Ανάλυση και φωτομετρική μελέτη του νέου διπλού εκλειπτικού συστήματος V1098 Her

Transcript

1 Ανάλυση και φωτομετρική μελέτη του νέου διπλού εκλειπτικού συστήματος V1098 Her Μεταπτυχιακή εργασία ΙΩΑΚΕΙΜ ΧΡΥΣΟΠΟΥΛΟΣ Τμήμα Φυσικής Πανεπιστήμιο Πατρών Επιβλέπουσα: Ε-Π Χριστοπούλου, Επίκουρη Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Πατρών Πάτρα 2015

2 Η εικόνα του εξωφύλλου είναι μια καλλιτεχνική απεικόνιση του διπλού εκλειπτικού συστήματος Kepler-35. To σύστημα Kepler-35 αποτελείται από δύο αστέρες ίδιου φασματικού τύπου με τον Ήλιο και σε αυτό ανακαλύφθηκε ένας αέριος γίγαντας, ο οποίος περιστρέφεται γύρω από το σύστημα. (Credit: Illustration by Lynette. Cook, Artist/Illustrator)

3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ, ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ Ανάλυσ η και φωτομετρική μελέτη του νέου διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος V1098 Her Μεταπτυχιακή Εργασ ία του ΙΩΑΚΕΙΜ ΧΡΥΣΟΠΟΥΛΟΥ Επιβλέπουσ α: Ε-Π Χρισ τοπούλου, Επικ. Καθηγήτρια Πανεπισ τημίου Πατρών ΠΑΤΡΑ

4 2

5 3 Στους γονείς μου

6 4

7 Περίληψη Τα διπλά εκλειπτικά σ υσ τήματα παραμένουν ένα από τα πιο ενδιαφέροντα ερευνητικά αντικείμενα της Ασ τροφυσ ικής καθώς η φωτομετρική ή/και η φασ ματοσ κοπική μελέτη τους παρέχει την πιο ακριβή μέθοδο υπολογισ μού βασ ικών ασ τρικών παραμέτρων (μάζα, θερμοκρασ ία, ακτίνα), αλλά και παρακολούθησ ης κάθε είδους ασ τρικής δρασ τηριότητας (κηλίδες, αναπάλσ εις, δίσ κοι επαύξησ ης μάζας) που παρουσ ιάζουν. Σημαντική είναι η σ υνεισ φορά τους και σ τη μελέτη της ασ τρικής εξέλιξης καθώς χρησ ιμοποιούνται για τον έλεγχο των θεωριών εξέλιξης. Επιπλέον η μελέτη των μακροχρόνιων μεταβολών της περιόδου τους επιτρέπει την πιθανή ύπαρξη τρίτων σ ωμάτων, όπως ασ τέρων ή πλανητών, που περισ τρέφονται γύρω από το διπλό σ ύσ τημα. Το αντικείμενο της παρούσ ας μεταπτυχιακής εργασ ίας είναι η μελέτη του νέου διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος τύπου W UMa, V1098 Her, μέσ α από νέες φωτομετρικές BVRcIc παρατηρήσ εις. Τα W UMa ασ τρικά σ υσ τήματα αποτελούνται από ασ τέρες κυρίας ακολουθίας οι οποίοι βρίσ κονται σ ε υπερεπαφή και χαρακτηρίζονται από μικρές τροχιακές περιόδους. Η εργασ ία αποτελείται από δύο κύρια μέρη. Στο Πρώτο Μέρος δίνεται το θεωρητικό και επισ τημονικό πλαίσ ιο που απαιτείται για την περιγραφή και μελέτη των διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων σ ε επαφή. Στο Πρώτο Κεφάλαιο γίνεται μια σ ύντομη περιγραφή όλων των ειδών μεταβλητών ασ τέρων και παρουσ ιάζονται τα είδη των διπλών ασ τρικών σ υσ τημάτων. Στη σ υνέχεια γίνεται μια εκτενής αναφορά σ τη γεωμετρία και το μοντέλο Roche και περιγράφεται η μορφολογική και φαινομενολογική ταξινόμησ η των διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων. Επιπλέον περιγράφεται ο διαχωρισ μός των W UMa σ υσ τημάτων σ ε τύπου Α και W και γίνεται αναφορά σ το σ χηματισ μό και την εξέλιξή τους. Στο Δεύτερο Κεφάλαιο παρουσ ιάζεται η προετοιμασ ία και ο σ χεδιασ μός των παρατηρήσ εων σ το Ασ τεροσ κοπείο Μυθωδία του Πανεπισ τημίου Πατρών, καθώς και η διαδικασ ία ανάλυσ ης των δεδομένων. Επιπλέον περιγράφεται η διαδικασ ία κατασ κευής διαγραμμάτων O-C, καθώς και οι μηχανισ μοί μεταβολής της περιόδου. Στο Τρίτο Κεφάλαιο παρουσ ιάζεται το υπολογισ τικό πακέτο PHOEBE το οποίο χρησ ιμοποιήθηκε για την εύρεσ η της λύσ ης και την μοντελοποίησ η του σ υσ τήματος. Το Δεύτερο Μέρος επικεντρώνεται σ τις νέες CCD παρατηρήσ εις του V1098 Her, σ την ανάλυσ η των ληφθέντων δεδομένων και τη μοντελοποίησ η του σ υσ τήματος. Στο Τέταρτο Κεφάλαιο παρουσ ιάζονται οι νέες CCD παρατηρήσ εις του υπό μελέτη σ υσ τήματος για επτά νύχτες το διάσ τημα Ιουλίου - Αυγούσ του 2014, η ανάλυσ ή τους, η κατασ κευή των BV- RcIc καμπυλών φωτός και η εξαγωγή οκτώ χρόνων ελαχίσ του. Επιπλέον κατασ κευάζεται το διάγραμμα O-C και εξάγεται η νέα εφημερίδα του σ υσ τήματος. Στο Πέμπτο Κεφάλαιο παρουσ ιάζεται για πρώτη φορά η λεπτομερής ανάλυσ η του υπό μελέτη σ υσ τήματος και προτείνονται δύο μοντέλα ένα χωρίς κηλίδα και ένα με παρουσ ία κηλίδας σ τον θερμότερο ασ τέρα. Επικρατέσ τερο των δύο είναι αυτό χωρίς κηλίδα το οποίο δείχνει ότι το V1098 Her είναι υποκατηγορίας Α και παρουσ ιάζει βαθμό επαφής f = ± 4.1%. Σύμφωνα με το προτεινόμενο μοντέλο προσ διορίζονται οι μάζες των μελών του σ υσ τήματος: M 1 = 1.37±0.04 M, M 2 = 0.19 ± 0.01 M, οι θερμοκρασ ίες τους T 1 = 6619 ± 48 K, T 2 = 6495 ± 27 K και οι ακτίνες τους R 1 = 1.40 ± 0.05 R, R 2 = 0.61 ± 0.05 R. Τέλος με βάσ η τις εξαγόμενες παραμέτρους διερευνάται η φύσ η του και η κατηγοριοποίησ η του σ υσ τήματος. 5

8 6

9 Summary Eclipsing binary systems remain one of the most interesting research elds in stellar astrophysics as they provide the most accurate method for calculation of fundamental properties of stars (masses, temperatures, radii) as well as every form of stellar activity (spots, accretion disks, pulsations). This is accomplished through photometry and spectrometry or through the study of long-term variations of their period. Furthermore eclipsing binary systems have a signicant contribution to the study of stellar evolution as they are used to test stellar evolution theories. Additionally their study allows the prediction of third body companions, of stellar or sub-stellar origin (stars, planets) orbiting the binary system. The subject of this thesis is the multiband observation, study and modeling of the W UMa eclipsing binary system V1098 Her. W UMa stellar systems consist of main sequence stars in overcontact conguration and exhibit short orbital periods. This thesis is divided in two main parts. The rst Part outlines the theoretical framework for studying and describing eclipsing binaries. The rst Chapter provides a brief description of all types of variable stars and the dierent types of binary stars are presented. Then an extensive reference to Roche geometry and Roche model as well as a morphological and phenomenological classication of eclipsing binaries is provided. Furthermore the separation of W UMa systems in A and W type and their formation and evolution is described. The second Chapter outlines the preparation and planning of the observations held at the University of Patras observatory and the procedure of data analysis. Then, time counting, O-C (observed calculated) diagrams and mechanisms that cause period variations are presented. In the third Chapter a detailed description of the computational package PHOEBE, which is used for modeling the binary system, is provided. The second Part focuses on the observations of V1098 Her, the data processing and the modeling of the system. In Chapter four, new CCD four-color photometric observations of V1098 Her made on seven nights over summer 2014 are analyzed and new light curves (LCs) of the system, as well as eight new Minima times are provided. Furthermore all available times of Minima were collected and an O-C diagram was constructed, providing the new ephemeris of the system. In Chapter ve, the rst extensive analysis of the W UMa system V1098 Her is presented, based on the new BVRcIc photometric light curves. Our completely covered LCs were analyzed using PHOEBE and revealed that V1098 Her is an overcontact binary with ll-out factor f = 55.05±4.1% and temperature dierence between the components of 124K. Two models, one unspotted and one spotted are provided, with the unspotted model to be more plausible. Our modeling indicates that V1098 Her is an A-type overcontact binary with component masses M 1 = 1.37±0.04 M, M 2 = 0.19 ± 0.01 M, temperatures T 1 = 6619 ± 48 K, T 2 = 6495 ± 27 K and radiuses R 1 = 1.40 ± 0.05 R, R 2 = 0.61 ± 0.05 R. Based on these results, the physical nature of the system is discussed. 7

10 8

11 Η ολοκλήρωσ η της παρούσ ας εργασ ίας έγινε σ το πλαίσ ιο της υλοποίησ ης του μεταπτυχιακού προγράμματος το οποίο σ υγχρηματοδοτήθηκε μέσ ω της Πράξης Πρόγραμμα χορήγησ ης υποτροφιών ΙΚΥ με διαδικασ ία εξατομικευμένης αξιολόγησ ης ακαδημαικού έτους από τους πόρους του Ε.Π Εκπαίδευσ η και Δια Βίου Μάθησ η του Ευρωπαικού Κοινωνικού Ταμείου (ΕΚΤ) και του ΕΣΠΑ ( ). 9

12 10

13 Ευχαρισ τίες Αρχικά θα ήθελα να ευχαρισ τήσ ω την κυρία Ελευθερία Παναγιώτα Χρισ τοπούλου, Επίκουρη Καθηγήτρια του Τμήματος Φυσ ικής, η οποία είχε την επίβλεψη της παρούσ ας εργασ ίας, για την πολύτιμη βοήθεια, την καθοδήγησ η και άψογη σ υνεργασ ία σ ε όλη τη διάρκεια των μεταπτυχιακών μου σ πουδών, αλλά και για την ευκαιρία που μου έδωσ ε να ασ χοληθώ με την Παρατηρησ ιακή Ασ τροφυσ ική. Επιπλέον θα ήθελα να ευχαρισ τήσ ω τον κύριο Αθανάσ ιο Παπαγεωργίου διδάκτορα του Τμήματος Φυσ ικής για την βοήθειά του τόσ ο σ το παρατηρησ ιακό όσ ο και σ το υπολογισ τικό σ κέλος αυτής της εργασ ίας, αλλά και για την προθυμία του σ τη μεταλαμπάδευσ η των γνώσ εών του. Το Ιδρυμα Κρατικών Υποτροφιών για τη χορήγησ η υποτροφίας κατά τα έτη Τέλος, να ευχαρισ τήσ ω την οικογένειά μου, για την αδιάκοπη και ουσ ιασ τική σ τήριξή τους κατά τη διάρκεια των σ πουδών μου και για την αρωγή τους σ την προσ πάθεια επίτευξης των σ τόχων μου. 11

14 12

15 Περιεχόμενα I. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μεταβλητοί ασ τέρες Τα διπλά σ υσ τήματα ασ τέρων Είδη διπλών σ υσ τημάτων ασ τέρων Διπλοί Ορατοί (Visual Binaries) Εκλειπτικοί διπλοί (Eclipsing Binaries) Ασ τρομετρικοί Διπλοί (Astrometric Binaries) Φασ ματοσ κοπικοί Διπλοί (Spectroscopic Binaries) Ονοματολογία διπλών σ υσ τημάτων Γεωμετρία Roche Το μοντέλο Roche Ταξινόμησ η των διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων Μορφολογική ταξινόμησ η των διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων Φαινομενολογική ταξινόμησ η των διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων Διπλά σ υσ τήματα σ ε επαφή (Contact Binaries) Διαχωρισ μός των W UMa σ υσ τημάτων Σχηματισ μός και εξέλιξη των W UMa σ υσ τημάτων ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ Προετοιμασ ία και σ χεδιασ μός παρατηρήσ εων Παρατηρήσ εις Φωτομετρία Η μέτρησ η του χρόνου Ιουλιανή Ημερομηνία και ηλιοκεντρική διόρθωσ η Καμπύλες φωτός και φάσ η Χρόνοι ελαχίσ των και διαγράμματα O-C Μηχανισ μοί μεταβολής της περιόδου Υπολογισ μός φυσ ικών παραμέτρων διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων ΤΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΠΑΚΕΤΟ PHOEBE Γενικά σ τοιχεία Η ροή ακτινοβολίας Βαρυτική Αμαύρωσ η Αμαύρωσ η Χείλους Φαινόμενο Ανάκλασ ης

16 Περιεχόμενα Ασ τρικές Κηλίδες Μοντελοποίησ η W UMa ασ τρικών σ υσ τημάτων με το πρόγραμμα PHOEBE Το ανάσ τροφο πρόβλημα (Inverse Problem) Μέθοδοι ελαχισ τοποίησ ης της σ υνάρτησ ης χ Μοντέλα καμπύλης φωτός Παράμετροι του σ υσ τήματος από τους οποίους εξαρτάται η καμπύλη φωτός Επιλογή αρχικών παραμέτρων για μοντελοποίησ η ενός W-UMa σ υσ τήματος II. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ, ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΔΙ- ΠΛΟΥ ΕΚΛΕΙΠΤΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ V1098 Her ΤΟ ΔΙΠΛΟ ΕΚΛΕΙΠΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ V1098 Her Εισ αγωγή Παρατηρήσ εις και Ανάλυσ η του V1098 Her Νέοι Χρόνοι Ελαχίσ του του σ υσ τήματος V1098 Her Διάγραμμα O-C ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ V1098 Her Εύρεσ η του λόγου των μαζών q (q-scan) Μοντέλα του V1098 Her Μοντέλο του V1098 Her παρουσ ία κηλίδας Συμπεράσ ματα και εξαγωγή απόλυτων παραμέτρων

17 Κατάλογος Σχημάτων 1.1. Ταξινόμησ η των διάφορων τύπων μεταβλητών ασ τέρων Αρισ τερά οι ασ τέρες Polaris A και Polaris B και δεξιά ο ασ τέρας Polaris A σ ε μεγάλη μεγέθυνσ η όπου διακρίνεται ο σ υνοδός ασ τέρας Polaris Ab, ( Σχηματική απεικόνισ η των εκλείψεων σ ε ένα διπλό εκλειπτικό σ ύσ τημα ασ τέρων και γραφική παράσ τασ η της μεταβολής της λαμπρότητας του σ υσ τήματος (Manfred G., German Aerospace Center) Α) Γραφική απεικόνισ η της φαινόμενης κίνησ ης του ασ τέρα Sirius A σ ε σ χέσ η με τους μακρινούς ασ τέρες υποβάθρου, του σ υνοδού του Sirius B και του κέντρου μάζας τους. Β) Τροχιακή κίνησ η του Sirius A και Sirius B ως προς το κέντρο μάζας του σ υσ τήματος (Rulison M., Απεικόνισ η της περισ τροφής του ασ τέρα μεγαλύτερης μάζας Α και του α- σ τέρα μικρότερης μάζας Β περί το κοινό τους κέντρο μάζας. Το παρατηρούμενο φάσ μα εμφανίζει περιοδική μετατόπισ η των φασ ματικών γραμμών. Η μετατόπισ η αυτή είναι σ υνάρτησ η του προσ ανατολισ μού του σ υσ τήματος ως προς τον παρατηρητή και της τροχιακής ταχύτητας των ασ τέρων ( Σχηματική απεικόνισ η των ακτινικών ταχυτήτων ενός διπλού σ υσ τήματος ασ τέρων (αρισ τερά) και γραφική απεικόνισ η των ακτινικών ταχυτήτων των μελών του σ υσ τήματος (δεξιά), ( Σχηματική απεικόνισ η της γεωμετρίας ενός διπλού σ υσ τήματος ασ τέρων με μάζες M 1 και M 2 οι οποίοι απέχουν απόσ τασ η α. Η αρχή του σ υσ τήματος σ υντεταγμένων βρίσ κεται σ τον ασ τέρα 1 και όχι σ το κέντρο μάζας (COM) Σημεία Lagrange σ ε ένα περισ τρεφόμενο σ ύσ τημα δύο σ ωμάτων. Τα L 1, L 2, L 3 βρίσ κονται κατα μήκος της γραμμής που περνά από το κέντρο των δύο ασ τέρων, ενώ τα σ ημεία L 4, L 5 σ χηματίζουν ισ όπλευρα τρίγωνα με κορυφές τα σ ημεία και κοινή βάσ η την απόσ τασ η μεταξύ των ασ τέρων του σ υσ τήματος (Carroll & Ostlie 2006)

18 Κατάλογος Σχημάτων 1.9. Το ενεργό βαρυτικό δυναμικό για ένα σ ύσ τημα δύο ασ τέρων με μάζες M 1 και M 2 με M 2 /M 1 = 0.2 και α = R, κατά μήκος του x-άξονα. Το κέντρο μάζας του σ υσ τήματος βρίσ κεται σ την αρχή των αξόνων. Ο x-άξονας είναι σ ε μονάδες μεγάλου ημιάξονα της τροχιάς (α), ενώ ο y σ ε G(M 1 + M 2 )/a. Η διακεκομμένη γραμμή αντισ τοιχεί σ την τιμή του δυναμικού Ω σ το εσ ωτερικό σ ημείο Lagrange L 1. Αν η σ υνολική ενέργεια ανά μονάδα μάζας ενός σ ωματίου ξεπερνά αυτό το όριο, τότε αυτό μπορεί να κυλίσ ει δια μέσ ου του εσ ωτερικού σ ημείου Lagrange ανάμεσ α των δύο ασ τέρων (Carroll & Ostlie 2006) Ισ οδυναμικές επιφάνειες για διάφορες τιμές του ενεργού δυναμικού Ω, για ένα διπλό σ ύσ τημα ασ τέρων με μάζες M 1 και M 2. Οι άξονες είναι σ ε μονάδες του α, ενώ με σ υμβολίζεται το κέντρο μάζας του σ υσ τήματος που βρίσ κεται σ την αρχή των αξόνων (Carroll & Ostlie 2006) Σχηματικές απεικονίσ εις των διαφόρων μορφολογικών τύπων των διπλών ε- κλειπτικών σ υσ τημάτων. Πάνω αρισ τερά αποχωρισ μένο σ ύσ τημα, πάνω δεξιά ήμι-αποχωρισ μένο σ ύσ τημα. Κάτω αρισ τερά σ ύσ τημα σ ε επαφή, κάτω δεξιά σ ύσ τημα σ ε υπερ-επαφή ( Χαρακτηρισ τικές καμπύλες φωτός για διπλά σ υσ τήματα Algol (πάνω), β Lyrae (κέντρο), W UMa (κάτω), (Wilson R. E., University of Florida) Αρισ τερά φαίνεται το κεντρικό μενού του JSkyCalc σ το οποίο παρέχονται οι απαραίτητες πληροφορίες για επιλεγμένο ασ τέρα, ενώ δεξιά φαίνεται πίνακας με ώρες έναρξης και λήξης λυκόφωτος και λυκαυγούς, καθώς και ώρες ανατολής και δύσ ης Ηλίου και Σελήνης έτσ ι ώσ τε να είναι δυνατή η οργάνωσ η των παρατηρήσ εων Γραφική απεικόνισ η της μεταβολής της αέριας μάζας (airmass) του αντικειμένου καθώς και του ύψους της Σελήνης κατά τη διάρκεια της νύχτας Πίνακας παρατηρησ ιμότητας του ασ τέρα σ τη διάρκεια των επόμενων μηνών. Δίνεται ο αριθμός ωρών για τι οποίες το αντικείμενο βρίσ κεται κάτω από σ υγκεκριμένη τιμή αέριας μάζας Σχηματική απεικόνισ η της σ χετικής θέσ ης Γης Ηλίου ώς προς παρατηρούμενο ασ τέρα Σχηματική απεικόνισ η των φάσ εων ενός διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος. Πάνω αρισ τερά φάσ η 0, πρωτεύον ελάχισ το. Πάνω δεξιά φάσ η 0.25, μέγισ το. Κάτω αρισ τερά φάσ η 0.5, δευτερεύον ελάχισ το. Κάτω δεξιά φάσ η 0.75, μέγισ το Γεωμετρία των χρόνων επαφής. Σχηματική απεικόνισ η της σ χετικής τροχιάς του δευτερεύοντα ασ τέρα γύρω από τον πρωτεύοντα για κλίσ η 90 ο Το πεδίο του V1098 Her (V) και οι ασ τέρες σ υγκρίσ εως (C1) και ελέγχου (C2), ( Καμπύλες φωτός του V1098 Her από το ROTSE-1 και απο το SOAO σ τα φίλτρα V και I, (Jin et al 2003)

19 Κατάλογος Σχημάτων 4.3. Η καμπύλη φωτός του V1098 Her σ τις 2 Ιουλίου σ το φίλτρο R c Η καμπύλη φωτός του V1098 Her σ τις 2 Ιουλίου σ το φίλτρο V Η καμπύλη φωτός του V1098 Her σ τις 18 Ιουλίου σ το φίλτρο R c Η καμπύλη φωτός του V1098 Her σ τις 18 Ιουλίου σ το φίλτρο V Η καμπύλη φωτός του V1098 Her σ τις 21 Ιουλίου σ το φίλτρο B Η καμπύλη φωτός του V1098 Her σ τις 30 Ιουλίου σ το φίλτρο B Η καμπύλη φωτός του V1098 Her σ τις 5 Αυγούσ του σ το φίλτρο I c Η καμπύλη φωτός του V1098 Her σ τις 7 Αυγούσ του σ το φίλτρο I c Οι καμπύλες φωτός του V1098 Her σ τα φίλτρα B,V,Rc,Ic για φάσ η από 0.25 έως Οι διαφορές μεγεθών (mag) μεταξύ του ασ τέρα σ υγκρίσ εως (C1) και του ασ τέρα ελέγχου (C2), η τυπική απόκλισ η των οποίων καθορίζει την ακρίβεια των παρατηρήσ εων σ ε κάθε φίλτρο Το κεντρικό παράθυρο του προγράμματος Minima25 για τον υπολογισ μό του ελαχίσ του σ το φίλτρο Rc για τη νύχτα της 2ας Ιουλίου Υπολογισ μός της περιόδου του σ υσ τήματος V1098 Her με χρήσ η των νέων χρόνων ελαχίσ των Διάγραμμα O-C με όλους του χρόνους ελαχίσ του της βιβλιογραφίας (πράσ ινο και μπλε) και του νέους χρόνους ελαχίσ του (μαύρο) Γραφική απεικόνισ η του αθροίσ ματος των χ 2 για τις διάφορες τιμές του q Γραφική απεικόνισ η του άθροισ ματος των χ 2 για τις διάφορες τιμές του q, με βήμα σ το διάσ τημα Φωτομετρικές καμπύλες σ τα φίλτρα BV RcIc για το σ ύσ τημα V1098 Her. Η σ υνεχής γραμμή παρουσ ιάζει το πρώτο μοντέλο που κατασ κευάσ τηκε για λόγο μαζών q = Φωτομετρικές καμπύλες σ τα φίλτρα BV RcIc για το σ ύσ τημα V1098 Her. Η σ υνεχής γραμμή παρουσ ιάζει το δεύτερο μοντέλο που κατασ κευάσ τηκε για λόγο μαζών q = και με εισ αγωγή μιας ψυχρής κηλίδας σ τον πρωτεύοντα ασ τέρα Σχηματική απεικόνισ η του δεύτερου μοντέλου του διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος V1098 Her, παρουσ ία ψυχρής κηλίδας σ την επιφάνεια του πρωτεύοντα ασ τέρα. Για λόγους ευκρινέσ τερης απεικόνισ ης η διάμετρος της κηλίδας του σ χήματος είναι 20 ο Οι θέσ εις των μελών του σ υσ τήματος V1098 Her σ το διάγραμμα logl-logm. Το δείγμα των σ υσ τημάτων τύπου W UMa δημιουργήθηκε από τη διασ ταύρωσ η των σ υσ τημάτων τύπου W UMa των Yakut & Eggleton (2005), Li et al (2008), Christopoulou et al (2012b). Οι γραμμές μηδενικής ηλικίας κύριας ακολουθίας ZAMS (σ υνεχής γραμμή) και τερματισ μού TAMS (διακεκομμένη), δημιουργήθηκαν για τιμές μεταλλικότητας Ηλίου

20 Κατάλογος Σχημάτων 5.7. Κατανομή της τροχιακής σ τροφορμής ως προς την ολική μάζα των αποχωρισ μένων σ υσ τημάτων (Eker et al 2006, Torres et al 2010) και σ υσ τημάτων σ ε επαφή (Bilir et al 2005, Eker et al 2006, Ibanoglu et al 2006). Με ρόμβο απεικονίζονται τα αποχωρισ μένα σ υσ τήματα, με κύκλο τα σ υσ τήματα σ ε επαφή και με τετράγωνο το σ ύσ τημα V1098 Her. Η διακεκομμένη γραμμή διαχωρίζει τα σ υσ τήματα σ ε επαφή από τα αποχωρισ μένα σ υσ τήματα

21 Κατάλογος Πινάκων 4.1. Νύχτες παρατηρήσ εων και χρόνοι έκθεσ ης σ ε κάθε φίλτρο Οι υποψήφιοι ασ τέρες σ υγκρίσ εως που χρησ ιμοποιήθηκαν σ τη φωτομετρία, με τις σ υντεταγμένες τους Τυπική απόκλισ η της διαφοράς κάθε υποψηφίου ζεύγους ασ τέρων σ υγκρίσ εως - ελέγχου, σ ε όλα τα φίλτρα για κάθε νύχτα παρατήρησ ης Ακτίνες φωτομετρίας σ ε pixels για κάθε νύχτα παρατήρησ ης σ ε κάθε φίλτρο Η τυπική απόκλισ η της διαφοράς C2-C1 για κάθε φίλτρο, για όλες τις ημέρες Νέοι χρόνοι ελαχίσ του για το σ ύσ τημα V1098 Her που προέκυψαν από τις παρατηρήσ εις της παρούσ ας εργασ ίας Ολοι οι διαθέσ ιμοι σ τη βιβλιογραφία χρόνοι ελαχίσ του φωτός για το διπλό σ ύσ τημα V1098 Her Άθροισ μα των χ 2 για κάθε τιμή q Άθροισ μα των χ 2 για κάθε τιμή q σ το διάσ τημα Φωτομετρικό μοντέλο του διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος V1098 Her Διαφορές μεγίσ των των καμπυλών φωτός του V1098 Her για κάθε φίλτρο Χαρακτηρισ τικά μεγέθη της εισ αγόμενης σ τον πρωτεύοντα ασ τέρα κηλίδας Οι τιμές της σ υνάρτησ ης χ 2 για κάθε φίλτρο καθώς και το άθροισ μά τους για τα δύο προτεινόμενα μοντέλα Φωτομετρικά μοντέλα του διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος V1098 Her χωρίς κηλίδα, αλλά και παρουσ ία ψυχρής κηλίδας σ τον πρωτεύοντα ασ τέρα Απόλυτες παράμετροι του V1098 Her

22 Κατάλογος Πινάκων 20

23 Μέρος I. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 21

24 22

25 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1. Μεταβλητοί ασ τέρες Οι μεταβλητοί ασ τέρες είναι ασ τέρες των οποίων η λαμπρότητα μεταβάλλεται. Η μεταβολή της λαμπρότητάς τους κυμαίνεται μεταξύ ενός χιλιοσ τού του μεγέθους έως είκοσ ι μεγέθη. Η περίοδος αυτών των μεταβολών κυμαίνεται από κλάσ ματα του δευτερολέπτου έως μερικά έτη, ανάλογα με τον τύπο του μεταβλητού ασ τέρα. Οι μεταβλητοί ασ τέρες διακρίνονται σ ε ενδογενείς και εξωγενείς ανάλογα με το αίτιο που προκαλεί τη μεταβολή σ τη λαμπρότητά τους και ταξινομούνται όπως φαίνεται σ το σ χήμα 1.1. Σχήμα 1.1.: Ταξινόμησ η των διάφορων τύπων μεταβλητών ασ τέρων. 23

26 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.2. Τα διπλά σ υσ τήματα ασ τέρων Ενα διπλό σ ύσ τημα ασ τέρων αποτελείται από δύο ασ τέρες οι οποίοι σ υγκρατούνται υπό την επίδρασ η αμοιβαίας βαρυτικής έλξης και περισ τρέφονται γύρω από το κοινό κέντρο μάζας τους. Η ύπαρξη διπλών ή και πολλαπλών ασ τέρων μέσ α σ ε ένα γαλαξία είναι σ υνηθισ μένο φαινόμενο. Υπολογίζεται ότι περισ σ ότερο από το 50% των ασ τέρων του Γαλαξία μας είναι μέλη διπλών ή πολλαπλών σ υσ τημάτων. Οι διπλοί ασ τέρες μπορούν να ταξινομηθούν σ ε δύο γενικές κατηγορίες: ˆ Φαινομενικά διπλοί ˆ Φυσ ικά διπλοί Οι ασ τέρες που ανήκουν σ την πρώτη κατηγορία φαίνονται διπλοί γιατί βρίσ κονται περίπου σ την ίδια ευθεία οράσ εως και προβάλλονται σ το ίδιο σ ημείο της ουράνιας σ φαίρας, αν και ουσ ιασ τικά βρίσ κονται σ ε εντελώς διαφορετικές αποσ τάσ εις. Οι ασ τέρες που ανήκουν σ τη δεύτερη κατηγορία σ χηματίζουν ένα δυναμικό σ ύσ τημα τα μέλη του οποίου σ υνδέονται μέσ ω ελκτικών δυνάμεων βαρύτητας. Η κατάταξη των διπλών ασ τέρων σ τις δύο αυτές κατηγορίες γίνεται βάσ η της εμπειρικής σ χέσ ης του Aitken (1911): logφ"= m (1.1) όπου φ είναι η γωνιώδης διαχωρισ τική απόσ τασ η μεταξύ των μελών του ζεύγους μετρημένη σ ε δευτερόλεπτα του τόξου και m το φαινόμενο μέγεθος των δύο ασ τέρων αν θεωρηθούν ως ένας Είδη διπλών σ υσ τημάτων ασ τέρων Τα διπλά σ υσ τήματα ασ τέρων ανάλογα με τη μέθοδο παρατήρησ ής τους διακρίνονται σ τις εξής κατηγορίες: Διπλοί Ορατοί (Visual Binaries) Ενας ορατός διπλός ασ τέρας, είναι ένα βαρυτικά σ υζευγμένο σ ύσ τημα δυο ασ τέρων οι οποίοι μπορούν να παρατηρηθούν με ένα τηλεσ κόπιο. Τέτοιοι ασ τέρες υπολογίζεται ότι έχουν περιόδους περισ τροφής που κυμαίνονται από μερικά έτη έως μερικές χιλιάδες έτη. Χαρακτηρισ τικό παράδειγμα διπλού ορατού ασ τέρα είναι ο Πολικός Ασ τέρας με το σ υνοδό του (σ χήμα 1.2). 24

27 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σχήμα 1.2.: Αρισ τερά οι ασ τέρες Polaris A και Polaris B και δεξιά ο ασ τέρας Polaris A σ ε μεγάλη μεγέθυνσ η όπου διακρίνεται ο σ υνοδός ασ τέρας Polaris Ab, ( Εκλειπτικοί διπλοί (Eclipsing Binaries) Οταν το επίπεδο της τροχιάς ενός διπλού σ υσ τήματος βρίσ κεται σ χεδόν σ την ίδια ευθεία με το επίπεδο του παρατηρητή (κλίσ η τροχιάς περίπου 90º) τότε η φαινόμενη λαμπρότητα του σ υσ τήματος μεταβάλλεται περιοδικά. Η περιοδική αυτή μεταβολή οφείλεται σ τις διαδοχικές εκλείψεις του ενός ασ τέρα από τον άλλο. Επειδή η γωνιακή απόσ τασ η μεταξύ των δύο ασ τέρων του σ υσ τήματος δεν επιτρέπει τον διαχωρισ μό τους, η παρατήρησ ή τους γίνεται καταγράφοντας την μεταβολή της έντασ ης του φωτός του σ υσ τήματος κατά τη διάρκεια μιας πλήρους περιόδου περισ τροφής (σ χήμα 1.3). Σχήμα 1.3.: Σχηματική απεικόνισ η των εκλείψεων σ ε ένα διπλό εκλειπτικό σ ύσ τημα ασ τέρων και γραφική παράσ τασ η της μεταβολής της λαμπρότητας του σ υσ τήματος (Manfred G., German Aerospace Center). 25

28 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασ τρομετρικοί Διπλοί (Astrometric Binaries) Οι ασ τρομετρικοί διπλοί ασ τέρες αποτελούν ζεύγος διπλών ασ τέρων του οποίου το ένα μέλος είναι πολύ αμυδρό για να είναι ορατό. Οι ασ τέρες αυτοί δεν μπορούν να παρατηρηθούν ούτε φασ ματοσ κοπικά, αλλά ούτε και φωτομετρικά. Η ύπαρξη τους προσ διορίζεται εξαιτίας της κυματοειδούς κινήσ εως του ορατού ασ τέρα. Η κίνησ η αυτή οφείλεται σ την περισ τροφή του γύρω από το κέντρο μάζας του σ υσ τήματος. Χαρακτηρισ τικό παράδειγμα διπλών α- σ τρομετρικών ασ τέρων είναι οι Σείριος Α και Β που βρίσ κονται σ τον ασ τερισ μό του Σείριου (σ χήμα 1.4). Σχήμα 1.4.: Α) Γραφική απεικόνισ η της φαινόμενης κίνησ ης του ασ τέρα Sirius A σ ε σ χέσ η με τους μακρινούς ασ τέρες υποβάθρου, του σ υνοδού του Sirius B και του κέντρου μάζας τους. Β) Τροχιακή κίνησ η του Sirius A και Sirius B ως προς το κέντρο μάζας του σ υσ τήματος (Rulison M., 26

29 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Φασ ματοσ κοπικοί Διπλοί (Spectroscopic Binaries) Πρόκειται για διπλά σ υσ τήματα ασ τέρων των οποίων τα μέλη βρίσ κονται τόσ ο κοντά, ώσ τε κατά την παρατήρησ ή τους με τηλεσ κόπιο φαίνονται ως ένας ασ τέρας. Η ύπαρξη των δύο μελών σ υνάγεται από φασ ματοσ κοπικές παρατηρήσ εις που δείχνουν περιοδική μεταβολή της μετατόπισ ης Doppler των φασ ματικών τους γραμμών (σ χήμα 1.5). Η απόσ τασ η μεταξύ των μελών ενός φασ ματοσ κοπικού διπλού σ υσ τήματος είναι της τάξης της 1 AU. Οι περίοδοι περισ τροφής τους κυμαίνονται από μερικές ημέρες έως μερικούς μήνες. Αν οι ασ τέρες του σ υσ τήματος είναι παρόμοιας λαμπρότητας τότε είναι δυνατό να παρατηρηθούν οι φασ ματικές γραμμές και των δύο μελών. Αντίθετα αν το ένα μέλος είναι πολύ αμυδρότερο του άλλου, τότε παρατηρούνται οι φασ ματικές γραμμές μόνο του λαμπρότερου ασ τέρα. Με βάσ η τα παραπάνω, υπάρχουν φασ ματοσ κοπικά διπλά σ υσ τήματα με διπλές φασ ματικές γραμμές και με μονές φασ ματικές γραμμές αντίσ τοιχα. Στο σ χήμα 1.5 φαίνεται ένα φασ ματοσ κοπικά διπλό σ ύσ τημα ασ τέρων με διπλές φασ ματικές γραμμές. Σχήμα 1.5.: Απεικόνισ η της περισ τροφής του ασ τέρα μεγαλύτερης μάζας Α και του ασ τέρα μικρότερης μάζας Β περί το κοινό τους κέντρο μάζας. Το παρατηρούμενο φάσ μα εμφανίζει περιοδική μετατόπισ η των φασ ματικών γραμμών. Η μετατόπισ η αυτή είναι σ υνάρτησ η του προσ ανατολισ μού του σ υσ τήματος ως προς τον παρατηρητή και της τροχιακής ταχύτητας των ασ τέρων ( 27

30 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οταν το επίπεδο περισ τροφής των ασ τέρων του σ υσ τήματος είναι κάθετο προς την ευθεία οράσ εως δεν είναι δυνατή η φασ ματοσ κοπική παρατήρησ η του σ υσ τήματος, καθώς δεν παρατηρείται μεταβολή των ακτινικών ταχυτήτων των μελών του. Σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωσ η οι ακτινικές ταχύτητες των ασ τέρων είναι ημιτονοειδείς σ υναρτήσ εις του χρόνου (σ χήμα 1.6). Σχήμα 1.6.: Σχηματική απεικόνισ η των ακτινικών ταχυτήτων ενός διπλού σ υσ τήματος ασ τέρων (αρισ τερά) και γραφική απεικόνισ η των ακτινικών ταχυτήτων των μελών του σ υσ τήματος (δεξιά), ( Ονοματολογία διπλών σ υσ τημάτων Κατά την ανακάλυψή τους τα διπλά σ υσ τήματα θεωρήθηκε ότι αποτελούν σ πάνιο φαινόμενο και γι αυτό υιοθετήθηκε ο παρακάτω τρόπος για την ονομασ ία τους. Στο πρώτο διπλό σ ύσ τημα που ανακαλύπτεται σ ε έναν ασ τερισ μό δίνεται το γράμμα R ακολουθούμενο από το όνομα του ασ τερισ μού, σ τον δεύτερο το S, σ τον τρίτο το Τ και σ υνεχίζει η ονομασ ία μέχρι το Ζ. Ετσ ι το πρώτο διπλό σ ύσ τημα σ τον ασ τερισ μό του Ηρακλή είναι το R Her. Στη σ υνέχεια χρησ ιμοποιούνται δύο γράμματα και το όνομα του ασ τερισ μού, RR, RS, RT έως και το ZZ. Μετά το ZZ χρησ ιμοποιούνται το ΑΑ, ΑΒ, ΑC... BB, BC, BD, παραλείποντας το J ώσ τε να μην δημιουργηθεί σ ύγχυσ η με το Ι. Με αυτόν τον τρόπο δημιουργούνται 334 σ υνδυασ μοί ονομάτων με τελευταίο να είναι ο QZ. Οταν η ονοματοδοσ ία έφτασ ε σ το QZ επήλθε και η σ υνειδητοποίησ η ότι τα διπλά σ υσ τήματα δεν αποτελούν σ πάνιο φαινόμενο. Ετσ ι από το 335 ο διπλό σ ύσ τημα ενός ασ τερισ μού και έπειτα δίνεται το όνομα V335, V336, V ακολουθούμενο από το όνομα του ασ τερισ μού. Εχουμε για παράδειγμα V335 Her, V850 Her, V1098 Her. 28

31 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.5. Γεωμετρία Roche Εχουν γίνει πολλές προσ πάθειες για την ακριβή περιγραφή της γεωμετρίας ενός διπλού σ υσ τήματος ασ τέρων. Μια από τις πιο ακριβείς προσ εγγίσ εις είναι το μοντέλο του Roche το οποίο διατυπώθηκε από το Γάλλο ασ τρονόμο Edouard Roche το Το μοντέλο αυτό βασ ίζεται σ την αρχή των ισ οδυναμικών επιφανειών και σ τηρίζεται σ τις παρακάτω υποθέσ εις (Kallrath and Milone 1999): 1. Οι ασ τέρες του σ υσ τήματος αλληλεπιδρούν βαρυτικά ως σ ημειακές πηγές που περιβάλλονται από κοινή φωτόσ φαιρα μηδενικής μάζας. 2. Οι περίοδοι των ελεύθερων μη ακτινικών ταλαντώσ εων είναι αμελητέες σ υγκρινόμενες με την τροχιακή περίοδο P του σ υσ τήματος. Σύμφωνα με αυτή την υπόθεσ η το σ χήμα του ασ τέρα σ ε ένα διπλό σ ύσ τημα καθορίζεται πλήρως από τη σ τιγμιαία δύναμη πεδίου. 3. Ο ασ τέρας περισ τρέφεται γύρω από τον άξονά του ως σ υμπαγές σ ώμα, απουσ ία διαφορικής περισ τροφής Το μοντέλο Roche Σύμφωνα με την αρχή των ισ οδυναμικών επιφανειών, το σ χήμα και τα φυσ ικά χαρακτηρισ τικά των μελών ενός διπλού σ υσ τήματος ασ τέρων καθορίζονται πλήρως από το ενεργό δυναμικό πάνω σ την επιφάνεια αυτή. Βασ ική υπόθεσ η του μοντέλου του Roche είναι να βρίσ κονται οι ασ τέρες σ ε υδροσ τατική ισ ορροπία. Επομένως τα δυναμικά υπολογίζονται για ασ τέρες που κινούνται σ ε κυκλικές τροχιές και περισ τρέφονται σ υγχρονισ μένα. Η σ υνισ ταμένη δύναμη που ασ κείται σ ε ένα σ ώμα μάζας m που βρίσ κεται σ ε κοντινή απόσ τασ η ή σ την επιφάνεια του καθενός ασ τέρα δίνεται από το νόμο του Νεύτωνα: F p + F g = mω 2 r (1.2) όπου F p είναι η δύναμη λόγω μεταβολών της πίεσ ης σ την επιφάνεια του ασ τέρα, F g είναι η βαρυτική δύναμη, ω είναι η γωνιακή ταχύτητα του σ υσ τήματος και r το διάνυσ μα από τον άξονα περισ τροφής σ το σ ώμα μάζας m (σ χήμα 1.7). Για όσ ο διάσ τημα το σ ώμα βρίσ κεται εντός του ασ τέρα ή σ την επιφάνειά του θα είναι ακίνητο σ το περισ τρεφόμενο σ ύσ τημα σ υντεταγμένων και δεν θα του ασ κείται δύναμης Coriolis. Τότε η δύναμη F p ανά μονάδα όγκου V μπορεί να γραφεί ως η κλίσ η της πίεσ ης: F p = V P (1.3) ενώ οι υπόλοιποι δύο όροι της εξίσ ωσ ης μπορούν να εκφρασ τούν με βάσ η την αρνητική κλίσ η ενός ενεργού δυναμικού ψ: 29

32 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ F g + mω 2 r = m ψ (1.4) Αντικαθισ τώντας σ τη σ χέσ η 1.2 τις σ χέσ εις 1.3 και 1.4 όπου ρ = m/v που οδηγεί σ το σ υμπέρασ μα ότι p και ψ είναι παράλληλα. P = ρ ψ (1.5) Σχήμα 1.7.: Σχηματική απεικόνισ η της γεωμετρίας ενός διπλού σ υσ τήματος ασ τέρων με μάζες Μ 1 και Μ 2 οι οποίοι απέχουν απόσ τασ η α. Η αρχή του σ υσ τήματος σ υντεταγμένων βρίσ κεται σ τον ασ τέρα 1 και όχι σ το κέντρο μάζας (COM). Παίρνοντας τον σ τροβιλισ μό της σ χέσ ης 1.5 ρ = ρ ψ = ρ ψ ρ ψ (1.6) επειδή όμως ο σ τροβιλισ μός της βάθμωσ ης είναι 0 για οποιαδήποτε σ υνάρτησ η για να ισ χύει η 1.6 πρέπει: ρ ψ = 0 ρ ψ p (1.7) Τα παραπάνω σ υνεπάγονται ότι οι επιφάνειες σ ταθερής πυκνότητας, το ενεργό δυναμικό και η πίεσ η σ υμπίπτουν. Εφόσ ον το είναι γνωσ τό το ψ μπορούμε να υπολογίσ ουμε το σ χήμα της αντίσ τοιχης ισ οδυναμικής επιφάνειας, ενώ το σ χήμα του ασ τέρα προκύπτει άμεσ α από τη σ χέσ η 1.7. Αν θεωρήσ ουμε ότι οι μάζες Μ 1 και Μ 2 έχουν σ φαιρική σ υμμετρική κατανομή προκύπτει εύκολα από τη σ χέσ η (1.4) ότι το ενεργό δυναμικό είναι: 30

33 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ψ = GM 2 s 1 GM 2 s ω2 r 2 (1.8) όπου s 1 και s 2 οι αποσ τάσ εις του σ ώματος μάζας m από τις μάζες M 1 και M 2 αντίσ τοιχα. Το δυναμικό αυτό δεν ισ χύει σ το εσ ωτερικό των ασ τέρων και δεν περιλαμβάνει την παλιρροϊκή αλληλεπίδρασ η, η οποία περιγράφεται από τον τεταρτοβάθμιο όρο και εμφανίζεται όταν το σ ύσ τημα δεν παρουσ ιάζει σ φαιρικά σ υμμετρική κατανομή μάζας. Εξαιτίας της γεωμετρίας του σ υσ τήματος ενδείκνυται να χρησ ιμοποιήσ ουμε σ φαιρικές σ υντεταγμένες για τη θέσ η του σ ώματος μάζας m. Στις σ φαιρικές σ υντεταγμένες: x = r sin θ cos ϕ = λr, y = r sin θ sin ϕ = µr, z = r cos θ = νr (1.9) ˆ Η πολική γωνία θ κυμαίνεται από 0 σ το +z πόλο έως 180 ο σ το z πόλο. ˆ Το αζιμούθιο φ από 0 έως 360 ξεκινώντας από τον άξονα x με φορά αντίσ τροφη των δεικτών του ρολογιού. Ο άξονας x σ ε ένα διπλό σ ύσ τημα έχει φορά προς το σ υνοδό ασ τέρα M 2 (σ χήμα 1.7). Το κέντρο μάζας του σ υσ τήματος βρίσ κεται πάνω σ τον άξονα x και η θέσ η του εξαρτάται από το λόγο των μαζών q = M 2 /M 1 του διπλού σ υσ τήματος. x COM = i M ix i = qa 1 + q i M i Από τις σ χέσ εις (1.8) και (1.9) και γνωρίζοντας ότι: s 1 = r, s 2 = r 2 2xa + a 2, r = (x x COM ) 2 + y 2 το ενεργό δυναμικό σ τις σ φαιρικές σ υντεταγμένες είναι: ψ(r, λ, ν) = GM 1 r GM 2 r 2 2arλ + α ω2 (r 2 (1 ν 2 ) 2rλ COM + x 2 COM) (1.10) Η σ χέσ η (1.10) χρησ ιμοποιώντας τον 3 o νόμο του Kepler: ω 2 α 3 = G(M 1 + M 2 ) και τη θέσ η του κέντρου μάζας γίνεται: ψ(r, λ, ν) = GM [ ( 1 a a r + q a r 2 2arλ + a rλ ) + 1 r 2 2 α 2 a 2 (1 + q)(1 ν2 ) + 1 q 2 ] q (1.11) Στο σ ημείο αυτό μπορούμε να εισ άγουμε ένα αδιάσ τατο δυναμικό Ω το οποίο σ υνδέεται με το δυναμικό ψ(r, λ, v) με τη σ χέσ η: q 2 Ω = αψ 1 GM q 31

34 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ η οποία αντικαθισ τώντας το ψ και ορίζοντας την αδιάσ τατη μεταβλητή k = r/α μετασ χηματίζεται σ τη μορφή: Ω = 1 ( ) k + q 1 k 2 2kλ + 1 kλ (1 + q)(1 ν2 )k 2 (1.12) Αυτή η μορφή για το δυναμικό προτάθηκε από τον Kopal (1959) και πολλές φορές αναφέρεται ως τροποποιημένο δυναμικό Κοπάλ. Σε αυτή την έκφρασ η του δυναμικού η αρχή των αξόνων βρίσ κεται σ το κέντρο του ασ τέρα μάζας Μ 1. Το δυναμικό για τον ασ τέρα Μ 2 προκύπτει από την σ υμμετρική αντισ τροφή των Ω και q: Ω = Ω q + 1 q 1, q = 1 2 q q Τα δυναμικά Ω και Ω βρίσ κουν εφαρμογή μόνο για κυκλικές τροχιές και σ ύγχρονες περισ τροφές. Η λύσ η για το ασ ύγχρονο πρόβλημα εισ ήχθη αρχικά από τον Plavec (1958) και έπειτα από τον Limber (1963). Ο Avni (1976) διερεύνησ ε μια γενίκευσ η του μοντέλου του Roche για έκκεντρες τροχιές. Ο Wilson (1979) σ υνδύασ ε τις λύσ εις για το έκκεντρο και ασ ύγχρονο πρόβλημα και οδηγήθηκε σ την παρακάτω σ χέσ η: Ω = 1 ( k + q 1 δ 2 k 2 2kλδ kλ ) F 2 (1 + q)k 2 (1 ν 2 ) (1.13) Οπου δ = D/α είναι η σ τιγμιαία απόσ τασ η μεταξύ των δύο μελών του σ υσ τήματος κανονικοποιημένη σ τον μεγάλο ημιάξονα και F είναι ο παράγοντας σ υγχρονισ μού ο οποίος ορίζεται ως: F = ωrot ω obs. Για σ ύγχρονη περισ τροφή και κυκλικές τροχιές F = Ταξινόμησ η των διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων Τα διπλά εκλειπτικά σ υσ τήματα μπορούν να ταξινομηθούν με δύο τρόπους: ˆ Με βάσ η τα μορφολογικά χαρακτηρισ τικά του σ υσ τήματος ˆ Με βάσ η τη μορφή της καμπύλης φωτός τους δ Μορφολογική ταξινόμησ η των διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων Η μορφολογία των διπλών ασ τέρων είναι ιδιαιτέρως σ ημαντική καθώς επηρεάζει την εξέλιξη και την παρατηρούμενη εμφάνισ η του σ υσ τήματος. Το σ χήμα των ασ τέρων σ ε ένα διπλό σ ύσ τημα εξαρτάται αποκλεισ τικά από την τιμή των ενεργών δυναμικών Ω και Ω των μελών του σ υσ τήματος για τα οποία ισ χύει: Ω = 1 ( ) k + q 1 k 2 2kλ + 1 kλ (1 + q)(1 ν2 )k 2 (1.14) Ω = Ω q + 1 q 1, q = 1 2 q q (1.15) 32

35 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μορφολογική ταξινόμησ η των διπλών σ υσ τημάτων ασ τέρων επιτυγχάνεται με την εισ αγωγή του παράγοντα πλήρωσ ης f (lling factor) ο οποίος ορίζεται ως εξής: f = Ω ΩL 1 crit Ω L 2 crit ΩL 1 crit (1.16) όπου Ω L 1 crit το εσ ωτερικό λαγκρανζιανό σ ημείο και ΩL 2 crit το εξωτερικό. Ο ορισ μός του παράγοντα πλήρωσ ης σ τηρίζεται σ την ύπαρξη των σ ημείων Lagrange δηλαδή σ ημείων σ τα οποία η σ υνισ ταμένη δύναμη που ασ κείται πάνω σ ε μια σ ημειακή μάζα είναι μηδέν. Υπάρχουν πέντε τέτοια σ ημεία σ ε κάθε σ ύσ τημα δύο σ ωμάτων. Τα L 1, L 2, L 3 που βρίσ κονται πάνω σ τον x-άξονα και τα L 4, L 5 τα οποία βρίσ κονται σ τη διεύθυνσ η του y-άξονα (σ χήμα 1.8). Τα σ ημεία Lagrange αποτελούν τις λύσ εις της εξίσ ωσ ης: εάν περιορισ τούμε σ τον x-άξονα η σ χέσ η 1.17 γίνεται: F = m Ω = 0 (1.17) F x = m dω (1.18) dx τότε τα σ ημεία L 1, L 2, L 3 βρίσ κονται κατά μήκος του x-άξονα εκεί όπου dω/dx = 0 και είναι οι τρείς κορυφές που φαίνονται σ το σ χήμα 1.9. Στα τρία αυτά σ ημεία ισ ορροπίας οι βαρυτικές δυνάμεις που δέχεται ένα σ ώμα μάζας m από τους ασ τέρες του σ υσ τήματος M 1 και M 2, εξισ ορροπούνται από τις φυγόκεντρες δυνάμεις. Σημεία σ το χώρο γύρω από τους ασ τέρες του σ υσ τήματος που μοιράζονται το ίδιο δυναμικό Ω σ χηματίζουν ισ οδυναμικές επιφάνειες. Οπως φαίνεται σ το σ χήμα 1.10 οι ισ οδυναμικές επιφάνειες πολύ κοντά σ τους ασ τέρες του σ υσ τήματος είναι σ χεδόν σ φαιρικές, με κέντρο τον ασ τέρα. Μακρύτερα, η σ υνδιασ μένη επίδρασ η των βαρυτικών δυνάμεων εξαιτίας των M 1 και M 2 δίνει σ τις ισ οδυναμικές επιφάνειες σ χήματα σ ταγόνας έως ότου αυτές έρθουν σ ε επαφή σ το εσ ωτερικό σ ημείο Lagrange L 1, σ χηματίζοντας αυτό που είναι γνωσ τό ως λοβός του Roche (Roche lobe). Σε ακόμα μεγαλύτερες αποσ τάσ εις σ χηματίζουν ένα σ χήμα αλτήρα (dumbbell) που περιβάλλει και τους δύο ασ τέρες. Ο λοβός του Roche παίζει πολύ σ ημαντικό ρόλο σ την μορφολογική ταξινόμησ η των σ τενών διπλών ασ τέρων. Από την σ χέσ η 1.16 παρατηρούμε ότι όταν το μέλος γεμίζει το λοβό Roche τότε f = 0. Αλλά όταν ένα μέλος βρίσ κεται εντός του λοβού Roche τότε μπορεί f < 0. 33

36 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σχήμα 1.8.: Σημεία Lagrange σ ε ένα περισ τρεφόμενο σ ύσ τημα δύο σ ωμάτων. Τα L 1, L 2, L 3 βρίσ κονται κατα μήκος της γραμμής που περνά από το κέντρο των δύο ασ τέρων, ενώ τα σ ημεία L 4, L 5 σ χηματίζουν ισ όπλευρα τρίγωνα με κορυφές τα σ ημεία και κοινή βάσ η την απόσ τασ η μεταξύ των ασ τέρων του σ υσ τήματος (Carroll & Ostlie 2006). Σχήμα 1.9.: Το ενεργό βαρυτικό δυναμικό για ένα σ ύσ τημα δύο ασ τέρων με μάζες M 1 και M 2 με M 2 /M 1 = 0.2 και α = R, κατά μήκος του x-άξονα. Το κέντρο μάζας του σ υσ τήματος βρίσ κεται σ την αρχή των αξόνων. Ο x-άξονας είναι σ ε μονάδες μεγάλου ημιάξονα της τροχιάς (α), ενώ ο y σ ε G(M 1 + M 2 )/a. Η διακεκομμένη γραμμή αντισ τοιχεί σ την τιμή του δυναμικού Ω σ το εσ ωτερικό σ ημείο Lagrange L 1. Αν η σ υνολική ενέργεια ανά μονάδα μάζας ενός σ ωματίου ξεπερνά αυτό το όριο, τότε αυτό μπορεί να κυλίσ ει δια μέσ ου του εσ ωτερικού σ ημείου Lagrange ανάμεσ α των δύο ασ τέρων (Carroll & Ostlie 2006). 34

37 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σχήμα 1.10.: Ισ οδυναμικές επιφάνειες για διάφορες τιμές του ενεργού δυναμικού Ω, για ένα διπλό σ ύσ τημα ασ τέρων με μάζες M 1 και M 2. Οι άξονες είναι σ ε μονάδες του α, ενώ με σ υμβολίζεται το κέντρο μάζας του σ υσ τήματος που βρίσ κεται σ την αρχή των αξόνων (Carroll & Ostlie 2006). Με βάσ η τα παραπάνω τα διπλά εκλειπτικά σ υσ τήματα διακρίνονται ως προς τη μορφολογία τους σ τις εξής κατηγορίες: Αποχωρισ μένα διπλά σ υσ τήματα (detached binaries). Τα σ υσ τήματα αυτά χαρακτηρίζονται από f < 0 και οι φωτόσ φαιρες και των δύο μελών βρίσ κονται εντός των αντίσ τοιχων λοβών Roche. Σε ένα τέτοιο σ ύσ τημα τα μέλη του αλληλεπιδρούν μόνο βαρυτικά μεταξύ τους. Η εξέλιξή τους είναι ανεξάρτητη και γι αυτό μπορούν να χρησ ιμοποιηθούν ως ιδανικά εργασ τήρια για την μελέτη των ιδιοτήτων μεμονωμένων ασ τέρων. Ημι-αποχωρισ μένα διπλά σ υσ τήματα (semi-detached binaries). Τέτοια σ υσ τήματα χαρακτηρίζονται από f = 0. Σε αυτά η φωτόσ φαιρα του ενός βρίσ κεται εντός του λοβού Roche, ενώ του άλλου έχει πληρώσ ει τον αντίσ τοιχο λοβό Roche. Τα ημι-αποχωρισ μένα σ υσ τήματα παρουσ ιάζουν σ υχνά φαινόμενα μεταφοράς μάζας, μαγνητικής σ ύζευξης των δύο μελών και περιασ τρικά νέφη. Διπλά σ υσ τήματα σ ε επαφή (contact binaries). Τέτοια σ υσ τήματα χαρακτηρίζονται από fɛ(0, 1]. Τα μέλη του σ υσ τήματος βρίσ κονται σ ε πολύ κοντινές αποσ τάσ εις σ ε σ χέσ η με τις ακτίνες τους και σ υχνά αναπτύσ σ ονται παλιρροϊκές δυνάμεις οι οποίες επηρεάζουν τη σ υμπεριφορά και τη γεωμετρία του σ υσ τήματος. Οι φωτόσ φαιρες και των δύο μελών έχουν πληρώσ ει τους αντίσ τοιχους λοβούς Roche και μοιράζονται ένα κοινό περίβλημα (common 35

38 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ envelope), ενώ μάζα μπορεί να μεταφερθεί από τον ένα ασ τέρα σ τον άλλο διαμέσ ου του εσ ωτερικού σ ημείου Lagrange. Η εξέλιξη των δύο μελών είναι σ υζευγμένη. Διπλά σ υσ τήματα σ ε υπερ-επαφή (overcontact binaries). Τέτοια σ υσ τήματα χαρακτηρίζονται από f > 1. Τα μέλη του σ υσ τήματος βρίσ κονται σ ε πολύ κοντινές αποσ τάσ εις σ ε σ χέσ η με τις ακτίνες τους και έχουν και οι δύο ασ τέρες υπερπληρώσ ει τους λοβούς Roche. Τα μέλη του σ υσ τήματος μοιράζονται την ίδια εξωτερική φωτόσ φαιρα. Η εξέλιξη των μελών του σ υσ τήματος είναι σ υζευγμένη. Σχήμα 1.11.: Σχηματικές απεικονίσ εις των διαφόρων μορφολογικών τύπων των διπλών ε- κλειπτικών σ υσ τημάτων. Πάνω αρισ τερά αποχωρισ μένο σ ύσ τημα, πάνω δεξιά ήμι-αποχωρισ μένο σ ύσ τημα. Κάτω αρισ τερά σ ύσ τημα σ ε επαφή, κάτω δεξιά σ ύσ τημα σ ε υπερ-επαφή ( Φαινομενολογική ταξινόμησ η των διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων Με βάσ η τη μορφή της καμπύλης φωτός τα διπλά εκλειπτικά σ υσ τήματα ταξινομούνται σ τις εξής κατηγορίες: Algols (EA) Ο πρωτότυπος ασ τέρας αυτής της κατηγορίας είναι ο β Persei, που είναι γνωσ τός ως Algol. Τα Algols είναι σ υσ τήματα των οποίων η καμπύλη φωτός (σ χήμα 1.9) παρουσ ιάζει πολύ μικρές μεταβολές μεταξύ των εκλείψεων, ενώ τα ελάχισ τα αποτελούν μικρό 36

39 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ποσ οσ τό της καμπύλης φωτός. Εάν υπάρχει σ ημαντική διαφορά σ τη φωτεινότητα των δύο μελών του σ υσ τήματος τότε το πρωτεύον ελάχισ το θα είναι εμφανές ενώ το δευτερεύον μπορεί να μην είναι παρατηρήσ ιμο (σ χήμα 1.12 πάνω). Τα σ υσ τήματα Algol είναι σ υνήθως αποχωρισ μένα σ υσ τήματα (detached), οπότε οι ασ τέρες βρίσ κονται σ ε μεγάλη απόσ τασ η μεταξύ τους και έχουν προσ εγγισ τικά σ φαιρικό σ χήμα. Εχουν παρατηρηθεί και ημι-αποχωρισ μένα σ υσ τήματα Algol (semi-detached) σ τα οποία ο ένας ασ τέρας έχει γεμίσ ει το λοβό Roche και μεταφέρει ύλη σ το σ υνοδό του. Οι περίοδοι των σ υσ τημάτων Algol κυμαίνονται από 0.2 ημέρες έως μερικά χρόνια. β Lyrae (EB) Ο πρωτότυπος ασ τέρας αυτής της κατηγορίας είναι ο β Lyrae. Τα μέλη των σ υσ τημάτων αυτής της κατηγορίας είναι αρκετά κοντά ώσ τε να παρατηρείται αμοιβαία βαρυτική παραμόρφωσ η. Η καμπύλη φωτός τέτοιων σ υσ τημάτων (σ χήμα 1.12 μέσ ον) παρουσ ιάζει σ υνεχείς διακυμάνσ εις και οι εκλείψεις καταλαμβάνουν μεγάλο τμήμα της καμπύλης φωτός. Το πρωτεύον ελάχισ το είναι ευδιάκριτο και μπορεί να παρατηρηθεί μείωσ η της φωτεινότητας έως δύο μεγέθη. Η διαφορά σ το βάθος των ελαχίσ των καταδεικνύει τη διαφορά θερμοκρασ ίας των δύο μελών. Τα β Lyrae είναι κατά κανόνα ημι-αποχωρισ μένα σ υσ τήματα (semi-detached). W UMa (EW) Ο πρωτότυπος ασ τέρας αυτής της κατηγορίας είναι ο W της Μεγάλης Άρκτου (W Ursae Majoris), ο οποίος έχει περίοδο μικρότερη της μιας ημέρας. Οι ασ τέρες αυτής της κατηγορίας είναι φασ ματικού τύπου F, G ή K. Τα μέλη αυτών των σ υσ τημάτων βρίσ κονται σ ε επαφή ή σ χεδόν σ ε επαφή. Η καμπύλη φωτός (σ χήμα 1.12 κάτω) τους παρουσ ιάζει σ υνεχείς μεταβολές, ενώ το εύρος των εκλείψεων είναι σ υχνά μικρότερο των 0.8 μεγεθών. Οι ασ τέρες βρίσ κονται τόσ ο κοντά που η περίοδος περισ τροφής μπορεί να είναι μερικές ώρες Διπλά σ υσ τήματα σ ε επαφή (Contact Binaries) Τα διπλά σ υσ τήματα ασ τέρων σ ε επαφή αποτελούν μια ομάδα σ υσ τημάτων των οποίων και τα δύο μέλη βρίσ κονται πέριξ της κύριας ακολουθίας σ το διάγραμμά H-R. Αποτελούνται από ασ τέρες φασ ματικού τύπου από Ο έως Κ και γι αυτό περιλαμβάνουν διαφορετικές κατηγορίες σ υσ τημάτων. Η πιο κοινή και πολυπληθής κατηγορία είναι αυτή των σ υσ τημάτων W UMa, τα οποία αποτελούνται από ασ τέρες φασ ματικού τύπου από F έως Κ. Οι ασ τέρες αυτής της κατηγορίας παρουσ ιάζουν παρόμοιες θερμοκρασ ίες και φωτεινότητες παρά τη μεγάλη διαφορά μαζών Binnendijk (1965). Η ολική μάζα αυτών των σ υσ τημάτων κυμαίνεται από 1 έως 3 M και οι περίοδοί τους κυμαίνονται από 0.22 έως 1 ημέρα. Εχοντας ως δεδομένο ότι τα μέλη ενός W-UMa σ υσ τήματος είναι ασ τέρες της κύριας ακολουθίας και ότι χαρακτηρίζονται από παρόμοιες θερμοκρασ ίες και φωτεινότητες απαιτείται η ύπαρξη ενός μηχανισ μού που να εξισ ορροπεί τις παραπάνω ποσ ότητες. Ενας τέτοιος μηχανισ μός προτάθηκε από την Lucy (1968 a, b) σ ύμφωνα με τον οποίο οι δύο ασ τέρες έχουν γεμίσ ει τους λοβούς Roche και βρίσ κονται σ ε επαφή, έτσ ι μάζα και φωτεινότητα μεταφέρονται διά μέσ ου του εσ ωτερικού σ ημείου Lagrange από τον πρωτεύοντα σ τον δευτερεύοντα ασ τέρα. 37

40 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι δύο ασ τέρες περιβάλλονται από κοινή φωτόσ φαιρα σ χεδόν σ ταθερής θερμοκρασ ίας σ την οποία η ακτινοβολία διαδίδεται με ρεύματα (convective). Οπως αναφέρθηκε παραπάνω τα μέλη ενός διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή βρίσ κονται σ την κύρια ακολουθία, σ ύμφωνα με τον Kuiper (1941) για μεμονωμένους ασ τέρες της κύριας ακολουθίας ισ χύει η σ χέσ η: L 1 /L 2 = (M 2 /M 1 ) Για τα μέλη των W UMa σ υσ τημάτων αυτή η σ χέσ η δεν μπορεί να ισ χύει γιατί δεν μπορεί να ερμηνεύσ ει τη μορφή των καμπυλών φωτός τους, καθώς και τις παρόμοιες θερμοκρασ ίες που παρουσ ιάζουν. Από το μοντέλο που πρότεινε η Lucy (1968) προκύπτει η σ χέσ η: L 1 /L 2 = (M 2 /M 1 ) 0.92, η οποία μπορεί να εξηγήσ ει επαρκώς τα παραπάνω. Σχήμα 1.12.: Χαρακτηρισ τικές καμπύλες φωτός για διπλά σ υσ τήματα Algol (πάνω), β Lyrae (κέντρο), W UMa (κάτω), (Wilson R. E., University of Florida). 38

41 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Διαχωρισ μός των W UMa σ υσ τημάτων Τα W UMa σ υσ τήματα χωρίζονται σ ε δύο υποκατηγορίες τύπου Α και τύπου W. Στα σ υσ τήματα τύπου W ο θερμότερος ασ τέρας είναι αυτός με τη μικρότερη μάζα, ενώ σ τα σ υσ τήματα τύπου Α ο θερμότερος ασ τέρας είναι αυτός με τη μεγαλύτερη μάζα Binnendijk (1965b, 1970). Ο Wilson (1978) βασ ιζόμενος σ ε παρατηρησ ιακά δεδομένα των W UMa οδηγήθηκε σ το σ υμπέρασ μα ότι τα τύπου W τείνουν να έχουν λόγο μαζών q > 0.3, φασ ματικούς τύπους G και Κ και χαρακτηρίζονται από μικρότερες τροχιακές περιόδους P < 0.3 ημέρες. Αντίθετα τα σ υσ τήματα τύπου Α έχουν λόγο μαζών q < 0.3, φασ ματικούς τύπους F και A και μεγαλύτερες τροχιακές περιόδους P > 0.3 ημέρες. Παρατηρήθηκε ότι τα σ υσ τήματα Α- τύπου έχουν μεγαλύτερη σ υνολική μάζα και είναι πιο εξελιγμένα σ ε σ χέσ η με τα W-τύπου, το οποίο επιβεβαιώθηκε από τον Mochnacki (1981). Τοποθετώντας τα μέλη των W UMa σ υσ τημάτων σ ε διαγράμματα μάζας-ακτίνας παρατηρείται ότι οι πρωτεύοντες ασ τέρες κάθε σ υσ τήματος σ υμπεριφέρονται ως τυπικοί ασ τέρες της κυρίας ακολουθίας. Αντίθετα οι δευτερεύοντες ασ τέρες παρουσ ιάζουν μάζες έως και 10 φορές μεγαλύτερες από τις αναμενόμενες μάζες ασ τέρων κύριας ακολουθίας μηδενικής ηλικίας (ZAMS). Ετσ ι σ το διάγραμμα H-R οι δευτερεύοντες ασ τέρες των σ υσ τημάτων W UMa εδράζονται αρισ τερά της κύριας ακολουθίας, σ ε αντίθεσ η με ότι προβλέπεται από την τυπική θεωρία ασ τρικής εξέλιξης. Η παραπάνω ανωμαλία οφείλεται σ το ότι η θερμοκρασ ία που αποδίδεται σ τον δευτερεύοντα ασ τέρα από τη λύσ η της καμπύλης φωτός αντισ τοιχεί σ την θερμοκρασ ία του κοινού περιβλήματος που περιβάλλει τον ασ τέρα και όχι σ τη θερμοκρασ ία που θα είχε ως μεμονωμένος ασ τέρας Σχηματισ μός και εξέλιξη των W UMa σ υσ τημάτων Τα διπλά σ υσ τήματα τύπου W UMa θεωρείται ότι σ χηματίζονται από αποχωρισ μένα σ υσ τήματα μικρής σ υνολικής μάζας, με περίοδο περισ τροφής μικρότερη της μιας ημέρας τα οποία χάνουν σ τροφορμή εξαιτίας μαγνητικών ανέμων. Καθώς η τροχιά σ υρρικνώνεται το ίδιο σ υμβαίνει και με τους λοβούς Roche ξεκινώντας από αυτόν που αντισ τοιχεί σ τον ασ τέρα μεγαλύτερης μάζας. Αυτό σ ύμφωνα με τους Sarna & Fedorova (1989) έχει ως αποτέλεσ μα την υπερχείλισ η του πρωτεύοντος λοβού Roche και τη μεταφορά μάζας προς το δευτερεύοντα σ ε μια χρονική περίοδο 10 7 ετών. Οταν έχει μεταφερθεί μάζα ίσ η με το 2% του πρωτεύοντα ασ τέρα σ τον δευτερεύοντα παρατηρείται ο σ χηματισ μός ενός διπλού σ ε επαφή σ υσ τήματος. 39

42 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 40

43 2. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ 2.1. Προετοιμασ ία και σ χεδιασ μός παρατηρήσ εων Οι ασ τρονομικές παρατηρήσ εις με τηλεσ κόπιο για να είναι επιτυχημένες απαιτούν σ χεδιασ μό και οργάνωσ η. Για τους προς παρατήρησ η ασ τρονομικούς σ τόχους είναι απαραίτητο να είναι γνωσ τές οι παράμετροι που καθορίζουν τη θέσ η τους και την πορεία τους σ τον ουράνιο θόλο κατά τη διάρκεια των νυχτών παρατήρησ ης. Οι απαραίτητοι παράμετροι για την οργάνωσ η των παρατηρήσ εων είναι το ύψος και το αζιμούθιο του προς παρατήρησ η σ τόχου, η θέσ η του ως προς τη Σελήνη, καθώς επίσ ης και οι ώρες ασ τρονομικού λυκόφωτος και λυκαυγούς. Σημαντικό σ τοιχείο για τον σ χεδιασ μό μακράς διάρκειας παρατηρήσ εων είναι η ορατότητα του σ τόχου κατά τη διάρκεια του έτους. Η γνώσ η των παραπάνω παραμέτρων είναι απαραίτητη ώσ τε να διασ φαλισ τεί η ποιότητα των δεδομένων που θα ληφθούν. Ετσ ι κατά την οργάνωσ η των παρατηρήσ εων εκτός από το να βρεθεί πότε είναι ορατός ο σ τόχος από το παρατηρητήριο, είναι αναγκαίο να υπολογισ τεί το ύψος του (ως προς το επίπεδο του ορίζοντα) κατά τη διάρκεια της νύχτας. Το ύψος σ το οποίο βρίσ κεται ο ασ τέρας κατά τη διάρκεια της νύχτας καθορίζει τη διαδρομή του ασ τρικού φωτός διαμέσ ου της ατμόσ φαιρας. Το ασ τρικό φως διερχόμενο μέσ α από την ατμόσ φαιρα υφίσ ταται απώλειες λόγω αποσ βέσ εως οι οποίες επηρεάζουν την ποιότητα των παρατηρήσ εων. Η ατμοσ φαιρική απόσ βεσ η είναι η μείωσ η της έντασ ης της ακτινοβολίας μιας φωτεινής πηγής το φως της οποίας διέρχεται μέσ α από την γήινη ατμόσ φαιρα. Η μείωσ η αυτή οφείλεται σ την απορρόφησ η και τη σ κέδασ η της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας από σ κόνη και αέρια της ατμόσ φαιρας. Η ατμοσ φαιρική απόσ βεσ η αυξάνεται όσ ο αυξάνεται η απόσ τασ η που διανύει μέσ α σ τη γήινη ατμόσ φαιρα το φως που προέρχεται από την παρατηρούμενη φωτεινή πηγή. Προκειμένου να υπάρχει ένα μέτρο της ατμοσ φαιρικής απόσ βεσ ης εισ άγεται η παράμετρος αέρια μάζα (airmass). Η αέρια μάζα ορίζεται ως το μήκος της διαδρομής ε- ντός της ατμόσ φαιρας που διανύει το φως της πηγής έως το παρατηρητήριο. Αν Ζ είναι η ζενίθια γωνία του αντικειμένου τότε το μήκος της διαδρομής μεταβάλλεται σ ύμφωνα με τη σ χέσ η 1/cosΖ. Ασ τέρας που βρίσ κεται σ το ζενίθ του τόπου παρατήρησ ης έχει αέρια μάζα 1, ενώ όσ ο απομακρύνεται από το ζενίθ η τιμή αυξάνεται. Μια οριακή τιμή αέριας μάζας για λήψη φωτομετρικά αξιόπισ των παρατηρήσ εων είναι το 2. Επομένως προκειμένου να έχουμε αξιόπισ τες παρατηρήσ εις ο σ τόχος πρέπει να βρίσ κεται σ ε ύψος άνω των 30 ο. Στην οργάνωσ η των παρατηρήσ εων για τον υπολογισ μό των παραπάνω παραμέτρων για κάθε νύχτα παρατηρήσ εων έγινε χρήσ η του προγράμματος JSkyCalc (Thorstensen J. 2008). Το πρόγραμμα αυτό εισ άγοντας τις γεωγραφικές σ υντεταγμένες του παρατηρητηρίου καθώς και τις ουρανογραφικές σ υντεταγμένες του αντικειμένου παρέχει τις εξής παραμέτρους: 41

44 2. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ˆ Αζιμούθιο, ύψος, ωριαία γωνία και αέριο μάζα του υπό παρατήρησ η σ τόχου ˆ Ορια λυκόφωτος και λυκαυγούς ˆ Θέσ η και φάσ η της Σελήνης, καθώς και θέσ η του Ηλιου Παρέχεται επίσ ης η δυνατότητα εμφάνισ ης πινάκων και διαγραμμάτων της αέριας μάζας ως προς το χρόνο, αλλά και της θέσ ης του ασ τέρα παρατήρησ ης, της Σελήνης και του Ηλίου σ ε γραφικό περιβάλλον τύπου πλανηταρίου. Για τον μεταβλητό ασ τέρα V1098 Her με ορθή αναφορά (RA J2000 ) 17h 39m 37.21s και απόκλισ η (Dec J2000 ) +50 o που αποτελεί το αντικείμενο μελέτης της παρούσ ας εργασ ίας, το πρόγραμμα JSkyCalc ενδεικτικά για μια από τις νύχτες παρατήρησ ης (5-6 Μαΐου 2015) παρέχει τις παρακάτω πληροφορίες. Ο ασ τέρας ανατέλλει σ τις 17:36 και δεν δύει κατά τη διάρκεια της νύχτας, ενώ βρίσ κεται σ το ζενίθ σ τις 4:19. Εχει τιμή αέριας μάζας μικρότερη του 2 από τις 22:30 και έπειτα, οπότε μπορούν να ληφθούν αξιόπισ τα φωτομετρικά δεδομένα. Δύσ η Ηλίου σ τις 20:28, λήξη λυκόφωτος σ τις 22:09, ανατολή Σελήνης σ τις 21:47 και έναρξη λυκαυγούς σ τις 4:50 (σ χήμα 2.1). Η Σελήνη βρίσ κεται 1.7 μέρες μετά την Πανσ έληνο και απέχει 70 ο γωνιώδη απόσ τασ η από τον ασ τέρα. Παρέχει επίσ ης το διαγράμματα της αέριας μάζας ως προς το χρόνο για τον ασ τέρα (σ χήμα 2.2) και πίνακα με την παρατηρησ ιμότητα του ασ τέρα σ τη διάρκεια των επόμενων μηνών (σ χήμα 2.3). Με βάσ η τον πίνακα του σ χήματος 2.3 γίνεται ο σ χεδιασ μός των μελλοντικών παρατηρήσ εων του σ υγκεκριμένου ασ τέρα. 42

45 2. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ Σχήμα 2.1.: Αρισ τερά φαίνεται το κεντρικό μενού του JSkyCalc σ το οποίο παρέχονται οι απαραίτητες πληροφορίες για επιλεγμένο ασ τέρα, ενώ δεξιά φαίνεται πίνακας με ώρες έναρξης και λήξης λυκόφωτος και λυκαυγούς, καθώς και ώρες ανατολής και δύσ ης Ηλίου και Σελήνης έτσ ι ώσ τε να είναι δυνατή η οργάνωσ η των παρατηρήσ εων. 43

46 2. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ Σχήμα 2.2.: Γραφική απεικόνισ η της μεταβολής της αέριας μάζας (airmass) του αντικειμένου καθώς και του ύψους της Σελήνης κατά τη διάρκεια της νύχτας. Σχήμα 2.3.: Πίνακας παρατηρησ ιμότητας του ασ τέρα σ τη διάρκεια των επόμενων μηνών. Δίνεται ο αριθμός ωρών για τι οποίες το αντικείμενο βρίσ κεται κάτω από σ υγκεκριμένη τιμή αέριας μάζας. 44

47 2.2. Παρατηρήσ εις 2. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ Οι φωτομετρικές παρατηρήσ εις της παρούσ ας εργασ ίας πραγματοποιήθηκαν με το τηλεσ κόπιο τύπου Schmidt-Cassegrain της Celestron διαμέτρου 14 και εσ τιακού λόγου f/6.3 και την CCD κάμερα SBIG-10XME του ασ τεροσ κοπείου Μυθωδία, του Τμήματος Φυσ ικής του Πανεπισ τημίου Πατρών. Ο σ υνδυασ μός τηλεσ κοπίου και κάμερας δίνει ένα οπτικό πεδίο (eld of view) λεπτά του τόξου (arcmins). Κάθε CCD κάμερα αποτελείται από μια ορθογώνια διάταξη από φωτό-ευαίσ θητες περιοχές που ονομάζονται εικονοσ τοιχεία (pixels). Οι CCD κάμερες χρησ ιμοποιούνται σ την Ασ τρονομία προκειμένου να μετρηθεί η ροή φωτονίων σ ε κάθε εικονοσ τοιχείο. Η ροή αυτή δεν μπορεί να μετρηθεί σ τιγμιαία. Για το λόγο αυτό γίνεται μέτρησ η των φωτονίων που σ υσ σ ωρεύονται σ ε κάθε εικονοσ τοιχείο κατά τη διάρκεια του χρόνου έκθεσ ης t του αντικειμένου. Κάθε εικόνα που λαμβάνεται με μια CCD κάμερα περιέχει: ˆ Ενα σ ήμα bias που είναι σ ταθερό ˆ Συσ τηματικές μεταβολές σ το σ ήμα bias ˆ Τυχαίες μεταβολές σ το σ ήμα bias ˆ Ενα εξαρτώμενο από την θερμοκρασ ία ρεύμα σ κότους ˆ Συσ τηματική μεταβολή του ρεύματος σ κότους ˆ Τυχαία μεταβολή του ρεύματος σ κότους ˆ Το σ ήμα που δημιουργείται από τα προσ πίπτοντα σ τη CCD φωτόνια Προκειμένου να μπορεί να μελετηθεί το σ ήμα του παρατηρούμενου σ τόχου πρέπει να αφαιρεθούν οι παραπάνω πηγές θορύβου, καθώς και να ελεγχθεί η ομοιομορφία της ευαισ θησ ίας της CCD. Γι αυτό κατά τη διάρκεια των παρατηρήσ εων λαμβάνονται εικόνες βαθμονόμησ ης, bias, dark, και at (bias, σ κοτεινές και εικόνες επιπεδοποίησ ης). ˆ Το bias είναι το ελάχισ το σ ήμα που είναι ρυθμισ μένη να δίνει μια CCD απουσ ία φωτός. Θεωρητικά μια CCD που βρίσ κεται σ το απόλυτο σ κοτάδι και ο χρόνος έκθεσ ης είναι μηδενικός πρέπει να παρουσ ιάζει ακριβώς το ίδιο επίπεδο bias σ ε κάθε εικονοσ τοιχείο της, καθώς δεν παράγονται φωτο-ηλεκτρόνια αλλά ούτε και θερμικά ηλεκτρόνια. Παρόλα αυτά το επίπεδο bias παρουσ ιάζει διακυμάνσ εις. Για το λόγο αυτό λαμβάνονται οι εικόνες bias έτσ ι ώσ τε να βρεθεί το επίπεδο bias και να αφαιρεθεί. ˆ Το ρεύμα σ κότους είναι η σ υσ σ ώρευσ η φορτίου σ ε κάθε εικονοσ τοιχείο ακόμα και απουσ ία φωτός. Αυτό σ υμβαίνει γιατί η κάμερα δεν ψύχεται κοντά σ το απόλυτο μηδέν και έτσ ι οι θερμικές διακυμάνσ εις σ το πυρίτιο απελευθερώνουν ηλεκτρόνια. Το ρεύμα σ κότους εξαρτάται από τη θερμοκρασ ία σ την οποία λειτουργεί η CCD και αυξάνεται με την αύξησ η του χρόνου έκθεσ ης. Για να αφαιρεθεί αυτό το επιπλέον σ ήμα που εισ άγεται σ ε κάθε εικόνα εξαιτίας του ρεύματος σ κότους, λαμβάνονται οι σ κοτεινές εικόνες. Για να υπολογισ τεί με ακρίβεια το ρεύμα σ κότους απαιτούνται μεγάλοι χρόνοι έκθεσ ης, έτσ ι ώσ τε να σ υλλεχθεί ένα μεγάλο δείγμα θερμικών ηλεκτρονίων. Για 45

48 2. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ το λόγο αυτό οι σ κοτεινές εικόνες λαμβάνονται σ ε τουλάχισ τον πενταπλάσ ιο χρόνο έκθεσ ης σ ε σ χέσ η με τις εικόνες του σ τόχου. ˆ Τα εικονοσ τοιχεία μιας CCD μπορεί να μην έχουν ενιαία κβαντική απόδοσ η με αποτέλεσ μα αυτή να μην παρουσ ιάζει την ίδια ευαισ θησ ία σ ε κάθε περιοχή της. Για το λόγο αυτό λαμβάνονται οι εικόνες επιπεδοποίησ ης, οι οποίες αποτελούν ένα χάρτη της ευαισ θησ ίας της CCD. Οι εικόνες αυτές χρησ ιμοποιούνται για την εξάλειψη της ανομοιόμορφης ευαισ θησ ίας της CCD. Η επεξεργασ ία των εικόνων βαθμονόμησ ης γίνεται με το πρόγραμμα AIP4WIN (Astronomical Image Processing for Windows, Berry R. & Burnell J.). Οι ληφθείσ ες εικόνες bias σ υνδυάζονται με τη μέθοδο της ενδιάμεσ ης τιμής (Median) σ ε μια Κύρια εικόνα (Master Bias) σ την οποία κάθε εικονοσ τοιχείο έχει αντικατασ ταθεί από τη μέσ η αριθμητική τιμή των εικονοσ τοιχείων των επιλεγμένων εικόνων. Ο σ υνδυασ μός των εικονοσ τοιχείων γίνεται χωρίς σ τατισ τικό βάρος ή απόρριψη τιμών καθώς θεωρείται ότι οι εικόνες περιέχουν το μέσ ο σ τατισ τικό θόρυβο. Οι ληφθείσ ες σ κοτεινές εικόνες (Dark frames) σ υνδυάζονται σ ε μια Κύρια εικόνα (Master Dark) με τη μέθοδο της ενδιάμεσ ης τιμής (Median). Με τον τρόπο αυτό επιτυγχάνεται η απόρριψη των ακραίων τιμών. Οι εικόνες κανονικοποίησ ης (Flat frames) σ υνδυάζονται για κάθε φίλτρο ξεχωρισ τά με τη μέθοδο της ενδιάμεσ ης τιμής (Median) σ ε μια Κύρια εικόνα (Master Flat) και κανονικοποιούνται (Normalized Median). Για τη βαθμονόμησ η των εικόνων που έχουν καταγραφεί ακολουθούνται τα παρακάτω βήματα: 1. Οι εικόνες bias σ υνδυάζονται σ ε μια εικόνα Master Bias. 2. Αφαίρεσ η από κάθε σ κοτεινή εικόνα του Master Bias και σ τη σ υνέχεια σ υνδυασ μός των απαλλαγμένων από bias σ κοτεινών εικόνων σ ε μια Κύρια σ κοτεινή εικόνα (Master Dark). 3. Αφαίρεσ η από κάθε εικόνα κανονικοποίησ ης (Flat) του Master Bias και του Master Dark. Συνδυασ μός των απαλλαγμένων από bias και dark εικόνων κανονικοποίησ ης (at) ανά φίλτρο. Κανονικοποίησ η των παραπάνω σ υνδυασ μένων εικόνων σ ε μια κύρια εικόνα κανονικοποίησ ης (Master Flat) ανά φίλτρο. 4. Αφαίρεσ η από κάθε εικόνα δεδομένων του Master Bias και του Master Dark και διαίρεσ ή τους με το Master Flat. 5. Ευθυγράμμισ η των εικόνων δεδομένων. Με την ολοκλήρωσ η της παραπάνω διαδικασ ίας οι εικόνες δεδομένων είναι έτοιμες να φωτομετρηθούν. 46

49 2.3. Φωτομετρία 2. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ Φωτομετρία είναι η μέτρησ η της μεταβολής της λαμπρότητας σ τη μονάδα του χρόνου, ενός ουράνιου αντικειμένου, εκφρασ μένη για ισ τορικούς λόγους σ ε μονάδες μεγέθους (mag). Οι αρχαίοι Ελληνες χώριζαν τους ασ τέρες σ ε κατηγορίες με βάσ η το μέγεθος (magnitude). Ο όρος μέγεθος υπονοεί μια σ ύγκρισ η μεταξύ ασ τέρων. Η πρώτη ασ τρική κατηγοριοποίησ η με βάσ η τη λαμπρότητα έγινε από τον Ιππαρχο μεταξύ 141 και 127 π.χ. Ο Ιππαρχος δημιούργησ ε έναν κατάλογο με χίλιους ασ τέρες ορατούς διά γυμνού οφθαλμού οι οποίοι διακρίνονταν σ ε έξι κατηγορίες. Οι πιο λαμπροί ανήκουν σ την κατηγορία πρώτου μεγέθους, ενώ οι οριακά ορατοί διά γυμνού οφθαλμού ανήκουν σ την κατηγορία έκτου μεγέθους. Η διαφορά μεγεθών m 1 και m 2 δύο ασ τέρων με λαμπρότητες (φαινόμενες ροές), F 1 και F 2 υπολογίζεται με βάσ η τη σ χέσ η: m 1 m 2 = 2.5log(F 1 /F 2 ) (2.1) Από την οποία προκύπτει ότι η διαφορά μεγεθών δύο ασ τέρων m 1 m 2 εξαρτάται από το λόγο των ροών τους F 1 /F 2. Ετσ ι γίνεται κατανοητό ότι για να υπολογίσ ουμε το μέγεθος ενός ασ τέρα πρέπει να σ υγκρίνουμε τη λαμπρότητά του με τη λαμπρότητα ενός ασ τέρα γνωσ τού μεγέθους, οπότε θα έχουμε: m 1 = 2.5log(F 1 /F 2 ) + m 2 (2.2) όπου m 1 το υπολογιζόμενο μέγεθος, m 2 το μέγεθος κάποιου γνωσ τού ασ τέρα σ υγκρίσ εως, και F η ροή του ασ τέρα. Στην παρούσ α διπλωματική εργασ ία η φωτομέτρησ η των ληφθέντων εικόνων γίνεται με το υπολογισ τικό πακέτο AIP4WIN. Ο υπολογισ μός του μεγέθους του φωτομετρούμενου ασ τέρα γίνεται με χρήσ η της σ χέσ ης (2.2). Σε κάθε ασ τρονομική εικόνα το είδωλο ενός ασ τέρα περιέχει φως από τον ασ τέρα καθώς και φως από το υπόβαθρο του ουρανού. Το φως του ασ τέρα κατανέμεται σ ε ένα μεγάλο αριθμό εικονοσ τοιχείων, εξαιτίας σ πινθηρισ μών που υφίσ ταται κατά τη διαδρομή του μέσ α σ την ατμόσ φαιρα, αλλά και λόγω ατελειών σ την εσ τία του τηλεσ κοπίου. Επομένως για να εξάγουμε τη λαμπρότητα του ασ τέρα από μια ασ τρονομική εικόνα πρέπει: ˆ Να αθροίσ ουμε τις απαριθμήσ εις των εικονοσ τοιχείων σ τα οποία κατανέμεται το είδωλό του. ˆ Να υπολογίσ ουμε τη σ υνεισ φορά του φωτός υποβάθρου του ουρανού (sky background) σ τη μετρούμενη λαμπρότητα του ασ τέρα και να την αφαιρέσ ουμε. Το φως του υποβάθρου του ουρανού καθορίζεται από τη μέσ η τιμή του σ ήματος που έχουν τα εικονοσ τοιχεία περιμετρικά από τον ασ τέρα και σ ε κάποια απόσ τασ η από αυτόν. Η περιοχή περιμετρικά του ασ τέρα σ την οποία υπολογίζεται το υπόβαθρο του ουρανού δεν πρέπει να περιλαμβάνει ασ τέρες. Κατά τη διάρκεια της νύχτας το μήκος της διαδρομής (αέρια μάζα) που διανύει το φως του παρατηρούμενου ασ τέρα μέσ α σ την ατμόσ φαιρα μεταβάλλεται, με αποτέλεσ μα η ατμοσ φαιρική απόσ βεσ η που υφίσ ταται να είναι ανάλογη της αέριας μάζας του. Παράλληλα η έντασ η του 47

50 2. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ φωτός του ασ τέρα μπορεί να παρουσ ιάζει διακυμάνσ εις εξαιτίας της παρουσ ίας ομίχλης ή αραιών νεφών σ ε μεγάλο υψόμετρο, αλλά και μεταβολών σ την ατμόσ φαιρα. Δύο είναι οι βασ ικές μέθοδοι φωτομετρίας, η απόλυτη φωτομετρία (absolute photometry) και η διαφορική φωτομετρία (dierential photometry). Στην απόλυτη φωτομετρία γίνεται υπολογισ μός του απόλυτου μεγέθους του παρατηρούμενου ασ τέρα. Η καταγραφή εικόνων από το σ ύσ τημα τηλεσ κόπιο CCD δίνει μία τιμή για το μέγεθος του ασ τέρα η οποία εξαρτάται από το σ ύσ τημα (instrumental magnitude). Για να βρεθεί το απόλυτο μέγεθος πρέπει να γίνει διόρθωσ η των ληφθέντων εικόνων ως προς την ατμοσ φαιρική απόσ βεσ η (atmospheric extinction) και σ τη σ υνέχεια τα διορθωμένα instrumental μεγέθη να μετατραπούν σ το πρότυπο σ ύσ τημα UV B(R c I c ). Οι παραπάνω διορθώσ εις απαιτούν ταυτόχρονα με τη λήψη των εικόνων του σ τόχου να λαμβάνονται και εικόνες πρότυπων ασ τέρων σ ε διάφορετικές τιμές της αέριας μαζας. Αντίθετα σ την διαφορική φωτομετρία όλοι οι ασ τέρες σ ε κάθε εικόνα έχουν παρατηρηθεί για τον ίδιο χρόνο έκθεσ ης και το φως τους διέρχεται από ίσ ο μήκος ατμόσ φαιρας. Αυτό έχει σ αν αποτέλεσ μα η ατμοσ φαιρική απόσ βεσ η να είναι ίδια για όλους τους ασ τέρες της εικόνας ίδιου φασ ματικού τύπου, ενώ οι μεταβολές σ την ατμοσ φαιρική μετάδοσ η εξαιτίας ομίχλης ή αραιών νεφών περιορίζονται. Στη μέθοδο της διαφορικής φωτομετρίας η φωτεινότητα του παρατηρούμενου μεταβλητού ασ τέρα (V) σ υγκρίνεται με αυτή ενός ασ τέρα σ υγκρίσ εως (C1), ο οποίος πρέπει να είναι σ ταθερής φωτεινότητας. Υπολογίζεται έτσ ι η διαφορά μεγέθους του σ τόχου από τον ασ τέρα σ ύγκρισ ης. Παράλληλα για να ελεγχθεί η σ ταθερότητα του ασ τέρα C1 αυτός σ υγκρίνεται με έναν ασ τέρα ελέγχου (C2). Για να είναι δυνατές οι παραπάνω σ υγκρίσ εις θα πρέπει ο μεταβλητός ασ τέρας, ο ασ τέρας σ υγκρίσ εως καθώς και ο ασ τέρας ελέγχου να βρίσ κονται μέσ α σ το πεδίο οράσ εως (FOV) του τηλεσ κοπίου. Επιπλέον θα πρέπει ο μεταβλητός ασ τέρας και ο ασ τέρας σ υγκρίσ εως να είναι του ίδιου φασ ματικού τύπου (χρώμα) και παρόμοιου μεγέθους. Κατά την εφαρμογή της διαφορικής φωτομετρίας διαφράγματος για να γίνει η εξαγωγή των φαινόμενων μεγεθών των παρατηρούμενων ασ τέρων χρησ ιμοποιούνται οι κύκλοι φωτομετρίας. Σε κάθε εικόνα που πρόκειται να φωτομετρηθεί εισ άγονται γύρω από τους ασ τέρες V, C1 και C2 τρεις φωτομετρικοί κύκλοι. Κριτήριο επιλογής των ακτίνων των φωτομετρικών κύκλων είναι το FWHM (Full Width at Half Maximum) των εικόνων παρατήρησ ης. Ο εσ ωτερικός κύκλος ορίζει την περιοχή σ την οποία διαχέεται το φως του ασ τέρα, ενώ σ την περιοχή μεταξύ του ενδιάμεσ ου και του εξωτερικού κύκλου γίνεται η μέτρησ η του υποβάθρου του ουρανού. Με τον τρόπο αυτό επιτυγχάνεται να αφαιρεθεί από το σ ήμα του ασ τέρα το υπόβαθρο του ουρανού. Η διαδικασ ία περιγράφεται από τις παρακάτω σ χέσ εις: V C1 = m V m C1 = 2.5log(F C1 F sky /F V F sky ) (2.3) C2 C1 = m C2 m C1 = 2.5log(F C2 F sky /F C1 F sky ) (2.4) Με την ολοκλήρωσ η της διαφορικής φωτομετρίας διαθέτουμε για κάθε εικόνα το σ χετικό μέγεθος του μεταβλητού ασ τέρα (V-C1) με το σ φάλμα του, ως προς το χρόνο σ ε Ιουλιανή Ημερομηνία. Τα υπολογιζόμενα μεγέθη δεν μετατρέπονται σ το πρότυπο φωτομετρικό σ ύσ τημα, έχει δηλαδή χρησ ιμοποιηθεί τυχαίο μηδενικό φωτομετρικό σ ημείο. 48

51 2.4. Η μέτρησ η του χρόνου 2. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ Ιουλιανή Ημερομηνία και ηλιοκεντρική διόρθωσ η Ο χρόνος των ασ τρονομικών παρατηρήσ εων μετριέται σ ε Ηλιοκεντρικές Ιουλιανές Ημέρες (Heliocentric Julian Days, HJDs). Η Ιουλιανή Ημερομηνία (Julian Date, JD) εισ ήχθη το 1583 έτσ ι ώσ τε να μπορούν να γίνονται μετατροπές μεταξύ των διάφορων ημερολογίων. Υιοθετήθηκε από την επισ τημονική κοινότητα ως τρόπος καταγραφής του χρόνου των παρατηρήσ εων, έτσ ι ώσ τε να υπάρχει ένα κοινό ημερολογιακό σ ύσ τημα. Η Ιουλιανή Ημερομηνία είναι η σ υνεχής καταμέτρησ η των ημερών από την έναρξη της Ιουλιανής Περιόδου. Ως έναρξη της Ιουλιανής Περιόδου ορίσ τηκε η 12η μεσ ημβρινή (Παγκόσ μια Ωρα, U.T) της 1ης Ιανουαρίου του 4714 π.χ σ το Greenwich της Αγγλίας, οπότε σ ε αυτή τη σ τιγμή αντισ τοιχίζεται και το 0 του Ιουλιανού ημερολογίου. Η Ιουλιανή ημερομηνία για κάθε σ τιγμή ορίζεται ως: Ο ακέραιος αριθμός ημερών που έχουν παρέλθει από το 0 του ημερολογίου έως το προηγούμενο της μετρούμενης σ τιγμής μεσ ημέρι (σ ε Παγκόσ μια Ωρα), σ υν το κλάσ μα της ημέρας που έχει παρέλθει από το μεσ ημέρι έως τη μετρούμενη σ τιγμή. Η Ηλιοκεντρική Ιουλιανή Ημερομηνία είναι η Ιουλιανή Ημερομηνία διορθωμένη ως προς τις διαφορές που παρουσ ιάζει η θέσ η της Γης ως προς τον Ηλιο. Εξαιτίας της περισ τροφής της Γης γύρω από τον Ηλιο και της πεπερασ μένης ταχύτητας του φωτός τα φαινόμενα τα οποία σ υμβαίνουν εκτός ηλιακού σ υσ τήματος παρατηρούνται σ ε χρόνο που εξαρτάται από τη θέσ η του παρατηρητή σ το ηλιακό σ ύσ τημα. Ετσ ι η απόσ τασ η μεταξύ Γης και παρατηρούμενου σ τόχου μπορεί να μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια του χρόνου έως 2 ασ τρονομικές μονάδες (AU). Οπως φαίνεται σ το σ χήμα 2.4 η θέσ η 1 απέχει από τη θέσ η 3 δύο ασ τρονομικές μονάδες, επομένως το φως φτάνει σ τη θέσ η 3 περίπου 16.6 λεπτά αργότερα από ότι σ τη θέσ η 1. Αντίθετα σ τη θέσ η 2 το ασ τρικό φως φτάνει σ τον παρατηρητή σ τον ίδιο χρόνο που θα έφτανε σ τον Ηλιο. Επομένως με την Ηλιοκεντρική Διόρθωσ η θεωρώντας τον Ηλιο ως σ ταθερό σ ημείο αναφοράς, ανάγουμε το χρόνο παρατήρησ ης από τη Γη σ ε χρόνο παρατήρησ ης από τον Ηλιο. Ετσ ι κάθε φορά αφαιρούμε ή προσ θέτουμε την επιπλέον απόσ τασ η που διανύει το φως του σ τόχου προκειμένου να φτάσ ει σ τη Γη σ ε σ χέσ η με αυτή για να φτάσ ει σ τον Ηλιο. Σχήμα 2.4.: Σχηματική απεικόνισ η της σ χετικής θέσ ης Γης Ηλίου ώς προς παρατηρούμενο ασ τέρα. 49

52 2. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ Με τον τρόπο αυτό η Ιουλιανή Ημερομηνία μετατρέπεται σ ε Ηλιοκεντρική Ιουλιανή Ημερομηνία. Στην παρούσ α εργασ ία η μετατροπή σ ε Ηλιοκεντρική Ιουλιανή Ημερομηνία γίνεται με το πρόγραμμα JD2HJDconverter σ ε γλώσ σ α Fortran (Διδακτορική Διατριβή Α. Παπαγεωργίου 2015) που υπολογίζει: HJD = JD + HelCorr (2.5) Με HelCorr = T R(cosLcosAcosD) + T R(sinL(sinEsinD + cosecosdsina)) Οπου Τ ο χρόνος που χρειάζεται το φως για να δινύσ ει 1 Ασ τρονομική Μονάδα (περίπου 499s), R η απόσ τασ η Γης Ηλίου, L το ηλιογραφικό μήκος του Ηλίου, Α η ορθή αναφορά του ασ τέρα, D η απόκλισ η του ασ τέρα και Ε η λόξωσ η της εκλειπτικής ο. Στο πρόγραμμα δίνεται ένα αρχείο εισ όδου το οποίο αποτελείται από τέσ σ ερις σ τήλες (JD, V-C1, C2-C1, err) και τις σ υντεταγμένες του σ τόχου RA, D και ως αποτέλεσ μα δημιουργείται ένα αρχείο που αποτελείται από πέντε σ τήλες (HJD, V-C1, C2-C1, err, DT) όπου DT ο χρόνος της διόρθωσ ης εκφρασ μένος σ ε ημέρες Καμπύλες φωτός και φάσ η Αφού ολοκληρωθεί η ηλιοκεντρική διόρθωσ η της Ιουλιανής Ημερομηνίας των παρατηρήσ εων μπορούν να κατασ κευασ τούν οι καμπύλες φωτός του παρατηρούμενου σ τόχου. Οι καμπύλες φωτός είναι οι γραφικές παρασ τάσ εις της μετρούμενης, από το σ ύσ τημα τηλεσ κόπιο CCD, ροής (instrumental ux) ως προς το χρόνο σ ε Ηλιοκεντρική Ιουλιανή Ημερομηνία. Επειδή η περισ τροφή των ασ τέρων ενός διπλού σ υσ τήματος γύρω από το κοινό κέντρο μάζας τους είναι περιοδικό φαινόμενο, πολλές φορές μια καμπύλη φωτός δίνεται σ ε μονάδες φάσ ης. Η φάσ η κυμαίνεται μεταξύ 0 και 1 και μέσ α σ ε αυτό το διάσ τημα περικλείεται μια πλήρης περισ τροφή των ασ τέρων του σ υσ τήματος περί του κοινού κέντρου μάζας τους. Στη φάσ η μηδέν αντισ τοιχεί η πρωτεύουσ α έκλειψη, δηλαδή η απόκρυψη (μερική ή ολική) του θερμότερου και μεγαλύτερου σ ε μάζα ασ τέρα από τον δευτερεύοντα ασ τέρα του σ υσ τήματος. Εάν η τροχιά του σ υσ τήματος είναι κυκλική τότε η δευτερεύουσ α έκλειψη σ υμβαίνει σ τη φάσ η 0.5, όταν ο πρωτεύον ασ τέρας αποκρύπτει τον δευτερεύοντα. Στις φάσ εις 0.25 και 0.75 οι δύο ασ τέρες δεν αλληλεπικαλύπτονται, επομένως εκεί η καμπύλη φωτός παρουσ ιάζει μέγισ το αφού μετράται η ροή και των δυο μελών του σ υσ τήματος. Για τη μετατροπή των παρατηρήσ εων ενός διπλού σ υσ τήματος σ ε φάσ η απαιτείται η γνώσ η της περιόδου περισ τροφής του σ υσ τήματος P, καθώς και η Ηλιοκεντρική Ιουλιανή Ημερομηνία HJD 0 ενός πρωτεύοντος ελαχίσ του. Τότε τα δεδομένα HJD ανεξαρτήτως με το πότε έχουν ληφθεί μπορούν να μετατραπούν σ ε φάσ η σ ύμφωνα με τον τύπο: [ ] [ ] HJD HJD0 HJD HJD0 Φ= -ΙΝΤ (2.6) P P όπου ΙΝΤ είναι το ακέραιο μέρος της ποσ ότητας εντός της αγκύλης, η οποία αντιπροσ ωπεύει τη χρονική διαφορά του παρατηρούμενο ελαχίσ του (HJD) από το πρωτεύον ελάχισ το αναφοράς (HJD 0 ) ως προς την περίοδο περισ τροφής του σ υσ τήματος P. 50

53 2. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ Σχήμα 2.5.: Σχηματική απεικόνισ η των φάσ εων ενός διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος. Πάνω αρισ τερά φάσ η 0, πρωτεύον ελάχισ το. Πάνω δεξιά φάσ η 0.25, μέγισ το. Κάτω αρισ τερά φάσ η 0.5, δευτερεύον ελάχισ το. Κάτω δεξιά φάσ η 0.75, μέγισ το Χρόνοι ελαχίσ των και διαγράμματα O-C Ο χρόνος ελαχίσ του (Minima) είναι η χρονική σ τιγμή κατά την οποία καταγράφεται το ελάχισ το φως ενός παρατηρούμενου διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος. Η σ τιγμή αυτή αντισ τοιχεί σ την πρωτεύουσ α (Ι) είτε σ τη δευτερεύουσ α (ΙΙ) έκλειψη. Ετσ ι οι χρόνοι ελαχίσ των διακρίνονται σ ε πρωτεύοντα ελάχισ τα και δευτερεύοντα ελάχισ τα, ανάλογα με το είδος της έκλειψης που σ υμβαίνει. Ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών ελαχίσ των αντισ τοιχεί σ το μισ ό της περιόδου περισ τροφής του σ υσ τήματος. Μπορεί έτσ ι να υπολογισ τεί η περίοδος του σ υσ τήματος με ακρίβεια κλάσ ματος του δευτερολέπτου, για τη δεδομένη ημερομηνία παρατηρήσ εων. Τα διπλά εκλειπτικά σ υσ τήματα μπορεί να παρουσ ιάζουν μεταβολές σ την περίοδό τους που μπορεί να οφείλονται σ ε διάφορους μηχανισ μούς οι οποίοι θα αναλυθούν σ τη σ υνέχεια. Οι μεταβολές σ την περίοδο ενός σ υσ τήματος μπορούν να αποκαλυφθούν από τη μελέτη των παρατηρούμενων χρόνων ελαχίσ των του σ υσ τήματος και της περιόδου του για μεγάλο χρονικό διάσ τημα. Ο υπολογισ μός των χρόνων ελαχίσ των γίνεται με τη χρήσ η του προγράμματος Minima25c (B. Nelson 2007) το οποίο δίνει τη δυνατότητα χρήσ ης έξι μεθόδων για τον ακριβή υπολογισ μό του χρόνου κάθε ελαχίσ του. Στην παρούσ α εργασ ία ο υπολογισ μός των χρόνων ελαχίσ των γίνεται με τη χρήσ η τεσ σ άρων από τις έξι μεθόδους που παρέχουν τη μέγισ τη δυνατή ακρίβεια. 51

54 2. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ Για την ανίχνευσ η μεταβολών σ την περίοδο ενός διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος κατασ κευάζονται τα διαγράμματα O-C (Observed Calculated). Σε ένα διάγραμμα O-C απεικονίζεται σ τον άξονα y η διαφορά μεταξύ των παρατηρούμενων χρόνων ελαχίσ των (Observed) και των υπολογιζόμενων χρόνων ελαχίσ των (Calculated) με χρήσ η της εφημερίδας του σ υσ τήματος. Η εφημερίδα ενός σ υσ τήματος περιέχει το χρόνο ενός σ υγκεκριμένου ελαχίσ του σ ε Ηλιοκεντρική Ιουλιανή Ημερομηνία (HJD 0 ) ως σ ημείο αναφοράς, καθώς και την περίοδο του σ υσ τήματος (P) σ ε ημέρες. Στον άξονα x παρισ τάνεται ο χρόνος σ ε Ιουλιανή Ηλιοκεντρική Ημερομηνία ή σ ε εποχή (Epoch). Η εποχή είναι ο αριθμός των πλήρων περιφορών του σ υσ τήματος που έχουν λάβει χώρα από το χρόνο του πρώτου ελαχίσ του που δίνεται σ την εφημερίδα (HJD 0 ). Epoch = (HJD HJD 0 )/P (2.7) Επομένως ένα διάγραμμα O-C απεικονίζει τις μεταβολές που έχει υποσ τεί η περίοδος περιφοράς ενός σ υσ τήματος μέσ α σ το χρόνο που μεσ ολάβησ ε από τη δημιουργία της χρησ ιμοποιούμενης εφημερίδας έως τις παρατηρήσ εις των νέων χρόνων ελαχίσ των του σ υσ τήματος Μηχανισ μοί μεταβολής της περιόδου Η εξέλιξη των διπλών σ υσ τημάτων εξαρτάται άμεσ α από την απώλεια σ τροφορμής. Σε σ τένα διπλά σ υσ τήματα ασ τέρων όπως είναι τα W UMa έχουν παρατηρηθεί μεταβολές σ την περίοδο οι οποίες κυμαίνονται από έτη μέχρι δεκαετίες. Οι μεταβολές σ την περίοδο σ ε μεγάλα χρονικά διασ τήματα οφείλονται σ ε απώλεια σ τροφορμής του σ υσ τήματος, ενώ μεταβολές σ ε μικρότερα χρονικά διασ τήματα μπορεί να οφείλονται σ ε διεργασ ίες που γίνονται σ το εσ ωτερικό των ασ τέρων του σ υσ τήματος ή σ την παρουσ ία ενός τρίτου σ ώματος που μπορεί να είναι ασ τρικής ή μη προέλευσ ης. Ο κύριος μηχανισ μός που προκαλεί μεταβολή σ την περίοδο ενός διπλού σ υσ τήματος και οφείλεται σ ε διεργασ ίες που λαμβάνουν χώρα σ το εσ ωτερικό των ασ τέρων είναι ο μηχανισ μός Applegate που προτάθηκε από τον Applegate (1992). Ο μηχανισ μός αυτός βασ ίζεται σ το γεγονός ότι κάθε ασ τέρας κύριας ακολουθίας σ τον οποίο η μεταφορά ενέργειας γίνεται διά ρευμάτων, παρουσ ίαζει διαφορική περισ τροφή και μηχανισ μό μαγνητικής γεννήτριας (magnetic dynamo). Κάθε μεταβολή του υπάρχοντος μαγνητικού πεδίου σ το εσ ωτερικό του ασ τέρα προκαλεί μεταβολές σ το βαθμό σ ύζευξης των εσ ωτερικών με τα εξωτερικά σ τρώματα του ασ τέρα. Οι μεταβολές αυτές προκαλούν μεταφορά σ τροφορμής λόγω ιδιοπερισ τροφής, επομένως παρατηρείται μεταβολή σ τη διαφορική περισ τροφή του ασ τέρα, έτσ ι ώσ τε η ολική σ τροφορμή του σ υσ τήματος να διατηρηθεί σ ταθερή. Οι μεταβολές σ την ταχύτητα περισ τροφής των διαφόρων σ τρωμάτων του ασ τέρα προκαλεί πεπλάτυνσ η σ το σ χήμα του ασ τέρα. Σύμφωνα λοιπον με το μηχανισ μό Applegate η μεταβολή σ το σ χήμα του ασ τέρα λόγω βαρυτικής σ ύζευξης με τον σ υνοδό του προκαλεί μεταβολές σ την περίοδο περισ τροφής του σ υσ τήματος έτσ ι ώσ τε να διατηρηθεί η σ υνολική σ τροφορμή. Η μεταβολή της περιόδου εξαιτίας αυτού του φαινομένου σ ε χρονικά διασ τήματα δεκαετιών ή και μεγαλύτερα είναι της τάξης του P/P Η περίοδος περισ τροφής ενός σ τενού διπλού σ υσ τήματος μπορεί να μεταβληθεί και εξαιτίας εξωγενών παραγόντων όπως είναι η παρουσ ία ενός τρίτου σ ώματος που σ υχνά μπορεί να 52

55 2. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ μην είναι παρατηρήσ ιμο. Η μεταβολή σ την περίοδο του σ υσ τήματος οφείλεται σ την βαρυτική επίδρασ η που έχει το σ ώμα σ το σ τενό διπλό σ ύσ τημα. Καθώς το σ τενό διπλό σ ύσ τημα περισ τρέφεται γύρω από το κοινό κέντρο μάζας του η παρουσ ία του τρίτου σ ώματος έχει ως αποτέλεσ μα την περιοδική μεταβολή της απόσ τασ ης του σ υσ τήματος από τον παρατηρητή, με αποτέλεσ μα μεταβολή σ τους παρατηρούμενους φωτομετρικούς χρόνους ελαχίσ των. Το φαινόμενο αυτό είναι γνωσ τό ως LITE (LIght Time Eect), διατυπώθηκε για πρώτη φορά από τον Irwin (1959) και προβλέπει ημιτονοειδή μεταβολή των διαφορών O-C. Τέλος η μεταφορά ή η απώλεια μάζας μεταξύ των μελών ενός διπλού σ υσ τήματος είναι δυνατόν να προκαλέσ ει μεταβολές σ την περίοδο περισ τροφής του σ υσ τήματος, αλλά δεν μπορεί με αυτόν τον τρόπο να ερμηνευθούν περιοδικές μεταβολές της περιόδου Υπολογισ μός φυσ ικών παραμέτρων διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων Οι φυσ ικές παράμετροι ενός διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος μπορούν να προσ διορισ τούν με χρήσ η φασ ματοσ κοπικών και φωτομετρικών παρατηρήσ εων. Ο Eggen (1961) και οι Rucinski και Duerbeck (1997) απέδειξαν ότι είναι δυνατός ο υπολογισ μός του απολύτου μεγέθους ενός διπλού σ υσ τήματος γνωρίζοντας μόνο την περίοδό του. Ο υπολογισ μός αφορά σ υσ τήματα που παρουσ ιάζουν περίοδο P > 0.56 ημερών και γίνεται σ ύμφωνα με τη σ χέσ η: M V = 8.4logP (2.8) Ο Ruzinski (2006) πρότεινε έναν επιπλέον τύπο για τον υπολογισ μό του απολύτου μεγέθους για διπλά σ υσ τήματα με περίοδο P < 0.56 ημερών: M V = 1.5(±0.8) 12(±2)logP (2.9) Οι μάζες των μελών του διπλού σ υσ τήματος είναι δυνατόν να υπολογισ τούν με ακρίβεια της τάξης του 15% από τις εμπειρικές σ χέσ εις των Gazeas και Stepien (2008): logm 1 = (0.755 ± 0.059)logP + ( ± 0.024) (2.10) logm 2 = ( ± 0.166)logP (0.262 ± 0.067) (2.11) Από το μοντέλο του Roche και σ ύμφωνα με το 2ο νόμο του Κέπλερ ισ χύει η παρακάτω σ χέσ η που σ υνδέει την περίοδο P του σ υσ τήματος σ ε ημέρες, με την ολική του μάζα Μ σ ε ηλιακές μάζες και τον μεγάλο ημιάξονα της σ χετικής τροχιάς των ασ τέρων α σ ε ηλιακές μονάδες. P = a 3/2 M 1/2 (2.12) Επιπλέον η ακτίνα κάθε ασ τέρα μπορεί να υπολογισ τεί από την ενεργό ακτίνα του λοβού Roche R L /a σ ύμφωνα με τη σ χέσ η που προτείνει ο Eggleton (1983): 53

56 2. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ R L a = 0.49q 2/3 0.6q 2/3 + ln(1 + q 1/3 ) (2.13) από την οποία για q = M 2 /M 1 υπολογίζεται η ακτίνα του δευτερεύοντα ασ τέρα R 2, ενώ για q = M 1 /M 2 υπολογίζεται η ακτίνα του πρωτεύοντα ασ τέρα R 1. 54

57 3. ΤΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΠΑΚΕΤΟ PHOEBE 3.1. Γενικά σ τοιχεία Το PHOEBE (PHysics Of Eclipsing BinariEs) είναι ένα υπολογισ τικό πακέτο που δημιούργησ αν οι Pr²a και Zwitter (2005b) ειδικά σ χεδιασ μένο για τη μοντελοποίησ η διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων ασ τέρων. Το PHOEBE είναι δομημένο πάνω σ το πρόγραμμα WD (Wilson and Devinney 1971, Wilson 1979). Είναι γραμμένο σ ε γλώσ σ α ANSI C που το καθισ τά σ υμβατό με οποιαδήποτε πλατφόρμα. Είναι διαθέσ ιμο υπό το General Public License που σ ημαίνει ότι είναι διαθέσ ιμο δωρεάν για κάθε χρήσ τη. Είναι δομημένο σ ε τρια επίπεδα. Στο κατώτερο επίπεδο είναι η μηχανή μοντελοποίησ ης, η οποία χρησ ιμοποιεί τον κώδικο WD. Στο ενδιάμεσ ο ενσ ωματώνονται όλες οι επισ τημονικές, υπολογισ τικές και τεχνικές προεκτάσ εις (extensions). Το ανώτερο επίπεδο είναι το γραφικό περιβάλλον χρήσ τη που αποτελεί τη γέφυρα μεταξύ χρήσ τη και μοντέλου. Μια από τις δυσ κολίες σ την μοντελοποίησ η διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων είναι ο ακριβής προσ διορισ μός της θερμοκρασ ίας κάθε μέλους του σ υσ τήματος. Μια σ υχνή πρακτική που ακολουθείται σ τη διεθνή βιβλιογραφία είναι ο προσ διορισ μός της θερμοκρασ ίας του ε- νός μέλους από το φάσ μα του ή από δείκτες χρώματος και σ τη σ υνέχεια η προσ αρμογή της θερμοκρασ ίας του άλλου μέλους. Αυτή η προσ έγγισ η είναι σ υχνά ανεπαρκής ειδικά για διπλούς ασ τέρες με παρόμοιες θερμοκρασ ίες μελών, όπως είναι οι ασ τέρες της κατηγορίας W UMa. Σε τέτοιες περιπτώσ εις η φωτεινότητα κάθε μέλους είναι εξίσ ου σ ημαντική, οπότε είναι δύσ κολο να υπολογισ τεί η σ υνεισ φορά του καθενός ξεχωρισ τά σ τη φωτεινότητα του σ υσ τήματος. Για το λόγο αυτό εισ άγεται η έννοια της ενεργού θερμοκρασ ίας του διπλού ασ τέρα (eective temperature). Σε αυτή την προσ έγγισ η ο διπλός ασ τέρας αντιμετωπίζεται ως σ ημειακή πηγή, η ενεργός θερμοκρασ ία της οποίας μεταβάλλεται με το χρόνο. Τα δύο μέλη του σ υσ τήματος σ υνεισ φέρουν σ την ενεργό θερμοκρασ ία του σ υσ τήματος ανάλογα με το μέγεθός τους, τη θερμοκρασ ία τους και την κλίσ η του σ υσ τήματος. Η ενεργός θερμοκρασ ία ενός διπλού σ υσ τήματος αποκαλύπτεται άμεσ α από το δείκτη χρώματος B-V ή οποιοδήποτε άλλο κατάλληλο δείκτη. Η φυσ ική ποσ ότητα με την οποία δουλεύει το πρόγραμμα PHOEBE κλειρονομείται από τον κώδικα WD και είναι η ροή ακτινοβολίας. Το PHOEBE χρησ ιμοποιεί μια παράμετρο m o ανεξάρτητη της ζώνης διέλευσ ης (passband - independent) για να μετατρέψει όλες τις καμπύλες φωτός από μεγέθη (magnitudes) σ ε ροές. Η παράμετρος αυτή είναι ίδια για όλες τις καμπύλες έτσ ι ώσ τε να διατηρείται ο λόγος των ροών. Από τα παραπάνω αποδεικνύεται ότι η ροή ακτινοβολίας είναι η ποσ ότητα που παρέχει όλη την προερχόμενη από το διπλό σ ύσ τημα πληροφορία. Για το λόγο αυτό απαιτείται να διερευνηθούν οι φυσ ικές παράμετροι 55

58 3. ΤΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΠΑΚΕΤΟ PHOEBE και τα φαινόμενα που επηρρεάζουν την εκπεμπόμενη απο το σ ύσ τημα ροή ακτινοβολίας Η ροή ακτινοβολίας Η φωτομετρική μελέτη των διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων βασ ίζεται σ την καταγραφή της μεταβολής της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας από το διπλό σ ύσ τημα. Η καταγραφή επιτυγχάνεται με τη μέτρησ η των φωτονίων που φτάνουν σ τον ανιχνευτή του χρησ ιμοποιούμενου σ υσ τήματος (τηλεσ κόπιο CCD κάμερα) από το διπλό σ ύσ τημα. Η ροή ακτινοβολίας που παρατηρούμε από τα μέλη του διπλού σ υσ τήματος δεν εξαρτάται μόνο από τη γεωμετρική διαμόρφωσ η του σ υσ τήματος, αλλά και από την κατανομή των φυσ ικών παραμέτρων πάνω σ την επιφάνεια του κάθε ασ τέρα. Οι φυσ ικές παράμετροι από τις οποίες εξαρτάται η εκπεμπόμενη ροή ακτινοβολίας είναι η θερμοκρασ ία Τ και η επιτάχυνσ η της βαρύτητας g. Η επιφανειακή κατανομή αυτών των παραμέτρων είναι ανομοιόμορφη εξαιτίας περισ τροφικών και παλιρροιακών παραμορφώσ εων των δύο ασ τέρων του σ υσ τήματος. Το επίπεδο παραμόρφωσ ης της επιφάνειας των ασ τέρων εξαρτάται από την τιμή του ενεργού δυναμικού Ω. Επομένως η παρέκκλισ η του ασ τέρα από τη σ φαιρική μορφή οδηγεί σ ε ανομοιόμορφη κατανομή της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας. Η σ υνολική επιφάνεια του ασ τέρα η οποία δίνεται από τη σ χέσ η: ˆ 2π ˆ π S= 0 0 ρ 2 sin(θ) dθdφ (3.1) cos(β) όπου ρ = r/a και β είναι η γωνία μεταξύ του διανύσ ματος r και του κάθετου σ την επιφάνεια του ασ τέρα διανύσ ματος n είναι μια σ ημαντική ποσ ότητα γιατί καθορίζει μια καθολική ιδιότητα του παραμορφωμένου ασ τέρα, την ενεργό θερμοκρασ ία του Τe η οποία υπολογίζεται από την παρακάτω σ χέσ η: L bol = σst 4 eff T eff = ( ) 1 Lbol 4 σs (3.2) όπου L bol η βολομετρική φωτεινότητα του ασ τέρα και σ = Jm 2 s 1 K 4 η σ ταθερά Stefan-Boltzmann. Η παραμόρφωσ η των ασ τρικών επιφανειών δεν επηρεάζει μόνο τη μορφή του ασ τέρα, αλλά προκαλεί και ανομοιόμορφη κατανομή της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας από την επιφάνειά του. Η μονοχρωματική έντασ η της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας δίνεται από τη σ χέσ η: de Ι λ = (3.3) dλdαcosθdωdt όπου de είναι η ποσ ότητα της ενέργειας που εκλείεται από τον ασ τέρα σ ε σ τερεά γωνία dω, σ την περιοχή μήκους κύματος [λ,λ+dλ] και διέρχεται από σ τοιχείο επιφάνειας dacosθ σ ε χρόνο dt, με dω=sinθdθdφ. Με ολοκλήρωσ η της μονοχρωματικής έντασ ης πάνω σ τη σ τερεά γωνιά και κανονικοποιώντας με 4π οδηγούμασ τε σ τη μέσ η μονοχρωματική έντασ η, που δίνεται από τον τύπο: 56

59 3. ΤΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΠΑΚΕΤΟ PHOEBE Ι λ = 1 ˆ 2π ˆ π Ι λ cosθdω (3.4) 4π 0 0 Μια ακόμα σ ημαντική φωτομετρική ποσ ότητα είναι η μονοχρωματική ροή ακτινοβολίας. Αυτή ορίζεται ως η σ υνολική ποσ ότητα ενέργειας σ την περιοχή μήκους κύματος [λ,λ+dλ] που εκπέμπεται από σ τοιχείο επιφάνειας σ ε χρόνο dt και δίνεται από τον τύπο: ˆ f λ = I λ cosθdω (3.5) ολοκληρώντας την παραπάνω σ χέσ η σ ε ένα σ υγκεκριμένο εύρος μηκών κύματος οδηγούμασ τε σ την ροή ακτινοβολίας μέσ ω ενός φίλτρου, η οποία δίνεται από τη σ χέσ η: ˆ F p = f λ T λ dλ (3.6) όπου Τ λ η απόκρισ η του εκάσ τοτε φίλτρου. Εάν η ολοκλήρωσ η γίνει σ ε όλα τα μήκη κύματος οδηγούμασ τε σ τη σ υνολική (βολομετρική) ροή ακτινοβολίας. Η πραγματική ροή ακτινοβολίας που εκπέμπεται από έναν ασ τέρα δεν είναι αυτή που περιγράφεται από την παραπάνω σ χέσ η γιατί σ ε αυτή δεν έχουν σ υνυπολογισ τεί φαινόμενα που σ υμβαίνουν σ το εσ ωτερικό αλλά και την επιφάνεια των ασ τέρων, αλλά ούτε και η πιθανή ύπαρξη ενός τρίτου σ ώματος. Οι παράγοντες οι οποίοι επηρεάζουν την εκπεμπόμενη ροή ακτινοβολίας είναι οι εξής: ˆ Βαρυτική Αμαύρωσ η (Gravity Darkening) ˆ Αμαύρωσ η Χείλους (Limp Darkening) ˆ Φαινόμενο Ανάκλασ ης (Reection Eect) ˆ Ασ τρικές Κηλίδες (Stellar Spots) Βαρυτική Αμαύρωσ η Ενας περισ τρεφόμενος ασ τέρας διαφέρει από έναν μη περισ τρεφόμενο σ το σ χήμα, σ την τοπική επιτάχυνσ η της βαρύτητας και σ την επιφανειακή λαμπρότητα. Εξαιτίας της ιδιοπερισ τροφής τους οι ασ τέρες παρουσ ίαζουν πεπλάτυνσ η σ τον ισ ημερινό (oblateness) η οποία έχει ως αποτέλεσ μα να εμφανίζουν μεγαλύτερη βαρύτητα σ τους πόλους. Οι μεταβολές σ τη βαρύτητα από τους πόλους προς τον ισ ημερινό προκαλούν διαφοροποιήσ εις σ τη θερμοκρασ ία οι οποίες οδηγούν σ ε μεταβολές σ την επιφανειακή λαμπρότητα. Αυτή η μεταβολή της επιφανειακής λαμπρότητας ονομάζεται βαρυτική αμαύρωσ η. Ο von Zeipel (1924) απέδειξε ότι η κατανομή της ροής σ την επιφάνεια του ασ τέρα είναι ανάλογη της ενεργού βαρύτητας και δίνεται από τη σ χέσ η: F λ = 16σT 3 3 κρ dt dω gβ (3.7) 57

60 3. ΤΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΠΑΚΕΤΟ PHOEBE όπου σ = W m 2 K 4 η σ ταθερά Stefan-Boltzmann, Τ η τοπική επιφανειακή θερμοκρασ ία, κ ο σ υντελεσ τής αδιαφάνειας του Rosseland, ρ η πυκνότητα του αερίου, g η τοπική επιτάχυνσ η της βαρύτητας και β ο σ υνελεσ τής βαρυτικής αμαύρωσ ης. Επιπλέον απέδειξε ότι για ασ τέρες σ τους οποίους η μεταφορά ενέργειας γίνεται αποκλεισ τικά διά ακτινοβολίας ο σ υντελεσ τής β παίρνει την τιμή 1, ενώ ο Lucy (1967) απέδωσ ε σ τον σ υνελεσ τή β την τιμή 0.32 για ασ τέρες σ τους οποίους η μεταφορά ενέργειας γίνεται διά ρευμάτων. Ως όριο για την μετάβασ η από τη μία κατηγορία ασ τέρων σ την άλλη υιοθετείται η θερμοκρασ ία των 7200Κ, οπότε για ασ τέρες με θερμοκρασ ία μεγαλύτερη αυτού του ορίου το β ειναι 1 ενώ για μικρότερη 0.32 Lucy (1967). Η θερμοκρασ ία σ ε κάθε σ ημείο της επιφάνειας του ασ τέρα δίνεται από τη σ χέσ η T = T p ( g g p ) β/4 (3.8) όπου T p η θερμοκρασ ία σ τους πόλους του ασ τέρα, g και g p η επιτάχυνσ η της βαρύτητας σ ε τυχαίο σ ημείο του ασ τέρα και σ τους πόλους αντίσ τοιχα Αμαύρωσ η Χείλους Η αμαύρωσ η χείλους είναι η φαινόμενη εξασ θένισ η της έντασ ης του φωτός που προέρχεται από τα άκρα του δίσ κου I(θ) σ ε σ χέσ η με αυτό που προέρχεται από το κέντρο I(0) του και περιγράφεται από τη σ χέσ η: Ι(θ) = Ι ( 0 0) (1 x + xcosθ)) (3.9) όπου θ είναι η γωνία μεταξύ της ευθείας του παρατηρητή και της κάθετης σ την επιφάνεια και παίρνει τιμές από 0 ο σ το κέντρο έως 90 0 σ το χείλος. Αυτό οφείλεται σ το ότι η απόσ τασ η που πρέπει να διανυθεί μέσ α σ την ατμόσ φαιρα ενός ασ τέρα ώσ τε να καλυφθεί μια σ υγεκριμένη γωνιακή απόσ τασ η r από το κέντρο του ασ τέρα, αυξάνει όσ ο κινούμασ τε από το κέντρο προς το χείλος. Δηλαδή ένας παρατηρητής ο οποίος παρατηρεί τον ασ τέρα κοντά σ το χείλος του δεν θα δει τόσ ο βαθιά σ την ατμόσ φαιρα του ασ τέρα όσ ο θα έβλεπε αν παρατηρούσ ε το κέντρο του. Γνωρίζοντας ότι η θερμοκρασ ία αυξάνεται από την επιφάνεια προς το κέντρο του ασ τέρα οδηγούμασ τε σ το σ υμπέρασ μα ότι: Παρατηρώντας σ το κέντρο του ασ τρικού δίσ κου, παρατηρούμε ενδότερες και πιο θερμές περιοχές του ασ τέρα ενώ παρατηρώντας προς το χείλος του δίσ κου, παρατηρούμε εξώτερες και πιο ψυχρές περιοχές του. Αυτό έχει ως αποτέλεσ μα ο ασ τέρας να φαίνεται πιο φωτεινός σ το κέντρο του και πιο σ κοτεινός προς το χείλος του Φαινόμενο Ανάκλασ ης Σύμφωνα με τον Wilson (1990) όταν τα μέλη ενός διπλού σ υσ τήματος έχουν ακτίνες που ισ ούνται με 15-20% της μεταξύ τους απόσ τασ ης ή περισ σ ότερο τότε το φως του ενός α- σ τέρα μπορεί να ανακλασ τεί σ την επιφάνεια του σ υνοδού του. Αυτό οδηγεί σ ε αύξησ η της 58

61 3. ΤΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΠΑΚΕΤΟ PHOEBE θερμοκρασ ίας σ τις εσ ωτερικές επιφάνειες των ασ τέρων του σ υσ τήματος με αποτέλεσ μα την εκπομπή ακτινοβολίας λόγω ανάκλασ ης. Ο παράγοντας ανάκλασ ης R t δίνεται από τη σ χέσ η: R t =1+A t F s F t (3.10) όπου A t ο παράγοντας ανάκλασ ης της επιφάνειας του ασ τέρα που θερμαίνεται, F s η προσ πίπτουσ α σ το θερμαινόμενο ασ τέρα ροή και F t η ροή του ασ τέρα που θερμαίνεται. Για ασ τέρες θερμοκρασ ίας Τ > 7200Κ σ τους οποίους η μεταφορά ενέργειας γίνεται αποκλεισ τικά με ακτινοβολία ο παράγοντας Α παίρνει την τιμή 1. Αντίθετα για ασ τέρες θερμοκρασ ίας Τ < 7200Κ σ τους οποίους η μεταφορά ενέργειας πραγματοποιείται αποκλεισ τικά διά ρευμάτων ο παράγοντας Α παίρνει την τιμή 0.5, γεγονός που οφείλεται σ το ότι μέρος της προσ πίπτουσ ας ενέργειας μεταφέρεται με τα ρεύματα και εκπέμπεται από διαφορετικά σ ημεία του ασ τέρα Ασ τρικές Κηλίδες Οι ασ τρικές επιφάνειες μπορεί να φέρουν θερμές ή ψυχρές κηλίδες που οφείλονται σ την μαγνητική δρασ τηριότητα ενός ή και των δύο μελών του σ υσ τήματος ή σ ε μεταφορά μάζας. Η ύπαρξη κηλίδων σ την επιφάνεια των ασ τέρων επηρεάζει την θερμοκρασ ία και επομένως την εκπεμπόμενη ροή ακτινοβολίας Μοντελοποίησ η W UMa ασ τρικών σ υσ τημάτων με το πρόγραμμα PHOEBE Μετά τη σ υλλογή, επεξεργασ ία και ανάλυσ η των φωτομετρικών ή φασ ματοσ κοπικών δεδομένων ενός διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος ο επόμενος σ τόχος του παρατηρητή είναι μέσ α από τα παρατηρησ ιακά δεδομένα να προσ διορίσ ει τις ακριβείς παραμέτρους του σ υσ τήματος με τα σ φάλματα που τις βαρύνουν. Ετσ ι μπορεί να μοντελοποιήσ ει το υπό μελέτη σ ύσ τημα, λύνοντας αυτό που είναι γνωσ τό ως το ανάσ τροφο πρόβλημα Το ανάσ τροφο πρόβλημα (Inverse Problem) Για τη μελέτη των διπλών εκλειπτικών σ υσ τημάτων απαιτείται ο υπολογισ μός των χαρακτηρισ τικών παραμέτρων του σ υσ τήματος. Αυτό καθίσ ταται δυνατό με την επίλυσ η του ανάσ τροφου προβλήματος, τον υπολογισ μό δηλαδή των παραμέτρων του σ υσ τήματος μέσ α από τη μελέτη των καμπυλών φωτός. Για τον υπολογισ μό δημιουργείται μια σ υνθετική καμπύλη με σ κοπό αυτή να περιγράψει επακριβώς τα παρατηρησ ιακά δεδομένα, επομένως τις παραμέτρους του σ υσ τήματος. Τελικά η λύσ η του ανάσ τροφου προβλήματος έγκειται σ την ελαχισ τοποίησ η των διαφορών μεταξύ των παρατηρησ ιακών δεδομένων (καμπύλες φωτός) και της σ υνθετικής καμπύλης και εκφράζεται με την παρακάτω σ χέσ η: N p x 2 k = i=1 w p w i ( F obs i ) 2 F syn i (3.11) 59

62 3. ΤΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΠΑΚΕΤΟ PHOEBE όπου Fi obs η παρατηρούμενη ροή ακτινοβολίας σ ε σ υγκεκριμένη φάσ η, F syn i η σ υνθετικά υπολογιζόμενη ροή ακτινοβολίας σ την ίδια φάσ η, w i ο παράγοντας σ τάθμισ ης των παρατηρησ ιακών σ ημείων και w k = 1/σκ 2 ο παράγοντας σ τάθμισ ης του κάθε φίλτρου, έτσ ι ώσ τε να είναι δυνατή η σ τάθμισ η των παρατηρήσ εων σ τα διαφορετικά φίλτρα ανάλογα με την ακρίβεια και το πλήθος τους. Για την επίλυσ η του ανάσ τροφου προβλήματος χρησ ιμοποιούνται διάφορες υπολογισ τικές τεχνικές, μερικές από τις οποίες είναι ενσ ωματωμένες σ το πρόγραμμα PHOEBE Μέθοδοι ελαχισ τοποίησ ης της σ υνάρτησ ης χ 2 Το πρόγραμμα PHOEBE για την ελαχισ τοποίησ η της σ υνάρτησ ης χ 2 προσ φέρει δύο υπολογισ τικές μεθόδους. Τη μέθοδο Διαφορικών Διορθώθεων (Dierential Corrections, DC) και την Nelder and Mead's downhill Simplex. Για την μοντελοποίησ η του εκλειπτικού σ υσ τήματος της παρούσ ας εργασ ίας χρησ ιμοποιήθηκε η μέθοδος DC. Μέθοδος Διαφορικών Διορθώσ εων (DC) Είναι μια από τις πιο διαδεδομένες μεθόδους για την ελαχισ τοποίησ η της σ υνάρτησ ης χ 2. Προτάθηκε από των Euler (1755), ενώ σ το πεδίο των διπλών εκλειπτικών ασ τέρων χρησ ιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τους Wyse και Kron (1939). Η μέθοδος αυτή βασ ίζεται σ την αντικατάσ τασ η των μερικών παραγώγων με πεπερασ μένες διαφορές, όπως φαίνεται απο τη σ χέσ η (3.12): f(p 1,..., p k,..., p n ) p k f( p k + p k ) f( p k ) p k (3.12) όπου f(p 1,..., p n ) μια μονοδιάσ τατη σ υνάρτησ η σ το n-διάσ τατο χώρο. Στο πεδίο των διπλών εκλειπτικών ασ τέρων η f(p 1,..., p n ) είναι μια σ υνάρτησ η που δημιουργεί σ υνθετικές καμπύλες σ ε δεδομένη φάσ η και p k είναι οι διορθώσ εις σ τις τιμές των παραμέτρων οι οποίες μειώνουν την τιμή της σ υνάρτησ ης κόσ τους χ 2. Μέθοδος Nelder and Mead's downhill Simplex Η μέθοδος Simplex παρουσ ιάσ τηκε α- πό τους Spendley et al (1962) και τροποποιήθηκε από του Nelder και Mead (1965), από τους οποίους πήρε το όνομά της. Σύμφωνα με τους Press et al (1986) η μέθοδος αυτή δίνει αξιοσ ημείωτα αποτελέσ ματα όταν ο χώρος των παραμέτρων είναι επίπεδος και υπάρχει ισ χυρος σ υσ χετισ μός μεταξύ των παραμέτρων. Η Nelder and Mead downhill Simplex επιλύει μια σ υνάρτησ η n παραμέτρων με τη χρήσ η ενός γεωμετρικού πολύτοπου n + 1 ακμών εντός του n-διάσ τατου χώρου των λύσ εων. Σε αντίθεσ η με την μέθοδο Διαφορικών Διορθώσ εων δεν κάνει χρήσ η παραγώγων της σ υνάρτησ ης, αλλά υπολογισ μούς της σ υνάρτησ ης για τις τιμές των παραμέτρων που δίνονται Μοντέλα καμπύλης φωτός Η μοντελοποίησ η της καμπύλης φωτός ενός διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος σ τηρίζεται σ την υπόθεσ η της ύπαρξης ενός μοναδικού σ υνδυασ μού φυσ ικών παραμέτρων που μπορούν να α- ναπαράγουν την παρατηρούμενη καμπύλη. Οι φωτομετρικές παρατηρήσ εις της παρούσ ας 60

63 3. ΤΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΠΑΚΕΤΟ PHOEBE εργασ ίας γίνονται σ ε τέσ σ ερα φίλτρα. Ετσ ι από τη σ ύγκρισ η της μορφολογίας των καμπυλών φωτός που δημιουργούνται μπορούν να εξαχθούν πληροφορίες για την κατανομή της θερμοκρασ ίας του σ υσ τήματος. Στην περίπτωσ η κυκλικών τροχιών και σ ύγχρονης περισ τροφής η επιφάνεια κάθε ασ τέρα του σ υσ τήματος μπορεί να περιγραφεί επακριβώς με τη χρήσ η δύο μόνο ποσ οτήτων, του λόγου των μαζών q και της τιμής του βαρυτικού δυναμικού Ω 0. Το πρόγραμμα PHOEBE για τη μοντελοποίησ η καμπυλών φωτός βασ ίζεται σ τη μαθηματική αναπαράσ τασ η των δύο μελών του σ υσ τήματος καθώς και της εκπεμπόμενης από αυτά ακτινοβολίας, με ένα πλέγμα επιφανειακών σ τοιχείων. Η επιφάνεια κάθες μέλους του σ υσ τήματος διαιρείται σ ε μικρότερα σ τοιχεία, έτσ ι ώσ τε να είναι δυνατός ο προσ διορισ μός των επιμέρους παραμέτρων του κάθε μέλους, ώσ τε να μπορεί να αναπαραχθεί η παρατηρούμενη καμπύλη. Το μέγεθος του χρησ ιμοποιούμενου πλέγματος καθορίζεται από δύο τιμές, τον αριθμό των σ τοιχείων κατά πλάτος του πλέγματος και τον αριθμό των σ τοιχείων κατά μήκος του πλέγματος. Το πλάτος ορίζεται από τον πόλο του ασ τέρα μέχρι τον ισ ημερινό, ενώ το μήκος σ τη διεύθυνσ η του ισ ημερινού. Ο αριθμός των σ τοιχείων μήκους είναι σ υνήθως διπλάσ ιος αυτού των σ τοιχείων πλάτους. Ο σ υνολικός αριθμός των σ τοιχείων πλέγματος που χρησ ιμοποιούνται για την μοντελοποίησ η ενός σ ετ καμπυλών φωτός καθορίζει και την ακρίβεια του μοντέλου. Για την μοντελοποίησ η ενός αποχωρισ μένου (detached) διπλού σ υσ τήματος μικρός αριθμός σ τοιχείων πλέγματος είναι αρκετός για ακριβή αποτελέσ ματα. Αντίθετα σ την περίπτωσ η ενός διπλού σ υσ τήματος σ ε επαφή ή υπερ-επαφή (contact ή overcontact), το οποίο παρουσ ιάζει κηλίδες, μεταφορά μάζας και άλλες δρασ τηριότητες, απαιτείται πολύ μεγαλύτερος αριθμός σ τοιχείων πλέγματος για ακριβή αποτελέσ ματα Παράμετροι του σ υσ τήματος από τους οποίους εξαρτάται η καμπύλη φωτός Σε ένα διπλό εκλειπτικό σ ύσ τημα του οποίου τα μέλη είναι σ φαιρικά και κινούνται σ ε κυκλικές τροχιές, το μέλος το οποίο αποκρύπτεται σ το βαθύτερο ελάχισ το ονομάζεται πρωτεύον μέλος του σ υσ τήματος ή πρωτεύων ασ τέρας (primary, p). Συνήθως το πρωτεύον μέλος είναι αυτό με τη μεγαλύτερη επιφανειακή λαμπρότητα. Η καμπύλη φωτός ενός τέτοιου σ υσ τήματος εξαρτάται από τους παράγοντες: ˆ Τη σ χετική ακτίνα r p του πρωτεύοντος ασ τέρα μετρούμενη σ ε μονάδες του κύριου ημιάξονα της τροχιάς α, (r = R/a). ˆ Το λόγο των σ χετικών ακτίνων των μελών του σ υσ τήματος, k = r s /r p ˆ Την κλασ ματική φωτεινότητα του πρωτεύοντα ασ τέρα, L p /(L p + L s ) ˆ Την κλίσ η του σ υσ τήματος, i ˆ Τη μεταβολή της επιφανειακής λαμπρότητας από το κέντρο προς το χείλος του ασ τρικού δίσ κου (limb-darkening coecients x p και x s ) ˆ Την εκκεντρότητα της τροχιάς, e ˆ Την παρουσ ία τρίτου σ ώματος που σ υνεισ φέρει επιπλέον φως, l 3 61

64 3. ΤΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΠΑΚΕΤΟ PHOEBE Επειδή ακριβώς η μορφή μιας φωτομετρικής καμπύλης ενός διπλού εκλειπτικού σ υσ τήματος επηρρεάζεται από τους παραπάνω παράγοντες, είναι φανερό ότι από την ανάλυσ ή της δεν μπορούν να εξαχθούν απόλυτες τιμές για τις ακτίνες, τις θερμοκρασ ίες, τις φωτεινότητες και τις μάζες των μελών του σ υσ τήματος. Αυτό που μπορεί να εξαχθεί είναι λόγοι των παραπάνω ποσ οτήτων. Μια σ ημαντική ποσ ότητα σ την προσ πάθεια μοντελοποίησ ης καμπυλών φωτός είναι ο λόγος των μαζών των μελών του σ υσ τήματος, q. Αυτός μπορεί να υπολογισ τεί μόνο με φασ ματοσ κοπικές παρατηρήσ εις (Ÿ1.3) και απουσ ία αυτών σ ύμφωνα με τους Terrel και Wilson (2004) από φωτομετρικές παρατηρήσ εις σ υσ τημάτων με ολικές εκλείψεις τα οποία έχουν γεμίσ ει τον έναν ή και τους δύο λοβούς Roche, δηλαδή σ υσ τήματα ημι-αποχωρισ μένα ή σ ε υπερεπαφή. Αυτό σ υμβαίνει γιατί σ τα σ υσ τήματα που παρουσ ιάζουν ολικές εκλείψεις ο λόγος των ακτίνων k = r s /r p μπορεί να υπολογισ τεί με μεγάλη ακρίβεια από τη σ χέσ η 3.13, όπως φαίνεται σ το σ χήμα 3.1. k = (t 4 t 1 ) (t 3 t 2 ) (t 4 t 1 ) + (t 3 t 2 ) (3.13) Ο λόγος όμως των ακτίνων k σ υνδέεται άμεσ α με το λόγο των μαζών q οπότε είναι δυνατή μια αρκετά ακριβής εκτίμησ η του q. Σχήμα 3.1.: Γεωμετρία των χρόνων επαφής. Σχηματική απεικόνισ η της σ χετικής τροχιάς του δευτερεύοντα ασ τέρα γύρω από τον πρωτεύοντα για κλίσ η 90 ο. 62

65 3. ΤΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΠΑΚΕΤΟ PHOEBE Επιλογή αρχικών παραμέτρων για μοντελοποίησ η ενός W-UMa σ υσ τήματος Για ένα W UMa σ υσ τήμα όπως το V1098 Her, για το οποίο δεν υπάρχουν φασ ματοσ κοπικά δεδομένα, αλλά μόνο οι φωτομετρικές καμπύλες σ τα φίλτρα BVRcΙc είναι απαραίτητες οι αρχικές τιμές για κάποιες χαρακτηρισ τικές παραμέτρους του σ υσ τήματος για να γίνει η μοντελοποίησ ή του. Οι τιμές αυτών των παραμέτρων μπορούν να υπολογισ θούν ως εξής: ˆ Υπολογισ μός της διαφοράς θερμοκρασ ίας μεταξύ των δύο μελών. Για κυκλικές τροχιές ο λόγος του βάθους της κύριας έκλειψης ως προς τη δευτερεύουσ α ισ ούται με το λόγο των θερμοκρασ ιών των μελών σ ε εκείνα τα σ ημεία. Ετσ ι εάν η θερμοκρασ ία του ενός μέλους είναι γνωσ τή από το φασ ματικό του τύπο και είναι επίσ ης γνωσ τή η μεσ οασ τρική απόσ βεσ η, μπορεί να υπολογισ τεί η θερμοκρασ ία του άλλου μέλους. ˆ Υπολογισ μός του λόγου των φωτεινοτήτων. Για σ φαιρικούς ασ τέρες ο λόγος του φωτός που χάνεται προς το φως που παραμένει σ το ελάχισ το της ολικής έκλειψης δείχνει το λόγο της μονοχρωματικής φωτεινότητας του μικρότερου προς τον μεγαλύτερο ασ τέρα. Ετσ ι μπορεί να γίνει και υπολογισ μός του λόγου των ακτίνων, όπως περιγράφηκε παραπάνω. ˆ Υπολογισ μός της κλίσ ης. Οσ ο μεγαλύτερη είναι η κλίσ η του σ υσ τήματος (ολικές εκλείψεις) τόσ ο ευρύτερες και βαθύτερες είναι οι παρατηρούμενες εκλείψεις. Για μεγάλες τιμές κλίσ ης η εξάρτησ η των χαρακτηρισ τικών της έκλειψης από αυτή είναι μικρή. Η μείωσ η της κλίσ ης έχει ως αποτέλεσ μα οι εκλείψεις να παύουν να είναι κεντρικές και τότε παρατηρείται αύξησ η σ το πλάτος τους. Αντίθετα όταν οι εκλείψεις είναι μερικές παρουσ ιάζουν μικρότερα βάθη. ˆ Υπολογισ μός του λόγου μαζών q. Απουσ ία φασ ματοσ κοπικών δεδομένων τα οποία θα παρείχαν μια ακριβή τιμή του q, απαιτείται μια εκτίμησ η αυτού. Αυτό επιτυγχάνεται ακολουθώντας μια διαδικασ ία σ άρωσ ης του q γνωσ τή ως q scan. Η μέθοδος αυτή σ τηρίζεται σ την ελαχισ τοποίησ η της σ υνάρτησ ης χ 2 και περιγράφεται αναλυτικά σ ε επόμενο κεφάλαιο (Ÿ5.1). Με τη χρήσ η των παραπάνω δημιουργείται η σ υνθετική καμπύλη η οποία σ υγκρίνεται με την παρατηρησ ιακή με σ κοπό την ελαχισ τοποίησ η των διαφορών, για τη δημιουργία του μοντέλου. 63

66 3. ΤΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΠΑΚΕΤΟ PHOEBE 64

67 Μέρος II. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ, ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΔΙΠΛΟΥ ΕΚΛΕΙΠΤΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ V1098 Her 65

68 66

69 4. ΤΟ ΔΙΠΛΟ ΕΚΛΕΙΠΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ V1098 Her 4.1. Εισ αγωγή Ο ασ τέρας V1098 Her με σ υντεταγμένες: ορθή αναφορά(ra J2000 ) 17h 39m 37.21s και α- πόκλισ η (Dec J2000 ) +50 o βρίσ κεται σ τον ασ τερισ μό του Ηρακλή (σ χήμα 4.1) και περιλαμβάνεται σ ε καταλόγους σ το οπτικό ή υπέρυθρο μέρος του φάσ ματος με τα εξής ονόματα: GSC , ROTSE1 J , 2MASS J , NSVS , TYC Σχήμα 4.1.: Το πεδίο του V1098 Her (V) και οι ασ τέρες σ υγκρίσ εως (C1) και ελέγχου (C2), ( 67

70 4. ΤΟ ΔΙΠΛΟ ΕΚΛΕΙΠΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ V1098 Her Πρώτη φορά παρατηρήθηκε ως μεταβλητός από το πρόγραμμα ROTSE-1 (Robotic Optical Transient Search Experiment, 1) και ταξινομήθηκε ως δ-scuti από τους Akerlof et al. (2000). Οι Blake et al. (2003) χρησ ιμοποιώντας δ-scuti ασ τέρες που ανακαλύφθηκαν από το ROTSE-1 και με τη χρήσ η δεδομένων που ελήφθησ αν με την Super-LOTIS camera ανακάλυψαν μεταβολές σ την περίοδο 18 ασ τέρων δ-scuti σ ε μια χρονική περίοδο 3 ετών. Ανάμεσ α σ ε αυτούς που παρουσ ίασ αν αύξησ η της περιόδου dp/p = βρίσ κεται και ο V1098 Her (ROTSE-4861). Επιπλέον σ ύμφωνα με τον επαναϋπολογισ μό της θέσ ης του βρίσ κεται σ ε απόσ τασ η 5 από την πηγή ακτινών Χ 1RXSJ του καταλόγου ROSAT, γεγονός που τον καθισ τά υποψήφιο ασ τέρα προ κύριας ακολουθίας ή Herbig Ae/Be που παρουσ ιάζει μεταβλητότητα τύπου δ-scuti. Στη σ υνέχεια σ ε μια εκ νέου κατηγοριοποίησ η 20 σ τόχων του ROTSE-1 από τους Jin et al. (2003) ταξινομήθηκε ως μεταβλητός ασ τέρας τύπου W UMa και δόθηκαν καμπύλες φωτός από το SOAO (Sobaeksan Optical Astronomy Observatory) σ τα φίλτρα V και Ι (σ χήμα 4.2). Οι Kazarovets et al. (2006) σ την 78 η λίσ τα ονομάτων μεταβλητών ασ τέρων τον αναφέρουν ως διπλό σ ύσ τημα σ ε επαφή (contact binary) του τύπου W UMa με V (max) = 12.44, όπως και οι Gettel et al. (2006) οι οποίοι εντάσ σ ουν τον ασ τέρα σ ε μια λίσ τα 1022 διπλών σ ε επαφή ασ τέρων, οι οποίοι έχουν καταγραφεί από το τηλεσ κόπιο ROTSE-1. Οι Homan et al. (2009) κατηγοριοποιούν 4659 μεταβλητούς ασ τέρες σ ε 5 κατηγορίες χαρακτηρίζοντας τον V1098 Her ως μικροπερίοδο μεταβλητό ασ τέρα. Οι Brat et al. (2011) δίνουν δύο νέους χρόνους ελαχίσ των. Οι Arena et al. (2011) αναφέρουν τον V1098 Her ως εκλειπτικό διπλό ασ τέρα και παρέχουν παρατηρούμενους χρόνους ελαχίσ των καθώς και μια νέα εφημερίδα: T min (HJD) = (± ) + 0d (± )ÖE (4.1) Από τις παραπάνω αναφορές είναι εμφανές ότι το σ ύσ τημα V1098 Her δεν έχει μελετηθεί και δεν υπάρχουν πλήρεις φωτομετρικές καμπύλες BVRcIc. Επιπλέον όπως φαίνεται από το σ χήμα 4.2 οι καμπύλες φωτός του παρουσ ιάζουν ολικές εκλείψεις, οπότε απουσ ία φασ ματοσ κοπικών παρατηρήσ εων είναι δυνατός (Ÿ3.3.4) ο προσ διορισ μός σ ημαντικών παραμέτρων του σ υσ τήματος. 68

71 4. ΤΟ ΔΙΠΛΟ ΕΚΛΕΙΠΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ V1098 Her Σχήμα 4.2.: Καμπύλες φωτός του V1098 Her από το ROTSE-1 και απο το SOAO σ τα φίλτρα V και I, (Jin et al 2003) Παρατηρήσ εις και Ανάλυσ η του V1098 Her Οι παρατηρήσ εις πραγματοποιήθηκαν σ το ασ τεροσ κοπείο Μυθωδία του τμήματος Φυσ ικής του Πανεπισ τημίου Πατρών με το τηλεσ κόπιο 14, εσ τιακού λόγου f/6.3, τύπου Schmidt- Cassegrain Celestron και την CCD κάμερα SBIG-10XME. Ο V1098 Her παρατηρήθηκε σ υνολικά για 7 νύχτες σ το διάσ τημα Ιουλίου Αυγούσ του του Κατά τη διάρκεια των παρατηρήσ εων καλύφθηκε η καμπύλη φωτός του σ υσ τήματος σ ε όλες τις φάσ εις του σ τα φίλτρα BV RcIc. Στη διάρκεια των παρατηρήσ εων ελήφθησ αν σ υνολικά 1199 εικόνες εκ των οποίων 197 σ το φίλτρο Β, 233 σ το φίλτρο V, 305 σ το φίλτρο Rc και 434 σ το φίλτρο Ic καθώς και βοηθητικές εικόνες βαθμονόμησ ης (bias, dark και at) σ ε ομαδοποίησ η 1 1. Για την επεξεργασ ία των βοηθητικών εικόνων και τη φωτομετρία των ληφθέντων εικόνων χρησ ιμοποιήθηκε το πρόγραμμα AIP4WIN των Berry R. & Burnell J. (2005) σ ε περιβάλλον Windows (κεφάλαιο 2.3). Στη σ υνέχεια έγινε μετατροπή της Ηλιοκεντρικής Ημερομηνίας (JD) των παρατηρήσ εων σ ε Ηλιοκεντρική Ιουλιανή Ημερομηνία (HJD) με χρήσ η του προγράμματος JD2HJDconverter (Διδακτορική Διατριβή Α. Παπαγεωργίου, 2015). Στον Πίνακα 3.1 εμφανίζονται οι νύχτες παρατήρησ ης, ο χρόνος έκθεσ ης και το φίλτρο που χρησ ιμοποιήθηκε. 69

72 4. ΤΟ ΔΙΠΛΟ ΕΚΛΕΙΠΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ V1098 Her Πίνακας 4.1.: Νύχτες παρατηρήσ εων και χρόνοι έκθεσ ης σ ε κάθε φίλτρο. Ημερομηνία Β (sec) V (sec) Rc (sec) Ic (sec) Σύνολο Εικόνων 2/7/ /7/ /7/ /7/ /7/ /8/ /8/ Για την επιλογή του καταλληλότερου ασ τέρα σ ύγκρισ ης 1 και ασ τέρα ελέγχου 2 πραγματοποιήθηκε φωτομέτρησ η όλων των υποψήφιων ασ τέρων (ensemble) που βρίσ κονται σ το πεδίο του V1098 Her καθ όλη τη διάρκεια των παρατηρήσ εων, ώσ τε να επιλεγούν αυτοί που είναι παρόμοιου μεγέθους και χρώματος με τον παρατηρούμενο ασ τέρα και να μην είναι μεταβλητοί, όπως περιγράφεται σ το 2.3. Ετσ ι για κάθε νύχτα παρατηρήσ εων φωτομετρήθηκαν επιπλέον του V1098 Her και οι παρακάτω 4 ασ τέρες που βρίσ κονται σ υνέχεια εντός του πεδίου: Πίνακας 4.2.: Οι υποψήφιοι ασ τέρες σ υγκρίσ εως που χρησ ιμοποιήθηκαν σ τη φωτομετρία, με τις σ υντεταγμένες τους. Ci Ασ τέρας Ορθή Αναφορά Απόκλισ η V(mag) C1 GSC 3518:476 17h39m17s +50 o C2 GSC 3518:949 17h39m55s +50 o C3 GSC 3518:416 17h39m14s +50 o C4 GSC 3518:947 17h39m48s +50 o Για την τελική επιλογή των ασ τέρων σ υγκρίσ εως και ελέγχου υπολογίσ τηκαν οι διαφορές C1-C2, C1-C3, C1-C4, C2-C3, C2-C4 και C3-C4 για κάθε νύχτα παρατήρησ ης και υπολογίσ θηκε η τυπική απόκλισ η για κάθε σ υνδυασ μό σ ε όλα τα φίλτρα. Οπως φαίνεται από τον πίνακα 4.3 τη μικρότερη τυπική απόκλισ η σ ε κάθε φίλτρο παρουσ ιάζει το ζεύγος C2-C4, δηλαδή η διαφορά τους παρουσ ιάζει την μικρότερη μεταβολή. Ετσ ι ως ασ τέρας σ υγκρίσ εως επιλέχθηκε ο GSC 3518:947 και ως ασ τέρας ελέγχου ο GSC 3518:949. Το seeing των παρατηρήσ εων κυμάνθηκε από 2 έως 3.6, με εξαίρεσ η σ τιγμές που παρατηρήθηκαν ριπές ανέμου. Η φωτομετρία πραγματοποιήθηκε με τις ακτίνες φωτομετρίας που αναφέρονται σ τον πίνακα 4.4 για κάθε νύχτα παρατήρησ ης (Ÿ2.3). Με την ολοκλήρωσ η της φωτομετρίας δημιουργήθηκαν οι καμπύλες φωτός για κάθε φίλτρο, οι οποίες παρουσ ίαζονται σ τα σ χήματα 4.3 εώς 4.10 και σ τη σ υνέχεια δημιουργήθηκε το σ υνολικό διάγραμμα διαφοράς μεγεθών m (V C 1 ) προς φάσ η (mag-phase) για όλα τα φίλτρα, το οποίο παρουσ ιάζεται σ το σ χήμα Η φωτομετρική ακρίβεια των παρατηρήσ εων για κάθε φίλτρο φαίνεται σ το σ χήμα 4.12 και δίνεται σ τον πίνακα

73 4. ΤΟ ΔΙΠΛΟ ΕΚΛΕΙΠΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ V1098 Her Πίνακας 4.3.: Τυπική απόκλισ η της διαφοράς κάθε υποψηφίου ζεύγους ασ τέρων σ υγκρίσ εως - ελέγχου, σ ε όλα τα φίλτρα για κάθε νύχτα παρατήρησ ης. Ημερομηνία Φίλτρο C1-C2 C1-C3 C1-C4 C2-C3 C2-C4 C3-C4 2/7/2014 V /7/2014 R /7/2014 V /7/2014 Rc /7/2014 B /7/2014 Rc /7/2014 B /7/2014 Ic /72014 Ic Πίνακας 4.4.: Ακτίνες φωτομετρίας σ ε pixels για κάθε νύχτα παρατήρησ ης σ ε κάθε φίλτρο. Ημερομηνία Φίλτρο Ακτίνες Φωτομετρίας (pixels) 2/7/2014 V /7/2014 R C /7/2014 V /7/2014 R C /7/2014 B /7/2014 B /8/2014 I C /8/2014 I C

74 4. ΤΟ ΔΙΠΛΟ ΕΚΛΕΙΠΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ V1098 Her Σχήμα 4.3.: Η καμπύλη φωτός του V1098 Her σ τις 2 Ιουλίου σ το φίλτρο R c. Σχήμα 4.4.: Η καμπύλη φωτός του V1098 Her σ τις 2 Ιουλίου σ το φίλτρο V. 72

75 4. ΤΟ ΔΙΠΛΟ ΕΚΛΕΙΠΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ V1098 Her Σχήμα 4.5.: Η καμπύλη φωτός του V1098 Her σ τις 18 Ιουλίου σ το φίλτρο R c. Σχήμα 4.6.: Η καμπύλη φωτός του V1098 Her σ τις 18 Ιουλίου σ το φίλτρο V. 73

76 4. ΤΟ ΔΙΠΛΟ ΕΚΛΕΙΠΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ V1098 Her Σχήμα 4.7.: Η καμπύλη φωτός του V1098 Her σ τις 21 Ιουλίου σ το φίλτρο B. Σχήμα 4.8.: Η καμπύλη φωτός του V1098 Her σ τις 30 Ιουλίου σ το φίλτρο B. 74

77 4. ΤΟ ΔΙΠΛΟ ΕΚΛΕΙΠΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ V1098 Her Σχήμα 4.9.: Η καμπύλη φωτός του V1098 Her σ τις 5 Αυγούσ του σ το φίλτρο I c. Σχήμα 4.10.: Η καμπύλη φωτός του V1098 Her σ τις 7 Αυγούσ του σ το φίλτρο I c. 75

78 4. ΤΟ ΔΙΠΛΟ ΕΚΛΕΙΠΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ V1098 Her Σχήμα 4.11.: Οι καμπύλες φωτός του V1098 Her σ τα φίλτρα B,V,Rc,Ic για φάσ η από 0.25 έως

79 4. ΤΟ ΔΙΠΛΟ ΕΚΛΕΙΠΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ V1098 Her Σχήμα 4.12.: Οι διαφορές μεγεθών (mag) μεταξύ του ασ τέρα σ υγκρίσ εως (C1) και του ασ τέρα ελέγχου (C2), η τυπική απόκλισ η των οποίων καθορίζει την ακρίβεια των παρατηρήσ εων σ ε κάθε φίλτρο. Πίνακας 4.5.: Η τυπική απόκλισ η της διαφοράς C2-C1 για κάθε φίλτρο, για όλες τις ημέρες. Φίλτρο Τυπική απόκλισ η B V Rc Ic

80 4. ΤΟ ΔΙΠΛΟ ΕΚΛΕΙΠΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ V1098 Her 4.3. Νέοι Χρόνοι Ελαχίσ του του σ υσ τήματος V1098 Her Ο υπολογισ μός των χρόνων ελαχίσ του πραγματοποιήθηκε με το πρόγραμμα Minima25 του Nelson (2007) με χρήσ η των μεθόδων: ˆ Parabolic Fit ˆ Tracing Paper ˆ Kwee and van Woerden ˆ Fourier Fit Οι χρόνοι ελαχίσ των που παρουσ ιάζονται σ τον πίνακα 3.2 είναι η σ ταθμισ μένη μέσ η τιμή των τεσ σ άρων χρησ ιμοποιούμενων μεθόδων. Στην εικόνα 3.3 φαίνεται το κεντρικό παράθυρο του προγράμματος για τον υπολογισ μό του χρόνου ελαχίσ του της νύχτας της 2ας Ιουλίου. Πίνακας 4.6.: Νέοι χρόνοι ελαχίσ του για το σ ύσ τημα V1098 Her που προέκυψαν από τις παρατηρήσ εις της παρούσ ας εργασ ίας. Ημερομηνία Φίλτρο Χρόνος Ελαχίσ του (HJD) Σφάλμα Τύπος 2/7/2014 Rc I 2/7/2014 V I 18/7/2014 Rc II 18/7/2014 V II 21/7/2014 B I 30/7/2014 B II 5/8/2014 Ic II 7/8/2014 Ic I 78

81 4. ΤΟ ΔΙΠΛΟ ΕΚΛΕΙΠΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ V1098 Her Σχήμα 4.13.: Το κεντρικό παράθυρο του προγράμματος Minima25 για τον υπολογισ μό του ελαχίσ του σ το φίλτρο Rc για τη νύχτα της 2ας Ιουλίου. 79