Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20

Transcript

1 Μια από τις εταιρείες γάλακτος στην προσπάθειά της να διεισδύσει στην αγορά του παγωτού πολυτελείας επενδύει σε μια μικρή πιλοτική γραμμή παραγωγής δύο προϊόντων της κατηγορίας αυτής. Πρόκειται για οικογενειακές συσκευασίες παγωτού κρέμας με άρωμα πραγματικής βανίλιας (προϊόν Α) και παγωτού με πραγματική σοκολάτα (προϊόν Β). Αν και είναι φανερό ότι η παραγωγική διαδικασία είναι αρκετά πολύπλοκη, θα θεωρήσουμε εδώ ότι για την παραγωγή αυτών των προϊόντων η εταιρεία δεσμεύει ανά εβδομάδα ένα μικρό μέρος των παραγωγικών της συντελεστών: γάλα (βασική πρώτη ύλη), εργασία (παραλαβή πρώτων υλών, ποιοτικός έλεγχος, συσκευασία, διανομή, κτλ.), καθώς επίσης και διαθεσιμότητα στη μονάδας παστερίωσης και ψύξης. Στον πίνακα που ακολουθεί βλέπουμε τα δεδομένα του προβλήματος που έχουν προσδιοριστεί κι αφορούν την παραγωγή ενός τεμαχίου του κάθε προϊόντος: Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθεσιμότητα Γάλα (lit) Εργασία (min) Επεξεργασία (min) Μέγιστη ζήτηση 400 Απεριόριστη Κέρδος/τεμάχιο 150 χ.μ. 200 χ.μ. Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει το συνολικό κέρδος. 1/20

2 Ανακεφαλαιώνοντας το μαθηματικό πρότυπο για το πρόβλημα της εταιρείας είναι το εξής: maximize z = (150x x 2 ) κάτω από τους περιορισμούς: x 1 + x (διαθέσιμο γάλα, lit) x 1 + 3x x 1 + 5x (χρόνος εργασίας, min) (διαθεσιμότητα μονάδων, min) x (ζήτηση αγοράς) x 1, x 2 0 Είναι π.γ.π. διότι ο αντικειμενικό στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των μεταβλητών απόφασης, οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των μεταβλητών απόφασης. 2/20

3 Κάθε συνδυασμός τιμών x = (x 1, x 2,, x n ) των μεταβλητών απόφασης ενός π.γ.π. ονομάζεται λύση του προβλήματος. Το υποσύνολο F του n που σχηματίζεται από τα σημεία λύσεις x = (x 1, x 2,, x n ) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός π.γ.π. ονομάζεται εφικτή περιοχή του π.γ.π., τα δε σημεία x, εφικτές λύσεις. Σ ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε εφικτή λύση, η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση: * * x F : f ( x ) f ( x) x F Όμοια, σ ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε: * * x F : f ( x ) f ( x) x F 3/20

4 Γραφική Επίλυση π.γ.π. Οποιοδήποτε π.γ.π. με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά. Σε μια τέτοια περίπτωση, ονομάζουμε τις μεταβλητές x 1, x 2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων στο οποίο ο οριζόντιος άξονας παριστά τις τιμές της μεταβλητής x 1 και ο κάθετος τις τιμές της μεταβλητής x 2. Στη συνέχεια θα πρέπει διαδοχικά να: σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες), τις ευθείες όλων των περιορισμών του προβλήματος, καθορίσουμε την εφικτή περιοχή, σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες σταθερού κέρδους), εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης, εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή, βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση), υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο αυτό (μέγιστη/ελάχιστη τιμή). 4/20

5 5/20

6 6/20

7 Το γεγονός ότι η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής (αποδεικνύεται και μαθηματικά) είναι εξαιρετικά σημαντικό. Και τούτο διότι με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της. Αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου πλήθους). Κορυφή (x 1, x 2 ) z Α (0, 0) 0 Β (400, 0) Γ (400, 150) Δ (325,225) Άριστη Ε (0, 100/3) /3 Ένας περιορισμός π.γ.π. χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός αν-ν η άριστη λύση τον καθιστά ισότητα. Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός. (περιθώρια τιμή) 7/20

8 Η κατασκευαστική εταιρεία ΕΜΕΙΣ προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να προωθήσει τις πωλήσεις των εξοχικών της. Η προβολή θα γίνει από την τηλεόραση, αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες: την πρωινή και τη βραδινή. Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε 1,500,000 χ.μ. ενώ στη βραδινή σε 2,500,000. Έχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν (κατά μέσο όρο) 300,000 γυναίκες και μόνον 50,000 άντρες, ενώ ένα μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο όρο 200,000 γυναίκες και 250,000 άντρες. Η κατασκευαστική εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική καμπάνια) θα ήθελε, να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15,000,000 γυναίκες και τουλάχιστον 9,000,000 άντρες. Επιθυμητό είναι επίσης, οι προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη. Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος. 8/20

9 Οι μεταβλητές απόφασης Αναζητάμε τα στοιχεία του προβλήματος που καθορίζουν την τιμή του κριτηρίου απόδοσης που έχουμε θέσει. Στην περίπτωση μας, από τι εξαρτάται το κόστος της διαφημιστικής καμπάνιας, την ελαχιστοποίηση του οποίου επιθυμούμε; Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων στην πρωινή και βραδινή ζώνη. Συνεπώς, ορίζουμε να είναι: x 1 τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί x 2 τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ 9/20

10 Ο αντικειμενικός στόχος Στόχος μας είναι η ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους της διαφημιστικής καμπάνιας. Το κόστος αυτό προκύπτει ως το άθροισμα του κόστους για τις διαφημίσεις που θα γίνουν στις δύο διαφορετικές ζώνες. Κάθε μήνυμα στην πρωινή ζώνη κοστίζει 1,500,00 χ.μ. ενώ κάθε μήνυμα στη βραδινή 2,500,000 χ.μ. Άρα: Συνολικό Κόστος = Κόστος από τα πρωινά μηνύματα + Κόστος από τα βραδινά μηνύματα = 1,500,000 x 1 + 2,500,000 x 2 Ενδιαφερόμαστε επομένως να minimize z = (1,500,000 x 1 + 2,500,000 x 2 ) 10/20

11 Οι περιορισμοί του προβλήματος Όρια στις τιμές των μεταβλητών απόφασης, άρα και στην τιμή του κριτηρίου, επιβάλλονται από την επιθυμία της εταιρείας: i) τουλάχιστον 15,000,000 γυναίκες να δουν το μήνυμα: (σύνολο γυναικών που θα δουν το μήνυμα) (ελάχιστη απαίτηση για γυναίκες τηλεθεατές) (σύνολο γυναικών που θα δουν το μήνυμα στην πρωινή ζώνη) + (σύνολο γυναικών που θα δουν το μήνυμα στη βραδινή ζώνη) (ελάχιστη απαίτηση για γυναίκες τηλεθεατές) 300,000 x ,000 x 2 15,000, x x 2 15 ii) τουλάχιστον 9,000,000 άντρες να δουν το μήνυμα: 50,000 x ,000 x 2 9,000, x x 2 9 iii) τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη: x 2 20 iv) Έχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των μεταβλητών: x 1, x /20

12 Ανακεφαλαιώνοντας, το μαθηματικό πρότυπο για το πρόβλημα της εταιρείας ΕΜΕΙΣ είναι το εξής: minimize z = (1.5x x 2 ) κάτω από τους περιορισμούς: 0.3x x 2 15 (απαίτηση για τηλεθέαση σε γυναίκ., εκατομ.) 0.05x x 2 9 (απαίτηση για τηλεθέαση σε άντρες, εκατομ.) x 2 20 (απαίτηση για μηνύματα στη βραδινή ζώνη) x 1, x 2 0 Είναι π.γ.π. διότι ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των μεταβλητών απόφασης. οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των μεταβλητών απόφασης. 12/20

13 Κορυφή (x 1, x 2 ) z Α (30,30) 120 Άριστη Β (80,20) 170 Γ (0,75) Δεσμευτικοί περιορισμοί: οι (1) και (2) Χαλαροί περιορισμοί: οι (3) μη φραγμένη εφικτή περιοχή 13/20

14 Μια μικρή επιχείρηση δερμάτινων ενδυμάτων η ΔΕΡΜΣ έχει αναλάβει για τον επόμενο μήνα να προμηθεύσει ένα κατάστημα με γυναικεία παλτά καστόρ και αντρικά σακάκια τύπου σαφάρι. Η επιχείρηση απασχολεί το προσωπικό της συνολικά 960 ώρες το μήνα ενώ για την όλη διαδικασία χρησιμοποιεί κυρίως δύο τύπους υλικών: κατεργασμένα δέρματα και φόδρες (όλα τα άλλα υλικά -κουμπιά, κλωστές, κτλ.- θεωρούνται αμελητέα). Για τον μήνα που έρχεται, η ΔΕΡΜΣ έχει στη διάθεσή της 297 μέτρα φόδρας και 600 μέτρα δέρματος. Κάθε γυναικείο παλτό χρειάζεται για να κατασκευαστεί 5 μέτρα δέρμα, 3 μέτρα φόδρα και 6 ώρες εργασίας, ενώ για το αντρικό απαιτούνται 4 μέτρα δέρμα, 1 μέτρο φόδρα και 8 ώρες εργασίας. Αν το καθαρό κέρδος της επιχείρησης από κάθε παλτό είναι 25,000 χ.μ. ενώ από κάθε σακάκι 20,000 χ.μ. υποδείξτε ένα μαθηματικό μοντέλο για τον εντοπισμό του σχεδίου παραγωγής που θα το μεγιστοποιήσει. 14/20

15 Μεταβλητές απόφασης είναι τα τεμάχια των δύο προϊόντων (Α = γυναικείο παλτό, Β = αντρικό σακάκι) που θα παραχθούν μέσα στο μήνα. Ορίζουμε λοιπόν να είναι: x 1 τα τεμάχια τύπου Α που παράγονται x 2 τα τεμάχια τύπου Β που παράγονται Στόχος μας είναι η μεγιστοποίηση του συνολικού καθαρού κέρδους: z = 25x x 2 Οι περιορισμοί είναι τρεις. Ο πρώτος αφορά την πρώτη ύλη δέρματα, ο δεύτερος την πρώτη ύλη φόδρες και ο τρίτος τις ώρες εργασίας: 3x 1 + x (φόδρες) 5x 1 + 4x (δέρμα) 6x 1 + 8x (εργασία) Φυσικά, έχουμε και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των μεταβλητών: x 1, x 2 0 Είναι π.γ.π. 15/20

16 16/20

17 Κορυφή (x 1, x 2 ) z Α (0,0) 0 Β (99,0) 2475 Γ (84,45) 3000 Άριστη Δ (60,75) 3000 Άριστη Ε (0,120) 2400 άπειρες άριστες λύσεις 17/20

18 Βασικές παραδοχές/ιδιότητες του Γραμμικού Προγραμματισμού ΝΙΚΟΣ ΤΣΑΝΤΑΣ Ο Γραμμικός Προγραμματισμός ασχολείται με το πρόβλημα της κατανομής των πεπερασμένων πόρων ενός συστήματος (πρώτες ύλες, εργαζόμενοι, μηχανές, κτλ.) σε διαφορετικές, ανταγωνιζόμενες μεταξύ τους, δραστηριότητες (προϊόντα, υπηρεσίες, κτλ.) κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Σε κάθε π.γ.π. θα πρέπει κανείς να μπορεί να ορίσει: ένα σύνολο δραστηριοτήτων (n το πλήθος). Σε κάθε μία από αυτές αντιστοιχούμε μια μεταβλητή x j (j = 1, 2,, n) η τιμή της οποίας προσδιορίζεται από τη λύση του προβλήματος, ένα σύνολο πόρων ή μέσων (m το πλήθος) που διατίθενται σε περιορισμένες ποσότητες, ένα σύνολο τεχνολογικών περιορισμών οι οποίοι εκφράζουν τους νόμους λειτουργίας των δραστηριοτήτων, ένα σύνολο θεσμολογικών περιορισμών οι οποίοι εκφράζουν διοικητικής και οργανωτικής φύσεως ζητήματα, ένα μέτρο z της αποδοτικότητας του συστήματος. 18/20

19 Συμβολίζουμε με α ij την ποσότητα του πόρου i που καταναλώνεται για την παραγωγή μιας μονάδας της δραστηριότητας j, b i τη διαθέσιμη ποσότητα του πόρου i, c j τη μεταβολή που θα προκύψει στο μέτρο αποδοτικότητας z του συστήματος από τη μεταβολή κατά μία μονάδα της τιμής της μεταβλητής x j. Τότε n j= 1 α ij x j είναι η συνολική ποσότητα του πόρου i που θα χρησιμοποιηθεί, n j = 1 c j x j είναι το μέτρο αποδοτικότητας του συστήματος. Γενική μορφή π.γ.π. maximize/minimize z = (c 1 x 1 + c 2 x c n x n ) κάτω από τους περιορισμούς: α 11 x 1 + α 12 x α 1n x n,=, b 1 α 21 x 1 + α 22 x α 2n x n,=, b 2 α m1 x 1 + α m2 x α mn x n,=, b m 19/20

20 Η θεμελιώδης απαίτηση της γραμμικότητας εξασφαλίζεται στο πρότυπο του Γραμμικού Προγραμματισμού από δύο βασικές υποθέσεις που κάνουμε: υπόθεση αναλογικότητας υπόθεση προσθετικότητας Επιπλέον, για τη χρήση του γραμμικού προτύπου σαν μοντέλου ενός προβλήματος, γίνονται και οι εξής υποθέσεις: υπόθεση διαιρετότητας υπόθεση προσδιοριστικότητας 20/20