχει περιγραφεί σ την ενότητα 3.3. Από ομοιόμορφες κατανομές δημιουργήθηκαν 3000 sets αρχικών τιμών των 170

174 7. Λεπτομερής διερεύνησ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή V1003 Her Σχήμα 7.3.: Σάρωσ η σ τον χώρο των παραμέτρων Ω 1, T 1, T 2, i και της μονοχρωματικής φωτεινότητας L i με εφαρμογή διαταραχής για σ ύσ τημα ασ τέρων σ ε υπερεπαφή. Το σ χήμα παρουσ ιάζει τις παραμέτρους Ω 1, T 2 /T 1, i με τον αριθμό των επαναλήψεων για 1000 μοντέλα. Μετά από κάθε διαταραχή η κάθε παράμετρος επισ τρέφει σ ταδιακά σ την μέσ η τιμή της. 171

175 7. Λεπτομερής διερεύνησ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή V1003 Her Πίνακας 7.3.: Τελικές τιμές των παραμέτρων όπως προέκυψαν από τις δύο μεθόδους (HS, GA) Παράμετρος Τιμή HS ΤιμήGA Παράμετρος Τιμή HS Τιμή GA α(r ) 3.74± ±0.05 f (%) 36±8 36±10 i( o ) 38±1 38±1 χ=m c /M h 2.68± ±0.01 L V h /L tot 0.369± ±0.002 L Rch/L tot 0.329± ±0.001 L Ich/L tot 0.302± ±0.001 R c /R h ± ±0.03 T c /T h 0.92 ± ±0.01 Ω h = Ω c 5.97 ± ± 0.06 R h / α 0.32± ± 0.01 R c / α 0.49± ±0.01 g h = g c 0.32 (fixed) A h =A c 0.5 (fixed) HJD P (d) T h (Κ) 6936 ± 82 T c (Κ) 6312 ± 82 T h =T 1 και T c =T 2, HS:Heuristic Scanning, GA:Genetic Algorithm Σχήμα 7.4.: Στο σ χήμα παρουσ ιάζονται οι καλύτερες τιμές του ανηγμένου βαρυτικού δυναμικού του πρωτεύοντος και δευτερεύοντος ασ τέρα από την σ άρωσ η της κλίσ ης (i -scan) σ ε εύρος τιμών 28 o - 50 o. Τα διαφορετικά χρώματα αντισ τοιχούν σ ε τιμές του χ 2. Προκύπτει ότι τα καλύτερα μοντέλα που δημιουργήθηκαν βρίσ κονται σ την περιοχή 36 o - 39 o, δηλαδή το βέλτισ το μοντέλο βρίσ κεται σ την περιοχή του σ χήματος των σ υσ τημάτων σ ε υπερεπαφή (σ υσ τήματα με κλίσ η μικρότερη από 42 o ). 172

176 7. Λεπτομερής διερεύνησ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή V1003 Her Σχήμα 7.5.: Διάγραμμα πυκνότητας (2D Ισ τόγραμμα) του λόγου των θερμοκρασ ιών T 2 T 1 με τον λόγο των ακτίνων R 2 R 1 όπως προέκυψε από την σ άρωσ η σ τον χώρο των παραμέτρων (heuristic scanning). Οι αποχρώσ εις του γκρί είναι σ ε λογαριθμική κλίμακα και αναπαρισ τούν τον αριθμό των μοντέλων. παραμέτρων Ω 1,T 1, T 2,i και των μονοχρωματικών φωτεινοτήτων με το scripter του PHOEBE. Στη σ υνέχεια, εφαρμόσ τηκαν σ τις παραμέτρους κάθε νέας γενιάς, γενετική διασ ταύρωσ η (crossover) και μετάλλαξη και οι τιμές τους εξελίχθηκαν για 150 γενιές. Τα όρια για τις ενεργές θερμοκρασ ίες ήταν [ ]K, για την κλίσ η [20 o 60 o ], και Ω in Ω out για το ανηγμένο δυναμικό του πρωτεύοντα ασ τέρα. Μετά από 150 γενιές, επιβίωσ αν λίγες ομάδες παραμέτρων ( sets), αλλά όλο το δείγμα παρέμεινε σ ε κλίσ η 32 o 41 o. Οι καλύτερες τιμές τέθηκαν ως αρχικές τιμές σ το PHOEBE και με βάσ η αυτές κατασ κευάσ τηκε το τελικό μοντέλο. Οι τελικές τιμές μετά από τη σ ύγκλισ η φαίνονται σ τον Πίνακα Αποτελέσ ματα και σ υζήτησ η Σύμφωνα με την παραπάνω λεπτομερή ανάλυσ η, προκύπτει ότι το διπλό φασ ματοσ κοπικό εκλειπτικό σ ύσ τημα V1003 Her, είναι πιθανόν σ ε υπερεπαφή W UMa, υποκατηγορίας W (ο θερμότερος ασ τέρας είναι αυτός με τη μικρότερη μάζα και τη μικρότερη ακτίνα). Το σ υμπέρασ μα σ χετικά με την φύσ η του διπλού σ υσ τήματος και την κατάταξή του, σ υμφωνεί με το το πρόσ φατο μοντέλο του ASAS (Pilecki et al.) 4. Εν τούτοις η μικρή κλίσ η του σ υσ τήματος 36 o 39 o, λόγω της μικρού πλάτους μεταβολής της καμπύλης φωτός, και της μικρής προβαλλόμενης σ υνολικής μάζας του σ υσ τήματος, καθισ τούν δύσ κολη/αδύνατη την εύρεσ η ενός αξιόπισ του μοντέλου του σ υσ τήματος. Μία επιπλέον δυσ κολία είναι ο προσ διορισ μός του φασ ματικού τύπου του σ υσ τήματος. Αν και ο πρώτος υπολογισ μός των

177 7. Λεπτομερής διερεύνησ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή V1003 Her Rucinski et al. (2008), ήταν A7V, σ ε σ υμφωνία με το υπέρυθρο χρώμα του από το 2MASS (J-K=0.234), οι Rucinski et al. (2013) επαναπροσ διόρισ αν το φασ ματικό τύπο της πλειοψηφίας των διπλών σ υσ τημάτων W UMa που είχαν μελετηθεί από το Ασ τεροσ κοπείο David Dunlap Observatory s (DDO), την περίοδο , με βάσ η το διορθωμένο από ερυθρή χρώσ η χρώμα(b V ) o και την υπολογιζόμενη μεταλλικότητα. Για το σ ύσ τημα V1003 Her ο νέος διορθωμένος δείκτης χρώματος(b V ) o = 0.47, από τους πίνακες του Cox (2000) αντισ τοιχεί σ ε τύπο F6 και σ ε θερμοκρασ ία 6514 ±70 K, η οποία σ υμφωνεί με την υπολογιζόμενη από τον Ammons (2006) (με σ φάλμα ενός φασ ματικού τύπου). Εν τούτοις θα πρέπει να σ ημειωθεί ότι ο παραπάνω προσ διορισ μός βασ ίζεται σ την υπολογιζόμενη μεσ οασ τρική απόσ βεσ η από τους χάρτες του Schlegel et al. (1998) η οποία μπορεί να έχει πολύ μεγάλη τιμή E max (l, b) = mag σ τη διεύθυνσ η του V1003 Her, και σ τον αβέβαιο υπολογισ μό της απόσ τασ ής του με βάσ η την παράλλαξη της αποσ τολής Hipparcos. Γι αυτό δε θα πρέπει να αποκλεισ τεί ο αρχικός φασ ματικός τύπος A7. Από την παραπάνω ανάλυσ η, για το καλύτερο μοντέλο που παρουσ ιάζεται σ τον Πίνακα 7.4 (i = 38 o ± 1 o ), η τιμή της σ υνολικής μάζας του σ υσ τήματος 2.88 ± 0.2M είναι πολύ μεγάλη για τύπου W UMa. Σύμφωνα με τον Yildiz (2014) η μέσ η αρχική σ υνολική μάζα των διπλών σ υσ τημάτων είναι 3 2.5M (για τις υποκατηγορίες A και W αντίσ τοιχα) αν και σ τη βιβλιογραφία έχουν αναφερθεί και μεγαλύτερες τιμές. Μία αύξησ η της κλίσ ης του σ υσ τήματος σ ε 40 o 41 o μεταβάλλει τη σ υνολική μάζα σ ε πιο αποδεκτά όρια M. Το παραπάνω σ υμπέρασ μα, ελέγχθηκε επιπλέον με την μοντελοποίησ η του σ υσ τήματος με το ανεξάρτητο ως προς τη μέθοδο WD, πρόγραμμα ROCHE (Pribulla 2004) από τον Dr. Pribulla και τα αποτελέσ ματα του ήταν σ ε πλήρη σ υμφωνία με την παρούσ α ανάλυσ η (Σχήμα 7.4): η κλίσ η του σ υσ τήματος είναι σ χετιζόμενη παράμετρος με το επιφανειακό δυναμικό. Για μικρότερη τιμή κλίσ ης προκύπτει σ ύσ τημα σ ε σ τενή επαφή, ενώ για μεγαλύτερη αποχωρισ μένο. Οι λύσ εις για το αποχωρισ μένο μοντέλο αρχίζουν για κλίσ η i > 43 o, αλλά όπως φαίνεται και σ το Σχήμα 7.4 είναι ασ ταθείς. Κρατώντας σ ταθερή την τιμή της κλίσ ης σ ε διάφορες πιθανές τιμές (35, 36, 37, 38, 39, 41), υποθέτοντας q = 1/0.373, A 1 = A 2 = 0.5, g 1 = g 2 = 0.32, T 1 = 6700K προκύπτουν οι ακόλουθες τιμές για το κανονικοποιημένο άθροισ μα των τετραγώνων των υπολοίπων χ 2 (norm) (4.4206, , , , , ) αντίσ τοιχα. Περίπτωσ η A. Εχοντας υιοθετήσ ει για το σ ύσ τημα φασ ματικό τύπο F6V (6514 K), οι υπολογιζόμενες μάζες των ασ τέρων-μελών, όχι μόνο είναι πολύ μεγάλες για το φασ ματικό τους τύπο (F3 και F7 αντίσ τοιχα), αλλά δεν σ υμφωνούν και με την ολική μάζα του σ υσ τήματος. Προκειμένου να κατασ κευασ τεί ένα μοντέλο με φυσ ική σ ημασ ία, υιοθετήθηκε για την κλίσ η του σ υσ τήματος η τιμή i 39 o, η οποία παρισ τάνει το άνω όριο σ το εύρος 36 o 39 o, της λύσ ης σ υσ τήματος σ ε υπερεπαφή (Σχήμα 7.4). Η νέα τιμή της ολικής μάζας του σ υσ τήματος V1003 Her μειώνεται σ ε 2.7±0.2 M και των επιμέρους ασ τέρων-μελών σ ε M 1 = 0.73 ± 0.06 M και M 2 = 1.96 ± 0.16 M. Μία τέτοια τιμή είναι σ υγκρίσ ιμη με αυτή του σ υσ τήματος DN Cam, το οποίο διαθέτει μέχρι σ ήμερα, τη μεγαλύτερη μάζα για τύπου W των W UMa όπως φαίνεται σ τον Πίνακα 7.5, όπως έχει υπολογισ θεί με βάσ η φωτομετρικά και φασ ματοσ κοπικά δεδομένα (Baran et al. 2004). Περίπτωσ η B. Εάν υιοθετηθει ο φασ ματικός τύπος A7 (7816 K), οι εξαγόμενες μάζες των ασ τέρων-μελών αν και μεγαλύτερες για το φασ ματικό τους τύπο (A5 και A8 αντίσ τοιχα), σ υμφωνούν με τη σ υνολική μάζα του σ υσ τήματος, αλλά είναι ασ υνήθισ τες για την υποκατηγορία W. 174

178 7. Λεπτομερής διερεύνησ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή V1003 Her Πίνακας 7.4.: Φυσ ικές παράμετροι διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων W UMa με μικρή κλίσ η Star name Period Type Spectral q i M tot Ref. (days) Type ( o ) (M ) ET Leo W G5V 0.342± ± ±0.024 (1) V 2377Oph W G0/G1V 0.395± ± ±0.096 (2) LSDel W F 5/F ± ± ±0.022 (2) V 2357Oph W G5V 0.231± ± ±0.015 (1) A 0.231± ± ±0.075 (2) V 402Aur W F 2V 0.201± ± ±0.053 (3) HHU M a W F 5/F 8V 0.295± ± (4) HN U M a A F 9/G ± ±0.61 (5) OU Ser A F 9V/GOV 0.173± ± ±0.101 (2) A F 9V/GOV 0.173± ± ±0.038 (5) References.(1) Gazeas et al. 2006, (2) Deb & Singh (2011), (3) Zola et al. (2004), (4) Han et al. (2014), (5) Zola et al. (2005). Και σ τις δύο περιπτώσ εις, οι εξαγόμενες μάζες των ασ τέρων-μελών, μπορεί να ερμηνευτούν με βάσ η πιθανή μεταφορά μάζας που έχει γίνει σ το παρελθόν από τον πρωτεύοντα (πρώην μεγαλύτερης μάζας) σ τον δευτερεύοντα ασ τέρα, και η οποία οδήγησ ε σ ε ανασ τροφή του λόγου των μαζών. Δυσ τυχώς το χρονικό διάσ τημα των καταγεγραμμένων μεταβολών της περιόδου (διάγραμμα O-C ) το οποιο είναι ενδεικτικό της ανταλλαγής μάζας μεταξύ των ασ τέρων, είναι πολύ μικρό για ένα τέτοιο σ υμπέρασ μα. Η κατάσ τασ η θυμίζει το εξελικτικό μοντέλο που έχει πρoταθεί από τον Stepien (2004, 2006a,b, 2011) αν και δεν έχει ακόμα εφαρμοσ τεί σ τα μεγάλης μάζας σ τενά διπλά σ υσ τήματα-όπου η αντισ τροφή μαζών είναι αναγκαία σ υνθήκη γα τη δημιουργια ενός σ υσ τήματος τύπου W UMa ώσ τε να ερμηνευθούν οι δυσ κολίες της θεωρίας των θερμικώνν ταλαντώσ εων (TRO, Lucy 1976). Σε ένα τέτοιο σ ενάριο, ο πρωτεύων ασ τέρας φασ ματικού τύπου F3 και αρχικής μάζας 1.48 M μεταφέρει το μεγαλύτερο μέρος της μάζας του σ τον δευτερεύοντα ασ τέρα, φασ ματικού τυπου F7 ο οποίος έχει αρχική μάζα 1.25 M, με αποτέλεσ μα ο πρώην δευτερεύων ασ τέρας να γίνει ο τωρινός μεγαλύτερης μάζας. Κάθε ασ τέρας ξεχωρισ τά βρίσ κεται σ ε θερμική ισ ορροπία, ενώ γεμίζει τον κρίσ ιμο λοβό του Roche, και ο ασ τέρας με τη μεγαλύτερη μάζα γίνεται ασ τέρας ZAMS, ενω ο μικρότερης μάζας είναι σ ε προχωρημένο σ τάδιο εξέλιξης, υπερμεγέθης για τη μικρότερη μάζα του. Η περαιτέρω εξέλιξη του διπλού σ υσ τήματος καθορίζεται από την διασ τολή λόγω εξέλιξης του μικρότερης μάζας ασ τέρα, η οποία σ υνοδεύεται από μεταφορά μάζας σ τον ασ τέρα με τη μεγαλύτερη μάζα (Stepien & Kiraga 2013). Στην περίπτωσ η B, διερευνήθηκε από τη βιβλιογραφία πόσ α σ υσ τήματα υποκατηγορίας W των W UMa υπάρχουν με φασ ματικό τύπο A. Αν και αυτά τα σ υσ τήματα αρχικά ταξινομήθηκαν σ την υποκατηγορία W, όταν επαναμοντελοποιήθηκαν από διαφορετικούς ερευνητές με βάσ η νέες παρατηρήσ εις, επαναταξινομήθηκαν. Αυτά είναι τα σ υσ τήματα : V351 Peg φασ ματικού τύπου A8V (q=0.36) από τους Rucinski et al. (2001) το οποίο πρόσ φατα μοντελοποιήθηκε ως Α τύπου από τους Albayrak et al. (2005), V918 Her φασ ματικού τύπου A7V type 175

179 7. Λεπτομερής διερεύνησ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή V1003 Her Πίνακας 7.5.: Φυσ ικές παράμετροι των W-υποκατηγορίας W UMa σ υσ τημάτων ασ τέρων μεγάλης ολικής μάζας Ονομα Τύπος P q 1/q M tot T 1 T 2 T logj o Αναφ. (d) (M ) (K) (K) (K) gcm 2 s 1 V1003 Her W (1) DN Cam W ± ± (2) (3) ER Ori W ± (4) ± ± (5) EF Boo W ± (6) AA UMa W (7), (8) ± (9) YY Eri W ± ± (10) ± ± (5) V502 Oph W ± ± (11) ± ± (5) W UMa W ± ± (11) AE Phe W ± ± (11) W (12) (13) V402 Aur W ± ± (14) V728 Her W (15) Αναφορές:(1) παρούσ α εργασ ία, (2) Baran et al. (2004),(3) Vanko & Pribulla (2001),(4) Goecking et al. (1994),(5) Deb & Singh (2011), (6) Gazeas et al. (2005), (7) Wang & Lu (1990), (8) Barone et al. (1993)-near Contact, (9) Lee et al. (2011), (10) Bilir et al. (2005), (11) Hilditch et al. (1988), (12) He et al. (2009), (13) Barnes (2004), (14) Zola et al. (2004), (15) Nelson et al. (1995) 176

180 7. Λεπτομερής διερεύνησ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή V1003 Her (q=0.271) από τους Pych et al. (2004) αλλά με αμφίβολη ταξινόμησ η και το V753 Mon, φασ ματικού τύπου A8V με q =0.97 (Rucinski et al. 2000) το οποίο τελικά ταξινομήθηκε ως ημιαποχωρισ μένο από τους Deb et al. (2011), Zola et al. (2004) και Qian et al. (2013). Άρα η περίπτωσ η του B σ εναρίου είναι μάλλον απίθανη. Ενα επιπλέον πρόβλημα σ τη επίλυσ η φωτομετρικών καμπυλών μικρού πλάτους μεταβολής φωτός και ελαχίσ των διαφορετικών βαθών, είναι ότι δεν μπορεί να ερμηνευθεί με ένα μοντέλο μεγάλης διαφοράς θερμοκρασ ιών μεταξύ των ασ τέρων σ ε επαφή (T 550 K). Σύμφωνα με τον Rucinski (1998) τα ασ τρικά σ υσ τήματα σ ε επαφή με διαφορετικά βάθη ελαχίσ των (ένδειξη μικρής θερμικής επαφής) είναι αρκετά σ πάνια. Πράγματι, από τον κατάλογο των ασ τρικών σ υσ τημάτων σ ε επαφή των Pribulla et al. (2003) φαίνεται ότι οι διαφορές θερμοκρασ ιών μεταξύ των ασ τέρων είναι σ χετικά μικρές (σ χεδόν πάντα μικρότερες από 400 K). Η αυθαίρετη εισ αγωγή ψυχρών κηλίδων σ τον θερμότερο πρωτεύοντα ή θερμών κηλίδων σ το ψυχρότερο δευτερεύοντα μπορεί να διορθώσ ει την διαφορά προσ αρμογής μεταξύ θεωρητικών και παρατηρησ ιακών καμπυλών και να μειώσ ει τη διαφορά θερμοκρασ ίας ενός μοντέλου, όπως σ την περίπτωσ η του VZ Psc (Maceroni et al. 1990, Hrivnak et al. 1995) ή του ES Lib (Cabrera et al. 2014). Με τον πρωτεύοντα ασ τέρα να μεταβιβάζει μάζα σ τον δευτερεύοντα, η παρουσ ία μίας θερμής κηλίδας είναι εξίσ ου φυσ ικό επακόλουθο (Stepien 2009) αλλά από την άλλη, η παρουσ ία ψυχρών κηλίδων σ τους ασ τέρες με ζώνες μεταφοράς σ τις φωτόσ φαιρες τους είναι σ ύνηθες σ ε πολλά σ υσ τήματα σ ε υπερεπαφή (Senavci et al. 2011). Αν και σ τις περισ σ ότερες περιπτώσ εις ένα μοντέλο με μία ή και δύο κηλίδες μπορεί να μειώσ ει τη διαφορά θερμοκρασ ίας μεταξύ των ασ τέρων-μελών, σ τις νέες καμπύλες φωτός δεν παρατηρηθηκε κάποια ασ υμμετρία ή κάποια διαφορά σ το επίπεδο του φωτός του σ υσ τήματος σ τις μέγισ τες φάσ εις του, σ ημαντικά μεγαλύτερη από την ακρίβεια της φωτομετρικής ανάλυσ ης, ώσ τε να δικαιολογείται η παρουσ ία τους. Επιπλέον, επειδή όπως είναι γνωσ τό, ένα μοντέλο το οποίο περιλαμβάνει κηλίδα/κηλίδες δεν αποτελεί μοναδική λύσ η σ το χωρο των λύσ εων, η υιοθέτησ ή τους σ ε αυτό το ιδιάζον σ ύσ τημα θα καθισ τούσ ε δύσ κολη την διαφοροποίησ η της λύσ ης κατά τη διερεύνησ η με μοντέλο ημιαποχωρισ μένο ή με μοντέλο σ ε υπερεπαφή. Η λύσ η ως ημιαποχωρισ μένο σ ύσ τημα απορρίφθηκε σ την παραπάνω ανάλυσ η, γιατί έδειξε ότι ο μικρότερης μάζας ασ τέρας είχε πολύ μεγάλη θερμοκρασ ία για τη μάζα του χωρίς να γεμίζει το λοβό του Roche. Μία τέτοια κατάσ τασ η θα μπορούσ ε να μοιάζει i) με την προ επαφής φάσ η των αντίσ τροφων σ υσ τημάτων Algol (reverse Algol) όπου ο μεγαλύτερης μάζας ασ τέρας είναι σ ε επαφή με το λοβό του Roche ενώ ο μικρότερης μάζας βρίσ κεται μέσ α σ ε αυτόν (Leung 1988) ή ii) με τα σ πάνια παρατηρηθέντα σ υσ τήματα υποκατηγορίας W, σ το σ ημείο που χάνουν την επαφή όπως προβλέπεται από τη θεωρία TRO όπως είναι το W Crv (Van Hamme & Cohen 2008) ή το BE Cep (Kaluzny 1986, Yang al. 2012). Εν τούτοις δεν ήταν δυνατή η κατασ κευή αποδεκτών και σ ταθερών σ υνθετικών καμπυλών για ημιαποχωρισ μένο μοντέλο, για αυτό και το μοντέλο σ ε υπερεπαφή είναι πιο λογικοφανές. Με δεδομένο ότι το σ ύσ τημα δε βρίσ κεται σ ε θερμική ισ ορροπία, αυτό το μοντέλο δείχνει ότι πρόσ φατα έχει γίνει η μετάβασ η από ημιαποχωρισ μένο σ ε υπερεπαφή. Εάν η λύσ η του σ υσ τήματος σ ε επαφή ειναι ψευδής, ως αποτέλεσ μα φαινομένων που δε λαμβάνονται υπόψιν από τη γεωμετρία των λοβών Roche, πάνω σ την οποία βασ ίσ τηκε η ανάλυσ η και το σ ύσ τημα είναι μάλλον ημιαποχωρισ μένο, απαιτείται φωτομετρία μεγαλύτερης ακρίβειας με δορυφόρο για τη αποσ αφήνισ η της κατάσ τασ ής του. Τέτοια προβλήματα είναι σ υνηθισ μένα σ ε σ υσ τήματα με μικρό πλάτος μεταβολής το οποίο 177

181 7. Λεπτομερής διερεύνησ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή V1003 Her οφείλεται σ τη μικρή κλίσ η τους και πιθανόν το σ ύσ τημα V1003 Her να έχει τη μικρότερη κλίσ η όπως φαίνεται από τον Πίνακα 7.5. Επειδή όμως το μικρό πλάτος της μεταβολής θα μπορούσ ε να αποδοθεί σ την παρουσ ία ενός τρίτου σ ώματος που σ υνεισ φέρει και αλλοιώνει την παρατηρούμενη καμπύλη φωτός όπως π.χ σ την περίπτωσ η των TV UMi (Pribulla et al. 2006), GSC 01387:00475, (Rucinski & Pribulla 2008) και FI Boo (Christopoulou & Papageorgiou 2013) σ τα σ υσ τήματα με μικρή κλίσ η του Πίνακα 7.5, δεν περιλαμβάνονται αυτά τα οποία έχουν ανιχνευθεί ως τριπλά φασ ματοσ κοπικά. Από την άλλη, εκτός από τα φαινόμενα εγγύτητας (αφού οι περισ σ ότερες μεταβολές φωτός οφείλονται σ τα πεπλατυσ μένα σ χήματα των ασ τέρων), σ ύμφωνα με τον Kopal (1959) και τους Kallrath & Milone (2009), εκλείψεις μπορούν να να σ υμβούν ακόμα και για πολύ μικρές τιμές της κλίσ ης (πάνω από το όριο των 34.4 o ). Αν και τα σ υσ τήματα W UMa με μικρή κλίσ η είναι δύσ κολα να μελετηθούν, είναι πολύ σ ημαντικά γιατί προσ φέρουν τη μοναδική ευκαιρία να παρατηρηθούν άμεσ α τα εσ ωτερικά ημισ φαίρια και των δύο ασ τέρων-μελών τους, κάτι που δεν είναι εφικτό σ τα σ υσ τήματα με μεγάλη κλίσ η. Σε σ χέσ η με προηγούμενες μελέτες από τη βιβλιογραφία, οι Dal & Sipahi (2014) με βάσ η την ταυτόχρονη ανάλυσ η των δικών τους BVR καμπυλών και της διαθέσ ιμης RV καμπύλης, πρότειναν ότι οι ασ τέρες βρίσ κονται «σ χεδόν σ ε επαφή». Μία τέτοια κατάσ τασ η όμως μπορεί να αντιπροσ ωπεύει ένα τοπικό ελάχισ το. Ως εκ τούτου με την παρούσ α ενδελεχή ανάλυσ η διερευνώνται περισ σ ότερες δυνατότητες ερμηνείας του προτεινόμενου μοντέλου Εξελικτική κατάσ τασ η Οι θέσ εις των εξαγόμενων απόλυτων παραμέτρων του προτεινόμενου μοντέλου (περίπτωσ η Α) φαίνονται σ τον Πίνακα 7.5 μαζί με τα σ υσ τήματα από τη βιβλιογραφία με μεγάλη μάζα, τύπου W των W UMa, των οποίων οι παράμετροι έχουν προσ διορισ τεί με σ υνδυασ μό φωτομετρικών και φασ ματοσ κοπικών δεδομένων. Οι θέσ εις των ασ τέρων μελών του V1003 Her σ τα διαγράμματα logm logl, logm logr παρουσ ιάζονται σ το Σχήμα 7.6 και η ολική σ τροφορμή ως προς τη ολική μάζα σ το διάγραμμα (logm logj) σ το Σχήμα 7.7 μαζί με τα γνωσ τά σ υσ τήματα υποκατηγορίας W των W UMa. Οπως φαίνεται από το Σχήμα 7.7, το σ ύσ τημα V1003 Her βρίσ κεται σ την καλά οριοθετημένη, από την καμπύλη των Eker et al. (2006), περιοχή των σ υσ τημάτων σ ε επαφή. Προκειμένου να διερευνηθεί περαιτέρω η κατάσ τασ ή του, σ χεδιάσ τηκε σ το ίδιο διάγραμμα η γραφική παράσ τασ η logj orb i, με βάσ η την περίοδο του σ υσ τήματος και για διαφορετικές τιμές της κλίσ ης του. Οπως είναι εμφανές, για ένα μεγάλο εύρος τιμών της κλίσ ης i, το σ ύσ τημα παραμένει σ την περιοχή επαφής λόγω της μικρής περιόδου του P και του λόγου των μαζών q. Επιπλέον από τον Πίνακα 7.5 διαπισ τώνεται ότι το σ ύσ τημα V1003 Her έχει παρόμοιες ιδιότητες με το DN Cam, το μέχρι σ ήμερα γνωσ τό με τη μεγαλύτερη ολική μάζα σ ύσ τημα W τύπου των W UMa. Αν και τα δύο σ υσ τήματα έχουν παρόμοια και μάλλον μεγάλη περίοδο για τύπου W ( ημέρες και ημέρες αντίσ τοιχα), σ την περίπτωσ η του DN Cam, λόγω της μεγαλύτερης κλίσ ης του (73.1 o ± 0.4) οι υπολογιζόμενες απόλυτοι παράμετροι των ασ τέρων του είναι πιο αξιόπισ τες. Σύμφωνα με τους Yildiz & Dogan (2013), οι οποίοι υπολόγισ αν την αρχική μάζα των δευτερευόντων ασ τέρων, 100 σ υσ τημάτων τύπου W UMa, το DN Cam μαζί με άλλα μεγάλης 178

182 7. Λεπτομερής διερεύνησ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή V1003 Her log(l/l ) Wtype-pri Wtype-sec Atype-pri Atype-sec ZAMS TAMS V1003Her-pri V1003Her-sec Table4-Atype-Pri Table4-AtypeSec Table4-Wtype-Pri Table4-WtypeSec Table5-Wtype-Pri Table5-WtypeSec log(m/m ) log(r/r ) YE-Li-pri YE-Li-sec -0.2 ZAMS TAMS V1003Her-pri -0.3 V1003Her-sec Table4-Atype-Pri Table4-AtypeSec Table4-Wtype-Pri -0.4 Table4-WtypeSec Table5-Wtype-Pri Table5-WtypeSec log(m/m ) Σχήμα 7.6.: Η θέσ η των ασ τέρων-μελών του σ υσ τήματος V1003 Her σ τα διαγράμματα logm logl και logm logr. Οι άδειοι κύκλοι σ υμβολίζουν τον ασ τέρα-μέλος με την μεγαλύτερη μάζα (primaries) και τα άδεια τετράγωνα τον ασ τέρα-μέλος με την μικρότερη μάζα (secondaries). Το δείγμα των σ υσ τημάτων τύπου W UMa σ το logm logl διάγραμμα, δημιουργήθηκε από την διασ ταύρωσ η των δειγμάτων των σ υσ τημάτων τύπου W UMa από τους Yakut & Eggleton (2005) και Li et al. (2008), τον Πίνακα 5.9 και τους Πίνακες 7.4, 7.5. Το δείγμα των σ υσ τημάτων τύπου W υποκατηγορίας W UMa του διαγράμματος logm logr δημιουργήθηκε από την διασ ταύρωσ η των δειγμάτων των σ υσ τημάτων τύπου W UMa από τους Yakut & Eggleton (2005) και Li et al. (2008). Οι γραμμές μηδενικής ηλικίας κύριας ακολουθίας ZAMS (σ υνεχής γραμμή) και τελικής TAMS (διακεκομμένη γραμμή), δημιουργήθηκαν με τον κώδικα εξέλιξής των διπλών σ υσ τημάτων ασ τέρων BSE (Hurley et al. 2002) για τιμές μεταλλικότητας του Ηλιου. 179

183 7. Λεπτομερής διερεύνησ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή V1003 Her μάζας υποκατηγορίας W των W UMa, τα EF Boo και AA UMa, έχουν αρχικές μάζες δευτερευόντων μη-τυπικές για την υποκατηγορία W, κοντά σ το άνω όριο τους, 1.8 ± 0.1 M που σ ηματοδοτεί τη μετάβασ η σ την υποκατηγορία A. Για το V1003 Her μια πολύ γενική προσ έγγισ η της αρχικής μάζας του δευτερεύοντα ασ τέρα δηλαδή του προγεννήτορά του, το τοποθετεί πιο μέσ α σ ε αυτή τη μεταβατική ζωνη, μαζί με τα πιο θερμά σ υσ τήματα W, τα V728 Her και V402 Aur. Συμπερασ ματικά, το διπλό ασ τρικό σ ύσ τημα V1003 Her είναι σ ίγουρα ένα ιδιάζον, σ ημαντικό αλλά και δύσ κολο σ ύσ τημα που πρέπει να διερευνθεί σ ε διάφορες εποχές. Η μικρή του κλίσ η καθισ τά δύσ κολη την εξαγωγή πληροφορίας από τις μικρού πλάτους φωτομετρικές του καμπύλες. Προκειμένου να προσ διορισ τούν οι παράμετροί του, με μεγαλύτερη ακρίβεια απαιτείται: 1) λεπτομερής φασ ματοσ κοπική μελέτη (CaII, MgII, Hα) η οποία να δώσ ει έναν πιο αξιόπισ το προσ διορισ μό του φασ ματικού του τύπου και/ή ενδείξεις μαγνητικής δρασ τηριότητας και 2) φωτομετρία από δορυφόρο, ωσ τε να επιτευχθεί καλύτερη φωτομετρική ακρίβεια των καμπυλών φωτός. Επίσ ης προτείνονται παρατηρήσ εις απεικόνισ ης Doppler, όπως σ την περίπτωσ η του AW UMa (Pribulla and Rucinski, 2008) και AE Phe (Barnes et al. 2004). Η σ υσ τηματική φωτομετρική καταγραφή του σ υσ τήματος μέσ α σ τα επόμενα χρόνια, μπορεί να αναδείξει την παρουσ ία ασ υμμετριών σ τις καμπύλες φωτός, λόγω παρουσ ίας κηλίδων και άρα τα ιδιάζοντα χαρακτηρισ τικά του V1003 Her να αποδοθούν σ ε ανασ τροφή των ελαχίσ των των καμπυλών φωτός. Επιπλέον προκειμένου να διερευνηθεί τυχόν μεταβολή της περιόδου του σ υσ τήματος χρειάζεται σ υγκέντρωσ η περισ σ ότερων δεδομένων μακροπρόθεσ μα (σ τα επόμενα έτη ή σ τις επόμενες δεκαετίες). 180

184 7. Λεπτομερής διερεύνησ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή V1003 Her logj 0 (cgs) Contact Detached V1003Her Semi-Detached Table4 Table log(m/m ) Σχήμα 7.7.: Κατανομή της τροχιακής σ τροφορμής ως προς την ολική μάζα των αποχωρισ μένων σ υσ τημάτων ασ τέρων (+, Eker et al. 2006, Torres et al. 2010, Helminiak et al. 2010), ημιαποχωρισ μένων σ υσ τημάτων ασ τέρων (Ibanǒglu et al. 2006), σ υσ τημάτων σ ε επαφή (, Bilir et al. 2005, Eker et al. 2006) εμπλουτισ μένων με τους Πίνακες 7.4, 7.5. Το διπλό σ ύσ τημα ασ τέρων V1003 Her σ υμβολίζεται με σ υμπαγή κύκλο. Η διακεκομμένη γραμμή διαχωρίζει τα σ υσ τήματα σ ε επαφή από τα αποχωρισ μένα σ υσ τήματα, ενώ η σ υνεχής γραμμή παρουσ ιάζει την καμπύλη της σ υνάρτησ ης logj orb i με βάσ η την περίοδο και το λόγο μαζών του V1003 Her. 181

185 Βιβλιογραφία [Albayrak et al.(2005)] Albayrak, B., Djurašević, G., Selam, S. O., Atanacković- Vukmanović, O., & Yılmaz, M. 2005, New A, 10, 163 [Baran et al.(2004)] Baran, A., Zola, S., Rucinski, S. M., et al. 2004, Acta Astron., 54, 195 [Barnes et al.(2004)] Barnes, J. R., Lister, T. A., Hilditch, R. W., & Collier Cameron, A. 2004, MNRAS, 348, 1321 [Barone et al.(1993)] Barone, F., di Fiore, L., Milano, L., & Russo, G. 1993, ApJ, 407, 237 [Berry & Burnell (2000)] Berry, R., & Burnell, J., 2000, The Handbook of Astronomical Image Processing (Richmond, VA: Willmann-Bell) [Bilir et al.(2005)] Bilir, S., Karataş, Y., Demircan, O., & Eker, Z. 2005, MNRAS, 357, 497 [Cabrera et al.(2014)] Cabrera, N. E., Sowell, J. R., Williamon, R. M., et al. 2014, PASP, 126, 121 [Christopoulou & Papageorgiou(2013)] Christopoulou, P.-E., & Papageorgiou, A. 2013, AJ, 146, 157 [Christopoulou et al.(2012)] Christopoulou, P.-E., Papageorgiou, A., Vasileiadis, T., & Tsantilas, S. 2012, AJ, 144, 149 [Cox(2000)] Cox, A. N. 2000, Allen s Astrophysical Quantities, fourth ed. Springer, New York, pp. 388 [Dai et al.(2012)] Dai, H.-F., Yang, Y.-G., Hu, S.-M., & Guo, D.-F. 2012, New A, 17, 347 [Dal & Sipahi(2014)] Dal, H. A., & Sipahi, E. 2014, New A, 28, 17 [Deb & Singh(2011)] Deb, S., & Singh, H. P. 2011, MNRAS, 412, 1787 [Duerbeck(1997)] Duerbeck, H. W. 1997, Information Bulletin on Variable Stars, 4513, 1 [Eker et al.(2006)] Eker, Z., Demircan, O., Bilir, S., & Karataş, Y. 2006, MNRAS, 373,

186 Βιβλιογραφία [ESA(1997)] ESA 1997, VizieR Online Data Catalog, 1239, 0 [Gazeas et al.(2005)] Gazeas, K. D., Baran, A., Niarchos, P., et al. 2005, Acta Astron., 55, 123 [Gazeas et al.(2006)] Gazeas, K. D., Niarchos, P. G., Zola, S., Kreiner, J. M., & Rucinski, S. M. 2006, Acta Astron., 56, 127 [Goecking et al.(1994)] Goecking, K.-D., Duerbeck, H. W., Plewa, T., et al. 1994, A&A, 289, 827 [Han et al.(2014)] Han, Q., Li, L., Kong, X., Gong, X., & Zhao, R. 2014, New A, 31, 26 [He et al.(2009)] He, J.-J., Qian, S.-B., Fernández Lajús, E., & Fariña, C. 2009, AJ, 138, 1465 [Helminiak et al.(2010)] Helminiak, K. G., Konacki, M., Ratajczak, M., & Muterspaugh, M. W. 2010, VizieR Online Data Catalog, 740, 969 [Hilditch et al.(1988)] Hilditch, R. W., King, D. J., & McFarlane, T. M. 1988, MNRAS, 231, 341 [Hrivnak et al.(1995)] Hrivnak, B. J., Guinan, E. F., & Lu, W. 1995, ApJ, 455, 300 [Hurley et al.(2002)] Hurley, J. R., Tout, C. A., & Pols, O. R. 2002, MNRAS, 329, 897 [Ibanoǧlu et al.(2006)] Ibanoǧlu, C., Soydugan, F., Soydugan, E., & Dervişoǧlu, A. 2006, MNRAS, 373, 435 [Kallrath & Milone(2009)] Kallrath, J., & Milone, E. F. 2009, Eclipsing Binary Stars: Modeling and Analysis: Astronomy and Astrophysics Library. ISBN Springer-Verlag New York, 2009, [Kaluzny(1986)] Kaluzny, J. 1986, PASP, 98, 662 [Kazarovets et al.(1999)] Kazarovets, E. V., Samus, N. N., Durlevich, O. V., et al. 1999, Information Bulletin on Variable Stars, 4659, 1 [Kopal(1959)] Kopal, Z. 1959, The International Astrophysics Series, London: Chapman & Hall, 1959 [Kwee & van Woerden(1956)] Kwee, K. K., & van Woerden, H. 1956, Bull. Astron. Inst. Neth., 12, 327 [Lee et al.(2011)] Lee, J. W., Lee, C.-U., Kim, S.-L., Kim, H.-I., & Park, J.-H. 2011, PASP, 123, 34 [Leung(1988)] Leung, K.-C. 1988, Critical Observations Versus Physical Models for Close Binary Systems,

187 Βιβλιογραφία [Li et al.(2008)] Li, L., Zhang, F., Han, Z., Jiang, D., & Jiang, T. 2008, MNRAS, 387, 97 [Lucy & Wilson(1979)] Lucy, L. B., & Wilson, R. E. 1979, ApJ, 231, 502 [Lucy(1976)] Lucy, L. B. 1976, ApJ, 205, 208 [Maceroni et al.(1990)] Maceroni, C., van Hamme, W., & van t Veer, F. 1990, A&A, 234, 177 [Metcalfe(1999)] Metcalfe, T. S. 1999, AJ, 117, 2503 [Nelson(2010)] Nelson, R. H. 2010, Information Bulletin on Variable Stars, 5929, 1 [Nelson(2009)] Nelson, R. H. 2009, Information Bulletin on Variable Stars, 5875, 1 [Nelson et al.(1995)] Nelson, R. H., Milone, E. F., van Leeuwen, J., et al. 1995, AJ, 110, 2400 [Pojmanski(2002)] Pojmanski, G. 2002, Acta Astron., 52, 397 [Pribulla et al.(2003)] Pribulla, T., Kreiner, J. M., & Tremko, J. 2003, Contributions of the Astronomical Observatory Skalnate Pleso, 33, 38 [Pribulla(2004)] Pribulla, T. 2004, Spectroscopically and Spatially Resolving the Components of the Close Binary Stars, 318, 117 [Pribulla & Rucinski(2006)] Pribulla, T., & Rucinski, S. M. 2006, AJ, 131, 2986 [Pribulla & Rucinski(2008)] Pribulla, T., & Rucinski, S. M. 2008, MNRAS, 386, 377 [Prša & Zwitter(2005)] Prša, A., & Zwitter, T. 2005, ApJ, 628, 426 [Prša & Zwitter(2005b)] Prša, A., & Zwitter, T. 2005b, The Three-Dimensional Universe with Gaia, 576, 611 [Pych et al.(2004)] Pych, W., Rucinski, S. M., DeBond, H., et al. 2004, AJ, 127, 1712 [Qian et al.(2013)] Qian, S.-B., Zhang, J., Wang, J.-J., et al. 2013, ApJS, 207, 22 [Rucinski, S. M. (1993)] Rucinski, S. M., 1993, In The Realm of Interacting Binary Stars, eds. Sahade, J., McCluskey, G.E., Kondo, Y., Kluwer, Dordrecht, p. 111 [Rucinski & Pribulla(2008)] Rucinski, S. M., & Pribulla, T. 2008, MNRAS, 388, 1831 [Rucinski(1998)] Rucinski, S. M. 1998, AJ, 116, 2998 [Rucinski et al.(2000)] Rucinski, S. M., Lu, W., & Mochnacki, S. W. 2000, AJ, 120, 1133 [Rucinski et al.(2001)] Rucinski, S. M., Lu, W., Mochnacki, S. W., Ogłoza, W., & Stachowski, G. 2001, AJ, 122,

188 Βιβλιογραφία [Rucinski et al.(2008)] Rucinski, S. M., Pribulla, T., Mochnacki, S. W., et al. 2008, AJ, 136, 586 [Rucinski et al.(2013)] Rucinski, S. M., Pribulla, T., & Budaj, J. 2013, AJ, 146, 70 [Şenavcı et al.(2011)] Şenavcı, H. V., Hussain, G. A. J., O Neal, D., & Barnes, J. R. 2011, A&A, 529, A11 [Schlegel et al.(1998)] Schlegel, D. J., Finkbeiner, D. P., & Davis, M. 1998, ApJ, 500, 525 [Stepien(2006a)] Stepien, K. 2006, Acta Astron., 56, 199 [Stepien(2006b)] Stepien, K. 2006, Acta Astron., 56, 347 [Stȩpień(2009)] Stȩpień, K. 2009, MNRAS, 397, 857 [Stȩpień(2011)] Stȩpień, K. 2011, Acta Astron., 61, 139 [Stȩpień & Gazeas(2012)] Stȩpień, K., & Gazeas, K. 2012, Acta Astron., 62, 153 [Stȩpień & Kiraga(2013)] Stȩpień, K., & Kiraga, M. 2013, Acta Astron., 63, 239 [Terrell et al.(2012)] Terrell, D., Gross, J., & Cooney, W. R. 2012, AJ, 143, 99 [Torres et al.(2010)] Torres, G., Andersen, J., & Giménez, A. 2010, A&A Rev., 18, 67 [van Hamme & Cohen(2008)] van Hamme, W., & Cohen, R. E. 2008, Astrophysics and Space Science Library, 352, 215 [Vanko & Pribulla(2001)] Vanko, M., & Pribulla, T. 2001, Information Bulletin on Variable Stars, 5200, 1 [Wang & Lu(1990)] Wang, Y.-R., & Lu, W.-X. 1990, Acta Astrophysica Sinica, 10, 248 [Wilson & Biermann(1976)] Wilson, R. E., & Biermann, P. 1976, A&A, 48, 349 [Yakut & Eggleton(2005)] Yakut, K., & Eggleton, P. P. 2005, ApJ, 629, 1055 [Yıldız(2014)] Yıldız, M. 2014, MNRAS, 437, 185 [Yildiz & Doğan(2013)] Yildiz, M., & Doğan, T. 2013, MNRAS, 430, 2029 [Zola et al.(2004)] Zola, S., Rucinski, S. M., Baran, A., et al. 2004, Acta Astron., 54, 299 [Zola et al.(2005)] Zola, S., Kreiner, J. M., Zakrzewski, B., et al. 2005, Acta Astron., 55,

189 8. Προσ διορισ μός απόλυτων παραμέτρων και η φύσ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή HI Dra 8.1. Εισ αγωγή Ο ασ τέρας HI Dra (HD =HIP 90972=TYC =GSC , α J2000 =18 h 33 m 24. s 4 και δ J2000 =+58 ο , V = 9.01 mag) ανακαλύφθηκε ως μεταβλητός από την αποσ τολή Hipparcos (ESA 1997) με περίοδο d και ταξινομήθηκε ως RR Lyrae (RRC) μεταβλητός ασ τέρας (ESA 1997, Kazarovets et al. 1999). Η διπλή του φύσ η προτάθηκε για πρώτη φορά από τους Gomez-Forrellad et al. (1999) οι οποίοι πραγματοποιώντας φωτομετρικές παρατηρήσ εις σ το V ταξινόμησ αν το σ ύσ τημα ως β Lyrae η ελλειψοειδές διπλό με περίοδο d. Οι σ υγγραφείς επίσ ης, επεσ ήμαναν ότι τόσ ο σ την καμπύλη της αποσ τολής Hipparcos όσ ο και σ τις δικές τους καμπύλες παρατηρείται φαινόμενο O Connell πλάτους 0.02 mag. Ο Selam (2004) χρησ ιμοποιώντας φωτομετρικά δεδομένα της αποσ τολής Hipparcos, υπολόγισ ε με τη μέθοδο Fourier τα πρώτα γεωμετρικά σ τοιχεία του σ υσ τήματος : τον παράγοντα πλήρωσ ης f =0.7, το λόγο των μαζών q=0.15, την κλίσ η i( o )=52.5 και πρότεινε ότι το σ ύσ τημα είναι σ ε επαφή. Η φύσ η του σ υσ τήματος σ ε επαφή, επιβεβαιώθηκε από τους Pribulla et. al. (2009), με βάσ η φασ ματοσ κοπικές παρατηρήσ εις, σ ύμφωνα με τις οποίες ο λόγος των μαζών προσ διορίσ τηκε σ ε q=0.250±0.005 και ο φασ ματικός τύπος σ ε F0-F2V. Επιπλέον οι σ υγγραφείς παρατήρησ αν ότι ο ασ τέρας με τη μεγαλύτερη μάζα αποκρύπτεται σ τη φωτομετρική φάσ η μηδέν, γεγονός το οποίο υποδηλώνει ότι το σ ύσ τημα ανήκει σ την υποκατηγορία W των WUMa αντί σ την A, όπως θα αναμενόταν από το μικρό λόγο των μαζών του. Γι αυτό πρότειναν, είτε ότι η περίοδος του σ υσ τήματος μεταβάλλεται, είτε ότι ο χρόνος ελαχίσ του που υπολογίσ τηκε από τη φωτομετρική καμπύλη της αποσ τολής Hipparcos ήταν λανθασ μένος. Πρόσ φατα οι Rucinski et al. (2013) υπολόγισ αν τη μεταλλικότητα του HI Dra ως [M/H]=- 0.11±0.14. Οι McDonald et al.(2012) κατασ κευάζοντας τη φασ ματική ενεργειακή κατανομή του σ υσ τήματος από διάφορες αποσ τολές ( nm), υπολόγισ αν τη θερμοκρασ ία του (T=7093 K) και τη φωτεινότητα του (12.61 L ). Το σ ύσ τημα HI Dra είναι επίσ ης το πρωτεύον μέλος ενός διπλού ορατού σ υσ τήματος που ανακαλύφθηκε από τον Espin (1905) και καταγράφηκε σ τον κατάλογο των διπλών ασ τέρων Washington (Washington Double Star Catalog (Mason ), με το δευτερεύον μέλος να είναι ένας 15 ου ασ τέρας σ ε απόσ τασ η 11.4 arcseconds από τον HI Dra. Σύμφωνα με την επανα-υπολογιζόμενη παράλλαξη της αποσ τολής Hipparcos από τον van Leeuwen (2007), το σ ύσ τημα βρίσ κεται σ ε απόσ τασ η ± 45.6 pc. Από την παραπάνω ισ τορική αναδρομή των παρατηρήσ εων, σ υμπεραίνεται ότι αν και υπάρ- 186

190 8. Προσ διορισ μός απόλυτων παραμέτρων και η φύσ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή HI Dra χουν φασ ματοσ κοπικά δεδομένα για τον HI Dra, το σ ύσ τημα δεν έχει μελετηθεί αναλυτικά φωτομετρικά ή οι δημοσ ιευμένες καμπύλες φωτός δεν έχουν την απαιτούμενη ακριβεια (αποσ τολή Hipparcos, επισ κόπησ η NSVS 1 ) και δεν έχουν ληφθεί υπόψιν οι ασ υμμετρίες της καμπύλης φωτός σ τα μέγισ τα των φάσ εων. Επιπλέον δεν έχουν σ υγκεντρωθεί οι χρόνοι ελαχίσ των ώσ τε να γίνει μελέτη της περιόδου του. Για όλους τους παραπάνω λόγους, το σ ύσ τημα HI Dra θεωρείται ενδιαφέρον για περαιτέρω μελέτη, γι αυτό και σ υμπεριελήφθη σ το πρόγραμμα του Ασ τεροσ κοπείου Μυθωδία προκειμένου να καταγραφούν νέες φωτομετρικές καμπύλες σ ε όλα τα φίλτρα και να υπολογισ τούν οι φυσ ικές του παράμετροι, σ ε σ υνδυασ μό με τα φασ ματοκοπικά και παλαιότερα φωτομετρικά δεδομένα Νέες CCD φωτομετρικές παρατηρήσ εις Οι νέες CCD φωτομετρικές παρατηρήσ εις πραγματοποιήθηκαν σ τις 6, 12 και 13 Οκτωβρίου 2011 σ τα φίλτρα V, I c, σ τις 1,2,3 και 6 Ιουνίου 2012 σ τα φίλτρα VR c I c και σ τις 22 Ο- κτωβρίου 2013 σ το φίλτρο I c σ το Ασ τεροσ κοπείο Μυθωδία του Πανεπισ τημίου Πατρών, με τυπικούς χρόνους έκθεσ ης s σ το V, 30 s σ το R c, και s σ το I c. Η επεξεργασ ία των φωτομετρικών δεδομένων (αφαίρεσ η bias και ρεύματος σ κότους, επιπεδοποίησ η) και η ανάλυσ η των φωτομετρικών καμπυλών έγινε με το λογισ μικό AIP4WIN (Berry & Burnell, 2000) με τη μέθοδο της διαφορικής φωτομετρίας. Ο ασ τέρας TYC (α J2000 = 18 h 33 m s, δ J2000 =58 ο , V T =9.65 ± 0.03 mag) χρησ ιμοποιήθηκε ως ασ τέρας σ ύγκρισ ης και ο ασ τέρας TYC (α J2000 = 18 h 32 m s, δ J2000 =58 ο , V T =10.97 ± 0.08 mag) ως ασ τέρας ελέγχου. Συνολικά ελήφθησ αν 1363 εικόνες (425 σ το V, 302 σ το R c, και 636 σ το I c ), τμήμα των αποτελεσ μάτων των οποίων φαίνονται σ τον Πίνακα 8.1 με τη μορφή Ηλιοκεντρικής Ιουλιανής Ημερομηνίας(HJD) ως προς τη διαφορά ( M) των μεγεθών μεταξύ του μεταβλητού και του ασ τέρα σ ύγκρισ ης. Οι ε- ξαγόμενες καμπύλες φωτός (LCs) του σ υσ τήματος HI Dra παρισ τάνονται σ το Σχήμα 8.1 σ ε διάγραμμα διαφοράς μεγέθους ως προς την τροχιακή φάσ η, η οποία υπολογίσ τηκε σ ύμφωνα με την εφημερίδα του μοντέλου που υιοθετήθηκε και περιγράφεται σ την επόμενη ενότητα. Η φωτομετρική ακρίβεια υπολογίζεται σ ε ( ) mag Νέοι χρόνοι ελαχίσ των Από τα νέα φωτομετρικά δεδομένα υπολογίσ τηκαν έξι νέοι χρόνοι ελαχίσ των σ τα φίλτρα V, Rc και Ic με τη μέθοδο Kwee & van Woerden (1956). Επιπλέον, σ υγκεντρώθηκαν όλοι οι χρόνοι ελαχίσ του φωτός με CCD παρατηρήσ εις από τη βιβλιογραφία, οι χρόνοι ελαχίσ των του Nelson (2014) 2 και υπολογίσ θηκαν 50 χρόνοι ελαχίσ των από τη βάσ η δεδομένων του SuperWASP 3 για την περίοδο Δυσ τυχώς οι τελευταίοι χρόνοι ελαχίσ του δεν είχαν καλή φωτομετρική ακρίβεια ή είχαν ελλιπή κάλυψη σ την περιοχή των εκλείψεων και εισ ήγαγαν σ φάλματα της τάξης των 100 s και γι αυτό τελικά δεν χρησ ιμοποιήθηκαν. Το ίδιο κριτήριο εφαρμόσ τηκε και σ το σ ύνολο των ελαχίσ των που σ υγκεντρώθηκαν. Τελικά

191 8. Προσ διορισ μός απόλυτων παραμέτρων και η φύσ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή HI Dra Πίνακας 8.1.: Φωτομετρικές παρατηρήσ εις V RcIc του HI Dra* HJD (d) V (mag) HJD (d) Rc (mag) HJD (d) Ic (mag) *Ολόκληρος ο πίνακας παρατίθεται σ το ηττπ://ιοπσςιενςε.ιοπ.οργ/ /149/5/168 V-C 1 (mag) V Rc Ic Residuals (mag) Phase Σχήμα 8.1.: Οι VRcIc φωτομετρικές καμπύλες του HI Dra. Με μαύρο, μπλέ και κόκκινο σ υμβολίζονται οι σ υνθετικές καμπύλες μοντέλων χωρίς παρουσ ία κηλίδας, και με παρουσ ία κηλίδας Μοντέλο 1 και Μοντέλο 2 αντίσ τοιχα. Στο κάτω τμήμα παρισ τάνονται τα υπόλοιπα της προσ αρμογής του καλύτερου μοντέλου (Μοντέλο 1 με κηλίδα) το οποίο και υιοθετήθηκε. 188

192 8. Προσ διορισ μός απόλυτων παραμέτρων και η φύσ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή HI Dra Πίνακας 8.2.: Χρόνοι ελαχίσ των με CCD παρατηρήσ εις του HI Dra HJD (d) σ (d) Τύπος Αναφ I (1) I (1) II (1) II (1) I (1) I (1) I (1) I (2) II (2) I (2) II (2) I (3) I (3) I (3) I (3) II (3) II (3) II (4) Αναφορές: (1) SuperWASP, (2) Liakos A. & Niarchos P. (2011), (3) παρούσ α εργασ ία, (4) Hoňková et al. (2013). σ υγκεντρώθηκαν έξι (6) χρόνοι ελαχίσ του από τις παρούσ ες παρατηρήσ εις, πέντε (5) από τη βιβλιογραφία και δεκαέξι (16) από τη βάσ η δεδομενων SuperWASP, τμήμα των οποίων παρουσ ιάζεται σ τον Πίνακα 8.2. Η εφημερίδα που χρησ ιμοποιήθηκε για την κατασ κευή του διαγράμματος O-C ήταν η HJD = σ ύμφωνα με το πρώτο ελάχισ το των νέων παρατηρήσ εων και τη φασ ματοσ κοπική εφημερίδα των Pribulla et. al. (2009). Οπως φαίνεται από το διάγραμμα Ο-C του Σχήματος 8.2, η περίοδος φαίνεται να διατηρείται σ ταθερή σ το χρονικό διάσ τημα και η νέα εφημερίδα που προκύπτει είναι HJD = (66) (3). Στη σ υνέχεια της παρούσ ας ανάλυσ ης με το PHOEBE, αφέθηκαν ελεύθερες οι παράμετροι της νέας εφημερίδας, αρχική εποχή και περίοδος, καταλήγοντας μόνο σ ε πολύ μικρές διορθώσ εις σ την τελική εφημερίδα η οποία σ ημειώνεται σ την αρχή του Πίνακα Μοντελοποίησ η της καμπύλης φωτός Στην παρακάτω ανάλυσ η, χρησ ιμοποιούνται οι δείκτες 1 και 2 για τον πρωτεύοντα (θερμότερο) και τον δευτερεύοντα (ψυχρότερο) ασ τέρα οι οποίοι αποκρύβονται κατά το πρώτο ελάχισ το Min I (πρωτεύουσ α έκλειψη σ τη φάσ η 0.0) και δευτερεύον ελάχισ το Min II, αντίσ τοιχα. Στην αρχή, τα νέα φωτομετρικά δεδομένα και τα φασ ματικά δεδομένα των Pribulla et. 189

193 8. Προσ διορισ μός απόλυτων παραμέτρων και η φύσ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή HI Dra O-C(days) Residuals Epoch Σχήμα 8.2.: Διάγραμμα (O-C) του σ υσ τήματος HI Dra. Η σ υνεχής γραμμή παρισ τάνει την προσ αρμογή των δεδομένων του Πίνακα 8.2 με τη μέθοδο των ελαχίσ των τετραγώνων. Από το διάγραμμα είναι εμφανές ότι η περίοδος παρέμεινε σ ταθερή σ το χρονικό διάσ τημα al. (2009), μετατράπηκαν σ ε φάσ η με μία γραμμική εφημερίδα που κατασ κευάσ τηκε με αρχική εποχή ένα από τα βαθύτερα ελάχισ τα των νέων παρατηρήσ εων και τη φασ ματοσ κοπική περίοδο P= d. Οι τελικές καμπύλες φωτός (LCs) αποκάλυψαν ότι σ ε σ υμφωνία με τη φασ ματοσ κοπική πληροφορία, η έκλειψη του ασ τέρα με τη μεγαλύτερη μάζα M 2 αντισ τοιχεί σ το ρηχότερο ελάχισ το (δευτερεύουσ α έκλειψη). Αυτό υποδηλώνει ότι πρόκειται για σ ύσ τημα υποκατηγορίας W των W UMa εκλειπτικών διπλών σ υσ τημάτων, επιβεβαιώνοντας την αρχική πρότασ η των Pribulla et al. (2009), αν και σ τον Πίνακα 2 της εργασ ίας τους, ταξινομούν το σ ύσ τημα σ την υποκατηγορία A λόγω του ασ υνήθισ του-για W - μικρού λόγου μαζών. Για τη μοντελοποίησ η των καμπυλών φωτός, χρησ ιμοποιήθηκαν τα φασ ματοσ κοπικά σ τοιχεία: λόγος μαζών q =4.00 ± 0.08, σ υσ τημική ταχύτητα V r = ± 0.69 (km s 1 ) και προβαλλόμενο μήκος μεγάλου ημιάξονα αsini = ± (R ) σ ύμφωνα με τους Pribulla et. al. (2009). Σύμφωνα με το φασ ματικό τύπο του σ υσ τήματος F1V, χρησ ιμοποιήθηκε για την τιμή της ενεργού θερμοκρασ ίας του δευτερεύοντα (μεγαλύτερης μάζας) ασ τέρα η τιμή T 2 =7148 K (Cox 2000). Η προσ αρμογή των LCs έγινε κρατώντας σ ταθερό το λόγο των μαζών και τη σ υσ τημική ταχύτητας, και διατηρώντας την τιμή του αsini. Αρχικά η προσ αρμογή έγινε επιλέγοντας για το σ ύσ τημα σ χηματισ μό Αποχωρισ μένο ( Detached mode) σ το PHOEBE-0.31a scripter (Prša & Zwitter, 2005), υποθέτοντας κυκλικές τροχιές και χωρίς τη χρήσ η των καμπυλών των ακτινικών ταχυτήτων με σ κοπό τον περιορισ μό της κλίσ ης i, του λόγου των θερμοκρασ ιών T 2 T 1, των σ χετικών ακτίνων (r 1, r 2 ), του τροποποιημένων δυναμικών (Ω 1, Ω 2 ) και των μονοχρωματικών φωτεινοτήτων του πρωτεύοντα (L 1 ). Συγκεκριμένα, προκειμένου να διατηρηθεί η ποσ ότητα αsini, μετά από κάθε αποτέλεσ μα προσ αρμογής και σ ύγκλισ ης του i, η τιμή του α υπολογιζόταν εκ νέου. Το τελικό μοντέλο 190

194 8. Προσ διορισ μός απόλυτων παραμέτρων και η φύσ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή HI Dra ελέγχθηκε με σ άρωσ η σ το χώρο των λύσ εων και διαταραχή παραμέτρων (Prša & Zwitter 2005b, Christopoulou & Papageorgiou 2013, Papageorgiou et al. 2014), μέθοδος με την οποία υπολογίσ τηκαν και τα σ φάλματα των εξαγόμενων παραμέτρων. Η τακτική για την προσ αρμογή που ακολουθήθηκε έχει περιγραφεί αναλυτικά σ την ενότητα 7.4. Η διερεύνησ η με το σ χηματισ μό Αποχωρισ μένο έδειξε ότι όλα τα μοντέλα (κατασ κευή 100 μοντέλων) σ υνέκλιναν πολύ γρήγορα σ το σ χηματισ μό σ ε Υπερεπαφή. Ετσ ι η μοντελοποίησ η ξεκίνησ ε από την αρχή υιοθετώντας σ χηματισ μό σ υσ τήματος σ ε Υπερεπαφή αλλά χωρίς θερμική ισ ορροπία, επαναλαμβάνοντας την ίδια τακτική, υποθέτοντας σ ύγχρονη περισ τροφή και των δύο ασ τέρων-μελών και κυκλικές τροχιές αλλά με Ω 1 = Ω 2 για τα διπλά σ ε υπερεπαφή. Κατά τους υπολογισ μούς οι τιμές των σ υντελεσ τών που υιοθετήθηκαν ήταν g=0.32, A=0.5 για ασ τέρες με ζώνη μεταφοράς (T<7200 K) και g=1, A=1 για ασ τέρες με ζώνη διάδοσ ης ακτινοβολίας (T>7200 K), ενώ οι σ ταθερές αμαύρωσ ης χείλους εξήχθησ αν από τους ενσ ωματωμένους σ το Phoebe πίνακες του van Hamme (1993). Τα αποτελέσ ματα της προσ αρμογής και της σ άρωσ ης σ το χώρο των λύσ εων έδειξαν ότι πρόκειται για ένα εκλειπτικό διπλό σ ύσ τημα υποκατηγορίας W των WUMa, με μικρή κλίσ η i( o ) 52, παράγοντα πλήρωσ ης f(%) 25 (f = Ω Ω i Ω o Ω i όπου Ω i και Ω o είναι το δυναμικό του εσ ωτερικού και εξωτερικού σ ημείου Lagrangian αντίσ τοιχα) αλλά με ακραίο λόγο ενεργών θερμοκρασ ιών T 2 T 1 = 0.83 ± Οι τελικές σ υνθετικές LCs παρουσ ιάζονται με μαύρες γραμμές σ το Σχήμα 8.1. Οπως φαίνεται από το Σχήμα 8.1, επειδή οι καμπύλες φωτός παρουσ ιάζουν εμφανώς φαινόμενο O Connell της τάξης των mag, και σ την πρώτη προσ έγγισ η του προτεινόμενου μοντέλου δεν ελήφθησ αν υπόψιν ασ υμμετρίες κοντά σ τα μέγισ τα φωτός, ελέχθηκε η πιθανότητα παρουσ ίας θερμής ή ψυχρής κηλίδας σ το μοντέλο του διπλού σ υσ τήματος. Λόγω απουσ ίας φασ ματοσ κοπικής ένδειξης τρίτου φωτός σ τα φασ ματοσ κοπικά δεδομένα των Pribulla et. al. (2009), δεν εισ ήχθη τρίτο φως σ το παραπάνω μοντέλο. Μετά από πολλές δοκιμές, προέκυψαν δύο διακριτά μοντέλα, ένα με μία ψυχρή κηλίδα σ χεδόν κοντά σ το πόλο του ασ τέρα με τη μικρότερη μάζα και ένα με μία θερμή κηλίδα σ την περιοχή του λαιμού του ασ τέρα με τη μεγαλύτερη μάζα. Για κάθε μία από τις παραπάνω λύσ εις αφέθηκαν ελεύθερες προς σ ύγκλισ η οι εξής παράμετροι: η κλίσ η i, η θερμοκρασ ία του πρωτεύοντα ασ τέρα T 1, τα δυναμικά (Ω 1 =Ω 2 ) και η μονοχρωματική φωτεινότητα του πρωτεύοντα L 1. Τελικά, πραγματοποιήθηκε και σ τα δύο μοντέλα των κηλίδων, σ άρωσ η σ το χώρο των παραμέτρων και διαταραχή παραμέτρων, κατασ κευάζοντας 100 μοντέλα για το καθένα. Οι τελικές τιμές και το σ φάλμα των ελεύθερων προς σ ύγκλισ η παραμέτρων, προσ διορίσ τηκαν από τη μέσ η τιμή τους και τη σ ταθερή απόκλισ η αντίσ τοιχα, με βάσ η ισ τογράμματα που κατασ κευάσ τηκαν από τα παραπάνω 100 μοντέλα. Τα τελικά αποτελέσ ματα μαζί με τη νέα εφημερίδα παρουσ ιάζονται σ τον Πίνακα 8.3. σ τον οποίο το Μοντέλο 1 είναι το μοντέλο με την ψυχρή κηλίδα σ τον ασ τέρα με τη μικρότερη μάζα και το Μοντέλο 2, το μοντέλο με τη θερμή κηλίδα σ τον ασ τέρα με τη μεγαλύτερη μάζα. Οι παράμετροι των δύο μοντέλων του Πίνακα 8.3 περιλαμβάνουν: το μεγάλο ημιάξονα α, την τροχιακή κλίσ η i, τον παράγοντα πλήρωσ ης f, το λόγο των μαζών q=m 2 /M 1, τη σ χετική φωτεινότητα του πρωτεύοντα ασ τέρα σ το κάθε φίλτρο j =V,Rc,Ic, L j1 /L tot, το λόγο των ακτίνων των ασ τέρων R 2 R 1, το λόγο των θερμοκρασ ιων T 2 T 1, τα τροποποιημένα δυναμικά των ασ τέρων (Ω 1 = Ω 2 ) και τις παραμέτρους των κηλίδων. Αυτές περιλαμβάνουν: το ασ τρικό πλάτος της κηλίδας, μετρούμενο σ ε μοίρες από 0 o σ τον πόλο +z έως 180 o σ τον πόλο -z, το ασ τρικό μήκος της κηλίδας μετρούμενο από 0 o έως 360 o αντίθετα από τη φορά των δεικτών του 191

195 8. Προσ διορισ μός απόλυτων παραμέτρων και η φύσ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή HI Dra ρολογιού, όπως φαίνεται για έναν παρατηρητή που κοιτά από τον πάνω πόλο προς τα κάτω, ξεκινώντας από τη γραμμή που σ υνδέει τους δύο ασ τέρες, την ακτίνα της κηλίδας σ ε μοίρες και τον παράγοντα θερμοκρασ ίας της κηλίδας T spot /T local, όπου T spot είναι η θερμοκρασ ία της κηλίδας και T local η τοπική ενεργός θερμοκρασ ία της προσ κείμενης φωτόσ φαιρας. Τα Μοντέλα 1 και 2 με τις κηλίδες παρισ τάνονται σ το Σχήμα 8.1 με μπλέ και κόκκινη γραμμή αντίσ τοιχα. Από τις παραμέτρους του Πίνακα 8.3 αλλά και το Σχήμα 8.1, φαίνεται ότι το Μοντέλο 1 αντισ τρέφει τα βάθη των ελαχίσ των και οδηγεί τον HI Dra σ την υποκατηγορία Α, όπως αναμένεται από το μικρό λόγο των μαζών ενώ το Μοντέλο 2 τον οδηγεί σ την υποκατηγορία W με λίγο χειρότερα αποτελέσ ματα προσ αρμογής ( 6-10)% απ ότι το Μοντέλο 1. Οι διαφορές μεταξύ των παρατηρησ ιακών και σ υνθετικών καμπυλών της καλύτερης προτεινόμενης λύσ ης δηλαδή του Μοντέλου 1 παρουσ ιάζονται σ το κάτω μέρος του Σχήματος 8.1. Αν και η μέθοδος σ άρωσ ης σ το χώρο των λύσ εων με διαταραχή παραμέτρων (Prša & Zwitter, 2005) είναι μία μέθοδος Monte-Carlo η οποία χρησ ιμοποιεί μεθόδους ελαχισ τοποίησ ης για πολλές επαναλήψεις, ανατροφοδοτώντας κάθε φορά τις τιμές των παραμέτρων με τις νέες που έχουν προκύψει από την προηγούμενη επανάληψη, (Maceroni et al. 2009, Deb & Singh 2011), η μέθοδος Monte Carlo (MC) εφαρμόσ τηκε και ξεχωρισ τά για την ανάλυσ η πολλών νέων τεχνητών δεδομένων που δημιουργήθηκαν από τις παρατηρήσ εις με τον ίδιο θόρυβο. Οπως ήταν αναμενόμενο, τα τυχαία μετατοπισ μένα αρχικά δεδομένα που δημιουργήθηκαν (3000 data sets για κάθε φίλτρο) ακολουθούν μία κανονική κατανομή με μέσ ο όρο μηδέν και σ ταθερή απόκλισ η, τη σ ταθερή απόκλισ η των παρατηρήσ εων κάθε φίλτρου. Τα σ φάλματα που εξήχθησ αν με τη μέθοδο MC είναι της ιδιας τάξης με τα σ φάλματα από τη σ άρωσ η σ το χώρο των λύσ εων για το μοντέλο Μοντέλο 1 (υποκατηγορία Α) και υπερεκτιμημένα για το Μοντέλο 2 (υποκατηγορία W). Με βάσ η αυτό το σ υμπέρασ μα υιοθετήθηκαν και τα σ φάλματα του Πίνακα 8.3. Τα αποτελέσ ματα σ το χώρο των λύσ εων γιατο δυναμικό και την κλίσ η (Ω-i) και για τα δύο μοντέλα με τις κηλίδες φαίνονται σ το Σχήμα 8.3, ενώ οι ισ όχωρες σ το χώρο των λύσ εων του λόγου των ενεργών θερμοκρασ ιών και του λόγου των ακτίνων ( T 2 T 1 - R 2 R 1 ) σ το Σχήμα 8.4. Τα διαφορετικά χρώματα παρισ τάνουν την τιμή της σ υνάρτησ ης χ 2 (με τα πιο κυανά να αντισ τοιχούν σ την υψηλότερη τιμή χ 2 ) και επιτρέπουν μία άμεσ η επιβεβαίωσ η των αποτελεσ μάτων των παραπάνω μεθόδων (MC για το Μοντέλο 1 και σ άρωσ η σ το χώρο των λύσ εων με διαταραχή παραμέτρων για το Μοντέλο 2). Επιπλέον η επιπρόσ θεσ η κηλίδας σ το αρχικό μοντέλο, ελέγχθηκε με τον σ τατισ τικό έλεγχο, F-test (Νumerical Recipes, Press et al. 1986) προκειμένου να διαπισ τωθεί εάν τα δύο μοντέλα (με κηλίδα ή χωρίς) έχουν τις ίδιες διακυμάνσ εις. Η σ τατισ τική έδειξε ότι για την περίπτωσ η του Μοντέλου 1, F= με πιθανότητα και για το Μοντέλο 2, F-test= με πιθανότητα , άρα και σ τις δύο περιπτώσ εις η πιθανότητα να έχουν ίσ ες διακυμάνσ εις είναι μικρή. Η τρισ διάσ τατη απεικόνισ η των δύο Μοντέλων 1 και 2 με κηλίδες σ τις υποκατηγορίες A και W αντίσ τοιχα των W UMa φαίνεται σ τα Σχήματα 8.5a και 5b αντίσ τοιχα (με βάσ η το πρόγραμμα Binary maker version 3.0, Bradstreet and Steelman 2002). 192

196 8. Προσ διορισ μός απόλυτων παραμέτρων και η φύσ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή HI Dra Πίνακας 8.3.: Τελικές παράμετροι των μοντέλων του HI Dra Παράμετρος Μοντέλο 1 Μοντέλο 2 α(r ) 3.86± ±0.02 f (%) 24±7 21±4 i( o ) 54.0± ±0.9 q=m 2 /M 1 (fixed) 4.00± ±0.08 L V 1 /L tot 0.195± ±0.007 L Rc1/L tot 0.199± ±0.006 L Ic1/L tot 0.202± ±0.006 R 2 /R ± ±0.01 T 2 /T ± ±0.01 Ω 1 = Ω ± ± 0.03 g 1 (fixed) g 2 (fixed) A 1 (fixed) A 2 (fixed) Παράμετροι των κηλίδων Colatitude( o ) Radius( o ) Longitude( o ) T spot / T local Φυσ ικές παράμετροι του HI Dra T 1 (K) 6890 ± ± 90 T 2 (K) 7220 ± ± 90 M 1 (M ) 0.43± ±0.02 M 2 (M ) 1.72± ±0.02 R 1 (R ) 1.08± ±0.01 R 2 (R ) 1.98± ±0.01 L 1 (L ) 2.4± ±0.5 L 2 (L ) 9.6± ±0.5 HJD (9) P (d) * ψυχρή κηλίδα σ τον ψυχρότερο ασ τέρα με την μικρότερη μάζα **θερμή κηλίδα σ τον ψυχρότερο ασ τέρα με την μεγαλύτερη μάζα 193

197 8. Προσvδιορισvμός απόλυτων παραμέτρων και η φύσvη του διπλού σvυσvτήματος σvε επαφή HI Dra Ω Ω i ( ) i ( ) T2/T1 T2/T1 Σχήμα 8.3.: Τα αποτελέσvματα σvτο χώρο των λύσvεων για τις παραμέτρους δυναμικό και κλίσvη (Ω-i ) για τα Μοντέλα 1 και 2 με τις κηλίδες, σvτις υποκατηγορίες Α (αρισvτερά) και W (δεξιά) αντίσvτοιχα, Τα διαφορετικά χρώματα παρισvτάνουν την τιμή της σvυνάρτησvης χ2, με τα πιο κυανά να αντισvτοιχούν σvτην υψηλότερη τιμή χ2 εκεί όπου βρίσvκεται και η προτεινόμενη λύσvη R2/R1 R2/R1 Σχήμα 8.4.: Καμπύλες ίσvου χ2 σvτο χώρο των λύσvεων του λόγου των ενεργών θερμοκρασvιών R2 και του λόγου των ακτίνων ( TT21 - R ), για τα Μοντέλα 1 και 2 με τις κηλίδες, σvτις 1 υποκατηγορίες Α (αρισvτερά) και W (δεξιά) αντίσvτοιχα. Τα διαφορετικά χρώματα παρισvτάνουν την τιμή της σvυνάρτησvης χ2, με τα πιο κυανά να αντισvτοιχούν σvτην υψηλότερη τιμή χ2 εκεί όπου βρίσvκεται και η προτεινόμενη λύσvη

198 8. Προσ διορισ μός απόλυτων παραμέτρων και η φύσ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή HI Dra phase = 0,00 phase = 0,75 Σχήμα 8.5.: Γεωμετρική αναπαράσ τασ η του σ υσ τήματος HI Dra με το Μοντέλο 1 (υποκατηγορία Α) σ τη φάσ η 0.0 (αρισ τερά) και με το Μοντέλο 2 (υποκατηγορία W) σ τη φάσ η 0.75 (δεξιά) Συζήτησ η των αποτελεσ μάτων και σ υμπεράσ ματα Στην παρούσ α μελέτη του εκλειπτικού σ υσ τήματος σ ε υπερεπαφή HI Dra, προτείνονται δύο μοντέλα με κηλίδες τα οποία διερευνούνται εξονυχισ τικά τις με σ τατισ τικές μεθόδους Monte Carlo/σ άρωσ η σ το χώρο των λύσ εων με διαταραχή παραμέτρων, με σ κοπό την αποφυγή τοπικών ελαχίσ των σ το χώρο των λύσ εων και τον προσ διoρισ μό των παραμέτρων του σ υσ τήματος με σ τατισ τικά και πιο ρεαλισ τικά σ φαλματα. Τα αποτελέσ ματα της ανάλυσ ης των νέων V, Rc, Ic, CCD φωτομετρικών δεδομενων σ ε σ υνδυασ μό με τη γνώσ η φασ ματοσ κοπικών παραμέτρων από τη βιβλιογραφία, αποκαλύπτουν ότι το σ ύσ τημα HI Dra μπορεί να περιγραφεί κάτω από δύο προσ εγγίσ εις: ως υποκατηγορίας A με μία ψυχρή κηλίδα σ τον ψυχρό ασ τέρα με τη μικρότερη μάζα ή ως υποκατηγορίας W με μία θερμή κηλίδα σ το ψυχρό ασ τέρα με τη μεγαλύτερη μάζα. Αν και δεν είναι εύκολη η διάκρισ η μεταξύ των δύο, με βάσ η το σ ταθμισ μένο άθροισ μα των τετραγώνων των διαφορών των παρατηρηθεισ ών φωτομετρικών καμπυλών από τις σ υνθετικές (αφού και τα δύο μοντέλα είναι σ ε σ υμφωνία τόσ ο με τα φωτομετρικά όσ ο και με τα φασ ματοσ κοπικά δεδομένα), το καλύτερο μοντέλο αναφέρεται σ το σ χηματισ μό υποκατηγρορίας A ο οποίος παρουσ ιάζει και το σ υγκριτικό πλεονέκτημα να μειώνει τον εξαγόμενο ακραίο λόγο των θερμοκρασ ιών του αρχικού μοντέλου υποκατηγορίας W (αρχική τιμή T 2 T 1 = ± 0.006). Ο σ υνδυασ μός των εξαγόμενων παραμέτρων με βάσ η τη λύσ η των φωτομετρικών καμπυλών με τα φασ ματοσ κοπικά σ τοιχεία, δίνει τη δυνατότητα υπολογισ μού των απόλυτων παραμέτρων του σ υσ τήματος. Με βάσ η τον εξαγόμενο λόγο των θερμοκρασ ιών T 2 T 1 και το λόγο των ακτίνων, υπολογίσ θηκε η ενεργός θερμοκρασ ία του 195

199 8. Προσ διορισ μός απόλυτων παραμέτρων και η φύσ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή HI Dra κάθε ασ τέρα-μέλους από την εξίσ ωσ η (6.3) (Zwitter et al. 2003), υιοθετώντας για το φασ ματικό τύπο του σ υσ τήματος F1V. Τα αποτελέσ ματα παρουσ ιάζονται σ το κάτω μέρος του Πίνακα 8.3 με τα σ τατισ τικά τους σ φάλματα μέσ ω διάδοσ ης σ φάλματος, όπως περιγράφηκε σ την προηγούμενη ενότητα. Προκειμένου να κριθεί ποιό μοντέλο είναι φυσ ικά πιο πιθανό, οι υπολογιζόμενες παράμετροι των ασ τέρων-μελών τοποθετήθηκαν πάνω σ ε διάγραμμα μάζας-φωτεινότητας (Σχήμα 8.6) μαζί με τα πιο καλά μελετημένα σ υσ τήματα σ ε υπερεπαφή. Αυτά περιλαμβάνουν σ υσ τήματα από τους Yakut & Eggleton (2005), Li et al. (2008), και Christopoulou et al. (2012). Οπως είναι εμφανές από το Σχήμα 8.6, η θέσ η και των δύο ασ τέρων -μελών ευνοεί την κατάταξή του σ την υποκατγορία A των σ υσ τημάτων W UMa. Ο πρωτεύων ασ τέρας (μεγαλύτερης μάζας) βρίσ κεται σ την κύρια ακολουθία ενώ ο δευτερεύων (μικρότερης μάζας) είναι υπερμεγέθης και υπερφωτεινός για τη μάζα του. Στην πράξη, η ακτίνα του δευτερεύοντα ασ τέρα 1.08±0.02 R, είναι σ χεδόν διπλάσ ια από την αντίσ τοιχη ενός ασ τέρα κύριας ακολουθίας με μάζα M=0.43±0.02 M, και σ υμφωνεί με τη γενικότερη διαφορά των ακτίνων που παρουσ ιάζουν και άλλα σ υσ τήματα υποκατηγορίας A των διπλών W UMa (Yildiz 2013). Αυτή η υπερακτίνα σ ε σ υνδυασ μό με την διαφορά θερμοκρασ ιών μεταξύ των ασ τέρων-μελών, υποδηλώνει ότι το σ ύσ τημα πιθανόν να έχει υποσ τεί μεταφορά μάζας σ το παρελθόν. Αν και ο πρωτεύων ασ τέρας με μάζα 1.72 ± 0.08M και ακτίνα 1.98 ± 0.03 R, βρίσ κεται πάνω σ την κύρια ακολουθία του Σχήματος 8.6, η ακτίνα ZAMS για έναν ασ τέρα παρόμοιας μάζας (περίπου 1.55 R ), υποδηλώνει ότι το σ ύσ τημα πρέπει να είναι εξελιγμένο, γεγονός που σ υμφωνεί με την ταξινόμησ ή του σ την υποκατηγορία A. Αυτό το σ υμπέρασ μα επιβεβαιώνει και η θέσ η του σ το διάγραμμα μάζας-ακτίνας των πρωτευόντων ασ τέρων 51 A και 49 W διπλών W UMa, των Yildiz & Dogan (2013) (σ χήμα 1b σ την εργασ ία τους). Συμπερασ ματικά η παρούσ α φωτομετρική και φασ ματοσ κοπική ανάλυσ η του σ υσ τήματος δείχνει ότι το σ ύσ τημα HI Dra είναι ένα εκλειπτικό σ ύσ τημα υπερεπαφής W UMa υποκατηγορίας Α, μικρής κλίσ ης με παράγοντα πλήρωσ ης περίπου 24% και διαφορά θερμοκρασ ιας μεταξύ των μελών του 330 K. Το καλύτερο μοντέλο με το οποίο αναπαρισ τάνονται όλες οι φωτομετρικές καμπύλες περιλαμβάνει την παρουσ ία μίας ψυχρής κηλίδας πάνω σ τον ασ τέρα με τη μικρότερη μάζα. Πρόσ φατα οι Yildiz & Dogan (2013) ανέπτυξαν μέθοδο υπολογισ μού των αρχικών μαζών των προγεννητόρων ασ τέρων των διπλών σ υσ τημάτων με βάσ η την παρατηρούμενη υπερφωτεινότητα του ενός ασ τέρα και το μηχανισ μό απώλειας μάζας. Η κύρια υπόθεσ η της μεθόδου είναι ότι η μεταφορά μάζας ξεκινά κοντά ή μετά τη φάσ η TAMS του ασ τέρα με την αρχικά μεγαλύτερη μάζα ο οποίος είναι ο προγεννήτορας του τωρινού ασ τέρα με τη μικρότερη. Σύμφωνα, με τη μελέτη τους τα διπλά σ υσ τήματα με αρχική μάζα μεγαλύτερη από 1.8 ±0.1 M εξελίσ σ ονται σ την υποκατηγορία A, ενώ τα σ υσ τήματα με αρχική μάζα μικρότερη από αυτό το όριο εξελίσ σ ονται σ την υποκατηγορία W. Εφαρμόζοντας αυτή τη μέθοδο σ το σ ύσ τημα HI Dra, υπολογίσ τηκε ότι η μάζα του προγεννητόρα ασ τέρα που τώρα έχει τη μικρότερη μάζα (0.43 ±0.02 M ) είναι 2.25±0.07 M, και άρα σ ύμφωνα με το παραπάνω κριτήριο, το σ ύσ τημα HI Dra θα πρέπει να έχει εξελιχτεί σ ε τύπου A, όπως προβλέπεται με το καλύτερο μοντέλο της παρούσ ας ανάλυσ ης. Υπολογίζοντας ότι η αρχική μάζα του προγεννήτορα του ασ τέρα που τώρα έχει τη μεγαλύτερη μάζα είναι 1.11±0.03 M, η σ υνολικά υπολογιζόμενη αρχική μάζα του σ υσ τήματος (3.36M ) σ υμφωνεί με τη μέσ η τυπική ολική μάζα των σ υσ τημάτων της υποκατηγορίας A που είναι 3M (Yildiz & Dogan, 2013). Επι- 196

200 8. Προσ διορισ μός απόλυτων παραμέτρων και η φύσ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή HI Dra log(l/l ) log(m/m ) Wtype-pri Wtype-sec Atype-pri Atype-sec ZAMS TAMS HIDra-pri-Atype HIDra-sec-Atype HIDra-pri-Wtype HIDra-sec-Wtype Σχήμα 8.6.: Η θέσ η των ασ τέρων -μελών του σ υσ τήματος HI Dra σ το διάγραμμα logmlogl των εκλειπτικών διπλών σ υσ τημάτων W UMa υποκατηγορίας Α και W. Τα τρίγωνα και οι κύκλοι σ υμβολίζουν τους ασ τέρες με τη μεγαλύτερη μάζα (πρωτεύοντες) και τα ανάσ τροφα τρίγωνα και τα τετράγωνα σ υμβολίζουν τους ασ τέρες με τη μικρότερη μάζα (δευτερεύοντες) των δύο τύπων αντίσ τοιχα. Με γεμάτα σ ύμβολα παρισ τάνονται οι ασ τέρες-μέλη του HI Dra και με ανοικτά των υπόλοιπων σ υσ τημάτων. Το δείγμα των σ υσ τημάτων W UMa σ το διάγραμμα logm-logl προέρχεται από τα δεδομένα των Yakut & Eggleton (2005), Li et al. (2008) και τον Πίνακα 5.9. Οι γραμμές παρισ τάνουν την ZAMS (σ υνεχής) και TAMS (διακεκομμένη), με βάσ η τον κώδικα BSE (Hurley et al. 2002) για ηλιακή μεταλλικότητα. 197

201 8. Προσ διορισ μός απόλυτων παραμέτρων και η φύσ η του διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή HI Dra πλέον, ένας πρόχειρος υπολογισ μός της ηλικίας του σ υσ τήματος, σ ύμφωνα με τη μέθοδο του Yildiz (2014) (με βάσ η τη διάρκεια της κάθε φάσ ης αποχωρισ μένη-ημιαποχωρισ μένη-επαφή) δείχνει ότι το διπλό σ ύσ τημα HI Dra έχει ηλικία περίπου 2.4 Gyr. Δυσ τυχώς ο περιορισ μένος αριθμός των χρόνων ελαχίσ του δεν επιτρέπει την ανίχνευσ η πιθανής μεταβολής περιόδου η οποία μπορεί να υποδηλώνει μεταφορά μάζας μεταξύ των ασ τέρων-μελών. Συνεπώς, χρειάζεται ένα μακρόχρονο και σ υσ τηματικό πρόγραμμα καταγραφής των χρόνων ελαχίσ των μεγάλης ακρίβειας με σ κοπό τη μελέτη της περιόδου. Θα πρέπει να σ ημειωθεί ότι σ τη βιβλιογραφία πρόσ φατα υπήρξε και άλλη μία νέα μελέτη του σ υσ τήματος HI Dra από τους Caliskan et al. (2014), μαζί με άλλα σ υσ τήματα σ ε υπερεπαφή. Αν και οι εξαγόμενες απόλυτες παράμετροι τους σ υμφωνούν με τις παρούσ ες, το παρόν μοντέλο που προτείνεται (υποκατηγορία A) είναι πιο πιθανό, καθώς βασ ίζεται σ ε λεπτομερή ανάλυσ η και διερεύνησ η της μοναδικότητας σ το χώρο των λύσ εων και σ την εξελικτική του κατάσ τασ η. Εν τούτοις, χωρίς επιπλέον παρατηρησ ιακούς περιορισ μούς όπως είναι π.χ η τομογραφία Doppler δεν είναι δυνατόν να καθορισ τεί η αληθής θέσ η των κηλίδων πάνω σ την ασ τρική επιφάνεια. 198

202 Βιβλιογραφία [Berry & Burnell (2000)] Berry, R., & Burnell, J., 2000, The Handbook of Astronomical Image Processing (Richmond, VA: Willmann-Bell) [Bradstreet & Steelman(2002)] Bradstreet, D. H., & Steelman, D. P. 2002, Bulletin of the American Astronomical Society, 34, 1224 [Binnendijk(1970)] Binnendijk, L. 1970, Vistas in Astronomy, 12, 217 [Caliskan et al.(2014)] Caliskan, S., Latkovic, O., Djurasevic, G., et al. 2014, arxiv: [Christopoulou & Papageorgiou(2013)] Christopoulou, P.-E., & Papageorgiou, A. 2013, AJ, 146, 157 [Christopoulou et al.(2012)] Christopoulou, P.-E., Papageorgiou, A., Vasileiadis, T., & Tsantilas, S. 2012, AJ, 144, 149 [Cox(2000)] Cox, A. N. 2000, Allen s Astrophysical Quantities, fourth ed. Springer, New York, pp. 388 [Deb & Singh(2011)] Deb, S., & Singh, H. P. 2011, MNRAS, 412, 1787 [Eker et al.(2006)] Eker, Z., Demircan, O., Bilir, S., & Karataş, Y. 2006, MNRAS, 373, 1483 [ESA(1997)] ESA 1997, VizieR Online Data Catalog, 1239, 0 [Espin(1905)] Espin, T. E. 1905, MNRAS, 65, 710 [Gomez-Forrellad et al.(1999)] Gomez-Forrellad, J. M., Garcia-Melendo, E., Guarro-Flo, J., Nomen-Torres, J., & Vidal-Sainz, J. 1999, Information Bulletin on Variable Stars, 4702, 1 [Hoňková et al.(2013)] Hoňková, Juryšek J., Lehký M., Šmelcer L., Trnka J., Mašek M. & Urbanik M. 2013, K., Open European Journal on Variable Stars, 0160, 76 [Hurley et al.(2002)] Hurley, J. R., Tout, C. A., & Pols, O. R. 2002, MNRAS, 329, 897 [Kazarovets et al.(1999)] Kazarovets, E. V., Samus, N. N., Durlevich, O. V., et al. 1999, Information Bulletin on Variable Stars, 4659, 1 [Kwee & van Woerden(1956)] Kwee, K. K., & van Woerden, H. 1956, Bull. Astron. Inst. Neth., 12,

203 Βιβλιογραφία [Li et al.(2008)] Li, L., Zhang, F., Han, Z., Jiang, D., & Jiang, T. 2008, MNRAS, 387, 97 [Liakos & Niarchos(2011)] Liakos, A., & Niarchos, P. 2011, Information Bulletin on Variable Stars, 6005, 1 [Maceroni et al.(2009)] Maceroni, C., Montalbán, J., Michel, E., et al. 2009, A&A, 508, 1375 [Mason et al.(2014)] Mason, B. D., Wycoff, G. L., Hartkopf, W. I., Douglass, G. G., & Worley, C. E. 2014, VizieR Online Data Catalog, 1, 2026 [McDonald et al.(2012)] McDonald, I., Zijlstra, A. A., & Boyer, M. L. 2012, MNRAS, 427, 343 [Papageorgiou et al.(2014)] Papageorgiou, A., Christopoulou, P.-E., Pribulla, T. & Vaňko M., 2014, Ap&SS, in press [Pribulla et al.(2009)] Pribulla, T., Rucinski, S. M., Blake, R. M., et al. 2009, AJ, 137, 3655 [Press et al.(1986)] Press, W. H., Flannery, B. P., & Teukolsky, S. A. 1986, Cambridge: University Press, 1986 [Prša & Zwitter(2005)] Prša, A., & Zwitter, T. 2005, ApJ, 628, 426 [Prša& Zwitter(2005b)] Prša, A., & Zwitter, T. 2005b, The Three-Dimensional Universe with Gaia, 576, 611 [Rucinski et al.(2013)] Rucinski, S. M., Pribulla, T., & Budaj, J. 2013, AJ, 146, 70 [Selam(2004)] Selam, S. O. 2004, A&A, 416, 1097 [van Leeuwen(2007)] van Leeuwen, F. 2007, A&A, 474, 653 [Wilson & Biermann(1976)] Wilson, R. E., & Biermann, P. 1976, A&A, 48, 349 [Yakut & Eggleton(2005)] Yakut, K., & Eggleton, P. P. 2005, ApJ, 629, 1055 [Yildiz & Doğan(2013)] Yildiz, M., & Doğan, T. 2013, MNRAS, 430, 2029 [Yıldız(2014)] Yıldız, M. 2014, MNRAS, 437,

204 9. Φωτομετρικές παρατηρήσ εις διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων του πεδίου Kepler με το τηλεσ κόπιο Αρίσ ταρχος (2.3m) 9.1. Εισ αγωγή Τα τελευταία χρόνια, η διασ τημική αποσ τολή Kepler κατέκλυσ ε τις ασ τρονομικές βάσ εις δεδομένων με νέα, υψηλής ακρίβειας, φωτομετρικά δεδομένα από διπλά εκλειπτικά σ υσ τήματα ασ τέρων. Το επισ τημονικό πρόγραμμα EBAI (Prša et al. 2008, 2011, Slawson et al. 2011) χρησ ιμοποιώντας τεχνητά νευρωνικά δίκτυα και τις φωτομετρικές καμπύλες από την διασ τημική αποσ τολή Kepler, υπολόγισ ε, για χιλιάδες σ υσ τήματα σ ε επαφή, τις βασ ικές παραμέτρους τους: το λόγο των μαζών των μελών του σ υσ τήματος q, το λόγο των ενεργών θερμοκρασ ιών T 2 T 1, τον παράγοντα πλήρωσ ης f και την κλίσ η i του επιπέδου περιφοράς των ασ τέρων ως προς την ευθεία οράσ εως. Παρά τα πλεονεκτήματα των δεδομένων που προέρχονται από την διασ τημική αποσ τολή Kepler, χρειάζονται σ υσ τηματικές φωτομετρικές παρατηρήσ εις με επίγεια τηλεσ κόπια, σ ε διάφορες φασ ματικές περιοχές για την εξαγωγή των φυσ ικών και γεωμετρικών χαρακτηρισ τικών των σ υσ τημάτων τα οποία παρουσ ιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον, όπως ασ υμμετρίες σ την καμπύλη φωτός, χρονικές μεταβολές των εκλείψεων των μελών τους ή είναι εν δυνάμει τριπλά σ υσ τήματα. Το πρόγραμμα φωτομετρικών παρατηρήσ εων διπλών σ υσ τημάτων ασ τέρων τύπου W UMa με ιδιαίτερο ενδιαφέρον, τα οποία παρατηρήθηκαν εκ νέου ή ανακαλύφθηκαν από τη διασ τημική αποσ τολή Kepler, χρησ ιμοποιώντας το τηλεσ κόπιο 2.3m Αρίσ ταρχος του Ασ τεροσ κοπείου του Χελμού, περιλαμβάνει σ ε πρώτη φάσ η, τα διπλά εκλειπτικά σ υσ τήματα τα οποία παρουσ ιάζονται σ τον Πίνακα 9.1. Στο παρόν κεφάλαιο παρουσ ιάζονται οι φωτομετρικές παρατηρήσ εις, η ανάλυσ η, η μοντελοποίησ η καθώς και τα σ υμπεράσ ματα που έχουν προκύψει για δύο από τα διπλά εκλειπτικά σ υσ τήματα, KIC , KIC του προγράμματος με εν δυνάμει τρίτο σ υνοδό, όπως υποδεικνύει η ανάλυσ η της χρονικής μεταβολής των εκλείψεων τους (Conroy et al. 2014), ενώ υπό επεξεργασ ία και ανάλυσ η βρίσ κονται και τα υπόλοιπα σ υσ τήματα ασ τέρων του Πίνακα Επίγειες CCD φωτομετρικές παρατηρήσ εις και επεξεργασ ία δεδομένων Οι φωτομετρικές παρατηρήσ εις πραγματοποιήθηκαν κατά την περίοδο Ιουλίου-Αυγούσ του 2013 και Αυγούσ του 2014 (σ υνολικά 16 νύχτες) με το τηλεσ κόπιο Ritchey-Chretien Αρίσ ταρχος 201

205 9. Φωτομετρικές παρατηρήσ εις διπλών σ υσ τημάτων του πεδίου Kepler με το τηλεσ κόπιο Αρίσ ταρχος (2.3m) Πίνακας 9.1.: Επιλεγμένα σ υσ τήματα από τον κατάλογο Kepler Input Catalog KIC RA J2000 (h:m:s) Dec J2000 (d:m:s) Kp Per(d) Πίνακας 9.2.: Πληροφορίες παρατηρήσ εων 2.3m του Ασ τεροσ κοπείου του Χελμού. Το τηλεσ κόπιο είναι εξοπλισ μένο με CCD κάμερα Princeton Instruments VersArray 1024B με ψύξη υγρού αζώτου και αισ θητήρα μεγέθους εικονοσ τοιχεία. Το μέγεθος του κάθε εικονοσ τοιχείου αντισ τοιχεί σ ε 0.28 arcsec και σ υνολικά το οπτικό πεδίο καταγράφει arcmin 2 σ την ουράνια σ φαίρα (Πίνακας 2.1). Για τις φωτομετρικές παρατηρησ εις χρησ ιμοποιήθηκαν φωτομετρικά φίλτρα BV RI. Τα διπλά εκλειπτικά σ υσ τήματα που παρατηρήθηκαν σ υγκεντρώνονται σ τον Πίνακα 9.1 μαζί με πληροφορίες σ χετικά με τη θέσ η τους (RΑ, Dec), την περίοδο περιφοράς P er (σ ε ημέρες, d), και το μέγεθος τους (Kp). Η επεξεργασ ία, ασ τρομετρία και φωτομετρία των παρατηρησ ιακών δεδομένων έγινε μέσ ω της πλήρως αυτοματοποιημένης ρουτίνας που κατασ κευάσ τηκε χρησ ιμοποιώντας τα ασ τρονομικά υπολογισ τικά πακέτα IRAF και Astrometry.net (βλ. ενότητα 2.3). Τα σ υσ τήματα που αναλύθηκαν είναι τα KIC , KIC , και πληροφορίες σ χετικά με τους ασ τέρες που χρησ ιμοποιήθηκαν σ τη φωτομετρία παρουσ ιάζονται σ τον Πίνακα 9.2. Συνολικά για το KIC ελήφθησ αν 948 εικόνες (240 σ το B, 238 σ το V, 238 σ το R και 232 σ το I) και για το KIC ελήφθησ αν 471 εικόνες (112 σ το B, 120 σ το V, 120 σ το R και 119 σ το I). 202

206 9. Φωτομετρικές παρατηρήσ εις διπλών σ υσ τημάτων του πεδίου Kepler με το τηλεσ κόπιο Αρίσ ταρχος (2.3m) Πίνακας 9.3.: Χρόνοι ελαχίσ των για τα διπλά εκλειπτικά σ υσ τήματα KIC και KIC HJD (d) error(d) type Ref II (1) II (1) II (1) II (1) II (1) II (1) II (1) II (1) I (2) II (2) I (2) II (2) I (2) II (2) I (2) II (2) Note: (1) KIC , (2) KIC Μοντελοποίησ η των καμπυλών φωτός Ο υπολογισ μός του χρόνου των ελαχίσ των έγινε χρησ ιμοποιώντας το λογισ μικό ΜΙΝΙΜΑ25 (Nelson, R. 1 ). Από την ανάλυσ η προέκυψαν οι χρονικές σ τιγμές ελαχίσ του φωτός, από τις οποίες τελικά έγιναν αποδεκτές αυτές που είχαν ακρίβεια υπολογισ μού 50 sec για το σ ύσ τημα KIC και 200 sec για το σ ύσ τημα KIC (Πίνακας 9.3). Η ασ τρονομική εφημερίδα υπολογισ μού των φάσ εων δημιουργήθηκε βάσ ει προσ αρμογής βέλτισ της ευθείας σ τους καταγεγραμμένους χρόνους ελαχίσ των, ενώ βελτιώθηκε χρησ ιμοποιώντας το τελικό μοντέλο που περιγράφεται παρακάτω μέσ ω του λογισ μικού Phoebescripter. Για το σ ύσ τημα KIC η νέα ασ τρονομική εφημερίδα δίνεται από τη σ χέσ η: M ini = (20) (1) Ε και για το σ ύσ τημα KIC από τη σ χέσ η: M ini = (10) (1) Ε Οι εξαγόμενες από τη διαφορική φωτομετρία καμπύλες φωτός (LCs) των σ υσ τημάτων σ ε κάθε φίλτρο (BV RI) παρισ τάνονται σ το Σχήμα 9.1 σ ε διάγραμμα διαφοράς μεγέθους ως προς την τροχιακή φάσ η, η οποία υπολογίσ τηκε σ ύμφωνα με τις παραπάνω εφημερίδες

207 9. Φωτομετρικές παρατηρήσ εις διπλών σ υσ τημάτων του πεδίου Kepler με το τηλεσ κόπιο Αρίσ ταρχος (2.3m) Σχήμα 9.1.: Φωτομετρικές και σ υνθετικές (μαύρη σ υνεχής γραμμή) καμπύλες των σ υσ τημάτων KIC (αρισ τερά) και KIC (δεξιά) σ τις διάφορες φασ ματικές περιοχές (B, V, R, I). Το σ ύσ τημα KIC (δεξιά) δείχνει ότι χωρίς την προσ θήκη τρίτου σ ώματος, το αρχικό μοντέλο (γκρί σ υνεχής καμπύλη) δεν μπορεί να περιγράψει σ ωσ τά τα παρατηρησ ιακά δεδομένα ιδίως σ τις εκλείψεις και μάλισ τα φαίνεται ότι η προσ αρμογή εξαρτάται από τη φασ ματική περιοχή. Για τη μοντελοποίησ η των φωτομετρικών καμπυλών χρησ ιμοποιήθηκε το λογισ μικό PHOEBE 0.31 scripter (Prša & Zwitter 2005a) με τη μέθοδο των πολλαπλών υποσ υνόλων (MMS) (Wilson & Biermann 1976) και διαφορικών διορθώσ εων. Για την εύρεσ η του ολικού ελαχίσ του του προβλήματος και τον υπολογισ μό των αβεβαιοτήτων των παραμέτρων χρησ ιμοποιήθηκαν οι εξής μέθοδοι: Η σ άρωσ η σ τον χώρο των λύσ εων με εφαρμογή διαταραχής σ τις παραμέτρους για την διερεύνησ η σ τον χώρο των παραμέτρων (Prša & Zwitter 2005b, Christopoulou & Papageorgiou 2013, Papageorgiou et al. 2014a,b) Γενετικοί αλγόριθμοι (Metcalfe 1999, Papageorgiou et al. 2002) 2014b, Charbonneau Αρχίζοντας την κατασ κευή του μοντέλου, για το κάθε σ ύσ τημα, χρησ ιμοποιήθηκαν ως αρχικές τιμές των παραμέτρων οι τιμές που υπολογίσ τηκαν με την μέθοδο των τεχνητών νευρωνικών δικτύων από τους Prša et al. (ΕΒΑΙ 2011). Αυτές περιλαμβάνουν: το λόγο των μαζών q = M 2 M 1, το λόγο των ενεργών θερμοκρασ ιών T 2 T 1 και την κλίσ η i του σ υσ τήματος ενω για την θερμοκρασ ία του ασ τέρα με τη μεγαλύτερη μαζα χρησ ιμοποιήθηκε η επικαιροποιημένη ενεργός θερμοκρασ ία του σ υσ τήματος από τους Huber et al. (2014). Ο λόγος των μαζών q, και η θερμοκρασ ία του ασ τέρα με την μεγαλύτερη μάζα δεν μεταβλήθηκαν κατα την διάρκεια της προσ αρμογής της βέλτισ της καμπύλης. Ως γεωμετρία του κάθε μοντέλου επιλέχθηκε σ ύσ τημα ασ τέρων σ ε υπερεπαφή (Ω 1 = Ω 2 ) αλλά χωρίς θερμική ισ ορροπία (Τ 2 Τ 1 ) κάτω από την υπόθεσ η κυκλικών τροχιών. 204

208 9. Φωτομετρικές παρατηρήσ εις διπλών σ υσ τημάτων του πεδίου Kepler με το τηλεσ κόπιο Αρίσ ταρχος (2.3m) Αρχικά, χωρίσ τηκαν οι παράμετροι σ ε δύο υποσ ύνολα ώσ τε να εφαρμοσ τεί η μέθοδος των πολλαπλών υποσ υνόλων (MMS) προσ αρμόζοντας βέλτισ τη καμπύλη ταυτόχρονα σ τα δεδομένα όλων των φασ ματικών περιοχών (B, V, R, I). Το πρώτο υποσ ύνολο περιείχε τις εξής παραμέτρους: την ενεργό θερμοκρασ ία Τ 1 του ασ τέρα με την μικρότερη μάζα, το ανηγμένο βαρυτικό δυναμικό Ω και τη φωτεινότητα σ ε κάθε φασ ματική περιοχή, ενώ το δεύτερο υποσ ύνολο περιείχε: την κλίσ η i του σ υσ τήματος, την ενεργό θερμοκρασ ία Τ 1 του ασ τέρα με την μικρότερη μάζα και τη φωτεινότητα σ ε κάθε φασ ματική περιοχή. Μετά από 50 επαναλήψεις του κάθε υποσ υνόλου, χρησ ιμοποιώντας την μέδοδο των διαφορικών διορθώσ εων (DC) σ ε σ υνδιασ μό με την μέθοδο Levenberg-Marquardt μέσ ω του λογισ μικού Phoebe-scripter, ακολούθησ αν 30 επαναλήψεις μεταβάλλοντας όλες τις παραμέτρους και των δύο υποσ υνόλων. Στο τέλος κάθε σ ύγκλισ ης, όλες οι παράμετροι διαταράχθηκαν 5% της τελικής τιμής τους και η διαδικασ ία σ ύγκλισ ης ξεκίνησ ε από την αρχή. Η διαδικασ ία αυτή επαναλήφθηκε 100 φορές (100 μοντέλα κατασ κευάσ τηκαν) για τη διερεύνησ η του χώρου των παραμέτρων. Τα αποτελέσ ματα καταχωρήθηκαν ξεχωρισ τά για την εναλλάξ σ ύγκλισ η των υποσ υνόλων και τη σ ύγκλισ η ταυτόχρονα όλων των παραμέτρων. Τα τελικά αποτελέσ ματα καταχωρήθηκαν σ ε ισ τογράμματα από τα οποία προέκυψε η μέσ η τιμή και η αβεβαιότητα κάθε παραμέτρου (Πίνακας 9.4) Το διπλό εκλειπτικό σ ύσ τημα KIC Το διπλό εκλειπτικό σ ύσ τημα ασ τέρων KIC ταξινομήθηκε από τους Prša et al. (ΕΒΑΙ 2011) ως σ ύσ τημα σ ε υπερεπαφή με λόγο μαζών q = 1.77, κλίσ η σ υσ τήματος i = 67 και παράγοντα πλήρωσ ης f = 51%, ενώ η επικαιροποιημένη ενεργός θερμοκρασ ία του σ υσ τήματος είναι T eff =4998 ± 143 K (Huber et al. 2014). Χρησ ιμοποιώντας τις προαναφερθείσ ες τιμές ως αρχικές τιμές σ το μοντέλο, τους σ υντελεσ τές της ανακλασ τικότητας της επιφανείας Α 1 =Α 2 =0.5, τους σ υντελεσ τές βαρυτικής αμαύρωσ ης επιφανείας g 1 =g 2 =0.32 (Lucy 1967) και τους σ υντελεσ τές για την αμαύρωσ η χείλους που βρέθηκαν μέσ ω παρεμβολής από πίνακες (van Hamme 1993), το μοντέλο σ υνέκλινε πολύ γρήγορα σ ε λύσ η. Οπως φαίνεται από το Σχήμα 9.1 (αρισ τερά) η βέλτισ τη καμπύλη της λύσ ης περιγράφει ικανοποιητικά τα παρατηρησ ιακά δεδομένα. Στη σ υνέχεια, έγινε σ άρωσ η σ τον χώρο των παραμέτρων ώσ τε να διαπισ τωθεί η σ ταθερότητα της λύσ ης και να εκτιμηθούν οι αβεβαιότητες και οι τελικές τιμές των παραμέτρων. Οδηγούμενοι από το γεγονός οτι το σ ύσ τημα KIC αποτελεί υποψήφιο τριπλό σ ύσ τημα (Conroy et al. 2014), δοκιμάσ τηκε να εισ αχθεί σ το προτεινόμενο μοντέλο τρίτο σ ώμα αλλά ανεπιτυχώς. Οι εξαγόμενες παράμετροι μαζί με τις αβεβαιότητες που προέκυψαν από την σ άρωσ η σ τον χώρο των παραμέτρων παρουσ ιάζονται σ τον Πίνακα 9.4. Στο Σχήμα 9.4 (πάνω) παρουσ ιάζεται η επιφάνεια του υποχώρου των παραμέτρων T 2 T 1 - R 2 R 1, όπου η λύσ η βρίσ κεται σ τη περιοχή με το διαβαθμισ μένο μπλέ χρώμα. Η διαβάθμισ η των χρωμάτων αντιπροσ ωπεύει τις τιμές των υπολοίπων χ 2, ενώ οι κλεισ τές καμπύλες, τις περιοχές σ ταθερής τιμής της ποσ ότητας χ 2. Επιπλέον, χρησ ιμοποιώντας το πακέτο γενετικών αλγορίθμων PIKAIA και το λογισ μικό Phoebe-scripter διερευνήθηκε ο χώρος των παραμέτρων για ολικό ελάχισ το. Το εύρος τιμών για τις θερμοκρασ ίες Τ 1, Τ 2, τέθηκε σ το διάσ τημα [4200Κ 6500Κ], του ανηγμένου βαρυτικού δυναμικού Ω, σ το διάσ τημα [ ], της κλίσ ης του σ υσ τήματος i σ το 205

209 9. Φωτομετρικές παρατηρήσ εις διπλών σ υσ τημάτων του πεδίου Kepler με το τηλεσ κόπιο Αρίσ ταρχος (2.3m) διάσ τημα [45 80 ] και της σ υνεισ φοράς του τρίτου σ ώματος σ ε κάθε φασ ματική περιοχή σ το διάσ τημα [0 %. Χρησ ιμοποιήθηκε η δυνατότητα που έχει το λογισ μικό Phoebe-scripter να υπολογίζει τις φωτεινότητες σ ε κάθε φασ ματική περιοχή, ενώ για τους σ υντελεσ τές ανακλασ τικότητας των επιφανειών των ασ τέρων καθώς και τους σ υντελεσ τές της βαρυτικής αμαύρωσ ης, τέθηκαν οι τυπικές τιμές δεδομένου του εύρους των θερμοκρασ ιών (Α 1 = Α 2 = 0.5, g 1 = g 2 = 0.32). Ο αρχικός πληθυσ μός, 120 λύσ εων, εξελίχθηκε για 1000 γενιές. Τα T αποτελέσ ματα του εντοπισ μού του ολικού ελαχίσ του (i, Ω, 2 R T 1, 2 R a, 1 a, σ υναρτήσ ει της σ υνάρτησ ης κόσ τους, CFV), από την ανάλυσ η με την μέθοδο των γενετικών αλγορίθμων παρουσ ιάζονται σ τo Σχήμα 9.2. Συγκεκριμένα σ τό Σχήμα 9.2 (μέσ η δεξιά) παρουσ ιάζεται η επιφάνεια του υποχώρου των παραμέτρων T 2 R T 1, 2 a, όπου το ολικό ελάχισ το εντοπίζεται σ τη μπλέ περιοχή της επιφάνειας. Οπως φαίνεται από το Σχήμα 9.2 τα τελικά αποτελέσ ματα σ υμφωνούν με τα ευρήματα της μεθόδου της σ άρωσ ης και επιβεβαιώνουν την ολικότητα του ελαχίσ του. Η σ υνεισ φορά του πιθανού τρίτου σ ώματος κυμαίνεται από (0-5)% με αυξανόμενη διεύθυνσ η σ υνεισ φοράς από την κυανή προς την υπέρυθρη περιοχή. Οι αβεβαιότητες τους όμως, είναι της ίδιας τάξεως και επομένως τα αποτελέσ ματα δεν μπορούν να επιβεβαιώσ ουν ή να απορρίψουν την ύπαρξη τρίτου σ υνοδού αφού και ένα ψυχρό σ ώμα θα είχε ελάχισ τη σ υνεισ φορά σ την σ υνολική φωτεινότητα. Υποθέτοντας ότι ο ασ τέρας με τη μεγαλύτερη μάζα είναι ασ τέρας κύριας ακολουθίας φασ ματικού τύπου Κ1 έγινε η εξαγωγή των φυσ ικών παραμέτρων του σ υσ τήματος. Μετά την αποσ ύζευξη των θερμοκρασ ιών σ ύμφωνα με την σ χέσ η 6.3, προέκυψαν οι τιμές των παραμέτρων: T h = 5092 ± 143 K, T c = 4939 ± 143 K, M h = 0.42 ± 0.10 M, M c = 0.76 ± 0.10 M, R h = 0.63 ± 0.09 R, R c = 0.82 ± 0.09 R, όπου οι δείκτες h και c υποδηλώνουν, το θερμότερο και το ψυχρότερο ασ τέρα αντίσ τοιχα. Από τα αποτελέσ ματα, προκύπτει ότι το KIC είναι ένα τυπικό διπλό εκλειπτικό σ ύσ τημα W UMa, υποκατηγορίας W. Σε αυτό το σ υμπέρασ μα σ υμφωνούν και οι θέσ εις των μελών του σ υσ τήματος σ τα εξελικτικά διαγράμματα Μάζας-Φωτεινότητας LogM LogL (Σχήμα 9.5, αρισ τερά) και Μάζας-Ακτίνας LogM LogR (Σχήμα 9.5, δεξιά). Τα μέλη του σ υσ τήματος ακολουθούν τα κοινά χαρακτηρισ τικά των σ υσ τημάτων υποκατηγορίας W όπου ο ασ τέρας με τη μεγαλύτερη μάζα βρίσ κεται κοντά σ την γραμμή κύριας ακολουθίας μηδενικής ηλικίας (ZAMS), ενώ ο ασ τέρας με την μικρότερη μάζα εμφανίζεται υπερμεγέθης και υπερφωτεινός σ ε σ χέσ η με έναν ασ τέρα ίδιου φασ ματικού τύπου κύριας ακολουθίας Το διπλό εκλειπτικό σ ύσ τημα KIC Το διπλό εκλειπτικό σ ύσ τημα ασ τέρων KIC ταξινομήθηκε από τους Prša et al. (ΕΒΑΙ, 2011) ως σ ύσ τημα σ ε υπερεπαφή με λόγο μαζών q = 1.75, κλίσ η σ υσ τήματος i = 81 και παράγοντα πλήρωσ ης f = 23%, ενώ η επικαιροποιημένη ενεργός θερμοκρασ ία του σ υσ τήματος είναι T eff = 5545 ± 175 K (Huber et al. 2014). Ακολουθώντας την ίδια μεθοδολογία που περιγράφηκε προηγουμένως για το σ ύσ τημα KIC , δηλαδή ξεκινώντας το αρχικό μοντέλο με τις τιμές των παραμέτρων που προέκυψαν από το ΕΒΑΙ, δεν ήταν εφικτό να δημιουργηθεί ένα αρχικό μοντέλο που να περιγράφει ικανοποιητικά τις φωτομετρικές καμπύλες. Ομως, λόγω της μεγάλης κλίσ ης του σ υσ τήματος, όπως φαίνεται και από το Σχήμα 9.1 (δεξιά) παρατηρείται ολική έκλειψη του θερμότερου ασ τέρα. Γι αυτό, 206

210 9. Φωτομετρικές παρατηρήσvεις διπλών σvυσvτημάτων του πεδίου Kepler με το τηλεσvκόπιο Αρίσvταρχος (2.3m) R2/R T2/T1 Σχήμα 9.2.: Η κλίσvη του σvυσvτήματος incl(deg) του ανηγμένου βαρυτικού δυναμικού Ω, του λόγου των θερμοκρασvιών TT21, και των σvχετικών ακτίνων Ra1, Ra2 ως προς τη σvυνάρτησvη κόσvτους Φ, όπως προέκυψαν από την μέθοδο των γενετικών αλγορίθμων (PIKAIA) για το διπλό εκλειπτικό σvύσvτημα KIC Επιπλέον R2 παρουσvιάζεται η τομή [ TT21 - R ] του χώρου των παραμέτρων (μέσvη δεξιά) όπου 1 φαίνεται η λύσvη σvτη μπλέ περιοχή. 207

211 9. Φωτομετρικές παρατηρήσ εις διπλών σ υσ τημάτων του πεδίου Kepler με το τηλεσ κόπιο Αρίσ ταρχος (2.3m) επιχειρήθηκε η εκτίμησ η του φωτομετρικού λόγου των μαζών q μέσ α από διαδικασ ία σ άρωσ ης (q-scan) σ το διάσ τημα τιμών , από την οποία προέκυψε ότι η ελαχισ τοποίησ η του αθροίσ ματος των υπολοίπων μοντέλου-παρατηρησ ιακών δεδομένων (χ 2 ) έγινε σ την περιοχή q = 2.9 ± 0.1. Υιοθετώντας την τιμή αυτή για το φωτομετρικό λόγο των μαζών q και διατηρώντας την σ ταθερή, κατά την διάρκεια της προσ αρμογής βέλτισ της καμπύλης (σ ύμφωνα με την παραπάνω σ τρατηγική προσ αρμογής βέλτισ της καμπύλης), τελικά το μοντέλο σ υνέκλινε σ ε μία λύσ η. Ακόμα και με αυτό το μοντέλο όμως, η σ υνθετική καμπύλη φωτός δεν περιγράφει ικανοποιητικά τις περιοχές των εκλείψεων όπως φαίνεται σ το Σχήμα 9.1 (δεξιά, γκρι καμπύλη) με αποτέλεσ μα οι εκλείψεις σ τις σ υνθετικές καμπύλες να εμφανίζονται βαθύτερες σ ε σ χέσ η με τα παρατηρησ ιακά δεδομένα και μάλισ τα με διαφορά που εξαρτάται από την φασ ματική περιοχή. Αυτό υποδηλώνει ότι υπάρχει επιπλέον φωτεινότητα σ την καμπύλη φωτός σ ε σ χέσ η με αυτή που προβλέπεται από το μοντέλο σ ε κάθε φασ ματική περιοχή κι άρα ανάγκη εισ αγωγής τρίτου σ ώματος. Με την εισ αγωγή σ το μοντέλο, τρίτου σ ώματος και την προσ αρμογή βέλτισ της καμπύλης, η ποσ ότητα χ 2, που αποτελεί μέτρο βελτισ τοποίησ ης της προσ αρμοζόμενης καμπύλης σ τα παρατηρησ ιακά δεδομένα, μειώθηκε και τα παρατηρησ ιακά δεδομένα σ την περιοχή των εκλείψεων περιγράφηκαν πλέον ικανοποιητικά (Σχήμα 9.1, δεξιά, καμπύλη με μαύρο χρώμα). Η σ υνεισ φορά του τρίτου σ ώματος υπολογίζεται σ το (7-9) % του ολικού φωτός. Στη σ υνέχεια, η λύσ η που σ υμπεριλαβάνει την παρουσ ία τρίτου σ ώματος ελέγχθηκε για σ ταθερότητα και εκτιμήθηκαν οι αβεβαιότητες μέσ ω της σ άρωσ ης σ τον χωρο των παραμέτρων. Τα αποτελέσ ματα παρουσ ιάζονται σ τον Πίνακα 9.4 μαζί με τις αβεβαιότητές τους από την σ άρωσ η σ τον χώρο των παραμέτρου. Επιπλέον, χρησ ιμοποιώντας το πακέτο γενετικών αλγορίθμων PIKAIA και το λογισ μικό Phoebe-scripter διερευνήθηκε ο χώρος των παραμέτρων για ολικό ελάχισ το. Το εύρος τιμών για τις θερμοκρασ ίες Τ 1, Τ 2, τέθηκε σ το διάσ τημα [4500Κ-6500Κ], του ανηγμένου βαρυτικού δυναμικού Ω, σ το διάσ τημα [ ], της κλίσ ης του σ υσ τήματος i σ το διάσ τημα [ ] και της σ υνεισ φοράς του τρίτου σ ώματος σ ε κάθε φασ ματική περιοχή σ το διάσ τημα [0% - 15%]. Χρησ ιμοποήθηκε η δυνατότητα που έχει το λογισ μικό Phoebe-scripter να υπολογίζει τις φωτεινότητες σ ε κάθε φασ ματική περιοχή ενώ για τους σ υντελεσ τές ανακλασ τικότητας των επιφανειών των ασ τέρων καθώς και τους σ υντελεσ τές βαρυτικής αμαύρωσ ης, τέθηκαν οι τυπικές τιμές δεδομένου του εύρους των θερμοκρασ ιών (Α 1 =Α 2 =0.5, g 1 =g 2 =0.32). Ο αρχικός πληθυσ μός, 120 λύσ εων, εξελίχθηκε για 1000 γενιές. Τα αποτελέσ ματα σ υμφωνούν με τα ευρήματα της μεθόδου της σ άρωσ ης, επιβεβαιώνουν την ολικότητα του ελαχίσ του καθώς και την ύπαρξη τρίτου σ υνοδού σ υνεισ φοράς (7-10) %. Στα Σχήματα (9.3) παρουσ ιάζεται η σ υνεισ φορά (%) του τρίτου σ υνοδού σ την σ υνολική φωτεινότητα σ τα φίλτρα B, V, R I, σ υναρτήσ ει της σ υνάρτησ ης κόσ τους χ 2 ). Επίσ ης, σ το Σχήμα 9.3 παρουσ ιάζεται η τομή του χώρου των λύσ εων (Ω i) (αρισ τερά) και η επιφάνεια του υποχώρου των παραμέτρων T 2 T 1 - R 2 R 1, όπου οι κλεισ τές καμπύλες αποτελούν περιοχές ίσ ου χ 2 και το ολικό ελάχισ το εντοπίζεται σ τη μπλέ περιοχή της επιφάνειας. Στο Σχήμα 9.4 (κάτω δεξιά) παρουσ ιάζεται το ισ τόγραμμα 2 διασ τάσ εων (διάγραμμα πυκνότητας) των παραμέτρων T 2 T 1 - R 2 R 1 όπου η λύσ η βρίσ κεται σ το πιο φωτεινό τμήμα του σ χήματος, ενώ σ το ισ τόγραμμα του Σχήματος 9.4 (κάτω αρισ τερά) παρουσ ιάζεται η κατανομή του λόγου των ενεργών θερμοκρασ ιών των μελών του σ υσ τήματος (μέθοδος σ άρωσ ης). Υποθέτοντας ότι ο ασ τέρας με την μεγαλύτερη μάζα είναι ασ τέρας κύριας ακολουθίας 208

212 9. Φωτομετρικές παρατηρήσ εις διπλών σ υσ τημάτων του πεδίου Kepler με το τηλεσ κόπιο Αρίσ ταρχος (2.3m) φασ ματικού τύπου G7, υπολογίσ τηκαν οι φυσ ικές παράμετροι του σ υσ τήματος. Μετά την αποσ ύζευξη των θερμοκρασ ιών σ ύμφωνα με την σ χέσ η (6.3), προέκυψαν οι τιμές των παραμέτρων: T h = 5786 ± 138 K, T c = 5439 ± 138 K, M c = 0.87 ± 0.10 M, M h = 0.30 ± 0.10 M, R h = 0.56 ± 0.04 R, R c = 0.89 ± 0.04 R όπου οι δείκτες h και c υποδηλώνουν, τον θερμότερο (h) και τον ψυχρότερο (c) ασ τέρα, αντίσ τοιχα. Από τα αποτελέσ ματα (Πίνακας 9.4) προκύπτει ότι το KIC είναι ένα τυπικό διπλό εκλειπτικό σ ύσ τημα W UMa, υποκατηγορίας W με πιθανό σ υνοδό, ένα σ ώμα (πιθανότατα ψυχρό) το οποίο σ υνεισ φέρει (7-9)% σ την ολική φωτεινότητα του σ υσ τήματος. Τα αποτελέσ ματα υποσ τηρίζονται από τα ευρήματα της μελέτης των Conroy et al που σ υγκαταλέγουν το διπλό εκλειπτικό σ ύσ τημα KIC σ τον κατάλογο με τα υποψήφια τριπλά σ υσ τήματα με σ υμπληρωμένους δύο κύκλους μεταβολής σ το διάγραμμα O-C, με βάσ η την ανάλυσ η των δεδομένων της διασ τημικής αποσ τολής Kepler. Η αβεβαιότητα σ την εύρεσ η της σ υνεισ φοράς του τρίτου σ υνοδού σ το κάθε φίλτρο δεν επιτρέπει την ταξινόμησ ή του σ ε θερμό ή ψυχρό σ ώμα με βεβαιότητα. Παρόλ αυτά, η μέθοδος της σ άρωσ ης έδειξε να υπάρχει μια διαβάθμισ η σ τη σ υνεισ φορά του τρίτου σ ώματος με μέγισ τη σ υνεισ φορά σ τη υπέρυθρη φασ ματική περιοχή που πιθανόν υποδεικνύει χαμηλή θερμοκρασ ία του σ υνοδού. Τα μέλη του σ υσ τήματος KIC ακολουθούν τα κοινά χαρακτηρισ τικά των σ υσ τημάτων W UMa, υποκατηγορίας W, όπου ο ασ τέρας με την μεγαλύτερη μάζα βρίσ κεται κοντά σ την γραμμή κύριας ακολουθίας μηδενικής ηλικίας (ZAMS), ενώ ο ασ τέρας με την μικρότερη μάζα εμφανίζεται υπερμεγέθης και υπερφωτεινός σ ε σ χέσ η με έναν ασ τέρα ίδιου φασ ματικού τύπου κύριας ακολουθίας όπως φαίνεται από τις θέσ εις των μελών του σ υσ τήματος σ τα εξελικτικά διαγράμματα LogM LogL (Σχήμα 9.5, αρισ τερά) και LogM LogR (Σχήμα 9.5, δεξιά). Θα πρέπει να σ ημειωθεί ότι είναι απαραίτητες φασ ματοσ κοπικές παρατηρήσ εις των σ υσ τημάτων ώσ τε να προσ διορισ θεί η ακριβής τιμή του λόγου των μαζών q, η προβαλλόμενη απόσ τασ η των μελών του σ υσ τήματος α sin i, η σ υσ τημική ταχύτητα V γ και η σ υνεισ φορά του τρίτου σ υνοδού σ το φάσ μα του σ υσ τήματος ώσ τε να υπάρχουν πιό ασ φαλή σ υμπεράσ ματα για την φύσ η του. Επομένως, οι φυσ ικές παράμετροι των σ υσ τημάτων θα μπορούν να προσ διορισ θούν με ακρίβεια από νέα μοντέλα. 209

213 9. Φωτομετρικές παρατηρήσvεις διπλών σvυσvτημάτων του πεδίου Kepler με το τηλεσvκόπιο Αρίσvταρχος (2.3m) Ω R2/R i ( ) 1970 T2/T1 Σχήμα 9.3.: Η σvυνεισvφορά του τρίτου σvυνοδού σvτην ολική φωτεινότητα σvτις διάφορες φασvματικές περιοχές (B, V, R, I) σvε σvχέσvη με την σvυνάρτησvη κόσvτους όπως προέκυψε από τη μέθοδο των γενετικών αλγορίθμων (PIKAIA) για το διπλό εκλειπτικό σvύσvτημα ΚΙ Ο τρίτος σvυνοδός φαίνεται ότι σvυνεισvφέρει (7 9)% σvτη σvυνολική φωτεινότητα. Κάτω: οι τομές του χώρου [Ω i] R2 (δεξιά) και [ TT12 - R ] (αρισvτερά) όπου η λύσvη εντοπίζεται σvτη μπλέ περιοχή των 1 διαγραμμάτων. 210