ΗΜΥ 210 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Transcript

1 ΗΜΥ 20 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χειµερινό Εξάµηνο 206 ΔΙΑΛΕΞΗ 2: Συνδιαστική Λογική (Κεφ. 2Α) ΧΑΡΗΣ ΘΕΟΧΑΡΙΔΗΣ Επίκουρος Καθηγητής, ΗΜΜΥ

2 Περίληψη q Δυαδική Λογική και Πύλες q Άλγεβρα Boole Βασικές ιδιότητες Αλγεβρικός Χειρισµός/Μετασχηµατισµός q Κανονικές (Canonical) και Πρότυπες (Standard) µορφές Ελαχιστόροι (minterms) και Μεγιστόροι (maxterms) SOP and POS (κανονικές και πρότυπες µορφές) Χάρτες Karnaugh (K-χάρτες) Xάρτες 2, 3ων, 4ων, και 5 µεταβλητών Απλοποίηση χρησιµοποιώντας K-χάρτες q Επεξεργασία K-χαρτών Implicants: Primes (κύριοι), Essentials (ουσιώδεις) Αδιάφοροι όροι (don t cares) ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.2

3 Δυαδική Λογική q Ασχολείται µε δυαδικές µεταβλητές που παίρνουν 2 διακριτές τιµές (0 και ) και µε λογικές (δυαδικές) πράξεις. q 3 βασικές πράξεις: AND, OR, NOT è, +, q Δυαδικές/Λογικές µεταβλητές αναπαριστούνται από γράµµατα: A,B,C,,X,Y,Z ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.3

4 Συναρτήσεις Δυαδικής Λογικής F(vars) = έκφραση Σύνολο δυαδικών µεταβλητών Παράδειγµα: F(a,b) = a b + b G(x,y,z) = x (y+z ) n Τελεστές ( +,, ) n Μεταβλητές n Σταθερές ( 0, ) n Οµαδοποίηση (παρενθέσεις) ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.4

5 Βασικοί Λογικοί Τελεστές (Operators) q AND (επίσης:, ) q OR (επίσης: +, ) q NOT (επίσης:, ) Δυαδικοί (Binary) Mοναδιαίος (Unary) q F(a,b) = a b, διαβ. F = αν και µόνο αν a=b= q G(a,b) = a+b, διαβ. G = αν a = ή αν b= q H(a) = a, διαβ. H = αν a = 0 ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.5

6 Βασικοί Λογικοί Τελεστές (συν.) q Λογικό AND ενός bit (-bit), µοιάζει µε δυαδικό πολλαπλασιασµό: 0 0 = 0, 0 = 0, 0 = 0, = q Λογικό OR ενός bit (-bit), µοιάζει µε δυαδική πρόσθεση, εκτός από µία πράξη: = 0, 0 + =, + 0 =, + = ( 0 2 ) ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.6

7 Πίνακες Αληθείας (Truth Tables) για Λογικές Πράξεις Πίνακας Αληθείας: µορφή πίνακα που εκφράζει µοναδικά τη σχέση µεταξύ των µεταβλητών εισόδου µιας συνάρτησης και των εξόδων της AND 2-Εισόδων A B F=A B OR 2-Εισόδων A B F=A+B NOT A F=A 0 0 ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.7

8 Πίνακες Αληθείας (συν.) q Ερώτηση: Η συνάρτηση F( ) εξαρτάται από n µεταβλητές. Πόσες γραµµές υπάρχουν στον πίνακα αληθείας του F( ); n Απάντηση: 2 n γραµµές, αφού υπάρχουν 2 n πιθανοί δυαδικοί συνδυασµοί (patterns) για n µεταβλητές ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.8

9 Λογικές Πύλες q Οι λογικές πύλες είναι αφαιρετικά µοντέλα στοιχείων ηλεκτρονικών κυκλωµάτων που λειτουργούν µε ένα ή περισσότερα σήµατα εισόδου και παράγουν ένα σήµα εξόδου. AND 2-Εισόδων OR 2-Εισόδων NOT (Αντιστροφέας) A B F = A B F A G A H B G = A+B H = A ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.9

10 Χρονικό Σχεδιάγραµµα (Κυµατοµορφή -- Waveform) t 0 t t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 Σήµατα εισόδου A B 0 0 Μεταβάσεις Σήµατα εξόδου πυλών F=A B G=A+B H=A Προϋπόθεση: Ο χρόνος µετάδοσης του σήµατος µεταξύ πυλών είναι αµελητέος (0) ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.0

11 Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώµατα από Λογικές Συναρτήσεις q Θεωρήστε την συνάρτηση F = A + B C + A B q Ένα συνδυαστικό κύκλωµα µπορεί να κατασκευαστεί για την υλοποίηση της F, µε την κατάλληλη ένωση σηµάτων εισόδου και λογικών πυλών: Σήµατα εισόδου à από τις µεταβλητές της συνάρτησης (A, B, C) Σήµατα εξόδου à συνάρτηση εξόδου (F) Λογικές Πύλες à από λογικές πράξεις C A F B ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.

12 Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώµατα από Λογικές Συναρτήσεις (συν.) q Για να σχεδιάσουµε ένα αποδοτικό κύκλωµα πρέπει να ελαχιστοποιήσουµε το µέγεθος του κυκλώµατος (circuit size) και την καθυστέρηση διάδοσης (propagation delay = χρόνος που χρειάζεται ένα σήµα εισόδου να αλλάξει και να γίνει αντιληπτό στην έξοδο) q Στον πίνακα αληθείας δίπλα: F = A + B C + A B και G = A + B C q Οι πίνακες για τις F και G είναι οι ίδιοι à ίδια συνάρτηση (F = G) q Η G υλοποιεί την λογική του κυκλώµατος (µε λιγότερα στοιχεία) A B C F G ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.2

13 Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώµατα από Λογικές Συναρτήσεις (συν.) C A F B F = G C B A G ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.3

14 Άλγεβρα Boole q Χρήσιµος µηχανισµός για τον χειρισµό / µετασχηµατισµό (απλοποίηση) δυαδικών συναρτήσεων. q George Boole (85-864): Οι νόµοι της σκέψης q Ορολογία: Παράγοντας (Literal) : Μεταβλητή ή το συµπλήρωµα της Όρος παραγόντων (Τerm): υλοποιούν µια πύλη - Πολλαπλασιαστικός όρος (Product term): παράγοντες ενωµένοι µε (AND) - Αθροιστικός όρος (Sum term): παράγοντες ενωµένοι µε + (OR) ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.4

15 Αξιώµατα Άλγεβρας Boole X: δυαδική µεταβλητή, 0,: σταθεροί. X + 0 = X -- αξίωµα µηδενικότητας (0 ουδέτερο στοιχείο ως προς +) 2. X = X -- µοναδιαίο αξίωµα ( ουδέτερο στοιχείο ως προς ) 3. X + = -- µοναδιαία ιδιότητα 4. X 0 = 0 -- ιδιότητα µηδενικότητας 5. X + X = -- Συµπλήρωµα (ως προς +) 6. X X = 0 -- Συµπλήρωµα (ως προς ) ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.5

16 Βασικά Θεωρήµατα Boole X: δυαδική µεταβλητή, 0,: σταθεροί 7. X + X = X -- Idepotence (ως προς +) 8. X X = X -- Idepotence (ως προς ) 9. (X ) = X -- Involution (δύο αρνήσεις) ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.6

17 Η αρχή του Δυϊσµού q Ο δυϊσµός (dual) µιας έκφρασης παράγεται µε την ανταλλαγή ( και +), και ( και 0), δεδοµένου ότι η σειρά των πράξεων δεν αλλάζει. q Δεν µπορεί να ανταλλαχθεί το x µε x q Παράδειγµα: F(x,y,z) = x yz + x y z O δυϊσµός (dual) της F είναι F dual = (x +y+z ) (x +y + z) q Το dual δεν ισούται πάντα µε την αρχική έκφραση. q Εάν µια λογική εξίσωση/ισότητα είναι έγκυρη, τότε το dual της είναι και αυτό έγκυρο. ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.7

18 Η αρχή του Δυϊσµού (συν.) Βάση της αρχής του δυϊσµού, οι ιδιότητες/θεωρήµατα 8 έχουν τις ακόλουθες σχέσεις:. X + 0 = X 2. X = X (dual του ) 3. X + = 4. X 0 = 0 (dual του 3) 5. X + X = X 6. X X = X (dual του 5) 7. X + X = 8. X X = 0 (dual του 8) ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.8

19 Άλλες Ιδιότητες/Θεωρήµατα Άλγεβρας Boole Χ, Υ και Ζ: λογικές µεταβλητές 0. X + Y = Y + X. X Y = Y X --Αντιµεταθετική 2. X + (Y+Z) = (X+Y) + Z 3. X (Y Z) = (X Y) Z --Προσεταιριστική 4. X (Y+Z) = X Y + X Z 5. X+(Y Z) = (X+Y) (X+Z) -- Επιµεριστική 6. (X + Y) = X Y 7. (X Y) = X + Y -- Θεώρηµα DeMorgan Γενικά, στο DeMorgan: i =..n ( Χ ι ) = (Χ ι ), π.χ. ( X + X X n ) = X X 2 X n i =..n i =..n i =..n ( Χ ι ) = (Χ ι ), π.χ. ( X X 2 X n ) = X + X X n ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.9

20 Θεώρηµα Απορρόφησης (Absorption). x + x y = x 2. x (x+y) = x (δυϊσµός του.) q Απόδειξη: x + x y = x + x y (µοναδιαίο αξίωµα) = x (+y) (επιµεριστική ιδιότητα) = x (µοναδιαίο αξίωµα) = x è Το 2 αληθές λόγω δυϊσµού από. ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.20

21 Θεώρηµα Οµοφωνίας (Consensus). xy + x z + yz = xy + x z 2. (x+y) (x +z) (y+z) = (x+y) (x +z) -- (dual) q Απόδειξη: xy + x z + yz = xy + x z + (x+x )yz = xy + x z + xyz + x yz = (xy + xyz) + (x z + x zy) = xy + x z Το 2 αληθές λόγο δυϊσµού. ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.2

22 Πίνακες Αληθείας (αναθεώρηση) q Απαριθµεί όλους τους πιθανούς συνδυασµούς τιµών µεταβλητών και την ανάλογη τιµή συνάρτησης. q Στα δεξιά βλέπουµε πίνακες αληθείας για τις τυχαίες συναρτήσεις F (x,y,z), F 2 (x,y,z), και F 3 (x,y,z). x y z F F 2 F ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.22

23 Πίνακες Αληθείας (συν.) q Πίνακας Αληθείας: µοναδική (κανονική = canonical) αναπαράσταση δυαδικών συναρτήσεων q Εάν οι 2 συναρτήσεις έχουν τους ίδιους πίνακες αληθείας, οι συναρτήσεις είναι ισοδύναµες (ισχύει και αντιστρόφως). q Οι πίνακες µπορούν να χρησιµοποιηθούν για την απόδειξη θεωρηµάτων ισοδυναµίας. q Το µέγεθος ενός πίνακα µεγαλώνει εκθετικά βάση του αριθµού των µεταβλητών που εµπλέκονται. Εποµένως, η χρήση δυαδικής άλγεβρας είναι πιο ελκυστική. ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.23

24 Εκφράσεις Boole - ΟΧΙ µοναδικές q Αντίθετα µε τους πίνακες αληθείας, οι εκφράσεις που αντιπροσωπεύουν µια δυαδική συνάρτηση δεν είναι µοναδικές. q Παράδειγµα: F(x,y,z) = x y z + x y z + x y z G(x,y,z) = x y z + y z q Οι αντίστοιχοι πίνακες αληθείας για τις F() και G() φαίνονται στα δεξιά. Είναι οι ίδιοι!!! q Άρα, F() = G() x y z F G ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.24

25 Αλγεβρικοί Μετασχηµατισµοί q Η δυαδική άλγεβρα είναι ένα χρήσιµο εργαλείο για την απλοποίηση ψηφιακών κυκλωµάτων. q Γιατί; Απλούστερο συνήθως σηµαίνει πιο φτηνό, µικρότερο, γρηγορότερο (διαφάνειες -3). q Παράδειγµα: Απλοποίηση F = x yz + x yz + xz. F = x yz + x yz + xz = x y(z+z ) + xz = x y + xz = x y + xz ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.25

26 Αλγεβρικοί Μετασχηµατισµοί (συν.) q Παράδειγµα : Αποδείξετε ότι x y z + x yz + xyz = x z + yz q Απόδειξη: x y z + x yz + xyz = x y z + x yz + x yz + xyz = x z (y +y) + yz (x +x) = x z + yz = x z + yz ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.26

27 Το συµπλήρωµα µιας συνάρτησης (F à F ) q Το συµπλήρωµα µιας συνάρτησης παράγεται από την ανταλλαγή ( and +), και ( and 0), και το συµπλήρωµα κάθε µεταβλητής (DeMorgan). q Αλλιώς, η ανταλλαγή 0 στην στήλη του πίνακα αληθείας της F δίνει την F q Το συµπλήρωµα µιας συνάρτησης ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΙΔΙΟ µε το δυϊσµό (dual) µιας συνάρτησης. ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.27

28 Συµπλήρωµα: Παράδειγµα q Βρείτε την G(x,y,z), εάν αυτή είναι το συµπλήρωµα της F(x,y,z) = xy z + x yz q G = F = (xy z + x yz) = (xy z ) (x yz) DeMorgan = (x +y+z) (x+y +z ) DeMorgan ξανά q Σηµείωση: Το συµπλήρωµα µιας συνάρτησης µπορεί να παραχθεί µε την εύρεση του δυϊσµού της συνάρτησης, και ακολούθως παίρνοντας το συµπλήρωµα όλων των literals (παραγόντων). ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.28

29 Κανονικές (Canonical) και Πρότυπες (Standard) Μορφές q Χρειαζόµαστε τυποποιηµένες τεχνικές για την απλοποίηση δυαδικών συναρτήσεων. Ελαχιστόροι και Μεγιστόροι Άθροισµα ελαχιστόρων & Γινόµενο Μεγιστόρων Γινόµενο και Άθροισµα όρων Άθροισµα Γινοµένων (Sum-of-Products -- SOP) και Γινόµενο Αθροισµάτων (Product-of-Sums -- POS) ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.29

30 Ορισµοί q Παράγοντας: Μεταβλητή ή το συµπλήρωµα της q Αθροιστικός όρος: παράγοντες ενωµένοι µε + q Πολ/σκός όρος: παράγοντες ενωµένοι µε q Ελαχιστόρος (Minterm): πολ/κός όρος στον οποίο όλες οι µεταβλητές εµφανίζονται ακριβώς φορά, µε κανονική ή συµπληρωµατική µορφή q Μεγιστόρος (Maxterm): αθροιστικός όρος στον οποίο όλες οι µεταβλητές εµφανίζονται ακριβώς φορά, µε κανονική ή συµπληρωµατική µορφή ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.30

31 Ελαχιστόρος (Minterm) q Αντιπροσωπεύει ακριβώς ένα συνδυασµό στον πίνακα αληθείας. q Συµβολίζεται µε m j, όπου j είναι το δεκαδικό ισοδύναµο του ελαχιστόρου του αντίστοιχου δυαδικού συνδυασµού (b j ). q Μια µεταβλητή στο m j είναι συµπληρωµατική εάν η τιµή της στο b j είναι 0, αλλιώς είναι κανονική. q Παράδειγµα: Υποθέστε 3 µεταβλητές (A,B,C), και j =3. Τότε, b j = 0 και ο αντίστοιχος ελαχιστόρος συµβολίζεται µε m j = A BC ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.3

32 Μεγιστόρος (Maxterm) q Αντιπροσωπεύει ακριβώς ένα συνδυασµό στον πίνακα αληθείας. q Συµβολίζεται µε M j, όπου j είναι το δεκαδικό ισοδύναµο του µεγιστόρου του αντίστοιχου δυαδικού συνδυασµού (b j ). q Μια µεταβλητή στο M j είναι συµπληρωµατική εάν η τιµή της στο b j είναι, αλλιώς είναι κανονική. q Παράδειγµα: Υποθέστε 3 µεταβλητές (A,B,C), και j =3. Τότε, b j = 0 και ο αντίστοιχος µεγιστόρος συµβολίζεται µε M j = A+B +C ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.32

33 Ορισµοί Πινάκων για Ελαχιστόρους και Μεγιστόρους q Οι ελαχιστόροι και οι µεγιστόροι είναι εύκολο να αναπαρασταθούν χρησιµοποιώντας πίνακα αληθείας. q Παράδειγµα: Υποθέτουµε 3 µεταβλητές x < y < z (< υπονοεί τη διάταξη των µεταβλητών) x y z Minterm Maxterm x y z = m 0 x+y+z = M x y z = m x+y+z = M 0 0 x yz = m 2 x+y +z = M 2 0 x yz = m 3 x+y +z = M xy z = m 4 x +y+z = M 4 0 xy z = m 5 x +y+z = M 5 0 xyz = m 6 x +y +z = M 6 xyz = m 7 x +y +z = M 7 ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.33

34 Κανονικές (Canonical) Μορφές q Οποιαδήποτε δυαδική συνάρτηση F( ) µπορεί να εκφραστεί ως ένα µοναδικό άθροισµα ελαχιστόρων και ένα µοναδικό γινόµενο µεγιστόρων (µε µια συγκεκριµένη διάταξη µεταβλητών). q Μα άλλα λόγια, κάθε συνάρτηση F( ) έχει 2 κανονικές µορφές: Κανονικό SOP (άθροισµα ελαχιστόρων) Κανονικό POS (γινόµενο µεγιστόρων) ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.34

35 Κανονικές Μορφές (συν.) q Κανονικό SOP : Οι ελαχιστόροι που συµπεριλαµβάνονται είναι οι m j, έτσι ώστε F( ) = στην γραµµή j του πίνακα αληθείας της F( ). q Κανονικό POS : Οι µεγιστόροι που συµπεριλαµβάνονται είναι οι M j, έτσι ώστε F( ) = 0 στην γραµµή j του αληθοπίνακα της F( ). ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.35

36 Παράδειγµα q f (a,b,c) q Η κανονική SOP µορφή της f ( ) είναι f (a,b,c) = m + m 2 + m 4 + m 6 = a b c + a bc + ab c + abc q Η κανονική POS µορφή της f ( ) είναι f (a,b,c) = M 0 M 3 M 5 M 7 = (a+b+c) (a+b +c ) (a +b+c ) (a +b +c ) q Παρατηρήστε ότι: m j = (M j ) a b c f ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.36

37 Χρησιµοποιούµε: και q f (a,b,c) = m(,2,4,6), όπου δείχνει ότι το f είναι µια SOP µορφή, και m(,2,4,6) δείχνει ότι οι ελαχιστόροι που συµπεριλαµβάνονται είναι οι m, m 2, m 4 και m 6. q f (a,b,c) = M(0,3,5,7), όπου δείχνει ότι το f είναι µια POS µορφή, και M(0,3,5,7) δείχνει ότι οι µεγιστόροι που συµπεριλαµβάνονται είναι οι M 0, M 3, M 5 και M 7. q Αφού m j = (M j ) για κάθε j, τότε m(,2,4,6) = M(0,3,5,7) = f (a,b,c) Δώστε την απόδειξη ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.37

38 Μετατροπή µεταξύ Κανονικών µορφών q Αντιστρέφουµε τα µε (ή αντίθετα) και αντικαθιστούµε τα j που εµφανίζονται στην αρχική µορφή µε αυτά που δεν εµφανίζονται. q Παράδειγµα: f (a,b,c) = a b c + a bc + ab c + abc = m + m 2 + m 4 + m 6 = (,2,4,6) = (0,3,5,7) = (a+b+c) (a+b +c ) (a +b+c ) (a +b +c ) ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.38

39 Πρότυπες (Standard) Μορφές (Όχι µοναδικές) q Οι πρότυπες µορφές είναι «όπως» τις κανονικές µορφές, µε εξαίρεση ότι δεν είναι απαραίτητο για όλες τις µεταβλητές να εµφανιστούν σε ένα γινόµενο (SOP) ή άθροισµα (POS) ορών. q Παράδειγµα: f (a,b,c) = a b c + bc + ac είναι µια πρότυπη SOP µορφή q f (a,b,c) = (a+b+c) (b +c ) (a +c ) είναι µια πρότυπη POS µορφή. ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.39

40 Μετατροπή SOP από πρότυπη σε κανονική µορφή q Επέκταση µη-κανονικών όρων µε την εισαγωγή εκφράσεων ισοδύναµων σε, για κάθε µεταβλητή x που λείπει: (x + x ) = q Αφαίρεση διπλότυπων ελαχιστόρων q Π.χ. f (a,b,c) = a b c + bc + ac = a b c + (a+a )bc + a(b+b )c = a b c + abc + a bc + abc + ab c = a b c + abc + a bc + ab c ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.40

41 Μετατροπή POS από πρότυπη σε κανονική µορφή q Επέκταση µη-κανονικών όρων µε την εισαγωγή εκφράσεων ισοδύναµων σε 0, για κάθε µεταβλητή x που λείπει: (xx ) = 0 q Επιµεριστική ιδιότητα q Αφαίρεση διπλότυπων µεγιστόρων q Π.χ. f (a,b,c) = (a+b+c) (b +c ) (a +c ) = (a+b+c) (aa +b +c ) (a +bb +c ) = (a+b+c) (a+b +c ) (a +b +c ) (a +b+c ) (a +b +c ) = (a+b+c) (a+b +c ) (a +b +c ) (a +b+c ) ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.4

42 Χάρτες Karnaugh (K-Maps) q Οι χάρτες Κarnaugh (K-χάρτες) είναι γραφικές αναπαραστάσεις δυαδικών συναρτήσεων. q Χρησιµοποιούνται ως εργαλεία ελαχιστοποίησης (σε κυκλώµατα δύο επιπέδων). q Εκτίµηση Κόστους (Συνάρτηση à Λογικό Κύκλωµα) : αρ. παραγόντων à αρ. εισόδων πυλών αρ. όρων à αρ. πυλών, αρ. εισόδων πυλών Βάθος παρενθέσεων à αρ. επιπέδων ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.42

43 Χάρτες Karnaugh (συν.) q Ένας χάρτης Κarnaugh αποτελείται από 2 n κελιά, για µια συνάρτηση µε n µεταβλητές. q Κάθε κελί αντιπροσωπεύει µία µόνο γραµµή στον πίνακα αληθείας. q à ένα κελί αντιστοιχεί σε ένα ελαχιστόρο ή µεγιστόρο της δυαδικής συνάρτησης. ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.43

44 Μοιάζουν µε Venn Diagrams! ab ab a ab ab b ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.44

45 Μοιάζουν µε Venn Diagrams! m 0 m m 2 a m 3 b ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.45

46 Μοιάζουν µε Venn Diagrams! a m 0 m 2 b m m 3 ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.46

47 Μοιάζουν µε Venn Diagrams! 0 2 a b 3 ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.47

48 Μοιάζουν µε Venn Diagrams! a b ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.48

49 Two-Variable K-Map (2 µεταβλητές) b 0 a 0 ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.49

50 Three-Variable K-Map (3 µεταβλητές) ab c m 0 m 2 m 6 m 4 m m 3 m 7 m 5 ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.50

51 Three-Variable K-Map ab c ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.5

52 Three-Variable K-Map ab c Edges (ακµές) are adjacent (δηλαδή «συνδέονται»!) ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.52

53 Four-variable K-Map ab cd m 0 m 4 m 2 m 8 0 m m 5 m 3 m 9 m 3 m 7 m 5 m 0 m 2 m 6 m 4 m 0 ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.53

54 Four-variable K-Map ab cd ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.54

55 Four-variable K-Map ab cd Edges are adjacent ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.55 Edges are adjacent (όπως πρίν!)

56 Κ-Χάρτης 2 Μεταβλητών x x m m 2 m m 3 ή x x m 0 3 m m 2 m 3 Σηµείωση: η σειρά των µεταβλητών είναι ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ για το f(x,x 2 ), όπου x είναι η γραµµή, x 2 είναι η στήλη. Το κελί 0 είναι το x x 2. Το κελί είναι ο όρος x x 2, κτλ. Εάν ένας ελαχιστόρος είναι σε µια συνάρτηση, τότε το µπαίνει στο ανάλογο κελί. ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.56

57 Κ-Χάρτης 2 Μεταβλητών (συν.) q Κάθε 2 διπλανά κελιά (δεξιά-αριστερά-κάτωπάνω) στο χάρτη διαφέρουν ΜΟΝΟ κατά µία τιµή µεταβλητής, που εµφανίζεται συµπληρωµατική σε ένα κελί και µη-συµπληρωµατική σε άλλο κελί. q Παράδειγµα: m 0 (=x x 2 ) είναι γειτονικό του m (=x x 2 ) και του m 2 (=x x 2 ), αλλά ΟΧΙ του m 3 (=x x 2 ) ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.57

58 Κ-Χάρτης 2 Μεταβλητών Παράδειγµα q f(x,x 2 ) = x x 2 + x x 2 + x x 2 = m 0 + m + m 2 = x + x 2 q Το τοποθετείται στον K-χάρτη για τους ελαχιστόρους m 0, m, m 2 q Οµαδοποίηση (ORing) των γειτονικών κελιών µε επιτρέπει απλοποίηση q Ποία (απλούστερη) συνάρτηση αντιπροσωπεύεται σε κάθε διακεκοµµένο σχήµα? g( ) = m 0 + m = x h( ) = m 0 + m 2 = x 2 àf(x,x 2 ) = x + x 2 x 2 x q Σηµειώστε ότι το m 0 καλύπτεται 2 φορές ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.58

59 Κ-Χάρτης 3 ων Μεταβλητών yz x m 0 m 4 m m 5 m m 7 0 m 2 m 6 - Σηµείωση: η σειρά των µεταβλητών είναι (x,y,z); yz αντιστοιχεί στη στήλη, x αντιστοιχεί στη γραµµή. - Κάθε κελί είναι γειτονικό µε τρία άλλα κελιά (αριστερά ή δεξιά ή πάνω ή κάτω ή κυκλική ακµή (edge wrap)) ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.59

60 Κ-Χάρτης 3 ων Μεταβλητών (συν.) ελαχιστόρος Οι τύποι των δοµών που είναι είτε ελαχιστόροι ή παράχθηκαν από την επανάληψη του θεωρήµατος ελαχιστοποίησης σε ένα χάρτη 3 µεταβλητών δίνονται στα δεξιά. οµάδα 2 όρων Οµάδες των, 2, 4, 8 είναι πιθανές. οµάδα 4 ων όρων ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.60

61 Ελαχιστοποίηση SOP από κανονική σε πρότυπη µορφή χρησιµοποιώντας K-χάρτη q Βάζουµε στον K-χάρτη για κάθε όρο γινοµένου της συνάρτησης (κανονικό SOP) q Για ένα όρο γινοµένου µε πιο λίγες µεταβλητές, οµαδοποιούµε γειτονικά κελιά που περιέχουν. Οι οµάδες πρέπει να είναι στην δύναµη του 2 (2, 4, 8, ) q Εξετάζουµε και τα boundary wraps για K-χάρτες 3 ων ή περισσοτέρων µεταβλητών. q Η απάντηση µπορεί να µην είναι µοναδική (µηκανονική)! à πρότυπο SOP ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.6

62 Ελαχιστοποίηση q Βάλτε τους ελαχιστόρους της δυαδικής συνάρτησης στο χάρτη και ακολούθως οµαδοποιήστε τους όρους q Παράδειγµα: f(a,b,c) = a c + abc + bc ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.62

63 Ελαχιστοποίηση q Βάλτε τους ελαχιστόρους της δυαδικής συνάρτησης στο χάρτη και ακολούθως οµαδοποιήστε τους όρους q Παράδειγµα: f(a,b,c) = a c + abc + bc a bc ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.63

64 Ελαχιστοποίηση q Βάλτε τους ελαχιστόρους της δυαδικής συνάρτησης στο χάρτη και ακολούθως οµαδοποιήστε τους όρους q Παράδειγµα: f(a,b,c) = a c + abc + bc q Αποτέλεσµα: f(a,b,c) = a c+ b a bc a bc ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.64

65 Άλλα Παραδείγµατα q f (x, y, z) = m(2,3,5,7) yz X n f (x, y, z) = x y + xz q f 2 (x, y, z) = m (0,,2,3,6) n f 2 (x, y, z) = x +yz yz X ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.65

66 Κ-Χάρτης 4 ων -Μεταβλητών YZ WX m 0 m m 3 m 2 0 m 4 m 5 m 7 m 6 m 2 m 3 m 5 m 4 0 m 8 m 9 m m 0 q Τα κελιά της ης γραµµής είναι γειτονικά µε αυτά της 4ης. Τα κελιά της ης στήλης είναι γειτονικά µε αυτά της 4ης. q Η σειρά των µεταβλητών είναι: (WXYZ). ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.66

67 Απλοποίηση Κ-Χαρτών 4 ων -Μεταβλητών q Ένα κελί αντιπροσωπεύει ένα ελαχιστόρο µε 4 παράγοντες. q Ένα ορθογώνιο 2 γειτονικών κελιών αντιπροσωπεύει ένα όρο γινοµένου µε 3 παράγοντες. q Ένα ορθογώνιο 4ων γειτονικών κελιών αντιπροσωπεύει ένα όρο µε 2 παράγοντες. q Ένα ορθογώνιο 8 γειτονικών κελιών αντιπροσωπεύει ένα όρο µε παράγοντα. q Ένα ορθογώνιο 6 γειτονικών κελιών παράγει µια συνάρτηση ίση µε το λογικό. ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.67

68 Παράδειγµα q Απλοποιήστε την δυαδική συνάρτηση g(a,b,c,d) = m(0,,2,4,5,7,8,9,0,2,3). q Πρώτα βάλτε την συνάρτηση g( ) στον χάρτη, και ακολούθως οµαδοποιήστε όσα πιο πολλά κελιά µε. cd ab g(a,b,c,d) = c +b d +a bd ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.68

69 Κ-Χάρτης 5 Μεταβλητών DE BC BC DE A= A=0 0 A BCDE ABCDE ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.69

70 Περισσότερα... q q 3var_tutorial.swf q 4var_tutorial.swf ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.70

71 Implicants και Prime Implicants (PIs) q Ένας Implicant (Ι) µιας συνάρτησης F( ) είναι ένας όρος που υπονοεί την F( ), µε άλλα λόγια, F(Ι) = F is a Boolean function of n variables. P is a product term. This means that P => F with respect to the natural ordering of the Boolean space. For instance, the function f(x,y,z,w) = xy + yz + w, is implied by xy, xyz, xyzw, w, and many others; these are ALL implicants of F. q Ένας implicant της F( ) ονοµάζεται Prime Implicant (PI) εάν (i) είναι Implicant, και (ii) κάθε όρος γινοµένου που παράγεται από την διαγραφή ενός παράγοντα του PI, δεν είναι implicant της F( ) q Άρα, ένας Prime Implicant δεν περιέχεται σε πιο µεγάλο (= µε λιγότερους παράγοντες) implicant ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.7

72 Prime Implicants - Συνέχεια q Using the example before, one can easily see that while xy (and others) is a prime implicant, xyz and xyzw are not. From the latter, multiple literals can be removed to make it prime: q x,y and can be removed, yielding w. q Alternatively, z and w can be removed, yielding xy. q Finally, x and w can be removed, yielding yz. ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.72

73 Παράδειγµα q Θεωρήστε την συνάρτηση f(a,b,c,d) της οποίας ο K-χάρτης φαίνεται δεξιά. q Το a b δεν είναι prime implicant γιατί ad περιέχεται στο b. cd ab q Το acd δεν είναι prime implicant γιατί περιέχεται στο ad. q Τα b, ad, and a cd είναι prime implicants. a b b a cd acd ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.73

74 Essential Prime Implicants (EPIs) q Εάν ένας ελαχιστόρος µιας συνάρτησης F( ) περιέχεται σε ΜΟΝΟ prime implicant p, τότε ο p είναι Essential Prime Implicant (EPI) της F( ). q Ένας EPI πρέπει να εµφανίζεται σε όλες τις πιθανές SOP εκφράσεις µιας συνάρτησης. q Καθορισµός EPI: Παρατάξετε όλους τους prime implicants µιας συνάρτησης. Διαλέξτε τους prime implicants που περιέχουν τουλάχιστον όρο που δεν έχει καλυφθεί από άλλο prime implicant. a cd ad b q Για το προηγούµενο παράδειγµα, οι PI είναι τα b, ad, και a cd. Όλοι είναι Essential. ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.74

75 Άλλο Παράδειγµα q Θεωρήστε την f 2 (a,b,c,d), της οποίας ο K- χάρτης φαίνεται πιο κάτω. q Το µοναδικό essential PI (EPI) είναι το b d. cd ab ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.75

76 Συστηµατική διαδικασία για την απλοποίηση δυαδικών συναρτήσεων. Βρέστε όλα τα PI της συνάρτησης. 2. Κρατήστε όλα τα Εssential PIs (EPIs). 3. Για τους ελαχιστόρους που δεν περιέχονται στα EPIs, κρατήστε ένα σύνολο άλλων PIs που να τους καλύπτει, µε την πιο µικρή επικάλυψη συνόλου. 4. Η παραγόµενη απλοποιηµένη συνάρτηση είναι το λογικό OR των όρων γινοµένου (PIs και EPIs) που έχουν κρατηθεί. ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.76

77 Παράδειγµα q f(a,b,c,d) = m(0,,2,3,4,5,7,4,5). q 5 οµαδοποιηµένοι όροι (PIs), δεν χρειάζονται όλοι. ab cd q 3 σκιασµένα κελιά καλύφτηκαν από όρο ΜΟΝΟΝ à 3 EPIs q Ο ελαχιστόρος a bcd είναι ο µόνος που δεν έχει καλυφθεί q F(a,b,c,d) = a b + a c + a d + abc ή F(a,b,c,d) = a b + a c + bcd + abc ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.77

78 Γινόµενο Αθροισµάτων (POS) Απλοποίηση q Απλοποιήστε το SOP στα µηδενικά (0) της συνάρτησης F( ) στον K-χάρτη για να πάρετε το συµπλήρωµα της, F( ). q Βρέστε το συµπλήρωµα της F( ), δηλαδή (F ) = F Το συµπλήρωµα µιας δυαδικής συνάρτησης µπορεί να παραχθεί µε 2 τρόπους: () Δυϊσµό και µετά συµπλήρωµα κάθε παράγοντα. (2) Θεώρηµα DeMorgan s. ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.78

79 Παράδειγµα Απλοποίησης POS ab cd SOP(F(a,b,c,d)) = a b + a c + abc + bcd SOP(F (a,b,c,d)) = ab + ac + a bcd dual(f ) = (a+b )(a+c )(a +b+c+d ) Συµπλήρωµα των παραγόντων στο dual(f ) δίνει: POS(F(a,b,c,d)) = (a +b)(a +c)(a+b +c +d) (αυτό είναι το ίδιο µε την διαφάνεια 62) ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.79

80 Συνθήκες Αδιαφορίας (Don t care Conditions) q Μπορεί να υπάρχει συνδυασµός εισόδων που δεν θα εµφανιστεί ποτέ αν εµφανιστεί, η τιµές στις εξόδους είναι αδιάφορες q Η τιµή µιας τέτοιας µεταβλητής είναι αδιάφορη ( don't care). q Συµβολίζεται µε x ή. Κάθε µεταβλητή ίση µε x µπορεί να πάρει την τιµή 0 ή τυχαία σε µια υλοποίηση. q Αδιάφορες µεταβλητές χρησιµοποιούνται και για την απλοποίηση συναρτήσεων. ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.80

81 Ελαχιστοποίηση χρησιµοποιώντας Don t Cares q Θεωρήστε τα don't cares ως για να παράξετε PIs. q Διαγράψτε PIs που καλύπτουν µόνο don't care ελαχιστόρους. q Οι υπόλοιποι don't care ελαχιστόροι καλύπτονται προαιρετικά (δηλαδή, µπορεί να καλυφτούν ή µπορεί και όχι). ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.8

82 Παράδειγµα q Απλοποιήστε τη συνάρτηση f(a,b,c,d) = m(,2,4,5,6,8,9) και f(a,b,c,d) = d(0,,4,5), της οποίας ο K-χάρτης φαίνεται στα δεξιά. q f =ab + cd + a c d + a bc ή q f = ab + cd + a c d + a bd q Οι πρώτοι 2 όροι είναι EPIs, ενώ οι τελευταίοι 2 όροι επιλέγονται για να καλύψουν τους ελαχιστόρους m, m 4, and m 5. q (Υπάρχουν ακόµη 2 άλλες λύσεις!!!) ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.82 ab cd x x 0 x x x x x x x x x x

83 Άλλο Παράδειγµα q Απλοποιήστε την συνάρτηση: g(a,b,c,d) = m(,4,2,4) και g(a,b,c,d) = d(0,5,6,9,,3,5) q g = a c + ab ή q g = a c +b d ab cd x 0 0 x 0 x x x 0 x x 0 x 0 0 x 0 x x x 0 x x 0 ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.83 x 0 0 x 0 x x x 0 x x 0

84 Αλγοριθµική Ελαχιστοποίηση q Τι κάνουµε για συναρτήσεις που έχουν περισσότερες από 4-5 µεταβλητές; q Χρησιµοποιούµε διαδικασίες/αλγόριθµους ελαχιστοποίησης που µπορούν να προγραµµατιστούν = Computer-Aided Design (CAD) π.χ. Αλγόριθµος Quine-McCluskey (βλέπε σηµειώσεις) π.χ. Espresso q Υπάρχει µια πολύ καλή εξήγηση στο: ΗΜΥ20 Δ02 ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ.84