ΗΜΥ 210 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Χειµερινό Εξάµηνο ΔΙΑΛΕΞΗ 3: Αλγοριθµική Ελαχιστοποίηση (Quine-McCluskey, tabular method)
|
|
|
- Πάρις Αντωνιάδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΗΜΥ 210 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ΔΙΑΛΕΞΗ 3: Αλγοριθµική Ελαχιστοποίηση (Quine-McCluskey, tabular method) ΧΑΡΗΣ ΘΕΟΧΑΡΙΔΗΣ Επίκουρος Καθηγητής, ΗΜΜΥ
2 Επανάληψη q Δυαδική Λογική και Πύλες q Άλγεβρα Boole Βασικές ιδιότητες Αλγεβρικός Χειρισµός/Μετασχηµατισµός q Κανονικές (Canonical) και Πρότυπες (Standard) µορφές Ελαχιστόροι (minterms) και Μεγιστόροι (maxterms) SOP and POS (κανονικές και πρότυπες µορφές) Χάρτες Karnaugh (K-χάρτες) Xάρτες 2, 3ων, 4ων, και 5 µεταβλητών Απλοποίηση χρησιµοποιώντας K-χάρτες q Επεξεργασία K-χαρτών Implicants: Primes (κύριοι), Essentials (ουσιώδεις) Αδιάφοροι όροι (don t cares) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.2
3 Αλγοριθµική Ελαχιστοποίηση q Τι κάνουµε για συναρτήσεις που έχουν περισσότερες από 4-5 µεταβλητές; q Χρησιµοποιούµε διαδικασίες/αλγόριθµους ελαχιστοποίησης που µπορούν να προγραµµατιστούν = Computer-Aided Design (CAD) π.χ. Αλγόριθµος Quine-McCluskey (βλέπε σηµειώσεις) π.χ. Espresso ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.3
4 Μέθοδος Κατάταξης σε Πίνακα q Επίσης γνωστή ως: Μέθοδος Quine-McCluskey (από τους επινοητές) Tabular Method q Μπορεί να αυτοµατοποιηθεί (CAD) q Μπορεί να υποστηρίξει µεγαλύτερο αριθµό µεταβλητών (από Κ-χάρτες) q 2 βασικά µέρη: Προσδιορισµός ΟΛΩΝ των prime implicants (PIs) Επιλογή ελάχιστου αριθµού prime implicants (PIs) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.4
5 1 ο Μέρος: Προσδιορισµός ΟΛΩΝ των PIs q Βήµα 1: Βρίσκουµε τις δυαδικές αναπαραστάσεις των ελαχιστόρων και τις κατατάσσουµε σε οµάδες, ανάλογα µε τον αριθµό των 1 ων που περιέχουν. q Π.χ. F(w,x,y,z) = m(0,1,2,8,10,11,14,15) Ελαχιστόρος/οι Δεκαδικό Δυαδικό (w,x,y,z) Αρ. Άσσων Βήµα 1 ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.5
6 1 ο Μέρος: Προσδιορισµός ΟΛΩΝ των PIs q Βήµα 2: Συνδυάζουµε όρους που διαφέρουν µόνο κατά µία µεταβλητή. Σηµειώνουµε µε X τους όρους του προηγούµενου βήµατος που συµµετέχουν τουλάχιστον σε ένα συνδυασµό. q Π.χ. F(w,x,y,z) = m(0,1,2,8,10,11,14,15) Ελαχιστόρος/οι Δεκαδικό Δυαδικό (w,x,y,z) x x x x x x x x Βήµα 1 Αρ. Άσσων ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.6 Ελαχιστόρος/οι Δεκαδικό Δυαδικό (w,x,y,z) 0, , , , , , , , , Βήµα 2 Αρ. Άσσων
7 1 ο Μέρος: Προσδιορισµός ΟΛΩΝ των PIs q Βήµα 3: Επαναλαµβάνουµε το Βήµα 2, µέχρι να µην µπορεί να γίνει κανένας συνδυασµός όρων. q Π.χ. F(w,x,y,z) = m(0,1,2,8,10,11,14,15) Ελαχιστόρος/οι Δεκαδικό Δυαδικό (w,x,y,z) X X X X X X X X Βήµα 1 Αρ. Άσσων ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.7 Ελαχιστόρος/οι Δεκαδικό Δυαδικό (w,x,y,z) 0, X 0, X 0,8-000 X 2, X 8, X 10, X 10, X 11, X 14, Βήµα 2 Αρ. Άσσων Ελαχιστόρος/οι Δεκαδικό Δυαδικό (w,x,y,z) 0,2,8, ,8,2, ,11,14, ,14,11, Βήµα 3 Αρ. Άσσων 0 1 2
8 1 ο Μέρος: Προσδιορισµός ΟΛΩΝ των PIs q Βήµα 4: Κρατούµε ΟΛΟΥΣ τους όρους που ΔΕΝ έχουν σηµειωθεί µε X == ΟΛΟΙ οι PIs q Π.χ. F(w,x,y,z) = m(0,1,2,8,10,11,14,15) = w x y +x z +wy Ελαχιστόρος/οι Δεκαδικό Δυαδικό (w,x,y,z) Βήµα 1 Αρ. Άσσων ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.8 Ελαχιστόρος/οι Δεκαδικό Δυαδικό (w,x,y,z) 0, , , , , , , , , Βήµα 2 Αρ. Άσσων Ελαχιστόρος/οι Δεκαδικό Δυαδικό (w,x,y,z) 0,2,8, ,8,2, ,11,14, ,14,11, Βήµα 3 Αρ. Άσσων 0 1 2
9 2 ο Μέρος: Επιλογή Eλάχιστου Aριθµού PIs q Βήµα 1: Δηµιουργία Πίνακα των Prime Implicants q Π.χ. F(w,x,y,z) = m(0,1,2,8,10,11,14,15) µε PIs = w x y +x z +wy (από το 1 ο Μέρος) Ελαχιστόροι στον PI PIs 0, ,2,8, ,11,14, Ελαχιστόροι wxyz ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.9
10 2 ο Μέρος: Επιλογή Eλάχιστου Aριθµού PIs q Βήµα 2: Προσδιορισµός Essential Prime Implicants q Π.χ. F(w,x,y,z) = m(0,1,2,8,10,11,14,15) Ελαχιστόροι στον PI PIs 0, ,2,8, ,11,14, Ο ελαχιστόρος 1 καλύπτεται µόνο µία φορά, από τον PI 000- = w x y Ελαχιστόροι wxyz Essential PIs = w x y +x z +wy ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.10
11 2 ο Μέρος: Επιλογή Eλάχιστου Aριθµού PIs q Βήµα 3: Σηµειώνουµε µε τους Essential PIs όσους ελαχιστόρους καλύπτονται από q Π.χ. F(w,x,y,z) = m(0,1,2,8,10,11,14,15) Ελαχιστόροι στον PI PIs 0, ,2,8, ,11,14, Ο ελαχιστόρος 1 καλύπτεται µόνο µία φορά, από τον PI 000- = w x y Ελαχιστόροι wxyz Essential PIs = w x y +x z +wy ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.11
12 2 ο Μέρος: Επιλογή Eλάχιστου Aριθµού PIs q Βήµα 4: Για όσους ελαχιστόρους έχουν µείνει ακάλυπτοι, βρίσκουµε τον µικρότερο αριθµό από PIs που µπορεί να τους καλύψει q Π.χ. F(w,x,y,z) = m(0,1,2,8,10,11,14,15) Ελαχιστόροι στον PI PIs 0, ,2,8, ,11,14, Ο ελαχιστόρος 1 καλύπτεται µόνο µία φορά, από τον PI 000- = w x y Ελαχιστόροι wxyz Essential PIs = w x y +x z +wy ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.12
13 Παράδειγµα Μέρος 1 ο q F(w,x,y,z) = m(1,4,6,7,8,9,10,11,15) Ελαχιστόρος/οι Δεκαδικό Δυαδικό (w,x,y,z) Αρ. Άσσων Ελαχιστόρος/οι Δεκαδικό Δυαδικό (w,x,y,z) Αρ. Άσσων Ελαχιστόρος/οι Δεκαδικό Δυαδικό (w,x,y,z) Αρ. Άσσων , , , ,9,10, ,10,9, , , , Βήµα , , , Βήµα 1 Βήµα 2 ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.13
14 Παράδειγµα Μέρος 1 ο q F(w,x,y,z) = m(1,4,6,7,8,9,10,11,15) Ελαχιστόρος/οι Δεκαδικό Δυαδικό (w,x,y,z) Αρ. Άσσων Ελαχιστόρος/οι Δεκαδικό Δυαδικό (w,x,y,z) Αρ. Άσσων Ελαχιστόρος/οι Δεκαδικό Δυαδικό (w,x,y,z) Αρ. Άσσων , , , ,9,10, ,10,9, , , , Βήµα , , , Υπάρχουν 6 PIs Βήµα 1 Βήµα 2 ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.14
15 Παράδειγµα Μέρος 2 ο q PIs = {(1,9), (4,6), (6,7), (7,15), (11,15), (8,9,10,11)} = {x y z, w xz, w xy, xyz, wyz, wx } Ελαχιστόροι στον PI PIs 1,9 x y z 4,6 w xz 6,7 w xy 7,15 xyz 11,15 wyz 8,9,10,11 wx Ελαχιστόροι wxyz Κάνουν τον PI essential Καλύπτονται από EPI Καλύπτονται από όχι EPI ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.15
16 Παράδειγµα Μέρος 2 ο q PIs = {(1,9), (4,6), (6,7), (7,15), (11,15), (8,9,10,11)} = {x y z, w xz, w xy, xyz, wyz, wx } Ελαχιστόροι στον PI PIs 1,9 x y z 4,6 w xz Ελαχιστόροι wxyz EPIs 6,7 w xy 7,15 xyz 11,15 wyz 8,9,10,11 wx Κάνουν τον PI essential Καλύπτονται από EPI Καλύπτονται από όχι EPI ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.16
17 Παράδειγµα Μέρος 2 ο q PIs = {(1,9), (4,6), (6,7), (7,15), (11,15), (8,9,10,11)} = {x y z, w xz, w xy, xyz, wyz, wx } Ελαχιστόροι στον PI PIs 1,9 x y z 4,6 w xz Ελαχιστόροι wxyz EPIs 6,7 w xy 7,15 xyz 11,15 wyz 8,9,10,11 wx Κάνουν τον PI essential Καλύπτονται από EPI F(w,x,y,z) = x y z + w xz + wx + xyz Καλύπτονται από όχι EPI ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.17
18 Μέθοδος Κατάταξης σε Πίνακα q Υποστηρίζει και συνθήκες αδιαφορίας (don t care terms) Οι αδιάφοροι όροι λαµβάνονται υπόψη στο 1 ο µέρος, όπου παράγονται όλοι οι PI Δεν περιλαµβάνονται στον 2 ο µέρος, αφού οι αδιάφοροι όροι δεν είναι ανάγκη να καλυφθούν q Π.χ. f(a,b,c,d) = m(1,2,4,5,6,8,9) και f(a,b,c,d) = d(10,11,14,15) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.18
19 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Q-M Method (I) F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) q Transform the given Boolean function into a canonical SOP function q Convert each Minterm into binary format q Arrange each binary minterm in groups All the minterms in one group contain the same number of 1 ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.19
20 Q-M Method: Grouping minterms F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) A B C D E (0) (2) (4) (8) (16) (6) (10) (12) (18) (7) (11) (13) (14) (19) (29) (30) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.20
21 Q-M Method (II) q Combine terms with Hamming distance=1 from adjacent groups q Check ( ) the terms being combined The checked terms are covered by the combined new term q Keep doing this till no combination is possible between adjacent groups ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.21
22 Q-M Method: Grouping minterms A B C D E (0,2) (0,4) (0,8) (0,16) (2,6) (2,10) (2,18) (4,6) (4,12) (8,10) (8,12) (16,18) (6,7) (6,14) (10,11) (10,14) (12,13) (12,14) (18,19) (13,29) (14,30) F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) A B C D E (0,2,4,6) (0,2,8,10) (0,2,16,18) (0,4,8,12) (2,6,10,14) (4,6,12,14) (8,10,12,14) A B C D E (0,2,4, ,10,12,14) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.22
23 Prime Implicants F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) A B C D E (6,7) (10,11) (12,13) (18,19) (13,29) (14,30) (0,2,16,18) (0,2,4, ,10,12,14) Unchecked terms are prime implicants ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.23
24 Prime Implicants F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) A B C D E (6,7) (10,11) (12,13) (18,19) (13,29) (14,30) (0,2,16,18) (0,2,4, ,10,12,14) = ABCD = ABCD = ABCD = ABCD = BCDE = BCDE = BCE = AE Unchecked terms are prime implicants ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.24
25 Q-M Method (III) q Form a Prime Implicant Table X-axis: the minterm Y-axis: prime implicants q An is placed at the intersection of a row and column if the corresponding prime implicant includes the corresponding product (term) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.25
26 Q-M Method: Prime Implicant Table F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.26
27 Q-M Method (IV) q Locate the essential row from the table These are essential prime implicants The row consists of minterms covered by a single q Mark all minterms covered by the essential prime implicants q Find non-essential prime implicants to cover the rest of minterms q Form the SOP function with the prime implicants selected, which is the minimal representation ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.27
28 Q-M Method F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.28
29 Q-M Method F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X Select (0,2,4,6,8,10,12,14) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.29
30 Q-M Method F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X Select (0,2,4,6,8,10,12,14) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.30
31 Q-M Method F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.31
32 Q-M Method F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.32
33 Q-M Method F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7), (10,11) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.33
34 Q-M Method F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7), (10,11) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.34
35 Q-M Method F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7), (10,11), (0,2,16,18) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.35
36 Q-M Method F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7), (10,11), (0,2,16,18) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.36
37 Q-M Method F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7), (10,11), (0,2,16,18), (18,19) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.37
38 Q-M Method F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7), (10,11), (0,2,16,18), (18,19) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.38
39 Q-M Method F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7), (10,11), (0,2,16,18), (18,19), (13,29) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.39
40 Q-M Method F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7), (10,11), (0,2,16,18), (18,19), (13,29) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.40
41 Q-M Method F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7), (10,11), (0,2,16,18), (18,19), (13,29), (14,30) Now all the minterms are covered by selected prime implicants! ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.41
42 Q-M Method F(A,B,C, D, E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7), (10,11), (0,2,16,18), (18,19), (13,29), (14,30) Now all the minterms are covered by selected prime implicants! Note that (12,13), a non-essential prime implicant, is not needed ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.42
43 Q-M Method Result (6,7) X X (10,11) X X (12,13) X X (18,19) X X (13,29) X X (14,30) X X (0,2,16,18) X X X X (0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X F(A,B,C, D,E) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8,10,11,12,13,14,16,18,19, 29, 30) = (6,7) + (10,11) + (18,19) + (13,29) + (14,30) + (0,2,16,18) + (0,2,4,6,8,10,12,14) = ABCD + ABCD + ABCD + BCDE + BCDE + BCE + AE ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.43
44 Q-M Method Example 2 q Sometimes, simplification by K- map method could be less than optimal due to human error q Quine-McCluskey method can guarantee an optimal answer F = m(0,1, 4, 6, 8, 9,10,12) + d(5,7,14) CD AB X X X ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.44
45 Grouping minterms F = m(0,1, 4, 6, 8, 9,10,12) + d(5,7,14) A B C D (0) (1) (4) (8) (5) (6) (9) (10) (12) (7) (14) A B C D (0,1) (0,4) (0,8) (1,5) (1,9) (4,5) (4,6) (4,12) (8,9) (8,10) (8,12) (5,7) (6,7) (6,14) (10,14) (12,14) A B C D (0,1,4,5) (0,1,8,9) (0,4,8,12) (4,5,6,7) (4,6,12,14) (8,10,12,14) ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.45
46 Prime Implicants F = m(0,1, 4, 6, 8, 9,10,12) + d(5,7,14) A B C D (0,1,4,5) (0,1,8,9) (0,4,8,12) (4,5,6,7) (4,6,12,14) (8,10,12,14) Don t Care (0,1,4,5) X X X X (0,1,8,9) X X X X (0,4,8,12) X X X X (4,5,6,7) X X X X (4,6,12,14) X X X X (8,10,12,14) X X X X ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.46
47 Prime Implicants F = m(0,1, 4, 6, 8, 9,10,12) + d(5,7,14) A B C D (0,1,4,5) (0,1,8,9) (0,4,8,12) (4,5,6,7) (4,6,12,14) (8,10,12,14) Don t Care (0,1,4,5) X X X X (0,1,8,9) X X X X (0,4,8,12) X X X X (4,5,6,7) X X X X (4,6,12,14) X X X X (8,10,12,14) X X X X ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.47
48 Prime Implicants F = m(0,1, 4, 6, 8, 9,10,12) + d(5,7,14) A B C D (0,1,4,5) (0,1,8,9) (0,4,8,12) (4,5,6,7) (4,6,12,14) (8,10,12,14) Don t Care (0,1,4,5) X X X X (0,1,8,9) X X X X (0,4,8,12) X X X X (4,5,6,7) X X X X (4,6,12,14) X X X X (8,10,12,14) X X X X ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.48
49 Prime Implicants F = m(0,1, 4, 6, 8, 9,10,12) + d(5,7,14) (0,1,4,5) A B C D (0,1,8,9) (0,4,8,12) (4,5,6,7) (4,6,12,14) (8,10,12,14) Don t Care (0,1,4,5) X X X X (0,1,8,9) X X X X (0,4,8,12) X X X X (4,5,6,7) X X X X (4,6,12,14) X X X X (8,10,12,14) X X X X ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.49
50 Prime Implicants F = m(0,1, 4, 6, 8, 9,10,12) + d(5,7,14) A B C D (0,1,4,5) (0,1,8,9) (0,4,8,12) (4,5,6,7) (4,6,12,14) (8,10,12,14) Don t Care (0,1,4,5) X X X X (0,1,8,9) X X X X (0,4,8,12) X X X X (4,5,6,7) X X X X (4,6,12,14) X X X X (8,10,12,14) X X X X ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.50
51 Prime Implicants F = m(0,1, 4, 6, 8, 9,10,12) + d(5,7,14) A B C D (0,1,4,5) (0,1,8,9) (0,4,8,12) (4,5,6,7) (4,6,12,14) (8,10,12,14) Essential PI Non-Essential PI Essential PI Don t Care (0,1,4,5) X X X X (0,1,8,9) X X X X (0,4,8,12) X X X X (4,5,6,7) X X X X (4,6,12,14) X X X X (8,10,12,14) X X X X ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.51
52 Q-M Method Solution F = m(0,1, 4, 6, 8, 9,10,12) + d(5,7,14) A B C D (0,1,4,5) (0,1,8,9) (0,4,8,12) (4,5,6,7) (4,6,12,14) (8,10,12,14) = BC + AD + AB Don t Care (0,1,4,5) X X X X (0,1,8,9) X X X X (0,4,8,12) X X X X (4,5,6,7) X X X X (4,6,12,14) X X X X (8,10,12,14) X X X X ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.52
53 Yet Another Q-M Method Solution F = m(0,1, 4, 6, 8, 9,10,12) + d(5,7,14) A B C D (0,1,4,5) (0,1,8,9) (0,4,8,12) (4,5,6,7) (4,6,12,14) (8,10,12,14) = BC + AD + BD Don t Care (0,1,4,5) X X X X (0,1,8,9) X X X X (0,4,8,12) X X X X (4,5,6,7) X X X X (4,6,12,14) X X X X (8,10,12,14) X X X X ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.53
54 K-Map Ισοδύναµη µέθοδος CD AB X X X CD AB X X X F = m(0,1, 4, 6, 8, 9,10,12) + d(5,7,14) = BC + AD + AB F = m(0,1, 4, 6, 8, 9,10,12) + d(5,7,14) = BC + AD + BD ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.54
Διδάσκουσα: Μαρία Κ. Μιχαήλ. Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
ΗΜΥ : Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 9 ΗΜΥ-: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 9 Συνδυαστική Λογική: Ελαχιστοποίηση με τη μέθοδο Κατάταξης σε Πίνακα Διδάσκουσα: Μαρία Κ.
ΗΜΥ-210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2008
ΗΜΥ : Λογικός Σχεδιασμός, Χειμερινό Εξάμηνο 8 Σεπτέμβριος 8 ΗΜΥ-: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 8 Συνδυαστική Λογική: Ελαχιστοποίηση με τη μέθοδο Κατάταξης σε Πίνακα Διδάσκουσα: Μαρία
ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Σεπτέμβριος 10. Κεφάλαιο 2: Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα (Ελαχιστοποίηση με Κατάταξη σε Πίνακα) 1
ΗΜΥ : Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Σεπτέμβριος ΗΜΥ-: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Συνδυαστική Λογική: Ελαχιστοποίηση με τη μέθοδο Κατάταξης σε Πίνακα Διδάσκουσα: Μαρία Κ. Μιχαήλ Αλγοριθμική Ελαχιστοποίηση
ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Χειμερινό Εξάμηνο Σεπτέμβριος 09 Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα. Διδάσκουσα: Μαρία Κ.
ΗΜΥ 2: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων ΗΜΥ-2: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Συνδυαστική Λογική (Μέρος Α) Διδάσκουσα: Μαρία Κ. Μιχαήλ Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
ΗΜΥ-210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2008
ΗΜΥ 2: Λογικός Σχεδιασμός, Χειμερινό Εξάμηνο 28 Σεπτέμβριος 8 ΗΜΥ-2: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 28 Συνδυαστική Λογική (Μέρος Α) Διδάσκουσα: Μαρία Κ. Μιχαήλ Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα
Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Ψηφιακή Σχεδίαση
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Ψηφιακή Σχεδίαση Ενότητα 3: Ελαχιστοποίηση σε επίπεδο τιμών, Χάρτες Karnaugh, Πρωτεύοντες όροι Δρ. Μηνάς Δασυγένης mdasyg@ieee.org Εργαστήριο Ψηφιακών Συστημάτων
ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Σεπτέμβριος 10. Συνδιαστικά Λογικά Κυκλώματα 1
ΗΜΥ 2: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Σεπτέμβριος ΗΜΥ-2: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Συνδυαστική Λογική (Μέρος Α) Διδάσκουσα: Μαρία Κ. Μιχαήλ Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
ΗΜΥ 210 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΗΜΥ 20 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χειµερινό Εξάµηνο 206 ΔΙΑΛΕΞΗ 2: Συνδιαστική Λογική (Κεφ. 2Α) ΧΑΡΗΣ ΘΕΟΧΑΡΙΔΗΣ Επίκουρος Καθηγητής, ΗΜΜΥ (ttheocharides@ucy.ac.cy) Περίληψη q Δυαδική Λογική και Πύλες
3. Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole
3. Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole 3. Μέθοδος του χάρτη Η πολυπλοκότητα ψηφιακών πυλών που υλοποιούν μια συνάρτηση Boole σχετίζεται άμεσα με την πολύπλοκότητα της αλγεβρικής της έκφρασης. Η αλγεβρική αναπαράσταση
Ελίνα Μακρή
Ελίνα Μακρή elmak@unipi.gr Μετατροπή Αριθμητικών Συστημάτων Πράξεις στα Αριθμητικά Συστήματα Σχεδίαση Ψηφιακών Κυκλωμάτων με Logism Άλγεβρα Boole Λογικές Πύλες (AND, OR, NOT, NAND, XOR) Flip Flops (D,
Συναρτήσεων Boole. Η Μέθοδος του Χάρτη
3 η Θεµατική Ενότητα : Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole m 0 m x y x y m 2 m 3 xy xy Η Μέθοδος του Χάρτη H Αλγεβρική Έκφραση µίας συνάρτησης δεν είναι µοναδική. Στόχος η εύρεση της µικρότερης. Απαιτείται συστηµατική
ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ
Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Εργαστήριο Ενσύρµατης Τηλεπικοινωνίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ Μάθηµα 3: Απλοποίηση συναρτήσεων Boole ιδάσκων: Καθηγητής Ν. Φακωτάκης 3-1 Η µέθοδος του χάρτη H πολυπλοκότητα
Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής. Ψηφιακά Ηλεκτρονικά. Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole. Επιμέλεια Διαφανειών: Δ.
Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Ψηφιακά Ηλεκτρονικά Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole Επιμέλεια Διαφανειών: Δ. Μπακάλης Πάτρα, Φεβρουάριος 2009 Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole Η πολυπλοκότητα του κυκλώματος
ΗΜΥ 210 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΗΜΥ 210 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ΔΙΑΛΕΞΗ 4: Ελαχιστοποίηση και Λογικές Πύλες ΧΑΡΗΣ ΘΕΟΧΑΡΙΔΗΣ Επίκουρος Καθηγητής, ΗΜΜΥ (ttheocharides@ucy.ac.cy) Περίληψη q Βελτιστοποίηση
Δυαδικές συναρτήσεις Άλγεβρα Boole Λογικά διαγράμματα
Δυαδικές συναρτήσεις Άλγεβρα Boole Λογικά διαγράμματα 1. Για a=1, b=1 και c=0, υπολογίστε τις τιμές των λογικών παραστάσεων ab c, a+b +c, a+b c και ab +c Δώστε τα σύνολα τιμών των δυαδικών μεταβλητών a,
Γ2.1 Στοιχεία Αρχιτεκτονικής. Γ Λυκείου Κατεύθυνσης
Γ2.1 Στοιχεία Αρχιτεκτονικής Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Ορισμός άλγεβρας Boole Η άλγεβρα Boole ορίζεται, ως μία αλγεβρική δομή A, όπου: (α) Το Α είναι ένα σύνολο στοιχείων που περιέχει δύο τουλάχιστον στοιχεία
3 η Θεµατική Ενότητα : Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός
3 η Θεµατική Ενότητα : Απλοποίηση Συναρτήσεων oole Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός Απλοποίηση Συναρτήσεων oole Ø Η πολυπλοκότητα του κυκλώµατος που υλοποιεί µια συνάρτηση oole σχετίζεται άµεσα µε
ΜΕΡΟΣ 1 ο : Δυαδικές συναρτήσεις Άλγεβρα Boole Λογικά διαγράμματα
ΜΕΡΟΣ 1 ο : Δυαδικές συναρτήσεις Άλγεβρα Boole Λογικά διαγράμματα 1. Για a=1, b=1 και c=0, υπολογίστε τις τιμές των λογικών παραστάσεων ab c, a+b +c, a+b c και ab +c Δώστε τα σύνολα τιμών των δυαδικών
Εργαστήριο Ψηφιακών Συστηµάτων ΗΜΥ211
Εργαστήριο Ψηφιακών Συστηµάτων ΗΜΥ2 Χειµερινό 23 Εργαστήριο Ψηφιακών Συστηµάτων ΗΜΥ2 Χάρτες Karnaugh, Οικουµενικές Πύλες (NAND & NOR) και Αποκλειστικό Η (ΧΟR) Εβδοµάδα: 3 Εργαστήριο Ψηφιακών Συστηµάτων
5.2 ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ ΚΑΤΑΤΑΞΗΣ ΣΕ ΠΙΝΑΚΑ
5.2 ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ ΚΑΤΑΤΑΞΗΣ ΣΕ ΠΙΝΑΚΑ 5.2. Εισαγωγή Αν η λογική συνάρτηση που πρόκειται να απλοποιήσουμε έχει περισσότερες από έξι μεταβλητές τότε η μέθοδος απλοποίησης με Χάρτη Καρνώ χρειάζεται
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής & Πολυμέσων. Ψηφιακή Σχεδίαση. Κεφάλαιο 2: Συνδυαστικά Λογικά
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής & Πολυμέσων Ψηφιακή Σχεδίαση Κεφάλαιο 2: Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα Γ. Κορνάρος Περίγραμμα Μέρος 1 Κυκλώματα Πυλών και
Ενότητα 5 ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΔΥΟ ΕΠΙΠΕΔΩΝ
Ενότητα 5 ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΔΥΟ ΕΠΙΠΕΔΩΝ Γενικές Γραμμές Χάρτης Karnaugh (K-map) Prime Implicants (πρωταρχικοί όροι) Διαδικασία Απλοποίησης με K-map ΑδιάφοροιΣυνδυασμοίΕισόδων Διεπίπεδες Υλοποιήσεις
ΗΜΥ-210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων
ΗΜΥ-2: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Συνδυαστική Λογική / Κυκλώματα (Μέρος B) Διδάσκουσα: Μαρία Κ Μιχαήλ Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Περίληψη Βελτιστοποίηση
Ψηθιακά ςζηήμαηα - Διζαγωγή. ΣΔΙ Πάηπαρ, Σμήμα Ηλεκηπολογίαρ Καθ. Π. Βλασόποςλορ
Ψηθιακά ςζηήμαηα - Διζαγωγή Καθ. Π. Βλασόποςλορ 1 Κςκλώμαηα Γιακοπηών και Λογικέρ Πύλερ Καθ. Π. Βλασόποςλορ 2 Κςκλώμαηα Γιακοπηών και Λογικέρ Πύλερ Καθ. Π. Βλασόποςλορ 3 Κςκλώμαηα Γιακοπηών και Λογικέρ
Οικουμενικές Πύλες (ΝΑΝD NOR), Πύλη αποκλειστικού Η (XOR) και Χρήση KarnaughMaps
ΗΜΥ211 Εργαστήριο Ψηφιακών Συστηµάτων Οικουμενικές Πύλες (ΝΑΝD NOR), Πύλη αποκλειστικού Η (XOR) και Χρήση KarnaughMaps ιδάσκων: ρ. Γιώργος Ζάγγουλος Πανεπιστήµιο Κύπρου Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και
Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Ψηφιακή Σχεδίαση
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Ψηφιακή Σχεδίαση Ενότητα 2: Αλγεβρα Boole, Δυαδική Λογική, Ελαχιστόροι, Μεγιστόροι Δρ. Μηνάς Δασυγένης mdasyg@ieee.org Εργαστήριο Ψηφιακών Συστημάτων και
ΗΜΥ 210 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ΔΙΑΛΕΞΗ 18: Διαδικασία Σχεδίασης Ψηφιακών Συστηµάτων - Επανάληψη
ΗΜΥ 210 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ΔΙΑΛΕΞΗ 18: Διαδικασία Σχεδίασης Ψηφιακών Συστηµάτων - Επανάληψη ΧΑΡΗΣ ΘΕΟΧΑΡΙΔΗΣ Επίκουρος Καθηγητής, ΗΜΜΥ (ttheocharides@ucy.ac.cy) Περίληψη
UNIVERSITY OF CALIFORNIA. EECS 150 Fall ) You are implementing an 4:1 Multiplexer that has the following specifications:
UNIVERSITY OF CALIFORNIA Department of Electrical Engineering and Computer Sciences EECS 150 Fall 2001 Prof. Subramanian Midterm II 1) You are implementing an 4:1 Multiplexer that has the following specifications:
Επανάληψη Βασικών Στοιχείων Ψηφιακής Λογικής
Επανάληψη Βασικών Στοιχείων Ψηφιακής Λογικής Αριθµοί Διαφόρων Βάσεων Δυαδικά Συστήµατα 2 Υπολογιστική Ακρίβεια Ο αριθµός των δυαδικών ψηφίων αναπαράστασης αριθµών καθορίζει την ακρίβεια των αριθµών σε
Λογική Σχεδίαση Ψηφιακών Συστημάτων
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Πληροφορικής Λογική Σχεδίαση Ψηφιακών Συστημάτων Σταμούλης Γεώργιος georges@uth.gr Δαδαλιάρης Αντώνιος dadaliaris@uth.gr Δυαδική Λογική Η δυαδική λογική ασχολείται με μεταβλητές
Ενότητα 4 ΛΟΓΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΔΥΟ ΕΠΙΠΕΔΩΝ
Ενότητα 4 ΛΟΓΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΔΥΟ ΕΠΙΠΕΔΩΝ Γενικές Γραμμές Λογικές Συναρτήσεις 2 Επιπέδων Συμπλήρωμα Λογικής Συνάρτησης Πίνακας Αλήθειας Κανονική Μορφή Αθροίσματος Γινομένων Λίστα Ελαχιστόρων
Κεφάλαιο 4. Λογική Σχεδίαση
Κεφάλαιο 4 Λογική Σχεδίαση 4.1 Εισαγωγή Λογικές συναρτήσεις ονομάζουμε εκείνες για τις οποίες μπορούμε να αποφασίσουμε αν είναι αληθείς ή όχι. Χειριζόμαστε τις λογικές προτάσεις στην συγγραφή λογισμικού
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο
EE512: Error Control Coding
EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3
Περίληψη ΗΜΥ-210: Λογικός Σχεδιασµός. Λογικές Πύλες. BUFFER, NAND και NOR. ΗΜΥ 210: Λογικός Σχεδιασµός, Εαρινό Εξάµηνο 2005
ΗΜΥ 2: Λογικός Σχεδιασµός, Εαρινό Εξάµηνο 25 Φεβ-5 ΗΜΥ-2: Λογικός Σχεδιασµός Εαρινό Εξάµηνο 25 Κεφάλαιο 2-ii: Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώµατα (2.6 2.8, ) Περίληψη Υλοποίηση κυκλωµάτων πολλαπλών επιπέδων (µετασχηµατισµοί)
Ψηφιακά Συστήματα. 4. Άλγεβρα Boole & Τεχνικές Σχεδίασης Λογικών Κυκλωμάτων
Ψηφιακά Συστήματα 4. Άλγεβρα Boole & Τεχνικές Σχεδίασης Λογικών Κυκλωμάτων Βιβλιογραφία 1. Φανουράκης Κ., Πάτσης Γ., Τσακιρίδης Ο., Θεωρία και Ασκήσεις Ψηφιακών Ηλεκτρονικών, ΜΑΡΙΑ ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΕΠΕ, 2016.
K24 Ψηφιακά Ηλεκτρονικά 4: Σχεδίαση Συνδυαστικών Κυκλωμάτων
K24 Ψηφιακά Ηλεκτρονικά 4: Σχεδίαση Συνδυαστικών Κυκλωμάτων TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ Περιεχόμενα 1 2 3 4 Ένα ψηφιακό κύκλωμα με n εισόδους
Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------
Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin
C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions
C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions Paul Liu November 15, 2007 Note that these are sample solutions only; in many cases there were many acceptable answers. 1 Reynolds Problem 10.1 1.1 Normal-order
3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β
3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS Page Theorem cos(αβ cos α cos β -sin α cos(α-β cos α cos β sin α NOTE: cos(αβ cos α cos β cos(α-β cos α -cos β Proof of cos(α-β cos α cos β sin α Let s use a unit circle
Απλοποίηση λογικών συναρτήσεων. URL:
Ø ÖÓ Ü Ñ ÒÓ ÓØ Απλοποίηση λογικών συναρτήσεων ôö Ó Éº Ð Ü Ò Ö ÔÓÙÐÓ Ä ØÓÖ Èº º ¼» ¼ e-mail: alexandg@uop.gr URL: http://users.iit.demokritos.gr/~alexandg ÌÑ Ñ Ô Ø Ñ Ì ÕÒÓÐÓ Ì Ð Ô Ó ÒÛÒ ôò È Ö Õ Ñ Ò É ÖØ
Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής
Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Να γραφεί πρόγραμμα το οποίο δέχεται ως είσοδο μια ακολουθία S από n (n 40) ακέραιους αριθμούς και επιστρέφει ως έξοδο δύο ακολουθίες από θετικούς ακέραιους
Homework 8 Model Solution Section
MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx
2. Άλγεβρα Boole και Λογικές Πύλες
2. Άλγεβρα Boole και Λογικές Πύλες 2.1 Βασικοί ορισμοί Η άλγεβρα Boole μπορεί να οριστεί με ένα σύνολο στοιχείων, ένα σύνολο τελεστών και ένα σύνολο αξιωμάτων. Δυαδικός τελεστής ορισμένος σε ένα σύνολο
Fractional Colorings and Zykov Products of graphs
Fractional Colorings and Zykov Products of graphs Who? Nichole Schimanski When? July 27, 2011 Graphs A graph, G, consists of a vertex set, V (G), and an edge set, E(G). V (G) is any finite set E(G) is
ΗΜΥ211 Εργαστήριο Ψηφιακών Συστημάτων
ΗΜΥ211 Εργαστήριο Ψηφιακών Συστημάτων Λογισμικό Προσομοίωσης LogiSim καιχρήση KarnaughMaps Διδάσκοντες: Δρ. Αγαθοκλής Παπαδόπουλος & Δρ. Γιώργος Ζάγγουλος Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
ΗΜΥ 210 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΗΜΥ 2 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χειµερινό Εξάµηνο 26 ΔΙΑΛΕΞΗ 8: Σχεδιασµός Συνδυαστικών Κυκλωµάτων Ι (Κεφάλαιο 4) ΧΑΡΗΣ ΘΕΟΧΑΡΙΔΗΣ Επίκουρος Καθηγητής, ΗΜΜΥ (ttheocharides@ucy.ac.cy) Περίληψη q Συναρτήσεις
Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής. Ψηφιακά Ηλεκτρονικά. Άλγεβρα Boole και Λογικές Πύλες 2. Επιμέλεια Διαφανειών: Δ.
Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Ψηφιακά Ηλεκτρονικά Άλγεβρα Boole και Λογικές Πύλες Επιμέλεια Διαφανειών: Δ. Μπακάλης Πάτρα, Φεβρουάριος 2009 Αξιωματικός Ορισμός Άλγεβρας Boole Άλγεβρα Boole: είναι μία
ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE 2017, Δρ. Ηρακλής Σπηλιώτης Γενικοί ορισμοί Αλγεβρική δομή είναι ένα σύνολο στοιχείων και κάποιες συναρτήσεις με πεδίο ορισμού αυτό το σύνολο. Αυτές οι συναρτήσεις
Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα
Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα Ένα συνδυαστικό λογικό κύκλωμα συντίθεται από λογικές πύλες, δέχεται εισόδους και παράγει μία ή περισσότερες εξόδους. Στα συνδυαστικά λογικά κυκλώματα οι έξοδοι σε κάθε χρονική
CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS
CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =
2. THEORY OF EQUATIONS. PREVIOUS EAMCET Bits.
EAMCET-. THEORY OF EQUATIONS PREVIOUS EAMCET Bits. Each of the roots of the equation x 6x + 6x 5= are increased by k so that the new transformed equation does not contain term. Then k =... - 4. - Sol.
Homework 3 Solutions
Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For
Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων
Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΕΝΟΤΗΤΑ Μ ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Εκπαιδευτής: Γ. Π. ΠΑΤΣΗΣ, Επικ. Καθηγητής, Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών, ΤΕΙ Αθήνας ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ
Matrices and Determinants
Matrices and Determinants SUBJECTIVE PROBLEMS: Q 1. For what value of k do the following system of equations possess a non-trivial (i.e., not all zero) solution over the set of rationals Q? x + ky + 3z
SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES G11LMA Linear Mathematics Examination Solutions
SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES GLMA Linear Mathematics 00- Examination Solutions. (a) i. ( + 5i)( i) = (6 + 5) + (5 )i = + i. Real part is, imaginary part is. (b) ii. + 5i i ( + 5i)( + i) = ( i)( + i)
2 Composition. Invertible Mappings
Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,
Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme
Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry
Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.
Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given
Κυκλώµατα µε MSI. υαδικός Αθροιστής & Αφαιρέτης
5 η Θεµατική Ενότητα : Συνδυαστικά Κυκλώµατα µε MSI υαδικός Αθροιστής & Αφαιρέτης A i B i FA S i C i C i+1 D Σειριακός Αθροιστής Σειριακός Αθροιστής: απαιτεί 1 πλήρη αθροιστή, 1 στοιχείο µνήµης και παράγει
Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit
Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ting Zhang Stanford May 11, 2001 Stanford, 5/11/2001 1 Outline Ordinal Classification Ordinal Addition Ordinal Multiplication Ordinal
2 η Θεµατική Ενότητα : Άλγεβρα Boole και Λογικές Πύλες. Βασικοί Ορισµοί
2 η Θεµατική Ενότητα : Άλγεβρα Boole και Λογικές Πύλες Βασικοί Ορισµοί υαδικός Τελεστής (Binary Operator): σε κάθε ζεύγος από το S αντιστοιχίζει ένα στοιχείο του S = set, σύνολο Συνηθισµένα Αξιώµατα (α,
ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων. Συνδυαστική Λογική / Κυκλώματα
ΗΜΥ-210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Συνδυαστική Λογική / Κυκλώματα (Μέρος ) Διδάσκουσα: Μαρία Κ Μιχαήλ Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Περίληψη Βελτιστοποίηση
Λογικές πύλες: Οι στοιχειώδεις δομικοί λίθοι των κυκλωμάτων
Λογικές πύλες Λογικές πύλες: Οι στοιχειώδεις δομικοί λίθοι των κυκλωμάτων Το υλικό(hardware) για την εκτέλεση των εντολών γλώσσας μηχανής(και κατ επέκταση όλων των προγραμμάτων), κατασκευάζεται χρησιμοποιώντας
ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ VERILOG 2017, Δρ. Ηρακλής Σπηλιώτης Ελαχιστοποίηση λογικών συναρτήσεων Ο στόχος της ελαχιστοποίησης είναι η εύρεση της πιο απλοποιημένης
ΗΜΥ 210 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ΔΙΑΛΕΞΗ 13: Διαδικασία Σχεδιασµού Ακολουθιακών Κυκλωµάτων (Κεφάλαιο 6.
ΗΜΥ 210 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ΔΙΑΛΕΞΗ 13: Διαδικασία Σχεδιασµού Ακολουθιακών Κυκλωµάτων (Κεφάλαιο 6.3) ΧΑΡΗΣ ΘΕΟΧΑΡΙΔΗΣ Επίκουρος Καθηγητής, ΗΜΜΥ (ttheocharides@ucy.ac.cy)
ΗΜΥ 210 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ΔΙΑΛΕΞΗ 17: Αναδιατασσόµενη Λογική Προγραµµατιζόµενο Υλικό
ΗΜΥ 210 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ΔΙΑΛΕΞΗ 17: Αναδιατασσόµενη Λογική Προγραµµατιζόµενο Υλικό ΧΑΡΗΣ ΘΕΟΧΑΡΙΔΗΣ Επίκουρος Καθηγητής, ΗΜΜΥ (ttheocharides@ucy.ac.cy) Προγραµµατιζόµενες
2 η Θεµατική Ενότητα : Άλγεβρα Boole και Λογικές Πύλες. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός
2 η Θεµατική Ενότητα : Άλγεβρα Boole και Λογικές Πύλες Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός Βασικοί Ορισµοί Δυαδικός Τελεστής (Binary Operator): σε κάθε ζεύγος από το Σ αντιστοιχίζει ένα στοιχείο του
Reminders: linear functions
Reminders: linear functions Let U and V be vector spaces over the same field F. Definition A function f : U V is linear if for every u 1, u 2 U, f (u 1 + u 2 ) = f (u 1 ) + f (u 2 ), and for every u U
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Κ. Δεμέστιχας Εργαστήριο Πληροφορικής Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Επικοινωνία μέσω e-mail: cdemest@aua.gr, cdemest@cn.ntua.gr 1 4. ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΕΡΟΣ Α 2 Άλγεβρα
ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011
Διάρκεια Διαγωνισμού: 3 ώρες Απαντήστε όλες τις ερωτήσεις Μέγιστο Βάρος (20 Μονάδες) Δίνεται ένα σύνολο από N σφαιρίδια τα οποία δεν έχουν όλα το ίδιο βάρος μεταξύ τους και ένα κουτί που αντέχει μέχρι
Trigonometry 1.TRIGONOMETRIC RATIOS
Trigonometry.TRIGONOMETRIC RATIOS. If a ray OP makes an angle with the positive direction of X-axis then y x i) Sin ii) cos r r iii) tan x y (x 0) iv) cot y x (y 0) y P v) sec x r (x 0) vi) cosec y r (y
Phys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required)
Phys460.nb 81 ψ n (t) is still the (same) eigenstate of H But for tdependent H. The answer is NO. 5.5.5. Solution for the tdependent Schrodinger s equation If we assume that at time t 0, the electron starts
Section 8.3 Trigonometric Equations
99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.
Jesse Maassen and Mark Lundstrom Purdue University November 25, 2013
Notes on Average Scattering imes and Hall Factors Jesse Maassen and Mar Lundstrom Purdue University November 5, 13 I. Introduction 1 II. Solution of the BE 1 III. Exercises: Woring out average scattering
Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2α: Χάρτης Karnaugh (Βοηθητικό υλικό)
Εισαγωγή στους Η/Υ Ενότητα 2α: (Βοηθητικό υλικό) Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Κατανόηση της χρήσης του Χάρτη Karnaugh 2 Περιεχόμενα
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή
2 η Θεµατική Ενότητα : Άλγεβρα Boole και Λογικές Πύλες
2 η Θεµατική Ενότητα : Άλγεβρα Boole και Λογικές Πύλες Βασικοί Ορισµοί υαδικός Τελεστής (Binary Operator): σε κάθε ζεύγος από το S αντιστοιχίζει ένα στοιχείο του S. Συνηθισµένα Αξιώµατα (α, β, γ, 0) Σ,,
Fourier Series. MATH 211, Calculus II. J. Robert Buchanan. Spring Department of Mathematics
Fourier Series MATH 211, Calculus II J. Robert Buchanan Department of Mathematics Spring 2018 Introduction Not all functions can be represented by Taylor series. f (k) (c) A Taylor series f (x) = (x c)
Areas and Lengths in Polar Coordinates
Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the
Example Sheet 3 Solutions
Example Sheet 3 Solutions. i Regular Sturm-Liouville. ii Singular Sturm-Liouville mixed boundary conditions. iii Not Sturm-Liouville ODE is not in Sturm-Liouville form. iv Regular Sturm-Liouville note
Trigonometric Formula Sheet
Trigonometric Formula Sheet Definition of the Trig Functions Right Triangle Definition Assume that: 0 < θ < or 0 < θ < 90 Unit Circle Definition Assume θ can be any angle. y x, y hypotenuse opposite θ
4 η Θεµατική Ενότητα : Συνδυαστική Λογική. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός
4 η Θεµατική Ενότητα : Συνδυαστική Λογική Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός Λογικά Κυκλώµατα Ø Τα λογικά κυκλώµατα διακρίνονται σε συνδυαστικά (combinational) και ακολουθιακά (sequential). Ø Τα συνδυαστικά
( ) ( ) University of Hertfordshire - IST Studies School of Computer Science COMPUTER SYSTEMS ARCHITECTURE 1
University of Hertfordshire - IST Studies School of omputer Science OMPUTER SYSTEMS RHITETURE 1 1. Simplify the function Y ( ) ( ) 2. Simplify the function Y (( 1) )( (0)) 3. Simplify the function Y 4.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΕΠΛ342: Βάσεις Δεδομένων. Χειμερινό Εξάμηνο Φροντιστήριο 10 ΛΥΣΕΙΣ. Επερωτήσεις SQL
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ342: Βάσεις Δεδομένων Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Φροντιστήριο 10 ΛΥΣΕΙΣ Επερωτήσεις SQL Άσκηση 1 Για το ακόλουθο σχήμα Suppliers(sid, sname, address) Parts(pid, pname,
Εισαγωγή στην Πληροφορική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Εισαγωγή στην Πληροφορική Ενότητα 2: Ψηφιακή Λογική Ι Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά
Practice Exam 2. Conceptual Questions. 1. State a Basic identity and then verify it. (a) Identity: Solution: One identity is csc(θ) = 1
Conceptual Questions. State a Basic identity and then verify it. a) Identity: Solution: One identity is cscθ) = sinθ) Practice Exam b) Verification: Solution: Given the point of intersection x, y) of the
DIGITAL DESIGN WITH AN INTRODUCTION TO THE VERILOG HDL Fifth Edition
SOLUTIONS MANUAL DIGITAL DESIGN WITH AN INTRODUCTION TO THE VERILOG HDL ifth Edition M. MORRIS MANO Professor Emeritus California State Universit, Los Angeles MICHAEL D. CILETTI Professor Emeritus Universit
( 1) R s S. R o. r D + -
Tο κύκλωμα που δίνεται είναι ένας ενισχυτής κοινής πύλης. Δίνονται: r D = 1 MΩ, g m =5mA/V, R s =100 Ω, R D = 10 kω. Υπολογίστε: α) την απολαβή τάσης β) την αντίσταση εισόδου γ) την αντίσταση εξόδου Οι
Areas and Lengths in Polar Coordinates
Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the
Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ)
Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ) Περίληψη Επίλυση δυσδιάστατων προβληµάτων Η µέθοδος simplex Τυπική µορφή Ακέραιος Προγραµµατισµός Προγραµµατισµός Παραγωγής Προϊόν Προϊόν 2 Παραγωγική Δυνατότητα Μηχ. 4 Μηχ.
Βοηθητικές Σημειώσεις στη ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ
Βοηθητικές Σημειώσεις στη ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΜΣ στις Τεχνολογίες και Συστήματα Ευρυζωνικών Εφαρμογών και Υπηρεσιών Διδάσκων : Παρασκευάς Κίτσος Επίκουρος Καθηγητής pkitsos@teimes.gr 1 Τμήμα των διαλέξεων
K24 Ψηφιακά Ηλεκτρονικά 6: Πολυπλέκτες/Αποπολυπλέκτες
K24 Ψηφιακά Ηλεκτρονικά 6: Πολυπλέκτες/Αποπολυπλέκτες TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ Περιεχόμενα 1 2 3 4 Λειτουργία Πολυπλέκτης (Mul plexer) Ο
Finite Field Problems: Solutions
Finite Field Problems: Solutions 1. Let f = x 2 +1 Z 11 [x] and let F = Z 11 [x]/(f), a field. Let Solution: F =11 2 = 121, so F = 121 1 = 120. The possible orders are the divisors of 120. Solution: The
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΕΝΑ ΦΛΟΚΑ Επίκουρος Καθηγήτρια Τµήµα Φυσικής, Τοµέας Φυσικής Περιβάλλοντος- Μετεωρολογίας ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Πληθυσµός Σύνολο ατόµων ή αντικειµένων στα οποία αναφέρονται
Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων
Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΕΝΟΤΗΤΑ Μ1 ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Εκπαιδευτής: Γ. Π. ΠΑΤΣΗΣ, Επικ. Καθηγητής, Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών, ΤΕΙ Αθήνας ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ NND NOR ΑΛΓΕΒΡΑ OOLE ΘΕΩΡΗΜΑ
9. OIΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΙΣΟ ΩΝ
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 61 9. OIΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΙΣΟ ΩΝ I. Βασική Θεωρία Οι πύλες NAND και NOR ονομάζονται οικουμενικές πύλες (universal gates) γιατί κάθε συνδυαστικό κύκλωμα μπορεί να υλοποιηθεί
Ψηφιακή Σχεδίαση Εργαστήριο Τ.Ε.Ι. ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜ. ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ
Ψηφιακή Σχεδίαση Εργαστήριο Τ.Ε.Ι. ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜ. ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2015-2016 Άλγεβρα Boole (Boolean Algebra) Βασικοί ορισμοί Η άλγεβρα Boole μπορεί να οριστεί
ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Χειμερινό Εξάμηνο Βασικές Συνδυαστικές Συναρτήσεις και. Διδάσκουσα: Μαρία Κ. Μιχαήλ
ΗΜΥ 2: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 29 Οκτ-9 ΗΜΥ-2: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Χειμερινό μρ Εξάμηνο 29 Βασικές Συνδυαστικές Συναρτήσεις και Κυκλώματα Διδάσκουσα: Μαρία Κ Μιχαήλ