Αντώνης Ι. ΚΟΣΜΟΠΟΥΛΟΣ 1, Μιχαήλ N. ΦΑΡΔΗΣ 2

Transcript

1 3 o Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισμικής Μηχανικής & Τεχνικής Σεισμολογίας 5 7 Νοεμβρίου, 2008 Άρθρο 1916 Απλά Προσομοιώματα για Ανελαστική Σεισμική Ανάλυση Ασύμμετρων Πολυωρόφων Κτιρίων Οπλισμένου Σκυροδέματος Simple models for inelastic seismic response analysis of asymmetric multistorey RC buildings Αντώνης Ι. ΚΟΣΜΟΠΟΥΛΟΣ 1, Μιχαήλ N. ΦΑΡΔΗΣ 2 ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Εξετάζεται απλό προσομοίωμα με ένα στοιχείο ανά όροφο για την ανελαστική σεισμική ανάλυση έκκεντρων (κατά τις δύο διευθύνσεις) πολυώροφων κτιρίων οπλισμένου σκυροδέματος. Έχει τρεις βαθμούς ελευθερίας ανά όροφο, συγκεντρωμένη ανελαστικότητα στη βάση και την κορυφή κάθε στοιχείου-ορόφου, ελαστική δυσκαμψία ορόφου που προκύπτει από τη σχέση δύναμης-σχετικής μετάθεσης ορόφου της ελαστικής κατασκευής στο χώρο για ανεστραμμένη τριγωνική κατανομή φορτίσεων ορόφων (στρεπτικών ροπών για τις δυστρεψίες, οριζόντιων δυνάμεων για τις δυσκαμψίες) και αντοχή ορόφου που προκύπτει από τη συνολική τέμνουσα αντοχής των κατακόρυφων στοιχείων ορόφου χωρίς σύζευξη καμπτικής-στρεπτικής ανελαστικότητας. Εξετάζονται εναλλακτικές θέσεις του κατακόρυφου στοιχείου-ορόφου: α) οι πόλοι στροφής ορόφων του ελαστικού κτιρίου στο χώρο υπό στρεπτικές ροπές περί κατακόρυφο άξονα με ανεστραμμένη τριγωνική κατανομή, β) τα σημεία εφαρμογής οριζοντίων δυνάμεων ορόφων με ανεστραμμένη τριγωνική κατανομή που δεν προκαλούν στροφή σε κανένα όροφο, γ) το κέντρο βάρους των επιβατικών δυσκαμψιών στη διαρροή των κατακόρυφων στοιχείων ορόφου, δ) το κέντρο βάρους των αντοχών των κατακόρυφων στοιχείων ορόφου. Ο πόλος στροφής δίνει την καλύτερη συμφωνία με τη χρονική ιστορία απόκρισης του πλήρους ανελαστικού προσομοιώματος στο χώρο τεσσάρων πραγματικών κτιρίων. Το κέντρο αντοχής κατακόρυφων στοιχείων είναι 2 ο με μικρή διαφορά. ABSTRACT : A simple stick model is presented for the inelastic seismic analysis in 3D of two-way eccentric multistorey RC buildings. It has 3 DoFs per floor, point hinges at the ends of the vertical elements connecting floors, elastic storey stiffness derived from the forceinterstory deformation relations of the elastic 3D structure under inverted-triangular floor loading (by torques for torsional stiffness, by horizontal forces for the lateral one) and storey yield forces derived from the total resistant shear of the storey vertical elements. Alternative locations of the story vertical element with respect to the floor mass center are examined: (a) the floor center of twist of the elastic 3D building for inverted-triangular floor torques; (b) the storey effective center of rigidity, through which application of inverted triangular lateral forces does not induce twisting of floors; (c) the centroid of the secant stiffness of storey vertical members at yielding and (d) the centroid of lateral force resistance of storey vertical members The floor center of twist provides the best agreement with floor displacement 1 Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Εργαστήριο Κατασκευών, akosmop@upatras.gr 2 Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Εργαστήριο Κατασκευών, fardis@upatras.gr

2 response-histories from full 3D nonlinear models of four actual buildings, with the centre of resistance a close second. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Για αρχιτεκτονικούς λόγους τα πολυώροφα κτίρια είναι συνήθως ασύμμετρα και μη-κανονικά σε κάτοψη. Ειδικά τα προ της θεσμοθέτησης των σύγχρονων αντισεισμικών κανονισμών κτίρια, καθόσον οι τότε κανονισμοί αδιαφορούσαν για την ορθή δομική τους διαμόρφωση. Η συμπεριφορά ασύμμετρων κτιρίων σε σεισμούς του παρελθόντος ήταν κατά κανόνα χειρότερη από αυτή συμμετρικών, κανονικών κτιρίων. Η στρεπτική τους απόκριση στις οριζόντιες συνιστώσες της εδαφικής κίνησης προκαλεί ανομοιόμορφη κατανομή των απαιτήσεων παραμόρφωσης και οδηγεί συχνά σε συγκέντρωση των βλαβών του δομικού συστήματος ή των αστοχιών στη μία πλευρά του κτιρίου (συνήθως στην πιο εύκαμπτη ή αδύνατη πλευρά). Λόγω της εξέχουσας σημασίας της για την ανελαστική σεισμική απόκριση και τον αντισεισμικό σχεδιασμό ασύμμετρων κτιρίων, η σύζευξη της μεταφορικής και της στρεπτικής κίνησης έχει γίνει αντικείμενο πολλών αναλυτικών ερευνών. Οι περισσότερες από αυτές αναφέρονται σε απλοποιημένα μονώροφα κτίρια με μονοαξονική εκκεντρότητα υπό μονοαξονική σεισμική διέγερση, με δυσκαμψία και αντοχή έναντι οριζόντιων δράσεων μόνο στη διεύθυνση της διέγερσης ή ενίοτε και στην εγκάρσια. Χρησιμοποιούνται για τα στοιχεία τους απλά ανελαστικά προσομοιώματα με δυσκαμψία κατά κανόνα ανεξάρτητη της αντοχής τους. Λίγες μελέτες (π.χ. Tso & Smith, 1999, Myslimaj & Tso 2002) αναγνωρίζουν τη σημασία της στενής σχέσης δυσκαμψίας και αντοχής στα στοιχεία από οπλισμένο σκυρόδεμα ή χάλυβα. Ακόμα λιγότερες και πιο πρόσφατες (π.χ. Stathopoulos & Anagnostopoulos, 2005) αφορούν πλήρη ασύμμετρα πολυώροφα κτίρια, με ρεαλιστική ανελαστική προσομοίωση των στοιχείων τους, λαμβάνοντας υπόψη, εκτός από τη σεισμική, και τις κατακόρυφες δράσεις. Η ανελαστική στρεπτικά συζευγμένη απόκριση ασύμμετρων πολυώροφων κτιρίων μπορεί να εκτιμηθεί αξιόπιστα μόνο με ανελαστική ανάλυση χρονοϊστορίας πλήρων προσομοιωμάτων στο χώρο. Ωστόσο τέτοιες αναλύσεις δεν προσφέρονται για τη μελέτη της στρεπτικής απόκρισης εναλλακτικών δομικών διαμορφώσεων κατά την προμελέτη νέων κτιρίων, ή για τη μελέτη του τύπου, έκτασης κλπ. της ενίσχυσης παλαιών ασύμμετρων κτιρίων. Δεν προσφέρονται επίσης για παραμετρικές αναλύσεις για την καλύτερη κατανόηση της στρεπτικής σύζευξης κατά τη σεισμική απόκριση και την ανάπτυξη σχετικών κανόνων για τους Αντισεισμικούς Κανονισμούς. Για αυτούς τους σκοπούς χρειάζονται απλούστερα προσομοιώματα, πιο αντιπροσωπευτικά όμως από τα υπέρ-απλουστευμένα μονώροφα προσομοιώματα που έχουν χρησιμοποιηθεί ως τώρα στην πλειονότητα των ερευνών. Οι Kan και Chopra (1981) μελέτησαν ένα απλό μονώροφο ανελαστικό προσομοίωμα με μονοαξονική εκκεντρότητα, δύο βαθμούς ελευθερίας και δύο κατακόρυφα στοιχεία με την ίδια μετατόπιση διαρροής. Η συμπεριφορά του είναι ελαστική-πλήρως πλαστική, με ελαστικές ιδιότητες προσαρμοσμένες στις ασύζευκτες ιδιοσυχνότητες και την εκκεντρότητα του πλήρους ελαστικού μονώροφου συστήματος και επιφάνεια διαρροής 2 ου -βαθμού σε όρους τέμνουσας και στρεπτικής ροπής ορόφου. Οι παράμετροι του προσομοιώματος ορίζονται βάσει της συνολικής μονοαξονικής τέμνουσας στη διαρροή των στοιχείων, τις μησυζευγμένες ιδιοσυχνότητες και την εκκεντρότητα του ελαστικού μονώροφου συστήματος, και 2

3 τον αριθμό κατακόρυφων στοιχείων ορόφου. Οι De la Llera και Chopra (De la Llera & Chopra, 1995, 1996, De la Llera et al, 2000, Dides & De la Llera, 2005) ανέπτυξαν ένα στοιχείο διατμητικού κτιρίου για την προσομοίωση ανελαστικών μονώροφων ή πολυώροφων κτιρίων με άκαμπτα διαφράγματα και μονοαξονική ή διαξονική εκκεντρότητα και 3 βαθμούς ελευθερίας ανά όροφο. Κάθε όροφος προσομοιώνεται με ένα κατακόρυφο στοιχείο μεταξύ των κέντρων μάζας ορόφων. Αν αυτά δεν είναι στην ίδια κατακόρυφο χρησιμοποιούνται άκαμπτοι οριζόντιοι σύνδεσμοι. Το ελαστικό μητρώο δυσκαμψίας του στοιχείου προκύπτει από τις δυσκαμψίες των στοιχείων ορόφου, τη συνολική δυστρεψία ως προς τα κέντρα μάζας ορόφων και τη δυσκαμψία σύζευξης κάμψης-στρέψης. Το στοιχείο είναι ελαστικό-πλήρως πλαστικό σε φόρτιση, αποφόρτιση και επαναφόρτιση. Η επιφάνεια διαρροής του ορίζεται με συνδυασμό των δύο οριζόντιων τεμνουσών και της ροπής ορόφου στη διαρροή του ορόφου και εκφράζεται σε όρους εκκεντρότητας αντοχής ορόφου, τεμνουσών ορόφου στη διαρροή και στρεπτικής ροπής διαρροής ορόφου ως προς το κέντρο μάζας. Επηρεάζεται από τον αριθμό και τη θέση σε κάτοψη των στοιχείων ορόφου. Εδώ παρουσιάζεται ένα απλό μοντέλο για τη μη-γραμμική δυναμική ανάλυση στο χώρο ασύμμετρων πολυώροφων κτιρίων από οπλισμένο σκυρόδεμα. Έχει τρεις βαθμούς ελευθερίας ανά όροφο (τις δύο οριζόντιες μεταθέσεις και τη στροφή περί κατακόρυφου άξονα), διαξονική εκκεντρότητα ως προς το κέντρο μάζας ορόφου που προκύπτει με διάφορους εναλλακτικούς τρόπους και ιδιότητες (ελαστική δυσκαμψία, δυνάμεις διαρροής) που εκτιμούνται με απλές διαδικασίες. Αντίθετα με τα προσομοιώματα των De la Llera, Chopra και συνεργατών, δεν περιλαμβάνει σύζευξη στρεπτικής και καμπτικής ανελαστικότητας. Μπορεί να εφαρμοσθεί με ευρέως διαδεδομένα εμπορικά πακέτα λογισμικού για μη-γραμμική δυναμική ανάλυση στο χώρο. Το προσομοίωμα αξιολογείται μέσω συγκρίσεων των μεταθέσεων και στροφών ορόφων με τις αντίστοιχες πλήρων ανελαστικών χωρικών προσομοιωμάτων πολυώροφων κτιρίων με διάφορες ασυμμετρίες σε κάτοψη. ΤΑ ΚΤΙΡΙΑ ΠΟΥ ΑΝΑΛΥΘΗΚΑΝ ΚΑΙ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥΣ ΣΕ ΚΑΤΟΨΗ Για την αξιολόγηση του προσομοιώματος χρησιμοποιήθηκαν τέσσερα πραγματικά κτίρια, 3 έως 6 ορόφων, χωρίς συνολική διαμόρφωση για πλαστιμότητα και με έντονη μηκανονικότητα σε κάτοψη και συνεπώς τάση συγκέντρωσης των απαιτήσεων ανελαστικής παραμόρφωσης σε τμήματα του κτιρίου. Μόνο ένα από τα κτίρια έχει πλήρη διαφράγματα σε όλες τις στάθμες ορόφων. Επιπλέον, τα διαφράγματα τους γενικώς δεν μπορούν να θεωρηθούν άκαμπτα. Τρία από τα κτίρια έχουν σχετικά δύσκαμπτα κλιμακοστάσια από οπλισμένο σκυρόδεμα που συμβάλλουν στην πλευρική δυσκαμψία και αντοχή ορόφου και αυξάνουν την πολυπλοκότητα του δομικού συστήματος και του προσομοιώματός του. Η ασυμμετρία κάθε ορόφου του κτιρίου περιγράφεται μέσω της απόστασης των εξής σημείων από το κέντρο της υπερκείμενης μάζας (CM): 1. Το κέντρο αντοχής ορόφου, CV, δηλαδή το κέντρο βάρους των αντοχών των κατακόρυφων στοιχείων σε όρους οριζόντιας δύναμης, όπως καθορίζονται από την καμπτική ή διατμητική τους αντοχή αναλόγως ποια είναι πιο κρίσιμη. Η αντοχή σε 3

4 οριζόντια δύναμη λόγω κάμψης λαμβάνεται ίση με τη ροπή διαρροής στη διατομή βάσης του στοιχείου στον όροφο δια του μήκους διάτμησής του (λόγο ροπής προς τέμνουσα) στο επίπεδο της κάμψης. Σε υποστυλώματα το μήκος διάτμησης λαμβάνεται ως το μισό του καθαρού ύψους στον όροφο. Για τοιχώματα, ως το μισό της απόστασης από τη διατομή βάσης του τοιχώματος στον υπόψη όροφο έως την κορυφή του τοιχώματος στο κτίριο (βλ. σημείο 3 στα περί προσομοίωσης στην επόμενη ενότητα). 2. Το κέντρο ελαστικής (αρηγμάτωτης) δυσκαμψίας κατακόρυφων στοιχείων ορόφου, (EI) c, που σημειώνεται ως CR-col uncracked. 3. Το κέντρο δυσκαμψίας κατακόρυφων στοιχείων ορόφου, που σημειώνεται ως CR-col και ορίζεται ως κέντρο βάρους της επιβατικής δυσκαμψίας στη διαρροή, (EI) eff, των κατακόρυφων στοιχείων (ταυτόχρονη διαρροή και στα δύο άκρα σε αντιμετρική κάμψη στα υποστυλώματα, στη διατομή βάσης του ορόφου στα τοιχώματα). 4. Το κέντρο ενεργού δυσκαμψίας, που σημειώνεται ως CR-effective και ορίζεται όπως στις εργασίες των Cheung & Tso (1986), Tso (1990) και Goel & Chopra (1993), δηλαδή το σημείο στο οποίο η εφαρμογή οριζόντιων δυνάμεων με ανεστραμμένη τριγωνική καθ ύψος κατανομή δεν προκαλεί στροφή σε κανένα όροφο. Το σημείο αυτό προσδιορίζεται με χωριστές ελαστικές αναλύσεις στις δύο οριζόντιες διευθύνσεις, με δυσκαμψία μελών την επιβατική δυσκαμψία κατά την ταυτόχρονη διαρροή και των δύο άκρων σε αντιμετρική κάμψη για δοκούς και υποστυλώματα, ή της διατομής βάσης ορόφου για τοιχώματα (βλ. ανωτέρω σημείο 3). Το κτίριο αναλύεται έχοντας κινηματικές δεσμεύσεις ώστε όλοι οι κόμβοι ορόφου να έχουν την ίδια μετάθεση παράλληλα στις οριζόντιες δυνάμεις ορόφων και δεσμεύσεις ώστε να είναι αμετάθετοι στην εγκάρσια διεύθυνση. Το CR-effective προσδιορίζεται σε κάθε όροφο ως το σημείο εφαρμογής της συνισταμένης των δυνάμεων που ασκούνται στον όροφο από τα στοιχεία πάνω ή κάτω από αυτόν. Οι δυνάμεις αυτές είναι οι τέμνουσες στα κατακόρυφα στοιχεία στη διεύθυνση των εφαρμοζόμενων οριζόντιων φορτίων και οι προβολές στην ίδια διεύθυνση των αξονικών και τεμνουσών δυνάμεων βραχιόνων κλιμάκων που είναι συνδεδεμένοι στον όροφο και περιλαμβάνονται στο προσομοίωμα. Το CR-effective αντιπροσωπεύει καλύτερα την θέση του κέντρου ενεργού δυσκαμψίας από ότι το CR-col, καθότι το τελευταίο προσδιορίζεται με την υπόθεση πως οι δοκοί είναι άκαμπτες. 5. Ο πόλος στροφής, CT, που προσδιορίζεται ως το γεωμετρικό σημείο περιστροφής του ορόφου από ελαστική ανάλυση του κτιρίου υπό στρεπτικές ροπές ορόφων με ανεστραμμένη τριγωνική κατανομή καθ ύψος. Η δυσκαμψία των στοιχείων λαμβάνεται ίση με (EI) eff, κατά το ανωτέρω σημείο 3 και το εδάφιο 2 της επόμενης ενότητας. Αυτό το σημείο περιστροφής προσδιορίζεται μέσω γεωμετρικής θεώρησης και λόγω της ευκαμψίας των διαφραγμάτων είναι ο γεωμετρικός μέσος των σημείων περιστροφής των τεσσάρων (γενικά) πλευρών του διαφράγματος. Εξετάζεται εδώ ως εναλλακτικό του CR-effective (και πιο εύκολο στον προσδιορισμό του). Όπως θα φανεί στη συνέχεια, έχει ορισμένα πρακτικά πλεονεκτήματα σε σχέση με το CReffective. 4

5 Σχήμα 1. Κτίριο SPEAR : (a) ξυλότυπος κτιρίου χωρίς ενίσχυση, (b) ξυλότυπος κτιρίου με μανδύες ΟΣ στους στύλους C2, C6; (c)-(h) κέντρα μάζας (CM), δυσκαμψίας (CR), αντοχής (CV) και πόλο στροφής (CT) 1 ου, 2 ου και 3 ου ορόφου (από κάτω προς τα επάνω) - αριστερά: μη-ενισχυμένο κτίριο, δεξιά: κτίριο με μανδύες ΟΣ. 5

6 Σχήμα 2. Κτίριο Αθήνα : (a) ξυλότυπος 1 ου ορόφου, (b) ξυλότυπος τυπικού ορόφου (2 ου ως 4 ου ), (c)- (h) κέντρα μάζας (CM), δυσκαμψίας (CR), αντοχής (CV) και πόλος στροφής (CT) ημιορόφου, 1 ου έως 4 ου ορόφου και ρετιρέ. 6

7 Σχήμα 3. Τμήμα Σκηνή του Θεάτρου σχέδιο ξυλοτύπου με κέντρα μάζας (CM), δυσκαμψίας (CR), αντοχής (CV) και πόλο στροφής (CT) σε: (a) δάπεδο σκηνής, (b) μεσοπάτωμα, (c) οροφή και (d) δώμα. Το 1 ο κτίριο που αναλύεται εδώ είναι 3-ώροφο, έκκεντρο σε κάτοψη και στις δύο οριζόντιες διευθύνσεις, σχεδιασμένο κατά τις πρακτικές και τους κανονισμούς που ίσχυαν στην Ελλάδα τη δεκαετία του 1950 (Kosmopoulos et al., 2005, Σχήμα 1(a)). Κατασκευάστηκε σε πλήρη κλίμακα στα πλαίσια του ερευνητικού προγράμματος SPEAR (Kosmopoulos et al., 2003, Kosmopoulos & Fardis, 2004, Mola & Negro, 2005) στο εργαστήριο ELSA του Ερευνητικού Κέντρου JRC στην Ispra της Ιταλίας για να υποβληθεί σε ψευδοδυναμική (PsD) δοκιμή υπό διαξονική σεισμική δράση συμβατή με το ελαστικό φάσμα του EC8 (κτίριο SPEAR ). Δοκιμάστηκε: (α) χωρίς ενίσχυση, (β) με τα άκρα όλων των υποστυλωμάτων περισφιγμένα με μανδύες από Ινοπλισμένα Πολυμερή (ΙΟΠ); (γ) μετά την κατασκευή μανδυών από 7

8 Σχήμα 4. Τμήμα Θέατρο του Θεάτρου σχέδιο ξυλοτύπου με κέντρα μάζας (CM), δυσκαμψίας (CR), αντοχής (CV) και πόλο στροφής (CT) σε: (a) δάπεδο πλατείας, (b) εξώστη και (c) οροφή. 8

9 οπλισμένο σκυρόδεμα γύρω από τα κεντρικά υποστυλώματα C2 και C6 των δύο εύκαμπτων πλευρών (αύξηση διάστασης από 0.25x0.25m σε 0.4x0.4 m) για τη μερική άρση της εκκεντρότητας (Kosmopoulos & Fardis, 2004, Mola & Negro, 2005, Σχήμα 1(b)). Τα αποτελέσματα των ψευδοδυναμικών δοκιμών χρησιμοποιούνται εδώ για την επαλήθευση των αναλύσεων σεισμικής απόκρισης και των μεθόδων προσομοίωσης που χρησιμοποιούνται εδώ. Το κτίριο SPEAR χωρίς ενίσχυση (ή με ενίσχυση μόνο με μανδύες από ΙΟΠ) και αυτό με μανδύες οπλισμένου σκυροδέματος στα υποστυλώματα C2 και C6 αντιπροσωπεύουν δύο πολύ διαφορετικές περιπτώσεις εκκεντρότητας και στρεπτικής σεισμικής απόκρισης. Συνεπώς το κτίριο αυτό παρέχει το πεδίο για την αποτίμηση του απλού προσομοιώματος για δύο ουσιαστικώς διαφορετικά κτίρια. Το 2 ο είναι 6-ώροφο κτίριο, ιδιαίτερα μη-κανονικό τόσο σε κάτοψη όσο και καθ ύψος, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2. Κατασκευάστηκε στην Αθήνα κατά τη δεκαετία του 1970 και κατέρρευσε μερικώς στο σεισμό του Έχει ένα μόνο τοίχωμα (τον πυρήνα του ανελκυστήρα διατομής Π). Ωστόσο, επειδή πολλοί δοκοί έχουν μικρό ύψος διατομής, κάποια από τα υποστυλώματα λειτουργούν ως κατακόρυφοι πρόβολοι. Στην απόκριση δεσπόζει η επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών. Λόγω του ότι η σύνδεση των πατωμάτων με το δύσκαμπτο πυρήνα του ανελκυστήρα και το παρακείμενο κλιμακοστάσιο δεν είναι άκαμπτη (ο πυρήνας του ανελκυστήρα συνδέεται με την υπόλοιπη κατασκευή μέσω μίας δοκού ανά όροφο με διαστάσεις διατομής 0.2mx0.4m), η απόκριση, ιδιαίτερα λόγω ανωτέρων ιδιομορφών, περιλαμβάνει γενικά ταλάντωση και στροφή του πυρήνα ανελκυστήρα και του κλιμακοστασίου εκτός φάσης με το υπόλοιπο κτίριο. Το 3 ο κτίριο είναι το Δημοτικό Θέατρο Αργοστολίου, κατασκευασμένο στις αρχές της δεκαετίας του Αποτελείται από δύο στατικά ανεξάρτητα τμήματα που χωρίζονται από σεισμικό αρμό (φαίνονται στα Σχήματα 3 και 4). Και τα δύο τμήματα είναι μη-κανονικά σε κάτοψη όσο και καθ ύψος. Στη συνέχεια τα δύο τμήματα θεωρούνται ως διαφορετικά κτίρια. Στα Σχήματα 1(c) έως (h), 2(c) έως (h), 3(a) έως (d) και 4(a) έως (c) φαίνονται τα κέντρα αντοχής και δυσκαμψίας και ο πόλος στροφής που ορίστηκαν στις ανωτέρω προτάσεις 1 ως 5, καθώς και το κέντρο των υπερκείμενων μαζών (CM) σε όλους τους ορόφους των κτιρίων. Το CR-effective κατά τους Cheung & Tso (1986), Tso (1990) και Goel & Chopra (1993) φαίνεται μόνο για τις δύο εκδοχές του 1 ου κτιρίου, όπου βρίσκεται κοντά στον πόλο CT, εκτός από την περίπτωση της οροφής ισογείου του ενισχυμένου με μανδύες κτιρίου (βλ. Σχήμα 1(d)). Στα υπόλοιπα κτίρια η θέση του πόλου CT και του κέντρου αντοχής ορόφου CV στην κάτοψη διαφοροποιείται ομαλά καθ ύψος του κτιρίου, ενώ αυτή του CR-effective είναι πολύ διαφορετική σε γειτονικούς ορόφους και ενίοτε βρίσκεται έξω από την κάτοψη του ορόφου. Αυτό πιθανώς οφείλεται στην έντονη μη-κανονικότητα καθ ύψος των κτιρίων 2 ως 4 και την κυριαρχία των τοιχωμάτων (ή των υποστυλωμάτων-κατακόρυφων προβόλων) στο δομικό σύστημα. Συνεπώς, με βάση τη (σχεδόν) σύμπτωση των σημείων CR-effective και CT στις δύο εκδοχές του 1 ου κτιρίου, στα υπόλοιπα τρία κτίρια η σειρά των πόλων στροφής CT καθ ύψος των κτιρίων λαμβάνεται ως πρακτικά ισοδύναμη με τα κέντρα δυσκαμψίας ορόφων, που αντιπροσωπεύουν ικανοποιητικά τη συνολική πλευρική δυσκαμψία και λαμβάνουν υπόψη ότι οι δοκοί δεν είναι άκαμπτες. Σημειώνεται ότι τα σημεία CV και CT είναι, εν γένει, λιγότερο έκκεντρα σε σχέση με το CM από ότι τα CR-col uncracked και CR-col. 9

10 Ο Πίνακας 1 δίνει τις ακτίνες αδρανείας των μαζών ορόφων, r, και δυστρεψίας στις οριζόντιες διευθύνσεις X, Y, σε κάθε όροφο των κτιρίων. Δύο ζεύγη ακτίνες δυστρεψίας δίνονται για κάθε όροφο: οι ρ X, ρ Y είναι η ρίζα του λόγου (α) της ενεργού στρεπτικής δυσκαμψίας των κατακόρυφων στοιχείων ορόφου με θεώρηση της επιβατικής δυσκαμψίας τους στη διαρροή, (EI) eff ως προς το κέντρο δυσκαμψίας, CR-col, προς (β) τη συνολική ενεργό δυσκαμψία έναντι οριζόντιων δράσεων των κατακόρυφων στοιχείων ορόφου στην εγκάρσια διεύθυνση, Y ή X, αντίστοιχα. Οι ακτίνες δυστρεψίας ρ Xm, ρ Ym διαφέρουν από τις ρ X, ρ Y στο ότι η ενεργός στρεπτική δυσκαμψία των κατακόρυφων στοιχείων ορόφου λαμβάνεται ως προς το κέντρο υπερκείμενων μαζών, CM, και όχι ως προς το κέντρο δυσκαμψίας των στύλων ορόφου. Ακτίνες αδρανείας r κοντά σε, ή μεγαλύτερες από τις ακτίνες δυστρεψίας ρ Xm, ρ Ym, υποδηλώνουν σύζευξη μεταφορικής και στρεπτικής απόκρισης στο υπόψη κτίριο. Πίνακας 1. Ακτίνα αδράνειας μάζας ορόφου, r, και ακτίνες δυστρεψίας, ρ X, ρ Y, ως προς το κέντρο δυσκαμψίας των κατακόρυφων στοιχείων ορόφου ή ως προς το κέντρο υπερκείμενης μάζας, ρ Xm, ρ Ym Κτίριο Όροφος r (m) ρ X (m) ρ Y (m) ρ Xm (m) ρ Ym (m) 1 ο κτίριο ( SPEAR ) χωρίς ενίσχυση ο κτίριο ( SPEAR ) με μανδύες Ο/Σ ο κτίριο ( Αθήνα ) ο κτίριο ( Σκηνή Θεάτρου) 4 ο κτίριο ( Θέατρο Θεάτρου) ΠΛΗΡΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΤΩΝ ΚΤΙΡΙΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΜΕ ΨΕΥΔΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΕΣ Η ανελαστική δυναμική ανάλυση των πλήρων προσομοιωμάτων των κτιρίων στο χώρο έγινε χρησιμοποιώντας ένα υπολογιστικό εργαλείο για την προσομοίωση, ανάλυση και αποτίμηση της σεισμικής συμπεριφοράς κτιρίων από οπλισμένο σκυρόδεμα σύμφωνα με τις σχετικές διατάξεις του Μέρους 3 του Ευρωκώδικα 8 (EN :2005). Το εργαλείο αυτό είναι το πρόγραμμα Η/Υ ΑNSRuop που αναπτύχθηκε στο Εργαστήριο Κατασκευών του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστήμιου Πατρών ως πολύ βελτιωμένη και εμπλουτισμένη έκδοση του προγράμματος Η/Υ ANSR-I, που αναπτύχθηκε αρχικά στο UC Berkeley (Mondkar & Powel, 1975). Αξιοσημείωτες δυνατότητες προσομοίωσης του προγράμματος ANSRuop αποτελούν η ευκαμψία των διαφραγμάτων ορόφων στο επίπεδό τους και η εκτίμηση της ενεργού (επιβατικής) δυσκαμψίας στη διαρροή καθώς και της καμπτικής και 10

11 διατμητικής αντοχής των μελών (συμπεριλαμβανομένων των ενισχυμένων με μανδύες από οπλισμένο σκυρόδεμα ή σύνθετα υλικά), με βάσει τον οπλισμό τους και τις ιδιότητες υλικών, πάντα σύμφωνα με τους σχετικούς κανόνες του Μέρους 3 του Ευρωκώδικα 8 (CEN, 2005), βλ. επίσης (Fardis et al., 2005). Τα βασικά σημεία της προσομοίωσης που χρησιμοποιήθηκε εδώ είναι τα εξής: 1. Οι μάζες αποδίδονται στον πλησιέστερο κόμβο του προσομοιώματος. 2. Χρησιμοποιούνται πρισματικά στοιχεία δοκού / υποστυλώματος στο χώρο για την προσομοίωση των μελών. Η ανελαστικότητα είναι συγκεντρωμένη σε σημειακές πλαστικές αρθρώσεις στα άκρα των μελών, με διγραμμική περιβάλλουσα ροπώνστροφών χορδής και υστερητικούς κανόνες ανακύκλησης κατά τον τροποποιημένο νόμο του Takeda. Η αποφόρτιση οδηγεί σε μια παραμένουσα παραμόρφωση ίση με το 70% της τιμής που προκύπτει από αποφόρτιση με ελαστική δυσκαμψία (παράμετρος αποφόρτισης α=0.3, Otani (1974)). Η επαναφόρτιση οδηγεί στο μέγιστο σημείο του προηγούμενου κύκλου φόρτισης στη μονοτονική καμπύλη. 3. Η ελαστική δυσκαμψία των στοιχείων λαμβάνεται ίση με την επιβατική δυσκαμψία στη διαρροή, (EI) eff, η οποία υπολογίζεται σύμφωνα με τους κανόνες και τις σχέσεις του Ευρωκώδικα 8. Ο υπολογισμός βασίζεται στην τιμή του μήκους διάτμησης (λόγος ροπής προς τέμνουσα) στη διαρροή άκρου του μέλους. Για δοκούς ή υποστυλώματα υποθέτουμε ταυτόχρονη διαρροή και των δύο άκρων του μέλους σε αντιμετρική κάμψη, που δίνει μήκος διάτμησης το μισό του καθαρού ανοίγματος από τον ένα κόμβο δοκού-υποστυλώματος στον άλλο μέσα στο επίπεδο της κάμψης. Χρησιμοποιείται ο μέσος όρος της επιβατικής δυσκαμψίας στη διαρροή στις δύο διατομές άκρων, σε θετική και αρνητική κάμψη. Σε δοκούς που στηρίζονται έμμεσα σε εγκάρσια δοκό στο ένα άκρο τους (όπως οι B3, B7, B9 στο Σχήμα 1(a)), θεωρείται διαρροή μόνο στο άλλο άκρο και το μήκος διάτμησης λαμβάνεται ίσο με το καθαρό άνοιγμα της δοκού. Σε εσχάρες δοκών που συνδέονται σε ενδιάμεσα σημεία τους με εγκάρσιες δοκούς, το μήκος διάτμησης προσδιορίζεται βάσει του καθαρού ανοίγματος μεταξύ των κατακόρυφων στοιχείων στα οποία συνδέονται οι δοκοί αυτές. Παρότι τα επιμέρους τμήματα των δοκών αυτών ανάμεσα στους κόμβους σύνδεσης με τις εγκάρσιες δοκούς προσομοιώνονται ως μεμονωμένα στοιχεία δοκού, οι ελαστικές δυσκαμψίες τους λαμβάνονται ίδιες και ίσες με την τιμή που προκύπτει βάσει της επιβατικής δυσκαμψίας στη διαρροή των δύο άκρων του καθαρού ανοίγματος της δοκού συνολικά, από στύλο σε στύλο. Το συνεργαζόμενο πλάτος δοκών διατομής σχήματος Τ ή Γ εκατέρωθεν του κορμού λαμβάνεται ίσο με το ελάχιστο μεταξύ του μισού του μήκους διάτμησης της δοκού, ή του μισού της απόστασης έως την επόμενη παράλληλη δοκό. Οι οπλισμοί πλακών που βρίσκονται εντός του συνεργαζόμενου αυτού πλάτους και είναι παράλληλοι στη δοκό θεωρούνται πάνω οπλισμός της δοκού στη διατομή άκρου. Για τοιχώματα, χρησιμοποιείται μόνον η τιμή της επιβατικής δυσκαμψίας στη διαρροή της διατομής βάσης του τοιχώματος στον υπόψη όροφο, με μήκος διάτμησης ίσο με το μισό της απόστασης της διατομής αυτής από την κορυφή του κτιρίου. 4. Έκκεντρες συνδέσεις δοκών με κατακόρυφα στοιχεία προσομοιώνονται μέσω άκαμπτων οριζοντίων στοιχείων. 11

12 5. Οι κόμβοι θεωρούνται άκαμπτοι, αλλά η εξόλκευση των διαμήκων ράβδων οπλισμού διαμέσου ή από τους κόμβους λαμβάνεται υπόψη υπολογίζοντας την αντίστοιχη επιβατική δυσκαμψία στη διαρροή του άκρου μέλους σύμφωνα με την ανωτέρω πρόταση 3 βάσει του λόγου της ροπής διαρροής προς την στροφή χορδής στη διαρροή, η οποία συμπεριλαμβάνει την στροφή της διατομής άκρου λόγω εξόλκευσης των διαμήκων ράβδων οπλισμού από τον κόμβο. 6. Η ευκαμψία των διαφραγμάτων των ορόφων στο επίπεδό τους λαμβάνεται υπόψη σε επίπεδο φατνώματος πλάκας ως εξής: οι δοκοί στην περίμετρο τέτοιων πλακών (συμπεριλαμβανομένων των μπαλκονιών) θεωρούνται ως πρισματικά στοιχεία στο χώρο με επιφάνεια διατομής και ροπή αδράνειας περί άξονα κάθετο στο επίπεδο της πλάκας ώστε να προσεγγίζουν τα χαρακτηριστικά της δυσκαμψίας του αρηγμάτωτου ελαστικού διδιάστατου φατνώματος της πλάκας στο επίπεδό του. 7. Τοιχώματα με σύνθετη διατομή (π.χ. ο πυρήνας ανελκυστήρα διατομής Π του Σχήματος 2, ή αυτά στις γωνίες της δεξιάς πλευράς του Σχήματος 4(a)-(c) με διατομή Γ) προσομοιώνονται με ένα γραμμικό στοιχείο ανά όροφο, στο κέντρο διάτμησης της διατομής. 8. Η αντοχή, η δυσκαμψία και η συμπεριφορά των υποστυλωμάτων και τοιχωμάτων προσομοιώνονται ανεξάρτητα στα δύο επίπεδα της κάμψης, λαμβάνοντας υπόψη την επιρροή της μεταβολής του αξονικού φορτίου κατά την απόκριση. 9. Τα κλιμακοστάσια (π.χ. στην πάνω και κάτω δεξιά γωνία και των δύο τμημάτων του Θεάτρου στα Σχήματα 3 και 4 ή δίπλα στον πυρήνα του ανελκυστήρα στο Σχήμα 2) συμπεριλαμβάνονται στα προσομοιώματα. Τα πλατύσκαλα ενδιάμεσα στους ορόφους και οι δοκοί στήριξής τους προσομοιώνονται κατά τις ανωτέρω προτάσεις 3 και 6. Οι ευθύγραμμοι βραχίονες των κλιμακοστασίων ανάμεσα στους ορόφους ή τους ορόφους και τα πλατύσκαλα προσομοιώνονται ως κεκλιμένα υποστυλώματα με δυσκαμψία και αντοχή και στις δύο εγκάρσιες διευθύνσεις τα οποία συνδέουν τους δύο πλησιέστερους στον άξονα του βραχίονα κόμβους των δύο οριζόντιων επιπέδων που ενώνει η σκάλα. 10. Τα κατακόρυφα στοιχεία θεωρούνται πακτωμένα στη σύνδεσή τους με δύσκαμπτες πεδιλοδοκούς (βλ. Σχήματα 1, 4) ή με περιμετρικά τοιχώματα υπογείων (Σχήματα 2, 3). 11. Επιρροές 2 ης τάξης λαμβάνονται υπόψη μέσω του γεωμετρικού μητρώου δυσκαμψίας των υποστυλωμάτων. 12. Θεωρείται ιξώδης απόσβεση τύπου Rayleigh, με 5% ιδιομορφική απόσβεση στις δύο ιδιοπεριόδους της ελαστικής κατασκευής στο χώρο με τη μεγαλύτερη συμμετέχουσα μάζα στις δύο οριζόντιες διευθύνσεις. Η προσομοίωση και η μέθοδος ανάλυσης επαληθεύτηκαν συγκρίνοντας τις προβλέψεις για τις μετακινήσεις ορόφων και τις βλάβες των στοιχείων με τις πειραματικές στη διαξονική ψευδοδυναμική δοκιμή του κτιρίου του προγράμματος SPEAR και στις τρεις εκδοχές του, δηλ. πριν και μετά την ενίσχυση με ΙΟΠ ή μανδύες οπλισμένου σκυροδέματος. Οι προβλέψεις των χρονοϊστοριών μεταθέσεων και στροφών ορόφων για τη διέγερση που 12

13 0.15 1st floor 2nd floor 3rd floor 0.10 X Displacement (m) Y Displacement (m) Rotation (rad) Time (s) D CRcol CT CReff CV Test Σχήμα 5. Χρονοϊστορίες μεταθέσεων και στροφών ορόφων από τη δοκιμή PsD του κτιρίου SPEAR ενισχυμένου με μανδύες ΙΟΠ (Σχήμα 1(a)) και από την ανάλυση πλήρων τριδιάστατων ή απλών προσομοιωμάτων του για ΜΕΕ 0.2g. εφαρμόστηκε στις ψευδοδυναμικές δοκιμές του μη-ενισχυμένου κτιρίου με Μέγιστη Ενεργό Επιτάχυνση (ΜΕΕ) 0.15g έχουν καλή συμφωνία με τις μετρηθείσες (Kosmopoulos & Fardis, 2004, Fardis et al., 2005). Οι δείκτες βλάβης που υπολογίστηκαν στα άκρα των μελών ως λόγοι της απαίτησης σε όρους γωνιών στροφής χορδής ή τεμνουσών δυνάμεων από την ανάλυση προς τις αντίστοιχες ικανότητες παρουσιάζουν καλή συμφωνία με τις παρατηρηθείσες όσον αφορά τη θέση και την έκτασή τους (Kosmopoulos & Fardis, 2004, Fardis et al., 2005). Συγκρίσεις αποτελεσμάτων ανάλυσης και πειραμάτων παρουσιάζονται επίσης εδώ: στο Σχήμα 5 για την ψευδοδυναμική δοκιμή του κτιρίου SPEAR με τα άκρα όλων των υποστυλωμάτων περισφιγμένα με μανδύες ΙΟΠ για ΜΕΕ 0.2g. (Η επιρροή της περίσφιξης με μανδύες ΙΟΠ στην ελαστική δυσκαμψία είναι αμελητέα και δεν λαμβάνεται υπόψη στις αναλύσεις του Σχήματος 5 μόνον η επίδραση της περίσφιξης με ΙΟΠ στην αντοχή και η αύξηση της ικανότητας παραμόρφωσης λαμβάνονται υπόψη στο προσομοίωμα). Το Σχήμα 6 δείχνει τη σύγκριση για το κτίριο που υποβλήθηκε σε ψευδοδυναμική δοκιμή με ΜΕΕ 0.2g μετά την κατασκευή μανδυών από οπλισμένο σκυρόδεμα σε δύο υποστυλώματα (βλ. Σχήμα 1(b)). Η συμφωνία είναι και πάλι ικανοποιητική, επιβεβαιώνοντας τις ανωτέρω παραδοχές προσομοίωσης, συμπεριλαμβανομένης της εφαρμογής των κανόνων (CEN 2005, Fardis et al., 2005) για την αντοχή και τη γωνία στροφής χορδής μελών στη διαρροή, που, μεταξύ άλλων, περιλαμβάνουν την επιρροή των παραθέσεων ράβδων και της ενίσχυσης με μανδύες από οπλισμένο σκυρόδεμα ή ΙΟΠ. 13

14 0.10 1st floor 2nd floor 3rd floor X Displacement (m) Y Displacement (m) Rotation (rad) Time (s) D CRcol CT CReff CV Test Σχήμα 6. Χρονοϊστορίες μεταθέσεων και στροφών ορόφων από τη δοκιμή PsD του κτιρίου SPEAR ενισχυμένου με μανδύες O/Σ (Σχήμα 1(b)) και από την ανάλυση πλήρων τριδιάστατων ή απλών προσομοιωμάτων του για ΜΕΕ 0.2g. ΑΠΛΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΜΕ ΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΑΝΑ ΟΡΟΦΟ Το απλό προσομοίωμα που παρουσιάζεται εδώ για την ανάλυση της σεισμικής απόκρισης ασύμμετρων πολυώροφων κτιρίων έχει μόνο ένα κατακόρυφο στοιχείο ανά όροφο. Η μάζα ορόφου και στροφική ροπή αδράνειας είναι συγκεντρωμένες σε ένα σημείο στον όροφο (Σχήμα 7) με 3 βαθμούς ελευθερίας: δύο οριζόντιες μεταθέσεις και στροφή περί κατακόρυφο άξονα (η στροφή περί τους δύο οριζόντιους άξονες δεσμεύεται). Η απόσταση του σημείου αυτού από το κατακόρυφο στοιχείο του ορόφου ισούται με τη στατική εκκεντρότητα ανάμεσα στη μάζα ορόφου και: το κέντρο δυσκαμψίας των κατακόρυφων στοιχείων του ορόφου, CR-col (περίπτωση 3 της Ενότητας «Κτίρια που αναλύθηκαν και ασυμμετρία τους σε κάτοψη»), ή ο πόλος στροφής του ορόφου, CT (περίπτωση 5 της Ενότητας «Κτίρια που αναλύθηκαν και ασυμμετρία τους σε κάτοψη»), ή το κέντρο ενεργού δυσκαμψίας του ορόφου, CR-effective που ορίζεται κατά τους Cheung & Tso (1986), Tso (1990) και Goel & Chopra (1993) (περίπτωση 4 της Ενότητας «Κτίρια που αναλύθηκαν και ασυμμετρία τους σε κάτοψη»). Η περίπτωση αυτή εξετάζεται μόνο για τις δύο εκδοχές του 1ου κτιρίου. 14

15 το κέντρο αντοχής ορόφου, CV (περίπτωση 1 της Ενότητας «Κτίρια που αναλύθηκαν και ασυμμετρία τους σε κάτοψη») Ένα άκαμπτο οριζόντιο στοιχείο συνδέει το σημείο όπου είναι συγκεντρωμένη η μάζα και στροφική ροπή αδράνειας με τον κόμβο του κατακόρυφου στοιχείου ορόφου. Οι ελαστικές και ανελαστικές ιδιότητες του κατακόρυφου στοιχείου είναι οι ίδιες για τις διάφορες εκκεντρότητες με το σημείο συγκέντρωσης της μάζας ορόφου. Για το κατακόρυφο στοιχείο ορόφου χρησιμοποιείται πρισματικό στοιχείο δοκούυποστυλώματος στο χώρο, με σημειακές πλαστικές αρθρώσεις στα άκρα του. Η αντοχή, η δυσκαμψία και συμπεριφορά του στοιχείου αυτού προσομοιώνονται ανεξάρτητα στα δύο κάθετα μεταξύ τους κατακόρυφα επίπεδα της κάμψης, χωρίς σύζευξη (δηλ. όπως στα υποστυλώματα και τα τοιχώματα του πλήρους προσομοιώματος στο χώρο, βλ. Σημείο 8 Ενότητας περί Προσομοίωσης). Οι πλαστικές αρθρώσεις στα άκρα του κατακόρυφου στοιχείου ορόφου ακολουθούν ένα υστερητικό νόμο δύναμης-παραμόρφωσης τύπου τροποποιημένου προσομοιώματος Takeda, όμοιο με το νόμο ροπής-στροφής που χρησιμοποιείται για τις πλαστικές αρθρώσεις στα άκρα των μελών του πλήρους προσομοιώματος στο χώρο (βλ. Σημείο 3 Ενότητας περί Προσομοίωσης). Η ενεργός ελαστική δυσκαμψία, (EI) eff, του στοιχείου ορόφου σε καθένα από τα δύο επίπεδα της κάμψης προκύπτει εξισώνοντας την οριζόντια δυσκαμψία του θεωρώντας το αμφίπακτο στις στάθμες των ορόφων, 12(EI) eff /h st 3, με το λόγο της τέμνουσας ορόφου προς τη σχετική μετάθεση ορόφου από ελαστική ανάλυση του πλήρους προσομοιώματος του κτιρίου στο χώρο υπό οριζόντιες δυνάμεις παράλληλες με το υπόψη κατακόρυφο επίπεδο με ανεστραμμένη τριγωνική καθ ύψος κατανομή. Αν αυτή η ανάλυση είναι τύπου pushover, δίνει επίσης τις ροπές διαρροής των πλαστικών αρθρώσεων στα άκρα του κατακόρυφου στοιχείου ορόφου, ως γινόμενο της τέμνουσας ορόφου στη διαρροή του επί το μισό του ύψους ορόφου, hst. Επαρκεί, γενικώς, ο υπολογισμός της τέμνουσας ορόφου στη διαρροή ως το άθροισμα των αντοχών των κατακόρυφων στοιχείων ορόφου σε όρους οριζόντιας δύναμης, όπως καθορίζονται από την καμπτική ή διατμητική τους αντοχή αναλόγως ποια είναι πιο κρίσιμη (πρβλ. ορισμό του κέντρου αντοχής ορόφου στην περίπτωση 2 της Ενότητας «Κτίρια που αναλύθηκαν και ασυμμετρία τους σε κάτοψη»). Η προσέγγιση αυτή υιοθετήθηκε εδώ. Η δυστρεψία του κατακόρυφου στοιχείου ορόφου λαμβάνεται ίση με το λόγο της συνολικής ροπής στρέψης ορόφου προς τη σχετική στροφή ορόφου από ελαστική ανάλυση του πλήρους προσομοιώματος του κτιρίου στο χώρο υπό στρεπτικές ροπές ορόφων με ανεστραμμένη τριγωνική καθ ύψος κατανομή (δηλ. την ίδια ανάλυση που δίνει τον πόλο στροφής στην περίπτωση 5 της Ενότητας «Κτίρια που αναλύθηκαν και ασυμμετρία τους σε κάτοψη»). Το κατακόρυφο στοιχείο ορόφου λαμβάνεται ελαστικό σε στρέψη, επειδή είναι απίθανη η γενικευμένη διαρροή των στοιχείων ορόφου σε καθαρά στρεπτική απόκριση. Η σύζευξη στρεπτικής και καμπτικής ανελαστικότητας αγνοείται. Ανάλογα με το μέγεθος της στρεπτικής απόκρισης, η σύζευξη αυτή μειώνει την τέμνουσα διαρροής ορόφου σε σχέση με την τιμή της για καθαρά μεταφορική απόκριση. Επίσης εισάγει ανελαστικότητα σε στρέψη. Υπόψη ότι η θεώρηση ότι η ανελαστική σύζευξη στρέψης και κάμψης είναι η ίδια με την 15

16 ελαστική που εκφράζεται από τη σταθερή θέση του κατακόρυφου στοιχείου σε κάθε όροφο είναι χονδροειδής προσέγγιση σε πολύ ασύμμετρα κτίρια με έντονα ανελαστική απόκρισή. Μια ιδιαιτερότητα του 4 ου κτιρίου (του τμήματος Θέατρο στο Σχήμα 4) είναι ότι ο 2 ος όροφος εκτείνεται μόνο στο δεξί μέρος της κάτοψης και τα περιμετρικά τοιχώματα του αριστερού μέρους συνδέουν τον 1 ο όροφο απευθείας με την οροφή του κτιρίου. Στο απλό προσομοίωμα προστέθηκε ένα χωριστό κατακόρυφο στοιχείο που αντιπροσωπεύει αυτά τα τοιχώματα και παρακάμπτει το 2 ο όροφο, συνδέοντας τον 1 ο όροφο απευθείας με την οροφή του κτιρίου. Τα στοιχεία που συνδέουν στο απλό προσομοίωμα το 2 ο όροφο με τους ορόφους ακριβώς από πάνω ή από κάτω αντιπροσωπεύουν μόνο τα υποστυλώματα και τοιχώματα που συνδέονται με το 2 ο όροφο. Η ενεργός ελαστική δυσκαμψία, (EI) eff, των χωριστών στοιχείων ορόφου προσδιορίζεται ως ο λόγος (α) της συνολικής τέμνουσας δύναμης των στοιχείων που αντιπροσωπεύουν προς (β) την αντίστοιχη σχετική μετάθεση ορόφων από ελαστική ανάλυση του πλήρους προσομοιώματος στο χώρο υπό ανεστραμμένη τριγωνική κατανομή δυνάμεων στην υπόψη οριζόντια διεύθυνση. Η ελαστική τους δυστρεψία προσδιορίζεται ως ο λόγος (α) της συνολικής ροπής των τεμνουσών δυνάμεων στα κατακόρυφα στοιχεία που αντιπροσωπεύονται από το στοιχείο ορόφου ως προς το σημείο που βρίσκεται αυτό προς (β) την αντίστοιχη σχετική στροφή ορόφων, και τα δύο από ελαστική ανάλυση υπό ροπές στρέψης ορόφων με ανεστραμμένη τριγωνική καθ ύψος κατανομή. Σχήμα 7. Απλό προσοίωμα με ένα κατακόρυφο στοιχείο ανά όροφο. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΑΠΛΟΥ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΥΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ Στον Πίνακα 2 δίνονται οι ιδιοπερίοδοι και τα ποσοστά συμμετέχουσας μάζας των σημαντικών ιδιομορφών των πλήρων προσομοιωμάτων των κτιρίων στο χώρο, καθώς και των εναλλακτικών απλών προσομοιωμάτων. Αρκετές ανώτερες ιδιομορφές του πλήρους προσομοιώματος του 2 ου κτιρίου χαρακτηρίζονται από σημαντική παραμόρφωση των διαφραγμάτων στο επίπεδό τους ή και από διαφορά φάσης στην απόκριση διαφορετικών τμημάτων του ίδιου διαφράγματος. Κάποιες από τις ανώτερες ιδιομορφές των πλήρων προσομοιωμάτων του 3 ου και 4 ου κτιρίου είναι τοπικές (π.χ. ταλάντωση εκτός επιπέδου ορόφου τμημάτων των εξωτερικών πλαισίων που δεν συνδέονται με κάποιο πάτωμα). Οι 16

17 ιδιοπερίοδοι και τα ποσοστά συμμετέχουσας μάζας τέτοιων ιδιομορφών σημειώνονται με πλάγια γράμματα στον Πίνακα 2. Λόγω του ότι το απλό προσομοίωμα δεν μπορεί να αναπαράγει τις ιδιομορφές αυτές, δεν υπάρχει αυστηρή αντιστοιχία ανάμεσα στις ανώτερες ιδιομορφές των πλήρων και των απλών προσομοιωμάτων. Πίνακας 2. Ιδιοπερίοδοι και συμμετέχουσες μάζες των πλήρων τριδιάστατων και των απλών προσομοιωμάτων. (Σημ.: αριθμοί με πλάγια γράμματα αναφέρονται σε τοπικές ιδιομορφές του τριδιάστατου προσομοιώματος που δεν αναπαράγονται από τα απλά προσομοιώματα). Κτίριο 1 ο κτίριο ( SPEAR ) χωρίς ενίσχυση 1 ο κτίριο ( SPEAR ) με μανδύες Ο/Σ 2 ο κτίριο ( Αθήνα ) 3 ο κτίριο ( Σκηνή του Θεάτρου) 4 ο κτίριο ( Θέατρο του Θεάτρου) Στο Ιδιομορφή T (s) Συμμετέχουσα μάζα (% της ολικής) Στο απλό προσομοίωμα διεύθυνση X διεύθυνση Y χώρο CR-col CR CT Στο απλό προσομοίωμα απλό προσομοίωμα χώρο CR-col CR CT χώρο CR-col CR CT

18 1st floor 2nd floor 3rd floor 4th floor penthouse 0.2 X Displacement (m) Y Displacement (m) Rotation (rad) Time (s) 3D CRcol CT CV Σχήμα 8. Χρονοϊστορίες μεταθέσεων και στροφών ορόφων από την ανάλυση πλήρων τριδιάστατων ή απλών προσομοιωμάτων του κτιρίου Αθήνα (Σχήμα 2), για ΜΕΕ 0.15g Είναι φανερό από τον Πίνακα 2 ότι τα απλά προσομοιώματα που βασίζονται στον πόλο στροφής ορόφου, CT, δίνουν την καλύτερη προσέγγιση για τις ιδιομορφές των πλήρων προσομοιωμάτων. Όπου χρησιμοποιήθηκαν απλά προσομοιώματα βασισμένα στο ενεργό κέντρο δυσκαμψίας ορόφου, CR-effective, (π.χ. στις δύο εκδοχές του 1 ου κτιρίου), αυτά παρουσιάζουν σχεδόν την ίδια (αλλά όχι εξίσου καλή) προσέγγιση των ιδιομορφών των πλήρων προσομοιωμάτων όπως τα απλά που βασίζονται στον πόλο CT. Τα πλήρη προσομοιώματα και οι διάφορες παραλλαγές των απλών προσομοιωμάτων των τεσσάρων κτιρίων υποβλήθηκαν σε σειρά ανελαστικών δυναμικών αναλύσεων με σεισμική διέγερση μια σειρά 14 επιταχυνσιογραμμάτων σε δύο οριζόντιες διευθύνσεις. Κάθε εδαφική κίνηση μιμείται τις δύο οριζόντιες συνιστώσες επτά ιστορικών σεισμικών καταγραφών, με την κάθε συνιστώσα τροποποιημένη ώστε να προσεγγίζει το ελαστικό φάσμα απόκρισης του Ευρωκώδικα 8 με απόσβεση 5%. Οι δύο συνιστώσες κάθε κίνησης εναλλάσσονται μεταξύ των δύο οριζόντιων διευθύνσεων Χ και Y, δίνοντας 2x7 = 14 διαξονικές εδαφικές κινήσεις και ανελαστικές αναλύσεις χρονοϊστορίας στο χώρο. Οι δύο οριζόντιες συνιστώσες κάθε κίνησης έχουν την ίδια Μέγιστη Ενεργό Επιτάχυνση (ΜΕΕ). Οι ΜΕΕ των κινήσεων που εφαρμόστηκαν στο κτίριο SPEAR είναι 0.1g και 0.2g για το μη-ενισχυμένο κτίριο και 0.2g και 0.3g για την εκδοχή με τους δύο μανδύες από οπλισμένο σκυρόδεμα. Οι ΜΕΕ των κινήσεων που εφαρμόστηκαν στα κτίρια Αθήνα και τα δύο τμήματα του κτιρίου Θέατρο είναι 0.15g και 0.1g, αντίστοιχα. Αυτά τα επίπεδα εδαφικής κίνησης προκαλούν σημαντική 18

19 ανελαστικότητα στα περισσότερα στοιχεία των κτιρίων. Η διαξονική εδαφική κίνηση που χρησιμοποιήθηκε στις ψευδοδυναμικές δοκιμές του 1 ου κτιρίου ( SPEAR ) είναι μία από τις 14 κινήσεις της σειράς επιταχυνσιογραμμάτων. Για την κίνηση αυτή, κανονικοποιημένη σε ΜΕΕ 0.2g, τα Σχήματα 5 και 6 συγκρίνουν τις χρονοϊστορίες απόκρισης των τριών βαθμών ελευθερίας των ορόφων των δύο εκδοχών του κτιρίου SPEAR από τα απλά προσομοιώματα, με αυτές του κέντρου μάζας ορόφων από ανελαστική ανάλυση του πλήρους προσομοιώματος. Στα Σχήματα 8, 9 και 10 γίνονται παρόμοιες συγκρίσεις για τα άλλα τρία κτίρια, υπό την ίδια διαξονική εδαφική κίνηση που χρησιμοποιήθηκε για τις ψευδοδυναμικές δοκιμές του κτιρίου SPEAR, αλλά με ΜΕΕ 0.15g, 0.1g και 0.1g, αντίστοιχα st floor 2nd floor 3rd floor penthouse 0.04 X Displacement (m) Y Displacement (m) Rotation (rad) Time (s) D CRcol CT CV Σχήμα 9. Χρονοϊστορίες μεταθέσεων και στροφών ορόφων από την ανάλυση πλήρων τριδιάστατων ή απλών προσομοιωμάτων του τμήματος Σκηνή του Θεάτρου (Σχήμα 3), για ΜΕΕ 0.1g. Για το 1 ο κτίριο, όλα τα απλά προσομοιώματα δίνουν παρόμοιες κυματομορφές. Αυτές που δίνει το απλό προσομοίωμα που βασίζεται στον πόλο στροφής είναι ελαφρώς πιο κοντά σε αυτές του πλήρους προσομοιώματος. Είναι ωστόσο αξιοπρόσεκτη στο Σχήμα 1(c)-(h) η εγγύτητα του κέντρου δυσκαμψίας στύλων, του ενεργού κέντρου δυσκαμψίας του κέντρο αντοχής και του πόλου στροφής σε κάθε σχεδόν όροφο στο κτίριο αυτό. Όπως φαίνεται στα Σχήματα 2 και 3, το κέντρο δυσκαμψίας στύλων του 2 ου και 3 ου κτιρίου γενικά απέχει από τον πόλο στροφής και το κέντρο αντοχής ορόφου. Έτσι οι κυματομορφές απόκρισης των απλών προσομοιωμάτων που βασίζονται σε αυτά διαφέρουν, με το προσομοίωμα που 19

20 βασίζεται στον πόλο στροφής να επιτυγχάνει σημαντικά καλύτερη συμφωνία με το πλήρες προσομοίωμα. Αξιοπρόσεκτη είναι η σημαντική υπερτίμηση της στρεπτικής απόκρισης του άνω μισού του 3 ου κτιρίου από το απλό προσομοίωμα που βασίζεται στο κέντρο δυσκαμψίας στύλων. Τα απλά προσομοιώματα που βασίζονται στον πόλο στροφής ή στο κέντρο αντοχής υποεκτιμούν τις στροφές του κάτω μισού του κτιρίου αυτού, ενώ τις υπερτιμούν κάπως στο δώμα. Σημειώνεται ωστόσο ότι το απόλυτο μέγεθος των στροφών του κτιρίου αυτού είναι σχετικά χαμηλό. Συνεπώς σε απόλυτους όρους το σφάλμα δεν είναι σημαντικό. Το ίδιο ισχύει για τη στρεπτική απόκριση του 4 ου κτιρίου, που επίσης υπερεκτιμάται σημαντικά από τα δύο αυτά απλά προσομοιώματα. Αυτό πιθανόν οφείλεται στον τρόπο με τον οποίο προσομοιώνεται η απευθείας σύζευξη του 1 ου ορόφου και της οροφής και στον τρόπο εκτίμησης της δυστρεψία των στοιχείων του απλού προσομοιώματος. Τα απλά προσομοιώματα υπερεκτιμούν ελαφρά αλλά συστηματικά τις μέγιστες μεταθέσεις των ανώτατων τμημάτων του 3 ου και του 4 ου κτιρίου στη μικρότερη διεύθυνση της κάτοψής τους, X και Y, αντίστοιχα. Αυτό πιθανόν οφείλεται στο ότι σημαντικό ποσοστό της ιδιομορφικής μάζας στη διεύθυνση αυτή συμμετέχει σε τοπικές ιδιομορφές που δεν αναπαράγονται από τα απλά προσομοιώματα, γεγονός το οποίο αντισταθμίζεται μερικώς με αυξημένη συμμετέχουσα μάζα στην αντίστοιχη θεμελιώδη ιδιομορφή. 1st floor 2nd floor roof 0.04 X Displacement (m) Y Displacement (m) Rotation (rad) Time (s) D CRcol CT CV Σχήμα 10. Χρονοϊστορίες μεταθέσεων και στροφών ορόφων από την ανάλυση πλήρων τριδιάστατων ή απλών προσομοιωμάτων του τμήματος Θέατρο του Θεάτρου (Σχήμα 3), για ΜΕΕ 0.1g 20

21 3 (a) Story (b) Story (c) Story (d) Story mean ratio std dev mean ratio std dev. CRcol CT CReff CV Σχήμα 11. Μέσες τιμές και τυπικές αποκλίσεις των λόγων μεταθέσεων ή στροφών ορόφων των απλών προσομοιωμάτων προς αυτές των πλήρων τριδιάστατων προσομοιωμάτων για τις 14 διαξονικές εδαφικές κινήσεις: (a) κτίριο SPEAR χωρίς ενίσχυση για ΜΕΕ 0.15g, (b) κτίριο SPEAR χωρίς ενίσχυση για ΜΕΕ 0.2g, (c) κτίριο SPEAR με μανδύες Ο/Σ για ΜΕΕ 0.2g; (d) κτίριο SPEAR με μανδύες Ο/Σ για ΜΕΕ 0.3g (1 η και 3 η στήλη: μέσες τιμές μεταθέσεων και στροφών, αντίστοιχα, 2 η και 4 η στήλη: τυπική απόκλιση μεταθέσεων και στροφών, αντίστοιχα). Τα Σχήματα 11 ως 14 συνοψίζουν τις συγκρίσεις των μέγιστων (θετικών και αρνητικών) μεταθέσεων και στροφών των κέντρων μάζας ορόφων των απλών προσομοιωμάτων, με αυτές των πλήρων προσομοιωμάτων των κτιρίων. Η σύγκριση γίνεται σε όρους μέσων όρων και τυπικών αποκλίσεων του λόγου της μετάθεσης ή στροφής ορόφου από τα απλά προσομοιώματα προς αυτήν από το πλήρες προσομοίωμα από τις 14 διαξονικές εδαφικές κινήσεις και για την περίπτωση των μεταθέσεων ορόφων, από τους δύο οριζόντιους 21

22 άξονες. Τα Σχήματα 11 ως 14 επιβεβαιώνουν και γενικεύουν τα σχόλια της προηγούμενης παραγράφου που εξήχθησαν από μια μόνο διαξονική εδαφική κίνηση: όπου γίνεται χρήση και των δύο απλών προσομοιωμάτων που βασίζονται στο ενεργό κέντρο δυσκαμψίας ή τον πόλο στροφής ορόφου, η απόκρισή τους είναι παρόμοια και αρκετά κοντά σε αυτήν του πλήρους προσομοιώματος. Εκτός από τις στροφές του κάτω μισού του 3 ου κτιρίου και όλων των ορόφων του 4 ου κτιρίου, το απλό προσομοίωμα που βασίζεται στο κέντρο δυσκαμψίας στύλων δίνει κατά μέσο όρο χειρότερη προσέγγιση των αποτελεσμάτων του πλήρους προσομοιώματος και μεγαλύτερη διασπορά προβλέψεων. Η ανεπαρκής πρόβλεψη των απλών προσομοιωμάτων για τις μέγιστες στροφές του 3 ου και του 4 ου κτιρίου δεν θα πρέπει να υπερτονιστούν, αφού το απόλυτο μέγεθός τους είναι μικρό. Το απλό προσομοίωμα στον πόλο στροφής ορόφου δίνει γενικώς την καλύτερη μέση προσέγγιση των αποτελεσμάτων του πλήρους προσομοιώματος και τη μικρότερη διασπορά προβλέψεων. Αυτό που βασίζεται στο κέντρο αντοχής έρχεται 2 ο με μικρή διαφορά. Η ελαφρά τάση αυτών των δύο απλών προσομοιωμάτων να υποεκτιμούν εν γένει τις μέγιστες στροφές ορόφων μπορεί να οφείλεται στο ότι αγνοούν την ανελαστική σύζευξη μεταφορικής και στρεπτικής απόκρισης. 7 (a) (b) (c) (d) 6 5 Story CRcol CT CV mean ratio std dev mean ratio std dev. Σχήμα 12. Μέσες τιμές και τυπικές αποκλίσεις των λόγων μεταθέσεων ή στροφών ορόφων των απλών προσομοιωμάτων προς αυτές των πλήρων τριδιάστατων προσομοιωμάτων, κτίριο Αθήνα, για τις 14 διαξονικές εδαφικές κινήσεις με ΜΕΕ 0.15g. (a) και (c): μέσες τιμές μεταθέσεων και στροφών, αντίστοιχα, (b) και (d): τυπικές αποκλίσεις μεταθέσεων και στροφών, αντίστοιχα. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Το προσομοίωμα που προτείνεται για την ανάλυση της χρονοϊστορίας ανελαστικής απόκρισης τριδιάστατων ασύμμετρων πολυώροφων κτιρίων από οπλισμένο σκυρόδεμα είναι αρκετά απλό ώστε να μπορεί να υλοποιηθεί με χρήση ευρέως διαδεδομένων εμπορικών πακέτων λογισμικού για ανελαστική ανάλυση της σεισμικής. Είναι ένα ραβδωτό στοιχείο: με 3 βαθμούς ελευθερίας ανά όροφο (δύο οριζόντιες μεταθέσεις και στροφή περί κατακόρυφου άξονα), 22

23 με θέσεις πλαστικών αρθρώσεων στα άκρα κάθε κατακόρυφου στοιχείου που συνδέει τις στάθμες ορόφων, με υστερητικό νόμο δύναμης-παραμόρφωσης του τύπου τροποποιημένου Takeda (διγραμμικό για μονοτονική φόρτιση, πολυγραμμικό με μείωση τη δυσκαμψίας σε αποφόρτιση-επαναφόρτιση μετά τη διαρροή), με ελαστική δυσκαμψία ορόφου που προκύπτει από την αντίστοιχη σχέση δύναμηςσχετικής μετάθεσης ορόφου του ελαστικού κτιρίου στο χώρο με φόρτιση ορόφων με ανεστραμμένη τριγωνική κατανομή (ροπές στρέψης για τον προσδιορισμό της δυστρεψίας, οριζόντιες δυνάμεις για τον προσδιορισμό της δυσκαμψίας), με δυνάμεις διαρροής ορόφων που προκύπτουν από τη συνολική διατμητική αντοχή των κατακόρυφων στοιχείων του ορόφου, χωρίς σύζευξη της καμπτικής και στρεπτικής ανελαστικότητας. Το απλό προσομοίωμα δεν περιλαμβάνει εν γένει σύζευξη μη-γειτονικών ορόφων. Σύζευξη μη-διαδοχικών ορόφων που ενώνονται απευθείας μέσω κατακόρυφων στοιχείων (σε κτίρια ημιώροφους κλπ) μπορεί εύκολα να εισαχθεί. 4 (a) (b) (c) (d) 3 Story 2 CRcol CT CV mean ratio std dev. mean ratio std dev. Σχήμα 13. Μέσες τιμές και τυπικές αποκλίσεις των λόγων μεταθέσεων ή στροφών ορόφων των απλών προσομοιωμάτων προς αυτές των πλήρων τριδιάστατων προσομοιωμάτων, τμήμα Σκηνή του Θεάτρου, για τις 14 διαξονικές εδαφικές κινήσεις με ΜΕΕ 0.1g. (a) και (c): μέσες τιμές μεταθέσεων και στροφών, αντίστοιχα, (b) και (d): τυπικές αποκλίσεις μεταθέσεων και στροφών, αντίστοιχα. 3 (a) (b) (c) (d) Story 2 CRcol CT CV mean ratio std dev mean ratio std dev. Σχήμα 14. Μέσες τιμές και τυπικές αποκλίσεις των λόγων μεταθέσεων ή στροφών ορόφων των απλών προσομοιωμάτων προς αυτές των πλήρων τριδιάστατων προσομοιωμάτων, τμήμα Θέατρο του Θεάτρου, για τις 14 διαξονικές εδαφικές κινήσεις με ΜΕΕ 0.1g. (a) και (c): μέσες τιμές μεταθέσεων και στροφών, αντίστοιχα, (b) και (d): τυπικές αποκλίσεις μεταθέσεων και στροφών, αντίστοιχα. 23

24 Το απλό προσομοίωμα αποτιμήθηκε μέσω συγκρίσεων των χρονοϊστοριών μεταθέσεων και στροφών ορόφων με αυτές πλήρων προσομοιωμάτων στο χώρο τεσσάρων πραγματικών πολυώροφων κτιρίων από οπλισμένο σκυρόδεμα (ένα εξ αυτών σε δύο παραλλαγές), με διάφορους βαθμούς μη-κανονικότητας σε κάτοψη και καθ ύψος και ουσιαστικά απουσία αντισεισμικού σχεδιασμού. Η κύρια παράμετρος που αποτιμάται μέσω των συγκρίσεων είναι η θέση του κατακόρυφου στοιχείου ορόφου στο απλό προσομοίωμα ως προς το κέντρο μάζας ορόφου. Εξετάστηκαν οι ακόλουθες εναλλακτικές θέσεις: 1. Στον πόλο στροφής ορόφου (CT) του ελαστικού κτιρίου στο χώρο υπό ροπές στρέψεις ορόφων με ανεστραμμένη τριγωνική κατανομή. Οι πόλοι ορόφων προκύπτουν μέσω γεωμετρικών θεωρήσεων, λαμβάνοντας υπόψη την ευκαμψία των διαφραγμάτων. 2. Στο ενεργό κέντρο δυσκαμψίας ορόφου (CR-effective) που ορίζεται όπως στις εργασίες των Cheung & Tso (1986), Tso (1990) και Goel & Chopra (1993), δηλαδή ως το σημείο στο οποίο η εφαρμογή οριζόντιων δυνάμεων με ανεστραμμένη τριγωνική κατανομή δεν επιφέρει στροφή σε κανέναν όροφο του ελαστικού κτιρίου. 3. Στο κέντρο βάρους των επιβατικών δυσκαμψιών στη διαρροή, (EI) eff, των κατακόρυφων στοιχείων ορόφου, που ονομάζεται κέντρο δυσκαμψίας κατακόρυφων στοιχείων ορόφου και σημειώνεται ως CR-col. Το σημείο αυτό είναι πολύ πιο εύκολα προσδιορίσιμο σε σχέση με το CR-effective αλλά μπορεί να μην αντιπροσωπεύει ικανοποιητικά το ενεργό κέντρο δυσκαμψίας, ιδιαίτερα σε μικτά συστήματα με πλαίσια και τοιχώματα. 4. Στο κέντρο βάρους των αντοχών των κατακόρυφων στοιχείων σε όρους οριζόντιας δύναμης, όπως καθορίζονται από την καμπτική ή διατμητική τους αντοχή αναλόγως ποια είναι πιο κρίσιμη ( κέντρο αντοχής ορόφου, CV). Η αντοχή σε οριζόντια δύναμη λόγω κάμψης λαμβάνεται ίση με τη ροπή διαρροής στη διατομή βάσης του στοιχείου στον όροφο δια του μήκους διάτμησής του στο επίπεδο της κάμψης. Σε υποστυλώματα το μήκος διάτμησης λαμβάνεται ως το μισό του καθαρού ύψους στον όροφο. Για τοιχώματα, ως το μισό της απόστασης της διατομής βάσης τοιχώματος στον υπόψη όροφο έως την κορυφή του τοιχώματος στο κτίριο. Ο πόλος στροφής CT και το κέντρο αντοχής ορόφου CV είναι, γενικώς, λιγότερο έκκεντρα ως προς το κέντρο υπερκείμενων μαζών από τα άλλα κέντρα. Η θέση τους σε κάτοψη διαφοροποιείται ομαλά καθ ύψος του κτιρίου. Για κανονικά καθ ύψος κτίρια, το κέντρο CReffective της ανωτέρω πρότασης 2 βρέθηκε, εν γένει, να είναι κοντά στον πόλο CT. Ωστόσο, σε μη-κανονικά καθ ύψος κτίρια με μικτά δομικά συστήματα (πλαίσια και τοιχώματα), το κέντρο CR-effective βρέθηκε να διαφέρει πολύ μεταξύ διαδοχικών ορόφων, ακόμη και να βρίσκεται εκτός της κάτοψης ορόφου. Με βάσει την σχεδόν σύμπτωση του κέντρου CReffective και του πόλου CT σε κανονικά καθ ύψος κτίρια, η εύκολα προσδιορίσιμη σειρά των πόλων CT καθ ύψος του κτιρίου θεωρείται πως αντιπροσωπεύει ικανοποιητικά τη θέση του κέντρου πλευρικής δυσκαμψίας, λαμβάνοντας υπόψη και τα οριζόντια στοιχεία. Ανάμεσα στις εναλλακτικές επιλογές 1 ως 4 για την εκκεντρότητα του κατακόρυφου στοιχείου ως προς το κέντρο μάζας ορόφου, ο πόλος στροφής ορόφου (CT) παρέχει την καλύτερη συμφωνία προβλέψεων της απόκρισης του απλού προσομοιώματος με τις χρονοϊστορίες 24