Ι.Ν. ουδούµης 1. Λέξεις κλειδιά: Τριβή εδάφους-θεµελίωσης, Soil-structure frictional contact.

Transcript

1 Επίδραση της τριβής εδάφους-θεµελίωσης στην προσο- µοίωση και διαστασιολόγηση θεµελιοδοκών οπλισµένου σκυροδέµατος. Effects of friction at the soil-structure interface on the analytical modelling and reinforcing of foundation beams Ι.Ν. ουδούµης 1 Λέξεις κλειδιά: Τριβή εδάφους-θεµελίωσης, Soil-structure frictional contact. ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Οι εφαπτοµενικές τάσεις που λόγω τριβής αναπτύσσονται στην διεπιφάνεια θεµελίωσης-εδάφους, µπορούν να επηρεάσουν αξιοσηµείωτα την ένταση των θεµελιοδοκών. Για το θέµα αυτό, οι µέθοδοι ανάλυσης που κυρίως χρησιµοποιούνται, προτείνουν 2 απλοποιηµένα µοντέλα: α) της λείας θεµελίωσης (λείας ε- παφής) και β) της τραχείας θεµελίωσης. (τραχείας επαφής). Η παρούσα εργασία ε- πικεντρώνεται στην αξιολόγηση αυτών των απλοποιηµένων µοντέλων και στην σύγκριση των αποτελεσµάτων τους µε τα αποτελέσµατα του ακριβέστερου µοντέλου που λαµβάνει συνεπώς υπ όψη τις συνθήκες επαφής-τριβής στην διεπιφάνεια θε- µελίωσης-εδάφους. Για τον σκοπό αυτό διαµορφώνονται µοντέλα θεµελιοδοκούεδάφους, µε χρήση πεπερασµένων στοιχείων. Ακολουθεί συγκριτική παραµετρική µελέτη της απόκρισής τους και του απαιτούµενου οπλισµού, για διάφορες τιµές της δυσκαµψίας του εδάφους, του συντελεστή τριβής και της κατανοµής του επιβαλλό- µενου φορτίου. Τα αποτελέσµατα δείχνουν ότι για τις συνήθεις τιµές του συντελεστή τριβής το µοντέλο της τραχείας θεµελίωσης δίδει ικανοποιητικά αποτελέσµατα, ιδιαίτερα στην περίπτωση των υψίκορµων δοκών. ABSTRACT: The tangential contact stresses developed due to friction at the soilstructure interface, can considerably affect the stress state of the foundation beams. On this subject, the currently used analysis methods mainly suggest application of 2 simplified analytical models: a) "smooth" foundation and b) "rough" foundation. The paper treats with the evaluation of these simplified models, by comparing their results with those of the more accurate model that consistently takes in consideration the frictional contact conditions at the soil-structure interface. To this purpose, finite element models are formed for describing the interaction between soil and foundation beams. Through comparative parametric studies, the effects of soil stiffness, friction coefficient and load pattern on the stress state and reinforcing demands of the foundation beams are investigated. The results show that, for usual values of the friction coefficient, the "rough" foundation models provide more realistic results, especially in the case of deep beams. 1 Καθηγητής, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης, doud@civil.auth.gr 1

2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα µεγέθη έντασης που αναπτύσσονται στα δοµικά στοιχεία των επιφανειακών θεµελιώσεων εξαρτώνται καθοριστικά και από τις µηχανικές ιδιότητες τόσο του στηριζόµενου φορέα, όσο και του στηρίζοντος εδάφους. Μεταξύ των βασικών παραµέτρων που επηρεάζουν τα αποτελέσµατα της επίλυσης του σύνθετου αυτού προβλήµατος αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής, συγκαταλέγονται και οι συνοριακές συνθήκες που επικρατούν στην διεπιφάνεια επαφής εδάφους φορέα θεµελίωσης. Με άλλα λόγια ο φορέας της θεµελίωσης δεν συνδέεται ολόσωµα µε το στηρίζον έδαφος, µε αποτέλεσµα στην διεπιφάνεια επαφής τους να µπορούν να αναπτυχθούν µόνο θλιπτικές ορθές τάσεις επαφής και περιορισµένου µεγέθους ε- φαπτοµενικές (διατµητικές) τάσεις, ενώ δεν αποκλείεται η τοπική αποκόλληση και η σχετική ολίσθηση του φορέα της θεµελίωσης. Η οµοιότητα των συνοριακών αυτών συνθηκών, µε τις κλασσικές µη-γραµµικές συνθήκες µονόπλευρης επαφής µε τριβή είναι προφανής και έχει σαν άµεσο αποτέλεσµα η απόκριση αυτών των κατασκευών σε οποιαδήποτε στατική ή δυναµική φόρτιση να είναι εν γένει µη γραµµική, ακόµη και στην περίπτωση γραµµικά ελαστικών καταστατικών νόµων για τα υλικά της κατασκευής και του εδάφους (Doudoumis, 23). άξονας θεµελιοδοκού q H N Q M q V Σχήµα 1: α) Τυπικό τµήµα θεµελιοδοκού: οι εφαπτοµενικές δυνάµεις επαφής q H παράγουν αξονικές δυνάµεις N και συνεισφέρουν στις καµπτικές ροπές M, β) πλέον συνήθης παραδοχή: τα κατακόρυφα φορτία προκαλούν µόνο κατακόρυφες αντιδράσεις Αναφορικά µε τις εφαπτοµενικές τάσεις που λόγω τριβής αναπτύσσονται στην διεπιφάνεια επαφής θεµελίωσης-εδάφους, επισηµαίνεται ότι µπορούν να επηρεάσουν αξιοσηµείωτα την εντατική κατάσταση των στοιχείων θεµελίωσης σε σχέση µε τη εντατική κατάσταση που προκύπτει από την θεώρηση της ύπαρξής µόνο ορθών τάσεων επαφής. Στην περίπτωση των θεµελιοδοκών, ενώ η θεώρηση µόνο ορθών τάσεων επαφής q V προκαλεί µόνο τέµνουσες δυνάµεις Q και ροπές κάµψης M, η θεώρηση και εφαπτοµενικών τάσεων επαφής q H προκαλεί ορθές δυνά- µεις N και τροποποιεί τις ροπές κάµψης M και τις τέµνουσες δυνάµεις Q (Σχήµα 1α). Λαµβάνοντας υπ όψη ότι η διαστασιολόγηση και όπλιση των δοκών οπλισµένου σκυροδέµατος εξαρτάται καθοριστικά και από την ύπαρξη ορθών δυνά- 2

3 µεων, είναι φανερό ότι η συνεπής θεώρηση των εφαπτοµενικών τάσεων τριβής στην διεπιφάνεια επαφής θεµελίωσης-εδάφους επηρεάζει την διαστασιολόγηση και όπλιση των θεµελιοδοκών. Παρ όλα αυτά, οι παραδοχές προσοµοίωσης και οι µέθοδοι ανάλυσης, που ως σήµερα χρησιµοποιούνται για την διαστασιολόγηση των δοµικών στοιχείων της θεµελίωσης, παραβλέπουν αυτό το γεγονός. Η πλέον συνήθης παραδοχή (Kavvadas, 25), (Αναγνωστόπουλος, 1996), (Macleod, 199), θεωρεί ότι η κατακόρυφη φόρτιση των στοιχείων µίας οριζόντιας θεµελίωσης παράγει µόνο ορθές (κατακόρυφες) τάσεις επαφής (Σχήµα 1β). Μία καλύτερη προσέγγιση του θέ- µατος, που χρησιµοποιείται κυρίως σε εφαρµογές των πεπερασµένων στοιχείων σε θέµατα γεωτεχνικής µηχανικής (Potts, 21), εξετάζει την περιβάλλουσα των εντατικών µεγεθών που προκύπτουν από τα εξής 2 απλοποιηµένα µοντέλα: α) το µοντέλο της λείας θεµελίωσης (smooth foundation, επαφή χωρίς τριβή) το οποίο απαγορεύει την ανάπτυξη εφαπτοµενικών τάσεων επαφής αλλά επιτρέπει την α- νεµπόδιστη σχετική ολίσθηση θεµελίωσης-εδάφους, και β) το µοντέλο της τραχείας θεµελίωσης (rough foundation, πλήρης σύνδεση θεµελίωσης-εδάφους) το οποίο επιτρέπει την ανάπτυξη απεριόριστων εφαπτοµενικών τάσεων επαφής ενώ συγχρόνως απαγορεύει την σχετική ολίσθηση θεµελίωσης-εδάφους. Είναι προφανές ότι µία τέτοια προσέγγιση δέχεται ως δεδοµένο το γεγονός ότι η περιβάλλουσα των αποτελεσµάτων των προαναφερθέντων 2 απλοποιηµένων µοντέλων παρέχει δυσµενέστερα αποτελέσµατα (και άρα είναι ασφαλέστερο να χρησιµοποιηθεί κατά την διαστασιολόγηση των δοµικών στοιχείων) από τα αποτελέσµατα της συνεπούς θεώρησης των συνθηκών επαφής-τριβής. Η παρούσα εργασία επικεντρώνεται στην συγκριτική αξιολόγηση των προαναφερθέντων απλοποιηµένων µοντέλων (Doudoumis, 28) για την ανάλυση και διαστασιολόγηση θεµελιοδοκών οπλισµένου σκυροδέµατος υπό κατακόρυφη στατική φόρτιση, καθώς επίσης και στην σύγκριση των αποτελεσµάτων τους µε τα αποτελέσµατα του ακριβέστερου µοντέλου που λαµβάνει υπ όψη µε συνέπεια τις συνθήκες επαφής-τριβής στην διεπιφάνεια θεµελίωσης-εδάφους. Γενική Περιγραφή ΜΕΘΟ ΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η διαδικασία που περιγράφεται στην συνέχεια µπορεί να εφαρµοσθεί σε δοµικά συστήµατα αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής. Οι κατασκευές διακριτοποιούνται κατάλληλα µε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων, χρησιµοποιώντας ραβδόµορφα στοιχεία (frame elements) για τις δοκούς και τα υποστυλώµατα και επιφανειακά στοιχεία κελύφους (shell) ή επίπεδης έντασης (plane stress) για τα τοιχώµατα και τις υψίκορµες δοκούς. Το εδαφικό υπόβαθρο διακριτοποιείται χρησιµοποιώντας χωρικά στερεά στοιχεία (solid elements) στην περίπτωση τρισδιάστατης προσοµοίωσης και στοιχεία επίπεδης παραµόρφωσης (plane strain) στην περίπτωση δισδιάστατης προσοµοίωσης. Στην παρούσα εργασία εξετάζονται απλά δοµικά συστήµατα θεµελιοδοκού-εδάφους, µε την παραδοχή γραµµικά 3

4 (γ) ελαστικής συµπεριφοράς των υλικών, όµως η µεθοδολογία που χρησιµοποιείται µπορεί εύκολα να εφαρµοσθεί και στην περίπτωση περισσότερο σύνθετων κατασκευών καθώς και υλικών µε µη γραµµικό καταστατικό νόµο. Για κάθε δοµικό σύστηµα που εξετάζεται διαµορφώνονται και αναλύονται 3 εναλλακτικά µοντέλα: µοντέλο µε συνθήκες επαφής-τριβής στο σύνορο εδάφους-κατασκευής µοντέλο µε συνθήκες "λείας" επαφής (χωρίς τριβή) στο σύνορο εδάφουςκατασκευής µοντέλο µε συνθήκες "τραχείας" επαφής (πλήρους σύνδεσης, χωρίς περιορισµό των εφαπτοµενικών τάσεων) στο σύνορο εδάφους-κατασκευής. Κατόπιν διενεργείται συγκριτική παραµετρική µελέτη της απόκρισης των δια- µορφωθέντων µοντέλων στην επιβαλλόµενη φόρτιση, για διάφορες τιµές του µέτρου ελαστικότητας E s του εδάφους και του συντελεστή τριβής µ στο σύνορο ε- δάφους-κατασκευής. ιευκρινίζεται ότι η απόκριση των µοντέλων και (γ) σε οποιαδήποτε στατική ή δυναµική φόρτιση είναι γραµµική, ενώ η απόκριση του µοντέλου είναι µη γραµµική εν γένει. Προσοµοίωση των συνθηκών επαφής-τριβής Στην συνέχεια παρουσιάζονται ορισµένες λεπτοµέρειες που αφορούν το µοντέλο και αφορούν τον τρόπο προσοµοίωσης των συνοριακών συνθηκών επαφήςτριβής στο σύνορο εδάφους-κατασκευής. εχόµαστε ότι ισχύουν οι συνθήκες µονόπλευρης επαφής µε τριβή τύπου Coulomb, όπως φαίνεται στο Σχήµα 2α, όπου µε S N συµβολίζεται η ορθή δύναµη (τάση) επαφής (θετικός ο ελκυσµός), µε u N συµβολίζεται η σχετική µετακίνηση καθέτως προς το σύνορο (θετική η προσέγγιση), S T είναι η εφαπτοµενική δύναµη (τάση) επαφής και u T είναι η σχετική εφαπτοµενική µετακίνηση (ολίσθηση). Στα διακριτά σηµεία επαφής, οι συνθήκες ε- παφής του Σχήµατος 2α προσεγγίζονται χρησιµοποιώντας πεπερασµένα ραβδό- µορφα στοιχεία επαφής-τριβής (frictional gap elements), ο καταστατικός νόµος των οποίων φαίνεται στο Σχήµα 2β, όπου µε f N συµβολίζεται η ορθή δύναµη του στοιχείου επαφής (θετικός ο ελκυσµός), µε ε N συµβολίζεται η σχετική διαµήκης µετακίνηση των άκρων του (θετική η επιµήµυνση), f T είναι η διατµητική δύναµη του στοιχείου και ε T είναι η σχετική εφαπτοµενική µετακίνηση των άκρων του. Τα πεπερασµένα στοιχεία επαφής-τριβής συµπεριφέρονται ως εξής: µπορούν να παραλάβουν απεριόριστα µεγάλες θλιπτικές αξονικές δυνάµεις f N, Σχήµα 2: α) Συνοριακές συνθήκες µονόπλευρης επαφής µε τριβή (Coulomb), β) καταστατικός νόµος ισοδύναµου στοιχείου επαφής τριβής. 4

5 δεν µπορούν να παραλάβουν εφελκυστικές αξονικές δυνάµεις και στην περίπτωση αυτή συµπεριφέρονται ως απολύτως χαλαρά (f N =, f T =), όταν αναπτύσσονται θλιπτικές αξονικές δυνάµεις (f N <), µπορούν επίσης να αναπτυχθούν και περιορισµένες διατµητικές δυνάµεις f T, οι οποίες πληρούν τη σχέση f T µ f N, όπου µ είναι ο συντελεστής τριβής, όταν οι διατµητικές δυνάµεις οποίες πληρούν τη σχέση f T < µ f N, τα στοιχεία επαφής-τριβής ενεργοποιούνται µε την ελαστική τους δυστµησία K Te, όταν οι διατµητικές δυνάµεις f T φθάσουν την οριακή τιµή f T = µ f N, τα στοιχεία επαφής-τριβής αποκτούν στοιχειώδη (µηδενική) δυστµησία η οποία επιτρέπει σχεδόν ανεµπόδιστη σχετική ολίσθηση κατά την αντίθετη προς την S T κατεύθυνση. Οι συνοριακές συνθήκες επαφής-τριβής χρησιµοποιούνται σε αρκετά προγράµµατα µη γραµµικής στατικής και δυναµικής ανάλυσης µε πεπερασµένα στοιχεία, είτε µε την µορφή που φαίνεται στο Σχήµα 2α (ADINA, 26), είτε µε τη µορφή των στοιχείων επαφής-τριβής (Σχήµα 2β) (SAP2, 23), (ETABS, 26), κλπ. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΘΕΜΕΛΙΟ ΟΚΟΥΣ ΥΠΟ ΦΟΡΤΙΑ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Η µεθοδολογία προσοµοίωσης και ανάλυσης που παρουσιάσθηκε στο προηγού- µενο κεφάλαιο, εφαρµόσθηκε για την αξιολόγηση της απόκρισης και των απαιτήσεων όπλισης µιάς σειράς θεµελιοδοκών 2 ανοιγµάτων από οπλισµένο σκυρόδέ- µα, υπό αναλογικά αυξανόµενα φορτία βαρύτητας (Σχήµα 3α). Στην παραµετρική µελέτη που διενεργήθηκε, το στατικό ύψος h της δοκού έλαβε διάφορες τιµές, µε ταυτόχρονη όµως µεταβολή του πάχους της δοκού ώστε η ροπή αδράνειας J της δοκού να παραµένει σταθερή. Μέσω της µεταβολής του φορτίου P, ο λόγος του µεσαίου φορτίου προς το ακραίο φορτίο έλαβε ακέραιες τιµές από 1 έως 4. ιάφορες τιµές έλαβαν επίσης οι παράµετροι που περιγράφουν το µέτρο ελαστικότητας E s του εδάφους, και τον συντελεστή τριβής µ εδάφους-θεµελιοδοκού. 1 (kn) 1+P (kn) 1 (kn) 5, 5, y h θεµελιοδοκός x ελαστικό έδαφος Σχήµα 3: α) Θεµελιοδοκός επί ελαστικού εδάφους, β) ιακριτοποίηση µε πεπερ. στοιχεία 5

6 Στο αναλυτικό µοντέλο του δισδιάστατου χώρου που διαµορφώθηκε, χρησιµοποιήθηκαν στοιχεία επίπεδης έντασης για την δοκό και στοιχεία επίπεδης παρα- µόρφωσης για το έδαφος (Σχήµα 3β), ενώ εξετάσθηκαν επίσης και οι παραλλαγές κάθε µοντέλου που αντιστοιχούν στην "λεία" επαφή και την "τραχεία" επαφή. Η επίδραση των παραδοχών της "λείας" και "τραχείας" επαφής στις ροπές κάµψης και τις αξονικές δυνάµεις της θεµελιοδοκού φαίνεται στο Σχήµα 4, για την περίπτωση ενός "µαλακού" εδάφους (E s =5. kn/m 2 ) και για λόγο µεσαίου/ακραίο φορτίο ίσο µε 2 (δηλ. για Ρ=1 kn). Παρατηρούµε ότι η παράµετρος του διαφορετικού ύψους της διατοµής της θεµελιοδοκού επηρεάζει σηµαντικά µόνο τις τιµές των ροπών κάµψης του µοντέλου της "τραχείας" επαφής, ενώ ελάχιστα επηρεάζει τις τιµές των ροπών κάµψης του µοντέλου της "λείας" επαφής και τις αξονικές δυνάµεις αµφοτέρων των µοντέλων. M(kNm) h=,8 E=5. kn/m 2 "λεία" επαφή "τραχεία" επαφή N(kN) h=,8 E=5. kn/m 2 "λεία" επαφή "τραχεία" επαφή M(kNm) h=2, E=5. kn/m 2 "λεία" επαφή "τραχεία" επαφή N(kN) h=2, E=5. kn/m 2 "λεία" επαφή "τραχεία" επαφή Σχήµα 4: ιαγράµµατα ροπών κάµψης (αριστερά) και αξονικών δυνάµεων (δεξιά) για το αριστερό ήµισυ της δοκού: α) βραχύκορµη δοκός, β) υψίκορµη δοκός. 6

7 Έτσι, στην περίπτωση υψίκορµης διατοµής (h=2, m), οι ροπές κάµψης που α- ντιστοιχούν σε εφελκυσµό της άνω παρειάς προκύπτουν µέχρι και 1% µεγαλύτερες στο µοντέλο της "τραχείας" επαφής σε σχέση µε το µοντέλο της "λείας" ε- παφής (Σχήµα 4β), ενώ οι ροπές κάµψης που αντιστοιχούν σε εφελκυσµό της κάτω παρειάς προκύπτουν µέχρι και 31% µικρότερες στο µοντέλο της "τραχείας" ε- παφής σε σχέση µε το µοντέλο της "λείας "επαφής. Παρατηρούµε επίσης ότι στην περίπτωση βραχύκορµης διατοµής (h=,8 m), οι διαφορές των τιµών των ροπών κάµψης που δίδουν τα µοντέλα της "τραχείας" και της "λείας" επαφής µειώνεται σηµαντικά. Αναφορικά µε τις αξονικές δυνάµεις των µοντέλων της "τραχείας" ε- παφής, αυτές προκύπτουν θλιπτικές καθ όλο το µήκος της δοκού και η µέγιστη τιµή τους αντιστοιχεί στο 9% περίπου του συνολικού κατακόρυφου φορτίου. Fe(cm 2 ) βραχύκορµη δοκός (h=,8 m) "τραχεία" επαφή (µ ) επαφή µε τριβή (µ=,15) επαφή µε τριβή (µ=,1) "λεία" επαφή (µ=) Fe(cm 2 ) υψίκορµη δοκός (h=2, m) "τραχεία" επαφή (µ ) επαφή µε τριβή (µ=,15) επαφή µε τριβή (µ=,1) "λεία" επαφή (µ=) Σχήµα 5: Απαιτούµενος διαµήκης οπλισµός στην άνω παρειά (+cm 2 ) και στην κάτω παρειά ( cm 2 ) της δοκού, για διάφορες συνθήκες στήριξης και σκληρό έδαφος (E s =1.. kn/m 2 ): Βραχύκορµη δοκός, Υψίκορµη δοκός. 7

8 Ο απαιτούµενος διαµήκης οπλισµός της θεµελιοδοκού εξαρτάται τόσο από τις α- ναπτυσσόµενες ροπές κάµψης, όσο και από τις αξονικές δυνάµεις (και το πρόση- µό τους), οι οποίες µε τη σειρά τους εξαρτώνται από τις εφαπτοµενικές τάσεις ε- παφής στην διεπιφάνεια θεµελίωσης-εδάφους. Στο Σχήµα 5 φαίνεται ο απαιτού- µενος διαµήκης οπλισµός στο αριστερό ήµισυ µιας υψίκορµης δοκού (h=2, m) και µιας βραχύκορµης δοκού (h=,8 m), για λόγο µεσαίου/ακραίο φορτίο ίσο µε 2 (δηλ. P=1 kn) και για την περίπτωση σκληρού εδάφους (E s =1.. kn/m 2 ), λαµβάνοντας υπ όψη διάφορες τιµές του συντελεστή τριβής θεµελίωσης-εδάφους. Οµοίως, στο Σχήµα 6 φαίνεται ο απαιτούµενος διαµήκης οπλισµός για την περίπτωση µαλακού εδάφους (E s =5. kn/m 2 ). Από τα Σχήµατα 5 και 6 προκύπτει ότι η ανάπτυξη εφαπτοµενικών τάσεων τριβής ελάχιστα επηρέασε τον απαιτούµενο διαµήκη οπλισµό στην άνω παρειά της δοκού, ενώ αντιθέτως µείωσε καθοριστικά τον απαιτούµενο διαµήκη οπλισµό στην κάτω παρειά. Fe(cm 2 ) βραχύκορµη δοκός (h=,8 m) "τραχεία" επαφή (µ ) επαφή µε τριβή (µ=,15) επαφή µε τριβή (µ=,1) "λεία" επαφή (µ=) Fe(cm 2 ) υψίκορµη δοκός (h=2, m) "τραχεία" επαφή (µ ) επαφή µε τριβή (µ=,15) επαφή µε τριβή (µ=,1) "λεία" επαφή (µ=) Σχήµα 6: Απαιτούµενος διαµήκης οπλισµός στην άνω παρειά (+cm 2 ) και στην κάτω παρειά ( cm 2 ) της δοκού, για διάφορες συνθήκες στήριξης και µαλακό έδαφος (E s =5. kn/m 2 ): Βραχύκορµη δοκός, Υψίκορµη δοκός

9 Έτσι, στην περίπτωση "τραχείας" επαφής σε σκληρό έδαφος (E s =1.. kn/m 2 ), ο απαιτούµένος διαµήκης οπλισµός της κάτω παρειάς προέκυψε κατά 55% µικρότερος για την βραχύκορµη διατοµή και κατά 52% µικρότερος για την υψίκορµη διατοµή, ενώ στην περίπτωση "τραχείας" επαφής σε µαλακό έδαφος (E s =5. kn/m 2 ), ο απαιτούµένος διαµήκης οπλισµός της κάτω παρειάς προέκυψε κατά 27% µικρότερος για την βραχύκορµη διατοµή και κατά 53% µικρότερος για την υψίκορ- µη διατοµή. Από τα Σχήµατα 5 και 6 φαίνεται καθαρά ότι, για την εξετασθείσα περίπτωση φόρτισης της θεµελιοδοκού, οι καµπύλες του απαιτούµενου διαµήκους ο- πλισµού των µοντέλων της "λείας" και "τραχείας" επαφής περιβάλλουν τις καµπύλες που προέκυψαν για τις λοιπές εξετασθείσες τιµές του συντελεστή τριβής µ. Επίσης από τα σχήµατα αυτά προκύπτει ότι για την τιµή µ=,15 του συντελεστή τριβής (η οποία κατά τεκµήριο θεωρείται αρκετά µικρή για τέτοιες περιπτώσεις επαφής), η µείωση του οπλισµού της κάτω παρειάς λίγο διαφέρει από τη µείωση που προέκυψε για την περίπτωση της "τραχείας" επαφής. Εποµένως το προσεγγιστικό µοντέλο της "τραχείας" επαφής αποδίδει πολύ ικανοποιητικά τον απαιτούµενο διαµήκη οπλισµό, για όλες τις τιµές των παραµέτρων που εξετάσθηκαν, µε την προϋπόθεση ότι ο πραγµατικός συντελεστής τριβής θεµελίωσης-εδάφους είναι µεγαλύτερος από την τιµή µ=,15. Fe(cm 2 ) 3 βραχύκορµη δοκός (h=,8 m) "τραχεία" επαφή (µ ) επαφή µε τριβή (µ=,15) "λεία" επαφή (µ=) Σχήµα 7: Απαιτούµενος διαµήκης οπλισµός στην άνω παρειά (+cm 2 ) βραχύκορµης δοκού µε µεσαίο φορτίο ίσο µε τα ακραία (Ρ=), για διάφορες συνθήκες στήριξης και µαλακό έδαφος (E s =5. kn/m 2 ). Στο Σχήµα 7 φαίνεται ο απαιτούµενος διαµήκης οπλισµός για την περίπτωση που το µεσαίο φορτίο της θεµελιοδοκού είναι ίσο µε τα ακραία φορτία (δηλ. για P=), το έδαφος είναι µαλακό και η δοκός βραχύκορµη (h=,8 m). Φαίνεται καθαρά ότι οι καµπύλες του απαιτούµενου οπλισµού των απλοποιηµένων µοντέλων της "λείας" και "τραχείας" επαφής δεν περιβάλλουν κατ ανάγκη τον απαιτούµενο ο- πλισµό που προκύπτει για συντελεστή τριβής µ=,15 και το συµπέρασµα αυτό προφανώς ισχύει και για άλλες τιµές του συντελεστή τριβής. 9

10 VT / VN Μέτρο Ελαστικότητας εδάφους E = 1 GN/m 2 E = 1 GN/m 2 E = 5 GN/m 2 E = 1 GN/m position x (m) VT / VN Μέτρο Ελαστικότητας εδάφους E = 1 GN/m 2 E = 1 GN/m 2 E = 5 GN/m 2 E = 1 GN/m position x (m) Σχήµα 8: Κανονικοποιηµένες εφαπτοµενικές δυνάµεις επαφής V T /V N στο σύνορο δοκού-εδάφους για διάφορες τιµές εδαφικής δυσκαµψίας και παραδοχή "τραχείας επαφής". Βραχύκορµη δοκός (h=,8 m), Υψίκορµη δοκός (h=2, m). Στο Σχήµα 8 φαίνεται η επίδραση της ενδοσιµότητας του εδάφους στις εφαπτοµενικές τάσεις επαφής που µπορούν να αναπτυχθούν στην διεπιφάνεια θεµελίωσηςεδάφους, για την περίπτωση "τραχείας" επαφής βραχύκορµης και υψίκορµης θε- µελιοδοκού µε µεσαίο φορτίο διπλάσιο από τα ακραία (δηλ. P=1 kn). Ειδικότερα απεικονίζονται οι κανονικοποιηµένες εφαπτοµενικές δυνάµεις επαφής, δηλαδή ο λόγος V T /V N των εφαπτοµενικών δυνάµεων επαφής V T προς τις ορθές δυνάµεις επαφής V N, σε κάθε σηµείο της θεµελιοδοκού, ώστε οι καµπύλες που προκύπτουν (για διάφορες τιµές του µέτρου ελαστικότητας E s του εδάφους) να είναι άµεσα συγκρίσιµες µε τις τιµές του συντελεστή τριβής µ θεµελίωσης-εδάφους. 1

11 Παρατηρούµε ότι η µορφή της κατανοµής των κανονικοποιηµένων εφαπτοµενικών δυνάµεων V T /V N εξαρτάται καθοριστικά από την ενδοσιµότητα του εδάφους. Στην περίπτωση µαλακού εδάφους οι µεγάλες τιµές του λόγου V T /V N είναι δυσµενέστερες από ότι στην περίπτωση σκληρού εδάφους και εντοπίζονται στα άκρα της δοκού, ενώ στο υπόλοιπο τµήµα της δοκού οι τιµές του λόγου V T /V N είναι εν γένει αρκετά µικρότερες. Αντιθέτως, όσο το έδαφος γίνεται σκληρότερο, µεγάλες τιµές του λόγου V T /V N αρχίζουν να εµφανίζονται και στο εσωτερικό της δοκού. Κάθε καµπύλη γραµµή του Σχήµατος 8 δηλώνει επίσης ότι, εάν οι τιµές µ(x) του εν γένει µεταβλητού συντελεστή τριβής κατά µήκος του αρµού επαφής είναι µεγαλύτερες από τις αντίστοιχες τιµές V T /V N της εν λόγω καµπύλης, τότε δεν µπορεί να πραγµατοποιηθεί εφαπτοµενική σχετική ολίσθηση σε κανένα σηµείο της θεµελιοδοκού. Κατά συνέπεια δεν µπορεί να πραγµατοποιηθεί εφαπτοµενική σχετική ολίσθηση και στην περίπτωση που ο συντελεστής τριβής µ είναι σταθερός κατά µήκος του αρµού επαφής και µεγαλύτερος από την απόλυτη τιµή µ της ακραίας τιµής του λόγου V T /V N. Για παράδειγµα, στην περίπτωση υψίκορµης δοκού (h=2, m) επί µαλακού εδάφους (E s =1. kn/m 2 ) η τιµή µ ισούται µε,52, ενώ στην περίπτωση σκληρού εδάφους (E s =1.. kn/m 2 ) η τιµή µ ισούται µε,32 (Σχήµα 8β). Αξιοποιώντας κατ αυτό τον τρόπο τις καµπύλες V T /V N που προκύπτουν από το µοντέλο της "τραχείας" επαφής, είναι δυνατόν να διαπιστώσουµε εάν θα συµβεί σχετική ολίσθηση χωρίς να καταφύγουµε στην διαµόρφωση και επίλυση του µη γραµµικού µοντέλου της µονόπλευρης επαφής µε τριβή. Εάν λοιπόν βεβαιωθούµε ότι κάτι τέτοιο δεν θα συµβεί, τότε µπορούµε να δεχθούµε ότι τα αποτελέσµατα του µοντέλου της "τραχείας" επαφής παρέχουν την ακριβή λύση του εξεταζόµενου προβλήµατος, µε την προϋπόθεση πάντοτε ότι δεν έχει ξεπερασθεί η διατµητική αντοχή του εδάφους. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Από όλα όσα προαναφέρθηκαν προκύπτει το συµπέρασµα ότι για τις συνήθεις τι- µές των συντελεστών τριβής θεµελίωσης-εδάφους που απαντώνται στην καθηµερινή πράξη, το ευρύτατα χρησιµοποιούµενο σήµερα µοντέλο της λείας επαφής δίδει επαρκώς αξιόπιστα αποτελέσµατα αναφορικά µε τον απαιτούµενο οπλισµό, µόνο όταν το έδαφος είναι µαλακό και το στατικό ύψος της διατοµής της θεµελιοδοκού κατά το δυνατόν µικρό. Eπίσης πολλές φορές το µοντέλο αυτό υπερεκτιµά σηµαντικά τον απαιτούµενο διαµήκη οπλισµό. Το µοντέλο της τραχείας ε- παφής δίδει πιο αξιόπιστα αποτελέσµατα και σε περισσότερες περιπτώσεις της καθηµερινής πράξης από ότι το µοντέλο της λείας επαφής, ιδιαίτερα όταν αυξάνεται το στατικό ύψος της θεµελιοδοκού και εφ όσον ο συντελεστής τριβής θεµελίωσης-εδάφους δεν είναι µικρός (π.χ. µ>,2). Επίσης έγινε φανερό ότι υπάρχουν περιπτώσεις όπου ο απαιτούµενος οπλισµός που παρέχουν τα απλοποιηµένα µοντέλα της "λείας" και "τραχείας" επαφής δεν "περιβάλλει" κατ ανάγκη τον απαιτούµενο οπλισµό που προκύπτει από το συνεπές µοντέλο µονόπλευρης επαφήςτριβής για συνήθεις τιµές του συντελεστή τριβής µ. Τέλος παρουσιάσθηκε απλή 11

12 µεθοδολογία γραµµικής ανάλυσης, χρησιµοποιώντας τα αποτελέσµατα του µοντέλου της "τραχείας" επαφής, µέσω της οποίας µπορεί να διαπιστωθεί εάν θα συµβεί σχετική εφαπτοµενική ολίσθηση θεµελίωσης-εδάφους. Εφ όσον λοιπόν προκύψει ότι δεν θα συµβεί κάτι τέτοιο, τότε µπορούν να χρησιµοποιηθούν για την διαστασιολόγηση τα υπάρχοντα αποτελέσµατα του απλοποιηµένου µοντέλου της "τραχείας" επαφής, τα οποία παρέχουν συγχρόνως και την "ακριβή" λύση του προβλήµατος επαφής θεµελίωσης-εδάφους. ΑΝΑΦΟΡΕΣ ADINA (26), «Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis», Adina R&D, Inc., Watertown, USA. Αναγνωστόπουλος Χ., Γεωργιάδης Μ., Πιτιλάκης Κ. (1996), «Θεµελιώσεις - Αντιστηρίξεις», Έκδοση Α.Π.Θ., Θεσσαλονίκη. Doudoumis, I.N. (23), A mathematical programming incremental formulation for unilateral frictional contact problems of linear elasticity, Applicable Analysis, Vol. 82, Νο. 6, pp Doudoumis, I.N. (28), Effects of modelling considerations at the soilstructure interface of shallow foundations, in Proceedings of the 6th GRACM International Congress on Computational Mechanics, Thessaloniki, Greece. ETABS (26), «Extended 3D Analysis of Building Systems», Computers and Structures Inc., Berkeley, USA. Καββαδάς, Μ. (25), «Επιφανειακές και βαθειές θεµελιώσεις», Έκδοση Ε.Μ.Π. Αθήνα (available also in Macleod I., A. (199), «Analytical modelling of structural systems», Ellis Horwood, London Potts, D.M., Zdravkovic, L. (21), «Finite element analysis in geotechnical engineering application», Thomas Telford, London. SAP2 (23), «Integrated Finite Element Analysis and Design of Structures 23», Computers and Structures Inc., Berkeley, USA. 12