ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ.

Transcript

1 Τηλ Fax: Tel Fax: Νοεμβρίου 016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε τη τιμή της αριθμητικής παράστασης: ( ) ( 5) ( ) Α= Πρόβλημα Δίεται ισόπλευρο τρίγωο ΑΒΓ πλευράς α Στο σημείο Α φέρουμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΔ = α κάθετο προς τη πλευρά ΑΓ Η προέκταση της διαμέσου ΒΕ τέμει το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ στο σημείο Ζ (α) Να αποδείξετε ότι ΖΑ = ΖΓ (β) Να βρείτε πόσες μοίρες είαι η γωία ˆ ΑΔΒ Έα κατάστημα πωλούσε μία τηλεόραση πρι τις εκπτώσεις 540 ευρώ Τη περίοδο τω εκπτώσεω τη πωλούσε με έκπτωση α % Με το τέλος τω εκπτώσεω το κατάστημα αύξησε τη τιμή που πωλούσε τη τηλεόραση στις εκπτώσεις κατά β % Αυτό είχε ως αποτέλεσμα η τιμή πώλησης της τηλεόρασης α γίει ίση με τη τιμή που είχε πρι τις εκπτώσεις Να βρείτε τη τιμή του β συαρτήσει της τιμής του α Όλα τα ψηφία του θετικού ακέραιου αριθμού Α είαι ίσα είτε με 8 είτε με 9 και καθέα από αυτά τα ψηφία εμφαίζεται τουλάχιστο μία φορά στο αριθμό Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του Α, α αυτός διαιρείται με το 4 και με το 3

2 Τηλ Fax: Tel Fax: Νοεμβρίου 016 Α α τιμή της παράστασης: 1 3 = 1 : και Α= ( ) 3 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ β α αβ 10α + 1 = 10 : 100, α βρείτε τη αριθμητική α 3 β + α β β + α + Πρόβλημα Δίεται ευθύγραμμο τμήμα ΟΚ = α και δύο κύκλοι ακτίας α που έχου κέτρα στα σημεία Ο και Κ, οι οποίοι τέμοται στα σημεία Α και Β Το σημείο Γ αήκει στο τόξο ΚΒ και η ευθεία ΓΚ τέμει το κύκλο C κέτρου Κ και ακτίας α στο σημείο Δ Η ευθεία ΟΚ τέμει το κύκλο C κέτρου Κ και ακτίας α στο σημείο Ε Α είαι ΚΟΓ ˆ = 45 o, α βρείτε : (α) πόσες μοίρες είαι η γωία ΚΔΕ ˆ, και (β) το εμβαδό του τριγώου ΟΓΕ συαρτήσει του α Ο Γιώργος και οι φίλοι του έχου 450 καραμέλες τις οποίες μοίρασα μεταξύ τους σε ίσα μερίδια και ο καθέας πήρε ακέραιο αριθμό καραμέλες Όμως τρεις από τους φίλους του Γιώργου του επέστρεψα το 0% του μεριδίου τους Έτσι ο Γιώργος πήρε συολικά περισσότερες από 10 καραμέλες Να βρείτε πόσοι ήτα συολικά ο Γιώργος και οι φίλοι του και πόσες καραμέλες πήρε ο Γιώργος Δίοται οι αριθμοί 3 Α= 3ab 5 = a b και 3 Β = 53 cd= c d Α Β (α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ψηφία abcd,,,, ισχύει ότι: < Α Β (β) Α αάμεσα στα κλάσματα, υπάρχου ακριβώς δύο ακέραιοι, α βρεθού οι δυατές τιμές τω ψηφίω abcd,,,

3 Τηλ Fax: Tel Fax: Νοεμβρίου 016 Α ΛΥΚΕΙΟΥ Να βρείτε όλες τι ακέραιες τιμές του x για τις οποίες συαληθεύου οι αισώσεις: 3 x + x+ 1 x 1 + 5x x + x+ 19 (1) ( )( ) x 1 3 4x 1 > () Πρόβλημα 1 Να βρεθεί θετικός ακέραιος Α= αα 1 αα 1 0 = α 10 + α α α0,, ο οποίος έχει άθροισμα ψηφίω ίσο με 8, έχει γιόμεο ψηφίω ίσο με 8 και διαιρείται με το 8 Δίεται ισοσκελές τρίγωο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και Α= ˆ 30 o Στο ύψος ΑΜ θεωρούμε σημείο Κ τέτοιο ώστε ΜΒ = ΜΓ = ΜΚ Με βάση τη ΑΚ κατασκευάζουμε τετράγωο ΑΚΕΖ (στο ημιεπίπεδο με ακμή τη ΑΜ, που περιέχει το Β) και ισόπλευρο τρίγωο ΑΚΔ (στο ημιεπίπεδο με ακμή τη ΑΜ, που περιέχει το Γ) Να αποδείξετε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα ΔΕ και ΓΖ, τέμοται πάω στη ΑΒ Να βρείτε έα θετικό ακέραιο k, ο οποίος ότα προστεθεί στο γιόμεο Α= , α μας δώσει άθροισμα ίσο με το τετράγωο εός ακεραίου

4 Τηλ Fax: Tel Fax: Νοεμβρίου 016 Β ΛΥΚΕΙΟΥ Να προσδιορίσετε τη τιμή του ακέραιου αριθμού α για τη οποία ο ακέραιος είαι πρώτος ( α 18) ( 8α 1) Α= + + Πρόβλημα Δίεται οξυγώιο ισοσκελές τρίγωο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και σημείο Δ στη διάμεσό του ΑΜ τέτοιο, ώστε ΜΒ = ΜΓ = ΜΔ Με βάση τη ΑΔ κατασκευάζουμε τετράγωο ΑΔΕΖ (στο ημιεπίπεδο με ακμή τη ΑΜ, που περιέχει το Γ) Α Κ είαι το σημείο τομής τω ΑΕ και ΓΖ, α αποδείξετε ότι η ΜΚ είαι παράλληλη στη ΔΖ Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό α ισχύει η αισότητα: ( )( )( )( ) ( + 1)( + )( + 3) α + 1 α + 3 α + 5 α + 7 α + 4 > 16 α α α α α Να βρεθού οι μη-αρητικοί πραγματικοί αριθμοί x, yzwπου,, ικαοποιού τις παρακάτω σχέσεις: x+ w=, y+ w=, z+ + w=, y+ + w= x y x z

5 Τηλ Fax: Tel Fax: Νοεμβρίου 016 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Στο Καρτεσιαό σύστημα συτεταγμέω Oxy θεωρούμε τη παραβολή με εξίσωση y = x και τα σημεία της ΑΒ, και Γ με τετμημέες α, β και γ, ατίστοιχα, έτσι ώστε α β = β γ = ω > 0 Να εκφράσετε το εμβαδό του τριγώου ΑΒΓ ως συάρτηση του ω Πρόβλημα Δίεται ισοσκελές τρίγωο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και Α= ˆ 45 o Στο ύψος ΑΔ θεωρούμε σημείο Κ ώστε ΔΒ = ΔΓ = ΔΚ Οι προεκτάσεις τω υψώ ΒΕ και ΓΖ τέμου το περιγεγραμμέο κύκλο του τριγώου ΑΒΓ, στα σημεία Μ και Ν ατίστοιχα Να αποδείξετε ότι τα σημεία Ν, Κ και Μ είαι συευθειακά P x πολυώυμο τετάρτου βαθμού, τέτοιο ώστε: Έστω ( ) (α) P() 1 = 1, P( ) = 4, P( 3) = 9, P( 4) = 16 (β) Όλοι οι συτελεστές του P( x) είαι μικρότεροι ή ίσοι του 10 Να βρείτε τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη δυατή τιμή του P ( 5) Να βρείτε έα πρώτο αριθμό που διαιρεί το αριθμό 7 Α =