K24 Ψηφιακά Ηλεκτρονικά 4: Σχεδίαση Συνδυαστικών Κυκλωμάτων

Transcript

1 K24 Ψηφιακά Ηλεκτρονικά 4: Σχεδίαση Συνδυαστικών Κυκλωμάτων TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ

2 Περιεχόμενα

3 Ένα ψηφιακό κύκλωμα με n εισόδους (I 1, I 2, I 3,, I n ) και m εξόδους (O 1, O 2, O 3,, O m ) ονομάζεται συνδυαστικό όταν κάθε χρονική στιγμή η τιμή κάθε εξόδου του είναι συνάρτηση των τιμών των εισόδων του (ή υποσυνόλου τους) την ίδια χρονική στιγμή I 1 I 2 I 3 I n Συνδυαστικό Κύκλωμα O 1 = I 1 I 3 O 2 = I n O 3 = I 1 + I 2 I n O m = I 1 + I 2

4 Άσκηση Εξετάστε αν το κύκλωμα του πιο κάτω σχήματος είναι συνδυαστικό A B C D F

5 Άσκηση Εξετάστε αν το κύκλωμα του πιο κάτω σχήματος είναι συνδυαστικό A B C F

6 Περιεχόμενα

7 Λογικές Συναρτήσεις των Εξόδων Ένα συνδυαστικό κύκλωμα μπορεί να περιγραφεί πλήρως αν είναι γνωστές οι σχέσεις που συνδέουν τις εξόδους με τις εισόδους του κυκλώματος (αλλιώς, οι λογικές συναρτήσεις των εξόδων) Παράδειγμα I 1 I 2 I 3 Συνδυαστικό Κύκλωμα O 1 = I 1 I 3 O 2 = I n O 3 = I 1 + I 2 I n I n O m = I 1 + I 2

8 Πίνακας Αλήθειας Ισοδύναμα, ένα συνδυαστικό κύκλωμα μπορεί να περιγραφεί πλήρως αν είναι γνωστός ο πίνακας αλήθειας ο οποίος παρέχει τις σχέσεις μεταξύ των εξόδων και των εισόδων Παράδειγμα I 1 I 2 I 3 I n Συνδυαστικό Κύκλωμα O 1 O 2 O 3 O m I 1 I 2 I 3 I n O 1 O 2 O 3 O m

9 Πίνακας Αλήθειας Άσκηση Να βρείτε τις διαστάσεις του πίνακα αλήθειας ενός συνδυαστικού κυκλώματος με 4 εισόδους και 7 εξόδους

10 Από τη Λογική Συνάρτηση στον Πίνακα Αλήθειας Ο πίνακας αλήθειας ενός συνδυαστικού κυκλώματος μπορεί να προκύψει από την επαλήθευση των λογικών συναρτήσεων οι οποίες περιγράφουν τις εξόδους του κυκλώματος, για όλους τους δυνατούς συνδυασμούς τιμών των εισόδων

11 Από τη Λογική Συνάρτηση στον Πίνακα Αλήθειας Παράδειγμα Άσκηση Δίνεται συνδυαστικό κύκλωμα τριών εισόδων (Α, Β, και C) και δύο εξόδων (D και E) Να βρείτε τον πίνακα αλήθειας ο οποίος περιγράφει τη λειτουργία του κυκλώματος, αν είναι γνωστές οι σχέσεις: D = AB + C E = A + C Πώς θα χαρακτηρίζατε την είσοδο B σε σχέση με την έξοδο E;

12 Από τον Πίνακα Αλήθειας στη Λογική Συνάρτηση Πριν παραθέσουμε μια γενική μεθοδολογία, ας δούμε μερικά απλά παραδείγματα Παράδειγμα 1 Να βρεθεί η λογική συνάρτηση η οποία αντιστοιχεί στον πιο κάτω πίνακα αλήθειας: A B Y

13 Από τον Πίνακα Αλήθειας στη Λογική Συνάρτηση Πριν παραθέσουμε μια γενική μεθοδολογία, ας δούμε μερικά απλά παραδείγματα Παράδειγμα 1 Να βρεθεί η λογική συνάρτηση η οποία αντιστοιχεί στον πιο κάτω πίνακα αλήθειας: A B Y Απάντηση: Y = A B

14 Από τον Πίνακα Αλήθειας στη Λογική Συνάρτηση Παράδειγμα 2 Να βρεθεί η λογική συνάρτηση η οποία αντιστοιχεί στον πιο κάτω πίνακα αλήθειας: A B Y

15 Από τον Πίνακα Αλήθειας στη Λογική Συνάρτηση Παράδειγμα 2 Να βρεθεί η λογική συνάρτηση η οποία αντιστοιχεί στον πιο κάτω πίνακα αλήθειας: A B Y Απάντηση: Y = A B

16 Από τον Πίνακα Αλήθειας στη Λογική Συνάρτηση Άσκηση Να βρεθεί η λογική συνάρτηση η οποία αντιστοιχεί στον πιο κάτω πίνακα αλήθειας: A B Y

17 Από τον Πίνακα Αλήθειας στη Λογική Συνάρτηση Συμπέρασμα: Για μια λογική συνάρτηση Y η οποία μηδενίζεται για όλους τους συνδυασμούς των ορισμάτων της (=των εισόδων της) πλην ενός συνδυασμού x για τον οποίο η συνάρτηση παίρνει τη λογική τιμή, η έκφραση της λογικής συνάρτησης προκύπτει από το γινόμενο (ελαχιστόρο minterm) των (κατάλληλα συμπληρωμένων ) ορισμάτων της το οποίο δίνει τη λογική τιμή για τον συγκεκριμένο συνδυασμό x

18 Από τον Πίνακα Αλήθειας στη Λογική Συνάρτηση Παράδειγμα Για τη λογική συνάρτηση Y η οποία περιγράφεται από τον ακόλουθο πίνακα αλήθειας A B Y η μοναδική μη μηδενική τιμή της Y αντιστοιχεί στον συνδυασμό A=0, B=0 Ο συγκεκριμένος συνδυασμός δίνει τη λογική τιμή για το γινόμενο (ελαχιστόρο) A B (αφού 0 0 = 1 1 = 1), οπότε θα είναι Υ = A B

19 Από τον Πίνακα Αλήθειας στη Λογική Συνάρτηση Θα εξετάσουμε, τώρα, την περίπτωση κατά την οποία μια λογική συνάρτηση Y παίρνει τη λογική τιμή για περισσότερους του ενός συνδυασμούς των ορισμάτων της Παράδειγμα 3 Να βρεθεί η λογική συνάρτηση η οποία αντιστοιχεί στον πιο κάτω πίνακα αλήθειας: A B Y

20 Από τον Πίνακα Αλήθειας στη Λογική Συνάρτηση Απάντηση στο Παράδειγμα 3 Η συνάρτηση Y μπορεί να γραφτεί ως το άθροισμα δύο συναρτήσεων Y 1 και Y 2, η καθεμία από τις οποίες παίρνει την τιμή για έναν και μόνο συνδυασμό των εισόδων Α και Β: A B Y 1 Y 2 Y=Y 1 +Y Οι συναρτήσεις Y 1 και Y 2 μπορούν να γραφούν (με βάση τα προηγούμενα): Y 1 =AΒ, Y 2 =AΒ οπότε Y=Y 1 +Y 2 =AΒ+ΑΒ

21 Από τον Πίνακα Αλήθειας στη Λογική Συνάρτηση Απάντηση στο Παράδειγμα 3 Η συνάρτηση Y μπορεί να γραφτεί ως το άθροισμα δύο συναρτήσεων Y 1 και Y 2, η καθεμία από τις οποίες παίρνει την τιμή για έναν και μόνο συνδυασμό των εισόδων Α και Β: A B Y 1 Y 2 Y=Y 1 +Y Οι συναρτήσεις Y 1 και Y 2 μπορούν να γραφούν (με βάση τα προηγούμενα): Y 1 =AΒ, Y 2 =AΒ οπότε Y=Y 1 +Y 2 =AΒ+ΑΒ Μπορεί να απλοποιηθεί η πιο πάνω έκφραση της Y και πως;

22 Από τον Πίνακα Αλήθειας στη Λογική Συνάρτηση Γενική μεθοδολογία με τη χρήση Ελαχιστόρων (minterms) Για κάθε συνδυασμό εισόδων του πίνακα αλήθειας για τον οποίο η λογική συνάρτηση παίρνει την τιμή βρίσκουμε τον αντίστοιχο ελαχιστόρο (το γινόμενο των εισόδων, κατάλληλα συμπληρωμένων, το οποίο παίρνει την τιμή για τον συγκεκριμένο συνδυασμό των εισόδων) Αθροίζουμε όλους τους ελαχιστόρους του προηγούμενου βήματος, προκειμένου να πάρουμε την ζητούμενη έκφραση της λογικής συνάρτησης

23 Από τον Πίνακα Αλήθειας στη Λογική Συνάρτηση Άσκηση Να βρεθεί η έκφραση της λογικής συνάρτησης η οποία συνδέει την έξοδο F ενός συνδυαστικού κυκλώματος με τις εισόδους A, B, και C, με βάση τον ακόλουθο πίνακα αλήθειας A B C F

24 Από τον Πίνακα Αλήθειας στη Λογική Συνάρτηση Άσκηση Σκοπός μας είναι να κατασκευάσουμε ένα ψηφιακό κύκλωμα με τρεις εισόδους (A, B, και C) και μία έξοδο (Υ), το οποίο να λειτουργεί ως εξής: Όταν οι είσοδοι A και B παίρνουν την ίδια τιμή και η είσοδος C παίρνει τιμή διαφορετική των A και B, η έξοδος θα παίρνει την τιμή Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις η έξοδος θα μηδενίζεται Να σχεδιάσετε τον πίνακα αλήθειας του κυκλώματος Να βρείτε την έκφραση της εξόδου του κυκλώματος σε σχέση με τις εισόδους του

25 Από τον Πίνακα Αλήθειας στη Λογική Συνάρτηση Πριν παραθέσουμε μια ισοδύναμη γενική μεθοδολογία παρόμοια με τη μεθοδολογία του αθροίσματος ελαχιστόρων, ας δούμε μερικά απλά παραδείγματα Παράδειγμα 1 Να βρεθεί η λογική συνάρτηση η οποία αντιστοιχεί στον πιο κάτω πίνακα αλήθειας: A B Y

26 Από τον Πίνακα Αλήθειας στη Λογική Συνάρτηση Πριν παραθέσουμε μια ισοδύναμη γενική μεθοδολογία παρόμοια με τη μεθοδολογία του αθροίσματος ελαχιστόρων, ας δούμε μερικά απλά παραδείγματα Παράδειγμα 1 Να βρεθεί η λογική συνάρτηση η οποία αντιστοιχεί στον πιο κάτω πίνακα αλήθειας: A B Y Απάντηση: Y = A+B

27 Από τον Πίνακα Αλήθειας στη Λογική Συνάρτηση Παράδειγμα 2 Να βρεθεί η λογική συνάρτηση η οποία αντιστοιχεί στον πιο κάτω πίνακα αλήθειας: A B Y

28 Από τον Πίνακα Αλήθειας στη Λογική Συνάρτηση Παράδειγμα 2 Να βρεθεί η λογική συνάρτηση η οποία αντιστοιχεί στον πιο κάτω πίνακα αλήθειας: A B Y Απάντηση: Y = Α+B

29 Από τον Πίνακα Αλήθειας στη Λογική Συνάρτηση Άσκηση Να βρεθεί η λογική συνάρτηση η οποία αντιστοιχεί στον πιο κάτω πίνακα αλήθειας: A B Y

30 Από τον Πίνακα Αλήθειας στη Λογική Συνάρτηση Συμπέρασμα: Για μια λογική συνάρτηση Y η οποία παίρνει την τιμή για όλους τους συνδυασμούς των ορισμάτων της (=των εισόδων της) πλην ενός συνδυασμού x για τον οποίο η συνάρτηση μηδενίζεται, η έκφραση της λογικής συνάρτησης προκύπτει από το άθροισμα (μεγιστόρο maxterm) των (κατάλληλα συμπληρωμένων ) ορισμάτων της το οποίο δίνει τη λογική τιμή για τον συγκεκριμένο συνδυασμό x

31 Από τον Πίνακα Αλήθειας στη Λογική Συνάρτηση Παράδειγμα Για τη λογική συνάρτηση Y η οποία περιγράφεται από τον ακόλουθο πίνακα αλήθειας A B Y η μοναδική μηδενική τιμή της Y αντιστοιχεί στον συνδυασμό A=1, B=0 Ο συγκεκριμένος συνδυασμός δίνει τη λογική τιμή για το άθροισμα (μεγιστόρο) A + B (αφού = = 0), οπότε θα είναι Υ = A + B

32 Από τον Πίνακα Αλήθειας στη Λογική Συνάρτηση Θα εξετάσουμε, τώρα, την περίπτωση κατά την οποία μια λογική συνάρτηση Y παίρνει τη λογική τιμή για περισσότερους του ενός συνδυασμούς των ορισμάτων της Παράδειγμα 3 Να βρεθεί η λογική συνάρτηση η οποία αντιστοιχεί στον πιο κάτω πίνακα αλήθειας: A B Y

33 Από τον Πίνακα Αλήθειας στη Λογική Συνάρτηση Απάντηση στο Παράδειγμα 3 Η συνάρτηση Y μπορεί να γραφτεί ως το γινόμενο δύο συναρτήσεων Y 1 και Y 2, η καθεμία από τις οποίες παίρνει την τιμή για έναν και μόνο συνδυασμό των εισόδων Α και Β: A B Y 1 Y 2 Y=Y 1 Y Οι συναρτήσεις Y 1 και Y 2 μπορούν να γραφούν (με βάση τα προηγούμενα): Y 1 =A+Β, Y 2 =A+Β οπότε Y=Y 1 Y 2 =(A+B) (A+Β)

34 Από τον Πίνακα Αλήθειας στη Λογική Συνάρτηση Απάντηση στο Παράδειγμα 3 Η συνάρτηση Y μπορεί να γραφτεί ως το γινόμενο δύο συναρτήσεων Y 1 και Y 2, η καθεμία από τις οποίες παίρνει την τιμή για έναν και μόνο συνδυασμό των εισόδων Α και Β: A B Y 1 Y 2 Y=Y 1 Y Οι συναρτήσεις Y 1 και Y 2 μπορούν να γραφούν (με βάση τα προηγούμενα): Y 1 =A+Β, Y 2 =A+Β οπότε Y=Y 1 Y 2 =(A+B) (A+Β) Μπορεί να απλοποιηθεί η πιο πάνω έκφραση της Y και πως;

35 Από τον Πίνακα Αλήθειας στη Λογική Συνάρτηση Γενική μεθοδολογία με τη χρήση Μεγιστόρων (maxterms) Για κάθε συνδυασμό εισόδων του πίνακα αλήθειας για τον οποίο η λογική συνάρτηση παίρνει την τιμή βρίσκουμε τον αντίστοιχο μεγιστόρο (το άθροισμα των εισόδων, κατάλληλα συμπληρωμένων, το οποίο παίρνει την τιμή για τον συγκεκριμένο συνδυασμό των εισόδων) Παίρνουμε το γινόμενο όλων των μεγιστόρων του προηγούμενου βήματος, προκειμένου να καταλήξουμε στη ζητούμενη έκφραση της λογικής συνάρτησης

36 Από τον Πίνακα Αλήθειας στη Λογική Συνάρτηση Άσκηση Να βρεθεί η έκφραση της λογικής συνάρτησης η οποία συνδέει την έξοδο F ενός συνδυαστικού κυκλώματος με τις εισόδους A, B, και C, με βάση τον ακόλουθο πίνακα αλήθειας A B C F

37 Από τον Πίνακα Αλήθειας στη Λογική Συνάρτηση Άσκηση Σκοπός μας είναι να κατασκευάσουμε ένα ψηφιακό κύκλωμα με τρεις εισόδους (A, B, και C) και μία έξοδο (Υ), το οποίο να λειτουργεί ως εξής: Όταν οι είσοδοι A και B παίρνουν την ίδια τιμή και η είσοδος C παίρνει τιμή διαφορετική των A και B, η έξοδος θα παίρνει την τιμή Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις η έξοδος θα μηδενίζεται Να σχεδιάσετε τον πίνακα αλήθειας του κυκλώματος Να βρείτε την έκφραση της εξόδου του κυκλώματος σε σχέση με τις εισόδους του, χρησιμοποιώντας γινόμενα μεγιστόρων Συγκρίνετε με την έκφραση στην οποία καταλήξατε χρησιμοποιώντας αθροίσματα ελαχιστόρων, και σχολιάστε

38 Από τον Πίνακα Αλήθειας στη Λογική Συνάρτηση Με χρήση Χάρτη Karnaugh Η διαδικασία μετάβασης από τον πίνακα αλήθειας στη λογική συνάρτηση μπορεί, προφανώς, να γίνει και με τη χρήση του χάρτη Karnaugh, εξασφαλίζοντας ταυτόχρονα την απλοποίηση της λογικής συνάρτησης (όπως θα δούμε στο επόμενο μάθημα)

39 Περιεχόμενα

40 Ορισμός Με τον όρο σύνθεση ενός συνδυαστικού κυκλώματος εννοούμε τη διαδικασία η οποία μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε τη συνδεσμολογία των λογικών πυλών με την οποία μπορεί να υλοποιηθεί το κύκλωμα, δεδομένου του πίνακα αλήθειας ή, ισοδύναμα, των λογικών συναρτήσεων των εξόδων του

41 Ποια είδη λογικών πυλών αρκούν για την υλοποίηση οποιουδήποτε συνδυαστικού κυκλώματος;

42 Ποια είδη λογικών πυλών αρκούν για την υλοποίηση οποιουδήποτε συνδυαστικού κυκλώματος; Αρκούν οι πύλες που υλοποιούν τις βασικές πράξεις της Άλγεβρας Boole, δηλαδή: Συμπλήρωμα (( )) NOT Πρόσθεση (+) OR Πολλαπλασιασμός ( ) AND

43 Καθολικές (universal) λογικές πύλες Η πύλη NAND Μπορούμε να υλοποιήσουμε όλες τις βασικές λογικές πύλες (NOT, OR, AND) χρησιμοποιώντας μόνο πύλες NAND Επομένως, κάθε συνδυαστικό κύκλωμα μπορεί να υλοποιηθεί μόνο με πύλες NAND

44 Καθολικές (universal) λογικές πύλες Άσκηση Υλοποιήστε μια πύλη NOT χρησιμοποιώντας πύλες NAND

45 Καθολικές (universal) λογικές πύλες Άσκηση Υλοποιήστε μια πύλη NOT χρησιμοποιώντας πύλες NAND Απάντηση A A (A A = A)

46 Καθολικές (universal) λογικές πύλες Άσκηση Υλοποιήστε μια πύλη OR χρησιμοποιώντας πύλες NAND

47 Καθολικές (universal) λογικές πύλες Άσκηση Υλοποιήστε μια πύλη OR χρησιμοποιώντας πύλες NAND Απάντηση A A+B B (A + B = A + B = A B)

48 Καθολικές (universal) λογικές πύλες Άσκηση Υλοποιήστε μια πύλη AND χρησιμοποιώντας πύλες NAND

49 Καθολικές (universal) λογικές πύλες Η πύλη NOR Μπορούμε να υλοποιήσουμε όλες τις βασικές λογικές πύλες (NOT, OR, AND) χρησιμοποιώντας μόνο πύλες NOR Επομένως, κάθε συνδυαστικό κύκλωμα μπορεί να υλοποιηθεί μόνο με πύλες NOR

50 Καθολικές (universal) λογικές πύλες Άσκηση Υλοποιήστε τις πύλες NOT, AND και OR χρησιμοποιώντας μόνο πύλες NOR

51 Καθολικές (universal) λογικές πύλες Άσκηση Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί μια πύλη AND δεν μπορεί να είναι καθολική πύλη;

52 Σύνθεση από τη Λογική Συνάρτηση Παράδειγμα Να σχεδιάσετε ψηφιακό κύκλωμα το οποίο να υλοποιεί τη λογική συνάρτηση Y=(A+B) C

53 Σύνθεση από τη Λογική Συνάρτηση Παράδειγμα Να σχεδιάσετε ψηφιακό κύκλωμα το οποίο να υλοποιεί τη λογική συνάρτηση Y=(A+B) C Απάντηση A B Y C

54 Σύνθεση από τον Πίνακα Αλήθειας Παράδειγμα Να σχεδιάσετε ψηφιακό κύκλωμα το οποίο να επαληθεύει τον ακόλουθο πίνακα*: A B Y *Να χρησιμοποιήστε αθροίσματα ελαχιστόρων, και να μην απλοποιήσετε την έκφραση της λογικής συνάρτησης

55 Σύνθεση από τον Πίνακα Αλήθειας Απάντηση Είναι Y=AB+AB, άρα το κύκλωμα έχει ως εξής: A B Y

56 Περιεχόμενα

57 Ορισμός Με τον όρο ανάλυση ενός συνδυαστικού κυκλώματος εννοούμε τη διαδικασία η οποία μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε τη λειτουργία του κυκλώματος, δηλαδή τον προσδιορισμό του πίνακα αλήθειας ή, ισοδύναμα, των λογικών συναρτήσεων των εξόδων του

58 Από το κύκλωμα στον πίνακα αλήθειας Δεδομένου του σχηματικού (schema c) ενός συνδυαστικού κυκλώματος, μπορούμε να βρούμε τον πίνακα αλήθειας ο οποίος περιγράφει τη λειτουργία του κυκλώματος υπολογίζοντας την τιμή της εξόδου (ή των εξόδων) για όλους τους συνδυασμούς τιμών των εισόδων

59 Από το κύκλωμα στον πίνακα αλήθειας Δεδομένου του σχηματικού (schema c) ενός συνδυαστικού κυκλώματος, μπορούμε να βρούμε τον πίνακα αλήθειας ο οποίος περιγράφει τη λειτουργία του κυκλώματος υπολογίζοντας την τιμή της εξόδου (ή των εξόδων) για όλους τους συνδυασμούς τιμών των εισόδων Άσκηση Να βρεθεί ο πίνακας αλήθειας ο οποίος περιγράφει τη λειτουργία του ακόλουθου κυκλώματος A B Y C

60 Από το κύκλωμα στις λογικές συναρτήσεις των εξόδων Δεδομένου του σχηματικού (schema c) ενός συνδυαστικού κυκλώματος, μπορούμε να βρούμε τις λογικές συναρτήσεις των εξόδων λαμβάνοντας υπόψη τις λογικές πράξεις οι οποίες εκτελούνται από κάθε πύλη του κυκλώματος

61 Από το κύκλωμα στις λογικές συναρτήσεις των εξόδων Δεδομένου του σχηματικού (schema c) ενός συνδυαστικού κυκλώματος, μπορούμε να βρούμε τις λογικές συναρτήσεις των εξόδων λαμβάνοντας υπόψη τις λογικές πράξεις οι οποίες εκτελούνται από κάθε πύλη του κυκλώματος Άσκηση Να βρεθεί η συνάρτηση εξόδου του ακόλουθου κυκλώματος A B Y C