Γωνία και κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ Β 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ Κατασκευή καοικώ πολυγώω Η διαδικασία κατασκευής εός καοικού πολυγώου µε πλευρές (καοικό -γωο) ακολουθεί τα εξής βήματα: 1ο Βήμα: 3 Υπολογίζουμε τη γωία ω = 2ο Βήμα: Σχηµατίζουµε διαδοχικά επίκετρες γωίες ω, οι οποίες χωρίζου το κύκλο σε ίσα τόξα. 3ο Βήμα: Εώουμε µε διαδοχικά ευθύγραµµα τµήµατα τα άκρα τω τόξω. Γωία και κετρική γωία καοικού πολυγώου Η κετρική γωία ω του καοικού - 3 γωου είαι ίση με Η γωία φ εός καοικού -γώου είαι παραπληρωματική της κετρικής γωίας του -γώου.

2 328 ΜΕΡΟΣ Β 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Στο παρακάτω πίακα α βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάτηση. A B Γ α) Η κετρική γωία καοικού εξαγώου είαι: 12 3 β) H κετρική γωία καοικού δωδεκάγωου είαι: 12 3 γ) H κετρική γωία καοικού πετάγωου είαι: δ) Έα καοικό πολύγωο έχει κετρική γωία Τ ο πλήθος τω πλευρώ του είαι: ε) Έα καοικό πολύγωο έχει κετρική γωία 1. Τ ο πλήθος τω πλευρώ του είαι: α) Σωστή είαι το Γ,γιατί ω = = 3 β) Σωστή είαι το Β,γιατί ω = = γ) Σωστή είαι το Β, γιατί ω = = δ) Σωστή είαι το Β, γιατί ω = 3 = 3 = 3 3 = = 1, άρα είαι το δεκάγωο δ) Σωστή είαι το Γ, γιατί ω = 1 = 1 = 3 3 = = Στο παρακάτω πίακα α βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάτηση. A B Γ α) Έα καοικό πολύγωο έχει κετρική γωία Η γωία του πολυγώου είαι: β) Έα καοικό πολύγωο έχει κετρική γωία Η γωία του πολυγώου είαι: γ) Έα καοικό πολύγωο έχει κετρική γωία 3. Η γωία του πολυγώου είαι: 15 3 α) Σωστή είαι το Γ γιατί φ = 18 - ω = 18-4 = 14.

3 ΜΕΡΟΣ Β 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 329 β) Σωστή είαι το Α,γιατί φ = 18 - ω = = 18. γ) Σωστή είαι το Α,γιατί φ = 18 - ω = 18-3 = Στο παρακάτω πίακα α βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάτηση. α) Η κετρική του Έα καοικό πολύγωο γωία είαι: έχει 15 πλευρές. β) Η γωία του πολυγώου είαι: γ) Η κετρική του Η γωία εός καοικού γωία είαι: πολυγώου είαι 15 δ) Το πλήθος τω πλευρώ του είαι: ε) Η κετρική του Η γωία εός καοικού γωία είαι: πολυγώου είαι 135 στ) Το πλήθος τω πλευρώ του είαι: 3 α) Σωστή είαι το Β,γιατί ω = = β) Σωστή είαι το Β,γιατί φ = = 15 γ) Σωστή είαι το Γ, γιατί ω = 18 - φ = = 3 Α Β Γ δ) Σωστή είαι το Β, γιατί 3 = 3 = 3 = 12. ε) Σωστή είαι το Β, γιατί ω = = στ) Σωστή είαι το Α, γιατί 45 = 45 = 3 = 8.

4 33 ΜΕΡΟΣ Β 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίακες. πλήθος πλευρώ γωία πολυγώου κετρική γωία Κετρική γωία Γωία πολυγώου ω = = 12 3 φ = 3 ω = = ω = = 3 ω = = 3 1 φ = ω=18-72 =18 ω=18-1 =2 ΑΣΚΗΣΗ 2 φ = φ = φ = 18 φ = 18 - φ = 12 φ = 18-3 = 15 φ = 144 Χρησιμοποιούμε τους τύπους: 3 ω = και ω = 18 - φ Σε καοικό πολύγωο η γωία του είαι τετραπλάσια της κετρικής του γωίας. Να βρείτε το αριθµό τω πλευρώ του πολυγώου. φ = 4ω 18 - ω = 5ω = 18 4ω ω = 3 Εά φ είαι η γωία του πολυγώου και ω η κετρική του γωία σύμφωα με τη εκφώηση του προβλήματος ισχύει η σχέση. Λύουμε τη εξίσωση που προκύπτει.

5 ΜΕΡΟΣ Β 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 331 ΑΣΚΗΣΗ 3 Να υπολογίσετε τη κετρική γωία ω και τη γωία φ εός καοικού εξαγώου και α επαληθεύσετε ότι: ω + φ = ω = = = Χρησιμοποιούμε τους τύπους: φ ω = 18 - ω = 18 - = 12 + φ = +12 = 18 ΑΣΚΗΣΗ 4 H γωία εός καοικού πολυγώου είαι τα 3 ω = και ω = 18 - φ αριθµό τω πλευρώ του πολυγώου. 5 φ =.9 = 15 Χρησιμοποιούμε τους τύπους: 3 3 ω = 18 - φ = = 3 ω = και ω = 18 - φ 3 3 ω = 3 = 3. = 3 = 12 5 της ορθής. Να βρείτε το 3 ΑΣΚΗΣΗ 5 Να εξετάσετε α υπάρχει καοικό πολύγωο: α) µε κετρική γωία ω = 1, β) µε γωία φ = ω = 1 = 1 = 3 = 22,5 δε υπάρχει Χρησιμοποιούμε τους τύπους: 3 ω = 18 - φ ω = = 5 ω = και ω = 18 - φ 3 5 = 5 = 3 = 7,2 δε είαι ακέραιος άρα δε υπάρχει πολύγωο με φ = 13 ΑΣΚΗΣΗ

6 332 ΜΕΡΟΣ Β 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ Να κατασκευάσετε καοικό οκτάγωο µε πλευρά λ = 2 cm. 3 3 Για το υπολογισμό τω ω,φ ω = = = 45 Χρησιμοποιούμε τους τύπους: 8 3 φ = 18 - ω = = 135 ω = και ω = 18 - φ ΑΣΚΗΣΗ 7 Ποιο καοικό πολύγωο έχει γωία ίση µε τη κετρική του γωία; Είαι ω=φ. ω = 18 - φ ω = 18 - ω Χρησιμοποιούμε τους τύπους: 2ω = 18 ω = ω = 9 = 9. = 3 = 4 3 ω = και ω = 18 - φ ΑΣΚΗΣΗ 8 Με πλευρές τις πλευρές καοικού εξάγωου, και εξωτερικά του εξάγωου κατασκευάσαµε τετράγωα. Να αποδείξετε ότι οι κορυφές τω τετραγώω, που δε είαι και κορυφές του εξαγώου, σχηµατίζου καοικό δωδεκάγωο. Κ Λ Ο Α Ζ Ε Β Δ Γ Κ = Λ ( ΚΑ = ΛΑ) Κ+ Λ+ Α = 18 2 Κ+ = 18 2 Κ = 12 Κ = Λ = ΚΛ = ΚΑ = ΛΑ Δείχουμε ότι το τρίγωο ΚΛΑ είαι ισόπλευρο με πλευρά ίση με τη πλευρά τω τετραγώω που είαι όλα ίσα (έχου ίσες πλευρές λόγω του καοικού εξαγώου) Άρα το πολύγωο που δημιουργείται είαι καοικό με ίσες πλευρές (ίσες με τις πλευρές τω τετραγώω) και γωίες 9 + =15.

7 ΜΕΡΟΣ Β 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 333 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΕ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Εότητα: Εγγεγραμμέες γωίες - Καοικά πολύγωα. Στόχοι: Να καταοήσου οι μαθητές τη σχέση εγγεγραμμέης γωίας με τη ατίστοιχη επίκετρη και τους τύπους τω καοικώ πολυγώω. Μέθοδος: Μεικτή (καθοδηγούμεη - αακαλυπτική). Φύλλο εργασίας 1. Στο διπλαό σχήμα η επίκετρη γωία ΑΟΒ είαι ίση με. Να σχηματίσετε τις γωίες που έχου κορυφή τα σημεία Δ, Ε, Ζ, Γ και πλευρές που διέρχοται από τα σημεία Α, Β. Με έα μοιρογωμόιο α μετρήσετε τις γωίες που σχηματίσατε. Είαι: ΑΔΒ =.., ΑΕΒ =.., ΑΖΒ =.. και ΑΓΒ =.. Καθεμία από τις γωίες ΑΔΒ,ΑΕΒ,ΑΖΒ,ΑΓΒβαίει στο τόξο.. και είαι ίση με το μισό της ΑΟΒ. ΓΕΝΙΚΑ: κάθε εγγεγραμμέη γωία 2. Σε έα καοικό -γωο για τη κετρική του γωία ω και τη γωία του φ ισχύου οι σχέσεις: ω =, φ + ω = Α λύσουμε το πρώτο τύπο ως προς βρίσκουμε δεύτερο τύπο βρίσκουμε ω =... ή =. Από το φ =... Να συμπληρώσετε το παραπάω πίακα που ααφέρεται σε τέσσερα καοικά πολύγωα.

8 334 ΜΕΡΟΣ Β 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 3. Σε κύκλο με ακτία 2 cm α κατασκευάσετε έα καοικό εξάγωο. Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς του και α βρείτε το εμβαδό του. Λύση Η κετρική γωία του καοικού εξαγώου είαι o ω = =. Σχεδιάζουμε έξι ίσες διαδοχικές... γωίες. Αυτές διαιρούτα κύκλο σε έξι ίσα.. και οι ατίστοιχες χορδές τους είαι οι.του εξαγώου. Το τρίγωο ΟΑΒ είαι ισοσκελές με μια γωία, επομέως είαι.. Ο 1 και έτσι ΑΒ =..cm. Είαι = και ΟΚ ΟΚ συ Ο1 = ή. = ήοκ =...cm.... Είαι (ΟΑΒ) = 2 1 ΑΒ ΟΚ = =...cm 2 Το εμβαδό του εξαγώου είαι Ε = (ΟΑΒ) = cm 2.